автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы исследования математической модели управления инвестиционным порфелем

на правах рукописи УДК 517.938

Турусикова Надежда Михайловна

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРФЕЛЕМ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□03492384

Саранск- 2010

003492384

Работа выполнена на кафедре математического анализа Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Рязанский государственный университет имени С. А. Есенина»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Терехин Михаил Тихонович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Симонов Петр Михайлович

кандидат физико-математических наук, доцент

Мамедова Татьяна Фанадовна

Ведущая организация

Вологодский государственный педагогический университет

Защита состоится 18 марта 2010 года в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.117.14 при Мордовском государственном университете имени Н.П. Огарева по адресу: 430005, г. Саранск, ул. Большевистская, 68, корп. 1, ауд. 225.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева».

Автореферат разослан 16 февраля 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

Л.А. Сухарев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Настоящая работа посвящена построению и исследованию математической модели управления инвестиционным портфелем (ИП), которая описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с управляющим параметром. Задачей исследования является определение условий наличия управляющих воздействий путем перераспределения капитала между различными видами инвестиций для достижения желаемого объема капитала, а, следовательно, желаемой доходности инвестиционного портфеля. Для этого решается двухточечная краевая задача управляемой системы дифференциальных уравнений.

Особый интерес и актуальность представляет проблема разработки методов исследования и расчета математических моделей сложных процессов, динамика которых описывается нелинейными системами дифференциальных уравнений. В диссертации рассматривается случай нелинейной модели управления инвестиционным портфелем; изучаются вопросы нелокального и локального управления нелинейными моделями. Несмотря на то, что исследованию проблемы управляемости систем посвящено большое количество работ, основная их часть относится к решению задачи локальной управляемости. Разнообразие теоретических и практических1 задач; возникающих в теории управляемости и ее приложений, вызывает необходимость поиска новых методов решения краевых задач, особенно для нелинейных систем.

Проблема управления инвестиционным портфелем является одной из основных задач финансового менеджмента. При решении этой проблемы исходят, как правило, из предположения о том, что при формировании своего портфеля, инвестор, с одной стороны; xoTcjf ' бы минимизировать риск портфеля, с другой стороны - получать желаемую доходность. Содержание ИП складывается из ценных бумаг и имущественных вложений, ■;:, ,

Начальный этап развития теории инвестиций относится к 20 — 30-м годам XX века и является периодом зарождения теории портфельных финансов как науки в целом. Этот этап представлен, прежде всего, основополагающими работами И. Фишера, Дж. Хикса. Начало современной теории инвестиций определяется выходом в 1952 г. статьи Г. Марковича под названием «Выбор портфеля». Далее теория управления портфелем развивалась' У: Шарпом, Д. Тобином, Ф. Блеком, М. Шоулсом. Вопросам финансового менеджмента, а также управления инвестициями посвятили свои работы многие отечественные ученые, среди которых Я.М. Миркин, М.Ю. Алексеев, А.Н. Буренин, В.А. Колемаев, В.В. Домбровский, В.А. Гальперин, A.C. Шведов.

Значительный вклад в развитие математической, теории, управляемости систем обыкновенных дифференциальных уравнений внесли Калман P.E., Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Красовский H.H., Зубов В.И. Существенные результаты по вопросам теории управляемости получены Ли Э.Б., .Маркусом Л., Алексеевым В.М., Воскресенским Е.В., Арутюновым A.B., Шима-новым С. Н., Тонковым ЕЛ. Проблема разрешимости краевой задачи для нелинейных систем исследовалась различными методами, представленными вл^

3

работах Альбрехта Э.Г., Габасова Р.Ф., Кирилловой Ф.М., Земляковой JI.C., Петрова H.H. Необходимость построения методов исследования математических моделей сложных процессов, описываемых управляемыми нелинейными системами дифференциальных уравнений, обусловила интерес к задаче перевода объекта из начального состояния в заранее заданное при условии, что система линейного приближения не обладает свойством полной управляемости, к выбору множества допустимых управлений. Поэтому задача определения условий управляемости систем является весьма актуальной, в частности актуальной является задача определения условий управления ИП.

Цель и задачи исследования. Целью работы является математическое моделирование процесса управления инвестиционным портфелем и получение теоретически обоснованных методов определения наличия стратегии управления портфелем, описываемым математическими моделями - системами обыкновенных дифференциальных уравнений

х = A(t,u]x + B(t)u + /(t;x,>ü), k=A{t,ß)x + B{i)u + f(t,x,u), путем перераспределения капитала между активами для достижения желаемой доходности портфеля.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие математические задачи.

Рассматриваются нелинейные системы дифференциальных уравнений х = A(t)x+B(t)u + f(t,x,u), (0.1)

x = A{t,u)x+B(t)u+f{t,x,u), (0.2)

x = A(t,fi)x + B{t)u + f{t,x,u), (0.3)

x = B(t)u + f{t,x,u), (0.4)

в которых хе Еп — фазовая переменная, и е Ет — управление, т<п, Ек -к-мерное векторное пространство, A(t),A(t,u), A(t,fl) - ихи матрицы, B(t) -матрица порядка ихт, f(t,x,u) - и-мерная вектор-

функция, /г - параметр.

Ставится задача - определить условия наличия числа Т > 0 (для систем (0.2), (0.3), (0.4)) и управления, заданного на сегменте [0,Т], при которых системы (0.1) - (0.4) имеют решение x(t), удовлетворяющее краевым условиям х(0)=а, x(T) = ß, где ае En,ße Еп.

Для линейной системы дифференциальных уравнений

x = A(t)x+B(t)u + F(/), (0.5)

в которой хе Еп,ие Em, т<п, A(t), B(t) - матрицы, F(t) - и-мерная вектор-функция, Т > 0 - некоторое число, поставлена задача - найти управление, имеющее наименьшую норму и такое, что система (0.5) имеет решение x(t), удовлетворяющее краевым условиям х(0) = а, х(Т) = ß.

Методы исследования. Краевая задача для управляемых систем дифференциальных уравнений разрешается в классе кусочно-непрерывных

4

управлений. Допустимые управления отыскиваются в виде вектор-функций, представляющих собой сумму линейной комбинации вектор-строк импульсной переходной матрицы системы и некоторой заранее заданной вектор-функции, зависящей от времени и параметра. В доказательстве теорем об условиях наличия управлений, удовлетворяющих задачам нелокальной и локальной управляемости модели, используются метод неподвижной точки оператора, метод замены переменных. Управление строится путем разбиения промежутка времени на части и задается на каждой части своей формулой. Используются численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Научная новизна работы:

♦ Предложена математическая модель управления инвестиционным портфелем, описываемая нелинейной системой дифференциальных уравнений.

♦ Найдены новые достаточные условия нелокальной и локальной управляемости нелинейной модели, полученные при использовании свойств матрицы системы линейного приближения и нелинейных по управлению и фазовым переменным членов модели. Установлены условия достижения желаемой доходности инвестиционного портфеля. Проблема управляемости модели решается без предположения о полной управляемости системы линейного приближения.

♦ Предложен способ построения оптимального управления в линейном случае при условии линейной зависимости вектор-строк импульсной переходной матрицы модели, исследована возможная величина доход,. ности при выбранном виде управления. Проведена программная реализация разработанной вычислительной схемы.

♦ Разработан алгоритм нелокального исследования нелинейной математической модели в случаях, когда матрица системы;'линейного приближения модели зависит ог параметра гаи отсутствует. . ,,

♦ Получены результаты численного моделирования процесса управления инвестиционными портфелями с конкретным числом активов.

♦ Управляющие воздействия, представляющие собоц суммы. капитала, перераспределяемого между активами посредством банковского сче;та, определены на частях промежутка управления инвестиционным портфелем. / ■ ,,-;■)■!, I:!

Научная и практическая значимость результатов исследования.

Созданная математическая модель позволяет описывать Процесс управления ИП. Предложены способы нахождения управляющих воздействий для достижения желаемой доходности портфеля. Разработанные методы могут быть

применены для исследования более общей модели управления инвестиционным портфелем, в частности, когда возможны инвестиции заемных средств и использование части доходов на потребление.

Результаты диссертационной работы могут способствовать дальнейшему развитию методов математического моделирования, использоваться в качестве основы для исследований систем дифференциальных уравнений с управляющим параметром, являющихся моделями других реальных процессов, протекающих в природе, экономике и социуме. Полученные результаты могут применяться при выполнении студентами научных исследований по проблеме построения оптимального управления линейной модели.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель управления инвестиционным портфелем.

2. Достаточные условия нелокальной управляемости математической модели управления инвестиционным портфелем.

3. Алгоритм исследования задачи нелокальной управляемости математической модели с привлечением свойств нелинейных по управлению и фазовым переменным членов модели.

4. Достаточные условия локальной управляемости математической модели управления инвестиционным портфелем, полученные с помощью фундаментальной матрицы решений соответствующей линейной системы.

5. Способ построения оптимального управления и определения возможной ожидаемой доходности ИП в линейном случае при условии линейной зависимости вектор-строк импульсной переходной матрицы математической модели управления инвестиционным портфелем.

6. Результаты численного исследования математических моделей управления инвестиционными портфелями с конкретным числом активов.

Апробация диссертации. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном университете имени С. А. Есенина, на Восьмой Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Саранск, 2008 г.), на XIII Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" в Объединенном институте ядерных исследований (г. Дубна, 2008 г.), на X и XII Всероссийских научно-технических конференциях студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской государственной радиотехнической академии (г. Рязань, 2005, 2007 гг.), на П Международной научно-технической конференции "Аналитические и численные методы мо-

6

делирования естественнонаучных и социальных проблем" (г. Пенза, 2008 г.), на международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего, (г. Москва, 2009 г.), на Четвертой международной школе-семинаре "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ", посвященной памяти профессора Е.В. Воскресенского (г. Саранск, 2009 г.).

Публикации. По результатам диссертационного,исследования опубликовано 16 работ, список которых приведен в конле автореферата, в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендованных BÁK.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения, библиографического списка из 131 наименования и приложений на 11 листах. Общий объем работы составляет 127 страниц машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, изложена цель, содержится краткий обзор работ по теме исследования, приведены краткое описание методики исследования и структура работы.

В первой главе строится математическая модель управления инвестиционным портфелем (ИП), для линейной нестационарной модели ищется оптимальное управление, разрешающее краевую задачу.

§ 1.1 содержит построение математической модели и постановку задачи управления ИП, состоящим из (и-1)-го вида вложений и банковского счета. Управление портфелем осуществляется путем перераспределения капитала между различными видами инвестиций посредством банковского счета.

Математическая модель управления инвестиционным портфелем описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений

л: = А(/,и)х + В(/)и + Д/,х,и), (1.1.1)

х = Л((,р)х + В(/)и + /(/,х,и). (1.1.2)

в которых х(!) = со1оп{хх(/),х2(?),...,хп(/)) - вектор, при любом /е {1,2,...,п-1} компонента х;(/) равна объему инвестиций в г-й актив, а компонента х„(/) описывает состояние банковского счета; координаты вектора м (/) = со!оп(и[ (г), и2 (/),..., (/)) - суммы перераспределяемого капитала. Элементы матриц Л(1,и), /!(/,//) характеризуют закон, по которому происходят изменения в инвестировании активов с течением времени, под влиянием управляющих и внешних воздействий на портфель. Параметр /и отражает воздействие внешних условий на объемы вложений в активы и отвечает, например, за систему налогообложения, изменение уровня инфляции, конвер-

7

тируемость волюты и прочее. Матрица B(t) определяет влияние дополнительно вложенных или наоборот изъятых материальных средств на состояние финансовых активов. Вектор-функция f(t,x,u) характеризует нелинейное взаимодействие инвестиционных инструментов и расходы, связанные с управлением портфелем (затраты на производство, оплата перевода капитала с одного вида вложений в другой и т.д.).

Задача управления ИП состоит в определении такой стратегии управления портфелем путем перераспределения капитала между различными видами инвестиций, чтобы получить желаемую доходность за промежуток времени [0,Г]. Доходность портфеля к моменту времени Г

,_л V(T)-V(0) определяется равенством щТ)= ^^ -,

капитал портфеля.

Исследуется проблема управляемости математической модели вида

x = A(t)x + B(t)u + F(t). (1.1.3)

Стратегию управления в случае модели (1.1.3) нужно определить так,

TjZu?№ .0 г=1

где - общий

чтобы оценка денежного потока

1/2

была минимальной.

§ 1.2 посвящен построению оптимального управления линейной математической модели в случае линейной зависимости строк импульсной переходной матрицы.

Рассматривается модель (1.1.3) при следующих предположениях: хе Еп,ие Ет, и - управление, Ек - ¿-мерное векторное пространство, т<п, /е [0,Г], /?(/),В{1) - непрерывные на сегменте [0,Т] матрицы, р(/) -и-мерная непрерывная на [0,г] вектор-функция, Т - некоторое положительное число.

Допустимыми управлениями считаются кусочно-непрерывные на сегменте [0,7^] вектор-функции и(0- Множество всех допустимых управлений обозначим и.

Под нормой вектор-функции и(*) понимается число , определяе-

мое равенством ||н(/)|| =

¡u2(t)dt

1/2

1/2

.0 ¡=1

Ставится задача - найти управление и(-)е£/, имеющее наименьшую норму и такое, что система (1.1.3) имеет решение лг(/), удовлетворяющее краевым условиям дг(о) = а, х(г) = 0, ае Еп, Еп.

Такое управление называется оптимальным.

Решение задачи сводится к нахождению решения системы интегральных уравнений

Т\н{Т,т)и{т)с1т=с, (1.2.3)

о

т

где c = x{T)-X{Tfi)a-\x{T,r)F{r)dT, X{t,T)=X{t)X^{r), X(t) - фунда-o

ментальная матрица системы х= A(t)x, Х(0)=Е, Е- единичная матрица. Управление, удовлетворяющее системе (1.2.3), ищем в виде

u(t)=HT(T,t)l, (1.2.4)

где импульсная переходная матрица Я(/,г) = X{t,t)B{z), (г)- знак транспонирования, / = colon(/,,/2,...,/„), ¡¡,i-l,n,- некоторые действительные числа. Вектор I определяется системой уравнений

А1 = с, (1.2.5)

г

в которой Л= ¡H(T,t)Hr(T,t)dt. Установлено, что rangA $ п, а в случае о

rangA — 0 задача неразрешима. Положим rangA = г, 0 < г < п.

г _

Теорема 1.2.1. Пусть су =-^у1ск, j = г+\,п, где у>к -число. Тогда

существует управление u°(t), разрешающее задачу (1.1.3), (1.2.1).

Доказано, что искомое управление г/°(/) = HT{T,t^KTl + d), где d = colon{dl,...,dr, 0,...,0), К =\colon ..., }..., colon(krr+l, krr+2,...X\

n-r

со/о«(l,О,...,О),..., colon(0,0,...,i)], dn k'j, i-\,r, j = г + \,п,- известные действительные числа, / =со/ои(/г+1,/г+2,...,/я), /г+1,1„ - свободные переменные.

Обозначено U* = |м(/)<=U:u(t) = HT(T,tfKTl+

Теорема 1.2.3. Пусть выполняется условие теоремы 1.2.1. Тогда управление u°(i) = HT(T,t)d является оптимальным среди всех управлений, разрешающих задачу (1.1.3), (1.2.1).

Далее исследуется линейная математическая модель управления инвестиционным портфелем, определяется управляющее воздействие, задающее стратегию управления портфелем для получения желаемой доходности.

В § 1.3 исследуется структура множества достижимости модели (1.1.3)- линейной нестационарной системы дифференциальных уравнений при условии, что управление принадлежит построенному в § 1.2 множеству U\

Определение. Пусть х(о) = а. Множество W(a)c Еп называется множеством достижимости системы (1.1.3), если при любом управлении м(-)е U точка х(Т)е W(a).

Запишем решение модели (1.1.3) по формуле Коши и, учитывая, что и(-) е U*, получим следующую систему алгебраических уравнений

Pl=ß-M, (1.3.8)

г г

в которой ¡и-Х(т,0)а+ — известный

,i о о

т

вектор, матрица Р = ^Н(Т,т)Нт (Т,т)Кт dr, P = \pij,i = \si, j = \,п-г), о

г = rang А.

Теорема 1.3.2. Если rangP = и - г, то множество достижимости IV(а) определяется равенством

j = n-r + U, (1.3.9)

k=1

где а{ — известное число.

Теорема 1.3.3. Пусть rangP = s, О<s<n-r. Тогда ¡множество достижимости IV(а) определяется равенством

ßi =Mj + PJSJr+s+i +- + Pjn-rL-Yflkißk "Aiti'rtiti

*=i

j = 5 + \,п, где q{ - известное число.

Результаты § 1.3 позволяют определить возможную величину доходности инвестиционного портфеля при выбранном виде управляющих воздействий, если математическая модель портфеля описывается системой (1.1.3). Выполнение условия теоремы 1.3.2 при заранее выбранных объемах капитала в п — г активах обеспечивает наличие такого управления портфелем, что в оставшихся г активах объемы капитала будут подчиняться равенству (1.3.9). Заметим, что в данной ситуации доходность портфеля зависит от начального распределения капитала между п-r активами. Из теоремы 1.3.3 следует, что объем капитала ИП в конце рассматриваемого периода управления портфелем зависит от заданных объемов капитала в s активах и от управляющих воздействий, а именно, n-r—s компонент вектора I оказывают влияние на координаты вектора ß. По компонентам вектора ß находим конечный объ-

п

ем У(Т) = ^ßk, а, следовательно, и доходность.

t=i

Глава 2 посвящена установлению условий разрешимости задачи нелокальной управляемости нелинейной математической модели управления инвестиционным портфелем.

§ 2.1 содержит исследования по проблеме разрешимости краевой задачи для нелинейной модели вида

x = B(t)u + f(t,x,u), (2.1.1)

где х&Еп , weЕ^ , т<п, и - вектор-управление, tе. [О,Т\, 0<Г<°°, ß(/) -их/и матрица, f{t,x,u) -«-мернаявектор-функция.

Вводятся следующие обозначения: |s| = max{|i;|}, = supj_y(i)|,

\\B(t]\ = sup|ß(f>|, ||ß(.)j| = sup |[ß(/)||, seE , y{t) - вектор-функция, опреде-

|i|<l /е[0,7-]

ленная на сегменте [0,Г], B(t) - матрица, (у|| = sup \<p{t,X\,

M)e[o,7-jKK(i0) •

Y(S0) = {/ е Еп : |/| < S0}, S = { ee E^ : \ ej = l}, V(S0) = {Лe Eq : Щ < S0}, ¿0 > 0-некоторое число, D(ö0)=fc,x,u):te [О,T\xe En,ue £m,|x|<i50,|w|<i0}.

В качестве допустимых управлений рассматриваются кусочно-непрерывные на промежутке [0,Г] w-мерные вектор-функции u(t), ||м( |<<50. Множество всех допустимых управлений обозначается символом t/(50). Пусть выполнены условия:

2.1.1) ß(/) - непрерывная на промежутке [О, г] матрица;

2.1.2) вектор-функция f{t,x,ü) непрерывна, ограничена на множестве

D{Soy,

2.1.3) <р((,Л) - некоторая произвольная непрерывная, ограниченная на множестве [0,7]xF(<50) /и-мерная вектор-функция;

2.1.4) f(t,x,u) = fk{t,u)+ f'(t,x,u), где k>2, fk{t,u) - вектор-форма порядка к относительно не U(S0), f*(t,x,u)/\uf ->0 при и -»0 равномерно относительно t б [О,Г] и х (¡х| < ¿0);

2.1.5) f{t,X) = <pk(t,X)+\Л\к), где к>2, <pk{tA) - вектор-форма порядка к относительно Ле V(ö0), о(|Я|*)/|Я|* —> 0 при Л—> 0 равномерно относительно is [О,Г].

Пусть

U0 ={«Qe U{öa):u{t) = BT{t)l + <p{tA),te [0,rlO<r<+-,/e Ffo)}

Ставится задача - найти число Т>0 и управление u()eU0, определенное на сегменте [0,Г], при которых модель (2.1.1) имеет решение, удовлетворяющее равенствам

х(0) = а, x(T) = ß, (2.1.2)

aeEn,ßeEn.

Поставленную задачу будем называть задачей (2.1.1), (2.1.2). Определение 2.1.1. Систему (2.1.1) назовем нелокально управляемой на сегменте [0,Г], если для любых векторов а, ße Y(S) задача (2.1.1), (2.1.2) разрешима.

Заменой переменных у = х — а—^{/} — а) система (2.1.1) сводится к системе

у = В(()и + Д1,у + а+±{/}-а),и)-£=^. (2.1.3)

Краевые условия (2.1.2) преобразуются в условия _у(0) = 0, у(Т) = 0.

Под решением системы (2.1.3) будем понимать непрерывную, кусочно-дифференцируемую на сегменте [О.Г] вектор-функцию , удовлетворяющую всюду в точках дифференцируемости на этом сегменте системе (2.1.3).

Выберем произвольное, но фиксированное число 0<Г<°°. Разделим сегмент [0,Г] на равные по длине части

Обозначим СД<5|) - множество определенных и непрерывных на отрезке [/,_!,/,] «-мерных вектор-функций g(/), удовлетворяющих условиям

Рассматривается произвольный промежуток Пусть /е У(<50),

Ле У(ё0), вектор-функция g{■)e управление = + мат-

рица Л,-

Теорема 2.1.1. Пусть выполняются условия 2.1.1) - 2.1.5) и существует число <1 >0 такое, что для любого / |с1е1Л;|>£/ . Тогда задача (2.1.1), (2.1.2) имеет решение.

Разрешимость задачи устанавливается методом неподвижной точки оператора определенного равенством гДе

)в{т)Вт{т)Ит+ )в{т)<р{т,ЛУ1т+

'¡-Г '■-!

+

(2.1.5)

н

Р211=-Л7( + |/г,г + а+- -/н)

на множестве бД^хУ^), Зе (0,<50].

Далее рассматривается случай, когда матрица Лг является особенной.

Установлено, что |+ ———¿,м(жс# = о|у|*) равномерно 'м ^ Т )

относительно g(■)e С.Ц], Те [0,+°°), где у = (/,Л). Согласно условию 2.1.4)

получено, что J/ír,g(r)+ar + ^—^^-,Вт{г)1 + =/*(/, Л)+

<ы \ т )

+ ЛМ) ~ вектор-форма порядка /г относительно (/,Л)е y(¿0)xF(50).

Пусть = где - вектор-форма порядка к от-

'ы

носнгельно Ле V(S0).

Система (2.1.4) будет иметь вид

Л,/ + Л(/Д)+%(Я)+о(^)+/;(г) = 0, (2.1.7)

где HtfMrf КФГ )• ÁTh-^b-U)-

В предположении, что rangA. -г, OS г <«, заменой переменных у=ре, р>0, ре eeW, е = (е ,ej, 1 = ре/,Л = pe¿ система (2.1.4) сводится к системе

м^(е)+00?,е)+/я(Г,р)=0, (2.1.10)

в которой 0(р, е) = со/ои(/-1//(е) + 01(уо,|е|) (eA),02(/?,je|)),

и4(е) = со/оя(л,в/,Л2(в)+Й2(ел))» Ч7» = со/о«^/?,, Л. -

гхи матрица, rangA^r,, f¿{l,X), ^(Я),О,(р,|е|),^(А),о (j) - rr мерные вектор-функции, f*{l,X), f^{X\02{p,|е|) - (п-r¡ )-мерные вектор-функции, со1оп[р^Т),рг(Т)} - вектор, полученный из вектора р(Т) путем элементарных преобразований.

Теорема 2.1.2. Если при любом ее S выполняется неравенство 0, то найдутся Г ив любой окрестности точки у=0 множество, в котором при любом фиксированном Т>Т и любой вектор-функции g(-)e G,.(¿¡) нет решений системы (2.1.10), а задача (2.1.1), (2.1.2) неразрешима на множестве U'= \i(t) = BT (t)l+ (p{t,£),t&\rü,<x>),y={l,X),\)\ = p, p> 0}.

Пусть вектор e'e S такой, что e* = (e*,e¿), e* / 0, щ(е*)=0. Вектор-

функцию ш(е) представим равенством ш,(е) = Di,(е*)(е — e*) + ^R'.[e*,е-е*),

г-1 J

где Д(е*) - значите матрицы Якоби вектор-функции у/.(е) в точке е , R'(e,e—e*)-вектор-форма у-го порядка относительно разности е — е.

Система (2.1.10) преобразуется в систему

+ г)+0{р,е)+т{Т,р) = 0, (2.1.11)

у=2

г=е-е .

Теорема 2.1.4. Пусть выполнены условия 2.1.1) - 2.1.5) и rangD¡[е*)-п. Тогда задача (2.1.1), (2.1.2) разрешима.

Предполагается, что п^£),(е*)= 0<р1 <п. С помощью элементарных преобразований система (2.1.11) сводится к системе

+ £ Яп (е , г)+- 0{ (р, е)+ет; (Т, р) = 0,

1

^К4е\г)+02{р, е)+т2{Т,р) = 0,

.¡■г

в которой Ю — р^п матрица, гап^О — р}, ¿^(е'.г), 0,(р,е) — -мерные

7=2 '

вектор-функции, 02(р,е) - (и-р,)-мерные вектор-функции,

со/ои|т1(Г,/7),/и2(Г,р)| - вектор, полученный из вектора т(Т,р) путем

элементарных преобразований.

Пусть — не тождественно равная нулю вектор-форма наи-

меньшего порядка Е, относительно г. Тогда имеет место представление

[е,г) = Получена <

У=2

I система вида

+ (е'>г)+ О&^ + т^р) = 0,

1=2

Пусть 2 = рх\, р1>0, /?, е Е^, уеЖ. Система (2.1.12) примет вид Оу+(УМ+—01(р,е'+р1у)+ —тх {Т, р) = 0,

(2.1.12)

а

а

А А

Пусть £>{р, р,, у)=со/ои — О, (р, е* + р,у), 02 (р, е + р,у) ,

1а а5 ;

(2.1.13)

ь(г, А ,р)= co/oiif— т, (7-, р)~ т2 (Г, .

ча ' ' Pi

Система (2.1.13) преобразуется в систему

^M+o^.vJ+fiU/H+btM.pH. (2ЛЛ4>

Теорема 2.1.5. Если для любого ve 5 выполняется неравенство ф.{у)^-0, то найдутся Г0 и в окрестности точки ^=0 множество, в котором

при любом фиксированном Т>Т0 и любой вектор-функции g(-)e нет решений системы (2.1.14), а задача (2.1.1), (2.1.2) неразрешима на множестве U' = {,(*) = BT{t)l + <p(!,X),tb fo,«), 7= (¡Лг= P'(e+P'A e\ve S,p' > 0, Р\ >

Пусть найдется вектор v'e5, v* = (v*,v^, такой, что ^.(v)=0, v, ¿0, и пусть ф(у)=Ф.(у*)(у-у*)+ ^P'(v*,v-v*), где Ф.(у*) - значение матрицы

7=2 1

Якоби вектор-формы ф.(у) в точке v*, J°.'(v*,v —v*) — вектор-форма порядка j

относительно разности v- v*. Тогда система (2.1.14) сведется к системе £

j=2

где (o=v—v .

Теорема 2.1.7. Пусть выполнены условия 2.1.1) - 2.1.5) и rangФ;(v*)= п. Тогда задача (2.1.1), (2.1.2) разрешима.

Если rangФ¡(y*)<n, то процесс продолжается далее. В результате либо будет получена система, для которой справедливы теоремы, аналогичные теоремам 2.1.5 шш 2.1.7, в этом случае процедура закончена, либо процесс преобразования продолжается неограниченно и задача (2.1.1), (2.1.2) предложенным методом неразрешима.

В случае, когда ranghi = 0, исследование проблемы разрешимости задачи (2.1.1), (2.1.2) сводится к проблеме разрешимости системы

способом, описанным выше.

Рассматривается модель вида

x = A{t)x + B(t)u + f{t,x,u), (2.1.18)

в которой хеЕп, ие Em, te [0,7"], Т — некоторое положительное число, A(t), B(t) - матрицы соответствующих размерностей, f{t,x,u) - и-мерная вектор-функция.

Допустимыми управлениями считаются кусочно-непрерывные на сегменте [О,Г] /и-мерные вектор-функции lit), удовлетворяющие условию ||«(-| < . Множество таких управлений обозначено как U'(S0). Пусть

Д(<50)={М,к):*€ Еп,ие £ш,|х|<го,|и|<¿J,

U0 ={,(;)eU'{S0):u(t) = HT(T,t)l + tp{t,A),t* [O.rlZe F(£0)},

где Н(t, т) = X{t)X'x {т)В{т), X{t) - фундаментальная матрица решений системы х ~ /l(t)x, х(о)=Е, Е - единичная матрица; <p{t,X) - произвольная, но фиксированная, непрерывная и ограниченная на множестве [o,7']xI/(^0) т-мерная вёктор-функция.

Предполагается, что выполняются условия:

2.1.6) A{t),B{t)~ непрерывные на сегменте [0,Г] матрицы,

2.1.7) вектор-функция f{t,x,u) непрерывна на множестве D(50),

2.1.8) для любого Se (0,£>0] на множестве D(S) выполняется неравенство |/(/,x,,Wl)-/(/,x2,w2)|<-x2|+]Ml -и2|), где L{S)->0 при S->0,

2.1.9) <р(/,Л) = Ф(е)Л, где Ле V(S0), ф(/) - произвольная фиксированная непрерывная на сегменте [о, Т\ матрица такая, что |я(Г,г)ф(г)^/т = 0.

Задача состоит в том, чтобы найти такое управление и(-)е £/0, при котором система (2.1.18) имеет решение, удовлетворяющее условиям (2.1.2). Поставленная задача называется задачей (2.1.18), (2.1.2):

т

Обозначено Л = ¡H(T,t)HT(Т,t)dt.

..¡г.'"-.;, 0

Теорема 2.1.8. Пусть выполнены условия 2.1.6) - 2.1.9), Л — неособенная матрица. Если выполняются неравенства . •;

+w{i+Ц^су,-)!! }< i, ЦА^1 || w{I+}< i, w - ц^сг,-)^?-, 1-|л-Ч|{1+||х(г,01^(1+||я(г,|}- 05

-г---ТО задача (2.1.18),

(2.1.2) разрешима.

Доказательство проводится с использованием принципа сжатых отображений.

В § 2.2 приведены алгоритмы, позволяющие решить вопрос о наличии нелокального управления математической модели, матрица системы линейного приближения которой зависит либо от управления, либо от параметра.

Рассматривается модель - система дифференциальных уравнений

х = A(t,u)x + B(t)u + f(t,x,u), (2.2.1)

в которой ХЕ Еп, ие Е^ , и - управление, í е [О, Г], О <Г<°°, f(t,x,u) — п-

мерная вектор-функция.

Множество допустимых управлений - U(ôQ). Пусть выполняются условия: 2.1.2) и

2.2.1) A{t,ii),B(t) — непрерывные на множестве Z)(¿>0) матрицы,

2.2.2) A(t,u)l\u\ —» 0 при и —» О равномерно относительно te [О,+<*>),

2.2.3) при любом te [0,+°°) матрица P(t) = B(t)BT(í) неособенная и удовлетворяет неравенствам ||/>(-| < L, Jjf4 < L, L > О — некоторое число,

2.2.4) f(t,x,u)/\u\ —>0 при и —» 0 равномерно относительно и х (|х| < <50). Для модели

x = A(t,p)x + B{t)u + f{t,x,u), (2.2.7)

в которой хеЕп , , m<n, te [0,Г], 0<Г<°°, B(t) - матрица порядка

nxm, A{t,fi) - их» матрица, ß - параметр, [le£l{S0) = {fie Ep:\ß\<ö0), f(t,x,u) - и-мерная вектор-функция, выполняются условия 2.1.2) - 2.1.5),

2.2.5) A(t,/i), B{t) - непрерывные на множестве [0,+°°)xQ(íS0) матрицы;

2.2.6) для любого Т>0 A(t,¿/)—>0 при //—>0 равномерно относительно te [0,Г].

Доказаны теоремы, устанавливающие возможность нахождения числа Т > 0 и управления u(-)e U0, заданного на сегменте [0,Г], при которых модели (2.2.1), (2.2.7) имеют решение, удовлетворяющее краевым условиям (2.1.2).

В § 2.3 описывается применение изложенной в § 2.1 и 2.2 теории к решению задачи об управлении инвестиционным портфелем инвестора в случае нелинейного взаимодействия активов.

Рассматривается инвестиционный портфель, состоящий из («-1)-го вида вложений и банковского счета. Пусть элементы матрицы A(t,u) - {u¡j(t,u)\" при i j характеризуют влияние объема инвестиций в j-м активе и суммы капитала u(t) на темп изменения объема капитала в /-м активе ie {1,2,...,и}, а элементы au(t,u) описывают влияние объема г-го вклада и суммы капитала u(t) на темп изменения объема капитала в г'-м активе.

Ставится задача - найти момент времени Т и определить стратегию управления портфелем путем перераспределения капитала между различными видами инвестиций так, чтобы добиться желаемой доходности ИП, при этом начальный капитал F(o) достиг значения V(t).

Математическая модель управления инвестиционным портфелем описывается системой дифференциальных уравнений

х = A{í,u)x+B{t)ii + f{t,x,u). (2.3.1)

Объем капитала Р(7) портфеля связан с решением системы (2.3.1)

п

следующим равенством =

*=1

Решение поставленной задачи определяется выполнимостью условий теоремы 2.2.1. Выбором числа Г полностью определяется разбиение отрезка времени [О.Г] на части. Стратегия управления инвестиционным портфелем

заключается в перераспределении капитала в сумме и,- (/), /е [О, Т], между различными видами инвестиций посредством банковского счета. Соответствующее управлению и*(/) решение х*(() системы (2.3.1), заданное на отрезке [0,2"], определяет объемы капитала в финансовых активах и на банковском счете.

При наличии внешних воздействий на объемы капитала в активах модель имеет вид

х = Л(/,р)х + В(г)ы + /(^х,и).

Разрешимость задачи о достижении желаемого уровня доходности портфеля обусловлена справедливостью условий теорем типа 2.1.4, 2.1.5, 2.1.7, устанавливающих достаточные условия разрешимости и неразрешимости краевой задачи для модели с параметром ц.

Рассматриваются численные примеры управления инвестиционными портфелями с конкретным числом активов.

Глава 3 посвящена решению задачи локальной управляемости математической модели - нелинейной системы дифференциальных уравнений, правая часть которой - непрерывная вектор-функция.

В § 3.1 определены условия разрешимости задачи локальной управляемости модели

х = А(()х + В(Г)и + №,х,и), (3.1.1)

в которой хеЕп, не Ет,гп<п, / е [0, Г], Г - некоторое положительное число, Л(/),- матрицы соответствующих размерностей, /(/,*,и)- и-мерная вектор-функция.

Введены следующие обозначения: К(*0) = {*б Ед :И<<Ц /(¿0)={/е Е„ :|/|<¿0}, Т5{8()) = {{их,и)ие [0,ГЦе Е„,ив £„,|х|<4,|к|<<Ц П0 и'{30):и{1)= Нт(г,г>я),/е [о,Т\1е г(50),яе где ¿„>0 - некоторое число, #(/,т) = (т)В(т), Х{{) - фундамен-

тальная матрица решений системы х — А({)х, Х(6)=Е, Е — единичная матрица, <р((,Л) — некоторая произвольная непрерывная, ограниченная на множестве [0,7"]х ^ (<50) те-мерная вектор-функция, и'{50) - множество кусочно-

непрерывных на сегменте [о,Г] от-мерных вектор-функций «(/), удовлетворяющих условию |ы(-|<S0; M(S0) = {х(-)е С[от] :||*(-)||<<?0].

Пусть выполняются условия:

3.1.1) матрицы A(t),B(t) непрерывны на сегменте [0,г],

3.1.2) f{t,x,u) непрерывная на множестве D (J,, ) вектор-функция,

3.1.3) для любого «5е(0,<5о] на множестве D{ô) выполняется неравенство \f(t,х{,щ)-/0,хг, и2 )| £Г(гХК -1+1«! -«21), где Г(<5)—>0 при ô->0,

3.1.4) <p(t,X) = Ф(*)Л, где Яе Ф(/) - произвольная фиксированная не-

т

прерывная на сегменте [0,Г] mXq матрица такая, что |#(Г,г)ф(г)г/т=0.

о

т

Пусть Л= jH(T,t)HT(T,t)dt.

о

Ставится задача - найти управление м(-)еС/0, при котором система (3.1.1) имеет решение, определенное на сегменте [0,Г] и удовлетворяющее равенствам

х(0) = сс, х(Т) = 0, (3.1.2)

аеЕп, реЕп.

Поставленная задача называется задачей (3.1.1), (3.1.2). Определение 3.1.1. Система (3.1.1) называется локально управляемой на сегменте [о, т], если существует такое число 8 > 0, что для любых векторов a, fie Y(5) задача (3.1.1), (3.1.2) разрешима.

Теорема 3.1.1. Пусть выполнены условия 3.1.1) - 3.1.4), Л - неособенная матрица, ||х(Г,01 + 7'|Я(Г,-|ят(Г,-|<1 ¡Л"1 |(1 + ||Х(Г,0)1|)<1,

Тогда найдется число 8Х е (0,<У0] такое, что для любых векторов а,Ре Y(St) задача (3.1.1), (3.1.2) разрешима.

§ 3.2 содержит исследования модели (3.1.1) в предположении, что тя=и и матрица B(t) неособенная.

Рассмотрим вопрос о разрешимости задачи (3.1.1), (3.1.2) в следующих предположениях:

3.2.1) f(t,x,u) определена и непрерывна на множестве D(ô'„),

3.2.2) A(t),B(t)~ непрерывные на сегменте [0,Т] матрицы, при любом te [О,Г] матрица B(i) неособенная;

3.2.3) f(t,x,u)/\u\ —»0 при и —>0 равномерно относительно tе [О,Т\ и х

(Н^о)-

Лемма 3.2.1. Пусть при любом te [0,Г] \dctB(t)BT(tj>d,d >0 -некоторое число. Тогда найдется число S > 0 такое, что для любых значений

19

1',("е [О, Г] выполняется неравенство |(1ег //(/', /*)/7г (/', > у, как только

У-^<8.

Теорема 3.2.1. Пусть выполняются условия 3.2.1) — 3.2.3) и условие леммы 3.2.1. Тогда задача (3.1.1), (3.1.2) разрешима.

Установлена возможность разбиения рассматриваемого промежутка времени на части,; и управление строится как кусочно-непрерывная вектор-функция, заданная на каждой части сегмента [0,7"] своей формулой.

Йсследована задача управления конкретным инвестиционным портфелем, состоящим из четырех активов.

В заключении подведены итоги проведенной работы и сформулированы основные научные и практические результаты.

В приложениях в системе Ма&сай 14.0 реализован алгоритм исследования линейной модели управления инвестиционным портфелем, предусматривающий проверку условий теоремы 1.2.1.

' ' ' Основные результаты

Основные результаты работы таковы:

♦ Построена математическая модель управления инвестиционным портфелем в виде нелинейной системы дифференциальных уравнений. Учитывается влияние управляющих и внешних воздействий на темп роста объема капитала в активах портфеля.

♦ Установлены достаточные условия достижения желаемой доходности инвестиционного портфеля. Проблема перевода модели из начального состояния в заранее заданное конечное решается без предположения о полной управляемости системы линейного приближения. При нелокальном исследовании математической модели управления инвестиционным портфелем используются свойства нелинейных по управлению и фазовым переменным членов модели, а также свойств матрицы системы линейного приближения.

♦ В случае линейной модели численными методами получен вид оптимального управления. Данный результат установлен при условии линейной зависимости вектор-строк импульсной переходной матрицы модели. Находится ожидаемая величина доходности при выбранном виде управления.

♦ Проведено численное исследование задачи управления, инвестиционными портфелями с конкретным числом активов, описываемыми линейной и нелинейной моделями. В рамках моделей получены формулы для определения управляющих Воздействий на портфель.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Михаилу Тихоновичу Терехину за постоянное внимание к работе, всестороннюю помощь и поддержку.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в журналах, рекомендованных экспертным советом ВАК по управлению, информатике и вычислительной технике

1. Турусикова, Н. М. Исследование математической модели управления инвестиционным портфелем в непрерывном времени / Н.М. Турусикова // Вестник Рязанской государственной радиотехнической академии. -Рязань: РГРТУ, - 2007. - Вып. 22. - С. 112 -114.

2. Турусикова, Н. М. О разрешимости двухточечной краевой задачи управляемой системы дифференциальных уравнений / Н.М. Турусикова // Вестник Рязанской государственной радиотехнической академии. — Рязань: РГРТУ, - 2008. - Вып. 24. - С. 67 - 69.

Публикации в других изданиях, рекомендованных ВАК

3. Турусикова, Н. М. Условия разрешимости двухточечной краевой задачи управляемой системы дифференциальных уравнений / Н.М. Турусикова // Известия ТулГУ. Естественные науки. - Тула: Нзд-во ТулГУ, — 2008. — Вып. 2.-С. 49-54.

Публикации в прочих изданиях

4. Бараковская, Н. М. (Турусикова, Н. М.) Управляемость системы дифференциальных уравнений с постоянным значением критерия' качества при наличии возмущений / Н.М. Бараковская // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании: тезисы докладов X Всероссийской научно-технической конференции студбнтов, молодых ученых и специалистов. - Рязань: РГРТА. - 2005. - С. 19- 20.

5. Турусикова, Н. М. Об управляемости нелинейной системы дифференциальных уравнений / Н.М. Турусикова // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании: материалы XII Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов. - Рязань: РГРТУ. - 2007. - С. 44-46.

6. Турусикова, Н. М. Управляемость нелинейных систем дифференциальных уравнений / Н.М. Турусикова // Аспирантский вестник Рязанского государственного университета имени С.А. Есенина. - Рязань: РГУ. -2007.-№ 10.-С.6-11.

7. Турусикова, Н. М. Об оптимальном управлении с минимальной нормой линейной системы дифференциальных уравнений / Н.М. Турусикова //

21

Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. - 2007. - №12. - С. 102 -107.

8. Турусикова, Н.М. К вопросу о нахождении уровня доходности при инвестировании / Н.М. Турусикова // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем: сборник статей II Международной научно-технической конференции. - Пенза, -2007.-С. 118-120.

9. Турусикова, Н. М. О математической модели управления инвестиционным портфелем / Н.М. Турусикова // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем: сборник статей II Международной научно-технической конференции. — Пенза, —

2007.-С. 121-123.

10. Турусикова, Н. М. Условия нелокальной управляемости системы дифференциальных уравнений / Н.М. Турусикова // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. - 2008. -№13. - С. 148 - 152.

11. Турусикова, Н. М. Об одной математической модели управления инвестиционным портфелем / Н.М. Турусикова // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. - 2008. -№13. - С. 153- 157.

12. Турусикова, Н. М. О локальной управляемости нелинейных систем / Н.М. Турусикова // Математика. Компьютер. Образование: сб. научн. трудов. - М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», -

2008. - Вып. 15, - Т. 2. - С. 88 - 90

13. Турусикова, Н. М. Об одном способе исследования математической модели управления инвестиционным портфелем / Н.М. Турусикова // Труды СВМО. - Саранск, - 2008. - Т. 10. - №1. - С. 259 - 265.

14. Турусикова, Н. М. Нелокальная управляемость нелинейных систем дифференциальных уравнений в классе кусочно-непрерывных управлений / Н.М. Турусикова // Вестник ТулГУ. Серия. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. - Тула: Изд-во ТулГУ, - 2008. - Вып. 1, - С. 37-48.

15. Турусикова, Н. М. Нелокальная управляемость системы дифференциальных уравнений с матрицей системы линейного приближения, зависящей от параметра / Н.М. Турусикова // Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовни-чего. - М.: Изд-во "Университетская книга". - 2009. — С. 221 - 222.

16. Турусикова, Н. М. О локальной управляемости нелинейных систем дифференциальных уравнений / Н.М. Турусикова // Аспирантский вестник Рязанского государственного университета имени С.А. Есенина. - Рязань: РГУ. - 2008. - № 12. - С. 3 - 7.

Туруснкова Надежда Михайловна

Методы исследования математической модели управления инвестиционным портфелем

Подписано в печать 9.02.2010г. Печать ризографическая. Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Заказ № 0782.

Отпечатано ООО «НПЦ «Информационные технологию) Рязань, ул. Островского, 21/1. Тел.: (4912) 98-69-84

Введение.

Глава I. Исследование линейной математической модели управления инвестиционным портфелем.

§ 1.1 Построение математической модели управления инвестиционным портфелем

§ 1.2 Оптимальное управление линейной модели.

§ 1.3 Множество достижимости.

Глава П. Нелокальное исследование нелинейной математической модели управления инвестиционным портфелем.

§2.1 Двухточечная краевая задача для модели с нулевой матрицей линейного приближения.

§2.2 Достаточные условия нелокальной управляемости модели, матрица системы линейного приближения которой зависит либо от управления, либо от параметра

§2.3 О достижении инвестором доходности портфеля в некоторых случаях.

Глава Ш. Локальная управляемость нелинейной нестационарной математической модели управления инвестиционным портфелем.

§ 3.1 Существование управлений в одном случае.

§3.2 Условия управляемости модели в предположении, что матрица 2?(/) неособенная.

Актуальность темы исследования. В настоящей работе строится и исследуется математическая модель управления инвестиционным портфелем (ИП), которая описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с управляющим параметром. Исследование проводится с целью определения условий наличия управляющих воздействий путем перераспределения капитала между различными видами инвестиций для достижения желаемой доходности инвестиционного портфеля. В соответствии с целью решается двухточечная краевая задача управляемой системы дифференциальных уравнений, определяются условия нелокальной и локальной управляемости нелинейной системы.

Изучение реальных процессов зачастую сводится к исследованию нелинейных систем дифференциальных уравнений, возникает необходимость построить теорию нелинейных систем, определить условия, при которых такая система управляема. Необходимость решения таких задач возникает при математическом моделировании экономических, химических, биологических, физических, социальных и других процессов [4, 6, 8, 10, 11, 13, 22, 35, 41, 48, 57, 60, 64, 67, 71, 77, 78, 82 - 84, 107]. Математическое моделирование не только помогает строго формализовать знания об объекте, но и в ряде случаев (при хорошей изученности объекта) оно может дать количественное описание процесса и предсказать его ход и эффективность.

Проблема управления инвестиционным портфелем является одной из основных задач финансового менеджмента. При решении этой проблемы исходят, как правило, из предположения о том, что при формирование своего портфеля, инвестор, с одной стороны, хотел бы минимизировать риск портфеля, с другой стороны — получать желаемую доходность. Содержание ИП складывается из ценных бумаг и имущественных вложений. В настоящее время резко возрастает эффективность математических методов в управлении инвестиционным портфелем, увеличивается интерес к их применению в финансовой работе. Необходимость поиска построения методов исследования и расчета математических моделей сложных процессов, динамика которых описывается управляемыми нелинейными системами дифференциальных уравнений, обусловлена в том числе интересом к задаче перевода объекта из начального состояния в заранее заданное при условии, что система линейного приближения не обладает свойством полной управляемости, к выбору множества допустимых управлений. Поэтому задача определения условий управляемости нелинейных математических моделей является актуальной. В диссертации рассматриваются случаи нелинейных моделей управления инвестиционным портфелем, изучаются вопросы нелокального и локального управления нелинейными системами. Несмотря на то, что исследованию проблемы управляемости систем посвящено большое количество работ, основная их часть относится к решению задачи локальной управляемости. Разнообразие теоретических и практических задач, возникающих в теории управляемости и ее приложений, вызывает необходимость поиска новых методов решения краевых задач, особенно для нелинейных систем.

Цели и задачи исследования. Целью работы является математическое моделирование процесса управления инвестиционным портфелем и получение теоретически обоснованных методов определения стратегии управления портфелем, описываемым математическими моделями — системами обыкновенных дифференциальных уравнений х = A{t,ii)x + B{t)u + /(/,х,м), х = A(t,/i)x + B(t)u + f(t,x,u), путем перераспределения капитала между активами для получения желаемой доходности портфеля.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие математические задачи.

Рассматриваются нелинейные системы дифференциальных уравнений х = A(t)x + B(t)u + f(t, х, и), (0.1) x = A(t,u)x + B(t)u + f(t,x,u), (0.2) х = A(t, ju)x + B(t)u + f(t,x,u), (0-3) x-B(t)u +f{t,x,ii), (0.4) в которых xeEtl - фазовая переменная, u<E.Em — управление, т<п, Ек — ^-мерное векторное пространство, A(t),A(t,u), A(t,/i) - пхп матрицы, B(t)— матрица порядка пхт, tе[0,Г],Те(0,+со), f(t,x,u) — «-мерная вектор-функция, {л — параметр.

Ставится задача - определить условия наличия числа Т > 0 и управления, заданного на сегменте [0, Г], при которых системы (0.1) - (0.4) имеют решение удовлетворяющее краевым условиям х(0) = а, х{Т) = J3, где аеЕп,/3<=Еп.

Для линейной системы дифференциальных уравнений х = A(t)x + B(t)u + F(t), (0.5) в которой х е Еп, и е Em, т<п, A(t), B(t) — матрицы, F(t) - и-мерная вектор-функция, Т > 0 — некоторое число, поставлена задача - найти управление, имеющее наименьшую норму и такое, что система (0.5) имеет решение x(t), удовлетворяющее равенствам х(0) = а, х(Т) = /3.

Методы исследования. Краевая задача для управляемых систем дифференциальных уравнений разрешается в классе кусочно-непрерывных управлений. Допустимые управления отыскиваются в виде вектор-функций, представляющих собой сумму линейной комбинации вектор-строк импульсной переходной матрицы системы и некоторой заранее заданной вектор-функции, зависящей от времени и параметра. В доказательстве теорем об условиях наличия управлений, удовлетворяющих задачам нелокальной и локальной управляемости модели, используется метод неподвижной точки оператора, метод замены переменных. Управление строится путем разбиения промежутка времени на части и задается на каждой части своей формулой. Используются численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме.

Вопросам финансового менеджмента, а также управления инвестиционным портфелем посвятили свои работы многие отечественные и зарубежные ученые. Начальный этап развития теории инвестиций относится к 20 — 30-м годам XX века и является периодом зарождения теории портфельных финансов как науки в целом. Этот этап представлен, прежде всего, основополагающими работами Дж. Хикса [95], И. Фишера [94] по теории процентной ставки и приведенной стоимости. Начало современной теории инвестиций определяется выходом в 1952 г. статьи Г. Марковича под названием «Выбор портфеля» в "Журнале финансов" ("The Journal of Finance"). В этой статье впервые была предложена математическая модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг, были приведены методы построения таких портфелей при определенных условиях. В более расширенном варианте он изложил свою теорию в монографии [110]. Далее теория управления портфелем развивалась У. Шарпом [97, 112], Д. Тобином [ИЗ]. В работе А. С. Шведова [98] содержится изложение теории эффективных портфелей - одной из математических теорий, используемых для выработки решений на фондовых рынках. У. Шарп, Г. Александер, Дж. Бейли [97] занимались развитием теории оценки финансовых активов, рассматривали методы управления инвестициями, изучали проблемы глобализации инвестирования. Исследованшо динамических моделей макро- и микроэкономики в виде функционально-дифференциальных уравнений с последействием посвящены работы Колемаева В.А. [39], Симонова П.М. [82 — 84]. В частности Симоновым П.М. рассмотрены нелинейные экономические модели с запаздыванием ввода инвестиций.

Сегодня вопрос управления инвестиционным портфелем — одна из основных задач финансового менеджмента. В работах [20, 21, 25] предложена многомерная динамическая модель управления инвестиционным портфелем. Задача управления портфелем формулируется как динамическая задача слежения по квадратичному критерию за некоторым, задаваемым инвестором, портфелем, имеющим желаемую доходность (гипотетическим эталонным портфелем). В работе В.В. Домбровского, В.А. Гальперина [24] динамика ИП описывается в агрегированном виде, то есть используются уравнения для капитала портфеля в целом. Состояние портфеля определяется суммарным капиталом всех вкладов в активы, а управлениями являются объемы этих вкладов.

Математическая теория управления играет выдающуюся роль в развитии современной цивилизации, хотя возникла сравнительно недавно (наибольшее развитие получила во второй половине XX века). Совершенствование техники и растущая потребность в надежности и безопасности функционирования управляемых систем определило круг задач, которые составляют предмет математической теории управляемых процессов. Так возникли теория управляемости, как результат исследования проблемы перевода управляемого объекта в заданное конечное состояние, теория оптимального управления, направленная на уменьшение потерь при протекании процесса, теория наблюдения и стабилизации. Решение задач конфликтного управления привело к развитию новой ветви математической теории оптимального управления — теории дифференциальных игр. Начало исследований и основные результаты по теории управления процессами, описываемыми системами дифференциальных уравнений, связаны с такими именами, как Р.Е. Калман [36], Н.Н. Красовский [43 - 47], В.И. Зубов [32, 33], Е.А. Барбашин [7], С. Н. Шиманов [99] и другие.

Современная теория оптимального управления основана трудами JI.C. Понтрягина и его учеников — В.Г. Болтянского, Р.В. Гамкрелидзе ц Е.Ф.

Мищенко [74]. Она обеспечила возможность синтеза оптимального управления для широкого класса линейных систем. Большую роль в теории оптимальных процессов наряду с фундаментальным принципом максимума (необходимые условия оптимальности) Понтрягина Л.С. играет метод динамического программирования [8]. Отметим, что работы, посвященные вопросу существования оптимального управления [1, 2, 8, 9, 35, 50, 51, 65, 66, 70, 74, 93, 109], основываются на предположении об управляемости системы, то есть, на предположении, что существует допустимое управление, переводящее объект в заданное конечное состояние.

В работах [8, 36, 51, 74, 104] исследуются системы вида х = Ах + Ви, хей",(/е R'" с постоянными параметрами, определена структура области управляемости, получены некоторые свойства решений краевых задач. Авторы статьи [115] рассматривают аналогичные системы в банаховом пространстве, где А — генератор С-полугруппы, управление и принадлежит LF ([О, Т\ U), 1 < р <оо, U — банахово пространство. Получены условия управляемости и условия нуль-управляемости таких систем.

Красовским Н.Н. [46] задача об управляемости линейной системы х = A(t)x + B{t)ii + , x(ta ) = xa, x(tp ) = xp, рассматривается как проблема моментов. Сформулированы необходимые и достаточные условия существования оптимального решения, установлена зависимость решения от краевых условий. Для квазилинейной системы х = f(t,x)+g(t,x)u, x(ta) = xa, x(tp) - 0, в предположении, что система линейного приближения вполне управляема на отрезке j, методом последовательных приближений доказывается существование релейного управления, разрешающего краевую задачу и отличающегося от оптимального управления на величину второго Доказано, что для полной управляемости линейпорядка малости по ной нестационарной системы х — A(t)x + B(t)u, / е [f0, ], элементы матриц

A(f),B(t) являются аналитическими и периодическими функциями времени t с периодом со, достаточно, чтобы rang{B(z),rB(T),.,Г"'1 В(т))= п, где Г = х[&$\х[а>$] = х(а>)х{р\ X{t) - фундаментальная матрица решений системы х = Л(/)х. В работе [47] изучаются задачи программного управления и управления по принципу обратной связи.

Значительная сложность проблемы разрешимости краевой задачи, особенно для нелинейных систем, стимулирует поиск методов её решения. Исследованию проблемы управляемости нелинейных систем посвящены работы [6, 10, 11, 15 - 17, 22, 28 - 34, 52 - 54, 58 - 61, 64, 65, 68, 71 - 73, 75, 76, 79, 80, 86, 94 — 96, 111, 114]. Большинство результатов этих работ относятся к решению задачи локальной управляемости.

Зубов В.И. в работе [32] рассматривал краевую задачу для линейных и квазилинейных систем, большое внимание уделял возможности численного решения краевой задачи с помощью методов последовательного приближения.

Задача о построении управления, переводящего нелинейную систему х - A(t)x + b(t)u + f{x,i) из заданного начального состояния x(ta) = x" в заданное конечное x(tp) = xр и имеющего наименьшую интенсивность, при достаточно малых ха, хр рассматривалась в [3], [45]. В этих работах описан метод построения управления близкого к оптимальному. В работе [3] Альбрехтом Э.Г. для квазилинейной системы, описываемой уравнением х = A(t)x + b(t)u + ju f{x, t) с малым параметром //, решается двухточечная краевая задача, строится управления с наименьшей интенсивностью. Автором предложен итеративный способ построения оптимального управления установлены достаточные условия оптимальности. Решение задачи опирается на свойства вполне управляемой системы первого приближения х = Ait^x + bifp. Для аналогичной системы Красовским Н.Н. [46] описан способ построения оптимального управления без требования малости краевых условий.

Построением управления u{t,ju) близкого к оптимальному u°(t,ju) в случае квазилинейных систем занимались Субботин А.И. [85], Альбрехт Э.Г., Соболев О.Н. [5]. В частности авторы работы [5] обосновали процедуру вычисления оптимального управления по принципу обратной связи, исследовали свойства функции оптимального результата.

Красовский Н.Н. в работе [46] и Минюк С.А. в статье [62] исследовали вопрос полной (нуль-управляемости) управляемости системы B{t)u{t), t e[/0,/j]. Получены условия полной нуль-управляемости в случае гладких матричных функций A{t\ B(t).

Проблемой устойчивости управления по параметру занимался М.Т. Терехин [87, 88]. В отличие от работ [3, 5], где рассматривалась аналогичная задача, в статье [88] определены условия сохранения (потери) управляемости систем вида х = f(t,x,u,X) при изменении параметра Я без предположения о полной управляемости системы линейного приближения.

Ф.Н. Григорьев, Н.А. Кузнецов [22] рассматривали нелинейную систему третьего порядка, являющуюся математической моделью движения крупнотоннажного водоизмещающего судна. Доказано, что оптимальным по быстродействию управлением является релейное управление, имеющее не более двух переключений. Описан метод построения поверхности и линии переключения оптимального управления, что дает основание для синтеза оптимального управления.

Шарафеевым Д.Р. [96] найдены условия существования тройки "начальное значение - управление - параметр", разрешающей периодическую краевую задачу. В работах Львовой Л.Л. [52 - 54] задача управляемости нелинейных систем решается методом последовательных приближений. В предположении, что система линейного приближения может не быть вполне управляемой, получены условия существования пары "управление - параметр", которая переводит объект из нулевого начального в нулевое конечное состояние. Исследуется зависимость свойства управляемости системы х = A{t)х + B{t)u + f{t, х, и, Л) от малых изменений параметра Л.

Земляковой JI.C. [26 — 31] получены достаточные условия существования кусочно-постоянного управления, разрешающего глобальную краевую задачу. Управлением динамическими системами с помощью кусочно-постоянных управлений методом последовательных приближений занимались Раковщик JI.C. [75, 76], Нгуен Т.Б. [67].

Авторами работ [92, 111] в предположении полной управляемости системы линейного приближения получены достаточные условия управляемости нелинейной системы. Тонковым E.JI. [92] установлено, что система х = f(x,t,u), ueUaRm, локально управляема, если Oeint U и локально управляема соответствующая ей система линейного приближения.

Терехиным М.Т. [90] рассмотрены системы, не являющиеся в общем случае управляемыми, определяется множество, в любой точке которого система управляема.

В работе Пантелеева В.П. [69] установлен необходимый и достаточный признак локальной управляемости линейной по состоянию нестационарной динамической системы х = A(t)x + b(t,u). Работы [63, 64] Митрохина Ю.С., Степанова А.Н. посвящены исследованию системы вида х = / (х) + Ви. В случаях, когда система линейного приближения неуправляема, сформулированы необходимое и достаточное условия локальной управляемости.

Вопросом управляемости нелинейных систем дифференциальных уравнений занимался Воскресенский Е.В. [11 — 17]. В основе его подхода лежит метод сравнения системы с другой, линейной или нелинейной, более удобной для исследования системой. При этом помимо решения проблем теории управляемости метод сравнения позволяет установить ряд других полезных свойств решений, например, устойчивость. В работе [17] на основании принципа сравнения решаются задачи управляемости движением с обратной связью, при условии, что система имеет линейное приближение. За счет малости нелинейной части, управляемости системы линейного приближения свойством управляемости обладает и нелинейная система. dx

Павлов А.Ю. [68] систему — = A(t)x + B(t)u + fit, х, и) + F(t) сравниdt вает с соответствующей линейной системой в предположении, что в фиксированном классе управлений система сравнения является управляемой за конечный или бесконечный промежуток времени.

Мастерковым Ю.В. в работах [58 — 60] исследовались множества локально управляемых, устойчиво управляемых и N -управляемых систем. Получены соотношения между этими понятиями. Показано, что свойство N- управляемости является наиболее сильным из известных свойств управляемости. Авторами работы [111] получен аналог критерия Калмана, сформулированный для систем с запаздыванием.

Петров Н.Н. в работах [71, 72] при исследовании нелинейной автономной системы не предполагал полной управляемости системы линейного приближения. Методом функции Ляпунова получены достаточные условия существования кусочно-постоянного управления, переводящего динамическую систему за конечный промежуток времени из любой точки фазового пространства в начало координат.

При решении задач управляемости в работах [6, 59, 61] в качестве допустимых управлений рассматриваются измеримые, ограниченные вектор-функции. В работе Пантелеева В.П. [69] предполагается, что функция, содержащая управление, удовлетворяет условиям Каратеодори. В [101] допустимыми управлениями считаются измеримые, ограниченные на [0,Г] вектор-функции, зависящие от фазовой переменной,.

Проблема существования управлений, разрешающих краевую задачу для нелинейных систем, исследовалась различными методами [17, 26 — 31, 67, 68, 107]. Габасов Р.Ф. и Кириллова Ф.М. [18] применяют метод приращений, рассматриваемых на траекториях системы, Терехин М.Т., Землякова JI.C. [94] предлагают метод вариации промежуточной точки, в работе D. Kleis, E.W. Sachs [107] используют метод неподвижных точек.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и приложения. Введение содержит обоснование актуальности темы диссертации, цель работы, методику исследования, краткий обзор результатов других авторов по теме исследования, краткое содержание работы.

Заключение

Работа посвящена построению и исследованию математической модели управления инвестиционным портфелем, описываемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений с управляющим параметром. Предложены методы разрешимости двухточечной краевой задачи для нелинейной модели. Получены условия нелокальной и локальной управляемости модели на множестве кусочно-непрерывных управлений.

В диссертации допустимые управления отыскиваются в виде вектор-функций, представляющих собой сумму линейной комбинации вектор-строк импульсной переходной матрицы системы и некоторой заранее заданной вектор-функции, зависящей от времени и параметра. Теоремы о разрешимости краевой задачи доказываются с использованием метода неподвижной точки нелинейного оператора. Управление строится путем разбиения промежутка времени на части и задается на каждой части своей формулой.

Рассматривается применение изложенной теории к исследованию математической модели управления инвестиционным портфелем. Полученные в работе результаты исследований по теории систем дифференциальных уравнений позволяют находить условия достижения желаемой доходности инвестиционного портфеля, корректировать управляющие воздействия методом разбиения промежутка времени на части. Управляющее воздействие определяется как кусочно-непрерывная вектор-функция. В случае линейной модели управления портфелем найдены условия наличия оптимального управления, исследована возможная ожидаемая доходность портфеля при выбранном виде управления.

В диссертации имеются численные примеры с исследованием математических моделей управления конкретными инвестиционными портфелями. Составлена программа в системе Matchcad 14.0, позволяющая исследовать линейные математические модели управления портфелем.

1. Александров, В.В. Оптимальное управление движением / В.В. Александров и др... - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 376 с.

2. Алексеев, В.М. Оптимальное управление / В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин. М. : Наука, 1979. - 432 с.

3. Альбрехт, Э.Г. Об оптимальном управлении движением квазилинейных систем / Э.Г. Альбрехт // Дифференциальные уравнения, — 1969. -Т.5, №3. С. 430 - 442.

4. Альбрехт, Э.Г. Об управлении движением нелинейных систем / Э.Г. Альбрехт // Дифференциальные уравнения, — 1966. — Т.2, №3. — С. 324 -334.

5. Альбрехт, Э.Г. Синтез систем управления с минимальной энергией / Э.Г. Альбрехт, О.Н. Соболев // Дифференциальные уравнения, 1995. - Т.31, №10. - С. 1611-1616.

6. Арутюнов, А.В. Регулярные нули квадратичного отображения и локальная управляемость нелинейных систем / А.В. Артюнов, В.Н. Розова // Дифференциальные уравнения, 1999. — Т.35, №6. - С. 723 — 728.

7. Барбашин, Е.А. Введение в теорию устойчивости / Е.А. Барбашин. — М. : Наука, 1967.-233 с.

8. Болтянский, В.Г. Математические методы оптимального управления / В.Г. Болтянский. М. : Наука, 1969. - 408 с.

9. Брайсон, А. Прикладная теория оптимального управления / А. Брай-сон, Хо Ю-Ши. М.: Мир, 1972, -544 с.

10. Воротников, В.И. О нуль-управляемости по части переменных нелинейных динамических систем / В.И. Воротников //Автоматика и телемеханика, 1997. - №6. - С. 50 - 63.

11. Воскресенский, Е.В. Асимптотические методы: теория и приложения / Е.В. Воскресенский. Саранск: СВМО, 2001. - 300 с.

12. Воскресенский, Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе / Е.В. Воскресенский. — Саранск: Изд-во Сарат. ун-та Саран, фил., 1999. -224 с.

13. Воскресенский, Е.В. О методе сравнения и периодических решениях нелинейных систем / Е.В. Воскресенский // Укр. мат. журн., — 1991. — Т.43, №10. С. 1366- 1371.

14. Воскресенский, Е.В. Оптимальная стабилизация программного движения / Е.В. Воскресенский. — Саранск: Средневолжское математическое общество, 2002, препринт №47. 23 с.

15. Воскресенский, Е.В. О сравнении и управляемости нелинейных систем / Е.В. Воскресенский, П.Г. Черников // Труды СВМО, -1998. Т.1, №1. - С. 37-76.

16. Воскресенский, Е.В. Управляемость численным процессом / Е.В. Воскресенский, П.Г. Черников // Труды СВМО, 1999. - Т.2, №1. - С. 3 -17.

17. Воскресенский, Е.В. Управляемость и синтез управления нелинейных систем / Е.В. Воскресенский // Труды СВМО, 2006. - Т.8, №1. - С. 24 -35.

18. Габасов, Р.Ф., Качественная теория оптимальных процессов / Р.Ф. Га-басов, Ф.М. Кириллова. М. : Наука, 1971. — 501 с.

19. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. М. : Наука, 1988. -552 с.

20. Герасимов, Е. С. Динамическая сетевая модель управления инвестициями при квадратичной функции риска / Е. С. Герасимов, В.В. Дом-бровский // Автоматика и телемеханика. 2002. — №2. — С. 119—128.

21. Герасимов, Е. С. Динамическая сетевая модель управления инвестиционным портфелем при случайном скачкообразном изменении волатильностей финансовых активов / Е. С. Герасимов, В. В. Домбровский // Автоматика и телемеханика . 2003. №7. - С. 77-86

22. Григорьев, Ф.Н. Оптимальное по быстродействию управление в одной нелинейной задаче / Ф.Н. Григорьев, Н.А. Кузнецов // Автоматика и телемеханика, 2000. - № 8. - С. 11 - 25.

23. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович, М. : Наука, 1967. - 472 с.

24. Домбровский, В.В. Динамическая модель управления инвестиционным портфелем при квадратичной функции риска / В.В. Домбровский, В.А. Гальперин // Вест. Том. гос. ун-та. 2000. №269. - С. 73-75.

25. Домбровский, В. В. Динамическая сетевая модель управления портфелем ценных бумаг в непрерывном времени при квадратичной функции риска /В.В. Домбровский, Е. С. Герасимов // Вест. Том. гос. ун-та. 2000. - № 269. - С. 70 -72.

26. Егорова, Н.Е. Применение дифференциальных уравнений для анализа динамики развития малых предприятий, использующих кредитно-инвестиционные ресурсы / Н.Е. Егорова, С.Р. Хачатрян // Экономика и математические методы, -2006. -Т.42, — Вып.1 -С. 24 29.

27. Землякова, Л.С. Управляемость в малом в случае пространства EJ Л.С. Землякова // Дифференциальные уравнения. Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. Рязань, 1980. -Вып.15. — С. 47-52.

28. Землякова, Л.С. Об управляемости некоторой системы дифференциальных уравнений / Л.С. Землякова // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГОУ, — 1996.-С. 63-68.

29. Землякова, Л.С. Управляемость нелинейных систем дифференциальных уравнений / Л.С. Землякова // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, — 1995.-С. 64-71.

30. Землякова, Л.С. Управляемость систем дифференциальных уравнений / Л.С. Землякова // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1995. - С. 72 - 78.

31. Землякова, J1.C. Управляемость систем с периодической правой частью / л.С. Землякова // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1997. — С. 33 — 35.

32. Зубов, В.И. Лекции по теории управления/В.И. Зубов. М.: Наука, -1975.-459 с.

33. Зубов, В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования / В.И. Зубов. — JL: Машиностроение, 1974. — 335с.

34. Иванов, В.А. Теория оптимальных систем автоматического управления / В.А. Иванов, Н.В. Фалдин. М. : Наука, 1981. - 336 с.

35. Калман, Р.Е. Об общей теории систем управления / Р.Е. Калман // Труды I Международного конгресса ИФАК, Т.П. М.: Изд-во АН СССР, 1961.

36. Канторович, Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. М.: Наука, 1984. - 572 с.

37. Клейменов, А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры / А.Ф. Клейменов. — Екатерирбург : Наука, 1993. — 412 с.

38. Колемаев, В.А. Математическая экономика / В.А. Колемаев. М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 400 с.

39. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмагоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1976. - 544 с.

40. Коробов, В.И. Управляемость треугольных систем с равномерно ограниченными возмущениями / В.И. Коробов, С.С. Павличков // Вестн. Харьков, ун-та, 1999, - №444. - С. 10 - 14.

41. Красовский, А.Н. Синтез смешанных стратегий управления / А.Н. Красовский. Свердловск : Изд-во Урал. Ун-та, 1988. - 366 с.

42. Красовский, Н.Н. Управление динамической системой / Н.Н. Красовский. М. : Наука, 1985. - 398 с.

43. Красовский, Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н.Н. Красовский. М. : Физматгиз, 1959. - 211 с.

44. Красовский, Н. Н. Шелементьев, Г.С. / Н.Н. Красовский, Г.С. Шеле-ментьев // Прикладная математика и механика, — 1965. — Т. 29, — Вып. 3, С. 401 - 407.

45. Красовский, Н. Н. Теория управления движением. Линейные системы / Н.Н. Красовский. М.: Наука, 1968. - 476 с.

46. Красовский, Н.Н. О некоторых задачах управления / Н.Н. Красовский // Тр. Мат. ин-та РАН, 1999. 224. - С. 208 - 217.

47. Красс, М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. М. : Дело, 2003. - 688 с.

48. Леваков, А.А. К управляемости линейных нестационарных систем / А.А. Леваков // Дифференциальные уравнения. — 1987. Т. 23. — № 5. -С. 798-806.

49. Лейтман, Дж. Введение в теорию оптимального управления / Дж. Лейтман. -М.: Наука, 1968. 192 с.

50. Ли, Э.Б. Основы теории оптимального управления / Э.Б. Ли, Л. Маркус. -М. : Наука, 1972.-576 с.

51. Львова, Л.Л. О разрешимости задач управляемости нелинейных систем / Л.Л. Львова // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань : Изд-во РГПУ, - 2000. -№3. - С. 66-72.

52. Львова, Л.Л. Условия управляемости нелинейных систем / Л.Л. Львова // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань : Изд-во РГПУ, — 2000. - №3. - С. 73 - 80.

53. Львова, ЛЛ. Условия управляемости нелинейных систем с параметром / Л.Л. Львова // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. — Тамбов : Изд-во ТГУ, — 2000. — Т. 5. — Вып. 4. С. 475 - 476.

54. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А.Люстерник, В.И. Соболев. — М. : Наука, 1965. 510 с.

55. Малкин, И.Г. Теория устойчивости движения / И.Г. Малкин. — М.: Наука, 1966.-532 с.

56. Марголин, А. М. Экономическая оценка инвестиций / А. М. Марголин А. Я. Быстряков. М. : Экмос, 2001. - 240 с.

57. Мастерков, Ю.В. О некоторых задачах управляемости нелинейных систем: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук / Ю.В. Мастерков / Удмуртский гос. ун-т. Ижевск: Изд-во УГУ, 1999.

58. Мастерков, Ю.В. К вопросу о локальной управляемости в критическом случае / Ю.В. Мастерков // Известия вузов. Математика. — 1999. № 2. - С. 68 - 74.

59. Мастерков, Ю.В. Некоторые вопросы управляемости нелинейных систем / Ю.В. Мастерков // Удм. гос. ун-т. Изв. Ин-та мат. и инф-ки. -1999, -№2. -С. 41 -101.

60. Мастерков, Ю.В. Достаточные условия устойчивой управляемости нестационарной системы в критическом случае / Ю.В. Мастерков, Л.И. Родина // Дифференциальные уравнения, — 2004. — Т.40. №1. — С. 33 -40.

61. Минюк, С.А. К теории полной управляемости линейных нестационарных систем / С.А. Минюк // Дифференциальные уравнения, —1990. — Т.26. №3. - С. 414 — 420.

62. Митрохин, Ю.С. Об управляемости в малом нелинейных неавтономных систем дифференциальных уравнений оптимального регулирования / Ю.С. Митрохин // Труды Рязан. радиотехн. ин-та. — Рязань, — 1976. Вып. 69. - С. 25 - 30.

63. Моисеев, Н.Н. Элементы теории оптимальных систем / Н.Н. Моисеев.- М.: Наука, 1975. - 528 с.

64. Нарманов, А.Я. Нелокальные проблемы теории оптимальных процессов. I / А.Я. Нарманов, Н.Н. Петров // Дифференциальные уравнения,- 1985. — Т.21, №4. — С. 605-614.

65. HiyeH, Т.Б. Об управляемости квазилинейных систем / Тхянь Банг Нгуен // Прикладная математика и механика, 1969. - Т.31, — №1.

66. Павлов, А.Ю. Об управляемости нелинейных систем / А.Ю. Павлов // Вестник Мордовского университета, -1995. —№1. -С. 54 57.

67. Пантелеев, В.П. Об управляемости нестационарных линейных систем / В. П. Пантелеев // Дифференциальные уравнения, —1985. — Т.21, — №4. -С. 623-628.

68. Пантелеев, А.В. Оптимальное управление в примерах и задачах / А.В. Пантелеев, А.С. Бортаковский, Т.А. Летова. М.: Изд-во МАИ, 1996. -211 с. енц

69. Петров, Н.Н. Локальная управляемость автономных систем / Н.Н. Петров // Дифференциальные уравнения, -1968. Т.4, —№7. — С. 1218 — 1232.

70. Петров, Н.Н. Об управляемости автономных систем / Н.Н. Петров // Дифференциальные уравнения, 1968. - Т.4, - №4. - С. 606 — 617.

71. Петров, Н.Н. Решение одной задачи теории управляемости / Н.Н. Петров // Дифференциальные уравнения, — 1969. — Т.5, —№5. — С. 962 — 963.

72. Понтрягин, Л.С. Математическая теория оптимальных процессов / В.Г. Болтянский, Р. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, 1969. -384 с.

73. Раковщик Л.С. Построение допустимых управлений I / Л.С. Раковщик // Автоматика и телемеханика, — 1962. — Т.23, — №10.

74. Раковщик Л.С. Построение допустимых управлений II / Л.С. Раковщик // Автоматика и телемеханика, — 1964. — Т.25, № 1.

75. Ризниченко, Г. Ю. Математические модели в биофизике и экологии / Г.Ю. Ризниченко. Москва Ижевск: Институт Компьютерных Исследований, 2003. - 184 с.

76. Ризниченко, Г. Ю. Математические модели биологических продукционных процессов / Г.Ю. Ризниченко, А.Б. Рубин. — М. : — Изд-во МГУ, 1993.-302 с.

77. Розанова, А.В. Управляемость для нелинейного абстрактного эволюционного уравнения / А.В. Розанова // Математические заметки, — 2004. -Т.76, -№4. -С. 553 567.

78. Розова, В.Н. Локальная управляемость систем специального вида / В.Н. Розова, А.В. Мартынова // XXXIX Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методике преподавания естественно — научных дисциплин, 2003. С. 15.

79. Рудашевский, В.Д. Оптимальная стратегия развития франчайзинговой системы / В.Д. Рудашевский, М.Н. Фурщик // Экономика и математические методы, 1998. - Т.34. - Вып. 2. -С. 89 - 104.

80. Симонов, П.М. Динамические математические модели с последействием в экономике и биологии / П. М. Симонов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. - Т. 9. — Вып. 3. — С. 654 -655.

81. Симонов, П.М. О некоторых динамических моделях микроэкономики/ П. М. Симонов // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. Пермь; Перм. гос. техн. ун-т, - 2002. - С. 109—114.

82. Субботин, А.И. Об управлении движением квазилинейной системы / А.И. Субботин // Дифференциальные уравнения. 1967. -Т.З. -№7, -С. 1113-1118.

83. Терехин, М.Т. Управляемость в малом системы обыкновенных дифференциальных уравнений / М.Т. Терехин // Дифференциальные и интегральные уравнения. Методы топологической динимики: Межвуз. сб. науч. тр. Горький: Горьк. ун-т, - 1987. - С. 48 - 52.

84. Терехин, М.Т. Устойчивость управления по параметру / М.Т. Терехин // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. — Рязань: Изд-во РГПУ, 1998. - № 1. - С. 86 - 96.

85. Терехин, М.Т. Об устойчивости управления по параметру/ М.Т. Терехин // Известия ВУЗов. Математика, Рязань, - 2000. — №9. - С. 38 -46.

86. Терехин, М.Т. Об управляемости систем обыкновенных дифференциальных уравнений / М.Т. Терехин, Л.С. Землякова // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. — Рязань: Изд-во РГПУ, -1995. С. 141 - 150.

87. Терехин, М.Т. Бифуркация периодических решений функционально — дифференциальных уравнений / М.Т. Терехин // Известия вузов. Математика. 1999. - № 10 (449). - С. 37 - 42.

88. Тонков, Е.Л. Управляемость нелинейной системы по линейному приближению / Е.Л. Тонков // Прикладная математика и механика, —1974.- Т.38, Вып.4. - С. 599 - 606.

89. Ухин, М.Ю. Синтез приближенно — оптимального управления на дискретных моделях / М.Ю. Ухин // Автоматика и телемеханика. -2006. — №7. С. 75 - 87.

90. Фишер, И. Покупательная сила денег/ Ирвинг Фишер. М. : Дело, 2001.- 198 с.

91. Хикс Дж. Р. Стоимость и капитал / Джон Ричард Хикс. М. : Издательство БЕК, 1997. - 332с.

92. Шарафеев, Д.Р. Существование периодических решений нелинейных управляемых систем с параметром / Д.Р.Шарафеев // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2001. - №5. — С. 182 - 188.

93. Шарп, У. Инвестиции / У. Шарп, Г. Александер, Дж. Бейли; пер. А.Н. Буренина, А.А. Васина. М. : ИНФРА-М, 1999. - XII. - 1028 с.

94. Шведов, А.С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг/ А.С. Шведов. М., Изд-во ГУ ВШЭ, 1999. - 142 с.

95. Шиманов, С.Н. Колебания квазилинейных автономных систем с запаздыванием / С.Н. Шиманов // Известия вузов. Радиотехника. —I960.1. Т. 3. — №3. — С. 456-466.

96. ЮО.Шолохович, Ф.А. Об управляемости и £ -управляемости линейных динамических систем в бесконечномерных пространствах / Ф.А. Шо-лохович // Известия УРГУ. Математика и механика, 1998, - №1. -С. 102-126.

97. Юханова, М.В. О локальной управляемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений / М.В. Юханова // Известия ТулГУ. Серия «Дифференциальные уравнения и прикладные задачи». Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ. - 2006. - С. 39-42.

98. Akhmet, М. Controllability of two-point nonlinear boundary-value problems by the numerical-analytic method / M. Akhmet, A. Zafer // Appl. Math, and Comput. 2004. -151, -№3. -P. 729 - 744.

99. Barnett, S. Introduction to mathematical control theory / S. Barnett. O.U.P., Oxford, 1975.

100. Dauer, J.P. Controllability of some nonlinear systems in Hilbert spaces / J.P. Dauer, N.I. Mahmudov // Optimiz. Theory and Appl. 2004. - 123, -№2.-P. 319-329.

101. Fisher, I. The Purchasing Power of Money / Irving Fisher. N.Y.: Wiley, 1911.

102. Friedman, A. Optimal control of a chemical vapor deposition reactor / A. Friedman, B. Hu // Optimiz. Theory and Appl. 1998. - 97, - №3, - P. 623-644.

103. Kleis D. Optimal control of the sterilization of prepackged food / D. Kleis, E.W. Sachs // SIAM J. Optimiz. 2000. - 10, - №4. - P. 1180 - 1195.

104. Krasovskii, A.N. Control under lack of information / A.N. Krasovskii, N.N.Krasovskii. Basel: Birkhauser, 1995.

105. Liu, W. Local boundary controllability for the semilinear plate equation / Weijiu Liu // Commun. Part. Differ. Equat. 1998. - 23, - №1-2. - P. 201- 221.

106. Markowitz, Н.М. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments/ H.M. Markowitz. Yale Univ. Press, 1959.

107. Mounier H. On a class of linear delay system often are arising in practice / Hugues Mounier, Michel Fliess // Kybernetika. 2001. - №3. - p. 295 -308.

108. Sharpe, W.F. Portfolio Theory and Capital Markets/ W.F. Sharpe. N.Y.: McGraw-Hill. 1970.

109. Tobin, D. National economic policy / James Tobin. New Haven. 1966.

110. Vassilyev, S. N. On controllability of nonlinear systems under phase restrictions and persistent perturbations/ Stanislav N. Vassilyev // Nonlinear Anal. Theory, Meth. and Appl. - 1997. - 29, - № 1. - P. 1 - 7.

111. Xin, Y. Controllability of infinite dimensional linear systemsin Banach spaces / Xin Yu, Kangsheng Liu, Chen Pengman // Shuxue niankan. Ann. Math.A. -2007. 28, - №5. - P. 589 - 600.

112. Турусикова, H. M. Исследование математической модели управления инвестиционным портфелем в непрерывном времени / Н.М. Турусикова // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. Рязань: РГРТУ, - 2007. - Вып. 22. - С. 112 -114.

113. Турусикова, Н. М. О разрешимости двухточечной краевой задачи управляемой системы дифференциальных уравнений / Н.М. Турусикова // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. Рязань: РГРТУ, - 2008. - Вып. 24. - С. 67 - 69.

114. Турусикова, Н. М. Условия разрешимости двухточечной краевой задачи управляемой системы дифференциальных уравнений / Н.М. Турусикова // Известия ТулГУ. Естественные науки. — Тула: Изд-во Тул-ГУ, 2008. - Вып. 2. - С. 49 - 54.

115. Турусикова, Н. М. Управляемость нелинейных систем дифференциальных уравнений / Н.М. Турусикова // Аспирантский вестник Рязанского государственного университета имени С.А. Есенина. — Рязань: РГУ. 2007. - № 10.-С.6-11.

116. Турусикова, Н. М. Об оптимальном управлении с минимальной нормой линейной системы дифференциальных уравнений / Н.М. Турусикова // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. — 2007. — №12. -С. 102- 107.

117. Турусикова, Н. М. Условия нелокальной управляемости системы дифференциальных уравнений / Н.М. Турусикова // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. — 2008. №13. — С. 148 - 152.

118. Турусикова, Н. М. Об одной математической модели управления инвестиционным портфелем / Н.М. Турусикова // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. — 2008.—№13. — С. 153— 157.

119. Турусикова, Н. М. О локальной управляемости нелинейных систем / Н.М. Турусикова // Математика. Компьютер. Образование: сб. научн. трудов. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», -2008. - Вып. 15, - Т. 2. - С. 88 - 90

120. Турусикова, Н. М. Об одном способе исследования математической модели управления инвестиционным портфелем / Н.М. Турусикова // Труды СВМО. Саранск, - 2008. - Т. 10. - №1. - С. 259 - 265.

121. Турусикова, Н. М. О локальной управляемости нелинейных систем дифференциальных уравнений / Н.М. Турусикова // Аспирантский вестник Рязанского государственного университета имени С.А. Есенина. Рязань: РГУ. - 2008. - № 12. - С. 3 - 7.