автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы анализа чувствительности для моделей фильтрации и массопереноса в подземной гидросфере

На правах рукописи УДК 519.676

ВОЛКОВА Елена Викторовна

МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ ФИЛЬТРАЦИИ МАССОПЕРЕНОСА В ПОДЗЕМНОЙ ГИДРОСФЕРЕ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

00346343 1

Москва — 2009

003463431

Работа выполнена в Российском научном центре «Курчатовский институт»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Лебедев Вячеслав Иванович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Куранов Николай Петрович кандидат физико-математических наук Мордашев Владимир Михайлович

Ведущая организация:

ГУП Мое НПО «Радон»

Защита диссертации состоится__2009 г. в_ч_мин. на

заседании диссертационного совета Д 520.009.06 в Российском научном центре «Курчатовский институт» по адресу 123182 г. Москва, пл. Курчатова, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РНЦ «Курчатовский институт» Автореферат разослан__2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

С развитием современной науки и вычислительной техники математические модели, используемые для решения прикладных задач в самых разных сферах научной деятельности, становятся все более сложными. Большая часть моделей настолько сложна и требует таких серьезных трудовых и временных затрат, что оценить тип зависимости между входными и выходными параметрами прямыми методами не представляется возможным. Тем не менее, такая оценка очень важна для понимания модели, степени ее соответствия моделируемым процессам и т.п., что необходимо для корректного моделирования. Кроме того, математическая модель всегда характеризуется неким набором параметров, которые могут измеряться с определенной погрешностью, связанной с неточностью измерения, отсутствием или невозможностью замеров, неполным пониманием исследуемых механизмов и многим другим. Все это ведет к неточности решения задач, которые ставятся перед моделью. Таким образом, оценка погрешности модели должна являться неотъемлемой частью процесса математического моделирования.

Методики анализа чувствительности численных моделей к входным параметрам являются эффективным инструментом для характеристики погрешности модели. Если анализ погрешности позволяет указать численную оценку погрешности модели, то анализ чувствительности дает дополнительную информацию о модели, которая может использоваться для ее эффективной верификации. Анализ чувствительности особенно важен при анализе моделей с большим количеством параметров. Ведущие российские и зарубежные организации, занимающиеся исследованиями по оценке техногенного воздействия на окружающую среду, такие как Европейская Комиссия по Окружающей Среде, Геологическая Служба США (ШвВ), Агентство по Защите окружающей Среды (ЕРА) и др., включают этап анализа чувствительности в свои

1

О

рекомендации при проведении численного моделирования.

Практика «статистического анализа компьютерных экспериментов» применительно к численным моделям физических явлений активно развивается с 80-х годов ХХ-го века. Среди первых зарубежных обзоров можно выделить работы Ш. Закс, Дж. Клайджнен, А. Сальтелли, С. Тарантола и др. В последнее время проводится большое количество исследований, посвященных анализу чувствительности численных моделей процессов в окружающей среде - в частности, моделей фильтрации и переноса загрязнения в подземных водах. Среди авторов можно выделить Дж. Хелтона, Ф. Камполонго, Р. Мадцалена, X. Ма, Б. Иоосса и других.

Многие страны сегодня столкнулись с проблемой радиоактивного загрязнения подземных вод, образованного в результате использования или захоронения радиоактивных материалов и отходов. Численное моделирование миграции радиоактивного загрязнения является эффективным инструментом прогнозирования распространения этого загрязнения и оценки опасности для окружающей среды. Как правило, модели переноса загрязнений в подземной гидросфере имеют сложный характер и описываются большим количеством параметров, которые часто определяются со значительной погрешностью.

Несмотря на большое количество работ в этой области в последние годы, исследования таких моделей оставались в значительной степени теоретическими. С началом проведения в России работ по реабилитации радиоактивно загрязненных территорий стал возможным анализ численных моделей миграции для условий реальных площадок.

В настоящей работе методики анализа чувствительности были применены для исследования численных геофильтрационных моделей миграции загрязнения в условиях реальных площадок реабилитации.

Цели и задачи работы

Настоящая работа представляет собой исследование по разработке и анализу чувствительности численной модели переноса радиоактивного

загрязнения в районе площадки временных хранилищ радиоактивных отходов (площадка ВХРАО) РНЦ «Курчатовский институт», анализу чувствительности геофильтрационной модели работы системы инженерной защиты от подтопления г. Казани и внесению рекомендаций по их калибровке и верификации модели.

В работе были поставлены и решены следующие задачи: (1) изучение оретической базы статистического анализа моделей и разработка методик анализа чувствительности численных моделей фильтрации и массопереноса в подземной гидросфере, (2) построение численной модели миграции адиоактивного загрязнения для условий площадки ВХРАО и еофильтрационной модели работы системы инженерной защиты от подтопления г. Казани; (3) применение разработанных методик анализа чувствительности и огрешности для указанных численных моделей.

Первая численная модель была создана с целью оценки и прогнозирования аспространения радиоактивного загрязнения в подземных водах с площадки нХРАО на территории РНЦ «Курчатовский институт». Эта модель была еализована в двух вариантах, отличающихся подробностью дискретизации и рограммной реализацией. Анализ чувствительности этих вариантов численных оделей включал:

выявление наиболее и наименее влиятельных параметров моделей; построение карт чувствительности прогноза к входным параметрам; оценка «адекватности» модели;

сравнение двух вариантов модели переноса радиоактивного загрязнения; оценка погрешности площади прогнозируемого ореола распространения адиоактивного загрязнения.

Вторая численная модель была разработана с целью корректировки . егламента работы системы инженерной защиты от подтопления Заречной части г. Казани. Анализ чувствительности геофильтрационной модели включал разработку рекомендаций по эффективной калибровке параметров этой модели, а именно - определение параметров калибровки и сужение интервалов их

возможного изменения для эффективного решения обратной задачи.

Результаты, выносимые на защиту

1. Разработка методики анализа чувствительности численной модели переноса радиоактивного загрязнения для условий площадки ВХРАО РБ1 «Курчатовский институт», результаты анализа чувствительности модели и полученные рекомендации по эффективной калибровке ее входных параметров, также рекомендации по оптимизации сети наблюдательных скважин.

2. Разработка методики анализа чувствительности численной геофильтрационной модели работы системы инженерной защиты от подтоплен] г. Казани, результаты анализа чувствительности модели и полученные рекомендации по эффективной калибровке входных параметров модели.

Научная новизна работы заключается в применении методов анализа чувствительности к прогнозной модели переноса радиоактивного загрязнения с реальной площадки захоронения отходов и к геофильтрационной модели работы системы инженерной защиты от подтопления г. Казани, что привело к лучшему пониманию моделируемых процессов и механизмов и уточнению результатов моделирования.

Для численной модели применительно площадки ВХРАО задача анализа чувствительности модели была решена путем построения «поверхности отклика», т.е. репрезентативной математической модели изучаемого кода («метамодели»), заменяющей исходную модель в статистических расчетах с малым временем вычислений и сохраняющей статистические свойства начальной модели. Построение поверхности отклика является отдельной задачей в каждом индивидуальном случае применения статистических методов анализа к моделям с большим временем вычислений.

Достоверность

Представленные в диссертации результаты обоснованы адекватностью применяемых методик, большим объемом расчетных исследований, которые согласуются с практикой геофильтрационного и геомиграционного

моделирования, а также большим объемом данных полевых измерений, выполненных непосредственно на исследуемых площадках.

Практическая значимость

Разработанные методики анализа чувствительности моделей фильтрации и конвективно-дисперсионного переноса в подземной гидросфере были применены для калибровки входных параметров и верификации следующих моделей:

- численной модели переноса радиоактивного загрязнения, разработанной при реабилитации площадки ВХРАО на территории РНЦ «Курчатовский институт» и ликвидации на ней старых хранилищ радиоактивных отходов;

- численной геофильтрационной модели системы инженерной защиты от подтопления г. Казани, разработанной для обоснования режима работы и оптимизации дренажа;

- численной модели миграции загрязнения тяжелыми металлами и биоочистки, разработанной для площадки Налоге! 100Н (штат Вашингтон, США).

Разработанные методики анализа чувствительности и погрешности в дальнейшем могут быть использованы для анализа других численных моделей радиоактивного загрязнения в подземных водах, также как и для анализа других численных моделей. Полученные рекомендации могут быть учтены при калибровке параметров и верификации численных моделей переноса и создании эффективных сетей наблюдательных скважин на площадках с радиоактивным загрязнением.

Апробация работы

Разработанные методики анализа чувствительности и погрешности численных моделей были апробированы при проведении реабилитационных работ на:

- площадке ВХРАО на территории РНЦ «Курчатовский институт»;

- территории действия системы инженерной защиты г. Казани от подтопления;

- площадке НапАогс! 100Н (штат Вашингтон, США).

Основные результаты работы докладывались на международной

конференции «FEM-MODFLOW» (Чехия, г. Карловы Вары, 2004), семинаре СЕТАМА «Отбор проб и характеризация «От отбора проб до анализа» (Франция, г. Монпелье, 2005), XI всероссийской школе-семинаре «Современные проблемы математического моделирования» (г. Новороссийск, 2005), Третьей Курчатовской молодежной школе (Москва, РНЦ «Курчатовский институт», 2005), международной конференции «Моделирование процессов миграции радионуклидов в окружающей среде и вопросы развития метабаз данных для объектов Советского ядерного комплекса (РАДДЕГ-РАДИНФО-2005)» (Москва, 2005), Второй всероссийской конференции «Современные проблемы изучения и использования питьевых подземных вод» (г. Звенигород, 2006).

Личный вклад автора

Автор участвовал в постановке и решении основных задач диссертации. С участием автора были разработаны численные модели переноса радиоактивного загрязнения в районе площадки ВХРАО РНЦ «Курчатовский институт» на основе программных модулей MODLOW и MT3DMS и численная геофильтрационная модель работы системы инженерной защиты от подтопления г. Казани. Личный вклад автора состоит в изучении и практическом использовании современных методов анализа чувствительности численных моделей, решении ряда задач по статистическому моделированию и анализу данных, разработке численной модели переноса радиоактивного загрязнения в районе площадки ВХРАО на основе программного пакета MARTHE и предложению нового подхода к анализу и верификации численных моделей фильтрации и массопереноса.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ, в том числе 8 - в соавторстве. Из них: 3 - в материалах и сборниках трудов международных конференций, 4 - в виде тезисов докладов на всероссийских конференциях, 2 - в реферируемых журналах, 2 - в иностранных журналах, 2 - в сборниках трудов научно-исследовательских институтов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 145 страниц, в том числе 38 рисунков, 34 таблицы. Список литературы включает 109 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении раскрывается актуальность темы диссертации, изложены основные цели и задачи диссертации, показана их практическая значимость, представлена структура диссертации и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации приведено краткое описание математических и численных моделей фильтрации и массопереноса в пористых средах, описаны теоретические основы методов локального и глобального анализа чувствительности, методы распространения погрешности, приведены различные показатели чувствительности, описаны цели и способы применения анализа чувствительности при калибровке параметров численных моделей со ссылками на соответствующие источники.

Процессы фильтрации и массопереноса в подземной гидросфере описываются уравнениями математической физики. Для их решения существуют широко используемые гидрогеологами программные модули - MODFLOW, VS2D, GMS, MARTHE, FEFLOW и др., в основу которых положены алгоритмы различных численных методов решения уравнений в частных производных. В разработку теоретических основ и численных методов решения задач фильтрации и массопереноса внесли серьезный вклад Я. Бэр, П.Я. Полубаринова-Кочина, В.М. Шестаков, В. Кинзельбах, H.H. Веригин, Б.С. Шержуков, Н.П. Куранов, В.И.Лебедев, Г.И. Марчук, Н.С. Бахвалов, В.И, Агошков, Р.П. Федоренко, A.B. Лапин, Г.М. Кобельков, Ю.В. Василевский, A.A. Самарский и другие.

Процедура численного моделирования фильтрационных процессов в

подземной гидросфере сопряжена с различными ошибками определения параметров и описания физических процессов, которые существенно влияют на достоверность результатов вычислений. Анализ чувствительности численных моделей позволяет оценить зависимость между входными и выходными параметрами модели, оценить погрешность результатов модельных вычислений и ответить на другие вопросы при калибровке входных параметров и верификации численных моделей.

Анализ чувствительности тесно связан с решением так называемых обратных задач - задач изучения свойств объектов или процессов, интерпретации результатов экспериментов по каким-либо измеренным значениям «косвенных» величин. Обратные задачи часто являются некорретными. В развитие методов решения обратных и некорректных задач внесли значительный вклад Ж.Адамар,

A.Н. Тихонов, В.Я.Арсенин, А.Б. Бакушинский, А.В.Гончарский, В.В. Васин,

B.К.Иванов, В.П. Танана, М.М. Лаврентьев, В.А. Морозов, A.M. Денисов, А.И. Прилепко и другие. Анализ чувствительности играет важную роль при решении обратных задач, обеспечивая исследователя вспомогательной информацией о типе зависимости между входными и выходными параметрами модели, наиболее «значимых» параметрах и проч.

Методы анализа чувствительности берут свое начало в теории возмущений, сформулированной в работах А. Пуанкаре и A.M. Ляпунова. Свой вклад в развитие математической теории возмущений внесли Ф. Реллих, К.О. Фридрихе, Т. Като, H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский, А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, М.И. Вишик, Л.А. Люстерник, Б. Секефальви-Надь, Ж.-Л. Лионе, С.А. Ломов, H.H. Моисеев, В.П. Маслов, В.А. Треногин, М.Д. Ван Дейк и другие. Активный интерес к теории малых возмущений и сопряженным уравнениям связан с развитием теории ядерных реакторов. Исследования А. Вайнберга и Е. Вигнера так называемых простейших диффузионно-возрастных моделей переноса и замедления нейтронов были в дальнейшем обобщены в трудах Л.Н. Усачева, Г.И. Марчука, В.В. Орлова, А.И. Могильнера, В.Я. Пупко и др.

Работы Г.И. Марчука и его научной школы дали развитие теории сопряженных уравнений и алгоритмов возмущений по отношению к заданным функционалам, в результате чего были выработаны более или менее общие подходы к исследованию сложных систем и математических моделей. Эти подходы успешно применялись для решения различных прикладных задач, включая проблемы диффузии, модели охраны окружающей среды, теорию климата и его изменений, математические проблемы обработки информации со спутников, математические модели в иммунологии и др.

Методы возмущений легли в основу решения серии прикладных задач, связанных с анализом зависимостей между входными и выходными параметрами численных моделей - так называемого локального анализа чувствительности. В последние 30 лет методы локального анализа чувствительности активно применяются при решении прикладных задач в сфере экономики, оценке техногенного влияния на окружающую среду и других областях. Эти подходы находят применение в большей степени в зарубежных исследованиях и в меньшей степени - в отечественных.

Методы возмущений широко применяются для исследования и численного решения различных прикладных задач. Тем не менее, разработка и обоснование алгоритмов возмущений для нелинейных задач математической физики являются актуальной проблемой, еще открытой для большинства прикладных задач.

Альтернативным методом исследования чувствительности для нелинейных моделей является так называемый глобальный анализ, предложенный И.М. Соболем. Метод основан на представлении функции многих параметров (математической модели) в виде суммы функций меньшего числа переменных со специальными свойствами.

Проблема представления функций в виде комбинации функций меньшего числа переменных берет свое начало с одной из задач, сформулированных Гильбертом еще в 1900 г., исследованием которой в разные годы занимались А.Н. Колмогоров, В.И. Арнольд, А.Г. Витушкин, Г.М. Хенкин и другие.

Схожие задачи рассматривает В.М. Мордашев, чьи исследования в области аппроксимации функций многих переменных суммой функций меньшего числа переменных позволили решить широкий ряд прикладных задач, включая освоение многомерной информации при управлении и принятии решений в области ядерной энергетики и ее экономики.

Глобальный анализ чувствительности модели основывается на так называемом АЫОУА разложении функции, определенной и интегрируемой с квадратом в единичном п-мерном кубе:

берется от 0 до 1 по всем переменным. На основе такого разложения модельной функции /строятся глобальные индексы чувствительности Sa...¡к, называемые также индексами Соболя, которые характеризуют вклад дисперсии переменных Xu,...,Xjk в дисперсию функции f. Термин «дисперсия» происходит из вероятностного подхода к вычислению интегралов, входящих в индексы.

На практике для вычисления индексов чувствительности Соболя используется метод Монте-Карло, требующий значительного числа запусков модели для оценки каждого индекса. Таким образом, глобальный анализ чувствительности попадает в область статистических методов обработки данных. Это быстро развивающаяся в настоящее время область прикладной математики, в которой многими авторами уже создано большое количество подходов и методов. Среди таких авторов, например, A.B. Крянев, Г.В. Лукин, В.Я. Арсенин, В.Н. Вапник, Ф.П. Васильев, Н. Джонсон, Ф. Лион, Г. Крамер, М.М. Лаврентьев, Ш. Закс, Г.И. Марчук, Ю.Н. Тюрин, В.П. Шутяев и другие.

Для линейных моделей существует ряд простых статистических индексов, несущих ту же смысловую нагрузку, что и индексы Соболя.

где

f0 = dx, = О при 1 < q < s . При этом первый интеграл

о

Для практической реализации вычислений индексов Соболя в случаях, когда время каждого запуска велико, как в настоящей работе, модель можно заменить соответствующей ей поверхностью отклика - репрезентативной математической моделью изучаемого кода («метамоделью»), обладающей хорошими аппроксимационными свойствами и пренебрежимо малым временем единичного вычисления.

Вторая глава диссертации описывает практическое исследование по численному моделированию переноса радиоактивного загрязнения на площадке ВХРАО РНЦ «Курчатовский институт» (Москва) и применению методов анализа чувствительности к построенным моделям для оценки погрешности и сравнения моделей.

Аппарат анализа чувствительности, описанный в первой главе, был применен к двум численным моделям распространения радиоактивного загрязнения с площадки ВХРАО. Первая из моделей основана на программных кодах MODFLOW и MT3DMS (модель I), вторая - на программном пакете MARTHE (модель II). Наличие двух моделей объясняется необходимостью верификации результатов прогнозных расчетов. Одной из целей исследования было сравнение результатов анализа чувствительности двух различных моделей одной и той же площадки.

Площадка ВХРАО имеет площадь около 2 га и расположена около внешнего периметра Центра (Рис. 1) в непосредственной близости от жилых кварталов г. Москвы. На этой площадке находились 11 старых хранилищ радиоактивных отходов, сооруженных между 40-ми и 70-ми годами прошлого столетия. Обследование грунтов показало, что радиоактивное загрязнение присутствует не только на поверхности, но и имеет тенденцию к распространению в подземные воды и связано, главным образом, с радионуклидами Cs-137 и Sr-90. Численная модель переноса радиоактивного загрязнения с подземными водами для условий площадки ВХРАО была создана для выполнения прогнозных расчетов распространения загрязнения и

сопровождения реабилитационных работ.

Рис. 1. Площадка ВХРАО РНЦ «Курчатовский институт»

Численная модель на основе программного пакета MODFLOW (модель I) была создана группой специалистов ДАРМЮДГЕО и РНЦ «Курчатовский институт» под руководством A.B. Расторгуева и описывала распространение радионуклидов Sr-90 и Cs-137 в двух верхних водоносных горизонтах. Численная модель на основе MARTHE (модель II) была разработана автором. В сравнении с моделью I, модель II рассматривает меньшую область моделирования и меньший временной интервал и описывает перенос радионуклида Sr-90 только в верхнем водоносном горизонте.

Значения параметров моделей выбраны на основе анализа характеристик геологической среды, исходя из результатов лабораторных экспериментов и полевых измерений, а также в процессе калибровки.

На основе результатов численного моделирования было получено, что подземные воды с содержанием Sr-90, превышающем «уровень вмешательства», не покинут пределов площадки ВХРАО. Этот вывод важен с точки зрения планирования дальнейших работ по реабилитации площадки и оценки риска

распространения радиоактивного загрязнения на окружающие жилые кварталы.

Локальный анализ чувствительности численной модели I был проведен в несколько этапов. Сначала были определены поля чувствительности модельного прогноза к выбранным параметрам в выбранный момент времени. Затем входные параметры были отсортированы по степени влияния на прогнозные модельные концентрации и вычислены ковариационная матрица и корреляции параметров.

Для выбранного момента времени вычислялись поля чувствительности к 7-ми входным параметрам моделей, описывающих интенсивность источников загрязнения, длины стресс-периодов и коэффициент сорбционного распределения по 8г-90. При этом для каждого из анализируемых параметров модель запускалась по одному разу с измененным на 1% значением параметра.

В результате проведенного анализа было получено, что все параметры, кроме коэффициента сорбционного распределения по 8г-90, влияют на прогнозируемую концентрацию Бг-90 только положительным образом, т.е. увеличение значений параметров приводит к локальному росту значений концентраций.

Карта суммарной чувствительности ко всем семи анализируемым параметрам представлена на рис.2, на котором темному цвету соответствуют зоны с наибольшей суммарной чувствительностью. Расположение новых наблюдательных скважин в этих зонах наиболее информативно с точки зрения уточнения указанных параметров и соответствующей верификации модели.

На основе вычисленных карт чувствительности параметры были отсортированы по степени влияния на модельный прогноз. Наибольшие значения чувствительности прогнозируемых концентраций Бг-90 были выявлены к удельной активности утечек из одного из источников загрязнения (одного из старых хранилищ) и длительности периода его действия. На основе полученных данных для семи исследуемых параметров были рассчитаны корреляции между анализируемыми параметрами.

Рис. 2. Карта суммарной чувствительности модели I для площадки ВХРАО

Результаты проведенного анализа показали, что корреляция существует между парами параметров, отвечающих за интенсивность источника и длительность периода его действия, что вполне объясняется физикой процесса. Это означает, что при дальнейшей калибровке параметры из коррелирующих пар следует объединить в группы и проводить калибровку лишь по одному параметру из группы. Анализ не выявил никаких «нефизических» корреляций между параметрами модели.

Для глобального анализа чувствительности модели I было выбрано 17 входных параметров модели, описывающих коэффициент фильтрации различных зон и слоев модели, коэффициент сорбционного распределения по Бг-90 в разных слоях модели, интенсивность инфильтрационного питания различных зон площадки и интенсивность источников загрязнения. Указанный набор входных параметров для глобального анализа чувствительности был определен на основе общих соображений потенциального влияния на прогнозируемые

концентрации. Кроме того, представлялось целесообразным включить в анализ все входные параметры, рассмотренные на этапе локального анализа чувствительности, чтобы затем сравнить полученные результаты. В качестве выходных параметров анализа были взяты интегральные характеристики прогнозируемого моделью ореола загрязнения - площадь части ореола с концентрацией более 1 Бк/л для верхнего горизонта и более 0,01 Бк/л для нижнего горизонта. Такой выбор выходных параметров анализа объясняется относительной простотой вычисления этих характеристик, их наглядностью, а также тем, что эти характеристики описывают прогнозируемый ореол «в целом», в меньшей степени подвержены ошибкам моделирования, чем локальные характеристики (такие как, например, прогнозируемые значения концентраций в отдельных точках).

Каждый входной параметр был проанализирован с целью выбора интервала его возможного изменения и функции распределения вероятности на этом интервале. На основе выбранных интервалов и распределений вероятности методом Монте-Карло было сгенерировано 230 вариантов наборов значений входных параметров. Для автоматизации циклических вычислений была разработана специальная программа на языке С++, которая считывала на каждой итерации набор значений входных параметров, создавала соответствующие входные файлы для программных вычислительных модулей MODFLOW и MT3DMS, запускала расчет и на выходе сохраняла значения прогнозных концентраций и напоров на конец прогнозного периода. В общей сложности было выполнено 230 итераций, что заняло около 44 часов машинного времени на персональном компьютере с процессором Pentium 4.

Гистограммы полученных значений выходных параметров, определяющих площадь ореола в верхнем водоносном горизонте (SUMI) и площадь ореола загрязнения в нижнем водоносном горизонте (SUM2) приведены на рис. 3. Как видно из рисунка, выходные параметры имеют распределение, близкое к экспоненциальному. Значения SUMI и SUM2, соответствующие начальным

наборам входных параметров, лежат в «хвосте» соответствующих распределений, то есть им соответствуют относительно небольшие вероятности. Такой результат позволяет сделать вывод о том, что ореол распространения загрязнения в среднем может быть меньше, чем прогнозируемый моделью изначально.

Значение коэффициента корреляции, вычисленное для полученных выходных параметров SUMI и SUM2, составило 0,247, что позволило сделать вывод о низкой корреляции между этими параметрами.

Чтобы проверить, являются ли полученные выборки из 230 значений выходных параметров статистически репрезентативными, был проведен анализ графиков сходимости эмпирических среднего и стандартного отклонения и их доверительных интервалов. Результаты анализа подтвердили, что для обоих выходных параметров количество значений достаточно репрезентативно.

Значение SUM1

Значение SUM2

Рис. 3. Гистограммы значений выходных параметров SUMI и SUM2 (крестом отмечено значение, соответствующее начальному набору значений параметров)

Для полученных выборок значений входных и выходных параметров были вычислены индексы чувствительности. Было получено, что параметрами, дающими наибольший вклад в погрешность при моделировании SUMI, являются коэффициенты фильтрации и сорбционного распределения 3-го слоя модели, а также интенсивность инфильтрационного питания в зоне сильных утечек из трубопровода и коэффициенты фильтрации 2-го и 4-го слоев модели. Для

погрешности в значении SUM2 наиболее влиятельными параметрами являются коэффициент сорбционного распределения по Sr-90, заданный в 4-ом, 5-ом и 6-ом слоях модели, а также коэффициент фильтрации 4-го и 5-го слоев модели.

Таким образом, в результате проведенного анализа был сделан вывод, что при дальнейшей калибровке параметров численной модели I следует в первую очередь сосредоточить внимание на уточнении параметров коэффициента сорбционного распределения по Sr-90, коэффициента фильтрации и интенсивности инфильтрационного питания в зонах его повышенных значений. Это позволит более эффективно провести калибровку модели и в итоге значительно уточнить прогнозные значения площади распространения ореола загрязнения.

Результаты глобального анализа чувствительности, проведенного для модели II, подтвердили выводы, полученные для модели I.

Третья глава диссертации посвящена другому практическому исследованию - анализу чувствительности геофильтрационной модели работы системы инженерной защиты от подтопления г. Казани и, на основе результатов анализа, разработке рекомендаций по калибровке модели.

С целью корректировки регламента работы системы инженерной защиты г. Казани на базе программного пакета MODFLOW были разработаны две отдельных численных модели фильтрации подземных вод - для Центральной и Заречной частей города. Эти численные модели позволяли оценить состояние существующих дренажей и рассчитать притоки к ним и определить влияние мероприятий по улучшению дренирования на уровенный режим подземных вод.

Для калибровки входных параметров численной модели фильтрации в Заречной части города был проведен анализ чувствительности модельных прогнозов к параметрам, характеризующим коэффициент фильтрации разных зон модельной области, гравитационную и упругую водоотдачу водовмещающих отложений, инфильтрационное питание, проводимость ложа дрен и проводимость границ III рода модельной области. Значения этих параметров

были выбраны на основе анализа данных предыдущих исследований, а также уточнены в процессе решения обратных задач геофильтрации.

Анализ чувствительности численной модели геофильтрации в районе Заречной части города был проведен в несколько этапов. Этапы отличались набором рассматриваемых входных параметров и интервалов их возможного изменения. На каждом этапе для выбранных входных параметров и данных об интервалов их возможного изменения по методике Латинских Гиперкубов генерировалась выборка из 400 наборов значений. Для каждого из 400 наборов значений запускалась геофильтрационная модель (на основе пакета МСЮБЬСЖ), сохранялись значения напоров в наблюдательных скважинах для каждого стресс-периода модели и значения дренажного годового суммарного стока. На основе выборок значений входных и выходных параметров вычислялись индексы чувствительности, на основе выборки значений выходных параметров строились графики минимаксных интервалов возможных значений напоров в скважинах (например, Рис. 4).

а Е

2 »

§

?

V ♦ ♦ 1

Время, сут.

"1-'-1---Г

Время, сут,

Рис. 4. Примеры наблюдательных (точки) и модельных (минимум, максимум по всем итерациям анализа, между ними - кривая, соответствующая выбранному в результате калибровки набору значений параметров) кривых напора в наблюдательных скважинах

На основе построенных графиков были внесены рекомендации по дальнейшей верификации модели - указан наиболее приемлемый тип задания коэффициентов вертикальной и горизонтальной фильтрации в модели, значительно сокращены интервалы возможного изменения значений всех рассмотренных параметров модели.

Выводы

Задачи настоящей работы включали изучение теоретических исследований, выбор наиболее эффективных методик анализа чувствительности и погрешности для численных моделей фильтрации и массопереноса в подземной гидросфере, разработку и проведение численных экспериментов, а также разработку на основе результатов вычислений рекомендаций по калибровке входных параметров численных моделей для условий двух реальных площадок.

В результате теоретических изысканий были разработаны методики глобального и локального анализа чувствительности численных моделей, целями которых является выявление наиболее и наименее влиятельных параметров модели, оценка погрешности численной модели и оптимизация процесса калибровки ее параметров. На основе разработанных методик был составлен алгоритм проведения анализа чувствительности для численных моделей фильтрации и массопереноса в подземной гидросфере, включающий локальный анализ чувствительности, статистический анализ модели и расчет различных индексов чувствительности.

На основе разработанного алгоритма были проанализированы две альтернативные численные модели переноса радиоактивного загрязнения с площадки ВХРАО РНЦ «Курчатовский институт» (Москва), разработанные на основе программных пакетов MARTHE и MODFLOW, соответственно (одна из моделей построена автором).

Статистический анализ чувствительности, проведенный для модели миграции на площадке ВХРАО, позволил рассчитать значения линейных индексов чувствительности, которые дают представление о параметрах модели, в

наибольшей степени влияющих на прогнозируемую моделью площадь распространения на этой площадке ореола загрязнения. Для ореола верхнего водоносного горизонта были выделены коэффициент сорбционного распределения по 8г-90, коэффициент фильтрации отдельных слоев модели и интенсивность инфильтрационного питания в зонах сильных утечек из трубопровода, для ореола нижнего водоносного горизонта - коэффициент сорбционного распределения по Бг-90 и коэффициент фильтрации отдельных слоев модели. Отмечено, что значения интенсивностей источников загрязнения практически не влияют на точность при определении площади распространения ореола.

Полученные результаты согласуются с результатами глобального анализа чувствительности, проведенного для альтернативной численной модели переноса загрязнения на площадке ВХРАО, а также с выводами из локального анализа чувствительности модели. Проведенный анализ показал, что при дальнейшей калибровке численной модели распространения радиоактивного загрязнения в районе площадке ВХРАО следует в первую очередь сосредоточить внимание на уточнении параметров коэффициента сорбционного распределения по 8г-90, коэффициента фильтрации и интенсивности инфильтрационного питания в зонах его повышенных значений.

Численная модель переноса радиоактивного загрязнения на площадке ВХРАО обладала значительным временем вычислений (порядка 20 минут), статистические вычисления с использованием модели заняли бы нерационально большое время (порядка 7 лет). Задача глобального анализа чувствительности этой модели была решена путем применения в вычислениях поверхности отклика. В таком случае длительность вычислений составила несколько суток.

Построена карта суммарной чувствительности модельного прогноза к основным параметрам модели площадки ВХРАО, которая будет использована при планировании эффективной наблюдательной сети. Новые наблюдательные скважины следует располагать в местах относительно высокой чувствительности

наблюдений к перечисленным параметрам.

С учетом методики распространения погрешности была оценена погрешность оценки площади ореола загрязнения, прогнозируемого построенной численной моделью на 2010 год. С учетом полученного распределения вероятности на указанных интервалах был сделан вывод, что прогноз распространения загрязнения, сделанный ранее, является «пессимистичным». То есть при заданной погрешности в значениях входных параметров более вероятно, что площадь распространения ореола загрязнения будет меньше прогнозируемой ранее как для верхнего, так и для нижнего водоносного горизонта.

Методика анализа чувствительности и распространения погрешности была применена автором для анализа геофильтрационной модели Заречной части г. Казани, созданной для корректировки системы инженерной защиты города от подтопления. Анализ чувствительности численной модели позволил выявить наиболее влиятельные параметры модели, калибровка по которым наиболее эффективна, выявить наименее влиятельные параметры модели, значения которых не влияют на точность модели и которые можно, соответственно, исключить из рассмотрения при калибровке модели, а также значительно сузить интервалы возможных значений входных параметров и улучшить, таким образом, точность модельных вычислений. Эти результаты были использованы при дальнейшей верификации численной модели.

Литература по теме диссертации

1. Volkov V.G., Tsurikov D.F., Zverkov Yu.A., Rastorguev I.A., Volkova E.V., Rastorguev A.V., Buharin K.L. "Development of models of radionuclide migration from the RRC "Kurchatov Institute" waste disposal site," Proceedings of the International conference on Finite Element Models, MODFLOW, and More: Solving Groundwater Problems, pp. 95-98, Karlovy Vary, Czech Republic, September 13-16,2004

2. Волкова E.B. «Статистический анализ поля коэффициента фильтрации»,

Сборник тезисов докладов к научно-практической конференции, посвященной 70-летию ФГУП «НИИ ВОДГЕО» «Водоснабжение, водоотведение, гидротехника, инженерная гидроэкология», с. 144-145, Москва, 2004

3. Волкова Е.В. «О глобальном анализе чувствительности для численной модели распространения радионуклидного загрязнения с подземными водами для площадки ВХРАО РНЦ «Курчатовский институт», Сборник трудов «Проблемы Инженерной Геоэкологии», стр. 51-62, Изд-во ЗАО «ДАР\ВОДГЕО», 2005

4. Волкова Е.В. «О статистическом анализе модели переноса радиоактивного загрязнения для площадки ВХРАО РНЦ «Курчатовский институт», Москва», - В сб.: Труды XI Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования", Абрау-Дюрсо, 2005, с. 87 - 96.

5. Volkova Е., Van Dorpe F., Iooss В. «Application de l'analyse de sensibilité globale à un modèle hydrogéologique (site de stockage de déchets radioactifs)», Séminaire CETAMA «Echantillonnage et Caractérisation «Du Prélèvement à l'Analyse», Montpellier, France, October 10-12, 2005

6. Волков В.Г., Волкова E.B., Расторгуев И.А., Зверков Ю.А., Расторгуев A.B. «Разработка численной модели распространения подземными водами радиоактивного загрязнения с площадки ВХРАО РНЦ «Курчатовский институт», идентификация параметров и анализ модели», Международная конференция «Моделирование процессов переноса радионуклидов в окружающей среде и вопросы разработки баз метаданных по радиационным объектам Советского ядерного комплекса (РАДЛЕГ-РАДИНФО-2005)», 31 октября -2 ноября, Москва, 2005

7. Царев А.Г., Волкова Е.В. «Локальный анализ чувствительности для модели распространения радиоактивного загрязнения площадки ВХРАО РНЦ «Курчатовский институт», 3-я Молодежная Курчатовская Школа,

14-16 ноября, Москва, 2005

8. Волкова Е.В. «Об анализе чувствительности модели переноса загрязнения подземными водами для площадки ВХРАО РНЦ «Курчатовский институт», 2-я Всероссийская Конференция «Современные проблемы изучения и использования питьевых подземных вод (памяти JI.C. Язвина)», 7-10 февраля, Звенигород, 2006

9. Volkova, Е., В. Iooss, F. Van Dorpe, "Global sensitivity analysis for a numerical model of radionuclide migration from the RRC "Kurchatov Institute" radwaste disposal site", Stochastic Environmental Research and Risk Assessment, vol. 22, N. 1, pp. 17-31, 2008

10. Волков В.Г., Волкова E.B., Расторгуев И.А., Зверков Ю.А., Расторгуев А.В. «Моделирование переноса радиоактивного загрязнения подземными водами при реабилитации площадки старых хранилищ РНЦ «Курчатовский институт», Атомная Энергия, т. 104, вып. 2, стр. 115-118, 2008

11. Marrel, А., В. Iooss, F. Van Dorpe, Е. Volkova, "An efficient methodology for modeling complex computer codes with Gaussian processes", Computational Statistics and Data Analysis, vol. 52, N.10, pp. 4731-4744,2008

12. Волкова E.B., Расторгуев И.А., Расторгуев A.B., Копылов А.С., Куранов П.Н. «Численное моделирование для обоснования регламента работы объектов инженерной защиты г. Казани», Сборник трудов НИИ ВОДГЕО, Изд-во ЗАО «ДАР\ВОДГЕО», 2009, в печати

13. Волкова Е.В. «Анализ чувствительности численной модели переноса радиоактивного загрязнения подземными водами для площадки старых хранилищ РНЦ «Курчатовский институт», принято к публикации в журнале Атомная Энергия, 2009

Автор диссертации выражает благодарность своему научному руководителю, д.ф.-м.н. профессору Лебедеву В.И. за руководство написанием диссертации. Автор глубоко признателен к.т.н. Расторгуеву A.B. за помощь в постановке задач и постоянное внимание к работе. Автор благодарит коллективы НИИ ВОДГЕО, Института проблем безопасного использования ядерной энергии и Научно-технического комплекса «Реабилитация» РНЦ «Курчатовский институт» за оказанную помощь и полезные советы.

Подписано в печать 27.02.2009. Формат 60x90/16 Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,5 Тираж 70. Заказ 12

Отпечатано в РНЦ «Курчатовский институт» 123182, Москва, пл. Академика Курчатова, д. 1

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ЧИСЛЕННЫХ МОДЕЛЕЙ ФИЛЬТРАЦИИ И МАССОПЕРЕНОСА В ПОДЗЕМНОЙ ГИДРОСФЕРЕ.

1.1 Теоретические основы фильтрации и массопереноса в пористых средах.

1.2 Численные'методы решения задач фильтрации и переноса.

1.3 Цели анализа чувствительности.

1.4 Локальный анализ чувствительности.

1.5 Глобальный анализ чувствительное™.,.—.

1.6 Распространение погрешности.

1.7 Статистические показатели чувствительности.

1.8 Поверхности отклика и метод boosting.

1.9 Калибровка численных моделей.

ГЛАВА 2. АНАЛИЗ ДАННЫХ ПЛОЩАДКИ ВХРАО НА ТЕРРИТОРИИ РНЦ «КУРЧАТОВСКИЙ ИНСТИТУТ».

2.1 Описание площадки.

2.1.1 Геологическое и гидрогеологическое описание площадки.

2.1.2 История загрязнения площадки.

2.2Моделирование и анализ параметров модели.

2.2.1 Построение численной модели II.

2.2.2 Построение численной модели I.

2.3 Локальный анализ чувствительности.

2.3.1 Расчет чувствительностей для итерации 1.

2.3.2 Расчет чувствительностей для итерации 2.

2.3.3 Рекомендации по оптимизации сети наблюдательных скважин.

2.3.4 Выводы из локального анализа чувствительности модели 1.

2.4Глобальный анализ чувствительности модели II.

2.4.1 Выбор параметров для анализа чувствительности.

2.4.2 Вероятностное моделирование значений входных параметров.

2.4.3 Распространение погрешности.

2.4.4 Линейный и монотонный анализ чувствительности.

2.4.5 Построение поверхностей отклика и вычисление индексов Соболя.

2.4.6 Замечания.

2.5 Глобальный анализ чувствительности модели 1.

2.5.1 Входные параметры.

2.5.2 Вероятностное моделирование значений входных параметров.

2.5.3 Распространение погрешности.

2.5.4 Корреляционный анализ.

2.6 Выводы.

ГЛАВА 3. АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЧИСЛЕННОЙ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ ПОДЗЕМНЫХ ВОД НА ТЕРРИТОРИИ Г. КАЗАНИ.

3.1 Описание площадки и численных моделей фильтрации.

3.2 Анализ чувствительности модели.

3.2 Анализ чувствительности модели.

3.3 Результаты.

Актуальность работы

Анализ чувствительности численных моделей получил в последние годы большое распространение, что связано с развитием вычислительной техники и компьютерного моделирования.

С развитием современной науки математические модели, используемые для решения прикладных задач в самых разных сферах научной деятельности, становятся все более сложными. Большая часть моделей настолько сложна и требует таких серьезных трудовых и временных затрат, что оценить тип зависимости между входными и выходными параметрами прямыми, методами не представляется возможным. Тем не менее, такая оценка очень важна для понимания модели, степени ее соответствия моделируемым процессам и т.п., что необходимо для корректного моделирования.

Кроме того, математическая модель всегда характеризуется неким набором параметров, которые могут измеряться с опрсдслсшюй погрешностью, связанной с неточностью измерений, отсутствием или невозможностью замеров, неполным пониманием исследуемых механизмов и многим другим. Все это ведет к наличию погрешности в решении задач, которые ставятся перед моделью. Таким образом, оценка погрешности модели должна являться неотъемлемой частью процесса математического моделирования.

Практика «статистического анализа компьютерных экспериментов» применительно к численным моделям физических явлений активно развивается с 80-х годов ХХ-го века. Среди современных обзоров можно выделить работы Ш. Закс [100], Дж. Клайджнен [80], А. Салыелли [101,102], С. Тарашола [Ю6] и др. В последнее время нроводиюя большое количество исследований, посвященных анализу чувствительности численных моделей процессов в окружающей среде - в частности, моделей переноса загрязнения в подземных водах и радиоактивных загрязнений. Среди авторов можно выделить Дж. Хелтона [66, 67], Ф. Камполонго [61], Р. Мадцалены [84], X. Ма [83], Б. Иоосса [75] и других.

Методики анализа чувствительности численных моделей к входным параметрам являются эффективным инструментом для характеристики погрешности модели. Если анализ погрешности позволяет указать численную оценку погрешности модели, то анализ чувС1ьи!ельн0С1и дае! массу дииолншельной информации о модели, коiорал може! использоваться для ее эффективной калибровки. Анализ чувствительности особенно важен при анализе моделей с большим количеством параметров. Ведущие российские и зарубежные организации, занимающиеся исследованиями по оценке воздействия, такие как

Европейская Комиссия по Окружающей Среде, Геологическая служба США (USGS), Агентство по окружающей среде США (ЕРА) и др., включают этап анализа чувсти1ельнос1и в свои рекомендации при проведении численною моделирования.

Многие страны сегодня столкнулись с проблемой радиоактивного загрязнения подземных вод, образованного в результате использования или захоронения радиоактивных материалов и отходов. Численное моделирование миграции радиоактивного загрязнения является эффективным инструментом прогнозирования распространения этого загрязнения и оценки опасности для окружающей среды. Как правило, модели переноса загрязнений в подземной гидросфере имеют сложный характер и описываются большим количеством параметров, которые часто определяются со значительной погрешностью.

Несмотря на большое количество исследований в этой области в последние годы, исследования таких моделей оставались в значительной степени теоретическими. С началом проведения в России работ по реабилитации радиоактивно загрязненных территорий стал возможным анализ численных моделей миграции для условий реальных площадок.

В настоящей работе методики анализа чувствительности были применены для исследования погрешности численных геофильтрационных моделей миграции загрязнения в условиях реальных площадок реабилитации.

Цели и задачи работы

Настоящая работа представляет собой исследование по разработке и анализу чувствительности численной модели переноса радиоактивного загрязнения в районе площадки временных хранилищ радиоактивных отходов (площадка ВХРАО) РНЦ «Курчатовский институт», анализу чувствительности геофильтрационной модели работы системы инженерной защиты от подтопления г. Казани и внесению рекомендаций по их калибровке и верификации. В работе были поставлены и решены следующие задачи: (1) изучение теоретической базы статистического анализа и выбор наиболее эффективных методик анализа численных моделей фильтрации и массопереноса в подземной гидросфере, (2) разработка численной модели миграции радиоактивного загрязнения для условий площадки ВХРАО и геофильтрациооной модели работы системы инженерной защиты от подтопления г. Казани; (3) применение выбранных методик анализа чувствительности и погрешности для указанных численных моделей.

Первая численная модель была создана с целью оценки и прогнозирования распространения радиоактивного загрязнения в подземных водах с площадки ВХРАО на территории РНЦ «Курчатовский институт». Эта модель была реализована в двух вариантах, отличающихся подробностью дискретизации и программной реализацией. Анализ чувствительности этих вариантов численных моделей включал:

- выявление наиболее и наименее влиятельных параметров моделей. Такая информация позволяет повысить эффективность дальнейшей калибровки параметров модели, она включает выявление тех параметров, которые нужно уточнить, тех параметров, которые ■можно исключить из дальнейшей калибровки; - построение карт чувствительности прогноза к входным параметрам с целью указания участков исследуемой плошадки для создания новых наблюдательных скважин; оценка «адекватности» модели - проверка соответствия типов соотношений между входными и выходными параметрами модели моделируемым процессам;

- сравнение двух вариантов модели переноса радиоактивного загрязнения;

- оценка погрешности площади прогнозируемого ореола распространения радиоактивного загрязнения как в верхнем, так и в нижнем водоносных горизонтах, имеющих распространение на территории площадки ВХРАО.

Вторая численная модель была разработана с целью корректировки регламента работы системы инженерной защиты от подтопления Заречной части г. Казани. Анализ чувствительности геофильтрационной модели включал разработку рекомендаций по эффективной калибровке этой модели, а именно - определение параметров калибровки и сужение интервалов их возможного изменения для эффективного решения обратной задачи.

Результаты, выносимые на защиту

1. Разработка методики анализа чувствительности численной модели переноса радиоактивного загрязнения для условий площадки ВХРАО РНЦ «Курчатовский институт», результаты анализа чувствительности модели и полученные рекомендации по эффективной калибровке ее входных параметров, а также рекомендации по оптимизации сети наблюдательных скважин.

2. Разработка методики анализа чувствительности численной геофильтрационной модели работы системы инженерной защиты от подтопления г. Казани, результаты анализа чувствительности модели и полученные рекомендации по эффективной калибровке входных параметров модели.

Научная новизна работы заключается в применении методов статистического анализа к прогнозной модели переноса радиоактивного загрязнения с реальной площадки захоронения отходов и к геофильтрационной модели работы системы инженерной защиты от подтопления г. Казани, что привело к лучшему понимаю моделируемых процессов и механизмов и уточнению результатов моделирования.

Для численной модели радиоактивного переноса применительно площадки ВХРАО задача анализа чувствительности модели решена путем построения «поверхности отклика», т е репрезентативной математической модели изучаемого кода («метамодели»), заменяющей исходную модель в статистических расчетах с малым временем вычислений и сохраняющей статистические свойства начальной модели. Построение поверхности отклика является отдельной задачей в каждом индивидуальном случае применения статистических методов анализа к моделям с большим временем вычислений.

Достоверность

Представленные в диссертации результаты обоснованы адекватностью применяемых методик, большим объемом расчетных исследований, которые согласуются с практикой геофильтрационного и геомиграционного моделирования, а также большим объемом данных полевых измерений, выполненных непосредственно на исследуемых площадках

Практическая значимость

Разработанные методики анализа чувствительности моделей фильтрации и конвективно-дисперсионного переноса в подземной гидросфере были применены для калибровки входных параметров и верификации следующих моделей:

- численной модели переноса радиоактивного загрязнения, разработанной при реабилитации площадки ВХРАО на территории РНЦ «Курчатовский институт» и ликвидации на ней старых хранилищ радиоактивных отходов;

- численной гео фильтрационной модели системы инженерной защиты от подтопления г. Казани, разработанной для обоснования режима работы и оптимизации дренажа;

- численной модели миграции загрязнения тяжелыми металлами и биоочистки, разработанной для площадки Hanford 100Н (штат Вашингтон, США).

Разработанные методики анализа чувствительности и погрешности в дальнейшем могут быть использованы для анализа других численных моделей радиоактивного загрязнения в подземных водах, также как и для анализа других численных моделей. Полученные рекомендации могут быть учтены при калибровке параметров и верификации численных моделей переноса и создании эффективных сетей наблюдательных скважин на площадках с радиоактивным загрязнением.

Апробация работы

Разработанные методики анализа чувствительности и погрешности численных моделей были апробированы при проведении реабилитационных работ на:

- площадке ВХРАО на территории РНЦ «Курчатовский институт»;

- территории действия системы инженерной защиты г. Казани от подтопления;

- площадке Hanford 100Н (штат Вашингтон, США).

Основные результаты работы докладывались на международной конференции «FEM-MODFLOW» (Чехия, г. Карловы Вары, 2004). семинаре СЕТАМА «Отбор проб и характеризация «От отбора проб до анализа» (Франция, г. Монпелье, 2005),' XI всероссийской школе-семинаре «Современные проблемы математического моделирования» (г. Новороссийск, 2005), Третьей Курчатовской молодежной школе (Москва, РНЦ «Курчатовский институт», 2005), международной конференции «Моделирование процессов миграции радионуклидов в окружающей среде и вопросы развития метабаз данных для объектов Советского ядерного комплекса (РАДЛЕГ-РАДИНФО-2005)» (Москва, 2005), Второй всероссийской конференции «Современные проблемы изучения и использования питьевых подземных вод» (г. Звенигород, 2006).

Личный вклад автора

Автор участвовал в постановке и решении основных задач диссертации. С участием автора были разработаны численные модели переноса радиоактивного загрязнения в районе площадки ВХРАО РНЦ «Курчатовский институт» на основе программных модулей MODLOW и MT3DMS и численная геофильтрационная модель работы системы инженерной защиты от подтопления г. Казани. Личный вклад автора состоит в изучении и практическом использовании современных методов анализа чувствительности численных моделей, решении ряда задач по статистическому моделированию и анализу данных, разработке численной модели переноса радиоактивного загрязнения в районе площадки ВХРАО на основе программного пакета MARTHE и предложению нового подхода к анализу и верификации численных моделей фильтрации и массопереноса.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ, в том числе 8 - в соавторстве. Из них: 3 - в материалах и сборниках трудов международных конференций, 4 - в виде тезисов докладов на Всероссийских конференциях, 2 - в реферируемых журналах, 2 - в иностранных журналах и 2 - в трудах научно-исследовательских институтов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 145 страниц, в том числе 38 рисунков и 34 таблицы. Список литературы включает 109 наименований.

2.6 Выводы

Статистический анализ чувствительности, проведенный для модели I площадки ВХРАО (раздел 2.5), позволил рассчитать значения линейных индексов чувствительности, которые дают представление о параметрах, в наибольшей степени влияющих на площадь распространения на этой площадке ореола загрязнения. Для ореола верхнего водоносного горизонта были выделены коэффициент распределения и коэффициент фильтрации отдельных слоев модели и интенсивность инфильтрационного питания в зонах сильных утечек из трубопровода, для ореола нижнего водоносного горизонта - это коэффициент распределения и коэффициент фильтрации отдельных слоев модели. Следует отметить, что значения интенсивностей источников загрязнения практически не влияют на точность при определении площади распространения ореола.

Полученные результаты согласуются с результатами глобального анализа чувствительности, проведенного для численной модели II переноса загрязнения на площадке ВХРАО (раздел 2.4), где рассматривались выходные параметры локального типа, но в качестве наиболее влиятельных параметров были также выделены коэффициент распределения, коэффициент фильтрации и инфильтрационное питание в зонах его повышенной интенсивности.

Полученные результаты также согласуются и с выводами из локального анализа чувствительности модели (раздел 2.3), который показал, что для прогнозных значений концентрации на 2010 год значения коэффициента распределения являются более влиятельными, чем интенсивности источников загрязнения, заданные в модели. Несмотря на то, что локальный и глобальный анализы описывают прогноз с разных точек зрения, коэффициент распределения выявлен как наиболее влиятельный во всех случаях.

Таким образом, результаты анализа подтвердили, что при дальнейшей калибровке модели I следует в первую очередь сосредоточить внимание на уточнении параметров коэффициента распределения, коэффициента фильтрации и интенсивности инфильтрационного питания в зонах его повышенных значений. Это позволит эффективно проводить калибровку модели и в результате значительно уточнить прогнозные значения площади распространения ореола загрязнения. Также, при планировании эффективной наблюдательной сети следует принимать во внимание карты чувствительности прогноза к перечисленным параметрам и располагать наблюдательные скважины в местах относительно высокой чувствительности наблюдений к этим параметрам.

Кроме того, методика распространения погрешности позволила оценить погрешность оценки площади ореола загрязнения, прогнозируемого моделью I на 2010 год. Для ореола верхнего водоносного горизонта это интервал от 648 м2 до 15416 м2, притом что значение, рассчитываемое моделью при начальных значениях параметров составляет 9932 м2 (под площадью ореола в данном случае подразумевается площадь, ограниченная изолинией 1 Бк/л). Для ореола нижнего водоносного горизонта погрешность составила интервал от 0 до 10960 м2 при значении, рассчитываемом моделью при начальных значениях параметров, 10000 м2. С учетом полученного распределения вероятности на указанных интервалах (см. рис. 2.32) можно сказать, что прогноз распространения загрязнения, сделанный ранее [Расторгуев, 2004], т.е. прогноз для начальных значений входных параметров, является довольно «пессимистичным». То есть при заданной погрешности в значениях входных параметров более вероятно, что площадь распространения ореола загрязнения будет меньше прогнозируемой ранее как для верхнего, так и для нижнего водоносного горизонта.

Глава 3

АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЧИСЛЕННОЙ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ ПОДЗЕМНЫХ ВОД НА ТЕРРИТОРИИ Г.

КАЗАНИ

3.1 Описание площадки и численных моделей фильтрации

Город Казань расположен в среднем течении р. Волга на левом берегу Куйбышевского водохранилища. Рекой Казанкой (левым притоком р. Волга) разделяется на две части: Заречную и Центральную. В городе действует система инженерной защиты от подтопления, составленная специальными дренажными каналами и рядом естественных открытых водоемов. Семь насосных станций перекачивают воду из дрен в водохранилище. Целью проведенного анализа была корректировка режима работы системы инженерной защиты с точки зрения минимизации расходов на ее эксплуатацию при обеспечении защиты городских территорий от подтопления [40].

Подземные воды в районе г. Казани приурочены ко всем геологическим комплексам пород. Отсутствие выдержанных водоупоров обуславливает гидравлическую связь как между отдельными водоносными горизонтами, так и водоносных горизонтов с Куйбышевским водохранилищем и другими поверхностными водоемами.

Согласно географическому положеншо города, разделенному водохранилищем на две части, работа сооружений инженерной защиты оценивалась отдельно для Центральной и Заречной частей г. Казани. При этом границы областей, в пределах которых проводились расчеты, определялись расположением сооружений инженерной защиты, наблюдательных скважин и конфигурацией береговой линии Куйбышевского водохранилища.

На основе программного кода MODFLOW было создано две отдельных численных модели фильтрации подземных вод в районе Центральной и Заречной частей города, соответственно. Численные модели позволяют оценить состояние существующих дренажей и определить притоки к ним и определить влияние мероприятий по улучшению дренирования на уровенный режим подземных вод.

Предшествующая прогнозам калибровка модели Заречной части проводилась в два этапа: сначала была произведена первичная оценка граничных условий и параметров пластов на стационарной модели, а потом, на основе полученных данных, была создана нестационарная модель. Последняя позволила более точно определить указанные пункты схематизации. Стационарная модель отвечала марту 1995 года, а нестационарная — периоду с марта 1995 по март 2005 гг. Уровни воды в водоносных горизонтах, полученные в результате решения стационарной модели, использовались в качестве начальных при нестационарном моделировании.

Область моделирования для Заречной части представлена на рисунке 3.1. Плановая дискретизация области была следующей: 100 ячеек по обеим осям X и Y. В разрезе водоносная толща реализована 4 слоями, которые сверху вниз соответствуют: (1) современным техногенным отложениям, торфам и заторфованным суглинкам; (2) четвертичным песчаным и суглинистым отложениям; (3) неогеновым песчаным, суглинистым и глинистым отложениям; (4) пермским известнякам, доломитам и продуктам их разрушения (щебень, дресва).

В качестве внешних граничных условий модели выступали:

1. Граница I-рода, располагающаяся на юго-западе моделируемой области.

2. Граница Ill-рода на северо-востоке моделируемой области. Граница проведена по урезу Куйбышевского водохранилища и реки Казанки.

3. На верхней границе было задано инфильтрационное питание, интенсивность которого была уточнена при калибровке модели. В пределах исследуемой области были выделены два участка, характеризующиеся различными значениями инфильтрационного питания.

К параметрам модели относятся коэффициенты фильтрации, гравитационной и упругой водоотдачи водовмещающих отложений, инфильтрационное питание, проводимость ложа дрен, проводимость границ III рода. Значения этих параметров были выбраны на основе анализа данных предыдущих исследований, а также уточнены в процессе решения обратных задач геофильтрации.

Отметим, что анализ чувствительности проводился лишь для численной модели Заречной части г. Казани. etxxH

500Ы

4030 зоосн

700Ы

1000

-6000 -5000 -4000 ^000

-2000 -1000

1000

2000

3000

Рис. 3.1. Область моделирования Заречной части ы о

3.2 Анализ чувствительности модели

Анализ чувствительности геофильтрационной модели Заречной части проводился с целью верификации модели, а именно - для уточнения значений ряда выбранных параметров, обеспечивающих наилучшее соответствие расчетных и наблюдательных данных. Таким образом, с точки зрения анализа чувствительности, входными данными численной модели молено считать значения 15ти выбранных параметров (см. Таб. 3.1), а выходными параметрами - значения напоров (для каждого временного шага модели) в 12 наблюдательных скважинах: 14, 17а, 19, 20, 21, 24, 24а, 29, 30, 30а, 34, 34а, а также значения годовых суммарных стоков в дрену 1 и дрену 2.

Выбор параметров производился специалистом-гидрогеологом, занимавшимся разработкой модели. С его точки зрения остальные параметры модели известны с достаточной точностью. Им же предоставлен начальный набор («модельное значение» в Таб. 3.1) значений всех анализируемых параметров, а также интервалы их возможного изменения. Анализ чувствительности был проведен в несколько этапов:

1) для модели, в которой параметры менялись согласно таблице 3.1 и вертикальные коэффициенты фильтрации задавались равными горизонтальным;

2) для модели, в которой параметры менялись согласно таблице 3.1 и вертикальные коэффициенты фильтрации не менялись, а были зафиксированы в значениях, соответствующих начальной версии модели: vkfl = 0.1 м/сут, vk£2 = 0.1 м/сут, vkG = 0.1 м/сут, vkf4 - 5 м/сут;

3) для модели, в которой вертикальные коэффициенты фильтрации менялись независимо от горизонтальных (таблица 3.2);

4) для сокращенного числа входных параметров, согласно таблице 3.3.

Первые три этапа анализа проведены для сравнения трех вариантов модели с различным способом задания вертикального коэффициента фильтрации. Четвертый этап проведен по результатам первых трех этапов для сокращенного числа входных параметров, выявленных как наиболее значимые.

На каждом этапе алгоритм анализа был следующий:

- для выбранных входных параметров и данных интервалов их возможного изменения по методике LHS генерировалась выборка из 400 наборов значений;

- для каждого из 400 наборов значений запускалась геофильтрационная модель, сохранялись значения напоров в наблюдательных скважинах для каждого стресс-периода и значения дренажного годового суммарного стока для 1995-2005 гг.;

- на основе выборок значений входных и выходных параметров вычислялись индексы чувствительности;

- на основе выборки значений выходных параметров строились графики минимаксных интервалов (например, Рис. 3.3).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрены теоретические основы и два примера практического применения анализа чувствительности численных моделей подземной гидросферы.

В работе собран теоретический материал по статистическому (глобальному) и локальному анализу численных моделей с целью выявления наиболее и наименее влиятельных параметров модели, оценки погрешности и оптимизации процесса калибровки.

Получены следующие новые результаты.

Построены и проанализированы две альтернативные численные модели переноса радиоактивного загрязнения с площадки ВХРАО РНЦ «Курчатовский Институт» (Москва), разработанные на основе программных пакетов MARTHE и Processing MODFLOW, соответственно.

Статистический анализ чувствительности, проведенный для модели РМ площадки ВХРАО (раздел 2.5), позволил рассчитать значения линейных индексов чувствительности, которые дают представление о параметрах модели, в наибольшей степени влияющих на площадь распространения на этой площадке ореола загрязнения. Для ореола верхнего водоносного горизонта были выделены коэффициент распределения и коэффициент фильтрации отдельных слоев модели, интенсивность инфильтрационного питания в зонах сильных утечек из трубопровода. Для ореола нижнего водоносного горизонта - это коэффициент распределения и коэффициент фильтрации отдельных слоев модели. Отмечено, что значения интенсивностей источников загрязнения практически не влияют на точность при определении площади распространения ореола.

Полученные результаты согласуются с результатами глобального анализа чувствительности, проведенного для упрощенной версии численной модели MARTHE переноса загрязнения на площадке ВХРАО (раздел 2.4), где рассматривались выходные параметры локального типа, но в качестве наиболее влиятельных параметров были также выделены коэффициент распределения, коэффициент фильтрации и инфильтрационное питание в зонах его повышенной интенсивности.

Полученные результаты также согласуются и с выводами из локального анализа чувствительности модели (раздел 2.3), который показал, что для прогнозных значений концентрации на 2010 год значения коэффициента распределения являются более влиятельными, чем интенсивности источников загрязнения, заданные в модели. Несмотря на то, что локальный и глобальный анализы описывают прогноз с разных точек зрения, коэффициент распределения выявлен как наиболее влиятельный во всех случаях.

Таким образом, результаты анализа подтвердили, что при дальнейшей калибровке модели РМ следует в первую очередь сосредоточить внимание на уточнении параметров коэффициента распределения, коэффициента фильтрации и интенсивности инфильтрационного питания в зонах его повышенных значений. Это позволит эффективно проводить калибровку модели и в результате значительно уточнить прогнозные значения площади распространения ореола загрязнения. Также, при планировании эффективной наблюдательной сети следует принимать во внимание карты чувствительности прогноза к перечисленным параметрам и располагать наблюдательные скважины в местах относительно высокой чувствительности наблюдений к этим параметрам.

Кроме того, методика распространения погрешности позволила оценить погрешность оценки площади ореола загрязнения, прогнозируемого моделью РМ на 2010 год. Для ореола верхнего водоносного горизонта это интервал от 648 м2 до 15416 м2, притом что значение, рассчитываемое моделью при начальных значениях параметров, составляет 9932 м2 (под площадью ореола в данном случае подразумевается площадь, ограниченная изолинией 1 Бк/л). Для ореола нижнего водоносного горизонта был найден интервал возможного изменения выходного параметра от 0 до 10960 м2 при значении, рассчитываемом моделью при начальных значениях параметров, 10000 м2. С учетом полученного распределения вероятности на указанных интервалах (см. рисунок 2.32) был сделан вывод, что прогноз распространения загрязнения, сделанный ранее [38], т.е. прогноз для начальных значений входных параметров, является довольно «пессимистичным». То есть при заданной погрешности в значениях входных параметров более вероятно, что площадь распространения ореола загрязнения будет меньше прогнозируемой ранее как для верхнего, так и для нижнего водоносного горизонта.

В Главе 3 описано применение методик анализа чувствительности и распространения погрешности для анализа геофильтрационной модели Заречной части г. Казани, созданной для корректировки системы инженерной защиты города от подтопления. Анализ чувствительности, проведенный для нескольких альтернативных вариантов модели в четыре этапа, позволил:

- выявить параметры модели, калибровка по которым наиболее эффективна;

- выявить наименее влиятельные параметры модели, значения которых не влияет на точность модели и которые можно, соответственно, исключить из рассмотрения при калибровке модели;

- значительно сузить интервалы возможных значений входных параметров и улучшить, таким образом, точность модельных вычислений.

1. Агошков В.И., Дубовский П.Б., Шутяев В.П. Методы решения задач математической физики / под ред. Г.И. Марчука: Учеб пособие. М.: Физматлит, 2002. - 320 с.

2. Агошков В.И. Методы оптимального управления и сопряженных уравнений в задачах математической физики. М.: ИВМ РАН, 2003. - 256 с.

3. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука, 1978. - 351 с.

4. Арнольд В.И. О функциях трех переменных // ДАН СССР. 1957. - т. 114. - вып. 4. - с. 679-681.

5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000 - 624 с.

6. Бериков В.Б. Анализ статистических данных с использованием деревьев решений: Учеб. пособие. Новосибирск: Изд-во НГУ, 2002. - 60 с.

7. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1974.-408 с.

8. Бойков И.В. Оптимальные методы приближения функций и вычисления интегралов. -Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2007. 232 с.

9. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. - 272 с.

10. Веригин Н.Н., Шержуков Б.С. Диффузия и массообмен при фильтрации жидкости в пористых средах // В кн.: Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (19171967). М.: Наука, 1969. - с. 237-313.

11. Веригин Н.Н., Васильев С.В., Саркисян B.C., Шержуков Б.С. Гидродинамические и физико-химические свойства горных пород. М.: Недра, 1977.-271 с.

12. Веригин Н.Н., Васильев С.В., Куранов Н.П., Шульгин Д.Ф. Методы прогноза солевого режима грунтов и грунтовых вод. М.: Колос, 1979. - 336 с.

13. Витушкин А.Г., Хенкин Г.М. Линейные суперпозиции функций // УМН. 1967. - т. 22. -вып. 1. — с. 77-124.

14. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач: Учебное пособие. М.: Изд-во МГУ, 1994.-208 с.

15. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория некорректно поставленных задач и приложения. М.: Наука, 1978. - 206 с.

16. Кадет В.В., Хургин Я.И. Современные вероятностные подходы при решении задач микро- и макроуровня в нефтегазовой отрасли. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2006. - 240 с.

17. Колмогоров А.Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных суперпозициями функций меньшего числа переменных // ДАН СССР. 1956. - т. 108. -вып. 2. - с. 179-182.

18. Колмогоров А.Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиции непрерывных функций одного переменного и сложения // ДАН СССР. 1957. - т. 114. - вып. 5. - с. 953-956.

19. Крянев А.В.1, Лукин Г.В. Математические методы обработки неопределенных данных. -М.: Физматлит, 2006. 216 с.

20. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Линейные операторы и некорректные задачи. М.: Наука, 1991.-331 с.

21. Лапин А.В. Об исследовании некоторых нелинейных задач фильтрации // Журнал вычислительной математики и математической физики. -1979. т. 19. - вып. 3. - с. 689700.

22. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит, 2000.-296 с.

23. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981. -400 с.

24. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Изд-во МГУ, 1965. -312 с.

25. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука,1980. - 536 с.

26. Марчук Г.И., Агошков В.И., Шутяев В.П. Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М.: Наука, 1993. - 224 с.

27. Мордашев В.М. Аппроксимация функции нескольких переменных суммой функций меньшего числа переменных // ДАН СССР. -1968. т. 183. - вып. 4. - с. 778-779.

28. Мордашев В.М. О линейной комбинации функций многих переменных, наилучшим образом приближающейся суммой функций меньшего числа переменных // ДАН СССР. -1971.-т. 198. — вып. 2-е. 290-290.

29. Мордашев В.М. Планирование и анализ данных для синтеза многомерных закономерностей (нелинейный факторный анализ) // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Физика ядерных реакторов. 2008. - вып. 2. - в печати.

30. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Изд-во МГУ, 1987. -217 с.

31. Прилепко А.И., Орловский Д.Г., Васин И.А. Обратные задачи в математической физике // Некорректно поставленные задачи в естественных науках. М.: Мир, 1992. - с. 37-49.

32. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения горунтовых вод. М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит-ры, 1952. - 676 с.

33. Проблемы Гильберта (под ред. П.С. Александрова). М.: Наука, 1969. - 240 с.

34. Пупко В.Я., Зродников А.В., Лихачев Ю.И. Метод сопряженных функций в инженерно-физических исследованиях. -М.: Энергоатомиздат, 1984. 232 с.

35. Расторгуев А.В. Проведение прогнозов распространения радиоактивного загрязнения для зоны влияния временных хранилищ №№ 11, 4 и 6 РНЦ «Курчатовский институт»: Отчет по научно-исследовательской работе / ЗАО «ДАР\ВОДГЕО». М., 2004. - 85 с.

36. Расторгуев А.В. и др. Проведение прогнозов распространения радиоактивного загрязнения для зоны влияния временных хранилищ радиоактивных отходов РНЦ «Курчатовский Институт»: Отчет по научно-исследовательской работе / ЗАО «ДАР/ВОДГЕО». М., 2003. - 104 с.

37. Расторгуев А.В. и др. Корректировка регламента работы объектов инженерной защиты г. Казани: Отчет по научно-исследовательской работе / ЗАО «ДАР\ВОДГЕО». М., 2005. -161 с.

38. Сальтелли А. и Соболь И.М. Анализ чувствительности нелинейных математических моделей: численные опыты // Математическое Моделирование. 1995. - т. 7. - вып. 11.— с. 16-28.

39. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Физматлит, 2002. - 320 с.

40. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 248 с.

41. Соболь И.М. Об оценке чувствительности нелинейных математических моделей // Математическое моделирование. 1990. -т. 2. - вып. 1. - с. 112-118.

42. Соболь И.М. Глобальные показатели чувствительности для изучения нелинейных математических моделей // Математическое моделирование. — 2005. — т. 17. вып. 9 - с. 43-52.

43. Соболь И.М. Глобальные показатели чувствительности для изучения нелинейных математических моделей (дополнение) // Математическое моделирование. 2007. - т. 19. - вып. 11 - с. 23-24.

44. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. -224 с.

45. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. - 232 с.

46. Усачев JI.H., Бобков Ю.Г. Теория возмущений и планирование эксперимента в проблеме ядерных данных для реакторов. М.: Атомиздат, 1980. - 100 с.

47. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: МФТИ, 1994. - 528 с.

48. Шержуков Б.С. и др. Определение гидродинамических характеристик подземных вод и сорбционных свойств грунтов на территории РНЦ «Курчатовский Институт»: Отчет по научно-исследовательской работе / ВНИИ ВОДГЕО. М., 1993. - 52 с.

49. Шесгаков В.М. Гидрогеодинамика: Учебник. М.: Изд-во МГУ, 1995. - 368 с.

50. Шутяев В.П. Операторы управления и итерационные алгоритмы в задачах вариационного усвоения данных. М.: Наука, 2001. - 239 с.

51. Anderson М.Р. and Woessner W.W. Applied Groundwater Modeling: Simulation of Flow and Advective Transport. L.: Academic Press, 1992. - 490 p.

52. Amaud G., Gaudier F., Martinez J.-M. Manuel d'utilisation du logiciel Kalif Version 2.00: Rapport Technique DEN/SAC/DM2S/SFME/LETR/RT/04-021/A / CEA. Saclay, 2004. - 54 P

53. Bear J. Hydraulics of Groundwater. N. Y.: McGraw-Hill, 1979. - 569 p.

54. Bear J. Dynamics of Fluids in Porous Media. N. Y.: Dover Publications Inc., 1988. - 784 p.

55. Beven K., Binley A The future of distributed models: model calibration and uncertainty • prediction // Hydrological Processes. 1992. - V. 6. - P. 279-298.

56. Besse P. Data mining II. Modelisation statistique et apprentissage / Universit6 Paul-Sabatier. -2003. http://www.lsp.ups-tlse.fr/Besse/enseignement.html 02.10.2005.

57. Campolongo F., Saltelli A. Sensitivity analysis of an environmental model: an application of different analysis methods // Reliab. Eng. Syst. Saf. 1997. - V. 57. - P. 49-69.

58. Devictor N. Advances in methods for uncertainty and sensitivity analysis // OECD International Workshop on Level 2 PSA and Severe Accident management. Cologne, Germany, 29-31 March 2004. - 2004. - 17 p.

59. Devictor N., Marques M., Perot N., Iooss B. Description of methods for uncertainty and sensitivity analysis in support to Level 2 PSA: Note Technique DEN/CAD/DER/SESI/LCFR/NT DO 38 17/11/04 / CEA. Cadarache, 2004. - 41 p.

60. Gelhar L.W., Welty C., Rehfeldt K.R. A critical review of data on field-scale dispersion intaquifers // Water Resour. Res. -1992. V.28. - №7. - P.1955-1974.

61. Hastie Т., Tibshirani R., Friedman J. The elements of statistical learning. N.Y.: Springer, 2002. - 536 p.

62. Helton J.C. Uncertainty and sensitivity analysis techniques for use in performance assessment in radioactive waste disposal // Reliab. Eng. Syst. Saf. -1993. V. 42. - P. 327-367.

63. Helton J.C., Davis F.J. Latin hypercube sampling and the propagation of uncertainty in analyses of complex systems // Reliab. Eng. Syst. Saf. 2003 - V. 81. - P. 23-69.

64. Hess K.M., Wolf S. H., Celia M. A. Large-scale natural gradient tracer test in sand and gravel, Cape Cod, Massachusetts. 3. Hydraulic conductivity and calculated macrodispersivities // Water Resour. Res. 1992. - V.28. - № 8. - P. 2011-2027.

65. Hill M, Tiedeman C.R. Effective Groundwater Model Calibration: With Analysis of Data, Sensitivities, Predictions, and Uncertainty. N.Y.: Wiley, 2007. - 455 p.

66. Ionescu-Bujor M., Cacuci D.G. A comparative review of sensitivity and uncertainty analysis of large-scale systems 1. Deterministic methods // Nuclear science and engineering. - 2004. -V.147.-P. 189-203.

67. Ionescu-Bujor M., Cacuci D.G. A comparative review of sensitivity and uncertainty analysis of large-scale systems 2. Statistical methods // Nuclear science and engineering. - 2004. -V.147.-P. 204-217.

68. Iooss B. Analyse d'incertitude et de sensibilite du code METEOR: Note Technique DEN/CAD/DER/SESI/LCFR/NT DO 5 16/02/05 / CEA. Cadarache, 2005. - 32 p.

69. Iooss B. Manuel utilisateur du logiciel SSURFER vl.2 : programmes en R d'analyses d'incertitudes, de sensibility, et de construction de surfaces de reponse: Note Technique DEN/CAD/DER/SESI/LCFR / CEA. Cadarache, 2006. - 61 p.

70. Iooss B. Module PURSSAN: Perl Utilities for Regression Statistics and Sensitivity Analysis: Note Technique DEN/CAD/DER/SESI/LCFR / CEA. 2008. - en preparation.

71. Iooss В., Van Dorpe F., Devictor N. Response surfaces and sensitivity analyses for an environmental model of dose calculations // Reliab. Eng. Syst. Saf. 2006. - V. 91. - P. 12411251.

72. Iooss В., Ribatet M., Marrel A. Global sensitivity analysis of stochastic computer models with generalized additive models // Technometrics. 2009. - in press.

73. Jacques J. Analyse de sensibilite et incertitude de modele, application a l'ing6nierie nucleaire : Th£se de Docteur: Math6matique Appliquees / Universite Joseph Fourier. Grenoble, 2005.

74. Kato T. On the convergence of the perturbation method // J. Fac. Sci. 1951. - V. 6. - P. 198205.

75. Kinzelbach W. Groundwater Modelling: An Introduction With Sample Programs in Basic. -Developments in Water Science, vol. 25. N.Y.: Elsevier Science, 1986.-345 p.

76. Kleijnen J.P.C. Sensitivity analysis and related analyses: a review of some statistical techniques // J. Statist. Comput. Simul. -1997. V. 57. - P. 111-142.

77. Knopman D.S., Voss C.I. Behavior of sensitivities in the one-dimensional advection-dispersion equation: Implications for parameter estimation and sampling design // Water Resources Research. -1987. V.23. - P. 253-272.

78. Knopman D.S., Voss C.I. Discrimination among one-dimensional models of solute transport in porous media: Implications for sampling design // Water Resources Research. 1988. - V.24. -P. 1859-1876.

79. Ma H.W. Stochastic multimedia risk assessment for a site with contaminated groundwater // Stochastic Environ. Res. Risk Assess. 2002. - V. 16. - P. 464-478.

80. Maddalena R.L., McKone Т.Е., Hsieh D.P.H., Geng S. Influential input classification in probabilistic multimedia models // Stochastic Environ. Res. Risk Assess. 2001. V. 15. - P. 1 -17.

81. Mook W.G., Yurtsever Y. (eds.) Environmental isotopes in the hydrological cycle: principles and applications. Volume VI: modelling. Paris: UNESCO, 2001. -128 p.

82. Nordqvist R Effective sampling design for groundwater transport models. Acta Universitatis Upsaliensis, Comprehensive summaries of Uppsala dissertations from the Faculty of Science and Technology, 634, Uppsala ISBN 91-554-5040-7,2001 -48 p:

83. Nougier J.P. M&hodes de Calcul Numerique. P.: Masson, 1987. - 325 p.

84. Pair P.-M., Iooss B. Rapport de stage Construction de surfaces de гёропэе non lin6aires: etude comparative de nouvelles m&hodes de regression: Note Technique DEN/CAD/DER/SEST/LCFR/NT DO 21 17/06/04 / CEA - Cadarache, 2004. - 44 p.

85. Paris Anguela T. Etude du transfert d'eau et de solutes dans un sol & nappe superficielle drainde artificiellement: These de Docteur de l'ENGREF: Sciences de l'Eau / Ecole Nationale du G&iie Rural des Eaux et Forets. P., 2004. - 188 p.

86. Proceedings: lstTnternat. Sympos. SAMO'95. Belgirate, 1995.

87. Proceedings: 2nd Internat. Sympos. SAMO'98. Venice, 1998.

88. Proceedings: 3rd Internat. Sympos. SAMO'Ol. Madrid, 2001.

89. Proceedings: 4th Internat. Sympos. SAMO'04. Santa Fe, New Mexico, 2004.

90. Proceedings: 5th Internat. Sympos. SAMO'04. Budapest, 2007.

91. Rabitz H., Alis O.F., Shorter J., Shim K. Efficient input-output model representation // Computer Phys. Communications. 1999. - V. 117. - № 1-2. - P. 11-20.

92. Rellich F. Perturbation theory of eigenvalue problems. N.Y.: Gordon and Breach Sci. Publ., 1969, -127 p.

93. Saltelli A., Tarantola S., Campolongo F., Ratto M. Sensitivity analysis in practice: A guide to assessing scientific models. -N.Y.: Wiley, 2004. 232 p.

94. Sobol I.M. Sensitivity estimates for non linear mathematical models // Mathematical Modelling and Computational Experiments. 1993. - V.l. - P. 407-414.

95. Srinivasan P., Pope D.F., Striz E. Optimal Well Locator (OWL). A screening tool for Evaluating Locations of Monitoring Wells. Users Guide, version 1.2: report EPA 600/C-04/017 / EPA. Cincinnati, 2004. - 105 p.

96. Tarantola S., Giglioli N., Jesinghaus J., Saltelli A. Can global sensitivity analysis steer the implementation of models for environmental assessments and decision making? // Stochastic Environ. Res. Risk Assess. 2002. - V. 16. - P. 63-76.