автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование приливной динамики в согласованных криволинейных координатах

Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Санкт-Петербургский филиал института океанологии им. П.П. Ширшова, РАН

".*.! На правах рукописи

УДК 551.465:551.468

Андросов Алексей Анатольевич

Моделирование приливной динамики в согласованных криволинейных координатах

Специальность 05.13.18 - Вычислительная математика, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1998

ссертация выполнена в Санкт-Петербургском филиале института ¡анологии им П.П.Ширшова, РАН

ициальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук профессор Руховец Л.А.

- кандидат физико-математических наук

Клещева Г.П.

ту тая организация:

Российский Государственный Гидрометеорологический Институт (Санкт-Петербург)

цита состоится 3 июня 1998 г. в I часов на заседании гциализированного совета К 063.31.06 при Санкт-Петербургском ;итектурно-строительном университете по присуждению ученой пени кандидата физико-математических наук (198005, Санкт-гербург, 2-я Красноармейская, дом 4, тел: 259-54-35).

диссертацией можно ознакомиться в библиотеке архитектурно-оительного университета.

гореферат разослан апреля 1998г.

гный секретарь гциализированного совета :дидат физико-математических наук

Петухова Н.Н.

Актуальность темы. Расчет приливной динамики на основе численного решения краевых задач является одним из развивающихся направлений моделирования океанологических процессов. Состояние этого направления характеризуется разнообразием физического содержания задач, растущими требованиями к точности их численной реализации и расширением сферы приложений при описании прибрежной динамики, когда существенна ее приливная компонента.

Особенностью обсуждаемых задач является нерегулярная конфигурация области решения и изменчивость морфометрии акватории. В случае достаточно сложной геометрии области и высокой нелинейности процесса решение соответствующих краевых задач связано со значительными трудностями. Такая ситуация может иметь место, например, в проливах сложной конфигурации, в прибрежной зоне с изрезанной береговой линией и крутым свалом глубин, в окраинных морях с резко меняющейся морфометрией и чередованием открытых и закрытых границ. Расчеты приливных движений в таких областях относятся к задачам повышенной трудности. Соответствующие региональные модели постоянно совершенствуются, отражая существующий продвинутый уровень исследований, относящихся к постановке задач и методам их реализации. Следует добавить, что в ряде случаев, связанных со сложным комплексом особенностей приливной динамики, появление региональных моделей задерживается. Целью работы является решепие двумерных и трехмерных задач приливной динамики повышенной сложности при использовании криволинейных координат, согласованных с границей области (согласованных криволинейных координат). Для этого поставлены и решены следующие задачи:

• Разработана эффективная модификация метода, использующая смешанное ковариантно-контравариантное представление уравнений, которая повышает устойчивость схемы и обеспечивает приемлемую точность расчета приливной динамики и ее энергетического бюджета.

• Выполнен анализ постановки краевой задачи в произвольной двумерной области с участками открытой границы для уравнений в форме контра-вариантных потоков.

• Разработан метод решения трехмерной нелинейной краевой задачи в согласованных криволинейных координатах в области с резким изменением морфометрии.

• Построены двумерная и трехмерная модели приливной динамики Мессиц-ского пролива (Средиземное море).

• Построены модели приливной динамики Баренцева моря, Восточно - Сибирского шельфа и примыкающей к нему глубоководной зоны.

Методика исследования. Принятым подходом в вычислительной гидродинамике, имеющим широкую сферу приложений, является численное решение краевых задач в произвольных областях с криволинейной границей при использовании такой системы координат, когда координатные линии (в трехмерном случае -поверхности) совпадают с сегментами границы. Целесообразность перехода к криволинейным координатам, согласованным с конфигурацией области, определяется тем, насколько неприемлема погрешность аппроксимации области при ее обычном кусочно-линейном представлении отрезками, параллельными осям координат. В этом случае наиболее существенна погрешность, возникающая в силу искажения краевого условия на твердом контуре, поскольку условие равенства нулю нормальной к границе скорости заменяется на нулевую компоненту скорости, нормальную к одному из координатных направлений. При достаточно высокой изменчивости граничного контура частое изменение направления отрезков границы и связанное с этим альтернирование формы граничного условия ведет к погрешностям решения в приграничной зоне, наиболее важной для приложений. Существенным преимуществом согласованных криволинейных координат является также возможность использования неравномерной криволинейной сетки, сгущающейся там, где это целесообразно во смыслу задачи.

Реализация метода согласованных криволинейных координат состоит из двух процедур: построения криволинейной сетки, адаптированной к области, а также, возможно, к характеру решения и численному решению уравнений на такой сетке.

Метод согласованных криволинейных координат разрабатывался многими авторами (Сдолдинг (1984), Вольцингер (1989), Демиров (1990), Бортвик (1992) и др.) для решения широкого круга многомерных нелинейных краевых задач в произвольной области как с фиксированной, так и подвижной границей. Сложность этих задач возрастает при описании природных процессов. Понятно, что при отказе от упрощающих идеализации успешное решение задач целиком связано с технологическим уровнем используемого подхода. Данная работа является шагом в таком направлении.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Предложена модификация метода, использующая смешанную жонтравари-антно - ковариаятную форму представления дифференциальной задачи, повышающая его робастность.

2. Для двумерной краевой задачи в согласованных криволинейных координатах впервые выполнена оценка точности численного решения в корректной и редуцированной постановках.

3. Разработан метод решения трехмерной нелинейной краевой задачи в согласованных криволинейных координатах в области с резким изменением морфометрии.

4. Впервые выполнено моделирование двумерной и трехмерной приливной динамики Мессинского пролива. Выявлены закономерности динамики и роль основных факторов на формирование остаточных течений и вихревых структур Мессинского пролива.

5. Выполнен расчет динамики и энергетики Восточно-Сибирского шельфа и примыкающей глубоководной зоны на основе сопряжения с глобальной арктической моделью.

Автор выносит на защиту:

1. Обоснование преимущества использования модифицированного метода криволинейных координат для задач с высокой нелинейностью и сложной морфометрией области.

2. Сравнительную оценку численного решения двумерной нелинейной краевой задачи в криволинейных координатах в корректной и редуцированной постановке.

3. Результаты моделирования приливной динамики в Мессинском проливе, Баренцевом море и на Восточно-Сибирском шельфе.

Научное и практическое значение работы. Предложенная модификация метода согласованных криволинейных координат позволила выполнить расчеты приливной динамики в областях сложной конфигурации при проверке точности решения на детализированных сетках и контроле баланса приливной энергии. Ме-

тод можно рекомендовать для решения геофизических задач в областях сложной геометрии при чередовании участков непроницаемых и открытых границ.

Анализ двумерной краевой задачи в согласованных координатах позволил оценить степень целесообразности учета одностороннего взаимодействия при тслескопизации области в случае высокой нелинейпости моделируемого процесса.

Выполненные расчеты относятся ко всем важнейшим аспектам приливной динамики Мессинского пролива, Баренцева моря и Восточно-Сибирского шельфа с примыкающей к нему глубоководной зоной. Результаты имеют как самостоятельное значение, так и могут служить развитию инженерных и экологических приложений, использующих информацию о динамике этих объектов. Апробация работы. Основные результаты докладывались на секции Генеральной Ассамблеи Европейского Геофизического Союза (Гренобль, 1992), на рабочих совещаниях кафедры Океанологии Римского Университета (1993, 1994), на Ленинградском Городском семинаре по гидродинамике (1993). Полностью диссертационная работа обсуждалась на семинаре СПб филиала Института Океанологии РАН (1998), на кафедре динамики океана СПб Гидрометеорологического Университета (1998) и на кафедре океанологии СПб Государственного Университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ. Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, пяти глав, Заключения и списка использованных источников. Объем работы страницы, рисунков и ^ таблиц. Список литературы содержит наименования, из них - на иностранных языках.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается характеристика метода согласованных криволинейных координат, обосновывается актуальность работы, формулируются ее цели и резюмируется содержание глав.

В первой главе рассматривается постановка двумерной краевой задачи для расчета динамики и энергетики приливов в криволинейных согласованных координатах. Основное внимание уделяется корректной постановке условий на открытой границе. Показано, что одним из представлений корректных граничных условий для гиперболической системы уравнений в согласованных координатах,

соответственно на втоке и вытоке, является:

Ц* + ¿¡г/О" • С = Фи и{ = фъ при п^и* < О

=1*, ири при' > О

где Я-глубина воды, ^-уровень, (г = 1,2)-криволинейные координаты, дг' = е' ■ е-"-контравариантные компоненты метрического тензора, е1-контравариантный базисный вектор, е,—ковариантный базисный вектор, II' = V • У£'-контравариантные компоненты вектора скорости V, — V • е;, е; = г^;, г = (г,у)-ковариантные компоненты скорости, п^[/'-проекция контрава-риантной компоненты скорости на внешнюю нормаль к жидкому контуру.

Как известно, в большинстве случаев получение необходимой информации на открытой границе, обеспечивающей корректную постановку краевой задачи, обычно весьма затруднительно. Последовательный подход заключается в использовании так называемого метода "одностороннего взаимодействия", когда необходимые граничные условия предоставляются решением некоторой краевой задачи в расширенной области. В практических расчетах обычно используется срезающая функция, обращающаяся в нуль адвекцию и диффузию на границе; тогда, как известно, для линейной гиперболической задачи требуется лишь одно граничное условие. Наиболее доступной является информация об уровне, которая обычно и используется. Сопоставление результатов модельных расчетов для корректно поставленной задачи и задачи для уравнений, модифицированных на границе, показывает, что использование срезающей функции в обычных условиях вполне оправдано, и отличие двух решений быстро уменьшается с увеличением глубины на открытой границе. Вместе с тем в случае высокой нелинейности такая редуцированная постановка приводит к значительным погрешностям и желательно задание корректных граничных условий.

В дополнение рассмотрена постановка краевой задачи в согласованных криволинейных координатах для уравнений, содержащих операторы турбулентной вязкости.

В заключительном параграфе обсуждается метод построения криволинейной сетки согласованной с конфигурацией области и алгоритм численной реализации краевой задачи для уравнений б форме контравариантных потоков. Система уравнений аппроксимируется схемой Кранка-Николсона, реализуемой расщеплением на разнесенной сетке.

Приводится вывод уравнения баланса приливной энергии в согласованных координатах и его разностный аналог.

Во второй главе поставленная задача применяется для моделирования приливной динамики Мессинского пролива, соединяющего Ионическое море с Тирренским. При протяженности пролива ~ 20км его морфометрия характеризуется большой изменчивостью береговой линии и резким перепадом глубин. По обе стороны вершины подводной горы, отстоящей от поверхности воды на 70м, глубина быстро растет, достигая в южной части 1200л. Здесь у Ионического моря крутой Мессинский каньон вписывается в структуру абиссальной равнины юго-восточнее Сицилии. К северу от вершины подводной горы береговые склоны резко расходятся, глубина увеличивается и строение пролива развертывается в направлении Тирренского моря в виде гигантского подводного конуса.

Геометрия пролива вкупе с особенностями его локализации в общей картине приливной динамики Средиземного моря определяют существование в этом месте интенсивных приливных течений, превышающих 3.м/с.

Во введении ко второй главе приводится обзор исследования динамики пролива от ее первого описания Гомером до современных работ, использующих его анализ спутниковых данных к показывающих зарождение внутренних волн в зоне интенсивной турбулентности водоворотов Сциллы и Харибды.

В первом параграфе на основе численных экспериментов выполнен анализ модели, включающий проверку точности решения для различных сеток, сравнительную оценку точности решения в корректной и редуцированной постановках а анализ факторов, определяющих интенсивную динамику пролива.

Расчеты выполнялись на криволинейной сетке с числом узлов 16 х 27, достроенной эллиптическим методом.

Для сценки точности решения использовалась детализированная сетка с числом узлов 31 х 53, половина из которых совпадает с узлами принятой расчетной сетки. Для 82% узлов разность решений не превышает ±5см/с и только 2% содержит разность решений > 20см/с (при ~ 150см/с), т.е. сходимость

вполне удовлетворительная. Такая точность на сетке 16x27, представляющейся весьма грубой, подтверждает эффективность перехода к согласованным криволинейным координатам.

Условия на открытых границах для гармоники Мг определялись согласно данным наблюдений.

Особый интерес представлят сравнение точности решения краевой задачи

в корректной и редуцированной постановках. Приводится результат численного эксперимента, дающего представление о различии решений краевой задачи, когда ее корректная формулировка заменяется редуцированной модификацией, возникающей при отказе от использования второго граничного условия на вто-ке; таким условием для гиперболической задачи в криволинейных координатах является задание поперечной ковариантной компоненты скорости. В корректной формулировке задача ставится в области, являющейся подобластью исходной сеточной области. На открытых границах подобласти (внутренних координатных линиях) необходимая комбинация граничных условий определяется предварительным решением задачи во всей области в постановке, когда в приграничной зоне адвекция не учитывается и на втоке ставится лишь одно условие. Решение сравнивается для двух краевых задач в подобласти при задании граничных условий в полной и редуцированной форме.

Сравнивается ход полной энергии волны М2 для каждой из таких задач для случая, когда подобласть определяется сдвигом северной открытой границы на шаг Д, а южной открытой границы - на 10Д. Сравнение энергетических кривых выявляет значение корректной постановки условий на открытой границе при моделировании динамики Мессипского пролива. Приводятся также значения рассчитанных максимальных скоростей в приливном цикле для рассматриваемых задач. В редуцированной постановке: тах\у| = 114см/с, в корректной постановке: тах\\\ = 145см/с; согласно натурным данным (Мозетти (1988)) таг |у| = 150см/с.

Ключевое место занимает модификация алгоритма. Применение стандартного алгоритма решения задачи в контравариантных потоках к расчету приливной динамики в сложной области Месслнсхого пролива при резко выраженной нелинейности обнаружило ограничения к его применению. Локальная проверка энергетического баланса в различных ячейках сетки показывает, что уязвимым местом алгоритма является нахождение из соответствующего уравнения поперечной контравариантной составляющей потока д* после определения его продольной составляющей р* ж (* на первом полушаге. Это уравнение весьма чувствительно к возмущениям решения, ибо в нем продольная скорость на полушаге определяется поперечным градиентом уровня, причем знак градиента зависит от локальной метрики. Ситуация существенно улучшается при отказе от этого уравнения и замене его на первом полушаге на более устойчивое уравнение для поперечной ковариантной составляющей скорости содержа-

щее лишь один, не зависящий от метрики, продольный градиент уровня. Это уравнение, представляющее форму Ламба в криволинейных координатах, имеет вид;

где <? = (г — 1,2)-удвоенная кинетическая энергия, ш-вертикальная

компонента вихря, ¿-параметр Кориолиса, Р-вектор правой части уравнения, откуда с учетом (} = дц1/' определяется контравариантная скорость '[*. Таким образом предложенная модификация является сочетанием коварлантно-контравариантного представления интегрируемых уравнений.

В заключении первого параграфа приводится оценка влияния элементов мор-фометрии (подводной горы и конфигурации береговой линии) на приливную динамику. На основе численных экспериментов показано как при спрямлении одного из элементов морфометрии падает интенсивность течений и, соответственно, уменьшается нелинейность процесса, проявляющаяся в различии скоростей в каждой из половин приливного длкла; в линейном случае это различие исчезает. Получено, что при равномерном уменьшении глубины в зоне узости, примерно на порядок, скорости возрастают, примерно, втрое; дальнейшее уменьшение глубины приводит к усилению отражения потока от подводных склонов и его интенсивность падает.

Второй параграф главы содержит анализ физических результатов. Полученная в результате расчета пространственная структура колебаний волны М? представляет амфидромическую систему с левосторонним вращением изофаз и центром, расположенным вблизи оси пролива. Это указывает на то, что пространственная структура волны Мч в проливе образуется стоячей волной в поле силы Кориолиса. Отклонение вычисленных и наблюденных значений приливных характеристик не превышает 3.6см по амплитуде и 20° по фазе приливных колебаний, что в амфидромичсской зоне можно полагать приемлемым.

Получена эволюция общей энергии в устойчивом периодическом режиме на основе модифицированного алгоритма. Выявлено, что адвективный перенос количества движения является причиной значительного неравенства общей энергии в каждой из половин приливного цикла. Результат расчета баланса энергии свидетельствует о приемлимости алгоритма, использующего {р, О) - модификацию.

Адвективному переносу количества движения обязано появление кратных гармоник в спектре приливных колебаний. Эти гармоники отчетливо прояв-

ляются в районе подводной гряды, особенно в окрестности восточного изгиба береговой линии, у Пунта-Пеццо. Здесь амплитуда четвертьсуточной гармоники М4 относится к амплитуде основной лунной полусуточной гармоники М2 как 3:4.

В случае расчета суммарного прилива граничные значения задаются в форме суперпозиции семи гармоник М2, 5г, N2, К?, К1, 0\, Р\. В этом случае расчетный период составляет 29.5 суток (синодический месяц). Течения в горле пролива возрастают приблизительно вдвое. Рассчитанные скорости суммарного течения максимальны вблизи Пунта Пеццо, где они достигают 2Шсм/с. (согласно Мозетти (1988) для четырнадцати гармоник - 289.5см/с). Получены поля завихренности на моменты максимальных скоростей южного и северного направлений суммарного прилива. Наиболее выраженными оказываются вихрь, расположенный у западного мыса, Капо Пелоро (Харибдский вихрь) и система вихрей Сцилла - Пунта Пеццо. Третий основной вихрь, локализованный у Мессины для волны Мг Дефантом (1940), в суммарном приливе на рассматриваемые моменты времени значительно слабее.

Для полноты картины динамики Мессинского пролива выполнен расчет остаточных течений, определяющих длительный и устойчивый перенос основных характеристик водной среды: температуры, плотности, солености, биомассы, консервативных примесей. В бассейнах с приливной доминантой остаточная приливная циркуляция связана со структурными особенностями стационарного непериодического режима. Этот режим влияетгяа динамическую, геоморфологическую и экологическую жизнедеятельность акватории, в связи с чем его моделирование и анализ приобретают значительный интерес. Под остаточной скоростью V, двумерного процесса обычно понимают осредненную за период Т скорость V = (и, р).

Получен суммарный остаточный перенос, порожденный семью основными гармониками. Значительной величины, ~ 15см/с, остаточные течения достигают только в районе вершины подводной горы. Общий остаточный перенос направлен из Тирренского моря в Ионическое.

Здесь же изучается влияние основных физических факторов на формирование остаточных течений и вихревых структур. Как показывают расчеты, адвекция количества движения является причиной значительного неравенства общей энергии в каждом из половин приливного цикла. Нелинейный характер движения особенно заметен в первой половине цикла при переносе южного на-

правления и выражается в асимметрии хода энергии. Это позволяет предполагать, что остаточный перенос формируется в основном адвекцией и в ее отсутствии будет малым. Действительно, без учета адвекции остаточные течения сохраняются лишь в северо-восточной части пролива, уменьшаясь на порядок, и вырождаются во всей остальной области. Более того, у Гаяцирри возникает слабое, 1см/с) течение противоположного направления, отсутствовавшее в общей схеме остаточного переноса, и обязанное интенсификации движения во второй половине приливного цикла при отсутствии адвекции. Остаточная циркуляция также резко ослабевает: интенсивность двух доминирующих вихрей падает на порядок.

В отсутствии придонной диссипации максимум общей энергии волны Шг возрастает вдвое, остаточные скорости резко возрастают, доходя в узкой части пролива и у Мессины до 0.5м/с. Схема остаточной циркуляции сохраняется.

Сравнение полей остаточного переноса и остаточной циркуляции суммарного прилива при отсутствии вращения со схемами остаточной динамики Мг показывает, что перенос уменьшается, но незначительно.

В третьей главе работы представлена приливная модель Восточно-Сибирского шельфа.

Во введении к главе дается геоморфологическая характеристика моделируемого района. Дан обзор работ, касающихся численного моделирования на Восточно-Сибирском шельфе.

Оценка точности модели и численные эксперименты представлены в первом параграфе главы. Расчеты выполнены на криволинейной сетке 50 х 162 со значительной вариацией, на порядок, степени сеточного разрешения. Для более точного описания рельефа дна сетка была детализирована в области крутого континентального склона. Граничные условия на открытой северной границе области задавались по результатам глобальной арктической модели Ковалика и Прошутинского (1995). На других жидких участках материкового контура уровень задавался по данным наблюдений.

Для оценки точности решения использовалась более грубая сетка, узлы которой совпадают с половиной узлов принятой расчетной сетки. Для 64% узлов разность решений для уровня не превышает ±0.5см, и только 12% содержит разность решений 5 > 2см (при [<5ГМ1| = 9.5см). Вычисления были повторены для детализированной сетки с числом узлов 99 х 323, половина из которых совпадает с узлами принятой расчетной сетки. В 74% узлов разность реше-

ний не превышает ±0.5сы и только 4% содержит разность решений 8 > 2см (при ¡¿тох| = 7.5см; (max — 60см), т.е. сходимость вполне удовлетворительная. Максимальные значения колебаний уровня приходятся на район Новосибирских островов, и именно в этом месте наблюдается наибольшее расхождение решения на сравниваемых сетках.

В параграфе 3.2 рассмотрены основные физические результаты. Полученная в результате расчета пространственная структура колебаний волны М3 выявляет в расчетной области пять амфидромий, расположенных в пределах шельфа. Все они имеют циклоническое вращение. Амфидромическая картина качественно согласуется с результатом моделирования Ковалика и Прошутин-ского (1994). Обращает внимание общее сходство расположения амфидромичес-ких точек в юго-западной части моря Лаптевых и в центральной части Чукотского моря. Основные отличия относятся к результатам расчета поля течений в глубоководной зоне, где используется криволинейная сетка, сгущенная на порядок сравнительно с наиболее продвинутыми современными арктическими моделями. Здесь рассчитанная динамика оказывается значительно активнее по сравнению с известными результатами глобального арктического моделирования.

Общей особенностью приливных карт Сибирского шельфа - наличие нескольких амфидромий циклонического вращения, лежащих вдоль побережья. Известно, что комбинация встречных вдольбереговых волн Пуанкаре дает цепочку прибрежных циклонических амфидромий при этом возможен как "отрыв" амфидромий от линии берега, так и их "заглубление" в берег - в зависимости от преобладания одной из волн Пуанкаре. На Восточно-Сибирском шельфе на большей части материкового побережья амфидромии "оторваны" от береговой черты, что указывает на преобладание вдольбереговой волны Пуанкаре, направленной на восток. Характерной чертой приливной карты является резко выраженный максимум амплитуд у северного побережья Новосибирских островов, совпадающий с антициклонической тенденцией в местном распределении фаз. Такая особенность указывает на возможность существования геострофического захвата приливной энергии у этих островов, проявляющегося в формировании движений типа волн Кельвина. Явления такого рода часто отмечаются вокруг крупных островов.

Для оценки точности получаемых результатов использованы наблюдения 15 станций. Отклонение наблюденных значений от расчетных по всем станциям

составляет ±2.8см по амплитуде и ±62.7° по фазе. Такое значительное отклонение фазы объясняется тем, что все станции, за исключением трех из них, находятся в непосредственной близости от амфидромических точек.

Получена карта эллипсов приливных течений. Наибольшие скорости приливного течения развиваются в западной части расчетной области. Скорости, достигающие 45см/с, локализованы на кромке шельфа в Восточно-Сибирском море и в юго-западной части моря Лаптевых. Эллипсы течений почти во всей акватории по форме близки к окружностям. Отношение малой оси х большой достигает 0.9. Векторы течений преимущественно имеют антициклоническое вращение. Вблизи Северной Земли и Новосибирских островов расположены несколько зон циклонического вращения; при этом отношение осей эллипсов близко к 0.5. Такая картина согласуется как с теоретическими соображениями, так и с немногочисленными наблюдениями.

В заключении приведен анализ энергетики шельфа и отдельных его зон. Основными физическими процессами, практически определяющими временной ход энергосодержания, являются волновой перенос энергии и ее диссипация донным трением. Диссипация слабо меняется в течении приливного цикла, что указывает на преобладание течений с орбитами, близкими к круговым - это соответствует полученной карте приливных эллипсов. В прибрежной части шельфа диссипация примерно вдвое ослаблена по сравнению с интегральной диссипацией во всей области. Примерно в той же степени ослабевает и средний волновой перенос через жидкую границу.

В четвертой главе работы рассматривается моделирование приливов в произвольной трехмерной области.

В первом параграфе приведена постановка задачи в декартовых координаг-тах. В параграфе 4.2 рассматривается трехмерная краевая задача в криволинейных горизонтальных координатах, согласованных с конфигурацией акватории и гг-координатой (спрямляющей дно и поверхность) по вертикали. Турбулентное замыкание использует b — I схему. Для нахождения масштаба турбулентности используется модифицированная формула Монтгомери, где вместо полной глубины выступает разность между глубиной и высотой придонного пограничного слоя определяемая как глубина, на которой |v„| ~ 0. Формула включает параметр корректирующий величину масштаба турбулентности и смещающий вершину параболы в нижнюю часть погранслоя, где генерируется придонная турбулентность.

Рассматрена постановка краевых условий на открытых и непроницаемых участках граничного контура. Поело того как решение средней (вертикально-осредненной) задачи определено, пренебрегая адвекцией и вязкостью в непосредственно приграничной зоне, можно найти распределение скорости в граничном сечении, которое и задается на втоке; на вытоке скорости в таком сечении определяются экстраполяцией.

В параграфе 4.3 рассмотрена модификация задачи в случае слабой зависимости от бароклинных эффектов, основыванная на интегрировании трехмерных уравнений для разности решений трехмерной и средней задач с присоединенной схемой турбулентного замыкания. Определяемая разность решений задает отклонение профиля скорости от его среднего значения и строится так, чтобы (1) удовлетворялись краевые условия по вертикали, (2) напряжение трения в нижней части логарифмического пограничного слоя равнялось его значению в средней задаче, (3) интеграл по глубине от отклонения скорости равнялся нулю.

В заключительном четвертом параграфе главы рассматривается численный метод реализации трехмерной задачи.

Среди требований, предъявляемых к алгоритму численной реализации трехмерной барокяинной задачи, помимо устойчивости и приемлемой точности, одним из важнейших является требование консервативности, обеспечивающее выполнение интегральных законов сохранения, справедливых для исходной дифференциальной задачи. Важность выполнения этих законов связана с тем, что численное интегрирование краевой задачи с выраженной нелинейностью в сложной области может приводить к появлению локальных возмущений, вызываемых резким изменением коэффициентов уравнений - метрики или глубины. Возмущения решения, подавляемые локальными процедурами сглаживания, фильтра либо повышенной диссипацией, не вызывая вычислительной катастрофы, могут значительно искажать решение. Выполнение законов сохранения предохраняет от таких неприятностей даже при относительно невысокой точности решения.

Для интегрирования уравнений движения и уравнения плотности используется гибридная трехслойная схема, в которой вертикальная адвекция аппроксимируется неявно, члены вертикального турбулентного обмена - трапецеидально (форма Кранка-Николсона), члены горизонтального турбулентного обмена используют аппроксимацию с поднятой средней точкой (форма Дюфорта-Франкела), а остальные члены аппроксимируются центральными разностями на среднем временном слое. В работе используется форма аппроксимации ад-

векции на твердых границах и на дне, не приводящая к возникновению дополнительных источников и стоков.

Особое внимание уделяется аппроксимации уравнения неразрывности в связи с необходимостью удовлетворения двум условиям по вертикальной координате: условию прилипания на дне и кинематическому условию на свободной поверхности. Структура используемого алгоритма такова, что при выполнении уравнения неразрывности для среднего движения оба краевых условия по вертикали также выполняются.

В пятой главе предложенная трехмерная модель применяется для расчета баротропной динамики Баренцева моря, а также как баротропяой так и баро-клинной приливной динамики Мессинского пролива.

В первом параграфе приводятся некоторые результаты расчета баротроп-ной приливной динамики в Баренцевом море. Вычисления выполнены на неравномерной криволинейной сетке содержащей 44 х 34 х 54 узлов, по вертикали содержащей логарифмическое распределение узлов в придонном пограничном слое и приближающееся к равномерному распределению по глубине в остальной части.

Рассматривается пространственная картина вращения эллипсов приливного течения для средней задачи и на метровом придонном горизонте. Выявлено, что циклоническое вращение среднего течения присуще только небольшой юго-восточной зоне моря. Такой характер движения объясняется тем, что вращение преодолевает влияние силы Кориолиса, которая закручивает движение в противоположном направлении, оказывая доминирующее влияние на среднее течение во всей остальной части моря. Однако с увеличением глубины зона циклонического вращения увеличивается, и в придонном слое зона циклонического вращения простирается на север вдоль о.Новая Земля.

Рассчитана вертикальная структура поля скорости: большой полуоси приливного эллипса, эксцентриситета, азимутального угла и характеристик турбулентности. Сравнение выполнено для двух пунктов, в которых только и оказались доступными соответствующие измерения. Результаты такого сопоставления вполне удовлетворительны.

Приведится расчет годографов скорости приливного течения в ряде прибрежных точек на фиксированных горизонтах. Во всех этих пунктах на всех горизонтах эллипсы приливного течения имеют антициклоническое вращение. Эллипсы течения вблизи горла Белого моря по форме близки к окружностям,

отношение большой и малой полуосей доходит до 0.9.

В параграфе 5.2 представлена трехмерная модель Мессинского пролива. Приводится обзор ранее выполненных работ по изучению вертикальной структуры динамики пролива за последние 10-15 лет, имеющих, в основном, описательный характер, либо использующих упрощенные постановки для анализа отдельных черт динамики.

Баротропная трехмерная модель Мессинского пролива рассмотрена в первом пункте параграфа. Расчет выполнен на неравномерной криволинейной сетке содержащей 16 х 27 х 40 узлов. Сетка по вертикали содержит логарифмическое распределение узлов в придонном пограничном слое и приближающееся к равномерному распределению по глубине в остальной части.

Анализируется вертикальная структура поля скорости и характеристик турбулентности в некоторых пунктах пролива и на разрезе по его оси на моменты максимума энергии в приливном цикле. Приводятся годографы скорости течения в период смены его направления с северного на южное. Отмечен практически реверсивный характер движения в Мессинском проливе.

В заключительном пункте рассмотрены некоторые предварительные результаты численного моделирования бароклинной задачи для Мессинского пролива. Годографы бароклинных скоростей на моменты смены течений сравниваются с ситуацией в баротропном случае. Отмечен вращательный характер течений на момент смены направления течения и рост вертикальных скоростей приблизительно вдвое по сравнению с баротропной задачей.

В заключении суммируются результаты работы и ее основные выводы:

1. Для решения двумерных краевых задач приливной динамики повышенной трудности разработана и апробирована модификация метода согласованных криволинейных координат. Предложенная модификация использует смешанную ковариантно-контравариантную форму представления уравнений. При использовании расщепления для численной реализации такая форма повышает устойчивость метода ж позволяет выполнить расчеты приливной динамики с выраженной нелинейностью в областях сложной конфигурации.

2. Рассмотрена корректная постановка граничных условий на участках открытого контура для уравнений мелкой воды в форме контравариактных

потоков при сильной нелинейности. Постановка двумерной краевой задачи в случае интенсивной динамики использует общую теорию, определяющую количество и вид краевых условий на открытых границах для квазилинейных гиперболических систем в декартовых координатах. При переходе к криволинейным координатам показано, что дополнительным условием да втоке является ковариантная составляющей потока. Реализация корректной постановки достигается предварительным расчетом в расширенной области, предоставляющим ипформацию для конструирования требуемых условий на внутренней границе расширенной области.

При сохранения в уравнениях динамики оператора турбулентной вязкости такая методика модифицируется в соответствии с требованиями постановки задачи для не вполне параболических уравнений.

3. Все приложения метода сопровождаются интегрированием уравнения энергии в форме контравариантных потоков для расчета бюджета приливной энергии и проверкой точности решения на детализированных сетках.

4. Решена краевая задача расчета мессинских приливов, индуцируемых колебаниями в Ионическом и Тирренском морях для уравнений в форме контравариантных потоков. Получена приливная карта волны Мз, хорошо согласующаяся с имеющимися данными наблюдений. Выяснена сравнительная роль факторов, определяющих исключительно интенсивную динамику пролива. Рассмотрена структура основных вихревых систем. Выполнен расчет и анализ остаточной приливной динамики Мессинского пролива. Поставлена обширная серия численных экспериментов, выясняющих сравнительную роль физических и морфометрических факторов в формировании остаточной циркуляции.

5. Реализована модель приливной динамики Восточно-Сибирского шельфа. Полученная приливная карта волны М2 с цепочкой прибрежных амфидро-мий и чередующимися зонами циклонического вращения вектора средней скорости позволяет заключить, что прилив на Восточно-Сибирском шельфе проявляется как суперпозиция волн Пуанкаре, испытывающих влияние нерегулярной береговой линии. Выполнен расчет энергетического бюджета отдельных зон шельфа и прилегающей глубоководной области.

6. Предложен метод решения трехмерной нелинейной краевой задачи в области с резким изменением морфометрии. Метод применен для расчета трехмерной динамики Мессинского пролива. Выполнен анализ вертикальной структуры приливной волны М2 в Мессинском проливе в баротропной и бароклинной постановках. Отмечен практически реверсивный характер течений на всех горизонтах. Для моментов максимума энергии в ходе приливного цикла выявлена вертикальная структура течений с максимальными скоростями, достигающими 2см/с в бароклинной постановке. В фиксированные моменты приливного цикла получена вертикальная структура поля солености вдоль оси Мессинского пролива. Определен характер динамики приливных течений над подводной горой.

7. Построена трехмерная модель приливной динамики Баренцева моря. Выполнен расчет и анализ вертикальной структуры приливной волны М2 в Баренцевом море. Выявлен характер ослабления динамической и турбулентной активности приливной динамики к востоку и к югу от основной амфидромик вблизи границы с Норвежским морем. Приведены характеристики зон повышенной активности на границе с Белым морем и в амфидромическом районе у о.Новая Земля. Построенная карта вращения приливных эллипсов показывает, что среднее по вертикали антициклоническое вращение превалирует по всему морю; в придонном метровом слое циклоническое вращение выражено гораздо сильнее, занимая всю южную часть моря и площадь, примыкающую к о.Новая Земля.

Резюме. В рамках подхода, использующего переход к согласованным координатам для решения краевых задач, развиты элементы метода, повышающие его устойчивость, точность ж приложимость. Выполнено подробное моделирование различных аспектов двумерной и трехмерной приливной динамики в областях сложной конфигурации.

Содержание диссертации изложено в работах:

1. Androsov A.A. Tidal oscillations in the strait of Messina

Atmospheres, Hydrospheres and Space Sciences ANAALES GEOPHYSICAE part II Oceans, Atmosphere, Hydrology and Nonlinear Geophysics Supplement 11 to Volume 10. - 1992. - P.187.

2. Андросов А.А., Вольцингер Н.Е., Каган Б.А., Салусти Э.С. Остаточная приливная циркуляция в Мессинском проливе//Изв. РАН, ФАО. - 1993. -т.29, N 4. - С.543-552.

3. Androsov A.A., Kagan В.A., Voltzinger N.E. Modelling the Odysseus' Passage Between Scylla and Charybdis// Ocean Modelling, issue 104. - September 1994. - P.7-11.

4. Андросов А,А., Вольцингер Н.Б., Каган Б.А., Салусти Э.С. Мессинские вихри в настоящем и прошлом//Изв. РАН, ФАО. - 1995. - т.31, N 5. -С.679-691.

5. Androsov A.A., Kagan В.A., Liberman Y.M., Voltzinger N.E. Global and Regional Tidal Interaction//Res. Activ. in Atm. Ocean, model. - 1995. - v.21 Jan. - P.8.3.

6. Androsov A.A., Klevanny K.A., Salusti E.S. and Voltzinger N.E. Open boundary conditions for horizontal 2-D curvilinear-grid long-wave dynamics of a strait//Advances in Water Resources. - 1995. - v.18. - P.267-27G.

7. Androsov A.A., Liberman Y.M., Voltzinger N.E. Computation of the three dimensional tidal currents on the Arctic Shelf// Res. Activ. in Atm. Ocean, model. - 199G. - v.23.

8. Androsov A.A., Salusti E.S., Voltzinger N.E. Modelling of the tidal dynamics of the Strait of Messina// Res. Activ. in Atm. Ocean, model. - 1997. - v.25.

9. Андросов А.А., Вольдингер H.E., Либерман Ю.М. Двумерная приливная модель Баренцева моря.//Океанология - 1997. - т.37, N 1. - С.20-26.

10. Androsov А.А., Liberman Y.M., Nekrasov A.V., Romanenkov D.A. and Voltzinger N.E. Numerical Study of the M2 Tide on the North Siberian Shelf (принята для публикации в журнале Continental Shelf Research.) - 1997.

11. Андросов А. А., Вольцингер H.E., Либерман Ю.М. Расчет трехмерной приливной динамики//Изв. РАН, ФАО. - 1998. - т.34, N 1. - С.78-89.

Лицензия на издательскую деятельность ЛР №065367 от 22.08.97

Подписано в печать 24.04.98

Отпечатано в типографии «Пресс-Атташе» с готового оригинал макета. 191002, Санкт-Петербург, Разъезжая ул, 12, тел. (812) 113-3189

Формат 210x148,5. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Заказ № 5. Тираж 100 экз.

Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ФИЛИАЛ ИНСТИТУТА ОКЕАНОЛОГИИ им. П.П. ШИРШОВА, РАН

На правах рукописи

АНДРОСОВ АЛЕКСЕЙ АНАТОЛЬЕВИЧ

УДК 551.465:551.468

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИЛИВНОЙ ДИНАМИКИ В СОГЛАСОВАННЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ

КООРДИНАТАХ

05.13.18 - "Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ"

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1998

Содержание

Введение 4

1 Двумерная баротропная модель приливной динамики. 12

1.1 Постановка задачи в декартовых координатах ... 12

1.2 Постановка задачи в согласованных криволинейных координатах .................... 14

1.3 Численный метод решения краевой задачи в согласованных криволинейных координатах ........18

2 Приливная динамика Мессинского пролива. 24

Введение

2.1 Анализ модели: численные эксперименты......30

2.2 Физические результаты.................38

3. Приливная динамика волны М2 на Восточно - Сибирском шельфе. 53

Введение

3.1 Оценка точности модели; численные эксперименты 56

3.2 Основные физические результаты...........61

4 Моделирование приливов в произвольной трехмерной области. 67

4.1 Постановка задачи в декартовых координатах ... 67

4.2 Постановка задачи в согласованных криволинейных координатах .................... 71

4.3 Баротропная задача...................75

4.4 Численный метод....................77

5 Приложения трехмерной модели. 83

5.1 Трехмерная баротропная модель Баренцева моря . . 83

5.2 Трехмерная модель Мессинского пролива......99

5.2.1 Баротропная модель Мессинского пролива . 101

5.2.2 Бароклинная модель Мессинского пролива . 108

Выводы 112

Библиографический список использованной литературы

116

Введение

Метод согласованных криволинейных координат. Одним из современных направлений в вычислительной гидродинамике, имеющим широкую сферу приложений, является численное решение краевых задач в произвольных областях с криволинейной границей при использовании такой системы координат, когда координатные линии (в трехмерном случае - поверхности) совпадают с сегментами границы. Целесообразность перехода к криволинейным координатам, согласованным с конфигурацией области (согласованным криволинейным координатам) определяется тем, насколько неприемлема погрешность аппроксимации области при ее обычном кусочно-линейном представлении.

Для двумерной области О с границей dU переход к согласованным криволинейным координатам задает отображение области на параметрический прямоугольник О,* (в трехмерном случае - на параллелепипед). Уравнения в криволинейных координатах численно интегрируются в Q* с граничными условиями на контуре прямоугольника (гранях параллелепипеда) <90*. Тип краевой задачи при этом не меняется и некоторое усложнение уравнений, коэффициенты которых включают элементы метрики, оказывается, вообще говоря, несопоставимым с упрощениями, вытекающими из канонизации области. В этом заключается привлекательность использования согласованных криволинейных координат, и такой подход оказался весьма эффективным для решения краевых задач в областях сложной конфигурации (Годунов и др., 1976; Thompson et al., 1985).

При обычной кусочно-линейной аппроксимации границы области отрезками, параллельными осям координат, наиболее существенна погрешность, возникающая в силу искажения краевого условия на твердом, непроницаемом, контуре, поскольку условие равенства ну-

лю нормальной к границе скорости заменяется на нулевую компоненту скорости, нормальную к одному из координатных направлений. В случае достаточно высокой изменчивости граничного контура частое изменение направления отрезков границы и связанное с этим альтернирование формы граничного условия ведет к погрешностям решения в приграничной зоне, наиболее важной для приложений (Weare, 1979; Pedersen, 1986). Другой источник погрешности при таком способе аппроксимации границы непосредственно связан с искажением граничной метрики и неустраним при дроблении сетки (Goto and Shuto, 1981). К наиболее существенным преимуществам использования согласованных криволинейных координат следует отнести также возможность использования неравномерной криволинейной сетки, сгущающейся там, где это целесообразно по смыслу задачи.

Реализация метода согласованных криволинейных координат состоит, таким образом, из двух процедур: построения криволинейной сетки, адаптированной к области, а также, возможно, к характеру решения и численному решению уравнений на такой сетке. Океанологические краевые задачи яляются естественной сферой приложения этого подхода в силу произвольной, подчас весьма сложной, конфигурации моделируемых акваторий.

Обзор. Построение системы координат, в которой некоторые координатные линии (поверхности) совпадают с каждым сегментом границы можно осуществить многими различными способами. Наиболее распространены методы генерирования криволинейных сеток путем численного решения системы квазилинейных эллиптических уравнений, для которых на границе области задаются декартовы координаты точек. Использование эллиптических уравнений обеспечивает равномерное распределение узлов сетки; при определенных ограничениях на правые части, контролирующие распределение узлов,

эти уравнения гарантируют однозначное отображение криволинейной сетки Од, построенной в физической области О на равномерную прямоугольную сетку Од. Рассмотрение методов построения криволинейных сеток путем решения эллиптической граничной задачи, наряду с другими методами и обсуждение связанной с этим проблематики представлено в обзорной статье Томпсона (Thompson, 1984).

Первой океанологической работой, в которой с необходимой подробностью рассмотрено построение криволинейной сетки в заданной области и преобразование нелинейных уравнений мелкой воды к криволинейным координатам, связанным с границей области, явилась, повидимому, статья Джонсона в обширном сборнике разнообразных приложений метода (Johnson, 1982). Последующие работы в двумерной постановке имели характер освоения и проверки метода при использовании аналитических решений линейных уравнений в канонической области (кольцо, круг), численно отображаемой на прямоугольник (Haeuser et al., 1985; Raghunath et al., 1987). Вместе с тем метод начинает находить расширяющееся применение для изучения и моделирования приливов, морских наводнений и других процессов в реальных условиях (Spaulding, 1984; Willemse et al., 1986; Borthwick, Barber, 1992). В этих работах переход к криволинейным координатам, согласованным с границей области, выполняется так, что в интегрируемых уравнениях вектор скорости сохраняет свое первоначальное, декартово, представление. Численная реализация использует неявную или полунеявную схему второго порядка точности с расщеплением по координатным направлениям. Структура таких методов при аналогичном представлении уравнений уже ранее получила широкое применение в вычислительной аэродинамике (Beam, Warming, 1976; Pulliam, 1985). Другая формулировка краевой задачи в согласованных криволинейных координатах предложена Деми-

ровым (1980), выполнившим моделирование приливов и штормовых нагонов в Черном море при записи уравнений в ковариантной форме и их численной реализации, использующей расщепление и итерационный процесс. Характерной чертой еще одного направления в океанологическом моделировании является постановка краевых задач в форме контравариантных потоков (Сеин, 1992; Klevanny et al., 1994; Андросов и др. 1995, 1996; Романенков, 1996). Способы построения криволинейных сеток, алгоритмы решения уравнений в таком представлении и разнообразные приложения метода для моделирования океанологических процессов в прибрежной зоне рассмотрены в монографии Вольцингера и др., 1989.

Ко второй половине восьмидесятых годов, по мере утверждения и распространения двумерных моделей расчета длинноволновых процессов в согласованных координатах, относится появление работ по решению этих и близких задач в трехмерной постановке. Общей чертой предложенных алгоритмов численной реализации трехмерных задач является использование такой замены переменных, когда горизонтальные независимые переменные преобразуются в соответствии с конфигурацией боковой поверхности заданной области, следуя методологии двумерного моделирования, а в качестве вертикальной принимается <7-координата, спрямляющая дно и свободную поверхность (Вольцингер, Клеванный, 1987; Sheng, 1988; Swanson et al., 1989; Mendelsohn, Swanson, 1992). Такое же разделенное преобразование используется в негидростатической мезомасштабной модели океана, разработанной Олигером (Mahadevan et al., 1996). Выделим также работу Сонга и Хаидвогеля (Song, Haidvogel, 1994), в которой для расчета прибрежного Калифорнийского течения и суточного температурного цикла в верхнем слое океана используется согласованная с береговой линией ортогональная сетка и предложено

обобщение cr-координаты, дающее наилучшее, в некотором смысле, разрешение в поверхностном слое, независимо от больших перепадов глубины; конструкция полунеявного метода состоит из аппроксимации Кранка-Николсона для производных по вертикали и явной аппроксимации горизонтальной адвекции по схеме Адамса-Бэшфорта третьего порядка точности.

Приведенный обзор не полон, однако список работ достаточно представителен и вряд ли может быть существенно расширен. Перечень невелик, и это кажется удивительным, учитывая возможности обсуждаемого подхода, о которых говорилось выше. Можно предположить - и это действительно так - что в ряде случаев использование метода согласованных криволинейных координат сталкивается с трудностями, мешающими широкому его распространению. Очевидный характер этих трудностей связан с тем, что только на равномерной сетке поведение ошибки аппроксимации определяется величиной шага сетки. На типичной неравномерной сетке возникает иная ситуация: при ее сгущении ошибка аппроксимации уменьшается только, если поддерживается распределение узлов, существовавшее на более грубой сетке. Случайное распределение дополнительных узлов может и не сохранять точность схемы (Hoffman, 1982). Дело в том, что неравномерная сетка вводит дополнительную диффузию с коэффициентом, зависящим от метрики. В случае отрицательного коэффициента численная вязкость ведет к локальному росту возмущений. Сравнение нескольких схем в согласованных координатах, выполненное в работе Shyy et al., 1985, показало, что структура сетки оказывается столь же существенной как и выбор самой схемы. В самой общей форме можно сказать, что противоречия между основными требованиями к любому численному методу при переходе к согласованным координатам выступают особенно обостренно и дополняются трудностями

применения универсального метода к особенностям конкретной задачи. Метод согласованных криволинейных координат разрабатывался для решения широкого круга многомерных нелинейных краевых задач в произвольной, возможно неодносвязной, области как с фиксированной, так и подвижной границей. Сложность этих задач возрастает при описании природных процессов. Понятно, что при отказе от упрощающих идеализаций успешное решение таких задач целиком связано с технологическим уровнем используемого подхода. В этом отношении мы находимся в начале пути. Свидетельством продвижения могли бы служить самые общие результаты, относящиеся прежде всего к сравнительной оценке основных форм представления преобразованных уравнений и методов их численной реализации, обеспечивающих необходимую точность сохранения инвариантов дифференциальной задачи.

Это - работа будущего. Для ее выполнения требуется развитие элементов метода и оценка его применения для решения усложненных задач. Представляемая диссертация является шагом в таком направлении.

Цель работы.

1. Разработка эффективной и надежной модификации метода согласованных криволинейных координат для повышения устойчивости схемы и обеспечения приемлемой точности расчета приливной динамики и ее энергетического бюджета в сложной области.

2. Постановка и численная реализация нелинейной краевой задачи для уравнений мелкой воды в форме контравариантных потоков при корректной постановке граничных условий на участках открытого контура.

3. Разработка метода решения трехмерной нелинейной краевой задачи в области с резким изменением морфометрии.

4. Расчет двумерной и трехмерной приливной динамики Мессинс-кого пролива (Средиземное море).

5. Расчет приливной динамики Баренцева моря, Восточно - Сибирского шельфа и примыкающей глубоководной зоны.

Содержание работы. Работа состоит из Введения, пяти глав и Заключения.

Во Введении дается характеристика метода согласованных криволинейных координат, обосновывается актуальность работы, формулируются ее цели и резюмируется содержание глав.

В первой главе рассматривается постановка двумерной краевой задачи для расчета динамики и энергетики приливов в криволинейных согласованных координатах. Основное внимание уделяется корректной постановке условий на открытой границе. Обсуждается алгоритм численной реализации краевой задачи для уравнений в форме контравариантных потоков. Приводится уравнение баланса приливной энергии и его разностный аналог.

Во второй главе представленная модель применяется для расчета приливной динамики Мессинского пролива. Точность расчета проверяется сопоставлением результатов на детализированной криволинейной сетке, сравнением с данными наблюдений и контролем за выполнением баланса приливной энергии. Определяется сравнительная точность решения краевой задачи в корректной и редуцированной постановках. Анализируются основные факторы, определяющие интенсивную динамику пролива. Приводятся результаты расчета приливных карт, течений, индуцированных полусуточной гармоникой М2 и совокупностью гармоник, полей завихренности и остаточной цирку-

ляции.

В третьей главе представлена приливная модель ВосточноСибирского шельфа. Расчеты выполнены на криволинейной сетке со значительной вариацией степени сеточного разрешения. Сходимость решения проверяется интегрированием уравнений на детализированной сетке. Построенная приливная карта волны Мг выявляет цепочку прибрежных амфидромий, интерпретируемых как результат взаимодействия встречных волн Пуанкаре. Представлен анализ энергетики шельфа и отдельных его зон.

В четвертой главе рассматривается трехмерная краевая задача в криволинейных горизонтальных координатах, согласованных с конфигурацией акватории и сг-координатой по вертикали. Турбулентное замыкание использует Ь — I схему. Приводится численный алгоритм разработанный для решения трехмерной краевой задачи в области с резким изменением метрики и батиметрии.

В пятой глав е предложенная трехмерная модель применяется для расчета баротропной и бароклинной приливной динамики Мессинс-кого пролива и баротропной динамики Баренцева моря. Приводятся результаты расчета и анализа вертикальной структуры приливной волны М-2 в Баренцевом море и Мессинском проливе.

1 Двумерная баротропная модель приливной динамики.

1.1 Постановка задачи в декартовых координатах

Гиперболические уравнения мелкой воды. Рассмотрим начально -краевую задачу для вертикально - осредненных уравнений мелкой воды в декартовых координатах (Каган, 1968):

ut + Аих + Виу = ¥, х, у £ О, t > О

(1.1)

(u 1 / и 0 д) / V 0 о\

U = V , А = 0 и 0 ,в = 0 V 9

0 и) ,0 н V )

F =

/ / \ V

\~UJ

V

rii_1|v|v + gVh

О

где (гг,г>) = у-вектор скорости, Н = /г + С, /г-глубина, ("-уровень, V = (д/дх,д/ду), ^-ускорение свободного падения, ¿-параметр Кориоли-са, г - коэффициент придонного трения, ^-область с контуром <90. На твердой границе контура, <901, имеем:

v„|öii!=0, (1.2)

где г!„-скорость, нормальная к <901. Постановка граничных условий на открытой границе рассматривалась рядом авторов (Lax, Phillips, 1969; Kreiss, 1970; Öliger, Sundström, 1978). Так, для системы (1.1) корректными условиями на открытой границе <902? соответственно на втоке и на вытоке, будут, например, следующие:

bJi = vn- \fgjh( = 71, VT = 72, для vn < 0

(1.3)

W2 = vn- y/gJhC = 7з, для vn > 0

где vn — v • n, n-внешняя нормаль к границе 80,2-, ^г~скорость, касательная к Функция 7г (г = 1,2,3) содержит инвариант, отвечающий приходящей к границе характеристике. Так, в точках вто-ка, например, граничной линии у = 0, инвариант u>i = v + yfg/hC и характеристическая скорость и определяются через инвариант о>2 = v — yg/h(] на вытоке инвариант и>2 должен быть определен через и и. Простейшая связь между инвариантами записывается в виде:

=■ ±0^2 + и граничные условия могут быть сформулированы для С и для v отдельно. Этот случай обычно и используется в практических расчетах, хотя при такой постановке задачи могут возникнуть вычислительные трудности (Elvius and Sundstrom, 1978).

Задание начального условия u|i=o — завершает постановку задачи.

Интеграл энергии. Умножая уравнение движения на vH, а уравнение нер