автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Моделирование и прогнозирование обращения государственных и корпоративных долговых обязательств

ДИМИТРИАДИ ГЕОРГИЙ ГУРАМОВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ОБРАЩЕНИЯ ГОСУДАРСТВЕННЫХ И КОРПОРАТИВНЫХ ДОЛГОВЫХ ОБЯЗАТЕЛЬСТВ

Специальность 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ДИМИТРИАДИ ГЕОРГИЙ ГУРАМОВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ОБРАЩЕНИЯ ГОСУДАРСТВЕННЫХ И КОРПОРАТИВНЫХ ДОЛГОВЫХ ОБЯЗАТЕЛЬСТВ

Специальность 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре прикладной экономики Московского физико-технического института (государственного университета).

Научный руководитель Кандидат физико-математические

нмк, доцрнг Дубовский Сергей Васильевич

Официальные оппоненты Доктор физико-математических

НЯУк, профессор

Уздемир Александр Петрович

Кандидат физико-математическиж нйУК, про фессор

Смирнов Сергей Николаевич

Ведущая организация - Вычислительный центр Российской академии

наук.

Защита диссертации состоится « Т^» МЮПЦ 2003 года в часов

на заседании диссертационного совета Д002.086.02 в Институте системного анализа РАН по адресу: 117312, Москва, проспект 60-летия Октября, д. 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института системного анализа РАН.

Автореферат разослан « У » ЦК>НЯ 2003 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, А. И..Пропой

доктор технических наук, профессор

чЛЬНАЛ

.¡ОТЕКА I С.Пстербург^ЧЛ Л ОЭ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Бурный рост активности в области финансов и последовавший в августе 1998 года кризис финансовой системы привели многие организации к осознанию необходимости переосмысления своего места в экономике, подходов к ведению бизнеса и управлению им. Управляемость является одной из важнейших компонент успешной деятельности организации сегодня и в будущем, и это становится все более очевидным широкому кругу специалистов и менеджеров. Целенаправленная и продуманная политика управления долговыми обязательствами необходима всем организациям, у которых от политики заимствований зависят результаты деятельности и условия существования. Она нужна руководящему составу, так как позволяет в некоторой степени повысить определенность принимаемых будущих решений, большую стабильность в будущем. Если имеется понимание рынком принципов указанной политики, то он приобретает еще один более надежный и предсказуемый инструмент вложений, а общество в целом - более устойчивый финансовый рынок. Таким образом, с одной стороны, разработка, внедрение в практику и контроль исполнения продуманной многофакторной и альтернативной политики внешних заимствований компании, несмотря на возможные затраты, являются оправданными, а с другой, - определение параметров политики заимствований фирмы контрагентами и другими участниками рынка, не имеющими доступа ко внутренней информации фирмы, является для них актуальной задачей в свете необходимости определения собственной политики поведения.

Цели и задачи исследования. Целью исследования является разработка методики, позволяющей стороннему наблюдателю на основе моделей финансовых пирамид оценить характеристики политики внешних заимствований фирмы.

В соответствии с указанной целью в работе осуществляется решение следующих задач:

1. Разработка и исследование моделей обращения государственных/корпоративных долговых обязательств, представимых как финансовые пирамиды, в частности:

a. Определение понятия финансовой пирамиды.

b. Разработка моделей финансовых пирамид без учета и с учетом рекламной компании. Расчет и анализ их основных характеристик.

c. Решение задачи максимизации дохода Организатора финансовой пирамиды в момент ее краха при варьировании параметров.

<3. Решение задачи максимизации времени существования финансовой пирамиды при варьировании параметров.

е. Исследование и решение задач оптимального управления максимизации дохода Организатора в момент краха финансовой пирамиды и максимизации времени ее жизни.

£ Исследование условий бесконечного безубыточного существования финансовой пирамиды в случае альтернативных источников инвестиций для ее Организатора.

2. Разработка методики, позволяющей стороннему наблюдателю на основе моделей финансовых пирамид определить параметры политики внешних заимствований фирмы.

3. Верификация предложенной методики:

a. Расчет и анализ примеров финансовых пирамид с различными характеристиками (значениями параметров).

b. Анализ реальных финансовых пирамид.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования является организация и политика ее внешних заимствований. Предметом исследования является модель внешних заимствований, представимых в виде финансовой пирамиды. Под указанного вида политикой понимается набор правил управления внешним долгом организации в различных ситуациях на основе постав-

ленных целей, а модель описывает различные характеристики финансового состояния фирмы (по отношению к долговым обязательствам) и их изменения в результате принимаемых решений.

Научная новизна. В результате проведенного исследования:

1. В рамках подхода к определению и описанию финансовых пирамид, предложенного С. В. Дубовским, разработаны параметрические модели государственных и корпоративных долговых обязательств, представимых как финансовые пирамиды. В виде аналитических формул получены их основные характеристики.

2. Поставлены и решены в аналитическом виде задачи максимизации выручки Организатора финансовой пирамиды в момент ее краха и максимизации времени ее жизни при варьировании параметров.

3. Поставлены, исследованы и решены задачи оптимального управления максимизации выручки Организатора финансовой пирамиды в момент ее окончания и максимизации времени ее жизни.

4. Исследованы особенности финансовых пирамид при наличии альтернативных источников доходности для их Организатора и получены достаточные условия их бесконечного безубыточного существования.

5. На основе моделей финансовых пирамид предложена методика оценки параметров политики заимствований фирмы сторонним наблюдателем.

6. Рассчитаны и проанализированы примеры конкретных финансовых пирамид. Проведена верификация разработанной методики, на ее основе получен пост-прогноз времени безубыточного существования пирамиды ГКО, хорошо согласующийся с реальным значением.

Апробация работы. Результаты докладывались и обсуждались на ХЬУ научной конференции МФТИ (г. Долгопрудный, 2002 г.), на научных семинарах Кафедры прикладной экономики МФТИ (г. Москва, 2001 - 2003 г.г.), на семинаре Отдела «Методы системного моделирования» Института системного анализа РАН (г. Москва, 2003 г.), на международном научно-практическом семинаре «Управление финансовыми рисками и страхование», проходящем

под эгидой Professional Risk Management International Association (г. Москва, 2003 г.), на научном семинаре Кафедры математического моделирования экономических процессов Финансовой Академии при Правительстве РФ «Актуальные проблемы математического моделирования экономических процессов» (г. Москва, 2003 г.).

Практическая значимость исследования. В диссертации предложены модели долговых обязательств, представимых как финансовые пирамиды, проведен их анализ и расчет характеристик, получены аналитические формулы, найдены аналитические решения задач оптимизации и оптимального управления для поведения Организатора в различных предположениях, а также разработана методика, позволяющая определить параметры политики внешних заимствований организации сторонним наблюдателем. Это позволяет использовать полученные результаты:

1. Для расчета характеристик финансовых пирамид с заданными значениями параметров, а также получения оптимальных значений параметров для достижения различных целей;

2. Для проведения анализа политики внешних заимствований организации сторонними наблюдателями, не обладающими инсайдерской информацией Организатора пирамиды, на предмет того, является ли эта политика финансовой пирамидой, и оценки ее характеристик.

Кроме того, приведены расчеты конкретных примеров финансовых пирамид, которые возможно использовать как модельные образцы.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 83 наименований, двух приложений. Она содержит 171 страницу основного текста, 35 страниц приложений, 6 таблиц, 32 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Во введении обоснована актуальность темы диссертации,

á i

формулируются цели и задачи исследования, анализируется научная новизна и практическая ценность работы, описана структура работы и дано краткое изложение основных результатов.

Глава 1. Первая глава является обзорной. Она посвящена общему описанию финансовых пирамид и современных подходов к их моделированию и к моделированию долговых обязательств.

Первый параграф является вводным. В нем приведено описание финансовых пирамид как современного экономического явления, рассмотрены примеры. Обосновано, что финансовые пирамиды имеют важное экономическое, социальное и политическое значение для общества, и что представляется актуальным создавать и анализировать модели финансовых пирамид для их обнаружения и регулирования.

Во втором параграфе содержится описание современных подходов, во-первых, к моделированию финансовых пирамид: подход рациональных финансовых пирамид, игровой подход, сценарный подход, - и, во-вторых, к моделированию государственного долга: описан ряд работ по исследованию особенностей ГКО/ОФЗ как такового, как части макроэкономической модели России, государственного долга как целевой функции задачи оптимизации макроэкономического «поведения» страны. Выделен подход, развиваемый в данной диссертации - сценарный. Показано, что в литературе не имеется единого понятия «финансовая пирамида».

Глава 2. Вторая глава посвящена описанию предлагаемого диссертантом подхода. В ней рассматриваются предложенные модели, находятся их характеристики, ставятся и решаются задачи оптимизации и оптимального управления, позволяющие найти оптимальное поведение Организатора финансовой пирамиды для различных случаев, теоретически находятся условия бесконечного безубыточного существования финансовых пирамид и предлагается методика оценки параметров политики заимствований организации сторонним наблюдателем.

В первом параграфе рассматриваются основные идеи предлагаемого

подхода: дано определение финансовой пирамиды; приведено основное уравнение описания динамики пирамиды; делаются предположения модели.

Под долговыми обязательствами понимаются долговые обязательства юридического лица, подобные по форме и продолжительные по времени, которые можно рассматривать.как единый управляемый объект с точки зрения целей создания задолженности.

Определение 1. Финансовая пирамида - это такая политика управления внешними заимствованиями организации, при которой в течение продолжительного периода времени выполнение обязательств происходит только за счет привлечения новых заимствований.

Такое определение позволяет обобщить понятие финансовой пирамиды на случай финансового взаимодействия организаций, исследовать денежные потоки общего вида.

Дается еще одно определение, которое удобнее использовать при построении моделей с точки зрения Организатора.

Определение 2. Финансовая пирамида - это следующая финансовая схема. Организатор финансовой пирамиды продает обязательства, по которым он обязуется выплатить определенную сумму в будущем, причем их исполнение происходит только за счет выручки от продаж новых обязательств.

Предполагается, что Организатор выполняет все свои обязательства вплоть до некоторого момента, называемого крахом финансовой пирамиды.

Обязательства Организатора без ограничения общности будем считать бескупонными облигациями.

Финансовая пирамида начинается в момент времени t = 0. Введены следующие обозначения:

Gif) - непогашенный к моменту времени t объем ценных бумаг финансовой пирамиды по номиналу, находящихся в обращении.

V(t) - доход Организатора финансовой пирамиды.

W(t) - суммарный доход вкладчиков финансовой пирамиды.

g(t) - объем распроданных в момент времени t облигаций Организатора по номиналу.

в > О - фиксированный срок, через который наступает момент выполнения обязательств Организатора (т.е. срок, на который выпускаются его облигации), отсчитываемый от момента их продажи.

git — &)- объем по номиналу проданных Организатором в момент t — 9 облигаций, подлежащих погашению в момент t.

cg(t) е [0;1] - цена, выраженная в долях от номинала, по которой происходят продажи облигаций в момент t.

Предполагается, что Организатор выполняет свои обязательства перед вкладчиками только за счет выручки от продажи ценных бумаг в рамках финансовой пирамиды, т.е. не привлекая средств со стороны.

В рамках этого предположения ясно, что если в какие-то периоды времени продается «слишком маленькое» количество ценных бумаг Организатора, то, так как выручка, получаемая Организатором в каждый момент времени меньше, чем принятые на себя обязательства, в какой-то момент у Организатора может не оказаться средств для исполнения своих обязательств.

В рассматриваемых в работе моделях предполагается, что досрочное предъявление обязательств Организатора к исполнению невозможно.

Основные уравнения динамики финансовой пирамиды имеют вид:

(1)

dt \cg(t)g(t)-g(t-0),t>e' (2)

dw fO ,t<0

Второй параграф второй главы посвящен обсуждению вопроса о целях Организатора финансовой пирамиды. Отмечено, что обычными преследуемыми целями являются, во-первых, максимизация дохода Организатора, полученного от финансовой пирамиды, а во-вторых, покрытие всех текущих потребностей бюджетного дефицита за счет выручки от пирамиды. Показано, что эти цели взаимоисключающие, а Организатор часто пытается преследовать их комбинацию. Они переформулированы в рамках предлагаемого подхода, предложены соответствующие им условия окончания пирамиды. Обе цели рассматриваются как крайние случаи поведения Организатора. Доказано утверждение, дающее информацию о сравнении целей.

Показано, что крайними взаимоисключающими целями Организатора финансовой пирамиды являются следующие:

Цель 1. Максимизация своего дохода, т.е. величины У(Т), в момент

краха Т финансовой пирамиды. Считается, что после этого момента Организатор больше не выполняет свои обязательства.

Цель 2. Максимальное увеличение времени жизни финансовой пирамиды, т.е. величины Т - момента краха финансовой пирамиды. Считается, что после этого момента Организатор больше не выполняет свои обязательства.

На практике организации часто пытаются совместить обе сформулированные цели, достигая их лишь частично. В диссертации отдельно рассматриваются цели 1 и 2 как крайние случаи поведения Организатора.

Получено, что эти целевые установки соответственно отвечают следующим условиям окончания финансовой пирамиды:

¿у л А

а) Условие -= и : финансовая пирамида существует только до тех

Л

пор (т.е. Организатор выполняет свои обязательства), пока выполняется уело-вие cs(t)g{t)>g{t-в).

б) Условие V = 0: Организатор может использовать для погашения

собственных обязательств не только выручку текущего момента cg (t)g(t)> ио

и ранее полученную.

Теорема о сравнении целей. Финансовая пирамида для Организатора, преследующего цель 1, существует не дольше, чем финансовая пирамида для Организатора, преследующего цель 2, при прочих равных условиях

или эквивалентно:

dV Л

финансовая пирамида с условием окончания -= и существует не

dt

дольше, чем финансовая пирамида с условием окончания V = 0 при прочих равных условиях.

Третий параграф содержит описание ряда результатов и рекомендаций по оценке времени жизни финансовой пирамиды.

Например, доказана следующая важная теорема.

Теорема. Невозможность бесконечного безубыточного существования финансовой пирамиды на практике в случае без реинвестирования. В случае Организатора, преследующего цель 1, если функция g{t) — сценарий притока вкладчиков в зависимости от времени — ограничена (а так всегда и бывает на практике), финансовая пирамида не может безубыточно существовать неограниченно долгое время. Аналогичное утверждение верно для Организатора, преследующего цель 2.

В четвертом параграфе описано нахождение основных характеристик финансовой пирамиды: времени ее жизни, выручки Организатора, суммарной выручки вкладчиков в зависимости от времени и т.д. в случае заданного сценария притока вкладчиков финансовой пирамиды и фиксированной постоянной цены продажи обязательств Организатора. В качестве сценариев использованы линейная, степенная, экспоненциальная и логистическая зависимость притока вкладчиков от времени. Все результаты получены в виде аналитических формул. Рассмотрен числовой пример.

Для вычисления указанных величин использована следующая процеду-

ра. Сначала из числа перечисленных сценариев был задан вид функции g(t) . Затем в аналитическом виде найдены функции , , в любой момент времени ? > 0 по формулам, следующим их (1), (2) и (3). Потом аналитически решены уравнения -— = 0 или = 0 для двух условий

Л

окончания финансовой пирамиды соответственно, откуда найдено время жизни финансовой пирамиды Т . В итоге в аналитическом виде получены вели-

У(Т)

чины в(Т), У(Г),

В качестве примера по найденным формулам рассчитаны числовые значения для случая доходности ~ 10% за 6 месяцев - срок, на который выпускаются обязательства Организатором финансовой пирамиды (0 = 6 мес.). Например, время существования финансовой пирамиды при условии окончания (IV л

-= О и линейном росте числа вкладчиков равно примерно 60 месяцам, а

Л

при квадратичном - примерно 117 месяцам.

Из вычислений получено, что (как и следовало ожидать из интуитивных соображений) чем больше характер роста функции g(t) , тем «больше денег» оказывается у Организатора финансовой пирамиды для выполнения своих обязательств за тот же период времени и тем дольше существует финансовая пирамида.

В пятам параграфе описаны постановки и решения задач оптимизации, позволяющих найти поведение Организатора, преследующего цели 1 и 2. Здесь, во-первых, вводится понятие функции спроса на ценные бумаги Организатора финансовой пирамиды, зависящей от их цены и обладающей естественными свойствами. Во-вторых, предполагается, что для достижения поставленной цели возможна вариация продажной цены ценных бумаг Организатора. В этом параграфе поставлены и в аналитическом виде решены задачи нахождения постоянной цены обязательств - параметра, соответствующей опти-

мальному поведению Организатора для достижения целей 1 и 2 при различных сценариях притока вкладчиков.

Рассмотренные задачи максимизации по цене обязательств Организатора - параметру, записываются как:

V(T) max, F(0) = 0, 0<i<7],7; >в,

^ = Cg(t)g(t)-g(t-0),

g(O) = O,fe[-0,O),

cg = const e [0,1].

Для Организатора, преследующего цель 2, целевая функция имеет вид Т шах . Кроме того, добавляется условие V(t) > 0.

Здесь g(t) = goO[cg(0]/(0 _ представление функции притока инвесторов в виде произведения двух функций: функции спроса Ф(с^) первичных торгов на ценные бумаги Организатора финансовой пирамиды, зависящей от их цены, и заданного сценария притока вкладчиков в зависимости от времени fit). g0 - постоянная. Функция спроса обладает естественными свойствами: Ф(с) - невозрастающая функция цены с, определенная на [0;1],

(1-е)"

Ф(1) = 0, Ф(0+) = +со. В работе используется функция Ф(с) =--—,

с"

п> 1, 0</и<1.

Получено решение поставленных задач оптимизации по цене обязательств Организатора - параметру cg = const при следующих сценариях

притока вкладчиков в зависимости от времени f(t) : fit) = 1; fit) = t;

f{t) = tp, y0ejf; ДО = е*, Л>0.

Например, при f(t) = t найдено, что оптимальное значение цены есть

. 1 -т

cs =-"

п-т

Для Организатора, преследующего цель 2, во всех случаях получено, что при больших 7j оптимальные значения cg близки к единице. Но при этом

номинальный объем финансовой пирамиды в абсолютном выражении стремится к нулю. Следовательно, необходимо ввести дополнительное ограничение на минимальный объем финансовой пирамиды.

В шестом параграфе предлагается усовершенствованный вариант модели финансовых пирамид. Дополнительно к предыдущему учитывается рекламная компания финансовой пирамиды. Вводится параметр s(t), отражающий долю текущей выручки от продаж обязательств Организатора, затрачиваемую на рекламу, и зависящая от этого параметра функция эффективности вложений в рекламную кампанию, отражающая стимулирующий эффект рекламы на приток вкладчиков.

Основное уравнение динамики пирамиды записывается как:

вложений в рекламу.

В седьмом параграфе описаны постановки и решений задач оптимизации, позволяющих найти поведение Организатора, преследующего цели 1 и 2, в модели с учетом рекламной кампании. Поставлены и в аналитическом виде решены задачи нахождения постоянной цены обязательств Организатора фи-

g(t) = goers$>^cg(t)^f(t) при t> О, где 6rs - функция эффективности

нансовой пирамиды - параметра и постоянной доли вложений в рекламу -параметра, соответствующих оптимальному поведению Организатора для достижения целей 1 и 2 при различных сценариях притока вкладчиков с учетом функций спроса и эффективности вложений в рекламу.

Рассматриваемые задачи имеют вид:

\V{T) max,

s,c„

F(0) = 0,0<i<r„7; >в, ^=cg{\-s)g{t)-g{t-e), g(O) = O,ie[-0,O),

gif) = g0e's > 0,« > 1,0 < m < 1 ,y > 0,

.c = const e [0,1], s = const e [0,1].

Для Организатора, преследующего цель 2, целевая функция имеет вид Т —> шах . Кроме того, добавляется условие Vit) > 0. В качестве сценария притока вкладчиков в зависимости от времени fit) используются функции

ДО = 1; ДО = t, ДО = tß, ßеЛГ,;fit) = ел',1>0.

В восьмом параграфе второй главы рассматриваются задачи оптимального управления для Организатора, преследующего цели 1 и 2, при варьировании продажной цены обязательств Организатора как функции времени и варьировании доли вложений в рекламную кампанию как функции времени для моделей без учета и с учетом вложений в рекламную кампанию; при различных сценариях притока вкладчиков с учетом функций спроса и эффективности вложений в рекламную кампанию. Исследуются свойства таких задач, получены решения, даются их экономические интерпретации.

Основной особенностью рассматриваемых задач оптимального управления является наличие запаздывания в управлении. Предложен метод их сведения к задачам без запаздывания.

Решены в аналитическом виде задачи оптимального управления для Организатора, преследующего цель 1, дана интерпретация полученных решений. Указано решение задач для Организатора, преследующего цель 2. Предложена и решена в аналитическом виде задача оптимального управления для Организатора, преследующего цель 2, содержащая дополнительные условия на минимальное число вкладчиков финансовой пирамиды.

В девятом параграфе описываются финансовые пирамиды при наличии альтернативных (т.е. отличных от самой пирамиды) источников доходности. Предполагается, что Организатор может получаемую выручку вкладывать в «банк» (или любым другим способом, обеспечивающим возвращение вложенных средств с процентами аналогично вкладу в банк) и возвращать ее с приростом в нужные ему моменты времени. Доказаны утверждения, дающие достаточное условие бесконечного безубыточного существования финансовой пирамиды.

Для пирамиды без альтернативных источников прибыльности имеет ме-

dV(t) , ч , ЛЧ

сто уравнение: -= С g{t) — g(t — и) . Для дохода Организатора выве-

dt *

1

дена формула: V(t)= f[cg(^)g(^)- gtf - <?)]</£ .

о

При наличии альтернативных источников прибыльности получено, что уравнение динамики пирамиды имеет вид:

——— = сeg(t) — g(t — 9) + rV(t). Здесь г - эффективная годовая ставка dt s

альтернативных вложений. Показано, что в этом случае доход Организатора

I

есть V(t) = еп J[cgg(£) - g(f - , г = const.

о

Утверждение 1. Достаточное условие бесконечного безубыточного существования финансовой пирамиды для Организатора, преследующего цель 2, при наличии альтернативных источников доходности состоит в следующем:

если доходность альтернативных вложений Организатора финансовой пирамиды г > —1п—, то У(() > О V? > О, т.е. финансовая пирамида сущест-9 С*

вует безубыточно неограниченно долгое время (здесь в выражена в долях от года).

Утверждение 2. Достаточное условие бесконечного безубыточного существования и бесконечного роста финансовой пирамиды для Организатора, преследующего цель 2, при наличии альтернативных источников доходности состоит в следующем: если помимо предыдущего верно, что g(t) - монотонно неубывающая функция, то финансовая пирамида существует безубыточно неограниченно долгое время, а также имеет бесконечный рост:

Шъото.

Л

В десятом параграфе второй главы описана методика, позволяющей стороннему наблюдателю на основе моделей финансовых пирамид оценить параметры политики внешних заимствований организации. Основным результатом применения методики является оценка времени заведомого краха финансовой пирамиды.

Вводится понятие «стороннего наблюдателя», т.е. лица, не имеющего доступа к инсайдерской информации фирмы - Организатора и не имеющего возможность влиять на принятие фирмой решений. Считается, что максимальная доступная информация заключается в условиях и цене продажи обязательств Организатора, текущем объеме их продаж и соответствующих исторических данных.

Основная идея предлагаемой методики состоит в том, чтобы по доступной внешнему наблюдателю информации оценить параметры рассматриваемой финансовой пирамиды, такие как характер (сценарий) притока вкладчиков, функцию спроса, тенденцию изменения цен на обязательства Организатора и т.д. После этого применяется подходящий вариант модели для оценки будущих характеристик пирамиды.

Глава 3. Третья глава посвящена вычислительным экспериментам, проводимым на основе изложенных моделей. В ней приведены графики, характеризующие финансовую пирамиду в различных случаях, записана дискретная модель финансовой пирамиды, на основе предложенных методик проведен пост-анализ пирамиды ГКО.

Первый параграф главы 3 содержит обсчет модельных ситуаций существования финансовой пирамиды. Для различных случаев построены графики дохода Организатора финансовой пирамиды от времени, проиллюстрированы решения задач оптимизации.

Например, продемонстрирована разница параметров финансовой пирамиды с различными сценариями притока вкладчиков: «небольшое» увеличение зависимости от времени (от постоянной функции - к линейной, от линейной - к квадратичной, от квадратичной - к кубической и т.д.) увеличивает время существования пирамиды в разы, а максимальный объем - в десятки раз.

На нижеприведенном графике пояснено решение задачи максимизации выручки Организатора по цене обязательств Организатора финансовой пирамиды - параметру в момент краха финансовой пирамиды. Здесь использован линейный сценарий притока вкладчиков в зависимости от времени

I = i-gJ-t, п = 2, w = 0.5, 0 =

Si.0 = -—/, n = 2, m = 0.5, 0 = 3 мес. На оси абсцисс отложено

время в месяцах. На оси ординат — значения функции V(t) (доход Организатора). Второй аргумент функции V(t), изображенной слева от оси ординат, означает цену обязательств Организатора - параметр cg, выраженную в долях от номинала.

J.73J

V(t.0.1) | 4t,0.2)

ш i —

I V(t,0.4)

& V(t.0.5)

S.....

T V(t,0.6)

I—

и V(t,0.7)

График зависимости функции V(t) от t

-l

-l-1-

Врема t, мсс

10

Из рисунка видно, что максимальное значение V(t) достигается для выделенной полужирным пунктиром кривой, соответствующей случаю 1

cg = —. Наблюдаемое оптимальное решение соответствует теоретическо-1 -т 1

му: с =-= —. Кроме того, можно видеть монотонное увеличение вре-

s п-т 3

мени жизни финансовой пирамиды с ростом цены cg € [0,1].

Во втором параграфе третьей главы на основе рассматриваемых непрерывных моделей получена дискретная модель описания финансовой пирамиды, применимая для реальных численных расчетов.

В третьем параграфе рассмотрено применение предложенной методики оценки характеристик политики внешних заимствований организации к анализу государственных краткосрочных облигаций 1993 -1998 годов. Рассмотрение ГКО как примера финансовой пирамиды - это верификация предложенной методики.

В этом параграфе с использованием официально доступной информации (объема размещения и аукционной ставки первичных торгов) проведен пост-анализ ГКО, на основе предлагаемой методики получена оценка времени безубыточного существования ГКО, хорошо согласующаяся с истинным значением. Кроме того, проведено исследование функции спроса первичных торгов на ГКО. Получено, что имела место ее сильная временная зависимость -как третья степень времени.

В качестве данных, известных в прошлом стороннему наблюдателю, берутся данные о номинальном объеме пирамиды ГКО G(t) и аукционной ставке первичных торгов. Время предполагается дискретным, за нуль принят «апрель 1994 г.», в качестве шага временной шкалы взят один месяц. Проведена линейная регрессия G(t) на ряды значений t, t1, , tA, t5, t6 соответственно. В итоге получено:

G(t) = 16517.57 -111357.7/ +1964.632/2 -140.64613 + +4.75865214 - 0.0718215 + 0.000394938/6.

По этой функции дифференцированием была получена функция

dG{t) dG(t) Гg{t),t<9

-. По формуле -= < по значениям этой

dt dt \g(O-g(t-0),t>e

функции можно восстановить функцию g(t) , что и было сделано в численном виде. В расчетах было принято 9 = 3 месяца. На основе полученной функции g(t) с использованием реальной среднемесячной аукционной ставки доходности ГКО получен прогноз выручки Организатора финансовой пирамиды V(t) и ее производной: ^^ ~ cg (0s(0 ~ g(t ~ 9) • Оказалось,

что безубыточное существование финансовой пирамиды ГКО согласно постпрогнозу окончится в сентябре 1997 г. Если за период 9 принять полугодие, то оцененное время краха пирамиды ГКО соответствует ноябрю 1997 г.

Показано, что прогнозная функция V(t) выручки Организатора финан-

совой пирамиды в целом близка по форме к реальной кривой. Полученные значения для времени краха финансовой пирамиды (сентябрь-ноябрь 1997 г.) являются довольно точной оценкой начала периода убыточного существования финансовой пирамиды ГКО. Таким образом, предложенные модели в данном случае дают удивительное совпадение с практикой.

Проведена оценка функции спроса на ГКО. Так как используемая статистика содержит годовую аукционную ставку первичных торгов г по ГКО,

произведен пересчет из терминов «цены в долях от номинала» cg в термины годовой доходности г:

1 1 l~C 1 Л/ ч Г" 1 п 1

г = — 1=-, с = --, ф(г) = --—г, п>\, 0<1Я<1.

с с 1 + г (1 + г)

г"

Добавлена временная составляющая: Ф(/%/) = <20 —-tr, и > 1,

О < w < 1, у > 0. Для оценки параметров полученного выражения использована линейная регрессия: lnO(r,t) = lna0 + nlnr-(n-m)ln(\ + r) + yInf. Для этой регрессии оказались плохие значения /-статистик. Соответственно рассмотрена линейная регрессия: 1пФ(г,/) = lna0 +и1пг + y\nt. В итоге получено, что

функция спроса имеет следующий вид: = а0г°'У'2. Таким образом,

имеется сильная зависимость от времени, которая качественно объясняется распространением информации о пирамид© и реинвестированием в пирамиду ГКО уже полученных от нее прибылей. Известная и прогнозная кривые номинального объема торгов достаточно близки.

Приложение 1. В этом Приложении приведены решения задач оптимизации, поставленных в основном тексте диссертации.

Приложение 2. Приложение 2 содержит решение вспомогательных задач оптимизации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложена идея построения исследования для достижения поставленной цели: создаются и исследуются модели финансовых пирамид с точки зрения их Организатора, а затем их параметры оцениваются сторонним наблюдателем;

2. Предложены и исследованы модели финансовых пирамид, построенные с точки зрения их Организатора:

a. Предложено определение финансовой пирамиды, позволяющее рассматривать денежные потоки, связанные с внешними заимствованиями фирмы, как финансовые пирамиды;

b. Предложена модель описания финансовых пирамид. Предложен усовершенствованный вариант модели с учетом вложений в рекламную кампанию обязательств Организатора;

c. Проведено исследование различных возможных целевых установок Организатора финансовой пирамиды, получено утверждение о сравнении целей;

(1. В аналитическом виде рассчитаны характеристики финансовых пирамид при детерминированных сценариях притока вкладчиков;

е. Решены в аналитическом виде задачи оптимизации по постоянной цене - параметру и доле вложений в рекламу — параметру: для моделей без учета и с учетом вложений в рекламную кампанию; для Организатора, преследующего различные цели; в случае различных сценариев притока вкладчиков в зависимости от времени;

Предложены постановки и получены в аналитическом виде решения задач оптимального управления для рассматриваемых в работе моделей финансовых пирамид: для моделей без учета и с учетом вложений в рекламную кампанию; для Организатора,

преследующего различные цели; для различных сценариев притока вкладчиков в зависимости от времени;

§. Рассмотрены финансовые пирамиды при наличии альтернативных вложений для их Организатора. Доказаны достаточные условия бесконечного безубыточного существования и неограниченного роста финансовых пирамид в этом случае;

Ь. Проведены вычислительные эксперименты, иллюстрирующие свойства предлагаемых моделей и оптимальное поведение Организатора финансовой пирамиды в различных случаях;

1. Предложен дискретный вариант записи модели финансовой пирамиды, применимый для расчетов реальных пирамид;

3. Предложена методика, позволяющая стороннему наблюдателю на

основе моделей финансовых пирамид оценить параметры политики внешних заимствований организации:

a. Сформулированы условия окончания финансовой пирамиды для Организатора, преследующего различные цели, доказана их связь в случае постоянной цены;

b. Получены результаты о зависимости времени жизни финансовой пирамиды от цены продажи обязательств их Организатора;

c. Показано, что предложенное описание финансовых пирамид таково, что их основные свойства не зависят от их «масштаба»;

(1. Получены необходимые условия существования финансовой пирамиды до заданного момента времени. В случае ограниченной функции притока вкладчиков доказана невозможность бесконечного безубыточного существования финансовой пирамиды без реинвестирования Организатором собранных средств;

е. Получено достаточное условие, позволяющее показать безубыточное существования пирамиды на будущий период времени при сравнении ее с пирамидой с известными характеристиками;

£ В виде описания пошаговых действий аналитика предложена

практическая методика, позволяющая на основе модели финансовых пирамид получить оценки параметров политики внешних заимствований организации; 4. На основе предложенной методики оценки характеристик политики

внешних заимствований фирмы проведен пост-анализ государственных краткосрочных облигаций 1993 -1998 годов, что явилось опытной проверкой предложенной методики.

Основные выводы диссертационного исследования:

1. Финансовые пирамиды могут существовать и быть прибыльны как для Организатора, так и для вкладчиков на продолжении длительных периодов времени. При этом безубыточное существование самофинансируемой финансовой пирамиды принципиально ограничено по времени задолго до точки исчерпания числа потенциальных инвесторов.

2. Предложенная в работе методика, позволяющая стороннему наблюдателю на основе моделей финансовых пирамид получить оценки параметров политики внешних заимствований организации, проверена на примере и может быть применена на практике.

Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в следующих печатных работах:

1) Г. Г. Димитриади. Обзор моделей государственного долга. - М.: Эдиториал УРСС, 2002 и сайт www.mirkin.ru.

2) Г. Г. Димитриади. Математические модели финансовых пирамид // Электронный журнал «Исследовано в России», 83, стр. 929-936, 2002. -http:Wzhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/083.pdf

3) Г. Г. Димитриади. Детерминированный подход к описанию финансовых пирамид // Труды XLV научной конференции МФТИ (ГУ) «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», ч. VII. - М.: МФТИ, 2002.

4) Г. Г. Димитриади. Модели финансовых пирамид: детерминированный подход. - М.: Едиториал УРСС, 2002 и сайт www.mirkin.ru.

5) Г. Г. Димитриади. Детерминированный подход к описанию финансовых пирамид с учетом вложений в рекламу: случай линейного роста // Аспирант и соискатель. - 2002, № 5. - с. 24-33.

6) Г. Г. Димитриади. Детерминированный подход к описанию финансовых пирамид с учетом вложений в рекламу: случай экспоненциального роста // Аспирант и соискатель. - 2002, № 5. - с. 34-38.

7) Г. Г. Димитриади. Финансовые пирамиды: детерминированная модель с вложениями в рекламу // Сборник научных трудов «Математические и инструментальные методы экономического анализа: управление качеством». Выпуск 5. - Тамбов, Изд-во Тамб. гос. тех. ун-та, 2002. - С. 57-66.

Г. Г. Димитриади. Детерминированный подход к описанию финансовых пирамид с учетом вложений в рекламу // Математическое моделирование, 2003, №4, т. 15, с. 23-33.

I

27

I

Отпечатано в типографии Х.К. «Карда» Зак. 892. Тираж 100 экз.

^ооз -h ; II7SÓ 1

Р1 1 78 6 :

Введение.

Глава 1. Долговые обязательства и финансовые пирамиды: описание и обзор.

§1.1. Финансовые пирамиды: современное экономическое явление

§1.2. Современные подходы к моделированию государственных и корпоративных долговых обязательств и финансовых пирамид

Глава 2. Финансовые пирамиды как долговые обязательства. Математические модели.

§2.1. Основные идеи рассматриваемого подхода.

§2.2. Цели Организатора финансовой пирамиды: описание и сравнительный анализ.

§2.3. Оценка времени жизни финансовой пирамиды.

§2.4. Расчет основных характеристик финансовой пирамиды в случае детерминированного притока вкладчиков.

§2.5. Задачи оптимизации для различных целевых функций Организатора финансовой пирамиды: постановки и решения.

§2.6. Развитие модели: учет рекламной кампании.

§2.7. Задачи оптимизации для модели с рекламной кампанией: постановки и оешения. . , , . , = . =

§2.8. Задачи оптимального управления: свойства, подходы, решения

§2.9. Финансовые пирамиды при наличии альтернативных источников доходности. Условия бесконечного безубыточного существования.

§2.10. Методика оценки параметров политики внешних заимствований фирмы сторонним наблюдателем.

Глава 3. Финансовые пирамиды: вычислительные эксперименты.

§3.1. Финансовые пирамиды с различными значениями параметров

§3.2. Запись модели финансовой пирамиды в дискретном времени

§3.3. Государственные краткосрочные облигации как финансовая пирамида.

Актуальность темы исследования. Бурный рост активности в области финансов и последовавший в августе 1998 года кризис финансовой системы привели многие организации к осознанию необходимости переосмысления своего места в экономике, подходов к ведению бизнеса и управлению им. Управляемость является одной из важнейших компонент успешной деятельности организации сегодня и в будущем, и это становится все более очевидным широкому кругу специалистов и менеджеров. Целенаправленная и продуманная политика управления долговыми обязательствами необходима всем организациям, у которых от политики заимствований зависят результаты деятельности и условия существования. Она нужна руководящему составу, так как позволяет в некоторой степени повысить определенность принимаемых будущих решений, большую стабильность в будущем. Если имеется понимание рынком принципов указанной политики, то он приобретает еще один более надежный и предсказуемый инструмент вложений, а общество в целом - более устойчивый финансовый рынок. Таким образом, с одной стороны, разработка, внедрение в практику и контроль исполнения продуманной многофакторной и альтернативной политики внешних заимствований компании, несмотря на возможные затраты, являются оправданными, а с другой, - определение параметров политики заимствований фирмы контрагентами и другими участниками рынка, не имеющими доступа ко внутренней информации фирмы, является для них актуальной задачей в свете необходимости определения собственной политики поведения.

Цели и задачи исследования. Целью исследования является разработка методики, позволяющей стороннему наблюдателю на основе моделей финансовых пирамид оценить характеристики политики внешних заимствований фирмы.

В соответствии с указанной целью в работе осуществляется решение следующих задач:

1. Разработка и исследование моделей обращения государственных/корпоративных долговых обязательств, представимых как финансовые пирамиды, в частности: a. Определение понятия финансовой пирамиды. b. Разработка моделей финансовых пирамид без учета и с учетом рекламной компании. Расчет и анализ их основных характеристик. c. Решение задачи максимизации дохода Организатора финансовой пирамиды в момент ее краха при варьировании параметров. d. Решение задачи максимизации времени существования финансовой пирамиды при варьировании параметров. e. Исследование и решение задач оптимального управления максимизации дохода Организатора в момент краха финансовой пирамиды и максимизации времени ее жизни. f. Исследование условий бесконечного безубыточного существования финансовой пирамиды в случае альтернативных источников инвестиций для ее Организатора.

2. Разработка методики, позволяющей стороннему наблюдателю на основе моделей финансовых пирамид определить параметры политики внешних заимствований фирмы.

3. Верификация предложенной методики: a. Расчет и анализ примеров финансовых пирамид с различными характеристиками (значениями параметров). b. Анализ реальных финансовых пирамид.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования является организация и политика ее внешних заимствований. Предметом исследования является модель внешних заимствований, представимых в виде финансовой пирамиды. Под указанного вида политикой понимается набор правил управления внешним долгом организации в различных ситуациях на основе поставленных целей, а модель описывает различные характеристики финансового состояния фирмы (по отношению к долговым обязательствам) и их изменения в результате принимаемых решений.

Научная новизна. В результате проведенного исследования:

1. В рамках подхода к определению и описанию финансовых пирамид, предложенного С. В. Дубовским, разработаны параметрические модели государственных и корпоративных долговых обязательств, представимых как финансовые пирамиды. В виде аналитических формул получены их основные характеристики.

2. Поставлены и решены в аналитическом виде задачи максимизации выручки Организатора финансовой пирамиды в момент ее краха и максимизации времени ее жизни при варьировании параметров.

3. Поставлены, исследованы и решены задачи оптимального управления максимизации выручки Организатора финансовой пирамиды в момент ее окончания и максимизации времени ее жизни.

4. Исследованы особенности финансовых пирамид при наличии альтернативных источников доходности для их Организатора и получены достаточные условия их бесконечного безубыточного существования.

5. На основе моделей финансовых пирамид предложена методика оценки параметров политики заимствований фирмы сторонним наблюдателем.

6. Рассчитаны и проанализированы примеры конкретных финансовых пирамид. Проведена верификация разработанной методики, на ее основе получен пост-прогноз времени безубыточного существования пирамиды ГКО, хорошо согласующийся с реальным значением.

Апробация работы. Результаты докладывались и обсуждались на XLV научной конференции МФТИ (г. Долгопрудный, 2002 г.), на научных семинарах Кафедры прикладной экономики МФТИ (г. Москва, 2001 - 2003 г.г.), на семинаре Отдела «Методы системного моделирования» Института системного анализа РАН (г. Москва, 2003 г.), на международном научно-практическом семинаре «Управление финансовыми рисками и страхование», проходящем под эгидой Professional Risk Management International Association (г. Москва, 2003 г.), на научном семинаре Кафедры математического моделирования экономических процессов Финансовой Академии при Правительстве РФ «Актуальные проблемы математического моделирования экономических процессов» (г. Москва, 2003 г.).

Практическая значимость исследования. В диссертации предложены модели долговых обязательств, представимых как финансовые пирамиды, проведен их анализ и расчет характеристик, получены аналитические формулы, получены аналитические решения задач оптимизации и оптимального управления для поведения Организатора в различных предположениях, а также разработана методика, позволяющая определить параметры политики внешних заимствований организации сторонним наблюдателем. Это позволяет использовать полученные результаты:

1. Для расчета характеристик финансовых пирамид с заданными значениями параметров, а также получения оптимальных значений параметров для достижения различных целей;

2. Для проведения анализа политики внешних заимствований организации сторонними наблюдателями, не обладающими инсайдерской информацией Организатора пирамиды, на предмет того, является ли эта политика финансовой пирамидой, и оценки ее характеристик.

Кроме того, приведены расчеты конкретных примеров финансовых пирамид, которые возможно использовать как модельные образцы.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 83 наименований, двух приложений. Она содержит 171 страницу основного текста, 35 страниц приложений, 6 таблиц, 32 рисунка.

Основные выводы диссертационного исследования: 1. Финансовые пирамиды могут существовать и быть прибыльны как для Организатора, так и для вкладчиков на продолжении длительных периодов времени. При этом безубыточное существование самофинансируемой финансовой пирамиды принципиально ограничено по времени задолго до точки исчерпания числа потенциальных инвесторов.

2. Предложенная в работе методика, позволяющая стороннему наблюдателю на основе моделей финансовых пирамид получить оценки параметров политики внешних заимствований организации, проверена на примере и может быть применена на практике.

1. Ч. Маккей. Наиболее распространенные заблуждения и безумства толпы. М.: Альпина, 1998.

2. Ж. Берн. История великих путешествий. В трех кн. - М.: Терра-Тегга, 1993. - Кн. 1, с. 126-127.

3. Советский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1990.

4. Р. Дорнбуш, С. Фишер. Макроэкономика. М.: Изд-во МГУ и ИНФРА-М, 1997.

5. С. В. Дубовский. Прогнозирование инфляции и обменного курса рубля в российской нестационарной экономике. М.: Издательство УРСС. - 2001.

6. С. В. Дубовский. Обменный курс рубля как результат денежной эмиссии, внешней торговли и блуждающих финансовых потоков // Экономика и математические методы, 2002, том 38, № 2, с. 84-96.

7. Материалы сайта Министерства финансов РФ (www.minfin.ru).

8. В. Баринов, А. Первозванский, Т. Первозванская. Политика размещения государственного долга и поведения рынка государственных облигаций // Российская программа экономических исследований. Научный доклад № 1999/05 (www.eerc.ru, http://195.28.33.75/).

9. А. Ивантер, А. Пересецкий. Анализ развития рынка ГКО // Российская программа экономических исследований. Научный доклад № 1999/06 (www.eerc.ru, http://195.28.33.75/)

10. Е. Т. Гурвич, А. В. Дворкович. Процентные ставки и цена внутренних заимствований в среднесрочной перспективе // Российская программа экономических исследований. Научный доклад № 1999/08 (www.eerc.ru, http://195.28.33.75/).

11. В. Дикусар, С. Ю. Синягин. Качественные и численные методы в задаче оптимального управления государственным долгом. М.: Вычислительный центр РАН. - 2000.

12. Л. С. Понтрягин, В Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. В. Мищенко. Математическая теория оптимальных процессов. -М.: Наука, 1976.

13. Р. В. Гамкрелидзе. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах // Изв. АН СССР, сер. матем., 22, № 4, 1958.

14. В. Г. Болтянский. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.

15. Э. М. Галеев, В. М. Тихомиров. Краткий курс теории экстремальных задач. М.: Изд-во МГУ, 1989.

16. А. Я. Лернер, Е. А. Розенман. Оптимальное управление. -М.: Энергия, 1970.

17. В. М. Алексеев, Э. М. Галеев, В. М. Тихомиров. Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи: Учебное пособие. М.: Наука, 1984.

18. А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

19. O.-J. Blanchard andM. Watson. Bubbles, rational expectations and financial markets in P. Wachtel Crises in economic and financial structure. Lexington (MA), 1982.

20. А. В. Белянин, О. Г. Исупова. Финансовые пирамиды в переходной экономике с точки зрения теории игр // Российская программа экономических исследований. Научный доклад № 2000/10 (www.eerc.ru, http://195.28.33.75/).

21. Р. Д. Льюс, X. Райф. Игры и решения. М.: ИЛ, 1961.

22. Дж. Нейман, О. Монгенштерн. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970.

23. Г. Оуэн. Теория игр. М.: Мир, 1971.

24. Н. Н. Воробьев. Основы теории игр. Бескоалиционные игры.-М.: Наука, 1984.

25. Э. Мулен. Теория игр с примерами из математической экономики. М.: Наука, 1985.

26. Е. С. Вентцель. Исследование операций. М.: Советское радио, 1972.

27. У. Черчмен, Р. Акофф, Л. Арное. Введение в исследование операций. М.: Наука, 1968.

28. Г. Вагнер. Основы исследования операций. М.: Мир, 1973.

29. Т. Л. Саати. Математические методы исследования операций. М.: Воениздат, 1963.

30. В. Г. Карманов. Математическое программирование. М.: Физматлит, 2001.

31. С. И. Бирюков. Оптимизация. Элементы теории. Численные методы: Учебное пособие. М.: Изд-во МФТИ, 1995.

32. Р. Габасов, Ф. М. Кириллова. Методы оптимизации. -Минск, Изд-во БГУ, 1981.

33. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981.

34. Р. Рокафеллар. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

35. Б. Т. Поляк. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

36. Б. Н. Пшеничный. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1982.

37. Б. И. Пшеничный. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

38. В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В. Фомин. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.41 .В. А. Дыхта, О. Н. Самсонюк. Оптимальное импульсное управление с приложениями. М.: Физматлит, 2000.

39. А. М. Тер-Крикоров. Оптимальное управление и математическая экономика. М.: Наука, 1977.

40. О. И. Ларичев. Наука и искусство принятия решений. -М.: Наука, 1979.

41. О. И. Ларичев. Объективные модели и субъективные решения. М.: Наука, 1987.

42. О. И. Ларичев, Е. М. Мошкович. Качественные методы принятия решений. М.: Физматлит, 1996.

43. С. В. Емельянов, О. И. Ларичев. Многокритериальные методы принятия решений. М.: Знание, 1985.

44. Г. Г. Димитриади. О числе пар объектов, связанных отношением Парето-доминирования. // Электронный журнал «Исследовано в России», 86, стр. 1204-1210, 2000. http:// zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2000/086.pdf

45. Г. Г. Димитриади. Вычисление числа пар альтернатив, несравнимых методом принятия решений ЗАПРОС-Ш // В сборнике: О. И. Ларичев (ред.) Методы принятия решений.- М.: Эдиториал УРСС, 2001.

46. X. Р. Вэриан. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход: Учебное пособие. М.: ЮНИТИ, 1997.

47. Е. А. Дорофеев. Влияние колебаний экономических факторов на динамику фондового рынка // Российская программа экономических исследований. Научный доклад № 2000/09 (www.eerc.ru, http://195.28.33.75/).

48. Л. Маршалл. Принципы экономической науки. Т. 1-3. -М.: Прогресс Универс, 1993.

49. А. А. Петров, И. Г. Поспелов, А. А. Шананин. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996.

50. Е. М. Четыркин. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело Лтд., 1995.

51. Д. М. Хомяков, П. М. Хомяков. Основы системного анализа. М.: Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ им. М. В. Ломоносова, 1996.

52. Г. Г. Димитриади. Обзор моделей государственного долга.- М.: Эдиториал УРСС, 2002 и сайт www.mirkin.ru.

53. Г. Г. Димитриади. Математические модели финансовых пирамид // Электронный журнал «Исследовано в России»,83, стр. 929-936, 2002.http:Wzhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/083.pdf

54. Г. Г. Димитриади. Детерминированный подход к описанию финансовых пирамид // Труды XLV научной конференции МФТИ (ГУ) «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», ч. VII. М.: МФТИ, 2002.

55. Материалы сайта "Экспертный канал «Открытая экономика»" (opec.ru).

56. Ю. Н. Иванов, А. Г. Примак, Р. А. Сотникова, А. В. Уральский. Оптимальное апостериорное поведение на рынке ценных бумаг // Системные исследования. Методологические проблемы. ИСА РАН. Ежегодник, 2000. М.: Едито-риал УРСС, 2002.

57. Г. Г. Димитриади. Модели финансовых пирамид: детерминированный подход. М.: Едиториал УРСС, 2002 и сайт www.mirkin.ru.

58. Г. Г. Димитриади. Детерминированный подход к описанию финансовых пирамид с учетом вложений в рекламу: случай линейного роста // Журнал «Аспирант и соискатель». 2002, № 5. - с. 24-33.

59. Г. Г. Димитриади. Детерминированный подход к описанию финансовых пирамид с учетом вложений в рекламу: случай экспоненциального роста // Журнал «Аспирант и соискатель». 2002, № 5. - с. 34-38.

60. А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. Курс математического анализа. М.: Издательство МФТИ, 1997.

61. С. М. Никольский. Курс математического анализа: Учебник для вузов. М.: Физматлит, 2000.

62. С. М. Никольский. Курс математического анализа. Т. 1,2. -М.: Наука, 1975.

63. Д. В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Высшая школа, 1998.

64. А. Я. Дубовицкий, А. А. Милютин. Задачи на экстремум при наличии ограничений // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1965. - Т. 5, № 3.

65. А. Я. Дубовицкий, А. А. Милютин. Теория принципа максимума // Методы теории экстремальных задач в экономике. -М.: Наука, 1981.

66. Л. С. Гноенский, Г. А. Каменский, Л. Э. Эльсгольц. Математические основы теории управляемых систем. М.: Наука, 1969.1\.Л. Э. Эльсгольц. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1964.

67. А. Д. Мышкис. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. -М.: Гостехиздат, 1951.

68. Г. Л. Харатишвили. Принцип максимума в теории оптимальных процессов с запаздыванием // ДАН СССР, 136, № 1, 1961.

69. Я. Р. Магнус, П. К. Катышев, А. А. Пересецкий. Эконометрика. Начальный курс. Учебное пособие. М.: Дело, 1998.

70. С. А. Айвазян, И. С. Енюков, Л. Д. Мешалкин. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985.

71. Материалы сайта Russian-European Centre for Economic Policy (www.recep.ru).

72. Б. А. Хейфец. Кредитная история России: от Екатерины II до Путина. М: Эдиториал УРСС, 2001.

73. Б. А. Хейфец. Внешние долговые активы России. М: Эдиториал УРСС, 2001.

74. Рынок ценных бумаг: Учебник. // Под ред. В. А. Галанова, А. И. Басова. М.: Финансы и статистика, 2002.

75. Эконометрика. Учебник. // Под ред. И. И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2003.

76. Г. Г. Димитриади. Детерминированный подход к описанию финансовых пирамид с учетом вложений в рекламу // Журнал «Математическое моделирование», 2003, № 4, т. 15, с. 23-33.

77. А. П. Вавилов. Государственный долг: уроки кризиса и принципы управления. М.: Городец-издат, 2001.

78. В. В. Дикусар, М. А. Монастырский, В. Н. Мохов. Необходимые условия слабого экстремума для процессов с векторным запаздыванием в общей задаче оптимального управления // Автоматика и телемеханика, № 3, 1975, с. 5 -14.