автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы нелинейного анализа в некоторых задачах теории управления и оптимизации

гу . О О - У / ДЛ/? - ^

«О :/ > Ъ Ч* ! Оп ^

¡1

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ

На правах рукописи

Гришанина Гульнара Эргашевна

МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО АНАЛИЗА В НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ

УПРАВЛЕНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ

Специальность 05.13.01 - управление в технических системах

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители;

доктор физико-математических наук, профессор Н.А.Бобылев кандидат физико-математических наук, доцент С.Н.Дементьев

п

Москва, 1999 г.

Содержание

Введение........................... 3

Глава 1. Метод продолжения по параметру в задачах приближенного

построения решений § 1. Оценка числа операций в задаче приближенного построения решений

уравнений с дифференцируемыми операторами...........17

§2. Метод продолжения в задачах приближенного построения решений

уравнений с негладкими операторами.............25

§3. Приложение к задаче о периодических решениях систем автоматического

регулирования.........................35

§4. Схема расчета вынужденных колебаний в методах автоматического

регулирования с негладкими нелинейностями ..........44

Глава 2. Метод продолжения по параметру в задачах устойчивости в целом и в задачах о глобальном минимуме

§5. Устойчивость в целом и седло на бесконечности . . . .......49

§6. Деформационный метод исследования устойчивости в целом.....58

§7. Устойчивость в целом квазилинейных систем........... 70

§8. Градиентные системы и глобальный минимум...........76

§9. Метод продолжения по параметру для задач вариационного исчисления 92 Глава 3. Дифференцируемость функционалов вариационного исчисления в

пространствах абсолютно непрерывных функций §10. Дифференцируемость в пространстве АС0.............118

§11. Дифференцируемость в пространстве Н\.............128

§12. Дифференцируемость в пространстве Wq*.............136

Литература............................144

ВВЕДЕНИЕ

Широкое распространение идей и методов теории управления и оптимизации в технике, экономике, а также внутренне развитие этих дисциплин привело к появлению огромного количества публикаций по этим тематикам. К настоящему времени некоторые разделы этих дисциплин (например, теория необходимых условий оптимальности, линейное и выпуклое программирование, теория оптимального управления, теория обратной связи и др.) приобрели устойчивые очертания и окончательно сформировались.

Однако бурное развитие в последние десятилетия нелинейного функционального анализа и его проникновение в смежные дисциплины привело к бурному внутреннему развитию многих областей теории управления и оптимизации. Этот процесс продолжается и в настоящее время. Методы нелинейного функционального анализа позволили получить существенное продвижение в ряде задач теории оптимального управления, теории колебаний, вариационного исчисления, теории устойчивости. Идеи и методы нелинейного анализа применяются в экономических приложениях, при расчете оптимальных управлений в распределенных системах, в задачах о колебательных процессах в системах автоматического регулирования и т.д. Они эффективны и в задачах оптимизации. Эти обстоятельства обуславливают актуальность и важность внедрения методов современного нелинейного анализа в различные области теории управления, оптимизации и их приложений.

В диссертационной работе развиваются методы приближенного построения решений операторных уравнений, возникающих в теории автоматического регулирования, теории негладкой оптимизации, в задачах устойчивости в целом и в задачах глобальной оптимизации.

Целью работы является:

1) разработка метода продолжения по параметру в задачах приближенного построения решений операторных уравнений;

2) применение метода продолжения по параметру к задачам о колебательных процессах в системах автоматического регулирования;

3) анализ асимптотической устойчивости и устойчивости в целом нелинейных систем дифференциальных уравнений;

4) исследование устойчивости в целом квазилинейных и градиентных систем;

5) исследование метода продолжения по параметру в задачах классического вариационного исчисления.

В диссертации используются методы функционального анализа, методы теории управления, методы обыкновенных дифференциальных уравнений, численные методы нелинейного анализа.

В первой главе изучается метод продолжения решения по параметру для уравнений с дифференцируемыми и негладкими операторами и дается оценка числа операций в задаче приближенного построения решений с заданной точностью.

В первом параграфе рассматривается метод последовательных приближений Ньютона-Канторовича

хк (Л)= хкА (X)-[Fx (хм(Л),X)YlF(xkA(А),Л), к~ 1,2,... для операторного уравнения

Fix;

Предполагается, что Я - вещественное банахово пространство с нормой ||.||, оператор F(x,X) определен и непрерывно дифференцируем на шаре

В(рМЛ))^{хеЕ:\\х-х*(Л))\\<р}, Яе[0,1],

1

причем производная Fx(x,X) удовлетворяет на этом шаре условию Липшица

\\F'x(x,A)-F'x(y,A)\m\x-y\\, а производная Р'л (х, Л) ограничена \Р'Я (х, 2)| < L. Кроме того, предполагается,

что производная F'^x,?,) является непрерывно обратимым оператором, причем норма обратного оператора равномерно ограничена:

¡|[FfxMr'|)<M хеВ(рМЛ)У При этих условиях доказана следующая теорема.

Теорема 1.1. Число шагов Q для нахождения приближенного решения уравнения

FO;1)=0

по решению уравнения

F(jc;0)=0

с точностью а не превосходит числа

[(LMN2)/q]{[ln( 1 -1п2/1п q)/lnl\+\ }+[ln(ln(MNe/2)/ln q)/ln2}+\, где 0<q<\ такое, что \\хо(Л)-л;*(Л)[|< 2q/NM, VAe[0,l].

Во втором параграфе метод продолжения по параметру

xJ+l(A)~Xj(Ay[FAXj{X)^i\F{xjiX),X)+G{xjiX),X)l х0(Л)= x0,j=0,1,... переносится на операторное уравнение вида

F(x;A)+G(x;A)=0, (1)

Предполагается, что при Л<=[0;1] уравнение (1) имеет решение х(Я), а операторы F(x,A) и G(x,A) определены на шаре

В(р^(А))={хеЕ\ 11 х~х(А)] I <р). В рассматриваемой области изменения переменных оператор F(x,A) непрерывно дифференцируем по х, и производная Fx'(x,A) удовлетворяет условию Липшица с постоянной Ми является непрерывно обратимым оператором, причем норма обратного оператора равномерно ограничена постоянной N. Оператор G(x,A) удовлетворяет условию Липшица по х во всей области изменения переменных

\\G(x,AyG(y,X)\\<L\\x-^\. Дополнительно предполагается, что операторы F(x,A) и G(x,A) в рассматриваемой области удовлетворяют условию Липшица по Л с постоянной KhL2 соответственно. Основной результат этого параграфа сформулирован в следующей теореме.

Теорема 2Л. Общее число шагов Q(s) метода Ньютона-Канторовича для нахождения приближенного решения уравнения

F(x;l)+G(x;l)=0 по решению хо^х(0) уравнения

F(x;0)+G(x;0)=0

с точностью £>0 допускает оценку

где

Q(s)<(m0- 2)

[ш% 1 /l +1 Inе/

+ /Ра

Intfo 1»?о

2(1-Ж) t

MN2(K+L2)

NMN(K + L2) 0 mrt 1 - NL

(1 -Nif

В третьем и четвертом параграфах результаты первых двух параграфов применяются к задаче о периодических решениях систем автоматического регулирования и приводится схема расчета вынужденных колебаний в методах автоматического регулирования с негладкими нелинейностями.

Во второй главе метод продолжения по параметру применяется к задачам устойчивости в целом и задачам о глобальном минимуме. В пятом параграфе приводятся основные понятия и определения, связанные с поведением решений системы

x' = F(x), jcer, (2)

где F.din 91й - непрерывное векторное поле, и изучаются некоторые свойства решений этой системы, в частности, связь между устойчивостью в целом стационарного решения системы (2) и свойством системы (2) иметь седло на бесконечности. Справедливы следующие теоремы.

Теорема 5.1. Пусть стационарное решение x(t) = х0 системы (2) устойчиво в целом. Тогда система (2) не имеет седла на бесконечности.

Теорема 5.2. Пусть стационарное решение х{1) = х0 системы (2) устойчиво в целом. Тогда система (2) не имеет ограниченных на всей оси решений, отличных от х(/) = х0.

Отметим, что теоремы 5.1-5.2 допускают обращение, и обратная теорема приводится в этом же параграфе.

В шестом параграфе рассматривается однопараметрическое семейство систем.

х' = Р(х,Л), хеЗГ, 0<Л<1, (3)

где Р: Щп х [ОД] - непрерывное векторное поле, и изучаются условия, обеспечивающие сохранение свойства устойчивости в целом стационарного решения системы (3) при изменении параметра Л е[0,1]. Основной результат

этого параграфа - следующая теорема.

Теорема 6.2. Пусть семейство систем (3) удовлетворяет следующим условиям:

1) при Л = 0 стационарное решение х0(1) = 0 системы (3) устойчиво;

2) системы (3) при всех Л е[0,1] не имеют ограниченных на всей оси решений, отличных от стационарного решения х0 э 0;

3) системы (3) при всех Л е[0,1] не имеют седла на бесконечности. Тогда стационарное решение х0ОД) = 0 системы (3) устойчиво в целом

при всех Л е[0Д].

В седьмом параграфе рассматривается квазилинейная система

х' ~Ах + /(х), (4)

где АМ" -*-> - линейное отображение, /:91й И й- непрерывное отображение. Выводится необходимое условие существования седла на бесконечности для системы (4) и изучаются условия, при которых стационарное решение х0 (0 & х0 системы (4) устойчиво в целом.

В восьмом параграфе изучается связь между локальным минимумом непрерывно дифференцируемой функции V, ¥:Ш" 9?, и свойством асимптотической устойчивости стационарного решения х0(г) = х0 системы

а также связь свойства устойчивости в целом стационарного решения х0(/) з х0

системы (5) и условием того, что критическая точка является глобальным

(абсолютным) минимумом функции V во всем Ш".

Следующие теоремы дают необходимые и достаточные условия устойчивости в целом.

Теорема 8.2. Пусть стационарное решение х() (() = х0 системы (5) является

устойчивым в целом. Тогда х0 является единственной критической точкой и

точкой глобального минимума функции V вШ".

Теорема 8.3. Пусть х0- локальный минимум и единственная критическая

точка функции V в Ш". Пусть система (5) не имеет седла на бесконечности. Тогда стационарное решение х0 (¿) = х0 системы (5) устойчиво в целом.

Далее рассматривается однопараметрическое семейство функций V(x,Ä), х еШя, Л е[0,1]. Предполагается, что функция У(х,Л) и вектор-функция

Г7 r/V 7\

VXF(х,Л) = —■——- непрерывны по совокупности переменных ск

(х,Л) еШп х [0,1]. Доказана следующая теорема.

Теорема 8.5. Пусть семейство функций V{x, Л) удовлетворяет условиям;

1) при Л - 0 точка х - и{0) является глобальным минимумом функции V(x,0)-

2) функция ¥(х,Л) при всех Л e[0,l] не имеет в 2 критических точек, отличных от и(Л) ;

3) система

при всех Л e[0,l] не имеет седла на бесконечности.

Тогда х = и(Л) является точкой глобального минимума функции У(х,у) при всех Л е[0Д].

В девятом параграфе изучается функционал классического вариационного исчисления

1

F{u)~lf[s,u{s),u'{s)}ls (7)

о

в пространстве Со = C^[0,l] непрерывно дифференцируемых функций u(s), удовлетворяющих условиям

и(0)=!|(1)=0. (8)

С0 - пространство Банаха с нормой |и| = тах|к'(5). Пусть лагранжиан /(я, и, V) и его частные производные /и (я, и, V), и, V) непрерывны по совокупности

переменных на [0,1]х Ш 2. Рассмотрим нелинейный оператор

1

УГСX) = \[0{8,т)Ги(т,и,и') + 0'г(*,т)/у(т,и,и')рт (9)

о

где функция г) определяется равенством

' 1(1-ф, 0<5<Г<1 Доказывается, что отображение VF(л:), определенное равенством (9), является градиентно-подобным отображением функционала (7) в пространстве С<]. Введем дифференциальное уравнение

~ = (10) ш

в банаховом пространстве С<]. Дифференциальное уравнение (10) в банаховом пространстве С(, эквивалентно нелинейному интегро-дифференциальному уравнению

1

/у (я, и, V) -1 /у (г, г), у(*, г))/г +

п

+1 о; (5, т)/и (т, «(/, т)Х*, фт

о

с краевыми условиями

и(г,0) = ~ 0.

Следующая теорема дает достаточное условие минимума в критической точке: Теорема 9.1. Пусть функционал (7) непрерывно дифференцируем в

области О е С1 и щ € О - его критическая точка. Пусть стационарное решение и{{) = щ уравнения (10) асимптотически устойчиво. Тогда критическая точка и0 является изолированной и точкой локального минимума функционала (7).

В отличие от конечномерного случая, имеет место лишь частичное обращение теоремы 9.1:

Теорема 9.2. Пусть и0 еО изолированная критическая точка функционала (7) является точкой локального минимума. Пусть лагранжиан / удовлетворяет усиленному условию Лежандра

ЛД*,а,у)>0, л е[0,1], (и,у) е912. (12)

Тогда стационарное решение и({) = щ уравнения (10) асимптотически

устойчиво.

Справедливы также следующие теоремы.

Теорема 9.3. Пусть стационарное решение и{1) = щ уравнения (10) является устойчивым в целом. Тогда щ является единственной критической

точкой и точкой глобального минимума функционала (7) в С^.

Теорема 9.4. Пусть лагранжиан удовлетворяет усиленному условию Лежандра (12), локальный минимум щ функционала (7) является единственной

его критической точкой во всем пространстве С]0. Пусть уравнение (10) не имеет седла на бесконечности. Тогда точка щ является точкой глобального минимума

функционала (7) во всем пространстве С^.

Далее рассматривается однопараметрическое семейство функционалов вариационного исчисления

1

0<и<1 (13)

о

и семейство дифференциальных уравнений

в пространстве Метод продолжения по параметру свойства глобального

минимума основан на следующей теореме.

Теорема 9.5, Пусть функционал (13) удовлетворяет следующим условиям :

1) лагранжиан / удовлетворяет усиленному условию Лежандра

(и,у)<=ЧЯ2 ,Ае[0,1] (15)

2) при А - 0 функция и0(я) = 0 является глобальным минимумом функционала F(w,0);

3) функционал F(мД) при всех Л е[0Д] не имеет критических точек в С1,

отличных от нулевой;

4) уравнение (14) при всех Л ^[ОД] не имеет седла на бесконечности.

Тогда щ ~ в является точкой глобального минимума функционала Г (и, А) при всех Л е[0Д].

В третьей главе изучается дифференцируемость функционалов вариационного исчисления

1

F{u) = \f{x,u,u')ds (16)

о

в пространствах абсолютно непрерывных функций АС0 (через

АС0 обозначим подпространство пространства АС - множества абсолютно

непрерывных на [0,1] функций, состоящее из функций, удовлетворяющих

1

условию м(0) = и{\) = 0), с нормой |jwJ[4C = |w(0)j + а также в других,

0

более узких подпространствах пространства АС0:

С] = {x{t)\x g AC(),x'(t)- непрерывна } с нормой |xjL ~ maxj*

1

Hi = {jc(t):x еАС0,х' el2} с нормой |х|я, = (J(jc'(i)| df/2,

0 о

1

W* = {x(t):x е АС0,х' е Lk] с нормой ¡4ru = (J\x'(t)\k dt)'^ .

о

В десятом параграфе дается определение (АС0 ,Со)- дифференцируемости и доказана следующая теорема.

Теорема 10.1. Пусть функция f(x,u,p) непрерывно дифференцируема

по и,р. Пусть функционал F(u) (АС0, Cf]) - дифференцируем на любой непрерывно дифференцируемой функции и = и0 (х). Тогда функция /(х, и,р) имеет представление

f{x, щр) = /0 (х, и)+/j (х, и)р.

В одиннадцатом параграфе дается определение дважды (#» ,Cq )-дифференцируемости и доказана

Теорема ПЛ. Пусть функция fix,и, р) дважды непрерывно

дифференцируема по и и р. Пусть функционал F(u) дважды {HlQ, Отдифференцируем на любой непрерывно дифференцируемой функции и - щ{х). Тогда функция/имеет представление

/О, и, р) =/0 (х, и) + f (*, и)р + /2 (х, и)р2.

Основной результат двенадцатого параграфа - следующая теорема. Теорема 12Л. Пусть функция /(х, и, р) т раз непрерывно

дифференцируема по и и р. Пусть функционал F(u) т раз (^о1'"*,Отдифференцируем на любой непрерывно дифференцируемой функции и = щ{х). Тогда функция/имеет представление

f{x, и,р) =/0 {х, и) + f (х, и)р+.. .+fm (х, и)рт.

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1) получены эффективные оценки числа шагов комбинации метода Ньютона-Канторовича и метода приближения для нахождения решений операторных уравнений с заданной точностью;

2) найдены приложения общих теорем к задаче о построении периодических колебаний нелинейных систем автоматического регулирования с гладкими и негладкими нелинейностями;

3) разработан деформационный метод исследования устойчивости в целом нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений;

4) получены эффективные признаки устойчивости квазилинейных и градиентных систем дифференциальных уравнений;

5) развит метод продолжения по параметру для анализа задач классического вариационного исчисления;

6) получены критерии дифференцируемости интегральных функционалов в пространствах абсолютно непрерывных функций.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались на семинарах Института проблем управления РАН, Института системного анализа РАН, Института проблем передачи информации РАН, в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова, в Таджикском государственном университете, в Воронежской зимней математической школе в 1997 г.

Автор считает своим долгом выразить особую благодарность H.A. Бобылеву и Э.М. Мухамадиеву, без постоянной помощи и поддержки которых эта работа не была бы выполнена.

ГЛАВА 1. МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ В ЗАДАЧАХ ПРИБЛИЖЕННОГО ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ

§1. ОЦЕНКА ЧИСЛА ОПЕРАЦИЙ В ЗАДАЧЕ ПРИБЛИЖЕННОГО ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ С ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

1. Прием продолжения решения нелинейных задач по параметру восходит к А. Пуанкаре и С. Н. Бернштейну (см. также работы [1-10] и имеющуюся там библиографию). В этих работах были изучены различные модификации метода продолжения, исследован диапазон его применимости, указаны его приложения к конкретным задачам механики, физики и т.д.

В этом параграфе изучается операторное уравнение

F(x; Л)=0 (1)

где F(