автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы решения граничных задач для нелинейных стационарных управляемых систем на бесконечном промежутке времени

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

005053710

Якушева Дарья Борисовна

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ НА БЕСКОНЕЧНОМ ПРОМЕЖУТКЕ

ВРЕМЕНИ

05.13.01 — системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

2 5 ОКТ 2012

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2012

005053710

Работа выполнена на кафедре информационных систем факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Квитко Александр Николаевич (СПбГУ)

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Веремей Евгений Игоревич (заведующий кафедрой КТС, СПбГУ, ф-т ПМ-ПУ)

доктор физико-математических наук, профессор Зайцев Валентин Федорович (РГПУ им. А.И. Герцена)

Ведущая организация: Балтийский государственный технический

университет "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова

Защита состоится ^» (Р^ПЯ^А^ 2012 г. в /Л асов на заседании совета Д.212.232.50 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В. О., Университетская наб., 7/9, Менделеевский Центр.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В. О., Университетская наб., 7/9. Автореферат размещен на сайте www.spbu.ru.

Автореферат разослан « ' ;

2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.212.232.50

доктор физико-математических наук, профессор (СПбГУ) Курбатова Галина Ибрагимовна

, Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одной из проблем математической теории управления являются вопросы, связанные с исследованием граничных задач для управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые полное решение этих задач для линейных нестационарных систем в классе управляющих функций, суммируемых с квадратом, было выполнено Р. Калма-ном. Исследование граничных задач ведется по трем основным направлениям. Первое связано с нахождением необходимых и достаточных условий, наложенных на правую часть управляемых систем, гарантирующих перевод систем управления в заданную точку фазового пространства. Этим исследованиям посвящены работы Зубова В. И., Красовского Н. Н., Потапова А. П., Jlenca Н. JL, Комарова В. А., Walczak S., Ohta Y. и Maeda Н., Dirk А., Jer-sy S., Nistri Р. и др. Второе включает исследование множества конечных состояний, в которые возможен перевод управляемой системы из некоторого начального состояния. Наиболее значительные результаты, связанные с этим направлением исследований," содержатся в работах Калмана Р., Панасюка А. И., Черноусько Ф. Л., Бердышева Ю. И. и др. Третье направление касается разработки точных или приближенных методов построения управляющих функций и соответствующих им траекторий, соединяющих заданные точки в фазовом пространстве. Основные результаты в этом направлении приведены в работах Красовского Н. Н., Зубова В. И., Черноусько Ф. JL, Крищенко А. П., Квитко А. Н. и др.

Одним из важных и сложных аспектов математической теории управления являются вопросы, связанные с поиском методов синтеза дискретных управляющих функций, при которых решения различных типов систем обыкновенных дифференциальных уравнений соединяют заданные точки в фазовом пространстве. Этим исследованиям посвящены работы Fury М., Nistri Р., Zez-za Р., Кухты К. Я., Лапина С. В. и др.

При практической реализации законов управления управляющий сигнал, поступающий на исполнительные органы, реализуется с некоторым запаздыванием. В связи с указанным обстоятельством значительный научный и практический интерес представляет изучение проблемы решения граничных задач с учетом запаздывания управляющего воздействия. Основные результаты этих исследований содержатся в работах Balachandran К., Onwuatu J., Марченко В. М., Квитко А. Н. и др.

Часто ввиду доступности измерению лишь некоторой функции от фазовых координат возникает проблема нахождения искомых управляющих функций по реально измеряемым величинам. Этим исследованиям посвящены работы Люенбергера Д., Roman J. R., Trin H., Bhattachrgun S. P., Коровина С. К., Фомичева В. В. и др.

Все упомянутые выше аспекты исследования проблемы управляемых систем достаточно хорошо изучены для линейных стационарных, нестационарных и нелинейных систем специального вида. Однако для нелинейных систем общего вида проблема построения управляющих функций при решении граничных задач остается актуальной.

Цели и задачи работы. Целью диссертации является разработка достаточно простых для численной реализации и устойчивых к погрешностям вычислений методов построения управляющих функций, гарантирующих перевод объекта управления из начального состояния в заданное конечное состояние на бесконечном промежутке времени с учетом ограниченности, дискретности, запаздывания управляющего воздействия и заранее неизвестных возмущений. Самостоятельный интерес представляют вопросы, касающиеся решения поставленных граничных задач с учетом реально измеряемых величин. Кроме того целью диссертационной работы является нахождение достаточно легко проверяемых условий выбора конечных состояний, гарантирующих существование решения рассматриваемых граничных задач, и иллюстрация эффективности полученных алгоритмов при численном моделирова-

нии процесса управления конкретными техническими объектами.

Методы исследования. В работе используются методы математической теории управления, теории устойчивости, теории дифференциальных уравнений, математического анализа, линейной алгебры, методы компьтерных технологий.

Научная новизна. В диссертационной работе для нелинейных управляемых систем получены новые достаточно простые для численной реализации, устойчивые к погрешностям вычислений и случайным возмущениям алгоритмы перевода объектов управления из начального состояния в заданное конечное в классе дискретных и непрерывных управляющих функций с учетом их ограниченности, запаздывания управляющего сигнала и реально измеряемых величин. Кроме того получены достаточно легко проверяемые конструктивные условия выбора начальных и конечных фазовых состояний, шага дискретности и величины запаздывания управляющего воздействия, а также ограничений на случайные возмущения, гарантирующие реализацию полученных алгоритмов.

Практическая значимость. Эффективность полученных алгоритмов иллюстрируется на примерах численного моделирования конкретных практических задач:

- перевода гироскопической системы в окрестность положения равновесия в классе дискретных управлений,

- межорбитального перелета в классе дискретных управлений,

- межорбитального перелета с учетом реально измеряемых величин, дискретности управления и дискретности измерителя,

- адаптивного управления мостовым краном.

Алгоритмы и методы, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы при проектировании интеллектуальных систем управления различными подвижными объектами, включая летальные аппараты, роботы-манипуляторы, гироскопические системы и т.д.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Развит новый подход к исследованию проблемы решения граничных задач для широкого класса нелинейных стационарных управляемых систем на бесконечном промежутке времени.

2. Разработаны методы синтеза управлений, переводящих объект из начального состояния в заданное конечное состояние, с учетом ограниченности и дискретности управляющего сигнала, а также неполной информации о фазовом состоянии объекта.

3. Разработаны методы построения дискретных и ограниченных синтезирующих управляющих функций при решении задач терминального управления с учетом неполной информации.

4. Разработаны методы построения управляющих функций, переводящих объект из начального состояния в заданное конечное с учетом ограниченности, дискретности, запаздывания управляющего сигнала, а также заранее неизвестных возмущений.

5. Разработан пакет программ на языке С++ и в среде Wolfram Mathematica 6.0, проведено численное моделирование конкретных практических задач.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются корректным применением методов математической теории управления, системного анализа, вычислительной математики и компьютерных технологий. Основные положения подтверждаются результатами численного моделирования конкретных практических задач.

Апробация результатов диссертации. Результаты исследования докладывались и обсуждались на различных конференциях: "Устойчивость и процессы управления"(SCP' 10 в честь 80-летия со дня рождения В.И. Зубова, Санкт-Петербург, 2010 г.), "Процессы управления и устойчивость"(Санкт-Петербург, 2009 и 2010 г.), "Понтрягинские чтения - ХХНГ'в рамках XXVI Воронежской весенней математической школы "Современные методы

теории краевых задач "(Воронеж, 2012 г.), а также на семинаре кафедры информационных систем факультета ПМ-ПУ СПбГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, из которых 5 в изданиях, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ для опубликования основных научных результатов диссертаций.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 147 страниц текста, в том числе 7 рисунков, и состоит из введения, вспомогательных сведений, четырех глав и списка литературы, включающего 113 наименований.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, указаны главные отличия результатов, полученных в диссертационной работе, от известных ранее, производится обзор содержания по главам и параграфам.

Первая глава посвящена решению задачи перевода объектов управления из заданной точки фазового пространства в начало координат на бесконечном промежутке времени.

Объектом исследования является система

Основное содержание работы

X = }(х,и)

(1)

X = (х1, ... , Хп)Т, и = (и1,... ,иг)т, и&Ят, г < п, ¿е[0,оо)

>71

(2)

(3)

И < С\. (5)

Задача 1. Найти дискретное управления и{{) так, чтобы решение х{€) системы

(1) удовлетворяло условиям

х(0)=хи хг = {х\,...,х1)т, хЩ->0 при '«->00. (6)

Алгоритм решения поставленной задачи содержится в доказательстве следующей теоремы:

Теорема 1. Пусть для правой части системы (1) выполнены условия

(2), (3), (4). Тогда существуют г > О, И0 > 0 такие, что для любых XI : [| ссгх |! < £ и для любых к : 0 < к < Л0 существует решение Задачи 1, которое может быть получено после решения задачи стабилизации линейной стационарной системы и последующим решением задачи Коши для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (порядки указанных систем совпадают с порядком исходной системы).

Третий и четвертый параграфы посвящены соответственно задачам синтеза непрерывного и дискретного управления с учетом неполной информации о фазовом состоянии объекта.

Предположим, что в некоторые дискретные моменты времени £ = /с/г, Ь > 0, к = 0,1,... доступен измерению вектор у{кК) е й"1, т < п, связанный с фазовым вектором х уравнением

у(Щ = д(х(Щ), ' (7)

где

5ёС2(Д";Г), д = (д\..,,дт)Т, ■ (8)

гапк{Тт, АтТт,..., АТП~1ТТ} = п, (9)

Задача 2. Используя результаты измерения у(кк),к = 0,1,..., И > 0, найти дискретное управление и(£) так, чтобы решения системы (1) удовлетворяли

условиям

а:(0)=жо, х0= (х1,...,х%)т, х{€) 0 при tоо. (10)

Сформулирована и доказана теорема: Теорема 2. Пусть для системы (1) и уравнения измерителя (7) выполнены условия (2)-(4), (8), (9). Тогда существуют е > 0, /г0 > 0 такие, что для всех хо € Яп, Н > 0, удовлетворяющих неравенствам

||хо|| < е, 0 < И < Л0,

существует решение Задачи 2, которое может быть получено после решения задачи непрерывной стабилизации линейной стационарной системы и построения матрицы асимптотического наблюдателя

типа Люенбергера.

Вторая глава посвящена решению задач терминального управления. В первом параграфе этой главы ставится задача построения синтеза дискретного управляющего воздействия, с помощью которого исходная система переводится из начала координат в некоторую точку г-мерной поверхности, проходящей через начало координат фазового пространства. Доказана теорема, которая содержит в себе алгоритм построения указанной функции. Получены конструктивные условия выбора конечных состояний и шага дискретности, гарантирующие разрешимость поставленной задачи с учетом ограничений на управление. Во втором параграфе разработан алгоритм решения аналогичной задачи с учетом дискретности управления и измерителя.

Пусть для системы (1) наряду с условиями (2)-(4) выполнено

с^ А ^ 0. (П)

Тогда из условий (2), (3) и (И) и теоремы о неявной функции следует существование £х > 0 такого, что для любого и:

■ ' ' 1М1 (12)

9

уравнение - . . < ■■ •

/(*,«)=() (13)

определяет дифференцируемую неявную функцию

х = х(и), (14)

заданную в области (12), удовлетворяющую уравнению (13) и условию

х(0) = 0. (15)

Обозначим через Г г-мерную поверхность, заданную уравнением (14). Из условия (15) следует, что эта поверхность проходит через начало координат фазового пространства И".

Задача 3. Используя результаты измерения у{кН), к = 0,1,..., к > 0, найти дискретное управление и(*) так, чтобы решения системы (1) удовлетворяли условиям

х{0) = 0, х{{) XI при £ -> оо, XI € Г. (16)

Основной результат данной главы содержится в теореме: Теорема 3. Пусть для системы (1) и уравнения измерителя (7) выполнены условия (2)-(4), (8), (9). Тогда существуют £ > О, И0 > 0 такие, что для всех цбГ: ЦцЦ < е и для всех Ь : 0 < Л < Ло существует решение Задачи 3, которое может быть получено после решения задачи непрерывной стабилизации линейной стационарной системы и построения матрицы асимптотического наблюдателя типа Люенбергера.

В третьей главе рассматриваются объекты управления, описываемые широким классом нелинейных управляемых систем при наличии в их правых частях слагаемых, характеризующих заранее неизвестные возмущения, которые могут быть обусловлены влиянием случайных внешних воздействий, ошибками вычислительных систем и другими факторами. В первом и во

втором параграфах предложены алгоритмы построения непрерывных управляющих функций, гарантирующих перевод объектов управления как из заданного начального состояния в начало координат, так и из начала координат в заданное конечное состояние. Процедура нахождения искомых управляющих функций сводится к решению задачи стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и к последующему решению задачи Коши для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Порядки обеих .систем совпадают с порядком исходной системы.

Объектом исследования является нелинейная управляемая система обыкновенных дифференциальных уравнений вида

х = /(х,и)+1р(х,Ь), (17)

. <р е С{Яп х Я1; Я"). (18)

Здесь <р - заранее неизвестные возмущения. Функция /(х,и) удовлетворяет условиям, указанным для правой части системы (1).

Задача 4. Найти пару функций хЦ) € С[0,оо), и{Ь) <Е С[0,оо), удовлетворяющих системе (17) и условиям

х(0)=0, х{€)->х1 при £->оо, х1 = (х\,...,х1)т. (19) Доказана теорема:

Теорема 4. Пусть для правой части системы (17) выполнены условия (18). Тогда существуют <?0 > 0, е9 > 0 такие, что для любых XI : ||а;1|| < е0 и для любых ср: ||<р(я,*)|| < е^ существует решение Задачи 4, которое может быть получено после решения задачи стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и последующим решением задачи Коши для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (порядки обеих систем совпадают с порядком исходной системы).

В третьем параграфе предложен конструктивный метод решения задачи, сформулированной во втором параграфе, с учетом ограничений на управление. Соответствующий алгоритм сводится к решению задачи стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и к последующему решению задачи Коши для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Порядки обеих систем равны сумме размерностей фазового пространства и управляющего вектора. Получены условия выбора конечных состояний и ограничений на заранее неизвестные возмущения, при которых гарантируется существование решения поставленной задачи.

Объектом исследования является нелинейная управляемая система обыкновенных дифференциальных уравнений вида

х = /{х,и) + ч>(х,и,г), (20)

^£С(Д"хДгхЯ1;Дп), (21)

М<С. (22)

Здесь (р - заранее неизвестное возмущение. Функция /(х, и) удовлетворяет условиям (2)-(4).

Задача 5. Найти пару функций х(4) 6 С[0,оо), и(Ь) е С[0,оо), удовлетворяющих системе (20), ограничению (22) и условиям

ж(0) = 0, х(г) -)• XI при г -> оо, хг = (х\,...,х71)т, (23) и(0) = 0, и(г) 0 при г -> оо. (24)

Доказана теорема:

Теорема 5. Пусть для правой части системы (20) выполнены условия (2)-(4), (21). Тогда существуют е0 > 0, е^ > 0 такие, что для любых хх : ||ал || < ео и для любых (р: ^(¡г.М)!! < существует решение Задачи 5, которое может быть получено после решения задачи стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и последующим решением

12

задачи Коши для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Порядки обеих систем равны п + г.

В четвертом и пятом параграфах получены алгоритмы решения задачи, сформулированной в третьем параграфе, с учетом дискретности и запаздывания управляющего сигнала. Процедура их реализации сводится к решению задачи стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и к последующему решению задачи Коши для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Порядки обеих систем равны сумме размерностей фазового пространства и удвоенной размерности управляющего вектора.

Задача 6. Найти функцию х(£) и дискретное управление и{Ь), удовлетворяющие системе (20), ограничению (22) и условиям

Доказана теорема:

Теорема 6. Пусть для правой части системы (20) выполнены условия (2) (4), (21)- Тогда существуют <г0 > 0, е9 > 0, /г0 > 0 такие, что для любых хг : ИнН < е0, для любых <р: ^(¡с.и, 4)|| < е^ и для любых /г : 0 < к < существует решение Задачи 6, которое может быть получено после решения задачи стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и последующим решением задачи Коши для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Объектом исследования является нелинейная управляемая система обыкновенных дифференциальных уравнений вида

г(0) = 0, и(0) = 0, х(Ь) ->■ хх при £ оо, х\ = {х\1 • • • 1 Х\)Т-

(25)

х = /(х,и(Ь-Н)) + 1р(х,и,Ь), к > 0,

(26)

и{Ь)= 0, £<Е[-/1,0] 13

? е С (Л" х /?г х • ; ' (28)

N1 < С. ^ (29)

Здесь <р - заранее неизвестное возмущение. Функция /.(ж, и) удовлетворяет

условиям (2)-(4). . - . ..т. с-

Задача 7. Найти функцию и управление - Л), удовлетворяющие

системе (26), ограничению (29) и условиям ...

я(0) = 0, и{£) = 0, [-/1,0], . при Ь оо, (30)

х1 = (х\:...,х^)т. • -

Здесь х\ € Я" - заданный вектор. ' •

Справедлива теорема: ""

Теорема 7. Пусть для правой части системы (26) выполнены условия (2)-(4), (27), (28). Тогда существуют £0 > 0, е9 > 0, Л0 > 0 такие, что для любых хх : ЦцЦ < е0, для любых ¡р: ¿)|| < и для любых

/г: 0 < И < Н0 существует решение Задачи 7, которое может быть получено после решения задачи стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и последующим решением задачи Коши для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных, уравнений.. Порядки обеих систем равны п + 2г. . - .■

Четвертая глава иллюстрирует эффективность алгоритмов, полученных в первых трех главах, при решении конкретных'практических задач. Проведено численное моделирование следующих задач: перевода гироскопической системы в окрестность положения равновесия в классе дискретных управлений, межорбитального перелета в классе дискретных управлений, межор-биталыюго перелета с учетом реально измеряемых величин, дискретности управления и дискретности измерителя; адаптивного управления мостовым краном.

Список публикаций по теме диссертации

1. Квитко А.Н., Якушева Д.Б. Решение граничной задачи для нелинейной стационарной управляемой системы на бесконечном промежутке времени с учетом дискретности управления// Информационно-управляющие системы.

2011. №6. С. 25-29.'

2. Квитко А.Н., Якушева Д.Б. Решение задачи синтеза дискретной стабилизации с учетом неполной информации для нелинейной стационарной управляемой системы//Вестник СПбГУ. Серия 1. Математика, механика, астрономия. 2012. № 2. С. 21-30. '

3. Квитко А.Н., Якушева Д.Б. Алгоритм построения кусочно-постоянного синтезирующего управления при решении граничной задачи для нелинейной стационарной системы// Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2012. № 1. С. 138-145,

4. Кабанов С.А., Никулин E.H., Якушев Б.Э., Якушева Д.Б. Управление перемещением груза Мостовым краном по методу обратных задач динамики// Известия ВУЗов. Приборостроение. 2011. № 12. С. 30-33.

5. Кабанов С.А., Никулин E.H., Якушев Б.Э., Якушева Д.Б. Оптимальное управление перемещением груза мостовым краном/'/ Известия ВУЗов. Приборостроение. 2011. № 5. С. 56-G5.

6. Якушева Д.Б. Решение задачи перевода нелинейной управляемой системы из начала координат в заданную точку фазового пространства с учетом заранее неизвестных возмущений// Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XXIII". Воронеж, 3-9 мая. Изд.-полигр. центр ВГУ.

2012. С. 207.

7. Якушева Д.Б. Решение навигационной задачи Цермело при линейпо-вихревой структуре течения// Процессы управления и устойчивость. Труды XL международной научной конференции аспирантов и студентов. Санкт-

|р

Петербург, 6-9 апреля. Издат. Дом С.-Потери, гос. ун-та, 2009. С. 91-96.

8. Якушева Д.Б. Решение граничной задачи для нелинейной стационарной управляемой системы на бесконечном промежутке времени с учетом дискретности управления// Устойчивость и процессы управления. Всероссийская конференция, посвященная 80-летию со дня рождения В. И. Зубова. Санкт-Петербург, 1-2 июля. С.-Петербург: ВВМ, 2010. С. 314 315.

9. Якушева Д.Б. Решение граничной задачи для нелинейной стационарной управляемой системы на бесконечном промежутке времени с учетом дискретности управления// Процессы управления и устойчивость. Труды ХЫ международной научной конференции аспирантов и студентов. Санкт-Петербург, 5-8 апреля. Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2010. С. 92- 96.

Подписано к печати 10.09.12. Формат 60 х 84 % . Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печал. цифровая. Печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ 5510.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504. Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 2о Тел.: (812) 428-4043, 428-6919

Введение.

Вспомогательные сведения

Глава 1. Решение задачи перевода объекта управления из заданной точки фазового пространства в начало координат на бесконечном промежутке времени

§1. Решение задачи синтеза непрерывного управления.

§2. Решение задачи синтеза дискретного управления.

§3. Синтез непрерывного управления с учетом неполной информации о фазовом состоянии объекта.

§4. Синтез дискретного управления с учетом неполной информации о фазовом состоянии объекта.

Глава 2. Решение задач терминального управления

§1. Решение задачи синтеза дискретного управления.

§2. Решение задачи синтеза дискретного управления с учетом неполной информации.

Глава 3. Построение адаптивных управлений

§1. Решение задачи синтеза управления при переводе объекта в начало координат из заданной точки фазового пространства.

§2. Решение задачи синтеза управления при переводе объекта в заданную точку фазового пространства из начала координат.

§3. Решение задачи синтеза управления при переводе объекта из начала координат в заданную точку фазового пространства с учетом ограничений на управление.

§4. Решение задачи синтеза управления при переводе объекта из начала координат в заданную точку фазового пространства с учетом дискретности управляющего воздействия.

§5. Решение задачи синтеза управления при переводе объекта мз начала координат в заданную точку фазового пространства с учетом запаздывания управляющего воздействия.

Глава 4. Численное моделирование конкретных практических задач

§1. Моделирование задачи перевода гироскопической системы в окрестность положения равновесия в классе дискретных управлений.

§2. Моделирование задачи межорбитального перелета в классе дискретных управлений.

§3. Моделирование задачи межорбитального перелета с учетом реально измеряемых величин, дискретности управления и дискретности измерителя.

§4. Моделирование задачи адаптивного управления мостовым краном

Одной из проблем математической теории управления являются вопросы, связанные с исследованием граничных задач для управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые полное решение этих задач для линейных нестационарных систем в классе управляющих функций, суммируемых с квадратом, было выполнено в [1]. В последующие десятилетия появились работы, направленные на исследование локальных и глобальных граничных задач для линейных и нелинейных управляемых систем специального вида [2], [4]-[60],[62]. Исследование граничных задач ведется по трем основным направлениям. Первое связано с нахождением необходимых и достаточных условий, наложенных на правую часть управляемых систем, гарантирующих перевод систем управления в заданную точку фазового пространства [1], [2], [4]-[7], [11]-[20], [22]-[29], [33], [34], [36]-[39], [40], [42]-[44], [48], [49], [53], [56]. Второе включает исследование множества конечных состояний, в которые возможен перевод управляемой системы из некоторого начального состояния [1], [2], [4], [5], [9]-[11], [13], [16], [21], [30], [35], [41], [46], [54], [57], [60], [62]. Третье направление касается разработки точных или приближенных методов построения управляющих функций и соответствующих им траекторий, соединяющих заданные точки в фазовом пространстве [8], [32], [45], [47], [50]-[52], [55], [58]-[61], [63].

Использование цифровой вычислительной техники в системах управления обусловливает формирование дискретных управляющих воздействий. Одним из важных и сложных аспектов математической теории управления являются вопросы, связанные с поиском методов синтеза дискретных управляющих функций, при которых решения различных типов систем обыкновенных дифференциальных уравнений соединяют заданные точки в фазовом пространстве. Этим исследованиям посвящены работы [65]-[70].

При практической реализации законов управления управляющий сигнал, поступающий на исполнительные органы, реализуется с некоторым запаздыванием. Это происходит, в частности, вследствие инерционности исполнительных органов, ограниченности быстродействия вычислительных комплексов и других факторов. В связи с указанным обстоятельством значительный научных и практический интерес представляет изучение проблемы решения граничных задач с учетом запаздывания управляющего воздействия. Основные результаты этих исследований содержатся в работах [71]-[95].

Часто при решении технических задач формировать закон управления на основе информации о полном фазовом состоянии объекта не представляется возможным ввиду доступности измерению лишь некоторой функции от фазовых координат. В связи с этим обстоятельством возникает проблема нахождения искомых управляющих функций по реально измеряемым величинам. Одним из подходов к решению этой проблемы является метод, связанный с построением асимптотического наблюдателя. Основы теории асимптотических наблюдателей для линейных стационарных систем были заложены работой Люенбергера Д. [106]. В последующие десятилетия появились работы, обобщающие и распространяющие эту теорию на линейные нестационарные, билинейные и нелинейные системы специального вида [107]-[113].

Все упомянутые выше аспекты исследования проблемы управляемых систем достаточно хорошо изучены для линейных стационарных, нестационарных и нелинейных систем специального вида. Однако для нелинейных систем общего вида проблема построения управляющих функций при решении граничных задач остается актуальной. Диссертационная работа посвящена разработке методов построения управляющих функций, гарантирующих перевод объекта управления из начального состояния в заданное конечное состояние на бесконечном промежутке времени.

Главное отличие результатов, полученных в диссертационной работе, от известных ранее состоит в том, что в ней для широкого класса нелинейных управляемых систем получены достаточно простые для численной реализации, устойчивые к погрешностям вычислений и случайным возмущениям алгоритмы перевода объектов управления из начального состояния в заданное конечное в классе дискретных и непрерывных управляющих функций с учетом их ограниченности, запаздывания управляющего сигнала и реально измеряемых величин. Кроме того получены достаточно легко проверяемые кон/ структивные условия выбора начальных и конечных фазовых состояний, шага дискретности и величины запаздывания управляющего воздействия, а также ограничений на случайные возмущения, гарантирующие реализацию полученных алгоритмов. Их эффективность иллюстрируется при численном моделировании конкретных практических задач.

Первая глава диссертации посвящена решению задачи перевода объектов управления из заданной точки фазового пространства в начало координат на бесконечном промежутке времени. В первом параграфе рассматривается задача построения непрерывной синтезирующей управляющей функции, обеспечивающей решение поставленной задачи с учетом ее ограничений и ограничений на вектор фазовых координат. Рассмотрены случаи полной и неполной управляемости линейной части исходной системы. Сформулирована и доказана теорема, на основании которой предложен алгоритм решения поставленной задачи. Во втором параграфе рассматривается задача, сформулированная в первом параграфе, в классе дискретных управлений. Сформулирован критерий, гарантирующий существование решения поставленной задачи, и приведен алгоритм построения искомой дискретной управляющей функции. Поставленная цель достигается сведением исходной задачи к задаче непрерывной стабилизации линейной стационарной системы и последующим решением задачи Коши для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Третий и четвертый параграфы посвящены соответственно задачам синтеза непрерывного и дискретного управления с учетом неполной информации о фазовом состоянии объекта. В третьем параграфе посредством построения асимптотического наблюдателя типа Люенбергера разработан достаточно простой для численной реализации алгоритм синтеза управляющей функции при решении задачи перевода объекта управления из заданной точки фазового пространства в начало координат для широкого класса нелинейных стационарных систем с учетом нелинейности измерителя и ограниченности управления, а также найден конструктивный критерий, гарантирующий существование решения поставленной задачи. В четвертом параграфе решается аналогичная задача в классе дискретных управлений и с учетом дискретности измерителя.

Вторая глава посвящена решению задач терминального управления. В первом параграфе этой главы ставится задача построения синтеза дискретного управляющего воздействия, с помощью которого исходная система переводится из начала координат в некоторую точку г-мерной поверхности, проходящей через начало координат фазового пространства. Доказана теорема, которая содержит в себе алгоритм построения указанной функции. Получен конструктивный критерий выбора конечных состояний и шага дискретности, гарантирующий разрешимость поставленной задачи с учетом ограничений на управление. Во втором параграфе разработан алгоритм решения аналогичной задачи с учетом дискретности управления и измерителя.

В третьей главе рассматриваются объекты управления, описываемые широким классом нелинейных управляемых систем при наличии в их правых частях слагаемых, характеризующих заранее неизвестные возмущения, которые могут быть обусловлены влиянием случайных внешних воздействий, ошибками вычислительных систем и другими факторами. В первом и во втором параграфах предложены алгоритмы построения непрерывных управляющих функций, гарантирующих перевод объектов управления как из заданного начального состояния в начало координат, так и из начала координат в заданное конечное состояние. Процедура нахождения искомых управляющих функций сводится к решению задачи стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и к последующему решению задачи Коши для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, Порядки обеих систем совпадают с порядком исходной системы. В третьем параграфе предложен конструктивный метод решения задачи, сформулированной во втором параграфе, с учетом ограничений на управление. Соответствующий алгоритм сводится к решению задачи стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и к последующему решению задачи Коши для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Порядки обеих систем равны сумме размерностей фазового пространства и управляющего вектора. Получены критерии выбора конечных состояний и ограничений на заранее неизвестные возмущения, при которых гарантируется существование решения поставленной задачи. В четвертом и пятом параграфах получены алгоритмы решения задачи, сформулированной в третьем параграфе, с учетом дискретности и запаздывания управляющего сигнала. Процедура их реализации сводится к решению задачи стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и к последующему решению задачи Коши для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Порядки обеих систем равны сумме размерностей фазового пространства и удвоенной размерности управляющего вектора.

Четвертая глава иллюстрирует эффективность алгоритмов, полученных в первых трех главах, при решении конкретных практических задач. Проведено численное моделирование следующих задач:

-перевода гироскопической системы в окрестность положения равновесия в классе дискретных управлений,

-межорбитального перелета в классе дискретных управлений, -межорбитального перелета с учетом реально измеряемых величин, дискретности управления и дискретности измерителя, -адаптивного управления мостовым краном.

Вспомогательные сведения

I. Рассмотрим линейную стационарную систему в отклонениях х = Рх + фи, (1) где Р, - постоянные матрицы размерностей [п х п] и [п х г] соответственно. Задача стабилизации системы (1) состоит в том, чтобы построить управление вида и = Сх (2) так, чтобы замкнутая система х={Р + (ЗС)х (3) была асимптотически устойчива.

Рассмотрим общий алгоритм построения стабилизирующего управления. 1. Для системы (1) построим матрицу 5* замены переменных я = ву (4) следующим образом

5 = (яъ Ряъ • • •, Рф, • • •, Рк~\ь 5ш+ь • • •, в„). (5)

Здесь ¿71,., 1 < I < г - столбцы матрицы (5- Первая цепочка из к\ векторов формируется до тех пор, пока эти вектора остаются линейно независимыми. Если выполнено условие к\ < г, то к построенной цепочке добавляется следующая цепочка из векторов, которая также формируется до тех пор, пока сохраняется общая линейная независимость. Таким образом формируется базис линейной оболочки столбцов матрицы РС5,., Рп1<2), а ёт+1,. ,ёп - его дополнение до базиса пространства Ип. Возможны два случая.

1.1. Случай полной управляемости

5 = (<&, Ряг, ■ ■ ■, Рк1~1Ч 1, • • •, Р®, • • •, Р*"1®), (6) где ., эд, 1 < I < г - столбцы матрицы (5, к\ + . . + к\ = п.

1.2. Случай неполной управляемости

5 = (ди Рдь ., Р*1"1^,., РЯ1,., Р*'"1®, вт+ь ., ёп), (7) где ^ + . + к1 = т = гапд{Я, Р<2,., Р""1^. 2. После замены (4) система (1) примет вид у = 8~1РЗу + 8-^и

-г,

8)

2.1. В случае полной управляемости матрица 5 1РБ будет блочно-треу-гольной, а по диагонали будут стоять матрицы Фробениуса Р^,., Р^г вида

Рк. =

0 О

1 О о -а

О -а

А;—1

О о о о 0 1

-о; г,

-о;-.

9)

Матрица Р^ - сопровождающая матрица для полинома /о(А) = ¿е£(Р0 - АЕ) = \к + А^1 + . + ак.

2.2. В случае неполной управляемости после замены (4) система (1) примет вид

У2 ) \ 021 Р22 ) \ У2 ) \о2 )

Здесь у = {у1,у2)Т ~ разбиение вектора у на две части г/1, размерностей гп и п — тп соответственно. Рассмотрим систему

У\ = Рп У\ + Я\и

И)

У2 = Р22У2• (12)

Здесь матрица Р22 имеет размерность [п — т х п — т]. Очевидно, что гапВДь РпЯь ., Р^Ях] = т.

3. Если реализовался случай 2.1 полной управляемости, то стабилизирующее управление существует и решение задачи продолжается.

Если реализовался случай 2.2, то необходимо проверить систему (12) на асимптотическую устойчивость. Если асимптотическая устойчивость не будет иметь места, то стабилизирующее управление построить невозможно и решение задачи прекращается.

4. Сделаем преобразование переменных у по формуле у = Кф, ф = (^п-г\.,ф)Т.

13)

4.1. В случае полной управляемости К = сИад(К1,., К{). При этом каждый блок К{, г = 1,.,/ строится по Р^

Кг = ак-1 ак-2 а к—2 а1 1 V 1

1 О

О О

1 О

О О

14)

4.2. В случае неполной управляемости К = сИад^Кх,., К1, Еп-т). Здесь Еп-т - единичная матрица размерности [п — т х п — т], соответствующая системе (12).

5. Каждому диагональному блоку Р^ поставим в соответствие эталонный многочлен /г(А) степени предварительно зафиксировав эталонные собственные числа. По его коэффициентам /Зкг и коэффициентам а^ характеристического полинома матрицы Рог построим строку с элементами <уц = а^ — Ркй ■ ■ ■, = а и — Аг- Далее сформируем матрицу

Г для обоих случаев /

5.1. Г

5.2 Г =

71 0 . О О О 72 . О О О . О О 0 у

6. Искомое стабилизирующее управление будет иметь вид и = ТК~13~1х,

15)

16) или окончательно и = Сх, где С = ТК 1.

II. Лемма [62]. Пусть и{Ь) - непрерывная функция, удовлетворяющая при £ > £о неравенству

О < и(Ь) < 5 + / (?7 + где ¿, г], Ь - постоянные и 6 > 0, г] > О, Ь > 0. Тогда имеет место неравенство и < — 1) + XV

Рассмотрим систему х = А(г)х + Я(х,$, (17) где А(£) - линейный ограниченный оператор, непрерывный по £, функция Д(ж,£) удовлетворяет в области £): ||а;|| < Я, 0 < £ < оо условию

Д(М)||<ВД

Пусть И^(£, г) - оператор Коши уравнения ж = Л(£)ж, 12

18) и пусть имеет место неравенство

Мо)|| <Ве~а^\ (20) где а, В - положительные постоянные, не зависящие от ¿о

Теорема [62]. Пусть выполнены условия (18), (20) и если, кроме того, постоянные а, В, L удовлетворяют неравенству

Х = а — BL > 0, (21) то нулевое решение (17) будет экспоненциально устойчиво. III. Рассмотрим систему rjnr = P(t)x, х е Rn, (22) dt где P(t) - матрица с вещественными, непрерывными, ограниченными коэффициентами при t > 0.

Следствие теоремы [2]. Пусть система (22) экспоненциально устойчива. Тогда существует такая положительно определенная функция V{x,t) = xTB(t)x, что л\г

-INI2, (23) dV ~dt

22) где матрица квадратичной формы V(x, t) имеет вид

00

00

Вт(т, t)B(T, t) dr, В{т, t) = Y{T)Y-\t), (24) где Y(t), У(0) = E - фундаментальная матрица системы (22).

1. Каллман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. 1971. Мир. Москва. Перевод с англ. под ред. Э.Л. Напельбаума. 399 с.

2. Зубов В. И. Лекции по теории управления. Москва. Наука. 1975. 495с.

3. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. Москва. Изд-во физ.мат.лит. 1959. 211 с.

4. Walczak S. A note on the controllability of nonlinear systems// Math. Sys-temg. Theory 1984. 17. №4, p. 351-356.

5. Потапов А. П. Области управляемости для некоторых систем с регуляторами// Вестн. ЛГУ. 1984. №13, с. 39-48.

6. Лепс Н. Л. Геометрический метод исследования управляемости билинейных систем второго порядка// Автомат, и телемехан. 1984. №1, с. 19-25.

7. Ohta Y., Maeda Н. Reachability, observability of continuous-time positive system// SIAM J.Contr. And Optim. 1984. 22. №2, p. 171-180.

8. Комаров В. А. Синтез ограниченных управлений для линейных неавтономных систем// Автоматика и телемеханика. 1984. №10, с. 44-50.

9. Панасюк А. И. Уравнение множеств достижимости// Сиб. мат. журнал. 1984. 25. №4, с. 143-154.

10. Блинов А. П. Об оценки области управляемости в нелинейных системах//ПММ. 1984. 48. №7, с. 593-600.И. Крищенко А. П. Исследование управляемости и множеств достижимости нелиней-ных систем управления// Автомат, и телемех. 1984. №6. с. 30-36.

11. Dirk Д. Controllability for polinomial systems// Lect. Notes Contr. And Jnt. Sci 1984. 63. p. 542-545.

12. Крищенко А. П. Управляемость и множество достижимости нелинейных стационар-ных систем // Кибернет. и вычислит, техн. Киев. 1984. №62, с. 3-10.

13. Гуденко JI. В., Семенов В. Н. Гладкие ветви многозначных отображений в проблеме локальной управляемости// Кибернет. и вычислит, техн. Киев. 1984. №62, с. 21-28.

14. Агуладзе В. А., Пономарев Ю. П. Групповой подход к анализу управляемых систем // Кибернетика. Киев. 1984. №5, с. 8-11.

15. Комаров В. А. Оценка множества достижимости для линейных систем// Изв. АН СССР Сер. Мат. 1984. №1, с. 83-87.

16. Айсагалиев С. А., Онайбаев К. О. Управляемость нелинейных систем управления// Изв. АН Каз.ССР Сер. Физ.-Мат. 1985. 48. №4, с. 865-879.

17. Huashu О. On the controllability of nonlinear control system// Comput and Math. 1985. 10. №6, p. 441-451.

18. Calizia A. Minimal controllability for generalized linear systems// Boll. Unione mat. Ital. 1985. 4. №1, p. 265-278.

19. Furi M., Nistri P., Zezza P. Topological methods for global controllability of nonlinear systems//J. optimiz. Theory and Appl. 1985. 45. №2, p. 231-256.

20. Панасюк А. И. Дифференциальные уравнения невыпуклых множеств достижимости// Мат. заметки. 1985. 37. №5, с. 717-726.

21. Stefanu Gianu. Polinominal approximations to control systems and local controllabil-ity// Proc. 24 th JEEE Conf. decis. and Contr. 1985. V.l. P. 33-38.

22. Balachandran К. Global and local controllability of nonlinear systems. JEEE Proc. 1985. №1, p. 14-17.

23. Пантелеев В. П. Об управляемости нестационарных линейных систем// Дифференциальные уравнения. 1985. 21. №4, с. 623-628.

24. Коробов В. И. Почти полная управляемость линейных стационарных систем // УМЖ. 1986. 38. №2, с. 163-169.

25. Schmitendorf W. Е., Hwang W. G. Global results for with constrained controller// J. Opti-miz. Theory and Appl. 1985. 46. №4, p. 581-590.

26. Bianchini T. R., Conty R. On local and global controllability// Gas. Pestov. Mat. 1986. №1, p. 54-61.

27. Емельянов С. В., Коровин С.К., Мамедов И. Г. Критерии управляемости нелинейных систем // Докл. А.Н. СССР. 1986. 290. №1, с. 18-22.

28. Aeyls D. Global controllability for smooth of nonlinear systems// SIAM J. Contr. And Optim. 1985. №23, p. 452-565.

29. Константьинов Г. И., Сидоренко Г. В. Внешние оценки мнолжеств досижимости управляемых систем// Изв А.Н. СССР Техн. Кибернет. 1986. №3, с. 28-34.

30. Hirschon R. Strong controllability of nonlinear systems// SIAM J.Contr. and Optim. 1986. 24. №2, p. 264-275.

31. Корнилов Ю. H., Петров Ю. П. Реализация наибольшей области управляемости для систем второго порядка.// Изв. А,Н. СССР Мех. Тверд, тела 1986. №5, с. 73-76.

32. Lovas N., Powers D. On controllability generalized state -space (descriptor) systems// Int. J. Conr. 1986. 43 №4, p. 1271-1281.

33. Jersy S. On controllability of smooth and nonsmooth dynamical systems// Bull. Soc. Sci. et lett Lodz. 1986. 36. №28, p. 1-11.

34. Черноусько Ф. Jl., Янгин А. А. Аппроксимация множеств достижимости при помощи пересечения и объединения эллипсоидов// Изв. А.Н. СССр Техн. Кибернет. 1987. №4, с. 145-152.

35. Nistri P. On a general notion of controllability for nonlinear systems // Boll. Uniopne mat. Ital. 1986. №1, p. 383-403.

36. Айсагалиев С. А. Управляемость нелинейных систем управления// Изв. А.Н. Каз. СССР физ.мат. 1987. №3, с. 7-10.

37. Емельянов С. В., Коровин С. К., Никитин С. В. Критерий управляемости двумерных нелинейных систем в области при ограничениях на управление// Докл. А.Н. СССР. 1987. 294. №6, с. 1310-1314.

38. Benzaid Z. Global null controllability of perturbed linear periodic systems// JEE Trans. Autom. Contr. 1987.32. №7, p. 623-625.

39. Леваков А. А. К управляемости линейных нестационарных систем // Дифференциальные уравнения. 1987. 23. №5, с. 798-806.

40. Крищенко А. П., Назаренко А. Н. Множества управляемости нелинейных систем второго порядка// Изв. А.Н. СССР Техн. кибернет. 1988. №4, с. 159166.

41. Емельянов С. В., Коровин С. К., Никитин С. В. Исследование управляемости методом аппроксимации групп и систем// Докл. А. Н. СССР. 1988. 309. NM, с. 821-823.

42. Balachandran К. Controllobility of class of pertubet nolinear systems// Cy-bernetica. 1988. 24. №1, p. 61-64.

43. Naito Koichiro. An inequality condition for approximate controllability of semilinear con-trol systems// J. Math. Anal, and Appl. 1989. №1, p. 129-136.

44. Bardi Martino. A boundary value problem for minimal-time function// SIAM J. Contr. And Opt. 1989. 27. №4, p. 776-785.

45. Лотов А. В. О внешних оценках построения множества достижимости для нелиней-ных управляемых систем.// ЖВМ и МФ. 1990. 30. №4, с. 483493.

46. Коробов В. И., Скляр Г. М. О множестве позиционных ограниченных управлений решающих задачу синтеза// ДАН. 1990. 312. №6, с. 1304-1308.

47. Айсагалиев С. А. К теории управляемости линейных систем// Автоматика и телемеханика. 1991. №2, с. 35-41.

48. Balachandran К., Dauer J. Controlladility of njnlinear systems to affine manifolds// Л. Optimiz. Theory and Appl. 1990. 64. №1, p. 15-27.

49. Крищенко А. П. Синтез алгоритмов терминального управления для нелинейных систем// Изв. А.Н. Техн. Кибернетика 1994. №1, с. 48-57.

50. Коврижкин Г., Крамаренко Е. Л. Встречный метод решения задачи управления конечным состоянием// Автоматика и телемеханика. 1994. №3, с. 37-42.

51. Черноусько Ф. Л. Декомпозиция и синтез управления в нелинейных динамических системах// Тр. мат. ин-та РАН. 1995. 211, с. 457-47.

52. Klamka J. Approximate relative controllability retarded dynamical systems// App. Math, and Comput. Sci. 1996. 6. №1, p. 15-26.

53. Бутенина H. H. Построение множества управляемости в произвольную точку плоскости// В кн. Методы анализа нелинейных систем. Изд-во МГУ. 1997. С. 29-37.

54. Гусар В.В. Об одной задаче сплайн управления// Дифференциальные уравнения. 1998. №9, с. 1475-1481.

55. Мастерков И. К. К вопросу о локальной управляемости в критическом случае// Изв. вузов. Мат. 1999. №2, с. 68-74.

56. Попова С. Н. К свойству локальной достижимости линейной управляемой системы// Дифференциальные уравнения. 2003. 39. №1, с. 50-56.

57. Квитко А. Н. Об одном методе построения программных движений// ПММ. Т. 65. 2001. Вып 3, с. 392-399.

58. Квитко А. Н. Об одной задаче управления// Дифференциальные уравнения. Т. 40. 2004. Вып. 6, с. 740-746.

59. Бердышев Ю. И. О построении области достижимости в одной нелинейной задаче// Изв. РАН. Теория и системы упр. 2006. №4, с. 22-26.

60. Квитко А. Н. Об одном методе решения граничной задачи для нелинейной управляемой системы// ЖВМ и МФ. Т. 46. 2006. №73, с. 12411250.

61. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. Москва. Наука. 1967. 223 с.

62. Красовский Н. Н. Теория управления движением. Москва. Наука. 1968. 475 с.

63. Верещагин Ф. П. Методы исследования режимов полета аппарата переменной массы. Пермь. 1972.

64. Nguen Than Bang. Numerical solution of the d-control problem for nonlinear systems// Arch. Autom and telemech. 1983. 28. №3, p. 131-143.

65. Fury M., Nistri P., Pera M. P., Zezza P. L. Linear controllability by piecewize constant control with assigned switching times// J. Optimize Theory and Apl.1985. 45. №2, p. 219-229.

66. Zezza P. On the reachable set for linear systems with piecewise constant controls// Bol. Unione mat. Ital. 1986. 5. №1, p. 127-137.

67. Allon Amit, Segev Reuven. Driving a linear constant system by a piecewise constant control// Int. Contr. 1988. 47. №3, p. 815-825.

68. Кухта К. Я. О решении нелинейной, нестационарной непрерывно-дискретной граничной задачи в теории управления// Автоматика и телемеханика. 1991. №6, с. 78-83.

69. Лапин С. В. Кусочно-постоянная стабилизация систем линейных относительно управления// Автоматика и телемеханика. 1992. №6, с. 37-45.

70. Somasundaram D., Balachandran К. Controllability of nonlinear systems consisting of a bilinear mode with distributed delays in control// IEEE Trans. Autom. Contr. 1984. V. 29. №6, p. 573-575.

71. Sinha A. S. Null-controllability of nonlinear infinite delay systems with restrained controls// Intern. J. Contr. 1985. V. 42. №3, p. 735-741.

72. Balachandran K., Somasundaram D. Relative controllability of nonlinear systems with time varying delays in control// Cybernetika. 1985. V. 21. № 1, p. 14-17.

73. Sinha A. S. Controllability of non-linear delay systems// Intern. J. Contr.1986. V. 43. №4, p. 1305-1315.

74. Balachandran K. On the controllability of class of nonlinear systems with time-varying multiple delays in control// IEE Proc. 1986. V. 133. №6, p. 297300.

75. Balachandran К., Somasundaram D. Controllability of nonlinear delay systems with delay depending on state variable// Cybernetika. 1986. V. 22. №5, p. 439-444.

76. Balachandran K. Controllability of non-linear systems with delays in both state and control variables// Cybernetika. 1986. V. 22. №4, P. 340-343.

77. Balachandran K. Global relative controllability of non-linear systems with time-varying multiple delays in control// Intern. J. Contr. 1987. V. 46. №1, p. 193-200.

78. Balachandran K. Global relative controllability of non-linear systems with distributed delays in control//Inter. J. Modeling and Simulation. 1987. V. 7. №3, p. 28-33.

79. Balachandran K. Null controllability of nonlinear delay systems// Jntern. J. Modeling and Simulation. 1989. V. 15. №2, p. 13-18.

80. Onwuatu J. Null controllability of systems with delayed state and control// Adv. Model, and Simul. 1989. V. 15. №2, p. 19-37.

81. Минюк С. А. К теории полной управляемости систем с последействием при наличии ограничений// Дифференц. уравнения. 1991. Т.27. №12, с. 2169-2170.

82. Колмановский В. В.,Королева Н. Н. О синтезе билинейных систем с запаздыванием// ПММ. 1993. Т.57. Вып.1, с. 32-40.

83. Kopeikina Т. I., Karpuk V. V. Dynamic after-effect systems: controllability, absorbability, point wise completeness// Int.Conf. Func. Diff. Equat. and Appl. Moscow. 1994. C. 25-46.

84. Paula R., Jan W. Controllability for delay-differential systems// Proc. 33 rd IEEE Conf. Decis. and Contr. 1994. V.3. P. 2894-2897.

85. Klamka J. Approximate relative controllability retarded dynamical systems // App. Math, and Comput. Sci. 1996. V.6. №1, p. 15-26.

86. Paula R., Jeffrey W. A new perspective on controllability properties for dynamic systems// Appl. Math, and Comput. Sci. 1997 V.7. №4, p. 869-679.

87. Желтиков В. В. Построение решения задачи управления с запаздыванием // Тез. Докл. Междунар. конф. Одесса. 2000. С. 102.

88. Копейкина Т. В., Шашков Б. В. Об аппроксимации задачи управляемости с запаздыванием // Вестн. НАН Беларуа Сер. Физ. Мат. 2002. №1, с. 51-56.

89. Ким А. В., Волканин Л. С. К синтезу управления для систем с последействием и управляющих параметрах// Изв. УРГУ. Мат. и мех. 2003. Вып. 5. №26, с. 81-86.

90. Оленчиков Д. М. Глобальная управляемость билинейных импульсных систем с запаздыванием// ПММ. 2004. Т.68. Вып 4. С. 602-610.

91. Lianwen W. Approximate controllability of delay Simi linear control system// J. Appl. Math, and Stocast. Anal. 2005. V. 22. №1, p. 67-76.

92. Марченко В. M., Луазо Ж. Ж. Реализация динамических систем в шкалах систем с последействием Управляемость. Наблюдаемость. Минимальность// Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. №2, с. 41-51.

93. Отакулов С. А. О разностной аппроксимации одной системы управления с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 2008. №4, с. 157-167.

94. Квитко А. Н. О методе решения граничной задачи для нелинейной управляемой системы при учете запаздывания управляющего воздействия// ПММ. 2012. Т. 76. Вып. 3. С. 394-405.

95. Квитко А. Н., Якушева Д. Б. Решение граничной задачи для нелинейной стационарной управляемой системы на бесконечном промежутке времени с учетом дискретности управления// Информационно-управляющие системы. 2011. №6, с. 25-29.

96. Квитко А. Н., Якушева Д. Б. Решение задачи синтеза дискретной стабилизации с учетом неполной информации для нелинейной стационарной управляемой системы// Вестник СПбГУ. Серия 1. Математика, механика, астрономия. 2012. № 2, с. 21-30.

97. Кабанов С. А., Никулин Е. Н., Якушев Б. Э., Якушева Д. Б. Управление перемещением груза мостовым краном по методу обратных задач динамики// Известия ВУЗов. Приборостроение. 2011. №12, с. 30-33.

98. Кабанов С. А., Никулин Е. Н., Якушев Б. Э., Якушева Д. Б. Оптимальное управление перемещением груза мостовым краном// Известия ВУЗов. Приборостроение. 2011. №5, с. 56-65.

99. Квитко А. Н., Якушева Д. Б. Алгоритм построения кусочно-постоянного синтезирующего управления при решении граничной задачи для нелинейной стационарной системы// Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2012. № 1, с. 138-145.

100. Антончик В. С. Методы стабилизации программных движений. СПб, Изд-во С.-Петербургского унив-та. 1998. 208 с.

101. Luenberger D. G. Determing the state linear system with observers low dynamic order// Ph.D.dissertation-Stanford University. 1963.

102. Luenberger D. G. Observers for multivariable systems // IEEE Transactions of Automatic Controll. 1966. P. 190-197.

103. Trin H., Ha Q. P. Design of linear functional observers for linear systems with unknown inputs// International Journal of Systems Science. 2000. Vol. 31. № 6, p. 741-749.

104. Roman J. R., Bullok T. E. Design of minimal-order stable observes for linear functions of the state via realization theory// IEEE Transactions of Automatic Control. 1975. Vol. 20. P. 613-622.

105. Bhattachargun S. P. Observer design for linear system with unknown in-put// IEEE Transactions of Automatic Control. 1978. Vol. 23. P. 483-484.

106. Коровин С. К., Фомичев В. В. Экспоненциальные наблюдатели билинейных систем на плоскости// Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. № 12, с. 1605-1612.

107. Коровин С. К., Фомичев В. В. Экспонециальные наблюдатели билинейных систем на плоскости// Докл. РАН. Теория управления. 2001. Т. 385. № 5, с.' 713-728.

108. Коровин С. К., Фомичев В. В. Асимптотические наблюдатели для некоторых классов билинейных систем с линейным входом// Докл. РАН. Теория управления. 2004. Т. 398. № 1, с. 38-43.