автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование динамики многозвенного антропоморфного механизма

На правах рукописи

Борисов Андрей Валерьевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ МНОГОЗВЕННОГО АНТРОПОМОРФНОГО МЕХАНИЗМА

• Специальность: 05.13.18. — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Тула 2005

Работа выполнена на кафедре анатомии и биомеханики в Смоленской государственной академии физической культуры, спорта и туризма.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор, Чигарев Анатолий Власович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Желтков Владимир Иванович.

доктор технических наук, профессор Логвинов Сергей Иванович.

Ведущая организация - Воронежский государственный университет

Защита состоится "0^0^^X2005 г.

;оо

часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.05 п£и ГОУ ВПО "Тульский государственный университет" (300600, г. Тула, проспект Ленина, 92, 9-101).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО "Тульский государственный университет".

Автореферат разослан 'I

2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.М. Панарин

tono

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации обусловлена как ее теоретической, так и практической значимостью. Работа является частью развиваемого в настоящее время во всем мире направления, связанного с созданием антропоморфных роботов. Большинство исследований до сих пор проводились с использованием модели абсолютно твердого тела, однако эта модель не является адекватной реальному человеческому телу.

В теоретическом аспекте в диссертационной работе впервые решается актуальная задача моделирования антропоморфных роботов на базе деформируемых стержневых систем. Актуальность диссертации с практической точки зрения вызвана возрастающим интересом к динамическим возможностям механических систем на основе информации о человеческих движениях.

Деформируемые стержневые системы находят широкое применение и позволяют строить математические модели сложных объектов с изменяемой структурой. Учет деформаций усложняет задачу описания механических систем, но позволяет создавать модели более адекватные реальным объектам. В мехатронных системах пренебрежение деформациями недопустимо и их учет важен, потому что" в реальных системах звенья деформируемые. Пренебрежение деформациями приводит к огрублению модели.

В последние десятилетия предпринимаются попытки создания стержневых механизмов (роботов) и возникают проблемы с описанием походки, приближенной к реальным движениям человека. Все еще не решен вопрос о том, насколько хорошо стержневая модель может описать динамику человека, ткани которого обладают в общем случае вязкоупругими свойствами. Существует проблема управления двуногими антропоморфными аппаратами, приближенными к движениям и походке человека.

Накапливается разнообразная информация о выяснении возможностей построения механических систем на основе информации о биологических системах. Предлагаемая работа находится в русле подобных разработок и обеспечивает получение качественно новой информации о движении механических систем с деформируемыми элементами структуры на основе движений человека.

Так как стержневая механическая система с деформируемыми элементами структуры имеет большое количество степеней свободы, то расчеты подобных систем сложны, громоздки и требуют большого количества вычислений. Анимационное моделирование, применяемое в диссертации, позволяет проводить эксперименты, не создавая натурные модели. В практике это можно использовать в медицине - при создании протезов, экзоскелетонов; в спорте — для расчета оптимальных движений спортсменов и достижения ими максимальных результатов; в космонавтике — для разра ^ф^ОШЩШЖ р~ттрхнике — для создания устройств, перемещающихся с по ющь^ ~ оен-

ных целях - для работы в опасных условиях.

Прежде чем получить работающий антропоморфный механизм надо создать его математическую модель, исследовать ее численно, определить оптимальные параметры механизма и возможные режимы движения. Теоретическая разработка методики расчетов деформируемых стержневых систем с использованием информации о движениях человека составляет актуальность данного исследования.

Цель исследования - создать динамическую модель многозвенной стержневой механической системы с деформируемыми элементами структуры в случае плоского движения; в расчете движений модели и ее дальнейшей анимации и пиктографической визуализации; решении прямой и обратной задачи динамики движения антропоморфных механизмов в плоском случае, применительно к задачам ходьбы.

Задачи исследования состоят в следующем:

— составить уравнения движения человека, моделируемого 11-звенной стержневой механической системой с деформируемыми элементами структуры двумя способами в случае целой системы и для случая декомпозиции системы (используя уравнения Лагранжа второго рода и общие теоремы динамики);

— обосновать возможность декомпозшщи системы, моделирующей человека, на три части по тазобедренному суставу для упрощения расчетов;

— произвести оценку жесткости, деформаций и напряжений звеньев механической системы при движении с использованием эффективных модулей Юнга;

— создать методику визуализации, схематически демонстрирующая движение по данным, полученным из кинограмм;

— разработать методику определения моментов сил в суставах человека по кинограммам;

— провести численное решение полученной системы уравнений, используя данные об управляющих моментах в подвижных сочленениях, определенных на реальных людях;

— на основании результатов расчетов создать анимацию движения многозвенной стержневой системы и провести сравнение с движением человека.

Объектом исследования являются многозвенные антропоморфные стержневые системы с деформируемыми элементами структуры.

Предметом исследования являются методы моделирования механической системы с деформируемыми элементами структуры.

Гипотеза заключается в проверке возможности использования данных о биомеханических системах в антропоморфных механизмах. В результате проведенного исследования гипотеза подтвердилась.

Методология и методы проведенного исследования. Для достижения

вышеуказанных целей использовались методы механики деформируемого твердого тела, теоретической механики, теории обыкновенных дифференциальных уравнений; экспериментальные методы создания пиктограмм и математические методы их анализа, а также анатомические данные о человеке применительно к задачам биомеханики.

Достоверность полученных результатов, научных положений, выводов и рекомендаций обоснована:

— строгим использованием классических положений механики и современного математического аппарата;

— адекватностью модели на основании сравнения походок человека и модели;

— соответствием полученных результатов экспериментальным данным и результатам, полученным другими авторами.

Научная новизна и значимость полученных результатов состоит в том, что:

— впервые создана модель движения антропоморфной стержневой механической системы с деформируемыми элементами структуры;

— для управления движением модели механической системы с деформируемыми элементами структуры впервые использованы экспериментальные данные, которые позволяют решать задачи движения твердых деформируемых тел с неизвестными внутренними усилиями, использовать модель для описания двуногой ходьбы человека;

— впервые разработана методика определения моментов силы в подвижных соединениях стержневой биомеханической системы в виде непрерывных аналитических зависимостей от времени, по кинограммам движения;

— развита методика декомпозиции биомеханической системы, и получение уравнений динамики элементов системы и системы в целом.

Практическая значимость полученных результатов: на базе проведенного исследования возможно создание протезов в медицине, учитывающих индивидуальные особенности человека и максимально приближенных по своим свойствам к реальным конечностям, создание скафандров, антропоморфных роботов различного назначения.

Результаты исследования внедрены в виде методик в учебный и тренировочный процессы в Смоленском государственном институте физической культуры и спортивных заведениях Смоленской области (копии актов внедрения см. в приложении).

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

— математико-механическая модель антропоморфной стержневой механической системы с деформируемыми звеньями под действием внутренних и внешних сил;

— идентификация системы управления движением модели с реально замеренными моментами;

— решение прямой и обратной задачи динамики стержневой системы с деформируемыми звеньями.

Личный вклад соискателя. Основные положения диссертации получены автором самостоятельно. Некоторые публикации осуществлены в соавторстве.

Апробация результатов диссертации. Основные положения, выводы и результаты исследования докладывались и обсуждались на конференции "Биомеханика. Морфология. Спорт" (Смоленск, СГИФК, 2000), на международной конференции "Системы компьютерной математики и их приложения" (Смоленск, 2001, 2002, 2005), на международной конференции "Морфобиомехани-ческие и соматодиагностические особенности адаптивной физической культуры (Смоленск, 2002), заседаниях семинара кафедры теоретической механики БИТУ (Минск, 2004,2005) и др.

Опубликованность результатов. По теме диссертации опубликовано 17 научных работ, среди которых 7 статей в научных журналах (из них 3 депонированы), 10 статей в сборниках и материалах конференций. Общий объем опубликованных материалов составляет около 100 страниц.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Объем диссертации составляет 130 страниц. Список литературы содержит 148 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика рассматриваемой проблемы, обосновывается актуальность выбранной темы, сформулированы цели и задачи исследования, научная новизна работы и практическая значимость, перечислены основные результаты и положения, выносимые на защиту, дана информация об апробации работы и публикации результатов.

В первой главе "Уравнения динамики многозвенных систем с деформируемыми элементами структуры под действием внутренних усилий" исследуется динамика механической системы, состоящей из одиннадцати деформируемых элементов структуры.

В начале главы дается анализ литературы, посвященной проблемам моделирования биомеханических и механических систем отечественных и зарубежных авторов. Из анализа литературы следует, что авторы в основном рассматривают жесткие модели (A.M. Формальский, В.В. Белецкий, В.Е. Бербюк, Ш.Х. Тубеев, А.Ф. Смалкж, М. Вукобратович). Учет деформаций практически не проводился и требует отдельного исследования.

Все более глубокие исследования процессов двуногой ходьбы открывают новые эффекты. Так, в экспериментах обнаружено, что при ходьбе возникают большие ускорения в нижних конечностях, которые при абсолютной жесткости

модели должны мгновенно передаваться в мозг. Однако в реальных условиях это не наблюдается. Из этого следует вывод, что жесткие модели не адекватно отражают реальные явления. В живой природе основное место занимают деформируемые системы. Поэтому при моделировании биологических систем более адекватным будет использование деформируемых моделей. Ходьба человека более экономична, чем у антропоморфного робота, что свидетельствует о том, что имеется механизм рекуперации энергии, которая упруго запасается при постановке переносной ноги на поверхность. При толчке и переносе ноги, скелет упруго отдает энергию. Если учитывать вязкость, то любое движение будет затухающим. Вязкость играет роль при больших скоростях и ускорениях. При обычной ходьбе скорости незначительны и вязкость незначительна, поэтому в дальнейшем исследовании пренебрежем ею, учитывая только упругие деформации.

В диссертации для исследования динамики механической системы с деформируемыми элементами структуры выбрана максимально приближенная к человеку биомеханическая модель, состоящая из одиннадцати деформируемых звеньев. В каждом подвижном соединении имеется возможность создания вращающего момента М,(() (г = 1..... 11). Для рассмотрения плоского движения

биомеханической системы в одноопорной фазе введена неподвижная правая декартова система координат хуг с началом в точке О и плоскостью ху, в которой происходит движение центра масс. Система имеет две трехзвенные весомые ноги, две двухзвенные весомые руки и весомый корпус (рис. 1). Все элементы структуры являются упругими и деформации задаются в виде /, = /,{Г) 0=1,..., 11).

Пусть СМ) = /,, А,В = /2, В,С = /3, В2С = /4, АгВ = 15, 02А2 = /6, Св = /7, ВЕ\ = /8, Е\Р\ = /9, ИЕг = /ю, ЕгРг - /ц — длины звеньев биомеханической системы, моделирующей человека. Положение в одноопорной фазе однозначно определяется углами <р, и деформациями //(/'= 1,..., 11), поэтому рассматриваемая система имеет двадцать две степени свободы.

Центры масс находятся в точках: С\ - стопы опорной ноги, С2 - голени опорной ноги, С3 - бедра опорной ноги, С4 - бедра переносной ноги, С5 - голени переносной ноги, Сб - стопы переносной ноги, С7 — корпуса, Се, Сю - плеч, С<), Си - предплечий. За счет деформируемости, центр масс звена изменяет положение. Изменение положения центра масс определяется через изменение длины звена. Их положения задаются в виде отношений к началу соответствующего звена через множители и„ (г = 1, ..., 11), (0 < и, < 1) (если все звенья пронумеровать по номерам индексов у соответствующих углов). Такой способ задания положений центров масс в данном случае предпочтительней, в связи с моделированием человека, для которого положения центров масс конечностей определяются эмпирическим путем и задаются в процентном отношении одной части звена к другой.

с изменяемой геометрией звеньев в одноопорной фазе

Массы: ти т6; т2, т}; т}, т4; /и8, т10; т»; т7 — масса стопы, голени, бедра, плеч, предплечий и корпуса соответственно. Моменты инерции: 1и /б; 1г, Ь", Л. и~, Ь, 1\о', /9, Ль /7 — стопы, голени, бедра, плеч, предплечий и корпуса соответственно.

Все вышеприведенные характеристики берутся равными соответствующим характеристикам испытуемого человека.

Для составления уравнений движения используются уравнения Лагранжа.

Будем считать, что кинетическая и потенциальная энергии системы складываются из кинетической и потенциальной энергий отдельных звеньев.

Для /-того звена кинетическая энергия имеет вид:

Т, = + ^ + УЁ- (1)

2 2 2

где т, - масса /'-того звена; Уо - скорость центра масс /-того звена; /, - момент инерции г-того звена, ф, - угловая скорость /-того звена; т' - суммарная масса звеньев, находящихся выше /-того звена, (г = 1, ..., 11).

Запишем потенциальную энергию 1-того звена (;' = 1,..., 11):

Е,

П, = т^-уа + —

'< ч

К

2

Уравнения движения центра масс системы имеют вид.

(3)

где М - масса всей динамической системы; % - ускорение свободного падения;

Яу - горизонтальная и вертикальная составляющие внешних сил реакции, приложенные к точке закрепления динамической системы; хс, ус - координаты центра масс динамической системы, определяемые ее структурой, они изменяют свое положение вследствие деформаций и движения звеньев.

Так как активных внешних сил нет, то движение происходит только под действием внутренних сил и внешних реакций. Начальные условия для (3) запишем в виде:

хсф)=хс°, хс(0) = х?,М0) МО) = (4)

Уравнения Лагранжа имеют вид.

£ ¿1

дТ

(5)

дд,

где ц, — обобщенные координаты; Q, - обобщенные силы, (/ = 1,..., 11).

Подставляя кинетические (1), потенциальные (2) энергии и обобщенные силы, являющиеся потенциальными в уравнения Лагранжа (5), получаем систему уравнений движения антропоморфного одиннадцатизвенного механизма, описывающую изменение угловых координат звеньев и колебаний длин стержней механизма. В диссертации уравнения биомеханической системы с деформируемыми элементами структуры выписаны в развернутом виде. Для угловых координат <р, ставим начальные условия.

Ф,<0) = ср,0, ф,(0) = ф?, (/=1, ..., 11). (6)

Длины звеньев /,(/) удовлетворяют уравнениям второго порядка, которые в диссертации записаны в развернутом виде. Для них так же ставим начальные условия.

/,(0) = /,°, /,(0)=/,°, (/= 1, 11). (7)

Условия безотрывного движения, заключаются в положительности величины вертикальной составляющей реакции во все время движения. Если Яу<0 то возникает безопорная фаза движения. Тогда уравнения необходимо исследовать совместно с уравнениями движения центра масс при нулевых опорных реакциях.

При установившейся ходьбе должны выполняться условия периодичности и условия повторяемости (вторая нога и рука в точности повторяет движение первой с запаздыванием на время т*).

Из условия сохранения кинетических моментов системы, получаем алгебраическую систему уравнений, описывающую процесс смены ног.

где т, - масса соответствующего элемента; V' - скорость центра масс соответствующего элемента в момент до смены ног; V* - скорость центра масс соответствующего элемента в момент после смены ног; - вектор, описывающий положение соответствующих звеньев до смены ног; г* - вектор, описывающий положение соответствующих звеньев после смены ног.

Таким образом, сформулирована математическая задача - на основании которой можно промоделировать ходьбу, оценить на сколько адекватно она отражает реальную походку. Для этого требуется решить полученную систему уравнений с заданной правой частью. Здесь появляются различия между живой материей и неживой. В твердом теле задаются внешние силы, которые считаются известными. В живом - внутренние усилия, которые неизвестны. Можно только делать предположения об этих усилиях, либо определять экспериментально. Методика определения усилий описана во второй главе диссертации.

Определив моменты, применим эти результаты к уравнениям и рассмотрим устоявшийся процесс ходьбы. Теоретически рассчитываем движения из результатов решения системы дифференциальных уравнений с экспериментально определенной правой частью и сравниваем с экспериментальной ходьбой человека. В результате исследования необходимо движения механической антропоморфной модели максимально приблизить к движениям человека. Критерий -различия между рассчитанным движением и исходной ходьбой должны быть минимальными.

Таким образом, нами поставлена прямая задача динамики и дана ее математическая формулировка, то есть составлена замкнутая система дифференциальных уравнений движения динамической системы с одиннадцатью деформируемыми элементами структуры в общем виде, состоящая из уравнений описывающих угловое перемещение звеньев, колебания звеньев, движение центра масс, деформации звеньев, смену ног. Для этого использованы классические положения теоретической механики, методы математического анализа. Это -замкнутая математическая формулировка поставленной задачи.

Далее рассмотрим один из возможных вариантов учета деформируемости звеньев. Будем считать, что звенья ноги являются двухкомпонентными композитами. Одна компонента имеет упругие модули кости, другая компонента имеет упругие модули хрящевой ткани. Эффективные модули звеньев рассчитыва-

ем по формулам схемы Фойхта:

Е? = Е,тст + Е,{2)с(2), с(1) + с(2) = 1, (9)

где Е,(а) - модуль Юнга для а = 1 - кости, для а = 2 - хрящевой ткани /-того звена, с(а) - объемные концентрации кости (а = 1) с(|) = Укости1 Узвент хрящевой ткани (а = 2) с(2) = Уткан^жна.

И по формулам схемы Рейсса:

¿Г"^*^. (Ю)

Л/(1) /(2)

Истинное значение модуля Юнга /'-того звена Е, находится между нижней (Рейсса) и верхней (Фойхта) границами

£,*<;£, <;£,*. (11) Оценка модулей упругости согласно Хиллу находится по формуле

£,"=(£,* + £,*)/2. (12) Полученные значения Е,н подставим в уравнения динамики. Для проверки предыдущих результатов, проведено составление уравнений движения биомеханической системы при помощи общих теорем. Необходимость этого обусловлена контролем правильности результатов, которые получены с использованием формализма Лагранжа, а также для определения сил реакции и контроля отрыва от земли ноги антропоморфного механизма.

Для /-того звена теорема о движении центра масс и теорема об изменении кинетического момента относительно центра масс в проекциях на координатные оси имеет вид.

т,

^ гр „¿Ж

Л^ ~ ' Л* (13)

/, = 5!пф, - V-"/ со5!<р. +м)-

Используя теорему о движении центра масс и теорему о кинетическом моменте для каждого из звеньев, получаем те же уравнения, что и в формализме Лагранжа. Таким образом, проведен контроль правильности составления уравнений движения 11-звенной биомеханической модели с деформируемыми элементами структуры.

В диссертации предложен путь упрощения исследования стержневой биомеханической модели человека - декомпозиция на три части. Обоснована возможность подобного упрощения, исходя из широкого использования метода декомпозиции в механике стержней и данных биомеханики. Представим систему в виде трех частей. Первая часть - опорная нога, состоящая из трех звеньев. Вторая - переносная нога. Третья - верхняя часть, состоящая из пяти звеньев. Дополнительно введены линейные координаты тазобедренного сустава (х, у), необходимые для информации о движении точки подвеса переносной ноги и точки опоры корпуса.

Составлены уравнения движения 11-звенной биомеханической системы с деформируемыми звеньями после декомпозиции. Предполагается, что х = *(/), у

= Х0> ф| = ф|(0. А = /,(0. (* = 1.....11). Используя уравнения Лагранжа второго

рода, составлены уравнения движения. Получены уравнения движения, которые используются в дальнейших расчетах.

Таким образом, в первой главе создана и описана модель антропоморфной стержневой механической системы с деформируемыми элементами структуры, составлены уравнения движения механической системы, в качестве примера рассмотрена одиннадцатизвенная биомеханическая система с деформируемыми звеньями, моделирующая опорно-двигательный аппарат человека и являющаяся частным случаем предложенной нами произвольной механической системы с деформируемыми элементами структуры, исследованы пути упрощения дальнейшего описания модели, проведена оценка устойчивости элементов структуры на сжатие при осевых нагрузках.

Во второй главе "Экспериментальное моделирование и решение обратной задачи динамики с учетом деформаций звеньев" решается обратная задача динамики движения стержневой многозвенной механической системы с деформируемыми элементами. Определяются усилия при заданной кинематике.

В главе описана методика съемки кинограмм движения. Обосновывается возможность использования полученной на основе кинограмм информации о кинематике движения для дальнейшего исследования и определения управляющих моментов.

В качестве звеньев кинематической цепи человека выбраны следующие объекты: стопы, голени, бедра, корпус с головой, плечи, предплечья. Для моделирования движений использованы точки, в которых находятся подвижные соединения: тазобедренный сустав, коленные и голеностопные суставы, плечевые, локтевые и лучезапястные суставы.

Были проведены непосредственные обмеры участников эксперимента, принимавших участие в съемках кинограмм и таким образом, получены основные антропометрические данные, в том числе длины конечностей и их звеньев. Так же рассчитаны массы и моменты инерции звеньев человека. В работе проанализированы различные методики их определения.

Предложена методика пиктографического моделирования. Кадры кинограмм содержат много информации, которая не является необходимой для исследования кинематики и динамики движения человека. Возникает необходимость удаления лишней информации. Поэтому разработана методика кинематического моделирования движения человека в виде многозвенной стержневой системы с деформируемыми элементами структуры, названная методикой пиктографической визуализации - вместо изображения человека создается его схематическая модель. Движение управляется потоком данных, которые взяты из кинограмм или данными, которые поставляет программа. На рис 2 приведе-

ны кадры и результаты пиктографического моделирования ходьбы участников эксперимента.

Е.И.КадрЛьТ"™

К.А. Кадр №142

Рис. 2. Кинограммы, принимавших участие в исследованиях и соответствующие кадры пиктографической анимации

Из рисунка видно достаточно убедительное соответствие пиктографических моделей оригиналу. Таким образом, разработано универсальное программное обеспечение для пиктографической визуализации движений.

Чтобы определить моменты в суставах, необходимо дифференцировать угловые координаты звеньев механизма. В тех случаях, когда эти координаты получаются по данным измерения, необходимо численное дифференцирование, основанное на интерполяции. Сначала необходимо провести по полученным экспериментальным точкам, аналитическую кривую. Для этого использована сплайновая интерполяция полиномами третьей степени.

Так как ходьба является циклическим движением, то достаточно рассмотреть один период. Для одного шага построен ряд графиков приведенных экспериментальных углов в зависимости от времени и графики построенных интерполяционных функций (рис. 3). Для образца приведем два графика.

ф2 3 2 1

Фэ 3 2 1

01 02 03 Голень опорной ноги

01 02 03 / Бедро опорной ноги

Рис. 3. Зависимость углов (в радианах) от времени (в секундах) для одного шага

Дифференцируя интерполирующие функции, находим угловую скорость и угловое ускорение (рис. 4).

Угловая скорость Угловое ускорение

Бедро опорной ноги Рис. 4. Зависимость угловой скорости и углового ускорения от времени для одного шага

В целом, полученные результаты для угловой скорости и углового ускорения соответствуют данным биомеханики.

Таким образом, определены угловые перемещения, скорости и ускорения, необходимые для нахождения управляющих моментов.

В диссертации рассчитаны реакции звеньев биомеханической системы при движении, проведено сопоставление и установлено, что реакции звеньев человека при ходьбе значительно ниже расчетных значений критической силы.

Для дальнейшего решения задачи управления движением антропоморфного механизма проведено определение моментов в суставах человека, моделируемого 11-звенной стержневой механической системой. Использованы данные о кинематике движения, полученные из кинограмм. Подставим полученные интерполяционные функции в систему дифференциальных уравнений, выведенных в главе 1, и решим линейную систему относительно одиннадцати управляющих моментов. В итоге, получим зависимости, приведенные на рис. 5.

Голеностопный сустав Тазобедренный сустав

Рис. 5. Зависимости управляющих моментов для модели с деформируемыми звеньями от времени за время одного периода шага

для одного шага

Из графиков видно, что максимальные значения моментов изменяются в очень большом диапазоне: от 1000 Нм для голеностопного соединения опорной ноги до 20 Нм для лучезапястного соединения руки. Так же видно, что зависимости моментов для опорной ноги подобны, а их максимальные значения убывают по мере подъема от голеностопного до тазобедренного суставов, что согласуется с данными биомеханики.

Таким образом, во второй главе проведена съемка кинограмм движения, определены антропометрические характеристики, разработана методика пиктографической визуализации, определены кинематические характеристики движения по кинограммам и на их основании найдены управляющие моменты, локализованные в области крупных суставов человека, т.е. решена обратная задача динамики.

В третьей главе "Решение прямой задачи динамики движения и анимационное моделирование ходьбы механической системы" проводится динамический расчет движений стержневой механической системы, с использованием экспериментально определенных управляющих моментов.

Для оценки адекватности модели в диссертации проведено исследование устойчивости сжатия стержней и звеньев человека при осевых нагрузках. При создании модели биомеханической системы предполагалось, что имеются деформации сжатия, а деформации изгиба и кручения отсутствуют. Проведена оценка устойчивости двухстержневой системы под действием собственного веса и внутренних усилий.

В диссертации проведена оценка деформаций и напряжений возникающих в звеньях биомеханической системы. Их учет важен, хотя сами деформации сравнительно невелики, однако их производные могут быть большими, а эти производные входят в уравнения движения.

Деформации звеньев механической системы при движении малы. Это положение справедливо для модели биомеханической системы, моделирующей человека. Кости человека при движении не испытывают предельных нагрузок и значительных деформаций. Сустав может быть и нелинейным, но если распределить деформации по всему звену, то деформации будут малы. Для нахождения деформаций использован линейный закон Гука с эффективными упругими коэффициентами на основании которого получены оценки деформации звеньев.

В процессе ходьбы участвуют не только кости, но и мышечная ткань. Происходит смещение тканей, повороты, деформации в суставе. Принимая упругость соответствующего звена конечности равной эффективному значению, согласно (13), получаем зависимости средних деформаций от времени.

Если бы не было учета средних деформаций конечностей человека, то большие толчковые ускорения (до 20g), передавались бы непосредственно в мозг. Благодаря учету деформаций ускорения приходятся в основном на конечности человека. Ударная волна, идущая по скелету гасится, в основном, в ниж-

них конечностях.

В диссертации рассчитаны-напряжения в звеньях человека. Для малых деформаций относительное удлинение и напряжение прямо пропорциональны:

0,-Е.г. > (14)

где о, - напряжение /-того стержня, Е, - модуль Юнга /-того стержня, е, = А/,//о, - относительное удлинение /-того стержня (/ = 1.....11).

В диссертации рассчитаны зависимости напряжений от времени согласно формул (14).

Таким образом, проведена оценка деформаций и напряжений, возникающих в звеньях человека при ходьбе и установлено, что деформации и напряжения значительно меньше критических значений при которых могут возникать необратимые изменения, разрушения.

Управление движением можно осуществить двумя методами:

1) В качестве моментов используются результаты расчетов на основании кинограмм. Сопоставляя решение системы с исходными кинограммами, можно проверить корректность всей процедуры моделирования. Для этого использована анимация движений с помощью разработанной методики пиктографической визуализации. Получено хорошее совпадение, что свидетельствует о корректности проведенных исследований и достоверности полученных результатов.

2) Моменты задаются исходя из каких-то других соображений (принципа минимума энергии, результатов тензометрических измерений и т.д.).

Используя в механической модели в качестве управления движением информацию, полученную из эксперимента, решаем прямую задачу динамики: по известным усилиям определяем кинематические характеристики движения звеньев механизма. Подставляем в уравнения движения механической системы моменты, определенные экспериментально во второй главе, находим зависимости углов, скоростей и ускорений.

В результате решения системы дифференциальных уравнений движения, полученной в первой главе, по найденным зависимостям углов от времени, создаются анимационные модели движения. Приведем кадры анимационных пиктографических моделей движения (рис. 7).

Сравнивая полученные в результате динамических расчетов движения пиктографических моделей, с исходными кинограммами, можно увидеть реальное сходство модели и оригинала.

Приведем зависимости углового перемещения, скорости и ускорения для звеньев механизма, получающиеся в результате решения системы дифференциальных уравнений движения (рис. 8). Из рисунка видно, что графики, полученные в результате решения системы дифференциальных уравнений идентичны зависимостям, получающимся экспериментально из кинограмм (рис. 3,4).

Рис. 7. Кадры анимации для системы уравнений

Угол поворота

Угловая скорость »«•(•1

Угловое ускорение

Ч»1

Голень опорной ноги

о.оз о.ю.и о.г о.и о.зо.за

Бедро опорной ноги

Рис. 8. Зависимости углового перемещения, скорости и ускорения (слева направо в строках), полученные в результате решения системы уравнений

для одного шага

Как известно, походка мужчин и женщин имеет различия. Для проверки результатов, был проведен эксперимент для женщины (спортсменки). Была оценена чувствительность системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику механической системы с деформируемыми элементами структуры к изменению параметров. Если методика расчета не корректна, то в результате антропоморфное движение не получится. Однако, в результате расчетов получилось движение, идентичное женской походке, что позволяет сделать вывод, что процедура моделирования, предложенная в исследовании корректна. Таким образом установлена чувствительность системы к изменению параметров походки и тем самым доказана адекватность модели.

Далее в диссертации проведено обсуждение результатов расчетов, изложенных выше.

В результате исследования разработана модель стержневой механической системы с деформируемыми элементами структуры, предложены методы исследования, намечены пути создания синтетических человекоподобных антропоморфных систем, что может найти практическое применение при создании робототехнических систем.

В заключении сформулированы основные результаты исследования, которые заключаются в следующем:

1. Составлены уравнения движения стержневой механической системы с деформируемыми элементами структуры, моделирующей походку человека в плоском случае двумя способами (используя уравнения Лагранжа второго рода и общие теоремы динамики); для случая декомпозиции биомеханической системы (на три части по тазобедренному суставу).

2. Создана методика визуализации, демонстрирующая движение, по данным, полученным из кинограмм и из результатов решения уравнений динамики механической системы с деформируемыми элементами структуры.

3. Развита методика применения методов интерполяции данных кинограмм и найдены оценки угловых перемещений, скоростей и ускорений звеньев при движении.

4. Решена обратная задача динамики движения многозвенной антропоморфной системы при заданной кинематике, т.е. разработана методика определения моментов сил по информации об угловых перемещениях, скоростях и ускорениях.

5. Проведена оценка изменения деформаций и напряжений звеньев механической системы при движении в зависимости от времени на периоде одного шага.

6. Сформулирована прямая задача динамики движения многозвенной стержневой системы при заданных управляющих воздействиях и проведено численное решение полученных систем уравнений, с использованием экспериментально найденных усилий, доказана возможность их применения для моделирования двуногой ходьбы стержневой механической системы с деформируемыми элементами структуры.

7. Проведена оценка влияния параметров структуры и управляющих воздействий на динамику системы на примере сравнения мужских и женских походок. В результате расчетов подтверждено различие мужской и женской походок, и тем самым доказано, что система уравнений чувствительна к изменению параметров модели, чем доказана адекватность модели стержневой механической системы реальным антропоморфным системам. Проведен сравнительный анализ движения механизма с деформируемыми и недеформируемыми звеньями.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Борисов A.B. Теоретические аспекты выбора программного обеспечения для моделирования механических систем // Научные труды международной научно-практической конференции ученых МАДИ(ТУ), ЛГАУ, СИБП. 2-4 октября 2001 года / МАДИ(ТУ), ЛГАУ, СИБП. - М.-Луганск-Смоленск, 2001. -С.167-170.

2. Борисов A.B. Разделение шагающих антропоморфных механизмов на части и упрощение аналитического описания движения // Научные труды международной научно-практической конференции ученых МАДИ(ТУ), МСХА, ЛГАУ, ССХИ. 26-27 марта 2002 года / МАДЩТУ), МСХА, ЛГАУ, ССХИ. - М.Луганск-Смоленск, 2002. - Т. 3. - С. 136-140.

3. Борисов A.B. Моделирование движения антропоморфного аппарата с использованием информации о ходьбе человека // Научные труды международной научно-практической конференции ученых МАДИ(ТУ), МСХА, ЛНАУ, 2425 июня 2003 года. / МАДИ(ТУ), МСХА, ЛНАУ. - М.-Луганск, 2003. - Т. 2. -С. 92-102.

4. Борисов A.B. Методика съемки циклических движений спортсменов // Сб. науч. трудов молодых ученых - Смоленск: СГИФК, 2004. - Вып. 11. - С. 16-21.

5. Чигарев A.B., Борисов A.B. Уравнения движения одиннадцатизвенно-го антропоморфного механизма с деформируемыми звеньями // Научные труды международной научно-практической конференции ученых МАДИ(ГТУ), МСХА, ЛНАУ 29-30 июня 2004 года. / МАДИ(ГТУ), МСХА, ЛНАУ. - М.Луганск, 2004. - Т. 4. - С. 120-124.

6. Чигарев A.B., Борисов A.B. Динамика антропоморфного механизма с изменяемой структурой // Научные труды международной научно-практической конференции ученых МАДИ(ГТУ), МСХА, ЛНАУ 29-30 июня 2004 года. / МАДИ(ГТУ), МСХА, ЛНАУ. - М.-Луганск, 2004. - Т. 4. - С. 130-149.

7. Борисов A.B. Сравнительный анализ методик визуализации движений человека и механических объектов // Интегративная антропология - медицине и спорту: Межрегиональный сб. науч. тр. - Смоленск: СГИФК, 2004. - С. 81-87.

8. Чигарев A.B., Борисов A.B. Определение угловых скоростей и ускорений звеньев человека методом сплайновой интерполяции // Вестник БНТУ. -Минск, 2004. - № 6. - С. 68-70.

9. Борисов A.B. Определение моментов сил в суставах человека моделируемого стержневой механической системой с деформируемыми звеньями // Актуальные проблемы современной науки. - 2004. - № 6. - С. 333-336.

10. Борисов A.B. Декомпозиция стержневой механической системы с деформируемыми звеньями // Естественные и технические науки. - 2004. - № 6. -С. 23-25.

20 ¡820 0 83

11. Борисов A.B. Расчет деформаций и напряжений в звеньях человека при ходьбе // Научные труды международной научно-практической конференции ученых МАДИ(ГТУ), МСХА, ЛНАУ 11-12 января 2005 года. / МА-ДИ(ГТУ), МСХА, ЛНАУ. - М.-Луганск. 2005. - Т. 5. - С. 154-160.

12. Борисов A.B. Анимационное моделирование походки человека с учетом половозрастных особенностей // Системы компьютерной мате?*0"""'" м и* приложения: Материалы международной конференции. Вып. 6. - 2006'4 СГПУ, 2005. - С. 68-69.

13. Борисов A.B. Динамика человека, моделируемого антрс 2А) / /U механизмом с учетом деформаций в звеньях кинематической цега компьютерной математики и их приложения: Материалы международной конференции. Вып. 6. Смоленск: СГПУ, 2005. С. 69-71.

14. Борисов A.B. Уравнения динамики многозвенных систем с деформируемыми элементами структуры / БИТУ. - Минск, 2004. - 43 с. - Деп. в ВИНИТИ 19.11.2004. - № 1819 - В2004. // Весщ НАНБ. Серия физ. техн. наук. -2005. - № 1.-С. 124.

15. Борисов A.B. Экспериментальное определение управляющих моментов при движении человека с учетом деформаций / БНТУ. - Минск, 2004. - 38 с. - Деп. в ВИНИТИ 19.11.2004. - № 1821 - В2004. // Весщ НАНБ. Серия физ. техн. наук. - 2005. - № 2. - С. 122.

16. Борисов A.B. Решение прямой задачи динамики движения механической системы с деформируемыми элементами структуры / БНТУ. - Минск, 2004. - 17 с. - Деп. в ВИНИТИ 19.11.2004. - № 1820 - В2004. // Весщ НАНБ. Серия физ. техн. наук. - 2005. - № 2. - С. 122.

17. Борисов A.B. Определение моментов сил в суставах человека, моделируемого антропоморфным механизмом с абсолютно твердыми звеньями // Вестник БНТУ. - Минск, 2005. - № 2. - С. 62-65.

Изд лиц J1P № 0203О0 от 12 02 97 Подписано в печать Формат бумаги 60x84 Бумага офсетная Усл-печ.л /,¿6

1-печ.л о Уч -изд ™ Ч О Тираж 400 экз Заказ

Т\льскнй государственный университет 300600, г.Тула, просп Ленина, 92

Отпечатано в редакционно-издагсльском центре Тульского государственного университета 300600, г.Тула, ул Болдина, 151

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МНОГОЗВЕННЫХ СИСТЕМ С ДЕФОРМИРУЕМЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ СТРУКТУРЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ.

1.1. Аналоги моделей механических систем в современной литературе

1.2. Составление уравнений движения произвольной многозвенной динамической системы с деформируемыми элементами структуры.

1.3. Модель и уравнения движения стержневой биомеханической системы с деформируемыми элементами структуры.

1.4. Составление уравнений движения многозвенной биомеханической системы на основе общих теорем.

1.5. Методы исследования движения стержневой биомеханической модели человека. Метод декомпозиции.

ГЛАВА 2 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИЙ ЗВЕНЬЕВ.

2.1. Методика съемки кинограмм.

2.2. Определение длин конечностей.

2.3. Определение масс и моментов инерции звеньев человека.

2.4. Методика пиктографического моделирования.

2.5. Интерполяция данных кинограмм и определение угловых перемещений, скоростей, ускорений.

2.6. Определение реакций звеньев человека.

2.7. Определение моментов.

ГЛАВА 3 РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ДВИЖЕНИЯ И АНИМАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ХОДЬБЫ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.

3.1. Моделирование устойчивости звеньев человека при осевых ф нагрузках.

3.2. Моделирование устойчивости составных звеньев биомеханической системы.

3.3. Определение деформаций в звеньях биомеханической системы при ходьбе.

3.4. Оценка напряжений в звеньях при моделировании ходьбы человека

3.5. Энергия упругой деформации звеньев механической системы при движении.

3.6. Решение системы дифференциальных уравнений движения стержневой механической системы с заданными моментами и сравнение модели с исходным движением человека.

3.7. Обсуждение результатов моделирования.

В механике деформируемого твердого тела важное значение имеет вопрос о движении стержневых механических систем с деформируемыми элементами структуры. Важность изучения деформаций возрастает в связи с применением новых конструкционных материалов. В последнее время наблюдается значительный прогресс во многих областях техники: в химической промышленности, ядерной физике, создании космических аппаратов, в разработке медицинских протезов, конструировании антропоморфных механизмов различного назначения и это требует соответствующего теоретического исследования.

Важность разработки антропоморфных механизмов кроме медицинской и коммерческой направленности объясняется тем, что повсеместно применяемое в технике колесо никогда не наблюдается в природе. Поэтому, стремление создать машину, которая передвигается с помощью ног, Ф подобно человеку и животному, с давних пор было мечтой ученых. Один из первых эскизов шагающей машины датируется XVIII в. Серьезное развитие эта идея получила в конце XIX в. в трудах выдающегося российского ученого П.Л. Чебышева [61].

В середине прошлого столетия начался настоящий бум разработок шагающих машин. Исследования ведутся в США, Англии, России, Белоруссии, Японии, Франции, Финляндии и ряде других стран. В настоящее время, согласно каталогу доктора К. Бернса (К. Berns, Научно-исследовательский центр информатики, Карлсруэ, Германия) [144], насчитывается более 150 машин с шагающим приводом.

Существуют шагающие машины статически неустойчивые, напри® мер двуногие, и статически устойчивые - четыре и более ног. Движение статически неустойчивых машин обеспечивается развитой системой управления, включающей систему сбора информации о местности и исполнительные двигатели, реализующие движение конечностей на основе того или иного алгоритма. Статически устойчивыми могут быть только многоногие шагающие машины. Минимальное количество ног, необходимое для этого, четыре. В этом случае существует единственная походка, обеспечивающая устойчивость — поочередный перенос каждой ноги в новое положение. С увеличением числа ног растет число вариантов допустимых походок. Простейшим кинематическим схемам статически устойчивых шагающих машин отвечают стопоходящие с фиксированной походкой. Механизм шагания таких машин — это система с одной степенью свободы. Более сложные механизмы — с тремя и более управляемыми степенями свободы — позволяют стопе перемещаться требуемым образом в пространстве.

В настоящее время большинство теоретических и практических разработок шагающих машин представляют собой механические системы с абсолютно твердыми звеньями.

Жесткие модели имеют некоторые достоинства: проще уравнения движения, численное и аналитическое исследование составленных уравнений. Однако есть и недостатки - скорость распространения возмущений в абсолютно жесткой модели бесконечно большая. При движении живых организмов, например, ходьба человека, ускорения изменяются очень быстро и если бы были абсолютно твердые звенья, то ударная нагрузка в организме распространялась бы на все элементы системы мгновенно, т.е. с ударом, в том числе в головной мозг. В реальности подобные явления не наблюдаются. Поэтому следует рассматривать организм как упругую систему. При движении деформируемой системы происходит запасание энергии при постановке ноги на поверхность и ее возвращение при следующем шаге. При этом практически вся энергия удара гаснет в суставах нижней конечности. Если макроскопически рассматривать конечность, то можно считать, что деформируется не сам сустав, а весь стержень. А это будет модель с деформируемыми звеньями, с возможностью приложения в суставах управляющих моментов, с помощью которых можно поддерживать вертикальное положение и осуществлять перемещение. Система представляет собой эффективную модель деформируемого стержня и в суставах возможно упругое противодействие и смещение. С этой точки зрения исследуется устойчивость одного стержня, двухстержневой, многостержневой (до 11 звеньев) системы, т.е. двуногого антропоморфного робота, находящегося на твердой поверхности с одной точкой закрепления.

Сейчас перед учеными стоит задача, используя новые конструкционные материалы, разработать соответствующую теоретическую базу для создания антропоморфных механизмов. И здесь возникает вопрос о применении деформируемых материалов при создании антропоморфных механизмов с деформируемыми звеньями.

Как указывает М. Вукобратович "Локомоторная активность и особенно ходьба принадлежит к классу высокоавтоматизированных движений. . Шагающие локомоторные системы, особенно антропоморфные, являются чрезвычайно сложными динамическими системами, как с точки зрения механической структуры, так и с точки зрения их системы управления. Надо отметить, что для осуществления разнообразных движений человек может использовать почти 800 мышц." [25, с. 11]

Таким образом, при разработке антропоморфных механизмов без учета деформаций звеньев не обойтись. Как и у человека, у антропоморфного механизма имеются деформации: кручения, изгиба и сжатия-растяжения. Возникает необходимость теоретического изучения влияния деформаций на движение. Поэтому необходимо на данном этапе ставить шире проблему и говорить о механике системы с деформируемыми элементами структуры, ограничиваясь конкретной моделью только на этапе эксперимента.

Полученный опыт позволит начать исследования, направленные на решение проблемы, которая связана с разработкой теории движения и проектирования мобильных роботов и других мехатронных систем с шагающими движителями с учетом их деформаций.

Проблема создания двуногих антропоморфных механизмов имеет прикладное значение. Двуногие роботы могут заменять человека в тех случаях, когда требуется совершить работу в опасных или вредных условиях, /£ где необходимы присущие человеку двигательные возможности. В медицине уже применяются протезы, экзоскелетоны, созданные на основе разработок роботостроения. Роботы тренируют мышцы человека в спорте и медицине. В свою очередь, разработка антропоморфных механизмов помогает выявлению новых возможностей человеческого организма. Результаты разработок можно, например, применять в тренировочных процессах спортсменов высокого класса. Таким образом, происходит взаимодействие механики, медицины и спорта, что способствует их взаимному обогащению и развитию.

Актуальность темы диссертации обусловлена как ее теоретической, так и практической значимостью. Работа является частью развиваемого в настоящее время во всем мире направления, связанного с созданием & антропоморфных роботов. Большинство исследований до сих пор проводились с использованием модели абсолютно твердого тела, однако эта модель не является адекватной реальному человеческому телу.

В теоретическом аспекте в диссертационной работе впервые решается актуальная задача моделирования антропоморфных роботов на базе деформируемых стержневых систем. Актуальность диссертации с практической точки зрения вызвана возрастающим интересом к динамическим возможностям механических систем на основе информации о человеческих движениях.

Деформируемые стержневые системы находят широкое применение и позволяют строить математические модели сложных объектов с изме-Ф няемой структурой. Учет деформаций усложняет задачу описания механических систем, но позволяет создавать модели более адекватные реальным объектам. В мехатронных системах пренебрежение деформациями недопустимо и их учет важен, потому что в реальных системах звенья деформируемые. Пренебрежение деформациями приводит к огрублению модели.

В последние десятилетия предпринимаются попытки создания стержневых механизмов (роботов) и возникают проблемы с описанием походки, приближенной к реальным движениям человека. Все еще не решен вопрос о том, насколько хорошо стержневая модель может описать динамику человека, ткани которого обладают в общем случае вязкоупругими свойствами. Существует проблема управления двуногими антропоморфными аппаратами, приближенными к движениям и походке человека.

Накапливается разнообразная информация о выяснении возможностей построения механических систем на основе информации о биологических системах. Предлагаемая работа находится в русле подобных разработок и обеспечивает получение качественно новой информации о движении механических систем с деформируемыми элементами структуры на основе движений человека.

Так как стержневая механическая система с деформируемыми элементами структуры имеет большое количество степеней свободы, то расчеты подобных систем сложны, громоздки и требуют большого количества вычислений. Анимационное моделирование, применяемое в диссертации, позволяет проводить эксперименты, не создавая натурные модели. В практике это можно использовать в медицине - при создании протезов, экзо-скелетонов; в спорте — для расчета оптимальных движений спортсменов и достижения ими максимальных результатов; в космонавтике — для разработки скафандров; в технике — для создания устройств, перемещающихся с помощью конечностей; в военных целях - для работы в опасных условиях.

Прежде чем получить работающий антропоморфный механизм надо создать его математическую модель, исследовать ее численно, определить оптимальные параметры механизма и возможные режимы движения. Теоретическая разработка методики расчетов деформируемых стержневых систем с использованием информации о движениях человека составляет актуальность данного исследования.

Цель исследования - создать динамическую модель многозвенной стержневой механической системы с деформируемыми элементами струк-Ш туры в случае плоского движения; в расчете движений модели и ее дальнейшей анимации и пиктографической визуализации; решении прямой и обратной задачи динамики движения антропоморфных механизмов в плоском случае, применительно к задачам ходьбы.

Задачи исследования состоят в следующем: составить уравнения движения человека, моделируемого 11-звенной стержневой механической системой с деформируемыми элементами структуры двумя способами в случае целой системы и для случая декомпозиции системы (используя уравнения Лагранжа второго рода и общие теоремы динамики); обосновать возможность декомпозиции системы, моделирующей человека, на три части по тазобедренному суставу для упрощения расчетов; произвести оценку жесткости, деформаций и напряжений звеньев механической системы при движении с использованием эффективных модулей Юнга; создать методику визуализации, схематически демонстрирующая движение по данным, полученным из кинограмм; разработать методику определения моментов сил в суставах человека по кинограммам; провести численное решение полученной системы уравнений, используя данные об управляющих моментах в подвижных сочленениях, определенных на реальных людях; на основании результатов расчетов создать анимацию движения много-Ф звенной стержневой системы и провести сравнение с движением человека.

Объектом исследования являются многозвенные антропоморфные стержневые системы с деформируемыми элементами структуры.

Предметом исследования являются методы моделирования механической системы с деформируемыми элементами структуры.

Гипотеза заключается в проверке возможности использования данных о биомеханических системах в антропоморфных механизмах. В результате проведенного исследования гипотеза подтвердилась.

Методология и методы проведенного исследования. Для достижения вышеуказанных целей использовались методы механики деформируемого твердого тела, теоретической механики, теории обыкновенных дифференциальных уравнений; экспериментальные методы создания пиктограмм и математические методы их анализа, а также анатомические данные о человеке применительно к задачам биомеханики.

Достоверность полученных результатов, научных положений, выводов и рекомендаций обоснована: строгим использованием классических положений механики и современного математического аппарата; адекватностью модели на основании сравнения походок человека и модели; соответствием полученных результатов экспериментальным данным и результатам, полученным другими авторами.

Научная новизна и значимость полученных результатов состоит в том, что: впервые создана модель движения антропоморфной стержневой механической системы с деформируемыми элементами структуры; для управления движением модели механической системы с деформируемыми элементами структуры впервые использованы экспериментальные данные, которые позволяют решать задачи движения твердых деформируемых тел с неизвестными внутренними усилиями, использовать модель для описания двуногой ходьбы человека; впервые разработана методика определения моментов силы в подвижных соединениях стержневой биомеханической системы в виде непрерывных аналитических зависимостей от времени, по кинограммам движения; развита методика декомпозиции биомеханической системы, и получе-0 ние уравнений динамики элементов системы и системы в целом.

Практическая значимость полученных результатов: на базе проведенного исследования возможно создание протезов в медицине, учитывающих индивидуальные особенности человека и максимально приближенных по своим свойствам к реальным конечностям, создание скафандров, антропоморфных роботов различного назначения.

Результаты исследования внедрены в виде методик в учебный и тренировочный процессы в Смоленском государственном институте физической культуры и спортивных заведениях Смоленской области (копии актов внедрения см. в приложении).

Основные положения диссертации, выносимые на защиту: математико-механическая модель антропоморфной стержневой механической системы с деформируемыми звеньями под действием внутренних и внешних сил; идентификация системы управления движением модели с реально замеренными моментами; решение прямой и обратной задачи динамики стержневой системы с деформируемыми звеньями.

Личный вклад соискателя. Основные положения диссертации получены автором самостоятельно. Некоторые публикации осуществлены в соавторстве.

Апробация результатов диссертации. Основные положения, выводы и результаты исследования докладывались и обсуждались на конфе-,4 ренции "Биомеханика. Морфология. Спорт" (Смоленск, СГИФК, 2000), на международной конференции "Системы компьютерной математики и их приложения" (Смоленск, 2001, 2002, 2005), на международной конференции "Морфобиомеханические и соматодиагностические особенности адаптивной физической культуры (Смоленск, 2002), заседаниях семинара кафедры теоретической механики БНТУ (Минск, 2004, 2005) и др.

Опубликованность результатов. По теме диссертации опубликовано 17 научных работ, среди которых 7 статей в научных журналах (из них 3 депонированы), 10 статей в сборниках и материалах конференций. Общий объем опубликованных материалов составляет около 100 страниц.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Объем диссертации составляет 130 страниц. Список литературы содержит 148 наименований.

Основные результаты проведенного исследования состоят в следующем:

1. Составлены уравнения движения стержневой механической системы с деформируемыми элементами структуры, моделирующей походку человека в плоском случае двумя способами (используя уравнения Лагранжа второго рода и общие теоремы динамики); для случая декомпозиции биомеханической системы (на три части по тазобедренному суставу).

2. Создана методика визуализации, демонстрирующая движение, по данным, полученным из кинограмм и из результатов решения уравнений динамики механической системы с деформируемыми элементами структуры.

3. Развита методика применения методов интерполяции данных кинограмм и найдены оценки угловых перемещений, скоростей и ускорений звеньев при движении.

4. Решена обратная задача динамики движения многозвенной антропоморфной системы при заданной кинематике, т.е. разработана методика определения моментов сил по информации об угловых перемещениях, скоростях и ускорениях.

5. Проведена оценка изменения деформаций и напряжений звеньев механической системы при движении в зависимости от времени на периоде одного шага.

6. Сформулирована прямая задача динамики движения многозвенной стержневой системы при заданных управляющих воздействиях и проведено численное решение полученных систем уравнений, с использованием экспериментально найденных усилий, доказана возможность их применения для моделирования двуногой ходьбы стержневой механической системы с деформируемыми элементами структуры.

7. Проведена оценка влияния параметров структуры и управляющих воздействий на динамику системы на примере сравнения мужских и женских походок. В результате расчетов подтверждено различие мужской и женской походок, и тем самым доказано, что система уравнений чувствительна к изменению параметров модели, чем доказана адекватность модели стержневой механической системы реальным антропоморфным системам. Проведен сравнительный анализ движения механизма с деформируемыми и недеформируемыми звеньями.

В результате исследования разработана модель антропоморфной механической системы с деформируемыми элементами структуры, разработаны методы исследования и намечены пути создания синтетических биомеханических человекоподобных антропоморфных систем, что может найти практическое применение при создании робототехнических систем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Алейникова О.И. Исследование деформации ортотропного полупространства от заданной нормальной нагрузки // Теоретическая и прикладная механика: Межвед. сб. науч. ст. Минск, 2004. - Вып. 17. - С. 93-98.

2. Белецкий В.В. Двуногая ходьба: модельные задачи динамики и управления. М.: Наука, 1984. - 288 с.

3. Бербюк В.Е. Динамика и оптимизация робототехнических систем. Киев: Наукова Думка, 1989. - 192 с.

4. Бернштейн Н.А. Избранные труды по биомеханике и кибернетике. М.: СпортАкадемПресс, 2001. - 296 с.

5. Борисов А.В. Декомпозиция стержневой механической системы с деформируемыми звеньями // Естественные и технические науки. 2004. - № 6. - С. 23-25.

6. Борисов А.В. Методика съемки циклических движений спортсменов // Сб. науч. трудов молодых ученых / Под общ. ред. д.п.н. В.А. Быкова. Смоленск: СГИФК, 2004. - Вып. 11. - С. 16-21.

7. Борисов А.В. Определение моментов сил в суставах человека моделируемого стержневой механической системой с деформируемыми звеньями // Актуальные проблемы современной науки. 2004. - № 6. - С. 333-336.

8. Борисов А.В. Определение моментов сил в суставах человека по кинограммам // Интегративная антропология медицине и спорту: Межрегиональный сб. науч. тр. / Под общ. ред. проф. Р.Н. Дорохова - Смоленск: СГИФК, 2004.-С. 96-105.

9. Ш 15. Борисов А.В. Разделение шагающих антропоморфных механизмов на части и упрощение аналитического описания движения // Научные труды международной научно-практической конференции ученых МА

10. ДИ(ТУ), МСХА, ЛГАУ, ССХИ. 26-27 марта 2002 года / МАДИ(ТУ), МСХА, ЛГАУ, ССХИ. М.-Луганск-Смоленск, 2002. - Т. 3. - С. 136-140.

11. Борисов А.В. Решение прямой задачи динамики движения механической системы с деформируемыми элементами структуры / БИТУ.

12. Минск, 2004. 17 с. - Деп. в ВИНИТИ 19.11.2004. - № 1820 - В2004. //

13. Весщ НАНБ. Серия физ. техн. наук. 2005. - № 2. - С. 122.

14. Борисов А.В. Сравнительный анализ методик визуализации движений человека и механических объектов // Интегративная антропология медицине и спорту: Межрегиональный сб. науч. тр./ Под общ. ред. проф. Р.Н. Дорохова - Смоленск: СГИФК, 2004. - С. 81-87.

15. Борисов А.В. Уравнения динамики многозвенных систем с деформируемыми элементами структуры / БНТУ. Минск, 2004. - 43 с. -Деп. в ВИНИТИ 19.11.2004. - № 1819 - В2004. // Весщ НАНБ. Серия физ. техн. наук. - 2005. - № 1. - С. 124.

16. Борисов А.В. Экспериментальное определение управляющих моментов при движении человека с учетом деформаций / БНТУ. Минск,• 2004. 38 с. - Деп. в ВИНИТИ 19.11.2004. - № 1821 - В2004. // Весщ

17. НАНБ. Серия физ. техн. наук. 2005. - № 2. - С. 122.

18. Босяков С.М., Журавков М.А., Медведев Д.Г. Применение компьютерной математики для решения задач динамической теории упругости // Теоретическая и прикладная механика: Межведомственный сб. науч. ст. Минск, 2004. - Вып. 17. - С. 65-67.

19. Василевич Ю.В. Решение первой основной задачи для орто-тропного полупространства // Изв. АН. БССР. Сер. Физ.-мат. н. 1990. - № 1.

20. Величенко В.В. Механика трансформирующихся систем. // Доклады Академии наук, 2003. - Т. 388. - № 6. - С. 757-760.

21. Вукобратович М. Шагающие антропоморфные механизмы. М.: Мир, 1976.-541 с.

22. Горр Г.В. Прецессионные движения в динамике твердого тела и динамике систем связанных твердых тел // Прикладная математика и механика. 2003. - Т. 67. - Вып. 4. - С. 573-587.

23. Градецкий В.Г. Управляемое движение мобильных роботов по произвольно ориентированным в пространстве поверхностям. М.: Наука, 2001.-359 с.

24. Гуляев В.И., Завражина Т.В. Динамика робота-манипулятора с упругими звеньями // Прикладная механика. 2001. - Т. 37. - № 11. - С. 130-140.

25. Гусев Д.М. Математическое и программное обеспечение задач навигации и управление движением автономных колесных роботов. Авто-реф. дисс. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук: 01.02.01. / МЭИ. М.: 2003. -15 с.

26. Добролюбов А.И. О переносе массы твердых, жидких и газообразных тел бегущими волнами деформации // Изв. РАН. Сер. МТТ. 1993. -№5.

27. Дружинин Г.В. Учет свойств человека в моделях технологий. -М.: МАИК "Наука", 2000. 327 с.

28. Дубровский В.И., Федорова В.Н. Биомеханика. М.: Владос-Пресс, 2003.-672 с.

29. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика. -М.: Нолидж, 2000. 1296 с.

30. Егоров И.Н. Системы позиционно-силового управления технологическими роботами // Мехатроника. Автоматизация. Управление. -2003.-№ 10.-С. 15-20.

31. Ефимов В.И. Определяющие соотношения нелинейной теории упругости на основе инвариантов тензора напряжений и тензора деформаций. Минск.: В.И., 1999. - 202 с.

32. Журавков М.А., Мартыненко М.Д. Теоретические основы деформационной механики блочно-слоистого массива соляных горных пород. Минск.: Ушверсггэццая, 1995. - 254 с.

33. Зациорский В.М., Каймин М.А. Биомеханика ходьбы. М.: 1978. -65 с.

34. Зверович Э.И. Вещественный и комплексный анализ: Учеб. пособие: В 6 ч. Минск.: БГУ, 2003. - Ч. 1. — Введение в анализ и дифференциальное исчисление. - 295 с.

35. Ибрагимов В.А., Махнач В.И., Швед O.JL Метод обобщенных аналитических представлений в упругопластической антиплоской задаче. -Минск.: Институт технической кибернетики НАН Беларуси, 1998. 83 с.

36. Карпович С.Е., Межинский Ю.С., Жарский В.В. и др. Основы механики машин и роботов. Минск.: Технопринт., 2002. - 155 с.

37. Карпович С.Е., Межинский Ю.С., Жарский В.В. Прецезионные системы перемещений // Доклады БГУИР. Минск.: 2004. - № 3. - С. 50-61.

38. Компьютерные системы моделирования пластических деформаций: Учеб. пособ. Челябинск: Изд-во Юж. Урал. гос. ун-та, 2000. - 66 с.

39. Копылов П.А. и др. О реализуемости движений по Н.А. Берн-штейну // Известия РАН МТТ. 2003. - № 5. - С. 39-49.

40. Кравчук А.С., Чигарев А.В. Механика контактного взаимодействия тел с круговыми границами. Минск.: Технопринт, 2000. - 196 с.

41. Крушевский А.Е. Вариационные методы в механике деформируемого тела: Методическое пособие по спецкурсу дисциплины "Теоретическая механика" для машиностроительных специальностей. / Минск.: Технопринт, 2000. - 55 с.

42. Крушевский А.Е. Введение в аналитическую механику упругих тел. Минск.: БИТУ, 2004. - 384 с.

43. Крушевский А.Е. Динамика системы: Методическое пособие по дисциплине "Теоретическая механика" для студентов машиностроительных специальностей. Минск., 1989. - 64 с.

44. Крушевский А.Е., Наумович С.А. Исследование напряженного состояния области соединения периодонта с корнем зуба // Биомедицинская радиоэлектроника. 1997. - № 4. - С. 90-93.

45. Крушевский А.Е., Наумович С.А. Математическое моделирование равновесия периодонта зуба // Докл. АН Беларуси. 1997. - Т. 41. - № 1. -С. 38-43.

46. Крушевский А.Е., Коцюра Ю.И. Определение реакций мосто-видного протеза с тремя опорами // Теоретическая и прикладная механика.- Минск.: Вышэйшая школа, 1989. Вып. 16. - С. 126-131.

47. Кузьмицкий А.В. Новая концепция современной механики мобильных машин // Теоретическая и прикладная механика. Межведомственный сб. науч. ст. Минск, 2004. - Вып. 17. - С. 21-25.

48. Ларин В.Б. Управление статически неустойчивыми шагающими аппаратами // Прикладная математика. 2000. - Т. 36. - № 6. - С. 37-66.

49. Левитский Н.И. Теория механизмов и машин. М., Наука, 1979.- 574 с.

50. Легкая атлетика: Учеб. для ин-тов физ. культ./ Под ред. Н.Г. Озолина, В.И. Воронкина, Ю.Н. Примакова. 4-е изд. перераб. и доп. - М.: Физкультура и спорт, 1989. - 671 с.

51. Мазуркин П.М. Быстроходные шагающие движители// Мех. и упр. движением шагающ. машин. 1995. №2. - С. 95-102.

52. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1971.-312 с.

53. Наумович С.А., Крушевский А.Е. Биомеханика системы зуб -периодонт. Минск., 2000. - 132 с.

54. Научное наследие П.Л. Чебышева. М.-Л., Изд. АН СССР, 1945.- Вып. 2. Теория механизмов. 192 с.

55. Немцов В.Б. Метод максимума информационной энтропии в статистической теории нелинейной упругости деформируемых тел в лагранжевых переменных // Теоретическая и прикладная механика: Межведомственный сб. науч. ст. Минск, 2004. - Вып. 17. - С. 30-33.

56. Немцов В.Б. Неравновесная статистическая механика систем с ориентационным порядком. Минск.: "Тэхналопя", 1997, - 280 с.

57. Немцов В.Б. Статистическая теория упругости деформируемых тел // Актуальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике. Минск.: "Технопринт", 2001. - С. 372-375.

58. Новожилов И.В., Зацепин М.Ф. К сравнению разных типов пространственных походок четырехногого шагающего аппарата// Тез. докл. 3-й Всесоюз. конф. по проблемам биомеханики. Рига: Изд-во М-ва здравоохранения ЛатвССР, 1983,-С. 109-110.

59. Новожилов И.В. Управление пространственным движением двуного шагающего аппарата// Изв. АН. СССР. МТТ. 1984. - №4. - С.47-53.

60. Охоцимский Д.Е., Девянин Е.А., Платонов А.К., Боровин Г.К., Буданов В.М., Лапшин В.В., Мирный В.М. Опыт проектирования многоцелевого гидравлического шагающего шасси// Мех. и упр. движением ша-гающ. машин. 1995.-№2.-С. 103-111.

61. Практикум по биомеханике: Пособие для ин-тов физ. культ./Под ред. И.М. Козлова. М.: Физкультура и спорт, 1980. - 120 с.

62. Саргсян А. Сопротивление материалов, теории упругости и пластичности, основы теории с примерами расчетов. М.: Высшая школа, 2001.-288 с.

63. Сирегар Х.П. Энергетические затраты при ходьбе антропоморфных роботов. Автореф. дисс. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук: 01.02.01/МЭИ.-М., 2003.- 17 с.

64. Смалюк А.Ф. Динамика многозвенных механических систем в моделировании процессов двуногой ходьбы. Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ. мат. наук: 01.02.06 / БГПА. Минск, 1999. - 85 с.

65. Старовойтов Э.И. Вязкоупругопластические слоистые пластины и оболочки. Гомель: БелГут., 2002. - 343 с.

66. Тубеев Ш.Х. Управление корпусом шагающего аппарата с переменной длинной ноги // Труды МЭИ. М., 1979. - Вып. 392. - С.8-11.

67. Федута А.А., Чигарев А.В., Чигарев Ю.В. Теоретическая механика и методы математики: Учеб. пособие для ВТУЗов. Минск.: Техно-принт, 2000. - 502 с.

68. Формальский A.M. Перемещение антропоморфных механизмов. -М.: Наука, 1982.-368 с.

69. Циглер Ф. Механика твердых тел и жидкостей. М., - Ижевск: РХД, 2002. - 912 с.

70. Черноус Д.А., Конек Д.А., Петроковец Е.М. Метод решения задачи о потере устойчивости вязкоупругого стержня // Весщ НАН Беларусь

71. Сер. Ф1з.-тэхн. н. 2003.- № 1.-С.101-104.

72. Чигарев А.В., Борисов А.В. Определение угловых скоростей и ускорений звеньев человека методом сплайновой интерполяции // Вестник БНТУ. Минск, 2004. - № 6. - С. 68-70.

73. Чигарев А.В., Борисов А.В. Уравнения движения одиннадцатиз-венного антропоморфного механизма с деформируемыми звеньями // Научные труды международной научно-практической конференции ученых

74. МАДИ(ГТУ), МСХА, ЛНАУ 29-30 июня 2004 года. / МАДИ(ГТУ), МСХА, ЛНАУ. М.-Луганск, 2004. - Т. 4. - С. 120-124.

75. Чигарев А.В., Михасев Г.И. Биомеханика. Минск: УП "Техно-принт", 2004. - 306 с.

76. Чигарев А.В., Смалюк А.Ф., Кравчук А.С. Решение задач механики с помощью ANSYS 5.7 E.D.: Учебно-методическое пособие для ВТУЗов: В 2-х ч. БНТУ. Кафедра теоретической механики. Минск: Тех-нопринт, 2003. - Ч. 1. - 42 с.

77. Чигарев А.В. Стохастическая и регулярная динамика неоднородных сред. Минск: УП "Технопринт", 2000. - 425 с.

78. Чуприк Л.В., Никифорова Т.В., Гравитис У.Р. Корреляционная

79. Allen С. Hibbard, Kenneth М. Levasseur. Exploring Abstract Algebra with Mathematica. TELOS/Springer-Verlag.- 1999.

80. Allen M.P., Tildesley D.J. Computer simulation of liquids. Oxford:1. Claredon Press, 1999.

81. Aman K., Lindahl E., Edholm O., Hakansson P., Westlund P.-O. Structure and dynamics of interfacial water in an La phase lipid bilayer from molecular dynamics simulations // Biophys. Journ. 2003. - V. 84, no. 1. - P. 102115.

82. Bai Ou, Nakamura Masatoshi, Shibasaki Hiroshi. Compensation of hand movement for patiens by assistant force: Relationship between human hand movement and robot arm motion // IEEE Trans, on Neural Syst. and Reha-bil. Eng. 2001. 9, № 3, c. 302-307.

83. Baptista L. F., Botto M. Ayala, Da Costa J. Sa. A predictive force control approach to robotic manipulators in non-rigid environments. // Int. J. Rob. and Autom. 2000. 15, № 2, c. 94-102.

84. Boivin Samuel, Gagalowicz Andre, Horry Younichi. Morphological modeling and deformation of 3D objects // Mach. Graph, and vision. 2000. 9, № 1-2, c. 263-280.

85. Boshra Michael, Zhang Hong. Localizing a polyhedral object in a robot hand by integrating visual and tactile data. // Pattern Recogn. 2000. 33, №3,c. 483-501.

86. Bruce F. Torrence, Eve A. Torrence. The Student's Introduction to Mathematica: A Handbook for Precalculus, Calculus, and Linear Algebra. Cambridge University Press, 1999.

87. Caux S., Zapata R. Modelling and control of biped robot dynamics// Robotica. 1999. — 17. №4. P.413-426.

88. Chen. Jim X., Wechsler Harry, Pullen J. Mark, Zhu Ying, Mac Ha-hon Edward B. Knee suroery assistance: Patient model construction, motion simulation, and biomechanical visualization // IEEE Trans. Biomed. Eng. 2001. 48, №9. c. 1042-1052.

89. Chen Y. M., Hsueh C. S. Complementary data fusion in vision-guide and control of robotic tracking. // Robotica. 2001. 19, № 1, c. 53-58.

90. Ciobanu Lucian. Biologically inspired solutions for robots constructions: Pap. International Conference on Electrical and Power Engineering, lasi, 1999: EPE'99. Pt A. Bui. Inst, politehn. Iasi. Electrotehn., energ., electron. 1999. 45, №5A, c. 40-43.

91. Darby A.P., Pellegrinos. Modeling and control of a flexible structure incorporating inertial slip-stick actuators. (University of Oxford, Oxford, England OX1 3PJ, United Kingdom). // J. Guid., Contr., and Dyn. 1999. 22, № 1, c. 36-42.

92. Deng Hui, Sun Fu-Chun, Sun Zeng-Qi. Robust control of robotic manipulators using fuzzy inverse model. // Zidonghua xuebao=Acta autom. sin. 2001. 27, №4, c. 521-530.

93. Dumont Yves. Vibrations of a beam between stops: numerical simulations and comparison of several numerical schemes // Math, and Comput. Simul. 2002. 60, № 1-2, c. 45-83.

94. Ferrarin Maurizio, Palazzo Francesco, Riener Robert, Quintern Jochen. Model-based control of FES-induced single joint movements // IEEE Trans, on Neural Syst. and Rehabil. Eng. 2001. 9, № 3, c. 245-257.

95. Greco A., Santini A. Dynamic response of a flexural non-classically damped continuous beam under moving loadings // Comput. and Struct. 2002. 80, №26, c. 1945-1953.

96. Griman Quentin, Naili Salah, Watzky Alexandre. Transient elastic V wave propagation in a spherically symmetric bimaterial medium modeling thethorax // Int. J. Solids and Struct. 2002. 39, № 25, c. 6103-6120.

97. Grizzle Jesse W., Abla Gabriel, Plestan Franck. Asymptotically stable walking for biped robot: Analysis via systems with impulse effects // IEEE Trans. Autom. Contr. 2001. 46, № 1, c. 51-64.

98. Huang Bin. One computational method of the eigenvalues of the horizontal vibration problem of beam // J. Southeast Univ. 2002. 18, № 3, c. 277-282.

99. Humanoide robot of Waseda university // J. Rob. and Mechatron. — 1998.— 10, № 1. — C.C4

100. Iqbal Nadeem, Luo Qing, Lu Tian-sheng. J. Machine learning of multi agents for RoboCup soccer domain: A survey. // Shanghai Jiaotong Univ. 2003. 8,№ 1, c. 23-28.

101. Jiang Bo-nan, Wu Jie. The least-squares finite element method on elasticity. P I plane stress or strain with drilling degrees of freedom // Int. J. Numer. Meth. Eng. 2002. 53, № 3, c. 621-636.

102. Kinkaid N. M., O'Reilly О. M., Turcotte J. S. On the steady motions of a rotating elastic rod. // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2001. 68, № 5, c. 766771.

103. Krus Petter. Modeling of mechanical systems using rigid bodies and transmission line joints // Trans. ASME. J. Dyn. Syst., Meas. and Contr. 1999. 121, №4, c. 606-611.

104. Lake Mark. The use of pedestrian modelling in archaeology, with an example from the study of cultural learning // Environ, and Plann. B. 2001. 28, № 3, c. 385-403.

105. Liu Guo-liang, Qiang Wen-yi. Information fusion technology formobile robots. Harbin gongye daxue xuebao=J. Harbin Inst. Technol. 2003. 35, № 7, c. 802-805.

106. Martha L. Ahell, James P. Braselton, John A. Rafter. Statistics with Mathematica. Academic Press.- 1999. ^ 116. Marvin L. DeJong. Mathematica for Calculus-Based Physics. Addison-Wesley, 1999.

107. Marzani Frank, Calais Elodie, Legran Louis. A 3-D marker free system for the analysis of movement disabilities - An application to the legs // IEEE Trans. Inf. Technol. Biomed. 2001. 5, № 1, c. 18-26.

108. Michelitsch Thomas, Levin Valery M. Green's function for the infinite two-dimensional orthotropic medium // Int. J. Fract. 2001. 107, № 2, C.L33-L38.

109. Molnar Peter, Starke Jens. Control of distributed autonomous robotic systems using principles of Pattern formation in nature and pedestrian behavior // IEEE. Trans. Syst., Man, and Cybern. B. 2001. 31, № 3, c. 433-436.

110. Mosconi Marco. Mixed variational formulations for continua with microstructure // Int. J. Solids and Struct. 2002. 39, № 16, c. 4181-4195.

111. Naderi D., Meghdari A., Durali M. Dynamic modeling and analysis of a two d.o.f. mobile manipulator. // (School of Mechanical Engineering, Sharif University of Technology, Tehran 11365-9567 (Iran)). Robotica. 2001. 19, № 2, c. 177-185.

112. Nancy Blachman, Colin P. Williams. Mathematica: A Practical Approach, Second Edition. Prentice Hall. 1999.

113. Oden J. Tinsley, Prudhomme Serge. Estimation of modeling error in computational mechanics // J. Comput. Phys. 2002. 182, № 2, c. 496-515.

114. Pond Burke, Sharf Inna. Experimental evaluation of flexible manipulator trajectory optimization. // J. Guid., Contr., and Dyn. 2001. 24, № 4, c. 834* 843.

115. Roboter im Leistungsvergleich // Technica (Suisse). — 1998. — 47, № 13-14. —C.7.

116. Savi Marcelo A., Pacheco Pedro M. C. L., Braga Arthur M. B. Chaos in a shape memory two-bar truss // Int. J. Non-Linear Mech. 2002. 37, № 8, c. 1387-1395.

117. Shi Kai-fei, Li Rui-feng. Kinematics of service robot bionics arm. // Harbin gongye daxue xucbao=J. Harbin Inst. Technol. 2003. 35, № 7, c. 806-808.

118. Schiavone P., Ru C.Q. Mixed boundary value problems of the third kind in a theory of bending of elastic plates // J. Integr. Equat. and Appl. 2001. 13, №2, c. 167-180.

119. Sheikh A. H., Mukhopadhyay M. Linear and nonlinear transient vibration analysis of stiffened plate structures. // Finite Elem. Anal, and Des. 2002. 38, № 6, c. 477-502.

120. Sidilkover D. Some approaches towards constructing optimally efficient multigrid solvers for the inviscid flow equations // Computers and Fluids. -1999. V. 28.-P. 551-571.

121. Sokolov A.V. Mathematical Models and Optimal Algorithms of Dynamic Data Structure Control. Fundamental of Computation Theory. 13th International Symposium // Lecture Notes in Computer Science. 2001. P. 416-419.

122. Stahovich Thomas F., Davis Randall, Shrobe Howard. Qualitative rigid-body mechanics // Artif. Intell. 2000. 119, № 1-2, c. 19-60.

123. Stephen Wolfram. The Mathematica book. Fourth Edition. Addison-Wesley. 1999.

124. Takanishi Atsuo. Anthropomorphic robots and bipedal walking// Ka-gaku kogaku=Chem. Eng., Jap. — 1998. — 62, №3. — P. 142-144.

125. Tocino A., Ardanuy R.J. Runge-Kutta methods for numerical solution of stohastic differential equations // Comput. and Appl. Math. 2002. 138, № 2, c. 219-241.

126. Voyles Richard M., Khosla Pradeep K. A multi Agent system for programming robots by human demonstration // Integr. Comput. - Aided Eng. 2001. 8, № I.e. 59-67.

127. Wengenmayr R. Super computer plays with strings of pearls and liquid crystals // Max-Planck Research. 2002. - № 2. - P. 30-35.

128. Xuan Xiaoying, Fu Xiangzhi. The dynamic analysis of biped robot with elastic damping elements// Huazhong ligong daxue xuebao=J. Huazhong Univ. Sci. and Technol. — 1999. — 27, № 5. — C. 82-84.

129. Zha X. F., Du H. Generation and simulation of robot trajectories in a virtual CAD-based off-line programming environment. // Int. J. Adv. Manuf. Technol. 2001. 17, № 8, c. 610-624.

130. Автор внедрения Наименование и краткая характеристика внедрения Эффект от внедрения

131. Заместитель председателя-департамента по физическойоленской области1. Опарин И.А. Борисов А.В.1. АКТвнедрения результатов научных исследований в практикуг. Смоленск3 » ьШХ^йд200Уг.

132. Автор внедрения Наименование и краткая характеристика внедрения Эффект от внедрения