автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование в задачах о динамике вязкоупругих элементов тонкостенных конструкций при дозвуковом обтекании

На правах рукописи

ЕРЕМЕЕВА НИНА ИГОРЕВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ О ДИНАМИКЕ ВЯЗКОУПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ДОЗВУКОВОМ ОБТЕКАНИИ

Специальность 05.13.18 "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск 2005

Работа выполнена на кафедре "Высшая математика" Ульяновского государственного технического университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Пётр Александрович Вельмисов.

Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор

Николай Николаевич Ковальногов,

доктор физико-математических наук, профессор Виктор Леонтьевич Леонтьев.

Ведущая организация: Казанский государственный университет.

Защита состоится "23" ноября 2005г. в 15м на заседании диссертационного совета Д 212.277.02 при Ульяновском государственном техническом университете по адресу: 432027, г. Ульяновск, Северный Венец, 32, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного технического университета

Автореферат разослан " "ДО- 2005г.

Ученый секретарь диссертационного cor-—

доктор технических наук, профессор

1ШГ МЛЩ

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена разработке на основе математического моделирования математических методов исследования динамики и устойчивости деформируемых тонкостенных конструкций при дозвуковом обтекании.

Актуальность темы. Повышение надежности и увеличение сроков эксплуатации конструкций, взаимодействующих с потоком жидкости или газа, является важной народно-хозяйственной проблемой. Необходимость решения такой проблемы возникает, в частности, в авиаракетостроении, турбо-компрессоростроении, приборостроении, при проектировании антенных установок, датчиков давления, камер сгорания, реакторов, гидротехнических и высоких наземных сооружений, мостовых конструкций, трубопроводных систем и т.д.

Воздействие потока на деформируемые части конструкций может приводить к возникновению неустойчивых колебаний и, тем самым, к разрушению конструкций (рис. 1) или нарушению требуемых свойств. В связи с этим, ири проектировании конструкций, взаимодействующих с потоком жидкости или газа, важное значение имеет исследование устойчивости и определение параметров, обеспечивающих их функционирование и надёжность эксплуатации.

Рис 1. Подвесной мост Такома Нэрроуз Разрушился из-за аэроупругих колебаний через 4 месяца после ввода в эксплуатацию

Динамика упругих пластин и оболочек, взаимодействующих с потоком жидкости или газа, в настоящее время представляет собой хорошо развитый раздел механики сплошной среды. Этой теме посвящены работы как отечественных (С.М.Белоцерковский, В.В.Болотин, А.С.Вольмир, Ш.У.Галиев,

»»ОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА,„

СПе «»

И1и I ЕМ

'ZXJSf

А.Г.Горшков, Э.Г.Григолюк, А.Н.Гузь, С.И.Девнин, М.А.Ильгамов,

A.А.Ильюшин, Б.Г.Коренев, В.Д.Кубенко, А.А.Мовчан, Ю.Н.Новиков и др.), так и зарубежных (Р.Л.Бисплингхофф, Х.Эшли, Р.Л.Халфман, Я.Ц.Фын, Е.Х. Доуелл и др.) авторов. Задачи взаимодействия деформируемых тел с жидкостью рассматривались также в работах С.В.Челомея, В.И.Феодосьева,

B.А.Светлицкого, К.П.Андрейченко, Л.И.Могилевича, Ю.Э.Сеницкого.

Существенным фактором, влияющим на прочностные характеристики деформируемых тел, является старение материала. Хорошо разработанной является модель стареющего вязкоупругого тела, согласно которой связь между напряжением и деформацией в каждой точке тела подчиняется уравнению Воль-терра-Фойхта. Фундаментальные результаты в теории вязкоупругости и устойчивости вязкоупругих тел изложены в работах Н.Х. Арутюняна, A.A. Ильюшина, В.Б.Колмановского, М.А. Колтунова, Ю.Н.Работнова и др.

Отличительной особенностью рассматриваемых в диссертации задач является одновременный учет вязкоупругих свойств (старения) тел и аэрогидродинамического воздействия. Задачи аэрогидроупругости сложны тем, что в них невозможно определить силовое воздействие потока на обтекаемое тело до решения задачи об определении деформации тела. Математически это выражается в том, что совместное движение тела и жидкости (газа) описывается связанной системой дифференциальных уравнений дня функций деформаций и аэрогидродинамических функций. Кроме того, учёт вязкоупругих свойств приводит к появлению в дифференциальных уравнениях движения тел дополнительных интегральных членов. Указанные особенности увеличивают сложность решения соответствующих задач, не позволяют использовать стандартные для расчета деформаций упругих элементов методы и требуют разработки специальных методов решения.

Выше сказанное позволяет утверждать об актуальности исследований, проведенных в диссертации.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является создание на основе математического моделирования математических методов

исследования динамики и устойчивости некоторых типов деформируемых тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии.

Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

1. Построение и усовершенствование математических моделей в задачах о динамике вязкоупругих элементов, обтекаемых дозвуковым потоком жидкости (газа), таких классов тонкостенных конструкций, как тонкие профили и защитные экраны.

2. Разработка методик решения обратных краевых задач аэрогидромеханики, позволяющих свести решение соответствующих задач аэрогидроупругости к исследованию уравнений для деформаций элементов.

3. Разработка аналитических и численных методов решения начально-краевых задач для этих уравнений и исследование на их основе динамики и устойчивости вязкоупругих элементов конструкций.

Методы выполнения исследований. В диссертационной работе используются методы функционального анализа, теории функций комплексного переменного, методы обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, асимптотические методы и модели механики сплошных сред, численные методы и метода математического моделирования.

Достоверность полученных в работе результатов обусловлена адекватностью построенных моделей классическим представлениям в механике сплошных сред, строгостью математической постановки задач и математических преобразований и подтверждается сопоставлением аналитических результатов с результатами численных расчетов, а также сравнением с работами других авторов.

Научная новизна положений, выносимых на защиту:

1. Построены новые и усовершенствованы некоторые известные математические модели в задачах о динамике вязкоупругих элементов тонкостенных конструкций (тонких профилей различной конфигурации и защитных экранов), отражающие расширенный спектр механических свойств исследуемых объектов и внешних воздействий. В разработанных моделях проводится одновремен-

ный учет взаимодействия конструкций с дозвуковым потоком жидкости или газа, старения материала деформируемых элементов, а также влияния сжимающих (растягивающих) усилий и вязкоупругих оснований.

2. Разработана методика решения класса плоских задач аэрогидромеханики с граничными условиями, содержащими неизвестные функции деформаций элементов, позволяющая исключить аэрогидродинамические функции и свести решение задач аэрогидроупругости к исследованию систем интегро-дифференциальных уравнений для деформаций.

3. Создан численный метод и соответствующие компьютерные программы, позволяющие проводить исследование динамики вязкоупругих элементов тонких профилей и защитных экранов. Исследован вопрос корректности постановки задач и сходимости численного метода.

4. Разработан аналитический способ исследования динамической устойчивости вязкоупругих элементов указанных конструкций, на основе которого получены условия асимптотической устойчивости.

Практическая ценность работы заключается в том, что разработанные математические модели, методы и программное обеспечение позволяют усовершенствовать теоретическую базу современного проектирования взаимодействующих с потоком жидкости или газа упругих тонкостенных конструкций и соответствующих технических устройств, и тем самым сократить время и средства, затрачиваемые на натурные эксперименты, а в некоторых случаях позволяют заменить их аналитическими оценками или проведением компьютерных исследований.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных, республиканских и межвузовских конференциях и школах: Международной конференции «Dynamical systems modelling and stability investigation» (Киев, 2001); 11, 12, 13 международных конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2001, 2002, 2003); Международной конференции «Континуальные логико-алгебраические исчисления и нейроин-форматика в науке, технике и экономике» (Ульяновск, 2001 - 2005); 4, 5 науч-

ных конференциях «Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2001, 2003); Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - VIII" (Воронеж, 2002); Международной конференции «Методы и средства преобразования и обработки аналоговой информации» (Ульяновск, 1999); XXXIII-XXXIX научно-технических конференциях УлГТУ (Ульяновск, 1999-2005);the XXVII Summer School "Application of Matematics in Engeneering" (Bulgaria, Sozopol, 2001); Conference of Applied and Industrial Matemathics (Romai, Pitesti, 2002).

Реализация результатов работы. Исследования, представленные в диссертации, внедрены в рамках проекта «Устойчивость тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии» (грант РФФИ № 98-01-03286, 1999-2000 гг.), в рамках НИР «Разработка математических методов исследования динамики и устойчивости тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии» (заказ-наряд Федерального агентства по образованию, 2004-2005 гг.), а также в рамках госбюджетной НИР «Исследования по дифференциальным уравнениям, математической физике и приложения в механике, технике, естествознании».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 27 печатных работ, из них 20 статей и 7 тезисов докладов.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 148 наименований, содержит 137 страниц машинописного текста (без учета приложений), 66 рисунков и 4 таблицы.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследований, научная новизна и практическая ценность полученных результатов, приведены сведения об использовании, реализации и апробации результатов работы и структуре диссертации.

Первая глава посвящена задаче обтекания пластины, содержащей вязко-упругие элементы, дозвуковым потоком идеальной несжимаемой среды. Эта

задача является базовой для рассматриваемых в диссертации задач, так как, несмотря на то, что объекты, рассматриваемые в других главах, будут иными, математические модели (уравнения и граничные условия), соответствующие этим задачам, окажутся подобными. В связи с этим, все сформулированные в первой главе принципы построения математической модели, методы численного решения и аналитического исследования являются общими для всех задач.

Задачу обтекания пластины можно интерпретировать как задачу о динамике неоднородного ледяного покрова или задачу о динамике вязкоупругих элементов подвесного моста. В первой главе рассмотрены различные модификации исследуемой задачи: бесконечная, конечная, полубесконечные (ограниченные справа или слева) пластины. При этом количество и расположение вязко-упругих элементов в каждом случае произвольно.

Задача решается в линейной постановке, соответствующей малым дефор-

мациям элементов и малым возмущениям однородного потока.

У

обтекания бесконечной пластины,

Математическая модель задачи

содержащей один вязкоупругий эле- _^

мент (рис. 2), описывается следующими уравнениями И условиями Рис 2 Обтекание бесконечной пластины

д«>+=°. *6(-«.«),У>0; Ь<р~=<р~а +<Р~у>= 0, *е(-°о,°о),>><0; <р*(х,0,() = 0, х е (-оо,О]и [а,оо); р*(хД/)= у», + у1^, х € (0,а);

Ц™) = Р*{<Р* +\>-<р~) + Р--Г-р-(у-)2),хе (0,а), у = 0 ,(1)

пдгу/ д1*/ . с*л> „

дх I " " Л4

I

+ А, *>- ¡Я2(т,0н{х,т)(1т

где ?»±(дс,^,г) - потенциалы скорости возмущённых потоков, Мх,1) - прогиб

вязкоупругого элемента, О - изгибная жесткость элемента, т - его погонная масса, Р - сжимающая (растягивающая) элемент сила, /?|(г,?),Я2(г,/) - ядра релаксации, характеризующие вязкоупругие свойства материала вязкоупругого элемента и его основания, Д ,/?2 - коэффициенты внешнего и внутреннего

демпфирования, Д, - коэффициент жесткости основания, Р± - давление среды над и под пластиной в состоянии покоя, р± - плотность среды над и под пластиной, V1 - скорости набегающих потоков в бесконечно удалённой точке.

Созданный численно-аналитический метод решения задачи включает следующие этапы:

1. Согласно разработанной методике, на основе методов ТФКП (с использованием интеграла Шварца и формулы Сохоцкого) потенциалы скорости ^(лД/) выражаются через функцию прогиба что позволяет исключить

аэрогидродинамические функции из правой части (1) и свести решение задачи к исследованию уравнения относительно функции прогиба

дх 1 дх 1

о

+ а

+ (Т^ + Ч+П^Т,0) р--Р* + £- [¿г/) + у-и>,г(д:,/))~+

я о х-Т я > ] х-т

+ «М (2)

* о х~т

2. Согласно методу Бубнова - Галёркина искомая функция представляется

в виде отрезка ряда

N

п(х,1)*пн(х,1) = $>*(')£*(*), (3)

»=1

где {#*(*)} - некоторая полная система базисных функций, удовлетворяющих фаничным условиям, соответствующим типу закрепления. Из условия ортогональности на отрезке [0,а] невязки уравнения (2) ко всем базисным функциям Як(х), к = получается связанная система N интегро-дифференциальных

уравнений второго порядка относительно функций yk{t)

£(*«№)+ b„ky[{t)+ dnkyk(tj)= ){gnR,{r,t) + qnR1(.T,t))yn(T)dT+cn,n = \,...N, (4)

к-1 О

где апк, Ь„к, dnk, gn, дп, сп - некоторые числовые коэффициенты, выражающиеся через параметры задачи.

3. Система (4) заменой v,=y"(t), vN„=y',(t), v2N+i=y,(t), i = \,...N сводится к интегральной системе 3N уравнений. Интегральную систему, в свою очередь можно представить в виде векторного интегрального уравнения Вольтерра II рода

V(t)J\R{T,t)V{r)dr + C,

о

которое решается методом последовательных итераций.

Исследован вопрос корректности постановки задач (выведены условия на ядра релаксации Rk{r,t), к = 1,2, при которых решение задачи Коши для системы (4) существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных и параметров задачи), и вопрос сходимости созданного численного метода (на основе численного эксперимента выявлено, что существует тенденция к сходимости галёркинских приближений w„(x,t) при увеличении N).

Проведен сравнительный анализ решений, полученных разработанным численным методом, с точными частными решениями и с численными решениями, полученными с помощью математического пакета Maple (в тех случаях, когда применение стандартных пакетов возможно).

Разработан аналитический способ исследования асимптотической устойчивости решения w„(x,t).основанный на оценках функций yk(t), к = \,...N, полученных с помощью неравенства Гронуолла-Беллмана. Проведено сравнение областей устойчивости, полученных численно и из выведенных аналитических условий.

Для рассматриваемой задачи создано программное обеспечение, позво-

ляющее проводить следующие виды исследований:

а) при заданной погрешности е определять достаточный порядок N и строить графики соответствующего галёркинского приближения и^дг,/) при фиксированных х = х0 или (пример №1);

б) в плоскости (у, Р) (скорость потока - сжимающее усилие) строить область устойчивости решения задачи м>н(х,1), полученную по результатам численного эксперимента или на основе выведенных аналитических условий;

в) проводить сравнение областей устойчивости, найденных численно и аналитически, а также сравнение первого галёркинского приближения IV, (х,/) и его оценочной функции, определяемой из аналитических условий (примеры №2 и №3).

Пример №1. Построение графиков функций у = и у = ч!ы{х,1к).

Решение задачи проводится в безразмерных переменных

_ х _ у - V" _/_ -ч и^дг,/) а а а а

На рисунках 3 и 4 представлены графики функций у = */„(х0;Т) и у = ^ы{х,1к), соответствующие следующим условиям задачи

0,1,

я

= 0,001,

0 £> Э Иа

1=0,001, -/> +!р-(у =

£>л- 2 2

Цх,0) = 0, й>(х,0)=0,1, /?,(?,/)= 0,01 е^-'К «,(?,/) = 0, £ = 0,0005.

о,ооз~[

о. оогр

0,003 0,002' О. ОО!

п А 1 г

ГУ /-,

-о.оо!1" -о,оог"

-о,ооЗ ~!1 ]( м V 1 *

1; 1Г I I у ■ V V ■■ *

-О, 004

-о, оая

/

Рис 3 График функции дг0=0,5

1=2.545

-О,001 У -0,004__ У -о. 004

1 = 0 682 К ЗОЗ к 1=1,924 К

- 1 1 ----- — " 1

"-О. ООЧ -0,004 -о 004

--О.004 У -0.004 о -о. 004

166 К к 1=4.407 X

~ — _ 1 1=3 786 1 ----- 1

-О, 004 -О, 004 -о .004

Рис 4 Графики функций н>(х,11), =0,25о+2,5йЛ, к = О,..Л Прн данных значениях параметров достаточным порядком галёркинских приближений является Ы = 4; частота колебаний, определяемая численно, равна а> = 0,24827.

Пример №2. Сравнение областей устойчивости.

На рисунке 5 изображены области устойчивости первого приближения, соответствующие условиям (все величины приведены в системе СИ):

я = 1, /и = 13,5, О = 837,74 (алюминиевая вставка), Д, = 0, Д=0, р2 = 0,03, Л(г,/) = 0 и Д1(г,г)=0,005-е,5('-'), н{х,0) = 0, ^(х.О^тх, Р* =Р~, V = V* = V", р = р1 = 13 (поток воздуха), е = 0,0005.

Область, полученная численно (на рисунке она является объединением областей чёрного и серого цвета), содержит в себе область, найденную из аналитических условий (ей на рисунке соответствует серый цвет).

р

Рис 5 Сравнение областей устойчивости, полученных численно и аналитически

При этом область устойчивости, найденная из аналитических условий, справа ограничена ветвью параболы Р(»)= С, -С.у-, С, =7764,696, С, =0,6403.

Пример №3. Сравнение первого приближения м>\(х,1) и его оценочной функции.

На рисунке 6 приведены графики функции у = (нижний график), и

оценочной функции (верхний график) при следующих значениях параметров:

о = 1, т = 13,5, £> = 837,74 (алюминиевая вставка), Д, = 1, /?, = 1, = 1, Л, (г, <) = Л2 (г, г) = 0,005 • е10''"'', н(*,0) = 0, м>,(л:,0) = 5т;с, Р* = Р~, у = 10, Р = 100, р = р* = 1,3 (поток воздуха), х0 = 0,5а, е = 0,0005.

Рис. 6. Модуль первого приближения и его оценка

В первой главе аналогичным образом исследованы другие модификации задачи: конечная, полубесконечная (ограниченная справа или слева) и бесконечная пластины, содержащие п вязкоупругих элементов.

Например, для конечной пластины с п вязкоупругими элементами, общая схема которой изображена на рисунке 7,

Ь, С2

-► Со 6, с, 6, с2 ь,

Рис 7. Обтекание конечной пластины математическая постановка линеаризованной задачи имеет вид:

<р* = 0, X е [с,, ], / = 0,... п, <г>* (х,0, ?) = IV, ( + м/, х , х е (6,, с,), / = 1,... п ,

13

ах * дх

dt

dl

2 dx'dt 0

l

Л1, - jR^(T,t)wXx,T)dr

, xe(b„c,),

(5)

где q>(x,y,t) - потенциал возмущенного потока, = lim <р (х,у,t).

y->iO

Решение аэрогидродинамической задачи проводится на основе разработанной методики, с помощью конформного отображения области на верхнюю полуплоскость, использования интеграла Шварца и применения формулы Сохоцкого. Разрешающая система уравнений для функций прогибов ы^х^), л:е(6,,с,), / = 1,.. .и, имеет вид

,, , 2ру, с„ \ЬпЛ - г) ч (гу>/г _ 2р - ^сЛ ¿а, (г, /У г

(W')= - 1^-с.^-х) х-т ж I Л^-тЬ-с.) х-т '

0)1

<x,t)-

0,^6 (-оо,6,]

Z +v„wn)dx+ J(W„ + £ (6,,c,X/ = 1,-/1.

b, i, , <7

Главы 2, 3 и 4 посвящены исследованию динамики и устойчивости деформируемых элементов, являющихся составными частями тонких профильных конструкций и защитных экранов. Анализ задач, рассмотренных в этих главах, проводится по той же схеме, что и в главе 1. Созданное программное обеспечение позволяет проводить те же виды исследований. Сформулируем ниже только физическую постановку задач, их математические модели и выпишем системы уравнений для функций прогибов, получаемые после решения на основе разработанной методики аэрогидродинамической задачи.

Во второй главе исследуется модель дозвукового бесциркуляционного обтекания тонкого профиля, содержащего вязкоупругие элементы. С практической точки зрения представляет интерес, например, один из частных случаев

этой модели - обтекание крылового профиля, имеющего вязкоупругий закрылок и (или) предкрылок (рис. 8).

Рис 8 Крыловой профиль (п-элемент предкрылка, з-элемент закрылка)

Общая схема модели представлена на рисунке 9. В плоскости хОу, в которой происходят совместные колебания вязкоупругих элементов и потока, на оси Ох деформируемым участкам профиля соответствуют интервалы {b„c), i = \,..п, недеформируемым - отрезки [с„£|+,], / = 0,..л, при этом форма неде-формируемых участков определяется функциями /*(х), i = 1,.л +1.

^ t

—* f:(x) _ и,|(*',) _ f'(x) _ f:(x) wAx'°

—► с» f f;(x) % -Стагхг

Рис 9. Обтекание тонкого профиля Скорость жидкости (газа) в бесконечно удаленной точке равна ve и направлена вдоль оси Ох, wt(x,t) - функция прогиба i - того элемента.

Математическая постановка линеаризованной задачи имеет вид:

А<Р = 9а +<Р„,(x,y)eG = R2\[с0АЛ N1 = № + <р]

6 кА Л''=0,..л, <р*(х,0 ,t)= W„(x,t)+ v,wlx(x,t\ X е (b,,c,), i = 1 L{wt) = p{<p*-<p;)+pvj(p+x -<p;\xe{bt,cX

где <p(x,y,t) - потенциал возмущенного потока, <р*(х,0,/) = lim <pJx,y,t), aone-

' >>->±0 '

ратор L(wt) задаётся формулой (5).

На базе разработанной методики (с использованием конформного отображе-

15

ния внешности отрезка [с0,6„,,] на верхнюю полуплоскость и формул Шварца и Сохоцкого) задача сводится к исследованию системы уравнений для и>, (.*,/)

* ¿Ю-ЫЬ^-х) х-т ж I уКт-СоХЬ^-т) х-т

хе(Ь„с,), / = 1 „л,

I о

•'./,!,(■*)+£ /("у, +^Н'/1>&>ДСб[с,Л<.11« = 1>.71-1

<»*(*,О =

М ' *

X ¡(к„ +у„н-,ж)<&,дсе(Л„сД 1 = 1,..я-

М+X + ".«'л х е к А*1

В третьей главе на основе разработанных методов исследуется задача дозвукового бесциркуляционного обтекания тонкостенной конструкции - модели крылового профиля, нижняя и верхняя части которого содержат вязкоупругие

элементы (рис. 10).

Рис 10 Крыловой профиль с выделенным элементом На рисунке 11 изображена общая схема рассматриваемой модели.

Рис 11. Обтекание крылового профиля На плоскости хОу, в которой происходят совместные колебания вязкоупругих элементов и потока, профилю на оси Ох соответствует отрезок [о,/], а вязкоуп-ругим элементам сверху соответствуют интервалы {Ь2,_1,Ь2,), /" = 1,...«,, снизу -

интервалы (л2|-1>я2|)> ' = '> - пг ■ Скорость потока в бесконечно удаленной точке

равна ух и имеет направление, совпадающее с направлением оси Ох, wf{x,t) -

функции прогибов элементов на верхней и нижней сторонах профиля, /*(*) -

функции, задающие форму недеформируемых частей профиля.

Математическая постановка линеаризованной задачи имеет вид:

я>„ = о Ах,у) € з=я2 \[о,/], = [<р] +<р1 = о,

<р;{х,0,1)= <(л:,/)+ у,<(д:,/)+ V,(/' (*)) , дг б I = 1,...л,,

<р'у{х,0,1)= и>, (*,/)+ у1н-;(х,/)+ V, (/"(*)) ,х е(а2М,аъ), / = 1,...и2 <(*А/)= (*))', дге [Ь2„Ь1М\« = 0,...л,,

дх

Ät2

где <p(x,y,t) - потенциал возмущенного потока, ,/)= lim <p(x,y,t), Р, -

у-у±О '

внутреннее усилие, - давление внешней среды в состоянии покоя.

Решение аэрогидродинамической задачи проводится в соответствии с разработанной методикой (методами ТФКП с применением конформного отображения внешности отрезка [О,/] на верхнюю полуплоскость и использования формул Шварца и Сохоцкого). В результате задача сводится к исследованию системы уравнений для функций прогибов w?(x,t)

ц = ± д+/> ±£ |(< +f Jk

¿ff J X—T in £ x-x 2л J

l(!-x)x dT pv 'и . \ lU-rh dt

хе(Ь2,-иЬ2,)' / = !,.• Я, для £«); *е(я21_„а21), / = 1, .л2 - для ¿(н-,"),

,-1 »>, х

V«/ ~ (*Х л: е д: е [о, л, ]

1-1 ^ X

1-1 ">;

В четвертой главе исследуются колебания вязкоупругих элементов прямолинейной стенки, с одной стороны ограничивающей объём, заполненный несжимаемой средой, с другой стороны обтекаемой дозвуковым бесциркуляционным потоком. Движение жидкости (газа) происходит в двух областях: сверху над стенкой и снизу под стенкой - внутри резервуара прямоугольной формы. Данную задачу можно интерпретировать как задачу о колебаниях деформируемого плавучего моста или экрана, защищающего резервуар или их деформируемых элементов (рис. 12).

Рис 12. Резервуар, защищенный экраном, содержащим вязкоупругие элементы

Общая схема модели изображена на рисунке. 13. В бесконечно удаленной точке скорость потока равна у0 и имеет направление, совпадающее с направлением оси Ох, ы^х^) - функция, описывающая деформацию /' -того элемента.

V

7

->

Ч.-0

w¿x,t) -WW4-

-vr\PJ\f 6, c,

W,(x,l)

-ЛААЛ-

Рис 13 Модель защитного экрана Математическая постановка линеаризованной задачи имеет вид:

=^1,., +<Pi,) = 0,Are(-ао,-ню),у>0; Д</>2=р2а+9>2я =0,дге(0,/),уе(-с,0);

(*Л')= 0,дг е[с,1 i = 0,.л; <pt¡ {х,0,f)= w„ (*,/)+ д:е (Ь„с,), i = 1,.л;

*,х(0,У,/)= 0,у е [-с;0]; <P2x(l,y,t) = 0,ye [-с;0]; (ply{x-ñ,l) = Q,xe[Qj\,

í>2,(*&')= 0,дге[c,\b^\i = 0,..я ; <ply(x,Q,t)= wu(x,t\x^{bnc,\i = 1>Л 5

= Pife, + W1J-P2P2, _/í + 0,5p1v0I,*e(¿,;c,), <p,(x,y,t)- потенциал возмущенного потока в верхней полуплоскости, <p2(x,y,t)~ потенциал возмущенного потока внутри прямоугольного резервуара, PVP2 -давления потоков в состоянии покоя, оператор Z.(vv) задаётся формулой (5).

Применение разработанной методики (конформного отображения внутренности прямоугольника на верхнюю полуплоскость и использования формул Шварца, Келдыша - Седова и Сохоцкого) приводит задачу к исследованию системы уравнений для функций w,(x,t)

f(fl),(T,í)+V0ü>r(r,í))

Х-Т ы

Ци>,) =

р.

Jt-Г

i í^rfr + е(ь„C|), / = !,..„,

Л a, T 5 2

ie

jf f , ^ -4т—=-

aJV(l-VYX-k1?) 0JV(l-rJ)(l-AV) 2

0,хе[0Л]и[с„,/]

1-1С1 *

Е /К- /К, +у^1Х)с1х,хе(Ь1;с111 = 1,..п

У-'*, I ч

X + у0м'/1)с1х,хе [с,фм 11 = 1,..я -1

Основные результаты работы

1. Построены новые и усовершенствованы некоторые известные математические модели в задачах дозвукового обтекания вязкоупругих элементов тонких профилей (в том числе крыловых), защитных экранов, подвесных и плавучих мостов. Во всех моделях количество вязкоупругих элементов и места их расположения произвольные.

В разработанных моделях учитывается широкий спектр механических свойств объектов и характер их взаимодействия. Производится одновременный учет старения (вязкоупругости) материала деформируемых элементов, воздействия потока жидкости (газа) и вязкоупругого основания, а также влияния сжимающих (растягивающих) продольных усилий.

2. Разработана методика для решения класса плоских задач аэрогидромеханики с граничными условиями, содержащими неизвестные функции прогибов деформируемых элементов, позволяющая исключить аэрогидродинамические функции и свести решение связанных задач аэрогидроупругости к исследованию уравнений для деформаций.

3. Создан новый численный метод, на основе которого в каждой из задач проведено численное моделирование на ЭВМ динамики деформируемых элементов и в плоскости (у,Р) построены области устойчивости. Выведены условия непрерывной зависимости решения от начальных условий и параметров задач. Численно исследована сходимость галёркинских приближений. Проведён сравнительный анализ полученных численных решений с точными частными

решениями и с численными решениями, полученными с помощью математического пакета Maple.

4. Разработан новый аналитический способ исследования асимптотической устойчивости вязкоупругих элементов конструкций, на основе которого в каждой задаче в плоскости (v,P) построены области динамической устойчивости и получены оценки первых приближений. Проведено сравнение полученных аналитических результатов с результатами численного эксперимента.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1. Анкилов A.B., Еремеева Н.И., О динамике вязкоупругих элементов пластины.// Математические методы и модели: Труды международной конференции "Методы и средства преобразования и обработки аналоговой информации" -Ульяновск: УлГТУ, 1999. - Т.З - С. 15-18.

2. Еремеева Н.И. К вопросу обоснования одного численного метода решения задачи обтекания вязкоупругой пластины.// Механика и процессы управления: Сборник научных трудов - Ульяновск: УлГТУ, 2000. - С.26-32.

3. Вельмисов П.А., Еремеева Н.И. К вопросу сходимости галеркинских приближений решения задачи о колебаниях пластины в сверхзвуковом потоке газа.// Математическое моделирование и краевые задачи: Труды 11 межвузовской конференции - Самара, 2001. - Ч.З - С.17-19.

4. Еремеева Н.И. Численный эксперимент в задаче об устойчивости пластины в дозвуковом потоке.// Математические методы и модели в прикладных задачах: Труды международной конференции "Континуальные логико-алгебраические исчисления и нейроинформатика в науке, технике и экономи-ке"(КЛИН-2001) - Ульяновск: УлГТУ, 2001. - Т.4 - С.27-29.

5. Вельмисов П.А., Еремеева Н.И. О динамике вязкоупругого элемента защитного экрана.// Труды 4 научной конференции "Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов" - Ульяновск: УлГУ, 2001. - С.44-46.

6. Еремеева H.И. Об одном численном методе решения задачи о колебаниях пластины в потоке газа.// Труды 4 научной конференции "Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов" -Ульяновск: УлГУ, 2001. - С.61-63.

7. Вельмисов П.А., Еремеева Н.И. Численный метод решения задачи обтекания Еязкоупругой пластины сверхзвуковым потоком газа.// Вестник Ул1 "ГУ, Ульяновск, 2001. - Вып.З. - С.52-59.

8. Вельмисов П.А., Еремеева Н.И., Решетников Ю.А. О динамике вязкоупру-гого элемента защитного экрана.// Механика и процессы управления: Сборник научных трудов - Ульяновск: УлГТУ, 2002. - С. 16-22.

9. Вельмисов П.А., Еремеева Н.И. Об одном численном методе исследования динамики вязкоупругого элемента защитного экрана.// Математическое моделирование и краевые задачи: Труды двенадцатой межвузовской научной конференции - Самара: СамГТУ, 2002. - 4.1 - С.36-39.

10. Velmisov P.A. and Eremeeva N.I. Numerical method for solving of a problem about oscillations of viscoelastic plates in subsonic stream of gas.// Applications of Mathematics in Engineering and Economies. Technical University of Sofia, Héron Press. - Sovia, Bulgaria, 2002. - C.344-355.

11. Еремеева Н.И. О сходимости галеркинских приближений при численной реализации одной задачи аэроупругости.// Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники: Труды международной конференции КЛИН-2002 - Ульяновск: УлГТУ, 2002. - Ч.З. - С.8-10.

12. Ь ельмисов П.А., Еремеева Н.И. Математическое моделирование в задаче о динамике вязкоупругого элемента крылового профиля.// Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники: Труды международной конференции КЛИН-2002 - Ульяновск: УлГТУ, 2002. - Ч.З. - С.3-7.

13. Еремеева Н.И. Исследования динамики вязкоупругого элемента защитного экрана.// Современные методы в теории решения краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - VIII" -Воронеж, 2002. - С.31-32.

14. Вельмисов П.А., Еремеева Н.И. Численный метод решения задачи дозвукового обтекания пластины с вязкоупругими элементами // Вестник УлГТУ, 2002. - Вып.4. - С.36-45.

15. Вельмисов П.А., Еремеева H.И., Маценко П.К. К вопросу об ассимптоти-ческой устойчивости решений задачи сверхзвукового обтекания вязкоупругой пластины.// Математическое моделирование и краевые задачи: Труды тринадцатой межвузовской конференции - Самара: СамГТУ, 2003. - Ч.З. - С.25-28.

16. Еремеева Н.И., Маценко П.К. Об устойчивости колебаний вязкоупругой пластины в сверхзвуковом потоке газа.// Труды пятой международной конференции "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов" - Ульяновск: УлГУ, 2003. - С.70-71.

17. Маценко П.К, Вельмисов П.А., Еремеева Н.И. К вопросу об устойчивости галеркинских приближений в задаче о динамике вязкоупругой пластины при сверхзвуковом обтекании // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники: Труды международной конференции КЛИН-2003 -Ульяновск, УлГТУ, 2003. - Т.5. - С.82-84.

18. Velmisov Р.А. and Eremeeva N.I. Numerical solution of a problem about oscillations of viscoelastic plates under aerohydrodynamical action // Buletin Stiintifïc -Universitatea din Pitesti, Romai - Seria Matematica si Informática, Nr. 9 (2003). Pp 349-358.

19. Еремеева Н.И. Исследование динамики вязкоупругого элемента тонкого профиля // Сборник научных трудов "Прикладная математика и механика" -Ульяновск, 2004. - С. 130-139.

20. Вельмисов П.А., Еремеева Н.И. Численное моделирование в задаче о динамике системы вязкоупругих последовательно расположенных пластин в потоке жидкости // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники: Труды международной конференции КЛИН-2004 - Ульяновск, УлГТУ ,2004. - Т.7. - С.33-37.

21. Вельмисов П.А., Еремеева Н.И. Задача обтекания крылового профиля с вязкоупругим элементом дозвуковым потоком // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники: Труды международной конференции КЛИН-2005 - Ульяновск, УлГТУ,2005. - Т.4. - С.40-44.

22. Еремеева Н.И. Исследование динамической устойчивости вязкоупругого элемента крылового профиля // Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники: Труды международной конференции КЛИН-2005 - Ульяновск, УлГТУ,2005. - Т.4. - С.108-110.

9 19967

РНБ Русский фонд

2006-4 16333

ЕРЕМЕЕВА НИНА ИГОРЕВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ О ДИНАМИКЕ ВЯЗКОУПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ДОЗВУКОВОМ ОБТЕКАНИИ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ответственный редактор Волкова Л Н. Подписано в печать 14 10 05 Формат 60x90/16 Бумага писчая Усл.печ. л 1,43 Уч.-изд>л. 1,58. Тираж 120 экз Заказ №96.

Димнтровградский институт технологии, управления и дизайна, Ульяновского государственного технического университета, Редакционно-издательский отдел, 433510, Димитровград, ул Куйбышева, 294

Введение.

Глава 1.Динамика вязкоупругих элементов пластины.

§ 1. Математическая модель.

§2. Решение аэрогидродинамической задачи.

§3. Описание численного метода решения.

§4. К вопросу корректности численного метода.

§5. Исследование динамической устойчивости.

§6. Обобщение на случай произвольного количества вязкоупругих элементов и произвольных типов их закрепления.

§7. Случай конечной и полубесконечной пластины.

Глава 2. Динамика вязкоупругих элементов тонкого профиля.

§ 1. Математическая модель.

§2. Решение аэрогидродинамической задачи.

§3. Описание численного метода решения и результаты его применения.

§4. Аналитическое исследование асимптотической устойчивости.

§5. Обобщение на случай произвольного количества вязкоупругих элементов и произвольных типов их закрепления.

Глава 3. Динамика вязкоупругих элементов крылового профиля.

§1. Математическая модель.

§2. Решение аэрогидродинамической задачи.

§3. Описание численного метода решения и результаты его применения.

§4. Аналитическое исследование асимптотической устойчивости

§5. Обтекание профиля, содержащего вязкоупругие элементы на верхней и нижней сторонах.

§6. Обобщение на случай нескольких вязкоупругих элементов на верхней и нижней сторонах.

Глава 4. Динамика вязкоупругих элементов защитного экрана.

§ 1. Математическая модель.

§2. Решение аэрогидродинамической задачи.

§3. Описание численного метода решения и результаты его применения

§4. Аналитическое исследование асимптотической устойчивости.

§5. Обобщение на случай произвольного количества вязкоупругих элементов и произвольных типов их закрепления.

Повышение надежности и увеличение сроков эксплуатации конструкций, взаимодействующих с потоком жидкости или газа, является важной народнохозяйственной проблемой. Необходимость решения такой проблемы возникает, в частности, в авиаракетостроении, турбо-компрессоростроении, приборостроении, при проектировании антенных установок, датчиков давления, камер сгорания, реакторов, гидротехнических и высоких наземных сооружений, мостовых конструкций, трубопроводных систем и т.д.

Воздействие потока на деформируемые части конструкций может приводить к возникновению неустойчивых колебаний и, тем самым, к их разрушению (рис. 1). В связи с этим, при проектировании конструкций, обтекаемых потоком жидкости или газа, важное значение имеет исследование устойчивости и определение параметров, обеспечивающих целостность конструкций и, тем самым, их успешное функционирование.

Рис. 1. Подвесной мост Такома Нэрроуз [115]. Разрушился из-за аэроупругих колебаний через 4 месяца после ввода в эксплуатацию

Задача об исследовании динамической устойчивости может быть сформулирована так: при каких значениях параметров, характеризующих систему «газ-тело» (к основным параметрам относятся, в частности, скорость потока и приложенные усилия, действующие в связи с конструктивными особенностями) малым деформациям тела в начальный момент времени будут соответствовать малые деформации в любой момент времени Данный вопрос является существенным для многих прикладных задач, описываемых дифференциальными уравнениями, так как часто важно знать не столько конкретные значения решения этих уравнений, сколько характер поведения решения при изменении времени, в частности, при его неограниченном возрастании. В то же время для функционирования некоторых технологических устройств (например, вибрационных устройств, используемых для интенсификации технологических процессов) явление возбуждения колебаний при аэрогидродинамическом воздействии, указанное выше как негативное, является необходимым.

Таким образом, проектирование различных конструкций, обтекаемых потоком газа (жидкости), приводит к решению задач, связанных с определением характеристик конструкций, позволяющих обеспечить надежность их эксплуатации и выполнение ими функциональных задач.

Под воздействием потока тонкостенные элементы могут изменять форму, что, в свою очередь, приводит к изменению поля скоростей и давлений жидкости (газа) около тела. Поэтому в теории аэрогидроупругости существенным является учет взаимного влияния деформаций тела и полей скоростей и давлений потока. В связи с этим, в задачах аэрогидроупругости используются методы механики деформируемого тела - с одной стороны, и методы аэрогидромеханики - с другой.

Теория аэрогидроупругости в настоящее время представляет собой хорошо развитый раздел механики сплошной среды.

Большие успехи достигнуты в исследовании динамики и статики несущих поверхностей. Результаты этих исследований нашли применение в авиастроении и турбо-компрессоростроении. Данной теме посвящены работы Белоцер-ковского С.М. [8-11], Гроссмана Е.П. [86], Кочеткова Ю.А. [8], Красовского A.A. [8], Келдыша М.В. [86], Марина Н.И. [86], Новицкого В.В. [8], Самойло-вичаГ.С., Смирнова А.И. [111, 112], Степанова Г.Ю. [113], Фершинга Г. [117], Фына Я.Ц.[120] и др. Существенным здесь является предположение о малой относительной толщине профиля, что позволяет применять линейную теорию течения.

При исследовании поведения упругих тел в потоке возникают более слож ные, в смысле движения и взаимодействия, модели, что обусловлено более сложной формой деформирования тел. В этих задачах предполагается малая толщина стенок, и при сопряжении решений для двух сред контактная поверхность отождествляется со срединной поверхностью. Это допущение вместе с предположением о малых возмущениях течения позволяет использовать линейную теорию движения жидкости (газа). Результаты, полученные в этом направлении, представлены в работах Алгазина С.Д., Амбарцумяна С.А., Антонова В.Н. [119], Багдасаряна Г.Е., Белубекяна М.В., Бисплингхоффа P.JI. [12], Болотина В.В. [14, 121, 125, 135], Буйвола В.Н. [15], Вольмира A.C. [35-37], Гонтке-вича B.C.[41], Григолюка Э.И. [44-46], Губановой И.И. [104], Доуелла Е.Х. [128-131], Ильгамова М.А. [49, 77-79], Ильюшина A.A. [80, 81], Кийко И.А. [80], Лампера Э.И., Дж. Майлса [95], Мовчана А.А.[97, 98], Новичкова Ю.Н., Пановко Ю.Н. [104, 105], Фершинга Г. [117], Фролова К.В. [119], Фына Я.Ц. [120], Халфмана P.JI. [12], Шандарова Л.Г., Швейко Ю.Ю., Эшли X. [12] и др.

Задачи взаимодействия деформируемых тел с жидкостью рассматривались также в работах С.В.Челомея [121], В.И.Феодосьева, В.А.Светлицкого, К.П.Андрейченко, Л.И.Могилевича [99, 100], Ю.Э.Сеницкого [110].

Поведение конструкций при набегании волн давления исследовалось в работах Бабаева А.Э. [48], Вестяка A.B. [34], Галиева Ш.У. [38, 39], Горшкова А.Г. [34, 42, 45, 46], Григолюка Э.И. [43-46], Гузя А.Н. [47, 48], Кармишина A.B. [84], Кубенко В.Д. [47,48, 92], Мнева Е.И. [96], Перцева А.К. [96], Скурла-това Э.Д. [84], Старцева В.Г. [84], Тарлаковского Д.В. [34], Фельдштейна В.А. [84] и др.

Отметим также работы, посвященные задачам аэрогидроупругости [82, 101, 122] и вопросам расчёта, устойчивости и оптимизации деформируемых тел [2,5,6,88, 121].

Существенное влияние на прочностные характеристики деформируемых тел оказывает старение материала (изменение с течением времени механических свойств). Хорошо разработана модель стареющего вязкоупругого тела, согласно которой напряжение в любой точке тела зависит от предыстории деформирования материала в данной точке, а связь между напряжением и деформацией подчиняется уравнению Вольтерра-Фойхта. Фундаментальные результаты в теории вяузкоупругости и устойчивости вязкоупругих тел изложены в работах Александрова A.B. [1], Арутюняна Н.Х. [3, 4], Дроздова А.Д. [3, 19], Ильюшина A.A. [80, 81], Качанова JI.M. [85], Клюшникова В.Д. [87], Колмановско-го В.Б. [4, 19, 26], Колтунова М.А. [90], Кравчука A.C., Майбороды В.П., Паль-мова В.А. [103], Победри Д.Б., Постникова B.C., Потапова В.Д. [1], Работнова Ю.Н. [106-108], Ржаницина А.Р., Уржумцева Ю.С. и др.

Исследования по устойчивости деформируемых тел при аэрогидродинамическом воздействии проводятся в течение двух десятилетий в Ульяновском техническом университете на кафедре "Высшая математика". Среди опубликованных членами кафедры работ отметим работы Вельмисова П.А., Решетникова Ю.А., Маценко П.К. и др. [16-33, 139, 147, 148].

Отличительной особенностью рассматриваемых в диссертации задач является учет вязкоупругих свойств (старения) тел, что приводит к появлению в дифференциальных уравнениях движения тел дополнительных интегральных членов. Кроме того, в задачах аэрогидроупругости невозможно определить силовое воздействие потока на обтекаемое тело до решения задачи об определении деформации тела. Математически это выражается в том, что совместное движение тела и жидкости (газа) описывается связанной системой дифференциальных уравнений для функций деформаций и аэрогидродинамических функций. Все это увеличивает сложность решения соответствующих задач, не позволяет использовать стандартные для расчета деформаций упругих элементов методы и требует разработки специальных методов решения.

Выше сказанное позволяет утверждать об актуальности исследований, проведенных в диссертации.

Целью диссертационной работы является создание на основе математического моделирования математических методов исследования динамики и устойчивости некоторых деформируемых тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии.

Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

1. Построение и усовершенствование математических моделей в задачах о динамике вязкоупругих элементов, обтекаемых дозвуковым потоком жидкости (газа), таких классов тонкостенных конструкций, как тонкие профили и защитные экраны.

2. Разработка методик решения обратных краевых задач аэрогидромеханики, позволяющих свести решение соответствующих задач аэрогидроупругости к исследованию уравнений для деформаций элементов.

3. Разработка аналитических и численных методов решения начально-краевых задач для этих уравнений и исследование на их основе динамики и устойчивости вязкоупругих элементов конструкций.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений.

Заключение

1. Построены новые и усовершенствованы некоторые известные математические модели в задачах дозвукового обтекания вязкоупругих элементов тонких профилей (в том числе крыловых), защитных экранов, подвесных и плавучих мостов. Во всех моделях количество вязкоупругих элементов и места их расположения произвольные.

В разработанных моделях учитывается широкий спектр механических свойств объектов и характер их взаимодействия. Производится одновременный учет старения (вязкоупругости) материала деформируемых элементов, воздействия потока жидкости (газа) и вязкоупругого основания, а также влияния сжимающих (растягивающих) продольных усилий.

2. Разработана методика для решения класса плоских задач аэрогидромеханики с граничными условиями, содержащими неизвестные функции прогибов деформируемых элементов, позволяющая исключить аэрогидродинамические функции и свести решение связанных задач аэрогидроупругости к исследованию уравнений для деформаций.

3. Создан новый численный метод, на основе которого в каждой из задач проведено численное моделирование на ЭВМ динамики деформируемых элементов и в плоскости (v,P) построены области устойчивости. Выведены условия непрерывной зависимости решения от начальных условий и параметров задач. Численно исследована сходимость галёркинских приближений. ь

Проведён сравнительный анализ полученных численных решений с точными частными решениями и с численными решениями, полученными с помощью математического пакета Maple.

4. Разработан новый аналитический способ исследования асимптотической устойчивости вязкоупругих элементов конструкций, на основе которого в каждой задаче в плоскости (v,P) построены области динамической устойчивости и получены оценки первых приближений. Проведено сравнение полученных аналитических результатов с результатами численного эксперимента.