автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование процессов тепломассопереноса, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных на одно- и двумерных областях

На правах рукописи

КУТУЗОВ Антон Сергеевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕИЛОМАССОПЕРЕНОСА, ОПИСЫВАЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ НА ОДНО- И ДВУМЕРНЫХ ОБЛАСТЯХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Челябинск — 2013

О 5 СЕН 2013

005532537

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики в ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет»

Научный руководитель ТАНАНА Виталий Павлович,

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты МЕНИХЕС Леонид Давидович,

доктор физико-математических наук, профессор, Южно-Уральский государственный университет, зав. кафедрой математического анализа

ТЮЛЬКИН Борис Михайлович,

доктор технических наук, профессор, Миасский филиал Челябинского государственного университета, зав. кафедрой прикладной математики и информатики

Ведущая организация Институт вычислительной математики и ма-

тематической геофизики СО РАН

Защита диссертации состоится 26 сентября 2013 г. в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 212.296.02 при ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет» по адресу: 454001, г. Челябинск, ул. Братьев Каши-риных, д. 129.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Челябинского государственного университета.

Автореферат разослан «Д. < » августа 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук,

профессор

В.Е. Федоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности. В тепловом проектировании основными задачами являются задачи составления тепловых моделей, в которых информация о тепловых состояниях объекта исследования заключена в исходных данных. Это приводит к постановкам задач единого класса - обратным задачам теплообмена (ОЗТ)1.

Во многих случаях непосредственно измерить изменяющиеся во времен плотности тепловых потоков и коэффициентов теплоотдачи не представляете возможным. Довольно часто оказывается недоступной для прямых измерений р температура поверхности исследуемых объектов. В то же время, имеется воз можность замеров температуры в отдельных точках внутри тела. Таким образом, появляется необходимость решать граничные ОЗТ — расчетным путем определять тепловые граничные условия по данным температурных измерений i теле.

Средства и условия измерения, регистрации и расшифровки экспериментальных данных в тепловых исследованиях имеют ограниченные точностньк показатели. Именно поэтому исходные данные бывают известны со сравнительно невысокой точностью и сопровождаются различными ошибками и шумами. Таким образом, требуются методы решения обратных задач, которые работают при условии ограниченной исходной информации, заданной с ошибками, с обязательным учетом погрешности входных данных.

В вопросах постановки и разработки специальных методов решения обратных и некорректных задач основополагающее место занимают работы Тихонова А.Н.2, Лаврентьева М.М.3 и Иванова В.К.4

Дальнейшее развитие этих методов связано с работами А.Н. Тихонова М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова, а также их учеников и последователей В.Я Арсенина, А.Л. Агеева, А.Б. Бакушинского, А.Л. Бухгейма, Г.М. Вайникко Ф.П. Васильева, В.В. Васина, В.А. Винокурова, A.B. Гончарского, В.Б. Гласко A.M. Денисова, Е.В. Захарова, В.И. Дмитриева, С.И. Кабанихина, М.Ю. Коку-рина, A.C. Леонова, O.A. Лисковца, И.В. Мельниковой, Л.Д. Менихеса, В.А Морозова, А.И. Прилепко, В.Г. Романова, В.Н. Страхова, В.П. Тананы, А.М Федотова, Г.В. Хромовой, A.B. Чечкина, А.Г. Яголы, J.N. Franklin, J. Cullum, А Melkman, С. Micchelli и многих других математиков.

Конкретная зависимость решения некорректно поставленной задачи от погрешности задания входных данных впервые была получена в работах В.П. Тананы5. Эти исследования продолжены в настоящей работе.

В диссертации рассмотрены некоторые обратные задачи тепловой диагностики ракетных двигателей, термохимического разложения теплозащитных по-

' Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М., 1988.279с.

2 Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. ДАН СССР. 1943. т.39. №5. С. 195-198. 1 Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа.

М„ 1980. 288с.

4 Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах. Матем. сб. 1963. т.61. №2. С.211-213.

5 Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М., 1981. 160с.

крытий гиперзвуковых летательных аппаратов и непрерывной разливки стали. Указанные задачи рассматриваются на одно- и двумерных областях. Решения таких задач в соответствующих пространствах отличаются сильной неустойчивостью к малым возмущениям исходных данных, потому получение и оценивание этих приближенных решений являются важными и актуальными проблемами.

Для решения поставленных задач разработаны численные методы и впервые получены оценки погрешностей этих методов. Разработан комплекс программ «Тепловая диагностика», рассмотрены модельные примеры.

Цель и задачи работы. Цель диссертационной работы заключается в исследовании широкого класса математических моделей и связанных с ними обратных задач, возникающих в теплофизике.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

■ построить одно- и двумерные математические модели камеры сгорания ракетного двигателя в случае, когда можно пренебречь выгоранием внутренней стенки;

■ построить одномерные математические модели процесса термохимического разложения теплозащитных покрытий гиперзвуковых летательных аппаратов для случаев, когда материалы покрытий уносятся с поверхности, либо уносом материалов можно пренебречь;

■ построить двумерные модели процессов непрерывной разливки стали и камеры сгорания ракетного двигателя в случае, когда выгоранием внутренней стенки нельзя пренебречь;

■ обосновать возможность использования для решения полученных обратных задач метода интегральных преобразований;

■ получить достаточные условия разрешимости поставленных задач;

■ разработать алгоритмы численного решения полученных обратных задач теплофизики;

■ получить оценки найденных приближенных решений, установить связь найденных решений с погрешностью задания входных данных;

■ вычислить явно все основные константы, входящие в полученные оценки;

■ реализовать программный комплекс «Тепловая диагностика», предназначенный для численного решения и оценивания полученных решений некоторых из рассмотренных задач;

■ рассмотреть модельные примеры, сравнить экспериментальные оценки с теоретическими.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Научная новизна разработанных моделей заключается в рассмотрении двумерных областей и уравнений теплопроводности с переменными коэффициентами при условии снятия некоторых ограничений, наложенных на параметры подобных моделей при более ранних рассмотрениях. Двумерные модели с подвижными границами рассмотрены в работе впервые.

2. Разработаны численные методы приближенного решения рассматриваемых задач на основе методов проекционной регуляризации и квазиобращения.

Получены оценки найденных приближенных решений. Причем для метода квазиобращения подобные оценки получены впервые.

3. Разработан комплекс программ для решения поставленных задач на одно- и двумерных областях на основе численного алгоритма метода квазиобращения. Численные оценки, полученные экспериментально при рассмотрении модельных примеров, согласуются с оценками, полученными теоретически.

Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты диссертации являются новыми и имеют как теоретический, так и практический характер.

Теоретическую ценность имеют оценки решений некорректно поставленных смешанных краевых задач для различных уравнений параболического типа с разного рода граничными условиями. Указанные оценки получены впервые. Кроме этого, для двумерных задач с подвижными и неподвижными границами получены достаточные условия разрешимости.

Практическую значимость имеет обоснование эффективности метода квазиобращения при решении конкретных ОЗТ по сравнению с некоторыми другими методами. Предложенный программный комплекс можно использовать для нахождения численных решений одно- и двумерных обратных задач методом квазиобращения, а также для получения оценок этого метода

Методы исследований. Поставленные в работе задачи решались с использованием численных методов проекционной регуляризации и квазиобращения.

При решении задач использовались интегральные преобразования для приведения уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Возможность применения интегральных преобразований в работе строго и полностью обоснована.

Для реализации на ЭВМ мы использовали разностную аппроксимацию и

сеточные методы.

Достоверность научных положений, результатов и выводов, содержащихся в диссертационной работе, обеспечена полными доказательствами всех утверждений, выдвигаемых на защиту, причем математическая строгость доказательств соответствует современному уровню.

Все теоретические результаты подтверждены экспериментально путем их

сравнения с известными.

На защиту выносятся:

1. Результаты исследования математических моделей процессов, происходящих внутри камеры сгорания ракетного двигателя, процессов непрерывной разливки стали и процессов термохимического разложения теплозащитных покрытий гиперзвуковых летательных аппаратов.

2. Оценки приближенных решений поставленных обратных задач методами квазиобращения и проекционной регуляризации, полученные для таких моделей впервые.

3. Достаточные условия разрешимости двумерных обратных задач с подвижными и неподвижными границами.

4. Использование полученных результатов и предложенного метода квазиобращения для разработки и реализации программного комплекса «Тепловая диагностика», а также для проведения вычислительных экспериментов.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях и семинарах:

1. Проблемы развития приграничных территорий. - Троицк. - 2006.

2. Проблемы развития приграничных территорий. - Троицк. - 2008.

3. Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач. Молодёжная международная научная школа-конференция. - Новосибирск. -2009.

4. 61-я научная конференция ЮУрГУ. Секция естественных наук. — Челябинск. - 2009.

5. XIV Всероссийская конференция «Математическое программирование и приложения». - Екатеринбург. -2011.

6. Семинар по обратным и некорректным задачам под руководством чл.-корр. РАН В.В. Васина в Институте математики и механики УрО РАН. —2011.

7. Семинар кафедры вычислительной математики ЧелГУ — 2010.

8. Семинар кафедры вычислительной математики ЮУрГУ — 2011.

Публикации. Основные материалы диссертационной работы опубликованы в 15 работах, в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК, 5 — в материалах и трудах конференций, 1 - свидетельство об официальной регистрации программного продукта.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа без библиографического списка содержит 180 страниц .машинописного текста и библиографический список из 101 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий экскурс в историю вопроса, описаны постановки всех рассматриваемых в работе задач, приведены цель и задачи исследования, методология, научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, а также положения, выносимые на защиту.

Первая глава носит вспомогательный характер.

В параграфе 1.1 дается введение в теорию обратных задач теплообмена, обосновывается актуальность темы диссертационной работы.

В параграфе 1.2 определены основные понятия и методы, а также сформулированы факты, используемые при получении основных результатов.

Пусть U, F и V — гильбертовы пространства, А — инъективный самосопряженный положительный оператор, отображающий U в F и имеющий неограниченный обратный, а В - линейный ограниченный оператор, отображающий V в U. Обозначим через Мг множество BSr, где r>0, а Sr = jv е V: ||v|| < г} и рассмотрим операторное уравнение первого рода

Au = f, ueU, f 6 F. (1)

Согласно A.H. Тихонову6, задача (1) называется условно-корректной, если:

1. априори известно, что решение этой задачи существует и принадлежит заданному множеству MrczU, т.е. /е АМГ;

2. решение и задачи (1) единственно на множестве Мг, т.е. оператор А обратим на М,;

3. решение и непрерывно зависит от правой части /, если вариации / не выводят за пределы множества АМГ, т.е. обратный оператор А'1 непрерывен по норме (относительной) множества АМГ.

Определение 1. Множество Мг называется классом корректности для уравнения (1), если сужение оператора А'1 на множество АМГ равномерно непрерывно.

Предположим, что при / = /0 существует точное решение «0 уравнения (1), которое принадлежит множеству Мг, но точное значение /0 нам неизвестно, а вместо него даны приближенное значение fs е F и S > 0 такие, что

1Л-/.И-

Требуется по исходным данным задачи Mr, fs и 5 определить приближенное решение us уравнения (1) и оценить его уклонение от точного решения.

Определение 2. Семейство операторов (в общем случае нелинейных) {7; :0<<5 <(50} будем называть методом приближенного решения уравнения (1) на множестве Мг, если для любого <5 е(0,50] оператор Тг непрерывно отображает пространство F в пространство U и Tsf5 щ (равномерно на множестве АМГ) при 5 0 и при условии, что \ fs -Au0\\<S.

Пусть далее спектр 8р(Л) = [0,||л||], а спектр Sp(ß)-[0,||ß||] и справедливо соотношение

B = G(A), (2)

где G(cr) - непрерывная, строго возрастающая на [О, ||Л||] функция, такая, что G(0) = 0.

Нашей главной целью при решении рассматриваемых далее задач является установление для них порядка функции G(<r) и получение связанных с этой функцией оценок приближенных решений поставленных задач.

Для решения некорректно поставленных задач существует множество методов. В работе мы используем два из них: метод проекционной регуляризации

и метод квазиобращения.

Основная идея метода проекционной регуляризации для решения уравнения (1) состоит в том, чтобы записать оператор уравнения (1) в спектральной

6 Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. ДАН СССР. 1943. т.39. №5. С. 195-198.

7 Танана В.П. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации при решении обратных задач. Сиб. журнал вычисл. матем. 2004. т.7. №2. С.117-132.

форме, а затем сделать срезку, положив значения спектра регуляризованного оператора равными нулю, начиная с определенного момента. Этот момент может быть найден самыми разнообразными способами.

Мы используем для его определения схему М.М. Лаврентьева8 и принцип невязки9.

Основная идея метода квазиобращения10 заключается в изменении операторов, входящих в задачу. Это изменение производится введением добавочных дифференциальных членов. При этом исходная некорректно поставленная задача сводится к другой задаче — "близкой" к исходной, но являющейся уже корректной по постановке.

Глава 2 посвящена постановке и решению обратных задач тепловой диагностики в одномерном случае.

В параграфе 2.1 рассматривается одномерная модель тепловой диагностики процессов, происходящих внутри камеры сгорания ракетного двигателя (в предположении, что стенка камеры не подвергается выгоранию), которая может быть математически описана следующей обратной граничной задачей восстановления поля температур и0(*) = и(1,0> где и0(/)еС[0,оо), и(х,1) удовлетворяет условиям:

0<дс<1, и(*,0еС([0,1]х[0,со));

и(х,0) = 0, 0<х<1; м(0,0 = 0, н,(0,/) =/(0, 1>0.

Здесь /(/) е С[0,со) — заданная функция. Задача поставлена некорректно.

Также мы полагаем, что —,^-^-еС((0,1)х(0,оо)) и существует число

о/ дх

Т> 0 такое, что для любого ¡>Т и0 (() = 0.

Мы показываем, что м(х,Г) е ¿2([0,1]х[0,оо))П £,([0,1]х[0,оо)), а поскольку задача поставлена некорректно, то предполагаем, что точное решение

г со со

иа(0еМг=\и(0ес[0,со):||м(/)|2Л + ||м'(/)|2гй<г2 Это предположение является естественным и физичным.

Кроме этого, пусть вместо точного значения функции /(*) нам известно ее 5 -приближение и уровень погрешности 8 такие, что ||/ —5.

Требуется, используя исходные данные /5,8, и Мг построить приближенное решение иД/) и оценить его уклонение ||«0 — мг||с от точного решения "о (О-

! Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. — Новосибирск, 1962. 92с.

9 Морозов В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации. Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1966. т.6. №1. С. 170-175.

10 Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М., 2003. 784с.

При этом, согласно постановке, естественно положить приближенное решение и5(г) = 0 при всех ¡>Т, тогда ||и0 -щ||с = тах|и0(Г)-и5(г)|.

Полностью обоснована применимость метода интегральных преобразований для решения данной задачи.

Для нахождения устойчивого приближенного решения поставленной задачи использован метод квазиобращения. Именно, вместо поставленной задачи мы рассматриваем следующую корректную задачу с малым параметром для уравнения гиперболического типа:

+ г>0,0<х<1,«(х,ОеС([0,1]х[0,оо));

Ыг д1 дхг и(*,0) = 0, и,(х,0) = 0, 0 < х < 1;

и(0,/)=0, их(0,0=/АО, 1*0.

Здесь е>0, —,—еС((0,1)х(0,°о)). В качестве приближенного решения ' д(2 ' дх2

исходной некорректной задачи рассматриваем функцию кД0 = и.0>0> гДе и (х,0 является решением задачи с малым параметром и е =е(<5).

Мы обосновываем возможность применения для решения задачи с малым параметром метода интегральных преобразований.

Зависимость £ = е(<5) выбираем из условия минимальности погрешности полученного приближенного решения (квазиоптимальный выбор параметра регуляризации).

Теорема 1. Если иаЦ)е.Мг, то для приближенного решения мД/) имеет место оценка сверху ||м0 -ив\с <с, при-¡^—^-<£(5) 5 /4/.

1п2Ы ь[т

В параграфе 2.2 описан первый модуль программного комплекса «Тепловая диагностика», представляющий собой реализацию алгоритма метода квазиобращения на ЭВМ, а также рассмотрены модельные примеры.

Для точно заданной функции /(О = »,(0,0 = -Ц- имеем точное рее 41 — е .

/

шение и (1,0 =

Сравнение точного решения с приближенным, полученным методом квазиобращения, при уровне погрешности задания исходных данных 5 =0,01 приведено на рисунке.

Все результаты тестирований показали, что разработанный алгоритм дает экспериментальные оценки не хуже, чем теоретические.

» Точное решение - Приближеютов ре те юте

В параграфе 2.3 ставится и решается задача, моделирующая процесс термохимического разложения теплозащитных покрытий гиперзвуковых летательных аппаратов в предположении, что материал покрытия не уносится с поверхности. Постановка задачи имеет вид: ди( д2и(х,0

dt

дх2

- + a(x)u(x,t), х е (0,l), t> 0, ф)еС2[0,1]; и(*,0) = 0, х е [0,1];

"(0,0 = /(0, t> 0, /(/)еС[0,оо);

u(x0,t) = g(t); 0<дг0 <1, />0, g(0eC[0,oo),

а фаничное значение u(l,t) е С[0,со) функции u(x,t) е С([0,1]х[0,оо)) подлежит определению.

Мы полагаем, что выполняются условия и(1,0) = 0, /(0) = 0, g(0) = 0,

du д2и _/,. .. л

—,-^5-eC((0,l)x(0,oo)J и существует Т> 0 такое, что для всех t > Т и(1,/) = 0.

Мы показываем, что и(х, i) е L2 ([0,1] х [0, со)) f| ([0,1] х [0, со)), а поскольку

задача является некорректно поставленной, то предполагаем, что при точных начальных данных f(t) = f0(t) и g(t) = g0(t) существует ее точное решение 1^(1,1)^0, которое принадлежит пространству С[0,оо)П£2[0,оо)П£,[0,ао) и

г со 00 "j

лежит в множестве Mr=\ u(t) е С[0, со) : J\u{t)fdt + ^\u\t)^dt < г2 I.

Однако точные значения /0(/), и g0(t) нам неизвестны, а вместо них даны некоторые приближения /Л0,£л(0еС[0,сс)П£2[0,со)П-М0,со) и уровень погрешности 5 > 0 такие, что ||/0 -fs\^<8, [|g0 <<5.

Требуется, используя исходные данные fs,gs,S, и Мг построить приближенное решение u5(t) и оценить его уклонение ||и0 -щ|| от точного решения.

Поставленная задача решена методом проекционной регуляризации с выбором параметра регуляризации согласно схеме М.М. Лаврентьева.

Теорема 2. Если uQ(t) е Мг, то для приближенного решения us(t) имеет

место оценка сверху |м0 — кг||(. ^с21гГ2-^-.

Примечательным является то, что найденная оценка зависит от точки, в которой производится промежуточный замер температурного поля системы.

Константы с,,с2 >0, фигурирующие в полученных в главе 2 оценках, найдены явно, что позволяет при рассмотрении модельных примеров на ЭВМ сравнивать оценки, найденные экспериментально, с теоретическими оценками. Обе оценки теорем 1 и 2 получены впервые.

Глава 3 посвящена постановке и решению обратных задач тепловой диагностики в случаях, когда рассматриваемые области являются двумерными областями с неподвижными или с подвижными границами.

В параграфе 3.1 рассматривается задача тепловой диагностики процессов, происходящих внутри камеры сгорания ракетного двигателя (в предположении, что стенка камеры не подвергается выгоранию). Рассматриваем уравнение

a«(x,y,t) = д(

в котором х,уе К, где К — кольцо, ограниченное окружностями Г, и Г2 с радиусами г, и г2 соответственно, 1 < <г2, / > 0, ii(x,yj) е С(К х [0,оо)). Известны следующие начальные и граничные условия:

и(х,у, 0) = 0, х,уеК,

и\ =0, I > 0,

2

м|Го = /(/); Г0 = {х,у еК:х2+у2 = гД rt <r0<r2},t> 0, /(/) еС[0,оо), а граничное значение и|г еС[0,со) функции и(х,у,1) подлежит определению. Мы полагаем, что выполняются условия сопряжения u(x,y,Qi)\v =0 и

.г/пч п ди дги д2и , ч

/(0) = 0, а также —,—у 6 С(К х (0,оо)) .

at ох ду

Решение этой задачи предполагаем осесимметричным, то есть таким, что

u{x,y,t) = u\^jx2 +y2j^.

Тогда после замены переменной z = •jx2 + у2 задача сводится к виду:

= + ,>0, i<,<z<,2, dt dz zdz 12'

ML=°' nüzzr,,

«L, = UV-r = /(' £ 0. 1 < < r2>

а определить требуется граничное значение и| =и0(/)еС[0,<х>) функции в(г,/)еС([г11г2]х[0,оо)).

Считаем, что — е С((/-1,г,) х (0,со)) и существует Т> О такое, что для

любого Т выполняется условие и0(г) =0.

Мы

показываем, что при этом е ¿-2([^»'гЗхП ^ ([^»'"г]х »

а также обосновываем применимость метода интегральных преобразований для решения поставленной задачи.

Поскольку задача поставлена некорректно, то предполагаем, что при точно заданном граничном условии /¿(/)еС[0,ао)П£2[0,(ХОП£1[0,ао) существует ее точное решение и0(г,,() = и,ХО^ 0 такое, что ми(/)еС[0,оо)П^2[0,оо)ПА[0,со),

а также и0(/) е Мг = |м(/) е С[0,оо): ||ы(0|2Л + ||к'(0Г^ ^ ^

Однако точное значение /„(/) нам неизвестно, а вместо него даны некоторое приближение /в(/)еС[0,оо)П¿2[0,°о)П[0,оо), вызванное погрешностями измерения и уровень погрешности 8 > 0 такие, что ||_/д —<8.

Требуется, используя исходные данные /г,8, и Мг построить приближенное решение и5(1) и оценить его уклонение ||и0 — от точного решения н0(/).

Задача решена методом проекционной регуляризации с выбором параметра регуляризации согласно схеме М.М. Лаврентьева.

у

Теорема 3. Пусть ии(() е М г, и — <2л+1, тогда для приближенного ре-

1

шения иД0 имеет место оценка сверху ||и0~ мг||с -сз 2 '

Указанная оценка для данного класса задач получена впервые. Кроме того, константа с, > 0, фигурирующая в полученной оценке, вычислена явно.

Параграф 3.2 посвящен решению той же самой двумерной задачи, что и в параграфе 3.1, только методом квазиобращения и сравнению оценок полученных приближенных решений различными методами.

г

Теорема 4. Пусть ии(0 е Мг, и —<2л + \, тогда для приближенного решения и5 (7), найденного методом квазиобращения, имеет место оценка сверху ||„||с<с>-21 при выборе

Все участвующие здесь константы посчитаны явно.

Параграф 3.3 посвящен описанию второго модуля программного комплекса «Тепловая диагностика», предназначенного для решения двумерных задач,

рассмотренных в параграфах 3.1 и 3.2 методом квазиобращения. Рассмотрен модельный пример.

Тестирование показало, что разработанный алгоритм дает экспериментальные оценки решений не хуже, чем теоретические.

Параграф 3.4 посвящен постановке и решению двумерной граничной обратной задачи, в упрощенном варианте моделирующей процесс непрерывной разливки стали, возникающий в металлургии.

Рассматривается дифференциальное уравнение

du(x,y,t) 4 ,

—v '' ' = Ди(лг, v,0. dt

в котором х,у е К, К — круг с центром в начале координат, ограниченный окружностью Г радиуса h{t)> 0 (то есть окружность Г перемещается), / > О, h(t) — непрерывная, ограниченная, строго убывающая функция, причем Л(0) = >0.

Кроме того, u(x,y,t) еС(Л"х[0,ос)), а также известны следующие начальные и граничные условия:

и(х,у,0) = 0, х,уеК. и|г=0, |grad м||г =i[/(t), / > 0, И/)бС[0,оо), а граничное значение «(0,0,0 е С [0, со) функции n(x,y,t) подлежит определению. Функцию u(x,y,t) считаем априори ограниченной. Кроме того, мы полагаем, что выполняются условия и(0,0,0) = 0 и

Решение этой задачи полагаем осесимметричным, то есть таким, что u(x,y,t) = и^хг + у1 ,/^j.

Выполнив замену переменной z = ^х1 + у2, задачу сводим к следующей:

/>0, 0 < z < h{t),

dt dz z dz

u\ =0, 0 < z < h...

= 0 — ' dz

= !//(/), <>0, а определить требуется и(0,/) = м0(/) е С[0,со).

Зи дги

Здесь м(г,0еС([0,Аа]х[0,оо)) -ограничена, —0Д)х(0,оо)).

Мы показываем, что м(г,/)е ¿2([0,Л0]х[0,оо))П ¿,([0,/^]х[0,оо)).

Рассматриваемую некорректно поставленную задачу серией замен переменных мы сводим к задаче с неподвижными границами и с переменным коэффициентом в уравнении. Предположим также, что при точно заданном гранич-

ном условии |^0(/)еС[0,оо)П^2[0,оо)П^|[0,<») существует точное решение

u0(t) е Mr = | и(0 е С [О.со): ]\u(tfdt + J|и\tfdt < г21.

I оо J

Однако точное значение <//„(i) нам неизвестно, а вместо него даны некоторое приближение ц/5(t) е С[0,оо) П L2 [0,со) П [0,°°), вызванное погрешностями измерения, и сам уровень погрешности <5 > 0 такие, что |i//0 — Ws\L2 — $ •

Требуется, используя исходные данные ц/8,8, и Мг, построить приближенное решение us(t) и оценить уклонение ||и0 — от точного решения щ,(0=и„(0,0.

Методом проекционной регуляризации с выбором параметра согласно схеме М.М. Лаврентьева впервые для подобного класса задач найдена оценка сверху для значения температурного поля в центре круга.

Теорема 5. При u0(t) е Мг для приближенного решения us{t) имеет место

оценка сверху ||и0 - мг||г < с7 In-2

Константа с7 > 0 может быть посчитана явно.

В параграфе 3.5 решена двумерная обратная задача на кольце с подвижной границей, моделирующая процессы выгорания внутренней стенки камеры сгорания ракетного двигателя, а также разложения теплозащитных покрытий летательных аппаратов, если материал покрытия уносится с поверхности. Рассматривается дифференциальное уравнение

—4 ^ = Au(x,y,t), at

в котором х,уеК, К - кольцо, ограниченное окружностями Г, и Г2 с радиусами h(t) >1 и r2 > h(t) соответственно (то есть внутренняя граница кольца перемещается), / > 0, h{t) — непрерывная, ограниченная, строго возрастающая функция, причем h{0) = hu>l.

Кроме того, u(x,y,t)&C(K х[0,оо)), а также известны следующие начальные и граничные условия:

и(х,у, 0) = 0, х,у<=К, и|Гз=0, |gradii||ri=^(/), />0, ^(f)eC[0,oo),

а граничные значения м|г ,|gradw[|r еС[0,оо) подлежат определению.

Мы полагаем, что при {х,у) е Г, выполняется условие и(х,у,0) = 0, а также

—Т>-теС(Хх(0,оо)). Кроме того, функцию u(x,y,t) естественно искать dt дх ду

ограниченной, потому считаем это дополнительной априорной информацией.

Будем искать решение этой задачи, являющееся осесимметричным, то есть

таким, что u{x,y,t) = и^х2 +/,tj. Тогда после замены переменной z = yj:

х2+у1

поставленную задачу сводим к следующей:

э2

du{z,t) = д u{z,t)+ \_du{z,t) t>0 ,<A(0<Z<

dt 8z2 z dz

dz

= i//(0. />o,

а определить требуется и(Л(/),0 = н,(/), м.(Л(/),0 = и2С) ■

Здесь и(г,0бС([ЛЬ>г2]х[0,оо)), |^еС((/,,,,г2)х(0,оо)).

Мы показываем, что м(г,0 е/,([/;„,г2]х[0,со))П ([/¡Ь,а"2]х[0,со)) и рассматриваемую некорректно поставленную задачу серией замен переменных сводим к задаче с неподвижными границами и с переменным коэффициентом в уравнении.

Кроме того, дополнительно считаем, что при точно заданном граничном условии 1//0 (/) е С [0, °о) П ¿2 [О, «О П А существуют точные решения

«,(/),и2(0 е А/, = и(0 е С[0,со): }|и(012Л + }|и V)f dt <,

Однако точное значение <//0(0 нам неизвестно, а вместо него даны некоторое приближение у/г(0еС[0,оо)П ¿2[0,°o)f| At0-50) - вызванное погрешностями измерения, и сам уровень погрешности S > 0 такие, что ||у/0 - $ •

Требуется, используя исходные данные у/6,5, и Мг, построить приближенные решения us(h(t),t) = uis(t), uSz(h(t),t) = г/2|,(0, а также оценить их уклонения ¡Mio-Miilc' Iho-^llc от точных решений uIH(t)=u0(h(t),t) и n2il(t) = u02(h(t),t).

Методом проекционной регуляризации с выбором параметра регуляризации согласно принципу невязки впервые для подобного класса задач найдены оценки сверху значений температурного поля и теплового потока на внутренней границе рассматриваемой области.

Теорема 6. Пусть щ(/),и2(()е М,. В(х,т) = J- [—-7ie""ds пРи

I j

r>0, i>0, x e Го, >/2!, 6(50 =---—. и s(t)= f--——-¿dr. Если сходят-

L J r2-h{t(s)) {{r2-h{t)f

1 00 V2 CO

ся несобственные интегралы

то для приближенных решений «,¿(7) и u2S(t) имеют место оценки сверху

к -"lillr * С8 U ||М0 А- *

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе построены одно- и двумерные математические модели различных технологических процессов. Для рассматриваемых моделей разработаны алгоритмы численного решения получаемых ОЗТ на основе методов проекционной регуляризации и квазиобращения. Получены оценки приближенных решений для указанных численных методов. Вычислены явно константы, входящие в полученные оценки, что позволяет при моделировании на ЭВМ прогнозировать ожидаемый результат. Получены достаточные условия разрешимости поставленных задач. Разработан и зарегистрирован программный комплекс «Тепловая диагностика», предназначенный для численного решения и оценивания найденных решений некоторых из рассмотренных задач. Вычислительные эксперименты, проведенные для некоторых моделей, установили, что полученные теоретические результаты согласуются с экспериментальными.

Дальнейшее направление исследований связано с обоснованием возможности применения метода квазиобращения к задачам параграфов 2.3 и 3.5, для решения которых в работе мы использовали метод проекционной реализации. Данное направление является перспективным, поскольку алгоритм метода квазиобращения довольно прост для реализации на ЭВМ по сравнению с другими методами теории некорректных задач.

Диссертационное исследование соответствует пунктам 2-4 паспорта специальности 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. |

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

j

В рецензируемых журналах из списка ВАК

1. Кутузов, A.C. Оценка приближённого решения одной двумерной граничной обратной задачи тепловой диагностики методом квазиобращения / A.C. Кутузов // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Математика, физика, химия. —2009. — №10 (143).-С. 14-21.

2. Кутузов, A.C. Определение и точные по порядку оценки приближённых значений температуры и теплового потока на внешней границе кольца / A.C. Кутузов // Системы управления и информационные технологии. — 2009. —№2.1 (Зб).-С. 153-157.

3. Кутузов, A.C. Оптимальная по порядку оценка приближённого решения одной граничной обратной задачи для уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом / A.C. Кутузов // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Математическое моделирование и программмирование. — 2011. — №25 (242). — С. 22-31.

В других изданиях

4. Программный комплекс «Тепловая диагностика»: свидетельство о регистрации электронного ресурса № 19336 / A.C. Кутузов. № ЦИТИС 50201350717; заявл. 04.07.2013.

5. Кутузов, A.C. Особенности численного решения обратной задачи тепловой диагностики / A.C. Кутузов // Проблемы развития приграничных территорий: сб. материалов международной конференции. - Челябинск: Фрегат. -2006.-С. 205-213.

6. Кутузов, A.C. Точная по порядку оценка приближенного решения обратной задачи для уравнения теплопроводности на кольце / A.C. Кутузов // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Математика, физика, химия. - 2007. - №19 (91). -С. 30-36.

7. Кутузов, A.C. Точная по порядку оценка приближённого решения многомерной обратной задачи для уравнения теплопроводности / A.C. Кутузов // Проблемы развития приграничных территорий: сб. материалов международной конференции. - Троицк: Увельская типография - 2008. - С. 114117.

8. Кутузов, A.C. Определение граничного значения теплового потока на внешней границе кольца для обратной задачи теплопроводности / A.C. Кутузов//Троицкий вестник. -2008. -№3. -С. 165-173.

9. Кутузов, A.C. Точная по порядку оценка приближенного решения одной обратной задачи тепломассообмена на кольце / A.C. Кутузов // Информационные технологии моделирования и управления. - 2009. - №2 (54). — С. 207-215.

10. Кутузов, A.C. О приближённом решении одной двумерной обратной задачи для уравнения теплопроводности / A.C. Кутузов // Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач: молодёжная международная научная школа-конференция, Новосибирск, 10-20 авг. 2009 г. - Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 2009. - С. 60.

11. Табаринцева, Е.В. Один численный метод решения обратной задачи тепловой диагностики / Е.В. Табаринцева, A.C. Кутузов // Наука ЮУрГУ: материалы 61-й научной конференции. Секции естественно-научных и гуманитарных наук. - Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2009. - Т.2. -С. 161-164.

12. Кутузов, A.C. Оптимальная по порядку оценка решения обратной задачи тепловой диагностики для уравнения с переменным коэффициентом / A.C. Кутузов // Вестн. Челяб. гос. ун-та. Сер. Математика, механика, информатика. - 2009. -№ 20. С. 54-61.

13. Кутузов, A.C. Оптимальная по порядку оценка решения двумерной обратной задачи Стефана / A.C. Кутузов // Вестн. Челяб. гос. ун-та. Сер. Математика, механика, информатика. - 2009. - № 23. С. 20-31.

14. Кутузов, A.C. Об оценке приближённого решения одной обратной задачи для уравнения теплопроводности на кольце / A.C. Кутузов // Информационный бюллетень Ассоциации математического программирования: тез.

докл. XIV Всероссийской конференции «Математическое программирование и приложения», Екатеринбург, 28 февраля - 4 марта 2011 г. - Екатеринбург: УрО РАН, 2011. - № 12. - С. 262-263.

15. Кутузов, A.C. Численное моделирование решения одной обратной задачи для уравнения теплопроводности методом квазиобращения / A.C. Кутузов//Троицкий вестник. —2011. -№6. — С. 104-116.

Подписано в печать 13.08.2013. Формат60x84/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1.

_Тираж 80 экз. Заказ № 1304._

Отпечатано с готового оригинал-макета в ООО "Типография" 457100, г. Троицк, Военный городок №2, д. 26

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет»

УДК 517.948 На правах рукописи

04201364254

Кутузов Антон Сергеевич

Моделирование процессов тепломассопереноса, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных на одно- и двумерных областях

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор В.П. Танана

Челябинск - 2013

Оглавление

Введение..................................................................................................... 3

Глава 1. Вспомогательные сведения, используемые в работе......... 20

1.1. Актуальность обратных задач теплообмена................... 20

1.2. Основные понятия и методы, используемые в работе...... 24

Глава 2. Одномерные математические модели................................... 34

2.1. Одна граничная обратная задача и ее решение методом квазиобращения.................................................................... 34

2.2. Численное моделирование на ЭВМ решения обратной задачи тепловой диагностики ракетных двигателей методом квазиобращения.................................................... 58

2.3. Граничная обратная задача для уравнения с переменным коэффициентом............................................................ 72

Глава 3. Двумерные математические модели..................................... 97

3.1. Оценка решения двумерной граничной обратной задачи методом проекционной регуляризации............................. 97

3.2. Решение двумерной граничной обратной задачи методом квазиобращения............................................................ 123

3.3. Реализация на ЭВМ алгоритма численного решения обратной задачи на кольце методом квазиобращения.......................................................................................... 132

3.4. Двумерная граничная обратная задача непрерывной разливки стали..................................................... 137

3.5. Двумерная граничная обратная задача на кольце с подвижной границей.................................................................. 154

Заключение.......................................................................... 179

Список литературы.................................................................................. 181

Введение

Многие прикладные задачи математической физики не удовлетворяют трем требованиям корректности постановки по Адамару:

1. существование решения;

2. единственность решения;

3. непрерывная зависимость решения от исходных данных.

Следствием этого является непригодность для решения таких задач традиционных методов, связанных с обращением оператора задачи.

Такие задачи стали называть некорректно поставленными. Долгое время такие задачи считались непригодными для практических нужд, а потому мало интересовали математиков.

Впервые практическую ценность таких задач отметил академик А.Н. Тихонов в своем докладе [80]. Также в этом докладе А.Н. Тихонов впервые дал постановку так называемой условно-корректной задачи. Указанная постановка в дальнейшем сыграла огромную роль в становлении и развитии теории и практических применений подобных задач.

В вопросах постановки и разработки специальных методов решения некорректных задач основополагающее место занимают работы Тихонова А.Н. [80, 81], Лаврентьева М.М. [45, 47] и Иванова В.К. [26, 27].

Дальнейшее развитие этой теории было связано с работами А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова, а также их учеников и последователей В.Я. Ар-сенина, А.Л. Агеева, А.Б. Бакушинского, А.Л. Бухгейма, Г.М. Вайникко, Ф.П. Васильева, В.В. Васина, В.А. Винокурова, A.B. Гончарского, В.Б. Гласко, A.M. Денисова, Е.В. Захарова, В.И. Дмитриева, С.И. Кабанихина, М.Ю. Кокурина,

A.C. Леонова, O.A. Лисковца, И.В. Мельниковой, В.А. Морозова, А.И. Прилепко,

B.Г. Романова, В.Н. Страхова, В.П. Тананы, A.M. Федотова, Г.В. Хромовой,

A.B. Чечкина, А.Г. Яголы и многих других математиков [1-16, 18-22, 26-37, 39-48, 50-52, 55, 57, 58, 60, 63-84, 85, 87, 88, 90-101].

В настоящее время теория некорректно поставленных задач является одним из основных направлений прикладной математики, которое, развиваясь, находит новые приложения в естествознании, физике, металлургии и технике.

Состояние теории некорректных задач на сегодняшний день отражено в монографиях М. М. Лаврентьева [45, 46], А.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина [82], Р. Латтеса и Ж.Л. Лионса [50], В.К. Иванова, В.В. Васина, В.П. Тананы [28],

B.А. Морозова [58], М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, С.П. Шишатского [48], O.A. Лисковца [52], В.В. Васина, А.Л. Агеева [15], Г.М. Вайникко [12], A.M. Федотова [85], А.Н. Тихонова, A.B. Гончарского, В.В. Степанова и А.Г. Яголы [83], В.К. Иванова, И.В. Мельниковой и А.И. Филинкова [30], В.П. Тананы и А.И. Си-диковой [76] и многих других.

За рубежом значительный вклад в данную теорию сделан следующими математиками: Franklin J.N. [92], Cullum J. [93], Miller К. [100], Phillips D.L. [101], Melkman A., Micchelli C. [99], Langford D. [98].

При решении обратных и некорректно поставленных задач важное место занимает математическое моделирование, более адекватно отражающее суть изучаемого процесса или явления. Это приводит к использованию более сложных моделей, учитывающих неоднородные среды, сложное строение искомого решения (например, его разрывность), нелинейность, или - чему по большей части и посвящена данная работа - многомерность рассматриваемых сред, а также многие другие моменты.

Для дальнейшего численного решения обратных некорректных задач требуется разработка специальных методов, демонстрирующих высокую точность. Таким образом, особое место занимает разработка оптимальных и оптимальных по порядку методов решения некорректно поставленных задач, а также оценка погрешности этих методов.

Для окончательного решения той или иной некорректно поставленной задачи необходимо разработать и апробировать на достаточном числе модельных приме-

ров комплексы программ, работающих на основе предложенных численных методов. Этот комплекс должен быть достаточно простым для использования. Стандартные программы, используемые в нем, не должны портить точность методов.

В теории некорректно поставленных задач можно выделить три основных направления.

1. Теория регуляризуемости, связанная с проблемой существования метода решения той или иной задачи. Решение этой проблемы позволяет отсеять тот класс задач - "абсолютно некорректных" - за решение которых бесполезно браться.

В работе В.А. Винокурова [18] было замечено, что далеко не все задачи регу-ляризуемы, то есть решаемы. Общая же постановка проблем, связанных с этим направлением, и их решение принадлежат В.А. Винокурову и Л.Д. Менихесу [18, 19].

Отметим, что исследования в данной области позволяют для некоторых "трудных" задач предложить новые, нетрадиционные методы их решения и тем самым еще глубже проникнуть в тайны явления, называемого некорректностью.

2. Конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов. Основными методами решения некорректных задач на данный момент являются метод регуляризации А.Н. Тихонова [81], метод М.М. Лаврентьева [45], метод квазирешений В.К. Иванова [26] и метод невязки [2]. Практическая реализация этих методов невозможна без использования ЭВМ.

При этом требуется замена исходной бесконечномерной задачи некоторой конечномерной. Указанная замена не должна испортить сходимость регуляризо-ванного решения к точному. Исследованию этого вопроса посвящено большое число работ, среди которых отметим [1], [14-16], [28], [55], [57], [58], [67], [81-84] и многие другие.

3. Построение эффективных методов решения некорректных задач. Основополагающие работы в данном направлении принадлежат Тихонову А.Н. [81], Лаврентьеву М.М. [45] и Иванову В.К. [26], [27]. В них были сформулированы

основные принципы регуляризации и предложены некоторые методы, которые исследуются до сих пор.

Затем А.Б. Бакушинский в работе [9] предложил общий прием построения регуляризующих алгоритмов. Начиная с этой работы, в теории некорректных задач появилась неопределенность, заключающаяся в том, что для решения одной и той же задачи в арсенале имелось много методов.

Таким образом, дальнейшие исследования в теории некорректных задач были связаны с созданием объективных количественных характеристик точности для методов регуляризации и на их основе сравнения методов. Здесь одним из основных являлся вопрос о выборе параметра регуляризации, решение которого В.К. Ивановым [27] и В.А. Морозовым [57] привело к созданию принципа невязки, сыгравшего большую роль в развитии теории некорректных задач.

Затем в работе В.К. Иванова [28] и других появились исследования равномерной регуляризации на некоторых классах решений, которые дали возможность оценить погрешность различных методов регуляризации. Это позволило сформулировать определение оптимального метода, как самого точного среди всех возможных методов. Первые исследования, связанные с построением оптимального метода и оценки его погрешности в общем случае принадлежат В.М. Страхову [65], А. Ме1ктап и С. МюсИеШ [99].

С этого момента начались исследования, связанные с построением оптимальных и оптимальных по порядку методов, в которых приняли участие очень многие математики.

Конкретная зависимость решения некорректно поставленной задачи от погрешности задания входных данных впервые была получена в работах В.П. Тана-ны [67, 68]. Эти исследования продолжены в настоящей работе.

Данная работа относится к третьему направлению. В ней рассмотрены математические модели некоторых обратных задач тепловой диагностики ракетных двигателей, термохимического разложения теплозащитных покрытий гиперзвуковых летательных аппаратов и задача непрерывной разливки стали. Указанные модели рассматриваются на одно- и двумерных областях. Для приближенных реше-

ний указанных задач разработаны численные методы и получены оценки погрешностей этих методов.

Подробнее об актуальности настоящей работы мы скажем в параграфе 1.1.

Целью нашей работы является исследование широкого класса математических моделей и связанных с ними обратных задач, возникающих в теплофизике.

Перед нами стоят следующие задачи:

- построить математические модели процессов, происходящих внутри камеры сгорания ракетного двигателя в случаях, когда выгоранием внутренней стенки можно или нельзя пренебречь;

- построить математические модели процессов термохимического разложения теплозащитных покрытий гиперзвуковых летательных аппаратов в случаях, когда уносом материала с поверхности покрытия можно или нельзя пренебречь;

- построить математическую модель процесса непрерывной разливки стали;

- для каждой из построенных моделей разработать эффективные численные алгоритмы, позволяющие находить и оценивать приближенные решения получаемых задач в случае, если исходные данные известны приближенно с некоторой заданной погрешностью;

- реализовать на ЭВМ комплекс программ, работающих на основе разработанных численных методов. Работоспособность комплекса проверить на модельных примерах.

Для решения указанных задач мы будем использовать такие численные методы теории некорректных задач, как метод проекционной регуляризации и метод квазиобращения. Кроме этого, при решении задач будет задействован аппарат интегральных преобразований для приведения уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Возможность применения интегральных преобразований в работе строго и полностью обоснована. Для реализации на ЭВМ мы используем разностную аппроксимацию и сеточные методы.

Новизна данной работы состоит в том, что большинство рассматриваемых в ней моделей ранее нигде не исследовалось. Для тех же моделей, которые исследовались ранее, предложены более эффективные численные методы. К результатам

теоретической значимости следует отнести оценки решений некорректно поставленных смешанных краевых задач для различных уравнений параболического типа с разного рода граничными условиями. Указанные оценки получены впервые. Кроме этого, для двумерных задач с подвижными и неподвижными границами получены достаточные условия разрешимости.

Практическую значимость имеет обоснование эффективности метода квазиобращения при решении обратных задач тепловой диагностики по сравнению с некоторыми другими методами.

Достоверность всех полученных результатов обеспечена полными доказательствами всех утверждений, выдвигаемых на защиту, причем математическая строгость доказательств соответствует современному уровню. Все теоретические результаты подтверждены экспериментально путем их сравнения с некоторыми известными.

На защиту выносятся:

1. Результаты исследования математических моделей процессов, происходящих внутри камеры сгорания ракетного двигателя, процессов непрерывной разливки стали и процессов термохимического разложения теплозащитных покрытий гиперзвуковых летательных аппаратов.

2. Оценки приближенных решений поставленных обратных задач методами квазиобращения и проекционной регуляризации, полученные для таких моделей впервые.

3. Достаточные условия разрешимости двумерных обратных задач с подвижными и неподвижными границами.

4. Вывод о более эффективном использовании метода квазиобращения при моделировании решений рассматриваемых задач на ЭВМ.

5. Использование полученных результатов и предложенного метода квазиобращения для реализации программного комплекса "Тепловая диагностика".

Работа состоит из введения, трех глав, двадцати двух рисунков и библиографии, насчитывающей сто одно наименование.

Во введении дан краткий экскурс в историю вопроса, описаны постановки всех рассматриваемых в работе задач, приведены цель и задачи исследования, методология, научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, а также положения, выносимые на защиту.

Глава 1 носит вспомогательный характер. В ней дается введение в теорию обратных задач теплообмена. Кроме того, определены основные понятия и методы, а также сформулированы факты, используемые при получении основных результатов в следующих главах.

Глава 2 посвящена постановке и решению обратных задач тепловой диагностики в одномерном случае.

В параграфе 2.1 рассматривается одномерная модель тепловой диагностики процессов, происходящих внутри камеры сгорания ракетного двигателя (в предположении, что стенка камеры не подвергается выгоранию), которая может быть математически описана следующей обратной граничной задачей восстановления поля температур = «(1,0? гДе е С[0,оо), «(х,/) удовлетворяет условиям:

^ = '>0> 0<х<1, и(х,0еС([0,1]х[0,оо));

гфс,0) = 0, 0 < х < 1;

м(0,0 = 0, / > 0;

и{х0,{) = (р{1), />0, 0<х0<1.

Здесь <р(7) е С[0,оо) - заданная функция, а также выполняются условия сопряжения и0(0) = 0 и <р(0) = 0. Задача поставлена некорректно.

Также мы полагаем, что —,—- е С((0,1)х (0,оо)) и существует число Т> 0

дt дх

такое, что для любого 1>Т «0(/) = 0. Это условие является естественным, поскольку всякий процесс рано или поздно прекращается.

Мы показываем, что

и(х,0 е С([0,1] х [0,сю)) П Ь2 ([0,1] х [0,оо)) П Ц ([0,1] х [0,«»)),

а поскольку задача поставлена некорректно, то предполагаем, что точное решение ьф)&Мг, где

Кроме этого, пусть вместо точного значения функции нам известно ее <5 -приближение (р5{/) и уровень погрешности 8 такие, что ¡«р-^Ц^

Требуется, используя исходные данные <р3, 3, и Мг построить приближенное

Полностью обоснована применимость метода интегральных преобразований для решения данной задачи.

Для нахождения решения поставленной задачи использован метод квазиобращения. Оценка приближенного решения задачи этим методом получена впервые. Кроме того, для малого параметра, играющего в данном случае роль параметра регуляризации, получена интервальная оценка.

Простота численной реализации метода квазиобращения по сравнению с другими методами теории некорректных задач позволила смоделировать решение поставленной задачи на ЭВМ. Этому посвящен параграф 2.2. Здесь рассмотрены модельные примеры. Все результаты тестирований показали, что разработанный алгоритм дает экспериментальные оценки не хуже теоретической. Все константы, участвующие в оценках, найдены явно.

В параграфе 2.3 ставится и решается задача, моделирующая процесс термохимического разложения теплозащитных покрытий гиперзвуковых летательных аппаратов в предположении, что материал покрытия не уносится с поверхности. Постановка задачи имеет вид:

решение и5 (?) и оценить его уклонение ||м0 от точного решения и0(¿).

ди(х^) _ д2и(х,/) & дх2

^^- + а(х)и(х,0, *е(0,1), />0, а(х) е С2 [0,11; Эх

и(х,0) = 0, хе[0,1]; «(0,/) = /(0. /(/)еС[0,оо);

u{xQ,t) = g{t)^ 0<Х0<Д, />0, я(/)еС[0,оо),

а граничное значение г/(1,г) е С[0,оо) функции ^(х,/1) е С([0,1] х [0,со)) подлежит определению.

Мы также полагаем, что выполняются условия сопряжения м(1,0) = 0,

ды З^ы

/(0) = 0 и £(0) = 0, а также —,—-еС((0,1)х(0,оо)) и существует число Г>0

дt дх

такое, что для любого / > Т и( 1,/) = 0. Мы показываем, что

и(х,0 е С([0,1] х [0,оо)) П Ь2 ([0,1] х [О,®)) П Ц ([0,1] х [0,оо)),

а поскольку задача является некорректно поставленной, то предполагаем, что при точных начальных данных /(0 = /О(0 и ¿Г(0 = &о(0 существует точное решение и0( пос