автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование фазовых переходов в сложных оксидах со структурой перовскита методами теории перколяции

На правах рукописи

Манжосова Елена Николаевна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ В СЛОЖНЫХ ОКСИДАХ СО СТРУКТУРОЙ ПЕРОВСКИТА МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ПЕРКОЛЯЦИИ

05.13.18. Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

9 2 ^ * Ь Ь Астрахань-2005

Работа выполнена в Астраханском государственном университете

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Ю.Ю.Тарасевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Мусаев Г.М.

кандидат физико-математических наук, доцент Карибьянц В.Р.

Ведущая организация ГОУ ВПО «Московская государственная

академия приборостроения и информатики»

Защита состоится 16 декабря 2005 года в 15.00 на заседании диссертационного совета ДМ 212.009.03 при Астраханском государственном университете по адресу: 414056, Астрахань, ул. Татищева, 20а

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Астраханского Государственного Университета

Автореферат разослан 15 ноября 2005 года

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н., проф.

Петрова И.Ю.

¿ooH l2S306f

z?00£

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Сложные оксиды со структурой перовскита (АВ03) привлекают внимание исследователей с 1950 гг. Интерес к этим соединениям вызван, прежде всего, их уникальными сегнетоэлектриче-скими и магнитными свойствами, В последнее время активно исследуются так называемые двойные перовскиты - сложные оксиды со структурой ABxB'l lt03. Эффект «гигантского магнитосопротивления» в низких полях, обнаруженный в двойных перовскитах, привлёк к себе значительное внимание в связи с возможностью его практического применения в промышленности, в частности, в устройствах хранения и обработки информации, датчиках магнитного поля.

Известно, что свойства двойных перовскитов существенно зависят от наличия антиструктурных дефектов в подрешетке катионов (Navarro, 2003). Технология изготовления данных соединений позволяет варьировать концентрацию антиструктурных дефектов, получая частично неупорядоченные соединения с различными свойствами (Раевский и др., 2002). В частности, при изменении концентрации антиструктурных дефектов в этих соединениях возможны магнитные фазовые переходы. Предсказание свойств частично упорядоченных двойных перовскитов является актуальной задачей для создания соединений с заранее заданными свойствами.

Хорошо зарекомендовавшей себя моделью для описания процессов в неупорядоченных соединениях является теория перколяции. Теория успешно применялась для описания полимеризации, процессов распространения жидкостей и газов в пористых средах, изменения свойств полупроводников при их легировании (Шкловский Б.И., Эфрос А.Э., 1979) и ан-дерсоновской локализации в неупорядоченных твердых телах (J.M. Ziman, 1982). Применение теории перколяции для моделирования свойств оксидов со структурой перовскита представляется перспективным.

Являясь весьма общей математической моделью неупорядоченных сред, теория перколяции представляет собой мощный и универсальный математический аппарат. В то же самое время не все задачи теории перколяции решены до настоящего времени. Например, исследованиям задач квантовой перколяции, коррелированной перколяции посвящено небольшое количество работ. В частности, представляет несомненный теоретический интерес определение порога перколяции в коррелированной задаче узлов, в смешанной задаче теории перколяции, в задачах квантовой перколяции. Результаты, полученные при решении этих задач, могут быть использованы для описания процессов в неупорядоченных соединениях, в частности, в двойных 1:1 перовскитах.

Цель диссертационной работы - моделирование фазовых превращений в сложных оксидах со структурой перовскита методами теории

РОС. НАЦИОНАЛЬНА!

библиотека !

— н&аг S

перколяции. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

построить перколяционные модели для описания влияния антиструктурных дефектов и кислородных вакансий на свойства двойных 1:1 перовскитов;

рассчитать перколяционные характеристики построенных моделей; исследовать методы оценки порога квантовой перколяции в соединениях со структурой перовскита;

создать программу для моделирования влияния кислородных вакансий и концентрации антиструктурных дефектов на магнитные свойства двойных 1:1 перовскитов.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использовались методы математического моделирования. В частности,

- исследование перколяционных моделей производилось с помощью алгоритма Хошена-Копельмана;

- аналитические выражения были получены с использованием методов теории вероятности, матричной алгебры.

Положения, выносимые на защиту.

1. Перколяционные модели, примененные для описания влияния антиструктурных дефектов и кислородных вакансий на магнитные свойства двойных 1:1 перовскитов.

2. Результаты систематического исследования построенных моделей.

3. Программа для моделирования влияния кислородных вакансий и концентрации антиструктурных дефектов на магнитные свойства двойных 1:1 перовскитов.

Научная и практическая значимость.

Диссертация носит теоретический характер. Результаты исследования рассмотренных в диссертации перколяционных задач расширяют базу для выявления общих закономерностей и особенностей перколяционных процессов.

Результаты, полученные в диссертационном исследовании, могут быть использованы для предсказания свойств двойных 1:1 перовскитов. В частности:

1) найденное значение порога перколяции на коррелированной кубической решетке позволяет предсказывать концентрацию антиструктурных дефектов в сложных оксидах со структурой перовскита, при которой возможен магнитный фазовый переход;

2) проведенные расчеты мощности перколяционного кластера могут быть использованы для оценки магнитных свойств сложных оксидов со структурой перовскита в зависимости от концентрации антиструктурных дефектов;

3) расчеты среднего числа соседей в перколяционном кластере, совместно с теорией Гильо, могут применяться для оценки изменения температуры фазового перехода при изменении концентрации антиструктурных дефектов в сложных оксидах со структурой перовскита;

4) результаты расчетов распределения кластеров по размерам могут быть использованы для объяснения особенностей локальных магнитных полей в двойных 1:1 перовскитах;

5) результаты исследования смешанной перколяции могут применяться для предсказания фазовых переходов в частично упорядоченных дефектных по кислороду сложных оксидах со структурой перовскита;

6) проведенное исследование критериев квантовой перколяции может быть использовано для анализа спектра собственных значений гамильтониана сложных оксидов со структурой перовскита.

Разработанный программный комплекс может использоваться для расчета магнитных свойств конкретных оксидов со структурой перовскита.

Научная новизна.

Все положения, выносимые на защиту, являются новыми. Впервые решены следующие задачи:

построена и изучена перколяционная модель задачи узлов на коррелированной кубической решетке;

построена и изучена модель смешанной задачи теории перколяции на коррелированной кубической решетке;

перколяционные модели применены для описания влияния антиструктурных дефектов и кислородных вакансий на магнитные свойства двойных 1:1 перовскитов.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: 2nd International Conference on Material Science and Condensed Matter Physics, Chisinau, 2004; 7-й Международный симпозиум «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» ODPO-2004, г. Сочи, 2004; VIII международная конференция Серии "Нелинейный мир". ОБРАЗОВАНИЕ. ЭКОЛОГИЯ. ЭКОНОМИКА. ИНФОРМАТИКА, г. Астрахань, 2003; 4-я Международная научно-техническая конференция «Компьютерное моделирование 2003», г. Санкт-Петербург; 5-я Международная научно-техническая конференция «Компьютерное моделирование 2004», г. Санкт-Петербург; 6-я Международная научно-техническая конференция «Компьютерное моделирование 2005», г. Санкт-Петербург; Вторая Всероссийская научная конференция «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB», г. Москва, 2004; Итоговые научные конференции АГУ 2001, 2003, 2004, 2005 гг.

Личный вклад автора.

Положения и выводы, выносимые на защиту, все аналитические

формулы, основные результаты расчетов, приводимые в диссертации, принадлежат лично автору. Роль соавторов публикаций в следующем: постановка задачи - Тарасевич Ю.Ю.; расчеты, проведенные в рамках модели Изинга - Панченко Т.В.

Публикации автора по теме диссертации. Основные материалы диссертации опубликованы в 11 печатных работах.

Объем и структура работы.

Работа состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы из 57 названий, 3 приложений. Объем диссертации составляет 142 страницы, в том числе 39 рисунков, 2 таблицы, приложения на 28 страницах.

Во введении обосновывается актуальность диссертационной темы, формулируются цели и задачи исследования, научные положения, выносимые на защиту; дается краткая характеристика работы, её объем и структура.

Первая глава носит обзорный характер. В ней излагается состояние проблемы на текущий момент, приводятся необходимые теоретические результаты, которые используются в последующих главах. Кроме того, дается описание:

методики исследования поставленных в данной работе задач,

- алгоритма, используемого при расчетах,

- различных типов граничных условий,

. скейлинговых соотношений.

Вторая глава посвящена исследованию коррелированной перколя-ции на кубической решетке. В начале главы дается краткое описание модели исследуемой задачи.

Рассматривается строго чередующаяся двухцветная простая кубическая решетка. Каждый белый узел окружен черными узлами и наоборот, т.е. каждый узел изолирован и образует кластер единичного размера (см. рис. 1). Среда является полностью упорядоченной.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Рис. 1. Кубическая решетка (полностью упорядоченное распределение черных и белых узлов)

В случае полностью упорядоченного расположения узлов в решетке можно выделить черную подрешетку, т.е. кубическую решетку, в узлах которой расположены черные узлы, и белую подрешетку - кубическую решетку, в узлах которой расположены белые узлы.

Если порядок в расположении узлов нарушен, то часть черных узлов может быть обнаружена в белой подрешетке, а часть белых узлов - в черной подрешетке Обозначим р - вероятность обнаружить черный узел в белой подрешетке или, что то же самое, белый узел в черной подрешетке.

В случае строго упорядоченного расположения узлов - р- 0 - решетка содержит только кластеры размера 1. Если р > 0, то можно обнаружить белый кластер размера больше 1. В случае полностью неупорядоченного расположения черных и белых узлов - р = 0,5 - существует бесконечный кластер.

Для кластеров малых размеров (методами теории вероятностей) удалось получить аналитические выражения для вероятности п, того, что наудачу выбранный узел принадлежит черному кластеру определенного размера 5 на бесконечной решетке.

Вероятность принадлежности случайно выбранного узла: ^ единичному кластеру

«.^(О-^чу),

V кластеру размера 2 равна

^ кластеру размера 3 равна

«3 = \рЪ (1 ■- р1 (р1 + (1 - р)1 + V + 4(1 - р)6); ^ кластеру размера 4 равна

л4 = Зр"(] -р)"+51р10(1 - р)'° + 6р* (1 - р)4 [рп + (1 - р)п) +...

Численное моделирование проводилось на коррелированной кубической решетке по методу Монте-Карло с использованием алгоритма Хоше-на-Копельмана и различных типов граничных условий: свободные (СГУ) и периодические (ПГУ) граничные условия.

Результаты моделирования на решетке с линейным размером 128 узлов (общее количество рассматриваемых узлов (27) =22' ~ 2 ■ 10й) дают

хорошее согласие с полученными выражениями (см. рис. 2-5). В связи с тем, что вероятность обнаружить кластер заданного размера в зависимости от р симметрична относительно р = 0.5, на рисунках изображена только

левая часть графика.

0,55 0.50 0,45 0,40 0,35 030 0,25 020 0,15 0.100,050,00 -0,05

□ с периодическими граничными условиями Э со свободной границей

\ ------теор кривая с учетом свободно й границы

\---теор кривая для термодинамического предела

\ V

\

■а-

э—е—о

т—•—I ■' I ' I 1—I ■ 1 ' I ■ I ' I ■ I ■ I ■ I -0,050,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0.40 0,45 0.50 0,55

Рис. 2. Зависимость вероятности обнаружить единичный кластер от величины р

0,0000

□ с периодическими граничными условиями О со свободной границей

---теор. кривая с учетом свободной границы '

-теор криваядля — —У

термодинамического предела

1—■—1—'—I—■—г 0,00 0,05 0,10 0,15 0.20 0,2 5 0,30 0,35 0,40 0.45 0,50

Рис. 3. Зависимость вероятности обнаружить кластер размера 2 от величины р

Проведенное моделирование на кубических решетках разного линейного размера позволяет утверждать, что отклонение результатов компьютерного эксперимента от построенных аналитических кривых является размерным эффектом.

0,00040

0,00035

0,00030

0,00025

, 0,00020

0,00015

0,00010

0,00005

0,00000 о,

□ с периодическими граничными условиями О со свободной границей

---теор кривая с учетам свободной границы

-твор кривая для

термодинамическою предела —I—■—|—■—|—I—|—р—|—1—1—■—|—>—1—1—г 00 0,05 0,10 0,15 0.20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

Рис. 4. Зависимость вероятности обнаружить кластер размера 3 от величины р

0.0006Н 0,0005 0,0004. 0,00030,00020,0001 -0.0000

, / □ с периодическими

граничными условиями // о со свободной границей

---теор кривая с учетом свободной границы

—— теор криваядля термодинамического предела

0,0 0,1 0,2 р 0,3 0,4 0,5

Рис. 5. Зависимость вероятности обнаружить кластер размера 4 от величины р

При численном моделировании получено распределение кластеров по размерам (рис. 6). Компьютерный эксперимент показал, что при малых р кластеры невелики и изолированы. С ростом р они сливаются и их средний размер растет.

В полностью неупорядоченной системе (при р=0,5) наблюдается картина соответствующая классической, т.е. вероятность обнаружить кластер экспоненциально падает с увеличением размера кластера. Но с уменьшением доли возмущения картина меняется. Появляются наиболее вероятные размеры кластеров.

1 2 3 4 & в 7 в 9 10 1112 1314 18 1617 1в1в 20 размер кластера

Рис. 6. Распределение кластеров по размерам

Для определения порога перколяции рассматривались кубические решетки с линейным размером 16, 32, 64, 128. Порог перколяции определялся путем аппроксимации вероятности возникновения протекания по методу наименьших квадратов кривыми вида

РЛ 1 +

и Р =

1 +

а

а также полиномами третьей степени. При этом считалось, что перколяция возникает, если появился стягивающий кластер в направлении верх-низ.

I

С использованием скейлингового соотношения \рс (оо) - р^ (¿)|°с £ ",

где V = 0.68 - критический показатель для трехмерного пространства (см. рис. 7) полученные данные аппроксимировались на случай бесконечной решетки.

На кубической решетке с использованием СГУ порог перколяции равен рс = е~'92905 = 0.14529, с использованием ПТУ - рс = е"'9527 = 0.14476.

Наряду с порогом перколяции была определена вероятность того, что случайным образом выбранный черный узел принадлежит перколяци-онному кластеру - мощность перколяционного кластера (см. рис 8).

о вычяслитвлшые дажыв

-1пО>„)=-1 933-0 12а

0,00 0.02 0,04 0,06 008 0,10 0,12 0.14 р =014516 —г

0,13

-1-'—I-■—Г-

0,14 0,15 0,16 0,17 0,18

-т-

-г

0,19 0.20 0,21

Рис. 7. Определение порога перколяции на кубической решетке размера 128 с использованием ПГУ. На вставке: использование скейлингового соотношения для аппроксимации данных на случай бесконечной решетки

1,0-

09-

0,8-

0,7-

0.6-

0,5-

0,4-

0,3-

02-

т1 ■ 1 1 ■ -I-1* - 1 г—!-1-1-1-г—--

/ ! —о~Рн*

0 1 —•—РЬи1К

0,050

0 045

0,040

0,035

0,030 £ я=

0,025 0,020 0,015 0,010

010 0,15 0,20 0.25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 Р

Рис. 8. Мощность перколяционного кластера и доля узлов, принадлежащих «плотной части'» перколяционного кластера с использованием ПГУ

Был рассчитан приведенный средний размер кластера. Из приведенного ниже рис. 9 видно, что в критической области \р - рс\«\ приведенный средний размер кластера неограниченно увеличивается, что отражает увеличение числа узлов в критических кластерах, однако основная часть занятых узлов сосредоточена в кластерах единичного размера (см. рис. 6).

1 «Плотная часть» кластера = кластер - его оболочка

10000

1000,

100

ю-

1,

0.14 0 0,142 0,144 0,140 0,140 0,150

о О О О О

-I—■ I > I—■ I '—I—I—I—■ I > I—I—|—■—I—'—I

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 055 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55

Рис. 9. Приведенный средний размер кластера на кубической решетке с линейным размером 128 с использованием ПГУ

Кроме того, определено среднее число соседей на каждый узел пер-коляционного кластера (см. рис. 10).

3,2- термодинамический предел -16

I 1 I—■—|—|—Г" 0,10 0,15 0,2 0 0,25 0,30 0,3 5 0,40 0,45 0,50 0,55

Рис. 10. Среднее число соседей для каждого узла перколяционного кластера с использованием 111 У. На вставке представлено использование скейлингового соотношения для аппроксимации на случай бесконечной решетки для доли беспорядка р - 0.5

Далее рассматривается еще одна задача теории перколяции - задача узлов и связей на коррелированной решетке. По аналогии с задачей узлов, обозначим ps вероятность обнаружить белый узел в черной подрешетке или черный узел в белой подрешетке. Будем считать, что два узла одного цвета принадлежат одному и тому же кластеру, если между ними сущест-

вует путь из узлов того же цвета, соединенных неразорванными связями. Будем искать долю неразорванных связей рь, при которой в системе впервые возникает бесконечный кластер, как функцию степени неупорядоченности р%. В случае ръ = 1 задача, очевидно, переходит в задачу узлов на коррелированной кубической решетке.

В работе приведены различные аппроксимации численных данных на основе известных методов (см. рис. 11).

1. На основании теоремы Хаммерсли сделано предположение о том, что в нашем случае искомая кривая располагается между гиперболами:

О)

А 2А

2. Получена аппроксимация результатов компьютерного эксперимента на основе формулы Януки - Энглмана:

I °гРл

л(А)=/>сь(2Д)~|082'"- (2)

3. На основании формулы Тарасевича - ван дер Марка получена ещё одна приближающая функция:

МлК • (3)

Р.

Рис. 11. Аппроксимация результатов компьютерного эксперимента различными формулами

Кроме того, построена аппроксимация полиномом:

РА(х) = 74.86 х4 — 113.93 х3 + 66.05 х2 -17.73 х + 2.47,

и эллипсом (см. рис. 12):

/М-И'-оДЩ-

0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

Р,

Рис. 12. Аппроксимация результатов компьютерного эксперимента полиномом и эллипсом

Для сравнения качества приближений вычислены среднеквадратиче-ские отклонения данных функций от полученных численных данных (см. Таблица 1).

Таблица 1.

Среднеквадратичные отклонения результатов аппроксимирующих

функций от результатов компьютерного эксперимента

Формулы Среднеквадратичное отклонение

Януки-Энглмана 0,054

Тарасевича-ван дер Марка 0,076

Полином 4 степени 0,009

Эллипс 0,014

Сравнение качества приближений полученных формул показывает, что аппроксимации в виде полинома и эллипса являются наиболее предпочтительными, но ввиду большого количество параметров, не связанных с параметрами системы, данные приближения нельзя считать достаточно хорошими.

Далее описывается приложение рассмотренных задач к исследованию магнитных свойств двойных 1:1 перовскитов.

Большое число соединений имеют структуру двойного перовскита. Среди них - соединения с формулой А2(РеМ)06. Структура этих соединений может быть отражена на кубической решетке (см. рис. 1). Поэтому

моделирование свойств двойных 1:1 перовскитов производилось на этой решетке.

В зависимости от режима изготовления этих соединений в решетке могут возникать антиструктурные дефекты.

Один из аспектов, многообещающих в плане понимания свойств этих веществ - упорядочение атомов. Недавно было показано (Navarro, 2003), что антиструктурный дефект имеет драматическое влияние на их магнитные свойства. Эксперименты показали, что во многих образцах намагниченность насыщения меньше теоретически указанных значений. Обычно этот эффект связывают с наличием антиструктурных дефектов.

Как показали исследования, приводимые выше, при концентрации дефектов приблизительно 14,5% образуется перколяционный кластер. На основе проведенного эксперимента можно объяснить магнитные свойства ферромолибдатов. В частности, проведенное исследование позволяет объяснить отсутствие видимого расслоения на магнитные фазы в ферромо-либдате стронция. При больших концентрациях антиструктурных дефектов в соединении может происходить фазовое расслоение на макроскопические области: парамагнитную область Мо-О-Мо, и магнитоупорядо-ченную область Fe-0-Fe со встроенными фрагментами Fe-0-Mo. Однако, как показали наши расчеты, размер парамагнитных областей оказывается крайне незначительным. Благодаря обменному взаимодействию Fe-0-Mo, формируется магнитоупорядоченное состояние атомов, принадлежащих внешнему периметру (hull) перколяционного кластера Мо-О-Мо (Мо-О-Мо не влияет на свойства всего образца). Доля атомов Мо, принадлежащих парамагнитным областям, не превышает 5% (см. рис. 8).

Магнитные свойства зачастую связывают со средним числом соседей у узлов, принадлежащих перколяционному кластеру (Gilleo, 1958; Юдин В.М. и др., 1967; Смоленский Г.А. и др., 1961). Считается, что температура Нееля определяется средним числом соседних атомов в перколя-ционном кластере. Наиболее вероятно, что полученный нами характер за' висимости среднего числа соседей от концентрации антиструктурных дефектов вблизи порога перколяции определяется эффектами, связанными с конечным размером решетки. Можно предположить, что в термодинами' ческом пределе эта величина вблизи порога перколяции должна демонстрировать критическое поведение.

Другим дефектом структуры двойных перовскитов, возникающим при производстве этих соединений, является кислородная вакансия.

Путем изменения технологии изготовления феррониобата свинца можно получить образцы с кислородными вакансиями PbFe^Nb./.Oj-s (см. рис. 13). Отсутствие кислородных мостиков между некоторыми ато-

!

мами железа в (частично) неупорядоченном соединении делает невозможным косвенный обмен и, следовательно, появление магнитного порядка.

а)

б)

кислородная антисгрукгурныи вакансия дефект

Рис. 13. Кубическая решетка (неупорядоченное расположение черных и белых узлов, учет антиструктурного дефекта)

В рамках предложенного подхода дополнительно можно легко учесть влияние на магнитные свойства кислородных вакансий.

Было проведено исследование изменения магнитных свойств этого соединения в зависимости от концентрации антиструктурных дефектов и кислородных вакансий. Полученная в результате компьютерных экспериментов магнитная фазовая диаграмма (см. рис.11), позволяет проводить сравнение с экспериментом, а также предсказывать магнитные свойства двойных 1:1 перовскитов в зависимости от концентрации антиструктурных дефектов и кислородных вакансий. Проведенные расчеты позволяют утверждать, что при наличии кислородных вакансий магнитный фазовый переход происходит при большей концентрации антиструктурных дефектов.

Проведенное исследование позволяет утверждать, что моделирование методом Монте-Карло в сочетании с перколяционным подходом позволяет понять основные особенности магнитных свойств двойных перовскитов.

В третьей главе рассматривается задача оценки порога квантовой перколяции в смешанной задаче (задаче узлов и связей). Такая ситуация возникает, например, при исследовании бинарных систем, в которых атомы различных сортов чередуются. Математической моделью кристаллической решетки бинарной системы является регулярный двудольный граф.

С математической точки зрения определение порога квантовой перколяции сводится к исследованию спектра собственных значений гамильтониана Гамильтониан, в свою очередь, можно рассматривать как матрицу инцидентностей некоторого случайного графа.

Подход, позволяющий оценивать спектр собственных значений матрицы инцидентностей двудольного графа, был развит в работах Ребане.

Дополнительная информация о спектре собственных значений матрицы инцидентностей была получена при использовании критериев Гершгорина, Адамара, Фидлера. На основании критериев, указанных выше исследовались квадратная, треугольная и шестиугольная решетки. Для них были рассчитаны собственные значения и получены области, ограничивающие собственные значения матрицы инцидентностей (см. Таблица 2).

Таблица 2.

Круги локализации собственных значений, полученные на основе

различных критериев

Решетка Критерий Гершгорина Критерий Адамара Критерий Фидлера Собственные значения

Треугольная Я <6 И <9 |Д|<Зл/2 ±2; ± 2\/3; 0

Квадратная |Я|<4 |А|<6 |ф2л/з ±2;±2>/2;0

Шестиугольная |фз |Я|<4 |я|<7п ±>/3; ± л/б; 0

На основе полученных данных можно предположить, что наиболее общим, грубым критерием является критерий Адамара. Неплохие резуль-4 таты дает критерий Гершгорина. Наиболее приемлемым в большинстве

случаев является критерий Фидлера, но вычислительная сторона этого критерия - очень громоздка.

На основе данных по регулярным графам можно делать выводы о нерегулярных (в различных формулировках начальных данных).

В зависимости от количества разрушенных связей или узлов изменяется и спектр собственных значений матрицы инцидентностей. С увеличением доли разрушенных узлов спектр собственных значений из непрерывного становится дискретным, из непрерывной окружности преобразуется в набор пиков, вписанных в данную окружность, а следовательно, в системе происходит переход от локализованных к делокализованным состояниям.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

I. Разработана модель задачи узлов теории перколяции на коррелиро-- ванной кубической решетке, которая применена для описания влия-

ния антиструктурных дефектов на магнитные свойства двойных 1:1 перовскитов.

« 11. В результате систематического исследования построенной модели вы-

явлено:

1) в задаче узлов на коррелированной кубической решетке порог перколяции равен 0,145, что может соответствовать магнитному фазовому переходу.

2) распределение кластеров по размерам немонотонно в коррелированной задаче узлов на кубической решетке, что следует как из

полученных аналитических формул, так и из результатов численного моделирования.

3) при доле антиструктурных дефектов 20% мощность «плотной части» перколяционного кластера в задаче узлов на коррелированной кубической решетке достигает максимума.

4) среднее число соседей каждого узла перколяционного кнастера в задаче узлов на коррелированной кубической решетке монотонно возрастает.

III. Построена модель смешанной задачи теории перколяции на коррелированной кубической решетке, которая применена для описания влияния антиструктурных дефектов и кислородных вакансий на магнитные свойства двойных 1:1 перовскитов.

IV. В результате исследования построенной модели получены следующие результаты:

1) в смешанной задаче теории перколяции определена критическая линия, отделяющая перколяционную область от неперколяцион-ной - линия фазового перехода.

2) получены аппроксимации линии фазового перехода на основе формул Хаммерсли, Януки-Энглмана, Тарасевича-ван дер Марка, а также другими кривыми.

V. Проведен анализ методов оценки порога квантовой перколяции в соединениях со структурой перовскита.

VI. Создана программа для моделирования влияния кислородных вакансий и концентрации антиструктурных дефектов на магнитные свойства двойных 1:1 перовскитов.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

AI. Тарасевич Ю.Ю., Манжосова E.H. Моделирование магнитных свойств двойных 1:1 перовскитов в перколяционном подходе // Математическое моделирование. 2005. том 17, №5, с. 17-23

А2. Tarasevich Yu.Yu., Manzhosova E.N. On site percolation on the correlated simple cubic lattice // International Journal of Modern Physics C, vol. 14, no. 10 (2003), pp. 1405-1412.

A3. Yu.Yu. Tarasevich, T.V. Panchenko, Manzhosova E.N. Octahedral cation antisite disorder effects in double 1:1 perovskites: Monte Carlo simulation study and percolation approach // J. Phys. IV France 126 (2005). pp 6568.

A4. Тарасевич Ю.Ю., Манжосова E H. Решение задач теории перколяции с помощью пакета MATLAB // Exponenta Pro. Математика в приложениях, 2004, № 6(2), с.22-26.

А5. Тарасевич Ю.Ю., Манжосова E.H. Коррелированная перколяция на кубической решетке как модель для описания свойств соединений

АВ1/2В',/2Оз // Компьютерное моделирование 2003: Труды Между-нар. Науч.-техн. конф. СПб.: «Нестор», 2003. с. 230-231.

А6. Манжосова E.H., Тарасевич Ю.Ю. Моделирование в перколяцион-ном подходе магнитных свойств двойных 1:1 перовскитов // Труды VI Междунар. науч.-техн. конф. СПб.: Изд-во Политехнического университета, 2005. с. 75-79.

А7. Тарасевич Ю.Ю., Панченко Т.В., Манжосова E.H. Моделирование магнитных свойств двойных перовскитов. // Труды Второй Всероссийской научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB».— М.: ИПУ РАН, 2004.— 1955 е.: ил. ISBN 5-201-14971-5, с.422-^30.

А8. Тарасевич Ю.Ю., Панченко Т.В., Манжосова E.H. Моделирование методом Монте-Карло влияния степени упорядочения катионов на магнитные свойства двойных перовскитов // Компьютерное моделирование 2004: Труды 5-й Междунар. науч.-техн. конф. Часть 2. -СПб.: Изд-во «Нестор», 2004. с. 99-102.

А9. Тарасевич Ю.Ю., Панченко Т.В., Манжосова E.H. Влияние степени упорядочения катионов на магнитные свойства двойных 1:1 перовскитов: моделирование методом Монте-Карло и перколяционный подход. // 7-й Международный симпозиум «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» ODPO-2004, Сочи, 13-16 сентября 2004.: Сборник трудов. - Ростов н/Д: Издательство Ростовского государственного педагогического университета, 2004. 329 с. ISBN 5-8480-0450-1. с. 217-220.

А10. Тарасевич Ю.Ю., Манжосова E.H. Влияние беспорядка на среднее число соседей в перколяционном кластере // Ученые записки: Материалы докладов итоговой научной конференции АТУ, 29 апреля 2004 года. Астрахань: Издательский дом «Астраханский университет» 2005. т.1. Биология. География. Физика. Математика. Информатика. с.131-137.

All. Манжосова E.H., Тарасевич Ю.Ю. Программа для моделирования влияния кислородных вакансий и концентрации антиструктурных дефектов на магнитные свойства двойных 1:1 перовскитов // Отраслевой фонд алгоритмов и программ. Регистрационный номер 50200401140 от 27.09.2004 года.

Подписано в печать 14.11.2005 г. Заказ № 805. Тираж 100 экз. Уч.-изд. л. 1,2. Усл. печ. л. 1,1.

Оттиражировано в Издательском доме «Астраханский университет» 414056, г. Астрахань, ул. Татищева, 20 тел. (8512) 54-01-87,54-01-89

РНБ Русский фонд

2006-4 28008

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ПЕРКОЛЯЦИЯ КАК БАЗОВАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ОПИСАНИЯ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ

§ 1. Основные методы теории перколяции и её приложения

§ 2. Коррелированная перколяция

§ 3. Смешанная перколяция

§ 4. Континуальная перколяция

§ 5. Квантовая перколяция

§ 6. Методика проведения расчетов

§ 6.1. Алгоритм поиска перколяционного кластера

§ 6.2. Типы граничных условий

§ 6.3. Скейлинговые соотношения

Актуальность работы.

Сложные оксиды со структурой перовскита (АВОз) привлекают внимание исследователей с 1950 гг. Интерес к этим соединениям вызван, прежде всего, их уникальными сегнетоэлектрическими и магнитными свойствами. В последнее время активно исследуются так называемые двойные перовскиты — сложные оксиды со структурой АВхВ,'.хОз. Например, эффект «гигантского магнитосопротивления» в низких полях, обнаруженный в двойных перовскитах, привлёк к себе значительное внимание в связи с возможностью его практического применения в промышленности, в частности, в устройствах хранения и обработки информации, датчиках магнитного поля.

Известно, что свойства двойных перовскитов существенно зависят от наличия антиструктурных дефектов в подрешетке катионов (Navarro, 2003). Технология изготовления данных соединений позволяет варьировать концентрацию антиструктурных дефектов, получая частично неупорядоченные соединения с различными свойствами (Раевский и др., 2002). В частности, при изменении концентрации антиструктурных дефектов в этих соединениях возможны магнитные фазовые переходы. Предсказание свойств частично упорядоченных двойных перовскитов является актуальной задачей для создания соединений с заранее заданными свойствами.

Хорошо зарекомендовавшей себя моделью для описания процессов в неупорядоченных соединениях является теория перколяции. Теория успешно применялась для описания полимеризации, процессов распространения жидкостей и газов в пористых средах, изменения свойств полупроводников при их легировании (Шкловский Б.И., Эфрос А.Э., 1979) и андерсоновской локализации в неупорядоченных твердых телах (J.M. Ziman, 1982). Применение теории перколяции для моделирования свойств оксидов со структурой перовскита представляется перспективным.

Являясь весьма общей математической моделью неупорядоченных сред, теория перколяции представляет собой мощный и универсальный математический аппарат. В то же самое время не все задачи теории перколяции решены до настоящего времени. Например, исследованиям задач квантовой перколяции, коррелированной перколяции посвящено небольшое количество работ. В частности, представляет несомненный теоретический интерес определение порога перколяции в коррелированной задаче узлов, в смешанной задаче теории перколяции, в задачах квантовой перколяции. Результаты, полученные при решении этих задач, могут быть использованы для описания процессов в неупорядоченных соединениях, в частности, в двойных 1:1 перовскитах.

Цель диссертационной работы - моделирование фазовых превращений в сложных оксидах со структурой перовскита методами теории перколяции. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

- построить перколяционные модели для описания влияния антиструктурных дефектов и кислородных вакансий на свойства двойных 1:1 перовски-тов;

- рассчитать перколяционные характеристики построенных моделей;

- исследовать методы оценки порога квантовой перколяции в соединениях со структурой перовскита;

- создать программу для моделирования влияния кислородных вакансий и концентрации антиструктурных дефектов на магнитные свойства двойных 1:1 перовскитов.

Методы исследования.

Для решения поставленных задач в работе использовались методы математического моделирования. В частности,

- исследование перколяционных моделей производилось с помощью алгоритма Хошена-Копельмана;

- аналитические выражения были получены с использованием методов теории вероятности, матричной алгебры.

Положения, выносимые на защиту.

1. Перколяционные модели, примененные для описания влияния антиструктурных дефектов и кислородных вакансий на магнитные свойства двойных 1:1 перовскитов.

2. Результаты систематического исследования построенных моделей.

3. Программа для моделирования влияния кислородных вакансий и концентрации антиструктурных дефектов на магнитные свойства двойных 1:1 перовскитов.

Научная и практическая значимость.

Диссертация носит теоретический характер. Результаты исследования рассмотренных в диссертации перколяционных задач расширяют базу для выявления общих закономерностей и особенностей перколяционных процессов.

Результаты, полученные в диссертационном исследовании, могут быть использованы для предсказания свойств двойных 1:1 перовскитов. В частности: a) найденное значение порога перколяции на коррелированной кубической решетке позволяет предсказывать концентрацию антиструктурных дефектов в сложных оксидах со структурой перовскита, при которой возможен магнитный фазовый переход; b) проведенные расчеты мощности перколяционного кластера могут быть использованы для оценки магнитных свойств сложных оксидов со структурой перовскита в зависимости от концентрации антиструктурных дефектов; c) расчеты среднего числа соседей в перколяционном кластере, совместно с теорией Гильо, могут применяться для оценки изменения температуры фазового перехода при изменении концентрации антиструктурных дефектов в сложных оксидах со структурой перовскита; d) результаты расчетов распределения кластеров по размерам могут быть использованы для объяснения особенностей локальных магнитных полей в двойных 1:1 перовскитах; e) результаты исследования смешанной перколяции могут применяться для предсказания фазовых переходов в частично упорядоченных дефектных по кислороду сложных оксидах со структурой перовскита; f) проведенное исследование критериев квантовой перколяции может быть использовано для анализа спектра собственных значений гамильтониана сложных оксидов со структурой перовскита.

Разработанный программный комплекс может использоваться для расчета магнитных свойств конкретных оксидов со структурой перовскита.

Научная новизна.

Все положения, выносимые на защиту, являются новыми. Впервые решены следующие задачи:

- построена и изучена перколяционная модель задачи узлов на коррелированной кубической решетке;

- построена и изучена модель смешанной задачи теории перколяции на коррелированной кубической решетке;

- перколяционные модели применены для описания влияния антиструктурных дефектов и кислородных вакансий на магнитные свойства двойных 1:1 перовскитов.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- 2nd International Conference on Material Science and Condensed Matter Physics, Chisinau, 2004;

- 7-й Международный симпозиум «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» ODPO-2004, г. Сочи, 2004;

- VIII международная конференция Серии "Нелинейный мир". ОБРАЗОВАНИЕ. ЭКОЛОГИЯ. ЭКОНОМИКА. ИНФОРМАТИКА, г. Астрахань, 2003;

- 4-я Международная научно-техническая конференция «Компьютерное моделирование 2003», г. Санкт-Петербург;

- 5-я Международная научно-техническая конференция «Компьютерное моделирование 2004», г. Санкт-Петербург;

- 6-я Международная научно-техническая конференция «Компьютерное моделирование 2005», г. Санкт-Петербург;

- Вторая Всероссийская научная конференция «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB», г. Москва, 2004;

- итоговые научные конференции АГУ 2001, 2003, 2004, 2005 гг.

Личный вклад автора.

Положения и выводы, выносимые на защиту, все аналитические формулы, основные результаты расчетов, приводимые в диссертации, принадлежат лично автору. Роль соавторов публикаций в следующем: постановка задачи -Тарасевич Ю.Ю.; расчеты, проведенные в рамках модели Изинга - Панчен-ко Т.В.

Публикации автора по теме диссертации.

Основные материалы диссертации опубликованы в 11 печатных работах.

Объем и структура работы.

Работа состоит из введения, 3 глав, заключения, 3 приложений и списка литературы из 57 названий. Объем диссертации составляет 142 страницы, в том числе 39 рисунков, 2 таблицы, приложения на 28 страницах.

Результаты исследования рассмотренных в диссертации перколяционных задач расширяют базу для выявления общих закономерностей и особенностей, перколяционных процессов.

Всё выше изложенное позволяет утверждать, что в диссертации содержится решение задач, которые имеют существенное значение как для теории перколяции как таковой, так и для описания свойств неупорядоченных соединений, в частности двойных 1:1 перовскитов.

1. Flory P. J. J. Am. Chem. Soc. 63 3083, 3091, 3906 (1941)

2. Stockmayer W. H. Theory of molecular size distribution and gel formation in branched polymers. // J. Chem. Phys. 11 45-55 (1943)

3. Broadbent S. K., Hammersley J. M. Percolation processes I. Crystals and mazes. //Proc. Camb. Phil. Soc., 1957, 53, 629-641.

4. Эфрос А.А. Физика и геометрия беспорядка. М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1982, 176 с.

5. Yang Н.М., Lee W.Y., Han Н., Leea B.W., Kim С. S. J. of Appl. Phys., 93, 10, 6987(2003).

6. Тарасевич Ю.Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы. М.: Еди-ториал УРСС, 2003.

7. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991.

8. Bunde A., Halvin S. Percolation I. Percolation II. In: Fractals and Disordered Systems / Armin Bunde and Shlomo Halvin (Eds.). 2nd Revised and Enlarged Edition-Springer, 1995. pp. 58-175.

9. Соколов И.М. Размерности и другие геометрические критические показатели в теории протекания. // УФН 150(2) 221-255 (1985).

10. Bendisch J., Reimann S., von Trohta H. Site percolation for a class of constrained honeycomb lattices // Physica A, 2002, vol. 307, 1-14.

11. Bendisch J., Reimann S. On global site-percolation on the correlated honeycomb lattices // Physica A, 2001, vol. 296, 391-404.

12. Coniglio A., Stanley H. E., Klein W. Site-Bond Correlated Percolation Problem: A Statistical Mechanical Model of Polymer Gelation // Phys. Rev. Lett. 42 (8), 518-522(1979).

13. Coniglio A. J. Phys. A: Math. Gen. 15, 3829 (1982).

14. Hammersley J.M. A generalization of McDiarmid's theorem for mixed Bernoulli percolation. //Math. Proc. Camb. Phyl. Soc., 1980, vol. 88, 167 169.

15. Frisch H. L., Hammersley J. M. J. Soc. Ind. Appl. Math. 11, 894-918 (1963).

16. Hoshen J. Univ. of Michigan, preprint (1978).

17. Agrawal P., Redner S., Reynolds P. J., Stanley H. E. Site-bond percolation: a low-density series study of the uncorrelated limit. // J. Phys. A: Math. Gen. 12 , 2073-2085 (1979).

18. Nakanishi H., Reynolds P. J. Site-bond percolation by position-space renormali-zation group. // Phys. Lett. A 71, 252-255 (1979).

19. Yanuka M., Englman R. Bond-site percolation: empirical representation of critical probabilities. //J. Phys. A: Math. Gen. 23, L339-L345 (1990).

20. Tarasevich Yu.Yu., van der Marck S. C. An investigation of site-bond percolation on many lattices // Int. J. Mod. Phys. C, 1999, vol. 10, no. 7, 1193-1204.

21. Lorenz C. D., May R., Ziff R. M. Similarity of percolation thresholds on the hep and fee lattices. //J. Stat. Phys. 2000, 98 (3-4), 961-970; cond-mat/9908034

22. Займан Дж. Модели беспорядка. Теоретическая физика однородно неупорядоченных систем: Пер. с англ. М.: Мир, 1982. -592 е., илл.

23. Halperin В. I., Feng S., Sen P. S. Difference between lattice and continuum percolation transport exponents. // Phys. Rev. Lett 54 , 2391 (1985)

24. Pike G. E., Senger С. H. Percolation and conductivity: A computer study. I // Phys. Rev. В 10 1421 (1984).

25. Скал A.C., Шкловский Б.И. Влияние концентрации примесей на прыжковую проводимость в полупроводниках. // Физика и техника полупроводников, 1759(1973).

26. Rottereau V., Gimel J.C., Nicolai Т., Durand D. 3d Monte Carlo simulation of site-bond continuum percolation of spheres.// Eur. Rhys. J. Ell, 61-64 (2003).

27. Шкловский Б.И., Эфрос A.JI. Электронные свойства Легированных полупроводников.-М.: Наука, 1979.

28. Abrikosov A. A. Spin glasses with short range interaction.// Adv. Phys. 29, 869 (1980).

29. Vandewalle N., Galam S., Kramer M. Random Sequential Deposition of Needles // Eur. Phys. J. В 14 (2000) 407-410; (cond-mat/0004271)

30. Nakamura M. Random sequential packing in square cellular structures.// J. Phys. A: Math. Gen. 19 (1986) 2345-2351.

31. Nakamura M. Percolational and fractal property of random sequential packing patterns in square cellular structures. // Phys. Rev. A: 36 (1987) 2384-2388.

32. Bauer M., Golinelli O. On the kernel of three incidence matrices. //Journal of Integer Sequences, vol. 2(2000), Article 00.1 .A.

33. Bauer M., Golinelli O. Random incidence matrices: moments of spectral density. //J. Stat. Phys. 103, 301-337 (2001); cond-mat/0007127.

34. Bauer M., Golinelli O. Core percolation in random graphs: a critical phenomena analysis.//Eur. Phys. J. В 24, 339-352 (2001); cond-mat/0102011.

35. Bauer M., Golinelli O. Random incidence matrices: spectral density at zero energy. //Preprint Spht 00/087; cond-mat/0006472.

36. Bauer M., Golinelli O. Exactly solvable model with two conductor-insulator transitions driven by impurities.// Phys. Rev. Lett. 86, 2621-2624 (2001); cond-mat/0006472.

37. Coulson C.A., Londuet-Higgins H.C. The electronic structure of conjugated systems. I General theory //Proc. Roy. Soc. 1947, v. 191, Sec. A, N 1024, pp. 3960.

38. Ребане Т.К. Спектр энергии электронов в неупорядоченных альтернантных структурах// ФТТ, 1986, т.28, №5, с. 1368-1369.

39. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. Гл. Ред. Физ.-мат. Лит., 1988.

40. AndersonP.W.-Phys. Rew., 1958, v. 109, p. 1492-1505.

41. Hoshen J., Kopelman R. Percolation and cluster distribution. I. Cluster multiple labeling technique and critical concentration algorithm. // Phys. Rev. В 1976 -14(8), 3438-3445.

42. Yin W.-G., Tao R. Rapid algoritm for identifying backbones in the two-dimensional percolation model.// cond-mat / 0012169

43. Chayes J.T., Chayes L. In is not true for d=2 percolation with periodic tateral boundary conditions. // Phys.Rev.Lett., 56, 1619, 1986

44. Ma Ш. Современная теория критических явлений. М., Мир, 1980 г.

45. Bunde A., Havlin S. Fractals and Disordered Systems. 2-nd Edition. (Eds.) -Springer, 1996.

46. Lorenz C.D., Ziff R.M. Universality of the excess number of clusters and the crossing probability function in three-dimensional percolation. //J. Phys. A: Math. Gen., 1998 vol. 31, 8147-8157.

47. Stauffer D, Aharony A. Introduction to percolation theory. 2nd Edition. London, Washington, DG: Taylor & Francis, 1992.

48. Babalievski F. Comment on Universal formulas for percolation thresholds. II. Extension to anisotropic and aperiodic lattices. // Phys. Rev. E 55 (1), 1228-1229(1997).

49. Navarro J., Nogués J., Muñoz J. S., Fontcuberta J. Antisites and electron-doping effects on the magnetic transition of S^FeMoOö double perovskite // Phys. Rev. B, 2003, vol. 67, 174416.

50. García-Hernández M., Martínez J.L., Martínez-Lope M.J., Casais M.T., Alonso J.A. Finding Universal Correlations between Cationic Disorder and Low Field Magnetoresistance in FeMo Double Perovskite Series // Phys. Rev. Lett., 2001, vol. 86, no. 11,2443.

51. Раевский И.П., Китаев B.B., Брюгеман C.A., Сарычев Д.А., Богатин A.C., Николаев B.C., Богатина С.А., Шилкина JI.A. Труды межд. симпозиума «Порядок, беспорядок и свойства оксидов». ч.2, 54, Сочи (2002).

52. Gilleo М.А. Phys. Rev. 109, 777 (1958).

53. Gilleo M.A. J. Phys. Chem. Solids 13, 33 (1960).

54. Смоленский Г.А. и др. Известия АН СССР, сер. физ. 25, 1333 (1961)

55. Смоленский Г.А. и др. ФТТ, 6, 2936 (1965)

56. Lima R.P.A., Lyra M.L. Quantum percolation in power-law diluted chains.// cond-mat/0103545

57. Weiße A., Fehske H. Numerical study of quantum percolation. // cond-mat/0106247