автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости в областях с подвижными границами

На правах рукописи

Винников Владимир Владимирович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ОБЛАСТЯХ С ПОДВИЖНЫМИ

ГРАНИЦАМИ

Специальность: 05.13.18 - "Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ"

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре Вычислительной математики и программирования Московского авиационного института (государственного технического университета)

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Ревизников Дмитрий Леонидович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Черкасов Сергей Гелиевич

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Артемов Валерий Иванович

Ведущая организация - Институт математического моделирования РАН

Защжа состоится__октября 2005 года в_часов на заседании диссертационного совета Д212.125.04 при Московском авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу 125993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского авиационного института.

Автореферат разослан "/2 " сентября 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д212.125.04, у

кандидат физико-математических наук,

доцент Ратаи ина М В

4(э ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Актуальность темы исследования обусловлена возрастающими требованиями к точности моделирования гидродинамических течений в технических приложениях и современном естествознании. Принципиальным моментом при построении математических моделей становится учет сложного поведения границ исследуемой области в ходе протекающих процессов. Разработка эффективных методов численного расчета течений жидкости в сложных областях представляет огромный практический интерес, что вызвано высокой сложностью получения достоверных результатов при проведении натурных экспериментов.

Цель работы.

1. Анализ современных численных методов решения уравнений в частных производных в областях с криволинейными и подвижными границами и выработка подходов к решению рассматриваемого класса задач с использованием прямоугольных сеток.

2. Разработка эффективных вычислительных алгоритмов для решения уравнений Навье-Стокса в областях с криволинейными границами на прямоугольных сетках.

3. Модификация алгоритмов для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости в областях с подвижными криволинейными границами.

4. Реализация семейства методов в виде комплекса алгоритмов и программ.

5. Изучение характерных свойств семейства методов на ряде тестовых задач, имеющих эталонное численное или аналитическое решение.

Научная новизна. Предложен неявный метод погруженной границы с фиктивными ячейками для численного решения уравнений математической физики в областях с криволинейными фаницами, позволяющий осуществлять решение широкого класса задач на прямоугольных' " 'ение свойств

метода на модельных задачах диффузии, конвекции-диффузии, а также на задаче с подвижным криволинейным фронтом фазового перехода. Качество метода подтверждено хорошим согласованием результатов численных расчетов с аналитическими решениями и решениями, полученными на адаптивных сетках с помощью преобразований координат.

На основе неявного метода погруженной границы с фиктивными ячейками разработан алгоритм решения уравнений Навье-Стокса в областях с криволинейными границами на прямоугольных совмещенных сетках. Показано хорошее согласование результатов расчетов с высокоточным решением, полученным на адаптивных сетках.

Проведена модификация предложенного алгоритма для решения задач о течении вязкой несжимаемой жидкости в областях с подвижными границами. Получено решение задач о течении в восходящей аорте и о течении в сосуде со стенозом.

Достоверность результатов диссертационной работы подтверждена хорошим согласованием результатов тестовых расчетов с известными аналитическими и численными решениями.

Практическая ценность. Разработанный комплекс алгоритмов и программ позволяет проводить численное решение широкого класса задач математической физики с учетом сложной геометрии и подвижности границ исследуемой области. Полученные результаты могут использоваться при исследовании гидродинамических течений в авиационной и ракетно-космической технике, машиностроении, теплоэнергетике, медицинских приложениях.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на: семинаре кафедры «Вычислительная математика и программирование» под руководством чл.-корр РАН, профессора Пирумова У.Г , на IV и V международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и

струях (ЫР№) (Санкт-Петербург, 2002, Самара, 2004), XIX международном семинаре по струйным, отрывным и нестационарным течениям (Санкт-Петербург, 2002), на XII и XIV международных конференциях «Вычислительная механика и современные прикладные программные системы» (ВМСППС) (Владимир, 2003, Алушта, 2005).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [18].

Структура н объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 102 наименований. Работа изложена на 119 страницах, содержит 3 таблицы и 57 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введеиин приведено обоснование актуальности темы диссертационной работы, а также кратко излагается структура и содержание диссертации.

В первой главе дан обзор литературы, посвященной решению задач гидродинамики и теплопереноса в областях с криволинейными границами на прямоугольных сетках. Освещаются проблемы, связанные с нахождением полей скорости и давления и постановкой краевых условий на границах при решении уравнений Навье-Стокса в приближении вязкой несжимаемой жидкости. Рассматриваются известные методы согласования полей скоростей и давления. Приводятся различные способы аппроксимации краевых условий на криволинейной границе, например, такие как метод ступенчатого представления границы, метод скошенных ячеек, метод разностных потенциалов и метод погруженной границы. Освещаются различные подходы к решению задач с подвижной границей, в том числе методы определения положения границы фазового перехода в задачах Стефана.

Во второй главе предлагается неявный метод погруженной границы для решения уравнений математической физики в областях с криволинейными и подвижными границами на прямоугольных сетках. Основная идея метода заключа-

ется в аппроксимации краевых условии

п8и аи + р -у

дп

(О

на прямоугольных сетках для границы, не совпадающей с сеточными линиями.

Предлагаемый метод является развитием явного метода погруженной границы (Tseng Y.H, Ferziger J Н A ghost-cell immersed boundary method for flow in complex geometry. // J. Сотр. Phys., 2003, 192, pp. 593-623), в котором для получения конечно-разностных соотношений, приближающих краевые условия (1), применяется процедура билинейной интерполяции.

Рис.1. Узлы сетки, необходимые для аппроксимации краевых условий в точке(хи,у0)

В настоящей работе неявные линейные соотношения, связывающие значения искомой сеточной функции ии в двух приграничных (х1,у!),(хг,у1) и °Д~ ном фиктивном узле (х0,у0), строятся таким образом, чтобы в точке (х,,,у,,) на границе (см. рис.1) выполнялось краевое условие (1):

[а(1 *„ у0)+/)(0 -бшИ созИ)]в-|« = 7, (2)

где

О - угол наклона касательной к границе в точке (х0,у0),

1 Л'. ^ V

в = 1 дг2 У 2 ■ «- »2

1.1 *„ Уо.

Свойства метода изучались на модельных задачах диффузии и конвекции-диффузии, а также на задаче Стефана с подвижной границей фазового перехода.

Уравнения, описывающие процессы диффузии и конвекции-диффузии, решаются в секторе кольца. Расчетная область, представленная на рис.2, покрывается равномерной прямоугольной сеткой, на которой выполняется дискретизация соответствующих уравнений математической физики по компактному шаблону.

у

о , . , . . . . х

Рис.2. Покрытие прямоугольной сеткой расчетной области с криволинейной границей

Недостающие линейные уравнения для СЛАУ с пятидиагональной матрицей получаются путем аппроксимации краевых условий вида (1) выражениями (2),(3).

Для ряда случаев модельные задачи имеют аналитические решения. При использовании на всех границах краевых условий третьего рода с произвольными коэффициентами в качестве эталона выступает численное решение в цилиндрической системе координат. Примеры решения модельных задач диффузии и конвекции-диффузии на прямоугольных сетках методом погруженной границы представлены на рис.3, 4.

Численное решение задач диффузии и конвекции-диффузии проводилось на прямоугольных сетках с числом узлов от 10x10 до 150x150 включительно. На рис.3, 4 видно хорошее согласование результатов, полученных неявным методом погруженной границы, с эталонными решениями даже при расчетах на грубой сетке. Результаты расчетов показали, что для данной геометрической

области метод погруженной границы обладает свойством сверхлинейной сходимости.

Аналитическое решение сечение (х=0 3) • * Решение методом погруженной границы

Аналитическое решение сечение (х=0 3) • Решение методом погруженной границы

Рис.З. Решение задачи диффузии в секторе Рнс.4. Решение задачи конвекции-диффузии кольца на сетке 20x20 в секторе кольца на сегке 20x20

В качестве модельной задачи с подвижной границей была выбрана задача Стефана, описывающая затвердевание расплава в окрестности стенки осесим-метричной трубы при подаче внутрь охладителя (см. рис.5). Постановка данной задачи и метод решения на адаптивных сетках были даны в работе (Hsu C.F., Sparrow ЕМ, Patankar S.V Numerical Solution of Moving Boundary Problems by Boundary Immobilization and a Control-Volume-Based Finite-Difference Scheme. // Int. J. Heat Mass Transfer, Vol. 24, No. 8, pp. 1335-1343, 1981), а результаты расчетов представлены в работе (Sparrow Е.М, Patankar S.V. Analysis Of Two-dimensional Freezing on the Outside of a Coolant-carding Tube // Int J Heat Mass Transfer, Vol. 24, No. 8, pp. 1345-1357, 1981). Поскольку геометрия границы априори неизвестна, положение фронта фазового перехода итерационно определяется на каждом временном шаге до выполнения условия энергетического баланса между твердой и жидкой фазами вещества Для дискретизации уравнения энергии в цилиндрической системе координат на прямоутльной сетке используется полностью неявная разностная схема Аппроксимация краевых условий на подвижном криволинейном фронте фазового перехода выполняется методом погруженной границы (2),(3). Расчеты производились в широком диапазоне характерных параметров задачи Примеры результатов расчетов представлены на рис.6, 7.

АДИАБАТИЧЕСКАЯ

ЖИДКОСТЬ (

т-т*

*

, ПОДВИЖНАЯ

ГРАНИЦА

т-т* /

твердое '

^вещество

АДИАБАТИЧЕСКАЯ

» 1 = 001

I - 0 026

-л 1 = 005

•г .•01

. = 02

опа а о * . = 0 237

во 100

0 Т,

Рис.5. Схема затвердевания Рис.6. Положение подвижной границы фронта фазового перерасплава на трубе хода в разные моменты времени

г= 0 01 —»- г= 0 025

г= 0 05,-» г= 0 1

г= 0 2 * г= 0 237

Решение на прямоугольных сетках

ь ь

» о

ь Ь

г, (г =50)

Рис.7. Радиальные сечения поля безразмерных температур в различные моменты времени

При решении сопряженной задачи с подвижным фронтом фазового перехода неявный метод погруженной границы показал хорошее согласование положения границы и распределения температур твердой фазы с эталонным решением, полученным на адаптивных сетках.

В третьей главе приводится модификация неявного метода погруженной границы для решения уравнений Навье-Стокса в областях с криволинейными границами.

Двумерное течение вязкой несжимаемой жидкости в декартовой системе координат описывается уравнениями движения и уравнением неразрывности в безразмерном виде:

ди ди ди дР 1 [ д2и д2и

+и +v =- + +

dt дх ду дх Re^otx:2 ду2

dv dv dv дР I (d2v d2v

+ u +v = - + ,+ I,

dl дх ду ду Re (дх ду2 J

ди dv . + =0, дх ду

(5)

(6)

где и и у безразмерные компоненты вектора скорости, Р безразмерное поле давления, Яе-число Рейнольдса.

Уравнения (4)-(6) рассматриваются в расчетной области с кусочно-гладкими криволинейными границами. Для переменных и и V краевые условия могут быть записаны в обобщенном виде:

и „а ди и г nv dv ,/ а -и + р =у , a v + р =у .

(7)

дп дп

Расчетная область покрывается однородной по каждому из направлений сеткой с шагами ¿7,8х, 5у. Дискретный аналог уравнения (4) во внутренних узлах записывается в виде:

«С2-«'у 1

St

Re

к>\2 _ 2ик*П + ut*V2 „Щ 2 _ ,„i.W х „Ч 1<2

&2

,к<12 _кЦ2

Sx

Ч ,,к ч + Ui 12!

&

„ С?-С i

/к I J->l ' 1 + у к

I Jtl/2

ду

J 1/2

2 С + иГ* Ъ2

2 Sx

(8)

Уравнение (5) приводится к конечно-разностной форме аналогичным образом:

vi;u-v,\_ 1

St Re

Sx

&2

V"l J V< 1 , " ) ' ' J

Sx

k-»12 i+1 2

»♦12 _ HI 2 V----V

(/' , " +vl " "

Sy "" Sy

Sy2

nк _ pk г, 1.1 i j I

2«»

(9)

В работе использовались различные способы согласования полей скоростей и давления, такие как SIMPLE и SIMPLER (Патанкар С Численные ме-

тоды решения задач теплообмена и динамики жидкости. - М.: Энергоатомиз-дат, 1984. - 152 е.), а также варианты метода проекций. На основе сравнения результатов расчетов, полученных на разнесенных и на совмещенных сетках, был сделан вывод о том, что наилучшие результаты достигаются при использовании метода погруженной границы в сочетании с методом проекций на совмещенных сетках.

Поле давления, для которого удовлетворяется уравнение неразрывности, находится проекционным методом на совмещенных сетках ( Rhie С.M., Chow W.L. A numerical study of the turbulent flow past an airfoil with trailing edge separation. // AIAA J. - 1983, v. 21, N 11, pp. 1525-1532 ). Предполагая поля скорости и давления известными на к-ом шаге, полный шаг по времени проекционного метода можно записать в следующем виде:

1. Определить промежуточное поле скорости из уравнений движения (8),(9).

2. Найти скорости ик*'2,Ук*'2 на соответствующих гранях каждой ячейки.

3. Решить уравнение Пуассона для поправки давления г'.

4. Уточнить давление Р : Pktl =Рк +Р'.

5. Произвести поправки скоростей. Получить и*4',И*1 и uki\Vk*.

6. Перейти на следующий временной шаг.

Для внутренних узлов разностное уравнение Пуассона записывается с использованием пятиточечного шаблона:

Замыкающие соотношения для системы уравнений (10) представляют собой дискретизованные граничные условия для уравнения Пуассона. Аппроксимация краевых условий на криволинейной границе выполняется согласно выражениям (2)-(3). Исходя из смысла поправки давления, в качестве краевых условий используются однородные условия Неймана, а для обеспечения единственности решения на одной или нескольких точках границы ставится однородное условие Дирихле.

Sx1

Р' -2Р' + Р' 1 (uk,V2 -и1*'2 V1

'! , 1 1 12/_ '"I ' / + '

Sy2 &I Sx

(10)

После решения конечно-разностного уравнения Пуассона (10), производится корректировка значений скорости в центрах ячеек и на гранях, согласно работе (Ye Т, Mittal R, Udaykwnar HS, Shyy W An Accurate Cartesian Grid Method for Viscous Incompressible Flows with Complex Immersed Boundaries. // J. Сотр. Phys. - 1999, v. 156, pp. 209-240):

«i;1 = u^2 - о 5 si (/>,;, ,-p;u)sx, = «,<;'2 - 05 s, (p;iti -p;Jt)sy, (11)

, = <C2y - s, (с / - e;,) sx, c. 2 = C. > - {p;Jtl - p;, )sy. (12)

Для решения СЛАУ (8),(9),(10) на каждом временном шаге использовался метод стабилизированных бисопряженных градиентов BiCGStab (Saad Y Iterative Methods for Sparse Linear Systems, PWS Publishing Company, Boston, 1996).

Алгоритм проверялся на тестовых задачах о течении в плоском канале, о течении в каверне с движущейся крышкой и задача о течении за обратным уступом.

В качестве задачи с криволинейной границей рассматривалась задача о течении в диффузоре, предложенная в работе (Roache P. Scaling of High Reynolds Number Weakly Separated Channel Flows. // Proceedings Symposium on Numerical and Physical Aspects of Aerodynamics Flows, California State University at Long Beach, 19-21 January 1981, pp. 87-98). Криволинейная граница области задавалась функцией:

1;(*)=10-0 5 [tanh(2-30 * Re)-tanh(2)]. (13)

—1—I-1-.—I—I—1—._1—I—1—I-1

00 02 04 06 06 10 12

X / ( Ре/З )

Рис.8. Диффузор с криволинейной границей

Для расчетной области, представленной на рис.8, использовались следующие краевые условия: на входе в канал (* = 0) задавался параболический профиль продольной составляющей скорости и нулевое значение поперечной составляющей:

=3-{Cv-l)-(y~l)2 2)v, =0 (14)

На верхней стенке (у = Г, (*)) заданы условия, следующие из условий при-

липания и непротекания:

«„ = М, =о

Нижняя граница (у = 0) является линией симметрии:

= 0,^=0

ди ду

(15)

(16)

На выходе из канала (х = Ке з) для продольной составляющей скорости задано однородное краевое условие второго рода, для поперечной составляющей - нулевое значение:

ди дх

:0,v|Ä=0

(17)

Для конечно-разностного уравнения Пуассона поставлены краевые условия Неймана, за исключением выхода из области, где течение предполагается полностью развитым течением Пуазейля, а поправка давления приравнивается нулю.

дР'

дР' дх

= о,г| =о,а/"

I« ду

= 0,

= 0

(18)

Расчеты выполнялись для двух значений числа Рейнольдса: Re = 10 и Re = 100. Вычисления производились на сетках от 10x10 до 90x90 включительно. Задача решалась методом установления. В качестве эталона использовалось распределение давления на стенке диффузора, приведенное в (Cliffe К А , Jackson СР., Greenfield A G. Finite Element Solutions for Flow in a Symmetric Channel with Smooth Expansion. // AERE-R. - 1982, N 10608). Распределения давления на криволинейной стенке, полученные на равномерных сетках 20x20, 40x40 и 80x80, а также эталонное распределение давления (CJG), представлены на рис.9 и 10 для чисел Рейнольдса 10 и 100 соответственно

0 о о-о о о о

Сетка 20x20 Сетка 40x40 Сетка 80x80 О Этапом (С^)

Рнс.9. Распределение давления на стенке диффузора при Яе = 10

-е^

6

/

•о

ОООООООО

Сетка 20x20 Сетка 40x40 Сетка 80x80 о Эталон (С.Ю)

10 I Р.-РГ „ГЛ! 211 р,-р. /л

/-2 Р, .-12 Р, 1.

Рис.10. Распределение давления на стенке диффузора при 1*е = 100

Усредненное значение ошибки расчета давления на стенке относительно эталонного решения вычислялось по формуле 100%

ЕР = г 18

где р, - давление, полученное при помощи неявного метода погруженной границы с фиктивными ячейками; р(/'' - эталонное давление.

Зависимость ошибок е™ и от количества узлов расчетной сетки для данного метода (ОС-1ВМ) представлена на рис. 11, 12. На этих рисунках также приведены сравнительные данные для метода криволинейного контрольного объема (Васичьцов ГЛ, Крюков И А Численный метод решения уравнений На-вье-Стокса, описывающих течения несжимаемой вязкой жидкости, на коллока-

ционной криволинейной сетке. / Институт проблем механики РАН, Препринт №594, Москва, 1997).

■ Метод погруженной границы * Васильцое, Крюков

40 во

N

Рис.И. Зависимость ошибки с¡Г от числа узлов расчетной сетки Ие = 10

. ■ Метод погруженной границы

• Васильцое, Крюков

Рис.12. Зависимость ошибки г),00 от числа узлов расчетной сетки Яе = 100

В диссертационной работе было показано, что с измельчением сетки распределение давления и завихренности на стенке диффузора приближается к эталонным решениям. Данный метод показывает порядок точности по пространству, близкий к первому. Как и следовало ожидать, данный метод несколько уступает методу неортогонального криволинейного контрольного объема при сравнении значений ошибки распределения давления на стенке диффузора. Предложенный метод можно рассматривать как компромисс между простыми, но грубыми методами ступенчатой аппроксимации краевых условий на криволинейной границе и сложными высокоточными методами на адаптивных сетках. К преимуществам метода можно отнести относительную простоту реализации вычислительного алгоритма, возможность обобщения на трехмерные задачи и легкость распараллеливания алгоритма.

В четвертой главе предлагается модификация неявного метода погруженной границы для моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости в областях с подвижными границами.

Для моделирования течений в осесимметричном сосуде используются уравнения Навье-Стокса в размерном виде. Уравнения количества движения и уравнение неразрывности в цилиндрической системе координат имеют вид: ди ди ди 1 дР и(д2и д2и 1 ди

л. --I I I I I

+ и + у - =- + + ,+

д! дх дг р дх р\дх дг г дг

(19)

дv дv дv 1 дР и Э2у д1v 1 дv у )

— + и + у — = - + Н ,+ ,+ (20)

Ы дх дг р дг р\дх2 дг2 г дг г2) к '

2 + <21>

дх г дг

где и - осевая составляющая вектора скорости, у - радиальная составляющая вектора скорости, Р - поле давления.

Для расчета используются следующие физические свойства жидкости:

// = 0 04 г-см-с р = 1 00 г-см~3. (22)

Расчетная область представляет собой сосуд длиной Ь = 4 см и площадью

поперечного сечения ¡(р), определяемой выражением:

+ > <23>

где ра = 100 мм.рт.ст, =5 983 см2, /5 = 97кг-см 2-с~2. (24)

Уравнения (19)-(20) замыкаются следующими краевыми условиями:

ди

ди \ = 0, ди

\

дх\, дх

дv\ = 0, ду

дх\ дх

^ = =*Л4 дг

0, (25)

М, =М*И.=°. (26)

где \х(дг) - осевая составляющая скорости движения границы, а уг(х) радиальная составляющая скорости движения границы.

Краевые условия для уравнения Пуассона задаются как перепад давления на входе и выходе сосуда. Для краевых условий на оси и на подвижной стенке ставится однородное условие Неймана:

л = р,,М\ 1\ = рЛ11

(27)

В результате расчетов определялись нестационарные поля скорости и давления, а также геометрическая форма и положение подвижной стенки сосуда. На рис.13 приведены временные зависимости средней скорости в серединном сечении сосуда. При сравнении результатов с данными, приведенными в работе (Астрахшщева ЕВ, Гидаспов В Ю, РевизниковДЛ Математическое моделирование гемодинамики крупных кровеносных сосудов // Математическое Моделирование, 2005, т. 17, №8, с. 61-80) было отмечено хорошее согласование средней скорости, полученной при решении двумерной нестационарной задачи, с решением одномерной задачи. Профили продольной скорости в середине сосуда в разные моменты времени представлены на рис.14. На рис. 13,14 видно, что в интервалы, соответствующие диастолической фазе, появляются пристенные возвратные течения, которые развиваются в обратные течения по всему поперечному сечению сосуда.

150-1

О/З

-50-1-1-■-1-■-1-1-1-1-1-1-1

0 0 0 5 1 0 1 5 • Решение Ю задачи О ^ и

30

Решение 20 задачи равномерная сетка 100x30 Решение 20-задачи неравномерная сетка 100x30 Решение 20-задачи неравномерная сетка 100x60

Рис.13. Средняя продольная скорость в середине сосуда {х = 2 см)

00 01 02 03 04 OS Ов 07 00 09 10 11 12 13 14 15 00 01 02 03 04 01 06 07 00 09 10 11 12 13 14 15

00 01 02 03 04 05 ОБ 07 08 09 10 11 12 13 14 15 00 01 02 03 04 05 06 07 OB 09 10 11 12 13 14 15

00 01 02 03 04 05 06 07 00 09 10 11 12 13 14 15 00 01 02 03 04 05 06 07 00 09 10 11 12 13 14 15

О I .1 20

00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 00 01 02 03 04 05 06 07 00 09 10 11 12 13 14 15

Рис.14. Профили продольной скорости в серединном сечении сосуда (х = 2 см)

Далее рассматривается задача о течении вязкой несжимаемой жидкости в сосуде с податливой стенкой, толщина которой существенно зависит от положения на оси. Эта задача была предложена и решена в работе (Tang D., Yang С., Kobayashi S., Ки D.N. Experiment-based numerical simulation of unsteady viscous flow in stenotic collapsible tubes // Applied Numerical Mathematics, - 2001, №36, pp. 299-320) с использованием адаптивных сеток.

Расчетная область представлена на рис.15. Положение криволинейной границы при нулевом давлении задается выражениями:

R„(x)=/}„-S{x), (28)

т2

¿•м=

SA

1 - cos

2я{х - х,) (*2

s« = а'*""" Х!00%,

К

где /^,-0 4 см. - радиус постоянного участка сосуда,

(29)

(30)

(31)

- определяет начальную форму стенозного участка, (32)

х, = 3 2 см, дг = 4 8 см, (33)

- 80% - степень сокращения диаметра сосуда в стенозном участке (34) Для описания течения используются уравнения Навье-Стокса в размерном виде (19)-(21) для жидкости с физическими свойствами (22). Для уравнений движения ставятся краевые условия (25),(26). Течение жидкости вызывается перепадом давления на входе и выходе из сосуда. На входе в сосуд (х = 0) задается давление

где = 90 мм.рг.ст. - среднее давление на входе,

РШ1р = 20 мм.рт.ст. - амплитуда изменения давления. На выходе из сосуда (х = 8) устанавливается постоянное давление Рш, = 10 мм.рт.ст.

(35)

(36)

(37)

(38)

Рис.15. Сосуд с криволинейной i раницей при нулевом давлении

Характерной чертой этой задачи является наличие подвижной границы, которая сильно искривлена в окрестности стеноза. В работе (Liu В, Tang D А numerical simulation of viscous flows in collapsible tubes with stenoses // Applied Numerical Mathematics 2000, №32, pp. 87-101) поведение границы описывается нелинейными уравнениями динамики вязкоэластичных тонкостенных оболочек.

Для моделирования стенки сосуда используется закон Муни-Ривлина (Mooney-Rivlin), который в приложении к данной задаче имеет вид:

«ЦРЛ - Г,(2Л - 2Л *)+ DM2Я 2Л ^ + „ 1 М ,

Я 01

(39)

где Л = - коэффициент растяжения,

Н„(х) ~ толщина стенки сосуда,

С, =1 0х 105 динсм"2, £>, = 3800 динсм'2, Ог= 2 4,

(40)

(41)

(42)

// = 20000 - параметр вязкоэластичности. (43)

Стенка сосуда считается несжимаемой, поэтому для изменяющейся площади поперечного сечения сосуда справедливо равенство 2жК{х,1)и{х)= 2/г/?„ (*)/?„ (лг), где начальная толщина стенки задается выражением

/!(1(*) = 4х)+0 2. (44)

Вычисления производились на равномерной сетке 100x30. Расчет выполнялся на временном отрезке [о,2] сек. с шагом, равным Л = 001 сек. На рис.16 представлена геометрическая форма криволинейной подвижной границы, соответствующая двум значениям давления на входном сечении сосуда. Распределения поля давления на стенке показаны на рис.17.

{адаптивная сетка) Р= 110 Р = 70

(прямоугольная сетка) ж Р = 110 * Р = 70

Рис. 16. Положение криволинейной границы при разных значениях давления во входном сечении (л: = 0)

«ртсъ

(адаптивная сетка) Р = 110 Р = 70 (прямоугольная сетка) " Р = 110 • Р = 70

:

Рис. 17. Распределение поля давления вдоль подвижной стенки

Из рисунков видно, что положение подвижной стенки и распределение давления хорошо согласуются с решением, полученным на адаптивной се1ке

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

В ходе диссертационной работы были получены следующие результаты:

1. Разработан неявный метод погруженной границы с фиктивными ячейками для решения уравнений математической физики в областях с криволинейными границами, позволяющий осуществлять решение широкого класса задач на прямоугольных сетках.

2. Проведено изучение свойств предложенного метода на модельных задачах диффузии, конвекции-диффузии, а также задачи с подвижным криволинейным фронтом фазового перехода. Проведенный сравнительный анализ показал хорошее согласование результатов численных расчетов с аналитическими решениями и решениями, полученными на адаптивных сетках с помощью преобразования координат.

3. На основе неявного метода погруженной границы с фиктивными ячейками разработан алгоритм решения уравнений Навье-Стокса в областях с криволинейными границами на прямоугольных совмещенных сетках. Показано хорошее согласование результатов расчетов тестовых задач с высокоточным решением, полученным на адаптивных сетках.

4. Проведена модификация предложенного алгоритма для решения задач о течении вязкой несжимаемой жидкости в областях с подвижными границами. Получено решение задачи о течении в восходящей аорте. Показано хорошее согласование средней продольной скорости в сосуде с решением эквивалентной одномерной задачи. Проведены расчеты для задачи о течении в сосуде со стенозом Показано хорошее согласование расчетного положения границы и поля давления с решением задачи, полученным на адаптивных сетках

5. На основе разработанных алгоритмов создан комплекс программ по решению широкого класса задач математической физики в областях с подвижными криволинейными границами на прямоугольных сетках.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ванников В. В, Ревизников Д Л Численное решение задачи о затвердевании расплава в окрестности внешней стенки осесимметричной трубы с текущим внутри охладителем. / В тематическом сборнике "Будущее авиации и космонавтики 2002" - М.: Изд-во МАИ, 2002, с. 86-92.

2. Ванников В.В., Ревизников ДЛ. Комплекс программ для численного решения уравнений переноса в областях с подвижными границами // Тезисы докладов IV Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (№N.1-2002) / XIX Международного семинара по струйным, отрывным и нестационарным течениям, Санкт-Петербург, 24-28 июня 2002 г. - М.: Изд-во МАИ, 2002.-е. 132-133.

3. Ванников В. В. Дискретизация уравнений переноса в областях с криволинейными границами на разнесенных сетках // Тезисы докладов XII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, Владимир, 30 июня - 5 июля 2003 г. - М.: Изд-во МАИ, 2003. - с. 148.

4. Ванников ВВ., Ревизников Д Л. Неявный метод погруженной границы с фиктивными ячейками для решения задач о течении вязкой несжимаемой жидкости в сложных областях. // Электронный журнал Труды МАИ, -2004, №17.

5. Ванников В В, Ревизников ДЛ Применение метода погруженной границы для решения задач переноса // Тезисы докладов V Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (№N.1-2004), Самара, 5-10 июля 2004 г. - М.: Вузовская книга, 2004.-е. 56-57.

Винников В В, Ревитиков Д Л. Моделирование течений жидкости в областях с подвижными криволинейными границами // Материалы Четырнадцатой Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, Алушта, 25 - 31 мая 2005 г. - М.: Вузовская книга, 2005. - с. 99-100.

Винников В В, Ревизников ДЛ. Компьютерный практикум по численному решению задач математической физики в областях с криволинейными границами. // Сборник статей «информационные технологии и программирование», Выпуск 1 (13), Москва, МГИУ, 2005, с. 5-20. Винников ВВ., Ревизников Д Л Применение декартовых сеток для решения уравнений Навье-Стокса в областях с криволинейными границами. // Математическое Моделирование, 2005, т. 17, №8, с. 15-30.

Множительный центр МАИ

Зак. от/2 РЗ 200*Гг. Тир .¿>0 экз.

»Tin 0 0

РНБ Русский фонд

2006-4 10976

ВВЕДЕНИЕ.

1 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

1.1 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА ДЛЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ.

1.2 УЧЕТ КРИВОЛИНЕЙНОСТИ ГРАНИЦ РАСЧЕТНОЙ ОБЛАСТИ.

1.3 ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНОЙ ГРАНИЦЕЙ.

2 РЕШЕНИЕ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОБЛАСТЯХ С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ И ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ.

2.1 МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ (ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНОЙ СЕТКИ).

2.2 МЕТОД ПОГРУЖЕННОЙ ГРАНИЦЫ НА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ СЕТКАХ.

2.3 МОДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДИФФУЗИИ В СЕКТОРЕ КОЛЬЦА.

2.4 МОДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ В СЕКТОРЕ КОЛЬЦА.

2.5 ЗАДАЧА СТЕФАНА С ПОДВИЖНЫМ ФРОНТОМ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА. 50 ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 2.

3 НЕЯВНЫЙ МЕТОД ПОГРУЖЕННОЙ ГРАНИЦЫ С ФИКТИВНЫМИ ЯЧЕЙКАМИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА В ОБЛАСТЯХ С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ГРАНИЦАМИ.

3.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

3.2 ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ПРОЦЕДУРА АППРОКСИМАЦИИ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ НА КРИВОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЕ.

3.3 ТЕСТИРОВАНИЕ АЛГОРИТМА НА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЯХ. ЗАДАЧИ О ТЕЧЕНИИ В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ, В КАВЕРНЕ С ДВИЖУЩЕЙСЯ КРЫШКОЙ, ЗА ОБРАТНЫМ УСТУПОМ.

3.4 ТЕСТИРОВАНИЕ АЛГОРИТМА НА ОБЛАСТЯХ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЕЙ. ЗАДАЧА О ТЕЧЕНИИ В ДИФФУЗОРЕ.

ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 3.

4 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА В ОБЛАСТЯХ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ.

4.1 ЗАДАЧА О ТЕЧЕНИИ В ВОСХОДЯЩЕЙ АОРТЕ.

4.2 ЗАДАЧА О ТЕЧЕНИИ В СОСУДЕ СО СТЕНОЗОМ.

ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 4.

Вычислительная гидродинамика по праву является одной из наиболее востребованных прикладных научных дисциплин. Вместе с тем, массовое распространение численных методов, алгоритмов и программ в инженерной среде сдерживается исключительной сложностью и многогранностью проблем, связанных с математическим моделированием течений жидкости в приложениях, сколько-нибудь отличающихся от идеализированных модельных задач. Хотя в настоящее время имеется ряд методов, позволяющих рассчитывать течения жидкости с высокой точностью в произвольных областях с меняющейся геометрией, эти методы остаются достаточно сложными для освоения, что препятствует проведению серийных инженерных расчетов. В связи с этим в последние годы растущее внимание уделяется более простым методам расчета течений жидкости в областях с подвижными криволинейными границами на неподвижных прямоугольных сетках.

Актуальность темы исследования.

Актуальность темы исследования обусловлена возрастающими требованиями к точности моделирования гидродинамических течений в технических приложениях и современном естествознании. Принципиальным моментом при построении математических моделей становится учет сложного поведения границ исследуемой области в ходе протекающих процессов. Разработка эффективных методов численного расчета течений жидкости в сложных областях представляет огромный практический интерес, что вызвано высокой сложностью получения достоверных результатов при проведении натурных экспериментов.

Цель работы.

1. Анализ современных численных методов решения уравнений в частных производных в областях с криволинейными и подвижными границами и выработка подходов к решению рассмотренного класса задач математической физики с использованием прямоугольных сеток.

2. Разработка эффективного вычислительного алгоритма для решения уравнений Навье-Стокса в областях с криволинейными границами на прямоугольных сетках.

3. Модификация алгоритма для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости в областях с подвижными криволинейными границами.

4. Реализация семейства методов в виде комплекса алгоритмов и программ.

5. Изучение характерных свойств семейства методов на ряде тестовых задач, имеющих эталонное численное или аналитическое решение.

Научная новизна.

Предложен неявный метод погруженной границы с фиктивными ячейками для численного решения уравнений математической физики в областях с криволинейными границами, позволяющий осуществлять решение широкого класса задач на прямоугольных сетках. Проведено изучение свойств метода на модельных задачах диффузии, конвекции-диффузии, а также на задаче с подвижным криволинейным фронтом фазового перехода. Качество метода подтверждено хорошим согласованием результатов численных расчетов с аналитическими решениями и решениями, полученными на адаптивных сетках с помощью преобразований координат.

На основе неявного метода погруженной границы с фиктивными ячейками разработан алгоритм решения уравнений Навье-Стокса в областях с криволинейными границами на прямоугольных совмещенных сетках. Показано хорошее согласование результатов расчетов с высокоточным решением, полученным на адаптивных сетках.

Проведена модификация предложенного алгоритма для решения задач о течении вязкой несжимаемой жидкости в областях с подвижными границами. Получено решение задачи о течении в восходящей аорте и решение для задачи о течении в сосуде со стенозом.

Апробация работы.

Основные результаты докладывались и обсуждались

• на семинаре кафедры «Вычислительная математика и программирование» под руководством чл.-корр. РАН, профессора Пирумова У.Г.

• на XIX международном семинаре по струйным, отрывным и нестационарным течениям (Санкт-Петербург, 2002);

• на IV, V международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ) (Санкт-Петербург, 2002, Самара, 2004);

• на XII и XIV международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС) (Владимир, 2003, Алушта, 2005)

Публикации.

По материалам диссертационной работы опубликованы тезисы докладов на IV, V международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях, XII, XIV международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, а также четыре статьи [95-102].

В первой главе настоящей работы дан обзор литературы, посвященной решению уравнений теплопереноса и гидродинамики в областях с криволинейными границами на прямоугольных сетках. Освещаются проблемы, связанные с нахождением поля давления и постановкой краевых условий на границах при решении уравнений Навье-Стокса в приближении вязкой несжимаемой жидкости. Рассматриваются известные методы согласования полей скоростей и давления.

Во второй главе рассматриваются два различных подхода к численному решению уравнений математической физики (диффузии, конвекции-диффузии в областях с криволинейными границами и задачи Стефана с подвижным фронтом фазового перехода). Первый подход связан с построением адаптивных сеток и интегрированием уравнений по неортогональным криволинейным контрольным объемам. Второй подход основан на использовании метода погруженной границы, когда краевые условия на криволинейной границе аппроксимируются линейными соотношениями. Построение линейных соотношений выполняется согласно билинейной интерполяционной процедуре. Решены задачи диффузии и конвекции-диффузии в секторе кольца. Показано хорошее согласование решений, полученных на прямоугольных сетках, с эталонными аналитическими распределениями. Также показано, что результаты расчетов задачи Стефана неявным методом погруженной границы, не уступают решению высокоточным методом неортогонального гкриволинейного контрольного объема на адаптивных сетках.

В третьей главе приводится модификация неявного метода погруженной границы для решения уравнений Навье-Стокса в областях сложной геометрической формы на прямоугольных совмещенных сетках. Представлено решение ряда тестовых задач, таких как задача о течении в плоскопараллельном канале, задача о течении в каверне с движущейся крышкой и задача о течении за обратным уступом. С использованием метода погруженной границы получено решение задачи о течении в диффузоре с криволинейной стенкой. Показано хорошее согласование результатов расчетов с решением, рассчитанным с помощью метода неортогонального криволинейного объема на адаптивных сетках.

В четвертой главе представлена модификация метода погруженной границы для решения уравнений Навье-Стокса в областях с подвижными границами. Получено решение задачи о течении в восходящей аорте и проведено сравнение результатов расчета с решением эквивалентной одномерной задачи гемодинамики. Приведено решение задачи о течении в сосуде со стенозом.

1 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Проблема математического описания течений жидкости остается одной из фундаментальных естественнонаучных проблем. Несмотря на значительное развитие гидродинамики за последнее столетие, так и не была найдена единая математическая модель, удовлетворительно воспроизводящая поведение жидкости во всем наблюдаемом диапазоне физических параметров. В связи с этим используется многообразие математических моделей, связанных с различными допущениями, к которым прибегают при описании физического 6 процесса движения жидкости. Для различных моделей разработан широкий класс численных методов, подробно описанных в литературе[1-11]. Обычно различают два ключевых подхода. В первом подходе жидкость рассматривается как сплошная среда, обладающая одинаковыми физическими свойствами независимо от выбранного пространственного масштаба. Второй подход учитывает молекулярное строение жидкости, моделируя поведение каждой отдельной молекулы. Несмотря на то, что с использованием молекулярно-кинетического подхода на основе сеточных уравнений Больцмана добились значительных успехов в расчете течений вязкой жидкости [12,13], этот подход ^ выходит за рамки данной работы, и в дальнейшем не затрагивается.

ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 4

Проведена модификация неявного метода погруженной границы для решения уравнений Навье-Стокса в областях с подвижными границами. Получено решение задачи о течении в восходящей аорте. Показано хорошее соответствие средней продольной скорости в сосуде с решением эквивалентной одномерной задачи. Проведены расчеты для задачи о течении в сосуде со стенозом. Показано хорошее согласование расчетного положения границы и поля давления с решением задачи, полученным на адаптивных сетках.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе диссертационной работы были получены следующие результаты:

1. Предложена неявная модификация метода погруженной границы с фиктивными ячейками для решения ДУЧП в областях с криволинейными границами, позволяющая осуществлять решение широкого класса задач на прямоугольных сетках.

2. Проведено изучение свойств предложенного метода на модельных задачах диффузии, конвекции-диффузии, а также задачи с подвижным криволинейным фронтом фазового перехода. Проведенный сравнительный анализ показал хорошее согласование результатов численных расчетов с аналитическими решениями и решениями, полученными на адаптивных сетках с помощью преобразования координат.

На основе неявного метода погруженной границы с фиктивными ячейками разработан алгоритм решения уравнений Навье-Стокса в областях с криволинейными границами на прямоугольных совмещенных сетках. В качестве тестовой задачи рассмотрена задача о течении в диффузоре с криволинейной стенкой. Показано хорошее согласование результатов расчета с высокоточным решением, полученным на адаптивных сетках. Проведена модификация предложенного алгоритма для решения задач о течении вязкой несжимаемой жидкости в областях с подвижными границами. Получено решение задачи о течении в восходящей аорте. Показано хорошее согласование средней продольной скорости в сосуде с решением эквивалентной одномерной задачи. Проведены расчеты для задачи о течении в сосуде со стенозом. Показано хорошее согласование расчетного положения границы и поля давления с решением задачи, полученным на адаптивных сетках.

Создан комплекс алгоритмов программ по решению уравнений математической физики в областях с подвижными криволинейными границами, использующий модификации неявного метода погруженной границы на прямоугольных сетках.

1. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

2. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов JI.A. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984.-288 е., 65 ил.

3. Пирумов У.Г. Численные методы. М.: Изд-во МАИ, 1998, - 188 е.: ил.

4. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. М.: Физматлит, 2004. - 400 с.

5. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Физматгиз, 1970.

6. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука 1977.

7. Березин И. С., Жидков НИ Методы вычислений т.2. М.: Физматгиз, 1960. - 620 с.

8. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные схемы для эллиптических уравнений. -М.: Наука, 1976. 352 с.

9. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1982. - 392с.

10. Вабищевич ИН. Метод фиктивных областей для задачи математической физики. -М.: МГУ, 1992. 156 с.

11. Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику. М.: Наука, 1994.-336 с.

12. Yu D., Mei R., Luo L.S., Shyy W. Viscous flow computations with the method of lattice Boltzmann equation // Progress in Aerospace Sciences 39(2003)329-367

13. Yu D., Mei R., Shyy W. A multi-block lattice Boltzmann method for viscous fluid flows // IntJ.Numer.Meth.Fluids 2002; №39 pp. 99 -120

14. Ye Т., Mittal R., Udaykumar H.S., Shyy W. An Accurate Cartesian Grid Method for Viscous Incompressible Flows with Complex Immersed Boundaries. // Journal of Computational Physics. 1999, v. 156, - p. 209240.

15. Kirkpatrick M.P., Armfield S.W., Kent J.H. A representation of curved boundaries for the solution of the Navier-Stokes equations on a staggered three-dimensional Cartesian grid. // Journal of Computational Physics. -2003, v. 184,-p. 1-36.

16. LeVeque R.J., Li Z. The immersed interface method for elliptic equations with discontinuous coefficients and singular sources. // SIAM Numer. Anal.-1994,31,-p. 1019-1044.

17. Ryaben'kii VS., Tsynkov S.V. An Application of the Difference Potentials Method to Solving External Problems in CFD. // NASA Technical Memorandum 110338, 1997.

18. Koshigoe H.,Kitahara К Finite Difference Method with Fictitious Domain Applied to a Dirichlet Problem //12th International Conference on Domain Decomposition Methods.

19. Смагулов Ш.С., Темирбеков H.M., Камаубаев КС. Моделирование методом фиктивных областей граничного условия для давления в задачах течения вязкой жидкости. // Сиб. журн. вычисл. математики. -2000, Т. 3, №1. с. 57-71.

20. Bakhvalov N.S., Knyazev A. V. Fictitious domain methods and computation of homogenized properties of composites with a periodic structure of essentially different components. / Numerical Methods and Applications. CRC Press, 1994, p. 221-276.

21. Torgeir Я, Vassilevski P.S., Winther R. Domain Embedding Preconditioners For Mixed Systems. // Numer. Linear Algebra Appl. -1998, v.5, p. 321-345.

22. Артемов В.И., Янъков Г.Г., Карпов В.Е., Макаров М.В. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена в элементах теплотехнического и энергетического оборудования // Теплоэнергетика. 2000, № 7. - с. 52-59.

23. Peskin C.S. The immersed boundary method. // Acta Numerica. 2002, 11,-p. 479-517.

24. Lai M.C., Peskin C.S. An immeresed boundary method with formal second-order accuracy and reduced numerical viscosity // Journal of Computational Physics. 2000, v. 160, - p. 705-719.

25. Stockie J.M., Green S.I. Simulating the Motion of Flexible Pulp Fibres Using the Immersed Boundary Method // Journal of Computational Physics. 1998, v. 147(1), pp. 147-165

26. Kim J., Kim D., Choi H. An Immersed-Boundary Finite-Volume Method for Simulations of Flow in Complex Geometries. // Journal of Computational Physics.-2001, v. 171,-p. 132-150.

27. Tseng Y.H., Ferziger J.H. A ghost-cell immersed boundary method for flow in complex geometry. // Journal of Computational Physics. 2003, v. 192,-p. 593-623.

28. Lima E Silva A.L.F., Silveira-Neto A., Damascene J.J.R. Numerical simulation of two-dimensional flows over a circular cylinder using the immersed boundary method. // Journal of Computational Physics. 2003, v. 189,-p. 351-370.

29. Li Z, Lin Т., Wu X. New Cartesian grid methods for interface problems using the finite element formulation. // Numerische Mathematik.2003, v. 96, p. 61-98.

30. Zhang L., Gerstenberger A., Wang X, Liu W.K. Immersed Finite Element Method, // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering.2004, v.193, p. 2051-2067.

31. Aftosmis M.J., Berger M.J., Adomavicius G. A Parallel Multilevel Method for Adaptively Refined Cartesian Grids with Embeded Boundaries. // AIAA paper. 2000, 2000-0808.

32. Murman S.M., Aftosmis M.J., Berger M.J. Implicit Approaches for Moving Boundaries in a 3-D Cartesian Method. I I AIAA paper. 2003, 2003-1119.

33. Ham F.E., Lien F.S., Strong A.B. A Cartesian Grid Method with Transient Anisotropic Adaptation // Journal of Computational Physics 179, 469-494 (2002)

34. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. -М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с.

35. Kim J., Moin P. Application of a fractional step method to incompressible Navier-Stokes equations. // Journal of Computational Physics. 1985, v. 59, p. 308-323.

36. Brown D.L., Cortez R., Minion M.L. Accurate Projection Methods for the Incompressible Navier-Stokes Equations. // Journal of Computational Physics. 2001, v. 168, - p. 464-499.

37. Chorin T.J. Numerical solution of the Navier-Stokes equations. // Math. Comput. 1968, v. 22, - p. 745-762.

38. Rhie C.M., Chow W.L. A numerical study of the turbulent flow past an airfoil with trailing edge separation. // AIAA J. 1983, v. 21, N 11, - p. 1525-1532.

39. Roache P. Scaling of High Reynolds Number Weakly Separated Channel Flows. // Proceedings Symposium on Numerical and Physical Aspects of Aerodynamics Flows, California State University at Long Beach, 19-21 January 1981,-p. 87-98.

40. Васильцов Г.Л., Крюков И.А. Численный метод решения уравнений Навье-Стокса, описывающих течения несжимаемой вязкой жидкости, на коллокационной криволинейной сетке. / Институт проблем механики РАН, Препринт №594, Москва, 1997.

41. Napolitano М., Orlandi P. Laminar Flow in Complex Geometry A Comparison. // International Journal for Numerical Methods in Fluids. -1985, v. 5,-p. 667-683.

42. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems, PWS Publishing Company, Boston, 1996.

43. Cortez R., Minion M. The Blob Projection Method for Immersed Boundary Problems //Journal of Computational Physics 161,428-453 (2000)

44. Mei R., Shyy W., Yu D., Luo L.S. Lattice Boltzmann Method for 3-D Flows with Curved Boundary // Journal of Computational Physics 161, 680-699 (2000)

45. Harvie D.J.E., Fletcher D.F. The stream volume of fluid advection algorithm // ANZIAM J. 42 (E) pp C690-C711,2000

46. Gueyffier D., Li J., Nadim A., Scardovelli R., and Zaleski S. Volume-of-Fluid Interface Tracking with Smoothed Surface Stress Methods for Three-Dimensional Flows // Journal of Computational Physics 152, 423-456(1999)

47. Sethian J.A. Level Set Methods, Evolving Interface in Geometry, Fluid Mechanics, Computer Vision, and Material Science, Cambridge University Press (1996)

48. Sethian J.A. Curvature and the Evolution of Fronts // Communication of Mathematical Physics, 101,4, 1985.

49. Enright D., Fedkiw R., Ferziger J., Mitchell I. A Hybrid Particle Level Set Method for Improved Interface Capturing // J. Comput. Phys. 183, 83-116 (2002).

50. Davies C., Carpenter P. W. A Novel Velocity-Vorticity Formulation of the Navier-Stokes Equations with Applications to Boundary Layer Disturbance Evolution // Journal of Computational Physics 172, 119-165 (2001)

51. Kress B.T., Montgomery D.C. Pressure determinations for incompressible fluids and magneto fluids // Journal of Plasma Physics (2000), 64, 371377.

52. Achdou K, Pironneau O., Valentin F. New Wall Laws for Unsteady Incompressible Navier-Stokes Equations, ECCOMAS 2000.

53. Petersson N.A. Stability of Pressure Boundary Conditions for Stokes and Navier-Stokes Equations. // Journal of Computational Physics 172,40-70, 2001.

54. H. S. Udaykumar, R. Mittal, Wei Shyy. Computation of Solid-Liquid Phase Fronts in the Sharp Interface Limit on Fixed Grids // Journal of Computational Physics 153, 535-574 (1999)

55. Tao Ye, Wei Shyy, Jacob N. Chung. A Fixed-Grid, Sharp-Interface Method for Bubble Dynamics and Phase Change//Journal of Computational Physics 174, 781-815(2001)

56. Das S.K., Sarkar A. Computational Modeling of Thermal Transport Phenomena in Continuous Casting Process Based on Non-Orthogonal Control Volume Approach. // Computations in Numerical Methods in Engineering, Vol. 12, pp. 657-671,1996

57. Hsu C.F., Sparrow E.M., Patankar S.V. Numerical Solution of Moving Boundary Problems by Boundary Immobilization and a Control-Volume-Based Finite-Difference Scheme. // Int. J. Heat Mass Transfer, Vol. 24, No. 8, pp. 1335-1343, 1981.

58. Sparrow E.M., Patankar S. V. Analysis Of Two-dimensional Freezing on the Outside of a Coolant-carrying Tube. // Int. J. Heat Mass Transfer, Vol. 24, No. 8, pp. 1345-1357, 1981.

59. Кудинов П.И. Метод расчета процессов гидродинамики и теплообмена в неортогональных криволинейных координатах // BicHHK Дншропетровського ушверситету. Серш Мехашка. -1998. Випуск1.-Т.1.-С.117-124.

60. Lee S., Soni В. Governing Equations of Fluid Mechanics in Physical Curvilinear Coordinate System // Electronic Journal of Differential Equations, Conference 01,1997, p. 149-157.

61. Luo H, Bewley T.R. On the contravariant form of the Navier -Stokes equations in time-dependent curvilinear coordinate systems. // Journal of Computational Physics 199 (2004) 355 -375.

62. Zang Y, Street R.L., Koseff J.R. A Non-staggered Grid, Fractional Step Method for Time-Dependent Incompressible Navier-Stokes Equations in Curvilinear Coordinates. // Journal of Computational Physics (1994) v.114, №1, pp.18-33.

63. Tessicini F., Iaccarino G., Fatica M., Wang M., Verzicco R. Wall modeling for large-eddy simulation using an immersed boundary method // Center for Turbulence Research Annual Research Briefs 2002, 181-187

64. Verzicco R., Iaccarino G., Fatica M., Orlandi P. Flow in an impeller stirred tank using an immersed boundary method // Center for Turbulence Research Annual Research Briefs 2000, 251-261

65. Slawig T. A Fictitious Domain Method for the numerical solution of the stationary Navier-Stokes equations // Technical Report 45-2003 Preprint-Reihe des Instituts fur Mathematik Technische Universitat Berlin

66. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2х т.: Т.2.:-М.:Мир, 1991.-552 е., ил.

67. Yakhot A., Grinberg L., Nikitin N. Modeling rough stenoses by an immersed-boundary method // Journal of Biomechanics (2004), в печати

68. Tyagi M., Acharya S. Large Eddy Simulations Of Complex Turbulent Flows Using Immersed Boundary Method//Third AFOSR International Conference on Direct Numerical Simulation and Large Eddy Simulation (TAICDL), August 5-9,2001

69. Rosar M.E., Peskin C.S. Fluid Flow in Collapsible Elastic Tubes: A Three-Dimensional Numerical Model New York J. Math. 7 (2001) 281-302

70. Matsunaga N., Liu H., Himeno R. An image-based computational fluid dynamic method for haemodynamic simulation, JSME International Journal, Series C, 2002, Vol.45, No.4, pp. 989-996.

71. Shyy W, Francois M., Udaykumar H.S., N'driN, Tran-Son-Tay R. Moving boundaries in micro-scale biofluid dynamics // Appl Mech Rev vol 54, no 5, September 2001, pp.405-453.

72. Deschamps Т., Schwartz P., Trebotich D., Colella P., Saloner D., Malladi R. Vessel segmentation and blood flow simulation using Level-Sets and Embedded Boundary methods // International Congress Series 1268 (2004) 75-80

73. G. Agresar, J. J. Linderman, G. Tryggvason, and K. G. Powell. An Adaptive, Cartesian, Front-Tracking Method for the Motion, Deformation and Adhesion of Circulating Cells // Journal Of Computational Physics 143, 346-380 (1998)

74. Marinova R.S., Christov СЛ., Marinov T.T. A Fully Coupled Solver for Incompressible Navier-Stokes using Operator Splitting // International Journal on Computational Fluid Dynamics (2003), v.17, №5, pp. 371-387.

75. Астраханцева E.B., Гидаспов В.Ю., Ревизников Д.Л. Математическое моделирование гемодинамики крупных кровеносных сосудов// Математическое Моделирование, 2005, т. 17, №8, с. 61-80.

76. Астраханцева Е.В., Гидаспов В.Ю., Ревизников Д.Л. Применение TVD-схем для решения уравнений гемодинамики//Электронный журнал Труды МАИ, 2005, №20.

77. Yip Т.Н., Yu S.C.M. Cyclic transition to turbulence in rigid abdominal aorticaneurysm models//Fluid Dynamics Research 29 (2001) 81-113

78. Liu В., Tang D. A numerical simulation of viscous flows in collapsible tubes with stenoses // Applied Numerical Mathematics 32 (2000) 87-101

79. Tang D., Yang С., Kobayashi S., Ku D.N. Experiment-based numerical simulation of unsteady viscous flow in stenotic collapsible tubes // Applied Numerical Mathematics 36 (2001) 299-320

80. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1969. - 742 е., 387 ил.

81. Ghia U., Ghia K.N., Shin С. Т. High-Re solutions for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and a multigrid method. J. Comput. Phys., 48:387-411,1982.

82. John V. A comparison of parallel solvers for the incompressible Navier-Stokes equations // Computing and Visualization in Science 1: 193-200 (1999)

83. Jacobs S.J. An accurate split step scheme for viscous incompressible fluid flow // J. Comput. Phys. 119, 26 33 (1995)

84. Mohd-Yusof J. Development of immersed boundary methods for complex geometries. // Center for Turbulence Research Annual Research Briefs. -1998,-p. 325-336.

85. Turek S. A comparative study of time-stepping techniques for the incompressible Navier-Stokes equations: From fully implicit non-linear schemes to semi-implicit projection methods // Int. J. Num. Meth. Fluids, 22:987-1011,1996

86. Anjorin V.A.O., Barton I.E. Removal of Temporal and Under-Relaxation Terms from the Pressure-Correction Equation of the SIMPLE Algorithm // International Journal of Fluid Dynamics (2001) Vol 5, Article 5, 59-75

87. Nilsson #., Davidson L. CALC-PVM: A Parallel SIMPLEC Multiblock Solver for Turbulent Flow in Complex Domains // internal report Nr 98/12. Chalmers University of Technology, Department of Thermo and Fluid Dynamics, Goteborg, 1998.

88. Armfield S.W. Street R. Fractional step methods for the Navier-Stokes equations on non-staggered grids // ANZLAM J. 42 (E) pp. C134-C156, 2000.

89. Винников В.В., Ревизников Д.Л. Моделирование течений жидкости в областях с подвижными криволинейными границами // Материалы

90. Четырнадцатой Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, Алушта, 25-31 мая 2005 г. М.: Вузовская книга, 2005.- с.99-100.

91. Винников В.В., Ревизников Д.Л. Неявный метод погруженной границы с фиктивными ячейками для решения задач о течении вязкой несжимаемой жидкости в сложных областях. // Электронный журнал Труды МАИ, 2004, №17.

92. Винников В.В., Ревизников Д.Л. Применение декартовых сеток для * решения уравнений Навье-Стокса в областях с криволинейнымиграницами. // Математическое Моделирование, 2005, т. 17, №8, с. 1530.