автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Задача управления устойчивостью гироскопических систем стабилизации

На правах рукописи

Корнеев Вячеслав Владимирович

ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТЬЮ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ

Специальность 05.13 01 - Системный анализ, управление, обработка

информации

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

I

ООЗ176343

Москва - 2007

003176343

Работа выполнена в Вычислительном центре им А А Дородницына Российской академии наук

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Гурченков Анатолий Андреевич

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Дикусар Василий Васильевич

кандидат физико-математических наук, доцент Костиков Юрий Александрович

Ведущая организация

Институт системного анализа РАН

Защита состоится «_» _2007 г в _час _мин на

заседании диссертационного совета Д 002 017 03 при вычислительном центре им А А Дородницына РАН по адресу 119991, г Москва, ул Вавилова, д 40

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ им А А Дородницына РАН

Автореферат разослан_2007 г

Учёный секретарь диссертационного совета ^^

Кандидат физико-математических наук I ( Мухин А В

У

Общая характеристика работы

Задачи управления вращающимися твердыми телами с полостями, содержащими жидкость, относятся к слабо изученным проблемам При решении задач управления различного рода техническими объектами одним из важных является вопрос об устойчивости управляемого движения Стабилизация заданного режима работы управляемого объекта осуществляется путем удержания движений рассматриваемого объекта в некоторой достаточно малой окрестности заданного режима, а также при асимптотическом приближении этих движений к заданному режиму

Одной из важных задач в этой связи является разработка математической модели, выбор вида и характера управляющего воздействия, получение зависимостей для параметров системы от управляющего воздействия

В представленной работе рассматривается объект регулирования, который представляет собой твердое тело с полостями частично или полностью заполненными жидкостью, что представляет интерес как с практической, так и с теоретической точки зрения применительно к таким задачам, как изучение динамики шара, заполненного жидкостью, при угловой стабилизации жидкостных ракет

В работе найдена аналитическая зависимость угловой скорости возмущенного движения от момента внешних сил для вращающегося твердого тела с полостью, целиком заполненной как идеальной, так и вязкой жидкостью Внешний момент рассматривается как управляющее воздействие Таким образом, появляется возможность анализа различных постановок задач оптимального управления Для таких задач применяется аппарат оптимального управления и удается либо получить аналитические решения, либо предложить эффективный численный метод и продемонстрировать результаты соответствующими вычислениями

Актуальность темы

Задачи стабилизации и управления движением ротора с полостью, содержащей жидкость, являются важными как с теоретической точки зрения, так и в силу многочисленных технических приложений Они возникают и при изучении движения самолетов, кораблей, и спутников, где запас жидкого топлива, имеющийся на борту, оказывает существенное влияние на движение этих аппаратов

Рассматриваемые вопросы находят свое применение при изучении динамики космических аппаратов с запасами топлива Они равномерно закручиваются на орбите вокруг некоторой оси для стабилизации, равномерного нагрева солнечными лучами, создания искусственной силы тяжести и других целей

Эти задачи актуальны также при проектировании быстровращающихся роторов, гироскопов, имеющих внутри себя полости, заполненные жидкостью

С теоретической точки зрения данные задачи важны прежде всего тем, что они относятся к сложным задачам механики, и всякий раз требуют для своего решения новые подходы и методы

В данной работе предложена методика для решения задач оптимального управления в применении к вращающимся телам, наполненным жидкостью Цель и задачи исследования

Основной целью работы является разработка методов управления устойчивостью движения вращающихся твердых тел с жидким наполнением, совершающих возмущенное относительно равномерного вращения движение под действием моментов внешних сил Рассматривается случай полного заполнения полости идеальной и вязкой жидкостью Компоненты момента внешних сил, действующих на систему, перпендикулярные оси

стационарного вращения, предполагается рассматривать как управляющие воздействия

Одной из первых задач исследований было получение зависимости характеристик системы от момента внешних сил Другой задачей было выяснение устойчивости объекта, получение ограничений на параметры системы для обеспечения ее устойчивости

Важным направлением исследования была постановка задачи управления регулируемого объекта При этом рассматривались различные методы теории оптимального управления для динамических систем, где в качестве неизвестной функции управления выступает момент внешних сил

В ходе исследований удалось применить аппарат оптимального управления, основанный на принципе максимума, и теорию динамического программирования Беллмана Для этого потребовалось осуществить преобразование исходных соотношений и, в частности, получить сведение к эквивалентным системам дифференциальных уравнений В другом случае удалось использовать найденную зависимость напрямую Научная новизна

В последние годы проводятся обширные исследования в области разработки систем управления Очень часто весьма важные результаты с точки зрения построения системы управления можно получить из математического описания и изучения только объекта регулирования

По известной динамике объекта регулятор может быть найден стандартными методами Эту проблему в настоящее время нельзя считать решенной с теоретической точки зрения, хотя она и была предметом ряда исследований

Практически отсутствуют результаты о постановке задач оптимального управления для таких систем В настоящей работе дается

постановка задач оптимального управления с различными функционалами и представлен математический аппарат для их эффективного решения

Рассматриваются известные в теории управления модели, где в качестве связей фигурируют найденные соотношения, описывающие динамику тел с жидким наполнением

Методы исследования

В ходе исследования применяются следующие математические методы Рассматривается задача Коши для линеаризованного уравнения Навье-Стокса для возмущенного относительно равномерного вращения движения тела с полостью, содержащей жидкость Методом Галеркина отделяется временная составляющая решения от пространственных координат Для случая вязкого заполнения учет вязкости производится методом пограничного слоя, а выражения для обобщенных диссипативных сил получаем, следуя процедуре ЛД Ландау Для разрешения системы интегро-дифференциальных уравнений используется прямое и обратное преобразование Лапласа

В задаче исследования устойчивости применяется критерий А М Ляпунова устойчивости линейных систем для характеристического уравнения невозмущенного движения Методом возмущений получены поправки для случая вязкого заполнения

При исследовании моделей задач оптимального управления широко используется принцип максимума ЛД Понтрягина и используется метод динамического программирования Р. Беллмана Применены необходимые условия оптимальности А Б Куржанского для задач управления в условиях неопределенности Для построения численных решений задач оптимального управления с интегральными ограничениями используется регуляризованный метод проекции градиента с выбором шага согласно процедуре Армийо

Задача отыскания проекции точки на множество решается с использованием двойственного метода Для некоторых постановок численно реализован метод Беллмана В программной реализации численных экспериментов используется ряд алгоритмов, которые реализованы на языке С++, текст наиболее важных из них вынесен в приложения и является значимой частью диссертации Вычисления проводились в среде программирования MS Visual Studio, построение графиков многомерных функций в ряде задач осуществлялось с помощью среды Mathcad Практическая ценность

Полученные в работе результаты использованы в расчетах динамики и прочности машин роторного типа, а также при оптимизации их конструктивно-технологических параметров Кроме того, эти результаты могут применяться при анализе задач управления и устойчивости аппаратов подобного типа

Использованные методы теории оптимального управления могут быть применены в различных областях техники для задач, перевода системы в требуемое состояние, для реального управления вращающимися роторами с жидким наполнением Программно реализованные алгоритмы и разработанный комплекс программ используется в практической деятельности ЦНИИМАШ и в учебном процессе МАТИ и ВЦ им А А Дородницына РАН Апробация

Результаты, представленные в работе, методы и алгоритмы докладывались, обсуждались и получили одобрение специалистов на следующих конференциях и семинарах 1 XVI Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач

математической физики с приложением к многопроцессорным системам» (3-8 сентября 2006 г, г Абрау-Дюрсо)

2 Международный аэрокосмический конгресс 1АС 2006, г Москва

3 Научные семинары отдела сложных систем ВЦ РАН (2004-2007 гг)

4 Научные семинары кафедры «Прикладная математика» МАТИ-РГТУ им КЭ Циолковского (2004-2007)

5 Международная конференция молодых ученых МАКБ 2007, г Жуковский, МО

Публикации основных результатов

Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников и приложений

Общий объем диссертации 102 страниц Список использованных источников включает 80 наименований Содержание диссертации

Во введении обосновывается тема диссертации, ее актуальность, сформулированы цели и задачи исследования, изложены полученные результаты и их практическая ценность

В ведении дан краткий экскурс в историю вопроса, показаны трудности, возникающие при решении задач о вихревых движениях жидкости в полости вращающегося твердого тела Оказалось, что при решении задач управления динамикой твердого тела с жидкостью для некоторых классов движений задача может быть разбита на две части

Первая, гидродинамическая часть задачи сводится к решению краевых задач, зависящих только от геометрии полости и независящих от движения тела При этом необходимо еще рассчитать тензор присоединенных масс Вторая часть задачи - это обыкновенная задача динамики твердого тела, сводящаяся к решению системы обыкновенных дифференциальных

уравнений Это удалось сделать Жуковскому Н Е, который рассмотрел задачу о поступательном движении твердого тела с полостью, содержащей идеальную жидкость Такое разбиение позволяет существенно упростить исходную задачу

Что касается такого класса движений как вращательные, то задачи динамики вращающейся жидкости выдвигают ряд сложных проблем чисто математического характера Поэтому было решено, насколько возможно, разделить задачу движения тела с жидкостью на гидродинамическую и динамическую части Первая из них сводится к расчету некоторых функций, зависящих от формы полости, и тензоров, выражающихся через эти функции Вторая часть задачи - исследование движения тела - использует лишь указанные тензоры, характеризующие воздействие жидкости на тело

В первой главе рассматривается возмущенное относительно стационарного вращения движение твердого тела с полостью О, целиком заполненной идеальной, несжимаемой жидкостью плотности р, в поле массовых сил с потенциалом и Уравнения Навье-Стокса, описывающие движение жидкости, записываются во вращающейся системе координат Охуг, жестко связанной с твердым телом, а уравнение моментов -относительно центра инерции всей системы

Движение тела с жидкостью предполагается близким к равномерному вращению вокруг оси Ог Уравнения Навье-Стокса линеаризуются около равномерного вращения, и поэтому рассматриваемые в этой главе движения являются существенно вихревыми Полученная таким образом задача разбивается на две части Первая - гидродинамическая часть задачи сводится к решению некоторых краевых задач на собственные значения и зависит только от геометрии полости дУ - -

—+2 (&0хУ)+Пхг=-7Р (П)

О в 0, Уп = О на 5, V = К0(г) = 0 при / = 0

Вторая - динамическая часть задачи сводиться к решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

ЛЗ + Пх Лой + х Ш + р х ¥¿<2 + р 1&0х(г х У)с1д = М (1-2)

в

В предположении, что ось вращения системы является одновременно осью массовой и геометрической симметрии тела и полости, уравнения упрощаются.

С помощью процедуры Галеркина уравнения (1.1) и (1.2) принимают вид

оо

АП + ХС-А)ю0П + -г'©05„)=ЩО

-а„5„) + й„П = 0; {п = 1,2,...)

где П = £Ъ х - ¡П у; М = М х - ¡М а „ = рахп ■

Получено характеристическое уравнение для свободно вращающегося тела с жидкостью. Сформулированы условия устойчивости этого движения. Построены области устойчивости в безразмерных параметрах (А,Ь) рис. 1

Рис.!

Далее выведена формула зависимости угловой скорости возмущенного движения от момента внешних сил

0(0 = )м (т)(хе + Уе )/г, О 4)

о

а = - 1С1у, М = М х - ¡М у, а значения констант рт и р(2), X и У

определяются исходя из геометрии твердого тела, конкретного вида полости Показано, как с введением новых функций интегральное уравнение для может быть сведено и системе, обыкновенных дифференциальных уравнений шестого порядка

|х(0 = Ах (0 + ВМ(г), \х(0) = хо,

Здесь

0 0 0 0 7]т 'ЛГ + У 0 > Г0>

0 0 -77(,> -77(2> 0 0 0 Х + У 0

0 0 0 0 г]т 0 • В = ВМп X 0 0

пт V =

0 0 0 0 0 у 0 0 0

0 0 0 0 0 0 X 0

0 0 0 -77(2) 0 0 , 0 у , Л

После этого ставятся различные задачи оптимального управления, и устанавливается возможность широкого применения методологии принципа максимума для их решения

Так во второй главе с использованием принципа максимума Понтрягина получены аналитические решения задачи безусловной минимизации терминального функционала вида,

г

J{M) = (р.х(Т) - О ° )2 + (пу(Т) -п°2)2+у ¡{м2х(0 + м2у(ф -> ПИП (2 ])

о

или в векторном виде

/(М) = \\2х{Т, М)- + у Лр(0|| Л шш,

О Е

где м (0 = (М , (О, Л/ ^ (/))г -неизвестная функция управления, у -заданное действительное положительное число, г = \\г II - матрица 6x6, причем

II ' 1 11 6 X 6

отличны от нуля гп = г22 = 1,6 = °,0,0,0,0)7 - столбец, £1°, ¡=1,2 -

заданные действительные числа

Задача (2 1) решается с использованием принципа максимума ЛД Понтрягина Функция Гамильтона-Понтрягина имеет вид

я = у\М (0|Г + {Ах (0 + ВМ (О, V (0) (2 2)

Сопряженная система

IV (0 = -я; =-Ат¥([), (23)

[кп = Ф {х{Т,М))- 22'(2х{Т,М)~ ь) Выражения для оптимального управления

НМх = 2уМ х+(Х + У)у/х+Хцгг+У¥„

м' = - + + + (2 4)

Я^ = 2уМ у + + + Хуь +

. _ (X + + Хцг, + )>6 (2 5)

Для определения оптимального управления разрешим сопряженную систему В силу вида матрицы А т можем с разу выписать выражения для первых двух компонент \|/(/)

Оставшиеся компоненты найдем, решив следующую систему

з (О = 27(1> (fMr) - П °) + 77 <V 5 (О, у, <(t) = 2r1{1\Sly{T)-n\) +г](2 V 6 (О, (2 6)

у 6 (О = -27(,) (ÍJ, (7-) - П1) + ЛУ 4 (О Уравнения 1 и 3, 2 и 4 системы (2 6) можно решить независимо, в итоге получим

уз (i) = 2(Яу(Т) - Q°2 )(cos ((Г - í)7(,>)- О" Ф г (П - П ? )sm (7 0> (У - i)) ц, 4 (0 = 2(Q у(Т) - ПI )(cos ((Г -1)?!m )■- l)■- 2(q г(Т) - Q)sin (7(2) (T-t)) Vs(t) = 2(£2Х(Г)-П° )(cos (7(,) (T - /))- l)+ 2(П, (Г) - fi J )sin (7(1) (T - /)) y, 6(/) = 2(Q r (T) - a? )(cos (7 (2> (T - i)) - 0+ 2(o y(T) - Q l )sm (7 <2> (T - /)) Полученные решения сопряженной системы нужно подставить в (2 4) и (2 5), и окончательно значения оптимального управления можно будет записать, определив параметры Пх(Т)а £1 у(Т) Для этого можно воспользоваться

системой двух линейных уравнений относительно Qx(T)n Q (Г) > которая

получается из уравнений при í=T подставкой в нее выражений (2 4) и (2 5), и найденных решений сопряженной системы (2 3) А именно т

Qr(r> = Ja/;(т)(аг cos (7(,)(Г-т))+У cos (7(2> (Г - Т)рт +

т

+ ¡Му (т)(х sin (7(1> (Г - г))+ Y sin (7(2) (Т - г )))tír

О

т

а у (Т) = J- М ; (г )(*• sin (7(1) (Г - г)) + Y sin (7 m(T - Г ))Уг +

о (2 8)

т

+ \м'у(т)(х cos (7 0) (Т - г))+ Y cos (7 i2)(T - г))}/г

о

Выражения (2 7) и (2 8) окончательно решают поставленную задачу в аналитической форме

Далее во второй главе рассмотрена задача оптимального управления с функционалом вида

т

J(M) = Cl,(T)-y \M%{t)+My{i))dt -> min

о

0<Mx(t)<L 0 < Л/ДО SI. Vie [О, Г] Для этой задачи получено решение с разрывным оптимальным управлением, со следующими условиями для точек переключения Xcos tflXT-tM))+Ycos{j\T-{tUx))=y, Xsm bm(T-tM)))+Ysmtf*(T-(tMy))=y,

причем эти условия могут не иметь решений, например, если что

будет соответствовать решению м' = М" = 0 (плата у «слишком завышена»)

* У

Они могут иметь счетное число решений, соответствующее количеству пересечений периодических функций в левых частях с прямой

у = у

В третьей главе рассмотрены вихревые движения вязкой жидкости в полости вращающегося тела Уравнения движения жидкости записывается в вращающейся системе координат Oxyz, жестко связанной с твердым телом, а уравнение моментов относительно центра инерции всей системы Уравнения линеаризуются около равномерного вращения всей системы, как твердого тела и имеют вид

8V - -

—+ЩхУ)+С2хг =-Vp+\&V (3 1)

dt

divV = 0 в Q, V = 0 на S, V = V0(r) при / = О

JÙ + ÙxJë0+a0 xJÇl + pjrxPdQ+pjû>0 x(r xV)dQ = M + SM

Q Q

Используя после процедуру Галеркина для коэффициентов разложения Б „(г), получим систему интегро-диференциальных уравнений вида

1 ^ -Л-т ] (3 2)

= _ [Еу +

а. = а„1и, Рп = Р~1Нп > п = и Коэффициенты ^ = р |к„|^2>

о

а =р1''гхР а„т>Ртп " зависят от геометрии полости и характеризуют

2

взаимодействие между движением твердого тела и волновыми движениями жидкости

Для полости в форме цилиндра коэффициенты а„т,Рт„ известны [61]

Далее в третьей главе приводится характеристическое уравнение системы тело-жидкость в невозмущенном движении

Поправки, обусловленные вязкостью жидкости находятся методом возмущений Сформулирован критерий устойчивости по линейному приближению Построены области устойчивости в безразмерных параметрах (А,И) Показано, как вязкость сдвигает границы области неустойчивости

Методом преобразования по Лапласу получена формула зависимости угловой скорости от внешнего момента. В отсутствие вязкости (у=0) формула переходит выражение для идеальной жидкости.

Показано, что введением новых функций интегральное уравнение для С1(Т) можно привести к виду (1.4) для идеальной жидкости, но матрицы А и В будут иметь другой вид и система (1.4) имеет десятый порядок. Показано, что с помощью комплексной структуры систему уравнений шестого порядка для идеальной жидкости и систему уравнений десятого порядка для вязкой жидкости можно преобразовать в систему из четырех уравнений.

В четвертой главе рассмотрена задача оптимального управления системой содержащей вязкую жидкость. Рассматривается функционал

о

или в векторном виде

р О Г"

где М(/) = ДО)7 " неизвестная функция управления, у -

заданное действительное положительное число, х = ||г I! - матрица п*п,

II ' 1 Нлхи

причем отличны от нуля только , = г2 2 = 1,3 = (П°,С1 °,0, ,0)г-

столбец, ^0, при; =1,2 - заданные действительные числа

Функция Гамильтона-Понтрягина для рассматриваемой задачи

Н = г||м(0[|2 +(АхЦ) + ВМ

Сопряженная система запишется так

1Р0) = -Н,х=-Агц,(1), у(Т) = Ф'(х{Т,М))= 2 2'(^х(Т,М)-ь\

Из условия ни = О получим выражение для оптимального управления

Ке(АЧ У)^, +1т(Х+Г)у2 + 11е(Х)1//3 + Яе(Уу4 + + ЩЛш

Мг =--

2 у (4 2)

1т(Х+Г)ц/{ +Яе(Х+1т(Х)1//5 +1 т(7)^6 +Ке(Л>9 +Яе(ХЫ0

М =----

У 2/

Разрешим сопряженную систему

МО = 2 (П^П-Д?,

Оставшиеся 8 компонент ц) определяется из соотношений

íMO = - Re( pm o - bn( Pw(O - Re( V3 0) - bn( pmV7 (О, Г^,(Г) = 0.

<МП = о, Vi(.T) = O, vAT) = O, v7(n = o, УЛТ) = O,

(0 = -Re(pl2))«/,(O - Im(p<2)>«sr2<*) - Re( p'12))(*/„ (í) - lm(pw(t), V5(t) = - Re(p">,(i) - Im(p0))y/2(0 - Re( po))y/5(0 - Im(p(l) Vb(í)= -^{Pm)V\{t)~ Im( pm)if/2{t)- Re( pm )y/6(/) - Im( p (2> ,0 (/), Vi (t) = Im( p( V, (i) - Re(p">2(» + Im(p'VjC) - Re( f1'1)«/,!'), ц>%(/) = Im( p(2>, (<) - Re(p<2) )у/2 (i) + Im( p<2>, (O - Re( p,2) V,(í), «/„(O = - Im( p0) - Re(p(1)M2(O - lm(p(")vs(0- Re(pm)v9(0. y 10 (í) = - Im(p1121V, (/) - Re( p1121 2 (/) - Im( p m )y/6 (!) - Re( p1121W,„ (O, Уравнения системы разбиваются на независимые пары, решая которые, получим (пример для ip}(t) и ip7(t), остальные аналогично)

^3 (;) = еRc [2(Q г (Г) - Q)cos(Im( р(П)(Т - t)) +

+ 2(П}(Т)-П°2) sin(Im( р(|) ){Т - i))]- 2(ПГ(Г)- Q °),

WiO) = eRc(""')í7-')[2(fiI(r)-f2^sm(Im( pl,))(T-t)) + + 2(£1г(Г)-П5)со8(1ш( pi[))(T - /))]- 2(П}(Т)- П°)

Эти решения сопряженной системы подставим в выражения оптимального управления, и окончательно значения оптимального управления можно будет записать, определив параметры QJT) и Оу(Т) Для этого воспользуемся

системой линейных уравнений относительно Qх(Т)" Qv(T), которая

получается из выражения оптимального управления при t = Т Имеем г

|A/*(r)eRe^ll^r~r)(Re(A')cos(Im(p('))(r-r))-Im(X)sin(Im(p0>)(r-r)))í/r +

о

7

+ fM;(r)eR^'2,^-r4Re(r)cos(Im(p(2,)(r - г)) - Im(r)sin(Im(p<:;,)(r - г))Кг+

О Г

+ lM'(r)eR^7-T)(Re(y)cos(Im(pm)(r - г)) + lm(X)s¡n(lm(piu)(T - r)))dr +

+ jM;(r>Re(p'2'^"T,(Re(r)cos(Im(p<2))(r - г))+Гш^зшат^'^ХГ - т))Уг,)

о

(4 3)

т

0.у (Г) = -¡М'х(т)е*^т-т){ЩХ)5т(1т(р(1) )(Г - г)) + 1т(Л-)со5(1т(р(1)ХГ- г))#г -

о

т

- ¡Мх (г)еЯсУг'Ут-'> (Яе(К) 5т(1пф(2) ){Т - г)) + 1т(У) ^апф"' )(Т - т))^т +

О

г

+ \м'у (т)гя^т~г} (11е(К) со5(1пф(1) )(Т - т)) - 1т(Х)51п(1т^П| )(Т - т))^т +

о т

+ \м'у (т)ек^'^Т-г)(Ке(Г) со5(1пф,2))(Г - г)) - 1т(Г) 5т(1ш|р(2) )(Г - г)))г/г,)

о

Полученные выражения окончательно решают поставленную задачу в аналитической форме

Наконец, в четвертой главе рассмотрена задача с интегральными ограничениями типа неравенств Имеется функционал

ЛЛ^ = (^(Г)-П]0)2+(п,,(Г)-Ц0)2->т1п (4 4)

И-7) -я>2< > = х>у

где - произвольные наперед заданные действительные числа,

М (?) = (Мх (I), Му (г))т' неизвестная функция управления

Предложен регуляризованный метод проекции градиента Он позволяет построить сильно сходящуюся к М* (оптимальное управление) последовательность А/д, е и - область допустимых значений управления, N = 1,2, Для регуляризованной задачи вида

ТГ1(М) = Л^М) + а,,1(М)^т^ Ме11, N=1,2, , а^ >0,а,->0,ЛГ->оо рассмотрена следующая интерационная схема

М = М , + р,-к =0-' • * М „*(/

где - вектор направления спуска, удовлетворяющий условию

Т(Ц),рк)<0 и шаг спуска /Зк реализована с помощью, так называемого, алгоритма Армийо. Вектора направления спуска

Р . ^ -к

где у/к выбирается как

рг - оператор проектирования на множество и. Для нахождения элементов щ применяется двойственный метод.

i * 1 • .у'' " ...... i .m » \ \ ' ".....

X.

Рш.'3

На рис.3 на правом графике - пространство управлений M(t), отрезок [T,to] равен [0,1], на левом - пространство траекторий, терминальная точка, которая помечена порядковым номером компоненты. Терминальная точка .у = (П,°, 0^,0,0,0,0) отмечена на левом графике и имеет координаты v = (1,1,0,0,0,0)-На рис.3 представлено полученное численно решение задачи (4.3). Первая и вторая компоненты траектории сошлись в точке у.

Картина качественно изменилась при увеличении Т. На ней появлялись характерные осцилляции. На рис.4 приведено численное решение задачи для

Т= 5.

а

II'

- "

Ряс.4

В заключении приведены основные результаты работы.

Основные результаты работы

1. Построена математическая модель для вращающегося твердого тела с жидким наполнением и найдена аналитическая зависимость угловой скорости возмущенного относительно стационарного вращения движения твердого тела с осесимметричной полостью, полностью заполненной идеальной или вязкой несжимаемой жидкостью, от внешнего момента.

2. Найдены эквивалентные системы дифференциальных уравнений для случаев идеальной и вязкой жидкости, которые позволяют применить аппарат Гамильтона-Понтрягина для постановки, анализа, аналитического и численного решения широкого класса задач оптимального управления твердыми телами с жидким наполнением.

3. Рассмотрены различные модели задач оптимального управления. Задача с переключениями управлений, задача с интегральными

ограничениями на управление и демонстрируются аналитические и численные методы их решений

4 Набор предложенных в диссертации алгоритмов представлен в виде комплекса программ для численного решения рассматриваемых задач

Публикации по теме диссертации

1 Гурченков А А, Корнеев В В , Носов М В устойчивость и управление движением волчка с жидким наполнением М ВЦ РАН, 2006

2 Гурченков А А, Корнеев В В Нестационарный поток вязкой жидкости на вращающейся пластине XVI Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам» Дюрсо 2006

3. Гурченков А А , Корнеев В В Задача оптимального управления ротором, содержащим вязкую жидкость М Динамика неоднородных систем 2006 с 41-57

4 Гурченков А А , Корнеев В В , Носов М В Управлением движением волчка с жидким наполнением М Динамика неоднородных систем 2006 с 27-33

5 Гурченков А.А , Корнеев В В , Носов М В Оптимальное управление вращательным движением твердого тела с жидким наполнением Международный аэрокосмический конгресс 1АС 2006 Москва 2006

6 Корнеев В В, Носов М В Международная конференция молодых ученых МАКБ 2007, г Жуковский, М О

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ

ЖИДКОСТИ В ПОЛОСТИ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА.

§ 1. Уравнения возмущенного движения тела с полостью, содержащей идеальную жидкость.

§ 2. Устойчивость свободно вращающегося тела с идеальной жидкостью.

§ 3. Угловая скорость как функция управляющего момента.

ГЛАВА II. ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ТВЕРДЫМИ ТЕЛАМИ С ЖИДКИМ НАПОЛНЕНИЕМ (ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ).

§ 1. Переход от интегрального уравнения к системе дифференциальных уравнений.

§ 2. Задача безусловной минимизации с терминальным функционалом.

§ 3. Задача с разрывным управлением.

§ 4. Задача с интегральными ограничениями типа неравенств. Метод проекции градиента.

4.1. Численный метод. Условия окончания итераций.

4.2. Численный эксперимент.

ГЛАВА III. ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ

ЖИДКОСТИ, ЗАПОЛНЯЮЩЕЙ ВРАЩАЮЩИЙСЯ СОСУД.

§ 1. Уравнения возмущенного движения тела с полостью, содержащей вязкую жидкость.

§ 2. Коэффициенты инерционных связей твердого тела с жидкостью цилиндрическая полость).

§ 3. Устойчивость жидконаполненного гироскопа.

§ 4. Интегральное уравнение для угловой скорости.

ГЛАВА IV. ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТВЕРДЫМИ ТЕЛАМИ С ПОЛОСТЯМИ, СОДЕРЖАЩИМИ ВЯЗКУЮ ЖИДКОСТЬ.

§ 1. Сведение интегрального уравнения к системе дифференциальных уравнений.

§ 2. Универсальное сведение к системе четвертого порядка.

§ 3. Линейно-квадратичная постановка задачи управления.

§ 4. Задача оптимального управления с интегральными ограничениями типа неравенств.

Задачи управления вращающимися твердыми телами с полостями, содержащими жидкость, относятся к слабо изученным проблемам.

При решении задач управления различного рода техническими объектами одним из важных является вопрос об устойчивости управляемого движения. Стабилизация заданного режима работы управляемого объекта осуществляется путем удержания движений рассматриваемого объекта в некоторой достаточно малой окрестности заданного режима, а также при асимптотическом приближении этих движений к заданному режиму.

Одной из важных задач в этой связи является разработка математической модели, выбор вида и характера управляющего воздействия, получение зависимостей для параметров системы от управляющего воздействия.

В представленной работе рассматривается объект регулирования, который представляет собой твердое тело с полостями частично или полностью заполненными жидкостью, что представляет интерес как с практической, так и с теоретической точки зрения применительно к таким задачам, как изучение динамики шара, заполненного жидкостью, при угловой стабилизации жидкостных ракет.

В работе найдена аналитическая зависимость угловой скорости возмущенного движения от момента внешних сил для вращающегося твердого тела с полостью, целиком заполненной как идеальной, так и вязкой жидкостью. Внешний момент рассматривается как управляющее воздействие. Таким образом, появляется возможность анализа различных постановок задач оптимального управления. Для таких задач применяется аппарат оптимального управления и удается либо получить аналитические решения, либо предложить эффективный численный метод и продемонстрировать результаты соответствующими вычислениями.

Актуальность темы

Задачи стабилизации и управления движением ротора с полостью, содержащей жидкость, являются важными как с теоретической точки зрения, так и в силу многочисленных технических приложений. Они возникают и при изучении движения самолетов, кораблей, и спутников, где запас жидкого топлива, имеющийся на борту, оказывает существенное влияние на движение этих аппаратов.

Рассматриваемые вопросы находят свое применение при изучении динамики космических аппаратов с запасами топлива. Они равномерно закручиваются на орбите вокруг некоторой оси для стабилизации, равномерного нагрева солнечными лучами, создания искусственной силы тяжести и других целей.

Эти задачи актуальны также при проектировании быстровращающихся роторов, гироскопов, имеющих внутри себя полости, заполненные жидкостью.

С теоретической точки зрения данные задачи важны прежде всего тем, что они относятся к сложным задачам механики, и всякий раз требуют для своего решения новые подходы и методы.

В данной работе предложена методика для решения задач оптимального управления в применении к вращающимся телам, наполненным жидкостью. Цель и задачи исследования

Основной целью работы является разработка методов управления устойчивостью движения вращающихся твердых тел с жидким наполнением, совершающих возмущенное относительно равномерного вращения движение под действием моментов внешних сил. Рассматривается случай полного заполнения полости идеальной и вязкой жидкостью. Компоненты момента внешних сил, действующих на систему, перпендикулярные оси стационарного вращения, предполагается рассматривать как управляющие воздействия.

Одной из первых задач исследований было получение зависимости характеристик системы от момента внешних сил. Другой задачей было выяснение устойчивости объекта, получение ограничений на параметры системы для обеспечения ее устойчивости.

Важным направлением исследования была постановка задачи управления регулируемого объекта. При этом рассматривались различные методы теории оптимального управления для динамических систем, где в качестве неизвестной функции управления выступает момент внешних сил.

В ходе исследований удалось применить аппарат оптимального управления, основанный на принципе максимума, и теорию динамического программирования Беллмана. Для этого потребовалось осуществить преобразование исходных соотношений и, в частности, получить сведение к эквивалентным системам дифференциальных уравнений. В другом случае удалось использовать найденную зависимость напрямую. Научная новизна

В последние годы проводятся обширные исследования в области разработки систем управления. Очень часто весьма важные результаты с точки зрения построения системы управления можно получить из математического описания и изучения только объекта регулирования.

По известной динамике объекта регулятор может быть найден стандартными методами. Эту проблему в настоящее время нельзя считать решенной с теоретической точки зрения, хотя она и была предметом ряда исследований.

Практически отсутствуют результаты о постановке задач оптимального управления для таких систем. В настоящей работе дается постановка задач оптимального управления с различными функционалами и представлен математический аппарат для их эффективного решения.

Рассматриваются известные в теории управления модели; где в качестве связей фигурируют найденные соотношения, описывающие динамику тел с жидким наполнением.

Методы исследования

В ходе исследования применяются следующие математические методы. Рассматривается задача Коши для линеаризованного уравнения Навье-Стокса для возмущенного относительно равномерного вращения движения тела с полостью, содержащей жидкость. Методом Галеркина отделяется временная составляющая решения от пространственных координат. Для случая вязкого заполнения учет вязкости производится методом пограничного слоя, а выражения для обобщенных диссипативных сил получаем, следуя процедуре Л.Д. Ландау. Для разрешения системы интегро-дифференциальных уравнений используется прямое и обратное преобразование Лапласа.

В задаче исследования устойчивости применяется критерий A.M. Ляпунова устойчивости линейных систем для характеристического уравнения невозмущенного движения. Методом возмущений получены поправки для случая вязкого заполнения.

При исследовании моделей задач оптимального управления широко используется принцип максимума Л.Д. Понтрягина и используется метод динамического программирования Р. Беллмана. Применены необходимые условия оптимальности А.Б. Куржанского для задач управления в условиях неопределенности. Для построения численных решений задач оптимального управления с интегральными ограничениями используется регуляризованный метод проекции градиента с выбором шага согласно процедуре Армийо. Задача отыскания проекции точки на множество решается с использованием двойственного метода. Для некоторых постановок численно реализован метод Беллмана. В программной реализации численных экспериментов используется ряд алгоритмов, которые реализованы на языке С++. Вычисления проводились в среде программирования MS Visual Studio, построение графиков многомерных функций в ряде задач осуществлялось с помощью среды Mathcad. Практическая ценность

Полученные в работе результаты могут быть использованы в практических расчетах динамики и прочности машин роторного типа, а также при оптимизации их конструктивно-технологических параметров. Кроме того, эти результаты могут применяться при анализе задач управления и устойчивости аппаратов подобного типа.

Использованные методы теории оптимального управления могут быть применены в различных областях техники для задач перевода системы в требуемое состояние, для реального управления вращающимися роторами с жидким наполнением. Программно реализованные алгоритмы и разработанный комплекс программ используется в практической деятельности ЦНИИМАШ и в учебном процессе МАТИ и ВЦ им. А.А. Дородницына РАН.

Апробация

Результаты, представленные в работе, методы и алгоритмы докладывались, обсуждались и получили одобрение специалистов на следующих конференциях и семинарах:

1. XVI Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам» (3-8 сентября 2006 г, г. Абрау-Дюрсо).

2. Международный аэрокосмический конгресс IAC 2006, г. Москва.

3. Научные семинары отдела сложных систем ВЦ РАН (2004-2007 гг.).

4. Научные семинары кафедры «Прикладная математика» МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского (2004-2007).

5. Международная конференция молодых ученых. MAKS 2007, г. Жуковский, МО.

Публикации основных результатов

Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников и приложений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подведем краткие итоги.

В диссертации проведено исследование динамики твердого тела с жидким наполнением. Под действием моментов внешних сил тело с жидкостью равномерно вращается вокруг некоторой оси. В определенный момент времени на динамическую систему начинает действовать возмущающий момент первого порядка малости. Момент является произвольной функцией времени.

Изучается поведение динамической системы под действием возмущающих моментов, в частности, изменение угловой скорости такой системы. В первых двух главах работы приведено исследование динамики вращающегося твердого тела, с полостью содержащей идеальную жидкость.

В первой главе проведен анализ возмущенного движения системы тело-жидкость относительно стационарного вращения всей системы как целого. На основе полученных уравнений исследуется устойчивость свободного вращения тела с жидкостью. В пространстве безразмерных параметров построены области устойчивости.

Вторая глава посвящена задачам стабилизации и управления движением волчка с полостью, заполненной идеальной жидкостью. Выведена формула для угловой скорости возмущающего момента. Затем было осуществлено сведение этой зависимости к стандартной формулировке задач оптимального управления и намечена постановка широкого класса задач.

В области устойчивости параметров поставлена задача оптимального управления с терминальным функционалом.

Для случая отсутствия ограничений на управление приведены аналитические решения задачи. Рассмотрен случай управления с переключением, а также задачи с интегральными ограничениями типа неравенств. Приведены численные тесты этих задач.

Главы III и IV посвящены изучению динамики вращающегося твердого тела с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью.

В третьей главе уравнения возмущенного движения динамической системы тело-жидкость линеаризуются около равномерного вращения. Система уравнений, описывающая движение этой системы, является бесконечной интегро-дифференциальной системой.

В пространстве Лапласа исследуется устойчивость свободного вращения системы тело с вязкой несжимаемой жидкостью. Показано, что наличие вязкости приводит к тому, что собственные (парциальные) частоты сдвигаются на величину, пропорциональную 4v . Приведен новый критерий устойчивости по линейному приближению. Таким образом, вязкость в одних случаях приводит к стабилизации стационарного вращения, а в других к потере устойчивости.

В четвертой главе методом преобразования по Лапласу удалось найти зависимость угловых скоростей, перпендикулярных основному вращению, от возмущающих моментов. Для того, чтобы иметь возможность использовать хорошо разработанный формализм Гамильтона-Понтрягина, эта зависимость была сведена к стандартной форме, принятой в задачах оптимального управления.

Поставлены и решены две иллюстративные задачи. Первая - модельная линейно-квадратичная постановка, вторая - задача оптимального управления с интегральными ограничениями типа неравенств. Приведены численные решения этих задач для различных начальных параметров системы, как в зоне устойчивости, так и вне её.

Проведенное исследование позволяет, с одной стороны, ставить и решать различные задачи оптимального управления с применением различных подходов в решении, с другой стороны, имеется возможность изучения устойчивости заданного режима работы управляемого объекта, для обеспечения безопасности движения рассматриваемого объекта. Сформулируем главный вывод проделанной работы. Разработан эффективный метод декомпозиции по базовым типам движения и взаимодействия, который формально выражен в виде разложения задачи динамики твердого тела с полостью, содержащей жидкость, на две части. Первая, гидродинамическая часть задачи сводится к решению некоторых стационарных краевых задач на собственные значения, зависящих от геометрии полости и не зависящих от движения тела, и затем к расчету коэффициентов, характеризующих влияние жидкости на движение тела. Вторая, динамическая часть задачи сводится к решению уравнений движения твердого тела. Здесь существенным является то обстоятельство, что на характер возмущенного движения никаких ограничений не накладывается. Этот подход делает возможным широкую постановку различных задач оптимального управления, определения оптимальных конструктивно-технологических параметров динамической системы, изучения устойчивости движения управляемого объекта. Этот результат имеет общенаучный интерес.

1. Beltrami DelPidrodonamica razionale, Memorie dell'Accademia delle scienze dell'Istituto di Bologna, серия III, T.l, 2,1871.

2. Greenhill A.G. On the general motion of a liquid ellipsoid. // Proc. Camb. Phil. Soc. 1895 -V. 186, №1.

3. Hough S.S. The oscillations of a rotating ellipsoidal shell containing fluid. Philosophical Transactions of the Royal Soc. of London. A., 1895, V. 186, parti.-P. 469-506.

4. Kelvin, Lord. Mathematical and Physical Papers // Cambridge. 1882 - V. IV.

5. Neumann C. Gydrodynamishe Untersuchungen. Leipzig, 1883.

6. Poincare H. Sur la precession des corps deformables. Bulletin astronomique, 1910, T. 27.-P. 321 -356.

7. Stewartson K. On the stability of a spinning top containing liquid. // Journal of fluid mechanics, 1959 V. 5, part 4. - P. 577-592.

8. Stokes G. Mathematical and Physical Papers // Cambridge 1880 - V. I.

9. Александрян P.A. Спектральные свойства операторов, порожденных системами дифференциальных уравнений типа С.Л.Соболева: Труды Московского математического общества. 1960 - т . 9. - С. 455-505

10. Гурченков А А, Корнеев В.В., Носов М.В. устойчивость и управление движением волчка с жидким наполнением. М.: ВЦ РАН, 2006.

11. Беллман Р. Динамическое программирование. М.:ИЛ, 1960.

12. Беллман Р. Процессы регулирования с адаптацией. М.: Наука. 1964.

13. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О. Некоторые вопросы математической теории управления. М.: ИЛ, 1962.

14. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965.-460 с.106

15. Васильев Ф.П. Методы оптимизации М.:Факториал Пресс, 2002.-824 с.

16. Гельмгольц Г. Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз,1959.

17. Гурченков А.А. Вихревые движения жидкости в полости вращающегося тела. М.: Народный учитель, 2001. - 176с.

18. Гурченков А.А. Момент сил внутреннего трения быстровращающегося цилиндрического сосуда, заполненного вязкой жидкостью // Изв. ВУЗов. Приборостроение. 2001. - Т.44, №2 - С. 44-49.

19. Гурченков А.А. Устойчивость жидконаполненного гироскопа. //ИФЖ. -2002. -Т.75, №3.

20. Гурченков А.А., Есенков А.С., Цурков В.И. Управление движением ротора с полостью, содержащей идеальную жидкость ч.1. // Известия РАН. Теория и системы управления. 2006. №1, С. 141-148.

21. Гурченков А.А., Есенков А.С., Цурков В.И. Управление движением ротора с полостью, содержащей идеальную жидкость ч.2. // Известия РАН. Теория и системы управления. 2006. №3, С. 82-89.

22. Гурченков А.А., Кулагин Н.Е. Аналитические исследования газокинетических и гидродинамических задач. М.: МГОУ, - 2003.

23. Гурченков А.А., Латышев А.В. Уравнения вращательного движения твердого тела с полостью, содержащей вязкую жидкость и коэффициенты инерционных связей // Физическая кинетика и гидромеханика дисперсных систем: Сб. ст./ Деп. ВИНИТИ. М - 1986. №5321-В 86.

24. Докучаев Л.В., Рвалов Р.В. Об устойчивости стационарного вращения твердого тела с полостью, содержащей жидкость. //Механика твердого тела.-973 -№2.-С 6-15.

25. Гурченков А.А., Корнеев В.В., Носов М.В. Управлением движением волчка с жидким наполнением. М.: Динамика неоднородных систем. 2006. с.27-33.

26. Гурченков А.А., Корнеев В.В. Задача оптимального управления ротором, содержащим вязкую жидкость. М.: Динамика линейных и нелинейных систем. 2006. с. 10-17

27. Жак С. В. Об устойчивости некоторых частных случаев движения симметричного гироскопа, содержащего жидкие массы. // ПММ 1958. -Т. 22. - С. 245-249.

28. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородною капельною жидкостью. Избранные сочинения, Т.1. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. - С. 31-152.

29. Иванов М.И. Собственные гармонические колебания гравитирующей жидкости в бассейнах сложной формы. //Механика жидкости и газа. -2006.-№1. С. 131-148.

30. Ишлинский А.Ю., Темченко М.Е. О малых колебаниях вертикальной оси волчка, имеющего полость, целиком наполненную идеальной несжимаемой жидкостью. //ПМТФ. 1960. - №3. - С. 65-75.

31. Ишмухаметов А.З. Двойственный метод решения одного класса выпуклых задач минимизации. // ЖВМ и МФ 2000. - Т.40, №7. - С. 1045-1060.

32. Ишмухаметов А.З. Регуляризованные приближенные методы проекции и условного градиента с конечношаговыми внутренними алгоритмами. // Докл. РАН, 2003 - Т.390, №3.

33. Калиткин Н.Н Численные методы. Учебное пособие. М.: Наука, 1978. -512с.

34. Колесников Н.Н. Об устойчивости свободного твердого тела с полостью, заполненной несжимаемой вязкой жидкостью. // ПММ 1962. - Т. 26, вып. 4.- С.606-612.

35. Краснощеков П. С. Малые колебания твердого тела, имеющего полости, заполненные вязкой жидкостью // Численные методы решения задач математической физики: Сб. ст. / Наука. М., 1966. - С. 258-266.

36. Краснощеков П.С. О колебаниях физического маятника, имеющего полости, заполненные вязкой жидкостью. // ПММ 1963. - Т. 27, вып. 2. - С. 193-202.

37. Крейн С.Г. Дифференциальные уравнения в Банаховом пространстве и их приложения в гидромеханике //УМН 1957. - Т. 12, вып. 1 - С. 208211.

38. Крейн С.Г., Моисеев Н.Н. О колебаниях твердого тела, содержащего жидкость со свободной поверхностью. // ПММ 1957. - Т. 21, вып. 2. -С. 169-174.

39. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. - 392с.

40. Дамб Г. Гидродинамика. M.-JI.: Гостехиздат, 1947. - 928с.

41. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: Гостехиздат, 1953.

42. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.:Гостехиздат, 1950.

43. Малашенко С.В., Темченко М.Е. Об одном методе экспериментального исследования устойчивости движения волчка, внутри которого имеется полость, наполненная жидкостью. //ПМТФ. 1960. - №3. - С. 76-80.

44. Микишев Г.Н., Дорожкин Н.Я. Экспериментальное исследование свободных колебаний жидкости в сосудах. // Изв. АН СССР. / Механ. и машиностр. -1961,№ 4. С. 48-53.

45. Микишев Г.Н., Невская Е.А., Мельникова И.М., Дорожкин Н.Я. Об экспериментальном исследовании возмущенного движения твердоготела с полостями, частично заполненными жидкостью. // Космические исследования, 1965. Т. 3, вып. 2. - С. 208-220.

46. Моисеев Н.Н. Движение твердого тела, имеющего полость, частично залолненную идеальной капельной жидкостью. // ДАН СССР 1952. - Т. 85, вып.4.-С. 719-722.

47. Моисеев Н.Н. Задача о движении твердого тела, содержащего жидкие массы, имеющие свободную поверхность. // Математический сборник -1953.-Т. 32,вып. 1.-С. 61-96.

48. Моисеев Н.Н. Задача о малых колебаниях открытого сосуда с жидкостью под действием упругой силы. // Укр. матем. жур. 1952 - Т. 4, 2, №8. - С. 168-173.

49. Моисеев Н.Н. О колебаниях тяжелой идеальной и несжимаемой жидкости в сосуде. // ДАН СССР 1952. - Т. 85, вып. 5. - С. 963-965.

50. Моисеев Н.Н. О краевых задачах для линеаризованных уравнений Навье-Стокса в случае, когда вязкость мала. //ЖВМ и МФ 1961. - Т. I, № 3. - С. 548-550.

51. Моисеев Н.Н. О математических методах исследования нелинейных колебаний жидкости. // Труды Международного симпозиума по нелинейным колебаниям. / Изд-во АН УССР Киев. - Т. 3, 1963. - С. 275-284.

52. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965.

53. Моисеев Н.Н., Черноусько Ф.Л. Задачи колебаний жидкости, подверженной силам поверхностного натяжения. //ЖВМ и МФ 1965. -Т.5, № 6. - С. 1071-1095.

54. Нариманов Г.С. О движении сосуда, частично заполненного жидкостью. Учет немалости движения последней. // ПММ 1957. - Т. 21, вып. 4. - С. 513-524.

55. Нариманов Г.С. О движении твердого тела, полость которого частично заполнена жидкостью. // ПММ 1956. - Т. 20, вып. 1. - С. 21-38.

56. Охоцимский Д.Е. К теории движения тела с полостями, частично заполненными жидкостью. //ПММ 1956. - Т. 20, вып. 1. - С. 3-20.

57. Петров А.А. Колебания жидкости в кольцевом цилиндрическом сосуде с горизонтальной образующей. //ЖВМ и МФ 1961- Т. 1, №4. - С. 741746.

58. Петров А.А. Колебания жидкости в цилиндрических сосудах с горизонтальной образующей. //Вариационные методы в задачах о колебаниях жидкости и тел с жидкостью: Сб. ст./ВЦ АН СССР М., 1962.-С. 179-202.

59. Петров А.А. Моисеев Н.Н. Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости. М.:ВЦ АН СССР. 1966.

60. Петров А.А. Приближенное решение задач о колебаниях жидкости в цилиндрическом сосуде с горизонтальной образующей. //Вариационные методы в задачах о колебаниях жидкости и тел с жидкостью: Сб.ст. /ВЦ АН СССР М., 1962. - С. 213-220.

61. Петров А.А. Приближенный метод расчета собственных колебаний жидкости в сосудах произвольной формы и потенциалов Жуковского для этих сосудов. //ЖВМ и МФМ 1963.- Т.З. №5.- С. 958-964.

62. Петров А.А. Уравнение движения самолета, несущего баки с жидкостью. //Вариационные методы в задачах о колебаниях жидкости и тел с жидкостью: Сб.ст. /ВЦ АН СССР М, 1962. - С. 221-236.

63. Петров А.А., Попов Ю.П., Пухначев Ю.В. Вычисление собственных колебаний жидкости в неподвижных сосудах вариационным методом. //ЖВМ и МФМ 1964.- Т.4. №5. - С.880-895.

64. Пожарицкий Г. К., Румянцев В.В. Задача минимума в вопросе об устойчивости движения твердого тела с полостью, заполненной жидкостью.//ПММ 1963. - Т.27, вып.1. - С. 16-26.

65. Пожарицкий Р.К. О влиянии вязкости на устойчивость равновесия и стационарных вращений твердого тела с полостью, частично заполненной вязкой жидкостью. // ПММ 1964. - Т. 28, вып. 1. - С. 6068.

66. Рабинович Б. И. Об уравнениях возмущенного движения твердого тела с цилиндрической полостью, частично заполненной жидкостью. // ПММ -1956. Т. 20, вып. 1.-С. 39-50.

67. Рвалов Р.В., Роговой В.М. О вращательных движениях тела с полостью, содержащей жидкость. // Механика твердого тела. 1972. - №3. - С 1520.

68. Румянцев Б.Н. О движении твердого тела, содержащего полости, заполненные вязкой жидкостью. // ПММ 1964. - Т. 28, вып. 6. - С. 11271132.

69. Румянцев В.В. К теории движения твердых тел с полостями, наполненными жидкостью. // ПММ 1966. - Т. 30, вып. 1. - С. 51-66.

70. Румянцев В.В. Методы Ляпунова в исследовании устойчивости движения твердых тел с полостями, наполненными жидкостью. // Изв. АН СССР Механ. и машиностр. 1963,№ 6. - С. 119-140.

71. Румянцев В.В. Об устойчивости вращательных движений твердого тела с жидким наполнением. // ПММ 1959. - Т. 23, вып. 6. - С. 1057-1065.

72. Румянцев В.В. Об устойчивости вращения волчка с полостью, заполненной вязкой жидкостью. // ПММ 1960. - Т. 24, вып. 4. - С. 603609.

73. Румянцев В.В. Об устойчивости движения твердого тела с жидкостью, обладающей поверхностным натяжением. // ПММ 1964. - Т. 28, вып. 4. -С. 746-753.

74. Румянцев В.В. Об устойчивости установившихся движений твердых тел с полостями, наполненными жидкостью. // ПММ 1962. - Т. 26, вып. 6. -С. 877-991.

75. Румянцев В.В. Устойчивость вращения твердого тела с эллипсоидальной полостью, наполненной жидкостью // ПММ 1957. - Т. 21, вып. 6. - С. 740-748.

76. Соболев C.JI. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью. // ПМТФ. 1960. - №3. - С. 20-55.

77. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.:Наука, 1986.

78. Цурков В.И. Динамические задачи большой размерности. М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1988.- 288с.

79. Черноусько Ф.Л. Вращательные движения твердого тела с полостью, заполненной жидкостью. // ПММ 1967.- Т. 31, вып. 3. - С. 416-432.

80. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, заполненными вязкой жидкостью, при малых числах Рейнольдса. // ЖВМ и МФ 1965. -Т. 5,№6.-С. 1049-1070.

81. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. М.: ВЦ АН СССР, 1968.

82. Черноусько Ф.Л. Движение тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью, при больших числах Рейнольдса. // ПММ 1966. - Т. 30, вып. 3. - С. 476-494.

83. Черноусько Ф.Л. Движение тонкого слоя жидкости под действием сил тяжести и поверхностного натяжения. // ПММ 1965. - Т. 29, вып. 5. - С. 856-862.

84. Черноусько Ф.Л. Колебания сосуда с вязкой жидкостью. // Механ. Жидкости и газа / Изв. АН СССР 1967. - №1. - С.58-66.

85. Черноусько Ф.Л. Колебания твердого тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью. // Механика твердого тела. 1967. -№ 1. - С.3-14.

86. Черноусько Ф.Л. О движении тела с полостью, частично заполненной вязкой жидкостью. // ПММ 1966. - Т. 30, вып. 6. - С. 476-494.

87. Черноусько Ф.Л. О свободных колебаниях вязкой жидкости в сосуде. // ПММ 1966. - Т. 30, вып. 5. - С.836-847.

88. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1998. - 320с.

89. Четаев Н.Г. Об устойчивости вращательных движений твердого тела, полость которого наполнена идеальной жидкостью. //ПММ 1957. - Т. 21, вып. 3.-С. 157-168.