автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модельные задачи в динамике вращающегося твердого тела с жидкостью

00

-г

На правах рукописи

Носов Михаил Викторович •

МОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ДИНАМИКЕ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ЖИДКОСТЬЮ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- ' окт 2010

Москва 2010

004609899

Работа выполнена в ГОУ ВПО «МАТИ» - Российском государственном технологическом университете имени К. Э. Циолковского

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Гурченков Анатолий Андреевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Зубов Николай Владимирович доктор физико-математических наук, профессор

Кулагин Николай Евгеньевич Ведущая организация: ГОУ ВПО «Московский государствен-

ный институт электронной техники (технический университет)»

Защита состоится « » Од'ЦЬрА 2010 года в 1-4, часов на заседании диссертационного совета Д 212.142.03 при ГОУ ВПО Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН» по адресу: 127994, г. Москва, Вадковский пер., д. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Московского государственного технологического университета «СТАНКИН».

Автореферат разослан « 2, » сёнТлЬ2010 г. Ученый секретарь

г,

диссертационного совета . /л

Д 212.142.03, к. т. н., доц. , Семячкова Е. Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В настоящее время в связи с проблемами геофизики, океанологии, физики атмосферы, использованием криогенных жидкостей в технике, а также проблемами изучения и охраны окружающей среды и рядом других задач значительно возрос интерес к изучению волновых движений различных неоднородных жидкостей. Этот интерес обусловлен не только практическими потребностями, но и большим теоретическим содержанием возникающих здесь проблем.

Отметим, что проблема влияния вихревых полей на динамику твердого тела известна достаточно давно. С ней приходится все время сталкиваться в динамике полета самолетов, вертолетов и других летательных аппаратов, движущихся в атмосфере, в динамике ракет носителей и космических аппаратов с жидкостно-реактивными двигателями, имеющих демпфирующие устройства и другие конструктивные элементы внутри топливных баков. Аналогичные проблемы возникают при решении задач, связанных с ориентацией и стабилизацией искусственных спутников и космических аппаратов.

Для детального описания широкого круга физических явлений, связанных с динамикой вращающихся жидкостей, необходимо исходить из достаточно развитых математических моделей, которые, как правило, оказываются весьма сложными, нелинейными, многопараметрическими, и для их полного исследования эффективны лишь численные методы. Однако в ряде случаев первоначальное качественное представление об изучаемом круге явлений можно получить и на основе более простых линейных моделей и аналитических методов их исследования. Даже в рамках линейных моделей их математические постановки весьма своеобразны и приводят к нестандартным начально-краевым задачам.

В настоящей работе проведено исследование этого класса задач, в котором наряду с диссипативными эффектами учитывается также влияние кинетической энергии вихревых движений жидкости. При этом динамика объектов, для которых вихревые поля могут играть доминирующую роль, описывается

на основе единой феноменологической модели нестационарных вихревых движений жидкости.

Соответствующие математические модели, описывающие движение рассматриваемых объектов, представляют собой системы сингулярных интегро-дифференциальных уравнений, допускающие эффективное исследование современными аналитическими и численными методами. Такого рода феноменологические модели позволяют, не зная деталей распределения вихрей, получить информацию о поведении системы в целом и выявить ряд новых тонких динамических эффектов.

Таким образом, актуальной научной проблемой диссертации является разработка новых математических моделей для изучения динамики вращающихся твердых тел с жидким наполнением.

Такими научными проблемами являются задачи устойчивости вращающихся объектов, содержащих как идеальную, так и вязкую жидкость, а также задачи оптимального управления подобными системами.

Изложенные проблемы сформулировали следующую цель диссертации.

Цель и задачи исследования

Целью настоящей работы является разработка методов решения задач динамики вращающегося твердого тела, содержащего жидкость, а также исследование модельных задач оптимального управления подобными динамическими системами.

Достижение поставленной цели потребовало разработки эффективных математических моделей, описывающих динамику вращательного движения твердого тела с жидкостью.

На основе предложенных моделей поставлена и решена задача об устойчивости невозмущенного движения тела с жидкостью и получены ограничения на конфигурацию системы, обеспечивающие выполнение необходимых условий устойчивости.

Для постановки задач оптимального управления движением рассматриваемых систем потребовалось осуществить преобразование исходных соотно-

шений и, в частности, получить эквивалентные системы дифференциальных уравнений.

На основе описанных выше результатов поставлены некоторые задачи оптимального управления объектами с запасами жидкости, в том числе - задача управления в условиях неопределенности, когда начальные состояния в системе управления неизвестны заранее, а доступная информация ограничивается заданием допустимых областей изменения соответствующих величин. Решения поставленных задач получены с использованием аппарата оптимального управления, основанного на принципе максимума Л. С. Понтрягина, и методов теории управления в условиях неопределенности на основе формализма А. Б. Куржанского.

Для проведения вычислительных экспериментов и расчетов потребовалось разработать комплекс программ на основе современных технологий математического моделирования.

Объект и предмет исследования

Объектами исследования являются уравнения динамики вращающегося твердого тела, содержащего жидкость, и нелинейные уравнения Навье - Сток-са, описывающие поведение жидкости в полости вращающегося твердого тела.

Предметом исследования являются математические модели и вычислительные методы решения уравнений динамики вращающегося твердого тела с жидкостью, и математические модели задач устойчивости и оптимального управления изучаемыми динамическими системами.

Методы исследования

В работе применяются методы классической математической физики, такие как разделение переменных, решение задач на собственные значения, методы теории функции комплексного переменного, методы теории возмущения и асимптотические методы.

При решении задачи Коши для линеаризованной системы уравнений Навье - Стокса в случае возмущенного относительно равномерного вращения движения тела с полостью, содержащей жидкость, применен метод Галеркина,

5

с помощью которого временная составляющая решения отделяется от пространственных координат. Вспомогательная гидродинамическая задача решена методом разделения переменных.

Для случая вязкого заполнения учет вязкости производится методом пограничного слоя, а выражения для обобщенных диссипативных сил получаются, следуя процедуре Л. Д. Ландау. Решение полученных систем интегро-дифференциальных уравнений проводится методом преобразования Лапласа.

При решении задачи устойчивости свободного вращения тела с жидкостью для характеристического уравнения системы применяется критерий А. М. Ляпунова устойчивости линейных систем. Методом возмущений получены поправки в случае заполнения полости вязкой жидкостью.

Для решения задач оптимального управления используется принцип максимума Л. С. Понтрягина. Применены необходимые условия оптимальности А. Б. Куржанского для задач управления в условиях неопределенности. Для построения численных решений задач оптимального управления с геометрическими ограничениями используется метод последовательных приближений Крылова - Черноусько.

Вычисления и визуализация результатов расчетов проводились в среде MATLAB, а также в среде Borland Delphi. Текст наиболее важных алгоритмов вынесен в приложения и является важной частью диссертации.

Научная новизна

Научная новизна исследования заключается в том, что работа содержит решение актуальных проблем моделирования вращающихся твердотельных объектов с жидким наполнением. Предложены эффективные модели рассматриваемых динамических процессов. Разработаны алгоритмы и программный комплекс для проведения вычислительных экспериментов и расчетов с использованием существующих методов математического моделирования. В рамках предложенного подхода представлены аналитические и численные решения задач устойчивости и оптимального управления вращательным движением твердого тела с полостью, содержащей жидкость.

Практическая ценность

Разработанные модели и методы решения динамических задач вращающихся твердых тел с жидким наполнением, а также численные методы для решения задач оптимального управления, могут быть использованы при изучении динамики движущихся в атмосфере летательных аппаратов, космических аппаратов с запасами жидкого топлива, которые закручиваются на орбите вокруг некоторой оси, для стабилизации, равномерного нагрева солнечными лучами, создания искусственной силы тяжести и других целей. Эти результаты также применимы при проектировании быстровращающихся роторов, центрифуг, гироскопов, имеющих внутри себя полости, заполненные жидкостью.

Апробация результатов

Представленные в работе результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1. XVII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвященная памяти К. И. Бабенко (г. Абрау-Дюрсо, 2008 г.).

2. Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения» (г. Москва, 2005 - 2009 гг.).

3. Научные семинары кафедры «Прикладная математика» «МАТИ»-РГТУ им. К. Э. Циолковского (2005 - 2009 гг.).

4. Научный семинар факультета математического моделирования Технологического Университета г. Мюнхен - TUM (г. Мюнхен, Германия, 15 ноября 2007 г.).

5. IV Всероссийская научная конференция молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (г. Анапа, 2007 г.).

Эти результаты также используются в курсе лекций по дисциплине

«Дополнительные главы математического анализа» на кафедре прикладной

математики «МАТИ» - РГТУ им. К. Э. Циолковского.

Публикации основных результатов

По теме диссертации опубликовано 10 работ. Списрк работ представлен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы из 135 наименований. Общий объем диссертации - 133 страницы, включая 34 рисунка, 1 таблицу и 1 приложение.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается тема диссертации, ее актуальность, сформулированы цели и задачи исследования, изложены полученные результаты и их практическая ценность.

В первой главе представлен обзор существующих работ, который позволяет проследить основную канву развития исследований моделей и задач динамики тел с жидким наполнением. Указаны ключевые результаты и описаны основополагающие подходы и методики.

Далее рассматривается возмущенное относительно стационарного вращения движение твердого тела с полостью <2, целиком заполненной идеальной несжимаемой жидкостью плотности р, в поле массовых сил с потенциалом и (рис. 1). Уравнения Эйлера, описывающее движение жидкости, записываются во вращающейся системе координат Охуг, жестко связанной с твердым телом, а уравнения моментов - относительно центра инерции всей системы.

В предположении, что невозмущенное движение тела с жидкостью относительно центра инерции представляет собой равномерное вращение всей системы как твердого тела вокруг оси, параллельной Ог, с постоянной угловой

Рис. 1. Система «тело - идеальная жидкость»

скоростью, исходные уравнения линеаризуются. Для рассматриваемого класса движений, используя процедуру Галеркина, задача разбивается на две части, которые можно решать независимо.

Первая, гидродинамическая часть, сводится к решению краевой задачи на собственные значения и зависит только от геометрии полости, но не от движения тела. На основе ее решений определяются коэффициенты разложения скорости жидкости в обобщенный ряд Фурье и рассчитываются коэффициенты инерционных связей «тело - жидкость», составляющие тензор присоединенных масс для данной полости и характеризующие влияние вихревых полей на динамику системы. Приводятся результаты расчетов собственных колебаний жидкости и компонентов тензора присоединенных масс для цилиндрической полости.

Вторая часть задачи - это обыкновенная задача динамики твердого тела, которая сводится к решению задачи Коши для бесконечной линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, коэффициенты которых выражаются через решение гидродинамической части задачи.

Далее предполагается, что ось вращения системы в невозмущенном движении является одновременно осью геометрической симметрии и симметрии массы, что упрощает исходные уравнения. Для динамически симметричного тела скалярное уравнение движения вокруг оси Ог отделяется от остальных, а уравнения движения относительно осей Ох и Оу идентичны. Решение полученных систем проводится в пространстве Лапласа.

Рис. 2. Границы областей устойчивости свободного движения системы

Исследуется устойчивость невозмущенного движения рассматриваемой динамической системы. Построены границы областей устойчивости свободного вращения системы для тел различной конфигурации с цилиндрической полостью. Показано, что основной эффект, обусловленный. наличием жидкости в полости, можно учесть, рассматривая задачу в первом приближении, т. е. оставляя лишь одно уравнение в бесконечной системе из второй части задачи (рис. 2).

Ключевым результатом главы является формула зависимости угловой скорости возмущенного движения от момента внешних сил. Данная формула получается из системы уравнений первого приближения методами операционного исчисления с использованием теоремы о свертке и теорем разложения:

где П = М = МХ ~'МУ, а значения параметров 2к,рк, к = 1,2 опреде-

ляются геометрией твердого тела и полости.

Полученное соотношение (1.1) записывается в эквивалентной форме, которая представляет собой линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений шестого порядка с разреженными матрицами:

Данная форма уравнений удобна при решении широкого класса задач динамики

На основе принципа максимума Понтрягина получены аналитические решения задачи оптимального управления системой (1.2) с терминальным функционалом

(1.1)

х(0 = Лх(0 + 5М(0, х(0) = х0.

(1.2)

и оптимального управления движением твердых тел с жидким наполнением.

У(М)= ъ(пк(Т)-П°к] + у)(м2х (г)+м) (*)) А -> шш

или в векторной форме

/(МН|С/х(Г,М)-Ь|£6 +у||М^2 А-> шш,

о

где М = (Мх,Му)т - поперечные компоненты внешнего момента как неизвестные функции управления, у - заданное действительное положительное число, II- (6*6)-матрица с отличными от нуля элементами Иц = ы2)2 = 1, -

заданные действительные числа, Ь = (С22,С2°,0,0,0,0^, ]|х|£„ = л£хЦ -

евкли-

1

дова норма и-компонентного вектора х.

Для задачи оптимального управления вида

ДМ) = ПХ(Т) - у)(мх(0+Му (*)) А -> шах,

о

получено решение с релейным оптимальным управлением:

'1, (вгч/(оХ>у

мх<у( 0 =

о,(Дг1|/(О)х,у<У.

где \|/(/) - решение системы, сопряженной к однородной системе задачи (1.2). Причем условия для точек переключения таковы, что возможно решение М*ху - 0 (плата у «слишком завышена»).

Полученные в настоящей главе результаты являются достаточно общими и могут быть распространены на решение различных задач оптимального управления вращающимися динамическими системами, содержащими как идеальную жидкость со свободной поверхностью, так и вязкую жидкость, что демонстрируется в последующих главах.

Во второй главе изучен класс более сложных моделей динамики тел с жидким наполнением. Рассматривается возмущенное относительно стационарного вращения движение твердого тела с полостью 2, частично заполненной идеальной несжимаемой жидкостью плотности р, частично - газом с постоянным давлением р0, в поле массовых сил с потенциалом С/ (рис. 3). Уравнения Эйлера, описывающее движение жидкости, записываются во вра-

щающейся системе координат Охуг, жестко связанной с твердым телом, а уравнения моментов - относительно центра инерции всей системы.

Далее предполагается, что невозмущенное движение тела с жидкостью относительно центра инерции представляет собой равномерное вращение всей системы как единого целого вокруг оси, параллельной Ог, с постоянной угловой скоростью. Исходные уравнения линеаризуются. Показано, что для случая быстрого вращения и определенной массы жидкости невозмущенная свободная поверхность 2 имеет цилиндрическую форму. Рис. 3. Система «тело -

Методом Бубнова - Галеркина решена идеальная жидкость со свободной задача о возмущенном движении твердого тела, поверхностью»

содержащего жидкость со свободной. Таким образом, задача вновь разбивается на две части, которые возможно решать независимо.

Хор

Ю I

\ ! / ---р=3 -----р=5 .........Р=8 ■

■~Гг~Г /' / ТГ7...... ............... ..............

\П ¡¡1............

2 Ь

Рис. 4. Собственные значения гидродинамической задачи Гидродинамическая часть - задача о собственных колебаниях жидкости в равномерно вращающемся сосуде- сводится к решению краевой задачи на собственные значения и зависит только от геометрии полости. Методом разделения переменных найдены собственные функции задачи и собственные частоты колебаний жидкости в случае цилиндрической полости. На рис. 4 представлены характерные графики частот %п колебаний жидкости в цилиндрической полости высотой 2И и основанием единичного радиуса, частично запол-

ненной жидкостью. Индекс и представляет собой всевозможные сочетания порядковых номеров продольных и поперечных гармоник / и р.

На основе полученных решений построены коэффициенты инерционных связей «тело - жидкость со свободной поверхностью», характеризующие влияние вихревых движений жидкости в полости на динамику твердого тела.

Вторая часть задачи - задача динамики твердого тела - сводится к решению задачи Коши для бесконечной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, коэффициенты которых определяются на основе решения гидродинамической части задачи.

Вводится упрощающее предположение о том, что ось вращения системы в невозмущенном движении является одновременно осью массовой и геометрической симметрии тела и полости, в результате которого скалярное уравнение движения вокруг оси Ог отделяется от остальных, а уравнения движения относительно осей Ох и Оу идентичны.

Найдены соотношения, связывающие параметры полости и массу жидкости, обеспечивающие необходимые условия устойчивости свободного вращения системы.

Существенным обобщением результатов первой главы является полученная явная зависимость угловой скорости возмущенного движения от момента внешних сил, которая также имеет вид свертки управляющего момента и некоторого ряда из экспонент:

где 0. = 0.3-Ю.у, М = М,-\Му, значения параметров гк,рк,к = 1,2,3 определяются геометрией твердого тела, формой полости и массой жидкости в ней.

Далее уравнения движения системы «тело- жидкость со свободной поверхностью» записываются в эквивалентной форме, удобной для постановки задач оптимального управления:

(2.1)

Сх(0 = Лх(0 + £М(0,

(2.3)

(х(0) = х0.

В рассматриваемом в этой главе случае получена система восьмого порядка с разреженными матрицами.

В заключение рассматривается задача оптимального управления с квадратичным терминальным функционалом и квадратичной штрафной функцией

ДМ) = I (q* (Г)-Q,°kJ + у/(л/^С0+M2y(t))dt -> min

к=х,у о

или в векторной форме

ДМ) = ||£/х(Г,М) - bfEs + у j||M||2£2 dt -> min, (2.4)

о

где U - (8х8)-матрица с отличными от нуля элементами Щ^=и2д=1,

b = ,0,0,0,0,0,0^, остальные обозначения те же, что и выше.

Решения задачи (2.3), (2.4) получены с использованием принципа максимума Понтрягина и имеют следующий вид:

1

М(0 = ~

2у

2 2у

3 3

¥2 lZtcosft(f-r)-Vl ^Zksinqk(t-T) . k=l k=l 3 3

Vi I.Zkcosqk{t-T)+y2 ^Zk5inqk(t-T) . k=l k=l

0,(Г) = -^2к ]{мх (т) *т(дк (Г - т)) - М2 (т) соз(дк (Т - т))]А, *=1 о

П2(Г) = ~ Ък \мх{1)со^к{Т - т))+М2{х)5т{Чк(Т - т))]А. к=\ о

Здесь \|/,-(0 - решение сопряженной задачи.

Полученные во второй главе результаты демонстрируют применимость представленной методики решения проблем динамики и оптимального управления жидконаполненными телами в случае частичного заполнения полости жидкостью.

В третьей главе исследуются проблемы моделирования вращательных движений твердого тела с полостью, заполненной вязкой жидкость. При дви-

жении тела с вязкой жидкостью, именно вязкость оказывает существенное влияние на устойчивость стационарного вращения, причем влияние вязкости оказывается довольно тонким: в одних случаях она обеспечивает стабилизацию вращения, в других приводит к потере устойчивости.

Существует два механизма рассеяния энергии при колебаниях жидкости в полости. Один связан с вихреобразованием на стенках полости и дальнейшей диссипацией энергии в тонком пристеночном пограничном слое (полость с гладкими стенками, большие числа Рейнольдса), а другой - со срывом мощных дискретных вихрей, диссипирующих затем во всем объеме жидкости (полости, имеющие конструктивные элементы с острыми кромками). Последний эффект существенно нелинеен и обычно по крайней мере на два порядка выше эффекта пограничного слоя.

Это требует включения в уравнения движения твердого тела с полостью, содержащей жидкость, на основе которых проводится исследование задач динамики, добавочных диссипативных сил.

В настоящей главе рассматривается класс возмущенных движений тела с жидкостью, ограниченный требованием малости относительной диссипации энергии, а также обобщенных координат, характеризующих возмущенное движение твердого тела и жидкости.

В начале главы выводятся уравнения слабо возмущенного движения тела с полостью, содержащей вязкую жидкость. С использованием модели «плоской стенки» для полостей с гладкими стенками получена бесконечная система интегро-дифференциальных уравнений, описывающих возмущенное движение тела с жидкостью. Полученная бесконечная система интегро-дифференциальных уравнений далее редуцирована к конечной системе дифференциальных уравнений.

Далее вычисляются коэффициенты инерционных связей, характеризующие взаимодействие между движением твердого тела и волновыми движениями жидкости, причем подробные вычисления приведены для цилиндрической полости (рис. 5).

Рис. 5. Коэффициенты инерционных связей Е1р

Рассмотрены вопросы устойчивости свободно вращающегося динамически симметричного твердого тела с полостью, содержащей вязкую жидкость. Составлено характеристическое уравнение для колебаний1 жидкости в полости вращающегося тела, которое решается методом теории возмущений.

Представлен критерий устойчивости свободного вращения системы. Показано, что наличие вязкости приводит к тому, что собственные частоты сдвигаются на величину, пропорциональную , где V - коэффициент вязкости жидкости.

Далее с помощью интегрального преобразования Лапласа система интег-ро-дифференциальных уравнений с сингулярными ядрами в пространстве изображений записывается в виде алгебраического уравнения. Устанавливается связь между изображениями угловой скорости и возмущающим моментом. С помощью обратного преобразования Лапласа система интегро-дифференциальных уравнений приводится к интегральному соотношению, по форме совпадающего с соотношением (1.1) первой главы для идеальной жидкости. Интегральное соотношение сводится к стандартной форме, т. е. записывается в виде линейной системы дифференциальных уравнений десятого порядка.

Далее ставятся некоторые задачи оптимального управления. Устанавливается возможность широкого применения методологии принципа максимума для их решения.

Используя формализм Гамильтона- Понтрягина аналитически решена задача оптимального управления с квадратичным функционалом и квадратичной штрафной функцией, аналогичная задаче (2.3), (2.4).

16

Рассмотрен метод последовательных приближений для задачи с геометрическими ограничениями типа неравенств, наложенными на управление:

7(М) = ||ЩГ,М)-Ь||^ +у||М|£2 Л-+ пил,

0 (3.1)

\мх^)\<Сх>у, У*е[0,Г].

Приведено описание численного метода решения задачи и численные тесты для рассмотренных в работе моделей. На рис. 5-7 представлены характерные решения задачи (3.1) для моделей, исследуемых в данной работе.

Приведенные графики отвечают случаю цилиндрической оболочки высотой 2к и основанием единичного радиуса. Время Т = 1 - характерное время оборота оболочки вокруг своей оси. Компоненты оптимальной траектории С2ху

достигают терминальной точки (о^П®). При увеличении параметра Г картина качественно изменяется - траектории Оху колеблются сильнее.

Рис. 5. Решение задачи (3.1) для твердого тела с цилиндрической полостью, целиком заполненной идеальной несжимаемой жидкостью

■ -------Г......■■ 1

\

! •

Рис. 6. Решение задачи (3.1) для твердого тела с цилиндрической полостью, заполненной идеальной несжимаемой жидкостью со свободной поверхностью

т т

Рис. 7. Решение задачи (3.1) для твердого тела с цилиндрической полостью, целиком заполненной вязкой несжимаемой жидкбстью

В четвертой главе проводится исследование множеств достижимости. Множества достижимости и множества возможных состояний системы в различные моменты времени играют важную роль при решении задач управления, наблюдения и прогнозирования. Точное или приближенное знание множеств достижимости позволяет делать выводы о предельных возможностях системы управления, оценить разброс траекторий в условиях неопределенности параметров задачи или внешних возмущений. Кроме того, данное исследование в ряде случаев позволяет свести задачу оптимального управления системой к более простым задачам математического программирования.

Для нахождения множества достижимости ставится следующая задача:

где Т ~ фиксированный момент времени окончания процесса, г(/) - фазовый вектор системы, с - заданный вектор. В результате решения задачи (4.1) для всевозможных векторов с, с поверхности единичной сферы, получаются

точки г' (Г), лежащие на границе множества достижимости, и опорные гиперплоскости в этих точках. Определив точки г'(Т) и опорные гиперплоскости, можно получить как внешнюю, так и внутреннюю аппроксимацию множества достижимости.

При ограничениях на управление вида

где а,, Ь, - заданные числа, и начальном условии г(е0) = О, получено значение оптимального управления для задачи (4.1):

■/=(г,г(г))-*пих, т>10, |с|=1,

(4.1)

а1йМ^)<-Ь„ / = 1,2,

м'сн

М2

Соответствующие оптимальные траектории имеют вид

т

О У=К2

В случае геометрических ограничений на управление в виде круга |Л/[ < г выражение для оптимального управления имеет вид

Далее ставится и анализируется задача оптимального управления для вращающихся твердых тел с жидким наполнением, когда некоторые параметры системы точно не определены. Для решения таких задач был разработан ряд подходов. Так в теории стохастического управления описание неопределенных величин носит вероятностный характер. В рамках данной работы предлагается использовать методы теории управления в условиях неопределенности, когда информация о параметрах системы ограничивается заданием допустимых множеств их изменения.

Ставится задача оптимального управления для вращающихся твердых тел с жидким наполнением в случае, когда начальное положение системы точно не известно, а задано лишь множество возможных состояний. Решается задача о переводе системы в положение минимально близкое к наперед заданной точке. Начальное состояние системы неизвестно заранее, и подчиняется условию

где X" - заданное выпуклое компактное множество в Я" - множество возможных начальных состояний системы. Тогда в каждый момент времени известно множество Х(ъМ), г е[0,Г] - ансамбль траекторий, объединяющий все траектории, полученные при одном и том же управлении и всевозможных х0. Выбирая всевозможные допустимые М(/), можно управлять положением ансамбля. Пусть Л-известная матрица кхп, назовем ее матрицей наблюдения, = Пусть <р(г) - выпуклая, всюду конечная функция,

заданная на Як,а Ф(2) = шах{р(2)|ге7|.

Требуется перевести ансамбль траекторий как можно ближе к заданному состоянию в момент времени Т. Задача формулируется следующим образом:

20

среди допустимых управлений M(t)eU = {м\\M(t)\s\},найти оптимальный режим M°(t), удовлетворяющий условию минимума

Ф°(rx(t-,M0)) = min (ф(^(Г;М))}, (4.2)

где (p(z) - функция расстояния вида <p{z) = \z- у\, у - терминальная точка, в которую необходимо перевести систему.

Согласно условиям оптимальности для задач управления в условиях неопределенности начальных данных и коэффициентов, оптимальное управление M°(t) задачи (4.2) удовлетворяет условию минимума

5(^0)в(/)М°(0 = тт{,(/;^)в(/)Л/(/)} (4.3)

на решении g°=RTIa сопряженной системы, порожденном элементом

1°, который максимизирует функцию F(l):

F{1) = - Jp(-i(<:i) Д(*)1 U)dt-f (/), (4.4)

о

где f(l) = <p(l)-p(s(0\q)f (у) = у)-f(x)\xeE) - сопряженная функция, р(х | Е) = sup{(x,y), уеЕ} - опорная функция множества Е.

Применительно к рассматриваемой динамической системе матрица наблюдения состоит только из двух ненулевых элементов Я,, = Äj 2 = 1.

В качестве примера рассматривается множество Х° в виде параллелепипеда {х е Х° о |х,| 2 а„ i = 1,2;а,, s 0, / = З..и}, где а, 2 заданные числа. Задача (4.4) сводится к максимизации функции

О '=1,2

Из определения индикаторной функции следует, что максимум функционала (4.5) будет достигаться на множестве ||/| й 1. Предлагаются варианты численного нахождения значений при различных значениях параметров исходной системы управления, а так же параметров а, и а2, задающих неопределенность

в начальном состоянии системы. В результате получены оптимальные режимы управления вида

или иной модели.

В заключении формулируются основные результаты работы.

В приложение вынесены программно реализованные алгоритмы решения

поставленных в работе задач.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. В диссертационной работе решены поставленные задачи по разработке методов решения актуальных проблем динамики вращающегося твердого тела, содержащего жидкость, и исследованию модельных задач оптимального управления.

2. Предложены математические модели динамики вращающихся тел с жидкостью, особенностью которых является возможность получить информацию о поведении системы в целом, учесть влияние кинетической энергии вихревых движений жидкости, не зная деталей распределения вихрей.

3. На основе представленных моделей решена задача об устойчивости свободного вращения твердотельного объекта с запасом жидкости в цилиндрическом отсеке, при этом выведены соотношения, связывающие параметры полости тела и массу жидкости, обеспечивающие выполнение необходимых условий устойчивости.

4. Найдена аналитическая зависимость угловой скорости возмущенного движения системы «тело - жидкость» от внешнего момента, которая позволяет ставить разнообразные задачи оптимального управления, причем компоненты момента внешних сил, действующих на систему, перпендикулярные оси стационарного вращения, рассматриваются как управляющие воздействия.

Значения определяются решением сопряженной системы для той

5. Выведены эквивалентные системы дифференциальных уравнений, которые позволяют применить аппарат Гамильтона- Понтрягина для постановки широкого класса задач оптимального управления вращающимися твердотельными объектами с жидким наполнением.

6. Для рассматриваемых моделей динамических систем построены множества достижимости, играющие важную роль при решении задач управления, наблюдения, прогнозирования и анализа предельных возможностей систем управления.

7. На основе принципа максимума JI. С. Понтрягина проведен аналитический и численный анализ задач оптимального управления возмущенным движением тела с жидкостью для некоторых функционалов и ограничений на управляющий момент.

8. Решена модельная задача управления системой «тело - жидкость» в условиях неполных данных о начальном положении системы на основе необходимых условий оптимальности А. Б. Куржанского для задач управления в условиях неопределенности.

9. Набор предложенных в диссертации алгоритмов представлен в виде комплекса программ для численного решения рассматриваемых задач.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Гурченков А. А., Иванов И. М., Носов М. В. Задача оптимального управления ротором с частичным заполнением жидкостью. // XXXV Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения». Москва. 2009.

2. Гурченков А. А., Корнеев В. В., Носов М. В. Динамика слабовозмущенного движения заполненного жидкостью гироскопа и задача управления. // Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72. Вып. 6. С. 904-911.

3. Гурченков А. А., Иванов И. М., Кузовлев Д. И., Носов М. В. Анализ задач устойчивости и управления гироскопических систем стабилизации космических аппаратов. // XXXIV Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения». Москва. 2008. Т. 5. С. 68.

4. Гурченков А. А., Иванов И. М., Кузовлев Д. И., Носов М. В. Слабовозмущенное движение волчка, заполненного жидкостью, и проблема управления. // XVII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвященная памяти К. И. Бабенко. Дюрсо. 2008.

5. Гурченков А. А., Носов М. В. Оптимальное управление движением волчка с жидким наполнением. // Труды IV Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов «Современное состояние,и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах». Анапа. 2007. Т. 2. С. 125 - 127.

6. Гурченков А. А., Корнеев В. В., Носов М. В. Устойчивость и управление движением волчка с жидкостью. М.: ВЦ РАН. 2006. 38 с.

7. Гурченков А. А., Носов М. В. Задача управления вращательным движением твердого тела с жидким наполнением. // XXXII Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения». Москва. 2006.

8. Гурченков А. А., Корнеев В. В., Носов М. В. Управление движением волчка с жидким наполнением. // Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. 2006.10 (2). С. 27 - 33.

9. Гурченков А. А., Носов М. В. Устойчивость ротора с вязкой жидкостью. М.: ВЦ РАН. 2005.32 с.

Ю.Гурченков А. А., Носов М. В. Исследование устойчивости стационарного вращения тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. // XXXI Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения». Москва. 2005. Т. 5. С. 42.

Отпечатано в ООО «Компания Спутник+» ПД № 1-00007 от 25.09.2000 г. Подписано в печать 30.08.2010 Тираж 100 экз. Усл. п.л. 1,5 Печать авторефератов (495)730-47-74,778-45-60

Введение

1. Математические модели, описывающие динамику вращательных движений твердого тела с идеальной жидкостью

§ 1. Обзор моделей и подходов в задачах динамики систем с жидким наполнением.

§ 2. Модельные уравнения движения твердого тела с полостью, полностью заполненной идеальной несжимаемой жидкостью

§ 3. Устойчивость стационарного вращения твердого тела с полостью, содержащей жидкость.

§ 4. Зависимость угловой скорости возмущенного движения от момента внешних сил.

§ 5. Эквивалентная система уравнений

§6. Аналитическое решение задачи безусловной оптимизации с терминальным функционалом.

§ 7. Модельная задача с разрывным управлением.

2. Математическая модель, описывающая динамику твердого тела, содержащего жидкость со свободной поверхностью

§ 1. Постановка задачи

§ 2. Малые колебания жидкости, частично заполняющей сосуд

§3. Вращательные движения твердого тела с полостью, частично заполненной жидкостью.

§ 4. Линеаризация задачи.

§5. Задача гидродинамики.

§ 6. Метод Бубнова - Галеркина.

§ 7. Устойчивость свободного вращения системы тело - жидкость».

§8. Уравнения движения системы «тело - жидкость» в эквивалентной форме.

9. Задача оптимального управления волчком, частично заполненным жидкостью.

3. Моделирование вихревых движений вязкой жидкости в полости вращающегося тела

§ 1. Уравнения возмущенного движения тела с полостью, содержащей вязкую жидкость.

§ 2. Коэффициенты инерционных связей твердого тела с жидкостью (цилиндрическая полость)

§ 3. Устойчивость жидконаполненного гироскопа.

§ 4. Интегральное соотношение в случае вязкой жидкости.

§ 5. Задача управления возмущенным движением.

5.1. Сведение к эквивалентной системе.

5.2. Аналитическое решение задачи безусловной минимизации с терминальным функционалом.

§ 6. Задача с геометрическими ограничениями типа неравенств.

4. Другие модели оптимального управления

§1. Исследование множества достижимости.

1.1. Постановка задачи для случая линейных систем

1.2. Построение выпуклой оболочки множества достижимости

§ 2. Управление в условиях неопределенности.

2.1. Задача о переводе системы в заданное состояние, когда начальное положение точно не определено

2.2. Результаты вычислений.

Актуальность темы

В настоящее время в связи с проблемами геофизики, океанологии, физики атмосферы, использованием криогенных жидкостей в технике, а также проблемами изучения и охраны окружающей среды и рядом других задач значительно возрос интерес к изучению волновых движений различных неоднородных жидкостей. Этот интерес обусловлен не только практическими потребностями, но и большим теоретическим содержанием возникающих здесь проблем.

Отметим, что проблема влияния вихревых полей на динамику твердого тела известна достаточно давно. С ней приходится все время сталкиваться в динамике полета самолетов, вертолетов и других летательных аппаратов, движущихся в атмосфере, в динамике ракет носителей и космических аппаратов с жидкостно-реактивными двигателями, имеющих демпфирующие устройства и другие конструктивные элементы внутри топливных баков. Аналогичные проблемы возникают при решении задач, связанных с ориентацией и стабилизацией искусственных спутников и космических аппаратов.

Для детального описания широкого круга физических явлений, связанных с динамикой вращающихся жидкостей, необходимо исходить из достаточно развитых математических моделей, которые, как правило, оказываются весьма сложными, нелинейными, многопараметрическими, и для их полного исследования эффективны лишь численные методы. Однако в ряде случаев первоначальное качественное представление об изучаемом круге явлений можно получить и на основе более простых линейных моделей и аналитических методов их исследования. Даже в рамках линейных моделей их математические постановки весьма своеобразны и приводят к нестандартным начально-краевым задачам.

В настоящей работе проведено исследование этого класса задач, в котором наряду с диссипативными эффектами учитывается также влияние кинетической энергии вихревых движений жидкости. При этом динамика объектов, для которых вихревые поля могут играть доминирующую роль, описывается на основе единой феноменологической модели нестационарных вихревых движений жидкости.

Соответствующие математические модели, описывающие движение рассматриваемых объектов, представляют собой системы сингулярных интегро-дифференциальных уравнений, допускающие эффективное исследование современными аналитическими и численными методами. Такого рода феноменологические модели позволяют, не зная деталей распределения вихрей, получить информацию о поведении системы в целом и выявить ряд новых тонких динамических эффектов.

Таким образом, актуальной научной проблемой диссертации является разработка новых математических моделей для изучения динамики вращающихся твердых тел с жидким наполнением.

Такими научными проблемами являются задачи устойчивости вращающихся объектов, содержащих как идеальную, так и вязкую жидкость, а также задачи оптимального управления подобными системами.

Изложенные проблемы сформулировали следующую цель диссертации.

Цель и задачи исследования

Целью настоящей работы является разработка методов решения задач динамики вращающегося твердого тела, содержащего жидкость, а также исследование модельных задач оптимального управления подобными динамическими системами.

Достижение поставленной цели потребовало разработки эффективных математических моделей, описывающих динамику вращательного движения твердого тела с жидкостью.

На основе предложенных моделей поставлена и решена задача об устойчивости невозмущенного движения тела с жидкостью и выявление ограничений на конфигурацию системы, обеспечивающих выполнение необходимых условий устойчивости.

Для постановки задач оптимального управления движением рассматриваемых систем потребовалось осуществить преобразование исходных соотношений и, в частности, получить эквивалентные системы дифференциальных уравнений.

На основе описанных выше результатов поставлены некоторые задачи оптимального управления объектами с запасами жидкости, в том числе — задача управления в условиях неопределенности, когда начальные состояния в системе управления неизвестны заранее, а доступная информация ограничивается заданием допустимых областей изменения соответствующих величин. Решения поставленных задач получены с использованием аппарата оптимального управления, основанного на принципе максимума JI. С. Понтрягина, и методов теории управления в условиях неопределенности на основе формализма А. Б. Куржанского.

Для проведения вычислительных экспериментов и расчетов потребовалось разработать комплекс программ на основе современных технологий математического моделирования.

Объект и предмет исследования

Объектом исследования являются уравнения динамики вращающегося твердого тела, содержащего жидкость, и нелинейные уравнения На-вье - Стокса, описывающие поведение жидкости в полости вращающегося твердого тела.

Предметом исследования являются математические модели и вычислительные методы решения уравнений динамики вращающегося твердого тела с жидкостью, и математические модели задач устойчивости и оптимального управления этими системами.

Методы исследования

В работе применяются методы классической математической физики, такие как разделение переменных, решение задач на собственные значения, методы теории функции комплексного переменного, методы теории возмущения и асимптотические методы.

При решении задачи Коши для линеаризованной системы уравнений Навье - Стокса в случае возмущенного относительно равномерного вращения движения тела с полостью, содержащей жидкость, применен метод Галеркина, с помощью которого временная составляющая решения отделяется от пространственных координат. Вспомогательная гидродинамическая задача решена методом разделения переменных.

Для случая вязкого заполнения учет вязкости производится методом пограничного слоя, а выражения для обобщенных диссипативных сил получаются, следуя процедуре Л. Д. Ландау. Решение полученных систем интегро-дифференциальных уравнений проводится методом преобразования Лапласа.

При решении задачи устойчивости свободного вращения тела с жидкостью для характеристического уравнения системы применяется критерий устойчивости А. М. Ляпунова для линейных систем. Методом возмущений получены поправки в случае заполнения полости вязкой жидкостью.

Для решения задач оптимального управления используется принцип максимума Л. С. Понтрягина. Применены необходимые условия оптимальности А. Б. Куржанского для задач управления в условиях неопределенности. Для построения численных решений задач оптимального управления с геометрическими ограничениями используется метод последовательных приближений Крылова - Черноусысо.

Вычисления и визуализация результатов расчетов проводились в среде MATLAB, а также в среде Borland Delphi. Текст наиболее важных алгоритмов вынесен в приложения и является важной частью диссертации.

Научная новизна

Научная новизна исследования заключается в том, что работа содержит решение актуальных проблем моделирования вращающихся твердотельных объектов с жидким наполнением. Предложены эффективные модели рассматриваемых динамических процессов. Разработаны алгоритмы и программный комплекс для проведения вычислительных экспериментов и расчетов с использованием существующих методов математического моделирования. В рамках предложенного подхода представлены аналитические и численные решения задач устойчивости и оптимального управления вращательным движением твердого тела с полостью, содержащей жидкость.

Практическая ценность

Разработанные модели и методы решения динамических задач вращающихся твердых тел с жидким наполнением, а также численные методы для решения задач оптимального управления, могут быть использованы при изучении динамики движущихся в атмосфере летательных аппаратов, космических аппаратов с запасами топлива, которые закручиваются на орбите вокруг некоторой осп, для стабилизации, равномерного нагрева солнечными лучами, создания искусственной силы тяжести и других целей. Эти результаты также применимы при проектировании быстровращающихся роторов, центрифуг, гироскопов, имеющих внутри себя полости, заполненные жидкостью.

Апробация результатов

Представленные в работе результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1) XVII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвященная памяти К. И. Бабенко (г. Абрау-Дюрсо, 2008 г.).

2) Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения» (г. Москва, 2005 - 2009 гг.).

3) Научные семинары кафедры «Прикладная математика» «МАТИ» -РГТУ им. К. Э. Циолковского (2005 - 2009 гг.).

4) Научный семинар факультета математического моделирования Технологического Университета г. Мюнхен - TUM (г. Мюнхен, Германия, 15 ноября 2007 г.).

5) IV Всероссийская научная конференция молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах»(г. Анапа, 2007 г.).

Эти результаты также используются в курсе лекций по дисциплине «Дополнительные главы математического анализа» на кафедре прикладной математики «МАТИ» — РГТУ им. К. Э. Циолковского.

Публикации основных результатов

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [94] -[101].

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы из 135 наименований. Общий объем диссертации - 133 страницы, включая 34 рисунка, 1 таблицу и 1 приложение.

Заключение

Сформулируем основные результаты работы:

1) В диссертационной работе решены поставленные задачи по разработке методов решения актуальных проблем динамики вращающегося твердого тела, содержащего жргдкость, и исследованию модельных задач оптимального управления.

2) Предложены математические модели динамики вращающихся тел с жидкостью, особенностью которых является возможность получить информацию о поведении системы в целом, учесть влияние кинетической энергии вихревых движений жидкости, не зная деталей распределения вихрей.

3) На основе представленных моделей решена задача об устойчивости свободного вращения твердотельного объекта с запасом жидкости в цилиндрическом отсеке, при этом выведены соотношения, связывающие параметры полости тела и массу жидкости, обеспечивающие выполнение необходимых условий устойчивости.

4) Найдена аналитическая зависимость угловой скорости возмущенного движения системы «тело - жидкость» от внешнего момента, которая позволяет ставить разнообразные задачи оптимального управления, причем компоненты момента внешних сил, действующих на систему, перпендикулярные оси стационарного вращения, рассматриваются как управляющие воздействия.

5) Выведены эквивалентные системы дифференциальных уравнений, которые позволяют применить аппарат Гамильтона - Понтрягина для постановки широкого класса задач оптимального управления вращающимися твердотельными объектами с жидким наполнением.

6) Для рассматриваемых моделей динамических систем построены множества достижимости, играющие важную роль при решении задач управления, наблюдения, прогнозирования и анализа предельных возможностей систем управления.

7) На основе принципа максимума JI. С. Понтрягина проведен аналитический и численный анализ задач оптимального управления возмущенным движением тела с жидкостью для некоторых функционалов и ограничений на управляющий момент.

8) Решена модельная задача управления системой «тело - жидкость» в условиях неполных данных о начальном положении системы на основе необходимых условий оптимальности А. Б. Куржанского для задач управления в условиях неопределенности.

9) Набор предложенных в диссертации алгоритмов представлен в виде комплекса программ для численного решения рассматриваемых задач.

1. Stokes G. Mathematical and Physical Papers, vol. 1. Cambridge, 1880.

2. ГельмгольцГ. Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз, 1959.

3. Ламб Г. Гидродинамика. М-Л., Гостехиздат, 1947.

4. Neumann С. Gydrodynarnishe Untersuchungen. Leipzig, 1883.

5. Жуковский Н. Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью. Собр. соч., т. II, Гостехиздат, 1947.

6. Kelvin, Lord. Mathematical and Physical Papers, vol. IV. Cambridge, 1882.

7. Greenhill A. G. On the general motion of a liquid ellipsoid. Proc Camb. Phil. Soc, vol. 4, 1880.

8. Hough. The Oscillations of a Rotating Ellipsoidal Shell containing Fluid. Phil. Transactions (A), vol. 186, 1, 1895.

9. PoincareH. Sur la precession des corps deformables. Bulletin as-tronomoque, t. XXVII, 1910.

10. Соболев С. Л. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью. ПММ. I960. № 3. С. 20 55.

11. Ишлинский А. Ю., ТемченкоМ.Е. О малых колебаниях вертикальной оси волчка, имеющего полость, целиком наполненную идеальной несжимаемой жидкостью. ПМТФ, № 3, I960.

12. Малашенко С. В., Темченко М. Е. Об одном методе экспериментального исследования устойчивости движения волчка, внутри которого имеется полость, наполненная жидкостью. ПМТФ, 3, 1960.

13. StewartsonK. On the Stability of a Spinning Top Containing Liquid. J. Fluid Mech., vol. 5, 4, 1959.

14. АлександрянР. А. Спектральные свойства операторов, порожденных системами дифференциальных уравнений типа С. Л. Соболева. Труды Московского математического общества, т. 12, вып. 1, I960.

15. КрейнС.Г. Дифференциальные уравнения в Банаховом пространстве и их приложения в гидромеханике. УМН, т. 12, вып. 1, 1957.

16. Четаев Н. Г. Об- устойчивости вращательных движений твердого тела, полость которого наполнена идеальной жидкостью. ПММ, т. 21, вып. 2, 1957.

17. Румянцев В. В. Уравнения движения твердого тела, имеющего полости, неполностью заполненные жидкостью. ПММ, т. 18, № 6, 1954.

18. Румянцев В. В. Об уравнениях движения твердого тела с полостью, наполненной жидкостью. ПММ, т. 19, № 1, 1955.

19. Румянцев В. В. Устойчивость вращения твердого тела с эллипсоидальной полостью, наполненной жидкостью. ПММ, т. 21, № 6, 1957.

20. Румянцев В. В. Об устойчивости равновесия твердого тела, имеющего полости, наполненные жидкостью. ДАН СССР, т. 124, № 2, 1959.

21. Румянцев В. В. Об устойчивости вращательных движений твердого тела с жидким наполнением. ПММ, Л"- 6, 1960.

22. Румянцев В. В. Об устойчивости вращения волчка с полостью, заполненной вязкой жидкостью. ПММ, т. 24, №"4, 1960.

23. Румянцев В. В. Методы Ляпунова в исследовании устойчивости движения твердых тел с полостями, наполненными жидкостью. Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, № 6, 1963.

24. Румянцев В. В. Об устойчивости движения твердого тела с жидкостью, обладающей поверхностным натяжением. ПММ, т. 28, № 4, 1964.

25. ПожарицкийГ. К., Румянцев В. В. Задача минимума в вопросе устойчивости движения твердого тела с полостью, заполненной жидкостью. ПММ, т. 27, вып. 1, 1963.

26. Пожарицкий Г. К., Румянцев В. В. О влиянии вязкости на устойчивость равновесия и стационарных вращений твердого тела с полостью, частично заполненной вязкой жидкостью. ПММ1, т. 28, вып. 1, 1964.

27. Колесников Н. Н. Об устойчивости свободного твердого тела с полостью, заполненной несжимаемой вязкой жидкостью. ПММ, т. 26, вып. 4, 1962.

28. Моисеев Н. Н., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965.

29. Моисеев Н. Н. Задача о малых колебаниях открытого сосуда с жидкостью под действием упругой силы. Укр. матем. жур., т. 4, № 2, 1952.

30. Моисеев Н. Н. Движение твердого тела, имеющего полость, частично заполненную идеальной капельной жидкостью. ДАН СССР, т. 85, № 4, 1952.

31. Моисеев Н. Н. О колебаниях тяжелой идеальной и несжимаемой жидкости в сосуде. ДАН СССР, т. 85, № 5, 1952.

32. Моисеев Н. Н. Задача о движении твердого тела, содержащего жидкие массы, имеющие свободную поверхность. Математический сборник, т. 32, вып. 1, 1953.

33. Охоцимский Д. Е. К теории движения тела с полостями, частично заполненными жидкостью. ПММ, т. 20, вып. 1, 1956.

34. Нариманов Г. С. О движении твердого тела, полость которого частично заполнена жидкостью. ПММ, т. 20, вып. 1, 1956.

35. Рабинович Б. И. Об уравнениях возмущенного движения твердого тела с цилиндрической полостью, частично заполненной жидкостью. ПММ, т. 20, вып. 1, 1956.

36. КрейнС. Г., МоисеевН. Н. О колебаниях твердого тела, содержащего жидкость со свободной поверхностью. ПММ, т. 2Г, вып. 2, 1957.

37. Вариационные методы в задачах о колебаниях жидкости и тела с жидкостью. Сборник статей. М.: ВЦ АН СССР, 1962.

38. Рабинович Б. И., Докучаев JT. В., Полякова3. М. О расчете коэффициентов уравнений возмущенного движения твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. Космические исследования, т. 3, вып. 2, 1965.

39. Моисеев Н. Н., Петров А. А. Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости. М.: ВЦ АН СССР, 1966.

40. Нариманов Г. С. О движении сосуда, частично заполненного жидкостью. Учет немалости движения последней. ПММ, т. 21, вып. 4, 1957.

41. Моисеев Н. Н. О математических методах исследования нелинейных колебаний жидкости. Труды Международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Киев, Изд-во АН УССР, т. 3, 1963.

42. МикишевГ. Н., ДорожкинН. Я. Экспериментальное исследование свободных колебаний жидкости в сосудах. Известия АН СССР. Ме-хан. и машиностр., № 4, 1961.

43. МикишевГ. Н., Невская Е. А., Мельникова И. М., ДорожкинН. Я. Об экспериментальном исследовании возмущенного движения твердого тела с полостями, частично заполнеными жидкостью. Космические исследования, т. 3, вып. 2, 1965.

44. Cooper R. М. Dynamics of liquids in moving containers. ARS Journal, vol. 30, № 8, 1960.

45. СлезкинН. А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Госте-хиздат, 1955.

46. Румянцев В. В. О движении твердого тела, содержащего полости, заполненные вязкой жидкостью. ПММ, т. 28, вып. 6, 1964.

47. КочинН. В., КибельИ. А., РозеН. В. Теоретическая гидромеханика, т. I, II, М.: Физматгиз, 1963.

48. Ландау JI. Д., ЛифшицЕ. М. Механика сплошных сред. М.: Гостехиздат, 1955.

49. ВишикМ. И., ЛюстерникЛ. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. УМН, т. 12, вып. 5, 1957.

50. Моисеев Н. Н. О краевых задачах для линеаризованных уравнений Навье -Стокса в слз^чае, когда вязкость мала. ЖВМиМФ, т. 1, № 3, 1961.

51. Краснощеков П. С. О колебаниях физического маятника, имеющего полости, заполненные вязкой жидкостью. ПММ, т. 27, вып. 2, 1963.

52. БагаеваН. Я., МоисеевН. Н. Три задачи о колебаниях вязкой жидкости. ЖВМиМФ, т. 4, № 2, 1964.

53. Шмидт А. Г. Колебания вязкой жидкости конечной глубины, вызванные начальным смещением ее свободной поверхности. ЖВМиМФ, т. 5, № 2, 1965.

54. Крушинская С. И1. Колебания тяжелой вязкой жидкости в подвижном сосуде. ЖВМиМФ, т. 5, № 3, 1965.

55. Черноусько Ф. Л. Колебания сосуда с вязкой жидкостью. Изв: АН СССР, МЖГ, № 1, 1967.

56. КрейнС. Г. О колебаниях вязкой жидкости в сосуде. Дан СССР, т. 159, № 2, 1964.

57. Иевлева О. Б. Малые колебания маятника со сферической полостью, заполненной вязкой жидкостью. ПММ, т. 28, вып. 6, 1964.

58. Иевлева О. Б. О колебаниях тела, наполненного вязкой жидкостью. ПМТФ, № 6, 1966.

59. StewartsonK., Roberts P. Н. On the motion of a fluid in a spheroidal cavity of a precessing rigid body. Journal of fluid mech., vol. 17, part 1, 1963.

60. Greenspan H. P, Howard L. N. On a time dependent motion of a rotating fluid. Journal of fluid mech., vol. 17, part 3, 1963.

61. Greenspan H. P. On the transient motion of a contained rotating fluid. Journal of fluid mech., vol. 20, part 4, 1964.

62. Greenspan H. P. On the general theory of contained rotating fluid motions. Journal of fluid mecli., vol. 22, part 3, 1965.

63. Greenspan H. P. On almost rigid rotations. Part 2. Journal of fluid mech., vol. 26, part 1, 1966.

64. BrethertonF. P., Carrier G.F., Longuet -HigginsM. S. Report of the I.U.T. A.M. symposium on rotating fluid systems. Journal of fluid mech., vol. 26, part 2, 1966.

65. Черноусько Ф. JI. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. М.: Изд -во ВЦ АН СССР, 1968.

66. MoisseyevN. N. Sur certains problemes mathematiques du mouvement relatif des satellites. Dynamics of satellites. Syposium, Paris, 1962. Springer -Verlag, Berlin -Gottingen -Heidelberg, 1963.

67. БеляеваM. А., МышкисА. Д., ТюнцовА. Д. Гидростатика в слабых гравитационных полях. Равновесные формы поверхности жидкости. Изв. АН СССР, Механ. и машиностр., № 5, 1964.

68. Моисеев Н. Н., Черноусько Ф. JI. Задачи колебаний жидкости, подверженной силам поверхностного натяжения. ЖВМ и МФ, т. 5, № 6, 1965.

69. Черноусько Ф. JI. О движении твердого тела с полостью, содержащей идеальную жидкость и пузырь воздуха. ПММ, т. 28, вып. 4, 1964.

70. Черноусько Ф. JI. Автомодельное движение жидкости под действием поверхностного натяжения. ПММ; т. 29, вып. 1, 1965.

71. Черноусько Ф. JT. Движение тонкого слоя жидкости под действием сил тяжести и поверхностного натяжения. ПММ, т. 29, вып. 5, 1965.

72. Петров В. М., Черноусько Ф. JI. Об определении формы равновесия жидкости под действием сил тяжести и поверхностного натяжения. Изв. АН СССР, МЖГ, № 5, 1966.

73. Копачевский Н. Д., Мышкис А. Д. Гидродинамика в слабых силовых полях. О малых колебаниях вязкой жидкости в потенциальном поле массовых сил. ЖВМиМФ, т. 8, № 6, 1966.

74. Докучаев JI. В., РваловР.В. Об устойчивости стационарного вращения твердого тела с полостью, содержащей жидкость. Изв. АН СССР, МТТ. 1973, № 2, С. 6 15.

75. РваловР.В., Роговой В. М-. О вращательных движениях тела с полостью, содержащей жидкость. Изв. АН СССР, МТТ, 1972, № 3, С. 15 20.

76. Докучаев JI. В., РваловР. В., Роговой В. М. Динамика вращающегося тела с жидкостью, совершающей вихревое движение. Изв. АН СССР, МТТ, № 1, 1972.

77. Черноусько Ф. JI. Известия АН СССР. ПММ № 4, вып. 9, 1966, с. 977.

78. Рабинович Б. И. Известия АН СССР. ПММ № 4, вып. 9, 1968, с. 221.

79. Микишев Г. Н., Дорожкин Н. Я. Известия АН СССР. МЖГ, № Г,1967, с. 67.

80. Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. М.: Машиностроение,1968.

81. Черноусько Ф. JI. Вращательные движения твердого тела с полостью, заполненной жидкостью. Изв. АН СССР, ПММ1, т. 31, вып. 3, 1967.

82. Гурченков А. А. Поле скоростей вязкой жидкости во вращающемся цилиндре. М.: Сб. Избранные проблемы физической кинетики и гидродинамики дисперсных систем. Деп. ВИНИТИ, № 2675-В87, 1987.

83. Гурченков А. А. Момент сил внутреннего трения быстровращаю-щегося цилиндрического сосуда, заполненного вязкой жидкостью. Изв. вузов. Приборостроение, 2001.

84. Гурченков А. А. Вихревые движения жидкости в полости вращающегося тела. М.: Машиностроение, 2001.

85. Гурченков А. А. Вихревые движения вязкой жидкости в полости' вращающегося тела. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-лгатематических наук. М.: 2001.

86. Гурченков А. А. Устойчивость жидконаполненного гироскопа. // ИФЖ. 2002. Т. 75, № 3.

87. Черноусько Ф. Л. Движение твердого тела с полостями, заполненными вязкой жидкостью, при малых числах Рейнольдса. // ЖВМиМФ, 1965, Т. 5. Ш 6. С. 1049 1070.

88. Черноусько Ф. Л. Движение тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью, при больших числах Рейнольдса. // ПММ, 1966, Т. 30. вып. 3. С. 476 494.

89. Черноусько Ф. Л. Колебания твердого тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью. // Механика твердого тела. 1967. № 1. С. 3 -14.

90. Черноусько Ф. Л. О движении тела с полостью, частично заполненной вязкой жидкостью. // ПММ, 1966, Т. 30. вып. 6. С. 476 494.

91. Черноусько Ф. Л. О свободных колебаниях вязкой жидкости в сосуде. // ПММ, 1966. Т. 30, вып. 5. С. 836 847.

92. Гурченков А. А., Носов М: В. Устойчивость ротора с вязкой жидкостью. М.: ВЦ РАН. 2005.

93. Гурченков А. А., КорнеевВ. В., Носов М. В. Устойчивость и управление движением волчка с жидкостью. М.: ВЦ РАН. Монография. 2006.

94. Гурченков А. А., Носов М. В. Задача управления вращательным движением твердого тела с жидким наполнением. XXXII Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения». Москва,2006. С. 142 143.

95. Гурченков А. А., КорнеевВ. В., Носов М. В. Управление движением волчка с жидким наполнением. // Динамика неоднородных систем. ИСА РАН, 2007, Т. 10(2). С. 27 34.

96. Гурченков А. А., КорнеевВ. В., Носов М. В. Динамика слабовозмущенного движения заполненного жидкостью гироскопа и задача управления. // ПММ, 2008, Т. 72. Вып. 6. С. 904 911.

97. ГУрченков А. А., Иванов И. М., Кузовлев Д. И., Носов М. В. Анализ задач устойчивости и управления гироскопических систем стабилизации космических аппаратов. // XXXIV Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения». 2008. Т. 5. С. 68.

98. Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Понтрягин JI. С. К теории оптимальных процессов // Докл. АН СССР, 1956. Т. 110, № 1. С. 710.

99. Красовский Н. Н. К теории оптимального регулирования // Автоматики и телемеханика, 1957. Т. 18. № 11. С. 960 970.

100. Красовский Н. Н. Проблемы стабилизации управляемых движений //В книге: Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. Допол. 4. М.: Наука, 1966. С. 475 514.

101. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука. 1968.

102. Красовский Н. Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970.

103. Krasovskiy N. N. Subbotin A. I. Game-Theoretical Control Problems. New York: Springer Verlag, 1987.

104. Kalman R. E. On the general theory of control systems // Proc. 1IFAC Cong. (Moscow 1960). London: Butherworths, 1960. P. 481 492.

105. Понрягин JI. С., Болтянский В. Г., ГамкрелидзеР. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматлит. 1961.

106. ШильякД. Децентрализованное управление сложными системами. М.: Мир, 1994.

107. KokotovicP., ArcakM. Costructive nonlinear control: a historical perspective // Automatica. Vol. 37. № 5. P. 637 662.

108. МирошникИ. В., Никифоров В. О., ФрадковА. JI. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука. 2000.

109. Румянцев В. В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем И ПММ, 1970. Т. 34. Вып. 3. С. 440 456.' 3

110. Rumyantsev V. V. On« the stability with respect to a part of the variables // Symp. Math. Vol. 6. Meccanica non-lineare. Stability. 23 26 febbrario, 1970. New York: Acad. Press. 1971. P. 243 - 265.

111. Румянцев В. В. Об оптимальной стабилизации движения по отношению к части переменных // Изв. РАН. Техническая кибернетика. № 1. С. 184 189.

112. ФурасовВ. Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. М.: Наука. 1977.

113. ОзиранерА. С. Об оптимальной стабилизации движений относительно части переменных // ПММ, 1978, Т. 42. Вып. 2. С. 272 -276.

114. Пятницкий Е. С. Синтез систем стабилизации программных движений нелинейных систем // Автоматика и телемеханика, 1993, Т. 54. № 7. С. 19 37.

115. Ковалев А. М. Управляемость динамических систем по части переменных // ПММ, 1993, Т. 57. Вып. 6. С. 41 50.

116. Kovalyev А. М. Control and stabilization problems with respect to a part of the variables // ZAMM, 1994, Vol. 74. № 7. P. 59 60.

117. Ковалев A. M. Частичная устойчивость и стабилизация динамических систем // Украинский математический журнал, 1995, Т. 47. № 2. С. 186 193.

118. Воротников В. И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. М.: Наука, 1991.

119. Vorotnikov V. I. Partial Stability and Control. Boston: Birkhauser, 1998

120. Воротников В. И. К нелинейной игровой задаче переориентации асимметричного твердого тела // Изв. РАН. МТТ, 1999, № 1. С. 3 -18.

121. АкуленкоЛ.Д. Асимптотические методы оптимального управления. М.: Наука, 1987.

122. AlulenkoL.D. Problems and Methods of Optimal Control. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1994.

123. Охоцимский Д. E. К теории движения ракет // ПММ, 1940. Т. 10. Вып. 2.

124. БеллманР. Динамическое программирование. М.:ИЛ, 1960.

125. БеллманР., ГликсбергИ., ГроссО. Некоторые вопросы математической теории управления. М.:ИЛ, 1962.

126. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.

127. ДиткинВ. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974.

128. КалиткинН. Н. Численные методы. Учебное пособие. М.: Наука, 1978.

129. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

130. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968.

131. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1998.