автореферат диссертации по машиностроению и машиноведению, 05.02.07, диссертация на тему:Метод граничных интегральных уравнений в расчетах линейных систем

К^ОНАЛЬН^'ТШТЧНКИ УЛЫгСЗГШТ УКРА1КИ

"клвсы^й полгтешчей кститут"

Г Г 5 ОД

1 ?;•..-!

'1-а правах рун01:»-. су

УДК 539.3

ОРОБЕЙ Ыктор Федорон'/.ч

:,{ 2 Т О Д ГРАЖ111Х ХНТЕГРДЛЪНИХ ?13Н5НЬ 3 РОЗРАХУНКАХ Л1Н1ЙЖХ' СХТ2£

Слец1альн1сть 05.02.07-Механ1ка деформ1вного твердого.?1л/

А в т. о р е ф е-р а т

дисертацП на здобуття н^укового стуг.еня доктора техн1чних наук

Кг? Ге - 1955

Дисертац1ею е рукопис

Дксертац1я виконувалась на каф. динам1ки, mIhhoctI машин та onlpy матер1ал!в Одеського державного пол1техн1чного'ун1версит<

Науковий консультант: доктор техи1чних наук, професор

0.ФДАЩ2НК0

0ф1ц1йн1 опонекти: ■ '

доктор. техкГчких : наук, професор •ахздем1к HAii 'УкраГки Я.М.ГРИГОРЕККО

доктор техн1чних наук, професор Г.В.1САХАН03

доктор техн1чних наук, професор 0.С.САХАРОЗ

Птэов1ана орган1зац1к: 1нстктут проблем mIiihoctI HAH Укра1ни

Захист дисертацП в1дбудетъся «W« ЛШ J996 р. о " ib " годин1 на зас1данн1 спец1ая1зовано1 Ради Д 01.02.18 Нац1оналького ТехнХчного Ун1верситету УкраГни "Кк1вський пол1тёхн1чкий Гнститут" 252056, Ки1в-5б, проспект Перемоги, 37, HW КПГ - 1201, Корп. I, ауд. 166

3 дисертац1ею мспма оэнайомитися у б1бл1отец1 НТУУ КП1 ' •

Автореферат роз!слто ; . ОлЦЛМ 1996 р. ;

Вчений секретар ■ спец1ал1зовано1 Ради Д 01.02.18 кандидат техн!чних наук-, доцент

0.0.Б0Р0НК0

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТКРуЮТКА РОВОТИ

АктуальнХсть проблема. Теор1я деформування твердого т1ла одержала зкачний розвиток в зв"язку з комл"ютер1зац1ех>. Застосувьння Е0'4

призвело до виникнення принцкпово нових п!дход1в й обгрунтованма чисельних кетсд1в, таккх як метод кХкцевих елемент1в (МНЕ).

Серед багатьох чисельних кетод1в МК£ й метод кГкцевих рГзниць

(МКР) займають по праву перш! м1сця. Однак, подальше удоскокалюван--¡я можливостей ЕОМ й пошук альтернативних ШСР п1хсд!в зиов привели до суто катематичних метод!з розвиязування задач К»ш1 та крайних задач. Цс эХдноситься до рТзких варХактХв. метода граы:чаих еле-4 1ент1в (МГЕ), котрий мае й 1нш1 назви - метод граничних Хнтаграль-шх р1внянь (МИР), метод потенп1ала, метод функц!1 Гр1на й ?Л.

'озвиток цих мзтодГв почаеся э кХнця 60-х рок1в XX столХття, Значка вклад в створення нового наукового напряму внесли зах1дн1 я. |1тчизняни вчен1. Серед яких можна вГдзначитк П.К.Бенерда1, Р.Бат-■ерф1лда, К.Бребб1а, Д.Телеса, Л.Вроубела, С.Крауча» А.СтарфХлда, >.Р1цо, Т.Круэо, С.Уокера, С.Кобаяи1, НЛ.МусхелХшв1лХ, С.ГЛЛхлХна, 1,Д.Кулрадзе, Ю.В.Веротского, А.Г.Угодч1кова, Н.М.Хуторянского, ,.Х.Цей?л1на, А.Я.Александрова, П.1.Перл1на, Я.Л.Нудельмана й Хн,

Поява й прогрес '¿ТЕ в эначн1й м1р1 зобов"язано тому» цо великий лас крайових задач, як1 описуються дХференц1йними рХвняннями пара-оличного й ел1птичного тип1в, мокуть бути эведен1.д6 1нтегральних 1бкянь Вольтера й Средгольма. Методи розв*язування крайових задач а допомогою 1нтегральних р1вкянь свожапться б1лья тоадими й эконо-1чними н1ж методи, як1 базушься на апроксимацХХ дХференцХйних опе-аторХв (МКЕ, МНР й Хн.). ; •

3 МГЕ д1скретизац11 п1длягае т1льки границя об"вкту, а в МКЕ -зя область,, яку займао об"ехт. 3 цього фа^гу МГЕ одразу переграе Ж тоыу цо значно зменауеться порядок розглядаемого простору. Дал1 ?Е математично строго обгрунтован, оскХльк! вихористуе фундаиен-1льн1 рХиення д1ферекцХйнтос р1внякь, достов1рно моделюе аих|дну здачу, дозеоляе- здобувати точн1, як правило, значения унутрХшних геиль й перем1чень, значно спростовуе п1дго?овку вих1дних данних, 1рактер1зуеться с*1йк1стю чисельних опсрац1й, в змоз1 зиеютити 1зм1рнХсть задач. Ус! ц1 фактн дозволпють створити всльми гнучний волод1пчий баг&тьма можливостями алгоритм роэв"язування р1зноиа-!тних задач. Зв1сно (П.К.Бенердж!) й сп1вв1дкотаення витрат часу

прац1 ЕОМ на розв"язання-однакових задач рХзнимк методами

'ЬмкеЦиге-^'ЯО.

Мохна передбачити, що МГЕ (МР1Р) володХе серед Хкпшх чисельнюс метод! в найкращими характеристиками: найпростХша логХка .алгоритму, висока стХйкХсть 'та сходим1сть чисельнкх.,операц1й, значка точн1сть результат1в, проста пХдготовка-вихХдиих данкх й т.п. 1нш1 перезол; залежать в1д особливоетей конкретних задач. 3 цього приводу ь:о:хна зазначити, цс створенкя й рсзвиток р1зноманХтних вар1антХв УПР е актуальною задачей мехакХки деформованого твердого т1ла н-эзваг.аюч! на ХснуичХ й добра в1дпрапьоэан1 методи розрахунку кокструкцХй Й окремих елекектХв. . .

Суттевим иилученнлм науково-техн1чно1 лХтератури по МГС (УГХР) е недостатке висвХтленкк задач розрахунку л1н1йних систем, як1 ма-ють важл/:ве ярахтичне значения. В як1ст1 прим1рник1в л1н1йних систем вибран! л!н1йко-пружиХ тснкостХнн! система стержнХв, пластик я оболонок, яя1 Хспитузоть д1я статичних й динамичних навантажень, температури, зк1нення фсрми (б1фуркац11), неконсервативних слХдкуя чих сил й т.п. Ця робота змеклуе вказаний недол1к.

ЦХль роботи. Розробка й розвиток нового чясельно-акалХткчного методу розрахунку р1зноман1тних л1н1йних,систем на баэХ однои1рних 1нтегрзльних' р1вчянь Вольтера й Фредгольыа, а такон виявлення й розробка можливоетей чисельноХ реал1эаиИ МПР для розв"язанкя но-вих прикладных задач стерашХв, пластин й оболокок.

Наукову новику роботи скяадаать сл1дуюч1 положения.

1. Рсзроблени осиови теорИ, -дано обгрунтовання й практкчне зас тосування ново1 схемиз ведения граничних 1нтегральних р1внянь Фред гольма 2-го роду в систему л1н1йних алгебра1чних рХвнянь.

2. Виявлен! позитавнГй кегативн1 фактори, як1 вносять в розра-хунки л1н1йних систем' 1ктеграяьн1 р1вняння.

3. Иобудован1 системи фундаментальних ортонормироваких функйй й вантажних член1в 1ктегральних р1внянь Вольтера для рХзноманГтних задач. При цьому одержан! нов1 рХшення для:

- поперечних коливань прямолМйного стеряня з урахуванням поез довжньо1 сили; .

- шкмцинного деформування кругового стержня з урахуванням дефор мац1й згину й розтягу;

- поперечних коливань, й ст1йкост1 прямокутних пластин;

- статики, динамХки й стХкост! круглих пластин;

■•¿fr

■л*'

iff-

"Jfj

-Ъ

- » -

к1п, пластин й оболонок произволкце1 топологИ; • - нов1 р1шення звичайних й в часткових похХдних д1ференц1йних рХвнянь л!н1йного • дефоркуванкя стержнГв, пластин й оболонок;

- створення Й апробац!» ефзх?ивно1 методи розв"язання некомсер-вативних задач стХйкост! прукних систем стержнХв й пластин;

- Р2ал1зац1и hobqI схеми розподГлекня переи1нних в задачах де-$©рмуэання круглих пластин;

- постанову Й роза"пзакня новкх задач статики, динам1кк й стХй-koctI круглях пластин й пластин з комбХнозаням контуром;

• ' - результат« досл1дження поведХнки пружних систем- при д11 некон-гврватиагпсс сил й Кинаонграцц нвпружень в сХнгулярних точках тонких пластин;

- загальн! р1вняння дефй]Омуванкя елемент1в стертнених, пласт1в-чих4 й ободонкових систем а стагицХ, динам!ц1 й ст!йкост1;

- результате Хнтегруведяя рХвнянь етатики пологових оболонок при производящих умовах оп|рання^ ' • . ;

- розвинення облает! застосування зариацХйного методу Канторови-1й-Власова роэрахунку илощинних й проеторових систем плаотин 1з нЛшаними крайов'имй умовами я складно» геометр1е» в план1.

Структура ft обсяг роботи. Дисертац1я складаеться Хэ.эступу, В зоздШв, розбитих на 3 под1ла (стерли!, пластини, оболонки), зак-зючення, приложения Й списка л1тератури, який вмХщуе 130 наймену-эань. II обсяг становить 377 стор1нок мааганопХсного тексту, 7Х ма~ понок, 21 таблипя.

0СН0БНКЯ 3MICT РОБОТИ •

В.кХнц! 60-х, початку 70-х рокТв XX стор1ччя працями пХвн1чно-шерикаиських Й европейських вчених був. створен новий чисельний {етод розв"язання дХ$еренн1йних р1внянь математичноГ фХзики - ме-?од граничних елементХв, Цей метод вват.аеться бХлыя досконялим, |1ж створен1 ран1ше методи к1нцзвих елемент1в й к1нцевих р1зниць.

В тепер1шний час достатньо добре розвикен варХант МГЕ,-заснован-[Я на чисельноы розв"язанн1 1нтегральнихр1внянь. Однак, форш пред--.тавлення 1нтегральних р1внянь дозволяють розробляти р!зноман1тни • !0д1ф1кац11 МГЕ. Найб1льш перспективним серед них е метод, яхий по-¡днуе чисельний й анал1тичний п1дходи. Виконати це поеднання доз-юляе одном1рний вар1ант методу граничних 1нтегральних. р1внянь. . 1собливостп метода дано1 роботи е застосування вкклачно сдном1рних ;ктегральних р1внянь. Це дозволяв' идти аналХтичне р!шення для унут-

р1шньо1 точки об"екту, а чисеяьну модель формуватк т1льки для гра-ккчких точок. При цьому схороняються ус1 перевагк класичного варХанту МГЕ й додаються нов1, пов"яэан1 з аналХтичним .рХ ;гнням д1фереь ц1йнкх р1внянь.

Алал1з праць з МГЕ посв1дчкв, що 1снуючи 1ктегральн1 сп1вв1дно-шення одном1рнкх зада:ч виявилиоь кевдачними. Ц1 сп1вв1днопення маять бХлыа об"еыкХ р1 вкяння, нХж аналог1чн1 вирази 1£КЕ. Був зроблен висновок, що "...применение МГЕ к одномерным системы* вообще не яв. ляется эффективным" (П.К.Бенердк1). Помилков1сть цього висновку полягае в тому, цс 1снуе багато вар1ант!в фунц&ментальних рХшень д!ференц1йнкх рХвнянь й висновки по якомусь варХанту не обов"язко-во справедлив! для 1каих вар1ант1в.; 3 ц1е! причини в' л1тератур! з . МГЕ недостатньо освХтлен! задачи одномХрних систем.

В I подХлу роботи розглядаяться одном1рний модуль й системи ко-дул1в з производящим вХтвленням. П1д модулем розум1еться стержень й узагальнений стержень (пластина, оболонка), НДС котрих ¿водиться до розв"язания звичайних й в часткових пох1дних д!ференц1йних рХвнянь з постХйними та перем1ямими коеф!ц1ентами. Ц1м вимогам вХдпо-рХдають багато задач розрахунку пружних стержневих, пластинкових й оболонкових конструкц1й. У стержня, як одном1рного т1ла, е тХльки дв1 граничних точки СС-О й5С- 2 • Тому о дискретизацЦ границь стержня казати не варто й МГЕ одном1рних систем лог1чно 1менувати

ИПР. .';•'■..". . . ■ , .

Для розрахунку под1бного роду л1н1йних систем запропонован одно-. м1рний варХант МГХР, який використовуе ноеу схему перетворення граничних 1нтегральних р1енянь- в систему л1н1йних алгебраХчних р1внянь в1дносно початковюс Й к1нцввих параметра НДС модул1в. СуттевХсть запропонованого методу - в початков1й дискретизацЦ л1н1йно1 системи на першоцеглики (модул!)« ПотХм виконуеться аналХз стану ус1х модул1в, вибХр вХдповХдних р1внянь-й зворотний. сХнтез модулIв в за-, дану систему, Така схема нагадуе схему розв"язання задач по ЫКЕ, однак застосування 1нтегральних р1внянь в багатьох випадках дозволяв б1льш ефективко крокуватк до нам1чено! цШ.

Будування спХввХдношень одном1рного варХанту МГХР починаеться з' розгляду в1дпов1днюс звичайних'д1ференц1йних р1внянь й початков!« умов в символьнХй форм! (задача Кош! з невизначеними початкозими. умовами). Р1иення задач1,Кош! можна представите в матрично! форм1

,е - вектор НДС модуля в поточнХй точцХ; А » квадратна мат-

кт фуэдаментальних ортонормХрованих функц1й д!ференц1йного рХкнян-е. Зид'фуидй?.:екталы«п: 4ун:щХй залежить в1д корек1в характеристик-ого р!вняння й-унутрЬмиП змХст матриц! Д становкть набХр функ-1й в1д пол1ном1в до гиперболотрйгояометрйчяизс функцХй, тобто лор!в-йИйпросткх, достатиьо гладких функц1й, як! мокна багато резХв д1-зремцХязати 7а Хпгегруватй." X «• вектор яочаткових »параметр!а;

- вектор навантаяення, який записуеться в Хнтегральний форм! кемёнтамй типу • м

г М" г

г(п- <) о • . '

гт сг(йс, - функцХя Г"р1|£а чи II лохХдна по ОС . Для одномГр-[х Тнтеграяьних р1внянь функцХя Гр1на е вирожданим ядром, зале;;-:м.в!д р1зкац1 аргументХв, й яка не мае.сингулярных особливостей, раз (2) 1нтегруеться без якихось трудногцХЕ. Запис (2) такой Екка-в, цоб назантетення було задано на£о, ¿] . Включения зо-

редженпх й кусочко-::еперервних навантажень до£о, В] виконуетьел иничнов фуккцХея Хев1сайда, дельта-функц1ею ДХрака та II похХдки- .

Для систем» одномГрних модулХв з производящею тополог1е» мокна пасти шляхом матричного додакання рХвняння, яке об"едкуе рХвнян-типу С1). При иьому вектори V", X , В будута мати параметр« Z усХх модулХв, а матрица А квазХд1агон&яХзуеться таким чином

А =

ч

Ак • |

№

(3)

А 1 ~ матрица фуадаменталыгах ортонормХруваних функц1й 1-го З'ля;- 17) - число модулХв в систем!. Будемо мати матриц» стрХч-ого.типу, у як1й стрХчка мае суттеву розр1яенХсть 1п1лком конульо-и будуть елементи т1льки головно1 д1агонал1) в порГвнянн! з мат-еп «орсткост1 МКЕ.

1ри граничному значенн1 керсмХк«тх кожного модуля X; - ¿^ Гнтег-ьнв рГвнкння Вольтера 2-го роду (I) стае граничили Хитегр&льикм

Р-Текянням йредгольма 2-го- роду, для яхого можна зробити ланцшок перетворень (виключення вектору к1кцевих граничних лараметр1в

Y(0=A(tS¿io)+B(e)-+Afi)X(o)-Y(¿) = - № .AfDX^CX^'-BW^CAW-aX^-BÍO-»

В «leí схем1 перетворень к!нцев1 граничим параметра вектору Y переноситься на вектор яочаткових параметр1в X Я матриця Y викяючаеться з розглядання. Утворюзться система л1н1йних аггебра1ч-них р1внянь ьХдносно 'Початкових й к1нцевих параметра НДС модул1в конструкцИ,.- Матриця Д^ в1др1зняеться в1д матриц! Д тХльки наб1-ром ненульових комг.енсувчих елементХв, як1 забезпечують перенГс параметра з Y да )( . Для наочност! схеми перетворень (4) ком-пенсуюч1 елеуснги зведек! е окрему матрицю С > яка названа топо-. логЗчноа. II елемекти в1дебрая:ають сп1вв1дношення статичных, к1не-маткчних й корстхових пара«етр1в, кути нахилу модул1в, зв"язок ф1-зкчно однакових Я р1зних величин й т.1н. Сл1д. в1дзначити, що запро-понований метод не мае аналог1в в науково-техн1чно1 л1тератур1. Том введена низка терм1н1в й означень, як1 дозволяють подати теор1ю МПР в оавершенсму ctshI.

Процес переносу к1нцевЙх параметр1в заснован на двох операц1ях: I. Обнуления стсвпцГв матриц! А > пов"язаних з иульоЕики почат-ковими параметрами вектору . 2« Введения в обнулену в окремих стовппях матриця Де коыпенсупчих елемснт1в. Коли 1х эвести в то-пологичну матрицю, то

Бектори л1н1йно1 системи )( й Y ПРН граничному значенн! пере-м1нних X¿= t¿ будуть мати 3 групи граничних параметрХв. Перса трупа - нульовГ гранични рараметри, що визначаеться умовами оп1рання. Друга група - залежн1 параметра, зв"язок м1ж котрими визначаеться Р1еняннкми р1вноваги й сум1сности перемЬцень вузл1в система. Третя група граничних параметрХв н1як не зв"язан1 промЬх собод. Ц1 пара-метри умовнО можуть бути назван! незаяекними. Наявно, що перекГс ларамеэрТв з Y X повинен компенсуватись ненульовимк ело.

а

¡лентами матриц! С . Незалетн! параметр« сектору повиннГ бу~ тх перенесен! н» мХсия нульових параметр1в вектору % , а оалея-н1 параметр« пороносяться згХдно з рХвняннямк 1х зв"язку. правило для визначення величин й положения комг.енсуючих елемент1в. склада-ють 3 випадка.

I. При перенесеннГ незалежного параметра вектора ^ А° еэкто-компексуячий елемент буде рХзен коефГцХенту при параметр! з своХм знаком эа схемою ' •

раХ

I. *

*

к

г

I -</ к I

Хгг

, 1 1 П.2

-а 1 г Хк{

1 Ха

Уи-о

У;;=0

аУк!

повинен з"явиться

(б)

Таким чином, компенсуючий елемент матриц1

ка м!сп1 (К) I ), де К - номер рядка матриц1 » Дв знаходив-ся параметр, I - номер рядка матриц! ^ « куДи переноситься параметр. Хнлими словами, перагая- Хндекс положения компенсупчого елемента означае стару адресу, а другий Хндекс - нову.адресу переносимого параметра,

2. Перенос залежних параметрХв приводить до повторения опера-ц1й пераого. вкпадку с той тХльки рХзницеи, цо в матриц1 X не э"являються нов! елементи, а в матриц! Д ^ в1дпов!дн1 рядки бу-дуть мати к!лька компенсуючих елементХп

■ — ХрЖ.

—

ХеМ

Л к г

-а, ь

С

7

я*

7

%ю*о

<7>

ХиШ

=-В

л

3. Коли переноситься параметри в межах вектора компенсуот!

елементи отримуоть зсув в!дпов1дно схеми

г \l\tk

ГП7 4

г!1 Ч

1-1 А

аХ«

« Хи ,

К

I

£\1(г 1 е/ь

0,1 { Ъ

(1 1

1 Хн.

(8)

номер якого р1вен номеру рядка нового положения яеренесеного параметру. НозетенсуючГ'елементи будуть р1вни помноженнэ коеф1цХента при переносимому парзметр1 на елементи матриц1 Д . В такому раз1 р1эко збХльвуетьсР число компенсуючих елемент1в, Тому необхХдно, при можяквостХ, уникать перенос1в параметрХв в межах матриц1 ^ . Досягаеться це форлуванням орХентовного графа л!н1йно1 система таз щоб в »узлах не збХгались 2 й бХльше початкових точок модул 1в. Для систем з великим числом,модул1в зробити такий граф вельми складно, тому оптимальним буде такий граф, при'котрому в кожному вузлХ будуть зб1гаться м1н1маяьне число початкових точок. .

Визначие з зкалХзу матриць Y»X компенсуюч1 елементи мат7 риц! А* , кожна звести Хнтегральне р1вняння типу (I) зг1дно з схемою (4) до системи алгэбра1чних р1внянь •

ркця коеф1ц1ент1в Д ^ буде матрицеп вельми розр1женою й загально-го типу, вектор буде мати початков! 8 к1нцев1 параметри НДС ус1х модул1в системи, вектор навантажекня $ схеми (4) не зм1-наеться, РЬзв"язання розгледаемо! системи рХвнянь може бути здХйс-нено за допомогою метода ниключення Гауса. Особлив1сть матрид1 полягае в тому, що п1сля обнуления стовпц1в в не1 зиявлкютЬся ну-льов1 ведуч! елементи. То«1у перед -застосуванням методу Гауса пот-р1бно змХнити порядок рядк1в матриць А Й & , який виключае нульов! ведуч! елементи, ,

Найб1льш складною операц1е» в алгоритм! МГ1Р е формування матри. ц1 коеф1ц1ент1в Д^., яке мае сл1дуюч1 етапи:

X крок. Форыуеться квез1дХагональна матриця (3). Нульова матри-ця Д заповноеться блоками Д • граничних значень ортонсрм1рува~ них фувдаментальних функц1й, що виконуеться операторами циклу,

2 крок. Дор1вндагься -нулю стовпц1 матриц1 Д , номери котрих рХвни номерам нульових рядкХв вектору .

'ó грок. Виэначаються компенсуюч! елементи топологХчно! матриц! С, . 4 крон. Матриця Д^е результат додавання матриц1 С до обнулено! в окремих стовпцях матриц1 Д0 зг!дно з виразом (5),

Матриця навантааення 0 утримуе елементи з вклаценими силови-ми просторами на ochobI теорП узагальнених функцХй й сплайнов. На-вантаження на кожний модуль задаеться, а йункц1я Гр1на завжди моле бути визначена. Тону в матриц1 & п1сля 1нтегруввння зостаються члени з узагальненими функц1ямй й сплайнами» Одинйчна функп1я Хев1-сайда й сплайни легко програцуються на ЕОМ, а дельта-^ункцХя ДХра-ка та II пох1дн! повинн1 представлятисьнулями. Вектор нававгажен-чя В> - в алгоритм!. Щ*1Р не винагаэз ведения вантаження до екв1ва-иентно! вуэловоХ, як це робйться в МНЕ, так qo спростовуоться про-*1яна операцХя.

Розв"язанням системи л1н1йних алгебра1чнйх рХвнянь визналагаться !еобх1ди! початков1. параметра, а вектор стану в унутр1пн1х точках южного модуля системи виэначаеться обчлсленням по рХвнянню Вольтера Ш* Таким чиной, алгоритм одном!рного варХанту МГ1Р заснован la операц1ях перетворення 1нтегральних рХвнянь Вольтера й Фредголь-ta 2-го роду, як! суттево в1др1зиягться в1д вХдпов1дних рперац!й ■eopll (ÍTE. При цбоыу розглянуто 2 теореми. Пераа теорем^ ствсрд-:уе, що гршшчн1 умови ножно1 npysjiol системи завжди забезпечують иконания схеми перетворпвань (4) (О ^ L у » тобто число нульових араметр1в вектору X завзди <51яьше або рХвио числу .яезолежних араметр1в вектору *)f ). ЗгХдно з другою теоремой'запади 1скуо ар1ант перестанови рядк1в матряц1 Д^ , який виаявчаа нульоз1 ве-уч1 елементи. Цо дозволило теоретично сбгрунтоватя иойлив1сть би-онытя алгоритм МПР для; одномХрмого вкладка.

Дяд прямодЩйного стержня складено.р1внякня КГ1Р аагального сладка двформування. Вокй представлеиона стор.12, А^АИ4.с ¡А^^р, '"и+С'^кг» Gp матриц1 фундамснтальта. фуи!щ1Я й функц1к ГрТна гину, .зеуву, кручення Я роз тягу, формя запнеу котрих предста8лен1 potfütax {4-7,9*11,12} » Наказа!«} використвкня рГвнякня (9) ДХя . ззв"язаяня р1зноианХтних задачетаткхи л1нХйнюс сметен а прямолЬШ» тх стертое, Розглянута задача алоаданного двформування кругового гераня з урахуввнмям деформацИ згину Й розтпгу. Р1вншшя písHoea-I вього вкладу эводаться до суиХско! свемяп двух р1вняиь вГдног-> «еренХцскъ

о

3 'к 5 С

т-2 9 {О

и

42

С , ТЛЕ* лм ■ п1*^ Я* /п

| + + И а(А))

ц^тг)^ м -ёгт=- ,

де ЩА^и^)- поперечна й повздовжне перёмГцення в1с1 кругового стержня; £2, £ 4 - згинна Й повгдовжня жорсткост1; Я - радТус стержня; ^^(¡зс),^^)-лопвречне'й повздовжке навантаження; -кутова координата.' Система рХвнянь СЮ) з прчаткоЕими параметрами розв"язувалась за допомогоп Гнтегрального перетворення Лапласа. В1д-пов1дне рХшення в матрично1 форм1 показано на стор.13, де фувдамен-тальн1 ортонормируван1 функцП й вантажн1 члени представлен! в робот! рО]. На ряд1 приклад1в показано застосусання рХеияшш (II). В аналогично! форы1 представлено р1шення р1вняння згину прямол1н1й-ного стержня на пружн1й одношаровХй основ1 з двома коеф1ц1снтами л1жанки. Дан приклад розрахунку замкнутого контура на пруянХй основ!.

ВЩ{Х)

Щуьр£) ЕАЩх)

Ш*)

ы

А

«е

9-^сЬШ

Мг(о)

0/0) йс ь(П

ЕГу %(о) X Ш.

Л

М^О) 0

0г(о)

0-1*6(0)

Мкр(о)

ГА 11(0) -ьип

Ш К

(9)

4

I

Г г-— —Г — — Ч...... М £1т Ъи.

■ЕХЩЛ) "Аз 'Ас л

ыш 1 Нгс М(о) 4 0 ~ В.Э1

.....а (Л ) ; - 1 1.. —!— Ы. .....Г^ ам.

тищ ¿я !АЙГЛ^ИЯ Аи'.Ак влит

Ш) ■ — --№ И г м \Ац

(II)

Розв"язання рХзноманХтних задач статики плоцинних я просторсвих стеркнезих систем дозволили сформулювати сл1дуючХ висновки по за-стосуванга рХвняиь я алгоритму МГ1Р: ' :

1. Розрахунок НДС систем виконуеться т1льки в рамках локальких систем координат кожного модуля. Цей висновок можна вваяати пози- . тивним, тому що е вибХр производящего порядку формування головно1 матриц1 ¡¿Г1Р ~ Еектора початкових параме'тр1в X й виключаяться эперацИ переходу в1д.локальних, систем координат до глобально1 й г!авпаки.

2. Не потрХбко проведения статичного й к1кематичного аналХзХв :истсми на прикмет вибХру основних систем, тобто розрахункока схе-ла конструкцИ в ;£Г1Р не пХдлягае зм1ненням й тим самим пХдвда}уеть-:я достовХрнГсть реэулътат1в розрахунку,

3. Стержнева система дискретизуеться в вуз л ах на окрем1 мо'дул1. 1к правило, вузловими точками е точки розриву статичних й кГнема-?ичних параметрХв стерхн1в. '

Мереж! дискреткзапИ розрахункових схем МГ1Р й Ь2гЕ однаков1, ко-ги перемХщення стержнХэ описуються полХномами, Яюцо перем1щення опи-:уються гиперболотригонометричними функц1ями, то мережа МНЕ мае >1льше модул1вт -нХж мережа МГ1Р при однаков1й точност1 результатХв,

'»атриця А* МГ1Р для випадка просторового деформування стерсаня [ае розм1р 12x12 елемент1в й вклочае т1льки.2б ненульових елемонт1в. [атртоя жорсткост1 МКЕ мае те* самий розмХр, однак включае 40 ле-ульових елемент1в (О.М.Маслен1ков, В.Л.ПостнОв й Хн.). ■

4. МГ1Р мае б1львшй розмХр системи р1внянь нХж методи сил, й пе-ем1щень,.однак логика алгоритму суттево прост1ша, При формуванн! истеки рХгкянь МГ1Р не застосовуоться олерацП транспонукатт, ноження, обернання матриць, 3ведения эаданого яаяантажвннд до гуэ-ового навантаження. Матриц! МГ1Р формуються на баз! одного 1нт«г-

рального р1вняння г р1шенЯя задач1 Кош1, в -котрому ц!клкчно зм1ню-оться геометричн! параметра й навантажекня иодул1в. Можна заключи-ти, що метод мае максяцум ар1фиетичних операц1й й мХнХмум логичних олерац1й, тобто вклвчае ус1 ознаки мадиних метод1в розрахунку (М,М. Шбпоюн1ков). . . • '

5. 1ЯГ1Р склпдаеться з р1шеннязадач1 Кош1 в матрично1 форм! та краЙов1а задач1 для лХн1йно1 системи. Крайова задача вводиться до розв"язання системи л1н!йних алгебраХчних рХвнянь в!дносно початко-в!«, й к1нцевкх параметрХв у&х модул1в, Для розв"язання системи . р1внянь МГ1Р коже бути застосоиан метод виклвчвння Гаусв без вибГру ведучих елемент1Е тез0граниченим8иб1р0мвэдучихелемент1в,

5, ШР прииоде к утьоренню добре обумовлених (як правило, мХра Обумовленноет! рТбна чи блкэъка до I) Й духе розрЬкеких ыатриць ко» еф!ц1ент1в •зйгайьного виду4 не симетричних й не позитивно виз«? начених. Матраца А мае бяочну структуру, котра пот1ы порушуеться п!сля операцИ (С) Й перестанови рядк1в в Ду . Бккористання мето«. ду Гауса без вибХра ведучих елемент1в не приводить до значного на» коплення помадок' операц1й г.иклсчення. Наявн1сть жорсткових параметр р1в £1} 6Д & тЛ. в матриц1 Х^ натуральним чином масш-' табуе матриц» Д^ , коли числа повол1 зменшуютьсл .при в!ддаяенн1 в1д головноГ дХагонал!. >;:

Визнечник матриц! Д ^ в <$езрозм!рних координатах р1вен I. '

7. МГХР мае значи1 резерги еконоыЗ! часу роботи й пам"яти ЁОМ. Прямий й частку оборотнього крокХв методу Гауса можна виконуватй тХльки'кад ненульеви«к вдеиеитами матриц1 '».. ■

8. ИПР доз воля» ¿дхоцувйтк розрахунок пружних систем при эы1-ненн1 координат назсдткженнл, при коибГнованих видах деформування модул 1в, при прямХ^ та НосоЙ сииетрН роэрахунковоХ схеми, при дЦ температур«, помилковях розуТрахй 1тиХ факторах. Топологи«« мат-риця С в1добра*ае геомтрячн! особливом! л1н1йно1скстеми. На* б!р II ненульових еле!<ект1в.звйвжить в!д ор1ентовного графа розра-Хунху й 1нвар1а»тен по вХдноденнв до виду розрахунку (статичному, динвыХчноцу^ б1фуряац1Пному). ' '

9. Алгоритм МПР дозволяв без пром1жнях операцХй переходити в1д крайовХй задач1 визначення початковкх параметр!» до обчисленняВДС я унутрХшнйс точках иодуя1в/ Ш* НПР'^ШЁ 1снуе'зв"язок. Матриц« жорсткост! КЕ ноже бутя визиачена з р1внянь МПР (9) при одиничних к!неиаптних д1Я на модуль, '."■:

Дал! роз глянут! задач! динайХки б ст!йкрс.т1 пружних систем* В1д-

- Т5-.

нХчено, що проблема власних'значень пруяних систем продовжуе заливаться актуальной задаче?) теорИ роэрахунку. Так, методи сия й пэ-ремХщень дозволяять вкэначатя точнХ споктри частот власних коли-вань й критичяих сил , однак трансцендентн1 рХвняния власних значень цих ычтодТв м&йть точки розриву 2-го роду. МожливХ також поя-ви ф1ктивних й пропуск д1йсншс частот внасл1док зм1ни задано1 роз-рахунково! схеми на основку систецу» В Ш£ вЛасн1 значения визна-чаотьсл з вХкового р1вняння (О.М.МасленХков), дё слектрк по-перше обыежен1, по«друге н&точн1 внасл1док змХнп сйстемм а несн1нченими числами ступен1в свобода на систему з кХкцевимк числами ступенсв

свобод«; ' • —...........■ .-.'..!:: \

В робот1 вкзначен ввд трансцендентного рХвняння МПР для пошуку :пектр1в власних значень пруиних систем. Ца рХвняння рл1дкуе з си с-» теми алгебраХчних р1вняиь (4) при О й Ж^О • •• ,

= О . <*>■

!нзначник(12) мае лиа& систецу граничних значень фундаментальных ртонаршфува!йа: фушад1й, щй дозволяй суттаво. спроститн псаук влас» их значень. 1нтервал кореня рХвняння (Х2) ф1ксуеться при змХненнХ наку визначника чи при поруаенн! монотонност1 його зм1иення. ПХс-я визначекня корен1в рХвняння. (12) - власних значень пруяно1 сис-еми, можна знайти форми Й в1дносн1 акпл1туди власних коливань. &гаточисельн1 приклбдн роэв"язання зг^ач дйнамХки й стХйкост1 герхнввих систем, наведёних в робот1, дозволили уявитп властивос-С й нояливост1 алгоритму НИР. Коротко; вони зводяться до таких «новкХв: '

1. НПР вХцноситьея до точюк ыртод!» »йрначенйА1 спбктр1в влас-, (X значень пружних систем, ' . . , ... ......

2. Розрахунков! схеин констругаДХ не аы1даоться Й йодапться як Даний наЙ1р модул1в в нескХнчеким чясукнгступенХв свободи й роз-дХлекими масами. ЗосередженХ каси Й сяли ХдорнП рухомих модул1в аховуються. вивХвалентним збХлЬше'нняа розподХлеши мае» Виключй- : ься молигнвХсть- появи фГктивних Й пропуск дХйсних власних значень,

3. Ваэначеннл спектру власних. значепь л1н!йнйх систем вводиться отчисления ко$енХ& визначнйка матрицХ Д^. , що найпрсст1ше вико-ги шляхом послХдовнаго перс (Яру в поеднанн! з прямим крэком мето-Гауса. Визиачникматркц1.Д^ (12)не, ыаеточок розраву 2-го рой формуеться. без операц!й транспонувакня, множення й обернання •

матриць, Роэрахунок вимуесб** «¡одивань зводиться до розв"яэшшя одного матричного рХвняння (4). Повн1стю врахоеуються пряма та коса симетр1я системи. Кожливе врахування зсуву, 1нерц11 обертання, пруж-ньо1 основи й 1нши фактори.

Анал1з цих висновк1в доз волке заключите, що МГ1Р суттево розши-рюе можливост1 динам1чного й б1фуркац1йного розрахункГв в пор1внян-н1 з Гчшими методами.

. Для стержня з перем1нною геометр1ею побудован1 рекурентн1 вирази при ступ1нному моделиванн1 розподГлених параметрГв. Так, к1нцеи1 параметри вектору ^(¿) визначаються з р1вняння

^ДйХМ+бг*), «а)

де катриц1 мають вид П) т

А^ Аго-... -А,- Д; 2 В,; °

п гач (14)

Щ - число ступен1в. РГвняннй (13) по виду не в1др!зняеться в1д (I) й;дозволяе розглядати системи з модулями, яки мають розпод1лен1 по любому закону параметри. Доводиться в1дпов1дний приклад, допов-НениЦ системним п1дходом до формуванмя розв"язувально1 системи р1в-нянь. Системний п1дход зв1льняе алгоритм МГХР вХд ручного складан-ня р1енянь р1вноваги й сум!сност1 пёремХщень вузлов системи й може служити першим кроком до повно! автоматизацЦ розрахунку.

Билвлен1 переваги ХГ1Р при розв"язанн1 задач Динам1ки дозволили з нових пози«1й розглянути неконсервативн1 эадач1 ст!йхост1 пружних систем. АналХз роб1т в ц1е1 галуз1 показав, цо за час розвитку цьо-го н'лпряму не створена задов1льНа метода розрахунку складних пружних систем, В1дм1чено, що алгоритм МГ1Р Хдеально п1дходить для роз-л"язання «6д1бного типу задач -з любой структурою пружно1 системи. • Модеяло об"екту може бути производящий наб1р модул1в з неск1нченним числом ступен1в сео6оди, можуть враховуватись зсув, 1нерц1я обертання, произволу! законк эмХнекня паси, жорсткостХ, стискшочих сил й 1нэи фахтори. Все по враховуваеться фундаментальними ¡{ункц1ями ДйНй«Хчно1 матрмц1 4 * • Встаноялецо, цо вонсервативн1 Я ивконсер-

вативн1 сили маять св1й строго виэначений наб1р конпенсуччкх топо-чог1чних елемент1в матриц1 С . Враховуючи, що транспендентне час-готне рХвнкннл (12) не мае то'чок розриву 2-го роду й дозволяв отри» лувати точний спектр частот власних коливань, алгоритмом МГХР мо-хуть ефективно роэв"ячуватись р1зноман1тнХ задач! неконсервативно1 :т1;1кост1 пружних систем. Розгляиуто низку приклад1в. В частковос-?1, визначен! дв! сл1дуячи неконсервативн1 критичн1 сили задач! 5.Бекка ( Р, -20,05?л -127,811 £1/^; Ра »317,9Х£Д/Д; . )озвиязан1 задач! ст1йк0ст1 систе?4, яки мають б1льше одного модуля, ¡ивчеко г.овг'д1нку р1зноманХтних систем при пропорц1йному зб1льтен-(I коисервптивних й неконсервативних стискаючих сил. ,Складн1сть !их задач ¡лгютруеться поредХнкоя частот власних коливань свобод-о1 рами по мал.1, де в вузл1 I прикладена сл1дкупча за куток по-ороту стискутача сила Р (задача М.Бекка), а. в вуэл1 2 - сила з.-Хксованою л1н1ею д!1 (задача В.И.Реута). На мал.1,а показано зм1-ення частот при дН т1льки.сл1дкуюч1й сили б вузл11, Анал1з рё-ультат1в розв"язання ц1е1 й 1нших задач дозволив зробити так1 вис«. овки: • ! _

1. Запропонований алгоритм МГ1Р в найб1льшо1 м1р1 пристосован пя розв"яэайня неконсервативних задач ст!йкост1 л1н1йних систем обо! структури в пор1внянн1 з 1енувчими методами,

2. Врахування неконсервативних сил ззбезпечуеться топодсг1чноп 5Трицею, де кожний вар1ант поведХнки стискаючих сил мае свХй на-Гр ненульових компе'нсуючих елемент1в.

3. Для л1н1йних систем, наванта&ених неконсервативними силами, :нуе спектр критичних сил й кривол1н1йних форм р1вноваги, як й

»и д!1 консервативних навантажень. Спетр еИлерових й неконсерва-¡вних. критичних сил накладуються один на одного. В зв"язку з шш я неконсервативних сил може суттево знизити першу критичну силу.

4. Флатер просто! системи можна припинити не т1льки накладанням Даткових зв"язк1в, але й переводом системи в сум1жну форму р1в-ваги. . • V' •• - ■ * ".■--:■ ■

5. ПружнХ системи волод1ють змогою раптового переходу до флате. Така можлавГсть.виникае при деяких величинах неконсервативних вантажень, коли початков! форми р1вноваги системи. перестають Хс-еати.

6. При однакових по величин1 консервативних й неконсервативних ■¡р.х мае'кХсае т1льки еклеров тип загубленнк ст1йкостХ.

Дан! рйзультати-надрукован! в роботах [17-21]. - -

gftl окяц **i«6tM jowíiiwrtto е »3<ue»Wior> »jw *jôwjton» -«od «ижон к№к ¿ид xomitdwif» oh ♦oHahiHtfiQ »wiiwifB хн*

-но» хмощм * избитей«* 'риифа «vhBtfte иэышэои trjïosi цмЩ

t.'.и«-' '■■■.•..■■ -v

ДСЭ / 4

ш I вггъ^а

т% т'м

-вь—

.модулIв описуеться д!фэренц1йними р1вняннями в часткових похХдних, то для здШснення. алгоритм .'Я1!? треба виконати додатков! ператьо-рення» Так1 перотворення виконуе вариацХйний метод Канторовнча-Ела-сооа, В зпиязку э цим вельми перспективно» е проблема об"еднаннл одномГрмого • варХашу МГ1Р й варяацХйного методу Канторовича-Власова. ЗрозумХло, цо вХд цього пседиання можливост! МГ1Р й метода Кан-торо в и ца-ш аео в а суттеео эб1льшаться. Розв"язанню цХеХ. проблеми й -посвящен матер1ал даного под1лу, Ка приклад! згину прямокутно! лла-сп'нл дана всебХчна оц1нка точностХ вариац1йного методу Ханторови-ча-Е1асова, в1дм!чена його ефективн1сть й висока точн1сть результа-

тХъ • ■ ■ - ■■ • ' ..... •

ОдкоиХрна модель згину прямокутно! пластини представляеться зея-■гайяаг'дХ^рзнцХйним р!внянням 4-го порядку

¥¡¡)- 2 у* У^)+¿Щ)

-Ж ъ

(15)

Г2г-

(Ю)

21

5 2 п р " 1> iv i.

X (к)<Ьс, &X С = )Х(*)Х^)сЬс

О .0 О

- 1скома функцХя розпод1лення эгйн1в пластини в налрям1 Хс1 оу ; Х(х) - задана функцХя розпод1лення згинХв в напряму 1сХ Роль н!нематичних й статичних парамэтрХв виконують уза-*

альнен1 параметри - ' '

,1

(17)

1шення задач1 Кош1 для рХвняння (15) з початковими умовами з (17) тримав В.З.Власов ' . _ .. _________. ...

ЬШр

Ая МеН/з

Муз

М(Й)

+1

ж J.

01

08)

(20)

_ £ а р1вняння (18) можна знайти ус1 узагальнен1 початков1 параметр«, а розв"язання р1вняння Яермен-Лагранжа -для пластини. бу-де пов"язано з визначенням функцИ згину

^Хф^фХЫ, (19)

де функц1я )((ос) задана, а функц1я по (18) мае вид

3) = /4 я з> +• т> Э(о) -413 М(о)-А^ Оц+

РХшення в форм1 (18) волод1е значною ступени узагальненост1. Пор1в няно просто, шляхом ускладнення коеф1ц1ент!в фуада.ментальних орто-нормируваних функц1й, враховуються ортотропнГсть матер1алу, ребра жорсткост1, пружня основа, початкове деформування, температура й ■1юш фактори. Розглянуто приклад згину пркмокутноГ пластини 1з зм1 шанкми граничними умовами в одному напрям1. Показано, цо метод ¡Сан т о р о с ича-Нл ас о ва дозволяе дискретиэац1ю самотнього модуля на п1дмодул1. В1дм1чено, що задач1 под1бного типу не розв"язуються методой В.З.Власова, а МГ1Р розв"язуються значно простЬве, н1ж 1н-шими методами. До розвитку цього п1дходу запропонована 1дея о мож-' ливостХ анал1тичного розв"язання задач де$ормування тонких пластик нк1 складен1 1з прямокутних Я круглих модул1в. При реал1зац11 ц!е! 1дб1 може бути суттево розширена область застосування вариац1йно-го методу Канторовича-Власова (пластини з неправильное, кососимет-ричною, багатозв"язаною й т.1. областями), Враховуюч1, що прямо-. кутнГ й кругл Гм одул! можуть стиковатись т1льки по рад1альним л1-н1ям, запропонована нова схема роздХлеиня перем1нних д1ференц1й-ного р1вняння згину кругло! пластини

(2!)

де X (р) - ладана функц1я розпод1лення згин!в в рад1альному напр) м1{ 1скома функц1я роэпод1лення згин1в по кутов!й ко-

ординат!. Застосування схеми (21) й процедури методу Канторовича-Власова природять р1вняння згину круглих пластин до звичайного д!|ср?тп1йного р!вняння 4-го порядку э пост!йними коеф!ц1ентами

вида

N(9) + 2 Г* + , (22)

К = ; с/А ) = [¿¡/(рд) ¡>*Х(?) с1р; А = 1Х%)4; & )- рХ (р)+ЩЦЦ)^,

(23)

■С =

О, - унутр1шн!й{ 1> - оовн!ин1й рад1уси плаотини. Узагальнен1 <с1нематичнй й статични параметри р1вняння (22) залисуються так

(24)

(25)

Р3 х' ^ > - Г4-^/ч) 2Х г^) + ^ ^ />х ^. -

Чшення р1вняння (22) з початковиыи умовами 1з (24) представлено в ¿атрично! форм! .

ъем) мм

р*——

\Apo_

■кцгкщ

'А&гАи

Ьу{(о) Ь6(о) . М(О) $(0)

¥ о

(26)

Фундаментальн1 ортонормируван! функцП й вангажн1 члени представлен! в робот1 .' 5орма р1шення (26) е найбЬтьш загальнои формой м1ж в1домими рЬеннями. Так, при А^- А 1з

(26) слХдкують в1дом1 р1шення В.З.Власова для прямокутних пластин (18). При вШсиметричному навантаженн1 1з (26) сл!дкуать рЬаення, як частковий випддок,' в1с!симетричн1 задач1 згину круглих пластан. Тако*, як й рЬлення (18), виразш-ш (26) в1дносно просто можуть бути врахован1 р1зноман.1тни додатков1 фактор« розрахунково1 схеми. Як приклад розглянуто в1с1симетричн1 задач! сгину круглих пластин з центральною коротко аагц1ь4Лено» точкою. Под1бн1. конструкцП зу- ' стр!чаються в механ1змах розпод1лення газу, до пластина виконуе роль клапан1в, й в спорудах. До таких задач зводяться й иежов! ви-падки к!льцевих пластин, коли рад1ус унутр1шнього к1льця прагне. до нуля. Центарльна точка таких пластик е сингулярнов й з ц1е1 причини в1дпов1дн1 р1шення згину в1дсутн1. Математичний апарат МГ1Р й рХаекня (26) дозволяют в1дноеио просто переборити под1бн! трудной. В робот! [24] представлен! результата розв"язання е!с1-симетричних задач згину круглих пластин й эадач1 згину пластини з неправильной нГ',-виразною области (мал.2,6), Пор!вняння з ре-

5)

Ь

1 1 г

л ь < ■ '

Г

■ Мал. 2

зультатами 1гашх иетод1в п!дтвердкли достов!рн1сть реэультат1в У.Г1Р. КомбГнуя ор1снтовн1 графи по мал.2,. можна розв"язувати по алгоритму МГ1Р эадач1 эгику пластин !з складними геомстричними й крайоримк умов&ми суттево п'рост1ие, н1ж Хнзжии Методами.

В.З.Власов побудував р1оення б1гармоиичного р1вняння зги ну прямокутних пластин т1льки для задач статики, однак в!дм!тив, цо вари(щ1йния метод може бути застосован в задачах динам1ки й ст1й-кост1. 3 л1торагур1 п1дсутн1 досл1д*ення по застосуванкп методу ¡гянторорича-Влйсоса в задачах динам!ки й ст!кост! пружних пластин.

3 зв"язку з цим в робот1 розглянут1 вХдпов1дн1 ,"1ференц1йни р1вня-ння поперечних коливань прямокутних й круглих пластин э врахуван-ням стискаачих зусиль в середн1й площин1. Показано, !цо в подХбшх зодачах зб1льшуеться число вариантГв фундаментальных функций. По форм1 запиоу вони в1дповХдавть рХвнянню (26) й наведен1 в роботах . (23,26^ . I Методом Канторовича-Власова р1вняння динамГки й ст1йкос-т1 ззодеться до звичайних д1ференц1йних р1внянь типу (22), до кое-. ф1ц1енти приймають бХльш складний вид ч

прямокутнХ пластини ' ^

& = &Щ(х)Х2(х)ах/2Э; ,С= С+ $ [- £ Ь (£Х(х)/Х> + (27) -

кругл1 пластини ^ _

$ = &+11 ¿ + 1

+//рХ(?)ф ^ ^ /ъ;

де В/С - коефХ«1енти задач статики. 0дном1рними моделями дина-мХки й стХ.чкост! тонких пластин мояуть бути врахован! р1зн1 зако-ни зм1нення стискаючих зусиль в середн1й' площин1. Наведен1 р1шен-ня рХзних тестових задач по алгоритму МГ1Р. Встановлено, що

1. Вариац1Ений метод Канторовича-Власова дозволяв практично точно розв"яэуваТи задач! на власн1 значения прямокутних й круг-лих пластин, .

2. Основна частка погр1шност1 методу Канторовича-Власова зв"я-зана з неточним описаниям зовнХшного навантаясення при застосуван-н1 одного члена ряда, а вплив на. погр1шнХсть побХчних коефХцХен- . т1в. л1н1йноХ системи д1ференц1йних р1внянь В.З.Власова вельми мало.

3. Метод Канторовича-Власова дозволяв экключити з практичного застосування функцИ Веселя при розв"язаннГ задач статики й на власн1 значения круглих пластин.

ДругиЯ вйсновок слХдкуе з пераого, оск1льки в задачах на власн! значения не враховуються як рад поб1чн1. коеф1ц1енти. Кр1м тестових" задач моаливост1 МГ1Р про!люстрован1 розвИязанкям неконсерва- . тлено1 задач! квздратно1 пластини, задач1 ст1йкост1 квадратно! пластин:!, часткоЕО навантажено1 йо~ контуру, • в!с1симетричних задач динекХжи стХПкост! круглих пластин з жорстко зац!мленою цент-

ралькою точкою, задач! динам_1ки Й ст1йкост1 "Г"-виразно1 пластини :(мал.2,б). ЯорХвняння з результатами Гнших метод1в пГдтвердили достов!рн1сть результатГв 1Т1Р.

Завершуе роботу III под1л - оболонки й системи. В ulel частин1 розглянут1 цкл!здркчк1 складов1 оболонки, плитно-ьало«н1 системи й пологов! оболонки. В!дм1чено, що методи розрахунку шл1вдричних складских систем В.З.Власова, А, В. Александрова, В.Г.Чудновського, 1,Е.Ы1лейковсъкого й 1нз. потребують залучення матричних операций для формування розвпязуваючо1 системи л!н1йних р1энянь, мають об-меження ка торцев! умови оп1рання елементГв (крайов1 умови повинн] бути однаков! для yclx елемент1в), скледн1 для реал1зац11 на ЕЮ!' й 1н. недолТки. В1д под1бних недол1к1в в1льний алгоритм МГ1Р. Од-нак, в л1тератур1 в1дсутне р1вняння типу (18) для площинно! задач! теорИ пружност! прямокутних пластин. 3 цього приводу в робот1 розглянуто б1гармоиичне р1вняння площинно! задач1 ,

vVcffoy)* f (x^) . (29)

- з наб1рок к1некатичних й статичних параметр1в

а-Ц - v* ■■6? v* -В-v?<-

^ -сл. э2у /г' за ■ д£_ эи dt (зо)

дэсЭу'ЪГ.дэс ' f dy Эх/

До р1вняння (29) й виразам (30) застосовани метод роздГлення пере м!нних 5урье й варйац1йний метод Канторовича-Власова. Показано, ¡до одном1рна модель площинно1 задач! принципово не в1др1зняеться в1д одном1рно1 модел1 згину прямокутно1 пластини (15)-(17). В1д-пов1дно не будуть в1др1зняться й фундач'ентальн1 -функцН, но зм!-няться м1сцями статичн1 й й1нематичн1 параметри площинно1 задач!. В!дпов1дно з принципом незалежност1 дП сил можна об"еднати 1нтег ральн1 р1вняння згину й площинноГ задач1 в едине р1вняння. В цьо-v.y випадку отрииаемо р1вняннЖ,загального випадку деформування" еле иента складово1 цил1вдрично1 оболонки 8-го порядку (стор.25). При У,(х:)~ $in(nfx/ij) 3 (3!) сл!дкують в1дом1 р1шення М.Лев! й Л.

Зайлока для прямокутно! пластини. Зстановлена в1дпов1дн1сть граН/ч-них у;.: о в одном1рних модел1в згину й плоцинно! задач1, яка приводить до однанових вираз!в фундаментальних функц1й;.1з р!вкяння (31)

'к* .....«> Я» -«"— |Р VI .

ъОЦ) ¿24 А22

А22 МЮ -Ц

Чц Ь2{ Ли - +

Мц) Г М ' 'Ьи А? -85/1

ЗД "Аз Ля

£У(ц) ¿и -Ая ВЧ(о). 3н1' ■

/С/Щ тЛзаЦза "А* А*ч

визнача»ться,початков1 параметри, функц1я по виразу (20),

I компонента функцИ н.апружень з р1вняння

+ £^-А1ЯЕЦс) + &51 . (32)

чад! ;,;о:*на визначитк функцИ згину иГ(х,у) =Щ) напружень

= параметр« елемент1в складово1 систе-

■м. ЕфектиЕн1сть, простоту логХки, високу точнХсть рззультат1в, рГзноманХтнХсть тип1в задач алгоритму МГ1Р показано при розв"язан~

II тестового пркклзду розрахунку.складово1 системи.

Гозглянута процедура Хнтегрування рХенянь статики пологових обо-чонок ..........■ -

I У*7г<РСэс(£) +Е Ь VЩхф-^ .

(33)

: тановами

) I ьняння (33) з водять ся до двох "в1дд1льнйх' рХвнянь з однаковоз струю-

турой

vVVVZí^)+еЬ fc^/a - fa fcy).

Р1вняння (35) розв"язувались методами розд1лення перем1нних 5урь^ й вариац!йним методом Канторовича-Власова. ЗгЗдно з методом 5урье не-в1дом1 функцП представляються рядами

^Ър* ЩЛ(^Щ) Ф(х,1|)=РмХ2Гх);

(36)

yXzHiUfa^UwXJx); Vfcj¡)=VQ)X¿*:).

Ряди представлен! К-ми членами, а 1вдекси опущен1. Безрозм1рна фукк-ц1я У ^ (ос) описуе поперечне розпод1лення згин1в оболонки, а безроз-м1рна функц1я Х2 (ос) ~ розпод!лення функцП напружень в напряму

biel

О X • Процедура методу Канторовича-Власова приводить р1вняння (35) до звичайних д1ференц1йних р1внянь 8-го порядку. Ix р1шення мае вид

2 3 '

. eaiij/h -т

с i

де (tj) - фундаментальн1 гиперболотригонометричн1 функцП

Щ--l<{fs£nfry ; Ф& = eosfay j

(38)

Визначен1 константа 1нтегрування C¿ в (37), фундамен'тальн! орто-нормируван! функцП й вантйжн1 члени р1внянь (33). BIcIm р1внянь •об"еднан1 в матричну форму, 1нтегральне р1вняння деформування поло-,гово1 оболонки показано на стор.27. В р!внянн1 (39) блоки |£ункц1й головно1 д1агонал1 описуоть власно моментний й безмоментний НДС оболонки в налрям1 bIcI О^ , Блоки функц1й поб1чно1 д1агонал1 опису-ють'зв"язок моментного й безмоментного стану (для складово1 пил1вдри но! оболонки ц! блоки в (31), нульов!). Практичне застосування р!внян

- 27

С£Г ! ! "Л CQ^ cû"5 ! 1 .°f> ¡ cO i cû S

4-

s i—^ !

^ !

СЬ

•S.

О

»

<=У Г

i : > ! y-s i '-U

^ ; /g»

& t

1

чс

сч

>

-<м

С4-

>1 ■=»

<nI С;

L? г*

>,) -г

<м

«л

■«с

i

«4! -5С ;

Ъ

-ч:

»

V) ,' M

«г*1 I .^Г5 i i

•Z

. .-и

• '

- ом i

i

а:

-V»

i

гм

•ч:

V»

ti -Л"

i

> су

"С

а ■с

> • <N

to

•ч:

vi

M

i

Vi)

■с

.ем to

I

<л <м

VB

-ч:

3

- 5?

см

Г*-

-<N

£

00

сГ1

"Fl - .

J^ J(39)

Ci

CJ ■«С

*=c ;

¡

i

i

-a:

«=c i

CS j C-í I

rf, :

rfí

-з:

i

a.

<3 сч

1Л

i

' )

a

CM u

с

<0 •<C

•«а:

_j¡l

QJ

СЧ <xi

<м

-«i

:

OJ

TI

i

<N

см

<N I

-<c i

<N1 -SO

<4

«л

i

• t» <c i

JCM

C\l «90

<c t

in

•ос

ta

I ■ ■•

«j

<3C <tf

II

кя (39) показано'на тестовому приклад!, гсоультати МГ1Р й методу перемХщень блкзьк! м1ж собою.

ЗАГАЛБН1 ВИСНОЗКК

Сснобн;;:.:я результата:.™ роботи е сл!дуюч1 положения:

I. Зспропонована й розроблена нова схема перетаоравань гранични; Глтегрсльних р1внлнь, як1 описувть краЙов1 оадач1 л1н1Г;них систем с?ер:ш1в, пластин й оболонок;

'2. 0триман1 нэв1 рХыення д1ференц1йних р1внянь для

- леперочних коливань прямол1н1йного стержня з врахуванням поьз-добжньс1 сили;

- починного деформування круглого стертая з врахуванням дефэр-кац!й згпну й розтягу; •

- поперечних коливань й ст1йкост1 прямонутних пластин;

- статики,, дикамХки й ст1йкост1 тонких круглих пластин;

- пло^инко! задач1 теорП пружност1 прямокутних пластин;

- статики пологових оболонок;

3. Розроблена й апробХровака ефективна метода роза"язання задач неконссрэативно1 ст1йкост1 скледгшх прукних систем;

4. ЗапропонОЕана й рсалХзована нова схема розд1лення-псрсм1нних „цХ^ерекцХйлого р1вняння згину круглкх пластин;

• 5. ?сзп"язан1 нов1 зедач1 статики, динаы1ки й ст1кост1 пластин о круглим й комбХнованим контурами;

6. 0триман1 нов! дан1 про повад1нку пруян1х систем при д11 не-консервативних навантажень й концентрацП напружень в сингулярних точки тонких пластин; ' _

7. Сформован! р1зняння загального випадку деформування елемент1в ст^ркневих, пластинкових й.оболонхових систем на баз1 одном1рних Хнтогральних р1внянь;

8. Зиконаиа'процедура анал1тичного Хнтегрування р1внянь статики' пологоеих оболонок для производящих умов оп1рання.

9. РозЕккена область застосування вариац1йного методу Канторови-ча-Зласора,.яка включае найб1льш загальний'випадок розрахунку про' сторових й площинних пластинкових систем з складною геомстрХею.

Совокупн1сть основних результат1в дисертацП дозволяе розгляда-ти ней труд як работу, де розроблен1 ков1 теоретичн1 положения, ;:отр1 'моу.на кзал!ф1кувати як нов1'значн1 досягненя в механ1ц1 Д(!^Орм1ЕНОГО твердого т!ла.

,сК0Ене утрну.зння д'ЛсертадП ладруковако ъ слхдуычих роботах.

1. Работягов Д.Д., Оробей В.Ф. Теория деформирозакия упругих стерневых скстек,-Одесса, Т933.~178 с.-Деп. в УкрНИККТИ 14.07.1983. - Г> 743, Ук-Д83.

2. Работягов Д.Д., Евстафьев A.H.-, Оробей В.5. Аналитический кзтед определи:;ия напргиенно-деформированкого состояния стср.хня куссчг.с-лостояк: Л косткости в поле сил.-Одесса, ,1984.-25 с.-Дев» ■ в УкрНИИНТИ 13.07.1984.1235,. Ук-34Деп. - , . : ,

3. ?<шо?ягов Д.Д», Орсбей В,5. Проблема собственных ¿качениЛ на" ochobfr представления уравнений движения упругих' систем с помочь» матриц податливости и жесткости//Четвертое Республиканское совеча-ние по проблема:,! динамики твердого тела. Тезисы докладов.-Донецк: Изд. Института прикладной математики и механики АН УССР, 1984.-

с.43-44.

4. Оробей З.Ф., Работягов Д.Д. Расчет стершевых систем методом граничных' интегральных уравнений.-Одесса, I937.-25 с.-Деп. в УкрНИИНТИ 06.07,1987,-» 1666,: Ук-87. ' -

5. Оробей В.О., Работягов Д.Д. Расчет на кручение тонкостенных керазрслых балок и рак методом гракичдьк интегральных уразнелк?. -Одесса, 1057.-35 с.-Дсп. в УкрШШТй"l5.C9.1987.-J?2f?0,Уг:-37.

о. Оробей В.Ф., Работягов Д.Д. метод граничных--интегральных /раппсний в статике стеркневых систем.-Одесса, IS88.-I30 с.-Деп. з ^крййИНТИ 04.0o.I988.-J? 1057, Ук-88.

7. Оробой 3.0., Работягов Д.Д. 'Метод граничных интегральных /равнений в динамике к устойчивости стержневых систем.-Одесса, [988.-181 с.-Деп. в УкрНШНТИ 03.11.1083.-!? 2810, Ук-88.

8. Оробей З.Ф., Работягов Д.Д. Математическое моделирование эз-;ач статики стерг.кевых систем интегральными уравненияки//Ресг.убли-;ааская научно-техническая конференция "Совершенствование келезобе-■онных конструкций, работящих на сложные виды дефор-.мций, и их (недрекие в строительную практику". Тезисы докладов.-Полтава: Кзд. голтаЕс;:ого инженерно-строительного института, I9Q9.- с.247.

9. Оробей В.З., Работягов Д.Д. Расчет ферм методом граничннх ин~ егральных уравнений//Изв. вузов. Строительство и архитектура. ■1989.-J? 10. -с. 107—III.

10. Оробей В.5., Работягов Д.Д. Статический расчет комбинированных арочных систем методом граничных интегральных уразнений//Изв. вузов. Строительство и архитектура.-1989.-№ 12.-е. 24-23.

11. Оробей В.О., Работягов Д.Д. Решение задач'статики стержневых систем методом граничных интегральных уравнений//Сопротивление материалов и теория.сооружений.-Киев: Будивельник, 1939.-£54.-с.90-95,

12. Оробей В.Ф., Работягов Д.Д. Решение задач статикк тонкостенных стержневых систем методом граничных интегральных уравнений//Со-противление материалов и теория сооружений.-Киев: Буди2ельник,1939.

55.-е.81-86.

13. Работягов Д.Д., Оробей В.Ф., Быкова З.В, Уодифякационные методы решения модельных задач статически неолределимих композитных стержней//Всесог»ная научио-ыстодическая конференция "Проблемы подготовки и переподготовки специалистов в области создания изделий из композиционных материалов". Тезисы докладов.-Луганск: Изд. Луганского машиностроительного института, 1990.-е. 59-60.

14. Оробай В.Ф.» Работягов Д.Д. Метод граничных интегральных уравнений в механике стержневых систем. Тезисы доклада//Строитель-ная механика и расчет сооружений.-1990.«Л? 2.-е. 2{ 97.

15. Оробей В.Ф., Работягов Д.Д. Метод граничных интегральных уравнений в решении проблемы собственных значений динамики и устойчивости упругих снстем//Республиконская конференция "Динамика твердого тела и устойчивость Движения". Тезисы докладов.-Донецк: Изд. Института прикладкой математики и механики АН УССР, 1990.-е.53-59.

16. Оробей В.Ф.» Работягов Д.Д., Масленников А.М., Работягова М.Д. Управление нерегулярностями сложных упругих систем/Дам же. -с. 59-60.

17. Оробей . В. Ф., Работягов Д.Д. Решение задач динамики и устойчивости стержневых систем методом граничных интегральных уравнений //Изв. вузов. Строительство и ьрхитектура.-1990.12.-с.27-31, •

13. Оробей В.Ф., Работягов Д.Д., Работягова ¡¿.Д. Метод граничных интегральных уравнений в нвконсервативных задачах устойчивости стержневых и пластинчатых конструкций//Всесовэнай научно-технкчес-кая конференция "Методы потенциала и конечных элементов в автоматизированных исследованиях инженерных конструкций". Тезисы докладов* -Киев: Изд. Киевского института инженеров гражданской авиации,1991. -с. 18-19. -

19. Оробей В. Ф., Работягов Д.Д. Метод граничных интегральных уравнений в устойчивости упругих стержневых систем от слэдялкх сил

//Изв, вузов. Стр0ительс?Б0.-1991.-# II.-с. 22-28.

20. Оробей 3.3., Работягов Д.Д. Решение неконсервативных задач устойииврсти упругих систем методом rpsRnjreat интегральных уравко-'".¡■"//.''аторимы Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики".-Саратов: Изд. Саратовского университета, 1991. -Том З.-с. 276-283.

21. СроЗоП S.O., Работягов Д.Д. Кеконссрватаветз к;ом?ин;:уэ,зй:::й:з п--г.-"г у с то * 41 г t с с 7 и упругих систсм//Йзз. вуооз. Строа?с-ьст*о. -1992,-.V' 1,-с. 23-28.

22. Оробей В.5., Работягов Д.Д. Расчёт пластин на изгиб одномерном рппч«.нтом мчтеда гран'!"м'.гс урагизпяЛ/Лзз» ^уоиь. Строительство.-1993,"?? 1.-е. 20-27.

23. Оробей S.O., Орлов С.А., Орлов H.A. Метод граничных интеграль« ньрс уравнений в динамике и устойчивости прямоугольных пластин//;'зв. вузов. Строительство.-1994.-А" З.-с. 25-31.

24. Оробей В.О. Расчет пластин с комбинированным контуром мзтЬ-;ом граничньэс интегральных уравнений//Изв, вузов. Строительство.' -1994.4.-е. 9-16. .

2Ь. Оробей B.S. Расчет цилиндрических складчатых, систем методе:« .: китт-ралура?)ет:ий//ИзБ. вузов. Стро;-л\:л1>сггз.~ЮС5. -!:• 2.-е. 31-33.

2п. ОробоЯ В.'5. Пр'/кскенче .метода Кгкторовмча-2ласова к гению себствгнных значений круглых пластин и регек::» ураЕНОниГ. стадию цилиндрических складчатые и пологих оболочек//'Геор;1я и практа-:а еусовской науки. Материалы 60—Г. научпо-тохккческой :сснфэри:н:ии !десской государственной академии холода. Тезисы докладов.-Одесса: Год. Одесской государственной академии холода, 1995.-е. 17,

27. Сробей 3.5. Применение-метода граничных интегральных урав'не-' " :ий к решении задач на собственные значения пластин с круглк,: и :о>:бипкрованнш :;онтуром//Изв. вузов. Строительство.-1995.-.V' 7-3, •с; 57—14....... ...... ...... - • ...........•

29. Оробей B.S., Доренко А.З. К вопросу об интегрировании урав-ений статики, пологих оболочек (Сообщение 1)//Изв. вузов. Строитедь-tso.-I996.-JP 5.

Оробей B.S. Метод граничных интегральных уравнений, в. расчетах нейных систем. Диссертация з виде рукописи на соискание ученой епеии доктора технических наук по специальности С5.02.07-Мйханк-.дефоркфусыого'?Еердого тела;. Национальный технический 'унивё^сй-т Украины "Киевский политехнический институт". Киев, 1926.

Защищается одномерный вариант метода граничных интегральных уравнений для расчета различных линейных систем. Рассмотрены линейно-упругие стержневые, пластинчатые и оболочечные конструкции, испыты— Банщиз,статические, динамические и бифуркационные воздействия консервативных и неконсервативных сил. Даны новые решения дифференциальных уравнений линейных задач и примеры, иллюстрирующие эффективность разработанного метода. Изложены вопросы теории метода, позволяющие применить системы фундаментальных ортонормированных функций и аппарат обобщенных- и сплайн-функций, уменьшить порядок разрешающих систем уравнений, учесть реальные условия эксплуатации, использовать системный подход.

OR OBEY V.F. Method of Boundary Integral Equations in Linear Sys-tema Calculations. The thesis submitted for an acadeoic Eootor of Science (Engineering) degree in the speciality 05,02.07 - Mechanics of Solid bodies Subjected to Sefcrtnation. The national technical university of the TJkraine. "Kiev Poiytechnical Institute". Kiev, 1996.

Defended is a one-dimensional method of boundary integral equations for calculating different linear systems. Considered are linear-elastic rod, plate and envelope structures subjected to static, dynafflio and blfurcational action of conservative and non-coneervative forces. Haw solutions are given for linear problems differential equations and examples illustrating the efficiency of the developed method. Treated are the method theory questions trhich permit to apply the systems of the fundamental orthonormalixed functions and a body of generaii2ed-and spline functions, to reduce the order of the resolving systems of the equations, estimate the'actual operating conditions, make use of the system approach.

КлючовГ слова: метод, граничнГ 1нтегральн1 р1вняння, стерхи£. пластини, оболонхи, вариац!йний метод Канторовича-Власова, систеы статика, динам1ка, ст!йк1сть. • • /

16. ilarrfp гаветний: ■

дсук-офсвгиий. .1,98 ¿и.друк.арк. 2,13, обл.-вид.арк.Тиран 100 прим. ЗГП'С1'ЛВКНЯ К1 ' • - ■ • , ■ •

"С;^:'!'»' П6Д t /t} I ^ЯйЯ' ^ И ГЬ & реи ia т.' --:-~-—

2?ОО^г(,Од8са,пр.Ивгчвнка,1-. '