автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование процедур принятия решений на основе нечетких отношений

На правах рукописи

КАПЛИБВА Наталья Алексеевна

-МЧ'-

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕДУР ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКИХ ОТНОШЕНИЙ

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2007

003071206

003071206

Работа выполнена в Воронежском государственном техническом университете

Научный руководитель доктор технических наук, профессор

Леденева Татьяна Михайловна

Официальные оппопенты доктор физико-математических наук,

профессор Блюмин Семей Львович,

доктор физико-математических наук, профессор Бугаев Юрий Владимирович

Ведущая организация Институт проблем управления РАН

им В А Трапезникова (г Москва)

Защита состоится 24 мая 2007 г в 10 00 часов в конференц-зале на заседании диссертационного совета Д 212 037 01 при Воронежском государственном техническом университете по адресу 394026, Воронеж, Московский проспект, 14

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного технического университета

Автореферат разослан «24» апреля 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совста В М Питолин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В самой общей постановке задача принятия решений (ЗПР) заключается в выборе лучшей (наиболее предпочтительной, оптимальной) альтернативы из множества заданных в соответствии с предпочтениями эксперта или лица, принимающего решения (ЛПР) Предпочтение -это оценка полезности или качества варианта решения, которая основывается на субъективном понимании ценности, эффективности решений Именно поэтому эксперт является центральной фигурой процесса принятия решений, а разработка моделей представления экспертных знаний и процедур, ориентированных на эти модели, является одной из важнейших проблем теории принятия решений Существуют различные процедуры экспертного оценивания, в рамках которых используется тот или иной тип экспертных оценок ранжирование, парные сравнения, непосредственная оценка, классификация Метод парных сравнений занимает особое место, поскольку имеет целый ряд преимуществ в сравнении участвует только пара альтернатив заданного множества, что существенно повышает объективность оценки, процедура легко обобщается на случай векторного критерия, в настоящее время существуют специальные шкалы для оценивания предпочтений разной чувствительности, что позволяет учитывать степень компетентности эксперта, метод оценки не навязывает эксперту априорных условий, в отличии от других подходов (например, не требует транзитивности предпочтений) Результатом метода парных сравнений является матрица парных сравнений А = {ач}пхп, элементы которой ац могут а) иметь количественное представление (в одной из шкал, например, индикаторной, Саати), б) лингвистическое представление (в этом случае А задает лингвистическое отношение предпочтения) или в) соответствовать нечеткому отношению предпочтения (ач задает степень предпочтения число,м из [0, 1]) Нечеткие отношения предпочтения позволяют, в отличие от обычных, учитывать интенсивность, силу предпочтения одних вариантов над другими, поэтому использование нечеткого отношения в качестве модели представления экспертной информации позволяет повысить адекватность описания системы предпочтений ЛПР, повышает ее чувствительность Подходы к обработке матрицы А в виде нечеткого отношения предпочтения исследовались А Н Борисовым, А В. Алексеевым, О А Крумбергом, BE Жуковиным,СА Орловским Классическим считается подход С А Орловского к решению задачи ранжирования, основанный на вычислении степеней доминирования и недоминирования для каждой альтернативы Эти исследования обобщаются F Herrera, Б Herrera-Viedma, М Delgado, L Martinez, J L Verdegay на лингвистические отношения предпочтения Задачи нечеткой классификации рассматриваются в работах А Кофмана

Заметим, что в перечисленных подходах учитывается только (max-mm)-транзитивность нечетких предпочтений Вместе с тем, использование треугольных норм и конорм для формализации нечетких логических связок позволяет обобщить это важное свойство и, тем самым, придать моделям принятия решений такие качества, как универсальность, гибкость, возможность адаптации к информационной срсде конкретной задачи

Таким образом, актуальность диссертационной работы обусловлена необходимостью обобщения понятия транзитивности нечетких отношений и исследования влияния этого свойства на-результаты решения основных задач принятия решений - классификации и ранжирования

Исследования проводились в соответствии с научным направлением Воронежского государственного технического университета «Вычислительные системы и программно-аппаратные комплексы»

Цель и задачи исследования Цель работы заключается в обобщении свойства транзитивности нечетких отношений и его всестороннем исследовании, а также разработке моделей принятия решений, учитывающих это свойство

Достижение поставленной цели требует решения следующих основных задач

1 Анализ подходов к построению процедур принятия решений на основе нечетких отношений, учитывающих свойство транзитивности

2 Обобщение понятия транзитивности нечетких отношений на основе композиций, определяемых с помощью треугольных Т-норм и 5-конорм и исследование влияния транзитивного замыкания на основные свойства нечетких отношений

3 Разработка моделей и методов для решения задачи нечеткой классификации с учетом различных типов транзитивности и исследование структуры декомпозиционного дерева

4 Разработка моделей и методов для решения задачи ранжирования на основе нечеткого отношения предпочтения и исследование соответствующих иерархических структур

5 Экспериментальное исследование влияния выбора типов транзитивности на результаты задачи классификации и ранжирования альтернатив заданного множества и разработка практических рекомендаций для выбора типа транзитивного замыкания при переходе от исходного отношения к соответствующему транзитивному

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы теории принятия решений, теории нечетких множеств и отношений, дискретной математики, теории графов, теории исследования операций, а также системного анализа

Научная новизна работы. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной

1 На основе треугольных Г-норм и 5-конорм определены операции композиции, позволяющие обобщить свойство транзитивности и установить взаимосвязи между (max-Т)- и (шт-5)-транзитивными отношениями.

2 Впервые сформулирована и доказана теорема о декомпозиции для отношения различия, позволяющая предложить альтернативный вариант нечеткой классификации без использования отношения подобия

3 Для различных типов транзитивности сформулировано условие перехода от отношения предпорядка к отношению нестрого порядка, позволяющее построить порядковую функцию и на ее основе получить ранжирование

альтернатив заданного множества

4 Обобщен алгоритм нечеткой классификации на основе использования различных типов транзитивности, позволяющий повысить чувствительность классификации к параметрам - порогу и/или уровню достоверности

5 Предложен алгоритм ранжирования альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения, отличающийся тем, что за счет выбора типа транзитивности можно управлять степенью детализации иерархической структуры, определяющей упорядочение альтернатив заданного множества

Практическая значимость работы. Развиваемая теоретическая база и выводы, полученные на основе вычислительного эксперимента, создают основу для разработки систем поддержки принятия решений, ориентированных на обработку экспертной информации в виде нечетких отношений предпочтения Предложены алгоритмы, учитывающие тип транзитивности нечеткого отношения Разработаны рекомендации, позволяющие обосновать выбор типа транзитивности, наделяя декомпозиционную структуру тем или иным уровнем чувствительности

Теоретические результаты диссертации используются в учебном процессе Воронежского государственного университета при чтении спецкурсов, выполнении дипломных и курсовых работ

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на Международных школах-семинарах «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2004, 2005), на конференции «Экономическое прогнозирование модели и методы» (Воронеж, 2007), на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов Воронежского государственного университета и научных конференциях Воронежского государственного технического университета

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 научных работах, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежит в [1, 3, 5] - теоретические исследования влияния типа композиции на свойства отношений, [2, 4] - проведение расчетов и численных исследований моделей Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 117 наименований, и приложения Основная часть работы изложена на 169 страницах текста и содержит 32 рисунка и 8 таблиц

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, определены научная новизна и практическая значимость результатов работы

В первой главе рассмотрены общие проблемы теории принятия решений, описаны процедуры получения экспертных оценок, среди них выделен метод парных сравнений, отличающийся тем, что он не навязывает эксперту априорных условий относительно транзитивности предпочтений, описаны подходы к решению ЗПР в условиях неопределенности, обоснован выбор

модели представления экспертных знаний в виде нечетких отношений При определении различных типов нечетких отношений, как правило, используется (тах-пнп)-транзитивность Однако введение операций над нечеткими отношениями с помощью треугольных норм и конорм позволяет обобщить это свойство и рассматривать другие типы транзитивности Ставится цель исследования и формулируются задачи, необходимые для достижения этой цели

Во второй главе рассмотрены основные свойства, типы, операции над нечеткими отношениями Пусть X, У - универсальные множества Нечетким отношением Л на множестве X х У называется нечеткое подмножество декартова произведения X х У, характеризующееся функцией принадлежности На X х У —> [0,1], которая оценивает степень выполнения отношения хПу Семейство нечетких отношений на X будем обозначать Р(Х2)

Для определения операций пересечения и объединения используют треугольные Т-нормы и й'-конормы, которые образуют двойственные пары

Таблица

Т-нормы S-конормы

Тлог(х,у) = min{x, у] S„or(x, у) = тах{а;, у}

ТмАх, у) = х у Swr{x, у) - х + у -х у

Тгр(х, у) = тах{0, гс+у—1} Яр (х,у) = min{l, х+у}

Тотя(х,У) — х+у-ху' ТОТ„(0,0) = 0 с .л х+у—2ху ■Ьотн (X, у) — 1—ху ' 5dth(1I 1) = 1

7\ (г «1 ху

А > 0 Ь№'У>- 1+0 ху ' /?>-1

Заметим, что некоторые из операторов являются параметрическими Это обстоятельство, с одной стороны, осложняет выбор подходящих параметров в приложениях, а с другой - позволяет настроить информационную среду задачи на конкретного пользователя, придавая тем самым универсальность рассматриваемым моделям

На основе перечисленных Т-норм и 5-конорм можно ввести определение логической, алгебраической, граничной, относительной и параметрической операций пересечения и объединения нечетких отношений

К специальным операциям над нечеткими отношениями относится операция композиции

Пусть X,y,Z - универсальные множества, Яг С (X, Z) и R2 С (Z, У) -нечеткие бинарные отношения, определенные на Xх Z » ZхУ соответственно, операция 0 - бинарная операция коммутативная, ассоциативная и монотонно не убывающая по каждому аргументу, тогда (шах -0)-композицией

называется нечеткое отношение вида

RIOR2= ((z,i/)| тпах{ръ(х,

Перечисленным выше условиям, в частности, удовлетворяют треуголь-

т

ные Т-нормы, поэтому можно определить (max-Т)-композицию R\ о Д2 с функцией принадлежности

/*(тах-г)(Я„д,)(я,у) = max T(nRl(x,z),fiR2(z,y)) (1)

Аналогичным образом можно определить бинарную операцию которая коммутативна, ассоциативна и монотонно не возрастает по каждому аргументу и определяет (min — ф)-композицию вида

Ri$R2 = ((ж,у) | mm{iiRl{x,z)biiRi(z,y)}}

Этим условиям удовлетворяют треугольные ^-конормы, поэтому мож-

д

но определить (тт-5)-композицию Ri • R2 с функцией принадлежности mmm-S)(RuRi)(x>y) = mi? (х< MR2(Z, У)) (2)

Утверждение 1 Пусть R С F(X2), тогда имеют место следующие включения

£ Я: -Roth Я: #лог (3)

* т

для (max —Т)-композиций, где R2 = Ro R и

#лог Я -Roth ^ Я1лт Я (4)

для (min -5)-композиций, где R2 = R • R

Заметим, что операция композиции в общем случае сохраняет лишь некоторые свойства отношений, а именно рефлексивность, симметричность и линейность

Определение 1 Нечеткое отношение R на множестве X называется

т

(шах-Г)-транзитивным, если Л о Л С Я, где Т - треугольная норма

Определение 2. Нечеткое отношение R на множестве X называется

§

(тт-5')-транзитивным, если R* R Э R, где 5 - треугольная конорма В диссертации доказана следующая

Теорема 1. Пусть нечеткое отношение RsF(X2) обладает свойством (тах-Т)-транзитивности, тогда отношение R обладает свойством (mm-S)-трапзтивности, где Т - треугольная норма и S - соответствующая ей треугольная конорма

Таким образом, (max— Т) и (mm —5)-транзитивности являются двойственными типами транзитивности

Транзитивные отношения играют большую роль в приложениях Если отношение R в X характеризует сходство между объектами из X, то транзитивность R позволяет осуществить разбиение множества объектов X на

классы эквивалентности Если же отношению Л придается смысл «предпочтение», «доминирование» и т п , то транзитивность обеспечивает возможность ранжирования объектов и выделение в некотором смысле лучших

Преобразование исходного нетранзитивного отношения в транзитивное осуществляется на основе операции транзитивного замыкания Д нечеткого отношения Л, которое определяется следующим образом

л = лил2ил3и и Л" и . , (5)

где степень отношения задается рекурсивно с помощью операции (тах-Т)-

т

композиции, те = Л*-1 о Л, к = 2,3,4,

Если степень отношения определяется с использованием (тт-5)-

композиции (Л4 = Я*-1 «Л, А = 2,3,4, ), то транзитивное замыкание вычисляется следующим образом

Л = ЛЛЛ2ПЛ3П ПЛ"П . (6)

Используя транзитивное замыкание, необходимо указать способ определения операции композиции нечетких отношений Справедливы следующие утверждения

Теорема 2. Операция (тах-Т)-тпранзитивпого замыкания сохраняет свойства рефлексивности, симметричности и линейности

Теорема 3. Операция (тгп-Б)-транзитивного замыкания сохраняет свойства антирефлексивности и симметричности

Теорема 4. Пусть Л есть (тах-Т)-транзитивное замыкание некоторого нечеткого отношения Л С X х X , и Я есть (тгп-Б)-транзитивное

замыкание Л, тогда Л = Л

В третьей главе вводятся отношения сходства, несходства, подобия и различия, а также доказываются теоремы, устанавливающие связи между этими отношениями _

Теорема 5. Пусть Н&Р(Х2) Если Л - отношение сходства, то Л -отношение несходства _

Теорема 6. Пусть Л € ^(-Х2) Если Л - отношение подобия, то Я -отношение различия, и наоборот

Нечеткие отношения можно декомпозировать на специальным образом устроенную систему обычных отношений и, наоборот, из системы обычных отношений, удовлетворяющих некоторым требованиям, можно синтезировать нечеткое отношение В основе этого подхода лежит теорема о декомпозиции нечетких отношений

Теорема 7 (о декомпозиции отношения подобия) Пусть Я. -отношения подобия (толерантности) в ХхХ, тогда Л можно разложить следующим образом

Л = тах{а Ла}, 0 < а ^ 1, (7)

при «1 > а2 =>■ Л2 Э Л1 Если Л - отношение подобия, то Ла - отношение эквивалентности в смысле обычной теории множеств

Теорема 8 (о декомпозиции для отношения различия). Пусть Д - отношение различия в X х X, тогда И можно разлоокитъ следующим образом

Н. = тт{аеЯа}, (8)

а

О «С а < 1, ф - операция алгебраической суммы, при а^ > 04 => С Рассмотрим связь нечетких отношений с понятием расстояния

Теорема 9. Отношение различия Д, которое соответствует отношению подобия Я, определяет метрику на множестве X

В связи с этим (гшп-Д')-расстояния будем называть транзитивными расстояниями Транзитивные расстояния используются для решения задач нечеткой классификации

Введенные понятия транзитивного расстояния, (шах-Т)- и (тт-5)-ком-позиций, которые лежат в основе транзитивного замыкания, а также теоремы о декомпозиции нечетких отношений подобия и различия позволили обобщить алгоритм нечеткой классификации, предложенный Кофманом (рис 1)

Формирование лингвистической шкалы

формирование нэгетпи оценок

[ Отношение I I несходства !

Выбор типа расстояния Хеииинга Евклидово Тип 1 Тип 2 ТипЗ

Транзтивнов замыкание выбор типа (та* Т)-комлозиции граничная-алгебраическая относительная-логическая пбраиътричесхгя (?)

Декомпозиция отношения подобия

Транзтивнов замыкание выбор типа (min S) композиции граничная алгебраическая относительная логическая параметрическая (0)

Рис 1 Схема алгоритма нечеткой классификации

Для перехода от отношения несходства к отношению подобия (через отношение сходства) используется операция транзитивного замыкания Так как в основе транзитивного замыкания лежит определенный тип композиции, то отношение подобия является транзитивным отношением с определяемой этой

транзитивностью принципом рационального выбора оптимального решения, и необходимо исследование, направленное на выявление типа транзитивности для конкретной ситуации

Для перехода от отношения подобия к отношению различия или наоборот используется операция дополнения Однако переход к отношению различия возможен и от отношения несходства с помощью двойственного транзитивного замыкания. Очевидно, что путь к отношению различия зависит от того, какая интерпретация при сравнении двух альтернатив является более естественной и что стоит за условием транзитивности Несмотря на различные условия формирования входной информации, получим одно и то же отношение различия Матрица отношения различия задает матрицу транзитивных расстояний Тип транзитивного расстояния зависит от того, каким образом было получено транзитивное замыкание Затем, в соответствии с теоремой о декомпозиции нечеткое отношение подобия или различия представляются в виде иерархической структуры обычных отношений эквивалентности, упорядоченных по включению в соответствии со значением уровня а

Рассмотренный алгоритм представляет собой эффективное средство обработки экспертных оценок, возможности которого ранее подробно не рассматривались, он позволяет решать такие задачи, как изучение структуры заданного множества с целью выделения групп объектов, схожих между собой по какому-либо признаку, или проверка выдвигаемых предположений о наличии структуры в изучаемой совокупности, а также построение новых классификаций

В четвертой главе на основе отношения строгого предпочтения Л5 предложен и исследован алгоритм ранжирования альтернатив заданного множества

Теорема 10. Если нечеткое отношение предпочтения Я € F(X2) (тах-ТЛог)-транзитивно, то и соответствующее нечеткое отношение строго предпочтения Я3 такоюе (тах-Тмг)-транзитивно

Данная теорема верна только для отношений, обладающих (тах-Тлог)-транзитивностью, на остальные виды (тах-Т)-транзитивности она не распространяется Однако, как показал вычислительный эксперимент, если нечеткое отношение нестрого порядка таково, что соответствующее ему обычное отношение не содержит контуров, кроме петель, то теорема 10 выполняется и для остальных видов (тах-Т)-транзитивности

Пусть задано множество альтернатив X — {х\, ,хп}, для сравнения которых привлекается эксперт (или группа экспертов), оценивающий в каждой паре (х,,а;7) предпочтение числом из [0, 1] Тем самым формируется некоторое нечеткое отношение Я с матрицей [Л] = {г1;}пхп, где 6 [0,1] Требуется получить полный или частичный порядок заданного множества альтернатив

Формально под нечетким отношением предпочтения подразумевается любое рефлексивное и транзитивное отношение, т е предпорядок Однако на практике свойство транзитивности нарушается, что обусловлено сложностью и субъективным фактором процедуры сравнения, потому требуется

специальная обработка матрицы парных сравнений, чтобы ее можно было рассматривать как матрицу нечеткого отношения предпочтения В основу такого преобразования могут быть положены теоремы о транзитивном замыкании и переходе к отношению строгого предпочтения В результате получим рефлексивное, транзитивное отношение, обладающее свойством совершенной антисимметрии - нечеткое отношение совершенного нестрогого порядка Я, соответствующее исходному отношению Я.

Так как любое нечеткое отношение можно представить через совокупность обычных отношений, то, применяя к отношению Я теорему декомпозиции, получим его представление через совокупность обычных отношений, обладающих свойством рефлексивности, транзитивности и совершенной антисимметрии Для каждого а отношение Яа представляет собой нестрогий совершенный порядок, а, следовательно, соответствующий граф С?д не имеет контуров, отличных от петель, поэтому граф допускает разложение на уровни с помощью порядковой функции Переход к диаграмме Хассе путем удаления транзитивно замыкающих дуг позволяет получить иерархию на множестве альтернатив, а значит определить полный или частичный порядок Для распространения понятия порядковой функции на обычные графы с контурами достаточно рассмотреть классы эквивалентности по отношению «существует путь из X, в Х} и обратно»

Алгоритм ранжирования альтернатив, в основу которого положены прве-денные выше рассуждения, представлен на рис 2 Его особенностью является то, что в зависимости от значений уровня а можно получать различные ранжирования альтернатив заданного множества, причем степень детализации иерархии полностью определяется функциональным представлением операции композиции

На рис 3 изображен носитель графа, который соответствует нечеткому отношению Я, полученному в результате парного сравнения альтернатив заданного множества Граф содержит контуры, поэтому необходим переход к конденсации Дугам, которые связывают вершины из разных сильных компонент приписываются веса (рис 4) На рис 5 изображен граф конденсации, который затем разложен на уровни На рис б представлена диаграмма Хассе (полужирные линии), построенная на основе такого разложения В результате получено следующее ранжирование исходного множества альтернатив (при а = 0 6)

{В, {Я}

В пятой главе приводятся результаты экспериментального исследования влияния выбора типа композиции на задачу классификации и ранжирования альтернатив заданного множества

Задача нечеткой классификации Исходными данными для задачи является совокупность нечетких подмножеств, которые можно интерпретировать, например, как обобщенные лингвистические оценки альтернатив В экс-

Процедура

парного сравнения

^Экспертный опрге»

(Формирование нечеткого отношения . предпочтения .

Рис 2 Схема алгоритма ранжирования альтернатив заданного множества

СК4

СК5

СК2

Рис 3 Носитель совершенного антисимметричного отношения

__ .

Рис 4 Выделение сильных компонент

перименте значения функции принадлежности нечетких подмножеств формировались случайным образом

В диссертации проводится исследование зависимости структуры деком-

Рис 5 Нечеткая конденсация

\£КЗ/

Рис 6 Разложение на уровни Диаграмма Хассе

позиционного дерева а) от различных функций расстояния, которые используются для построения матрицы несходства, б) операций композиции, которые испольуются для обеспечения свойства транзитивности

Анализ результатов позволил ввести понятие устойчивости Будем называть нечеткую классификацию устойчивой, если можно определить интервал [а, а], содержащий такие значения уровня, для которых количество и состав классов не изменяются при использовании различных операций композиции На интервалах устойчивости результаты решения не зависят от параметров алгоритма, в том числе и от типа транзитивности

Проведенные исследования позволили выявить ряд параметров, которые влияют на степень детализации декомпозиционного дерева и позволяют управлять процессом нечеткой классификации

Пусть £Л0Г, £алп £Гр, £отн - пороги классификации для матрицы отношения подобия (толерантности), тогда для одного и того же числа классов получим Erp ^ £алг ^ £отн s? £лог Следовательно, можно выбрать минимальное значение порога е* = елог, при котором получим заданное или желаемое число классов Пусть rjmr, xj^, г]гр, т?0ТП - количество порогов классифика-

ции для, соответственно, логической, алгебраической, граничной и относительной операций композиции Имеет место следующая цепочка неравенств Wnor ^ т)rp ^ т?алг ^ Vorn Исходя из нее, можно выбирать операцию композиции для разбиения на большем или меньшем количестве порогов При использовании логической операции композиции классификация происходит менее подробно, при использовании относительной операции композиции -более подробно

Можно утверждать, что только с помощью логической операции композиции можно получить отношение эквивалентности Все остальные операции композиции порождают лишь отношения толерантности, т е нечеткие отношения, транзитивные в смысле самой операции, но не транзитивные в обычном смысле Трактовать результаты классификации для отношения толерантности сложнее, чем для отношения эквивалентности

Было проведено исследование влияния параметра на структуру декомпозиционного дерева, которое показало, что результаты существенно зависят от выбора параметра и типа расстояния Для расстояния Хемминга при росте параметра уменьшается количество уровней классификации, из декомпозиционного дерева исключается одно из звеньев, оставшаяся структура декомпозиционного дерева не изменяется При использовании Евклидова расстояния параметр не влияет на структуру декомпозиционного дерева При использовании других функций расстояния, рассматриваемых в диссертации, увеличение параметра влияет на структуру декомпозиционного дерева следующим образом количество уровней сначала убывает, затем возрастает, и снова убывает

Для общей характеристики результатов классификации в диссертационной работе вводятся различные критерии качества Это позволяет в зависимости от количества признаков, их взаимосвязи подбирать наиболее подходящие типы функций расстояния и операции композиции, задавать начальные параметры разбиения Все это облегчает интерпретацию результатов и позволяет судить о его качестве с точки зрения поставленной задачи

Для исследования задачи ранжирования рассматривались следующие типы транзитивности граничная, алгебраическая, относительная и логическая, а также параметрическая при А = 0 5,5,50,100

При проведении вычислительного эксперимента нечеткие отношения (соответствующие им матрицы) формировались случайным образом Размерность матриц варьировалась от 9 до 15

В результате работы алгоритма при различных значения уровня а формировались иерархическая структура и соответствующая ей диаграмма Хас-се Заметим, что при использовании той или иной транзитивности возникает определенный набор структур Все иерархии можно разбить на два класса основные и производные, которые получились путем эволюции основной структуры при переходе от уровня к уровню некоторые связи исчезают На рисунке 9 представлены иерархические структуры (диаграмма Хассе выделена полужирной линией) нечеткого отношения порядка с параметрической транзитивностью (Л = 5) При значении уровня а = 0 124 получена основная

иерархия, а при а — 0 137 и О 148 - производные

/"(Г\

о = 0 124

а = 0 137

а = 0 148

Рис 9 Иерархические структуры (основная и производные)

Для оценки попарной согласованности различных ранжирований использовались коэффициенты корреляции Кендалла и Спирмена, которые показали, что все ранжирования можно разбить на три группы 1 группа получена на основе (тах-ТЛОг)-транзитивности, 2 группа - на основе (тах-Тотн)-, (тах-Тлог)- и (тах-Тд)-транзитивности при 0 ^ Л ^ 1 и 3 группа - на основе (тах-Тгр)- и (тах-Тл)-транзитивности при А ^ 5

Оценка согласованности всех ранжирований проводилась с использованием коэффициента конкордации С увеличением параметра декомпозиции а общая согласованность ранжирований понижается за счет плохой согласованности с ранжированием, полученным на основе нечеткого отношения с логической транзитивностью

Для того чтобы оценить ранжирования, полученные на основе различных типов композиции, в работе используется система отбора по наименьшему количеству «ошибок» в соответствии с формулой

где С - оцениваемое ранжирование Чем меньше тем ранжирование

лучше Были получены графики (рис 10) зависимости р(<3) от значения параметра декомпозиции, выбранного из отношения, которые позволяют выбрать тип композииции для заданного значения параметра а

Анализ результатов вычислительного эксперимента позволил сделать выводы относительно выбора типа композиции при переходе к транзитивному отношению, на основе которого осуществлялось ранжирование

1 В случае логической композиции эволюции структур не происходит, т е данному типу транзитивности соответствует набор из основных структур Каждому а соответствует основная структура, а следовательно, и диаграмма Хассе Для других типов композиции хотя бы для одной основной структуры

N

р(С) = - 0(А1))2 -(М- 0(Л,)):

,2

возникают производные, причем на всем этапе эволюции данной основной структуры диаграмма Хассе сохраняется

2 Диапазоны изменения параметра а, внутри которых возможно получение всех основных структур, упорядочены по неубыванию в соответствии с упорядочением композиций Логическая композиция позволяет получить распределение вершин по уровням только при а, не превосходящим максимального значения функции принадлежности соответствующего нечеткого отношения предпочтения Граничный тип композиции позволяет ранжировать вершины даже при а, близким к 1 При малых значениях а целесообразно использовать алгебраическую, относительную или параметрическую при небольших значениях А композиции, поскольку иерархические структуры, получаемые из отношений с указанными типами транзитивности, достаточно детализированы (рис 10)

3 Параметрическая композиция при больших значениях Л (50,100) позволяет получить отношение, декомпозиция которого обладает максимальной степенью детализации

4 Множества иерархических структур, обладающих наибольшей степенью детализации (все кроме логической), упорядочены не только в соответствии со значениями параметра декомпозиции а, но и отношением включения согласно типам транзитивности параметрическая (А = 50,100) —> граничная —> параметрическая (А = 5) —> алгебраическая —» параметрическая (А = 0 5) —> относительная

На основе вычислительного эксперимента были разработаны рекомендации для выбора типа композиции Среди наиболее значимых можно выделить следующие

При использовании теоремы о декомпозиции целесообразно выбирать в качестве а те значения функции принадлежности, которые представлены

в матрице нечеткого отношения Логическая транзитивность позволяет для каждого а получить уникальную диаграмму Хассе, а значит и ранжирование заданного множества альтернатив

Для приближенного анализа возможного ранжирования альтернатив целесообразно использовать логическую композицию, при этом максимальное значение а совпадает с максимальным значением функции принадлежности соответствующего отношения Данная композиция не позволяет получать ранжирование для тех а, которые находятся вне диапазона изменения функции принадлежности нечеткого отношения предпочтения При малых значениях а целесообразно использовать алгебраическую, относительную или параметрическую при А = 0 5 или Л = 5 (диаграмме Хассе, построенной на их основе, присуща максимальная подробность), а при больших - граничную или параметрическую при А = 50 или 100

Если диапазон изменения порядковой функции какой-либо вершины значительный, что говорит о ее неустойчивости, то положение альтернативы, соответствующей этой вершине, в ранжировании в значительной степени зависит от параметра а, поэтому такие вершины при экспертном оценивании требуют особого внимания Возможно неустойчивость связана с недостатком информации или изменением приоритетов (системы приоритетов, целей ранжирования)

В приложении в виде графиков, диаграмм и гистограмм приведены основные результаты вычислительного эксперимента задач нечеткой классификации и ранжирования

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1 Проведен анализ процедур принятия решений, в которых в качестве модели представления информации об экспертных предпочтениях используются нечеткие отношения, который показал, что понятие транзитивности является сложным и необходимо исследование способов его формализации

2 Треугольные Т-нормы и 5-конормы позволяют реализовать целенаправленный подход к определению операций над нечеткими множествами На их основе в диссертационной работе введены композиции нечетких отношений, позволяющие обобщить понятия транзитивности При этом транзитивные отношения делятся на два класса (гшп-5)- и (шах-Т)-транзитивные

3 Проведен теоретический анализ влияния различных типов транзитивности на основные свойства нечетких отношений, установлены взаимосвязи между классами транзитивных отношений

4 Сформулирована и доказана теорема о декомпозици для отношения различия, позволяющая решить задачу нечеткой классификации без использования отношения подобия

5 При переходе от отношения препорядка к отношению нестрого порядка сохраняется только (тах-ппп)-транзитивность В диссертационной работе определены условия такого перехода и для других типов транзитивности

6 Разработана схема алгоритма нечеткой классификации, учитывающая двойственные типы композиции, которые позволяют сформировать аль-

тернативные подходы к построению отношения подобия и на основе его декомпозиции получить нечеткое разбиение заданного множества Параметр декомпозиции позволяет управлять процессом классификации

7 Разработана схема алгоритма ранжирования, в основу которой положен переход от нечеткого отношения предпочтения, формируемого в результате экспертного опроса к нечеткому отношению совершенного порядка, декомпозиция которого позволяет построить иерархическое представление заданного множества альтернатив Если граф нечеткого отношения предпочтения содержит контуры, то предлагается переход к его конденсации

8 Проведено исследование влияние выбора типа композиции на результаты задачи классификации (декомпозиционного дерева) и ранжирования альтернатив заданного множества (диаграммы Хассе) и разработаны рекомендации по выбору типа композиции при переходе к транзитивному отношению

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1 Каплиева Н А. Исследование различных типов транзитивности в приложении к нечеткой классификации /НА Каплиева, Т М Леденева // Вестник Воронежского государственного университета Сер Физика Математика - 2006 - № 2 - С 206-216

2 Леденева Т М Алгоритм ранжирования альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения / ТМ Леденева, Н А Каплиева // Системы управления и информационные технологии - 2007 - № 1 2 (27) - С 243-248

3 Леденева Т М Влияние типа транзитивности на ранжирование альтернатив / ТМ Леденева, Н А Каплиева // Вестник Воронежского государственного технического университета - 2007 - Т 3, № 1 - С 156-161

Статьи

4 Транзитивность как особое свойство нечетких отношений / Леденева Т М , Каплиева Н А , Воронеж ун-т - Воронеж, 2006 - 51 с - Библиогр 6 назв - Рус - Деп в ВИНИТИ 07 12 2006, № 1523-В2006

5. Леденева Т.М О согласовании индивидуальных лингвистических шкал в задаче группового выбора / Т М Леденева, Н А Каплиева // Сб трудов международной школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики» - 2005 - Часть 2 - Воронеж Воронеж государственный университет, 2005 - С 11-17

6 Каплиева Н А Прогнозирование предпочтений на основе нечетких множеств / Н.А Каплиева // Экономическое прогнозиорвание модели и методы Часть 2 Воронеж, Воронежский государственный университет, 2007 -С 281-285

7 Каплиева Н А Оценка согласованности ранжирований на основе различных типов композиции нечетких отношений /НА Каплиева // Вестник факультета прикладной математики, информатики и механики Вып 6 -Воронеж ВГУ, 2006 - С 44-56

Подписано в печать 20 04 07 Формат 60x84/16 Уел печ л 1 Тираж 90 экз Заказ 796

Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета 394000, г Воронеж, ул Пушкинская, 3

Введение.

ГЛАВА 1. Анализ подходов к формированию моделей и методов принятия решений на основе нечетких отношений предпочтения.

1.1. Анализ методов и подходов к проблеме принятия решений

1.2. Способы оценки предпочтений на множестве рассматриваемых объектов.

1.3. Классификация методов принятия решений в условиях неопределенности

1.4. Цель работы и задачи исследования.

ГЛАВА 2. Нечеткие отношения как модель представления экспертных знаний в задаче принятия решений

2.1. Нечеткие бинарные отношения: операции, свойства и типы

2.2. Композиция нечетких отношений.

2.3. Транзитивность как особое свойство нечетких отношений

2.4. Транзитивное замыкание нечеткого бинарного отношения

ГЛАВА 3. Задача нечеткой классификации.

3.1. Свойства отношения различия и подобия

3.2. Транзитивные расстояния.

3.3. Алгоритм нечеткой классификации.

ГЛАВА 4. Ранжирование альтернатив заданного множества на основе нечетких отношений предпочтения

4.1. Свойства нечетких отношений и порядковая функция

4.2. Графы нечетких отношений порядка.

4.3. Алгоритм ранжирования альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения.

ГЛАВА 5. Анализ результатов вычислительного эксперимента

5.1. Влияние различных типов транзитивности на нечеткую классификацию.

5.2. Влияние различных типов транзитивности на иерархическое представление ранжирования альтернатив структуру диаграммы Хассе.

В самой общей постановке задача принятия решений (ЗПР) заключается в выборе лучшей (наиболее предпочтительной, оптимальной) альтернативы из множества заданных в соответствии с предпочтениями эксперта или лица, принимающего решения (ЛПР). Предпочтение - это оценка полезности или качества варианта решения, которая основывается на субъективном понимании ценности, эффективности решений. Именно поэтому эксперт является центральной фигурой процесса принятия решений, а разработка моделей представления экспертных знаний и процедур, ориентированных на эти модели, является одной из важнейших проблем теории принятия решений. Существуют различные процедуры экспертного оценивания, в рамках которых используется тот или иной тип экспертных оценок: ранжирование, парные сравнения, непосредственная оценка, классификация. Метод парных сравнений занимает особое место, поскольку имеет целый ряд преимуществ: в сравнении участвует только пара альтернатив заданного множества, что существенно повышает объективность оценки; процедура легко обобщается на случай векторного критерия; в настоящее время существуют специальные шкалы для оценивания предпочтений разной чувствительности, что позволяет учитывать степень компетентности эксперта; метод оценки не навязывает эксперту априорных условий, в отличии от других подходов (например, не требует транзитивности предпочтений). Результатом метода парных сравнений является матрица парных сравнений А = {а^}пУ(п, элементы которой а^ могут а) иметь количественное представление (в одной из шкал, например, индикаторной, Саати); б) лингвистическое представление (в этом случае А задает лингвистическое отношение предпочтения) или в) соответствовать нечеткому отношению предпочтения (а^ задает степень предпочтения числом из [0, 1]). Нечеткие отношения предпочтения позволяют, в отличие от обычных, учитывать интенсивность, силу предпочтения одних вариантов над другими, поэтому использование нечеткого отношения в качестве модели представления экспертной информации позволяет повысить адекватность описания системы предпочтений ЛПР, повышает ее чувствительность.

Подходы к обработке матрицы А в виде нечеткого отношения предпочтения исследовались А.Н. Борисовым, А.В. Алексеевым, О.А. Крумбер-гом, В.Е. Жуковиным, С.А. Орловским. Классическим считается подход С.А. Орловского к решению задачи ранжирования, основанный на вычислении степеней доминирования и недоминирования для каждой альтернативы. Эти исследования обобщаются F. Неггега, Е. Herrera-Viedma, М. Del-gado, L. Martinez, J.L. Verdegay на лингвистические отношения предпочтения. Задачи нечеткой классификации рассматриваются в работах А. Коф-мана.

Заметим, что в перечисленных подходах учитывается только (шах-тт)-транзитивность нечетких предпочтений. Вместе с тем, использование треугольных норм и конорм для формализации нечетких логических связок позволяет обобщить это важное свойство и, тем самым, придать моделям принятия решений такие качества, как универсальность, гибкость, возможность адаптации к информационной среде конкретной задачи.

Таким образом, актуальность диссертационной работы обусловлена необходимостью обобщения понятия транзитивности нечетких отношений и исследования влияния этого свойства на результаты решения основных задач принятия решений - классификации и ранжирования.

Связь с планом. Исследования по теме диссертационной работы проводилось в соответствии с научным направлением Воронежского государственного технического университета «Вычислительные системы и программно-аппаратные комплексы».

Цель работы Цель работы заключается в обобщении свойства транзитивности нечетких отношений и его всестороннем исследовании, а также разработке моделей принятия решений, учитывающих это свойство.

Достижение поставленной цели требует решения следующих основных задач:

1. Анализ подходов к построению процедур принятия решений на основе нечетких отношений, учитывающих свойство транзитивности.

2. Обобщение понятия транзитивности нечетких отношений на основе композиций, определяемых с помощью треугольных Т-норм и 5-конорм и исследование влияния транзитивного замыкания на основные свойства нечетких отношений.

3. Разработка моделей и методов для решения задачи нечеткой классификации с учетом различных типов транзитивности и исследование структуры декомпозиционного дерева.

4. Разработка моделей и методов для решения задачи ранжирования на основе нечеткого отношения предпочтения и исследование соответствующих иерархических структур.

5. Экспериментальное исследование влияния выбора типов транзитивности на результаты задачи классификации и ранжирования альтернатив заданного множества и разработка практических рекомендаций для выбора типа транзитивного замыкания при переходе от исходного отношения к соответствующему транзитивному.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы теории принятия решений, теории нечетких множеств и отношений, дискретной математики, теории графов, теории исследования операций, а также системного анализа.

Научная новизна работы. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной.

1. На основе треугольных Т-норм и 5-конорм определены операции композиции, позволяющие обобщить свойство транзитивности и установить взаимосвязи между (max-Т)- и (гшп-5)-транзитивными отношениями.

2. Впервые сформулирована и доказана теорема о декомпозиции для отношения различия, позволяющая предложить альтернативный вариант нечеткой классификации без использования отношения подобия.

3. Для различных типов транзитивности сформулировано условие перехода от отношения предпорядка к отношению нестрого порядка, позволяющее построить порядковую функцию и на ее основе получить ранжирование альтернатив заданного множества.

4. Обобщен алгоритм нечеткой классификации на основе использования различных типов транзитивности, позволяющий повысить чувствительность классификации к параметрам - порогу и/или уровню достоверности.

5. Предложен алгоритм ранжирования альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения, отличающийся тем, что за счет выбора типа транзитивности можно управлять степенью детализации иерархической структуры, определяющей упорядочение альтернатив заданного множества.

Практическая значимость работы. Развиваемая теоретическая база и выводы, полученные на основе вычислительного эксперимента, создают основу для разработки систем поддержки принятия решений, ориентированных на обработку экспертной информации в виде нечетких отношений предпочтения. Предложены алгоритмы, учитывающие тип транзитивности нечеткого отношения. Разработаны рекомендации, позволяющие обосновать выбор типа транзитивности, наделяя декомпозиционную структуру тем или иным уровнем чувствительности.

Теоретические результаты диссертации используются в учебном процессе Воронежского государственного университета при чтении спецкурсов, выполнении дипломных и курсовых работ.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на Международных школах-семинарах «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2004, 2005), на конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж, 2007), на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов Воронежского государственного университета и научных конференциях Воронежского государственного технического университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 научных работах, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежит в [1, 3, 5] - теоретические исследования влияния типа композиции на свойства отношений, [2, 4] - проведение расчетов и численных исследований моделей.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 117 наименований, и приложения. Основная часть работы изложена на 169 страницах текста и содержит 32 рисунка и 8 таблиц.

Выводы к пятой главе

1. Вид декомпозиционного дерева в задаче нечеткой классификации существенным образом зависит от выбранного типа расстояния (для построения отношения несходства) и типа транзитивности.

2. Введено понятие устойчивости классификации, при которой количество и состав классов постоянны при использовании различных типов транзитивности.

3. Пороги классификации для различных типов транзитивности упорядочены согласно упорядочению соответствующих типов композиции.

4. Определена цепочка неравенств, связывающая количество классов при различных типах транзитивности.

5. Проведено исследование параметрического типа транзитивности и его зависимость от типа расстояния.

6. Введен критерий качества классификации.

7. Введены понятия основной и производной иерархической структуры в задаче ранжирования альтернатив заданного множества.

8. Проведено исследование согласованности ранжирований, полученных на основе различных типов транзитивности.

9. Проведена общая оценка систем ранжирования, позволяющая выбрать наилучшее ранжирование в зависимости от параметра декомпозиции а.

10. Проведен анализ результатов вычислительного эксперимента, позволивший сформулировать рекомендации лицу принимающему решению относительно выбора типа транзитивности в задаче ранжирования.

Заключение

Основные научные и практические результаты, полученные в диссертационной работе, состоят в следующем:

1. Проведен анализ процедур принятия решений, в которых в качестве модели представления информации об экспертных предпочтениях используются нечеткие отношения, который показал, что понятие транзитивности является сложным и необходимо исследование способов его формализации.

2. Треугольные Т-нормы и 5-конормы позволяют реализовать целенаправленный подход к определению операций над нечеткими множествами. На их основе в диссертационной работе введены композиции нечетких отношений, позволяющие обобщить понятия транзитивности. При этом транзитивные отношения делятся на два класса: (min-5)- и (тах-Т)-транзитивные.

3. Проведен теоретический анализ влияния различных типов транзитивности на основные свойства нечетких отношений, установлены взаимосвязи между классами транзитивных отношений.

4. Сформулирована и доказана теорема о декомпозици для отношения различия, позволяющая решить задачу нечеткой классификации без использования отношения подобия.

5. При переходе от отношения препорядка к отношению нестрого порядка сохраняется только (тах-тт)-транзитивность. В диссертационной работе определены условия такого перехода и для других типов транзитивности.

6. Разработана схема алгоритма нечеткой классификации, учитывающая двойственные типы композиции, которые позволяют сформировать альтернативные подходы к построению отношения подобия и на основе его декомпозиции получить нечеткое разбиение заданного множества. Параметр декомпозиции позволяет управлять процессом классификации.

7. Разработана схема алгоритма ранжирования, в основу которой положен переход от нечеткого отношения предпочтения, формируемого в результате экспертного опроса к нечеткому отношению совершенного порядка, декомпозиция которого позволяет построить иерархическое представление заданного множества альтернатив. Если граф нечеткого отношения предпочтения содержит контуры, то предлагается переход к его конденсации.

8. Проведено исследование влияние выбора типа композиции на результаты задачи классификации (декомпозиционного дерева) и ранжирования альтернатив заданного множества (диаграммы Хассе) и разработаны рекомендации по выбору типа композиции при переходе к транзитивному отношению.

1. Алексеев А. В. Интеллектуальные системы принятия проектных решений / А.В. Алексеев, А.Н. Борисов, Э.Р. Вилюмс и др. - Рига : Зинатне, 1997. - 317 с.

2. Алексеев А.В. Применение нечеткой математики в задачах принятия решений / А.В. Алексеев. В сб.: Методы и системы принятия решений. - Рига: РПИ, 1983, с. 38-42.

3. Алиев Р.А. Проиводственные системы с искусственным интеллектом / Р.А. Алиев, Н.М. Абдикеев, М.М. Шахназаров. М.: Радио и связь. 1990. - 264 с.

4. Алтунин А.Е. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях А.Е. Алтунин, М.В. Семухин. Тюмень: Изд-во Тюменского государственного университета, 2000. 352 с.

5. Андерсон Дж. А. Дискретная математика и комбинаторика / Дж. Андерсон. М. : Издательский дом «Вильяме», 2003. - 960 с.

6. Беллман Р. Принятие решений в расплывчатых условиях / Р. Белл-ман, JI. Заде. В сб.: Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М.: Мир, 1976, с. 172-215.

7. Белкин А.Р. Принятие решений: комбинаторные модели аппроксимации информации / А.Р. Белкин, М.Ш. Левин. М. : Наука, 1990. -160 с.

8. Белоусов А.И. Дискретная математика: Учеб. для вузов / А.И. Белоусов, С.Б. Ткачев. Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. Сер. Математика в техническом университете; Вып. XIX. М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. - 744 с.

9. Берж К. Теория графов и ее применения. / Пер. с французского А.А. Зыкова. Под ред. И.А. Вайнштейна. М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. - 320 с.

10. Берштейн J1.С. Нечеткие модели принятия решений: дедукция, индукция, аналогия / Л.С. Берштейн, А.В. Боженюк. Таганрог: Изд-во ТРГУ, 2001. 110 с.

11. Блюмин С.Л. Нечеткая алгебра как сочетание числовой и булевой алгебр / С.Л. Блюмин // Новые технологии в образовании: Труды III Междунар. электронной науч. конф. Воронеж: Воронежский государственный педагогический университет, 2000. - С. 46-47.

12. Блюмин С.Л. Модели и методы принятия решений в условиях неопределенности / С.Л. Блюмин, И.А. Шуйкова. Липецк : ЛЭГИ, 2000. -139 с.

13. Борисов А.Н. Диалоговые системы принятия решений на базе мини-ЭВМ. информационное, математическое и программное обеспечение / А.Н. Борисов, Э.Р. Вилюмс, Л.Я. Сукур Рига : Зинатне, 1986. -195 с.

14. Борисов А.Н. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной /А.Н. Борисов, А.В. Алексеев, О.А. Крумберг и др. Рига: Зинатне, 1982. - 256 с.

15. Борисов А.Н. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений / А.Н. Борисов, А.В. Алексеев, Г.В. Меркцрьева и др. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. М.: Радио и связь. 1989. - 304 с.

16. Борисов А.Н. Принятие решений на основе нечетких моделей. Примеры использования / А. Н. Борисов, О. А. Крумберг, И. П. Федоров -Рига, 1990. 184 с.

17. Бочарников В.П. Fuzzy-Технология: математические основы практика моделирования в экономике / В.П. Бочарников. Санкт-Петрбург, 2001, 328 с.

18. Бурков В.Н.Получение и анализ экспертной информации. / В.Н. Бурков, J1.A. Панкова, М.В. Шнейдерман М. : Институт проблем управления, 1980. - 50 с.

19. Вознесенский В. А. Принятие решений по статистическим моделям / В.А. Вознесенский, А.Ф. Ковальчук. М. : «Статистика», 1978. 191 с.

20. Вощинин А.П. Оптимизация в условиях неопределенности / А.П. Во-щинин, Г.Р. Сотиров. Оптимизация в условиях неопределенности. -Изд-во МЭИ (СССР) и Техника (НРБ), 1989. 244 с.

21. Гафт М.Г. Принятие решений при многих критериях / М.Г. Гафт. М. : Знание, 1979. 347 с.

22. Глова В.И. Мягкие вычисления (Soft computing) и их приложения: Учебное пособие /В.И. Глова, И.В. Аникин, М.А. Аджели / Под ред. В.И. Глова. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2000. - 98 с.

23. Горбатов В.А. Дискретная математика: Уеб. для студентов втузов / В.А. Горбатов, А.В. Горбатов, М.В. Горбатова. М.: ООО «Издательство ACT»: ООО «Издательство Астрель», 2003. - 477 с.

24. Горелик A.J1. О методе последовательного анализа вариантов в задачах выбора в нечеткой среде / A.J1. Горелик, JI.4. Абаев // Кибернетика и системный анализ. 1992. - № 4. - с. 95-105.

25. Гохман О.Г. Экспертное оценивание / О. Г. Гохман Учеб. Пособие. -Воронеж: Изд-во ВГУ, 1991. 152 с.

26. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. Под ред. С.В. Яблонского, О.Б.Лупанова, Наука, 1974. 311 с.

27. Дюбуа Д. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике / Д. Дюбуа, А. Прад. М.: Радио и связь, 1990. - 288 с.

28. Евланов Л.Г. Теория и практика принятия решений / Редколлегия М. Сергеев и др., М. : Экономика, 1984. 176 с.

29. Евстигнеев В. А. Применение теории графов в программировании / В.А. Евстигнеев. Наука, 1985. 352 с.

30. Емеличев В.А. Лекции по теории графов / В.А. Емеличев, О.И. Мельников, В.И. Сарванов, Р.И. Тышкевич, Наука, 1990. 384 с.

31. Жуковин В.Е. Модели и процедуры принятия решений /В.Е. Жуко-вин. Тбилиси, Изд-во "Мецниерба", 1981. 120 с.

32. Жуковин В.Е. Потенциальные нечеткие отношения и их использование в задачах упорядочения объектов / В.Е. Жуковин, С.П. Макеев, И.Ф. Шахнов // Техническая кибернетика. № 5, 1988. С. 182-188.

33. Заде Л.А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений / Л.А. Заде. В кн. Математика сегодня. -М.: Знание, 1974, с. 5-49.

34. Заде Л. А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений / Л. А. Заде М.: Мир, 1976. -165 с.

35. Зайченко Ю.П. Исследование операций: нечеткая оптимизация: Учеб. пособие / Ю.П. Зайченко. Киев : Выща школа, 1991. - 191 с.

36. Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы: Учеб. пособие. / Б.Н. Иванов. М. : Лаборатория Базовых Знаний, 2002. -288 с.

37. Ириков В.А. Распределенные системы принятия решений. Теория и приложения / В.А. Ириков, В.Н. Тренев. М. : Наука, Физматлит, 1999. - 288 с.

38. Карелин В.П., Целых А.Н. Нечеткие классификационные модели принятия решений в ситуационных советующих системах / В.П. Карелин // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. Ростов н/Д: Изд-во СКНЦ ВШ, № 1, 1999. С. 8-13.

39. Кендалл М. Ранговые корреляции / М. Кендалл М. : «Статистика», 1975. 216 с.

40. Кини P.JI. Принятие решений при многих критериях: замещения и предпочтения / P.JI. Кини, X. Райфа М. : Радио и связь, 1981. -560 с.

41. Клиланд Д. Системный анализ и целевое управление / Д. Клиланд, В. Кинг. М. : Сов. радио, 1974. - 280 с.

42. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств / А. Кофман М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.

43. Кофман А. Введение теории нечетких множеств в управлении предприятиями / А. Кофман, X. Хил Алуха: Пер. с исп. Минск: Высш. шк., 1992. - 224 с.

44. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. / Пер. с англ. Э.В. Вершкова, И.В. Коновальцева. Под ред. Г.П. Гарилова. -М.: Мир. 1978. - 432 с.

45. Круглов В.В. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети / В.В. Круглов, М.И. Дли, Р.Ю. Голунов. Физматлит, 2001. 224 с.

46. Кудинов Ю.И. Моделирование технологических и экологических процессов / Ю.И. Кудинов, А.Г. Венков, А.Ю. Карелина. Липецк, ЛЭГИ, 2001. - 131 с.

47. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в Волшебных Странах: Учебник / О.И. Ларичев. М.: Логос, 2000. - 296 с.

48. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов / В.В. Лебедев М.: ИЗОГРАФ, 1997. - 224 с.

49. Леденева Т.М. Моделирование процесса агрегирования информации в целенаправленных системах /Т.М. Леденева. Воронеж: Изд-во ВГТУ, 1999. 156 с.

50. Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2002. - С. 79-83.

51. Леденева Т.М. Обработка нечеткой информации: учебное пособие / Т.М. Леденева. Воронеж, Воронежский государственный университет, 2006. - 206 с.

52. Литвак Б.Г. Экспертная информация. Методы получения и анализа / Б.Г. Литвак М.: Наука, 1982. - С. 34-38.

53. Малышев Н.Г. Нечеткие модели для экспертных систем в САПР / Н.Г. Малышев, Л.С. Бернштейн, А.В. Боженюк. М. : Энергоиздат, 1991. - 136 с.

54. Мангейм М.Л. Иерархические структуры / М.Л. Мангейм. М. : Мир, 1970. 180 с.

55. Математическое моделирование / под ред. А.Н. Тихонова, В.А. Са-довничего и др. М. : Изд-во МГУ, 1993.

56. Мелихов А.Н. Проектирование микропроцессорных средств обработки нечеткой информации / А.Н. Мелихов, В.Д. Баронец. Ростов н/Д.: Изд. Ростовского ун., 1990. - 128 с.

57. Мелихов А.Н. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой / А.Н. Мелихов, Л.С. Берштейн, С.Я. Коровин. М. : Наука, 1990. -272 с.

58. Миркин Б.Г. Анализ качественных признаков / Б.Г. Миркин. М. : «Статистика», 1976. 168 с.

59. Миркин Б.Г. Проблема группового выбора. Издательство «Наука», Главная редакция физ.-мат. литературы, М., 1974. 256 с.

60. Многокритериальные задачи принятия решений / Под ред. Гвишиани Д. М., Емельянова С. В. М. : «Машиностроение», 1978. 200 с.

61. Многомерный статистический анализ в экономике. Под ред. Тамаше-вича В.Н. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. 598 с.

62. Мушик Э. Методы принятия технических решений / Э. Мушик, П. Мюллер. М. : Мир, 1990. - 208 с.

63. Нефедов В.Н. Курс дискретной математики: Учеб. пособие / В.Н. Нефедов, В.А. Осипова М.: Изд-во МАИ, 1992. - 264 с.

64. Нечеткая логика: алгебраические основы и приложения: Монография / С.Л. Блюмин, И.А. Шуйкова, П.В. Сараев, И.В. Черпаков. Липецк : ЛЭГИ, 2002. - 111 с.

65. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта /А.Н. Аверкин, И.З. Батыршин, А,Ф. Блишун, В.Б. Силов, В.Б. Тарасов. Под ред. Поспелова Д.А. М.: Наука, 1986. 312 с.

66. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения / Под ред. P.P. Ягера. М. : Радио и связь, 1986. - 408 с.

67. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. Учебник для вузов. 2-е изд. / Ф.А. Новиков СПб.: Питер, 2005. - 364 с.

68. Общая алгебра / О.В. Мельников, В.Н. Ремесленников, В.А. Романь-ков и др.Ж Под. общ. ред. Л.А. Скорнякова. Т. 1. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 592 с.

69. Оре О. Теория графов / О. Оре. Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, М.: 1968. 352 с.

70. Орлов А.И. Анализ нечисловых данных в системных исследованиях / А.И. Орлов. Сборник трудов. Вып. 10. - М.: ВНИИСИ, 1982. - С. 4-12.

71. Орлов А.И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные / А.И. Орлов. М. : Знание, 1980. 64 с.

72. Орлов А.И. Связь между средними величинами и допустимыми преобразованиями шкалы / А.И. Орлов. Математические заметки, т. 30, вып. 4, 1981, с. 561-568.

73. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации / С.А. Орловский. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 208 с.

74. Осуга С. Обработка знаний / С. Осуга. М. : Мир, 1989. 293 с .

75. Поспелов Д.А. Логико-лингвистические модели в системах управления / Д.А. Поспелов. М.: Энергоиздат, 1981. - 232 с.

76. Поспелов Д.А. Ситуационное управление: теория и практика / Д.А. Поспелов. М. : Наука, 1986. - 288 с.

77. Представление и использование знаний. Пер. с япон. / Под ред. X. Уэно, М. Исудзука. М.: Мир, 1989. - 220 с.

78. Прикладные нечеткие системы / Асаи К., Ватада Д., Иваи С. и др. / Под ред. Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугено. М. : Мир, 1993. - 368 с.

79. Приобретение знаний / Под ред. С. Осуги, Ю. Саэки. М.: Мир, 1990. - 304 с.

80. Пивкин В.Я. Нечеткие множества в системах управления / В.Я. Пив-кин, Е.П. Бакулин, Д.И. Кореньков. Под. ред. Ю.Н. Золотухина. http:eportal.da.ru/fuzzy/content.html.

81. Пытьев Ю.П. Методы математического модедирования измерительно-вычислительных систем / Ю.П. Пытьев. М. : Физматлит, 2002. -382 с.

82. Романовский И.В. Дискретный анализ: Учебное пособие для студентов, специализирующихся по прикладной математике и информатике / И. В. Романовский. Спб: Невский диалект, БХВ-Петербург, 2003.- 320 с.

83. Ротштейн А.П. Интеллектуальные технологии идентификации: нечеткая логика, генетические алгоритмы, нейронные сети / А.П. Ротштейн.- Винница: УНИВЕРСУМ-Винница, 1999. 320 с.

84. Ротштейн А.П. Медицинская диагностика на нечеткой логике / А.П. Ротштейн. Винница: Континент-ПРИМ, 1996 с. - 132 с.

85. Ротштейн А.П. Нечеткая надежность алгоритмических процессов / А.П. Ротштейн, С.Д. Штовба. Винница: Континент-ПРИМ, 1997. -142 с.

86. Рыжов А. П. Элементы теории нечетких множеств и измерения нечеткости / А. П. Рыжов. М. : Диалог-МГУ, 1998. - 81 с.

87. Саати T.JI. Принятие решений. Метод анализа иерархий / T.JI. Саати.- М. : Мир, 1976. 320 с.

88. Самарский А.А. Математическое моделирование: Идеи, методы, примеры / А.А. Самарский, А.П. Михайлов. М.: Физматлит, 2002. 320 с.

89. Свами М. Графы, сети и алгоритмы / М. Свами, К. Тхуласираман. -М.: Мир, 1984.-455 с.

90. Системное моделирование социально-экономических процессов. Сборник научных трудов. Воронеж, 2000. 216 с.

91. Судоплатов С. В. Элементы дискретной математики: Учебник. / С. В. Су-доплатов, Е. В. Овчинникова. М. : ИНФРА-М, Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. - 280 с.

92. Трахтенгерц Э.А. Компьютерная поддержка принятия решений / Трах-тенгерц Э.А. Научно-практическое издание / Сер. Информатизация России на пороге XXI века. М. : СИНТЕГ, 1998. - 376 с.

93. Тельнов Ю.Ф. Интеллектуальные информационные системы в экономике / Ю.Ф. Тельнов. М.: СИНТЕГ, 1999. - 216 с.

94. Уилсон Р. Введение в теорию графов / Р. Уилсон. М. : Мир, 1977. -208 с.

95. Усков А.А. Интеллектуальные системы управления на основе методов нечеткой логики / А.А. Усков, В.В. Круглов. Смоленск: Смоленская типография, 2003. 177 с.

96. Уткин JI.B. Нетрадиционные методы оценки надежности информационных систем / JI.B. Уткин, Шубинский И.Б. СПб.: Любавич, 2000.- 173 с.

97. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений / П. Фишберню- М.: Наука, 1978. -352 с.

98. Харари Ф. Теория графов. / Пер. с англ. В.П. Козырева. Под ред. Г.П. Гаврилова. М.: Мир. 2006. - 296 с.

99. Целых А.Н. Моделирование процессов принятия решений в нечетких условиях. Монография / А.Н. Целых. Ростов-на-Дону: Изд-во Северо-Кавказского научного центра высшей школы, 1999. - 104 с.

100. Цыгичко В.Н. Руководителю о принятии решений / В.Н. Цыгичко. -М. : ИНФРА-М, 1996. 272 с.

101. Шапиро Д.И. Принятие решений в системах организационного управления. Использование расплывчатых категорий / Д.И. Шапиро. М. : Энергоатомиздат, 1983. - 185 с.

102. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок / Ю.А. Шрейдер. М.: 1971. 256 с.

103. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику / С.В. Яблонский. М. : Высшая школа, 2001. 384 с.

104. Bertoluzza С., Corral N., Salas A. On a new class of distances between fuzzy numbers // Mathware & Soft Computing. 1995. - № 2. - P. 71-84.

105. Di Nola A. Fuzzy Relational Equations Theory As a Basis of Fuzzy Modeling: an Overiew / A. Di Nola, W. Pedrycz, S. Sessa // Fuzzy Sets and Systems. 1991. - № 40. - P. 415-429.

106. Di Nola A. Fuzzy Relational Structures: the State-of-Art / A. Di Nola, W. Pedrycz, S. Sessa // Fuzzy Sets and Systems. 1995. - № 75. - P. 241-262.

107. Herrera F. A model of consensus in group decision making under linguistic assessments / F. Herrera, E. Herrera-Viedma, J. L. Verdegay //Fuzzy Sets and Systems. 1996. - № 2. - P. 73-87.

108. Klement E.P. Triangular norms. Position paper I: basic analytical and algebraic properties / E.P. Klement, R. Mesiar, E. Pap // Fuzzy Sets and Systems. 2004. - № 143. - P. 5-26.

109. Klement E.P. Triangular norms. Position paper II: general constructions and parameterized families / E.P. Klement, R. Mesiar, E. Pap // Fuzzy Sets and Systems. 2004. - № 145. - P. 411-438.

110. Klement E.P. Triangular norms. Position paper III: continuous t-norms / E.P. Klement, R. Mesiar, E. Pap // Fuzzy Sets and Systems. 2004. -№ 145. - C. 439-454.

111. Fuller R. Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. -http: //www.abo.fi/rfuller/robert.html.

112. I I I I t s i i I i Wi i > i i i I i i i i i i i i i i i i i Я i i i i i i i i i

113. I.--1---1---l--4 | f--I---1---1--4 Ж --t---I---l- --Г