автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Вариант метода граничных интегральных уравнений для краевых задач с гармоническими и бигармоническими операторами

РГ6 од

ЗАПОРОЕШИ ГОСУЛАКГГВЗЯЯШ тБЕРСТГГЕТ

на.права* рукописи

ПАДЧАНОВ *]№ тПОВИЯ

ВШШ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ИКГШТАЛЬШХ Л'АВНЕНИЙ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ГАРМОНИЧЕСКИЙ Й ЕЙГАШШ-ЧКСКЙМЙ ОПЕРАТОРА»®

05.13.16 - Прпменепие вычислительной техники, математического мoдвJшpoвaяил и математических методов в научных, исследованиях.

А В Т О Р В ® Е РА Т

диссертации на соискание ученой степени кандидата фгаико - математических наук

Запорожье - 1993

Работа выполнена в Запорожском государственном универсатетв.

КаучшЛ руководитель - доктор технических наук, '

профессор Толок В.А. Научай консультант - доктор фтаико-математических наук, ...... профессор Туровцев Г.В.

Офщиаивяяе оппоненты: - докторфизико-математических наук,

профессор Вертский Ю.В. - доктор технических наук,

профессор Цурпал И.А. Ведущее предприятие - Киевский автомобильно-дорояшй институт

Защита диссертации состоится " " ИОЛ^Л 1993г. в на заседании специализированного совета К 068.52.02 при За-поровоком государственно»» университете по адресуг 330600, г.Запорожье» ул.Жуковского, 66. ауд. 50

С диссертацией мохно ознакомиться в библиотеке Запорожского го суниверсвте та. ,

Автореферат разослан щ $ т 1993г.

• Ученый секретарь саеии&лизированнош советь к.т.н., доцент

Сысоев 1).А.

- 3 -

Общая характеристика работа.

Актуальность работы. Численные метода являются одним из основных, а зачастую и единственным аппаратом решения современных прикладных. задач механики сплошных сред и, в частности, краевых задач с (Энгармоническим оператором. Наибольшее распространение получили метода, основанные из дискретизации оОласти, в которой ищется решение задачи. Использование метода граничных интегральных уравнений, понижащого размерность задачи на единицу и позволяющего явно учесть особенности напряжений, представляет альтернативу классическим методам. Для краевых задач с дифЕврендиашшми операторами высокого порядка этот метод теряет часть присущих иму преимуществ. Таким образом, разработка эффективного варианта метода граничных интегральных уравнений для краевых заде; с оигпр-моническим оператором является актуальной задачей вычислительна математики.

Цель диссертационной работы. Разработка п-Гфэктивного гг.рипита метода граничных интегральных уравнений для краовнх задач с Ои-гармоническим оператором в качестве главной части, н часности задач теории изотермического и температурного иягипя пластин.

Научная новизна. Разработана комбинация методой теории возмущений и метода граничных интегральных урьвнений для задач теории пластин.

Предложенный подход развит на задачи нелинейного изгиба пластин (приближение Бергера). Исследотакы возможности повышения эф-фекгивности этого подхода за счет сведения задачи к чисто граничной (исключение интегрирования по области).

Газрабатаны алгоритмы и реализующие их универсальные пакеты прикладных программ для решения -тдельных классов задач теории пластю». Численно исследована сходимость предложенных алгоритмов.

Достоверность основных научных результатов обосновывается их согласоЕашюстыо с теоретическими результатами опубликованных исследований. Достоверность алгоритмов и программ подтверждается решением тестовых примеров расчета термостатического и температурного изгиба плзсгин.

Научная и_практическая ценность заключается в разработке эффективного варианта метода граничных интегральных уравнений для краьвых задач теории пластин. Разработанные алгоритмы и реализу»/-щио их программы могут бить использовании в НИМ и КБ при расчетах гтастиниатых элементов конструкций.

Апробг.ция работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на:

- научном се./инаре кафедры прикладной математики Запорожского государственного университета под руководством проф. Толока В.А. (г.Запорожье, 1990-93гг.);

- научном семинаре кафедры высшей- математики Запорожского ' индустриального института под руководством проф. Тямурова Н.Г. (г.Запорожье, 1993г.);

- научном семинаре кафедры зданий и сооружений аэропортов Киевского института инженеров гражданской авиации под руководством проф. Веряжскогс Ю.В. (г.Кйев, 1993г.);

- научном семинаре кафедры сопротизления материалов и строительного деле Украинского государственного аграрного университета

под руководством проф; Цурггала И.А., (т.Киев, 1993г.);

- научном семинаре "кафедры теоретической и прикладной механики Киевского автомобильно-дорожного института под руководством академика Транспортной Академии Украины проф. Рассказова А.О. (г.Киев, 1993г.);

- на научной конференции преподавателей и студентов Запорожского государственного' университета (г.Запорожье. 1992г.);

- на Всесоюзной конференции."Перспективные информационные технологии в анализе изображений и распознавании образов" (г.Ташкент, 1992г.).

Публикации. По результатам выполненых исследований опубликовано 6 работ, в которых отражено основное содержание диссертационной работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка /итературы, содержит 167 страниц, включая 27 иллюстраций, 6 таблиц, список литературы содержит 77 наименований.

Содержание работы.

Во введении сделан краткий обзор работ по применению метода граничных элементов к решению краевых задач с Оигарцгоническим оператором. Отмечены преимущества и недостатки метода граничных элементов в сравнении с методами типа коно' И'" элементов и конечных разностей для рассматриваемого класса задач.

Отмечен приоритет отечественных ученых в развит™ методов граничных интегральных уравнений ( М.О.Башелейшвили, Т.Г.Бурчуладзе,

Г.Г.Гегелиа, Н.А.Кильчевскнй, .В.-Д.купрвдае., О.Г.Михлин, Н.И.Мус-хел- явили, Г.Н.Савин, Д.И. Шерман и др.,\.

Указанно, что прогресс на этапе решения гранично-интегрального уравнения связан с применением процедуры кусочно-полиномиальной аппроксимации, заимствованной из метода конечных элементов (Р.Баттерфильд, П.Бенердки, К.Бреббиа, Ю.В.Верюжский, Л.Вроубел, М.Джесван, Т.Д.Круз,, М.Мэйти, П.И.Перлин, Ф.Д.Ркззо, В.А. Толок, Г.В. Т;. овцев и др.).

Рассмотрены известные подходы к решению задач теории пластин Кирхгофа, основанные на методе граничных интегральных уравнений. Выполнен сравнительный анализ эффективности зтих подходов. Отмочены их преимущества и недостатки. Обоснована необходимость дальнейшего развитля методов граничных интегральных уравнений для краевых задач Iысокого-порядка.

Подробно проанализирован альтернативный подход к решению задач с бигармоническим оператором, основанный на предварительной декомпозиции задачи. Сформулированы цель и задачи диссертации.

Приведен краткий обзор выполненной работы. Сделаны основные

ЕШВОДЫ.

Первая глава посвящена решению проблемы, возникающей при рассмотрении неоднородных краевых задач - исключению интегрирования по области в МГЭ, т.е. сведению задачи к чисто граничной. Развиты известные подходы к решению этой проблемы. В качестве приложения ВТ55Х методов предложены эффективные схемы реаения задач для уравнений Пуассона, Гельмгольца (Клейна-Гордона) и одного класса задач на собственные значения.

В частности, в § 1.2 рассмотрена смешанная краевая задача для уравнения Гельмгольца (Клейна-Гордона).

2 ■> - зи

^и - ги = о, и. = и, — . = ч. (1.1)

111 Зп ' 2

С помощью комбинации методов теории возмущений и МГЭ это задача приводится к итерационному граничному интегральному урарнонию:

г «5и* - - г <911,

С(Р)и{(Р) + и.ш) —<р,а)<1Г(С1> = и'(Р,а) —'(0)<1Г(0) + (I.?,) 1 Л 1 <эп J еп

»«..

<эп J еп

г г

(Я)и*(Р.Н)ЙЙ(Н). 1=1,2,3,..,

о

где и*(Р,0) - фундаментальное решение двумерного уравнения Лапласа, а интегрирование по области 0 может бить сведено к интегрированию по границе.

Таким образом, задача сводится к чисто граничной. Преимущества такого подхода являются результатом использования фундаментального решения уравнения Лапласа и*(Р,С1) вместо гораздо более сложного фундаментального решения исходного уравнения.

В § 1.3 предложен численный алгоритм решения задачи на собственные значения, возникающей ггри исследовании колебаний кидкости

в жестком сосуде.

, <?Ф сФ

т2® = О, в О ; — - 0 на Г,; — - ЛФ « 0 на Г„. дп 1 вп

Ее особенность заключается в том, что собственный параметр Л входит в краевое условие, а не в дифференциальное уравнение, что ток же, как и выше позволяет свести задачу к чисто граничной.

<ЗФ*

0Л + { [ ~ * ^^Г - 0.

г

где С( - известная константа, Ф* - фундаментальное решение урин нения Лапласа.

4-

Вторая глава посвящена развитию альтернативного подхода к решении задач с бигармоничегчим оператором, в частности к задачам статического и температурного изгиба пластин Кирхгофа.

В § 2.1 описан класс так называема распадающихся задач, для которых дана Формулировка мотода граничных интегральных уравнения. Показано, что в случае- распадающейся задачи эквивалентная система граничных интегральных уравнения можот Сыть записана в видь:

г <эи* г , . а»

о<Р)щ(Р) + ш(а> — (Р.а)с!Г(а; - (ПР.щ — изхто» + сг.п J бп 1 дп

г г

п

с зи* г ,' т

о(Р)М(Р> + м(о.) — (Р.охлча) - и*<р,о) — (соагоа) + J бп * дп

г г

+ | /(В)и*(Р.ННЮ(Ю П

где М(Р) = у2ц>(Р) и в отличие от соответствующего классического подхода использовано только фундаментальное решение и*{Р,Я> уравнения Лапласа, что значительно повышает эффективность метода. Кроме того, используя результаты первой главы, показано, что во многих практически • ясных случаях интегрирование по области в (2.1) можно исключить. Уравнение (2.1) является основой исследования термостатического и температурного изгиба пластин в 5 2.2 и § 2.3.

В § 2.2 сформулированы основные гипотезы и решен ряд тесто-пых и модельных задач об изгибе свободно опертых пластин симмет-

ричных форм под действием нормальной нагрузки и краених моментов. Подтверждена эф!ективность такого варианта метода грэничннх элементов при решении задач реальной сложности.

В § 2.3 предложенный альтернативный вариант МГЭ развивается для случая температурного изгиба пластин Кирхгофа. Задача

4 1 2

Dv w »■ ---vzM , (2.2)

(1-V)

h/2

где Мт « dB J T(x,y,z)sdz

-h/2

с краевыми условиями свободного опиряния

f г, , 02v> 1 6® М ч

V - М1 г - рг® + ^ + р " w Jlr - 0 приводится к распадающейся краевой задаче и затем к системе граничных интегральных уравнений с помощью метода частных решений, в соответствии с которым общее решение исходной задачи ищется в виде:

v> * w° + tip

В сочетании с методом граничных элементов метод частных решений позволяет/исключить интегрирование по области для тех случаев, когдэ частное решение vP неоднородного уравнения может быть найдено аналитически. В этом случае система интегральных уравнений (2.1) сводится к одному уравнению относительно прогиба ю. дискретная форма которого имеет вид:

НСи>>

где Н, G - матрицы коэффициентов влияния;

[А'

(шЫ--- векторы узловых значений переменных.

I <?п

В общем случав чР могут быть найдены с помощью метода неопределенных коэффициентов и для многих практических важных случаев эти решения легко записываются, исходя из вида функции М(х,у) в (2.2). Тогда исследование температурного изгиба пластин сводится к решению разрешающего уравнения:

дополненного соответствующими краевыми условиями. Эффективность реализации предложенного метода подтверждается решением ряда задач температурного изгиба прямоугольных пластин.•

Третья глава посвящена развитию альтернативного варианта метода граничных интегральных уравнений для случая смешанной краевой задачи для бигармонического оператора. Поскольку п случае задачи Дирихле, как и в общем случае смешанной краевой задачи, декомпозиция исходной краевой задачи в пару несвязанных задач для уравнения Пуассона невозможна, использован альтернативный подход, основанный на методах теории возмущений. Он состоит в сведении краевой задачи Дирихле и смешанной краевой задачи для бигармонического оператора к последовательности распадающихся задач и последующей декомпозиции каадой из них.'Использованный метод теории во?мущ'Зний позволяет 1. ¿лучить оценку сходимости. Никаких дополнительных гипотез не накладывается и эффективность решения значительно повышается. Эти преимущества сохраняются и в случае смешанной краевой задачи, учитывающей условия свободного опирания на части многоугольной границы.

На первом шаге предлагаемого алгоритма используется разложение, предложенное А.А.Дородницыным. Наряду с задачей

**т-/<х.у>. (3.1)

дм>

IV

■ „ - ш, — . - я, - О, (Г-Г.+ Г,) (3.21

•1 дп 1 1 ' 2

рассматривается однопараметрическое семейство краевых задач: V*© - /, Ш|Г - О, - е[ц ^ + (3.3)

. Решение ищется в виде

оо

ш " I ЕЧ (3-4)

К-0

и для задачи (3.3) получаем пос..адовательность распадающихся задач

4 2

V Ш0 - /(х,у), ю0|Г-0, ™0|г " (3'б)

ШК|Г ■ *Ч|г ' Гр- + *Ч-.)|г -

К— 1,2|3|•■•

каждая из которых может быть представлена в виде пэры несвязанных задач для уравнения Пуассона. Б.В.Пальцевым показано, что ряд (3.4) сходится при е = I к точному решению задачи (ЗЛ)-(З.й), если константа ц удовлетворяет условию -2

- < Ц < 0, (3.6)

|К1

где - норма некоторого оператора, пропорциональная квадрату линейного размера области О. Для круговой области с радиусом а значение |к[ может быть точно найдено:

а2 г -— У 2%

Р более общем случяе смешанной краевой задачи постоянная ц оире-деляотся в виде кусочно постоянной функции

О , Г

(3.7)

(О , Т2 Г,

Кмждая из »¿«дач последовательности (3.5) разлагается в пару нес-В||ялншх задач для уравнения Пуассона и затем зашсывается в интегральной форме

ОМ* г .

<МР)и» <Р) + [ ад (Ч) ~~ (Р.а)йГ(а) * Г и*(Р,0) —'(«КИЧО) + С3.8>

-»011 ^ 0п

г г

4 I М0(К)и*(Р,К)(Ю(Я) . О

о(Р)млР) + Г Мо<о) — (р.а)<1Г(а) - Г и*<р,а) —"Чохпча) +

0 •» бп J вп

+ о

j /(ЮУ*(Т,Ю6П(Ю . о

Г еи* Г . ^к

0(Р)и>к (Р) + ик«а) — (р.а)<1Г(а) - 1Г*<Р.О) —1*(0)чг<0)

■» вп •» 9п

г г

* | мк(а)и*(Р,й)ап(Н) , п

*

Г аи Г , дЫк ■

0(Р)Мк(Р) + ' м (0) _ (Р,0)йГ(0) = и*(Р,0) —"«это , -I <?П ■> Эп

г г

где и*(Р,<3) - фундаментальное решение двумерного уравнения Лапласа.

Дискретизация уравнений (3.8) с помощью стандартной схемы применения метода граничим элементов для уравнения Пуассона, приво-

дат к последовательности линейных алгебраических уравнений:

НЫ - с( + ш: ВЫ - с{ + {Т} • "ЬМ £}♦«»• "М-^Ь "-^.з.:..

век-

торы значений соответствующих переменных в узлах границы; Н, С -матрицы'коэффициентов влияния интегралов вдоль границы; (Ш, (Т), (0) - векторы значений объемных интегралов в (3.8). Использование граничных условий позволяет получить разрешающую систему алгебраических уравнений.

Описашшй алгоритм является основой исследования статического и температурного изгиба пластин Кирхгофа со смешанными краевыми условиями в 5 3.2 и § 3.3.

В 5 3.2 исследован статический изгиб пластин Кирхгофа и решен ряд тестовых и модельных задач, позволяющих исследовать сходимость итерационной схемы и получить значения параметра ц, осеопочивающего наилучшую сходимость.

В § 3.3 предложенный алгоритм развивается на случай температурного изгиба пластин Кирхгофа. В этом случае имеем смешанную краевую задачу.

Использование разложения (3.4) приводит эту задачу к последовательности распадающихся задач:

т

♦ ^ = о. %|г=.а,

ди1

&7\ ш 0. шк(г - 0, 1*4 |р » (ц ^ + 1*Л-К |г

При этом для моментов и усилий, действующих в плоскости пластинки будем иметь:

оо те

Мп = - Б £ - - Б £ е\ ,

К-0 • к-о .

05 ¿Ш

И, --1® , V,, - В .

к-о к-о

Дальнейшая процедура совпадает с описанной ранее и приводит к

последовательности граничных интегральных уравнений. Учитывая

М(Р) = /гк^шсР) - ], - 0, имеем

1 1 - V Лг

г зи* г . <4

С(Р)!У (р) + ш «3) — (Р,а)<1Г(С|) -= и*(р,0) —0(д}<1гчс|> •» бп ^ дп

/ ВСг<Р.)и*(Р.Н>(ШЗ(Н> .

0(1-1>)

а

г а-и г «

С(Р)ШК(Р) + ю.«Э) — <Р.<3}с1Г«5) - и*(Р.0) —к(<3)с1Г(0) + к .1 к ап л вп

г г

+ - } Мк(Юи*<Р,Ю<Ю(Ю .

в

о

Г Г »

C(P)i>L(P) + VQ) — (P,0)dl"id) * UlP.y) —K(Q)dr(Q) , J <9n J <Эп

Г. г

где О - область, занятая срединной поверхностью пластины с границей Г.

С помощью разработанных'в первой главе методов интегрирования по области можно исключить и привести задачу к чисто граничным интегральным уравнениям для многих практически важных случаев температурного нагружения. В качестве примера рассмотрена круговая пластина, находящаяся в температурном поле T(x,y,z), удовлет-1 2

роряющем условие - —v !£ = const, где it. - температурный момент.

Метод граничшх элементов не может быть применен непосредственно для исследования конечного прогиба пластин, так как определяющие уравнения являьгся нелинейными,

В четвертой главе для исследования конечного прогиба пластин использовано уравнение Бергера, известное как псевдолинейное уравнение, аппроксимирующее нелинейный изгиб:

D(v*«/ - = Р ,'

1 , 2 a2h2

U.„ + v. + - (иг + vf, ) = - <. Const ,

у 2 Г »2 2 ' где а - константа Бергера> определяемая для плзстин с неподвижными краями численно из соотношения

<х2кй

П _ 1 J а> fv <Ю

is г

■ Q

Таким образом, нелинейное соотношение меаду ьнешней нагрузкой [ прогибом V) вводится в уравнение с помощью слагаемого .

Здесь по аналогии с рассмотренным ранее случаем линейного из-

гпба использована формулировка МГЭ в сочетании с методами теории возмущен. Для свободно опертой пластины задача нелинейного изгиба предварительно приводится к паре задач:

v2^ - а2ш = М , ц/|Г = 0 (4.1)

v2« = - , ш,„ в О

D I1

a2h2 i г

-а »-.<«£+ «г. )<ю

12 г J * *

а

в для случая защемленной пластины - к последовательности краевых задач;

JvQ - а\ - М0 , ш0 |г - О (4.2)

'I > «с|г-°

кЛ^ - д2^ - мк , ц>К|Г - О , к - 1.2,3,...

«к,г" + VOir

ш fvi díl .

П

Затем задачи (4.1), (4.2) записываются в форме граничных интегральных уравнений, используя лредидущие результаты. Константа Г ргера a определяется итерационной процедурой. В качестве начального приближения для функций прогиба ю и момента Ы принимается решение соответствующей линейной задачи «х = 0). Использована процедура «чсленного интегрирования по области, занятой пластиной.

Дискретизация полученной последовательности граничных интегральных уравнений с помощью стандартней процедуры МГЭ приводит к разрешающей последовательности линейных алгебраических уравнений.

2 г a h

h 1 г

— О— - Í 12 2 J

Вопроси сходимости предложенной схемы решаются в случае нелин-^ ного изгиба Солзе сложным образом. • Сходимость разложений V .-

= £ екшк гарантируется выбором константы ц известными оценками к-о

(3.6), а сходимость итерационной процедуры, связанной с введением в уравнение нелинейных членов с помощью численного эксперимента. Во всех рассмотренных случаях для достикения приемлемой точности по константе Бергера а треоовалсеь лишь несколько итераций.

В § 4.3 изложенная процедура исследования нелинейного изгиба использована для решения задач теории пластин канонической формы (квадратная и круглая в плане), подверженных действию нормальной нагрузки, и удовлетворяющих условиям защемления. Полученные результаты сравниваются с точным решением и решением, даваемым линейкой теорией. В рассматриваемом случае становится особенно важной высокая эффективность предложенного алгоритма, так как уравнение Бергера является, по сути, нелинейным.

В заключении сформулированы основные результаты и выводи диссертации, которые сводятся в следующему:

- разработан вариант метода граничных интегральных уравнений для решения краевых задач с бигармоническим оператором, отличающийся простотой и эффективностью;

- предложенный подход, состоящий в комбинации методов граничных интегральных уравнений и методов декомпозиции исходной краевой задачи, развит на задачах термостатического и температурного изгиба пластин Кирхгофа;

- возможности развитого метода позволяют включить в рассмотрение один класс задач нелинейного изгиба пластик (приближение ; ¿р-гера) и построить эффективный алгоритм его оешения;

- 18- мтпиз полученных результатов и сравнение с результатами других «второе показали, что предлагаемый вариант метода граничных интегральных уравнений и пакеты прикладных программ могут быть успешно использованы в приложения.

Основные положения и результаты диссертации опубликованы в работах .

I, Толок В.А., Шадманов А.Т. Эффективный вариант метода граничных интегральных уравнений для решения уравнения Гельмгольца. //Перспективные информационные технологии в анализе изображений и распознавании образов: Тез.докл.Всес.конф.- Ташкент,

]••••Эй. - С.71.

?., Туровцев Г.В., Шадманов А.Т. Итерационный метод гранича« интегральных уравне: й для исследования температурного изгиба пластин. //Прикладные проблем прочности и пластичности. Сб.статей.- Горький: ГГУ, 1991. - Вып.49. - С.35-39.

3. Шадманов А Т. Итерационный метод граничных элементов для уравнения Клейна-Гордоне„ //Тез.докл.научн.конф. преподавателей и студентов Запорожского ун-та.- Запорожье, 1992. - С.15.

4. Шадманов А.Т. Приложения альтернативного гранично-элементного анализа к исследованию изгиба пластин. //К., 1992-.- 15с. Деп. Укр.НИШТИ, N 237 - Ук.92.

б. Шадманов А.Т. Приложения метода граничных элементов к исследованию изгиба пластин с произвольными граничными условиями. //К., 1992.- 16с. Деп.Укр.ИНТЗИ, N 870 - Ук.92. 6. Шадманов А.Т. Метод граничных элементов для класса задач на собственные значения, возникающие при исследовании колебания кидкостл в жестком сосуде. //К., 1993.- 9с. Деп.в Укр.ИНТЭИ, N 246 - Ук.93.

Подписано к печати 10.08.1983 г. Формат 6СЫИ/18 г. Запорожье, ООП ОУС, гак. № 1006, тир. 100 жз.