автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Задача оптимального управления движением вращающегося тела с жидким наполнением

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА С ЖИДКИМ НАПОЛНЕНИЕМ

05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 7 мдгд 2012

005044029

Москва 2012

005044029

Работа выполнена в Федеральном Государственном Бюджетном Учреждении Науки Вычислительном центре им. А.А. Дородницына РАН в отделе сложных систем

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Гурченков Анатолий Андреевич

Официальные оппоненты: Заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико-математических наук, профессор

Латышев Анатолий Васильевич доктор физико-математических наук, профессор Абрамов Александр Петрович

Ведущая организация: Федеральное Государственное Бюджетное

Учреждение науки Институт системного анализа Российской академии наук

Защита состоится 31 мая 2012 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 002.017.03 при Вычислительном центре им. A.A. Дородницына РАН по адресу: 119333, Москва, ул. Вавилова, д. 40, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра им. A.A. Дородницына

Автореферат разослан 2012 г.

Ученый секретарь совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 002.017.03

кандидат физико-математических наук / / А.В. Мухин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Важной проблемой современного промышленного производства является развитие научных исследований в области обеспечения безопасности функционирования сложных технических систем. Это касается, в первую очередь, использования в качестве объекта исследования адекватных динамических моделей и разработки математических методов исследования безопасности сложных технических систем. Одним из важнейших факторов математической модели динамической системы, напрямую связанных с безопасностью, является устойчивость.

Начиная с середины XIX века теорию устойчивости начали успешно применять для решения проблем безопасности эксплуатации технических систем. Главным объектом исследования в это время были автоматические регуляторы производственных процессов, такие как регулятор Уатта для паровой машины. В работах Максвелла, Вышнеградского возникла теория регулирования (тогдашний синоним теории управления), в которой сформулирована цель теории управления - обеспечение устойчивости динамической системы

В 30-ые - 40-е годы прошлого века изучались стационарные режимы. В 50-е годы запросы техники потребовали анализа нестационарных процессов, в которых исследование устойчивости по Ляпунову оказалось недостаточным при проектировании управления ракетой. Место задачи устойчивости как основной задачи теории управления начинает занимать задача отыскания оптимального управления.

Одним из важнейших достижений науки и техники является создание и использование поля центробежных сил, которое оказалось весьма эффективным в машиностроении (роторные системы), космической технике (стабилизация космических аппаратов вращением), жидкостные гироскопы и многих других. Существует большое количество работ, посвященных этим вопросам в космической технике. До инженерных методик доведены расчеты сложнейших аппаратов-центрифуг в химической технологии. В то же время далеко не все вопросы динамики роторных систем с жидкостью получили достаточное развитие и освещение.

В последние 5-7 лет профессором A.A. Гурченковым [1] и его учениками проводятся интенсивные исследования динамики вращающихся тел с полостями, содержащими жидкость. Задачи стабилизации и управления движением ротора с полостью, содержащей жидкость, являются важными как с теоретической точки зрения, так и в силу многочисленных технических приложений. Они возникают и при изучении движения самолетов, кораблей,

3

и спутников, где запас жидкого топлива, имеющийся на борту, оказывает существенное влияние на движение этих аппаратов.

Рассматриваемые вопросы находят свое применение при изучении динамики космических аппаратов с запасами топлива, которые равномерно закручиваются на орбите вокруг некоторой оси для стабилизации, равномерного нагрева солнечными лучами, создания искусственной силы тяжести и других целей.

В данной работе предложена методика для решения задач оптимального управления в применении к вращающимся телам, наполненным жидкостью.

Таким образом, актуальной научной проблемой диссертации является разработка новых подходов и методов для изучения динамики вращающихся твердых тел с жидким наполнением.

Цель и задачи исследования

Основной целью данной работы является анализ систем управления движением вращающихся твердых тел с жидким наполнением, совершающих возмущенное относительно равномерного вращения движение под действием моментов внешних сил. Рассматривается случай полного и частичного заполнения полости идеальной жидкостью. Компоненты момента внешних сил, действующих на систему, перпендикулярные оси стационарного вращения, предполагается рассматривать как управляющие воздействия.

Одной из главных задач исследований было получение зависимости характеристик системы от момента внешних сил. Другой задачей было выяснение устойчивости объекта, получение ограничений на параметры системы для обеспечения ее устойчивости.

Научная новизна

В последние годы проводятся интенсивные исследования динамики вращающихся тел с полостями, содержащими жидкость, для двух основных классов движений: ротационных и либрационных, что находится в русле важнейших приложений.

Эту. проблему в настоящее время нельзя считать решенной с теоретической точки зрения, хотя она и была предметом ряда исследований.

Практически отсутствуют результаты о постановке задач оптимального

управления для таких систем. В настоящей работе представлена методика

получения соотношений между угловыми скоростями, перпендикулярными

основному вращению, и моментом внешних сил, который рассматривается

4

как управление, дается постановка задач оптимального управления с различными функционалами и представлен математический аппарат для их эффективного решения.

Рассматриваются известные в теории управления модели; где в качестве связей фигурируют найденные соотношения, описывающие динамику тел с жидким наполнением.

Объект и предмет исследования

Объектом исследования является динамически симметричное твердое тело с полостью, частично или полностью заполненной идеальной жидкостью, которое вращается под действием моментов внешних сил. Предметом исследования являются уравнения динамики вращающегося твердого тела, содержащего жидкость, и нелинейные уравнения Навье-Стокса, описывающие поведение жидкости в полости вращающегося твердого тела.

Методы исследования

В работе применяются методы классической математической физики, такие как разделение переменных, решение задач на собственные значения, методы теории функции комплексного переменного, методы теории обобщенных функций, методы теории возмущения, асимптотические методы.

Для решения задач оптимального управления используется принцип максимума JI.C. Понтрягина

Вычисления и визуализация результатов расчетов проводились в среде MATLAB, а также в среде Borland Delphi..

Практическая ценность

Результаты работы включены в отчеты по фантам РФФИ, проекты № 06-01-00316, 09-01-00678 а.

Результаты диссертации могут быть использованы при изучении задач управления движением летательных аппаратов, движущихся в атмосфере, космических аппаратов с запасами жидкого топлива, которые закручиваются на орбите вокруг некоторой оси, для стабилизации, равномерного нагрева солнечными лучами, создания искусственной силы тяжести и других целей. Эти результаты также применимы при проектировании быстровращающихся роторов, центрифуг, гироскопов, имеющих внутри себя полости, заполненные жидкостью.

Разработанные методы решения динамических задач вращающихся твердых тел с жидким наполнением могут быть использованы в учебных курсах по теории оптимизации, а также для решения задач оптимального управления гибридными системами.

Апробация результатов

Представленные в работе результаты докладывались и обсуждались на международных научных конференциях «Гагаринские чтения» в МАТИ РГТУ им. К.Э Циолковского, IV Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. Анапа 2007, XVII Всероссийской конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвященная памяти К. И. Бабенко. Дюрсо 2008, на Международном симпозиуме - Надежность и качество - Пенза, 2010, на научных семинарах в ИСА РАН, ИПМ РАН, ВЦ РАН.

Публикации основных результатов

Основные результаты диссертации опубликованы в 16 работах. Общий объем вклада автора составляет 2,13 пл. Из них 3 в изданиях, рекомендованных ВАК, общий вклад автора в них составляет 1.3 пл. В совместных работах результаты принадлежат соавторам в равных долях.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников. Объем диссертации 102 страницы. Список использованных источников включает 133 наименования. Текст разделен на главы, параграфы и пункты. Каждая глава имеет свою нумерацию формул и рисунков. В каждой главе изложение ведется в значительной степени независимо от других глав. Вводимые обозначения заново определяются в каждой главе.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается тема диссертации, ее актуальность, сформулированы цели и задачи исследования, изложены полученные результаты и их практическая ценность.

В первой главе представлен обзор существующих работ, который позволяет проследить основную канву развития исследований моделей и задач динамики тел с жидким наполнением. Указаны ключевые результаты и описаны основополагающие подходы и методики.

Далее рассматривается возмущенное относительно стационарного вращения движение твердого тела с полостью <3, целиком заполненной идеальной несжимаемой жидкостью плотности р, в поле массовых сил с потенциалом и (рис. 1). Уравнения Эйлера, описывающее движение жидкости, записываются во вращающейся системе координат Охуг, жестко связанной с твердым телом, а уравнения моментов - относительно центра инерции всей системы.

Рис. 1. Система «тело - идеальная жидкость»

Уравнения движения жидкости записаны во вращающейся системе координат 0X1X2X3, жестко связанной с твердым телом: ■н>0 + (В0 х (е> х г) + со х г + 2<о х V +

= (1.1)

<йуК = 0 в<2,п-У = 0 на5,У = Уй{г)прщ = 0.

Уравнения моментов относительно центра инерции О1 записаны в системе координат ОХ1Х2Х3:

K + G}*K = MU K = J<a + pjrxVctQ.

о

(1.2)

Задача (1.1), (1.2) линеаризуется около равномерного вращения.

Будем считать в возмущенном движении величины П, V, р и М малыми

первого порядка.

В первом приближении система уравнений движения жидкости имеет

вид:

ÖV

— + 2ш0хГ + Пхг = -Ур, ^

divV = 0 в Q, n-V = 0 на 5',К = К0(г) при / = 0.

Уравнения возмущенного движения тела с жидкостью имеют вид: Уп+ПхЛш0+о0хУП+р|гхКЛд+р|<а0х(гхК)£/д = М. (1.4)

в О

Для решения уравнений (1.3), (1.4) применяется метод Бубнова — Галеркина. Представим вектор скорости и давление в виде:

Г ^¿.У, (Í)"„ Р = ¿í/„ (ОФ. (1-5)

».i ».i где и„, ф„ являются решениями краевой задачи о собственных колебаниях жидкости в сосуде, которая записывается в следующем виде:

1д2<р

Л?,+ <Т2&Г = ° 8 & Lb = b+<rX[ez,b)+ob*e¡, (1.6)

(LVp,n) = 0 на S. где L(a) - линейное преобразование [5].

Эта задача, согласно [5], имеет счетное число собственных функций <рп и собственных значений <г„, заполняющих всюду плотно область Reer, =0, |<тя[ — 1 •

Процедура Галеркина приводит к уравнениям для коэффициентов разложения скорости в обобщенный ряд Фурье

S„=S,о при / = 0 (л = 1,2,...}

Уравнения движения тела с жидкостью приводятся к виду

Л1 + ПX+ (У0 хЛ} + р£\а„ 5„ 4 (юа Xа„)Л'„] = М (1.8)

Уравнения (1.7) и (1.8), а также присоединенные к ним начальные условия для 0(0 описывают динамику тела с идеальной жидкостью.

Таким образом, задача динамики вращающегося тела с полостью, содержащей жидкость, разбивается на две задачи, которые могут выполняться независимо. Первая, гидродинамическая задача, сводится к решению краевой задачи (1.6) и зависит только от геометрии полости и не зависит от движения тела. Вторая, динамическая часть задачи, сводится к решению задачи Коши для системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (1.7) и (1.8), и может быть выполнена известными методами аналитически и численно.

Для динамически симметричного тела уравнения движения системы "тело -жидкость" имеют вид:

ЛП +;(С - Л) ооа+2 (.У, - г<в0 ) = М, ^ ^

и' {й - 'Л -У.) + а„ ■ П = 0 (л = 1,2,...).

Здесь А = + = =

Выясним условия устойчивости динамически симметричного тела с жидкостью. Характеристическое уравнение невозмущенного движения (при М= 0) имеет вид (р = щ, р„ = /Я„)

Л6+(С-Л)ш0-А(6-Шо)Х-А- = 0, Е.=Ц-. (1.10)

Для устойчивости стационарного вращения необходимо, чтобы все корни Ьп уравнения (1.10) были действительными.

В первом приближении, когда вместо бесконечной суммы в (1.10) можно оставить один главный член (л=1), уравнения границ области устойчивости удовлетворяют равенствам:

причем область неустойчивости лежит между кривыми, определяемыми положительным и отрицательным значениями радикала.

Движение тела будет устойчивым при С > А, т.е. когда вращение происходит относительно оси наибольшего момента инерции. Неустойчивость может проявиться, когда С < А и только при О < < 1.

Области устойчивости для случая цилиндрической полости

Рассмотрим цилиндрическую полость с радиусом основания Я и высотой

2й.

На рис. 1, 2 изображены области устойчивости в безразмерных параметрах Д=(С - Л)/рЛ® и Н=к/Я. Области устойчивости на рис. 1 построены для значений параметров Л°=10, ¿=0; на рис. 2 - А°= 10, ¿=1. — безразмерный момент инерции тела без жидкости относительно поперечной оси Ох|; Ь -расстояние от центра масс тела с жидкостью до центра масс жидкости. Сочетания порядковых номеров продольных и поперечных гармоник / и р образуют индекс п.

Вторая глава "Задача управления вращающимся твердым телом с полостью, целиком заполненной жидкостью", посвящена постановке и решению задачи оптимального управления движением вращающегося тела с жидким наполнением.

С помощью преобразования Лапласа систему дифференциальных уравнений для твердого тела с идеальной жидкостью удается свести к интегральному уравнению для угловой скорости, что позволяет использовать формализм Гамильтона - Понтрягина для постановки и решения задач оптимального управления.

После преобразования система уравнений примет вид

\(Ар + г{С- А)аз0)С1 + 2^(р-Ша)3.=: М(р\ № (р+а„ рП = 0.

Здесь и далее крышечкой обозначены изображения соответствующих функций оригиналов. Исключая из системы (1.12), получаем выражение для С1{р) в зависимости от управляющего момента

-^-:--5-• (1-12)

А р + ¡(С-А) й)0 - 2р(р -

В дальнейшем рассмотрении ограничимся в бесконечной сумме в (1.12) только одним членом я = 1. Имеем

а(п\- М(р)(р-рд П{Р>~ (А-Е^-р^-р*)' '

(, 2) _ - (Я <э0 - А Л, + о0 Е,) ± соа - А Л, + ю0 Е, )2 + 4 (А - )5 са0 Л, ; , где р ■ 2(А-Е1) ^ ;

корни знаменателя и являются чисто мнимыми.

С помощью обратного преобразования Лапласа и формулы для свертки функций имеем

о(г)={л/(г)(хе""'м + Кг''1;<'-'|)а'г. (1.14)

где X к У - известные действительные числа, и с учетом (1.13) для них можно записать следующие выражения

2(А-Е1)^2)+<5<» -л^+ф^Е^

■¡(За^-АХ, +ша Е,У +4(А-Е,)3а>0^' ^{8соа-АЯ%+ е>„£,)2+4(А-Е,)5а0 Л,

Соотношение (1.14) не позволяет использовать принцип максимума Понтрягина. С этой целью получим эквивалентную соотношению (1.14) систему дифференциальных уравнений, которая более удобна для постановки и решения задач оптимального управления с использованием аппарата Гамильтона - Понтрягина.

Обозначим £2 = £2* — ;"Ц,, М - А/х — ¡Му; значения р(|) и рС) определяются в (1.13). Тогда, для каждой компоненты О, и Ц можно выписать выражения с действительными коэффициентами

Я (') со57п> (г- т)+У со5>)т (/ - фт +

О

+ \м, (г)[х5Ш пт («- г)+ У ЫПГ]т (г - г)]</г,

О

Пу (г)[* зт 7П) (I - г) + Узт г]т (/ - т)]С!Т +

-т

о

+ \му (г)[хсозт/(|) (г-г)+ УСОЪГ]™ (/-т)\1т.

+

•т.

о

Введем обозначения

о

о

Тогда Qx(i) = A(t) + B(t), и Qy(i) = C(t) + D(t). Для выражения (1.14) можно записать следующую эквивалентную ему систему

ix(t)=Ax(i)+BM(t), l*(0)=*Q.

А_._ =

где

'о 0 0 0 17« ,(2>

0 0 - Ч«Ч 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 7t2)

0 0 0 0 0

,0 0 0 0 0 0

'X + Y 0 ' Го'

0 X + Y 0

X 0 0

Y 0 » *Ь. ixl = 0

0 X 0

, 0 У « л

(1.15)

Система дифференциальных уравнений в форме (1.15) позволяет рассматривать широкий класс задач оптимального управления движением твердого тела с жидким наполнением.

Введем классический квадратичный терминальный функционал с квадратичной штрафной функцией.

Рассмотрим задачу оптимального управления системой (1.15)

7(Л/) = £(П4(Г)-П2) +у/(А/,2(0+М22(0)Л->тт, (1.16)

м о

х = Ах+ВМ, *(0) = 0,

Будем решать задачу (1.16) с использованием принципа максимума Л.С. Понтрягина. Функция Гамильтона - Понтрягина имеет вид

Я = гИ'У +(Л*(0+ЙМ(/Ы<)) (1.17)

Сопряженная система будет

[у/(7') = Ф'{х(Г\М))~22*(7х(Т,М)-Ь) V '

13

Получим выражения для оптимального управления

Я = 2 у мх + (Л- + У V, + X щ + У у/,, . (X + Yfc+Xn+Yr, С1-1^)

2г

■ H\<t^2rMy+{X + Y)y/1+X4/i + Y4/í„

.= (Х + У^+Х^+У^ (1-20)

2/

Для определения оптимального управления разрешим сопряженную систему (1.18).

Полученные решения сопряженной системы нужно подставить в (1.19) и (1.20), и окончательно значения оптимального управления можно будет записать, определив параметры QX(T) и £2У(7). Для этого можно воспользоваться системой двух линейных уравнений относительно Í2*(7) и £2у(Т), которая получается из (*) и при t = Т подстановкой в нее выражений (1.19) и (1.20), и найденных решений сопряженной системы (1.18). А именно

О, (г) = j М\ (г)[х cos 71 {1)(г -т)+У cos 77м (Г - r)]rfr + г ° (1-21) + |м; (г)[лГ sin 17(|'(Г - г)+У sin 7 w(r - r)]rfr,

О

Ciy (г) = j - М\ (r) [x sin Г]{1){т - z)+У sin г;(2)(Г - r)]dr + T ° (1-22)

+ \K Mi* cos T](A(T-r)+Y eos t]fl){T - r)]dr.

0

i=l A--1 o

Выражения (1.21) и (1.22) окончательно решают поставленную задачу в аналитической форме.

В Главе 3 рассматривается возмущенное относительно стационарного вращения движение твердого тела с полостью D, частично заполненной идеальной несжимаемой жидкостью плотности р, частично - газом, давление которого постоянно, в поле массовых сил с потенциалом U. Область Q,

занятая жидкостью, ограничена смоченной поверхностью 5 полости и свободной поверхностью 2.

Уравнения движения жидкости записаны во вращающейся системе координат 0х1х2х3, жестко связанной с твердым телом:

а>а + сох(гдхг)+<ахг + 2ахУ +

51 / , (2.1) (¡IV У = 0 в 2; (у,п) = 0 на 5;

аг

-= 0, /> = />„ на I; V = У0{г) при / = 0.

Уравнения моментов относительно центра инерции 0\ записаны в системе координат 0Х]Х2Х3:

К + юхК = М„ К = ;а> + р1гхУ<1д. (2.2

в

Задача (2.1), (2.2) линеаризуется около равномерного вращения. В первом приближении система уравнений движения жидкости имеет вид:

дУ

-+ 2 со 0хУ + Пх г = -Vр, ¿п У = 0в(2,пУ = 0на5,

^=-(со0хУ+Пхг)(ю0хг), — = -Упна£, (2.3)

У = У0(г)при1 = 0.

Уравнения возмущенного движения тела с жидкостью имеют вид:

JCl + Q.xJ(Oa+wl¡xJQ + p]rxУdQ + pja)<¡x(rxУ)dQ = M. (2.4)

в в

Здесь £2, V, М, р, А —малые первого порядка.

Для решения уравнений (2.3), (2.4) применяется метод Бубнова — Галеркина, когда вектор скорости и давление представим в виде:

11*1 »»I н=1

где и„, фп,/,, являются решениями краевой задачи о собственных колебаниях жидкости в сосуде.

Тогда задача (2.3) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов 5„, (/„, а„:

- А + т^2 - о) = 0, а,, - = 0 (л = 1,2,3,...), где Х„ - частоты колебаний жидкости в полости, г0 — радиус основания 2, Л=р/гх«„ ¿а

е Е а

К = хг))ср„с/£,8„ = ^ /Ц>„.

Система (2.4) примет вид:

(/> + ./') П+П х (У0 + /1) + ш0 X (у11 + /1) П+ »Р . п (2.6)

Для динамически симметричного тела уравнения движения системы "тело - жидкость со свободной поверхностью" имеют вид:

АП + /(С - А) <а„а+£ 2а„ Л/,

*=1

^ -К - 8„ („?„ -[/„))+ц* (а„п)=о,

Устойчивость свободно вращающейся системы "тело - жидкость"

Характеристическое уравнение системы при М= 0 имеет вид: А9 + (С-А)Ч-д(д-<о0) =

Л) (28)

„ 2аЛг°а.+ь*) - 2а.(г0а„5,+6„)

--£---1-. Л. =-5-5-■

Для устойчивости стационарного вращения необходимо, чтобы все корни уравнения (2.8) были действительными. В первом приближении, когда

вместо бесконечной суммы в (2.8) можно оставить один главный член (и=1), характеристическое уравнение имеет вид:

<?3 + г292+2,? + г0=0 (2.9)

Здесь

г2 = [>, (5, - 1)-у, (Я, 5, - % ) + (Я, + ^ + С - А) в0], г:1 (А-0)^8,(0,,

Корни уравнения (2.9) будут действительными, когда выполняется неравенство:

4 1+27

<0.

Глава 4 посвящена задаче оптимального управления вращающимся телом с полостью, содержащей жидкость со свободной поверхностью. Рассматривается задача управления движением данной системой с квадратичным функционалом и квадратичной штрафной функцией.

Исключая из системы (2.7) формы колебаний 1/„, а„ находим связь между угловой скоростью и внешним моментом в возмущенном движении:

(2.10)

Здесь -корни характеристического уравнения (2.8) при я= 1.

Щ) можно переписать в виде:

г.е"

Интегральное соотношение (2.10) может быть представлено в виде эквивалентной системы дифференциальных уравнений:

х = Ах+ВМ (2.11)

здесь

*-! ( -1

где

0 0 0 0 0 9. ?J Яг

0 0 ~Ях ~Яг 0 0 0

0 0 0 0 0 ?i 0 0

0 0 0 0 0 0 Чг 0

0 0 0 0 0 0 0 Яг

0 0 -я, 0 0 0 0 0

0 0 0 ~9г 0 0 0 0

0 0 0 0 ~Яъ 0 0 0

ix

ООО

2, Z, Z-,

-z, -z2 о 0

-Z3 0

Для задачи оптимального управления системой (2.11), введем функционал

/ ( Л/) = X (п, (Г) - П", )! + 7 } « (0 + (/)) Л -> тт, *-1 о

х = Ах + ВМ, *(0) = 0,

в работе получены аналитические решения в виде: у

1

Ml(t) =

л

п.

t-i i-i

(П, ) t Z(. cos (г - Г)) t (П2 (Г) - П») t sin (г - Г))

ы t=l

(г) = -¿Zt (г)sinfe (Г - г))- Mz (r)cos(9t (Г - г))>г,

»-I о

«2 (г) = "Z Jfo (r)cosfo (Г - г)) + М2 (r)sinfe (Г - г))К

Численное решение задачи оптимального управления с геометрическими ограничениями на управляющий момент.

Рассмотрим задачу оптимального управления:

/(М) = £(nt (Г)-aj)1 + у j« (/)+ (/))* min; |М, (/)| <С„ |М2 (()| < С2 (2.12)

к=I о

Задача (2.12) для системы х = Ах+ВМ, х(0) = 0, была решена

численно методом последовательных приближений Крылова - Черноусько. Рассмотрена невесомая цилиндрическая оболочка высотой 0.5 и радиусом основания, равным единице. Время Г = 1 - характерное время оборота оболочки вокруг своей оси.

П?=П° = 0.01

С, = С2 = 0.01 Для приведенных значений заданных угловых скоростей

у = 0.01

и ограничений компоненты возмущенных угловых скоростей через время Т= 1 становятся мало отличимыми от заданных. Результаты расчетов представлены графически.

Основные результаты работы

1. Представлены математические модели динамических систем с жидкостью, совершающие возмущенное ротационное движение, на основе которых решена задача об устойчивости свободного вращения твердотельного объекта с запасом жидкости в цилиндрическом отсеке; при этом выведены соотношения, связывающие параметры полости тела и массу жидкости, обеспечивающие выполнение необходимых условий устойчивости.

2. Найдена аналитическая зависимость угловой скорости возмущенного движения системы «тело-жидкость» от внешнего момента, которая позволяет ставить разнообразные задачи оптимального управления, причем компоненты момента внешних сил, действующих на систему, перпендикулярные оси стационарного вращения, рассматриваются как управляющие воздействия.

3. Выведены эквивалентные системы дифференциальных уравнений, которые позволяют применить аппарат Гамильтона-Понтрягина для постановки широкого класса задач оптимального управления вращающимися твердотельными объектами с жидким наполнением.

4. На основе принципа максимума JI.C. Понтрягина проведен аналитический и численный анализ задач оптимального управления возмущенным движением тела с жидкостью для некоторых функционалов и ограничений на управляющий момент.

Список цитированной литературы

1.Гурченков A.A. Динамика завихренной жидкости в полости вращающегося тела. М.: Физматлит, 2010.

2. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. ГИТТЛ, 1950.

3. Понтрягин Л.С. Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматлит,1961.

4. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

5. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1968.

6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: Гостехиздат, 1950

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Гурченков А. А., Иванов И.М., Носов М. В. Оптимальное управление движением тела с жидким наполнением.// Труды IV Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. Анапа 2007. Т.2. С. 125-127.

2. Гурченков А. А., Иванов И. М., Кузовлев Д. И., Носов М. В. Анализ задач устойчивости и управления гироскопических систем стабилизации космических аппаратов. // XXXIV Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения». Москва. 2008. Т. 5. С. 68.

3. Гурченков А. А., Иванов И. М., Кузовлев Д. И., Носов М. В. Слабо возмущённое движение волчка, заполненного жидкостью, и проблема управления. // XVII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвященная памяти К. И. Бабенко. Дюрсо. 2008. С.143-144

4. Гурченков А. А., Иванов И. М., Кузовлев Д.И. Устойчивость вращающихся тел с полостями, заполненными жидкостью. //Фундаментальные проблемы системной безопасности. Сб. статей. М.: Вузовская книга. 2008. С. 515-525.

5. Гурченков А.А., Иванов И.М. Задача оптимального управления ротором с частичным заполнением жидкостью. // XXXV Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения». Москва. 2009. Т.6. С.98.

6. Гурченков А. А., Иванов И. М., Кузовлев Д. И., Носов М. В. Задача устойчивости и управление движением волчка с частичным заполнением жидкостью. // ВЦ РАН, Москва, 2008, монография.

7. Гурченков А. А., Иванов И.М., Носов М. В. Управление движением волчка с жидкостью в условиях неопределенности. // XXXVI Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения». Москва. 2010. Т. 7. С. 156.

8.Гурченков А. А., Иванов И.М., Фесечко А.И. Задачи управления динамической системой с распределенными параметрами. // Труды международного симпозиума-Надежность и качество. Пенза,

2010. Т.1.С. 115-117.

9. Гурченков А. А., Иванов И.М. Либрационное движение тела в вязкой жидкости. // Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. 2010. Т.49(1). С. 92-07.

10. Гурченков А. А., Иванов И.М. Уравнения движения твердого тела с полостью, снабженной демпферами колебаний жидкости. // Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. 2010. Т.50 (1). С. 64-72.

11. Гурченков А. А., Иванов И.М. Управления вращающимися твердыми телами с жидким наполнением. // Вестник Мордовского университета. 2010. № 4, с. 88-93.

12. Иванов И.М. Гидродинамические коэффициенты для полостей вращения (соосный цилиндр). // XXXVII Международная молодежная конференция «Гагаринскиечтения». Москва. 2011. Т. 5. С. 78.

13. Иванов И.М. Метод двухмасштабного разложения уравнений Навье-Стокса. // XXXVII Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения». Москва. 2011. Т. 5. С. 96.

14. Гурченков A.A., Иванов И.М. Оптимальное управление движением волчка с жидкостью (управление с переключением). // XXXVIII Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения». Москва. 2012. Т. 5. С. 78.

15. Иванов И.М. Оптимальное управление движением волчка с жидкостью (терминальный функционал). // XXXVIII Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения». Москва. 2012. Т. 5. С. 107.

16. Иванов И.М. Задача устойчивости волчка с жидким наполнением. // XXXVIII Международная молодежная конференция «Гагаринские чтения». Москва. 2012. Т. 5. С. 145.

Подписано в печать:

26.04.2012

Заказ К° 7298 Тираж - 70 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

61 12-1/820

Федеральное I осударственное Бюджетное Учреждение Науки Вычислительный центр им. A.A. Дородницына Российской академии наук

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА С ЖИДКИМ НАПОЛНЕНИЕМ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и

обработка информации (промышленность)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор А. А. Гурченков

Москва 2012

Оглавление

Введение 4

Глава 1. Устойчивость вращающегося твердого тела с полостью,

целиком заполненной идеальной жидкостью 10

§ 1. Обзор моделей и подходов в задачах динамики систем

с жидким наполнением 11

§ 2. Уравнения движения твердого тела с полостью, полностью заполненной идеальной несжимаемой жидкостью 26

§ 3. Устойчивость стационарного вращения твердого

тела с полостью, содержащей жидкость 32

§ 4. Основные результаты, полученные в первой главе 41 Глава 2. Задача управления вращающимся твердым телом с

полостью, целиком заполненной жидкостью 43

§ 1. Зависимость угловой скорости возмущенного

движения от момента внешних сил 43

§2. Эквивалентная система уравнений 47

§3. Аналитическое решение задачи безусловной

оптимизации с терминальным функционалом 50

Глава 3. Устойчивость вращающегося твердого тела, содержащего жидкость со свободной поверхностью 54

§ 1. Постановка задачи 55

§ 2. Вращательные движения твердого тела с полостью,

частично заполненной идеальной жидкостью 58

§ 3. Линеаризация задачи 60

§ 4. Задача гидродинамики 61

§ 5. Метод Бубнова - Галеркина 65

§ 6. Устойчивость свободного вращения системы

«тело - жидкость» 68

Глава 4. Задача оптимального управления вращающимся

твердым телом с полостью, содержащей жидкость со свободной поверхностью 76

§ 1. Уравнения движения системы «тело - жидкость»

в эквивалентной форме 76

§ 2. Задача управления волчком, частично заполненным

жидкостью 79

§ 3. Задача с геометрическими ограничениями

типа неравенств 81

Заключение 88

Литература 91

Введение

Актуальность темы

Важной проблемой современного промышленного производства является развитие научных исследований в области обеспечения безопасности функционирования сложных технических систем. Это касается, в первую очередь, использования в качестве объекта исследования адекватных динамических моделей и разработки математических методов исследования безопасности сложных технических систем. Одним из важнейших факторов математической модели динамической системы, напрямую связанных с безопасностью, является устойчивость.

Начиная с середины XIX века теорию устойчивости начали успешно применять для решения проблем безопасности эксплуатации технических систем. Главным объектом исследования в это время были автоматические регуляторы производственных процессов, такие как регулятор Уатта для паровой машины. В работах Максвелла, Вышнеградского возникла теория регулирования (тогдашний синоним теории управления), в которой сформулирована цель теории управления - обеспечение устойчивости динамической системы

В 30-ые - 40-е годы прошлого века изучались стационарные режимы. В 50-е годы запросы техники потребовали анализа нестационарных процессов, в которых исследование устойчивости по Ляпунову оказалось недостаточным при проектировании управления ракетой. Место задачи устойчивости как основной задачи теории управления начинает занимать задача отыскания оптимального управления.

Одним из важнейших достижений науки и техники является создание и использование поля центробежных сил, которое оказалось весьма эффективным в машиностроении (роторные системы), космической технике (стабилизация космических аппаратов вращением), жидкостные гироскопы и

многих других. Существует большое количество работ, посвященных этим вопросам в космической технике. До инженерных методик доведены расчеты сложнейших аппаратов-центрифуг в химической технологии. В то же время далеко не все вопросы динамики роторных систем с жидкостью получили достаточное развитие и освещение.

В последние 5-7 лет профессором A.A. Гурченковым [1] и его учениками проводятся интенсивные исследования динамики вращающихся тел с полостями, содержащими жидкость. Задачи стабилизации и управления движением ротора с полостью, содержащей жидкость, являются важными как с теоретической точки зрения, так и в силу многочисленных технических приложений. Они возникают и при изучении движения самолетов, кораблей, и спутников, где запас жидкого топлива, имеющийся на борту, оказывает существенное влияние на движение этих аппаратов.

Рассматриваемые вопросы находят свое применение при изучении динамики космических аппаратов с запасами топлива, которые равномерно закручиваются на орбите вокруг некоторой оси для стабилизации, равномерного нагрева солнечными лучами, создания искусственной силы тяжести и других целей.

В данной работе предложена методика для решения задач оптимального управления в применении к вращающимся телам, наполненным жидкостью.

Таким образом, актуальной научной проблемой диссертации является разработка новых подходов и методов для изучения динамики вращающихся твердых тел с жидким наполнением.

Изложенные проблемы сформулировали следующую цель диссертации . Цель и задачи исследования

Основной целью данной работы является анализ систем управления движением вращающихся твердых тел с жидким наполнением, совершающих возмущенное относительно равномерного вращения движение под действием моментов внешних сил. Рассматривается случай полного и

частичного заполнения полости идеальной жидкостью. Компоненты момента внешних сил, действующих на систему, перпендикулярные оси стационарного вращения, предполагается рассматривать как управляющие воздействия. Одной из главных задач исследований было получение зависимости характеристик системы от момента внешних сил. Другой задачей было выяснение устойчивости объекта, получение ограничений на параметры системы для обеспечения ее устойчивости.

Важным направлением исследования была постановка задачи управления регулируемого объекта. При этом рассматривались различные методы теории оптимального управления для динамических систем, где в качестве неизвестной функции управления выступает момент внешних сил.

В ходе исследований удалось применить аппарат оптимального управления, основанный на принципе максимума Понтрягина, и теорию динамического программирования Беллмана. Для этого потребовалось осуществить преобразование исходных соотношений и, в частности, получить сведение к эквивалентным системам дифференциальных уравнений. В другом случае удалось использовать найденную зависимость напрямую. Научная новизна

В последние 5-7 лет профессором A.A. Гурченковым и его учениками проводятся интенсивные исследования динамики вращающихся тел с полостями, содержащими жидкость, для двух основных классов движений: ротационных и либрационных, что находится в русле важнейших приложений. Эту проблему в настоящее время нельзя считать решенной с теоретической точки зрения, хотя она и была предметом ряда исследований. Практически отсутствуют результаты о постановке задач оптимального управления для таких систем. В настоящей работе представлена методика получения соотношений между угловыми скоростями, перпендикулярными основному вращению, и моментом внешних сил, который рассматривается как управление, дается постановка задач оптимального управления с

различными функционалами и представлен математический аппарат для их эффективного решения. Рассматриваются известные в теории управления модели; где в качестве связей фигурируют найденные соотношения, описывающие динамику тел с жидким наполнением. Объект и предмет исследования

Объектом исследования является динамически симметричное твердое тело с полостью, частично или полностью заполненной идеальной жидкостью, которое вращается под действием моментов внешних сил. Предметом исследования являются уравнения динамики вращающегося твердого тела, содержащего жидкость, и нелинейные уравнения Навье-Стокса, описывающие поведение жидкости в полости вращающегося твердого тела.

Предметом исследования являются математические модели и вычислительные методы решения уравнений динамики вращающегося твердого тела с жидкостью, и математические модели задач устойчивости и оптимального управления изучаемыми динамическими системами. Методы исследования

В работе применяются методы классической математической физики, такие как разделение переменных, решение задач на собственные значения, методы теории функции комплексного переменного, методы теории обобщенных функций, методы теории возмущения, асимптотические методы. При решении задачи Коши для линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса в случае возмущенного относительно равномерного вращения движения тела с полостью, содержащей жидкость, применен метод Галеркина, с помощью которого временная составляющая решения отделяется от пространственных координат. Вспомогательная гидродинамическая задача решена методом разделения переменных.

При решении задачи устойчивости свободного вращения тела с жидкостью для характеристического уравнения системы применяется критерий А.М.Ляпунова устойчивости линейных систем. Для решения задач оптимального управления используется принцип максимума Л.С.

Понтрягина. Применены необходимые условия оптимальности А.Б. Куржанского для задач управления в условиях неопределенности. Для построения численных решений задач оптимального управления с геометрическими ограничениями используется метод последовательных приближений Крылова-Черноусько. Вычисления и визуализация результатов расчетов проводились в среде MATLAB, а также в среде Borland Delphi. Текст наиболее важных алгоритмов вынесен в приложения и является важной частью диссертации. Практическая ценность

Результаты работы включены в отчеты по грантам РФФИ, проекты № 06-01-00316, 09-01-00678 а. Результаты диссертации могут быть использованы при изучении задач управления движением летательных аппаратов, движущихся в атмосфере, космических аппаратов с запасами жидкого топлива, которые закручиваются на орбите вокруг некоторой оси, для стабилизации, равномерного нагрева солнечными лучами, создания искусственной силы тяжести и других целей. Эти результаты также применимы при проектировании быстровращающихся роторов, центрифуг, гироскопов, имеющих внутри себя полости, заполненные жидкостью.

Разработанные методы решения динамических задач вращающихся твердых тел с жидким наполнением могут быть использованы в учебных курсах по теории оптимизации, а также для решения задач оптимального управления гибридными системами. Апробация результатов

Представленные в работе результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1. Труды IV Всероссийской научной конференции молодых ученых и студентов. Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах. Анапа 2007

2. XXXIV, XXXV, XXXVI, XXXVII Международные молодежные конференция «Гагаринские чтения». Москва. 2008, 2009,2010,2011.

3. XVII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвященная памяти К. И. Бабенко. Дюрсо. 2008.

4. Труды международного симпозиума-Надежность и качество. Пенза, 2010.

5. Научные семинары кафедры «Прикладная математика» «МАТИ» - РГТУ им. К. Э. Циолковского (2005 - 2009 гг.).

6. Научные семинары в ИСА РАН, ВЦ РАН (2009-2011). Публикации основных результатов

Основные результаты диссертации опубликованы в 16 работах. Общий объем вклада автора составляет 2,13 п.л. Из них 3 в изданиях, рекомендованных ВАК, общий вклад автора в них составляет 1.3 п.л. В совместных работах результаты принадлежат соавторам в равных долях. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников и приложений. Объем диссертации 102 страницы. Список использованных источников включает 133 наименования. Текст разделен на главы, параграфы и пункты. Каждая глава имеет свою нумерацию формул и рисунков. В каждой главе изложение ведется в значительноцъй степени независимо от других глав. Вводимые обозначения заново определяются в каждой главе.

Глава 1

Устойчивость вращающегося твердого тела с полостью, целиком заполненной идеальной жидкостью.

В этой главе рассматриваются математические модели вращательных движений тела с полостью, содержащей идеальную жидкость. Никаких ограничений на форму полости и характер возмущенного движения не накладывается. Проблема совместного решения уравнений гидродинамики и механики сводится к решению некоторой задачи на собственные значения, зависящей лишь от геометрии полости, и последующему интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений, коэффициенты которых определяются через решения краевых задач гидродинамики, не зависящих от времени. Такое отделение временной координаты от пространственных координат позволяет рассматривать произвольное возмущенное движение тела, а решение краевых задач находить для полостей произвольной конфигурации.

В § 1 представлен обзор подходов к задачам динамики твердых тел с полостями, содержащими жидкость, а также упомянуты некоторые актуальные проблемы устойчивости и оптимального управления подобными системами.

В § 2 исследуется задача Коши для возмущенного относительно равномерного вращения движения тела с идеальной жидкостью. Задача решается в линейной постановке. С помощью процедуры Галеркина гидродинамическая часть задачи сводится к бесконечной системе линейных дифференциальных уравнений для коэффициентов разложения скорости жидкости в обобщенный ряд Фурье.

В § 3 исследуется устойчивость равномерного вращения тела с жидкостью на основе обыкновенных дифференциальных уравнений,

коэффициенты которых выражаются через решение краевых задач гидродинамики, зависящих лишь от геометрии полости. Для свободно вращающегося тела с жидкостью построены области устойчивости в плоскости безразмерных параметров (цилиндрическая полость). В § 4 представлены основные результаты, полученные в первой главе.

§ 1. Обзор моделей и подходов в задачах динамики систем с жидким наполнением

Возникновение теории управления связано с именами Максвелла и Вышнеградского. В их работах четко сформулирована цель управления — обеспечение устойчивости — и предложены методы, позволяющие выбрать параметры системы управления. Затем на протяжении почти ста лет основные проблемы теории управления, так или иначе, оказывались связанными с проблемами устойчивости. В 20-ые - 30-ые годы прошлого столетия в теории регулирования (тогдашний синоним теории управления) широкое распространение получили идеи и методы устойчивости по Ляпунову, и в свою очередь теория регулирования непрерывно инициировала интерес исследователей к задачам устойчивости.

Методы теории управления должны давать возможность определять параметры (или функции), которые обеспечивают достижение определенной цели. Задача достижения любой цели (устойчивости, качества и т. д.) всегда может быть сформулирована на оптимизационном языке.

В 30-ые - 40-ые годы прошлого века изучались стационарные режимы, устойчивость равномерного движения самолета, стабилизация оборотов турбины и т. д. В 50-ые годы запросы техники потребовали анализа нестационарных процессов.

Развитие ракетной и космической техники явилось источником новых задач, в которых исследование ляпуновской устойчивости оказалось недостаточным при проектировании управления ракетой.

Место задачи устойчивости как основной задачи теории управления начинает занимать задача отыскания оптимального управления, которая превратилась, как теория управления, из некоторого раздела механики в обширную область человеческих знаний. Ее проблематика связана не только с техникой, экономикой, теорией социальных процессов, но и с любой областью человеческой деятельности, где имеет смысл использовать теорию принятия решений, одним из основных разделов которой и стала теория управления.

Небольшая работа Д. Е. Охоцимского [127], содержавшая решение первой задачи теории оптимального управления, открыла страницу новой теории.

Общий формализм теории оптимального управления, получивший название принципа максимума, создан JI. С. Понтрягиным и его учениками В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко. Принцип максимума позволил редуцировать задачу отыскания оптимального управления к некоторой специальным образом поставленной краевой