автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование формирования оптимального портфеля ценных бумаг

На правах рукописи

САЯПОВА Елена Владимировна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа-2007

Работа выполнена на кафедре математического моделирования в ГОУ ВПО «Башкирский государственный университет»

Научный руководитель

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор

Спивак Семен Израилевич

доктор физико-математических наук, доцент

Кризский Владимир Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент

Мамедова Татьяна Фанадовна

Ведущая организация

Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН

Защита диссертации состоится 24 октября 2007 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета КМ 212117 07 при ГОУ ВПО «Мордовский государственный университет» по адресу 430000 г Саранск, Республика Мордовия, ул Большевистская, д 68, корп 1, ауд 225

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мордовского государственного университета

Автореферат разослан 21 сентября 2007г

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Л А Сухарев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

В настоящее время проблема выбора оптимального портфеля ценных бумаг становится особенно актуальной в связи с ростом российского фондового рынка, расширением инвестиционной активности банковского сектора, появлением паевых инвестиционных фондов, негосударственных пенсионных фондов На развивающемся рынке ценных бумаг, который характеризуется высокой доходностью, сопряженной с высокими рисками, потенциальному инвестору достаточно трудно составить портфель с приемлемым для него соотношением риск-доходность

Развитие рынка ценных бумаг требует активного использования современных математических методов при анализе эффективности финансовых инвестиций. В частности, возникает задача оптимизации портфеля ценных бумаг. Впервые этот вопрос сформулирован в работе Г. Марковича, заложившей основы современной теории инвестиций. При описании портфеля был применен средне-дисперсионный анализ для формализации понятий доходности и риска, впервые была построена математическая модель оптимального портфеля ценных бумаг. Именно в работе Г Марковича была обоснована идея диверсификации при составлении портфеля доя редуцирования финансового риска.

Проблема применения данной модели заключается в том, что часто в реальных задачах кроме ограничений неотрицательности переменных возникают дополнительные ограничения Эти ограничения могут быть двух типов, ограничения сверху, когда доля 1-го актива в общей структуре активов может составлять не более заданной величины, и ограничения снизу - доля .(-го актива в суммарном капитале портфеля должна быть не менее заданной величины Ограничения сверху соответствуют нормам законодательства и отражены в требованиях к составу и структуре вложений паевых инвестиционных фондов, негосударственных пенсионных фондов, страховых компаний и тд. Ограничения снизу могут быть наложены как условие на минимальную безрисковую часть портфеля Дополнительные ограничения усложняют решение задачи и могут делать задачу несовместной

Вычислительная сложность решения соответствующих задач математического программирования и возникающие при этом проблемы моделирования предопределяют актуальность настоящей работы

Цель работы

Цель исследования - разработка математической модели задачи оптимального портфеля с дополнительными двухсторонними ограничениями на переменные, оценка значимости ограничений и использование выбранной методики для анализа реальных статистических данных рынка ценных бумаг

Задачи исследования:

• построение математической модели оптимального портфеля ценных бумаг с двухсторонними ограничениями на переменные, соответствующими требованиям законодательства;

• разработка вычислительного алгоритма и компьютерного обеспечения решения задач оптимизации портфеля;

• численное решение и анализ реальных задач рынка ценных бумаг

Методы исследования

Поставленные в работе задачи решены с использованием методов выпуклого анализа, математической теории двойственности, теории вероятностей и математической статистики. При решении задач использовались труды отечественных и зарубежных ученых, посвященные проблемам математического моделирования и анализа рынка ценных бумаг.

Основные научные результаты, выносимые на защиту:

• математическая модель оптимального портфеля с учетом двухсторонних ограничений на переменные,

• способ моделирования основных показателей инвестирования на рынке ценных бумаг,

• алгоритм решения задачи оптимизации портфеля с использованием решений двойственной задачи,

комплекс программ, позволяющих автоматизировать процесс оптимизации портфеля и анализа значимости активов рынка ценных бумаг;

• результаты вычислительного эксперимента по решению реальных задач рынка ценных бумаг при различных видах ограничений.

Научная новизна работы

1 Разработана математическая модель оптимального портфеля инвестиций с учетом двухсторонних ограничений на переменные, соответствующих законодательным нормам.

2. Сформулирована двойственная задача к проблеме оптимизации решения Решения двойственной задачи позволяют оценивать значимость ограничений прямой задачи.

3. Разработан алгоритм одновременного решения прямой и двойственной задач оптимизации портфеля.

4 Разработан комплекс программ для автоматизации процесса портфельного инвестирования и анализа значимости активов на рынке ценных бумаг

Практическая значимость работы

Проведенные исследования дают участникам рынка ценных бумаг реальные механизмы выбора оптимального портфеля и анализа значимости различных типов ценных бумаг Разработанные математические модели и комплекс компьютерных

программ переданы и приняты в эксплуатацию в Управляющей компании «ИнвестКапитал» в г Уфе Результаты исследования использованы в курсах лекций по финансовой математике на математическом факультете Башкирского государственного университета.

Апробация работы

Основные положения и результаты работы докладывались на IV Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященной 95-летию БашГУ (г.Уфа, 2004г), на VI Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии (г Уфа, 2006г.), на Шестом всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г Санкт-Петербург, 3-7 мая 2005г), на Седьмом всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г Кисловодск, 2-8 мая 2006г.), на Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А Ф Леонтьева (г Уфа, 2-4 июня 2007г), на III Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (г Саранск, 1-13 июля 2007г.), на научных семинарах математического факультета Башкирского государственного университета, Института математики с вычислительным центром УНЦ РАН, кафедры прикладной математики Мордовского государственного университета им Н.П Огарева (г Саранск, 2007г.)

Публикации

Основные материалы диссертационной работы опубликованы в журналах «Системы управления и информационные технологии», «Обозрение прикладной и промышленной математики», «Вестник Башкирского университета». По результатам проведенных исследований опубликовано 10 работ, в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК

Ст руктура работы

Диссертационная работа состоит из 120 страниц машинописного текста, включающего введение, четыре главы, заключение, приложения, список литературы из 100 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируется цель, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, дается краткое описание работы.

В первой главе проведено исследование задачи оптимального портфеля ценных бумаг в классической постановке Марковица

Задача оптимизации портфеля ценных бумаг заключается в нахождении такой структуры портфеля, при которой минимизация риска достигается при обеспечении заданного уровня доходности.

Доходность актива рассматривается как случайная величина, любой вид ценных бумаг характеризуется двумя величинами: ожидаемой доходностью и мерой риска - вариацией или среднеквадратичным отклонением доходности от ожидаемой Эти же величины вычисляются и для портфеля ценных бумаг, если известны ковариации между доходностями.

Ожидаемая доходность и риск портфеля будут зависеть от его структуры, т е доли исходного капитала, вложенной в тот или иной вид ценных бумаг Так как возможны разные способы формирования портфеля из одних и тех же ценных бумаг, встает естественный вопрос об оптимальном портфеле. Проблема оптимизации портфеля может быть сформулирована следующим образом пусть задана средняя доходность портфеля, среди всех таких портфелей найти наименее рисковый

Пусть X] - доля капитала, вложенного в ценные бумаги .]-го вида Тогда математическая модель нахождения оптимальной структуры портфеля1 имеет следующий вид

в некоторых случаях вводится дополнительное ограничение неотрицательности переменных:

я «

(1)

при ограничениях

(2)

Х1 >0

Здесь ¥р - вариация доходности портфеля;

Уу - ковариации доходностей ценных бумаг 1-го и]-го вида,

1 Эта математическая модель впервые была предложена Г Марковицем в 1952 г, за что в 1990 г ему была присуждена Нобелевская премия по экономике

ш, - математическое ожидание доходности ценной бумаги .(-го вида, тр - заданная доходность портфеля.

Условие неотрицательности переменных можно трактовать следующим образом- если х) > 0, необходимо вложить долю х] наличного капитала в ценные бумаги вида £ если д,<0, нужно взять в долг ценные бумаги этого вида в количестве - л, Если короткая продажа (взятие ценных бумаг в долг) недопустима, то возникает з'словие (3)

В работе рассмотрено также влияние корреляции между ценными бумагами на риск портфеля Здесь возможны следующие случаи:

1 Ценные бумаги некоррелированы

При росте числа п видов ценных бумаг, включенных в портфель, риск портфеля ограничен и стремится к нулю при п—>оо. Этот результат, известный в теории финансового риска как эффект некоррелированности, говорит о том, что если инвестирование производится в некоррелированные ценные бумаги, то для уменьшения риска нужно, по возможности, брать их число п как можно большим

2 Полная прямая корреляция

При полной положительной корреляции диверсификация не дает положительного эффекта риск портфеля оказывается просто равен среднему риску отдельных вложений и не стремится к нулю с увеличением числа видов ценных бумаг Прямая корреляция между доходностями двух ценных бумаг имеет место, когда курс обеих определяется одним и тем же внешним фактором (например, изменением цен на нефть), причем изменение этого фактора действует в одну и ту же сторону.

3 Полная обратная корреляция

При полной обратной корреляции предоставляется возможность формирования безрискового портфеля Это объясняется тем, что падение доходности одного вида ценных бумаг компенсируется ростом доходности другого. Упомянутый эффект отрицательной коррелированности является одной из основных идей диверсификации при инвестировании - при составлении портфеля ценных бумаг надо стремиться к тому, чтобы вложения делались в бумаги, среди которых, по возможности, много отрицательно коррелированных Полная обратная корреляция между доходностями двух ценных бумаг - достаточно редкое явление, однако сильная отрицательная корреляция на практике возможна

В финансовой теории обычно выделяют два вида рисков

• несистематический (диверсифицируемый) риск,

• систематический (рыночный) риск

Несистематический риск можно редуцировать, применяя тактику диверсификации, те. вложения в различные виды ценных бумаг Он связан с особенностями каждой конкретной ценной бумаги, те носит индивидуальный характер Этот риск для данной ценной бумаги зависит также от условий выпуска и обращения, т.е. определяется возможностью наступления таких событий, которые изменят величину предполагаемого дохода

Систематический риск, как риск падения рынка ценных бумаг в целом, присущ всем обращающимся на нем фондовым ценностям, поэтому он является недиверсифицируемым, т е не снижается при расширении направления вложений Примером систематического риска может служить риск, связанный со стохастической природой процентных ставок, индексов акций, и на который отдельный инвестор не может оказать влияния своими действиями

Во второй главе получена математическая модель оптимального портфеля с дополнительными ограничениями на переменные, к исходной задаче оптимизации портфеля построена двойственная задача, проведено исследование пары двойственных задач

Проблема применения модели Марковича заключается в том, что часто в реальных задачах кроме ограничений неотрицательности возникают различные законодательные ограничения

В результате анализа нормативных документов, регулирующих инвестиционную деятельность институциональных инвесторов, таких как паевые инвестиционные фонды, негосударственные пенсионные фонды и страховые компании, были выделены следующие типы законодательных ограничений,

1 х^б, (025^1)

Ограничения сверху, когда доля ]-го актива в общей структуре активов может составлять не более заданной величины Эти ограничения изложены в «Положении о составе и структуре активов акционерных инвестиционных фондов и активов паевых инвестиционных фондов», «Требованиях к составу и структуре пенсионных резервов негосударственных пенсионных фондов», «Правилах размещения страховщиками средств страховых резервов» и т д

2 х^ >а (0<а^1)

Ограничения снизу, т.е доля какого-либо актива в суммарном капитале портфеля должна быть не менее заданной величины В работе негосударственных пенсионных фондов предусмотрены максимальные доли вложений в объекты повышенного риска и в рискованные объекты Ограничения снизу также могут быть наложены как условие на минимальную безрисковую часть портфеля Это связано с характером вложений НПФ - преобладанием государственных облигаций в портфеле, которые считаются безрисковым активом.

3 х4+хЛ+.. +хл>у (0<у<1,^<п)

Ограничения снизу на сумму долей активов Данные ограничения характеризуют специфику работы конкретного фонда - акций, облигаций или смешанных инвестиций. Например, для фонда облигаций оценочная стоимость государственных и корпоративных облигаций должна составлять не менее 50% стоимости активов

Таким образом, на основе модели Марковича можно построить модель оптимального портфеля с дополнительными двухсторонними ограничениями на переменные, соответствующими требованиям законодательства

!=1 И

при ограничениях

и

Р'-1

^ (5)

х)<б! х, >а

л

X, +х, + + х, >у

. и ¡2 1к 1

Дополнительные ограничения, особенно при увеличении размерности, усложняют решение задачи и могут делать задачу несовместной.

Полученная проблема представляет собой задачу выпуклого квадратичного программирования, для решения которой разработаны численные методы Прямая задача квадратичного программирования имеет вид

п п

f (х)=Х1Лхл тт (6)

1-1 и

при ограничениях:

¿аЛ ~Ь,=<р,<0, (1 = 1,ш) н _ (7>

х^О, 0 = 1,п)

п п

Матрица Э квадратичной формы 0 = предполагается

1=1 ]=1

симметричной и неотрицательно определенной В этом случае функция (6) будет выпуклой

К исходной задаче можно построить двойственную задачу, переменные которой - множители Лагранжа - вводятся для анализа и контроля ограничений прямой задачи

Двойственная задача к задаче минимизации риска портфеля будет иметь вид

8(х,Х) = -££а>^-|>А->тах (8)

1=11=1 1=1

при ограничениях__(9)

X, > 0, 0" = 1,т) Щх)

где ду

Эх,

А, - множители Лагранжа

Двойственная задача составляется по специальным правилам, при этом имеют место первая и вторая теорема двойственности выпуклого программирования и условие дополняющей нежесткости Это условие означает, что двойственные переменные я, являются оценками ограничений прямой задачи если оптимальное значение двойственной переменной отлично от нуля, то соответствующее этой переменной ограничение прямой задачи обращается в строгое равенство, если же некоторое ограничение прямой задачи выходит на строгое неравенство, то оптимальное значение двойственной переменной, соответствующей этому ограничению, равно нулю С условием дополняющей иежесткости и анализом значимости ограничений прямой задачи тесно связана и экономическая интерпретация двойственных оценок Показано, что множители Лагранжа можно трактовать как характеристики изменений оптимального значения целевой функции при изменениях констант ограничений (первые Ш1 ограничений активны, остальные Ш1+1, неактивны) лг *

Целевая функция исходной задачи Г есть риск портфеля, а Ь, - максимально возможные доли ценных бумаг в портфеле, следовательно, двойственные оценки (А.* /100) показывают, как изменится минимальный риск при увеличении допустимой доли 1-ой ценной бумаги в портфеле на 1%

Очевидно, что соотношение выполняется для Ш)+1, .,т множителей Лагранжа, равных нулю д(* дЬ,

Неактивные в данной точке ограничения выполняются как неравенства, поэтому малые изменения соответствующих констант ограничений не могли бы изменить оптимального значения целевой функции - риска портфеля

В третьей главе разработан численный алгоритм решения задачи оптимального портфеля, позволяющий одновременно получить решения прямой и двойственной задач

В настоящее время разработано достаточно много методов решения задач квадратичного программирования, все они имеют свои преимущества и недостатки.

Для решения задачи выбран метод Баранкина-Дорфмана, как метод с относительно небольшой вычислительной сложностью

Выпишем условия Куна-Таккера дня задачи (6)-(7), являющиеся необходимыми и достаточными условиями оп гимальности решения х*-

xxх, +у,=ь, (1 = 1,т)

1-1

-у, + £ =0 0=й)

М (-1

5>л+Хм =О

.=1

(10)

(11) (12) (13)

Равенства (10)-(11) образуют систему К=п+ш линейных уравнений с 2Ы=2(п+т) неизвестными х„ ,у„,Л1, ,Л„ Следовательно, согласно локальным

условиям Куна-Таккера, решение х* - (х', является оптимальным для задачи (6)-(7) тогда и только тогда, когда совместно с решением V = (V,, ,у„) существуют решения л = (л1, ,л„),у = (у„ ,ул такие, что г = (х„ ,у„Д, ,ла,уи

являются решением системы (10)-(12) при выполнении условия (13) Таким образом, метод Баранкина и Дорфмана позволяет нелинейную задачу сводить к решению системы линейных алгебраических уравнений с дополнительным комбинаторным условием (13) Это условие требует, чтобы из каждых двух ограниченных по знаку переменных ^ и и Д,) хотя бы одна равнялась нулю Другими словами, не все решения г = (*„ ,ут) системы (10)-(11) удовлетворяют условию (13), а только те, в которых по меньшей мере п+ш компонент равны нулю, т.е столько, сколько уравнений в системе Следовательно, искать решение, удовлетворяющее условию (13), нужно только среди базисных решений Баранкин и Дорфман поступают следующим образом, начинают с некоторого базисного решения системы (10)-(12), которое не обязательно удовлетворяет условию (13), и с помощью симплексных преобразований сводят к нулю выпуклую функцию х\+уТл

Метод Баранкина-Дорфмана предполагает последовательное улучшение некоего опорного решения, являющегося базисным для поставленной задачи, однако не предлагает однозначных способов нахождения такого решения. Этот метод не гарантирует конечное™ алгоритма для любого базисного решения В случае зацикливания предполагается либо принять временное увеличение значения сводимой к нулю выпуклой функции, либо начать процесс оптимизационного поиска сначала, воспользовавшись другим опорным планом Проблемой становится нахождение алгоритма конечного последовательного перебора всех возможных опорных планов Для этих целей предлагается воспользоваться алгоритмом

переборов с возвратами, который также называется алгоритмом Гамильтона, и применить его именно для выбора разрешающего элемента на каждом этапе симплексного преобразования Общая идея применения этого метода состоит в том, что процесс нахождения опорного плана имеет всего лишь один неопределенный момент - выбор разрешающего элемента для проведения симплексного преобразования. Эта неопределенность разрешается следующим образом перед каждым принятием решения о выборе разрешающего элемента мы определяем для себя множество всех допустимых седловых точек, и выбираем любую из них Если в конечном счете найденное опорное решение не приводит нас к решению общей задачи, осуществим возврат к самому последнему произведенному выбору и выберем из того же множества допустимых седловых точек такую, которую еще не выбирали. В случае, если это множество окажется исчерпанным, вернемся еще на один шаг. Таким образом гарантируется однократный перебор всех возможных вариантов выбора седповой точки, а следовательно и всех возможных базисных решений, и нахождение оптимального решения.

Указанный метод полного последовательного перебора всех возможных базисных решений подходит только для решения задач с небольшой размерностью С ростом размерности задачи количество допустимых базисных решений резко возрастает, поэтому перебор всех допустимых базисных решений занимает достаточно много времени. Поэтому предлагается для перебора допустимых базисных решений воспользоваться элементами метода Монте-Карло: генерируется псевдослучайная последовательность чисел - номеров допустимых базисных решений - в соответствии с равномерным распределением. В том случае, если данное базисное решение не привело нас к оптимальном}', мы не возвращаемся на один шаг назад, а начинаем искать новое базисное решение с другой случайно выбранной точки Таким образом, использование элементов метода Монте-Карло позволяет значительно сокращать время работы алгоритма и находить оптимальное решение за приемлемое время.

В четвертой главе проведен вычислительный эксперимент для реальных статистических данных по акциям и облигациям российских компаний крупной капитализации Котировки ценных бумаг взяты на официальных сайтах фондовой биржи РТС и информационного агенства СЬоп<к Конкретные условия задачи получены в ходе совместной работы с Управляющей компанией «ИнвестКапитал» в г Уфе

Для решения задачи оптимизации портфеля выбирается около 20 видов ценных бумаг, из которых формируется портфель инвестора: х^ - акции ОАО «Газпром», %2 - акции ОАО НК «Лукойл», х3 - акции ОАО «Новолипецкий металлургический комбинат», Х4 — акции ОАО ГМК «Норильский никель», х5 -акции ОАО РАО «ЕЭС России», - акции ОАО «Ростелеком», х7 - акции ОАО «Сбербанк России», х8 - акции ОАО «Сургутнефтегаз», х9 - акции ОАО «Татнефть», х10 - облигации ОАО «Автоваз», Хц- облигации ЗАО «Банк Русский Стандарт», х]2-облигации ОАО «Газпром», х]3- облигации ОАО «Ленэнерго», х]4- облигации ОАО

НК «Лукойл», Х15- облигации ОАО «МегаФон», х1б- облигации ООО «Русский алюминий финансы», х[7- облигации ОАО «Сибирьтелеком», Х18- облигации ОАО «Трубная металлургическая компания», х)9 - облигации ОАО «Уралсвязьинформ», х2о - облигации ОАО «Южная телекоммуникационная компания».

Разработан комплекс программ для решения задачи минимизации риска при достижении заданного уровня доходности с учетом различных видов ограничений.

При решении задачи оптимизации портфеля ценных бумаг в программе проводятся предварительные вычисления расчет доходности и статистических характеристик для каждого актива. Среднее значение и стандартное оислонение доходности ценных бумаг приведено в табл 1 Также рассчитывается корреляционная матрица доходносгей ценных бумаг.

Таблица 1

XI Хг Хз Х4 Х5 х6 х7 х8 X» Хю

ш, 175,53 97,56 62,88 75,15 114,73 95,07 144,02 70,14 142,85 7,7

О) 65,51 48,93 19,66 25,47 22,76 44,56 32,62 39,02 92,38 0,46

х„ Х,2 Х,3 Хн Х15 Хю Х,7 Хю Х]9 Х2о

т, 8,55 6,99 8,87 6,93 7,45 7,56 8,1 7,74 7,69 9,25

0,29 0,22 0,61 0,12 0,21 0,37 0,31 0,33 0,4 0,94

Решение задачи минимизации риска портфеля ценных бумаг приведено в табл 2 Решение двойственной задачи приведено в табл 3. Как видно из табл 2, риск портфеля растет с увеличением ожидаемой доходности, так как риск и доходность финансовых инвестиций связаны прямо пропорциональной зависимостью В качестве минимальной альтернативной доходности выберем 10% - среднюю норму доходности банковского вклада При максимальной доходности (80%) вариация портфеля составит 101,14 (стандартное отклонение от ожидаемой доходности = 10,06%) Рассмотрим рекомендации по формированию портфеля При минимальной требуемой доходности (10%) риск портфеля составит 0,097, рекомендуется большую часть капитала распределить между облигациями, доля вложений в акции будет незначительна. При эффективности 10% максимально возможные доли капитала (15%) следует вложить в облигации «Банк Русский Стандарт» (хц), в облигации «Мегафон» (хн), в облигации «Сибирьтелеком» (х17), в облигации «ТМК» (х!8), также нужно вложить 13,5% в облигации «РусАлФин» (х16), 10,5% - в облигации «Ленэнерго» (х13), 8,9% - в облигации «Автоваз» (х10) При требуемой доходности 20% риск портфеля составит 1,95; при этом рекомендуется вложить по 15% суммы капитала в облигации «Банк Русский Стандарт» (хц), в облигации «Ленэнерго» (х13), в облигации «ТМК» (х18), в облигации «Сибирьтелеком» (х17), в облигации «ЮТК» (х20), 14,7% - в облигации «РусАлФин» (х«), при этом в портфеле немного возрастает доля акций С увеличением требуемой доходности растут доли вклада более доходных и более рисковых ценных бумаг

(акций), в то время как доли вложений менее доходных и менее рисковых активов (облигаций) уменьшаются При эффективности 40% следует вложить по 15% от общей суммы капитала в облигации «Банк Русский Стандарт» (хи), в облигации «Ленэнерго» (х13), в облигации «ТМК» (х18), в облигации «ЮТК» (х20); 12,4% - в облигации «Сибирьтелеком» (хп), 10,9% - в акции «Сбербанк России» (х7), 8,4 % -в акции РАО «ЕЭС России» (х5), 7,5% - в акции «Ростелеком» (х^ При доходности 60% суммарный капитал портфеля распределяется между облигациями «Банк Русский Стандарт» (хп) - 15%, облигациями «ЮТК» (х20) - 15%, облигациями «Ленэнерго» (х13) - 15%, облигациями «ТМК» (xi8) - 9,9%, акциями «Сбербанк России» (х7) - 15%, акциями РАО «ЕЭС России» (х5) - 15%, акциями «Ростелеком» (х$) - 12,5%. С дальнейшим ростом ожидаемой доходности доля акций в портфеле будет возрастать, а доля облигаций снижаться, за исключением облигаций «ЮТК» (х20), доля которых останется на уровне 15% При эффективности 70% следует вложить по 15% суммы капитала в облигации «Банк Русский Стандарт» (хц), в облигации «ЮТК» (х20), в акции «Сбербанк России» (х7), в акции РАО «ЕЭС России» (х5), в акции «Ростелеком» (хв); 13,5% - в облигации «Ленэнерго» (х13). При максимальной требуемой доходности (80%) рекомендуется распределить вложения следующим образом: 15% - облигации «ЮТК» (х20), 10,9% - облигации «Банк Русский Стандарт» (хп), 15% - акции «Сбербанк России» (х7), 15% - акции РАО «ЮС России» (х5), 15% - акции «Ростелеком» (хв), 15% - акции «НЛМК».

Рассмотрим решение двойственной задачи Переменная >.i двойственной задачи соответствует ограничению 2Xmj -mp» переменная Х2 соответствует ограничению £xj<l, переменная соответствует ограничению Xj<0,15, ., переменная А^ соответствует ограничению х2о<0,15. Согласно условию дополняющей нежесткости, двойственные оценки вводятся для анализа и контроля ограничений прямой задачи: если двойственная переменная отлична от нуля, ограничение прямой задачи выходит на строгое равенство, если же двойственная переменная равна нулю, соответствующее ограничение прямой задачи выполняется как строгое неравенство. Переменная Xi отлична от нуля, следовательно, ограничение на достижение ожидаемой эффективности выполняется как равенство Переменная %2 отлична от нуля для всех значений доходности, следовательно, ограничение на сумму долей капитала для данных значений доходности будет активным. Из табл 3 видно, что условие дополняющей нежесткости верно для всех ограничений вида х,<Ю,15. Например, для ограничения xJO<0,15 двойственные оценки отличны от нуля для всех значений доходности кроме 10%, при этом доля вложений в облигации «ЮТК» (х20), как видно из табл 3, составляет 15% (за исключением значения, соответствующего доходности 10%) При доходности 80% максимально допустимые доли вложений приходятся на переменные х3, х5, х6, х7, х20, поэтому двойственные оценки Х5, Х7, Xg, Хд, соответствующие ограничениям на допустимые доли вложений для этих переменных, строго больше нуля Значение целевой функции двойственной задачи g(x, Я) равно значению целевой функции прямой задачи f(x), следовательно, выполняются первая и вторая теоремы двойственности выпуклого программирования

Таблица 2

Решение задачи оптимизации портфеля при дополнительном ограничении

х) <0,15,

тр, % 10 20 30 40 50 60 70 80

V» 0,097 1,949 6,438 13,574 23,365 36,951 59,489 101,139

X, 0 0,001 0,005 0,008 0,012 0,026 0,046 0,032

х2 0 0 0 0 0 0 0 0

Х3 0 0 0 0 0 0 0,056 0,15

Х4 0 0 0 0 0 0 0,005 0,09

х5 0,005 0,033 0,058 0,084 0,109 0,15 0,15

Хб 0,006 0,028 0,051 0,075 0,098 0,125 0,15 0,15

х7 0,008 0,041 0,075 0,109 0,143 0,15 0,15 0,15

х8 0 0 0 0 0 0 0 0

X, 0 0 0 0 0 0 0,007 0,02

Хю 0,089 0 0 0 0 0 0 0

Хн 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,109

Хц 0 0 0 0 0 0 0 0

Х,з 0,105 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,135 0

Х14 0,037 0 0 0 0 0 0 0

Х,5 0,15 0 0 0 0 0 0 0

Х16 0,135 ОД 47 0,061 0 0 0 0 0

Х,7 0,15 0,15 0,15 0,124 0,038 0 0 0

Х18 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,099 0 0

Х]9 0 0 0 0 0 0 0 0

Х20 0,016 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15

X*. 1 1 1 1 1 1 1 1

Таблица 3

Решение двойственной задачи при дополнительных ограничениях сверху

тр, % 10 20 30 40 50 60 70 80 Ограничение

8(х, X) 0,097 1,949 6,438 13,574 23,365 36,951 59,489 101,139

Хх 0,059 0,317 0,581 0,847 1,112 1,675 3,23 5,144 1х,т,>тр

Хг 0,379 2,316 4,31 6,425 8,453 12,842 26,744 43,286 &,<1

Ь 0 0 0 0 0 0 0 0 х,<0,15

%4 0 0 0 0 0 0 0 0 хг<0,15

и 0 0 0 0 0 0 0 4,259 х3<0,15

А* 0 0 0 0 0 0 0 0 Х4<0,15

Ь 0 0 0 0 0 1,569 115,228 258,47 х5<0,15

X* 0 0 0 0 0 0 154,438 363,561 х«<0,15

X, 0 0 0 0 0 85,969 265,087 479,87 хт<0,15

Аю 0 0 0 0 0 0 0 0 Х8<0,15

Хц 0 0 0 0 0 0 0 0 Х9<0,15

'-12 0 0 0 0 0 0 0 0 хю<0,15

А» 0,082 0,277 0,492 0,598 0,786 1,045 0,317 0 X] 120,15

1.14 0 0 0 0 0 0 0 0 Х12<0,15

^45 0 0,202 0,444 0,575 0,788 1,071 0 0 Х1з<0,15

>■16 0 0 0 0 0 0 0 0 хм<0,15

>-17 0,014 0 0 0 0 0 0 0 Х15<0,15

0 0 0 0 0 0 0 0 Х1«<0,15

Я-19 0,018 0,06 0,085 0 0 0 0 0 Х1т<0,15

^20 0,025 0,068 0,114 0,049 0,066 0 0 0 Х18<0,15

Я.21 0 0 0 0 0 0 0 0 Х19<0,15

Хгг 0 0,191 0,514 0,726 1,021 2,053 0,949 0,395 Х2О<0,15

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1 Построена математическая модель оптимального портфеля ценных бумаг Учтены два вида ограничений:

а) ограничения сверху соответствуют требованиям законодательства;

б) ограничения снизу могут быть наложены как условие на минимальную безрисковую часть портфеля.

2 Сформулирована двойственная задача в проблеме оптимизации портфеля ценных бумаг. Решения двойственной задачи интерпретируются как оценки значимости каждого из ограничений прямой задачи.

3 Разработан алгоритм решения задачи минимизации риска портфеля при достижении заданного уровня доходности вложений В ходе решения вычисляются оптимальные значения прямых и двойственных переменных.

4 Составлен программный комплекс, позволяющий автоматизировать процесс оптимизации портфеля и анализа значимости активов рынка ценных бумаг при различных типах ограничений. Комплекс компьютерных программ принят в эксплуатацию в Управляющей компании «ИнвестКапитал» в г Уфе

5. Проведен вычислительный эксперимент по решению и анализу реальных задач рынка ценных бумаг с различными видами дополнительных ограничений

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендуемых ВАК

1 Спивак С И, Саяпова Е В, Ахтямов Р.Э Математическая модель оптимального портфеля // Системы управления и информационные технологии -2007. №2(28)-С 48-52.

2. Спивак С И, Саяпова Е В. Математическое моделирование оптимального инвестиционного портфеля // Обозрение прикладной и промышленной математики - 2006 Т 13(4) - С 723-724.

3 Спивак СИ., Саяпова ЕВ Математическая модель задачи оптимизации инвестиционного портфеля // Обозрение прикладной и промышленной математики -2005 Т.12(2) - С.514-515

Публикации в других изданиях

4 Спивак С И, Саяпова Е В., Ахтямов Р Э. Математическое моделирование оптимального инвестиционного портфеля // Вестник Башкирского университета -2007 №2 - С. 5-8

5 Саяпова Е В Математическая модель формирования оптимального портфеля // Уфимская международная математическая конференция, посвященная памяти А Ф Леонтьева Сборник материалов.- Уфа - 2007г.-Т 2.-С 78-79

6 Саяпова ЕВ Математическое моделирование и оптимизация портфеля ценных бумаг // VI региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии Тезисы докладов - Уфа - 2006г -С 44.

7. Саяпова Е В. Математическое моделирование и оптимизация портфеля ценных бумаг // VI региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии. Сборник трудов.- Уфа - 2006г. -Т П(Математика) - С 128-137

8 Саяпова ЕВ Решение задачи оптимизации инвестиционного портфеля методом квадратичного программирования // IV региональная школа-конференция для С1удентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Тезисы докладов - Уфа - 2004г - С 36

9 Саяпова ЕВ Решение задачи оптимизации инвестиционного портфеля методом квадратичного программирования // IV региональная школа конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Сборник трудов - Уфа -2004г - Т ЦМатематика) -С 183-192

10 Саяпова Е.В. Математическое моделирование оптимального портфеля ценных бумаг // Препринт № 104.- Саранск СВМО, 2007. - 28 с.

Саяпова Елена Владимировна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР № 021319 от 05 01 99 г

Подписано в печать 19 09 2007 г Бумага офсетная Формат 60x84/16 Гарнитура Times Отпечатано на ризографе Уел печ л 1,15 Уч-изд л 1,20 Тираж 100 экз Заказ 515

Редакционно-издательский центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г Уфа, ул Фрунзе, 32

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г Уфа, ул Фрунзе, 32

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ. э 1.1. Средне-дисперсионный анализ портфеля и влияние корреляции.

1.2. Модель Марковица.

1.3. Решение задачи оптимального портфеля.i

1.4. Решение задачи оптимального портфеля при возможности безрисковых вложений.

1.5. Доходность актива.

1.6. Мера риска.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ.

2.1. Законодательные ограничения, возникающие в работе коллективных инвесторов.

2.2. Математическая модель оптимального портфеля с двухсторонними ограничениями.

2.3. Постановка прямой и двойственной задач квадратичного программирования.

2.4. Экономический смысл множителей Лагранжа.

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ПОРФЕЛЯ.

3.1. Теорема Куна-Таккера.

3.2. Метод Баранкина-Дорфмана решения задачи квадратичного программирования.

3.2.1. Общее описание метода.

3.2.2. Алгоритм метода.

3.2.3. Вычислительная схема метода.

3.3 Применение метода Гамильтона и метода Монте-Карло для нахождения базисного решения.

ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ РЕАЛЬНЫХ ЗАДАЧ РЫНКА ЦЕННЫХ БУМАГ.

4.1. Решение задачи оптимального портфеля без дополнительных ограничений.

4.2. Решение задачи оптимизации портфеля при дополнительных ограничениях сверху.

4.3. Решение задачи оптимизации портфеля при дополнительных двухсторонних ограничениях.

Актуальность темы исследования.

В настоящее время проблема выбора оптимального портфеля ценных бумаг становится особенно актуальной в связи с ростом российского фондового рынка, расширением инвестиционной активности банковского сектора, появлением паевых инвестиционных фондов, негосударственных пенсионных фондов. На развивающемся рынке ценных бумаг, характеризующемся высокой доходностью, сопряженной с высокими рисками, потенциальному инвестору достаточно трудно составить портфель с приемлемым для него соотношением риск-доходность.

Развитие рынка ценных бумаг требует активного использования современных математических методов при анализе эффективности финансовых инвестиций. В частности, возникает задача оптимизации портфеля ценных бумаг. Впервые этот вопрос сформулирован в работах Г. Марковича [1], [2], заложивших основы современной портфельной теории. При описании портфеля был применен средне-дисперсионный анализ для формализации понятий доходности и риска, впервые была построена математическая модель оптимального портфеля ценных бумаг. Именно в работе Г. Марковича была обоснована идея диверсификации при составлении портфеля для редуцирования финансового риска. Дальнейшее развитие современная теория инвестиций получила в работах Дж. Тобина [3], У. Шарпа [4], [5], Линтнера [6], Моссина [7], Р. Ролла [8], С. Росса [9].

Проблема применения данной модели заключается в том, что часто в реальных задачах кроме ограничений неотрицательности переменных возникают дополнительные ограничения. Эти ограничения могут быть двух типов: ограничения сверху, когда доля i-ro актива в общей структуре активов может составлять не более заданной величины, и ограничения снизу - доля j-го актива в суммарном капитале портфеля должна быть не менее заданной величины. Ограничения сверху соответствуют нормам законодательства и отражены в требованиях к составу и структуре вложений паевых инвестиционных фондов, негосударственных пенсионных фондов, страховых компаний и т.д. Ограничения снизу могут быть наложены как условие на минимальную безрисковую часть портфеля. Дополнительные ограничения усложняют решение задачи и могут делать задачу несовместной.

Вычислительная сложность решения соответствующих задач математического программирования предопределяет актуальность настоящей работы.

Цель работы.

Цель исследования - разработка математической модели задачи оптимального портфеля с дополнительными двухсторонними ограничениями на переменные, оценка значимости ограничений и использование выбранной методики для анализа реальных статистических данных рынка ценных бумаг.

Задачи исследования:

• построение математической модели оптимального портфеля ценных бумаг с двухсторонними ограничениями на переменные, соответствующими требованиям законодательства;

• разработка вычислительного алгоритма и компьютерного обеспечения решения задач оптимизации портфеля;

• численное решение и анализ реальных задач рынка ценных бумаг.

Методы исследования.

Поставленные в работе задачи решены с использованием методов выпуклого анализа, математической теории двойственности, теории вероятностей и математической статистики. При решении задач использовались труды отечественных и зарубежных ученых, посвященные проблемам математического моделирования и анализа рынка ценных бумаг.

Основные научные результаты, выносимые на защиту:

• математическая модель оптимального портфеля с учетом двухсторонних ограничений на переменные;

• способ моделирования основных показателей инвестирования на рынке ценных бумаг;

• алгоритм решения задачи оптимизации портфеля с использованием решений двойственной задачи;

• программный комплекс, позволяющий автоматизировать процесс оптимизации портфеля и анализа значимости активов рынка ценных бумаг.

Научная новизна работы:

1. Разработана математическая модель оптимального портфеля инвестиций с учетом двухсторонних ограничений на переменные, соответствующих законодательным нормам.

2. Сформулирована двойственная задача в проблеме оптимизации решения. Решения двойственной задачи позволяют оценивать значимость ограничений прямой задачи.

3. Разработан алгоритм одновременного решения прямой и двойственной задач оптимизации портфеля.

4. Разработан комплекс программ для автоматизации процесса портфельного инвестирования и анализа значимости активов на рынке ценных бумаг.

Практическая значимость работы.

Проведенные исследования дают участникам рынка ценных бумаг реальные механизмы выбора оптимального портфеля и анализа значимости различных типов ценных бумаг. Разработанные математические модели и комплекс компьютерных программ переданы и приняты в эксплуатацию в Управляющей компании «ИнвестКапитал» в г.Уфе. Результаты исследования использованы в курсах лекций по финансовой математике на математическом факультете Башкирского государственного университета.

Достоверность полученных результатов.

Основные положения и результаты работы докладывались на IV Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященной 95-летию БашГУ (г.Уфа,

2004г.), на VI Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии (г.Уфа, 2006г.), на Шестом всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г.Санкт-Петербург, 3-7 мая 2005г.), на Седьмом всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Кисловодск, 2-8 мая 2006г.), на Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева (г. Уфа, 2-4 июня 2007г.), на III Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (г. Саранск, 1-13 июля 2007г.), на научных семинарах математического факультета Башкирского государственного университета, Института математики с вычислительным центром УНЦ РАН, кафедры прикладной математики Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева (г. Саранск, 2007г.).

Структура работы.

Диссертационная работа состоит из 120 страниц машинописного текста, включающего введение, четыре главы, заключение, приложения, список литературы из 100 наименований.

Основные результаты работы.

1. Построена математическая модель оптимального портфеля ценных бумаг. Учтены два вида ограничений: а) ограничения сверху соответствуют требованиям законодательства; б) ограничения снизу могут быть наложены как условие на минимальную безрисковую часть портфеля.

2. Сформулирована двойственная задача в проблеме оптимизации портфеля ценных бумаг. Решения двойственной задачи интерпретируются как оценки значимости каждого из ограничений прямой задачи.

3. Разработан алгоритм решения задачи минимизации риска портфеля при достижении заданного уровня доходности вложений. В ходе решения вычисляются оптимальные значения прямых и двойственных переменных.

4. Составлен программный комплекс, позволяющий автоматизировать процесс оптимизации портфеля и анализа значимости активов рынка ценных бумаг при различных типах ограничений. Комплекс компьютерных программ принят в эксплуатацию в Управляющей компании «ИнвестКапитал» в г. Уфе.

5. Проведен вычислительный эксперимент по решению и анализу реальных задач рынка ценных бумаг с различными видами дополнительных ограничений.

95

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Markowitz Н. Portfolio selection// Journal of Finance 7(1). March 1952, pp. 77-91.

2. Markowitz H. Portfolio selection. Efficient Diversification of Investments. New York: Wiley, 1959.

3. Tobin J. The Theory of Portfolio Selection in F.H. Hahn and F.R.P. Brechling. The Theory of Interest Rate. London, Macmillan, 1965, pp. 3-51.

4. Sharpe W.F. A Simplified model for portfolio analysis, Management Science, 1963, January.

5. Sharpe W.F. Capital asset price: a theory of market equilibrium under conditions of risk, Journal of finance 29(3) September, 1964, pp. 425-442.

6. Lintner J. The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets, Review of Economics and Statistics, February, 1965, pp. 13-37.

7. Mossin J. Equilibrium in a capital asset market, Econometrica 34(4) October 1966, pp. 768-783.

8. Roll R. A Critique of the Asset Pricing Theory Test, Journal of Financial Economics, March, 1977.

9. Ross S.A. The arbitrage theory of capital asset Pricing, Journal of Economic theory, Dec. 1976.

10. Касимов Ю.Ф. Введение в теорию оптимального портфеля ценных бумаг М.: «Анкил», 2005. - 144 с.

11. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк., 2001.-479 с.

12. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. - 543 с.

13. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики.-М.:ЮНИТИ, 1998.

14. Бочаров П.П., Печенкин А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Гардарика, 1998.

15. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1975.

16. Дубров A.M., Мхитарян B.C., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы. М.: Финансы и статистика, 1998.

17. Калинина В.Н., Панкин В.Н. Математическая статистика. М.: Высш. шк., 1998.

18. Четыркин Е.М., Калихман И.Л. Вероятность и статистика. М.: Финансы и статистика, 1982.

19. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. М.: Айрис-пресс, 2005.-256 с.

20. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели. М.: ФАЗИС, 1998. - 512 с.

21. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М.: Инфра-М, 1994. - 192 с.

22. Бронштейн Е.М. Основы финансовой математики: Учебное пособие. -Уфа.: УГАТУ, 2000.-101 с.

23. Килячков А.А., Чалдаева Л.А. Рынок ценных бумаг и биржевое дело. -М.: Юристъ, 2001.-704 с.

24. Миркин Я.М. Ценные бумаги и фондовый рынок. М.: Перспектива, 1995.

25. Алехин Б.И. Рынок ценных бумаг. Введение в фондовые операции. -М.: Финансы и статистика, 1993.

26. Алексеев М.Ю. Рынок ценных бумаг. М.: Финансы и статистика, 1992.

27. Шарп У., Гордон Дж. А., Бейли Д. Инвестиции: Пер. с англ. М.: Инфра-М, 1997.

28. Росс С., Вестерфилд Р, Джордан Б. Основы корпоративных финансов: Пер. с англ. М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. -720 с.

29. Холт Р.Н., Барнес С.Б. Планирование инвестиций. М.: Дело ЛТД, 1994.

30. Холт Р.Н. Основы финансового менеджмента. М.: Дело ЛТД, 1995.

31. Финансовый менеджмент: теория и практика: Учебник/ Под ред. Стояновой Е.С. М.: Перспектива, 1996.

32. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики: Методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. -М.: Дело, 1998.-304 с.

33. Колтынюк Б.А. Ценные бумаги: Учебник. СПб.: Изд-во Михайлова В.А., 2000.-304 с.

34. Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учебник. М.: Дело, 2006. -400 с.

35. Четыркин Е.М., Васильева Н.Е. Финансово-экономические расчеты. -М.: Финансы и статистика, 1990.

36. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело, 1995.

37. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.: Инфра-М, 1997.

38. Ковалев В.В., Уланов В.А. Курс финансовых вычислений. М.: Финансы и статистика, 1994.

39. Малыхин В.И. Финансовая математика. М.: ЮНИТИ, 1999.

40. Кочович Е. Финансовая математика с задачами и решениями. М.: Финансы и статистика, 2004.

41. Касимова О.Ю. Введение в финансовую математику. Анализ кредитных и инновационных операций. М.: «Анкил», 2001.

42. Самаров К.Л. Финансовая математика. М.: Инфра-М, 2006. - 80 с.

43. Бублик Н.Д., Голичев И.И., Горбатков С.А. Стохастическая оптимизация риска как ресурса в экономических системах. Уфа.: БашГУ, 2000. - 136 с.

44. Рынок ценных бумаг: Учебник / Под ред. Галанова В.А., Басова А.И. -М.: Финансы и статистика, 2005. 448 с.

45. Куртепов И. Оценка паевого фонда: доходность или риск? // Рынок ценных бумаг. 2005. № 10. - с. 20-22.

46. Потапов В. Инвестиции в Junk bonds // Рынок ценных бумаг. 2006. -№11.-с. 27-28.

47. Батаев Е., Цупров В. Новый инструмент на рынке ПИФов // Рынок ценных бумаг. 2006. - №4. - с. 45-46.

48. Глущенко С., Демин Д. Первый индексный фонд облигаций // Рынок ценных бумаг. 2006. - № 11. - с. 29.

49. Евдокимов Е., Лисенков Д. Венчурные горизонты финансовых рынков // Рынок ценных бумаг. 2005. - № 18. с. 16-18.

50. Чулюков Ю. Паевые инвестиционные фонды: формирование, управление и контроль // Рынок ценных бумаг. 2006. - № 24. с. 53-57.

51. Горюнов И. Негосударственные пенсионные фонды как коллективный инвестор // Рынок ценных бумаг. 2005. - №22 с. 22-26.

52. Гребенщиков Э. Российский рынок страхования: параметры, пропорции и тенденции// Рынок ценных бумаг. 2007. - №2. с. 57-61.

53. Плахотная А. Страховые компании как институциональные инвесторы на рынке ценных бумаг// Рынок ценных бумаг. 2005. - №20. с. 62-64.

54. Спивак С.И., Саяпова Е.В., Ахтямов Р.Э. Математическая модель оптимального портфеля // Системы управления и информационные технологии. 2007. №2(28) - С.48-52.

55. Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. М.: Наука, 1967. - 460 с.

56. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.-320 с.

57. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. -М.: Наука, 1983. 384 с.

58. Гольштейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. -М.: Наука, 1971. 352 с.

59. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач. М.: МГУ, 1974.

60. Габасов Р. Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Минск: БГУ, 1975.

61. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. -М.: Наука, 1978.

62. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах.- М.: Наука, 1975.

63. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973.

64. Эрроу К. Дж., Гурвиц Л., Удзава X. Исследования по линейному и нелинейному программированию. М.: ИЛ, 1962.

65. Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. -М.: МГУ, 1970.

66. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

67. Романовский И.В. Алгоритмы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1977.

68. Нурминский Е.А. Численные методы выпуклой оптимизации. М.: Наука, 1991.- 168 с.

69. Даффин Р., Питерсон Э., Зенер К. Геометрическое программирование. -М.: Мир, 1972.-311 с.

70. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика: Математическое программирование. Мн.: Выш. шк., 1994. - 286 с.

71. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1982. - 583 с.

72. Голыптейн Е.Г. Выпуклое программирование (элементы теории). М.: Наука, 1970.-68 с.

73. Кузнецов А.В., Холод Н.И. Математическое программирование. Мн.: Выш. шк., 1984.-221 с.

74. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. М.: Высш. шк., 1980. - 300 с.

75. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. -М.: Наука, 1982.-432 с.

76. Гавурин М.К., Малоземов В.Н. Экстремальные задачи с линейными ограничениями. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1984. 176 с.

77. Хедли Д. Нелинейное и динамическое программирование. М.: Мир, 1967.-470 с.

78. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс, 1975. - 606 с.

79. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Физматлит, 2000.-264 с.

80. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985.-509 с.

81. Абрамов Л.М. Капустин В.Ф. Математическое программирование. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. - 328 с.

82. Кюнци Г.П., Крелле В. Нелинейное программирование. М.: Сов. радио, 1965.-304 с.

83. Зангвилл У. Нелинейное программирование. Единый подход. М.: Сов. радио, 1973.-312 с.

84. Зойтендейк Г. Методы возможных направлений. М.: ИЛ, 1963. - 176 с.

85. Елизаров Е.Я., Савченко B.C. Численные методы нелинейного программирования. Тексты лекций. Донецк: ДонГУ, 1982. - 66 с.

86. Полак Э. Численные методы оптимизации. М.: Мир, 1974. - 376 с.

87. Гилл Ф., Мюррэй У. Численные методы условной оптимизации. М.: Мир, 1977.-290 с.

88. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. -М.: Радио и связь, 1987. 400 с.

89. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.-534 с.

90. Еремин И.И., Астафьев Н.Н. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. М.: Наука, 1976. - 192 с.

91. Солодовников А.С. Системы линейных неравенств. М.: Наука, 1977. - 112 с.

92. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. М.: МЦНМО, 2000.-960 с.

93. Вирт Н. Алгоритмы и структуры данных. СПб.: Невский Диалект, 2001.-352 с.

94. Ф.А. Новиков Дискретная математика для программистов СПб: Питер, 2000. - 304 с.

95. Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. - 288 с.

96. Федоров А.Г. Язык программирования Delphi 3.0 для всех. М.: КомпьютерПресс, 1998. - 544 с.

97. Кандзюба С.П., Громов В.Н. Delphi 6/7. Базы данных и приложения. Лекции и упражнения. М.: ДиаСофт, 2003. - 576 с.

98. С. Тейксейра, К. Пачеко Borland Delphi 6. Руководство разработчика. -М.: Вильяме, 2002.-1120 с.

99. Архангельский А. Программирование в среде Delphi 6. М.: Бином, 2001,-502 с.

100. Фаронов В. Delphi 6: учебный курс. СПб.: Питер, 2002, 512 с.