автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели социально-экономических и природных процессов на основе мультифрактальной динамики с кусочно-линейными и нелинейными трендами

На правах рукописи УДК 51-77+330.4

00505617*>

Крылова Ольга Игоревна

Математические модели социально-экономических и природных процессов на основе мультифрактальной динамики с кусочно-линейными

и нелинейными трендами

Специальность

05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 9 НОЯ 2012

Тверь 2012

005056176

Работа выполнена на кафедре общей математики и математической физики в ФГБОУ ВПО «Тверской государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук профессор Цветков Виктор Павлович

Официальные оппоненты:

ФГБОУ ВПО «Тверской государственный университет»

Заведующая кафедрой компьютерной безопасности и математических

методов управления

доктор физико-математических наук профессор

Андреева Елена Аркадьевна

ФГБОУ ВПО «Тверской государственный технический университет» Заведующий кафедрой программного обеспечения вычислительной техники

доктор физико-математических наук профессор

Калабин Александр Леонидович

Ведущая организация:

Центральный экономико-математический институт РАН

Защита состоится 14 декабря 2012 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 212.263.04 в Тверском государственном университете по адресу: 170002, г. Тверь, Садовый пер., 35, ауд. 200

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета по адресу: 170100 г. Тверь, ул. Володарского, 44а.

Отзывы на автореферат, подписанные и заверенные печатью, просим направлять по адресу: 170002 г. Тверь, Садовый пер., 35, диссертационный совет Д 212.263.04, ученому секретарю.

Автореферат опубликован на официальном сайте ВАК Министерства образования и науки РФ (http://vak.ed.gov.ru/) и на официальном сайте Тверского государственного университета (http://university.tversu.ru/aspirants/abstracts/)

Автореферат разослан « 9 » ноября 2012 г.

И. о. ученого секретаря диссертационного совета Д 212.263.04 доктор физико — математических наук доцент

я*/

Зингерман К. М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. В настоящее время глобальные социально -экономические и природные процессы часто характеризуются кризисными явлениями, для предотвращения или снижения уровня их последствий необходима целенаправленная деятельность на основе прогнозирования развития ситуации. Объектом исследования в данной работе являются процессы изменения глобальной температуры атмосферы, биржевой цены на нефть марки Brent, численности народонаселения. .

Основным способом прогнозирования поведения глобальных систем является моделирование. Широко известные методы и подходы, такие как модель фрактального броуновского движения1, экстраполяционный метод прогнозирования2'3 и другие4'5,6 не обеспечивают адекватное описание вышеперечисленных глобальных процессов в широком диапазоне условий7.

Это связано с существенно нелинейным характером поведения рассматриваемых систем, отсутствием детальной информация о происходящих в них процессах и внешних воздействий на них, возникновением ситуаций с неоднозначным исходом и рядом других обстоятельств. В частности, глобальные системы имеют свойство самоорганизации и фрактальный характер поведения8, которые должным образом не учитываются в моделях.

Целью исследования является повышение качества прогноза глобальных социально - экономических и природных процессов на основе анализа (посредством моделирования) их фрактальных свойств.

В настоящее время одним из перспективных методов фрактальной теории для описания глобальных и региональных социально-экономических и природных систем является метод мультифрактальной динамики9. Мультифрактальные особенности временных рядов хорошо выявляются при их структурном анализе с использованием методов графического трендового анализа. Поэтому предмет исследования - моделирование социально -экономических и природных процессов на основе совместного использования фрактального и трендового анализа является актуальным.

В моделях мультифрактальной динамики широко применяются кусочно-линейные тренды. Однако для процессов с большим размахом осцилляционной составляющей, например, глобального потепления, для повышения качества прогноза в моделях необходимо использовать более сложные тренды. В связи с

1 Б.Мандельброт. Фрактальная геометрия природы. M. Наука. 1992.

2 Дынкин A.A. (Ред.). Мировая экономика: прогноз до 2020г. M.: Магистр. 2007

'Клинов В. Г.. Мировая экономика: прогноз до 2050 г. Вопросы экономики 5.2008,62-79

Яковец Ю. В. Прогноз технологического развития мира и России и стратегия инновационного прорыва. M.: МИСК 2008.

5Б.Н, Кузык, Ю.В. Яковец. Россия - 2050: стратегия инновационного прорыва. М.: Экономика Столерю Л. Равновесие и экономический рост (принципы макроэкономического анализа). M.: Статистика 1974

A.A. Акаев, В.А.Садовничий. О новой методологии долгосрочного циклического прогнозирования динамики

развития мировой системы и России.// Прогноз и моделирование кризисов и мировой динамики / Отв.ред. А.А.Акаев, А.В.Коротаев, Г.Г.Малинецккй. - М.: Издательство ЛКИ, 2010. -с 5 - 69.

' Капица С. П., Курдюмов С. П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего //M: URSS, 2003

"Kudinov A. N., V.P.Tsvetkov, I.V. Tsvetkov . Catastropfes in multifractal dynamics. RJMP.vol. 18,№ 2 , 2012, pp. 149-155

этим актуальной является научная задача построения математических моделей глобальных социально - экономических и природных процессов на основе мультифрактальной динамики с нелинейными трендами.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы фрактального и трендового анализа, теории катастроф. Для повышения достоверности прогноза рассматриваются два направления - повышение точности расчета фрактальной размерности и повышение точности аппроксимации тренда процесса.

Область исследования. Содержание диссертации соответствует паспорту специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (физико - математические науки) по следующим областям исследований:

разработка, исследование и обоснование математических объектов; комплексное исследование научных и технических, фундаментальных и прикладных проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента;

разработка новых математических методов и алгоритмов проверки адекватности математических моделей объектов на основе данных натурного эксперимента.

Основные положения, выносимые на защиту;

1. Мультифрактальная модель глобальных социально — экономических и природных процессов с нелинейным трендом, основанным на модификации кусочно- линейного тренда за счет введения членов седьмой степени в уравнение трендовой линии.

2. Алгоритм анализа трендовой структуры и расчета фрактальной размерности временных рядов социально экономических и природных процессов и его программная реализация.

3. Результаты исследований процессов изменения глобальной температуры атмосферы, биржевых цен на нефть марки Brent, численности народонаселения.

Личное участие автора заключается в разработке алгоритма анализа трендовой структуры и расчета фрактальной размерности временного ряда, проведении вычислительных экспериментов при исследовании глобальных процессов, разработке нестатистического показателя достоверности и оценке с его помощью качества прогноза биржевых цен на нефть марки Brent 2009 и 2010 годах. В работу включены результаты совместных исследования глобальных социально — экономических и природных процессов в рамках мультифрактальной модели с линейным и нелинейным трендом.

Теоретическая и практическая значимость диссертации заключается: в разработке новых математических моделей социально — экономических и природных процессов с нелинейным трендом, которые могут использоваться в автоматизированных системах прогнозирования и торговых (биржевых) системах;

в разработке нового алгоритма анализа трендовой структуры и расчета фрактальной размерности временных рядов социально - экономических и природных процессов и реализующий его программы для ЭВМ.

Достоверность полученных результатов основана:

на использовании апробированных аналитических методов фрактального и трендового анализа, теории катастроф;

на подтверждении результатов, полученных аналитическими методами, с фактическими данными;

на строгом математическом обосновании концепции мультифрактальной динамики для описания социально — экономических и природных процессов.

Научная новизна результатов состоит:

1. В создании и развитии новой математической модели описания социально — экономических и природных процессов мультифрактальной динамики с кусочно-линейными и нелинейными трендами.

2. В построении нового алгоритма анализа трендовой структуры и расчета фрактальной размерности временных рядов социально -экономических и природных процессов.

3. В сделанных прогнозах цен на нефть, росте народонаселения, тенденций глобального потепления.

Новизна ряда положений подтверждена Свидетельством о государственной регистрации программы для ЭВМ в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

Апробация и реализация основных результатов работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались в 2008 - 2012 годах на ежегодной межвузовской студенческой научной конференции по экономике (Тверь, 2008 г.), межрегиональной научно-практической конференции (Тверь, 2009 г.), Международной конференции «Математическое моделирование и вычислительная физика» ( Дубна, ОИЯИ, 2009 г.), на Международной междисциплинарной научной конференции (Шестые курдюмовские чтения «Синергетика в Естественных науках», Тверь, 2010 г.); Всероссийской конференция «Организационно - экономические и социальные проблемы села» ( Тверь, 2010 г), первой Международной научно-практической конференции по экономике (Тверь, 2012 г.).

Исследования по теме диссертации получили финансовую поддержку РФФИ: грант «Математическое моделирование региональных социально -экономических систем на основе фрактального подхода» №10 - 10- 97508 2010 г., грант «Математическое моделирование состояний и катастроф нелинейных динамических систем» № 11 - 01 - 00565 - и 2011-2013 гг.

Публикации и свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ. Основные результаты диссертации опубликованы в 16 научных трудах, в том числе 14 статьях, из них 6 - в изданиях, рекомендованных ВАК. Получены два свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, приложения и включает 109 страниц машинописного текста. В списке литературы 101 наименование.

Содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель исследования и научная задача, изложены основные результаты, выносимые на защиту, их новизна, обоснованность и достоверность, представлены сведения о публикациях, апробации и реализации основных результатов диссертации.

В главе 1 приведены элементарные сведения о фракталах и мультифракталах и способах расчета фрактальной размерности.

В данной работе для расчета фрактальной размерности используется способ, основанный на зависимости длины фрактальной кривой L от масштаба измерения в виде степенной функции. Для этого исходный временной ряд {уi) i = 1,... N с временным дискретом ЛТ представляется в графическом виде — по оси абсцисс откладываются временные дискреты - i ■ ЛТ, а по оси ординат -значения y¡( и строится график - ломаная линия, соединяющая значения соседних элементов ряда - yt(t).

Реализация этого способа осуществляется следующим способом.

1.Временной ряд разбивается на группы. Группа данных заменяется на одного представителя (со средними значениями) - групповой элемент и строятся графики для группового описания временного ряда.

2. Строится гистограмма длин графиков для степени группирования 1,2,..к и аппроксимируется функцией вида

L = Lae, (1)

где L0 - длина графика при степени группирования 1;

D0 - первичная фрактальная размерность.

3. Фактическая фрактальную размерность временного ряда определяется по формуле10:

D= D0 - DCT0X + 1,5, (2)

где Цтох — фрактальная размерность специально сформированного стохастического ряда.

Для мультифрактального анализа временного ряда, предварительно выявляют трендовую структуру графика ряда в следующем порядке. Сначала выделяют трендовые периоды и для каждого из них строят трендовую линию. Под трендовым периодом понимается период времени, в течение которого трендовые параметры (тенденции) процесса не меняются.

Обычно в качестве трендовой линии используют линию регрессии и относительно нее строят трендовый канал. Под трендовым каналом понимается область, ограниченную двумя отрезками прямых линий, параллельных линии

Кудинов А.Н., Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И.В. Фрактальная модель динамики цен на нефть в период 2008 - начало 2009 г. и прогноз цен на нефть на ее основе.// Финансы и кредит, №28 (364) 2009, с. 12-15.

тренда, в котором находится все множество значений временного ряда в рассматриваемый период. Часто временные ряды социально-экономических и природных процессов имеют ярко выраженный трендовый характер, в этом случае для уменьшения ошибки в расчете фрактальной размерности в работе предложено нормировочный временной ряд формировать внутри трендовых каналов.

В работе для мультифрактальных исследований разработан алгоритм анализа трендовой структуры и расчета фрактальной размерности временных рядов", описание которого приводится ниже:

I. Ввод исходных данных:

I. 1. Массив значений временного ряда;

I.2. Условно постоянные (временная дискрета (масштаб); порядок скользящих средних - р и д; минимально допустимая длительность трендового периода; набор степеней группирования).

II. Последовательное определение периодов и параметров трендовой структуры:

II. 1. Проверка первого критерия: изменение знака разности скользящих средних с постоянными накопления р и <7;

И. 2. Проверка второго критерия: Длительность предварительно

определенного (вычисленного) трендового периода больше допустимой; II. 3. Расчет параметров трендовой структуры последовательно для каждого трендового периода:

11.3.1 Вычисление коэффициентов линейного тренда; П.3.2 Вычисление ширины трендового канала. Ш.Формирование стохастического ряда для каждого трендового периода.

IV. Расчет фрактальной размерности последовательно для каждого трендового периода:

IV. 1. Расчет длин огибающих временного ряда для различных степеней

группирования для исходного и стохастического рядов; IV. 2. Расчет первичной фрактальной размерности:

ГУ.2.1 Логарифмирование длин огибающих и степеней

группирования исходного и стохастического рядов; 1У.2.2 Расчет угла наклона линии регрессии для множества логарифмических длин огибающих исходного и стохастического . временных рядов при различных степенях группирования; IV. 3. Нормировка первичной фрактальной размерности временного ряда для каждого трендового периода.

V. Вывод полученного результата.

Для реализации этого алгоритма разработана программа для ЭВМ «Вычисление фрактальной размерности временных рядов».

11 Сажина О.И., Цветков И.В.. Новый алгоритм расчета фрактальной размерности мультифрактальных кривых. Шестые курдюмовские чтения: Синергетика в Естественных науках. Труды международной междисциплинарной научной конференции. Изд - во ТвГУ. Тверь 2010 г.с. 12-13.

Во второй главе приведены основные понятия из элементарной теории катастроф. Для исследования глобальных социально - экономических и природных процессов выбрана функция катастрофы четвертой степени (типа «Сборка»)12 с одной переменной состояния (X) и двумя управляющими параметрами (a, b) :

Cat(X,a,b~) = ±X* + laX2 + bX. (3)

Данная функции имеет точки бифуркации и возможность изменением количества вещественных корней в решении уравнения катастрофы.

В третьей главе приведены общий вид моделей мультифрактальной динамики с кусочно-линейным и нелинейным трендом, основное уравнение и результаты его анализа. Для описания на основе мультифрактальной динамики различных процессов y(t~) необходимо выполнение двух условий:

интервал наблюдения можно разбить на множество периодов (£ = 1,2,3... ri), на которых y(t) имеет значение фрактальной размерности Z)£;

скорость Xi линейного тренда pi(.t), аппроксимирующего эту функцию в каждом i -ом периоде, с достаточной точностью зависит только от Dj.

В этом случае уравнение трендового процесса можно записать в виде:

yi(t)=Xi(D)-Ct-t0)+yi(t) (4)

В соответствии с (4) линия тренда процесса будет представлена в виде кусочно-линейной функции. Однако, как показал опыт, в местах близких к «стыку» отдельных звеньев ломанной (кусочно-линейной) линии тренда возникают существенные отклонения от реальных значений. Для устранения этого недостатка (4) была модифицирована посредством введения в нее нелинейных элементов (членов седьмой степени) следующим образом13:

У|(0 = йиСО + - toi) + xr%fi+l) ■ (t - toi)7 + MO (5)

Из условия непрерывности и гладкости у, значения y0i+i(t) и Xi+1 определяются по следующим формулам:

Уо£+1(*0 = Уо;(0 + Х^ + i • x[n°Ati

^xi+1=xi+xr (6)

Значения y0i(t) и x[n1^ находятся из экспериментальных данных.

Выбор члена седьмой степени определяется близостью к линейному тренду на большей части периода Т( и возможностью в конце этого промежутка быстро и гладко перейти к тренду в начале следующего периода Ti+1.

Учитывая бифуркационные явления в социально - экономических и природных процессах, для скорости линейного тренда X в i — ом трендовом периоде основное уравнение мультифрактальной динамики можно записать в следующем виде9:

12 Гилмор Р. Прикладная теория катастроф: Пер. с англ. М.: Мир, 1984.

13 Kudinov A. N.,Krylova О. I., V.P.Tsvetkov, I.V. Tsvetkov (2012). Global warming in mathematical model of multifractal dynamics. Russian journal of earth sciences,vol. 12, Es 3001, doi: 10.2205/2012ES000510,2012.

АШ + ВкХ3=-п. (7)

В этой работе для функции А (И) предлагается аналитическое представление в виде:

А(П) =

о^Ъ ' при 1 < 0 < °0'

(8)

\jJo-DtDo-D ' ПРИ О0 < й <2.

На начальном этапе моделирования параметры й0, Бк, Вкит] определяются из наилучшего согласия их с опытными данными.

Анализ характера поведения основного уравнения мультифрактальной динамики показал, что наличие бифуркаций, критических точек, и их взаимное расположение, наличие областей линейного и нелинейного изменения параметров, размеры этих областей, их увязка с величиной фрактальной размерности соответствуют общим принципам развития кризисных социально-экономических и природных процессов.

В четвертой главе рассмотрена классификация социально -экономических и природных процессов по фрактальной размерности, разработана схема анализа и прогнозирования динамики мультифрактальных процессов, которая включает три этапа:

1.Анализ трендовой структуры временного ряда, включая следующие процедуры:

разбиение интервала наблюдения за процессом на г трендовых периодов длительностью Т{,

расчет коэффициента тренда и ширины трендового канала - Дí.

2. Фрактальный анализ временного ряда для каждого 1 -го периода, включая следующие процедуры:

расчет значения фрактальной размерности процесса -1)£,

расчет параметров фрактальной модели - й0, йк, г/;

классификация процесса (определения его типа) в £ - ом периоде на основании параметров модели - О0, Бк.

3.Прогнозирование основных параметров процесса, включая следующие процедуры:

установление закономерности изменения фрактальной размерности процесса в течение времени наблюдения и расчет £»1прогна период прогноза; расчет коэффициентов линейного тренда на основе 0"рог; определение среднего прогнозного значения и допустимого интервала значения параметра процесса в период прогноза;

оценка качества прогноза по мере поступления соответствующих фактических данных о процессах.

В данной работе, для оценки достоверности интервального прогноза предлагается использовать коэффициент достоверности (ЛГД), характеризующий долю времени, в течение которого прогнозируемая величина находилась внутри прогнозируемого диапазона величины (Кт1П; Утах), от длительности периода прогноза. Точность интервального прогноза оценивается по

среднеквадратическому отклонению фактических данных от их среднего прогнозируемого значения (У^) при нахождении фактической величины в диапазоне (Ymin; Ymax) в течение периода прогноза.

В пятой главе проведен анализ тенденции глобального потепления с 1850 по 2011 гг. в модели мультифрактальной динамики с кусочно-линейным и нелинейным трендом. Результаты вычислений параметров модели с кусочно-линейным трендом приведены в таблице 1.

Анализ мультифрактальной модели с линейным трендом показывает:

1. За время наблюдения с 1850 года в динамике температуры прослеживаются пять периодов длительностью 30-31 год.

2. Значение фрактальной размерности во всех пяти периодах заметно меньше критического значения Dk (1,67 < Dk < 1,75), и, следовательно, катастрофы в динамике глобальной температуры не происходили.

3. Величина фрактальной размерности во всех периодах меньше гауссовского значения - 1,5. Это подтверждает существенно детерминированный характер процессов, обуславливающих динамику глобальной температуры. Увеличение D0 с 1,157 до 1,201 указывает на незначительное увеличение хаотизации глобальной температуры в целом за период наблюдения с 1850 года.

Таблица 1. Параметры модели с кусочно-линейным трендом

Tj (год) \Г°Д/

Di М°С) До

30

0,0089

1,140 0,2624

31

-0,0081

1,166 0,229 1,157

0,862

30

0,0135

1,141 0,1987

31

-0,0016

1,203 0,2281

30

0,0183

1,183 0,1976

1,201

0,995

4. Рассчитанные значения коэффициента т| находятся в диапазоне 0,862 с °с

— и 0,995 —, что указывает на сильное влияние внешних тепловых источников на температуру атмосферы Земли.

Аппроксимации графика временного ряда среднегодовой температуры нелинейным трендом приведен на рис. 1, а значения коэффициентов для нелинейного члена - Х^в таблице 2.

Рис.1. Аппроксимация нелинейным трендом графика среднегодовой температуры.

_Таблица 2. Значения коэффициентов для нелинейного члена___

! 1 2 3 4 5

X™ (—) -0,0170 0,0216 -0,0151 0,0199 -0,0170

' \ГОД/

Сравнительный анализ мультифрактальных моделей с линейным и нелинейным трендами показывает, что точность аппроксимации (максимальное значение разности линейного и нелинейного трендов) в местах «стыка» кусочно- линейного тренда составила до 0,05 градусов, а в относительных единицах — до 11%.

По пропгозу среднегодовой глобальной температуры на основе мультифрактальных моделей с использованием кусочно-линейного и нелинейного трендов в период до 2042 года ожидается снижение температуры на 0,04 — 0,05 °С. При этом отклонение результатов прогнозирования для различных вариантов трендов не превышало 20%.

В последующем 30 - летнем периоде с 2043 года по 2072 год прогнозируется потепление на 0,55 °С,и в целом по сравнению с 2011 годом ожидается повышение средней глобальной температуры на 0,5 °С ±0,2 °С. Таким образом, на основе мультифрактального анализа прогнозируется сохранение общей тенденции к потеплению в ближайшие 60 лет.

В шестой главе в рамках мультифрактальной модели проведен анализ цен на нефть в 2008 - 2010 гг., приведен краткосрочный прогноз и оценка его качества на основе фактических данных. Параметры мультифрактальной модели приведены в таблице 3. Их анализ показывает следующее.

В 2008 году большое значение коэффициента т] соответствует состоянию перегретости нефтяного рынка (наличию большого объема спекулятивных операций). В первом периоде этого года значение фрактальной размерности находилось близко к 00 с левой стороны, что создавало неустойчивую ситуацию. Во втором периоде - значение фрактальной размерности увеличилось на 0,04 и произошел разворот тренда и подъем нефтяных цен сменился на спад. Процесс такого изменения цен получил название «нефтяного пузыря».

Период наблюдения 2008 год 1 квартал 2009 г. 1 квартал 2010 г.

/ 1 2 1 2 1 2

Г( (дней) 180 180 48 48 22 68

/ доллар \ 1 чбаррель - сутки/ 0,317 -0,61 -0,08 0,247 -0,463 0,18

Я; 1,30 1,34 1,38 1,34 1,43 1,31

А> 1,31 1,37 1,34

доллар баррель • сутки 23,175 8,175 5,360

В 1 квартале 2009 года по сравнению с 2008 годом:

значение параметра О0 увеличилось на 0,06 и сдвинулось вправо ближе к значения 1,5, характерному для броуновского движения;

коэффициент т] уменьшился примерно в 3 раза, что указывает на существенное снижении внешнего давления на рынок;

длительность двух соседних трендовых периодов с противоположной тенденцией изменения цен оказалась в 4 раза короче, чем в 2008 году. В 1 квартале 2010 года по сравнению с 1 кварталом 2009 годом: значение параметра £>0 увеличилось на 0,03 и сдвинулось дальше от значения 1,5, характерного для броуновского движения;

коэффициент Г] уменьшился примерно в 1,5 раза, что указывает на ослабление внешнего давления на рынок;

длительность двух соседних трендовых периодов с противоположной тенденцией изменения цен на нефть для модели 2010 г. отличалась в три раза (для модели 2009 года длительности трендовых периодов примерно равны).

На основе гипотезы о сохранении динамики роста и максимальной ширины трендовых каналов в первых кварталах 2009 г. и 2010 г. были сделаны интервальные прогнозы цен на нефть на декабрь 2009 г.- 77 ±2 дол. США, на декабрь 2010 г. - 89,7 ±5 дол. США. Эти прогнозы заранее в середине соответствующего года были опубликованы 1 ''4 . Оценка качества этих прогнозов проиллюстрирована на рис.2 и рис. 3. Точность прогноза оказалась удовлетворительной: среднеквадратическое отклонение фактических цен от прогнозируемых составило для прогноза в декабре 2009 года 0,7 долларов, что соответствует 1 % от средней цены на нефть в этот период, а для прогноза в декабре 2010 года - 2, 0 доллара, что соответствует 2,2% от средней цены на нефть в этот период. Таким образом, подтверждается работоспособность предложенных моделей для прогнозирования цен на нефть в краткосрочной перспективе.

14 Кудинов А.Н., Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И.В. Анализ цен на нефть в 2009 г. и первой половине 2010 г. и их прогноз на конец 2010 г. в рамках фрактальной модели// Финансы и кредит 38(422) - 2010. С.21-26.

В седьмой главе рассмотрен процесс роста населения с 1950 года. Параметры модели муяьтифрактальной динамики с кусочно - линейным трендом приведены в таблице 4.

Таблица 4. Параметры модели с кусочно

— линейным трендом

1 1 2 3

Т; (лет) 12 20 29

. /млн.челл Ч год ) 49,804 73,614 80,872

01 1,41 1,33 1,29

Оо 1,61

млн.чел. Т1- ГОД 0,251

Анализ параметров модели показал следующее. Выявлено три трендовых периода длительностью 12, 20, 29 лет с различной скоростью роста народонаселения. Фрактальная размерность кривой народонаселения непрерывно уменьшалась с 1.41 по 1.29 до настоящего времени, что указывает на стабильность данного процесса.

Для модели мультифрактальной динамики с нелинейным трендом рассчитанные значения коэффициентов для нелинейного члена - х[пЦ и ширины трендовых каналов приведены в таблице 5.

Таблица 5. Параметры модели с нелинейным трендом

г 1 2 3

4п0 0,0235 0,0071 -0,0128

Д¡ (млн.) 9,7581 10,1557 9,2046

По прогнозу в модели с линейным трендом в 2024 году население Земли достигнет 8 миллиардов, а в 2030 году - 8.5 "миллиардов человек. Прогноз в модели с нелинейным трендом в силу малой ширины трендового канала отличается незначительно.

При аппроксимации графика народонаселения с 1950 года расхождение фактических и расчетных результатов составило не более 2%. Адекватность предложенной модели в краткосрочной перспективе подтверждается сделанным достоверным прогнозом на ее основе достижения в 2011 году численности народонаселения в размере 7 млрд. человек.

В заключении приведены основные результаты диссертации.

1. Предложен новый алгоритм анализа трендовой структуры и расчета фрактальной размерности для временных рядов и на его основе разработана программа для ЭВМ, которая позволяет автоматизировать мультифрактальную обработку данных о социально-экономических и природных процессах.

2. Построена математическая модель глобального потепления на основе принципов мультифрактальной динамики. Выявлено самоподобие вариаций глобальной температуры с 1850 по 2011 гг. Показано наличие в динамике 5 периодов продолжительностью 30- 31 год каждый с различным типом динамики (рост или падение) глобальной температуры в зависимости от

значения фрактальной размерности, расположенных в интервалах от 1 140 до 1,183 -1,203.

Рассчитанные значения коэффициента Г], характеризующего интенсивность влияния глобальных тепловых потоков на среднегодовую

температуру атмосферы земли лежат в диапазоне 0,862— и 0,995— что

год год'

указывает на сильное влияние всевозможных тепловых источников на температуру Земли.

Проведен анализ глобальной температуры в модели мультифрактальной динамики с линейным трендом, на основе которого был сделан прогноз об увеличении глобальной температуры на 0,5 °С в ближайшие 61 год, а с использованием нелинейного тренда по прогнозу ожидается увеличение температуры только на 0,04 °С.

3. Построена математическая модель колебаний нефтяных цен на принципах мультифрактальной динамики. Показана мультифрактальная природа поведения цен на нефть в период 2008 - 2010 гг.

На основе анализа изменения цен на нефть в 1-ых кварталах 2009 и 2010 годах в течение соответствующего года сделаны интервальные прогнозы на последние два месяца этих лет. На основе фактических данных была проведена оценка качества прогноза.

Коэффициент достоверности прогноза оказался примерно 0,6 при прогнозируемом интервале цен примерно 5% от среднего значения цены на нефть в 2009 году и 1 - при прогнозируемом интервале цен примерно 11% от среднего значения цены на нефть в 2010 году. Точность прогноза оказалась также удовлетворительной. Среднеквадратическое отклонение фактических цен от прогнозируемой равно 0,7 долларов для прогноза в ноябре - декабре 2009 года, что составило 1 % от средней прогнозируемой цены на нефть в этот период. Среднеквадратическое отклонение фактических цен от прогнозируемой равно 2, 0 доллара для прогноза в ноябре - декабре 2010 года, что составило 2,2% от средней прогнозируемой цены на нефть в этот период.

4. Построена математическая модель роста народонаселения с 1950 по 2011 гг. на принципах мультифрактальной динамики. Выявлено три характерных временных периода длительностью 12, 20, 29 лет со средней скоростью роста народонаселения 49,804; 73,614; 80,872 млн,чел"

Г- год

соответственно. Это указывает на достаточно стремительный рост народонаселения. При этом наблюдается убывание значения фрактальной размерности от 1,41 до 1,29, что подтверждает стабильность данного процесса в рассматриваемом периоде наблюдения.

Проведенный в данной работе фрактальный анализ роста народонаселения с 1950 года указывает на хорошее согласие фактических данных и расчетных результатов в рамках построенной математической модели. Расхождение составило не более 2%. Правильный прогноз достижения 7 млрд. численности народонаселения в 2011 году, сделанный в рамках

предложенной модели, говорит об адекватности этой модели фактическим данным.

По прогнозу на основе модели с кусочно - линейным трендом ожидается, что в 2024 году население Земли достигнет 8 миллиардов, а в 2030году — 8,5 миллиардов человек. Несколько иной прогноз следует из модели с нелинейным трендом, согласно которой после 2012 года скорость роста народонаселения

млн.чел.

окажется на 12,95- меньше чем в третьем периоде в модели с

нелинейным трендом.

5. Рассмотрена возможность использования модели мульти фрактальной динамики для исследования сельскохозяйственного сектора Тверского региона. На примере исследования общего количества посевных площадей с 1949 по 2009 гг. показано наличие катастрофы типа «Сборка» в период с 1991 — 1995 гг.

Основные результаты диссертации опубликованы:

I. В изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Кудинов А.Н., Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И.В. Фрактальная модель динамики цен на нефть в период 2008 - начало 2009 г. и прогноз цен на нефть на ее основеУ/ Финансы и кредит, №28 (364) 2009. С. 12-15.

2. Кудинов А.Н, Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И.В. Анализ цен на нефть в 2009 г. и первой половине 2010 г. и их прогноз на конец 2010 г. в рамках фрактальной модели// Финансы и кредит 38(422) - 2010. С.21-26.

3. Кудинов А.Н., Цветков В.П., Цветков И.В., Сажина О.И. Фрактальный анализ динамики цен на нефть// Программные продукты и системы. 2010. № 1. С. 10-11.

4. Кудинов А. Н., Сажина О. И., Цветков В. П., Цветков И. В. Фрактальная модель роста народонаселения// Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: математика, информатика, физика. № 2 (2), 2010. С. 132-138.

5. Kudinov A. N.,Rrylova О. I., V.P.Tsvetkov, I.V. Tsvetkov (2012). Global warming in mathematical model of multifractal dynamics. Russian journal of earth sciences,vol. 12,Es3001,doi: 10.2205/2012ES000510,2012.

6. Крылова О.И., Цветков И.В. Комплекс программ и алгоритм расчета фрактальной размерности и линейного тренда временных рядов// Программные продукты и системы. 2012. № 4. С. 87-90.

Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ

1. Крылова О. И., Цветков В. П., Цветков И. В., Михеев С. А., Беспалько Е.В. Вычисление фрактальной размерности временных рядов (программа для ЭВМ). Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011619434 от 12декабря 2011 г. В Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

2. Беспалько Е. В., Михеев С. А., Цветков В. П., Цветков И. В, Крылова О.И. Программная реализация регуляризированного метода Ньютона (программа для ЭВМ). Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011613772 от 16 мая 2011 г. В Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

II. В трудах международных и всероссийских научных конференций:

1. Кудинов А.Н., Цветков И.В., Сажина О.И. Фрактальная модель динамики цен на нефть в период 2008 год - начало 2009 года// Математическое моделирование и вычислительная физика. Материалы международной конференции. Дубна, ОИЯИ, 2009. С. 170.

2. Сажина О.И., Цветков И.В.. Система уравнений фрактальной модели с двумя взаимосвязанными параметрами состояния. Шестые курдюмовские чтения: Синергетика в Естественных науках. Труды международной междисциплинарной научной конференции. ТвГУ. Тверь, 2010. С. 60-62.

3. Сажина О.И., Цветков И.В.. Новый алгоритм расчета фрактальной размерности мультифрактальных кривых. Шестые курдюмовские чтения: Синергетика в Естественных науках. Труды международной междисциплинарной научной конференции. ТвГУ. Тверь, 2010.С. 59-60.

4. Кудинов А.Н., Цветков В.П., Крылова (Сажина) О.И., Цветков И.В. Мультифрактальная динамика и тенденции роста народонаселения. Материалы первой международной научно-практической конференции 15-16 мая 2012 года.Тверь, ТвГУ, 2012. С. 22-30.

5. Кудинов А.Н., Цветков И.В., Сажина О.И. Фрактальная размерность основных параметров сельскохозяйственного сектора экономики Тверского региона, как флаг кризисных явлений. Всероссийская конференция «Организационно — экономические и социальные проблемы села». ТвГУ. Тверь. 2010 г.

Ш. В других изданиях:

1. Кудинов А.Н., Цветков В.П., Крылова (Сажина) О.И., Цветков И.В. Фрактальная размерность основных параметров сельскохозяйственного сектора экономики Тверского региона, как флаг кризисных явленийУ/Вестник ТвГУ , серия «Экономика и управление», вып. 8 (34). ТвГУ, 2010. С. 4-17.

2. Сажина О. И. Принципы включения возмущения при решении двухкомпонентного нелинейного уравнения// Факторы развития экономики России: материалы межрегиональной научно-практической конференции, 28-29 апреля 2009 г. С. 130 - 133.

3. Сажина О. И. Показатели качества и критерии эффективности Ньютоновских схем // Факторы развития экономики России: материалы межрегиональной научно-практической конференции, 28-29 апреля 2009 г. С. 127-130.

Подписано в печать 25.10.2012. Формат 60 х 84 78. Усл. печ. л. 1,12. Тираж 100 экз. Заказ №587. Тверской государственный университет Редакщюно-издательское управление Адрес: Россия, 170100, г. Тверь, ул. Желябова, 33. Тел. РИУ: (4822) 35-60-63

Введение.

Глава 1. Элементарные сведения о фракталах и мультифракталах.

1.1. Классические фракталы.

1.2. Самоподобие.

1.3. Фрактальная размерность.

1.4. Мультифракталы.

1.5. Алгоритм формирования трендовой структуры и расчета фрактальной размерности для временных рядов.

Выводы.

Глава 2. Математическая теория катастрофы.

2.1. Элементарная теория катастроф Тома.

2.2. Определяющая катастрофу функция с одной и двумя переменными состояния.

Выводы.

Глава 3. Мультифрактальная динамика.

3.1. Мульти фрактальная динамика с кусочно - линейными и нелинейными трендами.

3.2. Основное уравнение мультифрактальной динамики.

3.3. Катастрофы и управление катастрофами в модели мультифрактальной динамики.

Выводы.

Глава 4. Классификация динамик социально-экономических и природных процессов по фрактальной размерности и их прогноз.

4.1. Классификация динамик социально-экономических и природных процессов по фрактальной размерности.

4.2. Схема прогноза динамики мультифрактальных процессов.

Выводы.

Глава 5. Тенденция глобального потепления в модели мультифрактальной динамики.

5.1. Основные факторы, влияющие на колебания (вариации) среднегодовой глобальной температуры атмосферы Земли.

5.2. Самоподобие колебаний глобальной температуры.

5.3. Анализ глобальной температуры в модели мультифрактальной динамики с линейным и нелинейным трендом.

5.4. Прогноз динамики тренда глобальной температуры.

Выводы.

Глава 6. Динамика нефтяных цен в рамках модели мультифрактальной динамики.

6.1 Фрактальный анализ динамики цен на нефть в 2008 - 2010 годах.

6.2. Прогноз динамики цен на нефть.

6.3. Эффект нефтяного «пузыря» в рамках фрактального подхода.

6.4. Факторы управления нефтяными ценами.

Выводы.

Глава 7. Мультифрактальная динамика и рост народонаселения.

7.1. Основные тенденции глобальной динамики народонаселения.

7.2. Расчет фрактальной размерности графика динамики народонаселения.

7.3. Анализ результатов и прогноз роста народонаселения.

7.4. Мультифрактальная модель кризисных явлений сельскохозяйственного сектора Тверского региона.

Выводы.

Актуальность темы. В настоящее время глобальные социально -экономические и природные процессы часто характеризуются кризисными явлениями, для предотвращения или снижения уровня их последствий необходима целенаправленная деятельность на основе прогнозирования развития ситуации.

Базовыми процессами, определяющими основные направления развития глобальных социально - экономических и природных систем являются темпы роста народонаселения Земли, динамика цен основных сырьевых ресурсов, в том числе нефти, природные процессы, в первую очередь, связанные с глобальным потеплением и ряд других.

Основным способом прогнозирования поведения глобальных систем является моделирование. Широко известные методы и подходы, такие как модель фрактального броуновского движения [1], экстраполяционный метод прогнозирования [2,3], методы экспертных оценок [4], интегральное макропрогнозирование [5], метод написания сценариев [6], методы моделирования на основе связей между фундаментальными факторами [7], не обеспечивают адекватное описание вышеперечисленных глобальных процессов в широком диапазоне условий. Достоверность прогнозирования с использованием этих методов и подходов часто бывает не высокой, особенно в кризисных ситуациях [8]. Это связано с существенно нелинейным характером рассматриваемых процессов, отсутствием детальной информации о происходящих в них процессах и внешних воздействиях на них, возникновением ситуаций с неоднозначным исходом и рядом других обстоятельств. В том числе, глобальные системы имеют свойство самоорганизации и фрактальный характер поведения [9], которые должным образом не учитываются в моделях.

Таким образом, существует несоответствие вида широко известных моделей структуре реальных процессов, протекающих в глобальных системах, которое не обеспечивает адекватность моделей особенно в кризисных ситуациях.

Объектом исследования в данной работе являются процессы изменения глобальной температуры атмосферы, биржевых цен нефти марки Brent, численности народонаселения.

Целью исследования является повышение качества прогноза глобальных социально - экономических и природных процессов на основе анализа (за счет моделирование) их фрактальных свойств.

Математической основой для описания сложных систем с фрактальными свойствами является теория сложности, состоящая из фрактальной теории и теории хаоса [10]. В настоящее время одним из перспективных методов фрактальной теории является метод мультифрактальной динамики, в котором для описания глобальных и региональных социально-экономических и природных систем используются как элементы фрактального анализа, так и элементы теории катастроф [11].

Исходные данные о глобальных социально-экономических и природных процессах обычно хранятся в различных статистических отчетах в виде одномерных временных рядов. Мультифрактальные особенности временных рядов хорошо выявляются при их структурном анализе с использованием методов графического трендового анализа,' которые в экономических исследованиях входят в состав методического аппарата технического анализа [12]. В работе под трендом (от англ. Trend - тенденция) понимается основная тенденция изменения временного ряда. Фактический тип тренда устанавливается на основе подбора его функциональной модели статистическими методами либо сглаживанием исходного временного ряда [12,13].

Поэтому предмет исследования - моделирование социально -экономических и природных процессов на основе совместного использования фрактального и трендового анализа является актуальным.

В моделях мультифрактальной динамики широко применяются кусочно-линейные тренды. Однако для процессов с большим размахом осцилляционной составляющей, например, глобального потепления, для повышения качества прогноза необходимо использовать более сложные, чем кусочно-линейные тренды. В связи с этим актуальной является научная задача - построение математических моделей глобальных социально -экономических и природных процессов на основе мультифрактальной динамики с нелинейными трендами.

В процессе работы были рассмотрены вопросы описания мультифрактальной структуры для временных рядов и построения математических моделей мультифрактальной динамики с линейным и нелинейным трендами. Проведено исследование реальных социально -экономических и природных процессов в моделях мультифрактальной динамики.

Исходя из логики проведения исследования, и была определена структура диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и приложения, включает 109 страниц машинописного текста. В списке литературы 101 наименование.

Основные результаты диссертации:

1. Предложен новый алгоритм и на его основе разработана программа формирования трендовой структуры и расчета фрактальной размерности для временных рядов, который позволяет автоматизировать мультифрактальную обработку данных о социально-экономических и природных процессах.

Получено Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011619434 от 12 декабря 2011 г. в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

2. Построена математическая модель глобального потепления на основе принципов мультифрактальной динамики. Выявлено самоподобие вариаций глобальной температуры с 1850 по 2011 гг. Показано наличие в динамике 5 периодов продолжительностью 30-31 год каждый с различным типом динамики (рост или падение) глобальной температуры в зависимости от значения фрактальной размерности, расположенных в интервалах от 1,140 до 1,183 - 1,203.

Рассчитанные значения коэффициента Г], характеризующего интенсивность влияния глобальных тепловых потоков на среднегодовую с °с температуру атмосферы земли лежат в диапазоне 0,862 — и 0,995 —, что год год указывает на сильное влияние всевозможных тепловых источников на температуру Земли.

Проведен анализ глобальной температуры в модели мультифрактальной динамики с линейным трендом, на основе которого был сделан прогноз об увеличение глобальной температуры на 0,5 °С в ближайшие 61 год, а с использованием нелинейного тренда по прогнозу ожидается увеличение температуры только на 0,04 °С.

3. Построена математическая модель колебаний нефтяных цен на принципах мультифрактальной динамики. Показана мультифрактальная природа поведения цен на нефть в период 2008 - 2010 гг.

На основе анализа изменения цен на нефть в 1-ых кварталах 2009 и

2010 годах в течение соответствующего года сделаны интервальные прогнозы на последний месяц этих лет. На основе фактических данных была проведена оценка качества прогноза. Коэффициент достоверности прогноза оказался примерно 0,6 при прогнозируемом интервале цен примерно 5% от среднего значения цены на нефть в 2009 году и 1 - при прогнозируемом интервале цен примерно 11% от среднего значения цены на нефть в 2010 году.

Точность прогноза оказалась также удовлетворительной. Среднеквадратическое отклонение фактических цен от прогнозируемых равно 0,7 долларов для прогноза в декабре 2009 года, что составило 1 % от средней прогнозируемой цены на нефть в этот период. Среднеквадратическое отклонение фактических цен от прогнозируемых равно 2, 0 доллара для прогноза в декабре 2010 года, что составило 2,2% от средней прогнозируемой цены на нефть в этот период.

4. Построена математическая модель роста народонаселения с 1950 по

2011 гг. на принципах мультифрактальной динамики. Выявлено три характерных временных периода длительностью 12, 20, 29 лет со средней скоростью роста народонаселения 49,804; 73,614; 80,872 млн'чел'. Это указывает на достаточно стремительный рост народонаселения. При этом наблюдается убывание значения фрактальной размерности от 1,41 до 1,29, что подтверждает стабильность данного процесса в рассматриваемом интервале времени.

Проведенный в данной работе фрактальный анализ роста народонаселения с 1950 года указывает на хорошее согласие фактических данных и расчетных результатов в рамках построенной математической модели. Расхождение составило не более 2%. Правильный прогноз достижения 7 млрд. численности народонаселения в 2011 году, сделанный в рамках предложенной модели, говорит об адекватности этой модели фактическим данным.

По прогнозу на основе модели' с кусочно - линейным трендом ожидается, что в 2024 году население Земли достигнет 8 миллиардов, а в 2030году - 8,5 миллиардов человек.

Несколько иной прогноз следует из модели с нелинейным трендом, согласно которой после 2012 года скорость роста народонаселения окажется г млн.чел. на 12,95- меньше чем в третьем периоде в модели с нелинейным трендом.

5. Рассмотрена возможность использования модели мультифрактальной динамики для исследования сельскохозяйственного сектора Тверского региона. На примере исследования общего количества посевных площадей с 1949 по 2009 гг. показано наличие катастрофы типа «Сборка» в период с 1991 - 1995 гг.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Виктору Павловичу Цветкову за ценные советы, внимание к работе, поддержку, а также за постоянную и разностороннюю помощь в ходе подготовки диссертации.

Особые слова благодарности автор выражает руководителю совместной с ОИЯИ Лаборатории математического моделирования Алексею Никифоровичу Кудинову и сотрудникам Илье Викторовичу Цветкову, Игорю Викторовичу Пузынину, Александру Николаевичу Цирулеву, Сергею Александровичу Михееву за внимание к работе и полезные советы и дискуссии.

Заключение

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. Институт компьютерных исследований, 2002. 656 с.

2. Мировая экономика: прогноз до 2020 г. Под ред. А. А. Дынкина М.: Магистр, 2007. 429 с.

3. Клинов В. Г. Мировая экономика: прогноз до 2050 г. Вопросы экономики №5, 2008. С.62-79.

4. Гапоненко Н. В. Форсайт. Теория. Методология. Опыт. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. 240 с.

5. Яковец Ю. В. Прогноз технологического развития мира и России и стратегия инновационного прорыва. М.: МИСК, 2008. 35 с.

6. Кузык Б.Н., Яковец Ю.В. Россия 2050: стратегия инновационного прорыва. М.: Экономика, 2005. 624 с.

7. Сто л ерю JI. Равновесие и экономический рост (принципы макроэкономического анализа)/ Пер. с фран. М.: Статистика, 1974. 472 с.

8. Капица С. П., Курдюмов С. П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. М: УРСС, 2003. 288 с.

9. Гринченко В. Т. Введение в нелинейную динамику. Хаос и фракталы. М.: УРСС, 2010. 280 с.

10. Цветков И.В. Теория катастроф и фрактальная модель кризисных социально-экономических процессов// Вестник Тверского государственного университета. Серия: Прикладная математика, №12, 2010. С. 55 59.

11. Коротаев А. В., Малков А. С., Халтурина Д. А. Законы истории. Математическое моделирование развития Мир-Системы. Демография, экономика, культура. 2-е изд. М.: УРСС, 2007. 224 с.

12. Кан М. Н. Технический анализ. СПб: Питер, 2003. 282 с.

13. Вычисление фрактальной размерности временных рядов (программа для ЭВМ). Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011619434 от 12декабря 2011 г. В Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

14. Кудинов А.Н., Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И.В. Фрактальная модель динамики цен на нефть в период 2008 начало 2009 г. и прогноз цен на нефть на ее основе.// Финансы и кредит, №28 (364), 2009. С. 12-15.

15. Кудинов А.Н., Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И.В. Анализ цен на нефть в 2009 г. и первой половине 2010 г. и их прогноз на конец 2010 г. в рамках фрактальной модели// Финансы и кредит, № 38(422), 2010. С.21-26.

16. Кудинов А.Н., Цветков В.П., Цветков И.В., Сажина О.И. Фрактальный анализ динамики цен на нефть// Программные продукты и системы, № 1, 2010. С. 10-11.

17. Кудинов А. Н., Сажина О. И., Цветков В. П., Цветков И. В. Фрактальная модель роста народонаселения// Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: математика, информатика, физика, № 2(2), 2010. С. 132-138.

18. Кудинов А.Н., Цветков В.П., Крылова (Сажина) О.И., Цветков

19. И.В. Фрактальная размерность основных параметров сельскохозяйственногосектора экономики Тверского региона, как флаг кризисных89явлений.//Вестник ТвГУ , серия «Экономика и управление», вып. 8 (34). ТвГУ, 2010. С. 4-17.

20. Kudinov A. N.,Krylova О. I., V.P.Tsvetkov, I.V. Tsvetkov (2012). Global warming in mathematical model of multifractal dynamics. Russian journal of earth sciences,vol. 12, Es 3001, doi: 10.2205/2012ES000510,2012.

21. Кудинов A.H., Цветков И.В., Сажина О.И. Фрактальная модель динамики цен на нефть в период 2008 год начало 2009 года// Математическое моделирование и вычислительная физика. Материалы международной конференции. Дубна, ОИЯИ, 2009. С. 170.

22. Сажина О.И., Цветков И.В. Новый алгоритм расчета фрактальной размерности мультифрактальных кривых. Шестые курдюмовские чтения: Синергетика в Естественных науках. Труды международной междисциплинарной научной конференции. Тверь, ТвГУ, 2010. С. 59-60.

23. Кудинов А.Н., Цветков В.П., Крылова (Сажина) О.И., Цветков И.В. Мультифрактальная динамика и тенденции роста народонаселения. Материалы первой международной научно-практической конференции 15-16 мая 2012 года. Тверь, ТвГУ, 2012. С. 22-30.

24. Крылова О.И., Цветков И.В. Комплекс программ и алгоритмрасчета фрактальной размерности и линейного тренда временных рядов //90

25. Программные продукты и системы, № 4, 2012. С. 87-90.

26. Сажина О. И. Принципы включения возмущения при решении двухкомпонентного нелинейного уравнения// Факторы развития экономики России: материалы межрегиональной научно-практической конференции, 2829 апреля 2009 г. С. 130 133.

27. Сажина О. И. Показатели качества и критерии эффективности Ньютоновских схем // Факторы развития экономики России: материалы межрегиональной научно-практической конференции, 28-29 апреля 2009 г. С. 127- 130.

28. Буданов В. Г. Методология синергетики в постнеклассической науке и образовании. 3-е изд. Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. 240 с.

29. Кроновер М. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Техносфера, 2006. 488 с.

30. Петере Э. Э. Хаос и порядок на рынках капитала. М.: Мир, 2000.336 с.

31. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 528 с.

32. Маленецкий Г.Г. Математические основы синергетики. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. 6-е изд. Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. 312 с.

33. Князева E.H., Курдюмов С.П. Основания синергетики: синергетическое мировидение. 3-е изд. М.: КомКнига, 2010. 256 с.

34. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. 254 с.

35. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980. 406 с.

36. Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д. Фракталы, подобие, промежуточная асимтотика. Успехи физических наук, том 146, вып. 3. С.493-505.

37. Перрен Ж. Атомы / Пер. с франц. М.: Госиздат, 1921, 1924.254 с.

38. Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. Математические образы в реальном мире. М.: МГУ, ЧеРо, 1998. 416 с.

39. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977. 368 с.

40. М. Хаерфельдер. Фундаментальный и технический анализ рынка ценных бумаг. СПб: Питер, 2005. 350 с.

41. Кудинов А.Н., Михеев С.А., Цветков В.П., Цветков И.В. Нелинейная фрактальная модель валютного кризиса // Программные продукты и системы, № 4, 2008. С. 117-119.

42. Гуляева О.С., Цветков В.П., Цветков И.В. Фрактальный анализ валютных временных рядов //Финансы и кредит, № 9, 2007. С. 30-36.

43. Кудинов А.Н., Михеев С.А., Цветков В.П., Цветков И.В. Нелинейная фрактальная модель валютного кризиса // Программные продукты и системы, № 4, 2008. С. 117-119.

44. Божокин C.B., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 128 с.

45. Томас Р. Демарк. Технический анализ новая наука. Евро, 2008 . 288 с.

46. Концепция современного естествознания / Под ред. Лавриненко В.Н. и Ратникова В.П. М.: ЮНИТИ, 2007. 317 с.

47. Пригожин И. Р., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой / Пер. с англ., 4-е изд. Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2003. 312 с.

48. Ласло Э. Век бифуркаций. Постижение изменяющегося мира //Путь,№7, 1995. С. 3-129.

49. Райзберг Б. А., Лозовский Л. LLL, Стародубцева Е. Б. Современный экономический словарь. 5-е изд. М.: ИНФРА-М, 2007. 495 с.

50. Кудинов А.Н., Цветков В.П., Цветков И.В. Валютный кризис и бифуркационные явления в рамках фрактальной модели// Финансы и кредит. № 38(326), 2009. С. 55 59.

51. Хасслер Уитни. Геометрическая теория интегрирования. М.: Изд-во иностранной литературы, 1960. 355 с.

52. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967. 488 с.

53. Манин Ю.И. Математика как метафора. М.: МЦНМО, 2010 .370 с.

54. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф, том 1/ Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 349 с.

55. Цветков И.В. Фрактальная размерность временного ряда как «флаг катастроф» в социально-экономических процессах// Моделирование сложных систем, выпуск 3. Тверь: ТвГУ, 2001. С. 121 -144.

56. Том Р. Динамическая теория морфогенеза // На пути теоретической биологии. 1 .Пролегомены. М.: Мир, 1970. С. 145 -156.93

57. Том Р. Структурная устойчивость и морфогенез. М.: Логос, 2002. 280 с.

58. Арнольд В.И. Теория катастроф. 3-е изд. М.: Наука, 1990.128 с.

59. A.N.Kudinov, V.P.Tsvetkov,and I.V.Tsvetkov. Catastrophes in the Multi-Fractal Dynamics of Social-Economic Systems. Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 18, No. 2, 2011, pp. 149-155.

60. Булашев C.B. Статистика для трейдеров. M.: Компания Спутник+, 2003. 245 с.

61. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. М: Финансы и статистика, 2003. 413с.

62. Цветков И.В. Управление нефтяными ценами в рамках фрактального подхода // Управление экономическими системами: электронный научный журнал, № 2 (26), 2011. № гос. per. статьи 0421100034.

63. Цыгичко В.Н. Прогнозирование социально-экономических процессов. 2-е изд. М.: КомКнига, 2007. 238с.

64. Экономико-математические методы и прикладные модели / Под ред. Федосеева В. В. 2-е изд. М.: ЮНИТИ ДАНА, 2005. 304 с.

65. Писарева О.М. Методы прогнозирования развития социально -экономических систем. М.: Высшая школа, 2007. 592 с.

66. Бугакова М.М. Экономическое прогнозирование. Методы и приемы практических расчетов. М.: КНОРУС, 2008. 166 с.

67. Цветков И.В. Моделирование социально-экономических процессов на основе мультифрактальной динамики / Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. Тверь, 2011. 239 с.

68. Слуцкин JI. H. Курс MBA по прогнозированию в бизнесе. М.: Альпина Бизнес Букс, 2006. 277 с.

69. Льюис Колин Д. Методы прогнозирования экономических показателей / Пер. с анг. М.: Финансы и статистика, 1986. 130с.

70. Дуброва Т.А. Прогнозирование социально экономических процессов. М.: Маркет ДС, 2010. 188 с.

71. Чернышев С.Л. Моделирование экономических систем и прогнозирование их развития. М.: МГТУ им. Баумана, 2003. 230 с.

72. Прогностика. Терминология. Сборники рекомендуемых терминов. Вып. 92. М.: Наука, 1978. 32 с.

73. Джон Дж. Мэрфи. Технический анализ фьючерсных рынков : теория и практика / Пер. с англ. Евро, 2008. 592 с.

74. Philip D. Jones, Tom M.I Wigley. Global Warning trends Saintific American, Vol. 263, No. 2, August 1990, pp. 84-91.

75. Кондратьев К. Я. Глобальные изменения климата: данные наблюдений и результаты численного моделирования // Исследование Земли из космоса, № 2, 2004. С. 61-96.

76. Кондратьев К. Я. Неопределенность данных наблюдений и численного моделирования климата // Метеорология и гидрология, № 4, 2004. С. 93-119.

77. Булгаков К. Ю., Мелешко В. П., Шнееров Б. Е. О чувствительности равновесного климата к удвоению концентрации С02 в атмосфере// Труды ГГО, вып. 556, 2007. С. 3-28.

78. Монин A.C., Шишков Ю.А. Климат как проблема физики // Успехи физических наук, том 170, № 4, 2000. С. 419 449.

79. Жеребцов Г.А., Коваленко В.А., Молодых С.И., Рубцова O.A. Модель воздействия солнечной активности на климатическиехарактеристики тропосферы Земли // Изв. РАН. Оптика атмосферы и океана, т. 18, № 12, 2005. С. 1042-1050.

80. Заварзин Г. А. Становление биосферы // Вестник Российской Академии наук, том 71, № 11, 2001. С. 988-1001.

81. Бьорн Ломборг. Охладите! Глобальное потепление. Скептическое руководство. СПб: Питер, 2008. 208 с.

82. Обзор доклада Николаса Стерна «Экономика изменения климата» / Кокорин А. О., Кураев С. Н. WWF, GOF. M.: WWF России, 2007. 50 с.

83. Мелешко В. П. и др. Оценочный доклад об изменениях климата и их последствиях на территории российской федерации. Том 1. Изменения климата. М: Росгидромет, 2008. 231 с.

84. Brohan, P., J.J. Kennedy, I. Haris, S.F.B. Tett and P.D. Jones (2006). "Uncertainty estimates in regional and global observed temperature changes: a new dataset from 1850". J. Geophysical Research 111: D12106. D01:10.1029/ 2005.

85. Джон К. Халл. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты/Пер. с англ. 6-е изд. М.: Вильяме, 2007. 1056 с.

86. В. Cohen. The Edge of Chaos, Crashes, Booms and Bubbles. 1996, 256 s.

87. Петров В. Когда лопнет "нефтяной пузырь"? // Нефть России, 2008, №12. С. 8-15.

88. Русаев В.А. Факторы, влияющие на цену нефти на мировых рынках, и методы ее прогнозирования // Проблемы экономики и управления нефтегазовым комплексом, №8, 2007. С. 13-16.

89. А. Конопляник. О ценах на нефть и нефтяных деривативах // Экономические стратегии, №2, 2009. С. 54 61.

90. Башмаков И. Цены на нефть: пределы роста и глубины падения // Вопросы экономики, №3, 2006.

91. Капица С.П. Парадоксы роста: Законы развития человечества. М.: Альпина Нон-фикшн, 2010. 192 с.

92. Капица С. П. Глобальная демографическая революция // Международная жизнь, № 11, 2005. С. 91—105.

93. Демография Электронный ресурс.: учебное пособие / Под ред. Глушковой В.Г., Симагина Ю.А. 5-е изд. М.: Кнорус, 2010. 288с.

94. Демографическая статистика . Учебник/ Под ред. Карманова М. В. М. : КНОРУС, 2010. 480 с.

95. Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве / Под ред. Гатаулина A.M. СПб.: ООО «ИТК ГРАНИТ», 2009. 432 с.

96. Кундиус В.А., Мочалова JI.A., Кегелев В.А., Сидоров Г.С. Математические методы в экономике и моделировании социально-экономических процессов в АПК. 2-е изд. М.: Колос, 2001. 288 с.

97. Растениеводство Тверской области// Статистический сборник. Территориальный орган Федеральной службы государственной статистики по Тверской области, Тверь, 2007. 124 с.