автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод нелинейного объемного сингулярного интегро-дифференциального уравнения решения обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости тела в волноводе



На правах рукописи

ГРИШИНА Елена Евгеньевна

МЕТОД НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕМНОГО СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ТЕЛА В ВОЛНОВОДЕ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 2013

1 8 АПР 2013

005051861

Работа выполнена на кафедре математики и суперкомпьютерного моделирования в ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет» Смирнов Юрий Геннадьевич

Официальные оппоненты: Ильинский Анатолий Серафимович,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической физики, заведующий лабораторией вычислительной электродинамики ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова»;

Плещинский Николай Борисович,

доктор физико-матемагаческих наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Ведущее предприятие - ФГБОУ ВПО «Московский государственный

технический университет радиотехники, электроники и автоматики»

Защита диссертации состоится 25 апреля 2013 г., в 14 часов 30 минут, на заседании диссертационного совета Д 212.081.21 при ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18, корпус 2, ауд. 218.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет».

Автореферат разослан « марта 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук,

Задворнов О. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена решению обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости тела произвольной геометрической формы, расположенного в прямоугольном волноводе.

Актуальность темы. Восстановление электрофизических параметров образцов композитных материалов (в частности, наноматериалов и мета-материалов) с различной геометрией представляет собой весьма актуальную задачу наноэлектроники и нанотехнологии. В настоящее время существуют различные подходы к решению задачи восстановления магнитных и диэлектрических параметров наноматериалов. Один из возможных вариантов определения данных параметров - экспериментальные измерения. Но вследствие композитного характера материалов применение данного способа к решению рассматриваемой задачи является затруднительным. Поэтому актуален другой путь поиска параметров наноматериалов. Он состоит в применении математического моделирования и решении задач численно, с помощью компьютеров. Несмотря на все многообразие исследований в данной области (см. работы А. Б. Самохина, Е. Е. Тыртышнико-ва, А. С. Ильинского, Ю. В. Шестопалова), не был достаточно широко рассмотрен метод нелинейного объемного интегро-дифференциального уравнения для решения обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости тела в волноводе, идея которого была предложена впервые Ю. Г. Смирновым.

Цели диссертационной работы. Целями диссертационной работы являются:

1) корректная постановка обратной краевой задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости тела в волноводе по (измеренным) коэффициентам прохождения или отражения;

2) разработка численного метода нахождения эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту прохождения или отражения;

3) программная реализация численного метода, его тестирование и проведение расчетов для конкретных образцов материалов.

Научная новизна. Для решения обратной задачи применен метод нелинейного объемного сингулярного интегро-дифференциального уравнения.

Разработан итерационный метод определения эффективной диэлектрической проницаемости тела произвольной геометрической формы, расположенного в волноводе.

Разработан комплекс программ на языке Си для решения поставленной задачи, получены результаты для тел сложной геометрической формы с использованием коэффициента прохождения и отражения.

Изучены особенности решения поставленной задачи на мини-кластерах.

Практическая значимость работы. Результаты диссертационной работы могут быть применены в наноэлектронике, оптике и электронике СВЧ. Одно из возможных применений результаты данной работы могут находить при исследовании параметров радиопоглощаемых материалов,

используемых как в системах, обеспечивающих электромагнитную совместимость современных радиоэлектронных устройств, так и в системах типа «stealth», уменьшающих коэффициент отражения электромагнитного излучения СВЧ-диапазона от зондируемых объектов.

Также изученные особенности поиска коэффициентов матрицы, используемой для определения эффективной диэлектрической проницаемости, позволяют эффективно решать задачу на мини-кластерах.

Реализация и внедрение полученных результатов. Результаты, полученные в диссертации, включены в отчет по НИР, выполненной на кафедре математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенского государственного университета: проект «Разработка методов суперкомпьютерного моделирования и GRID-технологий для определения эффективной диэлектрической и магнитной проницаемости нанокомпозитных материалов и наноструктур различной геометрической формы» аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)».

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научных конференциях и семинарах:

- Международной конференции «Days On Diffraction - 2012» (Россия, Санкт-Петербург, 2012);

- Международной конференции «32nd Progress in Electromagnetic Research Symposium (PIERS)» (Россия, Москва, 2012);

- Международной научно-технической конференции «Новые информационные технологии и системы» (Россия, Пенза, 2010);

- Международном симпозиуме «Надежность и качество - 2011» (Россия, Пенза, 2011);

- Международной научно-методической конференции «Университетское образование» (Россия, Пенза, 2011);

- V Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем» (Россия, Пенза, 2011);

- XI Международной научно-технической конференции «Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике» (Россия, Пенза, 2011).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 12 печатных работ, из них 4 работы - в журналах из списка, рекомендованного ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка использованных источников, включающего 72 наименования. Объем диссертационной работы составляет 111 страниц, работа содержит 32 рисунка и 23 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен обзор работ по теме диссертации и вопросам, примыкающим к ней; обоснована актуальность темы, сформулированы цели работы, изложены основные задачи и дано краткое содержание.

В первой главе приведена постановка прямой задачи дифракции на теле произвольной формы. Затем сформулированы постановка обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости тела в волноводе по коэффициенту отражения, а также постановка обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости тела в волноводе по коэффициенту прохождения.

Рассмотрим прямую задачу дифракции.

Пусть объемное тело £> расположено в прямоугольном волноводе Р = {х:0 < < а, О < х2 < Ъ, -да < х3 < °о}. Поверхность волновода дР идеально проводящая. Данное тело характеризуется постоянной магнитной проницаемостьюи диэлектрической проницаемостью в.

Предполагается, что граница д£? области является кусочно-гладкой.

Прямая задача дифракции формулируется следующим образом. Необходимо найти электромагнитное (полное) поле Е,Не¿2(0. Данное поле

—/со/

возбуждается сторонним полем с временной зависимостью вида е , и > 0 — круговая частота.

Рассмотрим (обобщенные) решения системы уравнений Максвелла:

гоШ = -коеЕ,

3 (1.1) го1Е = /соц0Н, х е Я .

Такие решения подчиняются следующим условиям на бесконечности. Пусть |;с31 > С для достаточно больших С> 0. Тогда поля Е и Н могут быть представлены в виде

V4

н1

+ 1*

р

^ -¡(йЕ0(У2Пр)Хе1 Здесь «+» соответствует +оо, «-» соответствует -со. В формуле (1.2)

М)

+16

р

;1(±)е42)ы

(1.2)

Л2)

= , 1т у^ >0 или Іт у ^ =0, ку^>0 и Пр{хх,х2) и

Ч'Д*!»^) ~ полная система собственных значений и ортонормиро-

ванных в ¿2 (П) собственных функций двумерного оператора Лапласа -А

в прямоугольнике П:= {(^,х2):0<х, <а,0<х2 <б} с условиями Дирихле и Неймана соответственно и У2 = ех д/дхх + е2 д/дх2 •

Верны следующие оценки для коэффициентов разложений (1.2):

для некоторого яг е N.

На стенках волновода для Е, Н должны выполняться краевые условия ■ Ет \ВР = 0, Ну|а/,=0. (1.4)

Предположим, что Е° и Н° являются решениями описанной выше краевой задачи в отсутствие тела Q:

гоШ°=-/юб0Е°, rotE° = /o)n0H°

с краевыми условиями

Тензор Грина Ge имеет вид

Et Isр = 0,H°v I dp - О-

GP =

Gh 0 0

0 Ge 0

0 0 G¡

(1.5)

(1.6)

(1.7)

где

-Упт\хі-Уг\

„ „ t nn . nm nn . nm os

Я = — S I-g cos—*,sin—x2cos—yxsm—y2, (1.8)

abn=о m-\ "ínm (1 "On) a b a b

2 2 « " е-Чпт\хъ-Уъ\ nn nm nn nm

Z-—-—-sin—cos—x2Sin—yx cos—-y2, (1.9)

ab„=1 m=oY„m(1 + 50m) a b a b

3 2 2," е-Упт\*з-Уз\ nn _ nm nn nm

Ge=—X -sin—*ism-;c2sin—Jism-уг. (1.10)

ab„=i m=i ynm a b a b

Компоненты (1.8)—(1.10) представляют собой фундаментальные pe-

1 о

шения уравнения Гельмгольца в Р с коэффициентом к0 =со е0ц0- Для них выполняются краевые условия первого или второго рода на дР, которые обеспечивают обращение в нуль тангенциальных составляющих напряженности электрического поля на стенках волновода.

В выражениях (1.8)—(1.10)

,2 / \2 пп\ [ пт | , 2

уш-ifj -*ь- (1.11)

Ветвь квадратного корня выбирается таким образом, чтобы было верно 1тупт > 0.

Компоненты тензора Грина GE могут быть записаны с выделенной особенностью при х = у:

1 Jh\*-y\

-- + gm(x,y), х,уеР, (1.12)

4л \х-у\

где функция gmeCco(QxP). В силу симметрии функций Грина GE(x,y) = GE(y,x), (777 = 1,2,3) тензор Грина 6Е может быть представлен в виде

1 eiko\*-y\ „

GE=~-rI + g(x,y),x,yeP, (1.13)

471

где матрица-функция (тензор) g е C°°(Q х Р) и g е С°°СР х 0.

Предположим, что существуют и единственны решения краевых задач (1.1)—(1.4), (1.5), (1.6). Рассмотрим систему уравнений (1.1). Она может быть записана в форме

rrtH^-ftDeoE'+J*.

rotEp=/conoid-

При этом

Jp = -/co(E-E0)E (1.15)

является электрическим током поляризации.

Решение краевой задачи (1.14) может быть представлено в виде

Е = /гоц0Ая--— grad divАЕ, H = rotAg, (1-16)

/ЙЕ0

где

AE = SGE(r)Jp(y)dy- (1.17)

Р

векторный потенциал электрического тока. Для Ае верно

AAE+k%AE=-Jp. (1.18)

Формулы (1.16), (1.17) задают неявные соотношения для решения задачи (1.14), так как ток Зр зависит от Е. Опуская точку на тело, переходим к следующему представлению электромагнитного поля:

Ер(х) = гшро Í (-Цв - e0)G£E(^))Í/7 + Q

+—!— gradd¡vj(-/ffl(e-E0)G£E(>oW, xeQ /юб0 Qy

и после несложных преобразований получаем:

Е(*) = Е°(х) + *о

-1-1 ,е0

¡GE(rMy)dy + Q

--1

V£0

graddivJGE(r)E(y)dy, xeQ. Q

(1.19)

Кроме того,

E(*) = E°(x) + Ao

£0

\GE{r)E{y)dy + Q

r \ 1-1

e0

(1.20)

е

Будем рассматривать обратную краевую задачу для определения эффективной диэлектрической проницаемости образца наноматериала, расположенного в волноводе, по коэффициенту отражения. Рассмотрим изотропный случай и будем считать, что е - неизвестная константа (эффективная диэлектрическая проницаемость) образца. Предположим, что п/а<к0<п/Ь. В этом случае в волноводе может распространяться только одна мода, потому что 1ту{2) = 0, л2 /а2 > 0 и 1т у^ >0 для всех р,у за исключением р = 1 и у = 2. Мы также предполагаем, что

= . (1.21) а а

Здесь А- (известная) амплитуда распространяющейся волны. Вычислив предел при —> -оо в (1.20), получим уравнение

Е(х) = Е° (х) + k¡\—- 1J СгЕ (г)(Е(^) • e2)dy, х е Р \ Q, (1.22)

,Е0

и, принимая во внимание условие на бесконечности (1.2) при х3 -> -°о:

/v(2)v

a

.J2)

tuc|

a

V 2

яЬую

-1-1 ,e0

^ a a

JsinHLsinme'vi2)fe-w)(E0,).e2)^. (1.23)

Из этого следует асимптотическое уравнение

/ \ /2)

Jsin^e^i Й(Е0>)-e2)dy. (1-24)

df]=kl

1

6у10то>ц0

-1

со

Мы предполагаем, что коэффициент Q\ > известен из эксперимента. Уравнение (1.24) - это дополнительное условие, из которого будет определяться диэлектрическая проницаемость материала. Коэффициент q[ ^ зависит от круговой частоты со.

Обратная задача определения эффективной диэлектрической проницаемости образца материала, помещенного в волновод, по коэффициенту отражения состоит в том, чтобы найти проницаемость по известному коэффициенту = на различных частотах.

Далее будем рассматривать обратную краевую задачу для определения эффективной диэлектрической проницаемости образца наноматериала, расположенного в волноводе, по коэффициенту прохождения. Предположим, что я/а <к0< 71¡Ь. В этом случае в волноводе может распространяться только одна мода, потому что Imy(2^=0, у= л[к$-п2/а2 >О и Imу^Р >0 для всехр, j за исключением р = 1 и у =2. Мы также предполагаем, что

Здесь А- (известная) амплитуда распространяющейся волны. Вычислив предел при -» +оо в (1.20), получим уравнение

(1.25)

E(*) = E0(*) + *g

-1-1

\Gl{x,y)E2(y)dy,xeP\Q, (1.26) Q

и, принимая во внимание условие на бесконечности (1.2) при -»-к»:

/

+

— -JsinHLsinЖе-^-Уз)^(y)dy_ (1,27) L®0 >6Yiog о a

Из этого следует асимптотическое уравнение

Л 1 г • лу, jvpK

fif+) = --1 ---JsbW» y3E2{y)dy. (1.28)

U0 ^бут/гаодпл О

6у,0иш)ц0 g а

Мы предполагаем, что коэффициент Q,(+) известен из эксперимента. Уравнение (1.28) - это дополнительное условие, из которого будет определяться диэлектрическая проницаемость материала. Коэффициент Q^ зависит от круговой частоты со.

Обратная задача определения эффективной диэлектрической проницаемости образца материала, помещенного в волновод, по коэффициенту прохождения состоит в том, чтобы найти проницаемость по известному

коэффициенту на различных частотах.

Во второй главе доказана теорема о существовании и единственности решения нелинейного объемного интегро-дифференциального уравнения и обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту отражения. Приведено доказательство теоремы о существовании и единственности решения нелинейного объемного интегро-диффе-ренциального уравнения и обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту прохождения. Построенный в данной главе итерационный процесс позволяет рассчитать приближенное решение интегро-дифференциального уравнения. Принимая во внимание (1.24), мы имеем:

-L-1=C, (2.1)

е0 (E,f)

где

с _ /ЛЮЦо&УюбР (22)

*0

f=e2Sinme'vi2)>'3> (2.3)

а

а скобки обозначают скалярное произведение в пространстве ¿2 (в) '■

(E,f)=jE(j»)fOO^. (2.4)

в

Подставляя (2.1) и (2.3) в формулу (1.19), мы получаем нелинейное объемное интегро-дифференциальное уравнение:

- Е° (*)) = к1 \ {х,у)Цу)ау-

+graddivJGя(л:,^')E(^>)í/^',*eg. (2.5) О

Введем линейный интегральный оператор:

А0 Е := Л* \СЕ (х,уЩу)4у + впА6хч1 СЕ (х,у)Е(у)4у. (2.6) в 0 Запишем уравнение (2.5) в операторной форме:

М(Е-Е°)=ЛоЕ. (2.7)

Обозначим:

/.. _..2 .. ОЧ1/2

г* =

МГ ММ

кг км

(2.8)

Пусть выполнено следующее условие:

1-

2 г.

(и)

Ш

(2.9)

Тогда, применяя принцип сжимающих отображений, получаем теорему.

Теорема 1. Пусть выполнено условие (2.9). Тогда существует и единственно решение нелинейного объемного интегрального уравнения (2.5). Также существует и единственно решение обратной краевой задачи, полученное по формуле (2.1). Кроме того, приближенное решение уравнения (2.7) может быть найдено посредством итерационного процесса

ЕП+1=Е„- {(Е„,Г)(Еп-Е0)-С(ЛоЕ,,)}, (2.10)

А (Г,О

который сходится для любого начального приближения Е0е5гДЕ°|

со скоростью геометрической прогрессии, где и определяется формулой (2.8).

Далее рассмотрим решение обратной краевой задачи по коэффициен-

ту прохождения.

Принимая во внимание (1.28), имеем:

С

е0

М'

(2.11)

Здесь

с =-Ц-(2.12)

ко

(2)

Г^атЗ&е-*» Ч (2.13)

а

Скобки обозначают скалярное произведение в пространстве Ь2 (£?):

(Е,Г)=/Е(^)ГООФ'. (2.14)

в

Подставляя (2.11) и (2.13) в формулу (1.19), мы получаем нелинейное объемное интегро-дифференциальное уравнение:

М(Е(*) - Е° (,)) = / 6Е (Х,у)Чу)сЬ> + С в

+ёгас1сНу] дЕ (.х,у)Е(у)4у, * е £?. (2.15)

0

Введем линейный интефальный оператор:

Д,Е := к$ I бЕ (х,у)Е(у)Оу + @гШЬг1ёБ (х,у)Е(у)4у. (2.16) С Я

Запишем уравнение (2.15) в операторной форме:

С

Обозначим:

М(Е-Е°)^Е. (2.17)

г,V =

■ "\\Ш\\ м

КГ 1К1

Пусть выполнено следующее условие:

1М1'

(2.18)

(С^^вйГр-^-М. (2.19)

Тогда верна следующая теорема.

Теорема 2. В случае выполнения условия (2.19) существует и единственно решение нелинейного объемного интегрального уравнения (2.15). Также существует и единственно решение обратной краевой задачи, полученное по формуле (2.11). Кроме того, приближенное решение уравнения (2.17) может быть найдено посредством итерационного процесса

Е„+,=Еи-^т1у{(Е„Д)(Е„-Е0)-С(Л0Е„)}) (2.20)

который сходится для любого начального приближения Е0 е | е° | со

скоростью геометрической прогрессии, где /•* определяется формулой (2.18).

Также во второй главе рассмотрено проектирование на конечные подпространства и построен вычислительный алгоритм для решения интегро-дифференциального уравнения.

В третьей главе представлены результаты расчета по коэффициенту отражения и прохождения для тел различной геометрической формы. Приведены результаты сравнения численного и аналитического решения. Также проведен анализ области сходимости метода, получены результаты для метаматериалов.

Результаты расчета по коэффициенту отражения Ниже представлен результат расчета эффективной диэлектрической проницаемости образца материала в волноводе итерационным методом по коэффициенту отражения (рисунок 1). Образец материала представлял собой секцию волновода. Коэффициент отражения рассчитывался аналитически по точному значению е. Параметры волновода а = 2,274, Ь = 1,004, с = 0,982; точное значение в = 1,5, построена вещественная часть значения е, вычисленного итерационным методом, для 50 итераций.

Рисунок 1 - Результаты расчета эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту отражения

Полученные в работе результаты демонстрируют хорошую сходимость итерационного метода. Это подтверждают и результаты, приведенные в таблице 1, рассчитанные для тела, изображенного на рисунке 2.

Рисунок 2 - Тело сложной геометрической формы

Таблица 1 - Точное и вычисленное значения эффективной диэлектрической проницаемости для тела сложной геометрической формы по коэффициенту отражения_

Точное значение е Вещественная часть вычисленного значения е Мнимая часть вычисленного значения 8

0.55 0.45900992662947548 -0.12280206524506068

0.7 0.69999999998287532 9.152058318985066е-012

0.85 0.85000000000000053 -1.6268948349946126е-016

1.05 1.0499999999999998 2.0668902336131069е-016

1.2 1.2000000000000035 7.7309095676387241 е-016

1.35 1.3499999999999635 -3.6810980114817023е-014

1.5 1.4999999924542475 -9.7168744229063 529е~008

Результаты расчета по коэффициенту прохождения Ниже представлен результат расчета эффективной диэлектрической проницаемости образца материала в волноводе итерационным методом по коэффициенту прохождения (рисунок 3). Образец материала представлял собой секцию волновода. Коэффициент прохождения рассчитывался аналитически по точному значению е. Параметры волновода а = 2,274, Ъ = 1,004, с = 0,982; точное значение е = 4,0, построена вещественная часть значения е, вычисленного итерационным методом, для 50 итераций. 6 5 4 3 2 1 ■ 0 • -1 -2 -3

Рисунок 3 - Результаты расчета эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту прохождения

Полученные в работе результаты демонстрируют хорошую сходимость итерационного метода.

В таблице 2 приведены результаты расчета для тела, представленного на рисунке 2.

Таблица 2 - Точное и вычисленное значения эффективной диэлектрической проницаемости для тела сложной геометрической формы

по коэффициенту прохождения_____

Точное значение е Вещественная часть вычисленного значения £ Мнимая часть вычисленного значения е

0.2 0.19960724506891891 -3.2802392861383746е-005

0.65 0.6499999999999998 1.5276175298883627е-016

1.1 1.1000000000000001 1.2047801331189025е-016

1.55 1.5499999999999952 8.6855430664860411е-016

2 1.9999999999999813 2.6664462824394613е-015

2.45 2.4500012177139232 7.8248864452244952е-007

В четвертой главе рассмотрены особенности вычисления матрицы проекционного метода на мини-кластере.

Результаты, полученные в четвертой главе, приведены в таблице 3 (пс - число процессорных ядер, пр - число процессов, п - число членов ряда в формулах компонент функции Грина, т*тхт- размер сетки).

Таблица 3 - Время решения задачи нахождения матрицы (с)

для разных пр и п при т — 8

пр 8 16 32 64

и = 15 63 34 37 43

и = 50 529 255 266 269

л= 100 2126 1085 1072 1062

и = 200 8516 4383 4287 4269

« = 500 54405 28847 27994 28014

По результатам, приведенным в таблице 3, были построены графики (рисунок 4).

и те 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8

1

\

ж

— £ г——^. Г7777Т, 1 г -4

......11.....и

—□ — п=15 - -Ь- - п=50

.....•:•:•— п=100

-Ж—п=200

—0—п=500

4.0 пр/пс

Рисунок 4 - Время решения для разных прип при т = 8 15

На рисунке 4 по горизонтальной оси приведены относительные значения пр/пс - среднее число процессов на каждое процессорное ядро. По вертикальной оси представлено относительное время <//16, где /- время решения, /16 - время решения при пр = 16. Увеличение времени при пр< 16 прогнозируемо и практически совпадает с ожидаемым значением, в этом случае используются не все процессорные ядра. При росте значения пр, в частности при пр - 64, когда на каждое процессорное ядро приходится в среднем около четырех процессов, можно было бы ожидать некоторого увеличения времени решения вследствие того, что при росте количества процессов должно увеличиваться время переключения между процессами. Однако, очевидно, влияние этого фактора мало. Более того, наблюдается даже некоторое уменьшение времени решения.

В заключении перечислены основные результаты исследования.

В приложении приведено формирование матрицы коэффициентов в проекционном методе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Предложена и обоснована корректная постановка обратной краевой задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости неоднородного тела, помещенного в волновод, по коэффициенту прохождения или отражения. Доказаны теоремы о существовании и единственности решений обратной краевой задачи.

2. Предложен и обоснован итерационный метод для численного решения обратной задачи. Доказаны теоремы о сходимости метода.

3. Численный метод реализован в виде пакета программ на языке Си. Метод и программы тестированы на модельных задачах. Выполнены расчеты для ряда конкретных обратных задач для различных геометрических фигур с разными параметрами. Изучены особенности вычисления коэффициентов матрицы на мини-кластерах, найден эффективный способ расчета.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях из перечня рецензируемых научных журналов, рекомендуемых ВАК

1. Турина (Гришина), Е. Е. Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом параллелепипеде, расположенном в прямоугольном волноводе / Е. Е. Турина (Гришина), М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 2. - С. 44-53.

2. Турина (Гришина), Е. Е. Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на двух секциях с разной диэлектрической проницаемостью, расположенных в прямоугольном волноводе / Е. Е. Турина (Гришина), Е. Д. Деревянчук, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2010. - № 4. - С. 73-81.

3. Гришина, Е. Е. Итерационный метод определения эффективной диэлектрической проницаемости неоднородного образца материала / Е. Е. Гришина, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 3. - С. 3-14.

4. Гришина, Е. Е. Численный метод решения обратной задачи восстановления эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту отражения / Е. Е. Гришина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 2. - С. 76-85.

Публикации в других изданиях

5. Гришина, Е. Е. Особенности использования мини-кластера при расчете параметров наноматериалов / Е. Е. Гришина // Молодой ученый. -2012.-№9.-С. 45-50.

6. Grishina, Elena Е. Reconstruction of complex effective permittivity of a nongomogenious body in rectangular waveguide using the iteration method / Elena E. Grishina, Yury G. Smirnov // Abstracts of International Conference Days On Diffraction, Saint Petersburg, Russia, May 28 - June 1, 2012. - Saint Petersburg, 2012. - P. 53.

7. Grishina, Elena E. Reconstruction of complex effective permittivity of a nongomogenius body of arbitraiy shape in rectangular waveguide / Yury G. Smirnov, Mikhail Yu. Medvedik, Elena E. Grishina // PIERS Proceeding, Moscow, Russia, August 19-23, 2012. - Moscow, 2012. - P. 420-424.

8. Гришина, E. E. Спецпроцессор для решения задач определения диэлектрических и магнитных параметров материалов / Е. Е. Гришина, Е. И. Гурин // Новые информационные технологии и системы : тр. IX Ме-ждунар. науч.-техн. конф. - Пенза, 2010. - Ч. 1. - С. 169-176.

9. Гришина, Е. Е. Определение электродинамических параметров наноматериалов произвольной геометрической формы, расположенных в волноводе / Е. Е. Гришина // Надежность и качество - 2011 : тр. Междунар. симп. :в2т.-Пенза, 2011.-Т. II. - С. 130-132.

10. Гришина, Е. Е. Определение диэлектрической проницаемости неоднородного образца наноматериала с помощью итерационного метода / Е. Е. Гришина // Университетское образование : сб. ст. XV Междунар. на-уч.-метод, конф. - Пенза, 2011. - С. 250-253.

11. Гришина, Е. Е. Применение итерационного метода при определении электродинамических параметров наноматериалов / Е. Е. Гришина // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем : сб. ст. V Междунар. науч.-техн. конф. молодых специалистов, аспирантов и студентов. - Пенза, 2011. - С. 265-267.

12. Гришина, Е. Е. Построение вычислительных систем с использованием ПЛИС для решения задач математической физики / Е. Е. Гришина, Е. И. Гурин // Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике : сб. ст. XI Междунар. науч.-техн. конф. - Пенза, 2011. -С.169-172.

Научное издание

ГРИШИНА Елена Евгеньевна

МЕТОД НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕМНОГО СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ТЕЛА В ВОЛНОВОДЕ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Редактор Е. П. Мухина Технический редактор С. В. Денисова Компьютерная верстка С. В. Денисовой

Подписано в печать 18.03.2013. Формат 60x841/16. Усл. печ. л. 0,93 Тираж 100. Заказ № 169.

Издательство ПГУ. 440026, Пенза, Красная, 40. Тел./факс: (8412) 56-47-33; e-mail:iic@pnzgu.ru

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И СУПЕРКОМПЬЮТЕРНОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ

04201355803

Гришина Елена Евгеньевна

Метод нелинейного объемного сингулярного интегро-дифференциального уравнения решения обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости тела в

волноводе

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -д.ф.-м.н., профессор Ю.Г. Смирнов

ПЕНЗА 2013

Содержание

Введение................................................................................................................4

1 Постановка задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости тела в прямоугольном волноводе................................11

1.1 Постановка задачи дифракции на диэлектрическом теле в прямоугольном волноводе (прямая задача)........................................11

1.2 Постановка обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту отражения......17

1.3 Постановка обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту прохождения . 18

2 Численный метод решения обратной задачи.........................................21

2.1 Теорема о существовании и единственности решения интегро-дифференциального уравнения и обратной краевой задачи при использовании коэффициента отражения..........................................21

2.2 Теорема о существовании и единственности решения интегро-дифференциального уравнения и обратной краевой задачи при использовании коэффициента прохождения......................................26

2.3 Проектирование на конечномерные подпространства......................28

2.4 Вычислительный алгоритм для решения интегро-дифференциального уравнения................................................................................................29

3 Вычислительная сходимость и тестирование итерационного метода 32

3.1 Расчеты по коэффициенту отражения.................................................32

3.2 Расчеты по коэффициенту прохождения............................................54

4 Особенности вычисления матриц на мини-кластере............................75

4.1 Применение мини-кластера для вычисления матриц........................75

4.2 Оптимизация программы вычисления матриц..................................86

Заключение..........................................................................................................91

Приложение. Формирование коэффициентов матрицы в проекционном

методе.........................................................................................................92

Список литературы...........................................................................................102

Введение

Восстановление электрофизических параметров образцов композитных материалов (в частности, наноматериалов и метаматериалов), с различной геометрией, представляет собой весьма актуальную задачу наноэлектроники и нанотехнологии. Эта задача приводит к решению обратных краевых задач дифракции для системы уравнений Максвелла.

Обратные электромагнитные задачи были рассмотрены в работах ряда авторов. В трудах Д. Колтона и Р. Кресса разработана классическая теория решения обратных электродинамических задач на идеально проводящих телах в свободном пространстве [1] (акустические задачи изучались в [2]). Прямые и обратные задачи дифракции электромагнитных волн на теле в волноводе исследовались в работах В.П. Шестопалова и Ю.К. Сиренко [3], В.П. Шестопалова и Ю.В. Шестопалова [4], A.C. Ильинского и Ю.Г. Смирнова [5,6]. В работах этих авторов впервые было проведено математически строгое исследование данного круга задач. В настоящее время продолжение этих исследований можно найти в работах Ю.Г. Смирнова [9, 10]. В работах [11-15] исследовались задачи в слоистых структурах.

Самохиным А.Б. [16-19] краевая задача дифракции на теле была сведена к объемному интегральному уравнению, получены основные результаты о разрешимости объемных сингулярных интегральных уравнений.

Такие авторы, как A.C. Ильинский [20], А.Б. Самохин, A.A. Цупак [21], М.Ю. Медведик, Ю.Г. Смирнов [22, 23], Е.М. Карчевский [24], Р.З. Даутов, Е.М. Карчевский [25], В.И. Ивахненко [26], использовали данный подход в своих работах.

В настоящее время существуют различные подходы к решению задачи восстановления магнитных и диэлектрических параметров наноматериалов.

Один из возможных вариантов определения данных параметров -экспериментальные измерения. Но, вследствие композитного характера материалов, применение данного способа к решению рассматриваемой задачи является затруднительным. Другой путь поиска параметров наноматериалов состоит в применении математического моделирования и решении задач численно с помощью компьютеров.

Решение трехмерных векторных краевых задач для системы уравнений Максвелла в полной электродинамической постановке, (к которым приводит рассматриваемая задача), является актуальной проблемой современной электродинамики. Решение таких задач требует большого объема вычислений, охватить который оказывается затруднительным даже для наиболее мощных современных компьютеров. При восстановлении параметров наноматериалов возникает проблема решения обратных электродинамических задач на сложной системе поверхностей и тел в резонансном диапазоне частот. Эта проблема является особенно острой и актуальной. В известных пакетах прикладных программ, предназначенных для решения задач электродинамики, применяются, как правило, конечно-разностные методы и методы конечных элементов. (Решение задач конечно-разностным методом предложено, например в [27,28].) При этом не задействуются суперкомпьютеры. Такие результаты, с точки зрения точности вычислений, не являются удовлетворительными.

Методы, применяемые в пакетах, о которых говорилось выше, встречают определенные препятствия при решении краевых задач в неограниченных областях. Одна из таких трудностей состоит в том, что область, в которой ищется решение, должна быть сделана конечной. Это приводит к возникновению неконтролируемой ошибки. Кроме того, размеры области, для ее редукции, должны быть достаточно велики. При решении задачи рассматриваемыми методами появляется необходимость работать с разреженными матрицами порядка 109 и более.

Существуют и другие методы решения задач в неограниченных областях. Такими методами являются метод интегральных уравнений и метод интегро-дифференциальных уравнений. Метод интегральных уравнений применялся, например, в работах [29, 30]. Он состоит в том, что рассматриваемая задача сводится к решению интегрального или интегро-дифференциального уравнения. При этом область неоднородности в которой решается интегральное или интегро-дифференциальное уравнение на порядки меньше области решения задачи при применении методов конечных элементов и конечно-разностных методов. Дискретизация задачи, решаемой методом интегро-дифференциальных уравнений, приводит к системе уравнений с плотными матрицами. Размеры этих матриц существенно меньше. (Порядка 104).

Численное решение интегро-дифференциальных уравнений с помощью пакетов прикладных программ имеет два основных недостатка. Первый состоит в том, что не принимаются во внимание результаты новейших исследований, как самих интегро-дифференциальных уравнений, так и их численного решения. Вторым недостатком является то, что не учитываются особенности решения рассматриваемых задач с помощью параллельных вычислений. Одной из особенностей матриц СЛАУ, с которыми приходится иметь дело, решая задачу численным методом, является их блочно-теплице-ганкелевая структура. Другая состоит в том, что вычисление интегралов, с помощью которых формируются элементы матриц, может производиться параллельно и независимо друг от друга. Данная специфика расчетов дает возможность применять параллельные вычисления для рассматриваемого круга задач.

Если рассматривать решение обратных задач на сложной системе поверхностей и тел, возникает необходимость решать комплексные СЛАУ порядка 105 с плотными матрицами. Для решения таких уравнений требуется

применять методы параллельных вычислений. Однако не всегда бывают доступны такие кластеры как «Чебышев» и «Ломоносов» в МГУ им. М.В.Ломоносова. В настоящее время во многих ВУЗах используются мини-кластеры. В данной диссертации приводятся особенности работы с такими матрицами на мини-кластерах.

Обратная задача определения диэлектрической проницаемости изотропного однородного тела в волноводе была рассмотрена Ю.Г. Смирновым [31, 32], Смирновым Ю.Г. и Медведиком М.Ю. [33], Смирновым Ю.Г. и Мироновым Д.А. [34], Смирновым Ю.Г. и Шестопаловым Ю.В. [35]. Идея применения метода нелинейного объемного сингулярного интегро-дифференциального уравнения для решения обратной задачи была впервые предложена Смирновым Ю.Г. в [31, 32]. В данной диссертации рассматривается метод нелинейного объемного сингулярного интегро-дифференциального уравнения для решения обратной задачи нахождения эффективной диэлектрической проницаемости тела произвольной геометрической формы, расположенного в волноводе.

Смирновым Ю.Г. и Васюниным Д.И. [36], Смирновым Ю.Г. и Шестопаловым Ю.В. [35] был рассмотрен двухслойный итерационный метод решения обратной задачи определения диэлектрической проницаемости неоднородного тела в волноводе по коэффициенту прохождения. В отличие от этих работ, в которых диэлектрическая проницаемость представляла собой тензорную функцию, в данной диссертационной работе определяется по коэффициентам прохождения или отражения константа - эффективная диэлектрическая проницаемость, являющаяся интегральной характеристикой неоднородного образца.

Смирновым Ю.Г. и Медведиком М.Ю. [33] , Смирновым Ю.Г., Шестопаловым Ю.В. и КоЬауаБЫ К. [37] была рассмотрена прямая

7

задача дифракции электромагнитной волны на диэлектрическом теле в волноводе и предложены численные методы для ее исследования.

В диссертации применяется субиерархический подход. Он состоит в следующем. (В силу свойств интегро-дифференциальных операторов в уравнениях возможно использование субиерархических методов для численного решения уравнений.) Сначала находим решение задачи для некоторой канонической геометрии, например для прямоугольника или параллелепипеда. Далее будем решать задачу для фигуры с такой сложной геометрической формой, которая полностью содержится в канонической. Матрицу можно получить выбором соответствующих элементов из канонической матрицы. При этом, повторно эти элементы пересчитывать не нужно. Время решения задачи уменьшается на 1-2 порядка. Таким образом, используя субиерархические методы, мы получаем базу данных матричных элементов, которую можно применять для решения задач дифракции на поверхностях и телах сложной геометрической формы. На основе этой базы данных можно построить пакет прикладных программ.

Целями диссертационной работы являются:

1) Корректная постановка обратной краевой задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости тела в волноводе по (измеренным) коэффициентам прохождения или отражения и ее обоснование.

2) Разработка численного метода нахождения эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту прохождения или отражения.

3) Программная реализация численного метода, его тестирование и проведение расчетов для конкретных образцов материалов.

В первой главе приводится постановка задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости образцов материалов сложной

геометрической формы в волноводе по коэффициентам прохождения или отражения.

В разделе 1.1 Описываются функции Грина, использованные для перехода к интегро-дифференциальным и интегральным уравнениям. Задача сводится к решению интегро-дифференциального уравнения. Показывается эквивалентность интегро-дифференциальной и исходной формулировок соответствующих задач. В разделе 1.2 приводится постановка обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту отражения. В разделе 1.3 рассматривается постановка задачи нахождения эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту прохождения.

Вторая глава является основной в работе. В разделе 2.1 предложен итерационный метод решения нелинейного объемного сингулярного уравнения. Доказана теорема о существовании и единственности решения интегро-дифференциального уравнения и обратной краевой задачи при использовании коэффициента отражения. В разделе 2.2 приведена теорема о существовании и единственности решения интегро-дифференциального уравнения и обратной краевой задачи при использовании коэффициента прохождения. В разделе 2.3 представлена общая схема проектирования на конечномерные подпространства. В разделе 2.4 рассмотрен вычислительный алгоритм для решения интегро-дифференциального уравнения электрического поля.

В третьей главе приведены результаты численного решения нелинейного объемного интегрального уравнения. Для результатов, приведенных в данной главе были разработаны программы для решения обратной задачи восстановления эффективной диэлектрической проницаемости образцов материалов различной геометрической формы.

В разделе 3.1 выполнено тестирование метода решения задачи определения диэлектрической проницаемости образцов композитных материалов различной геометрической формы по коэффициенту отражения. Проведены сравнения результатов расчетов с аналитическими решениями. Также представлены результаты расчетов для фигуры сложной формы. В разделе 3.2 приведены численные результаты определения диэлектрической проницаемости композитных материалов различной геометрической формы итерационным методом по коэффициенту прохождения.

В четвертой главе приведены особенности расчета матрицы, используемой в п. 3.2 и 3.3, на мини-кластерах. Рассмотрены различные способы вычисления коэффициентов матрицы, найден эффективный способ расчета. Распараллеливание решения задачи в настоящей работе достигается использованием системы MPI на мини-кластере и рассмотрено в п. 4.1. Оптимизация кода задачи рассмотрена в п. 4.2.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Результаты работы опубликованы в четырех статьях [38, 39, 40, 41] (в журнале из списка ВАК РФ), в статье [42], докладывались на конференциях [43, 44, 45, 46, 47, 48, 49], и были представлены на научных семинарах кафедры Математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенского государственного университета и кафедры Прикладной математики Казанского (приволжского) федерального университета.

1 Постановка задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости тела в прямоугольном волноводе

В данной главе рассматривается постановка задачи дифракции. Используется традиционная формулировка с использованием уравнений Максвелла. Приводится постановка прямой задачи, а также постановка обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту отражения и прохождения.

1.1 Постановка задачи дифракции на диэлектрическом теле в прямоугольном волноводе (прямая задача)

Рассмотрим прямую задачу дифракции.

Пусть объемное тело Q расположено в прямоугольном волноводе Р-{х:0 < х, < а, 0 < х2 < Ъ, —со < х3 < со}. Поверхность волновода дР идеально проводящая. Данное тело характеризуется постоянной магнитной проницаемостью ¡л§ и диэлектрической проницаемостью б .

Предполагается, что граница области является кусочно-гладкой. Пусть также тело 0 не касается стенок волновода, дQг^дP = 0. В области P\Q среда представляет собой изотропную и однородную. При этом £0(>0), //£)(> 0) являются постоянными.

Прямая задача дифракции формулируется следующим образом. Необходимо найти электромагнитное (полное) поле Е, Не/^Сб)- Данное

поле возбуждается сторонним полем с временной зависимостью вида ё~ш, со > 0 - круговая частота.

Рассмотрим (обобщенные) решения системы уравнений Максвелла:

гоШ = -шеЕ,

з- (1.1)

гс^Е-/£У/4)Н, хеЯ 11

Такие решения подчиняются следующим условиям на бесконечности [50]. Пусть |х31 > С для достаточно больших С > 0. Тогда поля Е и Н могут быть представлены в виде

' ^Преъ-1у{рУ2П1 -ше0{у2 иР)хез

ГеМ

и

+

(1.2)

(Здесь + соответствует +оо, - соответствует -оо). В формуле (1.2)

1т^7)>0 или = 0, ку^ > 0 и Пр(хьх2) и

Шр[х1,х2) =£у2£-0>Ц)| - полная система собственных значений и ортонормированных в П) собственных функций двумерного оператора Лапласа -А в прямоугольнике П := {(*1,Х2): 0 < х^ < а,0 < х2 < б} с условиями Дирихле и Неймана, соответственно, и У2 =е^д/дх^ +е2д/дх2 .

Верны следующие оценки для коэффициентов разложений (1.2)

= (1.з)

для некоторого

Почленное дифференцирование по х^ любое число раз рядов (1.2)

представляется возможным благодаря условиям (1.3). Эти же условия обеспечивают экспоненциальную сходимость рядов (1.2).

Если рассматривать условия (1.2) с физической точки зрения, то их можно трактовать следующим образом: полное поле являе