автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Методы переноса краевых условий для дифференциальных уравнений теории оболочек

Р Г Б ОД

1 5 ДЕК 1396

На правах рукописи

ВИНОГРАДОВ. Алексей Юрьевич

МЕТОДЫ ПЕРЕНОСА КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК

05.13.1б-примсис1шс вычислительной техники, математического моделирования п математических методов в научных исследованиях (механика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата фпэшо-штсматичсских наук

КАЗАНЬ - 1996

Работа выполнена в Институте Прикладной Механики Российской Академии Наук

Научный руководигель: доктор физико-математических наук

Ю.Н.В1Шоградов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.Н.Паймушин, доктор физико-математических наук, профессор М.М.Карчевский

Ведущая организация: Московский Институт Теплотехники.

Защита состоится " 24 " декабря 1996 г. в 14 час. на заседании диссертационного совета Д063.43.03 в Казанском Государственном Техническом университете им.А.Н.Туполева по адресу: 420111, г.Казань, ул.К.Маркса, 10, зал заседаний Ученого совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КГТУ нм.А.Н.Туполева (420111, г.Казань, ул.К.Маркса, 10)

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного Совета, кандидат физ.-мат. наук

П.Г.Даннлаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Решение проблемы снижения веса конструкций связано с их усложнением и использованием тонкостенных элементов. Даже простейший вариантньш способ конструктивной оптимизации требует параметрических исследований на ЭВМ с использованием численных методов решения краевых задач. Самыми известными среди них являются :

- конечно-разностные методы построения приближенных решений дифференциальных уравнений с использованием конечно-разностных аппроксимаций производных;

- различные модификации метода конечных, элементов, метод Бубнова-Галеркина, метод Релея-Ритца, основу которых составляют аппрохсимации решений дифференциальных уравнений конечными линейными комбинациями заданных функций: полиномов, тригонометрических функций и т. п.;

- методы численного определения интегралов обыкновенных дифференциальных уравнений по Рунге-Кутгу, Вольтерра, Пикару и т.п.

Самыми универсальными, получившими широкое применение, являются конечно-разностные методы и различные модификации метода конечных элементов. Однако, не всегда оправдано использование построенных на их основе мощных программных средств для исследования прочности отдельных наиболее нагруженных несущих элементов конструкций. Это тем более неоправданно, когда важным является знание погрешности, с которой получаются результаты.

Для решения краевых задач механики деформирования тонкостенных элементов конструкций более эффективными являются методы, в основу которых заложено численное интегрирование дифференциальных уравнений. К ним относятся методы Абрамова, Годунова, Гельфанда-Локуциевского и т. п. . Эти методы позволяют с меньшей погрешностью определять напряженно-деформированное состояние в тонкостенных элементах в местах его быстрого изменения.

Таким образом, повышение эффективности и стремление к контролю за погрешностью счета для известных численных методов, построение их модификаций и построение новых методов, является актуальной задачей исследований.

Целыо настоящей работы являются повышение эффективности известных численных методов для решения задач деформирования оболочек и пластин, в основу которых положено численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, а таюке, построение их модификаций и построение новых методов.

Научная новизна состоит в следующем:

1. Усовершенствован метод Годунова.

2. Повышена эффективность метода Абрамова.

3. Построены модификация метода Гельфанда-Локуциевского, его дискретный аналог и модификация дискретного аналога.

4. Повышена эффективность метода, построенного на вычислениях интегралов по Вольтерра и Пикару в виде функций Коши-Крмлова, и предложена его модификация для систем линейных обьпсновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых первого порядка.

5. Предложен метод решения краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих только четные производные, и его модификация.

6. Предложены три алгоритма определения значений искомых вектор-функций краевой задачи необходимых для начала интегрирования.

Достоверность основных научных результатов следует из математической строгости выкладок и преобразований при доказательствах научных положений, построении вычислительных процедур и из совпадения полученных и известных результатов решендо краевых задач.

Практическая ценность работы состоит в:

- повышении эффективности путем сокращения затрат машинного времени, необходимой оперативной памяти ЭВМ и контроля погрешности счета для известных численных методов Абрамова, Годунова, Гельфанда-Локуциевского,

- построении их более эффективных модификаций,

- построении модификаций метода решения системы дифференциалькьех уравнении, каждое из которых первого порядка,

- построение нового метода решения краевьсх задач для систем линейных обькковенньос дифференциальных уравнений, содержащих только четные производные, а также в

- автоматизации счета по трем предложенным алгоритмам определения значений вектор-функции необходимых для начала интегрирования.

Настоящая работа является составной частью пятилетнего плана фундаментальных исследований Института Прикладной Механики Российской Академии Наук.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Численные процедуры и алгоритмы повышения эффективности метода Годунова.

2. Численные процедуры повышения эффективности метода Абрамова.

3. Метод, дискретный аналог метода Гельфанда-Локуциевского и его модификация.

4. Численные процедуры и алгоритмы повышения эффективности метода решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых первого порядка и эффективность его модификации.

5. Метод решения краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих только четные производные и его модификация.

6. Эффективность алгоритмов определения значений искомых вектор-функций краевой задачи, необходимых для начала интегрирования.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на XVI и XVII Международных конференциях по теории оболочек и пластин (Нижний Новгород, 1993; Казань, 1995); на Белорусском Конгрессе по теоретической и прикладной механике "Механика-95" (Минск,

1995); на Международном Симпозиуме "Advances in Structured and Heterogeneous Continua II" (Москва, 1995); на научном семинаре Института Прикладной механики Российской Академии Наук (Москва, 1995); на Международной научно-технической конференции 'Современные проблемы машиноведения" (Гомель,

1996).

По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ.

Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения и краткого обзора литературы, 7 глав и основных результатов и выводов. Она изложена на 163 страницах машинописного текста.

Список аннотированной литературы представлен 127 работами отечественных и зарубежных авторов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении, исходя из приведенного анализа современного состояния рассматриваемой области численных методов, обосновывается актуальность и важность исследуемых в диссертации вопросов, сформулированы направления исследований, по которым получены результаты, приведены основные научные положения, выносимые на защиту, изложено краткое содержание работы по главам.

В первой главе работы получены результаты, позволяющие значительно усовершенствовать метод дискретной ортогональной прогонки Годунова,

В методе Годунова в конце каждого участка интервала интегрирования векторы Уо, Y| , i=l,...,r, формирующие матрицу Y = II Yi(x),..., Y,(x), Yo(x) II, подвергаются ортогонализации по процедуре Грамма-Шмидта Y = Z W.

Помимо ортогонализации и нормирования векторов Yj, i=l,...,r, к ним ортогхшалнзируется без нормирования и вектор частного решения Yo. Однако, операция ортогонализации вектора частного решения Yo к другим векторам Yj, i=l,...,r не является необходимой. Таким образом, предлагается ортогонализовать только векторы Yj, i=l,...,r, образующие фундаментальную систему решений. В этом случае последние столбцы матриц Y и Z будут совладать, а последний столбец матрицы W вместо вида

{ Щ*ц.и.... W(,+|)i(r+i),l }т на любом участке, будет иметь вцд ( 0, ..., 0, 1 ) т, и теперь этот столбец не надо вычислять, как и последний столбец матрицы Z.

Часто приходится peuiafb краевые задачи для систем дифференциальных уравнений с различными правыми частями F(x). В этом случае большую часть вычислений - вычисление первых г столбцов матриц Y, Z, W для всех участков интервала интегрирования следует выполнять только один раз при прямом ходе прогонки при решении задачи для первой вектор-функции нагрузки F(x) и запомнить Y, Z, W для использования при всех других F(x). Полученные таким образом результаты могут быть использованы для любой другой вектор-функции нагрузки F(x)

потому, что нс зависят от F(x), а зависят только от геометрии и свойств материала конструкции, то есть от матрицы G(x) коэффициентов системы дифференциальных уравнений, а также от условий на крае х=0, так как этим условиям должно удовлетворять записанное в специальном виде решение. Таким образом, для метода Годунова это означает, что для любой новой вектор-фуикции нагрузки F(x) необходимо заново выполнить только меньшую часть процедур прямого хода, то есть процедуры, касающиеся вычисления вектор-функции частного решения неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, и обратный ход прогонки. Наиболее длительная часть расчета - вычисление и ортонормирование векторов, образующих фундаментальную систему решений однородных обыкновенных дифференциальных уравнений, выполняется только один раз.

Если, в соответствии с предложенным, ортогонализировать только векторы фундаментальной системы решений однородных обыкновенных дифференциальных уравнений, то для нового вектора F(x) придется пересчитывать тольхо последний столбец матрицы Y, так как последние столбцы матриц Y, Z совпадают, а

последний столбец матрицы W имеет вид {О.....О, 1 } т . Это

делает алгоритм вычислений более наглядным и сокращает затраты времени счета.

В общем случае для метода Годунова определить требуемые начальные значения вектор-функций решения Yi(0), i=0,l,...,r можно используя один из трех алгоритмов, предложенных в шестой главе. В частности, наиболее удобным является третий алгоритм, при помощи которого вычисляются ортонормированные начальные значения вектор-функций решения.

Определить начальные значения вектор-функций решения в этом случае можно с помощью введения модели упругого операния. Для этого следует заменить модель упругого операция края х=0 на модель упругого основания для малого участка Дх оболочки вблизи края х=0. В результате при новой модели сохраняется упругое операние края, ко одновременно в сечении х=0 справедливы условия свободного края. При услоЕШИ свободного края н при записи системы дифференциальных уравнений в каноническом виде начальные значения вектор-функций решения очевидны.

В общем случае разрешающие функции различных частей интервала интегрирования задачи не имеют физического смысла, а

фнзические параметры задачи выражаются различным образом через эти функции и их производные. Вместе с этим сопряжение смежных участков должно удовлетворять кинематическим и силовым условиям в точке сопряжения. Выражение условий сопряжения смежных участков для случая, когда точка х=х сопряжения не совпадает с точкой ортогонального преобразования матрицы у из выражения для искомой вектор-функции Y(x)=y(x)C+Yo(x), имеет вид

М. [ у. (х*) С. + Ye. (х*) ] + ДР = М+ (к) С+ + Yo+ (х*) ].

При прямом ходе метода прогонки продолжить интегрирование при переходе точки сопряжения слева направо можно в соответствии со следующим выражением

У+ (х) = (MJ1 М.у. (х*); Y0+ (х*) = (М+У' М. Y0. (х*) + ДР.

Из сформулированных в главе положений следует, что перенос граничных условий в методе Годунова имеет следующий смысл. Продолжение интегрирования, начиная с вектора Yo (0), означает перенос 'Ьвертки" WTw матричного уравнения краевых условий при х=0 к правому краю х=1. Продолжение интегрирования, начиная с векторов Yi(0),...,Yt(0), означает, что матрица краевых условий W*, которые неизвестны на крае х=0, переносится на край х=1. Интегрирование дифференциальных уравнений ведется с целью переноса на край х=1 вектора искомых констант с, а значит вектора w*, который выражает условия неизвестные на крае х=0. Перенос матрицы W* и вектора у/* означает, что матричное уравнение W* Y(0) = w* краевых условий, которые неизвестны на крае х=0, переносится на край х=1.

Таким образом, в методе Годунова переносится 'Ьвертка" краевых условий, известных на крае х=0 и матричное уравнение краевых условий, которые неизвестны на крае х=0.

Во второй главе приведены результаты анализа и усовершенствования метода Абрамова.

Уравнения переноса граничных условий в варианте Абрамова имеют вид Н' = НАН¥НТ - НА, г' = НАНЧг + HF, где Ч* - постоянная матрица, вычисляемая заранее в зависимости от ' граничных условий при х=0, ( ННТ )*' = ( Н(0)Н(0) т )"'. Предлагается путем тождественных .преобразований граничных условий матрицу Н* сделать единичной vF=(HHT)"'=(H(0)H(0)T)'1 = const = I. В этом случае ясен тот замечательный факт, что строки матрицы Н(х) всегда остаются ортонормированными также, как и

строки матрицы Н(0). Это легко видеть "от обратного". Так как (НН1)'1 = I = const, то сделав предположение, что строки матрицы Н кеортонормированные, получаем (ННТ)"'*1, что противоречит известному. Дополнительно к вышесказанному это же позволяет контролировать точность вычислений при помощи проверки условия ( Н(х)Н(х)т )"' = I = const

Предложен алгоритм для приведения прогоночнон матрицы к матрице с ортонормированнымн строками. На краю х=0 имеем условие H(0)Y(0)=r(0). Эту систему линейных алгебраических уравнений можно путем эквивалентного преобразования привести к системе, содержащей матрицу с ортонормированнымн строками H(0)Y(0)=r(0) => W(0)Y(0)=>y(0). Следовательно, вместо матрицы Н(0) и вектора г(0) имеем эквивалентные им с точки зрения краевых условий соответственно матрицу W(0) и вектор w(0). Тогда вместо ЧМЩОдаО)1")"' получим Y= ( W(0)W(0)T )"' . Произведение этих прямоугольных матриц есть единичная квадратная матрица I. В результате уравнения прогонки метода Абрамова принимают более простой вид в правой части H=HA(HTH-I), /=HAHTr+HF.

Первое из этих уравнений метода является независимым, так как не содержит искомого вектора г(х) и может быть проинтегрировано отдельно от второго. Второе из этих уравнений зависит от результатов интегрирования первого уравнения, так как содержит искомую матрицу Н(х). Независимое уравнение описывает только свойства рассматриваемой системы и не включает в себя информацию о внешнем воздействии на систему. Это означает, что результаты его интегрирования не зависят ни от внешнего воздействия на систему, то есть от вектора F(x), ни от величины воздействия на краю х=0, то есть от значения вектора г(0). От F(x) и г(0) зависят результаты интегрирования только второго уравнения. Для решения таких многовариантных задач следует организовать вычисления следующим образом. Первое из уравнений Абрамова интегрируется только однажды и используется для всех вариантов внешнего воздействия. Для каждого варианта внешнего воздействия второе уравнение интегрируется с использованием результатов интегрирования первого уравнения.

В третьей главе представлены результаты, совершенствующие метод Гельфанда-Локуциевского, и предложены его модификации.

Для того, чтобы избежать сложной процедуры начала вычисления по формулам, свойственным методу для начала

вычислений, предложен алгоритм вычисления начальных значений прогоночных матрицы и вектора. Запишем уравнение краевых условий H(0)Y(0)=r(0) в виде ! Hu I Н12 Я Y(0) = г(0). Записав (Нп)'11 Нп|Нп Ц У(0)=(Нц)"'г(0), получим начальные значения прогоночных матрицы и вектора: L'(0)=(Hn)"lHi2,r*(0)=(Hn)"'r(0). При получении этих формул предполагалось, что матрица Нц невырожденная, то есть матрица (Нц)"1 существует и может быть вычислена. Перестановка, которая приводит к невырожденной матрице на месте Нц существует и для нее введено обозначение оператора перестановок Тогда вместо уравнения краевых

условий H(0)Y(0)=r(0) получим эквивалентное уравнение (H(0))p(Y(0))p=r(0), а вместо системы дифференциальных уравнений Y'(x)-A(x)Y(x)=F(x) - систему (Y/(x))3-(A(x))il(Y(x))p=(F(x))p.

Метод Гельфанда-Локуциевского используется для систем дифференциальных уравнений в том случае, когда порядок п системы четный и на каждом из концов интервала интегрирования задано а/2 граничных условий. Если следовать выводу дифференциальных уравнений метода, то проследив соответствие всех индексов всех матриц и векторов, можно показать, что метод можно модифицировать и для случая нечетного порядка п системы дифференциальных уравнений для неодинакового ш и г числа условий на краях. В результате получим уравнения прогонки модифицированного метода Гельфанда-Локуциевского

Как показано в работе, можно считать, что метод Абрамова есть непрерывньш аналог метода Годунова, а метод Годунова есть дискретный аналог метода Абрамова с точки зрения ортонормирования матрицы краевых условий. Имея такую пару методов-аналогов и отдельно стоящий метод Гельфанда-Локуциевского, можно провести аналогию и определить, что должен существовать еще один метод - аналог метода Гельфанда-Локуциевского. В методе Гельфанда-Локуциевского в получаемые уравнения прогонки привносится требование, чтобы левый блок прогоночной матрицы краевых условий постоянно был равен единичной матрице. Новый метод - дискретный аналог метода Гельфанда-Локуциевского, будет основываться на том, что левый блок прогоночной матрицы Н = I I | -L(x) 9 краевых условий будет приводиться к единичной матрице дискретно:

|У»(х)|| _ _i_

Q-

В результате имеем четыре метода, которые являются взаимными аналогами друг друга: метод Годунова, метод Абрамова, метод Гельфанда-Локуцаевского, дискретный аналог метода Гельфанда-Локуциевского.

Можно построить еще одну модификацию метода, промежуточного между методом Годунова и полученным дискретным аналогом метода Гельфанда-Локуциевского, с основополагающей процедурой вида:

где = R U - разложение матрицы на матрицу R с ортонормированными столбцами и всрхиетреугольную матрицу U.

В четвертой главе приведен способ усовершенствования традиционного вида метода решения краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых первого порядка. Приведена его модификация.

Определив общее решение Y(x) = K(X,X0)Y(X0) + Yo(x,xo) системы обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи матрицианта П *0 (А), подчиним это решение краевым условиям. Запишем выражения для значений вектор-функций Y(x) при х=0 и х=1 через значения этой вектор-функции в точке х=Хо

Y(0) = K(0,x0)Y(x0) + Yo(0,x0), • Y(l) = K(l,xo)Y(x0) + Y0(l,Xo). Подставив выражение для Y(0) в матричное уравнение краевых условий при х=0, а выражение для Y(l) в матричное уравнение краевых условий при х=1, получим U[K(0,Xo)Y(xo)+Yo(0,xo)]=u, V[K(1,Xq)Y(xq)+Yo(1,Xo)] = v. Эти уравнения могут бьггь объединены

Очевидно, что из решения таких систем линейных алгебраических уравнений могут быть определены значения вектор-функции У(х) для всего диапазона изменения хе(0,1).

Система линейных алгебраических уравнений предлагаемого метода может бьггь записана в следующем виде

где и0=иК(0,х0), ио=и-иУ0(0,х0), Х^УЩ.хо), у1=у-УУ0(1,х0). Эта система линейных алгебраических уравнений состоит из двух матричных линейных алгебраических уравнений: 1(оУ(хо)=ио и У^(х0)=у,. Первое из этих уравнений можно интерпретировать как

P^q = —ss— и,

УК*) _ _R

матрнчнос уравненне условпП на крае х=0, перенесенное в точку х=Хо. Torna второе из этих уравненнй представляет собой матричное уравненне условий на крае х=1 , перенесенное в ту же точку х=х0 .

Контроль точности можно выполнять сравнением получаемых решений тестовых задач с их известными аналитическими решениями, проверкой выполненга краевых условий и/или симметрии получаемого решения в случае одинаковых условий на краях х=0 и х=1. Можно также контролировать точность интефирования, то есть точность вычисления матриц Коши, для этого следует проверять тождество К(Дх)К(-Дх)=К(-Дх)К(Дх)=1, так как К(Дх)=ехр(АДх), К(-Дх)=ехр(-АДх)=(ехр(АДх))"1. Аналогичную формулу контроля можно построить и для дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, воспользовавшись для ее вывода представлением общего решения системы дифференцнальных уравнений через матрициант в виде мультипликативного интеграла. Тогда получим [П *0 (-A)]"'=fJ (А), или в обозначениях матрицы Коши К(х.хо)"1 = К(хо,х).

В зависимости от расположения точки х=х* сопряжения участков может оказаться необходимым выразить либо Y|¡(x ) через Yi+i(x'), либо наоборот. На примере краевой задачи с двумя сопрягаемыми участками йожно показать использование полученных выражений. Пусть краевые условия заданы при х=0 и х=1 и пусть 0<хо<х*<1. Первым участком будем называть участок 0<х<х и вторым - участок х <х<1. Тогда оставляя в качестве неизвестного только вектор Yi(xq) , получим следующие выражения Yi(0) = K,(0,xo )Yt(x0) + Yoi(0,xo); Y2(l) = Kjd.x^M^"1 L2-j M, Ki (x',Xo)Y,(xo) + + ( Mj1 L{1 M,Yoi(x\xo) + M2-' иЛ APi + YM(l,x*) }. Подставив полученные выражения в выражения краевых условий для Yi(0) и Y2(l) , получим систему линейных алгебраических уравнений для определения Y¡(x0).

Предложена модификация метода для случая, когда решение краевой задачи ищется в виде Y(x) = у(х) с + Yo(x), удовлетворяющем условиям на выбранном краю. Далее индекс 'L" означает левый кран х=0, а индекс 'R" означает правый край х=1. В отличии от вышеизложенного метода, в данном случае, матричные уравнения краевых условий удовлетворяются тождественно, то есть имеем UYl(0)su и VYR(0)sv. После

векторно-матричных преобразований получаем выражение, являющееся основой метода

I I - М*о) 1

= ( Уко(хо) - Уио(хо) ).

С*

Таким образом получена традиционного вода система линейных алгебраических уравнений размерности п для определения искомых векторов констант С[. и Ся .

Полученная система может быть переписана с помощью матриц Коши К(хо,0) и К(хо,1) соответственно:

К(х0,0)уь(0) I - К(х0,1)?/Я([)

Сь

= ( Уко(хо) - Уи(х0)).

Си I.

В усовершенствованном варианте метода осуществляется перенос в рассматриваемую точку матричных уравнений тех краевых условий, которые известны на краях х=0 и х=1. В модификации усовершенствованного метода решение ищется в таком же виде как и в методе Годунова и, следовательно, как было показано в первой главе, в рассматриваемую точку переносятся матричные уравнения тех условий, которые неизвестны на краях х=0 и х=1.

Решение краевых задач для дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами могут осуществляться путем осреднения последних на выбранных интервалах аргумента х.

В пятой главе построен метод решения краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих только четные производные и его модификация.

Рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнении в матричном виде /(х) 4- А(х)/(х) = Г(х), (*)"=с12(*)/с1х2. Положим, что А(х)=А=соп51, а случай переменных коэффициентов рассмотрим отдельно. Решение задачи Коши для системы у"(х) + А(х)у'(х) = Г(х) при начальных условиях у(х0) и У(х0) имеет вид у(х) = С(х,х0)у(х0) + 5(х,х0)У(х0) + Уоз(хЛо).

Вычисления выполняются по формулам С(х,х0)=СО5(Аш(х-х0)) = I - (1/2!)А(х-х0)2 + (1/4!)А:(х-х0)* - • • •. 3(х,х0)=А-1/251Н(Аш(х-х0))=1(х-хо)-(1/3!)А(х-хо)3+(1/5!)Аг(х-хо)5-. . . Уоз(х,х0) = А'"2 [ Л'%-0 ) Г(1) (11.

хо

В случае краевой задачи условия должны быть заданы на значения элементов векторов у(0), /(0), у(1), /(1) или на 2п

лннейных комбинаций элементов этих векторов. В этом случае краевая задача обладает полнотой. Краевые условия имеют вид В ( ут(0), у>\0) }т = b, D { ут(1), /т(1) }т = d. Выражение для вектор-функции у'(х) можно получить дифференцированием выражения для у(х) учитывая, что интеграл, в выражении для у(х), относится к интегралам, зависящим от параметра, причем с переменными пределами интегрирования

y/(x)=-AS(x,x0)y(xo)i-C(x,xo)y/(xo)+yoc(x,Xo), х

Уос(х,х0)=А-1/2 J COS( А,/2(х-1) ) f(t) dt.

хо

Объединим формулы для у(х) и у'(х):

где

УОО _ I С(хрсо) 1 S(xpco) II у(х о) ум(х.хо)

у'(х) - I -AS(x,xo) 1 С(х,хи) I У(хо) у'ос(х.хо)

Выразим при помощи вышеприведенного вьфажения векторы (уТ(0),у>))т и (ут(1),Л1))Т через вектор {уТ(х0),уЛГ(х0>}т и, выполнив подстановку этих выражений в выражения краевых условий, получим систему 2п линейных алгебраических уравнений для определения 2п неизвестных элементов вектора {ут(хо),уя(хо)}т.

В

D

С(0,хо) | S(0,xo)

- AS(0,xo) | C(0,xo)

С(1,х.) ISQ.X.)

- AS(1 ,хо) I С(1до)

У(хо)

У(»>

ь-в yos(0,Xo)

yoc(0,Xo)

d-D yos(l.Xo)

yoc(l,Xo)

Из этой системы линейных алгебраических уравнений могут быть получены решения для всего диапазона изменения х. Получена рекуррентная формула

I C(xi+,-x0) S(x¡+i-Xo) L I С(Д0 S(A¡) [1 С(хгхо) S(x¡-x0) i

| -AS(x¡4.rx0) C(xi+i-xo) | 1 -AS(A¡) C(A¡) 1 -AS(x¡-Xo) C(x¡-xo) 1

Для Ai = const = Д можно записать

1 C(x¡+i-Xo) S(xi+i-x0) -I SfA)

| -AS(X¡h-XO) C(xi+i-x0) 1 -AS (A) С(Д)

К

К=(х1-х0)/Д.

Рекуррентная формула для дифференциальных уравнений имеет виц

- I С(Д) S(A) 1 УМ

1 -AS(A) С(Д) |

неоднородной системы

yos(x¡M,Xj)

yoc(x¡+i.x¡)

Когда система дифференциальных уравнений имеет переменную матрицу А(х) коэффициентов, решение может быть построено с использованием приема осреднения коэффициентов на интервале интегрирования. Для этого случая также получена рекуррентная формула.

Получены формулы для контроля точности вычислений

-ААСАОСЛЛ^+СУЛОА&СД^О, где 1,0 - соответственно единичная и нулевая матрицы.

Получены формулы перехода через точку сопряжения различных участков при продолжении интегрирования системы дифференциальных уравнений.

Метод модифицирован для случая, когда решение краевой задачи ищется в виде, удовлетворяющем условиям на одном краю.

У(х)

/00

У>00

у2(х)

с +

Уо(*)

/о(х)

Получено выражение, являющееся основой метода

Уп(хо) 1 I -у^Оо) | _ ( Ум(хо) у^(хо)

УМ 1 1 "'ДгОо) | Ся / м>(хо) у/ш(х0)

Таким образом, получена традиционного вида система линейных алгебраических уравнений размерности 2п для определения искомых векторов констант Сь и С^ .

Из сравнения методов решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнений только с четными производными следует, что

у«(х,хо)

У(х)=

У(х)

У0(х,хо)=

у'ос(х,хо)

I

гад"

Матрица Коши в случае А(х)=А=соп$1 может быть вычислена с помощью матричного ряда для матричной экспоненты. Такое вычисление матрицы Коши К(х,хо) требует гк*(2п)3 операций умножения, а вычисление матриц С(Д), Э(Д) требует ~2*к*п3 операций умножения при том же числе членов матричных рядов, то есть в четыре раза меньше [к("2п)3]/[2кп3]=4. Для случая дифференциальных уравнений с четными производными матрицы Коши К(Д) и К(-Д) строятся при помощи матриц С(Л),3(Д) и С(-Д)=С(Д), 5(-Д)=-3(Д) соответственно, то есть в этом случае матрица

К(-Д) не вычисляется, а составляется из блоков матрицы К(Д), что сокращает необходимые вычисления еще в два раза.

В шестой главе поставлена задача определения начальных значений искомых вектор-функций решения краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и предложены три алгоритма ее решения.

Начальные значения У®(0},У 1 (0)Уг(0) искомых вектор-функций Уо(х),У1(х),...,У,(х) решения оче водны только в простейшем частном случае, когда искомая вектор-функция У(х) в качестве элементов содержит все искомые физические параметры задачи и когда краевые условия заданы на отдельные из них.

Краевые условия имеют общий вид матричных линейных алгебраических уравнений с прямоугольными матрицами и и V коэффициентов при векторах У(0) и У(1) в двух следующих случаях или их сочетании. Во-первых, в том случае, когда система дифференциальных уравнений имеет канонический вид, но краевые условия заданы различными зависимостями между физическими параметрами. Во-вторых, при записи системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений не в каноническом ввде, а относительно любых вспомогательных функций, которые, являясь элементами искомой вектор-функции У(х), могут не иметь физического смысла, выражаясь при этом через физические параметры задачи и их производные.

Первый алгоритм наиболее нагляден и прост для реализации в случае мало заполненной матрицы коэффициентов уравнения краевых условий. Матрица и имеет прямоугольньш вид при числе ее столбцов на г больше, чем строк. Если задать по г элементов Уу(0) во всех начальных значениях искомых вектор-функций, то остальные элементы этих начальных значений искомых вектор-функций могут быть найдены из соответствующих систем линейных алгебраических уравнений 11У(0)=и и иу[(0)=0,1=1,...,г. Зададим элементы у^(0), расположенные в позициях с номерами .

одинаковыми для всех начальных значений искомых вектор-функций. При любых значениях всех остальных элементов начальные значения искомых вектор-функций линейно независимы, если задаваемые элементы принять, например, следующими

Уи(°>={ Н'-Л' ■ j-ji.--.Jr,

0, 0, ]*],

yoj(O) = O, j=ji,...,jr , В результате получим

UY(0)=u => PQ(0)=u-RR(0) и UY¡(0)=0 => PQ^O^-RT^O),^!.....г,

Второй алгоритм. Дополним матрицу U до матрицы G размерности mxm ранга т. Первыми (т-г) строками матрицы G принимаем строки матрицы U. Построив матрицу G, начальные значения искомых вектор-функций можно определить из решения следующих систем линейных алгебраических уравнений: GYo(0)=Uo, где Uo=(u\ О,..., 0)т - вектор размерности ш, содержащий г кулей в последних позициях:

GY¡(0)=U¡, i=I.....г, U¡= { uibu¡2.....uim ]т ,

f 1, j=i+(m-r) .

Третий алгоритм приводит к сокращению вычислительных затрат при получении начальных значений искомых вектор-функций задачи, которые вычисляются ортонорннрованными. Построив матрицу G, как это предложено в предыдущем алгоритме этой главы, можно записать систему линейных алгебраических уравнений вида GY(0)=L, где L=(U[,U2,...,um)T={uT,eT)T - вектор размерности mxm, включающий в себя известный вектор и, а также вектор е размерности г, содержащий неизвестные элементы. Эта система линейных алгебраических уравнений может бьггь преобразована к эквивалентной WY(0)=h, где W - матрица размерности mxm ранга m с ортонормированнымк строками, вектор

h=fhi,h2.....hm}T={hu,he}T содержит вектор hu размерности (т-г) и

вектор ht размерности г. Матрицу W представим в блочном виде

W = UU . I w [

где Wo, W - матрицы размерностей соответственно (m-r)xm и rxm рангов соответственно (т-г) и г. За начальные значения Y¡(0), i=l,...,r искомых вектор-функций примем соответственно i-e транспонированные строки матрицы W , то есть соответственно (i+(m-r))-e транспонированные строки матрицы V/ :

Y¡(0) =( Wji, w¡2.....wjm }т , i=l,..;,r, rae j=i+(m-r).

За начальное значение Yo(0) искомой вектор-функции примем линейную комбинацию транспонированных первых (m-г) строк матрицы W, то есть транспонированных строк матрицы Wo, в виде

/

(m-r)

1«1

где Ьи! - ¡-Г( элемент вектора Ьц={Ьых,...,Ьи(т.г))т, - 1-ая

строка матрицы V/ и одновременно матрицы У/о.

Матрично-блочные выводы позволяют получить алгоритмы и показывают смысл искомых констант в искомой вектор-функции краевой задачи. Запишем систему линейных алгебраических уравнений СУ(0^ в блочно-матричном виде

U

U*

Y(0) =

Отсюда следует, что Y(0) = N g , где N = G'1. Представив матрицу N = i MIM» I в блочном виде, получим

Y(0)= Mu. + M.u. = Y(x=0) = Yo{0) + ^(0) С.

Отсюда следует, что необходимые начальные значения вектор-функций решения формируются следующим образом

Y0<0) = Mu., у(0) = I Yi(0).....Yr(0) 1 = М. .

Заметим, что вектор и» и есть вектор констант: С s и. .

Преобразуем систему GY(0) = g путем ортонормирования строк матрицы коэффициентов к системе W

W.

Y(0) =

w

w.

Получаем

С в w., Y0(0) = WTw, у(0) = I Y,(0).....Y,(0) I = W.T .

Заметим, что переход от системы GY(0) = g к системе W

W.

Y(0) =

w.

можно осуществить еще одним способом, заменив построчное ортонормирование на следующее ортонормированное разложение матрицы й т = .1 Ь, где матрицы имеют размерность пхп, причем матрица Л имеет ортонормировакные столбцы, а матрица Ь верхнетреугольная. Тогда получаем I V/

W.

з J

н (LT) "1g = (LV

u.

w«

В седьмой главе приводятся результаты вычислительного эксперимента. Приводятся результаты решения задач для

цилиндрической консольно закрепленной оболочки, нагруженной осесимметрично по кольцевым линиям, по части длины кольцевой линии на ее свободном краю и сосредоточенной радиальной силой, приложенной к шпангоуту, которым подкреплен свободный край оболочки.

Осесимметричная задача рассматривалась как необходимая часть неосескмметричной для нулевого члена разложения нагрузки в ряд Фурье и как задача с наибольшей локализацией и изменяемостью искомых величин.

Однако, для больших номеров гармоник при иеосесимметршшом деформировании оболочки 'Жесткость" соответствующих обыкновенных дифференциальных уравнений превосходит 'кесткость" обыкновенных дифференциальных уравнений для осесимметричной задачи. В соответствии с этим рассматривалась задача нагружения оболочки по части длины кольцевой линии.

Последняя задача о сосредоточенном воздействии на оболочку через шпангоут позволила показать эффективность методов определения значеннй искомых величин в зоне краевого эффекта.

Для каждой из трех расчетных схем для разработанных в диссертации методов, их модификаций, алгоритмов и процедур потребовалось провести 20 вариантов счета. С учетом параметрического анализа работоспособность методов и достоверность результатов счета подтверждены устойчивостью счета и совпадением трех значащих цифр искомых величин, полученных при вариантньо:. расчетах, значительно превышающих 60 задач.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Для краевых задач, сформулированных на основе систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, получены результаты, позволяющие усовершенствовать известные методы решения этих задач, то есть предложить различные способы сокращения вычислений, показать, -как выполняется контроль точности вычислений, и построить модификации этих методов, а также предложить новые методы и для новых методов построить модификации:

1. Предложено совершенствование метода Годунова, которое заключается в следующем:

- сокращено число операций ортогонализации;

- предложен способ сокращений вычислений для решения задач при многовариантных нагрузках;

- предложен алгоритм определения значений искомых вектор-функций, необходимых для начала интегрирования дифференциальных уравнений;

- построены формулы сопряжения частей интервала интегрирования;

- показаны особенности переноса граничных условий в этом методе.

2. Предложены анализ и упрощение метода Абрамова, которые заключаются в следующем:

- показано, что условия, которые накладываются на лрогоночную матрицу для вывода дифференциальных уравнений прогонки, означают привнесение в эти дифференциальные уравнения условия постоянного ортонормирования строк прогоночной матрицы при условии, что ее начальные строки ортонормированы;

- прогоночная матрица приведена к виду, когда ее строки ортонормнруются по соответствующему алгоритму;

предложен способ сокращения вычислений при многовариантных нагрузках.

3. Предложены модификация и дискретный аналог метода Гельфанда-Локуциевского, которые заключаются в следующем:

построена модификация метода для систем дифференциальных уравнений как четного, так и нечетного порядка С неодинаковым числом условий на краях интервала интегрирования;

- показано, как определять значения прогоночных матрицы и вектора, необходимых для начала интегрирования дифференциальных уравнений;

- на основе сопоставления методов Годунова, Абрамова и Гельфанда-Локуциевского показано существование нового метода -дискретного аналога метода Гельфанда-Локуциевского;

- дан вывод нового метода;

- приведена модификация нового метода, сближающая предложенный метод с методом Годунова.

4. Предложены результаты, повышающие эффективность метода решения краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, заключающиеся в следующем:

- предлагается способ совершенствования метода решення краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Суть его состоит в том, что вычисление искомой вектор-функции выполняется в произвольной точке интервала интегрирования на основе специально построенной системы алгебраических уравнений, которая включает в себя матричные уравнения краевых условий, перенесенных в рассматриваемую точку;

- предложены формулы контроля точности вычислений и формулы сопряжения участков интервала интегрирования;

- предложена модификация усовершенствованного варианта метода, построенная для такого ввда искомой вектор-функции задачи, которая удовлетворяет условиям на одном из краев, начальном для интегрирования дифференциальных уравнений.

5. Предложен метод решения краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих только четные производные. Основные результаты состоят в следующем:

предложенный метод характеризуется тем, что фундаментальные решения, формирующие матрицу Коши, вычисляются при помощи матричных синуса и косинуса. Основополагающих« в методе является вычисление искомой вектор-функции задачи и ее производной в произвольной точке интервала интегрирования при помощи специально построенной системы алгебраических уравнений. Она строится путем переноса краевых условий в рассматриваемую точку на основе уравнений связи краев, построенных специально для дифференциальных уравнений только с четными производными;

- предложен способ сокращения вычислений, включающий рекуррентные формулы для блочных матриц, формулы контроля точности вычислений и формулы сопряжения участков интервала интегрирования;

- предложена модификация метода, построенная для такого вида искомых вектор-функций задачи и ее производной, которые удовлетворяют условиям на одном из краев, начальном для

интегрирования дифференциальных уравнений, содержащих только четные производные;

- приведено сравнение эффективности методов для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и систем линейных обыкновенных дифференциальных, уравнений, содержащих только четные производные.

6. Предложены три алгоритма определения значений искомых вектор-функций краевой задачи, которые необходимы для начала интегрирования системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в случае, когда решение ищется в виде вектор-функции, удовлетворяющей условиям на одном из краев интервала интегрирования.

Алгоритмы характеризуются следующим:

- первый алгоритм прост и удобен для мало заполненной матрицы краевых условий;

второй алгоритм требует несколько больших вычислительных затрат и дополнения матрицы краевых условий до квадратной, но не зависит от степени заполненности матрицы краевых условий и также прост в реализации;

- третий алгоритм теоретически сложнее, но требует меньших вычислительных затрат и приводит к ортонормированным начальньм значениям искомых вектор-функций, что делает его удобным для применения в методе Годунова;

- предложены матрично-блочные варианты вывода и реализации алгоритмов, позволяющие выявить смысл констант в искомой вектор-функции краевой задачи;

- выявлено, что эти константы являются неизвестными правыми частям« неоднородного матричного уравнения тех краевых условий, которые неизвестны на начальном для интегрирования дифференциальных уравнений краю.

7. Вычислительный эксперимент подтвердил результаты, полученные теоретически.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Виноградов А.Ю., Виноградов Ю.И. Метод решения краевых задач механики деформирования пластин и оболочек для дифференциальных уравнений только с четными производными// Докл. РАН, 1993. -Т.330. -N1.-0.41-42. .

2. Виноградов АЛО. Численное решение задач механики деформирования пластин и оболочек на основе уравнений с

четными производными// Труды XVI Международной конференции по теории оболочек и пластин, -т.З. -Н. Новгород: Изд-во НГУ, 1994. -С.53-57.

3. Виноградов АЛО., Виноградов Ю.И. Совершенствование метода прогонки С.К.Годунова для задач строительной механики// Механика твердого тела, 1994. -N4. -С.187-191.

4. Виноградов А.Ю. Вычисление начальных векторов для численного решения краевых задач// Журнал вычислительной математики н математической физики, 1995. -T.35.-N1. -С. 156-159.

5. Виноградов АЛО. Численное моделирование произвольных • краевых условий для задач строительной механики тонкостенных

конструкций// Тез. докладов Белорусского Конгресса по теоретической и прикладной механике 'Механнка-95" Минск, 6-11 февраля 1995 г., Гомель:Изд-во ИММС АНБ, 'Инфотрибо", 1995. -С.63-64.

6. Vinogradov A.Yu. Numerical modeling of boundary conditions in déformation problems of structured material in thin wall constructions// International Symposium 'Advances in Structured and Heterogeneous Continua II". Book Abstracts. August, 14-16, 1995, Moscow, Russia. -P.51.

7. Виноградов А.Ю. Дискретный аналог метода Гельфанда-Локуциевского для краевых задач теории оболочек и пластин// Труды XVII Международной конференции по теории оболочек и пластик, Казань: Изд-во КГТУ, 1995.

8. Виноградов А.Ю. Численное моделирование краевых условий в задачах деформирования тонкостенных конструкций из

. композиционных материалов// Механика Композиционных Материалов и Конструкций, 1995. -Т.1. -N2. -С.139-143.

9. Виноградов А.Ю. Приведение краевых задач механики элементов приборных устройств к задачам Коши для выбранной точкиИ Прикладная механика в приборных устройствах. Межвуз. сб. научных трудов. -Москва: МИРЭА, 1996.

10. Виноградов А.Ю. Вычисление начальных, векторов для численного решения краевых задач// -Деп. в ВИНИТИ, 1994. -N2073-B94. -15С.

11. Виноградов А.Ю. Модификация метода Годунова// Труды Международной научно-технической конференции 'Современные проблемы машиноведения", Гомель: ГПИ им. П.О.Сухого, 1996. -С.39-41.