автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели оптимального управления вращающимися твердыми телами с жидким наполнением

На правах рукописи

Бсенков Александр Сергеевич

МОДЕЛИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ТВЕРДЫМИ ТЕЛАМИ С ЖИДКИМ НАПОЛНЕНИЕМ

Специальность 05.13.18. - Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена на кафедре интеллектуальных систем Московского физико-технического института (государственного университета)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Цурков Владимир Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Дикусар Василий Васильевич

кандидат физико-математических наук, ст. науч. сотр Пестерев Александр Витальевич

Ведущая организация:

Институт проблем управления им. В А. Трапезникова РАН

Защита состоится « г. в //чайС-сЯшн. на заседании

диссертационного совета К 212.156.02 при Московском физико-техническом институте по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер. 9, МФТИ, аудитория 903 КПМ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ. Автореферат разосла!^М^^> 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук , Федько О.С.

Общая характеристика работы

Возможность управления вращающимися твердыми телами с жидким наполнением еще в недавнем прошлом была практически не реализуема. С развитием современной вычислительной техники, у исследователей появились возможности моделирования такого рода систем и разработки эффективных численных методов решения задач.

Одними го важных задач в этой связи являются построение математической модели, выбор вида и характера управляющего воздействия, изучение поведения системы, получение зависимостей и выражений для параметров системы от управляющего воздействия.

В данной работе найдена аналитическая зависимость угловой скорости возмущенного движения от момента внешних сил для вращающегося твердого тела с полостью, целиком заполненной как идеальной, так и вязкой жидкостью. Внешний момент рассматривается как управляющее воздействие. Таким образом, появляется возможность анализа различных постановок задач оптимального управления. Для таких задач применяется аппарат оптимального управления и удается либо получить аналитические решения, либо предложить эффективный численный метод и продемонстрировать результаты соответствующими вычислениями. Актуальность темы

Задачи стабилизации и управления движением ротора с полостью, содержащей жидкость, являются привлекательными как с теоретической точки зрения, так и в силу многочисленных технических приложений. Они возникают и в теории движения самолетов, и кораблей, и спутников, где запас жидкого топлива, имеющийся на борту, оказывает существенное влияние на движение этих аппаратов.

Рассматриваемые вопросы находят свое применение при изучении динамики космических аппаратов с запасами топлива. Они равномерно

закручиваются на орбите вокруг некоторой оси для стабилизации, равномерного нагрева солнечными лучами, создания искусственной силы тяжести и других целей.

Эти задачи актуальны также при проектировании быстровращающихся роторов, гироскопов, имеющих внутри себя полости, заполненные жидкостью.

Не безынтересным является возможное использование в баллистике, где получили свое применение снаряды, торпеды, ракеты с жидким наполнением, для которых, в свою очередь, встают задачи наведения, попадания и стабилизации.

С теоретической точки зрения данные задачи интересны прежде всего тем, что они относятся к сложным задачам механики, и всякий раз требуют для своего решения новые подходы и методы. Исследователи всячески пытаются приблизить соответствующую математическую модель к реальности, порой сталкиваясь с непреодолимыми вычислительными трудностями при решении точных уравнений, прибегая к различным предположениям и упрощениям, рассматривая только конкретные режимы или частные случаи.

В данной работе продемонстрирована методика для задач оптимального управления в применении к вращающимся телам, наполненным жидкостью. Цель и задачи исследования

Первой основной целью данной работы является разработка математической модели для изучения динамики вращающихся твердых тел с жидким наполнением, совершающих возмущенное относительно равномерного вращения движение под действием моментов внешних сил. При этом предполагается полное заполнение полости, без свободной поверхности, идеальной или вязкой несжимаемой жидкостью. Компоненты момента внешних сил, действующих на систему, перпендикулярные оси стационарного вращения, предполагается рассматривать как управляющие воздействия.

На пути к поставленной цели основной задачей исследования на первом этапе было получение зависимости характеристик поведения системы от момента внешних сил. Следующей задачей было выяснение устойчивости невозмущенного, стационарного движения рассматриваемой системы и получение зависимостей и ограничений на параметры системы для обеспечения ее устойчивости.

Второй основной целью исследования была постановка задач управления и применение различных методов и подходов теории оптимального управления для рассматриваемых динамических систем, где в качестве неизвестной функции управления выступал момент внешних сил.

В ходе исследований удалось применить аппарат оптимального управления, основанный на принципе максимума, и теорию динамического программирования Беллмана. Для этого потребовалось осуществить преобразование исходных соотношений и, в частности, получить сведение к эквивалентным системам дифференциальных уравнений. В другом случае удалось использовать найденную зависимость напрямую. ■ Научная новизна

С одной стороны, существует множество работ, посвященных исследованию поведения твердых тел с жидким наполнением, однако, практически отсутствуют результаты и публикации, о постановке задач оптимального управления для таких систем. В данной работе делается попытка заполнить эту нишу. Дается постановка задач оптимального управления с различными функционалами и представлен математический аппарат для их эффективного решения.

Рассматриваются известные в теории управления модели: построения множеств достижимости, управления в условиях неопределенности, распределение ресурсов в иерархической системе и другие, где в качестве

связей фигурируют найденные соотношения, описывающие динамику тел с жидким наполнением. Методы исследования

В ходе исследования применяются следующие математические методы. Рассматривается задача Коши для линеаризованного уравнения Навье-Стокса для возмущенного относительно равномерного вращения движения тела с полостью, содержащей жидкость. Методом Галеркина отделяется временная составляющая решения от пространственных координат. Для случая вязкого заполнения учет вязкости производится методом пограничного слоя, а выражения для обобщенных диссипативпых сил получаем, следуя процедуре Л.Д. Ландау, Для разрешения системы иптегро-дифференциальных уравнений используется прямое и обратное преобразование Лапласа.

В задаче исследования устойчивости применяется критерий А.М. Ляпунова устойчивости линейных систем для характеристического уравнения невозмущенного движения. Методом возмущений получены поправки для случая вязкого заполнения.

При исследовании моделей задач оптимального управления широко используется принцип максимума Л.Д. Понтрягина и используется метод динамического программирования Р. Беллмана. Применены необходимые условия оптимальности А.Б. Куржанского для задач управления в условиях неопределенности. Для иерархических систем большой размерности используются аналитические методы понижения размерности и метод декомпозиции на основе агрегирования переменных. Для построения численных решений задач оптимального управления с интегральными ограничениями используется регуляризованный метод проекции градиента с выбором шага согласно процедуре Армийо. Задача отыскания проекции точки на множество решается с использованием двойственного метода. Для некоторых постановок численно реализован метод Беллмана. В программной

реализации численных экспериментов используется ряд алгоритмов, которые реализованы на языке С++, текст наиболее важных из них вынесен в приложения и является значимой частью диссертации. Вычисления проводились в среде программирования MS Visual Studio, построение графиков многомерных функций в ряде задач осуществлялось с помощью среды Mathcad. Практическая ценность

Полученные в работе теоретические результаты могут послужить отправной точкой дальнейших исследований по данной проблематике, расширив тем самым область применения описанных подходов. Например, можно рассмотреть задачи управления для тел с частичным заполнением полости, когда у жидкости есть свободная поверхность, исследовать упругие стенки полости, рассмотреть производимый вдув или отсос жидкости, изучить задачи с учетом нагрева или охлаждения стенок полости.

Использованные методы теории оптимального управления могут быть применены в различных областях техники для задач, перевода системы в требуемое состояние, для реального управления вращающимися роторами с жидким наполнением. Программно реализованные алгоритмы и разработанный комплекс программ может быть использован как основа дм программного обеспечения таких систем. Апробация

Результаты, представленные в работе, методы и алгоритмы докладывались, обсуждались и получили одобрение специалистов на следующих конференциях и семинарах:

I. XL VI научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (28-29 ноября 2003 г., Москва -Долгопрудный).

2. Российский симпозиум с международным участием «Управление упругими колебаниями». (31 января - 2 февраля 2006 г. Переславль-Залесский).

3. Научные семинары отдела сложных систем ВЦ РАН (2002-2006 г.г.).

4. Научные семинары кафедр «Интеллектуальных систем», «Управления и вычислительных систем» МФТИ (ГУ) (2002-2006 г.г.).

Публикации основных результатов

Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников и трех приложений. Общий объем диссертации 124 страницы, в том числе основное содержание работы изложено на 113 страницах. Список использованных источников включает 89 наименований.

Содержание диссертации

Во введении обосновывается тема диссертации, ее актуальность, сформулированы цели и задачи исследования, изложены полученные результаты и их практическая ценность.

В первое главе представлен обзор существующих работ, который позволяет проследить основную канву развития исследований задач, описывающих поведение вращающихся тел с жидким наполнением. Указаны ключевые результаты и описаны основополагающие подходы и методики.

Рассматривается возмущенное относительно стационарного вращения движение твердого тела с полостью 0, целиком заполненной как идеальной, так и вязкой несжимаемой жидкостью плотности р, в ноле массовых сил с потенциалом и. Уравнения Навье-Стокса, описывающее движение жидкости, записываются во вращающейся системе координат, жестко связанной с твердым

телом Охуг, а уравнение моментов - относительно центра инерции всей системы.

В предположении, что невозмущенное движение тела с жидкостью относительно центра инерции представляет собой равномерное вращение всей системы как твердого тела относительно оси, параллельной Ог с постоянной угловой скоростью, исходные уравнения линеаризуются. Полученная таким образом задача разбивается на две, которые можно решать независимо, это гидродинамическая задача, которая сводится к решению уравнения на собственные числа и зависит только от геометрии полости и не зависит от движения тела. Вторая, динамическая часть задачи, сводится к решению задачи Коши для системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений для случая идеальной жидкости, и к системе интегро-дифференциальных уравнений, для случая вязкой жидкости. При этом поправки, обусловленные вязкостью, учитываются методом пограничного слоя. Далее предполагается, что ось вращения системы в невозмущенном движении является одновременно и осью массовой и геометрической симметрии тела и полости, что упрощает исходные уравнения. В цилиндрической системе координат скалярное уравнение движения вокруг оси Ог отделяется от остальных, а уравнения движения относительно осей Ох и Оу идентичны. Решения полученных систем проводятся для изображений, после преобразования Лапласа над исходными уравнениями. После чего выписывается решение для оригинала с применением функции свертки. Далее исследуется устойчивость невозмущенного движения рассматриваемой динамической системы. Выписаны условия устойчивости для случая идеальной жидкости и методом возмущений получены выражения для случая вязкой жидкости.

Окончательным итогом первой главы является полученная явная зависимость угловой скорости возмущенного движения от момента внешних

сил для случая заполнения идеальной, или вязкой жидкостью. Таким образом, имеем

fi(i) = + (1.1)

о

О = - i£ly, М = Mt —iMy, а значения констант р'1' и р(2\ Хи Y определяются исходя из геометрии твердого тела, конкретного вида полости, вязкости жидкости.

Во второй главе показано, что соотношение (1.1) эквивалентно системе линейных дифференциальных уравнений вида

S(,) = Ax(t) + BM(t), (21)

x(0) = x0;

Показано как (1.1) можно свети к системе шестого порядка для случая идеальной жидкости и к системе десятого порядка для случая вязкой жидкости с разреженными матрицами и универсальное сведение к системе четвертого порядка. После этого ставятся различные задачи оптимального управления, и устанавливается возможность широкого применения методологии принципа максимума для их решения.

С использованием принципа максимума Понтрягина показано, как можно получить аналитические решения задачи безусловной минимизации терминального функционала

J(M) = (П, (Г)-П?)Ч (Q, (Г)-!!")1 + //К (') + К (tj)dt min,

О

или в векторном виде

J(M) - ¡Zx(T-M)-bl, + /]]|м(г)|£. dt min, (2.2)

о

где А/(г) = (А/х (г),Му (г))Г - неизвестная функция управления, у - заданное

действительное положительное число, ^ = - матрица пхп, причем

отличны от нуля только zM =г23 =1, ¿={п,°,я£,0,...,0)Г.- столбец, fi°, при / = 1,2

- заданные действительные числа.

Для задачи оптимального управления вида

т

J(M) = П, (Г) - Y j(Mt (<) + М„ (t))dt max о

О ^ Мх (f ) < 1, V/6[0,r]

получено решение с разрывным оптимальным управлением, со следующими условиями для точек переключения

^cos(7« (Г-/,,, )) + Гсм^Г-^ )) = r, Xsm (Г )) + Ksin (,/2) (Г - Ч )) = г, причем эти условия могут не иметь решений, например, если ^>|ЛТ|+|У|, что будет соответствовать решению М'х = М'у = 0 (плата у «слишком завышена»). Они могут иметь счетное число решений, соответствующее количеству пересечений периодических функций в левых частях с прямой у = у. Для решения задачи оптимального управления

IKMIU^

где Rx, Ry, fi', П° - произвольные наперед заданные действительные числа, M (f) = (Ai, (t),My (<))Г - неизвестная функция управления, предложен

регуляризованный метод проекции градиента. Он позволяет построить сильно сходящуюся к M" (оптимальное управление) последовательность М„ eU -область допустимых значений управления, N = 1,2,.... Для регуляризованной задачи вида

Тн (М) = J{M) + aNI(M) inf, MeU, N = 1,2,..., aN >0, aN -+0, N « рассмотрена следующая итерационная схема

=м„+ 0tpt, к = 0,1.....УЛ/„ е и.

где />teH, ||л| = 1 - вектор направления спуска, удовлетворяющий условию (T'(Mt),pt} < 0 и шаг спуска который выбирается из условия минимума пм„ + ДЛ) = rain Г(Л/,+Ар») .

Процедура нахождения fit реализована с помощью, так называемого, алгоритма Армийо. Вектора направления спуска

Pt 1К-^1Г

где wt выбирается как

w^P^M.-T'^M,)),

Ри - оператор проектирования на множество и. Для нахождения элементов применяется двойственный метод.

На рис.1 на правом графике - пространство управлений М (/), отрезок [Г,/0] равен [0,1], на левом — пространство траекторий, терминальная точка

которых помечена порядковым номером компоненты. Терминальная точка _у = (П°,Г}°,0,0(0,0) отмечена на левом графике и имеет координаты у = (1,1,0,0,0,0). На рис.1 представлено полученное численно решение задачи (2.3). Первая и вторая компоненты траектории сошлись в точке у.

Картина качественно изменилась при увеличении Г. На ней появлялись характерные осцилляции. На рис.2 приведено численное решение задачи для Т = 5.

Далее ставятся и анализируются задачи оптимального управления для вращающихся твердых тел с жидким наполнением в случае, когда начальное положение системы точно не известно, а задано лишь множество возможных состояний. Решена задача о переводе системы в положение минимально близкое к наперед заданной точке. Начальное состояние системы неизвестно заранее, и подчиняется условию

где Xй - заданное выпуклое компактное множество в К" - множество возможных начальных состояний системы. Тогда в каждый момент времени известно множество Х(г,М), ге[0,Г] - ансамбль траекторий, объединяющее все траектории, полученные при одном и том же управлении, при

всевозможных х0. Выбирая всевозможные допустимые М(() можно управлять положением ансамбля. Пусть Я -известная матрица кхп, назовем ее матрицей наблюдения, г(/;А/,х°) = Ас(<;Л/,*°). Пусть д>[г) - выпуклая, всюду конечная функция заданная на К1, а Ф(2) = гаах{^(г)|г б г}.

Мы хотим привести ансамбль траекторий как можно ближе к заданному состоянию в момент времени Т. Задача формулируется следующим образом: среди допустимых управлений А/(г)е*У = {л/:|Л/(/)|21] найти оптимальное А/° (?), удовлетворяющее условию минимума

Ф°(^(Г;М°))=тт{ф(ЛЛГ(Г;Л/))}, (2.4)

где <р(г) - функция расстояния вида <р(2) = \г-у\, где у - терминальная точка, в которую мы стремимся перевести нашу систему.

Согласно условиям оптимальности в условиях неопределенности начальных данных и коэффициентов, оптимальное управление М" (*) задачи (2.4) удовлетворяет условию минимума

(2-5)

на решении 5(г;д0}, q''=Rтl'^ сопряженной системы, порожденном элементом который максимизирует функцию

НО=-}РЫ'; ?)£(') I и)л-Г (/), (2.6)

о

где /(/) = р'(/)-р(5(0;9)|Л"°), (/* - сопряженная функция

/'(у) = ®ир{(*,>')-/(х)|■&}» а р{х\Е) - является опорной функцией к

множеству Е, р[х\Е) = вир{(х,у),усЕ\).

Применительно к рассматриваемой в работе динамической системе матрица наблюдения будет состоять только из двух ненулевых элементов

АI - ^¡,2 = 1 ■ В работе рассматривалось X" следующего вида {х е X" о < я,,= 1,2;а, = О, I = З.л} - параллелепипед, где «12 заданные заранее числа. Задача свелась к максимизации такой функции

Н1)=1 1 а-, [о])+ £(0;4Щ. (2.7)

О <-1,2

Из определения индикаторной функции следует, что максимум (2.7) будет достигаться на множестве ||/| й 1. Предлагаются варианты численно найденных

значений при различных значениях параметров исходной системы

управления, а так же параметров а, и а2, задающих неопределенность в

начальном состоянии системы. После чего получаем найденные значения

оптимального управления

[-1, (X + }>, (/;9°) + А + Г*, (пд") 2 О, М. = . . . ,

[1, (X + Г)5, (г, д°) + Л>3 (г; 9°)+»4 ) < 0;

, К (Х+ГЬ Ы ) + *'') + Ы ) 2 А

А! — \

Здесь значения берутся из решений сопряженной системы для идеальной или вязкой жидкости.

Рассмотрена иерархическая задача распределения ресурсов вида

(2.8)

1 ^ о

сначала для одномерной системы

= ) = 0.....3 (2.9)

со следующим условием на общий ресурс

= (2.10)

где с,, о,, Ьп У - заданные постоянные величины, заданная функция времени, J достаточно велико. После применения принципа максимума Понтрягина получено выражение для оптимального управления

где цг1 - решения сопряженной системы. Далее рассмотрена следующая система где М (г) определяется из (2.11). После введения агрегированных величин

т=±пЖ,в=(±±.Т рлз)

/4 V У к )

систему (2.12) переписываем в виде

(')=«л (0+^, (0-^И')-»Ч'))е. (214)

причем Р(Т) = 0. Подстановка решений (2.14) в (2.13) приводит нас к уравнению на Р(1)

Р(/)= }/>(г) А'+ /,(/),

о

которое представляет собой уравнение Фредгольма второго рода, с разрывным при г = / ядром (в силу определения функции К(1,т)), которое может быть решено численно известными методами. После нахождения Р(<) его достаточно подставить в решения сопряженной системы, что в свою очередь полностью определяет выражения для оптимального управления. Таким образом, решение задачи оптимального управления размерности J с интегральным функционалом сводится к решению уравнения Фредгольма

второго рода с разрывным ядром. Полученный результат обобщен на случай многомерной системы, где подсистемы описываются как вращающиеся тела с жидким наполнением.

В третьей главе найдены множества достижимости для рассматриваемой динамической системы: вращающееся твердое тело с жидким наполнением, приведены примеры построенных множеств достижимости. Для нахождения множества достижимости ставится следующая задача

Т - фиксированный момент времени окончания процесса, с - заданный вектор. Решая задачу для всевозможных векторов с, для каждого значения с, получаем точку £,' (Г) на границе множества достижимости и опорную гиперплоскость в этой точке. Определив точки г' (Г) и опорные гиперплоскости, можно получить как внешнюю, так и внутреннюю аппроксимацию множества достижимости. При ограничениях на управление вида

где а,, Ь, - заданные числа, и начальным условием 2(/„) = 0, получено значение оптимального управления для задачи (3.1)

J = (c,z(T))->max, Г>/„ |с|=1,

(3.1)

о, 2 А/, (/)<;£>,, » = 1,2

А/;(/) =

а<- 5>Ау(г>')<0;

и соответствующие ему оптимальные траектории

т

а >1.2

Для ограничений в виде круга |л?| 5 г выражение для оптимального управления примет вид

H'jKJÄT. О

мл

Следующая задача оптимального управления решается методом Беллмана J (М) = (t0) + JjC(r) JÖ (т) drj + yjF (Ai (i)) dt -> min, (3.2)

где ^(М(О)-ЦМ(ОЦ^ = iJ = hl> и в

рассматриваемых ранее примерах функционалов t0 = 0, х (г0) = 0. В дальнейшем вид функций Fi/lg для описания метода не имеет значения и может быть более общий. Функция Беллмана имеет вид

+ \K{T)M{r)dr^ + r\F{M{r))dT

Для нее справедливо следующее рекуррентное соотношение Граничное условие при = Т

/(х,Г)-*(2,Г).

Для решения исходной задачи (3.2) требуется отыскать /(0,0) - значение функции Беллмана в начальный момент времени с начальным условием х(/в) = х(0) = 0.

Процедура численного решения (3.2) реализована так. В каждой точке сетки по фазовой переменной для каждого г, рассчитаем функцию Беллмана, начиная счет с граничного условия f(x,T) = g(x,T). Помимо значения функции Беллмана будем хранить еще и значения «оптимального» управления в каждой точке. При расчете компонент оптимального управления для ; шага осуществляем контроль принадлежности полученной точки 5 + для

г +1 шага множеству достижимости, и полученное значение рассчитанной точки интерполируется ближайшим значением сетки.

В результате полного расчета имеем набор таблиц значений оптимального управления для каждой точки фазового пространства и значения функции Беллмана для каждого Используя начальное условию х(/0) = х(0) = О, обратным пересчетом по набору таблиц восстановим оптимальную траекторию в каждый момент времени, после чего получим оптимальное значение функционала исходной задачи. Значения функции Беллмана достаточно сохранять только для предыдущего шага по времени. Решения получаются в виде импульсной кривой с постоянными значениями на отрезке от I до г + Д.

Приведем ниже найденные так решения некоторых задач оптимального управления. На рис.3 и рис.4 приведено решение задачи для вязкой жидкости для случая, когда коэффициент у мал, что соответствует малой «плате» за управление в исходном функционале. Ограничения на управление Л, = 1, терминальная точка С2° = = 1.

Рис.3 Рис.4

На рис.5 и рис.6 изображено решение задачи оптимального управления системой с вязкой жидкостью. Коэффициент у порядка 10. Ограничения на управление Л, = 1, терминальная точка = 1, £2° = -1.

Рис.5 Рис.6

На рис.7 и рис.8 изображено решение задачи когда коэффициент у достаточно мал, изменены параметры полости, увеличена вязкость в 2 раза. Ограничения на управление Я, = 1, терминальная точка 12° =1, = -1.

1,5 • 1 -0.5 ■ 0

-0.es -1

Управления

» с/')««*- »'Ч-УТ*

•С-'-Л- 'Л 4

ша^шшшшаш

-Ряд1 -РЯд2

.1. В —ВШИ

I

Рис.7 Рис.8

И, наконец, аналогичная задача для идеальной жидкости рис.9, рис.10.

Рис.9

Рис.10

В заключении формулируются основные результаты работы.

В три приложении вынесены соответственно программно реализованные

следующие алгоритмы: регуляризованный метод проекции градиента,

построения множества достижимости, метод Беллмана.

Основные результаты работы

1. Предложена математическая модель для вращающегося твердого тела с жидким наполнением и найдена аналитическая зависимость угловой скорости возмущенного относительно стационарного вращения движения твердого тела с осесимметричной полостью, полностью заполненной идеальной или вязкой несжимаемой жидкостью, от внешнего момента.

2. Найдены эквивалентные системы дифференциальных уравнений для случаев идеальной и вязкой жидкости, которые позволяют применить аппарат Гамильтона-Понтрягина для постановки, анализа, аналитического и численного решения широкого класса задач оптимального управления твердыми телами с жидким наполнением.

3. Рассматриваются различные модели задач оптимального управления: с переключениями управлений, в условиях неопределенности, иерархические задачи распределения ресурсов, задача с интегральными ограничениями на управление и демонстрируются аналитические и численные методы их решений.

4. Для задач с терминальными функционалами применен метод Беллмана, который использует полученную зависимость угловой скорости возмущенного движения от внешнего момента напрямую, не прибегая к сведению к системам дифференциальных уравнений. Таким же образом получены аналитические выражения для внешней аппроксимации множества достижимости системы, а также приведены примеры построения множеств достижимости.

5. Набор предложенных в диссертации алгоритмов представлен в виде комплекса программ для численного решения рассматриваемых задач.

Публикации по теме диссертации

1. Есенков A.C., Ишмухаметов А.З., Карюкина Ю.Г. Двойственный регуляризованный метод в выпуклых конечномерных задачах оптимизации. // Вопросы моделирования и анализа в задачах принятия решений. - М.: ВЦ РАН, 2004.-С. 109-122.

2. Есенков A.C., Ишмухаметов А.З. Регуляризованный метод проекции градиента с конечношаговыми внутренними алгоритмами для задач оптимального управления // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VII. Прикладная математика и экономика: Труды XLVI научной конференции. /Моск. физ. - техн. шг-т. - М. - Долгопрудный, 2003.-с. 88.

3. Башлыков A.M., Гридина Е.Д., Есенков A.C. Понижение размерности в иерархической задаче распределения ресурсов. // Динамика неоднородных систем. Выпуск 9(3). Труды ИСА РАН. /- М.: КомКнига, 2005.

4. Гурченков A.A., Есенков A.C., Цурков В.И. Управление движением ротора с полостью, содержащей идеальную жидкость ч.1. // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2006. №1,-С. 141-148.

5. Гурченков A.A., Есенков A.C., Цурков В.И. Управление движением ротора с полостью, содержащей идеальную жидкость ч.2. // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2006. №3, - С. 82-89.

В работах в соавторстве Есенковым A.C. численно реализованы регуляризованные оптимизационные методы для широкого класса задач, решена задача понижения размерности для иерархической задачи распределения ресурсов с интегральным функционалом, для вращающихся тел с полостью, полностью наполненной идеальной жидкостью, получена

зависимость угловой скорости возмущенного движения от момента внешних сил, предложено сведение к системе дифференциальных уравнений, решен ряд задач оптимального управления аналитически и численно.

Отпечатано в ООО «Компания Спутник+» ПД № 1-00007 от 25.09.2000 г. Подписано в печать 26.10.06 Тираж 80 экз. Усл. п.л. 1,44 Печать авторефератов (495) 730-47-74,778-45-60

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ПОЛОСТЬЮ, ПОЛНОСТЬЮ ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ.

1.1 Обзор методов и подходов в изучении динамических систем с жидким наполнением.

1.2 Исходные уравнения движения твердого тела с полостью, полностью заполненной идеальной несжимаемой жидкостью.

1.3 Задача о вращающемся теле с полостью, полностью заполненной вязкой несжимаемой жидкостью.

1.4 ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СВОБОДНОГО ВРАЩЕНИЯ ТЕЛА С ЖИДКИМ НАПОЛНЕНИЕМ. СЛУЧАИ ИДЕАЛЬНОЙ И ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ.

1.4.1 Необходимое условие устойчивости для идеальной жидкости.

1.4.2 Асимптотическая устойчивость для вязкой жидкости.

1.5 Зависимость угловой скорости возмущенного движения от момента внешних сил.

1.5.1 Вывод уравнения для случая идеальной жидкости.

1.5.2 Учет поправок, связанных с вязкостью.

ГЛАВА 2. МОДЕЛИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФОРМАЛИЗМА ГАМИЛЬТОНА-ПОНТРЯГИНА.

2.1 Сведение к системе уравнений.

2.1.1 Сведение в системе шестого порядка для случая идеальной жидкости

2.1.2 Сведение к системе десятого порядка для случая вязкой жидкости.

2.1.3 Универсальное сведение к системе четвертого порядка.

2.2 Задача безусловной минимизации с терминальным функционалом.

2.2.1 Аналитическое решение задачи для системы шестого порядка.

2.2.2 Аналитическое решение задачи для системы десятого порядка.

2.3 Задачи с ограничениями на управление.

2.3.1 Пример задачи с разрывным управлением.

2 3.2 Задача с интегральными ограничениями типа неравенств.

2.4 Регуляризованный метод проекции градиента для задачи с интегральными ограничениями типа неравенств.

2.4.1 Описание численного метода и условия окончания итераций.

2.4.2 Численные тесты для случая идеальной жидкости.

2.4.3 Расчеты для случая вязкой жидкости.

2.5 Управление в условиях неопределенности.

2.5.1 Задача о переводе системы в заданное состояние, когда начальное положение точно не определено.

2 5.2 Результаты вычислений.

2.6 Иерархические задачи распределения ресурсов.

2 6.1 Одномерные по управлению и фазовым переменным системы.

2.6.2 Многомерный случай.

ГЛАВА 3. МОДЕЛИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ БЕЛЛМАНА.

3.1 Исследование множества достижимости.

3.1.1 Постановка задачи для случая линейных систем.

3.1.2 Построение выпуклой оболочки множества достижимости.

3.2 Использование рекуррентных соотношений Беллмана в задаче с ограничениями на управление.

3.2.1 Постановка задачи оптимального управления с терминальным функционалом.

3.2.2 Результаты численных тестов.

Общая характеристика работы

Возможность управления вращающимися твердыми телами с жидким наполнением еще в недавнем прошлом была практически не реализуема. С развитием современной вычислительной техники, у исследователей появились возможности моделирования такого рода систем, разработки эффективных численных методов решения задач.

Одними из важных задач в этой связи являются построение математической модели, выбор вида и характера управляющего воздействия, изучение поведения системы, получение зависимостей и выражений для параметров системы от управляющего воздействия.

В данной работе найдена аналитическая зависимость угловой скорости возмущенного движения от момента внешних сил для вращающегося твердого тела с полостью, целиком заполненной как идеальной, так и вязкой жидкостью. Внешний момент рассматривается как управляющее воздействие. Таким образом, появляется возможность анализа различных постановок задач оптимального управления. Для таких задач применяется аппарат оптимального управления и удается либо получить аналитические решения, либо предложить эффективный численный метод и продемонстрировать результаты соответствующими вычислениями.

Актуальность темы

Задачи стабилизации и управления движением ротора с полостью, содержащей жидкость, являются привлекательными как с теоретической точки зрения, так и в силу многочисленных технических приложений. Они возникают и в теории движения самолетов, и кораблей, и спутников, где запас жидкого топлива, имеющийся на борту, оказывает существенное влияние на движение этих аппаратов.

Рассматриваемые вопросы находят свое применение при изучении динамики космических аппаратов с запасами топлива. Они равномерно закручиваются на орбите вокруг некоторой оси для стабилизации, равномерного нагрева солнечными лучами, создания искусственной силы тяжести и других целей.

Эти задачи актуальны также при проектировании быстровращающихся роторов, гироскопов, имеющих внутри себя полости, заполненные жидкостью.

Не безынтересным является возможное использование в баллистике, где применяются снаряды, торпеды, ракеты с жидким наполнением, для которых актуальны задачи наведения, попадания и стабилизации.

С теоретической точки зрения данные задачи интересны прежде всего тем, что они относятся к сложным задачам механики, и всякий раз требуют для своего решения новые подходы и методы. Исследователи всячески пытаются приблизить соответствующую математическую модель к реальности, порой сталкиваясь с непреодолимыми вычислительными трудностями при решении точных уравнений, прибегая к различным предположениям и упрощениям, рассматривая только конкретные режимы или частные случаи.

В данной работе продемонстрирована методика для задач оптимального управления в применении к вращающимся телам, наполненным жидкостью.

Цель и задачи исследования

Первой основной целью данной работы является построение математической модели для изучения динамики вращающихся твердых тел с жидким наполнением, совершающих возмущенное относительно равномерного вращения движение под действием моментов внешних сил. При этом предполагается полное заполнение полости, без свободной поверхности, идеальной или вязкой несжимаемой жидкостью. Компоненты момента внешних сил, действующих на систему, перпендикулярные оси стационарного вращения, предполагается рассматривать как управляющие воздействия.

На пути к поставленной цели основной задачей исследования на первом этапе было получение зависимости характеристик поведения системы от момента внешних сил. Следующей задачей было выяснение устойчивости невозмущенного, стационарного движения рассматриваемой системы и получение зависимостей и ограничений на параметры системы для обеспечения ее устойчивости.

Второй основной целью исследования была постановка задач управления и применение различных методов и подходов теории оптимального управления для рассматриваемых динамических систем, где в качестве неизвестной функции управления выступает момент внешних сил.

В ходе исследований удалось применить аппарат оптимального управления, основанный на принципе максимума, и теорию динамического программирования Беллмана. Для этого потребовалось осуществить преобразование исходных соотношений и, в частности, получить сведение к эквивалентным системам дифференциальных уравнений. В другом случае удалось использовать найденную зависимость напрямую.

Научная новизна

С одной стороны, существует множество работ, посвященных исследованию поведения твердых тел с жидким наполнением, однако, практически отсутствуют результаты и публикации, о постановке задач оптимального управления для таких систем. В данной работе делается попытка заполнить эту нишу. Дается постановка задач оптимального управления с различными функционалами и представлен математический аппарат для их эффективного решения.

Рассматриваются известные в теории управления модели: построения множеств достижимости, управления в условиях неопределенности, распределение ресурсов в иерархической системе и другие, где в качестве связей фигурируют найденные соотношения, описывающие динамику тел с жидким наполнением.

Методы исследования

В ходе исследования применяются следующие математические методы. Рассматривается задача Коши для линеаризованного уравнения Навье-Стокса для возмущенного относительно равномерного вращения движения тела с полостью, содержащей жидкость. Методом Галеркина отделяется временная составляющая решения от пространственных координат. Для случая вязкого заполнения учет вязкости производится методом пограничного слоя, а выражения для обобщенных диссипативных сил получаем, следуя процедуре Л.Д. Ландау. Для разрешения системы интегро-дифференциальных уравнений используется прямое и обратное преобразование Лапласа.

В задаче исследования устойчивости применяется критерий A.M. Ляпунова устойчивости линейных систем для характеристического уравнения невозмущенного движения. Методом возмущений получены поправки для случая вязкого заполнения.

При исследовании моделей задач оптимального управления широко используется принцип максимума Л.Д. Понтрягина и используется метод динамического программирования Р. Беллмана. Применены необходимые условия оптимальности А.Б. Куржанского для задач управления в условиях неопределенности. Для иерархических систем большой размерности используются аналитические методы понижения размерности и метод декомпозиции на основе агрегирования переменных. Для построения численных решений задач оптимального управления с интегральными ограничениями используется регуляризованный метод проекции градиента с выбором шага согласно процедуре Армийо. Задача отыскания проекции точки на множество решается с использованием двойственного метода. Для некоторых постановок численно реализован метод Беллмана. В программной реализации численных экспериментов используется ряд алгоритмов, которые реализованы на языке С++, текст наиболее важных из них вынесен в приложения и является значимой частью диссертации. Вычисления проводились в среде программирования MS Visual Studio, построение графиков многомерных функций в ряде задач осуществлялось с помощью среды Mathcad.

Практическая ценность

Полученные в работе теоретические результаты могут послужить отправной точкой дальнейших исследований по данной проблематике, расширив тем самым область применения описанных подходов. Например, можно рассмотреть задачи управления для тел с частичным заполнением полости, когда у жидкости есть свободная поверхность, исследовать упругие стенки полости, рассмотреть производимый вдув или отсос жидкости, изучить задачи с учетом нагрева или охлаждения стенок полости.

Использованные методы теории оптимального управления могут быть применены в различных областях техники для задач, перевода системы в требуемое состояние, для реального управления вращающимися роторами с жидким наполнением. Программно реализованные алгоритмы и разработанный комплекс программ может быть использован как основа для программного обеспечения таких систем.

Апробация

Результаты, представленные в работе, методы и алгоритмы докладывались, обсуждались и получили одобрение специалистов на следующих конференциях и семинарах:

1. XL VI научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (28-29 ноября 2003 г., Москва -Долгопрудный).

2. Российский симпозиум с международным участием «Управление упругими колебаниями». (31 января - 2 февраля 2006 г. Переславль-Залесский).

3. Научные семинары отдела сложных систем ВЦ РАН (2002-2006 г.г.).

4. Научные семинары кафедр «Интеллектуальных систем», «Управления и вычислительных систем» МФТИ (ГУ) (2002-2006 г.г.).

Публикации основных результатов

Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах [10,20,21,25,26].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников и трех приложений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты:

1. Предложена математическая модель для вращающегося твердого тела с жидким наполнением и найдена аналитическая зависимость угловой скорости возмущенного относительно стационарного вращения движения твердого тела с осесимметричной полостью, полностью заполненной идеальной или вязкой несжимаемой жидкостью, от внешнего момента.

2. Найдены эквивалентные системы дифференциальных уравнений для случаев идеальной и вязкой жидкости, которые позволяют применить аппарат Гамильтона-Понтрягина для постановки, анализа, аналитического и численного решения широкого класса задач оптимального управления твердыми телами с жидким наполнением.

3. Рассматриваются различные модели задач оптимального управления: с переключениями управлений, в условиях неопределенности, иерархические задачи распределения ресурсов, задача с интегральными ограничениями на управление и демонстрируются аналитические и численные методы их решений.

4. Для задач с терминальными функционалами был применен метод Беллмана, который использует полученную зависимость угловой скорости возмущенного движения от внешнего момента напрямую, не прибегая к сведению к системам дифференциальных уравнений. Таким же образом получены аналитические выражения для внешней аппроксимации множества достижимости системы, а также приведены примеры построения множеств достижимости.

5. Набор предложенных в диссертации алгоритмов представлен в виде комплекса программ для численного решения рассматриваемых задач.

Следующим теоретическим шагом могло бы быть усложнение самой модели. Это - рассмотрение жидкости со свободной поверхностью, равномерный нагрев жидкости, случай переменной плотности, изменение ее объема в полости и т.д. С практической точки зрения интересно было бы рассмотреть реальные динамические системы с жидким наполнением, для которых использовать разработанные подходы управления.

1. Beltrami Dell'idrodonamica razionale, Memorie dell'Accademia delle scienze dell'Istituto di Bologna, серия III, T.l, 2,1871.

2. Greenhill A.G. On the general motion of a liquid ellipsoid. // Proc. Camb. Phil. Soc. 1895 -V. 186, №1.

3. Hough S.S. The oscillations of a rotating ellipsoidal shell containing fluid. Philosophical Transactions of the Royal Soc. of London. A., 1895, V. 186, part 1. -P. 469-506.

4. Kelvin, Lord. Mathematical and Physical Papers // Cambridge. 1882 - V. IV.

5. Neumann C. Gydrodynamishe Untersuchungen. Leipzig, 1883.

6. Poincare H. Sur la precession des corps deformables. Bulletin astronomique, 1910, T.27.-P. 321 -356.

7. Stewartson K. On the stability of a spinning top containing liquid. // Journal of fluid mechanics, 1959 V. 5, part 4. - P. 577-592.

8. Stokes G. Mathematical and Physical Papers // Cambridge 1880 - V. I.

9. Александрян P.A. Спектральные свойства операторов, порожденных системами дифференциальных уравнений типа С.Л.Соболева: Труды Московского математического общества. 1960 - т. 9. - С. 455-505

10. Башлыков A.M., Гридина Е.Д., Есенков А.С. Понижение размерности в иерархической задаче распределения ресурсов. //Динамика неоднородных систем. Выпуск 9(3). Труды ИСА РАН. /- М.: КомКнига, 2005.

11. Беллман Р. Динамическое программирование. М.:ИЛ, 1960.

12. Беллман Р. Процессы регулирования с адаптацией. М.: Наука. 1964.

13. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О. Некоторые вопросы математической теории управления. М.: ИЛ, 1962.

14. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965. - 460 с.105

15. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. - 824 с.

16. Гельмгольц Г. Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз, 1959.

17. Гурченков А.А. Вихревые движения жидкости в полости вращающегося тела. М.: Народный учитель, 2001. - 176с.

18. Гурченков А.А. Момент сил внутреннего трения быстровращающегося цилиндрического сосуда, заполненного вязкой жидкостью // Изв. ВУЗов. Приборостроение. 2001. - Т.44, №2 - С. 44-49.

19. Гурченков А.А. Устойчивость жидконаполненного гироскопа. //ИФЖ. -2002. Т.75, №3.

20. Гурченков А.А., Есенков А.С., Цурков В.И. Управление движением ротора с полостью, содержащей идеальную жидкость ч. 1. // Известия РАН. Теория и системы управления. -2006.№1,С. 141-148.

21. Гурченков А.А., Есенков А.С., Цурков В.И. Управление движением рогора с полостью, содержащей идеальную жидкость ч.2. // Известия РАН. Теория и системы управления. 2006. №3, С. 82-89.

22. Гурченков А.А., Кулагин Н.Е. Аналитические исследования газокинетических и гидродинамических задач. М.: МГОУ, - 2003.

23. Гурченков А.А., Латышев А.В. Уравнения вращательного движения твердого тела с полостью, содержащей вязкую жидкость и коэффициенты инерционных связей // Физическая кинетика и гидромеханика дисперсных систем: Сб. ст./Деп. ВИНИТИ. М - 1986. №5321-В86.

24. Докучаев Л.В., Рвалов Р.В. Об устойчивости стационарного вращения твердого тела с полостью, содержащей жидкость. //Механика твердого тела. -1973 №2. -С 6-15.

25. XLVI научной конференции. /Моск. физ. техн. ин-т. - М. - Долгопрудный, 2003.-с. 88.

26. Есенков А.С., Ишмухаметов А.З., Карюкина Ю.Г. Двойственный регуляризованный метод в выпуклых конечномерных задачах оптимизации. //Вопросы моделирования и анализа в задачах принятия решений. М.: ВЦ РАН, 2004, С. 109-122.

27. Жак С. В. Об устойчивости некоторых частных случаев движения симметричного гироскопа, содержащего жидкие массы. // ПММ 1958. - Т. 22.- С. 245-249.

28. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородною капельною жидкостью. Избранные сочинения, Т.1. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. - С. 31-152.

29. Иванов М.И. Собственные гармонические колебания гравитирующей жидкости в бассейнах сложной формы. //Механика жидкости и газа. 2006. -№1. С. 131-148.

30. Ишлинский А.Ю., Темченко М.Е. О малых колебаниях вертикальной оси волчка, имеющего полость, целиком наполненную идеальной несжимаемой жидкостью. //ПМТФ. 1960. - №3. - С. 65-75.

31. Ишмухаметов А.З. Двойственный метод решения одного класса выпуклых задач минимизации. // ЖВМ и МФ 2000. - Т.40, №7. - С. 1045-1060.

32. Ишмухаметов А.З. Регуляризованные приближенные методы проекции и условного градиента с конечношаговыми внутренними алгоритмами. // Докл. РАН, 2003 - Т.390, №3.

33. Калиткин Н.Н Численные методы. Учебное пособие. М.: Наука, 1978. -512с.

34. Колесников Н.Н. Об устойчивости свободного твердого тела с полостью, заполненной несжимаемой вязкой жидкостью. // ПММ 1962. - Т. 26, вып. 4. -С. 606-612.

35. Краснощекое П. С. Малые колебания твердого тела, имеющего полости, заполненные вязкой жидкостью // Численные методы решения задач математической физики: Сб. ст. / Наука. М., 1966. - С. 258-266.

36. Краснощекое П.С. О колебаниях физического маятника, имеющего полости, заполненные вязкой жидкостью. // ПММ 1963. - Т. 27, вып. 2. - С. 193-202.

37. Крейн С.Г. Дифференциальные уравнения в Банаховом пространстве и их приложения в гидромеханике //УМН 1957. - Т. 12, вып. 1 - С. 208-211.

38. Крейн С.Г., Моисеев Н.Н. О колебаниях твердого тела, содержащего жидкость со свободной поверхностью. // ПММ 1957. - Т. 21, вып. 2. - С. 169-174.

39. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. -М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. 392с.

40. Ламб Г. Гидродинамика. M.-JL: Гостехиздат, 1947. - 928с.

41. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: Гостехиздат, 1953.

42. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.:Гостехиздат, 1950.

43. Малашенко С.В., Темченко М.Е. Об одном методе экспериментального исследования устойчивости движения волчка, внутри которого имеется полость, наполненная жидкостью. //ПМТФ. 1960. - №3. - С. 76-80.

44. Микишев Т.Н., Дорожкин Н.Я. Экспериментальное исследование свободных колебаний жидкости в сосудах. // Изв. АН СССР. / Механ. и машиностр. -1961,№ 4. С. 48-53.

45. Микишев Г.Н., Невская Е.А., Мельникова И.М., Дорожкин Н.Я. Об экспериментальном исследовании возмущенного движения твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. // Космические исследования, 1965. Т. 3, вып. 2. - С. 208-220.

46. Моисеев Н.Н. Движение твердого тела, имеющего полость, частично залолненную идеальной капельной жидкостью. // ДАН СССР 1952. - Т. 85, вып.4.-С. 719-722.

47. Моисеев Н.Н. Задача о движении твердого тела, содержащего жидкие массы, имеющие свободную поверхность. // Математический сборник 1953. -Т. 32, вып. 1.-С. 61-96.

48. Моисеев Н.Н. Задача о малых колебаниях открытого сосуда с жидкостью под действием упругой силы. // Укр. матем. жур. 1952 - Т. 4, 2, №8. - С. 168-173.

49. Моисеев Н.Н. О колебаниях тяжелой идеальной и несжимаемой жидкости в сосуде. //ДАН СССР 1952. - Т. 85, вып. 5. - С. 963-965.

50. Моисеев Н.Н. О краевых задачах для линеаризованных уравнений Навье-Стокса в случае, когда вязкость мала. //ЖВМ и МФ 1961. - Т. I, № 3. - С. 548-550.

51. Моисеев Н.Н. О математических методах исследования нелинейных колебаний жидкости. // Труды Международного симпозиума по нелинейным колебаниям. / Изд-во АН УССР Киев. - Т. 3, 1963. - С. 275-284.

52. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965.

53. Моисеев Н.Н., Черноусько Ф.Л. Задачи колебаний жидкости, подверженной силам поверхностного натяжения. //ЖВМ и МФ 1965. - Т.5, № 6. - С. 10711095.

54. Нариманов Г.С. О движении сосуда, частично заполненного жидкостью. Учет немалости движения последней. // ПММ 1957. - Т. 21, вып. 4. - С. 513524.

55. Нариманов Г.С. О движении твердого тела, полость которого частично заполнена жидкостью. // ПММ 1956. - Т. 20, вып. 1. - С. 21-38.

56. Охоцимский Д.Е. К теории движения тела с полостями, частично заполненными жидкостью. // ПММ 1956. - Т. 20, вып. 1. - С. 3-20.

57. Петров А.А. Колебания жидкости в кольцевом цилиндрическом сосуде с горизонтальной образующей. //ЖВМ и МФ 1961.- Т.1, №4. - С. 741-746.

58. Петров А.А. Колебания жидкости в цилиндрических сосудах с горизонтальной образующей. //Вариационные методы в задачах о колебаниях жидкости и тел с жидкостью: Сб. ст./ВЦ АН СССР М., 1962. -С.179-202.

59. Петров А.А. Моисеев Н.Н. Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости. М.:ВЦ АН СССР. 1966.

60. Петров А.А. Приближенное решение задач о колебаниях жидкости в цилиндрическом сосуде с горизонтальной образующей. //Вариационные методы в задачах о колебаниях жидкости и тел с жидкостью: Сб.ст. /ВЦ АН СССР-М., 1962.-С. 213-220.

61. Петров А.А. Приближенный метод расчета собственных колебаний жидкости в сосудах произвольной формы и потенциалов Жуковского для этих сосудов. //ЖВМ и МФМ 1963 - Т.З. №5.- С. 958-964.

62. Петров А.А. Уравнение движения самолета, несущего баки с жидкостью. //Вариационные методы в задачах о колебаниях жидкости и тел с жидкостью: Сб.ст. /ВЦ АН СССР М., 1962. - С. 221-236.

63. Петров А.А., Попов Ю.П., Пухначев Ю.В. Вычисление собственных колебаний жидкости в неподвижных сосудах вариационным методом. //ЖВМ и МФМ 1964.- Т.4. №5. - С.880-895.

64. Пожарицкий Г. К., Румянцев В.В. Задача минимума в вопросе об устойчивости движения твердого тела с полостью, заполненной жидкостью. // ПММ 1963. - Т.27, вып. 1. - С. 16-26.

65. Пожарицкий Р.К. О влиянии вязкости на устойчивость равновесия и стационарных вращений твердого тела с полостью, частично заполненной вязкой жидкостью. // ПММ 1964. - Т. 28, вып. 1. - С. 60-68.

66. Рабинович Б. И. Об уравнениях возмущенного движения твердого тела с цилиндрической полостью, частично заполненной жидкостью. // ПММ -1956.-Т. 20, вып. 1,-С. 39-50.

67. Рвалов Р.В., Роговой В.М. О вращательных движениях тела с полостью, содержащей жидкость. // Механика твердого тела. 1972. - №3. - С 15-20.

68. Румянцев Б.Н. О движении твердого тела, содержащего полости, заполненные вязкой жидкостью. // ПММ 1964. - Т. 28, вып. 6. - С. 11271132.

69. Румянцев В.В. К теории движения твердых тел с полостями, наполненными жидкостью. // ПММ 1966. - Т. 30, вып. 1. - С. 51-66.

70. Румянцев В.В. Методы Ляпунова в исследовании устойчивости движения твердых тел с полостями, наполненными жидкостью. // Изв. АН СССР Механ. и машиностр. 1963,№ 6. - С. 119-140.

71. Румянцев В.В. Об устойчивости вращательных движений твердого тела с жидким наполнением. // ПММ 1959. - Т. 23, вып. 6. - С. 1057-1065.

72. Румянцев В.В. Об устойчивости вращения волчка с полостью, заполненной вязкой жидкостью. // ПММ -1960. Т. 24, вып. 4. - С. 603-609.

73. Румянцев В.В. Об устойчивости движения твердого тела с жидкостью, обладающей поверхностным натяжением. // ПММ 1964. - Т. 28, вып. 4. - С. 746-753.

74. Румянцев В.В. Об устойчивости установившихся движений твердых тел с полостями, наполненными жидкостью. // ПММ 1962. - Т. 26, вып. 6. - С. 877-991.

75. Румянцев В.В. Устойчивость вращения твердого тела с эллипсоидальной полостью, наполненной жидкостью // ПММ 1957. - Т. 21, вып. 6. - С. 740748.

76. Соболев C.JI. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью. // ПМТФ. 1960. - №3. - С. 20-55.

77. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.:Наука, 1986.

78. Цурков В.И. Динамические задачи большой размерности. М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1988.- 288с.

79. Черноусько Ф.Л. Вращательные движения твердого тела с полостью, заполненной жидкостью. // ПММ 1967.- Т. 31, вып. 3. - С. 416-432.

80. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, заполненными вязкой жидкостью, при малых числах Рейнольдса. // ЖВМ и МФ 1965. - Т. 5, №6.-С. 1049-1070.

81. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. М.: ВЦ АН СССР, 1968.

82. Черноусько Ф.Л. Движение тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью, при больших числах Рейнольдса. // ПММ 1966. - Т. 30, вып. 3. -С. 476-494.

83. Черноусько Ф.Л. Движение тонкого слоя жидкости под действием сил тяжести и поверхностного натяжения. // ПММ 1965. - Т. 29, вып. 5. - С. 856-862.

84. Черноусько Ф.Л. Колебания сосуда с вязкой жидкостью. // Механ. жидкости и газа / Изв. АН СССР 1967. - №1. - С.58-66.

85. Черноусько Ф.Л. Колебания твердого тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью. // Механика твердого тела. 1967. -№ 1. - С.3-14.

86. Черноусько Ф.Л. О движении тела с полостью, частично заполненной вязкой жидкостью. // ПММ 1966. - Т. 30, вып. 6. - С. 476-494.

87. Черноусько Ф.Л. О свободных колебаниях вязкой жидкости в сосуде. // ПММ 1966. - Т. 30, вып. 5. - С.836-847.

88. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1998. - 320с.

89. Четаев Н.Г. Об устойчивости вращательных движений твердого тела, полость которого наполнена идеальной жидкостью. //ПММ 1957. - Т. 21, вып. 3. - С. 157-168.