автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Моделирование деформируемых тел с внутренней структурой в задачах динамики и устойчивости

РГ6 од

госуярьтвеййж

комитет российской федерации по высшему образованию тверской государственный университет

па правах рукописи

Васильев Алексей Анатольевич

моделирование деформируемых тел с внутренней структурой в задачах динамики и устойчивости

Специальность: 05.13.16 применение вычислительной техники,

математических методов и методов моделирования в научных исследованиях (в области физико - математических наук)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тшрь - 1993

Работа выполнена в Московском и Тверском государственных университетах

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Короткина Маргарита Романовна, ■

доктор физико-математических наук, профессор Кудинов Алексей Никифоров!«.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Зубчанинов Владимир Георгиевич,

кандидат физико-математических наук, доцент Ильюшина Елена Алексеевна.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится " (!гп 1993 г. в /3 час. 30.

мин. на заседании специализированного совета К 063.97.06 в Тв.ГУ по адресу: 170000, г. Тверь, ул. Желябова, д. 33. (Для специализированного совета факультета ПМиК).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ТвГУ. Автореферат разослан " -<4 " о^аА 19ЭЗ г.

Ваши отзывы в 2-х экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по указанному адресу.

УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННОГО СОВЕТА ' кандидат физико-математических наук,

доцент - В.А.Хикняк

ОНЦЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертации развиваются метода математического моделирования в задачах динамики и устойчивости тел, конструкций протяженной формы с внутренней структурой.

, Актуальность темы■определяв тся широким внедрением в практику композиционных материалов, кон трукций сложного строения, структурных тел, необходимостью развивать эффективные методы их исследования. В настоящее время для этого широко используются метод осредне-нйя, конструктивно-анизотропный подход,'в которых изучение поведения сложных структурно-неоднородных систем сводится к решению удобных для аналитического и численного анализа уравнений с медленноиз-менящимися коэффициентами. Для анализа ряда эффектов, обусловленных структурой, необходимо развивать методы получения упрощенных моделей достаточно точных для длин волн, сравнимых с длиной ячейки периодичности, отражающих смещения в ячейке. Это важно, например, при изучении разрушения тел, поскольку часто именно смещения такого тала приводят к появлению трещин.

Актуальной задачей является разработка методов определения динамических (спектральных) характеристик, анализа влияния на их значения различных физико-механических факторов. Использование для нахождения характерней® методов, аналогичных методам анализа чувствительности, применяемых при оптимизации конструкций, позволяет на основе единого подхода не только находить необходимые значения, но и проводить анализ их зависимости от параметров ячеек периодичности. Соотношения, используемые для определения характеристик, отражают влияние на их значения различных внутренних смещений г структурной ячейке. ■ -

Целью работы являлась теоретическая разработка и реализация в задачах динамики и устойчивости многополевого подхода, позволяющего строить уточнящуюся систему моделей на основе увеличения используемого при моделировании числа функций; разработка, реализация и апробация метода определения и анализа динамических (спектральных) характеристик, построения дисперсионных кривых.

Научная новизна определяется развитием нового подхода в моделировании тел и конструкций,- полученных смещением вдоль оси ячейки периодичности. Методика многополевого подхода формулируется- и реа-

- Ц -

' лизуется для получения континуальных по осевой переменной многопо-! левых моделей неоднородных тел, изучение движения ячеек периодичности которых на основе методов дискретизации сведено к изучению движения узлов. Многополевой подход реализован не только в задачах динамики, но и устойчивости дискретных, и континуальных тел. •

Для определения динамических (спектральных) характеристик разрабатывается удобный для применения вычислительной техники метод, позволяющий как находить характеристики, так и проводить их анализ. В качестве "задачи для ячейки" ставится обобщенная задача на собственные значения для ячейки периодичности!

Практическая ценность определяется широким применением деформируемых систем рассматриваемого типа; разработкой подхода построения математических моделей, отражающие процессы на уровне структурной ячейки, удобных для проведения исследований; а также разработкой методов, позволяющих определять динамические (спектральные) характеристики, проводить.анализ влияния на их значения параметров ячеек периодичности.

Использование дискретного описания моделируемых систем в ка- ' честве базового ориентировано на широкое применение вычислительной техники в математическом моделировании, позволяет применять достаточно разработанные в настоящее время формулировки задач для. дискретных и континуальных деформируемых систем в виде дифференциально-разностных уравнений, использовать реализующие их программы.

В Тверском университете работа проводилась в рамках НИР кафедры математического моделирования $изико-механических систем по теме "Разработка математических моделей для прогнозирования физико-механических характеристик композиционных материалов на основе численного эксперимента". •

Достоверность результатов и выводов обеспечивается математической строгостью и обоснованностью проводимых рассуждений, тестированием расчетных алгоритмов по аналитическим и численным результатам, полученным на основе других методов.

Агробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры математического моделирования физико-механиЧеских систем Тверского государственного университета под руководством проф. А.Н.Кудинова, 12 Всесоюзной конференции "Численные метода решения задач теории уп-

ругооти и пластичности" (Тверь, 1991), 3 Всесоюзной конференции "Механика неоднородных-структур" (Львов, 1991), 3 симпозиуме "Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела" (Тверь, 1992), на I Международном семинаре "Эволюция дефектных структур в металлах и сплавах" (Барнаул, 1992).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 112 страниц машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, приложений, заключения, списка литература. В тексте диссертации 38 рисунков; список литературы включает 80 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Но введении дается краткий обзор, обосновывается актуальность темы, выбор метода исследования.

Обычным подходом в механике сплошных- сред является замена реальной среды, обладающей'сложной структурой, отражающей ряд ее важнейших свойств- континуальной моделью. При этом неоднородная система, которая в более точной постановке определяется уравнениями с быстроизменяпцимися коэффициентами, моделируется уравнениями, коэффициенты которых изменяются медленно или постоянны. Такие уравнения удобны для анализа, так как позволяют проводить решение аналитически или численно на оснобе дискретизации с использованием более грубой (в сравнеюм с структурными элементами исходной системы) конечно-разностной сетки. Необходимость.учета эффектов, которые не отражают классические модели, привела к необходимости построения новых моделей, которые часто объединяют названием "моментные". Достаточно общий путь к их построению - анализ исходных гипотез, изменение или отказ от какой-нибудь из. них, введение новых.

. Развитие техники и технологий привело к появлению тел, конструкций с большим числом регулярно повторяющихся структурных элементов. При моделировании таких систем применяется аналогичный описанному вышо подход. В настоящее время разработан ряд методов математического моделировашт тел и конструкций с регулярной структуру. При их изучении широко используются, например, конструктивно-анизотропные, осреднешше модели. Однако задачу моделирования таких систем, в.частности, разработку моделей аналогичных моментннм,; нельзя-считать решенной. - - ; ,

- б -

В диссертации разрабатывается многополевой подход. Название "многополевой" отражает основное изменение гипотез классического подхода, заключавшееся в использовании большего,, чем при построении обычных моделей, числа функций смещений. Такие модели появляются в физике твердого тела при моделировании слокшх решеток. На их основе выделением уравнений смещения центра масс ячейки периодичности получают обычные уравнения теории упругости и соответствукщие константы.

Многополевыа модели в динамике континуальных систем получены Е.А.Ильнншюй. Разработка ею метода макроячеек* позволила строить уточнявдуюся систему моделей на основе введения макроячеек, дала подход к эффективному решению коротковолновых проблем в моделировании. Применение многополевого подхода для исследования динамики многослойного шара дано Молодцовым И.Н.

В первой главе приводятся основные соотношения и положения, используемые в диссертации при моделировании динамики структурных тел.

В диссертации рассматривается моделирование тел, конструкций протяженной формы, образованных смещением вдоль прямой оси ячейки периодичности. Считается, что изучение движения ячейки периодичности сведено к нахождению смещений И ее узлов. Предполагается, что узлы расположены во всех ячейках одинаково.

Вводится обобщенный вектор смещений узлов п-й ячейки размерности Их •

где V - номер узла в ячейке, N - количество узлов в ячейке, ц -номер степени свободы узла, ас'.- количество степеней свободы узла.

Считается, что уравнения динамики узлов п-й ячейки имеют вид

Считавтся, что имеют место соотношения симметрии

С(Г°0' с-)=с7' ^-Г^Г

^Ильюшина Е.А. К построению теории упругости неоднородных сред с микроструктурой. Дисс. канд. физ.-мат. наук. М: 1977.

Для построения многотолевых моделей вводится декартова (либо цилиндрическая) система координат, ось Ог которой направляется : вдоль оси тела. Соответствущая этой оси координата v-vo узла п-й ; ячейки тела обозначается х^ Для моделирования движения

системы используется №е функций полевой переменной для ко-

торых в узлах ячеек выполнены равенства

=

Для этих функций из уравнений (I), используя разложение в ряд Тейлора, получается система Язе дифференциальных по х уравнений движения многополввой-модели, коэффициенты которых постоянны,

г чГ

Д ДК- &< ¿ДО &'

^=0, ^ТТЯ, з=Т7аё,

3 1

Ь0УТ ГЪ0 гТ в7г\

где !р=1ра' °Р=< • 01=1 > Кэм'

мрэ.щ ~ компоненты матриц И1 соответственно,

суз,цд' °г>з,\хд ~ компонента матриц 00, V, э - индексы строки, (л, 9 - индексы.столбца.

Подставив и uva=шvзeíffcГ"tJt', (у=Т717, з=ТГэе)

соответственно в системы.уравнений (I) и (2), получим системы вида 1~и?Я+0Ш=О, равенство нулю определителя которых определяет зависимости , т=Т7Яэс.

Формулируется "задача для ячейки" или "задача нулевого уровня", которая состоит в решении при заданном к обобщенной задачи на собственные значения '

Показывается, что на основе решения задачи для ячейки произ-

-в -

водные дисперсионных кривых (т^ТЛэг) и соответствующих собст-

венных векторов для рассматриваемого к, если среда собственных чисел нет кратных, находятся последовательно на основе соотношений:

. РшЛ • . (3 )

~ Чг

Где °г=з!(г-а)[ " Поскольку при использовании макроячеек появляются

кратные значения, рассмотрен случай, когда среди значений ^Ог) (т=1,Иэг) для рассматриваемого & есть кратные. В этом случае предварительно применяется используемый в методе возмущений метод приспособления собственных векторов. Далее для нахождения производных получаются аналогичные по структуре приведенным выше соотношения. ' Обсуждаются вопроси использования соотношений (3). Вопросы реализации рассмотрены во второй главе.

Квадраты собственных чисел и собственных векторов, их производные , по волновому числу к являются характеристиками системы в задачах динамики. Соотношения (3) на основе решения задачи для ячейки позволяет находить их значения, раскрывают структуру этих констант, в частности, позволяют анализировать вклад внутренних степеней свободы в эффективные модули.

Соотношения (3) позволяют находить частные.суммы разложений в ряд Тейлора квадратов зависимостей частот от волнового числа для всех п=1Щж ветвей дисперсионных кривых -

которые дают значения иу^п), для если известны значения

Если в качестве 4 рассматривается волновое число к, соотношения (3), (4) являются основой для численного построения дисперсионных кривых. Значения Ш( для начального значения находятся с использованием стандартной программы, а значения для других 5 на основе соотношений (3), (4) последовательным пересчетом. Одновременно находятся производные , которые характеризуют динамические свойства системы.

Если в соотношениях (3), (4) в качестве переменной по которой проводится дифференцирование, взять не волновое число к, а геометрический или физический параметр ячейки периодичности, то эти соотношения являются основой численного нахождения зависимостей от этого параметра квадратов собственных частот и соответствующих собственных векторов,' их производных по к.

. Соотношения (3) используются для сравнения уравнений системы (I) и модели (2). Из них видно, что, если в уравнениях модели ограничиться производными по х порядка' не выше Я и выполнены принятые при выводе соотношений (3) условия, то при й=0 для всех т=77Яэё ветвей дисперсионных кривых системы и модели равны производные порядка. г^Я, поскольку при А=0-имеет место равенство производных порядка г, СКг^Я, матриц [С(к)]^' системы и модели. В

этом случае равны при к=0 частные суммы рядов Тейлора всех №зе ветвей дисперсионных кривых системы и модели до й-й степени к.

Для систем.рассматриваемого вида показывается, что дисперсионные кривые ь£(ок), удвоенной ячейки можно разбить па два множества: кривые первого-множества совпадают йа этом промежутке с дисперсионными кривыми неудвоенной ячейки, кривые второго множества являются зеркальными отражениями относительно значения к-топределенных при ри^^д ДИСП0РСИОННЫХ кривых неудвоенной ячейки. Это утверждение лежит в основе метода макроячеек уточнения моделей на основе удвоения ячейки.

Во второй главе рассмотрена реализация общих соотношений,и положений первой главы для конкретных систем, допускающих аналитическое исследование для сопоставления результатов.

Аналитические построения проведены для сложной цепочки с ячей-

-1.0-

кой периодичности из расположенных на расстоянии р точечных масс Шу тг, соединенных пружинками жесткости /2. Для этой системы рассмотрены основные положения многополевого подхода, в частности, приведены уравнения дискретной системы, двухлолевой модели, выражения матриц ¡¡(к) и С(Ъ) для них.

На основе решения "задачи для ячейки"

ь&(0)=0, _ ,

¿¡(О

1 Л ш0' -

к, I'

VI Л0}=-.—!—

' -/щшг

Утр/т^' -Ут^/п¡2

где (ь^, ю0) характеризуют смещение центра масс, - внут-

ренние смещения в ячейке, аналитически получены выражения компонент матричных соотношений для производных. В частности, для второй производной акустической ветви при ■

и)0, ¿у ¿"С"

■ Ь, 7Ц\(я1**г>

представляющей известное выражение скорости распространения возмущения, получено, что составляющие ее компоненты имеют вид

го- (0)Ь0, 1С' (0)В0, ^мсиощ, 101.

Моделирование динамики сплошной среды на основе дискретных уравнений движения рассмотрено на примере моделирования динамики слоистого стержня (слоистой среды при распространении волн перпендикулярно слоям) с ячейкой периодичности из двух слоев. При решении этой задачи.« имеюаей аналитические решения, апробируются методы численного нахождения и исследования динамических характеристик, изложенные"в первой главе.

Проведено численное сравнение точных зависимостей скорости волны от волнового числа для нижних продольных мод с этими зависимостями, построенными для многоцелевых моделей (2). Рассмотрены мо-дэли, построенные с использованием производных не выше второго и четвертого порядков включительно, а также с использованием различных конечно-элементных аппроксимаций.

На основе конечно-элементных уравнений и приведенных алгоритмов найдены зависимости от геометрических (соотношения длин. а.¡/а) и физических (значений 7) параметров квадратов частот и их произ-,

водных по волновому числу до четвертого порядка включительно. Расчеты проведены для значений ка=0, ка=тс. Зависимости построены при изменении (Ка/аЩ, 0.01^^100.

Сравнение результатов расчетов проведено со значениями, полученными на основе известного точного дисперсионного соотношения

соа(Ьа)=со8(ип1/и1)соа(ьп^г)-Хз1п(ьп1/и1)а1п(1>х12/и2)г

которое для акустической ветви дает при к=0 известные значения скорости звука <£>~1 и дисперсионного параметра низшего порядка (3 в разложении .

Сранительные расчеты.проведны для обычно используемых в литературе при рассмотрении этой задачи параметров: р^/р¿-3, V¡=0.3, V 2=0.35, х£=50, а^(а1+а2)=0.2,

где , аг - длины слоев, а=а?+о2 г длина периода.

Сравнение результатов расчетов описанных выше зависимостей дает хорошев соответствие со значениями, полученными на основе приведенных точшх соотношений, для нижних ветвей дисперсионных кривых, в частности, для эффективных характеристик - скорости звука и0 и дисперсионного параметра низшего порядка р, определяемых производными второго и четвертого порядков акустической ветви при к=0.

При численных расчетах использовались уравнения МКЭ. Слой разбивался шестью узлами. При- построении используемых в соотношениях (3-) глобальных матриц жесткости и масс и. их производных использовались методы их построения, применяемые в МКЭ. Локальные матрицы жесткости и масс, их прозводные находились аналитически.

Многополевой подход рассмотрен при моделировании динамики фермы с ячейкой периодичности в виде прямоугольника с диагоналями. Отмечено, что рассмотрение этой системы и изотропного сплошного слоя,"' моделируемого четырехузловыми конечным! элементами, аналогичны.

На основе элементарной ячейки (рис.1) получены континуальные по продольной координате уравнения движения для двух вектор-функций размерности два, определяющих продольные и поперечные смещения верхних и нижних узлов. То есть в отличии от простейшего случая, когда для моделирования используются две функции продольных и поперечных смещений центра тяжести сечений, для моделирования использу-

ются четыре функции. На основе макроячейки (рис. I), включаодей до элементарные ячейки, получены континуальные по продольной координате уравнения движения, в которых для моделирования продольных и поперечных смещений кавдого (верхнего и нижнего) ряда узлов используется не одна, а две вектор-функции размерности два. Дается сравнение моделей. Рассмотрение проведено для симметричной относительно оси ячейки периодичности, поскольку выделение продольных и поперечных смещений центра масс, изменения толщины, поворота сечений, разделение уравнений в этом случае понижает размерность матриц и позволяет найти аналитические выражения дисперсионных соотношений для проведения сравнений.

Аналитически получены выражения скорости распространения продольных колебаний, коэффициента в уравнении изгиба, определяемых производными второго и четвертого порядка соответствующее дисперсионных кривых, через решение задачи для ячейки.

С использованием программ, примененных для слоистого стержня, численно найдены зависимости и их производных по к до. четвер-

того порядка включительно от отношения толщины к длине ячейки, соотношения площадей сечений стержней. Полученные численно значения совпадают со значениями, полученными аналитически на основе дифференцирования дисперсионных соотношений. . .

В третьей главе рассмотрено применение многополевого подхода для моделирования устойчивости нагруженного сжимающей силой р шар-нирно-опертого многозвенника длины I, состоящего из N ячеек периодичности, включающих два упругих шарнира жесткости с?, с о и опоры жесткости йр. Эта задача является модельной для качественного анализа устойчивости широкого класса структурных систем. При различных соотношениях параметров в такой системе реализуются как длинноволновые (например, при к^к^О), так и коротковолновые (например, если &), й-р достаточно велики) формы потери устойчивости.

Рассмотрена использугацая для описания смещений при потере устойчивости одну функцию и(т) однополевая осредненная модель - однородный стержень на упругом основании. Сравнение критических сил показывает, что эта модель применима при значениях параметров, при которых реализуются длинноволновые формы потери устойчивости.

Построена двухполевая модель, использующая для описания формы потери устойчивости не одну, з две функции. Обозначая в полученных

на основа энергетического подхода конечно-разностных уравнениях устойчивости смещения начетных шарниров элементарной ячейки буквой ир четных - иг, перейдя от вектора смещений и2,2т}т=ТТН

к двум функциям смещений и3(х) (з=1, 2) таким, что

и используя разложение этих функций в ряд Тейлора до производных четвертого порядка, получены соотношения задачи устойчивости двух-лолевой модели

Ш[(2а)ги^(Щ^и1У} +1 -2р+а( ПШ^ [эи^а2^ ^и*7) =0, где обозначено: с=р(с^с2Л к^к^к^,). Дс^с^-с^), Д^р^-^.),

2с=™, 22г=|-, (-ЫЕМ1), р=р/УКс, ЫУ^к/са2,

а^аУЕТс, а=1/(Ищ+1) - длина звена, - число шарниров.

Сравнение минимальных критических сил показывает, что двухпо-левая модель имеет более широкую область применения, чем приведенная выше осредненная модель, и дает достаточно точные значения критических сил для значений параметров, которым соответствуют формы потери устойчивости не только с малым, но и с большим числом полуволн, т.е. когда происходит коротковолновая (местная) потеря устойчивости.

При предположении, что число шарниров равно 4Н, на основе введения макроячейки (рис. 2),. включащей две элементарные ячейки, с использованием при моделировании четырех функций, аналогично тому, как были получены уравнения двухлолевой модели, получены соотношения четырехполевой модели. При моделировании потери устойчивости с.-, малым и большим числом полуволн т (т близко к 1 1ли 4Ы) четырехпо-' левая модель дает те же значения критических сил, что и двухполе-вая, и уточняет ее для значений параметров системы, которым соответствуют формы потери устойчивости со средними значениями числа полуволн ш (п близко к 2П).

Приведены'примеры расчетов на основе различных моделей, иллюстрирующие проведенный анализ.

- и -

В четвертой главе методика применения многополевого подхода для моделирования устойчивости структурно-неоднородных континуальных систем без использования приближенных методов дискретизации рассмотрена на примере построения многополевых моделей устойчивости регулярно подкрепленной упругими шпангоутами цилиндрической оболочки (рис. 3), нагруженной равномерным внешним гидростатическим давлением р. Доводится сравнение полученных моделей на основе сравнения их характеристических уравнений.

Для оболочки принимаются предположений, позволяющие проводить' аналитическое рассмотрение. В частности, считается, что поведение обшивки описывается уравнениями полусезмоментной теории, ширина шпангоутов пренебрежимо мала по сравнению с расстояниями меаду.ними, центры тяжести их поперечных сечений лежат в срединной поверхности обшивки, оси не растяжимы, учитывается только изгибная жесткость шпангоутов в своей плоскости.

Оболочка характеризуется параметрами: Я - радиус, П - толщина оболочки, а - расстояние между' шпангоутами, Ы - изгибная жесткость шнангоутов, Вх - жесткость обшивки на растяжение в осевом направлении, - ее изгибная жесткость в окружном направлении.

Для функций перемещений <^т(х,ц>)=Х(х)з\П(щ), определенных на пролетах используя условия стыковки, получено разностное

уравнение, связывающее значения т(0, ср) в Местах расположения шпангоутов

75 Г

где /(Лл)=2[соэ(Ха)-м}1(Ла)]+—£—п[з1п(ЛБ)-зП(Ка)],

2(аХГ

(а\Г

а=й . оЛЦ? п4(п2-1)г. п4(пг-1)

к ВзР3 вх

р-^-и

Подстановкой Ое1Шг П0ЛутеН0 характеристическое уравнение..

Для построения однополевых моделей вводится определенная вдоль всей оси функция перемещений Ф(х, ср) такая, что в местах расположения шпангоутов для нее внполнено_Ф(.г, сР)\х=ш=®т(°' <Р)* Лля этой функции разложением в уравнении (5) функций /САД; в ряд

Тейлора по'А. при А^О, заменой п на 19()/8ср, получено дифференциально (по ср) - разностное (но. г.) уравнение устойчивости '

Ю=0, Ыч^+га*43 * вт -

где v:).£Фí.г, ф)=±/ФГх±£, ф; - Ф(х, фЯ,

Разложением в этом уравнении функций Ф з ряд Тейлора по х до производных четвертого порядка получено приближенное по х дифференциальное по х и ф уравнение устойчивости

Ш=0, а=оо, (6)

Характеристическое уравнение модели (6) получается из характеристического уравнения для (5), еслр заменить в нем функции 4соа^(ка), 2соз(ка) на частице суммы их рядов Тейлора при к^О, включающие четвертые степени ка. 1

На основе макроячейки (рис. 3), включающей два элементарных периода, нумеруя шпангоуты макроячейки индексами О и 7 и используя при моделировании две функции перемещений ФгСх, ср) (г=0, 1) такие, что

Фг(х, х=(2т+г)а^гС0. ФЛ ■ г=0, 1.

получены приближенные по х дифференциальные по х и ср уравнения устойчивости двухполевой модели

ГК)+53;Ф0-?3К2Ф,=О1 -?'акгФ0^)(7+5э;Ф.;=о, э=«>. (7)

Сравнение характеристических уравнений, соответствующих уравнениям (Б), (6), (7), показывает.что двухполевая модель, совпадая с однополевой при малых к, уточняет ее при й близких к

Уравнения устойчивости четырехполевой модели, использущие при моделировании четыре полевые функции, получены на основе макроячейки, включающей четыре периода. Сравнение характеристических уравнений показывает, что четырэхлолевая модель, совпадая с двухполевой

ГТТ* Огтг- гтт-

при ^«Уе^тс, уточняет ее при й близких к ^ .

Рис. I

ияитш о

О 1<-а*2

Ж. 211+1

Рис. 2

макроячейка, включающая ¿две элементарные

гтттт

элементарная

. ячейка

п-Ш'па

♦ | * ♦ мш.нн п i ш м i i

. р

Рис. 3

Ограничением порядка уравнений по ср получены прикладные модели, которым .соответствуют удобные для нахождения критических сил полиномиальные характеристические уравнения.

Используемое при конструктивно анизотропном подходе уравнение полубезмоментлой теории оболочки с изгибной жесткостью (жесткость шпангоута размазана на периоде) получается из. уравнения (6), если оставить в нем производные не выше восьмого порядка.

При конечных з из уравнений (6), (7) получены применимые для нахождения а минимальных значений сил р уравнения устойчивости од-нополевой и двухлолевой'моделей. Рассмотрены случаи з-1, 2, получены решения характеристических уравнений для нахождения значений р.

Приведены примеры расчетов на основе различных моделей, отражающие проведенный анализ.

В приложении приведены основные положения и соотношения метода конечных элементов, используемые выражения локальных матриц жесткости и масс, их производных по параметрам.

Основные результаты и выводы

1. Дана формулировка и реализация методики многополевого подхода при построении континуальных по осевой переменной моделей в виде уравнений с постоянными коэффициентами для структурно-неоднородных тел, движение ячеек периодичности которых задано или сведено к системе дифференциально-разностных уравнений движения узлов. Сравнением дисперсионных соотношений показано, что получаемая модель отражает не только макросмещения ячеек,.но и внутренние смещения в.них. Установлена связь дисперсионных кривых ячейки и макроячейки.

2. Реализован матричный подход для нахождения динамических (спектральных) характеристик, в качестве которых рассматриваются значения и производные по волновому числу дисперсионных кривых. В качестве "задачи для ячейки" формулируется задача на собственные значения .для ячейки периодичности, с использованием решения которой производные необходимого порядка находятся по рекуррентным соотношениям. На основе единого подхода проводится определение характеристик, получение и анализ их зависимости от. геометрических и физических параметров ячеек периодичности. Предлагаемый метод дает возможность проводить качественный анализ структуры динамических характеристик, в частности,, анализ вклада внутренних степеней свободы в ячейке в эффективные модули.

- IB -

3. На основе задачи моделирования динамики слоистого стержня, (слоистой среды при распространении волн перпендикулярно слоям), имеидей аналитические решения, апробированы метода построения дисперсионных кривых, нахождения и анализа зависимостей от параметров ячейки периодичности границ'фильтра частот, спорости волны, дисперсионного параметра низшего порядка при нулевой частоте,- производных других ветвей дисперсионных кривых. Проведено сравнение уравнений движения системы и уравнений многополевых моделей на основе сравнения дисперсионных кривых..В качестве базовых дафференциально-раз-ностных уравнений взяты уравнения МКЭ.

4. Многополевой подход реализован при получении моделей различного уровня точности для фермы с ячейкой периодичности в виде прямоуголышка с диагоналями. Проведены сравнения результатов рас-' четов динамических характеристик и их зависимостей от параметров, полученных на основе рассматриваемого матричного подхода и с ис- . пользованием аналитических соотношений.

Б. На примере задачи устойчивости шарнирно-опертого многозвен-шка на упругих опорах, нагруженного сжимающей силой, показано, .что в задачах устойчивости многополевой подход может быть использован для расширения области применения моделей структурно-неоднородных систем, в которых, как, например, при конструктивно-анизотропном подходе, для моделирования используются уравнения-с постоянными'' коэффициентами. Показано, что многополевой подход позволяет получать модели такого типа, применимые при коротковолновых формах потери устойчивости.

6. Ыногополевой подход применен для построения многополевых моделей устойчивости континуальной системы. Для подкрепленной шпангоутами цилиндрической оболочки, нагруженной гидростатическим внешним давлением, получено дифференциальное по угловой координате и . разностное по продольной координате уравнение, на основе которого получены приближенные многополевые уравнения задачи устойчивости.

Основные результаты диссертации опубликованы в следувдих рабо-,

тах:

I. Кудинов А.Н., Короткина М.Р., Васильев A.A., Дмитриев C.B. Построение осредненных уравнений динамики слоистого композита на основе МКЭ. Калинин, 1989. 9 с: Деп. в ВИНИТИ 19.05.89 К3332-В8Э.

2. Васильев A.A. Построение и анализ спектров регулярных, структур // Механика неоднородных структур: тез. докл. третьей Всес. конф., часть I, Львов, сентябрь 1991 г.. Львов, 1991. С. 49.

3. Кудинов А.Н., Васильев A.A., Дмитриев C.B. К вопросу о континуальном моделировании в задаче устойчивости многозвенной системы на упругих опорах //' Актуальные проблемы теории пластичности и устойчивости. Тварь: ТвеПИ,.1991. С. Б9-64.

4. Васильев A.A. Об использовании многошлевого подхода для моделирования структурных систем в задаче устойчивости // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Новосибирск: ИТПМ СО РАН, 1992. С.61 - 64.

5. Васильев A.A. Об. использовании многополевого подхода для моделирования общей и местной потери устойчивости структурных систем // Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела: тез. докл. III симпозиума, Тверь, 3-5 сент. 1992 г. Тверь, 1992. С. 38-39.

6. Васильев A.A. Вариант моментаой континуальной модели слоя с микроструктурой // Эволюция дефектных структур в металлах и сплавах: сборн. докл. I меад. семинара, Барнаул, 8-12 сент. 1992 г. Барнаул, 1992. С. Г/4-Г/5.

Т. Васильев-A.A. К определению эффективных характеристик фильтра частот одномерной упругодефоршруемоа системы с микроструктурой // Физическая механика. Тверь: ТГУ, 1993. С. 63-67.

. 8. Кудинов А.Н., Васильев A.A. Однополевие модели устойчивости подкрепленной шпангоутами цилиндрической оболочки при внешнем давлении // Физическая механика. Тверь: ТГУ, 1993. С. 50-54.

9. Васильев A.A. -Матричный алгоритм для определения динамических характеристик стержня с микроструктурой // Модели, алгоритмы, программы. Тверь: ТГУ, 1993.

10. Васильев A.A. Об использовании многошлевого подхода при моделировании общей и местной потерь устойчивости структурных систем // Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела. Материалы 3 симпозиума. Часть 3. Тверь: ТвеПИ, 1993 (в печати).