автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели оценки и кооперативного распределения рискового капитала

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. РИСК И МЕРЫ РИСКА

1.1. Мера риска

1.1.1. Сценарные меры риска

1.1.2. Немодельные меры риска

1.2. Меры риска Value at Risk

1.3. Нормальный метод

1.3.1. Ковариационная матрица с равными весами

1.3.2. Экспоненциально-взвешенные ковариации

1.3.3. GARCH - модели

1.4. Непараметрические модели

1.4.1. Историческое моделирование

1.4.2. Непараметрическое моделирование волатильности

1.5. Оценка вариации для локально-стационарных процессов

1.6. Модели экстремальных событий

1.7. Аппроксимация изменений стоимости портфеля

1.7.1. Линейные модели

1.7.2. Квадратичные модели

ГЛАВА 2. РЕАЛИЗАЦИЯ И ТЕСТИРОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ VAR

2.1. Проверка гипотез о виде распределений

2.1.1. Графические методы

2.1.1.1. Квантиль-квантиль графики

2.1.1.2. Средняя функция превышения

2.1.2. Тесты на нормальность распределения

2.1.3. Исследование рынков FOREX

2.1.4. Исследование российского рынка акций

2.2. Тестирование моделей

2.2.1. Методика тестирования моделей

2.2.2. Точность модели

2.2.2.1. Функция потерь

2.2.2.2. Бинарная функция потерь

2.2.2.3. Множитель, обеспечивающий покрытие

2.2.2.4. Соответствие распределений

2.2.3. Эффективность модели

2.2.3.1. Относительный непокрытый риск

2.2.3.2. Относительный неиспользованный риск

2.2.3.3. Многокритериальный анализ моделей

2.2.3.4. Корреляция VaR и реальных убытков

ГЛАВА 3. ЗАДАЧА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РИСКОВОГО КАПИТАЛА

3.1. Постановка задачи

3.2. Кооперативная теория игр и ядро

3.3. Вектор Шепли как значение игры

3.4. Распределение капитала в неатомической кооперативной теории

3.4.1. Определение игры и значения в неатомической теории

3.4.2. Формулировка основных результатов Аумана-Шепли

3.5. Применение к распределению рискового капитала 88 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

За последнее десятилетие задача количественной оценки финансовых рисков привлекла к себе ввиду своей практической значимости особенное внимание со стороны представителей различных математических дисциплин. В условиях расширения финансовых рынков и их глобализации получение надежных и интерпретируемых оценок риска становится все более актуальной задачей для финансовых организаций и регулирующих органов, а также любых организаций, выходящих на рынок капитала. Из всего многообразия финансовых рисков наиболее значимой является задача оценки рыночных рисков, т.е. рисков, возникающих вследствие постоянных изменений, происходящих на финансовых рынках. На сегодняшний день существует большое количество моделей, позволяющих получать количественные оценки риска. Наиболее распространены модели, вычисляющие оценки, называемые стоимостью риска, или Value at Risk (VaR). При этом оценка риска осуществляется исходя из анализа исторических временных рядов наблюдаемых рыночных параметров и с использованием аппарата математической статистики. Эти модели хорошо себя зарекомендовали применительно к устойчивым финансовым рынкам, поведение параметров которых хорошо описывается статистическими моделями и для которых существует многолетние статистические данные. Однако при применении таких моделей для нестабильных рынков возникают трудности, связанные, во-первых, с недостаточность статистических данных, и, во-вторых, с самим характером временных рядов, у которых ярко выражена нестационарность. Традиционные параметрические модели при этом теряют свойство давать надежные оценки без постоянной тонкой настройки, а усложнение модели и увеличение числа параметров для увеличения точности может привести к прямо противоположным 5 результатам. К сожалению, при наличии большого количества разработанных моделей, в литературе отсутствуют рекомендации по построению эффективных моделей, работающих на нестабильных рынках. Все это дало толчок к активному применению непараметрических и полупараметрических моделей, использующих математические методы смежных дисциплин: теории экстремальных значений в статистике, цифровой обработки сигналов и др.

Помимо задачи оценки риска следующей по важности является задача распределения рискового капитала, определенного с помощью полученной оценки риска, по составляющим портфеля. Для этого требуется формализация понятий риска, меры риска, и их интерпретация в микроэкономических терминах, в которых формулируется задача распределения рискового капитала. Это направление, называемое кооперативным распределением рискового капитала, стало развиваться сравнительно недавно, но весьма интенсивно с применением методов кооперативной теории игр.

Несмотря на актуальность и разработанность проблемы измерения риска, вплоть до конца 90-х вопрос формализации понятия меры риска не затрагивался исследователями должным образом. Только с появлением работ Artzner и др. (см., например, [1,2]) стало возможным исследование свойств различных мер риска, в том числе и Value at Risk. В них были аксиоматически сформулированы условия когерентности меры риска, которые, как показано в диссертационной работе, являются важнейшими свойствами меры риска, необходимыми для решения задачи распределения рискового капитала.

Моделям вычисления меры риска VaR посвящена обширная литература (см., например, [6-14]). Особенное внимание при этом уделялось нормальным моделям, в которых предполагается нормальное распределение случайных величин - факторов риска, а при линейной зависимости б изменения стоимости портфеля (дельта-нормальные модели) от факторов риска - распределение изменения стоимости портфеля также будет нормальным. Это качество позволяет получить выражение для меры риска в явном виде, причем обладающем свойствами дифференцируемости, что дает возможность вычислять маргинальные вклады в риск портфеля, а также оптимизировать портфель по соотношению риск (в виде VaR) - доходность. Параметрами дельта-нормальной модели является ковариационная матрица факторов риска и вектор чувствительность изменения стоимости портфеля (градиент), нахождение которых являлось задачей большинства из упомянутых работ. Наиболее распространенными и исследованными среди параметрических моделей являются модели обобщенной условной авторегрессионной гетероскедастичности (GARCH-модели) и их различные вариации (см., например, [57-64]), позволяющие учитывать зависимость элементов ковариационной матрицы от времени. Усложнение таких моделей, позволяющее учитывать все более сложный характер временных рядов, сопровождается, как правило, увеличением числа параметров модели, и, поскольку параметры модели находятся с применением методов оптимизации, увеличением сложности оптимизационных задач. Вследствие этого увеличивается чувствительность модели к входным параметрам и уменьшается надежность модели. Свободны от такого недостатка, но в го же время и менее исследованы на предмет применимости непараметрические модели (наиболее подробно исследованные в [7]), большинство из которых используют методы разложения в функциональные ряды. Помимо этого, существует обширная литература по применению разложения в функциональный ряд по базису вейвлет (вейвлет-анализа) в математической статистике и цифровой обработке сигналов (см., например, [20-38]), но практически отсутствуют работы по использованию этих методов применительно к задаче вычисления меры риска. 7

Дельта-нормальная модель хорошо описывает центральную часть распределения изменений стоимости портфеля, в то время как поведение реальных распределений факторов риска на «хвостах» распределений имеет характер, далекий от нормального. Необходимость исследования «хвостов» распределений связана с необходимостью оценки рисков редких, но весьма значительных негативных изменений факторов риска, которые могут привести к катастрофическим последствиям. Такого рода модели успешно разрабатывались с помощью теории экстремальных значений в статистике (наиболее полное изложение можно найти в [40]), а также некоторых методов теоретической физики ([39,41]).

Ранние работы по задаче распределения рискового капитала основывались на подходе, использующем свойства нормального распределения ([49]), либо на свойствах дифференцируемых однородных функций ([52]). При этом микроэкономический смысл таких распределений никак не рассматривался, что произошло только с появлением работы [46], когда задача распределения рискового была поставлена в рамках кооперативной теории игр. Однако в силу того, что эти работы были первыми, посвященными данной теме, предложенный их авторами подход не был обоснован на должном уровне математической строгости. Помимо этого, в рамках разработанного подхода не были получены результаты для меры риска VaR.

В соответствие со всем вышеизложенным, основными задачами диссертационной работы являются:

• Разработка и обоснование применимости полупараметрических методов оценки параметров дельта-нормальной модели меры риска VaR, использующей методы вейвлет-анализа нестационарных временных рядов;

• Формирование набора тестов и критериев, используемых при анализе применимости моделей VaR на различных финансовых рынках; 8

• Тестирование и сравнительное исследование применимости разработанной модели и ряда других широко используемых моделей вычисления VaR на различных рынках;

• Постановка и решение задачи распределения рискового капитала по составляющим портфеля в рамках дискретной кооперативной теории игр.

• Обоснование применения неатомической кооперативной теории игр для распределения рискового капитала; исследование свойств полученного решения и получение его в явном виде для меры риска VaR.

Теоретической основой диссертации и аппаратом исследований служили: методы теории вероятностей и математической статистики, методы вейвлет-анализа, вычислительные методы, а также методы кооперативной теории игр. При исследовании предложенных моделей использовался пакет прикладных программ, разработанный автором.

Практическая ценность состоит в разработке алгоритмов и пакета программ, предназначенных для вычисления меры риска VaR. Теоретические и экспериментальные результаты работы могут быть использованы при разработке моделей и систем управления финансовыми рисками. Положения и выводы, сформулированные в диссертации, получили квалифицированную апробацию на научных конференциях, а также научных семинарах в ВЦ РАН, Академии Народного Хозяйства и Высшей Школе Экономики. По результатам исследований автором лично и в соавторстве опубликовано 5 работ.

Основными положениями, выносимыми на защиту, являются:

• Новый метод оценки параметров дельта-нормальной модели VaR;

• Критерии, используемые при исследовании применимости моделей VaR;

• Постановка и решение задачи распределения рискового капитала в рамках неатомической кооперативной теории игр. 9

Построение диссертационной работы таково. В первой главе дается определение меры риска, определение когерентных мер риска и меры риска Value at Risk. Далее приведены модели вычисления VaR, используемые в работе. Учитывая относительную новизну проблематики финансовых рисков в отечественной литературе, а также отсутствие твердо устоявшейся терминологии, для большинства понятий и определений приводятся соответствующие термины, принятые в зарубежной литературе. В разделе 1.5 изложен разработанный автором метод оценки локальной вариации, использующий методы вейвлет-анализа, приведено его обоснование и основные теоретические результаты относительно его применимости для класса локально-стационарных процессов.

Вторая глава содержит изложение методик тестирования моделей вычисления VaR и полученные автором результаты численных экспериментов. Для ряда тестов сформулированы утверждения об асимптотических оценках для вейвлет-модели.

В третьей главе дается постановка задачи распределения рискового капитала, приведены основные положения дискретной кооперативной теории игр и результаты ее применения к исследуемой задаче и указаны возникающие при этом проблемы, в связи с чем обоснован переход к использованию неатомической кооперативной теории. Для неатомической теории приводятся ее основные положения и факты, которые затем применяются для решения задачи. Основным полученным результатом применения неатомической теории является существование и единственность решения задачи в такой постановке, а в разделе 3.5 решение для меры риска VaR получено в явном виде.

10

Заключение

Предложен новый метод оценки зависящих от времени параметров дельта-нормальной модели вычисления меры риска VaR, использующий вейвлет-методы непараметрического моделирования нестационарных временных рядов. Для класса локально-стационарных процессов получены теоретические оценки для асимптотик используемого набора тестов.

Проведены численные эксперименты по применимости различных моделей вычисления меры риска VaR на различных финансовых рынках, в том числе и нестабильных. Результаты экспериментов показывают надежность оценок риска, производимых предложенной автором моделью, а также ее доминирование по Парето остальных тестируемых моделей.

Обоснована постановка задачи распределения рискового капитала в терминах неатомической кооперативной теории игр, и показано, что задача имеет, и притом единственное решение - вектор Аумана-Шепли, при этом показано, что вектор Аумана-Шепли может использоваться как селектор ядра в дискретной игре.

Получено явном виде выражение для вектора Аумана-Шепли для наиболее широко распространенных мер риска - Value at Risk.

92

1. Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. Coherent Measures of Risk. // Mathematical Finance. 1999. Vol.9. No.3. P. 203-228.

2. Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. Thinking coherently // RISK. 1997. Vol. 10. P.68-71.

3. Delbaen F. Coherent risk measures on general probability spaces. Zurich: ETH. 1999.

4. Меньшиков И.С. Финансовый анализ ценных бумаг. Москва: Финансы и статистика, 1998.

5. Уотшем Т., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. М.: Финансы, ЮНИТИ, 1999. 527 стр.

6. Risk Metrics™ Technical Document Fourth Edition. New York: RiskMetrics Group, 1995.

7. Engel J., Gizycki M. Conservatism, Accuracy and Efficiency: Comparing Value-at-Risk Models. // Sydney: Reserve Bank of Australia, 1998.

8. Dave R.D., Stahl G. On the Accuracy of VaR Estimates Based on the Variance-Covariance Approach. // Zurich: Olsen & Associates, 1996.

9. Duffie D., Pan J. An Overview of Value at Risk // Journal of Derivatives. 1997. Vol. 4. P. 7-49.

10. Farton W. Calculating Value-at-Risk. // Philadelphia: Wharton School, 1996. Mina J., Ulmer A. Delta-Gamma Four Ways II New York: RiskMetrics Group. 1999.11 .Britten-Jones M., Schaefer S.M. Non-linear Value-at-Risk // European Finance

11. Review. 1999. Vol. 2. No. 2. P. 1-27. 12.Cornish E.A., Fisher R.A. Moments and cumulants in the specification of distributions // Review of the International Statistical Institute. 1937. Vol. 5. P. 307-320.93

12. Mathai A.M., Provost S.B. Quadratic Forms in Random Variables, Theory and Applications. New York: Marcel Dekkerlnc. 1992.

13. Zabgari P. A VaR methodology for portfolios that include options // RiskMetrics Monitor. 1996. 1st quarter. P.4-12.

14. Ibragimov I.A., Has'minskii R.Z. Statistical Estimation. New York: Springer, 1981.

15. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная ихаотическая динамика», 2001,464 стр. П.Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1998. Т. 166. № 11. С. 1145-1170.

16. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly cupported wavelets. // Comm. Pure Appl. Math. 1988. Vol. 41. P.909-996.

17. Daubechies I. The wavelet transform, time-frequency localization and signal analysis. II IEEE Trans. Inform. Theory. 1990. Vol.36. P.961-1005.

18. Nason G.P., von Sachs R. Wavelets in Time series Analysis // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1999. Vol.357. No.1760. P. 2511-2526.

19. Nason G.P., Silverman B.W. The Stationary Wavelet Transform and Some Statistical Applications // Bristol: University of Bristol, 1998.

20. Priestley M.B. Evolutionary spectra and non-stationary processes // J. Roy. Statist. Soc., Ser. B. 1965. No. 27. P.204-237.

21. Donoho D., Johnstone I., Kerkyacharian G., Picard D. Wavelet shrinkage: Asymptotia? // J. R. Statis. Soc. 1995. Vol. 57. No. 2. P. 301-369.Strang D.94

22. Wavelet transforms versus Fourier transforms. // Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society. 1993. Vol. 28(2). P. 288-305.

23. Donoho D. Denoising via soft thresholding. // IEEE Trans. Inf. Theory. 1998. Vol. 41. P. 613-627.

24. Donoho D. Estimating со variances of locally stationary processes: Consistency of Best Basis methods. // Proc. IEEE Time-Frequency/Tme-Scale 1996, Paris, France.

25. Mallat S., Papanicolaou G., Zhang Z. Adaptive covariance estimation of locally stationary processes. // Ann. Statist. 1998. Vol. 26. P. 1-47.

26. Neumann M.H., von Sachs R. Wavelet thresholding: Beyond the Gaussian i.i.d. situation // Antoniadis A., Oppenheim G. Wavelets and Statistics. Lect. Notes Statist., 103. New York, Springer. 1995. P. 281-299.

27. Nason G.P., Silverman B. The stationary wavelet transform and some statistical applications // Antoniadis A., Oppenheim G. Wavelets and Statistics. Lect. Notes Statist., 103. New York, Springer. 1995. P.301-329.

28. Coifman R., Donoho D. Translation-invariant de-noising // Anestis A., Oppenheim G. Wavelets and Statistics. Lect. Notes. Statist., 103. New York: Springer. 1995.

29. Dahlhaus R. Fitting time series models to nonstationary processes. // Ann. Statist. 1997. Vol. 25. P. 1-37.

30. Dahlhaus R. Asymptotical statistical inference for nonstationary processes with evolutionary spectra. Athens Conf. On Applied Prob. And Time Series Anal., Vol. II. Lect. Notes. Statist., Vol. 115. P. 145-159. New York; Springer, 1996.

31. Cheng В., Tong H. A theory of wavelet representation and decomposition for a general stochastic process //Lect. Notes Statist. 1996. Vol. 115. P. 115-129.

32. Cambanis S., Marsy E. Wavelet approximation of deterministic and random signals: convergence properties and rates // IEEE Trans. Inf. Theor. 1994. Vol. 40. P. 1013-1029.95

33. Saito N., Beylkin G. Multiresolution representation using the autocorrelation functions of compactly supported wavelets // IEEE Trans. Sig. Proc. 1993. Vol. 41. P. 3584-3590.

34. Sornette D., Simonetti P., Andersen J.V. Nonlinear Covariance Matrix and Portfolio Theory for non-Gaussian Multivariate Distributions. Los Angeles: University of California, 1998.

35. Embrechts P., Kluppelberg C., Mikosh T. Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. Berlin: Springer, 1997.

36. Bouchaud J.P., Sornette D., Walter C., Aguilar J.P. Taming Large Events: Optimal Portfolio for Strongly Fluctuating Assets // International Journal of Theoretical and Applied Finance. 1998. Vol.1. No.l. P. 25-41.

37. Lee L. Multivariate distributions having Weibull properties // Journal of Multivariate Analysis. 1979. Vol. 9. P.267-277.

38. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели. М.: Мир, 1991.

39. Ауман Р., Шепли JI. Значения для неатомических игр. М.: Мир, 1977.

40. Бондарева О.Н. Теория ядра в игре п лиц. Вестник ЛГУ, сер. мат., мех., астрон. Т. 13. № 3. 1962.

41. Delbaen F., Denault М. Coherent Allocation of Risk Capital. // Zurich: E.T.H., 2000.

42. Billera L.J., Heath D.C. Allocation of shared costs: a set of axioms yielding a unique procedure. // Mathematics of Operations Research. 1982. Vol. 7. No. 1. P. 32-39.

43. Dowd K. Beyond Value at Risk. Chichester: Wiley, 1998.96

44. Garman M. Taking VaR to Pieces. // Risk Magazine. 1997. Vol.10. No. 10. P.38-39.

45. Patrik G.S., Bernegger S., Ruegg M.B. The Use of Risk Adjusted Capital to Support Business Decision-Making // Casualty Actuarial Society Forum. 1999. P.243-334.

46. Roth A. The Shapley value. Essays in honor of Lloyd S. Shapley. Cambridge: Cambridge University Press. 1988.

47. Tasche D. Risk contributions and performance management. Munchen: Report for the Lehrstuhl fur mathematische Statistik. 1999.

48. Uyemura D., Kantor C., Pettit. J. EVA for Banks: Value Creation, Risk Management and Profitability Measurement // Journal of Applied Corporate Finance. 1996. Vol. 9. P.94-113.

49. Zaik E., Walter J., Kelling G., James C. RAROC in Bank of America: From Theory to Practice // Journal of Applied Corporate Finance. 1996. Vol. 9. P.83-93.

50. Froot K., Stein J. Risk Management, Capital Budgeting and Capital Structure Policy for Financial Institutions: An Integrated Approach. // Journal of Financial Economics. 1998. Vol. 47. P.55-82.

51. Baillie, R.T., Bollerslev Т. Prediction in Dynamic Models with Time-Dependent Conditional Variances // Journal of Econometrics. 1992. Vol. 52, P. 91-113.

52. Bera, A.K., Higgins H.L. A Survey of ARCH Models: Properties, Estimation and Testing // Journal of Economic Surveys. 1993. Vol. 7 No. 4.97

53. Bollerslev, Т. A Conditionally Heteroskedastic Time Series Model for Speculative Prices and Rates of Return // Review of Economics and Statistics. 1987. Vol. 69, P. 542-547.

54. Bollerslev, T. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity // Journal of Econometrics. 1986. Vol. 31. P. 307-327.

55. Bollerslev, Т., Chou R.Y., Kroner K.F. ARCH Modeling in Finance: A Review of the Theory and Empirical Evidence И Journal of Econometrics. 1992. Vol. 52, P. 5-59.

56. Engle, R.F. Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation // Econometrica. 1982. Vol. 50, P. 987-1007.

57. Меныников И.С., Шелагин Д.А. Кооперативное распределение рискового капитала. Москва: ВЦ РАН, 2001.

58. Шелагин Д.А. Модели оценки рыночных рисков. Тез. докл. XLII научной конференции МФТИ. Москва-Долгопрудный, 24.11-09.12.2000г.

59. Menshikov I.S., Shelagin D.A. Models for Market Risk Measurement. Abstracts of The 3rd Moscow International Conference On Operations Research. Moscow, April 4-6, 2001. P.77.

60. Shelagin D.A. Cooperative Allocation of Risk capital. Abstracts of The 3rd Moscow International Conference On Operations Research. Moscow, April 46, 2001. P.105.98