автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.10, диссертация на тему:Моделирование социально-экономических процессов на основе мультифрактальной динамики



УДК 51-77, 330-4 На правах рукописи 4ВОI«.»«

Цветков Илья Викторович

МОДЕЛИРОВАНИЕ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНОЙ ДИНАМИКИ

Специальность

05.13.10 Управление в социальных и экономических системах

1 з ОКТ 2011

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Тверь 2011

4857276

Работа выполнена в Тверском государственном университете

Научный консультант: заслуженный деятель науки РФ доктор физико-математических наук профессор А.Н. Кудинов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор

Севастьянов Леонид Антонович

доктор технических наук профессор

Чохонелидзе Александр Николаевич

доктор физико-математических наук профессор

Щетинин Евгений Юрьевич

Ведущая организация:

Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН.

Зашита состоится 28 октября 2011г. в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 212.263.04 в Тверском государственном университете по адресу: 170002, г. Тверь, Садовый пер., 35, ауд.200.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета по адресу: 170000, Тверь, ул.Володарского, 44а.

Отзывы на автореферат, подписанные и заверенные печатью, просим направлять по адресу: 170002, г. Тверь, Садовый пер., 35, диссертационный совет Д 212.263.04, ученому секретарю.

Автореферат разослан «26» сентября 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.263.04 доктор физико-математических наук доцент

С.М.Дудаков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Критические явления в социально-экономических системах представляют большой интерес, поскольку они обусловлены их структурой и особенностями динамики основных параметров таких систем'. Изучение этих явлений позволяет выявлять их природу и понять наиболее важные элементы структуры процессов, протекающих в социально-экономических системах. В критических областях значений основных параметров характерны существенно нелинейные зависимости основных характеристик систем от этих параметров.

Важным элементом, определяющим принятие решений в управлении процессами в социально-экономических системах, является наличие достоверного прогноза их эволюции. Это возможно только при создании математических моделей адекватно отражающих природу этих систем. Новая методология долгосрочного циклического прогнозирования динамики развития мировой системы и России изложена А.А.Акаевым и В.А.Садовничим1.

В последние годы в мире наблюдается новый подъем активности в области геополитического и социально-экономического прогнозирования будущего1. Наряду с глобальными экологическими и энергетическими вызовами это связано с существенным обострением продовольственной проблемы, вызванной значительным ростом численности населения Земли. На сегодняшний день социально-экономическое прогнозирование ведется в различных временных диапазонах - от краткосрочных (до одного года), среднесрочных (от одного до пяти лет) до долгосрочных (от пяти до 30-50 лет)'.

На сегодняшний день изучение процессов на рынке углеводородов в целом и самого важного - нефти, представляет сложную и важную задачу для моделирования, предсказания его поведения и регулирования (А.Н. Кудинов, И.В.Цветков и др. 2009, 2010, 2011)2. Несомненна существенная важность стабильности высокой цены на нефтяном рынке для нашей страны.

Отдельного исследования требует и такое непростое явление как "нефтяной пузырь" - достаточно медленный, но постоянный подъем цен, связанный с массовым притоком спекулятивного капитала на нефтяной рынок.

Новые уникальные возможности для анализа динамики валютного курса, одного из основных факторов, определяющих развитие экономики России, дает использование математической теории катастроф совместно с фрактальными подходами (А.Н.Кудинов, И.В.Цветков 2009 и др.)3. Построение же математических моделей, адекватно отражающих динамику кризисных социально-экономических процессов является крайне актуальной задачей (И.В.Цветков 2010).

1

A.A. Акаев, В.А.Садовничий. О новой методологии долгосрочного циклического прогнозирования динамики развития мировой системы и России.// Прогноз и моделирование кризисов и мировой динамики / Отв.ред. А.А.Акаев, А.В.Коротаев, Г.Г.Малинецкий. - М.: Издательство ЛКИ, 2010. -с 5 - 69.

2

Кудинов А.Н., Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И.В. Фрактальная модель динамики цен на нефть в период 2008 -начало 2009 г. и прогноз цен на нефть на ее основе.// Финансы и кредит, №28 (364) 2009, с. 12-15. Кудинов А.Н., Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И В. Анализ цен на нефть в 2009 г. и первой половине 2010 г. и их прогноз на конец 2010 г. в рамках фрактальной модели// Финансы и кредит 38(422) - 2010. С.21-26 Кудинов А.Н., Цветков В.П., Цветков И.В., Сажина О.И Фрактальный анализ динамики цен на нефть// Программные продукты и системы. 2010. № 1.С. 10-11.

Цветков И.В. Самоподобие цен на нефть и фрактальные методы их прогноза.// Финансы и кредит. 21(453) - 2011. С SS-SS.

Кудинов А.Н., Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И.В. Фрактальная модель динамики цен на нефть в период 2008 -начало 2009 г. и прогноз цен на нефть на ее основе.// Финансы и кредит, №28 (364) 2009, с. 12-15.

Существующие к настоящему времени методы и подходы, такие как модель фрактального броуновского движения (Б.Мандельброт, Дж.В.Ван Несс4), экстраполяционный метод прогнозирования (A.A. Дынкин 20075, В. Г. Клипов 2008)6, методы экспертных оценок (Н. В. Гапоненко 2008)7, интегральное макропрогнозирование (Ю. В. Яковец 2008)х метод написания сценариев. (Б. Н. Кузык, Ю. В. Яковец 2005)", методы математического моделирования (Аналитические отчеты PricewaterhouseCoopers 200610, I. Wilson, R.Purushothaman 2003 , JI. Столерю 1974й), не в состоянии адекватно и с достаточной степенью точности описывать вышеперечисленные явления и процессы в социально-экономических системах1. В связи с этим возникает вопрос о необходимости построения принципиально новых подходов и методов, позволяющих описывать процессы, динамика которых представляется муль-тифрактальными кривыми. Несомненно, важным аспектом таких моделей является вопрос о методах управления конкретными мультифрактальными процессами. Как показано (А.Н.Кудинов, И.В.Цветков и др. 2009, 2010)13 14 это решается в рамках математической модели - мультифрактальная динамика.

Мультифрактальная динамика - новая методика построения математических моделей, развитие и приложение к конкретным процессам которой и посвящена данная диссертация.

В рамках данной диссертации на основе мультифрактальной динамики будут подробно исследованы характер процессов и их регулирование в конкретных случаях, таких как:

1 .Динамика нефтяных цен.

2. Динамика валютных рынков.

3.Динамика народонаселения.

4.Динамика региональных сельскохозяйственных показателей (на примере Тверской области).

Предлагаемый нами подход позволяет изучать динамику социально-экономических процессов без всевозможных допущений и предположений о структуре этих систем.

Важной особенностью построенной математической модели является то, что часть ее параметров являются управляющими. Изменяя их значения, можно на основании свойств модели делать предсказания поведения системы в дальнейшем и вырабатывать рекомендации по предотвращению критических явлений и достижению системой оптимальных характеристик. Так, при изменении управляющих параметров наша модель показывает переход из некризисной области в область катастроф и обратно.

Цели диссертационной работы.

Целью работы является создание принципиально нового метода исследования и управления процессами в социально-экономических системах - метода мультифрактальной динамики. Мультифрактальная динамика позволяет описывать линейный тревд процессов с достаточной степенью точности. Центральным вопросом развиваемого подхода является теория, методы прогноза и управления данными процессами. Также целью диссертационной

s Mandelbrot. В. В. & Van Ness. У W. Fractional Brounian motions, fractional noises and applications. S1AM Review. 1968. 10. 422 ^ Дынкин А. А. (Ред.). Мировая экономика; прогноз до 2020г. М.: Магистр. 2007

Клинов В. г.. Мировая экономика: прогноз до 2050 г. Вопросы экономики 5. 2008. с. 62-79

Гапоненко Н. В. Форсайт. Теория. Методология. Опыт. М.: ЮНИТИ - ДАНА. 2008. ^ Яковец Ю. В. Прогноз технологического развития мира н России и стратегия инновационного прорыва М ■ МИСК 2008 Ks-ам Б. Н, Яковец Ю. В. 2005. Россия - 2050: стратегия инновационного прорыва. М.: Экономика

Официальный сайт PriceuaterhouseCoopers//URL; http u m* с com (Дата обращения 21 05 2009) '' Wilson I., Purushothaman R. Dreaming with BRICs: Hie Part to 2050. Goldman Sachs Global Economics Paper 99. 2003. ц Столерю Л. Равновесие и экономический рост (принципы макроэкономического анализа). М.: Статистика 1974

Цветков ИВ. Теория катастроф и фрактальная модель кризисных социально-экономических процессов// Вестник Тверского государственного университета. Серия: Прикладная мгтемэтика.№12, 2010.

Г^ГТ" Цвет"' ИВ' ВалюТкыв КР"Ж и бифуркационные явления в рамках фрактальной модели// Финансы и

кредит. оЫпуск 3з(326), 2009

работы является исследование динамики параметров системы с учетом возможности катастрофических явлений и бифуркаций, что позволяет использовать ее для описания кризисных процессов н управления ими.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы математического моделирования, теории фракталов, фрактального и мультифрактального анализа, мультифрактальной динамики, методы теории катастроф, регуляризованый метод Ньютона, методы символьно-численного программирования в среде MAPLE.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Вывод и исследование основного уравнения для скорости линейного тренда мультифрактальной динамики, исследование катастроф и управление катастрофами в мультифрактальной динамике.

2. Доказательство эффективности использования фрактальной размерности временных рядов как "флага" катастроф для природных и социально-экономических процессов на конкретных примерах и принцип минимума фрактальной определяющей функции У(0), определяющий направленность экономических процессов, описываемых мультифрактальными кривыми и схема классификации динамик социально-экономических процессов по значению фрактальной размерности параметров динамики систем и прогноза.

3. Фрактальный анализ валютных временных рядов и построение нелинейной фрактальной математической модели валютного кризиса 1998 года, доказательство бифуркационной природы валютного кризиса 1998 года в рамках фрактальной модели и наличие катастрофы типа Азь в динамике пары евро-доллар в рамках фрактальной модели, проведение анализа цен на нефть в математической модели мультифрактальной динамики и их прогноз.

4. Проведение анализа цен на нефть в математической модели мультифрактальной динамики и их прогноз, выработка конкретных методов управления нефтяными ценами в рамках модели мультифрактальной динамики.

5. Моделирование роста народонаселения и его прогноз на основе модели мультифрактальной динамики.

Достоверность результатов исследования основана:

- на строгом математическом обосновании концепции мультифрактальной динамики для описания социально-экономических процессов;

- на корректности теоретической постановки решаемых задач, адекватно описывающих исследуемые процессы и объекты;

- на строгом математическом выводе основного уравнения мультифрактальной динамики;

- на хорошем согласии предсказаний нефтяных цен в конце 2009 г. и 2010 гг. с фактическими данными.

- в строгом доказательстве эффективности использования фрактальной размерности временных рядов как "флага" катастроф для природных и социально-экономических процессов;

- на соответствии результатов расчета и опытных данных по эффекту нефтяного "пузыря" 2008 года.

Научиая новизна результатов диссертации состоит:

1. В создании и развитии принципиально новой математической модели социально-

экономических процессов, позволяющей описывать поведение линейного тренда с достаточной степенью точности, с1 предложении новых концепций фрактальной кривой, как

толстой линии шириной в О - мерном пространстве и фрактальной шкалы "температур" мультифрактальных процессов, в доказательстве эффективности использования

фрактальной размерности временных рядов как "флага" катастроф для природных и социально-экономических процессов.

2. В предложении нового принципа минимума фрактальной определяющей функции У(0), определяющего направленность экономических процессов, описываемых мультифрак-тальными кривыми.

3. В предложенной новой схеме классификации динамик социально-экономических процессов по значению фрактальной размерности параметров динамики систем и прогноза.

4. В построении нелинейной модели валютного кризиса 1998 года, учитывающей его муль-тифрактальную природу, и доказательстве бифуркационной природы валютного кризиса 1998 года в рамках фрактальной модели и катастрофы типа Азь в динамике пары евродоллар.

5. В построении проблемно-ориентированных мультифрактальных моделей для динамики следующих социально-экономических показателей: валютных курсов, цен на нефть, динамики народонаселения.

Полученные в диссертации теоретические положения в целом вносят вклад в создание математических моделей социально-экономических процессов на основе модели мультиф-рактальной динамики. Центральным моментом развиваемого подхода является теория, методы прогноза и управления данными процессами. Важнейшей особенностью создаваемой модели является наличие в ней учета катастроф, что позволяет использовать ее для описания кризисных процессов и управления ими.

Практическая значимость

Разработанные в диссертации математические модели и методы, а также вычислительные алгоритмы и программы могут быть использованы для решения следующих задач:

1. Оценка динамики валютных курсов и построение нелинейной фрактальной математической модели валютных кризисов с целью их предсказания, прогноз валютных кризисов на основе математической теории катастроф в рамках модели мультифрактальной динамики.

2. Использование фрактальной размерности временных рядов как "флага" катастроф для конкретных природных и социально-экономических процессов.

3. Анализ цен на нефть в математической модели мультифрактальной динамики и их прогноз, оценка возможности возникновения эффекта нефтяного "Пузыря" в динамике нефтяных цен, использование конкретных методов управления нефтяными ценами в рамках модели мультифрактальной динамики.

4. Прогноз динамики роста народонаселения в рамках модели мультифрактальной динамики.

5. Оценка возможности влияния на лесные пожары и наводнения на территории Тверского региона на основе определения фрактальной размерности лесных массивов.

Результаты диссертации используются при чтении лекций и проведении занятий со студентами по следующим курсам: «Математические методы в экономике», «Маркетинговые исследования в Интернет», «Прикладная статистика».

Апробация работы

Основные теоретические положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах Лаборатории математического моделирования Тверско-:

6

го государственного университета под руководством проф. А.Н.Кудинова (2006-2011 гг.), на семинарах преподавателей College of Business Administration Кентского государственного университета. США, шт. Огайо, 2003 г., на семинарах Лаборатории информационных технологий, ОИЯИ, 2006 - 2011 гг., Всероссийской конференции «Физические проблемы экологии», Москва, 1997, на международной конференции «Математические модели нелинейных возбуждении, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах», Тверь, 1998г., I конференции-семинара молодых ученых «Моделирование сложных систем», Тверь, 1999, Всероссийской конференции «Новые информационные ресурсы и технологии в исторических исследованиях и образовании», Москва, 2000г., Всероссийской научной конференции «Избирательные технологии в России и Европе», Тверь 2000, международных конференциях «Modern Trends in Computational Physics» (1998 и 2008 гг.), международной конференции «История и компьютер» Москва, 2001г., «V International Congress On Mathematical Modeling» (Дубна) 2002 г, на XXV юбилейной международной научной школы-семинара имени академика С. Шаталина, Воронеж, 2002, на международных междисциплинарных научной конференциях IV, VI и VII «Курдюмовские чтения: Синергетика в естественных науках», Тверь, 2008, 2010, 2011 гг., на международной конференции «Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем», Москва 2008г., на Всероссийской конференции «Сопряженные задачи механики реагирующих сред, информатики и экологии», Томск, 2009, на Всероссийской конференции «Организационно-экономические и социальные проблемы села», ТвГУ, Тверь. 2010, на Десятой международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности», Санкт-Петербург, 2010г.

Исследования по теме диссертации получили финансовую поддержку РФФИ: грант «Математическое моделирование развития региональных социально-экономических систем на основе фрактального подхода» №10-01-97508-р_центр_а и грант 11-01-00565-а 2011-2013 гг. «Математическое моделирование состояний и катастроф нелинейных динамических систем», Министерства образования и науки РФ: Аналитическая ведомственная целевая программа «Развитие научного потенциала высшей школы» № 2.1.1/3314 на 2009-2010 гг. и № 2.1.1/9240 на 2011 год, тема «Исследование и построение модели критических явлений физико-механических систем и динамических процессов.» № Гос. регистрации 01201056465 от 27.05.2010.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 79 работах, в числе которых 15 публикаций в журналах, рекомендованных ВАК, 19 - в трудах Всероссийских и Международных конференций, 39 - в научных журналах и сборниках.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 239 страниц. Диссертация содержит 35 рисунков, 12 таблиц, список литературы из 176 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, описаны цели и задачи, поставленные в диссертации.

В Главе 1 приведены элементарные сведения о фракталах и обосновывается, что фракталы являются вполне подходящим средством для моделирования социальных, экономических и природных объектов. Наиболее характерным свойством фракталов является

Г™Т -пред— , терминах фртаь„ов Гл,„Л„,„ ттр.

яет:zzzîâ" в - »„^ï™

где S - безразмерный масштабный коэффициент. _ Наиболее Распространенным методом измерения фрактальной размерности является

ПЮ ~И МеТ0Д' И3 Ф°РМУЛЫ (1) СледУет полная идентичность ^еточноТме" предложенного нами метода, основанного на измеринии длины фрактальной кпияой „

ZZZ^TP- *°тТ0Чт ВЫПИСЭТЬ S ~ й кГо,

môN-V I™" П0КрЬШаЮЩИХ ФР™ную кривую клеток Л' от размеров

клетки д, N- VODfr (fg®-объем, занимаемый данной кривой в D - мерном пространстве)"

сти фр~ИЬ[°хС!!п™ГРаб0ТаНа аВТ0РСКаЯ МСТ0ЯШ;а °№ения фрактальной размерно-

HoîoLTr ' 0СН0ВаИНа'На ЮМереНИИ ИХ даш в Различных масштабах. Она состоит из новой схемы усреднения (более мягкой) опытных данных и нормирования norw

ченнои фрактальной размерности по результатам для сгохастического врГ Гно ГГда ^ ходя из того, что фрактальная размерность для стохастического временного ряда сосгаляет D-1.5 только для гауссовского броуновского движения. составляет

"аСТ0ЯШее вРемя бурно растущим направлением экономической науки является

этой пяГМИКа ~ Иаука'.прнме"яющая "Р™», термодинамики к экономике™ В русле этой парадигмы в первой главе предлагается для качественного анализа всевозшжных процессов, описываемых мультифрактальными кривыми ввести фТ1™ Г

температур (ФШТ). Фрактальная температура Г" вводится по формуле" У

(2)

где а и « -параметры, подбираемые для каждого процесса из соображений удобства

В Главе 1 кратко излагается элементарная теория катастроф Рене Томя ™топя„ важна для последующего изложения. гене юма, которая

В теории катастроф анализируются критические точки (репетиции) потенциальной функции V, то есть точки, где не только первая производная функции равна нулю JiL = 0,

дХ,

НО и равны нулю производные более высокого порядка. Динамика таких точек может быть изучена при помощи разложения потенциальной функции в рядах Тейлора посредством ма лых изменений входных параметров. Подробно нами рассмотрены пГе„ци«Ту„2и

кГГпапГГ ПереМеШЫМИ состояния> ">прош о классификации катастроф по кам, сепаратрисах и управляющих параметрах катастроф.

Катастрофами, как правило, называют скачкообразные изменения возникающие и виде внезапного ответа системы на плавное изменение"внешних условий"™ом

Г"~РОТ Б ФРаКТаЛЬШ* Ге0МеТР1М ПРИР0ДЫ- М-; теркмх исследований,2002,—656с

ofRussiainthe

А. N. Kudmov, V. P. Tsvetkov, and I. V. Tsvetkov. Catastrophes h. the Multi-Fractal Dynamics of Social-Economic Systems. Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. IS, No. 2. 2011. pp. 149-155 Арнольд В.И, Теория катастроф. 3-е изд. доп. М. Наука 1990. -128с.

теории катастроф является изучение зависимости качественной природы решений уравнений относительно переменных состояния X, и управляющих параметров С„.

В дальнейшем нас будет интересовать случай одной перемнной 1-1 и А'/=А'. Тог да V для этого случая можно записать как:

4 2

В случае катастрофы Аъ (а = О, Ь = 0) нами предложен другой, намного более простой, чем стандартный, метод исследования катастрофы сборки А3 Уравнение, определяющее положение критических точек катастрофы А3 имеет вид:

X3 + аХ + Ь = 0 (а и Ь- управляющие параметры) (4)

1

Заменой переменных X = ЬгЕ, и д = _£. (4) приводится к виду:

Й'

Вместо управляющих параметров {а, Ь) мы будем иметь новые управляющие параметры (X, Ъ). Причем зависимость X от Ъ сводится лишь к изменению масштаба Х=Ь При переходе к переменным с- X - Ь, X становится существенно определяющим характер зависимости £ от X.

Уравнение (5) задает уже одномерное многообразие на плоскости с координатными осями ¡-X. График функции ¡(X) дан на Рис. 1.

Рис. I. График с,(1).

В работе предложен новый способ исследования катастроф А3, предложенный автором. Сведем двумерную задачу к одномерной; ( зависит от X, а х от а и Ь.

Точка бифуркации ; _ д -з — является сепаратрисой, определяющей области су-6 V 4

шествования одного и трех вещественных корней уравнений (4), (5).

При X < Хь мы имеем один вещественный корень, а при X > Хь - три вещественных

корня. Уравнение сепаратрисы X = Хь легко можно привести к виду^^ +(~] = ^ Анали" тический вид корней уравнения приводится в диссертации в параграфе (2.2)

" Гилмор Р. Прикладная теория катастроф, той 1,2 Издательство: Мир, 1984 г.

9

В точке бифуркации Хь корни уравнения соответственно равны- г _ 2 , _ 1 ^отношении (6™ЧКе ПереМ£'ШаЯ С0СТ0ЯШ,Я 'Гможет "читывать скачек, как это показано в

з|^;Я,=0 (6)

приЬФО РиС' ' СЛеЛУеТ' ЧТ° Кри™ческая точка Я< = 0и ™чка бифуркации 4 не совпадают

В Главе 2 для описания социально-экономических процессов строится модель муль-тифрактальнои динамики. Моделирование кризисных явлений в экономике, в частности финансовых процессов помогает глубже понять природу этих явлений, а также делать соответствующие прогнозы. Ценность таких прогнозов очевидна.

Наиболее важные моменты нашего подхода состоят в следующем: Определение: Пусть у(0 мультифрактальная кривая, описывающая динамику интересующей нас величины и имеющей на интервалах времени Т, (Ы, 2, З...п) определенное значение фрактальной размерности Д.

Тогда если скорость Х1 линейного тренда у/1), аппроксимирующего эту функцию на интервалеТ, с нужной нам степенью точности, зависит только от О,, то данный вид Оинамики мы будем называть мультифрактальной.

Для этого случая мы предлагаем следующий подход: Динамику мультифрактально-го процесса на интервале Т, Па,<«!„,.„ Т^гк„) используя понятие линейного тренда можно разделить на две составляющие:

(7)

где - у/с) - линейный тренд процесса, который во времени меняется; у/и - быстрые осцилляции относительно тренда. Предполагается, что ¡ум» 1Ш и кривая.^, является мультифрактальнои. Линия тренда у,«) имеет фрактальную размерность равную единице а у,(0 - фрактальной размерности Д.

Мерой погрешности нашей модели будет величина А~тах\ у,(1) | на рассматриваемом интервале изменений Д. На всем интервале наблюдения общее значение погрешности а-тахй,, ...п. В дальнейшем индекс I будет нами опускаться.

Одной из задач данной диссертации является построение такой модели, в которой функции у([) и у(1) связаны между собой. В предлагаемой нами модели фрактальной динами-ш тангенс угла наклона X линейного тренда у(1) является функцией фрактальной размерности ц то есть А — л(и).

Тогда соотношение (7), для случая использования линейного тренда, можно записать в виде г

у(С)=Хф)-(1-!0) +у(!) (8)

Важной особенностью нашего подхода является то, что часть параметров модели являются управляющими параметрами. Изменяя их значения можно на основании свойств модели делать предсказания поведения системы в дальнейшем и вырабатывать рекомендации по предотвращению критических явлений и достижению системой оптимальных характеристик Так при изменении управляющих параметров наша модель дает переход из некризис-нои области в область катастроф и наоборот.

Одной из основных задач данной главы является решение вопроса о выборе уравнения, описывающего кризисные процессы и определяющего Хф). Одним из ключевых мо-

ментов нашего исследования является аналитическое решение этого уравнения и исследование данного решения.

Введем параметр //, описывающий эффективное влияние внешних факторов на динамику социально экономической системы. Будем считать \Х(0)\<<1 и << 1, что соответствует достаточно медленному, квазистационарному характеру динамики.

Естественно предположить, что между параметрами Л", ¿> и г/ имеет место функциональная связь вида:

Ф • (X, О) (9)

От функции Ф потребуем непрерывности по X и Д и дифференцируемости по X до третьего порядка включительно. Соображения симметрии при замене X —> - X и у —» - ^ дают:

Ф-(-Х,й)=-Ф-(Х,0) (10)

Используя формулу Тейлора мы имеем:

Аф)Х + В(Э)Х* = ц (12)

На основе работы Тома2", легко показать, что нелинейной, гладкой заменой переменных X = /(х) (11) точно сводится к уравнению (12) при условии, что Ф является бесконечно дифференцируемой функцией по X.

В (12) коэффициент В(й) существенен в области \Аф)\«1. Точки в которых А/О) = О назовем критическими и обозначим Бк. Тогда в (11) можно сделать замену В (О) = Вф,ь) = В и уравнение (12) упрощается:

А(0)Х + ВкХ* = Ч (13)

Уравнение (13) можно назвать основным уравнением мультифрактальной динамики. Величины Вк и ^ в течении рассматриваемого промежутка времени будем считать постоянными. Динамика процессов будет в данной модели определяться аналитической зависимостью коэффициента А от фрактальной размерности О. Значения £> удовлетворяют условию 1 < О <2. Разобьем этот интервал на два I < О < О0 и й0<О<2.

Перейдем к более подробному исследованию решений уравнения (13). Коэффициенты уравнения (13) имеют следующую интерпретацию: коэффициент 7 описывает эффективную силу, действующую на социально-экономическую систему, А(V) - коэффициент упругости социально-экономической системы, Х(й) - реакция системы на внешнее воздействие и имеющая в нашем случае смысл скорости, с которой протекают социально-экономические процессы.

Мы предлагаем следующее аналитическое представление Л(О) =(О0-О)-' (О<О0) А(й) = (В0 - й^Юо - О/'(О - /V (0п<0<2) (14)

Аналитический вид А(Ц) в (16) выбран таким образом, чтобы уравнение для Х(Г>) (15) описывало всевозможные социально-экономические процессы: как монотонные процессы без изменения знака Х(й), так и осцилляционные - с изменением знака ЛТД), так и кризисные (катастрофы), при которых имеют место скачки Х(О).

Величина фрактальной размерности в (11) й вычисляется, а параметры Оа Вк и выбираются из условия наилучшего согласия их с опытными данными при изучении конкретного процесса.

м Гилмор Р. Прикладная теория катастроф, том 1,2 Издательство: Мир, 1984 г.

Сделаем замену X = где Тогда (13) приводится к виду (5) где

I 2

Я= - А(й)/(В> -П3)- Причем корни уравнения (5) будут зависеть только от одного параметра Я. Зависимость корней уравнения (5) от параметра X, представлена на Рис. I если сделать замену £ на - £ м

Из РисА и формулы (6) видно, что точкой бифуркации является точка /27

К = = ' ПРИ значениях Я > л6 имеется вместо одного с, (л < л) три веществен-

ных корня С123. в точке бифуркации ль корни уравнения (6) соответственно равны

2 ..

М2

тывать скачек:

^ ~ \[2 ' ^ °ТСЮДа СЛедует' что в точке бифуркации параметр Сможет испы-

КЗК П0Ка3аН° В ДИССерТаЦИИ' ВПОЛНе можно наблюдать во время кризис-

В нашей модели имеет место сдвиг точки бифуркации Я, от критической точек 4 = О

иД6=з'27

/27 I—

VТ' ССЛН ПарЗМеТр них- соответственно, а(од) = -и а(в.) = О

Для использования зависимости 4(0) при описании конкретных процессов исследуем ее графически в случае выбора различных знаков коэффициента Вк

Пусть Вк > 0. Тогда график зависимости корней уравнения (5) от V имеет вид, представленный на Рис. 2а для значений Вк = 0,39,4 = 1 О0=1,4 Ок=1,7.

' !«ч

а- @*>0) Ъ. (Вк<0)

Рис 2. График зависимости корней уравнения (5) от й Если Я, < 0, то зависимость сФ) при Вк = - 0,39, г, = 1 й0=1,4 Ок=/, 7 при и » / изо-оражена на Рис. 26. Рис. 2а и 26 показывают применимость линейного приближения Хф) = Кф0 - В) в области 1<В<Во + 0,1. Вблизи значения Вк и Вь модель существенно нелиней-

Из Рис. 2а видно, что Оь ф. йк, т.е. точка бифуркации Д, лежит левее критической точки, если Вк> О и правее, если Вк < 0. Величина сдвига /10 = Д* - Д, сильно зависит от значения параметра ц и приближенно определяется соотношением21:

4 [27 1 г

* V 4 (15)

В нашем случае Я* = 0,39, // = /СГ2, = 0,02(5 и Вк = - 0,39, ЛД = - 0,026.

В Главе 3 рассмотрены катастрофы и управление катастрофами в модели мультиф-рактальной динамики

Согласно (3), (4), (13) фрактальная определяющая функция У(Х) мультифрактальной динамики имеет вид:

в.

К ' 4 2

"Ч 1 Вк

Тогда из условия экстремума У(Х) следует основное уравнение мультифрактальной динамики (13)

Управляющие параметры а и 6 соответственно будут равны

В, в■„

В (16) росток катастрофы СС(1) = 'АХ"1, и отсюда следует наличие в рассмотренной модели катастрофы типа А,. Причем, если параметр Ь просто зависим от параметра ц, то а будет достаточно сложной функцией параметров фрактальной модели Д0, Д<. Вк, Д.

Уравнение сепаратрисы при этом имеет вид:

? ( л(п\3

Г]=±

__(17)

"М В, )

Исключительная важность точки бифуркации Д, прежде всего связана с возможностью перехода системы в этой точке из одного состояния X) в другое Х2 3 скачком, при чрезвычайно малом изменении Д, или без него вблизи Оь. В данном случае имеют место все признаки катастрофы в точке бифуркации Оь и эту точку, соответственно, можно назвать точкой катастрофы.

Нами показано, что использование теории катастроф при исследовании фрактальных моделей кризисных явлений в социально-экономических системах позволяет более глубоко понять структуру этих моделей. Катастрофа типа А3 наблюдается вблизи критической Дь и А2 в точке бифуркации Д, фрактальной модели.

В 3 главе предлагается использование фрактальной размерности в качестве "флага" катастрофы.

В современной прикладной теории катастроф достаточно большое внимание уделяется т.н. "флагам" катастроф, то есть характерным видам изменений параметров системы в

21 Кудинов А.Н., Цветков В.П., Цветков ИВ. Валютный кризис и бифуркационные явления в рамках фрактальной модели// Финансы и кредит. Выпуск 38(326). 2009.

пред^итические моменты22. Очень часто, когда "вывешивается" один "флаг" катастрофы то ели б0Лее внимательно присмотреться к системе, то можно обнаружитьГдр^ надвигающегося кризиса. н- "ризнаки

Автор диссертации предложил для описания линии тренда временного пяла вблизи точки катастрофы использовать уравнение: «ременного ряда вблизи

яо-ио+^Ц^

(D-D*r (18)

mv к tb,<ítsre° ЗНаЧеШе ВеЛИЧИНЫ 33 ПерИОД' "Р^есгвующий прогнозируемому, Кг и р - коэффициенты модели, подбираемый из наилучшего соответствия опытным данным, t0 - период времени, предшествующий прогнозируемому, , - врем ГГорой д ла

ПР°ГН03- В Дальнейшем это уравнение было использовано рядом авторов Р ^ Очевидно формула (18) не применима при значениях Д очень близких к значению

"СГ™ хаРактсрного изменения фрактальной размерности временного ряда в качестве флага" катастрофы более подробно рассматривается в Главе 5 настоящей диссеп тации на примере анализа валютного кризиса 1998 года. настоящей диссер-

Основными управляющими параметрами предложенной нами модели описывающий кризисные процессы в социально-экономических явлений являются фГ™ая

"ГпГЦеССа ° И ПаРШеТр К0Т°РЫЙ описьмает эффективное влияни!" ™Ja^opoa" Скорость изменения линейного тренда А; согласно формуле (17) имеет вид Р

ляется kÍ ■ШИ КрИТИЧеСК0Г0 значекия эффективный управляющий параметр X представ-

X =-

Если ^ является медленно меняющейся функцией >,. то X представляет собой

быстропеременную функцию параметров ,/иОв области значений ,« 1. Этообстоятельст во можно использовать дая управления величиной X и, соответственно

лич„ых^~Г1И ДаНШГ°УТВерЖДеНИЯ' П0С^0ИМ граФикФ>—'прираз-

критиче^х точеГ/ТГ' ВЫДеЛе™0Й линией с К0Р°™™ пунктиром, лежит множество критических точек Хк~0, ана кривои, выделенной длинным пунктиром, лежит множество

точек бифуркации д _ ,/27

4 V 4

В Главе 4 на основе многих изученных нами социально-экономических процессов дана предложенная автором классификация динамик социально-экономический^ процес^в по значению фрактальной размерности в рамках модели мультифршегальной данамТи

imZ^o' яФратЛЫИЯ РЗЗМерН0СТЬ В1™ГО ^ «Ф-г» катастроф в сохшально-эконои,™ процк. Мелирование сложных систем. Тем. сб., вып.З. -Тверь: ТвГУ. 2000. С. 170 -175

Рис 3. Графики зависимости управляющего параметра X от параметров ц и й при различных значениях параметра Вк=+0.4 (а); Вк=-0.4 (Ь).

Предложенную классификацию процессов, описываемых мультифрактальными кривыми в зависимости от значения фрактальной размерности £> и знака коэффициента Вк процессы были разделены на четыре типа: I - монотонные, // - осцилляционные, III - катастрофы классические, IV— катастрофы бифуркационные (См. диссертация Таблица 3.1).

Подробно основные моменты развиваемого нами подхода в описании нами процессов в социально-экономических системах на Схеме 1, приведенной в диссертации.

Разработанная и предложенная в диссертации схема прогноза и управления динамикой мультифрактальных систем представлена в диссертации на Схеме 2. Приведем конкретную схему прогноза в рамках модели мультифрактальной динамики для процессов lv.ll типа, для которых применимо линейное приближение. Временную ось от начала времени наблюдения 10 до момента времени прогноза 1п представим на Рис.4. Время конца последнего линейного промежутка наблюдения за системой обозначим Гд,

' Г0 наблюдение ¡н прогноз < •-•-•->

Рис.4. Схема прогноза в рамках модели мультифрактальной динамики.

Значения Д, Т, на наблюдаемом интервале I < связаны между собой функционально, поскольку их значения определяются свойствами социально-экономических процессов, протекающих в изучаемой системе. Это математички может быть выражено следующим образом

Ц = <р,{Ц.Д 1 </<Л',А, < А'

Т., \<5<к,, 1 <(</V,/т2 <Ы (19)

Конкретный вид функций р,-. у/, определяется структурой социально-экономической системы. В случае, когда существуют о н т такие, что выполнены условия |Д — 2)] << I) , |Г, - Г| « т , то соотношения (1.2) могут быть представлены в линейном приближении следующим образом.

(20)

.5=1

Параметры /„, ¿¡, !, выбираются из наилучшего согласия с наблюдениями на интервале (< (. Если соотношение (1.3) (Глава 1 диссертации) продолжить в область прогноза I > (/!/, I > N, то мы получим значение О, и 7", в области прогноза. Используя их мы можем найти прогнозные значения у(1).

Пусть в промежутке времени гр - (ы последовательно укладывается т промежутков Ты N промежутков Т, , Тогда из (4.1) и (4.2) (Глава 4 диссертации) и Схты 4 3 ГГлаГаТдис-ссртации) при условии, что коэффициенты ц п Ов на прогнозном и наблюдаемом промежутке одни и те же, имеем следующую формулу для прогнозного значения:

У('р) = ЯУ + т-пфо - ГуТдг + п-пфо - +

+ Ч<О0-йг)(1р-тТы-пТы^)±А (21)

где Д. = Од,или [ в зависимости от того, на продолжение какого промежутка Ы- 1 или N попадает время прогноза г;„ аЛ определяется по промежутку наблюдения.

В Главе 5 на основании модели мультифрактальной динамики исследуются валютные курсы американского доллара по отношению к российскому рублю и евро по отношению к доллару.

доллара"™ РаЗМеРН0СТЬ ВРеМеНН°Г° ^

Значения фрактальных размерностей Д и коэффициентов линейного тренда на ин-ГгХЙ/. = 52 ДНЯ' ^ = 39 ^ = 55 ДНеЙ- = 37 даей "Риводатсянши

Максимальное уклонение от линейного тренда Д составило 0,072 рубля, что говорит о хорошем приближении валютного курса линейным трендом на каждом из пяти интервшюв Из данных, приведенных в таблице, следует, что рассматриваемый процесс принадлежит ко второму осцилляционному типу. В этом случае мы можем использовать линейнГприбГ

X? = 1](й0 - й) (22)

Используя (22) и метод наименьших квадратов, находим значение Д, = / 27 ц = -

0,21 руб./сут. Отрицательный знак параметра п означает, что усилия Российской финансовой

кГГГ^Т М0Ме"Т.ВрСМеНИ напРавлены на снижение курса американского доллара.

з^ГнаГГ ?ГТаЛЬН°Й РаЗМеР"0СТИ НИЖе' чем ''27- ™тся, а при превышении этого значения, соответственно растет.

Значения расчетных по линейному приближению коэффициентов X? и фактических значении X, приводится в Таблице 5.2. 1

Величина максимального уклонения от линейного тревда составила А = 21 коп./суткп. Из Таблицы 3 находим, что максимальная погрешность построенной фрактальной модели имеет место на третьем интервале и не превышает 16%. На остальных интервалах погрешность гораздо меньше и составляет в среднем 6%.

в авгусг?1°998 года"3""3 ДИНаМИКИ биРжевого •»""*« Доу-Джонса фрактальными методами

Исследования локальных трендов показали хорошую применимость фрактальной модели для описания динамики индекса Доу-Джонса.

®,ГГ ра3деле кратк° РассмотРен один® возможных подходов для описания валютных кризисов и в частности валютного кризиса 1998 года.

Рассмотрим более подробно поведение валютного курса и его локальные тренды непосредственно перед августовским кризисом 1998 года. Они приведены на Рис.5 Как видно из наших оценок, фрактальная размерность кривой курса доллара до мая 1998 года составила 1,38, затем с мая по август возросла до 1,65 и с сентября по декабрь упала до значения 1,56.

_ Эти факты указывают на существование предельной размерности А (в нашем случае ик - 1,7), при приближении к которому возникает неустойчивость валютного курса и происходит скачек его среднего значен™ за относительно малый срок времени (порядка двух не-

Г ;''еСК0ЛЬК0 Ра3- ТаКИМ 0бра30М' МОЖНО С ~ТОЧ„ой уверенностью говорить о возможности использования изменения фрактальной размерности, как "флага", катастрофы.

16

4 t, ч '<

06.1г. 1057 :s.oui58 ttmins ositt.we ;4.06.i?as ijoaioos oi.io.iws

/'wc 5 /ûpc американского доллара, его линейные тренды и его фрактальная размерность непосредственно перед кризисом 1998 года и после него.

Для случая валютного кризиса августа 1998 года значение коэффициента ij уравнения линейного приближения (20) было определено как 0,65 коп./сутки, притом, что временной масштаб был принят в днях, Do=l,40. А судить о приближении кризиса можно по фрактальной размерности, достигающей или превышающей критическое значение.

Далее в Главе S рассматривается нелинейная фрактальная модель валютного кризиса. В критических областях значений параметров характерны существенно нелинейные зависимости от этих параметров.

Валютный курс с определенной дая характерных отрезков фрактальной размерностью на временном отрезке непосредственно до, и в момент кризиса 1998 года представлен на Рис. 3.

Интерес представляют участки с (¡=25 апреля 1998 г., t2-l7 августа 1998 г., t3~l5 сентября 1998 года. Соответствующие значения Л)* равны А',' =0,002 руб./день, А'/ =0,801 руб./день, а значения фрактальных размерностей D,* = l,28, D^ = l,28. При этом мы учли эффект запаздывания реакции системы на изменение D вблизи кризиса, заменой D0-+Drl, D0 надо выбирать из условия D0<1,2, Dfc и К вычисляются из системы уравнений. При этом K=K(Da) и D=Dk(Da).

В рамках нашего подхода получена нелинейная система уравнений, которая приводится в диссертации, Глава 5, уравнения (5.13), (5.14), (5.15).

Для численного решения которой составлена программа в системе символьных вычислений MAPLE на основе регуляризованного метода Ньютона с параметром регуляризации а=НГ\

При изменении D„ в пределах 1,21 <D„< 1,24 значение коэффициента К изменяется очень слабо - 0,014 руб./день <К<0,025 руб./день. Эти значения достаточно хорошо согласуются со значением К при анализе других временных интервалов [12]. В данной работе/Сбыл определен как 0,014руб./день.

Из проведенных нами оценок следует, что изменяя управляющие параметры D, А и К мы можем существенно влиять на поведение валютного курса американского доллара. На практике это осуществляется за счет установления «валютного коридора», влияния на общественное сознание средств массовой информации, валютной политики Центрального банка -долларовых интервенций и скупки больших объемов валюты, установление квот на добычу энергоносителей. Перечисленные нами управляющие факторы изменяют характер кривой валютного курса, а, следовательно, и значения фрактальной размерности участков этой кривой. Валютные интервенции в основном влияют на коэффициент К. Этот коэффициент в

расширенной версии нашей модели будет равен коэффициенту Очевидным недостатком этого подхода является тот факт, что эта модель применима при О < йк, причем разница Ок -и должна быть не менее 0,005. '

Далее в Главе 5 был проведен фрактальный анализ динамики курса американского доллара по отношению к российскому рублю за 2007 год - начгшо 2008 года. В течение 2007-2008 наблюдается достаточно быстрое падение курса доллара по отношению к российскому рублю. График валютного курса за исследуемый период представлен на Рис. 6. На каждом из 7

ГГГ Пр0МерЖу1К0В постР°ены линейные тренды, фрактальные размерности курсов представлены на Рис. 6, значения коэффициентов X, представлены в Таблице 5.3.

Рис. 6.Курс доллара в 2007 - начале 2008 гг. и основные параметры фрактальной модели.

Рассмотренный процесс динамики валютного курса американского доллара по отношению к российскому рублю относится по предложенной нами классификации к процессам убывает™ °СЦИЛЛЯЦИОННОГО типа и его линейный тренд периодически то возрастает, то

гя 140« ™ЬЮп ГЛаВЫ ЯШМеТСЯ Д0казатсльство бифуркационной природы валютного кризиса 1У98 года. В то время за очень короткую продолжительность времени, порядка нескольких недель, курс американского доллара взлетал и падал в несколько раз. Это наглядно иллюстрируют Рис. 5. Мы выделили в процессе 4 участка. "тладно иллюст

Значения тангенсов угла наклона графика линейных трендов на этих участков соответственно равна Х^0.002 руб./сутки, Х2Ч,63 руб./сутки, Х&.04 рубЛ}тки, X>195 руб./сутки, соответственно. '

Фиктивная размерность кривой валютного курса на этих участках будет О, = 1 19-

и2 ~ П3 - Д, - 1.65:. Величина максимального уклонения от линейного тренда составила '/! = /,/ коп./сутки.

Величина Д, оказывается равной 1,67. Значение Вги = 1,65 лежит левее точки ~ 1)6711 система имеет возможность согласно рисунку За переходить при этом из состояний с положительными значениями Хт ветви с отрицательными значениями X точки 1, 2 и 3 на Рис 2а.

Отметим: предложенная нами математическая модель убедительно показывает что валютный кризис 1998 года имеет бифуркационный характер в ее рамках.

Далее в 5 главе рассматривается динамика пары евро-доллар с июля 2009 года, которая с этого времени стала достаточно сложной.

Из фрактального анализа динамики пары евро - доллар нал», по методу наименьших квадратов было получено значение параметров модели г,„ ,ь, й0> Оь, Вк:, О0=1,45, Ок=! 75 я,=-и.иа центов/сутки, г)2=-1 цент/сутки, Вк=27,5(центов/сутки)2, Д,=/ 68 йг=1 35 й0+=1 55

Во всех рассмотренных нами периодах нужно брать разные значения параметра п поскольку характер процесса при этом существенно меняется. На временном отрезке с 1 июня по 1 декабря 2009 года значение фрактальной размерности 0,=1,65. Такое высокое значение О указывает на нестабильность курса евро этот период. Так как оказывается достаточно близким к Г>ь то из Рис. 2а видно, как и случае кризиса 1998 г. происходят скачкимежду точками 1, 2, 3. Тем самым нами доказано, что имеют место все пршнакГкатасг-рофы типа Азь в динамике пары евро-доллар в рамках мультифрактальной динамики.

Глава 6 диссертации посвящена использованию мультифрактальной динамики при описании нефтяных цен. г

В данной главе диссертации проведен анализ динамики нефтяных цен в период

г„^Г9ПпТЩ^1паКСИМаЛЬНЫМ ВЫС0КИМ Ценам' в посладУ*>Щий период их падения в 2008 году в 200У и в 2010 годах в рамках построенной нами математической модели.

График динамики нефтяных цен за интересующий нас период приведен на Рис. 7. долл./барр.

155,00

ЯНВ МАРТ МАЙ ИЮЛЬ СЕНТЯБРЬ НОЯБРЬ

Рис. 7. Цена сырой нефти марки Brent в 2008 году.

У-пггр0ста 1 значение тангенса угла наклона линейного тренда равняется Л,-0,317 долл./(оаррель-сутки), в области падения Х2=-0,б1 долл./(6аррель-сутки).

Соответствующее значение фрактальной размерности в этих областях будут соответственноi равны Dt-l,3QD2=t,34, а значения коэффициентов D0 и ,, соответственно равны ua-l,ilJ, у=2 3,1/долл./(баррель-сутки).

Полученное нами большое значение коэффициента ц в 2008 году несомненно указывает на чрезвычайную перегретость нефтяного рынка спекулятивными деньгами банков и нефтяных компании в этот период.

Фактически нам подтверждается тезис о возникновении «нефтяного пузыря» Возникла чрезвычайно неустойчивая ситуация. Оказалось достаточно изменения фрактальной размерности на 0,04 от значения D = D, и вместо подъема нефтяных цен получился их спад

НрИ U — и2-

■я™™ Согласно "ашеГ> м°да™ процессы роста и спада цен происходили достаточно плавно " aM,,"nfl« и СуШе™™° дгшеко от значени" D = Db, Dk характерных для кризисных процессов. В середине 2008 года возникло чрезвычайно неустойчивая ситуация на нефтяном рынке и досрочно малое колебание фрактальной размерности привело к сдуванию нефтяного пузыря. Этот процесс, на наш взгляд, и имел место во второй половине 2008 года.

Поведение цен на нефть в начале 2009 года коренным образом отличается от 2008 года.

График динамики нефтяных цен в 2009 году приведен на Рис. 8а, начало отсчета времени на графике соответствует 2 января 2009 года.

Рис. 8 Динамика цен на нефть е начале 2009 и 2010 годов.

В 1 области падения нефтяных цен значение коэффициента линейного тренда составило Х^-0,08 долл./(баррель-сутки) а во второй области роста X,=0,247 долл./(баррельсутки). Фрактальные размерности кривой динамики цены на нефть оказались равными, соответственно, О, =1,38, Ъ2 = 1,34. Поскольку характер динамики нефтяной цены в рассматриваемый период далек от критического и значения фрактальных размерностей £>, и Ц? меньше 1,5, то вполне применимо линейное приближение. Используя значения X/ и Х2, находим £>/= 1.37 и г/ =8,175 долл./(баррель-сутки).

По сравнению с 2008 годом постоянная £>0 увеличилась на 0,06, а коэффициент)/ упал примерно в 3 раза. Значение Оосдвинулось в сторону его гауссовского значения 1,5.

Прогноз динамики нефтяных цен проведем в рамках построенной нами модели. По нашей классификации динамика нефтяных цен относится к осцилляционным процессам II типа. На основании прогнозной формулы (20) нами в начале 2009 года был дан прогноз нефтяной цены на конец 2009 г.

Соответственно, на конец 2009 года получается ожидаемая цена на нефть 77±2 долл./(баррель). Эти результат были нами опубликованы в июне 2009 года в работе23 по результатам, полученными в ходе обработки опытных данных на конец апреля 2009 года. Результаты динамики нефтяных цен за 2009 год и прогнозные значения показано на Рис. 9.

При прогнозировании цен на нефть необходимо учитывать следующие факторы:

- нефть является особым товаром, стоимость которого может многократно превышать себестоимость и не зависеть от спроса в настоящий момент;

- взаимодействие факторов, образующих цену на нефть, на сегодняшний день, не может быть удовлетворительно спрогнозировано;

- отсутствует единая схема регулирования нефтяного рынка;

Большинству специалистов не удалось правильно спрогнозировать ни один «крутой» поворот цен (взлет цен во время первой (1974 г.) и второй (1974—80 гг.) волны энергетического кризиса; падение цен в 1986 г. и 1998 г.; неудержимый рост цен в 2008 г24.

23 Кудинов А Н., Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И В. Фрактальная модель динамики иен на нефть в период 2008 - начало 2009 г. и прогноз цен на нефть на ее основе.// Финансы и кредит, №28 (364) 2009,

с 12-15.

24 О. Б. Брагинский Цены на нефть: история, прогноз, влияние на экономику//Рос. хим. ж. (Ж. Рос. хим. об-ва им. Д.И. Менделеева), т. 1Л1, № 6 2008,с.25 - 36

Большая часть долгосрочных прогнозов, сделанных в самом конце XX века говорит о уровне цен на нефть к 2010 году как 15-20 долларов за баррель24.

Про прогнозам большинства аналитиков цена на нефть в конце 2009 года прогнозировались от 40 до 90 долларов за баррель23, влиятельный в области фьючерсов БахоВапк26 предсказал что на конец 2009 года цены „а нефть упадут до 25 долларов за баррель, а в Федеральном бюджете на 2009 год была заложена цена 95 долларов за баррель. А на конец 2010 года большинство прогнозов говорило о цене 55 -75 долларов за баррель27.

1/барр.

4

j

\ /

* ь

Рис. 9 Динамика цен на нефть в 2009 и 2010 годах и прогнозные коридоры на конец соответствующего года. Аналогично предыдущему случаю был проведен анализ цен на нефть в 2009 году и

яПппТСГШе 0Ш Г0ДЗ " ПР0ГН°3 Н3 КОнец 2010 года в Рамка* Фрактальной модели. 1 апреля 2010 года стоимость нефти поставила очередной рекорд после ее достаточно глубоко-

В " составила 84>62 Доллара за баррель. График динамики цен на

нефть на начало 2010 года приведен на Рис. 8Ь.

- п ,«В10бЛаТ ПЗДеНИЯ 1 значение тангенса угла наклона линейного тренда равняется X,

- -0,463 долл./(баррель-сутки) в области роста 2 Х2 = 0,180 долл./(баррельсутки).

Используя значения X, и Д, находим значения коэффициентов » = 5 36 долл./(баррельсутки), О0 = 1,340. 1

Сравнение значений коэффициентов т, указывает на существенно меньший средний темп роста нефтяных цен в 2010 году по сравнению с 2009 годом

По результатам наших расчетов прогнозная цена на нефть 59,6 ±5 (долл/баррель) Эти результаты были нами опубликованы в середине 2010 года по данным, полученными в ходе обработки опытных данных на конец апреля - начало мая 2010 года28 Результаты динамики нефтяных цен за 2010 год и прогнозные значения показано на Рис. 9Ь.

В 6 главе диссертации мы показали, что предложенная нами схема прогноза хорошо соответствует рештьной ситуации в динамике нефтяных цен. Предсказанные нами нефтяные

о5"?2отГ "а нефт"' 2009 гочу ьак^тш^^^ (дата ^^

ию..Шр.-,п1.5ахпЬяп1: |-пщ/апа|уЦст Г пятя пйра„„..п,„- 20 01 2011)

(датаХ^^Тт.ГоГоГ"1 СК0ЛЬК° МбаРРеЛЬ В 2010 ГОДУ?

!8 Кудинов А.Н.. Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И В. Анализ цен „а нефть в 2009 г. и первой половине 2010 г и их прогноз на конец 2010 г. в рамках фрактальной модели// Финансы и кредит 38(422) - 2010. С.21-26.

цены на конец 2009 года и конец 2010 года полностью согласуются с фактическими данными.

Поэтому, на наш взгляд, при принятии управленческих решений, связанных с регулированием нефтяного рынка может оказаться востребованными результаты данной диссертации по методам прогнозирования нефтяных цен на основе фрактального подхода. Существенным элементом данного подхода является принцип самоподобия.

Основными управляющими параметрами линейного приближения мультифракталь-ной динамики являются параметры ц и й . Поскольку фрактальная размерность О является мерой хаотичности процесса, то на этот управляющий параметр оказывают влияние следующие основные факторы:

1.Установление квот на добычу нефти.

2.Регулирование накладных расходов.

3.Факторы, стимулирующие потребление.

Как было отмечено нами выше, значения коэффициента г| соответственно по годам оказались равными:

„„ доллар

»7 = 23,17 ---- в 2008 году.

оаррелъ • сутки

„,„„ доллар

7 = 8,175--^- в 2009 году.

баррель • сутки

ц = 5,36 д0Ш в 2010 году.

баррель ■ сутки

Коэффициент г/ нашей модели является характеристикой влияния финансовых факторов на нефтяную отрасль. Он оказался в 2008 году почти в три раза больше, чем в 2009 и в четыре раза больше, чем в 2010 году. Этот глобальный эффект можно объяснить только мощным приливом и отливом спекулятивного капитала на нефтяной рынок. В первой половине 2008 года была крайне прибыльна фьючерсная биржевая игра на повышение, что безусловно привлекло на нефтяной рынок большие финансовые объемы. Пик нефтяных цен пришелся на 11 июля 2008 года, превысив 147 долларов за баррель. Долее началась стадия непрерывного падения. В октябре она уже стоила ниже 67 долларов за баррель, а к концу года опустилась до 35 долларов за баррель. При "сдувании" "нефтяного пузыря" значительная часть спекулятивных капиталов была потеряна или ушла с этого рынка. Данный процесс, несомненно, явился составной частью начавшегося в то время глобального экономического кризиса.

В 2009 году нефтяной рынок стал постепенно стабилизироваться, что наглядно демонстрируется резким уменьшением значением коэффициента ц по сравнению с 2008 годом. В 2010 году стабилизация продолжилась, о чем говорит и дальнейшее, уже более плавное, снижение коэффициента г/ по сравнению с 2009 годом.

Сам собой напрашивается вывод, что мониторинг коэффициента ц может быть одним из наиважнейших индикаторов направленности глобальных экономических процессов, так как он характеризует состояние нефтяной отрасли в целом.

В Главе 7 на основе модели мультифракгальной динамики рассмотрены основные тенденции глобальной динамики народонаселения. В настоящее время численность населения Земли составляет 6,8 млрд. человек. Скорость роста народонаселения является одним из важнейших количественных показателей, характеризующих качество условий проживания человечества на Земле. Многообразие сценариев динамики народонаселения, опирающихся на различные механизмы, влияющих на демографические процессы, ставит вопрос о по-

строение моделей роста народонаселения, описывающих этот процесс и независящей от всевозможных допущений и предположений. "зависящей от все-

„пй ™.В Да1Ш014главс мы предлагаем такую модель, которая основана на мультифраеталь-нои динамике. Эта модель представляется более надежной ш сравнению с другими Она мало зависит от деталей функционирования рассматриваемой системы устройс^вГГтопой и численные параметры ее нам недостаточно известны устройство которой и

Численность народонаселения будем измерять в млрд. человек а время - в голах Скорость роста народонаселения обозначим X и она измеряется в шнчМ

т. 43иТд1 ТИТ--'"" НЗЛИЧИе ТРСХ ХаракТ£Рних точек Я Д . В точке Д 0 И ХРо) -О.в этой точке скорость роста равна нулю и мы имеем статическую си-

ШиТеГГ Нар°Д0Населения Г значения В стабилизируется и равна константе. При небольшом превышении Д значение X будет отрицательно и численность народонаселения линейно начинает сокращаться. Ц^ельно, и численность

График роста народонаселения за время с 1950 г. представлен на Рис. 10

"*"" ФАКТ (млрд.чел./год)

X, = 0,0498, Х2 = 0,0736, X, = 0,08087

РАСЧЕТ (млрд.чел./год) X, = 0,0138, XI = 0,0736, X) = 0,08081

П = 0,251 млрд.чел./год, [Зо = 1,61

50 53 56 59 62 65 69 72 75 78 81 84 87 90 93

Рис. 10 Динамика роста народонаселения во второй половине XX века и основные параметры мультифрактальной модели.

В силу мелкого масштаба графика ежегодное колебание скорости народонаселения

визуально незаметны. Оценка максимального уклонения численности народонаселения от

линеиного тренда составляет А = 18 млн. человек/год. Отсюда следует точность предлагаемой нами модели - 0,26%. р и

Из нашей модели следует, что максимально возможная скорость роста народонаселения составляет 154 млн.чел./год при 0=1. Это в 2-3 раза больше скорости роста в настоящее

ВрСМЯ •

Наблюдаемая тенденция уменьшения фрактальной размерности кривой народонаселения, и следовательно, увеличение скорости роста народонаселения. Полученные нами значения Д, Д, Д оказмись далеки от значения Д=/,*/ , при приближении к которому скорость роста народонаселения становится равной нулю и при превышении которого эта скорость будет становиться отрицательной. Возникает уже состояние убыли народонаселения. 1ак как Д < Д, то для оценок и построения графиков, из условия наилучшего приближения к опытным данным, мы выбрали Д = 1,85 , а вычисления Д по нашей формуле (7 5) из Главы 7 дает значение Оь=1,78 . Значения фрактальных размерностей Д, Д Д еще больше отстоят от критических значений Д и Д, чем от Д.

Проведенный нами анализ указывает на стабильный рост народонаселения. В ближайшее время катастрофических изменений темпа роста народонаселения не ожидается.

млрд-^ел.

2009 2012 2015 2011 2011 101« 2027 20Э0!

ГОД

Рис. 11. Прогноз численности народонаселения до 2030 г.

Из графика на Рис. 11 видно, что тренд роста народонаселения пересечет линию в 7 млрд. человек в июле 2011 года. С учетом точности модели в 0,26% мы имеем, что точная численность народонаселения в 7 млрд. человек будет достигнута в интервале май - сентябрь 2011 года. Близость прогноза и опытных данных, несомненно, будет показателем качественности нашей модели.

Приведем прогноз в рамках нашей модели: 8 миллиардный рубеж человечество может перейти в 2024 году, а к 2030году достигнуть 8.5 миллиардов человек.

Положительное и высокое значение коэффициента ц равное четверти миллиарда человек в год говорит о современной тенденции к стремительному росту народонаселения. Если в ближайшее время этот коэффициент существенно не снизится, то стремительный рост мирового народонаселения будет продолжаться, как будут расти и сопряженные с этим проблемы. Коэффициент >/ является прямой оценкой тех материальных средств, которые в мире расходуются на расширенное воспроизводство человечества.

В Главе 8 на основе модели мультифрактальной динамики изучаются кризисные явления сельскохозяйственного сектора экономики Тверского региона, а также фрактальная модель лесных пожаров и наводнений.

Фрактальными методами нами была подробно изучена динамика посевных площадей, занятых всеми видами культур Тверского региона, начиная с 1950 года по настоящее время. Показано наличие в динамике общего количества посевных площадей катастрофы типа А3 в период 1990- 1991гг.

Одним из важнейших показателей, характеризующих сельское хозяйство любого региона, является значение общей величины посевных площадей всех сельскохозяйственных культур. Динамика общей величины посевных площадей всех сельскохозяйственных культур и значения фрактальной размерности на характерных участках с 1950 по 2009 год приводится на Рис 12.

г-

I

Рис. 12. Динамика общих посевных тощадей на территории Тверской области и основные параметры мультифрактальной модели.

В период с 1989 по 1996 годы произошло сильное уменьшение посевных площадей примерно на 300 тыс. га. В этот период имели место резкие скачки данной величины а скорость уменьшения общей площади посевных площадей выросла более чем в 8 раз Согласно имели место все характерные признаки катастрофы А3.

С 1997 по 2007 годы происходит практически линейное быстрое дальнейшее уменьшение посевных площадей.

.. В п°™ие гадь. наука существенно продвинулась в разработке математических моделей лесных пожаров . Лесные пожары возникают сегодня на планете как никогда ранее Леса занимают более 74% территории Российской Федерации и каждый лесной пожар наносит существенный вред ее экономике. Так в 2008 году количество лесных пожаров на территории РФ составило по данным МЧС РФ более 30 тыс.31.

Целью данной главы является построение математической модели лесных пожаров учить,вающие фрактальные свойства этих явлений. Фрактальные свойства лесных пожаров очевидны из тесной аналогии фронта горения и береговой линии.

Нами получено аналитическое выражение, описывающее скорость распространения лесного пожара V с учетом фракгальности фронта горения имеет вид- спРостР™я

к ^

v = V,

К

(23)

где О - значение фрактальной размерности горящего лесного массива, V« - значение

«ТГГГГГ П°ЖаРа Р—Р горения, а Н^. минимальна

расстояние между фрагментами в зоне горения. Величина Ь имеет порядок размера участка

щТго л" ЛеС3' 3 """ " ХараКТер,!0Г° Р— Деревьями и ^устарникам^горя-

п™ , основании уравнения (23) было составлено дифференциальное уравнение определяющее зависимость диаметра области пожара от времени, интегрируя которое мы неодим:

^ Гилмор Р. Прикладная теория катастроф, том 1,2 Издательство: Мир, 1984 г. ^ П.Эндрюс, М.Финни Новый взгляд на лесные пожары// В мире науки №10 2007

обР?щ~Н.2Й2009; МИШСТерСТВа П° чРезвычайным ситуациям РФ //URL: efe (Дата

И - 2 - Д - постоянная Херста. При Д = 1 11=11м„-у0-1, что соответствует гладкому фронту горения и описывает линейный характер роста размера области горения лесного массива. При й=1,5:

мы имеем параболический нелинейный рост /г с ростом времени. Отсюда очевидно, что тушение такого лесного пожара надо проводить в кратчайшее время. И, наконец, если Д

= 2, то к = /гт|пеЛ"™ . Этот случай на наш взгляд описывает наиболее быстрый, почти мгновенный характер горения лесного массива.

Из построенной нами математической модели лесного пожара, учитывающей фрактальный характер фронта горения, следуют два важных вывода. Скорость распространения лесного пожара V можно существенно уменьшить, увеличивая ктш и уменьшения Д. Этого можно достичь проведением санитарной рубки деревьев и кустов и соблюдением геометрического порядка при высадке лесонасаждений.

Далее в 8 главе построена фрактальная модель наводнений на примере речной системы Тверской области. Наводнения являются практически ежегодно повторяющимися стихийными бедствиями, а по площади охватываемых территорий и наносимому материальному ущербу - превосходящими все остальные. В 2010 году погодные условия стали причиной увеличения уровня воды в озерах и реках Тверской области. Из-за дождей начались подтопления сразу в трех районах региона - Осташковском, Пеновском и Селижаровском. Погодные условия стали причиной увеличения уровня воды в озерах и реках Тверской области.

Для описания характера наводнения мы предлагаем ввести коэффициент относительного подъема уровня воды в12 на территориях, помеченных индексами / и 2, согласно формуле: 0, 2 = Ак,/ Ак2. В нашей модели получено простое выражение для этого коэффициента ви = (&1 - 1)/ф2- !)■ В качестве В2 мы выбрали минимальное значение фрактальной размерности по участкам территории Тверской области, которая оказалась равной 1,18. Из этого вытекает следует соотношение для / -й территории в, =5,555(0, - I). Величина 0, является количественной и качественной характеристикой весеннего паводка.

Отличительной особенностью величины б, является ее зависимость только от О,. Другие факторы, такие как величина осадков, температурный режим, величина снежного покрова, влияния на величину этого коэффициента не оказывают. Из выражений для в, следует, что основным и универсальным управляющим параметром в данном случае является фрактальная размерность речной системы - Д. Есть множество способов изменения фрактальной размерности речной системы. В частности, резкое понижение фрактальной размерности наблюдается вокруг искусственных водоемов и водохранилищ. Мелиоративные мероприятия также могут оказать существенное влияние на разветвленность речной сети, и, соответственно, на ее фрактальную размерность.

Распределение относительного коэффициента наводнений в представлено нами на

Рис.13

Рис. 13.Распределение относительного коэффициента наводнений в

Тверской области.

по территории

чаться не^более в2,™ ^ "" ^ " " ТеРРИТ°РИЯХ "ЯВИ р№

В Заключении еще раз кратко перечисляются полученные в диссертации результаты:

1. Развита концепция фрактальной кривой, как толстой линии шириной <5°"' в О - мерном пространстве.

2. Предложена фрактальная шкала "температур" мультифрактальных процессов.

3. Разработана оригинальная авторская методика определения фрактальной размерности фрактальных временных рядов, основанная на измерении их длин в различных масштабах.

4. Предложена и развита принципиально новая концепция мультифрактальной динамики для описания социально-экономических систем. Основу этого метода составляет предложенное автором кубическое уравнение для скорости линейного тренда, коэффициенты которого являются функцией фрактальной размерности О кривых динамики этих процессов.

5. Дан вывод основного уравнения мультифрактальной динамики, проведено исследование решений основного уравнения мультифрактальной динамики, исследованы катастрофы и управление катастрофами в мультифрактальной динамике:

6. Показана эффективность использования фрактальной размерности временных рядов как

флага" катастроф для природных и социально-экономических процессов на конкретных примерах.

7. Сформулирован принцип минимума фрактальной потенциальной функции 1Щ определяющий направленность экономических процессов, описываемых мультифрактальными кривыми.

8. Предложена классификация динамик социально-экономических процессов по значению фрактальной размерности модели и в ее рамках дана общая схема прогноза на основе фрактальных параметров данных процессов.

9. Проведен фрактальный анализ валютных временных рядов, построена нелинейная фрактальная модель валютного кризиса 1998 года, доказана бифуркационная природа валютного кризиса 1998 года в рамках фрактальной модели.

10. Доказано наличие катастрофа типа Азь в динамике пары евро-доллар в рамках фрактальной модели.

11. В рамках модели мультифрактальной динамики исследовано поведение цен на нефть период 2008 год - начало 2009 и дан прогноз на конец 2009 года. Прогноз: 77+ 2 доллара США за баррель, хорошо согласуется с опытом, показано наличие эффекта нефтяного "Пузыря" в динамике нефтяных цен в 2008 году, проведен анализ цен на нефть в 2009 году и первой половине 2010 года и их прогноз на конец 2010 года в рамках фрактальной модели. Прогноз: 89,6± 5 долларов США за баррель, также хорошо согласуется с опытом.

12. Рассмотрены методы управления нефтяными ценами в рамках модели мультифрактальной динамики.

13. Модель мультифрактальной динамики применена к изучению роста народонаселения.

14. Получены основные уравнения модели роста народонаселения и проведен расчет фрактальной размерности кривой динамики народонаселения.

15. Сделан прогноз роста народонаселения: доказано, что в ближайшее время невозможен демографический взрыв и коллапс народонаселения, численность народонаселения в 7 млрд. человек будет достигнута в интервале май - сентябрь 2011 года, а 8 млрд. человек - в 2030 году.

16. Показана эффективность использования фрактальной размерности основных параметров сельскохозяйственного сектора экономики как флага кризисных явлений;

17. Доказано наличие в динамике общего количества посевных площадей катастрофы типа А3 в период 1990-1991гг.

18. Построена фрактальная модель лесных пожаров. Получена формула, определяющая зависимость размеров области горения лесного массива от фрактальной размерности и времени. Найдены основные факторы, влияющие на скорость распространения лесного пожара и приводятся рекомендации и меры по ее минимизации.

20. Построена фрактальная модель наводнений на примере речной системы Тверской области. Введен коэффициент наводнения и построено его распределение по территории Тверской области.

Основные результаты диссертации опубликованы

1. В изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов докторских диссертаций:

^ннГпВя^'^ЦВеТК0В ВЛ" Цветк0в И-В- фР™ный анализ валютных временных рядов//Финансы и кредит, 2007.№ 9. с. 30-36.

2. Гуляева О.С., Цветков И.В. Определение фрактальной размерности на основе измерения длин графиков временных рядов в различных временных масштабах // ка>^ университета, серия «Прикладная математи-

™/КУДИН0В' СА-Михеев' вл- Ц^ков, И.В.Цветков Нелинейная фрактальная модель валютного кризиса // Программные продукты и системы. № 4. 2008 с. 117*

4 Кудинов А.Н., Цветков В.П., Цветков И.В. Фрактальный анализ динамики курса американского доллара по отношению к российскому рублю за 2007 - начало 2008 г.// Финансы и кредит 33(321), 2008. с. 55-58.

5. Кудинов А.Н., Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И.В. Фрактальная модель динамики цен на нефть в период 2008 - начало 2009 г. и прогноз цен на нГфГГе

основе.//Финансы и кредит, №28 (364) 2009, с. 12-15. ф

6. Кудинов А.Н., Цветков В.П., Цветков И.В. Валютный кризис и бифуркационные явления в рамках фрактальной модели// Финансы и кредит. Выпуск 38(326) 2009. с

7. Кудинов А. Н., Сажина О. И., Цветков В. П., Цветков И. В. Фрактальная мо-Ги^^^оГо::^'^'"™" РУДН" С6РИЯ Информатика.

2„паУДгИГ А'К'СЗЖИНа °;И" Цветков ВП" 4™в И.В. Анализ цен на нефть в

„п . //Т П°Л0ВИНе 20Ш Г' И ИХ ПР0ГН°3 на конец 2010 г-в Р" фрактальной модели// Финансы и кредит 38(422) - 2010. с.21-26

П±"ЯКУДИН0В'ВЛ' ЦВСТК0В' И В'Цветков Фрактальная модель лесных пожаров// программные продукты и системы. № 2. 2010. с.146-147.

10. Кудинов А.Н., Цветков В.П., Цветков И.В., Сажина О.И. Фрактальный анализ динамики цен на нефть// Программные продукты и системы. 2010. № I.e. 10-11

.'Lnü,6™15 И"В" Те°РИЯ КаТаСТр°Ф и ФР™ьная модель кризисных социально-экономических процессов// Вестник Тверского государственного университета.

Серия. Прикладная математика.№12. 2010. с.55-59.

12. Цветков И.В. Математическая модель кризисных экономических процессов описываемых мультифрактальными временными кривыми// Вестник Тверского государственного университета. Серия: Прикладная математика. 2010. № 37 4(19).

СТвеУ/ТеГшГ. т'пФраетаЛЬНЫе КРИВЫе КЗК Т°ЛСТЫе ЛИШИ В D " меРном "РОСтран-

стве// Вестник Тверского государственного университета. Серия: Прикладная математика. 2011. №38 1(20). с. 28-31. прикладная ма-

14. Цветков И.В. Управление нефтяными ценами в рамках фрактального подхода // Управление экономическими системами: электронный научный журнал, 2011. - № 2 (26). - № roc. per. статьи 0421100034.

15. Цветков И.В. Самоподобие цен на нефть и фрактальные методы их прогноза.// Финансы и кредит. 21(453) -2011. с.24-30.

Авторские свидетельства

Программная реализация регуляризованного метода Ньютона (программа для ЭВМ). Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011613772 от 16 мая 2011 г. в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

В трудах международных и всероссийских научно-технических конференций:

1. Кудинов А Н., Лебедева H.H., Пирогов Ю.А., Тищенко А.П., Цветков И В. Создание ГИС для геофизического полигона" Главный водораздел русской равнины". Труды всероссийской конференции" Физические проблемы экологии", 1997, Изд-во МГУ. С. 43.

2. Лебедева H.H., Тищенко А.П., Цветков И В. Применение методов фрактального анализа к малым рекам Русской равнины". Труды всероссийской конференции. «Физические проблемы экологии», Изд-во МГУ. С. 60.

3. Тищенко А.П., Цветков И В. Fractal analyses of River System an Tver area. Труды международной конференции «Modern Trends in Computational Physics.» 1998. Дубна. С. 128.

4. Тищенко А.П. Цветков И В. Применение метода нормированного размаха Херста в некоторых вопросах экологии. Труды международной конференции «Математические модели нелинейных возбуждении, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах». (ТГТУ. Тверь, 1998) С. 134.

5. Цветков И.В. К возможности выявления влияния выборных технологий на результаты голосования методами фрактального анализа. Труды научной конференции Избирательные технологии в России и Европе. Тверь, ТвГУ. 2000.С 92-101.

6. Цветков И.В. Методика расчета фрактальной размерности временных рядов и ее программная реализация. Материалы международной конференции «История и компьютер». Москва: МГУ, 2001 С. 115-119.

7. Цветков И.В. Применение фрактальных методов к анализу динамики электоральных предпочтений// Труды Всероссийской конференции Новые информационные ресурсы и технологии в исторических исследованиях и образовании. Москва. 2000 С.202-203

8. А.Н. Кудинов, В.П.Цветков, С.А.Михеев, И.В.Цветков Математическая модель перестроек и катастроф в социальных и экономических системах. ТвГУ. Всероссийская конференция Организационно-экономические и социальные проблемы села. ТвГУ. Тверь. 2010

9. А.Н.Кудинов, И.В.Цветков, Лесные пожары и фрактальная размерность лесов Тверского региона. Всероссийская конференция Организационно-экономические и социальные проблемы села. ТвГУ. Тверь. 2010

10.А.Н. Кудинов, И.В.Цветков, О.И.Сажина. Фрактальная модель динамики цен на нефть в период 2008 год - начало 2009// Математическое моделирование и вычислительная физика. Материалы международной конференции. Дубна, ОИЯИ, 2009. с.170.

11. А.Н. Кудинов, И.В.Цветков, О.И.Сажина. Фрактальная размерность основных параметров сельскохозяйственного сектора экономики Тверского региона, как флаг кризисных явлений. Всероссийская конференция Организационно-экономические и социальные проблемы села. ТвГУ. Тверь. 2010

12. Гуляева О. С., Цветков И. В., Холдер М. Анализ динамики биржевого индекса Доу-Джонса методами фрактального анализа// Труды XXV юбилейной международной научной школы-семинара имени академика С. Шаталина. - Воронеж: Воронежский ГУ, 2002, с. 54-57.

13. M.Holder, I.Tsvetkov Analysis of the Dow-Jones Idustrial Average (DJIA) Index Dynamics by Fractal Analysis Methods// Proceedings of V International congress of mathematical modeling. V.2 - Dubna. 2002 p.150.

14. Кудинов A.H., Цветков В.П., Михеев С.А., Цветков И.В. Фрактальная модель валютного кризиса 1998 года. Труды международной конференции Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. М. Станкин. 2008. С. 391-397.

15. Сажина О.И., Цветков И.В. Система уравнений фрактальной модели с двумя взаимосвязанными параметрами состояния. Шестые Курдюмовские чтения:.Синер-гетика в естественных науках. Труды международной междисциплинарной научной конференции. Изд-во ТвГУ. Тверь. 2010. С. 12-13

16. Сажина О.И., Цветков И.В, Новый алгоритм расчета фрактальной размерности мультифрактальных кривых. Шестые Курдюмовские чтения: Синергетика в естественных науках. Труды международной междисциплинарной научной конференции. Изд-во ТвГУ. Тверь. 2010. С.45-47.

17. Кудинов А.Н., Цветков В.П., Цветков И.В Сборник трудов международной научно-практической конференции Высокие технологии, фундаментальные и прикладные исследования, образование. Выпуск 16. Санкт-Петербург. 2010. с. 79 - 83.

18. Цветков И.В. Фрактальная шкала температур. Седьмые Курдюмовские чтения: Синергетика в естественных науках. Труды международной междисциплинарной научной конференции. Изд-во ТвГУ. Тверь. 2011. С. 169-170.

19. Цветков И.В. Фрактальная модель наводнений на примере речной системы Тверской области. Седьмые Курдюмовские чтения: Синергетика в естественных науках. Труды международной междисциплинарной научной конференции. Изд-во ТвГУ. Тверь. 2011. С.274-277.

II. В других изданиях имеется 39 публикаций, среди них:

1. Тищенко H.H., Цветков И В. Фрактальный анализ речных систем Тверской области. Моделирование сложных систем Выпуск I. Тверь. Изд-во ТвГУ. С.134-144. Цветков И.В., Использование фрактальных временных рядов в комплексном анализе речных систем. Моделирование сложных систем. Выпуск 1. Тверь 1998. С. 145-155.

2. Тищенко А.П., Цветков И.В. Фрактальная размерность текстур природных объектов и их идентификация методами фрактального анализа. Моделирование сложных систем. Выпуск 1. Тверь 1998. С.156-161.

3. Цветков И.В. Фрактальная модель береговых линий озер и водохранилищ тверской области. Моделирование сложных систем. Выпуск 2. Тверь 1999. Стр 72-81.

4. Цветков И.В. Построение модели стока рек на основе фрактального подхода. Моделирование сложных систем. Выпуск 1. Тверь 1999. Стр 81-85

5. Цветков И.В. Фрактальная размерность временного ряда как «флаг» катастроф в социально-экономических процессах// Моделирование сложных систем. Тем. сб., вып.З. -Тверь: ТвГУ. 2000. С. 170 -175.

6. Гуляева О. С., Толкаченко Г.Л., Цветков В.П., Цветков И. В. Фрактальная размерность в исследовании динамики валютного курса// Моделирование сложных систем. Тем. сб., вып.З. -Тверь: ТвГУ. 2000. с. 176-190.

7. Гуляева О.С., Цветков И.В.. Фрактальные методы в динамики исследования валютных курсов// Сб. науч. тр. ФУС.-Тверь: ТвГУ, 2002. с.74 -85 (0,7/0,35 п.л.).

8. Гуляева О.С., Цветков И.В. Прогнозирование валютного курса методами фрактального анализа// Проблемы и перспективы развития финансовых рынков: Сб. науч. тр. каф. финансов.-Тверь: ТвГУ, 2002. с. 46-52 (0,44/0,22 п.л.).

9. Гуляева О.С., Цветков И.В., Холдер М., Возможность анализа динамики биржевого индекса Доу-Джонса фрактальными методами// Сб. науч. тр. Вып. № 2. -Тверь: ТвГУ -ТИЭМ. 2003. стр. 72-75.

10. Гуляева О. С., Цветков И. В. Возможность фрактального анализа валютных временных рядов// Вестник Тверского государственного университет, серия «Экономика и управление».-Тверь: ТвГУ, №13 (41) 2007, с. 121-131(0,8/0,4 п.л.).

11. Гуляева О. С., Цветков И. В. Анализ возможностей по оценки нелинейности валютного курса пары рубль/доллар// Научно-методические материалы/ научные статьи аспирантов и соискателей, вып. 31, часть 1.,-Тверь: В А ВКО, 2007 с. 23-34.

12. M.E.Holder, I.V.Tsvetkov. Use of Fractal Methods in Economical Researches. Kent State Magazine. Spring issue 2004. Kent State University Press. OH. USA.2004. pp. 1215

13. Гуляева O.C., Цветков И.В. Фрактальная размерность временного ряда как "флаг" катастроф в природных и социально-экономических процессах// Вестник Ярославского регионального отделения РАЕН. - Ярославль: РО РАЕН, 2007, том 1, №2, стр. 15-18 (0,3/0,15 п.л.).

14. Цветков И.В. Фрактальные методы анализа данных маркетинговых исследований. Вестник ТвГУ, Управление и социология. Тверь: ТвГУ, 2006

15. Цветков И.В. Фрактальная размерность в исследовании динамики валютного курса. Моделирование сложных систем. Выпуск 3. Тверь 2001.

16. Цветков И.В. Методика расчета фрактальной размерности временных рядов и ее программная реализация. Труды международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Москва: МГУ, 2006.

17. Цветков И.В. Фрактальные методы анализа данных маркетинговых исследова-ний//Вестник ТвГУ, Управление и социология. Тверь: ТвГУ, 2006.

18. Гуляева О.С., Цветков И.В. Возможность фрактального анализа валютных временных рядов// Вестник ТвГУ, серия «Экономика и управление», вып 13(41) ТвГУ,2007. '

19. Кудинов А.Н., Цветков В.П., Крылова О.И., Цветков И.В. Фрактальная размерность основных параметров сельскохозяйственного сектора экономики Тверского региона, как флаг кризисных явлений.// Вестник ТвГУ, серия «Экономика и управление», вып.8(34). ТвГУ,2010. С. 4-17.

20. Кудинов А.Н., Цветков И.В. Лесные пожары и фрактальная размерность лесов Тверской области.// Вестник ТвГУ, серия «Экономика и управление», вып 8(34) ТвГУ,2010. С. 35-38.

21. Цветков И.В. Направленность экономических процессов, описываемых муль-тифрактальными кривыми и энергетический принцип// Вестник ТвГУ, серия «Экономика и управление», вып. вып.8(34). ТвГУ,2010. С. 38 - 40.

22. Цветков И.В. Фрактальная модель наводнений в Тверской области// Вестник ТвГУ, серия «Экономика и управление», вып.8(34). ТвГУ,2010. С.41-45.

23. Цветков В.П., Рыжиков В.Н., Цветков И.В., Иванов В.В. Фрактальные методы в изучении социально-экономических систем // Моделирование сложных систем -Тверь.: ТвГУ, 1999. С. 87 - 94.

24. Цветков И.В. Фрактальные методы в изучении социально-экономических систем // Моделирование сложных систем. — Тверь.: ТвГУ, 1999. С. 97_108.

25. А. N. Kudinov, V. P. Tsvetkov and I. V. Tsvetkov. Catastrophes in the Multi-Fractal Dynamics of Social-Economic Systems. Russian Journal of Mathematical Physics Vol 18, No. 2, 2011, pp. 149-155.

Подписано в печать 5.09.2011. Формат 60 х 84 '/». Усл. печ.л. 2,2. Тираж 100 экз. Заказ №733. Тверской государственный университет Редакционно-издательское управление Адрес: Россия, 170100, г.Тверь, ул.Желябова,33. Тел. РИУ: (4822) 35-60-63

СОДЕРЖАНИЕ.

Введение.

Глава 1. Элементарные сведения о фракталах и катастрофах.

1.1 Основные понятия о фракталах.

1.2 Концепция фрактальной кривой, как толстой линии.

1.3 Метод определения фрактальной размерности временных рядов.

1.4 Фрактальная шкала температур.

1.5 Введение в теорию катастроф.

Глава 2. Фрактальная модель социально-экономических процессов. Вывод основных уравнений.

2.1 Обоснование необходимости построения модели.

2.2 Вывод основного уравнения мультифрактальной динамики.

2.3 Исследование решений основного уравнения мультифрактальной динамики.

Глава 3. Катастрофы и управление катастрофами в модели мультифрактальной динамики.

3.1 Система уравнений фрактальной модели с двумя взаимосвязанными параметрами состояния.

3.2 Фрактальная размерность временного ряда как "флаг" катастроф в природных социально-экономических процессах.

3.3 Управление катастрофами во фрактальной модели.

3.4 Направленность экономических процессов, описываемых мультифрактальными кривыми.

Глава 4. Классификация динамик социально-экономических процессов по значению фрактальной размерности в рамках модели мультифрактальной динамики. Прогноз на основе фрактальных параметров системы.

4.1 Классификация социально-экономических процессов по значению фрактальной размерности.

4.2 Схема прогноза динамики мультифрактальных систем.

Глава 5. Использование фрактальной модели для описания валютных курсов и динамики биржевых индексов. Катастрофы в динамике валютных курсов.

5.1 Фрактальный анализ валютных временных рядов.

5.2 Анализ динамики биржевого индекса Доу-Джонса фрактальными методами.

5.3 Нелинейная фрактальная модель валютного кризиса.-1.

5.3 Фрактальный анализ динамики курса американского доллара по отношению к'российскому рублю за 2007 год - начало 2008 года.

5.4 Валютный кризис и бифуркационные явления в рамках фрактальной модели.

5.5.Катастрофа типа Азь в динамике пары евро-доллар в рамках фрактальной модели.

Глава 6. Описание динамики нефтяных цен в рамках фрактальной модели.

6.1 Фрактальная модель динамики цен на нефть в период 2008 год - начало 2009 и прогноз цен на нефть на ее основе.

Динамика нефтяных цен в 2009 году.

Прогноз динамики нефтяных цен.

6.2 Эффект нефтяного "Пузыря" в рамках фрактального подхода.

6.3 Анализ цен на нефть в 2009 году и первой половине 2010 года и их прогноз на конец 2010 года в рамках фрактальной модели.

6.4 Факторы управления нефтяными ценами.

Глава 7. Фрактальная модель роста народонаселения.

7.1 Основные тенденции глобальной динамики народонаселения.

7.2 Основные уравнения модели роста народонаселения.•.

7.3 Расчет фрактальной размерности кривой динамики народонаселения.:.

7.4 Анализ результатов и прогноз роста народонаселения.■.

Глава 8. Кризисные явления сельскохозяйственного сектора экономики Тверского региона. Фрактальная модель лесных пожаров и наводнений.

8.1 Фрактальная размерность основных параметров сельскохозяйственного сектора экономики тверского региона, как флаг кризисных явлений.*.

8.2 Лесные пожары и фрактальная размерность лесов Тверской области.'.

8.3 Фрактальная модель наводнений на примере речной системы Тверской области.

. - .

Актуальность темы Й

Критические явления в социально-экономических системах представляют большой интерес, поскольку они обусловлены их структурой и особенностями динамики основных параметров таких систем. Их изучение позволяет выявлять природу и понять наиболее важные элементы структуры данных процессов. В критических областях значений параметров характерны существенные нелинейные зависимости этих параметров [1].

Социально-экономическая система — это целостная совокупность взаимосвязанных и взаимодействующих социальных и экономических институтов (субъектов) и отношений по поводу распределения и потребления материальных и . нематериальных ресурсов, производства, распределения, обмена и потребления товаров и услуг. [2] }■

Прежде всего, социально-экономическую систему характеризуют системные качества. Среди них особое место занимают экономические отношения, которые связывают единством происхождения все остальные качества. Впоследствии из них развиваются все более сложные отношения. Они представляет собой самый простой для данных условий способ распределения ресурсов и поддержания пропорций.

В литературе даются и другие определения этого понятия. Так в [3] экономическая система определяется как «совокупность экономических форм, связанных в единую, развившуюся из одного основания систему» и составляющих «специфическую природу экономического организма».

Социально-экономическая система неизбежно локализована в экономическом времени и пространстве, а также по отношению к ее альтернативным вариантам. Она имеет определенные исторические, географические, этнические, духовные, политические и экономические границы. Это в свою очередь означает, что она может воплощаться в конкретных государственно-политических образованиях . или 'в форме иных, меньших по масштабу, общественно-хозяйственных организаций. По мере усиления эффекта глобализации в качестве социально-экономической системы правомерно рассматривать все человечество.

Не все черты социально-экономической системы возникают одновременно, а сначала развиваются простейшие социальные и экономические формы, а на их основе — все более и более сложные. В ¡частности, Н.В. Хессин [4] определяет эту простейшую форму как «экономическую клеточку», содержащую «в зародыше все основные черты и противоречия данного способа производства». Из нее впоследствии развивается вся многообразная система производственных отношений. Она играет роль и исходного пункта (а также основы), и постоянно воспроизводимого результата, следствия развития данной системы отношений, и всеобщей формы отношений между индивидами.

Перечислим основные свойства социально-экономической системы: I

1. Целостность, которая означает, что изменение любого компо1 нента системы влияет на ее другие компоненты и приводит к изменению системы в целом. Такое явление можно, например, проследить в случае взаимодействия производительных сил и производственных отношений, когда при смене средств производства меняются соответственно производственные отношения и система в целом. То есть, мы в данном случае имеем дело с взаимозависимостью компонентов экономической системы.

2. Иерархичность. Это значит, что каждая система может быть рассмотрена как элемент более высокого порядка. К примеру, экономика России, как переходная, может быть рассмотрена в качестве одного из элементов мировой системы.

3. Интегративностъ, которая предполагает, что система в целом обладает свойствами, отсутствующими у ее элементов (к примеру, разделение труда, которое возможно только при наличии некоторого количества производителей). Верно и обратное, то есть, элементы могут обладать свойствами, которые не присущи системе в целом.

Наибольший интерес представляет исследование динамики социально-экономических систем — то есть их развитие во времени. Это развитие связано с процессами, протекающими в различных социально-экономических системах.

Процессы, протекающие в социально - экономической системой, подразделяются на два основных типа [4]:

- естественные - осуществляются человеком при его взаимодействии или соприкосновении с природой с помощью средств труда для создания материальных или интеллектуальных продуктов;

- общественные процессы возникают во взаимоотношениях людей, связанных с производством и/или распределением продуктов (произведенных посредством естественных процессов) и их потреблением.

Оба процесса тесно взаимосвязаны; помимо прочего, они опосредуются процессами регулирования (применительно к экономике, напр., планового, рыночного, смешанного). В результате формируются социально-экономические процессы, определяемые как совокупность процессов создания и функционирования социально-экономической системы, характеризующих динамику изменения ее параметров на конкретно-историческом уровне хозяйствования, социальной организации и т.д.

В [4] приведена общая классификация видов социально-экономических процессов.

Виды классификации социально-экономических процессов

Критерий классификации Типы и виды социально-экономических процессов

Степень управляемости стихийные управляемые

Направленность распространения: внутриэкономические внешнеэкономические: процессы международной интеграции; процессы международной кооперации; процессы международного соперничества и т.д.

Масштаб влияния на жизнедеятельность социума: макроэкономические региональные локальные микроэкономические

Структура функционального производственные трудовые проявления организационные технологические информационные

Устойчивость взаимосвязей: стабильные нестабильные , '

В рамках данной диссертации будут подробно исследованы вопросы регулирования в наиболее важных социально-экономических процессах, как глобальных, так и региональных, таких как:

1. Динамика нефтяных цен;

2. Динамика валютных рынков; . , .

I .<■

3. Динамика народонаселения; , ,

4. Динамика региональных сельскохозяйственных показателей (на примере Тверской области);

В дальнейшем нами будет дано более подробное изложение основных свойств этих процессов.

В основу предлагаемого нами подхода кладется математическая модель мультифрактальной динамики, которая позволяет изучать динамику социально-экономических процессов без всевозможных допущений и предположений о структуре этих систем. I

Вопросы регулирования социально-экономических процессов естественно предполагают наличие таких прогнозных моделей,'которые мало зависят от деталей функционирования рассматриваемой системы, устройство которой и ее численные параметры которых недостаточно нам известны. Такая прогнозная модель реализуется в рамках модели мультифрактальной динамики. ;

Одним из актуальнейших вопросов современности является вопрос об описании кризисных социально-экономических процессов ; (катастроф). Конкретными примерами этих процессов являются:: экономический кризис в России 1998 года, мировой экономический кризис 2008 года, демографические кризисы (связанные как демографическим коллапсов, так и с демографическим взрывом). При этом прогноз и регулирование кризисных ситуаций выдвигаются на передний план.

Новая методология долгосрочного циклического прогнозирования динамики развития мировой системы и России изложена А.А.Акаевым и В.А.Садовничим в [1]. В ней, в частности, подчеркивается,¡что моделирование мировой динамики ведет свое начало с докладов; видного американского ученого Дж. Форрестера знаменитому Римскому клубу в конце 1960-х - начале 1970-х годов относительно применения разработанных им моделей системной динамики для целей долгосрочного эко-лого-экономического прогнозирования. (Дж. Форрестер 1978), [5]. Его модель предполагала динамичный рост и неограниченное; расширение при использовании ресурсоемких технологий. Доклады Дж. Форрестера показали, что продолжение стратегии ресурсоемкого роста в: условиях наступившего в тот период небывалого демографического, роста; неизбежно приведет либо к острой нехватке ресурсов в мире, либо: к катастрофическому загрязнению окружающей среды. ;. !: ; :' '

В дальнейшем идеи Дж.Форрестера были развиты в (Д.Медоуз, И.Рандерс, Д.Медоуз 2008) [6]. В этих работах разработаны модели мировой динамики, включавшие показатели численности населения Земли, обеспеченности энергией и сырьевыми ресурсами;; рассматривались перспективы продовольственного обеспечения населения и опасность загрязнения окружающей среды.

Всплеск интереса к вопросам прогнозирования будущего появился в 1990-е годы в связи с приближением третьего тысячелетия и естественным желанием заглянуть в новый век. В этот период было выполнено множество футурологических исследований, авторы которых, осмысливая итоги бурного XX века с его двумя мировыми войнами, небывалым развитием научно-технического прогресса и демографическим взрывом, пытались представить мировое развитие в XXI веке.

В последние годы в мире наблюдается новый подъем активности в области геополитического и социально-экономического прогнозирования будущего [1]. Наряду с глобальными экологическими и энергетическими вызовами это связано с существенным обострением продовольственной проблемы, вызванной значительным ростом численности населения Земли. Нагрузка на окружающую среду продолжает быстро расти, несмотря на развитие технологий и усилия общественных организаций. Фактически человечество уже вышло за разумные пределы и попало в область неустойчивого развития.

С нарастающей силой проявляется еще одно обстоятельство. Человечество переживает эпоху глобальной демографической революции, -время, когда после взрывного роста круто меняется характер развития и мир переходит к ограниченному воспроизводству (PricewaterhouseCoopers 2006) [7]. Демографические процессы стали важнейшей проблемой и для России.

На рубеже веков четко обозначилась в качестве важнейшей задача обеспечения устойчивого развития в масштабах всего человечества (Д.Медоуз, Й.Рандерс, Д.Медоуз 2008) [6]. Достижение этой цели делает в высшей степени актуальной разработку прогнозов, позволяющих формировать долгосрочные цели и стратегию их достижения. На сегодня социально- экономическое прогнозирование ведется в различных временных диапазонах - от краткосрочных (до одного года), среднесрочных (от одного до пяти лет) до долгосрочных (от пяти до 30-50 лет). Если цель краткосрочных моделей - прогнозирование, направленное на конъюнктурную деятельность, а задача среднесрочных моделей заключается в выборе политики развития в ближайшем будущем, то долгосрочные модели предназначены для исследования условий длительного экономического роста.

Основные современные методы и модели долгосрочного прогнозирования приведены в Таблице 1 работы [1].

Для нашего исследования наибольший интерес из них представляют методы синергетики, теория русел и джокеров, механизмы возникновения и развития катастрофических событий, предложенные в (С. П.Капица, С. П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий, 2003) [8].

Основными объектами социально-экономического прогнозирования являются демография, экономика, социальная сфера, экология и научно-технический прогресс (НТП). Они определяют так называемые параметры порядка - те медленные переменные, под поведение которых будут подстраиваться остальные. Ключевыми параметрами порядка на протяжении мировой истории были и остаются - численность населения (Ы), доступные ресурсы (Я) и уровень технологий (Т).

Перечислим основные методы и модели прогнозирования:

1. Экстраполяционный метод прогнозирования (A.A. Дынкин 2007) [9] В. Г. Клинов (2008) [10]

2. Методы экспертных оценок (Н. В. Гапоненко 2008) [11J

3. Интегральное макропрогнозирование Ю. В. Яковец (2008)

4. Метод написания сценариев. (Б. Н. Кузык, Ю. В. Яковец 2005) I

12].

5. Методы математического моделирования (PricewaterhouseCoopers 2006) [7], (Wilson, Purushothaman 2003) [13], (JI. Сто л ерю 1974) [14]

На наш взгляд методы компьютерного моделирования с использованием математических макромоделей, адекватно описывающих динамику процессов социально-экономического развития, на сегодня являются самым мощным средством для краткосрочного, среднесрочного и долгосрочного прогнозирования.

Чтобы надежно и научно обоснованно прогнозировать мировое социально-политическое развитие, необходимо опираться на долгосрочные тенденции, которые имели место в прошлом и продолжают дейст3 вовать в ближайшем будущем. К числу таких тенденции принадлежат длинные волны экономического и социально-политического развития, исследованные выдающимся русским экономистом и социологом Н.Д.Кондратьевым (Кондратьев, 1993) [15], а затем многими другими учеными. '

Одной из математических теорий, описывающих резкие переходы, является теория катастроф. Как научная дисциплина она появилась в 70-х годах прошедшего века в основном благодаря работам Тома [16]. I t

Важным достоинством этой теории является то, что она не требует подробных математических моделей и может описывать ситуации не "количественно", а "качественно", а ее результаты и выводы иллюстрируются простыми геометрическими образами.

Моделирование кризисных явлений в социально-экономических системах помогает глубже понять природу данных явлений, а также де-- лать соответствующие прогнозы, и на их основе проводить нужное регулирование в этих системах.

Изучением принципов и методов управления различными системами, процессами и объектами занимается теория управления.

В нашей работе для описания кризисных социально-экономических явлений мы предлагаем использование методов одного из новейших направлений в современной математике - фрактального анализа.

Само понятие фрактал было введено Бенуа Мандельбротом в семидесятые годы. Термин происходит от латинского fractus, прилагаi тельного от глагола frangerе ломать, разбивать на части. То есть, как гласит одно из определений фракталов, фрактал - это множество, части которого подобны целому.

Понятие фрактала тесно связано с понятием самоподобия. В частг ности, внимание на самоподобный характер поведения цен обратил основоположник фракталов - Бенуа Мандельброт [17].

Мандельброт обнаружил, что произвольные внешне колебания цены могут следовать скрытому математическому порядку во времени, I который не описывается стандартными кривыми. >

Бенуа Мандельброт занялся изучением статистики цен на хлопок за большой период времени - по этим ценам имелись надежные данные более чем за сто лет. Колебания их в течение дня казались непредсказуемыми, но компьютерный анализ смог проследить тенденцию ценового изменения. Он вывел график, на котором колебания цен за один конкретный день были наложены на более длительный отрезок времени. Мандельброт проследил симметрию в длительных колебаниях цены и колебаниях кратковременных. Это открытие оказалось полной неожиданностью для экономистов, пользовавшихся математикой только для вычислений. Да и сам Мандельброт удивился собственным же открытиям. Он не вполне понимал их тайный смысл, но чувствовал, что нащупал нечто очень важное. Позже выяснилось, что он интуитивно начал разрабатывать рекурсивный (фрактальный) метод в экономике. Более специфический технический термин для подобия между частями и целым - самоблизость. Она связана со знаменитой концепцией фракталов, называемой самоподобием, в котором каждая деталь картины уменьшена или увеличена с одинаковым отношением - процесс, знакомый любому, кто когда-либо заказывал увеличение фотографии: Финансовые рыночные графики, однако, далеки от самоподобия.

Практической иллюстрацией мультифрактальных свойств,реальных временных рядов может послужить сравнение графиков колебаний биржевых цен на нефть в течение нескольких месяцев, года и десятилетия. I

Проиллюстрируем самоподобный характер цен на нефть. N

24 иен 29 июк эмюл виол 13ипп Union 22 иол 27 мол 31 иол 5 э»г tow 14аег

Рис 4. Биржевая цена на нефть, меняющаяся с 24 июня по 20 августа 2010 года

Brent). А J

ЯНВ МЭР май июл сен моя айв ше май июя гш

Рис.5 Биржевая цена на нефть, меняющаяся в течение 2009-2010 гг.

Brent)

Рис. 6 Биржевая цена на нефть, меняющаяся в течении десятилетия 1998 - 2010 гг. (Brent)

Картина принципиально не меняется, даже с учетом сильного взлета и падения цен на нефть в 2008-2009 гг. Периоды взлетов сменяются периодами падений, а те в свою очередь, периодами плавного роста или падения.

Из Рис. 4-6 очевидна качественная картина самоподобного поведения цен на нефть. Так, Рис. 4 отражает динамику нефтяной цены за два месяца, Рис 5. — за два года, а Рис 6. - за двенадцать лет. Все приведенные графики характеризуются постоянным чередованием роста и падения цены на нефть. Характерной чертой такого поведения является приближенный характер их самоподобия. Закономерности такого поведения как раз и возможно описать методами фрактального анализа [22 -24].

На Рис 7. представлено поэтапное фрактальное моделирование временного ряда на основе его тренда, приведенное в статье Бенуа Мандельброта «Мультифрактальная прогулка вдоль Уолл-Стрит» [25].

Рис 7. Поэтапное фрактальное моделирование временного ряда На основе его тренда. К Г': ^ / Если подробно рассмотреть практически любой'график" динамики экономического или социального процесса можно условно выделить две составляющие - определенный линейный тренд на участке и:колебания параметра со сравнительно малым размахом относительнолинии тренда. ' ■ ^;"Г •

Процесс начинается с величины, представленной прямой'линией тренда (на Рис. 7 не показана). Затем используется ломаная линия, названная генератором, чтобы создать модель, которая соответствует колебаниям цены вверх и вниз. Генератор состоит из трех частей, которые интерполированы вдоль прямой линии тренда. (Генератор с меньшим количеством чем три, не смоделировал бы цену, которая мож;ет двигаться вверх и вниз.) После прорисовки начального генератора, его три части интерполированы тремя более короткими. Повторение этих шагов воспроизводит форму генератора, или ценовую кривую, но, в сжатых масштабах. И горизонтальная ось (шкала времени) и вертикальная ось величина) сжаты, чтобы приспособить к горизонтальным и вертикальным границам каждую часть генератора.

На иллюстрации показаны только первые стадии, хотя процесс продолжает повторяться. В теории он не имеет конца, но пракшчески бессмысленно интерполировать до интервалов времени короче чем те, которые соответствуют интервалам между сделками, коюрыс могут происходить по нескольку в минуту. Понятно, что каждая часть по форме примерно подобна целому. То есть инвариантность масштаба присутствует просто потому, что так это было построено. Новость (и неожиданная) - в том, что эти фрактальные кривые показывают богатство структуры - основа и фрактальной геометрии и теории хаоса.

Несколько отобранных генераторов выдают так называемые униф-рактальные кривые, которые показывают относительно спокойную картину рынка, в соответствии с современной портфельной теорией. Но спокойствие преобладает только при необычно специфических условиях, которые удовлетворяются только этими специальными генераторами. Предположения на основе этой упрощенной модели - одна из центральных ошибок современной портфельной теории. Сильно похоже на теорию морских волн, которая запрещает их вершинам превышать шесть футов.

Красота фрактальной геометрии состоит в том, что она делает возможным моделировать как спокойные рынки, хорошо моделируемые методами портфельной теории, так и возбужденные состояния торговли недавних месяцев. Только описанный метод создания фрактальной ценовой модели может быть изменен, чтобы показать, как деятельность рынков ускоряется и замедляется - сущность волатильности. Эта измепчивость - причина тому, что приставка "мульти-" была добавлена к слову "фрактал".

Приведем простую аргументацию того, что из самоподобия кривых динамики цен следует их фрактальный характер. При уменьшении масштаба цен 5 и сохранении осцилляционного характера графиков независимо от масштаба, следует зависимость длины кривой графика L от масштаба, т.е. L = Ь(д). Представив характер этой зависимости в виде: L = L0'3(1'd) на выделенном отрезке кривой, мы видим, что данный график представляет собой фрактальную кривую, или просто фрактал.

При описании ценовой динамики мирового нефтяного рынка будем » использовать фрактальный подход к описанию социально-экономических систем, разработанные нами в [26 - 28], и который мы предлагаем называть мультифрактальной динамикой.

На сегодняшний день особый интерес представляет использование фрактальных показателей для предсказания бифуркационных явлений в г социально-экономических и природных системах.

БИФУРКАЦИЯ — (от лат. bifurcus — раздвоенный) — в экономя> ке: разветвление структуры экономической системы, разделение траектории, характера функционирования социально-экономической ежпемы при малом изменении управляющих параметров. Моно сказать, что бифуркация это приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении её параметров или вообще без их изменения [29].

Рынок углеводородов в целом и самого на сегодняшний день важного — нефти всегда представлял важную, но крайне сложную задачу для моделирования и предсказания его поведения. К важной особенности нефтяного рынка относится и тот факт, что между спросом на нефть и ее ценой корреляция прослеживается достаточно слабая.

Динамика средней цены на нефть за все время ее добычи в промышленных масштабах, приведенной к сегодняшней покупательной способности американского доллара, приведена на Рис. 8 5 $120 $!Н—I—.—.—.-.-.-.-.—.—.—.—.-.—■-.—■-.—.-.-.-.-.—.-.—.-.-.-.-г

1861 1866 1871 1876 1481 1886 1891 1896 1 901 1906 1911 1316 1921 1926 1931 1936 1941 1946 1951 1956 1961 1966 1971 !97о 19'1 13 6 1СЭ1 1 31 2 Л 500о

Рис.8 Цена на нефть за последние 150 лет, приведенная к современной покупательной способности доллара США.

Возникает вопрос: каковы основные факторы, влияющие на колебания мировых нефтяных цен? Нефтяные аналитики любят объяснять движение нефтяных цен фундаментальными факторами, действие которых, на наш взгляд, мало что объясняет. I

Как нами уже отмечалось, рассмотрев динамику нефтяных цен в I нескольких временных масштабах, нельзя не отметить ее фрактального, самоподобного характера. Кроме того, практически нет смысла рассматривать отдельно динамики цен на различные сорта нефти - они имеют сильную связь с коэффициентом корреляции около 0,98.

В условиях резких изменениях цен на нефть ценность и значение такого прогноза возрастает.

Одним из способов изучения и прогнозирования цены на нефть является использование методов фрактального анализа [22 - 24].

В данной диссертации в рамках разработанной нами математической модели мы дадим анализ динамики нефтяных цен в течении нескольких периодов и на основании этого анализа сделаем прогноз.

Важнейшим индикатором состояния российской экономики служит курс российского рубля по отношению к американскому доллару.

В настоящее время динамика валютного курса показывает устойчивый рост основных мировых валют — американского доллара и евро по отношению к рублю. Но этот рост происходит достаточно плавно и данный характер существенно отличается от его динамики во время кризиса 1998 года в России.

Одной из целей нашей работы является построение магматической модели динамики валютного курса на основе фрактального подхода, которая достаточно точно указывает на бифуркационную природу валютного кризиса 1998 года. Тогда за очень короткую продолжительность времени, порядка нескольких недель, курс американского доллара взлетал и падал в несколько раз.

В наших работах [26, 27] мы предложили при описании динамики валютного курса за основной параметр процесса X брать тангенс угла наклона графика линейного тренда процесса. В рамках фрактального подхода параметр X и другие величины считаются в основном зависящими от значения фрактальной размерности £> графика, отражающего динамику процесса, т.е. Х-Х{1У). Такой подход у спет н о п р и м е и я лея нами к исследованию динамики валютного курса в рамках фрактальной модели [28]; • • .Л.'--.;,:;;

Высокая волатильность пары евро-доллар и сложный характер факторов, влияющих на евро, в период времени 2009)-/20Ш "годы, несомненно, свидетельствует об актуальности исследования динамики; параметров данного объекта методами математического моделирования. В частности это позволяет более глубоко понять причины: поведения курса евро по отношению к американскому доллару в настоящее врем я и сделать прогноз на перспективу. V-'чу;,У;-/1,; .

С этой целью мы будем использовать фрактальную модель динамики валютных курсов [26]. Новые, уникальные возможности для анал иза динамики валютного курса дает использование математически теории катастроф [36] совместно с фрактальными подходами. Построение же математических моделей, адекватно отражающих динамику: кризисных социально-экономических процессов на сегодняшний день является крайне актуальной задачей ввиду того, что существующие модели недостаточно точно описывают именно критические процессы и переход к

НИМ. ; .

Фрактальный подход наряду с применением к исследованию валютных курсов представляет большой интерес для исследования фондовых индексов, в частности индекса Доу-Джонса, лу'/ф;^*!

Индекс Доу-Джонса является старейшим среди существующих американских рыночных индексов. Этот индекс был создан для отележивания развития промышленной составляющей американских фондовых рынков.

Индекс охватывает 30 крупнейших компаний США. Приставка «промышленный» является данью истории — в настоящее время многие из компаний, входящих в индекс, не принадлежат к этому сектору. Первоначально индекс рассчитывался как среднее арифметическое цен на акции охваченных компаний. Сейчас для расчёта применяют масштабируемое среднее — сумма цен делится на делитель, который изменяется всякий раз, когда входящие в индекс акции подвергаются дроблению (сплиту) или объединению (консолидации). Это позволяет сохранить сопоставимость индекса с учётом изменений во внутренней структуре входящих в него акций [37].

Большую роль в экономике любой страны играют природные катастрофы и возможность влияния на них посредством управляющих параметров. • ' ' •

В данной работе изучается динамика уровня грунтовых вод в зависимости от фрактальной размерности речной системы.

В последние годы наука существенно продвинулась в разработке математических моделей лесных пожаров [39]. Лесные пожары возникают сегодня на планете как никогда ранее. Леса занимают более 74% территории Российской Федерации и каждый лесной пожар наносит существенный вред ее экономике. Так в 2008 году количество лесных пожаров на территории РФ составило по данным МЧС РФ более 30 тыс. [38]. Общая площадь лесных массивов, охваченных огнем, составила более 1 млн. га. Крайне актуален вопрос о лесных пожарах и в других странах. Растет количество лесных пожаров и иа территории Gill А. Так за последние 10 лет на борьбу с огнем американским правительством ежегодно тратиться более миллиарда долларов. В 2005 году, горело 3.5 млн. га американских лесов, и это казалось пределом, но.уже в 2006 году пожарами были охвачены 3,7 млн. га. ;

Наиболее часто в лесных; массивах возникают низовые лесные пожары, при которых выгорает лесная подстилка, подрост и--подлесок, травянистый и кустарниковый покров, валежник, корневища деревьев и

Т.П. . ' ;

В засушливый период при ветре могут возникать верховые пожаты, при которых огонь распространяется пор кронам деревьев, преимущественно хвойных пород. При горении торфа могут возникать подземи ыс пожары. v V •

В диссертации строитсяфрактальная модель лесных пожаров", и исследуется возможность влияния на них. различных факторов (управляющих параметров). • 4 ':.¿-р;';

Согласно традиционному подходу к изучению свойств сложных систем, а это могут быть и природные, и социальные, и экономические системы разных уровней, необходимо изучить полное множество состояний системы и определить максимально возможное значение ее параметров, а лишь потом анализировать их свойства. Здесь можно провести аналогию с решением множества дифференциальных уравнений, описывающих интересующую нас систему. А. Пуанкаре убедительно показал, что во многих случаях для описания динамики сложной необходим лишь небольшой объем информациикачественного характера [41]. Особенно интересовало Пуанкаре, как качественно меняется поведение системы при количественном изменении описывающих; ее параметров. ""V ^ ■

Естественно, наиболее интересующими исследователя в, поведении сложных систем, являются точки перехода из одного состо я н и я стт стем ы в другое в результате сильных и резких скачков ее основных параметров. Для финансовых систем это могут быть биржевые и экономические кризисы, для сельскохозяйственных систем — скачки урожайности1куль-тур и используемых посевных площадей. *Щ.г.;Ь'^'Й/-

Очень важно уметь в реальных условиях распознавать и предсказывать такие моменты в эволюции систем. В современной прикладной теории катастроф достаточно большое внимание уделяется? т.п;¿.'¡"флагам" катастроф, то есть характерным видам изменений'параметров сис-темь1 в предкритическйе моменты [45]. Очень часто,; когда "вывешивается" один "флаг" катастрофы, то если более внимательно присмотреться к системе, то можно обнаружить и другие признаки^надвигаю'щё1 ?ося кризиса. ■ Й^ГЙ^ЙЙ-'.^*:;'-Й йй'

В то же время, среди многих новых идей и подходов центральное место занимает понятие фрактальных множеств или фракталов. '

В диссертации изучается поведение, фрактальной размерности О динамических кривых, описывающих поведение ряда основных параметров сельскохозяйственного сектора экономики- Тверской области, начиная с 1950 года и ее использование в качестве флага кризисных'явлений. Фрактальная размерность кривых является- ^характеристикой СЛОЖНОСТИ ИХ структуры. ,\

В работе [51] нами было показано, что при приближении О к критическому значению система, описываемая фрактальной временной кривой, становится неустойчивой, т.е. значение величины; за; короткий промежуток времени по сравнению со временем наблюдения может измениться в несколько раз. На этом и основано использование резкого возрастания фрактальной размерности временного ряда в качестве "флага" катастрофы. |

Обобщая вышесказанное, можно сделать ряд заключений; . :

Почему динамика большинства социально-экономических процессов описываются мультифрактальными кривыми? : ; ' I

Потому, что они существенно зависят от выбора временного масштаба 8 и вследствие наличия достаточно интенсивных осцилляций вокруг направления тренда длина этих кривых в выбранном масштабе 8 длины кривых растут степенным образом как д1'0 .V■ . .; ; г

Большинство процессов могут быть описаны мультифракгальны-ми кривыми. Мультифрактальная кривая - квазифрактал ьная крикривая, фрактальная размерность которой меняется от участка к участку, но в пределах участка остается постоянной. По характерным изменениям фрактальной размерности можно делать о ходе данного-процесса й предсказывать его дальнейшее развитие. Что особенно важно использовать характерную динамику фрактальных параметров в качестве «флага катастрофы» [51]. . О ;

Одним из важнейших факторов, влияющих на процессы в социально-экономических системах, является фактор их управления или, регулирования. Как правило базой регулирования процессов является наличие достоверного прогноза их эволюции, что возможно лишь при построении их математических моделей. С этой целью необходимо выявить основные параметры их структуры и построить эволюционные уравнения их динамики. Далее в зависимости от характера прогнозов мы можем выбирать различные схемы управления процессами за счет различных способов воздействия на управляющие параметры системы.

Одним из способов выбора основ основных факторов структуры социально-экономических систем является концепция параметров порядка (Ахромеева Т.С. и др. 2007) [52-56]. Под ними понимаются ведущие переменные, которые в результате самоорганизации начинают определять динамику остальных характеристик исследуемой системы. Наличие и выявление параметров порядка дает возможность описывать многие сложные нелинейные системы просто. Именно таким моделям и отдается предпочтение при принятии решений по следующим причинам.

Во-первых именно они достаточно адекватны изучаемому объекту.

Во-вторых, потому, что существует барьер понимания. По данным психологов, человек может учесть при принятии решений лишь 5-7 факторов, осмысливать динамику не более 5-7 медленно меняющихся переменных, непосредственно работать не более, чем с 5-7 людьми. Поэтому понимание и принятие решений обычно связано с построением и исследованием достаточно простых моделей.

В-третьих, как бы ни была сложна исследуемая модель, ее использование лицом, принимающим решения, требует обеспечения «прог--; ['.:■ ¡'-у- ''.-./ зрачности» модели и «свертывания» ее до небольшого: количества; параметров и переменных, допускающих простую и ясную; интерпретацию [57-59] V ' f

Важным моментом развиваемого в диссертации подхода является то, что часть параметров модели являются управляющими параметрами. Изменяя их значения можно на основании свойств модели делать предсказания поведения системы в дальнейшем и вырабатывать, рекомендации по предотвращению критических явлений и достижению системой оптимальных характеристик. Так при изменении управляющих параметров наша модель показывает переход из некрйзиенрй области? в область катастроф. • ' ■^'/■■у у}

В диссертации предложена схема классификации г социально-экономических процессов, что важно для их регулирования: Эта классификация очень просто возникает в процессе построения и исследования предложенной в диссертации математической модели, представленной на Схемах 1 и 2\± Главе 4. ; ч^ ; ; :

В зависимости от знака коэффициента Вк и значения коэффициентов В0 и Д, нашей модели все процессы можно разделить на 4типа. •

Все процессы, описываемые мультифрактальными кривыми в завп-симости от значения фрактальной размерности И и знака.коэффициента В к можно наглядно представить в виде таблицы {Таблица /). / Г:

Таблица 1.

Sign Вк I 11 III монотонно осцилляция бифуркация катастрофа +1 ' 7<£><£>0 Оо< В < В0+ В0+<В<Вь}: -г йь<0<2

-1 7<£><А?- Во-< В < Вд+ ВЬ<В<2 , В(Н<В<01;

Примером процессов типа II - IV являются ранееописанные.про-цессы динамики валютных курсов, нефтяных цен, посевных площадей и т.д. К монотонным процессам типа I относится процесс роста народонаселения, более подробно рассмотренный в Главе 7. .■:'''л"^.=М■;

Основной задачей диссертации является построение модели муль-тифрактальной динамики в которой тангенс углалокального;трёнда находился в функциональной зависимости от фрактальной; ¡размерности соответствующего участка мультифрактального объекта. - Ж' • :

Важным моментом построенной математической модели является то, что часть ее параметров являются управляющими. Изменяя их значения можно на основании свойств модели делать предсказания поведения системы в дальнейшем и вырабатывать рекомендации по предотвращению критических явлений и достижению системой' оптимальных характеристик. Так при изменении управляющих параметров наша модель показывает переход из некризисной области в область катастроф и обратно. ' '■■

Научная новизна результатов диссертации состоит: ;

1. В создании и развитии принципиально новой математической модели социально-экономических процессов, позволяющей описывать поведение линейного тренда с достаточной степенью точности, с! предложении новых концепций фрактальной кривой, как, тол стой линии, пн^ риной д°'1 в £> - мерном пространстве и фрактальной шкалы ."температур" мультифрактальных процессов, в доказательстве эффективности использования фрактальной размерности временных "рядов как "флага" катастроф для природных и социально-экономических процессов. '.У^'":-'

2. В предложении нового принципа минимума фрактальной .он'рсдё-ляющей функции Уф), определяющего направленность экономических процессов, описываемых мультифрактальнымигкрйвымш.Ц;^ ; ТУ

3. В предложенной новой схеме классификации динамик социально-экономических процессов по значению фрактальной размерности параметров динамики систем и прогноза. . : ; ; П

4. В построении нелинейной модели валютного кризиса 1998 года, учитывающей его мультифрактальную природу, и доказательстве .бифуркационной природы валютного кризиса 1998 года в рамках фрактальной модели и катастрофы типа А3ь в динамике пары евро-доллар. :

5. В построении проблемно-ориентированных мультифрактальных моделей для динамики следующих социально-экономических показателей: валютных курсов, цен на нефть, динамики народонаселения. ~ "

Полученные в диссертации теоретические положения в целом вносят вклад в создание математических моделей ; социальноэкономических процессов на основе модели мультифрактальной динамики. Центральным моментом развиваемого подхода является теория, методы прогноза и управления данными процессами. Важнейшей особенностью создаваемой модели является наличие в ней учета катастроф, что позволяет использовать ее для описания кризисных процессов и управления ими.

Объект исследования

Объектом исследования в нашей работе является динамика процессов, происходящих в социально-экономических системах.

1 (

Цели диссертационной работы.

Целью работы является создание принципиально нового метода исследования и управления процессами в социально-экономических системах - метода мультифрактальной динамики. Мультифрактальиая динамика позволяет описывать линейный тренд процессов с достаточной степенью точности. Центральным вопросом развиваемого подхода является теория, методы прогноза и управления данными процессами. Также целью диссертационной работы является исследование динамики параметров системы с учетом возможности катастрофических явлений и бифуркаций, что позволяет использовать ее для описания кризисных процессов и управления ими.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы математического моделирования, теории фракталов, фрактального и мультифрактального анализа, мультифрактальной динамики, методы теории катастроф, регуляризоваиый метод Ньютона, методы символьно-численного программирования в среде МАРЬЕ.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Вывод и исследование основного уравнения для скорости линейного тренда мультифрактальной динамики, исследование катастроф и управление катастрофами в мультифрактальной динамике.

2. Доказательство эффективности использования фрактальной размерности временных рядов как "флага" катастроф для природных и социально-экономических процессов на конкретных примерах и принцип минимума фрактальной определяющей функции У(О), определяющий направленность экономических процессов, описываемых мультифрак-тальными кривыми и схема классификации динамик социально-экономических процессов по значению фрактальной размерности параметров динамики систем и прогноза.

3. Фрактальный анализ валютных временных рядов и построение нелинейной фрактальной математической модели валютного кризиса 1998 года, доказательство бифуркационной природы валютного кризиса 1998 года в рамках фрактальной модели и наличие катастрофы типа Азь в динамике пары евро-доллар в рамках фрактальной модели, проведение анализа цен на нефть в математической модели мультифрактальной динамики и их прогноз.

4. Проведение анализа цен на нефть в математической модели мультифрактальной динамики и их прогноз, выработка конкретных методов управления нефтяными ценами в рамках модели мультифрактальной динамики.

5. Моделирование роста народонаселения и его прогноз на основе модели мультифрактальной динамики.

Достоверность результатов исследования основана:

- на строгом математическом обосновании концепции мультифрактальной динамики для описания социально-экономических процессов;

- на корректности теоретической постановки решаемых задач, адекватно описывающих исследуемые процессы и объекты;

- на строгом математическом выводе основного уравнения мультифрактальной динамики;

- на хорошем согласии предсказаний нефтяных цен в конце 2009 г. и 2010 гг. с фактическими данными.

- в строгом доказательстве эффективности использования фрактальной размерности временных рядов как "флага" катастроф для природных и социально-экономических процессов;

- на соответствии результатов расчета и опытных данных по эффекту нефтяного "пузыря" 2008 года.

Практическая значимость

Разработанные в диссертации математические модели и методы, а также вычислительные алгоритмы и программы могут быть использованы для решения следующих задач:

1. Оценка динамики валютных курсов и построение нелинейной фрактальной математической модели валютных кризисов с целыо их предсказания, прогноз валютных кризисов на основе математической теории катастроф в рамках модели мультифрактальной динамики.

2. Использование фрактальной размерности временных рядов как '"флага" катастроф для конкретных природных и социально-экономических процессов.

3. Анализ цен на нефть в математической модели мультифракталь-ной динамики и их прогноз, оценка возможности возникновения эффекта нефтяного "Пузыря" в динамике нефтяных цен, использование конкретных методов управления нефтяными ценами в рамках модели мультифрактальной динамики.

4. Прогноз динамики роста народонаселения в рамках модели мультифрактальной динамики.

5. Оценка возможности влияния на лесные пожары и наводнения на территории Тверского региона на основе определения фрактальной размерности лесных массивов.

Результаты диссертации используются при чтении лекций и ирове1 дении занятий со студентами по следующим курсам: «Математические методы в экономике», «Маркетинговые исследования в Интернет», «Прикладная статистика».

Апробация работы

Основные теоретические положения и результаты диссерищионной работы докладывались и обсуждались на семинарах Лаборатории математического моделирования Тверского государственного университета под руководством проф. А.Н.Кудинова (2006-2011 гг.), на семинарах преподавателей College of Business Administration Кентского государственного университета, США, шт. Огайо, 2003 г., на семинарах Лаборатории информационных технологий, ОИЯИ, 2006 - 2011 гг., Всероссийской конференции «Физические проблемы экологии», Москва, 1997, на международной конференции «Математические модели нелинейных возбуждении, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах», Тверь, 1998г., I конференции-семинара молодых ученых «Моделирование сложных систем», Тверь, 1999, Всероссийской конференции «Новые информационные ресурсы и технологии в исторических исследованиях и образовании», Москва, 2000г., Всероссийской научной конференции «Избирательные технологии в России и t

Европе», Тверь 2000, международных конференциях «Modern Trends in Computational Physics» (1998 и 2008 гг.), международной конференции «История и компьютер» Москва, 2001г., «V International Congress On 5

Mathematical Modeling» (Дубна) 2002 г, на XXV юбилейной международной научной школы-семинара имени академика С. Шаталина, Воронеж, 2002, на международных междисциплинарных научной конференциях IV, VI и VII «Курдюмовские чтения: Синергетика в естественных науках», Тверь, 2008, 2010, 2011 гг., на международной конференции «Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем», Москва 2008г., на Всероссийской конференции «Сопряженные задачи механики реагирующих сред, информатики и экологии», Томск, 2009, на Всероссийской конференции «Организационно-экономические и социальные проблемы села», ГвГУ, Тверь. 2010, на Десятой международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности», Санкт-Петербург, 2010г.

Исследования по теме диссертации получили финансовую i поддержку РФФИ: грант «Математическое моделирование развития региональных социально-экономических систем на основе фрактального подхода» №10-01 -97508-рцентра и грант 11-01-00565-а 2011-2013 гг. «Математическое моделирование состояний и катастроф нелинейных динамических систем», Министерства образования и науки РФ: Аналитическая ведомственная целевая программа «Развитие научного потенциала высшей школы» № 2.1.1/3314 на 2009 - 2010 гг. и № 2.1.1/9240 на 2011 год, тема «Исследование и построение модели критических явлений физико-механических систем и динамических процессов.» № Гос. регистрации 01201056465 от 27.05.2010.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Концепции: фрактальной кривой, как толстой линии шириной Зп~' в £> - мерном пространстве и фрактальной шкалы "температур" мультифрактальных процессов, мультифрактальной динамики для описания социально-экономических систем;

2. Вывод и исследование основного уравнения для скорости линейного тренда мультифрактальной динамики, исследование катастроф и управление катастрофами в мультифрактальной динамике;

3. Доказательство эффективности использования фрактальной размерности временных рядов как "флага" катастроф для природных и социально-экономических процессов на конкретных примерах и принцип минимума фрактальной определяющей функции У(О), которая указывает на направленность экономических процессов, описываемых мультифрактальными кривыми;

4. Схема классификации динамик социально-экономических процессов по значению фрактальной размерности параметров динамики систем и прогноза;

5. Фрактальный анализ валютных временных рядов и построение нелинейной фрактальной математической модели валютного кризиса 1998 года, доказательство бифуркационной природы валютного кризиса 1998 года в рамках фрактальной модели и наличие катастрофы типа Азь в динамике пары евро-доллар в рамках фрактальной модели, проведение анализа цен на нефть в математической модели мультифрактальной динамики и их прогноз;

6. Доказательство наличия эффекта нефтяного "Пузыря" в динамике нефтяных цен в 2008 году.

7. Выработка конкретных методов управления нефтяными ценами в рамках модели мультифрактальной динамики;

8. Математическая модель мультифрактальной динамики роста народонаселения и его прогноз;

9. Доказательства эффективности использования фрактальной размерности основных параметров сельскохозяйственного сектора экономики как флага кризисных явлений;

10. Фрактальная модель лесных пожаров и наводнений на примере территории Тверской области. Схема распределения коэффициента относительного уровня наводнения 61 по территории Тверской области.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 79 работах, в числе которых 14 публикаций в журналах, рекомендованных ВАК, 17 -в трудах Всероссийских и Международных конференций, 39 - - в научных сборниках. ' '

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 230 страниц. Диссертация со-; держит 29 рисунков, 12 таблиц, список литературы из, 176; паи мен рва- ;

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации решена крупная фундаментальная научная проблема: создан принципиально новый метод исследования социально-экономических систем - метод мультифрактальной динамики. Он позволяет описывать динамику линейного тренда этих систем.

Приведем основные результаты, полученные в ходе диссертационного исследования:

1. Концепции: фрактальной кривой, как толстой линии шириной д0'1 в В-мерном пространстве и фрактальной шкалы "температур" мультифрактальных процессов, мультифрактальной динамики для описания социально-экономических систем;

2. Вывод и исследование основного уравнения для скорости линейного тренда мультифрактальной динамики, исследование катастроф и управление катастрофами в мультифрактальной динамике;

3. Доказательство эффективности использования фрактальной размерности временных рядов как "флага" катастроф для природных и социально-экономических процессов на конкретных примерах и принцип минимума фрактальной определяющей функции У(В), определяющий направленность экономических процессов, описываемых мультифрактальными кривыми;

4. Схема классификации динамик социально-экономических процессов по значению фрактальной размерности параметров динамики систем и прогноза;

5. Фрактальный анализ валютных временных рядов и построение нелинейной фрактальной математической модели валютного кризиса 1998 года, доказательство бифуркационной природы валютного кризиса 1998 года в рамках фрактальной модели и наличие катастрофы типа А3ь в динамике пары евродоллар в рамках фрактальной модели, проведение анализа цен на нефть в математической модели мультифракталь-ной динамики и их прогноз;

6. Доказательство наличия эффекта нефтяного "Пузыря" в динамике нефтяных цен в 2008 году.

7. Выработка конкретных методов управления нефтяными ценами в рамках модели мультифрактальной динамики;

8. Математическая модель мультифрактальной динамики роста народонаселения и его прогноз;

9. Доказательства эффективности использования фрактальной размерности основных параметров сельскохозяйственного сектора экономики как флага кризисных явлений;

10. Фрактальная модель лесных пожаров и наводнений на примере территории Тверской области. Схема распределения коэффициента относительного уровня наводнения 9} по территории Тверской области.

Автор выражает глубокую признательность своему научному консультанту, заслуженному деятелю науки РФ, доктору физико-математических наук, профессору Алексею Никифоровичу Куди-нову за ценные советы, внимание к работе, поддержку, а также за „ постоянную и разностороннюю помощь в ходе подготовки диссертации.

Особые слова благодарности автор выражает сотрудникам со* вместной с ОИЯИ Лаборатории математического моделирования Цветкову Виктору Павловичу, Цирулеву Александру Николаевичу, Михееву Сергею Александровичу, Беспалько Евгению Валерьевичу, Катулеву Александру Николаевичу, Пузынину Игорю Викторовичу, Айряну Эдику Арташевичу за внимание к работе и полезные советы и дискуссии.

1. А. В. Бузгалин, А. И. Колганов «Теория социально-экономических трансформаций.(Прошлое, настоящее, будущее экономик „реального социализма" в глобальном постиндустриальном мире)» — М.:ТЕИС, 2003.

2. Э.В.Ильенков. Диалектика абстрактного и конкретного в научно-теоретическом мышлении// М.: Институт философии АН СССР, 1960. 315с.4 . Рой, ОМ. Исследование социально-экономических и политических процессов / О.М. Рой. СПб.: Питер, 2004. С. 22.

3. Форрестер Дж. Мировая динамика. М.: Наука. 1978.

4. Медоуз Д., Рандерс Й., Медоуз Д. Пределы роста. 30 лет спустя. М.: Академкнига. 2008.

5. Global entertainment and media outlook: 2011 -2015. In-depth analysis and forecasts for advertising and consumer spending in 13 major industry segments. URL: http://www.pwc.com (Дата обращения 21.05.2009)

6. Капица С. П., Курдюмовым С. П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего //М: URSS, 2003.

7. Дынкин А. А. (Ред.). Мировая экономика: прогноз до 2020г. М.: Магистр. 2007

8. Клинов В. Г. Мировая экономика: прогноз до 2050 г. Вопросы * экономики 5. 2008, 62-79

9. Гапоненко Н. В. Форсайт. Теория. Методология. Опыт. М.: ЮНИ-ТИ ДАНА. 2008.

10. Яковец Ю. В. Прогноз технологического развития мира и России и стратегия инновационного прорыва. М.: МИСК 2008.

11. Wilson I., Purushothaman R. Dreaming with BRICs: The Path to 2050. Goldman Sachs Global Economics Paper 99. 2003.-14. Столерю JI. Равновесие и экономический рост (принципы макроэкономического анализа). М.: Статистика. 1974.

12. Кондратьев И. Д. Большие циклы конъюнктуры и теория предвидения. М.: Экономика. 2002.

13. Том Р. Структурная устойчивость и морфогенез, — М.: Логос, 2002.

14. Б.Мандельброт. Фрактальная геометрия природы. М. Наука. 1992.

15. Коротаев А. В., Комарова П. Л., Халтурина Д. А. Законы истории: Вековые циклы н тысячелетние тренды. Демография, экономика, войны. М.: Ком- Книга/URSS. 2007.

16. Коротаев А. В., Малков А. С., Халтурина Д. А. Законы истории: Математическое моделирование развития Мир-Системы. Демография, экономика, культура. М.: КомКнига/URSS. 2007.

17. Люри Д. И. 2004. Траектория развития экологических кризисов. Доклады РАН 394/2: 252-254.

18. Кудинов А.Н., Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И.В. Фрактальная модель динамики цен на нефть в период 2008 начало 2009 г. и прогноз цен на нефть на ее основе.// Финансы и кредит, №28 (364) 2009, с. 12-15.

19. Кудинов А.Н., Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И.В. Анализ цен на нефть в 2009 г. и первой половине 2010 г. и их прогноз на конец 2010 г. в рамках фрактальной модели// Финансы и кредит 38(422) -2010. С.21-26.

20. Кудинов А.Н., Цветков В.П., Цветков И.В., Сажина О.И. Фрактальный анализ динамики цен на нефть// Программные продукты и системы. 2010. № 1.С. 10-11.

21. Benoit В. Mandelbrot A Multifractal Walk Down Wall Street// Scien-„ tifie American. Feb. 1999 pp 70-73.

22. Цветков И.В. Теория катастроф и фрактальная модель кризисных социально-экономических процессов// Вестник Тверского государственного университета. Серия: Прикладная математика.№12. 2010.

23. Кудинов А.Н., Цветков В.П., Цветков И.В. Валютный кризис и бифуркационные явления в рамках фрактальной модели// Финансы и кредит. Выпуск 38(326). 2009

24. А.Н.Кудинов, С.А.Михеев, В.П. Цветков, И.В.Цветков Нелинейная фрактальная модель валютного кризиса // Программные продукты и системы. № 4. 2008 с. 117-119

25. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 488 с. (Справочная математическая библиотека.)

26. Карпушин А. ОПЕК: нефтяной пряник. Нефть России. 2005, № 7

27. Карпушин А. ОПЕК: нефтяной кнут. — Нефть России. 2005, № 8

28. Симония Н. Нефть в мировой политике. Международные процессы, т. 3. М., 2005, № 3

29. А. И. Колганов, А. В. Бузгалин «Экономическая компаративистика» — М.: ИНФРА-М, 2005.

30. Маслов О. Ю. Хронология знакового роста цен на нефть и секрет "предвоенной" наценки. URL: http://www.polit.nnov.ru/2008/09/06/oilrecordwar/

31. Потавин A.B. Долговые проблемы Греции.

32. URL:http://www.itinvest.ru/analytics new/reviews/strategic-analysis/4267/ (Дата обращения 25.05.2008)

33. Арнольд В.И. Теория катастроф. 3-е изд. доп. М. Наука 1990. -128с.

34. Берзон Н.И.,Аршавский А.Ю., Буянова Е.А. Фондовые индексы // Фондовый рынок / Под ред. Н.И. Берзона. — 3-е изд. — М.: Вита, 2002. — С. 364-367. — 559 с.

35. Министерство по чрезвычайным ситуациям. Официальный сайт. www.mchs.gov.ru (Дата обращения 15.11.2009)

36. П.Эндрюс, М.Финни. Новый взгляд на лесные пожары// В мире . науки. №10, 2007

37. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Т.6, изд.4. М. Наука. 1988

38. А.Пуанкаре. Избрашше труды в трех томах. М., "Наука", 1972— 1974

39. Цветков И.В. Фрактальная шкала температур. Седьмые Курдю-мовские чтения: Синергетика в естественных науках. Труды международной междисциплинарной научной конференции. Изд-во ТвГУ. Тверь. 2011. С.169-170.

40. Пригожин И. От существующего к возникающему. М.: Мир, 1985.

41. Maslov V.P. Tropical Mathematics and the Financial Catastrophe of the 17th Century. Thermoeconomics of Russia in the Early 20th Century. // RJMP, vol. 17, No 1, (2010)-p. 126-140.

42. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. М.: Мир, 1986.

43. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. М.: Мир, 1990.

44. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1985.

45. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф: Пер. с англ. М.: Мир, 1984.

46. Ласло Э. Век бифуркаций. Постижение изменяющегося мира // Путь. 1995. №7. С. 3-129, .

47. Том Р. Динамическая теория морфогенеза // На пути теоретической биологии. Пролегомены. М., 1970, С, 145 15

48. А.Н.Кудинов, С.А.Михеев, В.П. Цветков, И.В.Цветков Нелинейная фрактальная модель валютного кризиса // Программные продукты и системы. № 4. 2008 с. 117-119.

49. Ахромеева Т.СЛ, Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Структуры и хаос в нелинейных средах. М.: Физматлит. 2007.

50. Буданов В. Г. Методология синергетики в постнеклассической науке и образовании. Изд. 3-е. М.: Либроком/URSS. 2004.

51. Владимиров В. А., Воробьев Ю. Л., Малинецкий Г. Г. и др. Управление риском: Риск. Устойчивое развитие. Синергетика. М.: Наука. 2000.

52. Капица С. П. Феноменологическая теория роста населения Земли. Успехи физических наук 166/1: 63-80. 1996.

53. КоротаевА. В., Комарова II. Л., Халтурина Д. Д. Законы истории: Вековые циклы и тысячелетние тренды. Демография, экономика, войны. М.: Ком- Книга/URSS. 2007.

54. Малинецкий Г. Г. (Ред.). Режимы с обострением. Эволюция идеи. Законы коэволюции сложных структур. М.: Наука. 1998.

55. Малинецкий Г. F. Будущее России в зеркале синергетики. М.: Ком- Книга/URSS. 2006.

56. Малинецкий Г. Г. Математические .основы синергетики: Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. Изд. 5-е. М:. Издательство ЛКН/URSS. 2007.

57. Foerster Н. von, Mora М., Amiot L. Doomsday: Friday, 13 November, A.D. 2026. Science 132: 1291-1295. 1960.

58. Grossman G., Helpinan.E. Innovation and Growth in the Global Economy. Cambridge, MA: MIT Press. 1991.

59. Hoerner S .J. von. Population Explosion and Interstellar Expansion. Journal of the British Interplanetary Society 28: 691-712. 1975.

60. Jones Ch. I. R & D-Based Models of Economic Growth. The Journal of Political Economy 103: 759-784. 1995.

61. Jones Ch. I. The Shape of Production Functions and the Direction of Technical Change. The Quarterly Journal of Economics 120: 517-549. 2005.

62. Капица С. П. Очерк теории роста человечества. Демографическая революция и информационное общество. М.: Никитский клуб. 2008.

63. Кудинов А. Н., Сажина О. И., Цветков В. П., Цветков И. В. Фрактальная модель роста народонаселения// Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. № 2 (2), 2010, с 132-138.

64. Григорьев А.В. Деловые циклы, циклы "пузырей", Кондратьевские циклы и Первая глобальная Великая депрессия. URL: http://www.polit.nnov.ru/2008/04/07/bubblecycles/

65. Е. Федер. Фракталы. М.: Мир. 1991.

66. С.В. Божокин, Д.А. Паршин. Фракталы и мультифракталы. РХД, Москва-Ижевск 2001.

67. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М. —Л., 1937.

68. Генкель П.А. Роберт Броун. Известия АН СССР, 1959, № 1

69. Н. Винер. Кибернетика, или Управление и связь в животном и машине. 2-е изд. М.: Советское радио, 1968

70. Giuseppe Peano. Arithmetices principia, nova methodo expósita, Au-gustae Taurinorum, 1889; Lezioni di analisi infinitesimale, v. 1—2, Torino, 1893

71. Baird, Eric. Alt.Fractals: A visual guide to fractal geometry and design. Chocolate Tree Books (2011) Chapter 3 "Not the Koch Snowflake", esp. pages 23-24.

72. Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д. Фракталы, подобие, промежуточная асимтотика. УФН, том 146, вып. 3. с.493-505.

73. А. N. Kudinov, V. P. Tsvetkov, and I. V. Tsvetkov. Catastrophes in the Multi-Fractal Dynamics of Social-Economic Systems. Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 18, No. 2, 2011, pp. 149-155.

74. Гуляева О. С., Цветков И. В., Холдер М. Анализ динамики биржевого индекса Доу-Джонса методами фрактального анализа// Труды XXV юбилейной международной научной школы-семинара имени академика С. Шаталина. Воронеж: Воронежский ГУ, 2002, с. 54-57.

75. Гуляева О.С., Цветков И.В., Холдер М., Возможность анализа динамики биржевого индекса Доу-Джонса фрактальными методами// Сб. науч. тр. Вып. № 2. -Тверь: ТвГУ-ТИЭМ. 2003. стр. 72-75.

76. Гуляева О.С., Цветков В.П., Цветков И.В. Фрактальный анализ валютных временных рядов//Финансы и кредит, 2007.№ 9. с. 30-36.

77. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М., 1967. 326 с.

78. Хасслер Уитни. Геометрическая теория интегрирования. Изд-во иностранной литературы, Москва I960 355 с.

79. Арнольд В. И., Варчёнко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. МЦНМО, 2009 г. 669 с.

80. Thom, René. Structural Stability andjMorphogenesis: An Outline of a General Theory of Models. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989. ISBN 0201-09419-3. .

81. Thompson, J: Michael T. Instabilities and Catastrophes in Science and Engineering. New York: Wiley, 1982. p.412.

82. Woodcock, Alexander Edward Richard: and Davis, Monte. Catastrophe Theory. New York: E. P. Dutton, 1978. p.248881, Zeeman, E.C. Catastrophe Theory-Selected: Papers 1972—1977. Reading, MA: Addison-Wesley, 1977. p.305.

83. А.Г.Курош. Курс высшей алгебры. 11 изд. M-:; 1975. 318 с.

84. Гуляева О.С., Цветков В.П., Цветков И.В. Фрактальный анализ валютных временных рядов//Финансы и кредит , 2007.№ 9. с. 30-36.

85. А.Н.Кудинов, С.А.Михеев, В.П. Цветков; И.В .Цветков Нелиней. ная фрактальная модель валютного кризиса // Программные продукты исистемы. № 4. 2008 с. 117-119.

86. Кудинов А.Н., Цветков В .П., Цветков И.В. Фрактальный анализ динамики курса американского доллара по отношению к российскому рублю за 2007 начало 2008 г.// 33(321), 2008. с. 55-58.

87. Федеральный закон от 10.12.2003 №173-Ф3 «О валютном регулировании и валютном контроле» (принят ГД ФС РФ 21.11.2003).

88. Балацкий Е.В., Серебренникова A.B. Новые инструментальные императивы в моделировании валютных курсов // Вестник Московского университета. Серия «Экономика». — 2008. — №5.

89. Бахрамов Ю.М., Глухой В.В. Организация внешнеэкономического деятельности. Особенности менеджмента. СПб.: Изд-во «Лань», 2007.

90. Григорьев К.А. Методические основы формирования валютного курса в условиях глобализации мировой экономики // Вестник ИНЖЭ-КОНА. Сер. Экономика. Вып. 3 (22). СПб.: СПбГИЭУ, 2008.

91. Панилов М. А. Развитие теорий валютного курса и эволюция принципов его моделирования // Аудит и финансовый анализ. 2009. -№4.

92. Джон Дж.Мэрфи Технический Анализ Фьючерсных рынков : Теория и Приктика. Превод с Английского. М."Финансы и статистика" 2002.

93. Малинецкий Г.Г., Подлазов A.B., Кузнецов И.В. О национальной системе научного мониторинга / Будущее России в зеркале синергетики / Под ред. Г.Г. Малинецкого. М.: КомКнига, 2006, с. 126-158.

94. Н. А. Бобылев, Ю. М. Бурман, "Леммы Морса для функционалов вариационного исчисления", Функц. анализ и его прил., 25:3 (1991), 111.

95. Zeeman E.C. Catastrophy theory: Selected papers. 1972 1977. Addi-- son-Wesley. Reading Mass. 1977

96. Арнольд В.И. Теория катастроф. 3-е изд. доп. М. Наука 1990.

97. Mandelbrot, В. В. & Van Ness, J. W. Fractional Brownian motions, fractional noises and applications. SIAM Review. 1968, 10, 422

98. Б. Бэбкок Теория хаоса и рыночная действительность. Финансовый спекулянт. 2005-11-27

99. И. Морозов, Р. Фатхуллин "FOREX от простого к сложному. Новые возможности с клиентским терминалом MetaTrader" Финансовый спекулянт. 2006-10-12

100. У. О'Нил "Как делать деньги на фондовом рынке. Стратегия торговли на росте и падении" Финансовый спекулянт. 2007-05-03

101. Готовчиков И. Ф. Состояние и перспективы математических исследований рынков капитала // Экономика 21 века. — 2003. № 4.

102. Теория Чарльза Доу //URL: http://www.stockvest.ru/technical-analysis/teoriadow.html

103. Мартин Гилман. «Дефолт, которого могло не быть». М.: Изд-во «Время», 2009.

104. О.В. Репченко Кризис 1998 года может вернуться. Международная информационная группа "Интерфакс" URL:http://www.interfax.ru/realtv/realtyinf.aspPsec =1459&id= 12050. (Дата обращения 25.05.2008)

105. Ермаков В.В., Калиткин H.H. Оптимальный шаг и регуляризация метода Ньютона.//Журн. вычислительной математики и математической физики. 1982. Т. 21. - № 2. - С. 491-497.

106. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. 2000.

107. Сетевое издание Эко-универ. Теория Башелье URL: http://ecouniver.com/2127-francuzskii-matematik-lul-bashele-teoriya.html. (Дата обращения 25.05.2008)

108. Цветков И.В. Фрактальная размерность временного ряда как "флаг катастроф в социально-экономических процессах. Моделирование сложных систем. Выпуск 3. Тверь. Изд-во ТвГУ. 2001. С. 121 -144.

109. Гуляева О.С., Толкаченко Г.Л., Цветков В.П., Цветков И.В. Фрактальная размерность в исследовании динамики валютного курса. Моделирование сложных систем. Выпуск 3. Тверь Изд-во ТвГУ. 2001. С. 176189.

110. Hurst Н.Е. Long-term storage capacity of reservoirs //Trans. Am. Soc. N.Y., 1981, V. 166. P. 770-808.

111. Цветков В.П., Цветков И.В., Гуляева О.С. Фрактальный анализ валютных временных рядов //Финансы и кредит. 9(249). 2007. с. 30-35.

112. Потавин A.B. Долговые проблемы Греции. Аналитический сайт Инвестиционной Компании «Ай Ти Инвест» URL: http://www.itinvest.ru/analytics new/reviews/strategic-analvsis/4267 (Дата обращения 15.08.2010)

113. А.Н.Кудинов, С.А. Михеев, В.П. Цветков, И.В.Цветков. Бифуркация параметра порядка в задачах астрофизики и экономики. Четвертые Курдюмовские юбилейные чтения. Синергетика в естественных науках. Издательство ТвГУ, Тверь: 2008. с. 36-37

114. Агентство Прогнозирования Экономики. Прогноз цен на нефть марки Urals (Юралз) до 2025 г. Прогноз от 01.01.2011.// http://www.apecon.ru/content/view/33/50 (Дата обращения 18.02.2011)

115. Андреев А.Ф., Диваев М.С. Применение методов имитационного моделирования для решения задач воспроизводства в нефтегазовой промышленности // Проблемы экономики и управления нефтегазовым комлексом, 2007 №8, с. 17-20.

116. М. Shrotach Santander Consumer USA Agrees to Acquire Certain Auto Loan Assets from Citigroup// URL:http://www.citigroup.com/citi/press/2010/100624b.htm (Дата обращения 18.02.2011)

117. D. Woodbury. Allstate Has Disappointing 4Q but We Don't Believe Current Returns Reflect Long-Term Earnings Power URL: http://www.morningstar.eom/l M/citi-futures-perspective CnaTa обращения 25.05.2008)

118. Robert Watson, CFA Senior Investment Analyst. Wealth Management EMEA Global Markets Perspective URL:http://www.citibank.com/uae/gcb/invest/docs/mktglobal.pdf (Дата обращения 25.05.2008)

119. Коробка Д.С. Символизация международных отношений. Бренд США на мировой арене: Pro et Contra // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Политология. - 2008. - № 5. - С. 72-80.

120. D. Gross. Pop!: Why Bubbles Are Great for the Economy. HarperCollins. 2007. S. 205.

121. О. Б. Брагинский Цены на нефть: история, прогноз, влияние на экономику//Рос. хим. ж. (Ж. Рос. хим. об-ва им. Д.И. Менделеева), т. LII, № 6 2008

122. Прогноз цен на нефть в 2009 году //URL: http://money-review.ru/oil/prognoz-cen-na-neft-v-2009-godu/ (дата обращения: 05.01.2010)

123. Петров В. Когда лопнет "нефтяной пузырь"? // Нефть России, 2004, №12, с. 8-15

124. Зырянов И.В. Мировой финансовый кризис в России Европе мире 2008-2010-2011 Прогноз развития кризиса на 2010 2011 год //http://www.abird.ru/articles/financialcrisis (дата обращения: 18.02.2009)

125. О .В .Митяев Гадания на нефти: сколько за баррель в 2010 году? URL: http://ria.ru/analytics/20090715/177498650.html (дата обращения: 12.07.2010)

126. В.Н. Вдовенков. Нефть победила кризис //Деловая газета Взгляд. Интернет-издание. URL:http://vz.ru/economy/2010/4/1 /388982.html 2010. (Дата обращения 05.03.2011)

127. Кузовкин A.A. Призрак нового кризиса // Нефть России, 2008, №2, с.7-12

128. А.Н.Алексеев. Беседа №6. Биржевая торговля нефтью Информационно-аналитический сайт НГФР (Нефть, газ и фондовый ры-hok)//URL: http://wvvw.ngfr.ru/discussion.html7006 (Дата обращения 11.05.2010)

129. В. Cohen. The Edge of Chaos, Crashes, Booms and Bubbles. 1996, 256 s.

130. Цветков И.В. Управление нефтяными ценами в рамках фрактального подхода // Управление экономическими системами: электронный научный журнал, 2011. № 2 (26). - № гос. per. статьи 0421100034.

131. А. Кваша. Что такое демография. Москва: Мысль, 1993 год.

132. Д. Шелестов, В. Минаев "Миграционные процессы в России". Журнал "Родина", № 10 за 1996 год.

133. Капица С.П. Сколько людей жило, живет и будет жить на земле. Очерк теории роста человечества. М.: 1999.

134. Капица С. П. Синергетика и прогноз будущего. М.: 1997

135. Современная демография. Под редакцией А. Я. Кваша, В. А. Ион-цевой. М.: Издат-во МГУ 1995.

136. Бондарская Г.А. "Изменение демографического поведения российских семей за 100 лет" /'"Мир России", № 4 за 1999 год.

137. Современная демография. / Под ред. А.Я. Кваши, В.А. Ионце-ва. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995

138. Борисов В. А. Демография — М.: Издательский дом NOTABENE, 1999, 2001. — 272 с.

139. Медков В. М. Демография: Учебное пособие. Серия «Учебники и учебные пособия». — Ростов-на-Дону: «Феникс», 2002. — 448

140. World Urbanization Prospects: The 1996 Revision.(Review) New York: United Nations, 1998.149. .Капица С.П. Математическая модель роста населения мира// Математическое моделирование. 1992. Т.4, N6. Стр. 65 80.

141. United Nations Department of Economic and Social Affairs

142. Population Division. World Population Prospects: The 1998 Revision URL: http://www.un.org/esa/population/pubsarchive/catalogue/catrptl.htm (дата обращения: 22.03.2011)

143. Кудинов A. H., Сажина О. И., Цветков В. П., Цветков И. В. Фрактальная модель роста народонаселения// Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. № 2 (2), 2010, с 132-138.

144. Растениеводство Тверской области. Статистический сборник. Территориальный орган Федеральной службы государственной статистики по Тверской области. Тверь. 2007.

145. Браславец М.Е., Кравченко Р.Г. Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве. — М., Колос, 1972-589 с.

146. Гатаулин A.M. Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве.- М., 1990.

147. Жданов С.А. Экономические модели и методы в управлении. М.: Дело и сервис, 1998.

148. Карасев А.И., Кремер Н.Ш. Савельева Т.И. Математические методы и модели планирования. М., 1987.

149. Кравченко Р.Г. Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве. М., Колос, 1978-589 с.

150. Кузьмин В.И., Гракин А.И. Основы моделирования систем. М.: МИРЭА, 1986.

151. Математические методы в экономике и моделировании социально-экономических процессов в АПК/В .А. Кундиус, Л.А.Мочалова, В.А. Кегелев, Г.С. Сидоров.-2-e изд., перераб. и доп. М.: Колос, 2001. - 288 с.

152. Моделирование народнохозяйственных процессов./ Под ред. И.В.Котова. Л., 1990.

153. Практикум по математическому моделированию экономических процессов в сельском хозяйстве./ Под ред. Карпенко. М., Агропромиздат, 1985-269 с.

154. П.Эндрюс, М.Финни Новый взгляд на лесные пожары// В мире науки. №10, 2007

155. А.Н.Кудинов, В.П. Цветков, И.В.Цветков Фрактальная модель лесных пожаров// Программные продукты и системы. № 2. 2010. С. 146147.

156. Безопасность и защита населения в чрезвычайных ситуациях : Учебник для населения / Под общей редакцией зам. министра МЧС России Г.Н. Кириллова. М. 2001;

157. Коровин Г.Н., Исаев A.C., Охрана лесов от пожаров как важнейший элемент национальной безопасности России. "Лесной бюллетень", № 89 1998 г.

158. А.П.Тищенко, И.В.Цветков. Фрактальная размерность текстур природных объектов и их идентификация методом фрактального анализа// Тематический сборник Моделирование сложных систем. Вып.1 Тверь. 1998.С. 156-161.

159. А.Н.Тихонов. Наводнения в бассейне малых рек Верхневолжья. Газета Тверская жизнь. № 165. 2009

160. Цветков И.В., Использование фрактальных временных рядов в комплексном анализе речных систем. Моделирование сложных систем. Выпуск 1. Тверь 1998. С. 145-155.

161. А.С.Изотова Последствия наводнений в Осташковском районе. Сайт газеты Тверская жизнь URL: http://tverlife.ru/news/10640.html (дата обращения: 22.03.2011)

162. Гинко С.С. Катастрофы на берегах рек.— JI. Гидрометеоиздат.1997.— 128 с.

163. Наводнения и борьба с ними.— Серия „Науки о Земле", № 6. 1982. Изд.-во „Знание". М.—48 с.

164. Пясковский Р.В.,Померанец К.С. Наводнения (Математическая теория и предсказания).—Л. Гидрометеоиздат. 1982.— 176 с.

165. Авакян А. Природные и антропогенные причины наводнений/2001, №9 с.22-27

166. Осипов В.И. Природные катастрофы на рубеже 21 ве-ка/Вестн.РАН.-2001 .-№4-с.291 -302

167. Нежиховский P.A. Наводнения на реках и озерах. М.: Гидрометеоиздат, 1988.

168. Цветков И.В. Фрактальная модель наводнений на примере речной системы Тверской области. Седьмые Курдюмовские чтения: Синергетика в естественных науках. Труды международной междисциплинарной научной конференции. Изд-во ТвГУ. Тверь.2011. С.274-277.