автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Сравнительный анализ эффективности генетических алгоритмов и алгоритма Метрополиса применительно к задачам физики твердого тела

На правах рукописи

Панченко Татьяна Вячеславовна

Сравнительный анализ эффективности генетических алгоритмов и алгоритма Метрополиса применительно к задачам физики твердого тела

05 13 18 Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003160656

Астрахань - 2007

003160656

Работа выполнена в Астраханском государственном университете

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ доктор физико-математических наук,

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ

доктор физико-математических наук, профессор Мусаев Г М

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ Южный научный центр РАН

Защита состоится 2 ноября 2007 года в 10 00 на заседании диссертационного совета ДМ 212 009 03 при Астраханском государственном университете по адресу 414056, Астрахань, ул Татищева, 20а

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные гербовой печатью, просим направлять ученому секретарю диссертационного совета по адресу 414056, Астрахань, ул Татищева, 20а, диссертационный совет

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Астраханского государственного университета

Автореферат разослан 29 сентября 2007 года

доцент Тарасевич Ю Ю

доктор физико-математических наук, профессор Соловьев А Н

/

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор технических наук, профессор

Петрова И Ю

1. Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Твердые растворы АВ^В'/^Оз оксидов со структурой перовскита привлекают внимание исследователей несколько последних десятилетий Эти вещества представляют интерес как с прикладной, так и с чисто научной точки зрения ввиду их уникальных электромеханических свойств Из многочисленных твердых растворов АВ^В"_хОз, называемых двойными перовскитами, можно выделить важный класс гете-ровалентных сплавов, т е растворов с элементами В' и В", принадлежащим разным группам Периодической системы Одним из таких соединений является Зг2(ГеМо)Об, привлекающий к себе внимание наличием эффекта «гигантского магнитосопротивления» В двойных перовскитах этот эффект возникает в низких полях, и это активно применяется в устройствах хранения и обработки информации Технология изготовления двойных перов-скитов позволяет получать частично неупорядоченные соединения с различными свойствами Разработка модели, позволяющей предсказать свойства частично упорядоченных двойных перовскитов, является актуальной задачей для создания соединений с заранее заданными свойствами

Для описания магнитных свойств кристаллических соединений служат модели Изинга и Гейзенберга Для их исследования применяют модификацию алгоритма Монте-Карло — алгоритм Метрополиса В последние десятилетия для исследования сложных систем применяются генетические алгоритмы, относящиеся к классу эволюционных методов Генетические алгоритмы (ГА) в некоторых областях зарекомендовали себя как более эффективные по сравнению с классическими методами Существует опыт применения ГА для решения отдельных задач физики твердого тела (ФТТ) Однако классы задач, в которых применение ГА оправданы, не определены, также не разработаны эффективные схемы применения ГА в задачах ФТТ Представляет практический интерес определение области применения генетических алгоритмов к задачам ФТТ и выработка рекомендаций по методике применения этих алгоритмов В качестве перспективных объектов для применения ГА в задачах ФТТ в диссертационном исследовании рассмотрены двойные перовскиты

Цели и задачи работы. Целью работы является реализация эффективных алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов по выявлению влияния ра-зупорядочения атомов в подрешетке катионов на магнитные свойства двойных перовскитов

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи

• программная реализация алгоритма Метрополиса для исследования свойств двойных перовскитов,

• моделирование влияния степени разупорядочения атомов в подрешет-ке катионов на магнитные свойства 8г2(РеМо)Об и РЬ(Ре1/2КЬ1/2)Оз с использованием алгоритма Метрополиса,

• программная реализация генетического алгоритма для исследования свойств двойных перовскитов, подбор параметров ГА,

• моделирование влияния степени разупорядочения атомов в подрешет-ке катионов на магнитные свойства Зг2(РеМо)Об с использованием генетического алгоритма,

• выявление наиболее эффективного алгоритма для исследования магнитных свойств двойных перовскитов путем сравнения полученных результатов,

• обобщение результатов применения генетических алгоритмов в других задачах физики твердого тела,

• разработка рекомендаций по применению генетических алгоритмов применительно к задачам физики твердого тела

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использовались методы математического моделирования В частности,

• для моделирования магнитных свойств двойных перовскитов использовались модели Изинга и Гейзенберга,

• численное моделирование проводилось с помощью алгоритма Метро-полиса и генетического алгоритма

Положения, выносимые на защиту:

1 Предложенная модификация генетического алгоритма позволяет проводить моделирование влияния степени разупорядочения атомов в подрешетке катионов на магнитные свойства двойных перовскитов

2 Применяемые в диссертации модели Изинга и Гейзенберга позволяют объяснить изменение магнитных свойств двойных перовскитов при

изменении степени упорядочения в подрешетке катионов, что подтверждается близостью результатов моделирования с экспериментальными данными Navarro1 и García-Hernández2 для Sr2(FeMo)06

Научная новизна:

1 Предложены новые модификации операторов генетических алгоритмов, пригодных для моделирования влияния степени разупорядоче-ния атомов в подрешетке катионов на магнитные свойства двойных перовскитов

2 Впервые была использована модель Гейзенберга для определения влияния степени разупорядочения атомов в подрешетке катионов на магнитные свойства двойных перовскитов

3 Получены зависимости температуры Кюри, намагниченности насыщения от степени разупорядочения атомов в подрешетке катионов для Sr2(FeMo)06

4 Показано, что Pb(Fe1/2Nb1/2)03 является спиновым стеклом

5 Сформулированы критерии, позволяющие определить круг задач физики твердого тела, в которых применение генетических алгоритмов более эффективно, чем традиционные подходы

Практическая значимость:

1 Разработан универсальный программный комплекс на основе алгоритма Метрополиса и генетического алгоритма, позволяющий изучать влияние степени разупорядочения атомов в подрешетке катионов на магнитные свойства двойных перовскитов Апробация проведена для Sr2(FeMo)06 и Pb(Fei/2Nbi/2)03

2 Результаты моделирования позволяют сформулировать рекомендации по производству двойных перовскитов с заранее заданными свойствами в виде функциональных зависимостей магнитных и температурных величин от степени разупорядочения

'Navarro J Antisites and electron-doping effects on the magnetic transition of Sr2(FeMo)06 double perovskite / J Navarro, J Nogues, J S Muñoz, J Fontcuberta // Phys Rev В 67, 174416, 2003 - 6p

2Garcia-Hernandez M Findmg Universal Correlations between Catiomc Disorder and Low Field Magnetoresistance m FeMo Double Perovskite Series / M Garcia-Hernandez, JL Martínez, MJ Martínez-Lope, MT Casais, J A Alonso//Phys Rev Lett, 2001, 86(11), 2443-2446

3 Результаты диссертационной работы использованы в учебном процессе кафедры «Прикладной математики и информатики» Астраханского государственного университета

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах 2nd International Conference on Material Science and Condensed Matter Physics, Chisinau, 2004, 7-й Международный симпозиум "Порядок, беспорядок и свойства оксидов" ODPO-2004, г Сочи, 2004, 5-я Международная научно-техническая конференция "Компьютерное моделирование 2004", г Санкт-Петербург, 6-я Международная научно-техническая конференция "Компьютерное моделирование 2005", г Санкт-Петербург, Вторая Всероссийская научная конференция "Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB", г Москва, 2004, Итоговые научные конференции АГУ 20042007 гг

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 12 работ, из них 2 в журналах, рекомендуемых ВАК, 2 в реферируемых научных журналах, 5 в сборниках научных трудов, 2 зарегистрированных программ, одно учебное пособие с грифом УМО

Все статьи написаны в соавторстве Панченко Т В принадлежат результаты, относящиеся к применению алгоритма Метрополиса и генетических алгоритмов к исследованию магнитных свойств двойных перовскитов

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы из 49 названий, 4 приложений Объем диссертации составляет 176 страниц, в том числе 59 рисунков, 15 таблиц и приложения на 73 страницах

2. Основное содержание работы

Во введении обосновывается актуальность диссертационной темы, формулируются цели и задачи исследования, научные положения, выносимые на защиту, дается краткая характеристика работы, ее объем и структура

Первая глава, «Генетические алгоритмы и их применение в задачах физики твердого тела» носит обзорный характер и посвящена общим вопросам применения генетических алгоритмов В начале главы дается обзор основных положений генетических алгоритмов, вводится терминология

и приводится основная схема применения ГА в оптимизационных задачах Затем анализируются различные модификации операторов генетических алгоритмов, примененных в последнее время в различных областях знаний Далее проводится обзор применения генетических алгоритмов в области физики твердого тела Рассматривается применение ГА в задачах определения основного состояния примеси квантовой точки и основного состояния спиновых стекол Дается обзор основных проблем, возникающих при использовании генетических алгоритмов в задачах физики твердого тела Проводится сравнительный анализ работы генетического алгоритма и алгоритма Метрополиса при расчетах магнитных свойств модели Изинга с значением спинов ±1 Проведенный анализ показывает, что алгоритм Метрополиса является вырожденным случаем генетического алгоритма Сравнение алгоритма Метрополиса и генетического алгоритма. При сравнении этапов работы генетического алгоритма и алгоритма Метрополиса (Таблица 1) можно заметить, что последний является бесполым (не использующим операторы рекомбинации и кроссинговера) генетическим алгоритмом со 100% мутациями, работающими на основе формулы Больцмана Алгоритм Метрополиса в отличие генетического алгоритма работает только с одной особью в популяции На каждой итерации алгоритма Метрополиса единственная особь копируется в особь-потомка Потомок, также как и в генетическом алгоритме, подвергается мутации Но в отличие от генетического алгоритма в алгоритме Метрополиса мутации происходят постоянно, причем у потомка мутирует только один ген, после чего вычисляется значение приспособленности (энергии) Принятие потомка в новую популяцию (замена им родительской особи) в алгоритме Метрополиса происходит также как и в генетическом алгоритме — по методу элитизма

Таблица 1

Сравнительный анализ этапов алгоритма Метрополиса и генетического алгоритма, применимых к построению канонического ансамбля для заданной температуры

Алгоритм Метрополиса Генетический алгоритм

Создание начальной системы атомов Расположение спинов задается случайным образом Результатом этого этапа является заполнение двумерного массива, элементы которого соответствуют атомам решетки Вычисляется энергия для созданной системы атомов Создание начальной популяции из N систем атомов (хромосом), где N — размер популяции На этом этапе случайным образом создается N двумерных массивов, каждый из которых соответствует некоторому состоянию кристаллической решетки Для всех хромосом вычисляется значение функции приспособленности — энергии

Итерация алгоритма Метрополиса Итерация генетического алгоритма

Алгоритм Метрополиса Генетический алгоритм

Рекомбинация, кроссинговер, получение потомков

Изменение значения случайно выбранного спина Т е меняется значение случайно выбранного элемента массива Для полученной новой конфигурации вычисляется изменение энергии ДЕ Мутации потомков с вероятностью рт < 1 В каждом двумерном массиве, соответствующему какому-либо потомку, согласно вероятности рт < 1 меняется группа элементов Количество элементов в группе задается некоторым образом, например, оно может быть определено как величина ртвгге, где вгге — количество элементов в массиве После применения оператора мутации вычисляется приспособленность (энергия) всех потомков Следует заметить, что при низкой вероятности какой-либо потомок может не мутировать

Новая конфигурация принимается в том случае, если ее энергия понизилась по сравнению с энергией предыдущего состояния или если вероятность ее принятия пропорциональна вероятности Больцмана Отбор в новое поколение методом элитиз-ма В новую популяцию попадают конфигурации или наиболее приспособленные, или с вероятность выживания пропорциональной вероятности Больцмана

Если канонический ансамбль не построен, то переходим к новой итерации Если в популяции, имитирующей канонический ансамбль, не достигнуто состояние равновесия (сходимость к некоторому состоянию), то переходим к новой итерации

Завершение процесса Получение итоговой решетки спинов, являющейся результатом усреднения по каноническому ансамблю Завершение процесса Получение итоговой популяции — совокупности решеток спинов, по которым путем усреднения получается искомое состояние системы

Из Таблицы 1 видно, что за одну итерацию в генетическом алгоритме происходит большее количество пересчетов энергии (приспособленности), чем в алгоритме Метрополиса Следует заметить, что пересчет энергии в алгоритме Метрополиса происходит по формуле Е = Е — 2<тг 5, где аг — значение спина выбранного атома, 5 — сумма спинов соседних с стг атомов, тем временем, как в генетическом алгоритме энергия пересчитывается полностью В генетическом алгоритме могут быть созданы принципиально новые системы атомов, которые могут обладать как большим, так и меньшим значением энергии В первом случае это приводит к ускорению сходимости, во втором случае появление мало приспособленной особи может увеличить время поиска оптимального решения Из этого следует, что для того, чтобы генетический алгоритм был эффективнее алгоритма Метрополиса, необходимо создать операторы кроссинговера и селекции, способные привести к верному решению быстрее, чем бесполый ГА со 100% мутациями

Проблемы, возникающие при применении ГА в задачах физики твердого тела.

На пути применения генетических алгоритмов в задаче о фазовых переходах возникает несколько проблем, в связи с которыми становится невозможным создание большого ансамбля с больцмановским распределением Первая из них связана с возникновением зеркального распределения спинов в хромосомах, т е таких конфигураций, в которых атомы со спинами разных знаков располагаются на одинаковых позициях

В модели Изинга хромосома кодируется бинарной строкой из 1 и —1, в качестве функции приспособленности полагается полная энергия системы В связи с этим наиболее приспособленные шаблоны (см [3]) будут состоять из одинаковых генов Рассмотрим два однородных (или однотипных т е содержащими только 1 или —1) шаблона одинакового порядка с той разницей, что на тех позициях на которых у первого шаблона стоят 1 у второго стоят—1 Энергия для обоих шаблонов будет одинакова Если эти шаблоны высокого порядка, то они обязательно попадут в новую популяцию В новой популяции они могут

• стать компонентами одной хромосомы, тогда приспособленность хромосомы ухудшится (энергия увеличится) в связи с взаимодействием противоположных по знаку спинов,

• рассматриваемые шаблоны могут быть разрушены в результате крос-синговера — обмен фрагментами таких шаблонов приведет к созданию непригодных шаблонов высокого порядка

Существование симметричных шаблонов замедляет сходимость алгоритма и в итоге приводит к ложному результату

Для избежания подобной ситуации следует рассматривать в качестве функции приспособленности полную энергию Еп системы с учетом внешнего магнитного поля Я, позволяющего снять вырождение системы

В уравнении (1) .Тг] — константа обменного взаимодействия между атомами г и аг — значение спина г-ого атома При использовании данной функции приспособленности шаблоны с отрицательными значениями генов становятся непригодными, и следовательно отбрасываются при формировании нового поколения Другим вариантом функции приспособленности может служить функция

(1)

Ее применение также влечет удаление из популяции непригодных шаблонов с той разницей, что происходит это гораздо быстрее, чем в первом случае (разность произведений больше, чем разность сумм) Следует заметить, что в отличие от функции 1, функция 2 не имеет ясного физического смысла

Вторая проблема связана с преждевременной сходимостью В этом случае в генетическом алгоритме перестают создаваться принципиальные новые решения и шаблоны, ведущие к увеличению приспособленности (т е алгоритм сходиться к некоторому шаблону хромосомы) Вообще, принципиально новые хромосомы могут быть созданы посредством применения высоковероятных мутаций С другой стороны, мутации разрушают приспособленные шаблоны хромосом В связи с этим необходимо найти способ управления количеством мутаций для задачи с определенным размером кристаллической решетки Это делается путем определения динамических мутаций, способных менять свою вероятность в ходе решения задачи

Третья проблема связана с увеличением числа пересчета энергии, вызванное наличием кроссинговера, при котором создаются новые хромосомы Следует заметить, что технически пересчет энергии при мутации хромосомы проще, чем при кроссинговере Тем самым алгоритм Метрополиса, построенный на 100% мутациях, для данной задачи фазовых переходов на больших кристаллических решетках эффективнее Следовательно, для решения поставленной задачи генетическим алгоритмом необходимо разработать оператор кроссинговера, способный за несколько поколений привести популяции к глобальному минимуму, оставив при этом больцмановскую формулу в операторе селекции (вынос температуры в оператор мутации сделает алгоритм аналогичным алгоритму Метрополиса)

Основные результаты первой главы обобщены в работах [3] и [12] Вторая глава, «Исследование магнитных свойств двойных перовскитов на основе моделей Гейзенберга и Изинга с помощью алгоритма Метрополиса», посвящена применению алгоритма Метрополиса к вычислению магнитных характеристик двойных перовскитов В начале главы дается описание двойных перовскитов Приводятся модели Изинга и Гейзенберга Далее рассматривается применение алгоритма Метрополиса к вычислению магнитных свойств на моделях Изинга и Гейзенберга для Бг2(РеМо)Об, и на модели Изинга для РЬ(Ре1/2№1/2)Оз Определяется зависимость температуры Кюри от степени разупорядочения атомов в подрешетке катионов для 8гг(РеМо)Об Делается заключение о том, что РЬ(Ре1/2№1/2)Оз является спиновым стеклом

В компьютерном моделирования магнитных свойств двойных 1 1 перовскитов АВ^2В"/2Оз учитываются только атомы сортов В' и В" Предполагается, что атомы располагаются в узлах кубической решетки с пе-

риодическими граничными условиями Если атом сорта В' и атом сорта В" поменять местами, то получится антиструктурный дефект В отсутствие антиструктурных дефектов атомы обоих сортов В' и В" чередуются в шахматном порядке При наличии антиструктурных дефектов упорядоченное чередование атомов нарушается Каждый атом характеризуется спином (числовым значением и направлением) Магнитное взаимодействие между атомами задается обменными интегралами Jzj, где г и j могут принимать значения В' и В" Модель Изинга отличается от модели Гейзенберга только тем, что проекция нормализованного спина атома может принимать значения 1 или —1, исключая 1/2, —1/2 и 0 При воспроизведении алгоритма Метрополиса результаты полученные на обеих моделях различаются лишь в сотых долях, но временная сложность в случае использования модели Гейзенберга выше, чем в случае модели Изинга Энергия и намагниченность при моделировании вычисляются по формулам

Е = - yv^gygj)

т-Фз

где сумма берется по всем ближайшим соседним парам спинов,

г

где N — полное число атомов в решетке, цв — магнетон Бора и сумма берется по всем спинам сгг решетки На основании модели Изинга в дальнейшем проводится сравнительный анализ эффективности генетического алгоритма и алгоритма Метрополиса применительно к изучению магнитных свойств Sr2(FeMo)06

В диссертационной работе использовались следующие интегралы обменного взаимодействия Jpe Fe — свободный параметр, Ju0 Mo = 0, JFe мо = 7 84JFe,Fe3

В результате работы алгоритма Метрополиса была получена зависимость энергии системы от температуры Также была определена зависимость намагниченности на атом как самой кристаллической решетки, так и подрешеток атомов сортов В' и В" от температуры Намагниченность системы вычислялась для каждого значения температуры С использованием полученных данных была вычислена температура фазового перехода Температура Кюри в диссертационном исследовании определялась несколькими способами по максимуму теплоемкости, рассчитанной по формуле

3Такое соотношение между обменными интегралами соответствует параметризации в работе A S Ogale, S В Ogale, R Т Ramesh, Appl Phys Lett, 75, 4, 537 (1999)

по максимуму теплоемкости, рассчитанной как с = Щ, нитной восприимчивости, рассчитанной как

1

по минимуму маг-

X :

кТ

((М2) - <М>2),

и по минимуму кривой зависимости производной Щ^г от температуры (рис 1) Расчеты проводились для различной степени разупорядочения атомов в подрешетке катионов Тем самым была получена зависимость критической температуры вещества от степени разупорядочения

В результате модели-

I- м

л

^ооввоооо

г

5 4L1I

Ж

рования установлено, что при увеличении числа антиструктурных дефектов в Sr2(FeMo)06 происходит плавное выравнивание величины намагниченности в подре-шетках При концентрации антиструктурных дефектов 50% (неупорядоченное соединение) это антиферримагнетик, при 0% — ферримагнетик На рис 2 для соединения Sr2(FeMo)Oe приводятся

результаты расчетов магнитных моментов атомов в подрешетках В' и В" в зависимости от концентрации антиструктурных дефектов Намагниченность насыщения определялась при температуре Т = 50К Зависимости для намагниченности насыщения, полученные в рамках обеих моделей, согласуются с экспериментальными данными Navarro и García-Hernández Так зависимость, полученная с применением модели Изинга, описывается формулой

Ms/fiB = 38-0 08а;, а в случае использования модели Гейзенберга —

Ms/цв = 3 96 - 0 08а;,

Т. =341

тд._

Рис 1 Определение температуры Кюри по минимуму производной йМ/йТ и по пику теплоемкости

где х — количество антиструктурных дефектов в процентах

Рис 2 Средняя намагниченность в подрешетках (на основе модели Гейзенберга)

Расчеты показали, что при увеличении концентрации дефектов температура Кюри уменьшается линейно (рис 3)

концентрация антиструктурных дефектов, %

Рис 3 Зависимость температуры Кюри для Sr2(FeMo)Oo от степени разупорядочения (на основе модели Изинга)

Проведенные расчеты для Sr2(FeMo)06 согласуются с экспериментальными данными, полученными Alonso

Целый ряд двойных перовскитов, например, феррониобат свинца РЬ(1%1^МЬз/2)Оз (РРМ), являются антиферромагнетиками В рамках модели Изинга с использованием алгоритма Метрополиса показано, что упорядоченный РРМ является парамагнетиком. Проведенные расчеты частично упорядоченных соединений показали, что одинаковым или очень близким энергиям системы соответствуют различные конфигурации спинов (рис. 4). Это объясняется тем, что инверсия спинов магнитных атомов внутри антиферромагнитных кластеров — фрагментов вида Ре-О-Ре, почти не влияет на энергию системы, но существенно изменяет намагниченность в подре-шетках.

Е---91.7К М-ОЗЪр, Е- -96.75К М -4.01^

Рис. 4 Один слой решетки 32г образца РРГч. Черные и белые квадраты обозначают атомы Ре с различными ориентациями спина.

Серые - немагнитные атомы N"0.

Кроме того, расчеты показали, что магнитный фазовый переход в фер-рониобате свинца сильно размазан. Выше температуры фазового перехода можно наблюдать большие флуктуации магнитного параметра порядка (разности намагниченностей в подрешетках Ре и МЬ). При низких температурах величина параметра порядка существенно зависит от параметров моделирования, в частности, от скорости модельного отжига. Полученные результаты позволяют сделать предположение о том, что неупорядоченный РРМ является спиновым стеклом.

Основные результаты второй главы опубликованы в работах [1. 2Н 4—9], а также продемонстрированы программами [10)- [11].

Третья глава, «Исследование магнитных свойств двойных перовскитов на основе модели Изинга с помощью генетических алгоритмов», посвящена применению генетических алгоритмов к изучению магнитных свойств 8г2(РеМо)Об. Рассматриваются результаты применения генетического алгоритма и алгоритма Метрополиса. Делается вывод о том, что для больших

кристаллических решеток эффективнее использовать алгоритм Метрополи-са, в то время как для небольших решеток более хорошие результаты при том же времени вычислений дает генетический алгоритм Основные результаты третьей главы рассмотрены в работах [3] и [12]

Модель Изинга, соответствующую 8г2(РеМо)06, можно изучать с помощью классического ГА по следующей схеме (см рис 5)

1 Инициализация

Генерируем случайным образом популяцию из п хромосом (трехмерный массив из п строк, где каждая строка представляет собой какую-либо конфигурацию системы)

2 Вычисляем для каждой хромосомы ее приспособленность — например, энергию системы или какую-либо другую функцию

3 Формируем пары хромосом-родителей

4 Проводим кроссинговер с вероятностью рс, производя двух потомков

5 Проводим мутацию потомков с вероятностью рт

6 Повторяем шаги 3-5 пока не будет сгенерировано новое поколение популяции, содержащее п хромосом

7 Повторяем шаги 2-6, пока не будет достигнут критерий окончания процесса

8 Выбираем из популяции наиболее пригодную хромосому и вычисляем все интересующие величины Значения параметров можно взять следующие те = 10 - 100, рс = 0 8 - 0 95, рт = 0 001 - 0 01

Данный алгоритм является классическим для получения основного состояния кристаллической решетки при заданной температуре Доля антиструктурных дефектов, как и при моделировании алгоритмом Метро-полиса, учитывается на этапе инициализации, а именно при заполнении массива-хромосомы элементами-атомами двух сортов Каждому элементу-атому приписывается произвольное допустимое значение спина Таким образом на этапе инициализации создается массив-популяция из нескольких хромосом, представляющих различные конфигурации кристаллической решетки Моделируя операторы генетического алгоритма, такие как оператор отбора родителей, кроссинговера, мутации и селекции можно получить различные модификации алгоритма, пригодные для решения задачи конкретного типа Для увеличения сходимости ГА рекомендуется использовать динамические операторы кроссинговера, мутации и сегрегации Вероятность

С^разульта-Г^)

Рис 5 Схема простого ГА

таких операторов меняется в процессе работы алгоритма и может быть различной для каждой особи

Кроссинговер. В большинстве случаях в задачах ФТТ применяется три-адный и одноточечный кроссинговер Триадный кроссинговер применяется в задачах с маленьким размером кристаллической решетки При его использовании дополнительно формируется дополнительная хромосома-маска Вероятность такого кроссинговера должна возрастать по мере работы алгоритма Например, при температурном отжиге до Т = Тцп вероятность кроссинговера может быть выражена следующей формулой рс = О где Т,Т > Т&п — температура системы Для реализации одноточечного кроссинговера при формировании родительских пар используют аутбридинг и инбридинг При инбридинге в скрещивании участвуют наиболее похожие (близкие по Хеммингу) хромосомы Таким образом, вероятность кроссинговера определяется для каждой пары хромосом, и является возрастающей функцией от числа итераций алгоритма (т к при работе ГА достигается однообразие в популяции) Наиболее эффективным является аутбридинг, отличающийся от инбридинга тем, что в скрещивании участвуют наиболее отдаленные хромосомы Вероятность кроссинговера при аутбридинге убывает в процессе итераций алгоритма и также определяется для каждой пары хромосом

Мутации. Мутации применяются для получения новых генотипов хромосом, т е для поддержания многообразия в популяции и избежания сходимости ГА к локальному минимуму Для первых поколений ГА мутации

должны быть достаточно высокими, это позволит сформировать наиболее приспособленные шаблоны хромосом На следующих этапах вероятность мутации должна убывать для того, чтобы найденные приспособленные шаблоны не были разрушены Вероятность мутации при температурном отжиге от Г = Tstart может быть описана, например, такой убывающей функцией рт — 0 , где Т,Т <= Tstart — температура системы С другой стороны, большим мутациям должны быть подвержены наименее приспособленные хромосомы, а более приспособленные могут мутировать с вероятностью р = 0 — 0 01 Вероятность мутации, зависящая от приспособленности, определяется для каждой хромосомы, по следующей формуле

(3,

где к — количество отсортированных по возрастанию приспособленности (при решении задачи минимизации) мутирующих хромосом, г — номер мутирующей хромосомы в упорядоченной популяции Для увеличения скорости сходимости ГА применяют направленные мутации В задаче определения магнитных свойств двойных перовскитов такие мутации заключаются в присваивании положительного значения спину атома (направление вверх) Несколько таких мутаций может увеличить приспособленность хромосомы Т к функция приспособленности рассматривалась в виде произведения энергии и внешнего магнитного поля, то вероятность мутации зависела от температуры Т мутации продолжались до тех пор пока не будет достигнуто состояние с приспособленностью е(г), такое что

-е{г - 1) + е(г)

1 + ехр — , '-— > rand

квТ

Здесь rand 6 [0,1] — случайное число, г — номер мутации, kß — постоянная Больцмана Мутациям подвергались только особи-потомки, количество мутаций также не превышало числа, определенного вероятностью (3)

Сегрегация. При использовании оператора сегрегации в хромосоме случайно выбранная подстрока заменяется на приспособленный шаблон В задаче определения магнитных свойств двойных перовскитов приспособленный шаблон представляет собой строку с положительно направленными спинами Для применения сегрегации необходимо использовать шаблоны малой длины, вероятность сегрегации в данном случае должна зависеть от количества поколений и температуры системы Причем такая зависимость должна быть убывающей по мере возрастания количества поколений При использовании направленных мутаций сегрегацию не используют

Отбор хромосом в новую популяцию. Формирование новой популяции в рассматриваемой задаче ФТТ может происходить в основном двумя способами

1 с помощью больцмановского отбора,

2 с применением стратегии элитизма

В обоих вариантах выбор особей производится из числа старых хромосом и созданных хромосом-потомков В больцмановском отборе случайно выбранная хромосома заносится в новую популяцию если ее приспособленность е удовлетворяет соотношению

i i бтеап ^ ^ i

1 + ехр-;——-> rana,

квТ

где emean — средняя приспособленность по популяции старых хромосом и хромосом-потомков Во втором случае все хромосомы сортируются в порядке возрастания их приспособленности, в новую популяцию выбираются наиболее приспособленные (с минимальной энергией) хромосомы, обладающие положительной намагниченностью Последнее требование помогает избежать эпистаза в генетическом алгоритме

Результаты применения генетического алгоритма. С помощью генетического алгоритма в рамках модели Изинга проводилось исследование влияния степени разупорядочения атомов в подрешетке катионов на магнитные свойства Sr2(FeMo)C>6 Согласно результатам исследования намагниченность насыщения убывает по закону

Ms/Цв = 3 98 - 0 08а;

Близкая зависимость была получена при моделировании с помощью алгоритма Метрополиса Результаты численного эксперимента подтверждаются экспериментальными данными Navarro Температура Кюри определялась по максимуму теплоемкости, рассчитанной как с = Щ В результате была получена линейная убывающая зависимость температуры Кюри от концентрации х антиструктурных дефектов в подрешетке катионов (4)

Tc(x)/JFe,Fe = 90 7 - 0 5х (4)

Используемый генетический алгоритм алгоритмически сложнее, чем алгоритм Метрополиса, за счет

1 наличия сортировок хромосом при формировании новой популяции,

2 создания новых хромосом в результате кроссинговера

С другой стороны, временная сложность генетического алгоритма для решеток небольшого размера ниже, чем у алгоритма Метрополиса В связи с этим алгоритм Метрополиса работает эффективнее генетического алгоритма только при исследовании кристаллической решетки, состоящей из большого числа атомов Исследования показали, что результаты расчетов, проведенных с помощью генетического алгоритма для Зг2(ГеМо)Об на решетке с 163 атомами, практически совпадают с результатами алгоритма Метрополиса, проведенных для кубических решеток с линейным размером 32 и 52 Поэтому генетический алгоритм может быть эффективно использован в задаче определения влияния степени разупорядочения в двойных перовскитах при рассмотрении небольших кристаллических решеток

В заключении суммируются основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, приводятся данные о публикациях и рассматриваются направления дальнейших исследований в данной области

В приложении приводятся акты об использовании, результаты расчетов и листинги программ

3. Основные результаты и выводы

1 Создана программа на основе алгоритма Метрополиса, которая впервые позволила использовать модель Гейзенберга для исследования магнитных свойств двойных перовскитов в зависимости от степени разупорядочения в подрешетке катионов

2 Создана программа, впервые реализующая применение генетических алгоритмов в области исследования магнитных свойств соединений относящихся к классу двойных перовскитов

3 С помощью созданного программного комплекса были получены зависимости намагниченности насыщения и температуры Кюри от степени разупорядочения в подрешетке катионов для Sr2(FeMo)06, было установлено, что Pb(Fe1/2Nb1/2)03 является спиновым стеклом Результаты проведенного численного эксперимента согласуются с экспериментальными данными Navarro и García-Hernandez

4 Проведен анализ применимости генетических алгоритмов для решения задач физики твердого тела Получено, что в сравнении с ал-

горитмом Метрополиса для моделей с большим количеством атомов, генетические алгоритмы в задаче об определении температуры фазового перехода менее эффективны

5 Разработаны рекомендации по применению генетических алгоритмов в оптимизационных задачах физики твердого тела

6 Результаты использованы в учебном процессе кафедры «Прикладной математики и информатики» Астраханского государственного университета

Основные публикации по теме диссертации

1. Тарасевич, Ю Ю Исследование влияния степени упорядочения катионов на магнитные свойства двойных 1 1 перовскитов в рамках модели Гейзенберга / Ю Ю Тарасевич, Т В Панченко // Физика твердого тела - 2007 - т 49, вып 7 - С 653-655

2 Тарасевич, Ю Ю Применение ВЕБ-технологий в физическом практикуме / Ю Ю Тарасевич, И С Пономарева, В А Зелепухина, Е Н Манжосова, Т В Панченко // Физическое образование в вузах — 2006 - Т 12, № 1 - с 103-114

3 Панченко, Т В Сравнительный анализ эффективности применения генетических алгоритмов и алгоритма Метрополиса в задачах физики твердого тела /ТВ Панченко, Ю Ю Тарасевич // Вычислительные методы и программирование — 2007 — т 8 — С 77-87

4 Tarasevich, Yu Yu Octahedral cation antiSite disorder effects in double 1 1 perovskites Monte Carlo simulation study and percolation approach / Yu Yu Tarasevich, T V Panchenko, E N Manzhosova // J Phys (France) - 2005 - V 4, №126 - p 65-68

5 Тарасевич, Ю Ю Моделирование магнитных свойств двойных перовскитов / Ю Ю Тарасевич, Т В Панченко, Е Н Манжосова // Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB труды Второй Всерос науч конф — М ИПУ РАН, 2004 — С 422430 - ISBN 5-201-14971-5,

6 Тарасевич, Ю Ю Моделирование методом Монте-Карло влияния степени упорядочения катионов на магнитные свойства двойных перовскитов / Ю Ю Тарасевич, Т В Панченко, Е Н Манжосова //

Компьютерное моделирование 2004 труды 5-й Междунар науч -техн конф - СПб Изд-во "Нестор", 2004 - ч 2 - С 99-102

7 Тарасевич, Ю Ю Влияние степени упорядочения катионов на магнитные свойства двойных 1 1 перовскитов моделирование методом Монте-Карло и перколяционный подход / Ю Ю Тарасевич, Т В Панченко, Е H Манжосова // 7-й Междунар симпозиум "Порядок, беспорядок и свойства оксидов" ODPO-2004 сборник трудов — Ростов н/Д Изд Ростовского гос пед ун-та, 2004 - С 217-220 - ISBN 5-84800450-1

8 Тарасевич, Ю Ю Моделирование методом Монте-Карло влияния беспорядка на магнитные свойства двойных перовскитов / Ю Ю Тарасевич, Т В Панченко // Ученые записки мат-лы докл итоговой науч конф АГУ- Астрахань ИД "Астраханский университет" — 2005 — т 1 Биология География Физика Математика Информатика - С 153-158 - ISBN 5-88200-838-7

9 Тарасевич, Ю Ю Моделирование методом Монте-Карло влияния беспорядка на магнитные свойства двойных перовскитов / Ю Ю Тарасевич, Т В Панченко // Труды VI Междунар науч -техн конф — СПб Изд-во Политехнического ун-та, 2005 — С 153-158

10 Тарасевич, Ю Ю Программа для моделирования магнитных свойств двойных перовскитов / Ю Ю Тарасевич, Т В Панченко // Отраслевой фонд алгоритмов и программ Номер государственной регистрации 50200400263 19 марта 2004

11 Панченко, Т В Программа для моделирования влияния степени упорядочения в подрешетке катионов на магнитные свойства Sr2(FeMo)06 с использованием моделей Изинга и Гейзенберга /ТВ Панченко, Ю Ю Тарасевич // Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам Номер государственной регистрации 2007611264 23 марта 2007

12 Панченко, Т В Генетические алгоритмы учебно-методическое пособие /ТВ Панченко, под ред Ю Ю Тарасевича — Астрахань ИД «Астраханский университет», 2006 - 89 [3] с - ISBN 5-88200-913-8

Подписано в печать 21 09 2007г Тираж 100 экз Заказ №1261 Уч -изд л 1,3 Уел печ л 1,2

Оттиражиравано в Издательском доме

"Астраханский университет" 414056, г Астрахань, ул Татищева, 20 тел (8512) 54-01-89, 54-01-87

Введение. Общая характеристика работы

1 Генетические алгоритмы и их применение в задачах физики твердого тела

1.1 Генетические алгоритмы

1.2 Способы модификации операторов генетических алгоритмов

1.3 Задачи физики твердого тела, в которых генетические алгоритмы уже применялись.

1.3.1 Определение энергии основного состояния примеси

1.3.2 Применение генетических алгоритмов к задаче поиска основных состояний спиновых стекол.

1.3.3 Проблемы, возникающие при применении генетических алгоритмов в задачах физики твердого тела

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Твердые растворы АВ^В'/хОз оксидов со структурой перовскита привлекают внимание исследователей несколько последних десятилетий. Эти вещества представляют интерес как с прикладной, так и с чисто научной точки зрения ввиду их уникальных электромеханических свойств. Из многочисленных твердых растворов АВ^В'/^Оз, называемых двойными перовскитами, можно выделить важный класс гетеровалентных сплавов, т.е. растворов с элементами В' и В", принадлежащим разным группам Периодической системы. Одним из таких соединений является Зг2(ГеМо)Об, привлекающий к себе внимание наличием эффекта «гигантского магнитосопротивления». В двойных перовскитах этот эффект возникает в низких полях, и это активно применяется в устройствах хранения и обработки информации. Технология изготовления двойных перовскитов позволяет получать частично неупорядоченные соединения с различными свойствами. Разработка модели, позволяющей предсказать свойства частично упорядоченных двойных перовскитов, является актуальной задачей для создания соединений с заранее заданными свойствами.

Для описания магнитных свойств кристаллических соединений служат модели Изинга и Гейзенберга. Для их исследования применяют модификацию алгоритма Монте-Карло — алгоритм Метрополиса. В последние десятилетия для исследования сложных систем применяются генетические алгоритмы, относящиеся к классу эволюционных методов. Генетические алгоритмы (ГА) в некоторых областях зарекомендовали себя как более эффективные по сравнению с классическими методами. Существует опыт применения ГА для решения отдельных задач физики твердого тела (ФТТ). Однако классы задач, в которых применение ГА оправданы, не определены, также не разработаны эффективные схемы применения ГА в задачах ФТТ. Представляет практический интерес определение области применения генетических алгоритмов к задачам ФТТ и выработка рекомендаций по методике применения этих алгоритмов. В качестве перспективных объектов для применения ГА в задачах ФТТ в диссертационном исследовании рассмотрены двойные перовскиты.

Цель и задачи работы. Целью работы является реализация эффективных алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов по выявлению влияния разупорядочения атомов в подрешетке катионов на магнитные свойства двойных перовскитов.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

• программная реализация алгоритма Метрополиса для исследования свойств двойных перовскитов;

• моделирование влияния степени разупорядочения атомов в подрешетке катионов на магнитные свойства 8гг(РеМо)Об и РЬ(Ге1/2№)1/2)Оз с использованием алгоритма Метрополиса;

• программная реализация генетического алгоритма для исследования свойств двойных перовскитов, подбор параметров ГА;

• моделирование влияния степени разупорядочения атомов в подре-шетке катионов на магнитные свойства Зг2(РеМо)Об с использованием генетического алгоритма;

• выявление наиболее эффективного алгоритма для исследования магнитных свойств двойных перовскитов путем сравнения полученных результатов;

• обобщение результатов применения генетических алгоритмов в других задачах физики твердого тела;

• разработка рекомендаций по применению генетических алгоритмов применительно к задачам физики твердого тела.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использовались методы математического моделирования. В частности,

• для моделирования магнитных свойств двойных перовскитов использовались модели Изинга и Гейзенберга;

• численное моделирование проводилось с помощью алгоритма Мет-рополиса и генетического алгоритма.

Положения, выносимые на защиту:

1. Предложенная модификация генетического алгоритма позволяет проводить моделирование влияния степени разупорядочения атомов в подрешетке катионов на магнитные свойства двойных перовскитов.

2. Применяемые в диссертации модели Изинга и Гейзенберга позволяют объяснить изменение магнитных свойств двойных перовскитов при изменении степени упорядочения в подрешетке катионов, что подтверждается близостью результатов моделирования с экспериментальными данными Navarro1 и García-Hernández2 для Sr2(FeMo)06.

Научная новизна:

1. Предложены новые модификации операторов генетических алгоритмов, пригодных для моделирования влияния степени разупорядоче-ния атомов в подрешетке катионов на магнитные свойства двойных перовскитов.

2. Впервые была использована модель Гейзенберга для определения влияния степени разупорядочения атомов в подрешетке катионов на магнитные свойства двойных перовскитов.

3. Получены зависимости температуры Кюри, намагниченности насыщения от степени разупорядочения атомов в подрешетке катионов для Sr2(FeMo)06.

4. Показано, что Pb(Fei/2Nbi/2)03 является спиновым стеклом.

5. Сформулированы критерии, позволяющие определить круг задач физики твердого тела, в которых применение генетических алгоритмов более эффективно, чем традиционные подходы.

Navarro J. Antisites and electron-doping effects on the magnetic transition of Sr2(FeMo)06 double perovskite. / J. Navarro, J. Nogués, J. S. Mufioz, J. Fontcuberta //

Phys. Rev. В 67, 174416, 2003. - 6p.

2García-Hernández M. Finding Universal Correlations between Cationic Disorder and

Low Field Magnetoresistance in FeMo Double Perovskite Series. / M. García-Hernández, J.L. Martínez, M.J. Martínez-Lope, M.T. Casais, J.A. Alonso// Phys. Rev. Lett., 2001, 86(11), 2443-2446.

Практическая значимость:

1. Разработан универсальный программный комплекс на основе алгоритма Метрополиса и генетического алгоритма, позволяющий изучать влияние степени разупорядочения атомов в подрешетке катионов на магнитные свойства двойных перовскитов. Апробация проведена для Sr2(FeMo)06 и Pb(Fe1/2Nb1/2)03.

2. Результаты моделирования позволяют сформулировать рекомендации по производству двойных перовскитов с заранее заданными свойствами в виде функциональных зависимостей магнитных и температурных величин от степени разупорядочения.

3. Результаты диссертационной работы использованы в учебном процессе кафедры «Прикладной математики и информатики» Астраханского государственного университета.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: 2nd International Conference on Material Science and Condensed Matter Physics, Chisinau, 2004; 7-й Международный симпозиум "Порядок, беспорядок и свойства оксидов" ODPO-2004, г. Сочи, 2004; 5-я Международная научно-техническая конференция "Компьютерное моделирование 2004", г. Санкт-Петербург; 6-я Международная научно-техническая конференция "Компьютерное моделирование 2005", г. Санкт-Петербург; Вторая Всероссийская научная конференция "Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB", г. Москва, 2004; Итоговые научные конференции АГУ 2004-2007 гг.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 12 работ, из них 2 в журналах, рекомендуемых ВАК, 2 в реферируемых научных журналах, 5 в сборниках научных трудов, 2 зарегистрированных программ, одно учебное пособие с грифом УМО.

Все статьи написаны в соавторстве. Панченко Т.В. принадлежат результаты, относящиеся к применению алгоритма Метрополиса и генетических алгоритмов к исследованию магнитных свойств двойных перов-скитов.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы из 49 названий, 4 приложений. Объем диссертации составляет 178 страниц, в том числе 59 рисунков, 15 таблиц и приложения на 73 страницах.

Основные результаты и выводы

1. Создана программа на основе алгоритма Метрополиса, которая впервые позволила использовать модель Гейзенберга для исследования магнитных свойств двойных перовскитов в зависимости от степени разупорядочения в подрешетке катионов.

2. Создана программа, впервые реализующая применение генетических алгоритмов в области исследования магнитных свойств соединений относящихся к классу двойных перовскитов.

3. С помощью созданного программного комплекса были получены зависимости намагниченности насыщения и температуры Кюри от степени разупорядочения в подрешетке катионов для Sr2(FeMo)06, было установлено, что Pb(Fe1/2Nb1/2)03 является спиновым стеклом. Результаты проведенного численного эксперимента согласуются с экспериментальными данными Navarro и García-Hernández.

4. Проведен анализ применимости генетических алгоритмов для решения задач физики твердого тела. Получено, что в сравнении с алгоритмом Метрополиса для моделей с большим количеством атомов, генетические алгоритмы в задаче об определении температуры фазового перехода менее эффективны.

5. Разработаны рекомендации по применению генетических алгоритмов в оптимизационных задачах физики твердого тела. б. Результаты использованы в учебном процессе кафедры «Прикладной математики и информатики» Астраханского государственного университета.

Заключение

1. AI. Тарасевич, Ю. Ю. Исследование влияния степени упорядочения катионов на магнитные свойства двойных 1:1 перовскитов в рамках модели Гейзенберга / Ю. Ю. Тарасевич, Т. В. Панченко // Физика твердого тела. — 2007. — т. 49, вып. 7. — С. 653-655.

2. А2. Тарасевич, Ю. Ю. Применение ВЕБ-технологий в физическом практикуме / Ю. Ю. Тарасевич, И. С. Пономарева, В. А. Зелепухина, Е. Н. Манжосова, Т. В. Панченко // Физическое образование в вузах. 2006. - Т. 12, № 1. - с. 103-114.

3. A3. Панченко, Т. В. Сравнительный анализ эффективности применения генетических алгоритмов и алгоритма Метрополиса в задачах физики твердого тела / Т. В. Панченко, Ю. Ю. Тарасевич // Вычислительные методы и программирование. — 2007. — т. 8. — С. 77-87.

4. А9. Тарасевич, Ю. Ю. Моделирование методом Монте-Карло влияния беспорядка на магнитные свойства двойных перовскитов / Ю. Ю. Тарасевич, Т. В. Панченко // Труды VI Междунар. науч.-техн. конф. — СПб.: Изд-во Политехнического ун-та, 2005. — С. 153-158.

5. А10. Tarasevich, Yu. Yu. Octahedral cation antisite disorder effects in double perovskites : Monte Carlo simulation study and percolation approach / Yu. Yu. Tarasevich, Т. V. Panchenko, E. N. Manzhosova.

6. Conference on Computational Physics, Genoa, Italy, 1-4 September, 2004. Abstracts, pp. 128-129.

7. A12. Тарасевич, Ю. Ю. Программа для моделирования магнитных свойств двойных перовскитов / Ю. Ю. Тарасевич, Т. В. Панченко // Отраслевой фонд алгоритмов и программ. Номер государственной регистрации 50200400263. 19 марта 2004.

8. А14. Панченко, Т. В. Генетические алгоритмы : учебно-методическое пособие. / Т. В. Панченко, под ред. Ю. Ю. Тарасевича. — Астрахань : ИД «Астраханский университет», 2006. 89 3. с. - ISBN 5-88200913-8.

9. Metropolis N. Rosenbluth A.W., Rosenbluth M.N., Teller A.H., Keller J. Chem. Phys. 54, 1114 (1953).

10. Ogale A.S., Ogale S. В., Ramesh R.T., Appl. Phys. Lett., 75, 4, 537 (1999)

11. Navarro J. Antisites and electron-doping effects on the magnetic transition of Sr2(FeMo)06 double perovskite. / J. Navarro, J. Nogués, J. S. Muñoz, J. Fontcuberta // Phys. Rev. В 67, 174416, 2003. 6p.

12. Lee W.Y. Some effects of Fe/Mo disorder in double perovskite Ba2Fei+xMoi-x06. / W.Y. Leea, H. Hana, S.B. Kimb, C.S. Kimb, B.W. Lee // Journal of Magnetism and Magnetic Materials 254-255, 2003. — 577-579p.

13. Лобановский, Jl.С. Магниторезистивный эффект в двойных перов-скитах A2(FeMo)Ox (А = Sr,Ca; 5.90 < х < 6.05). / Л.С. Лобановский, И.О. Троянчук, Н.В. Пушкарев, Г. Шимчак. // Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 4. — С. 651-655.

14. Зиненко, В.И. Статистическая механика катионного упорядочения твердых растворов РЬБс^Та^Оз и PbSc^Nb^Os. / В.И. Зиненко, С.Н. Софронова. // Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. 12. С. 2217-2222.

15. Holland J. Н. Adaptation in Natural and Artificial Systems. / J.H. Holland // Ann Arbor: The University of Michigan Press, 1975.

16. Goldberg D. Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning. / D. Goldberg // Massachusetts: Addison-Wesley, 1989.

17. Michalewicz Z. Genetic algorithms + Data Structures = Evolution Programs. / Z. Michalewicz // New York: Springer-Verlag, 1996.

18. Mitchell M. An Introduction to Genetic Algorithms. / M. Mitchell // Cambridge: MIT Press, 1996.

19. Schwefel H.-P. Evolution and Optimum Seeking. / H.-P. Schwefel // New York: John Wiley & Sons, 1995.

20. Whitley Darrel. A Genetic Algorithm. / Darrel Whitley // Tutorial, 1993.

21. Fogel D.B. Evolutionary computation: towards a new philosophy of machine intelligence./ D.B. Fogel // Piscatway: IEEE Press, 1995.

22. Hartmann A.K. Optimization Algorithms in Physics. / A.K. Hartmann, H. Rieger // Berlin: Wiley-VCH, 2002.

23. Koza J.R. Genetic Programming./ J.R. Koza // Cambridge: The MIT Press, 1992.

24. Periaux J. Fast Convergence Thanks to Diversity / J. Periaux, M. Sefrioui, J.-G. Ganascia // Evolutionary computing, San Diego, 1998. 9p.

25. Periaux J. Evolutionary computational methods for complex design in aerodynamics / J. Periaux, M. Sefrioui // AIAA-98-0222, Reno, 1998. 15p.

26. Periaux J. Combining Game Theory and Genetic Algorithms with Application to DDM-Nozzle Optimization Problems / J. Periaux // Proceedings of DDM, Greenwich, 1998. — 17p.

27. Periaux J. Genetic Algorithms for electromagnetic backscattering multiobjective optimization / J. Periaux // Genetic algorithms for Electromagnetic Computation, Ed: Erir. Miechelssen, 1998. — 30p.

28. Курейчик В.А. Генетические алгоритмы. / В.А. Курейчик, В.В. Ку-рейчик, В.М. Гладков // М.: Физматлит, 2006. — 320с.

29. Yamaguchi. Genetic Algorithm for SU(N) gauge theory on a lattice. / Yamaguchi // arXiv:hep-lat 9808001 v2, 1998. 17p.

30. Nicolas P. Genetic Algorithms for Extension Search in Default Logic.// Pascal Nicolas, Frédéric Saubion, Igor Stéphan. // arXiv:cs.AI 0002015 vl, 2000,- 8p.

31. Miasnikov A. Genetic algorithms and the Andrews-Curtis conjecture. / A. Miasnikov 11 arXiv:math.GR 0.044306 vl, 2003. 19p.

32. Bäck T. Evolutionary algorithms in theory and practice. / T. Bäck // Oxford University Press, 1995.

33. Bäck T. Handbook of Evolutionary Computation / T. Bäck, D.B. Fogel, Z. Michalewicz // University Oxford Press, New York, 1996.

34. Davis L. Genetic Algorithms and Simulated Annealing / L. Davis // Morgan Kaufmann Publishers, San Mateo, CA, 1987.

35. Davis L. Handbook of genetic algorithms. / L. Davis // Van Nostrand Reinhold, New York, 1991.

36. De Jong K.A. Evolutionary Computation / K.A. De Jong // Cambridge, MIT Press, 1993.

37. Kinnear K.E. Advances in genetic programming / K.E. Kinnear // Cambridge, MIT Press, MA, 1994.

38. Martello S. Knapsack problems / S. Martello, P. Toth // UK, Chichester, John Wiley, 1990.

39. Reynolds R.G. The use of version space controlled genetic algorithms to solve the boole problem // R.G. Reynolds, J.I. Maletic / International Journal on Artificial Intelligence Tools, Vol.2, No.2, 1993. 219-234p.

40. Aarts E.H.L. Simulated Annealing and Boltzmann Machines / E.H.L. Aarts, J. Korst // John Wiley, Chichester, UK, 1989.

41. Rudolph G. Convergence analysis of canonical genetic algorithms / G. Rudolph // IEEE Transactions on Neural Networks, special issue on evolutionary computation, Vol.5, No.l, 1994.

42. Saravanan N. A bibliography of evolutionary computation and applications / N. Saravanan, D.B. Fogel // Department of Mechanical Engineering, Florida Atlantic University, Technical Report No. FAU-ME-93-100, 1993.

43. Schwefel H.-P. Evolution and Optimum Seeking / H.-P. Schwefel // UK, Chichester, John Wiley, 1995.

44. Генетические алгоритмы. — http://www.neuroproject.ru

45. Исаев А. Генетические алгоритмы. — http://www.algolist.manual.ru

46. Генетические алгоритмы. — http://www.getinfo.ru

47. Генетические алгоритмы. — http://www.systemtechnik.tu-ilmenau.de

48. Генетические алгоритмы на сайте Санкт-Петербугского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. — http://rain.ifmo.ru/cat

49. Исследования по ГА в Мичиганском университете. — http://garage.cps.msu.edu

50. Исследования по ГА в университете штата Колорадо. — http://www.cs.colostate.edu

51. Организация по Генетическим Алгоритмам. — http://www.genetic-programming.org

52. Ассоциация по Генетическим Алгоритмам университета Джорджа Мейсона. — http://www.cs.gmu.edu/research/gag

53. Дарвин Ч. О происхождении видов путём естественного отбора или сохранении благоприятствуемых пород в борьбе за жизнь // Сочинения, т. 3 М.: АН СССР, 1939.