автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод последовательного наращивания ребер в теориипластин и оболочек ступенчато-переменной толщиныпри конечных прогибах

РТ6 од - 3 ОКТсЁЙ-.

Санкт-Петербургский Государственный Архитектурно-строительный Университет

на правах рукописи

Филиппов Александр Сергеевич

Метод последовательного наращивания ребер в теории пластин и оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах

Специальность 05.13.18-теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

- Санкт-Петербург - 1996 -

Работа выполнена в Санкт-Петербургском Государственном архитектурно-строительном Университете.

Научный руководитель : доктор технических наук, профессор В.В. Карпов Научный консультант : кандидат технических наук О.В. Игнатьев Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор П.А. Жилин,

Заслуженный деятель науки и техник РФ, доктор технических наук, профессор В.А. Постнов

Ведущая организация : Санкт-Петербугский Государственный университет путей сообщения

Защита состоится (7~3? <Ъ^> % 1996 года, в /Ь ч.

на заседании специализированного совета К 063.31.06 в Санкт-Петербургском Архитектурно-Строительном Университете по адресу: 198005, Санкт-Петербург, ул. 2-я Красноармейская, д.4, Зал заседаний SOff/t

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Санкт-Петербургскоого Архитектурно-Строительного Университета.

Автореферат разослан " е ." ССУ-?^?'^ 1996 г.

Научный секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

Общая характеристика работы

Актуальность работы . Тонкостенные оболочечные конструкции находят большое применение в машиностроении, ракетостроении, судостроении и других областях техники. Для достижения большей прочности тонкостенная часть подкрепляется ребрами жесткости. Кроме того, оболочки могут содержать технологические вырезы. Расчеты таких конструкций с учетом нелинейных факторов необходимы при проектировании современных машин, аппаратов и сооружений, хотя и вызывают немалые сложности. Конструкции должны быть не только прочными, но и оптимальными по весу. Решение задач оптимизации традиционными методами для таких конструкций практически невозможно ввиду нелинейных ограничений и многовариантности характера решений. При упрощении расчетных схем теряется точность расчетов, что затрудняет проектирование надежных, легких, но высокопрочных конструкций, т.к. приходится брать завышенный коэффициент запаса прочности. Создание методики, позволяющей находить напряженно деформированное состояния (НДС) оболочек, при локальном изменении жесткостных характеристик и на основе этого подбирать рациональное подкрепление оболочек ребрами жесткости, является актуальной задачей.

Цель работы состоит в разработке метода последовательного наращивания ребер(МПНР), являющегося разновидностью метода продолжения решения по параметру и позволяющего находить НДС конструкций при локальном изменении их жесткостных характеристик, и создании методики выбора рационального подкрепления оболочек ребрами жесткости на основе разработанного МПНР и метода последовательных нагружений (МПН).

Научная новизна работы заключается в следующем : - Получены уравнения МПНР для уравнений равновесия пологих оболочек ступенчато переменной толщины при конечных прогибах как в

перемещениях, так и в смешанной форме.

- Разработаны модификации МПНР более высокого порядка точности.

- Получены уравнения МПНР при "размазывании" жеегкостных характеристик ребер как в перемещениях, так и в смешанной форме.

- Разработаны алгоритмы решения полученных уравнений МПНР и составлен комплекс программ расчета НДС и устойчивости оболочек ступенчато переменной толщины.

- Разработана схема метода покоординатного спуска на основе МПНР и МПН, позволяющая подбирать рациональное подкрепление оболочек ребрами жесткости.

- Проведены исследования некоторых конкретных оболочечных конструкций. '

Достоверность_полученных_результатов подтверждается

применением научно-обоснованного аппарата при выводе уравнений МПНР, а также использованием для решения полученных уравнений детально изученных методов. Сравнение с результатами, полученными для одних и тех же задач на основе различных методик, также говорит о достоверности получаемых результатов.

Практическая ценность и внедрение результатов.

Разработанное математическое и программное обеспечение расчетов оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах при локально меняющейся жесткости конструкции на основе МПНР может найти применение в научно-исследовательских, проектных и конструкторских организациях при расчетах на прочность, устойчивость и оптимизацию деталей машин, аппаратов, конструкций и сооружений.

Все полученные в работе результаты численного эксперимента приведены в безразмерном виде, удобном для их использования в практике проектирования конструкций.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 51-й и 52-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников и аспирантов Санкт-Петербургского

государственного архитектурно-строительного университета) 1994, 1995г.), на семинаре секции строительной механики и сопротивления материалов Санкт-Петербургского Дома Ученых РАН {сентябрь 1994г.). Полностью работа докладывалась на научном семинаре кафедры прочности материалов и конструкций СПбГУПС под руководством д.т.н. профессора В.З.Васильева (февраль 1995г), на научном семинаре кафедры теории упругости и биомеханики СГУ под руководством д.ф.-м. наук профессора Л.Ю.Коссовича (май 1995г),

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в трех научных статьях.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит, из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 110 наименований и приложения. Работа изложена на 103 страницах машинописного текста, иллюстрирована 13 рисунками. В приложения вынесены коэффициенты полученных в работе уравнений и программы расчета на ЭВМ.

Содержание работы Во введении дан краткий обзор литературных источников по теме диссертации, сформулирована цель, указана научная новизна, практическая ценность и положения, выносимые на защиту, отражено краткое содержание диссертации.

Основные идеи теории ребристых оболочек высказаны в конце 40-х годов В.З.Власовым и А.И.Лурье. В их работах заложены два подхода к исследованию ребристых оболочек. В.З.Власов ребра мысленно отделял от обшивки. Их влияние учитывалось реакциями, которые с помощью уравнения равновесия ребер исключались из уравнения равновесия обшивки. А.И.Лурье рассматривал обшивку и ребра как одно целое. Используя вариационный принцип, получал уравнения равновесия и естественные граничные условия. Оба считали, что ребра взаимодействуют с обшивкой по линии и что ребристую оболочку можно рассматривать как

конструкцию, состоящую из оболочки(обшивки) и подкрепляющих ее одномерных упругих элементов. В дальнейшем большинство авторов следовало одному из этих подходов, т.е. или задача расчета ребристой оболочки рассматривалась как контактная, или оболочка и ребра рассматривались как одно целое и в уравнениях равновесия появлялись члены, характеризующие работу ребер.

Третий подход к исследованию ребристых оболочек заключается в том, что не учитывается дискретность размещения ребер, а вводятся в уравнения равновесия жесткостные коэффициенты, учитывающие увеличение жесткости всей конструкции (метод конструктивной анизотропии).

В конце 60-х годов П.А.Жилин заметил, что при втором подходе привлекаются две различные технические теории {теория оболочек и теория стержней), гипотезы которых не вполне совместимы. В связи с этим он предложил ребристую оболочку рассматривать как оболочку ступенчато переменной толщины. При этом учитывается, что контакт между оболочкой и ребрами происходит по поверхности полосы, а не по линии.

Аналогичный подход к ребристой оболочке при решении нелинейных задач применил В.В. Карпов. Им разработана теория оболочек ступенчато-переменной толщины, учитывающая дискретность размещения ребер, их ширину, совместную работу ребер при пересечении, и наличие в одной конструкции ребер, вырезов и накладок.

За последние 50 лет появилось большое число работ, относящихся к исследованию ребристых оболочек. Это работы Алумяэ H.A., Амиро И.Я., Заруцкого В.А., Гавриленко Г.Д., Гребня Е.С„ Григолюка Э.И., Кантора Б.Я., Карпова В.В., Михайлова Б.К., Немировского Ю.В., Преображенского И.Н., Постнова В.А., Корнеева B.C., Рассудова В.М., Милейковского И.Е., Теребушко О.И., Тимашева С.А. и других. Однако, подавляющее число публикаций относится к исследованию ребристых оболочек в линейной постановке. Анализ современного состояния теории пологих ребристых

оболочек показал следующее:

Достаточно полно исследованы оболочки в линейной постановке, большей частью цилиндрические.

В геометрически нелинейной постановке проведены исследования также в основном цилиндрических оболочек, и при этом с использованием модели Кирхгофа-Лява. Ребра в этих исследованиях рассматривались, как одномерные упругие элементы, присоединенные к обшивке по линии.

При исследовании конкретных оболочечных конструкций появляется необходимость при заданном параметре нагрузки находить НДС при увеличении жесткостных характеристик оболочки (наращивание ребер, например) или при уменьшении жесткостных характеристик вследствие коррозии, например (формирование вырезов). В нелинейной теории пластин и оболочек широкое распространение получил метод продолжения решения по параметру. Основные положения метода продолжения решения по параметру применительно к задачам механики были изложены Э.И.Григолюком и В.И.Шалашилиным в их совместной монографии. Так, в конце 50-х годов, взяв за параметр нагрузку, В.В.Петров получил МПН, имеющий широкое применение. Его учениками получены другие методы. Так, В.В.Кузнецовым за параметр взяты геометрические размеры оболочки и получен метод пристрелки. В.В.Карповым за параметр взята высота ребер и получен МПНР.

При расчете ребристых оболочек желательно выбирать рациональное подкрепление, например, из условий устойчивости и минимума веса конструкции. Как показал анализ работ, решение задач оптимизации традиционными методами для рассматриваемого класса задач практически невозможно. Наиболее успешный путь решения Таких задач, на наш взгляд, - это использовать предложенный В.В. Карповым - МПНР, в сочетании с МПН В.В.Петрова.

Таким образом, возникает необходимость в дальнейшей разработке МПНР, разработке методики применения метода к решению широкого класса задач для ребристых оболочек и оболочек, ослабленных вырезами, и

проведении исследования оболочек ступенчато-переменной толщины при локальном изменении их жесткостных характеристик.

В первой главе приведены основные положения теории оболочек ступенчато-переменной толщины.

Рассмотрим пологие оболочки положительной Гауссовой кривизнй, прямоугольные в плане, эксцентрично подкрепленные ортогональной сеткой ребер, направленных параллельно осям координат, и находящиеся под действием поперечной нагрузки интенсивностью д(х,у)(рис.1). Оси ОХ, О У направим вдоль линий главных кривизн. Ось ОТ. ортогонально срединной поверхности обшивки, которую принимаем за координатную поверхность, в сторону вогнутости. Высоту ребер Н(Х,У), их число и расположение будем задавать с помощью единичных столбчатых функций

8(х-х,)и 8(у-у,) :

Здесь

8(х-х,) =

О, х<а,,х>Ь,,

1, ajcxcbj, S(y-y,) =

1/2, х = аьх = Ь},

2' Ь'=Х< + 2 ' С' =

0. y<Ci.y>di'

1, с, < у < dj, 1/2, y = d1,y = d1>

■f.

hj , rj - высота и ширина j-ro ребра в сечении у=const, ш - число ребер в этом сечении. Ы , ц - высота и ширина i-ro ребра в сечении х = const, п - число ребер в этом сечении, h'j=mm(h', hj}.

Высота ребер hi, hi должна быть мала по сравнению с размером оболочки в плаке.

Если h1 , hi взять отрицательными, то получим оболочки, ослабленные вырезами, если h'~hi = -h (h - толщина обшивки), то получим оболочки ослабленные отверстиями. Таким образом, конструкцию рассматриваем как оболочку дискретно-переменной толщины.

Для описания НДС конструкции используем теорию гибких пологих оболочек. Считается, что материал оболочки подчиняется закону Гука. Перемещения произвольной точки нормали к срединной поверхности обшивки с координатой Ъ (до деформации) будут равны:

Ш

и = и - г——, = ■-, Wг = W; йх су

Здесь и, V, - перемещения точек срединной поверхности обшивки

вдоль осей координат ОХ, ОУ, 02.. Деформации удлинения £х. вдоль

осей ОХ и ОУ соответственно и сдвига £ху. произвольной точки по толщине

оболочки возьмем в виде:

€1=—--К^^ —— .

д х т 2 5 х )

д V2 I (д

> 8 у у В у

а wг у/

,у д у 5 х д х ё у '

Здесь Кх , % - главные кривизны оболочки. Напряжения, действующие в произвольной точке оболочки вычисляем по формулам:

Усилия, поперечные силы и моменты, приведенные к срединной поверхности обшивки, приходящиеся ка единицу длины сечения оболочки имеют следующий вид:

Здесь и далее индекс "о"- относится к оболочке, индекс "Я"- относится к ребрам.

Аналогично

м„ = + н*, мх = м; +м*, м,у=м;у +м*.

Заменой хоу получим Ыу, Му. В развернутом виде , Ыху , Мх , Мху , для изотропного материала обшивки имеют вид:

ЕЬ1 (д'У/ „ -ч ^-тГз^ 02\У

12(1+-ц) дхду екеу

Здесь :

¿»и '

Jdz, ^гёг, 1= ^г2<Иг.

1»1 1=1

Аналогично можно записать Э и 3

Уравнения равновесия для модели Кирхгофа-Лява будут иметь вид :

а2му а!мв

5у дхсу

Если в эти уравнения подставить выражения усилий и моментов(1), выраженные через перемещения, получим уравнения равновесия оболочки ступенчато переменной толщины в перемещениях.

Если ввести функцию напряжений в срединной поверхности оболочки по правилу:

д2Ф д'Ф ё2Ф

= .ИГ=Ь~, , N„=-11—. (3)

ду дх схсу

то первые два уравнения системы (2) удовлетворяются тождественно. (Р, = Рг =0) Используя уравнения неразрывности деформаций

дуг дх2 дхду \dxSyj дх2 дуг ' ду2 1 дх2

и оставшееся третье уравнение системы (2), получим систему уравнений в смешанной форме.

Методика решения полученных уравнений состоит в последовательном применении метода последовательных нагружений, метода Бубнова-Галеркина и метода Гаусса.

Для оболочек, часто подкрепленных ребрами, можно "размазать" их жесткостные характеристики, приняв

^ а ^ Ь аЬ

Аналогично записывается

§ = 5р, 3 = Лр.

Тогда можно получить уравнения конструктивной анизотропии как в перемещениях, так и в смешанной форме. Такие уравнения были получены О.В.Игнатьевым и В.В.Карповым.

Во второй главе выводятся уравнения метода последовательного наращивания ребер.

Если разрешающие уравнения для оболочек ступенчато-переменной толщины, приведенные в первой главе, записать кратко

Р( и, Н, q ) = 0, (5)

где и - вектор перемещений, если рассматривается уравнение в перемещениях или и = С\У,Ф)т, если рассматривается уравнение в смешанной форме, Н - параметр, характеризующий высоту и расположение ребер, ц - параметр поперечной нагрузки, то дифференцируя (5) по параметру Н, получим

^(и,Н,С1)^ + Р;,(и>Н,Ч) = 0. (6)

аН

Считаем, что известно и(Но) = ио.

Если применить для решения уравнения (6), при заданном начальном условии, метод Эйлера, то получим расчетную схему

и„+, = и„ 4-ди. , НпИ = Н„ -(-дн ,

л-М и п * пн п п»

где ДНП задается, а Дип находится из линейного относительно ди„ уравнения

Р^ип,Н„1Ч)Ди„ + ^(и,.Нп,<1)ЛН. = о . (7)

Это и есть метод последовательного наращивания ребер. МПНР имеет первый порядок точности. Для решения начальной задачи для уравнения (6) можно применить метод Рунге-Кутта второго или четвертого порядка точности.

Так, схема второго порядка точности будет иметь вид :

^(ип,Нп,(5)Дия +Р^(и„)Н„,<1)ДН„ =0,

Рй(и. +^,<одиа + +^Цч)ДНл = 0 , (В)

и„+1 + 4и„ , = нп+дн„.

Схема четвертого порядка точности имеет вид : +Р^(и„,Н„л)ДН„ =0 ,

К ДЦ ди

К Д1Х 1Г ди

+ ——>Ч)К3 + ^(и,, +^1Ч)ДНП = о,

Р^(и„ + К„Н, + ДН„ч)К4 + +К5,Н„ +ДН„,Ч)ДН„ = 0 , = и. +|(К, + 2К2 + 2К3 +К4}, Н„, = Н. + ДН„ .

Уравнения МПНР (уравнения (7) ) в развернутом виде для модели Кирхгофа-Аява в перемещениях имеют вид (индекс п опущен):

1'Г",М-1» 4- Ц'0"»+У:;иа)+-—+ с. (

3

г шг« дые* ау/а™ ашач

а.^ + а,-,--+ а,„--+а,Г1,--+а,„---

107 ™ 5ц дг\ ш а, дц 105 а*

+ + VI?»-109 _ + VII0 = 0 ,

Ц5":-И3(и) + Ц8'9"5,н(у) + VI'8 -—V"'27 + Е6„(и>, +

дц

г^а» а W а (еже* а w а ш

сё,

й)

е^ ал ^

Ц1'12111 (и) + '3114(V) + Ь'' (V?) + V- — + Щ* =0,

г 1^.12з,1а>.и1 /

'(и) + У\;4 +—V8;-5' + 12С. ? (и, + Ь1,-Л1<11-иг1 (V) + V'" +

+ 12 ь (у, +- 6 Г., (V, ЧУ) + бГ-, (У, + V ^д35 + Ь( +

ст}

гп^п" ап ал № ^ " а^

а- * 5п *

5 д V/

- + а,

дуче* (дч/е2™ гша'у

- + а,

+ аг

а V/

'1ПГ*

а w аг№ а »д^ ап а^ап ап а^ап

(эу/ а2уу йуу е2уЛ ^ а3уу а УУ

д2у/д w а2№ ауу в^1 + ап

ж я«- Г-М др л, ли л, л: и 1 у

дс, <3£ 8ц2

д =,

щ, еп щ, дц ) %

+ 12Ц (I/, + У6Ч"7 +ЦИ1К1гиг7(У) + + 12Ц (V, \У) + + Щ

^ У^'87 + бЦ,^, V/)

а\у

_ а убз»7

7 " ап [еп

+ 12Ц\У) +

Операторы -Л отличается от соответствующих операторов Ь тем, что в них вместо коэффициентов а; стоят коэффициенты с!, . Аналогичное отличие оператора V от V. Коэффициенты отличаются от соответствующих коэффициентов а! тем, что в них вместо

стоят соответственно

+

AF,,AS,,AJ„(AF, = AH.;4S, =0.5(AH,h + 2H.AH,); &J, = 0.25h*AH, + ЬН,ДН. + Н^ДН,)

и отсутствуют члены не содержащие характеристик ребер.

Ввиду громоздкости уравнений (7), в развернутом виде в смешанной форме и в случае "размазывания" жесткостных характеристик ребер эти уравнения здесь не приводятся, но в диссертации получены уравнения МПНР в перемещениях и смешанной форме для модели Кирхгофа-Лява, и в случае "размазывания" жесткостных характеристик ребер, также в перемещениях и в смешанной форме. В этой же главе обсуждаются вопросы сходимости МПНР.

В третьей главе разработана методика решения уравнения МПНР (9) и проведено исследование с помощью МПНР конкретных оболочечных конструкций при увеличении или уменьшении их жесткостных характеристик.

Для решения систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных (9) предлагается использовать метод Бубнова-Галеркина. В соответствии с этим методом примем :

u,=fy(Dq>,(x,y), У.=£у(Пч/,(х,у), w.=f>-(I)Xl(x,y). (10)

ы ы ы

Здесь числа u(I), v(I), w(I) являются искомыми, a <p,(x,y), ч/,(х,у), х,(х,у),-

известные координатные функции, зависящие от условий закрепления

краев оболочки. Тогда накопленные значения перемещений будут иметь

вид :

Ü.=¿Ur(I)<f>I(x,y}, V.^VraW^y), W,=¿Wl4DxI(x,y), (11) i>i i=i

причем

иг<о=2У(1), mi) = £v4i), wi"(D=2>i(i), k=l 1=1

(кип это индексы, а не степени, в уравнении (9) они опущены).

Для определения u(I), v(I), w(I) имеем в соответствии с методом Бубнова-Галеркина систему линейных алгебраических уравнений, (индекс п опущен)

N " 1

]r[u(I)AL(J, 1) + v(I)AL(J, I + N) + w( I) AL(J, I + 2N)] = AL(J,3N +1),

N

£ [u(I)AL(J + N, I) + v(I)AL(J + N, I + N) + w(I)AL( J + N,I + 2N)] =

AL(J + N,3N +1), (12)

N

£ [u(I)AL(J + 2N, I) + v(I)AL(J + 2N.I + N)+w(I)AL(J + 2N, I + 2N)] =

AL(J + 2N,3N + 1),

AL(Í,I) = C1(I,J) , AL( J, I+N) = C2(l, J) ,

N

AL(J, I + 2N) = C3(l, J) + ^W1(K)C4(K,I, J),

AL(J + N,I)=C5(I,J), AL( J + N, I + N) = C6(I, J),

N

AL(J + N,I + 2N) = C7(I, J) + £\V1 (K)C8(K,I, J),

K-l

N

AL(J + 2N, I) = C9(I, J) + £Wl (K)C 10(K, I, J),

K-l

N

AL( J + 2N, I -)- N) = С11 (I, J)+J]w 1 (K)C 12(K, IJ),

K-l N

AL(J + 2N,I+2N) = C13(I,J) + ^ (U1(K)C14(K,I,J) +

K-l

N

+V1(K)C15(K,I,J) + W1(K)[C16(K,I,J)+^W1(L)C0(L)]},

i-i

N

AL(J,3N +1) = {U1 (I)D 1 (I, J) + V1 (I)D2(I, J) + i-i

+W1(I)

D3(U) + 2>1(K)D4(K,I,J)

K-l

N

AL(J + N,3N+]) = -£ {U1(I)D5(I, J) +■ VI (I)D6(I, J) +

+W1(I)

K-l

к

D7(I,J) + ^W1(K)D8(K,I,J)

N

D9(I, J) + £ W1 (K)DIO(K, I, J)

кч

AL(J + 2N,3 N + l) = |U 1 (I)

N

+VI(I) DU(U) + £W1(K)D12(K,I,J)

W1(I) Dl3(I,J)-f£W1(K) D14(K,l,J) + £Wl(L)D0(L)

k-I

N

Здесь U1(I), V1(I)-, W1(I)-накопленные значения

В D1-D14.D0 -отсутствуют члены не содержащие характеристик ребер (члены для гладкой оболочки ) и вместо F,, S., J, нужно взять - AF,, AS, , AS, .

Такие же системы алгебраических уравнений получены для других видов уравнений МПНР.

Система (12) решается методом Гаусса. По разработанной методике составлена программа расчета на ЭВМ, написанная на языке PL-1 для НС-ЭВМ. Для уравнений в смешанной форме, по аналогичной методике составлена программа на языке Паскаль для ПЭВМ.

Использование модификаций МПНР (8) не вызывает затруднений, а сводится лишь к неоднократному решению системы типа (12) при различных значениях коэффициентов

Чтобы начать процесс решения задачи по МПНР, необходимо знать начальное значение, т.е.Шо, Vio, Wlo при заданном параметре нагрузки q

Найти эти начальные значения можно, используя метод последовательных нагружений (МПН).

Если исходную систему нелинейных дифференциальных уравнений (5) продифференцировать по q

и для решения полученной начальной задачи использовать метод Эйлера:

где Aqn задается, a AUn находится из линейного относительно AUn уравнения

то получим МПН.

Сравнивая (?) и (13) видим, что у них первые слагаемые совпадают. Если для решения линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных (13) использовать метод Бубнова-Галеркина в виде

J;(U,H,q)^ + J,'(U,H,q)==0

dq

и„+, =и„+диа, q„+1 = q„ Aq„.

Fu'(Un,H,qn)AUn+F;(U„,H,q„)Aq0 =0 ,

(13)

(10), то получим систему линейных алгебраических уравнений относительно VI, Wi ,у которой левые части совпадают с системой (12), а вместо правых частей только у третьего уравнения будет член С^НР. (НР - шаг по нагрузке q на этапе нагружения).

МПНР является пошаговым методом, а .значит, его точность зависит от выбора шага наращивания ребер ДНк . На рис.2 представлены результаты расчета НДС квадратной в плане пластинки, (эпюры прогибов - а) и напряжений - б) ) шарнирно-неподвижно закрепленной по контуру и находящейся под действием равномерно - распределенной поперечной нагрузки. Пластинка подкреплена двумя пересекающимися по центру ребрами шириной 2Ь (где Ь - толщина обшивки), номер 1 - означает, что высота ребер равна Ь, 2- что высота ребер равна 2Ь, 3 - что высота ребер равна 311, 0 - соответствует гладкой пластинке. Индекс 1 означает, что расчеты проведены МПНР с шагом ДН(с =Ь. Индекс 2-е шагом ДНк = 0.511. Индекс 3, что расчеты проведены с применением расчетной схемы (8), второго порядка точности с шагом ДН'Л =Ь. Индекс 0, на рис.2б, означает, что напряжение вычислено в центре обшивки, индекс "-", что напряжение вычислено при 7.= -Ъ/2, " + ", что напряжение вычислено при

г=ь/2.

В начале на гладкую пластинку действовала нагрузка Р=74,6 (Р=да4/Е114 , где а=Ь = 6011 - линейный размер стороны пластинки), причем НДС такой пластинки находилось МПН. Таким образом, определялись начальные условия и0=и(Н0).

Затем к пластинке наращивались ребра и НДС пластинки находилось МПНР. Для сравнения находилось и НДС пластинки с ребрами высотой ЗЬ и шириной 2Ь МПН. Результаты таких расчетов на рис.2, обозначались символом И. На рис 2а) эпюры прогибов УУ^ = / Ь) при т] = 0.1 вдоль оси = х I а, г| = у /а). На рис.2б) эпюры напряжений ст,1( СТг|=Оуа2/ЕЬ2) при Я = 0.1 вдоль оси ОЕ,. Как видно из рисунка, при расчете НДС ребристых пластинок в МПНР шаг наращивания ребер, с достаточной степенью

Ь)

рис.2.

точности, следует брать ДНк = 0.5Ь.

Аналогичная картина наблюдается и при расчете НДС оболочек.

В этой же главе приводятся результаты применения МПНР к расчету пластин и оболочек при "увеличении жесткостных характеристик (наращивание ребер) и при уменьшении жесткостных характеристик ( формирование вырезов).

Достоверность полученных результатов подтверждается и практическим совпадением характера НДС, полученного мя ребристых оболочек при некоторой равномерно - распределенной нагрузке Р МПН и МПНР при наращивании ребер до соответствующей высоты для гладкой оболочки. На рис.3, представлены графики нагрузка-прогиб в центре оболочки, полученные МПН для квадратной в плане оболочки с параметрами кривизны К.; =КП = 16 (К> = а2/К[Ь, Кп = Ь2/Я2Ь , И] ,й.2 -главные радиусы кривизны) шарнирно-неподвижно закрепленной по контуру. Номер кривой означает число подкрепляющих оболочку ребер шириной 2Ь и высотой ЗЬ, расположение которых показано на том же рисунке.

При нагрузке Р= 150(точка А) к гладкой оболочке наращивалось соответственно 2, 4, 6 ребер МПНР До высоты ЗЬ (кривые АВ, АС, АО -соответственно). Далее с помощью МПН получены кривые с индексом 1. Как видно из рисунка, точки В, С, О лежат практически на кривых, полученных МПН для соответствующих ребристых оболочек.

Проводилось исследование НДС оболочки в закритической области. При нагрузке Р = 306 (точка Е). МПНР наращивалось 4 ребра (кривая ЕР) Далее МПН получена кривая 4«. Как видно из рисунка, на кривую с номером 4 мы не попадаем. Таким образом, МПНР применим в докритической зоне.

Механический смысл МПНР заключается в следующем. Второй член уравнения (7) соответствует некоторой отрицательной нагрузке, величина которой зависит от ДН^. Эта отрицательная нагрузка, приложенная по

рис.3.

ребрам, последовательно изменяет НДС конструкции на каждом шаге наращивания ребер. Если же оболочка уже потеряла устойчивость (точка Е на рис.3.), то постановка ребер, хотя и увеличивает ее жесткость, не позволяет ей вернутся в докритическое состояние.

В четвертой главе рассматривается применение МПНР и МПН для выбора из условий устойчивости рационального, в смысле веса подкрепления из ребер. Такая комбинация методов Ц1НР и ПН представляет

г

собой специальный вариант метода покоординатного спуска ( координаты -нагрузка q и высота ребер Н) Разработан алгоритм расчета НДС при конкретном применении МПНР и МПН, реализованный в виде программ для ЭВМ. В качестве примера выбора рационального подкрепления из ребер берутся заранее спланированные виды подкреплений из двух, четырех и более ребер определенной ширины и различной высоты. Рассмотрим квадратную в плане оболочку со стороной a=60h двоякой кривизны К.; =1Ц = 16, шарнирно-неподвижно закрепленную по контуру и нагруженную равномерно распределенной поперечной нафузкой интенсивности Р=400. .

Необходимо подобрать подкрепления оболочки ребрами жесткости так, чтобы она при заданной нагрузке не теряла устойчивости.(высота ребер не должна быть больше 3h). Известно, что рассматриваемая выше гладкая оболочка теряет устойчивость при Р=193. На рис. 4 представлены результаты расчета - графики нагрузка Р, высота ребер h(h = h'/h=h' / h) , прогиб W оболочки в центре. Номер кривой соответствует числу подкрепляющих оболочку ребер (расположение ребер по оболочке указано на рис.3) Кривая АВ и АС получены МПНР. Кривые BD и СЕ получены МПН. Точка А на графике с номером О соответствует нагрузке Р= 150.

Из рис. 4 видно, что оболочка, подкрепленная двумя ребрами, не доходя до нагрузки Р=400, теряет устойчивость и только после подкрепления оболочки четырьмя ребрами, оболочка при нагрузке Р=400 не теряет устойчивости. Таким образом, некоторое наилучшее подкрепление оболочки состоит из четырех ребер высотой 3h и шириной 2h.

трис.4

Основные результаты и выводы.

1. Получены уравнения метода последовательного наращивания ребер (МПНР) для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины в перемещениях и в смешанной форме.

2. Получены уравнения МПНР при "размазывании" жесткостных характеристик ребер как в смешанной форме, так и в перемещениях.

3. Разработаны модификации МПНР более высокого порядка точности и показана их эффективность.

4. Составлен программный комплекс для ЭВМ расчетов НДС оболочек ступенчато-переменной толщины при локальном изменении их жесткостных характеристик ( наращивание ребер, формирование вырезов ) и проведен анализ НДС пластин и оболочек при различном шаге наращивания ребер.

5. Разработана схема метода покоординатного спуска на основе МНП и МПНР, удобная для выбора рационального подкрепления пластин и оболочек ребрами жесткости, и показана ее программная реализация.

Основное содержание диссертации изложено в работах:

1. Карпов В.В., Филиппов A.C. Выбор шага наращивания ребер при расчете ребристых оболочек методом последовательного наращивания ребер. ./ Исследования по строительной механике, вып.6 Санкт-Петербург. ПГУПС 1993 с37-43/ Депонирован в ВИНИТИ 22.03.94 №692-В94.

2. Карпов В.В , Игнатьев О.В. , Филиппов A.C. Применение метода последовательного наращивания ребер для выбора оптимального подкрепления тонких оболочек ребрами жесткости // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Сб. трудов СПбГАСУ 1994 с 104-110.

3. Карпов В.В , Игнатьев О.В. , Филиппов A.C. Уравнения метода последовательного наращивания ребер для оболочек ступенчато-переменной толщины в смешанной форме .// Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Сб. трудов СПбГАСУ 1994 с 113-118.