автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.05, диссертация на тему:Метод граничных элементов для расчета квазистационарного электромагнитного поля, возбуждаемого телами с вырожденными геометрическими размерами

НОВОЧЕРКАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

\'\ь 0.1

На правах рукописи

ГРШАЛЬСКШ ОЛЕГ ВЛАДИМИРОВИЧ

МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РАСЧЕТА КВАЗИСТАШОНАРНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ. ВОЗБУЖДАЕМОГО ТЕЛАМИ С ВЫРОЖДЕННЫМИ ГЕО?ЛЕТРИЧЕСКИМИ РАЗМЕРАМИ

Специальность - 05.09.05 Теоретическая электротехника

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Новочеркасск - 1997

Работа выполнена в Институте энергетики Академии наук Молдовы, в Костромском государственном технологическом университете.

Официальные оппоненты:

доктор Т22хЕтчес:-от наук, профессор В.И. Астахов (НГТУ);

доктор технических наук, профессор П.А. Курбатов (МЭИ);

доктор технических наук, профессор В.Л. Чечуран (С-П Г7У)

Ведущая организация:

ЦНИИ им.акад. А.Н. Крылова (Санкт-Петербург)

Защита состоится 30 ОКТПЯБРЯ 19У7 в 10 часов на заседании диссертационного совета Д.063.30.01 при Новочеркасском техническом университете по адресу: 34-6400, Ростовская обл., Новочеркасск, ул. Просвещения,132.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новочеркасского технического университета.

Автореферат разослан Zi И Юа5? 1997 года.

Ученый: секретарь диссертационного

совета, к.т.н., доцент ^^ H.A. Золотарев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Конструирование электротехнических и электрофизических устройств, удовлетворяющих комплексу современных технических требований, предусматривает глубокий анализ электромагнитных процессов на стадии их проектирования.

Несмотря на эффективность современных численных моделей и разработанных на их основе программных средств, молено обозначить большой класс задач, моделирование которых в рамках существуплдх методик испытывает принципиальные трудности. К указанному классу относятся задачи анализа электромагнитного поля тел с вырожденной геометрией, т.е.объектов, для которых характерна принципиальная малость одного (оболочка, слой) или двух (длинный тонкий проводник или диэлектрик) характерных геометрических размеров-

Задача расчета э.м. поля, возбуждаемого телами с вырожденной геометрией, всегда привлекала внимание исследователей, т.к. практическая значимость этой проблемы весьма многогранна и обусловлена конкретными техническими разработками в различных областях: электромагнитные методы разведки полезных ископаемых и неразрушающего контроля, антенно-фидерныэ устройства, судовой магнетизм, вопросы э.м. совместимости и т-д.

К настоящему времени имеется научный задел в области численного моделирования полей ташсостснпых конструкций. Однако существующие концептуальные положения, на базе которых строятся численные модели, предусматривают решение узкого класса задач.

Известные методы расчета статических полей оболочек опираются на эквивалентные граничные условия Цейтлина для срединной поверхности оболочки, которые, в свои очередь, предполагают условия непрерывности тангенциальных компонент поля при переходе через слой: Нт - в задачах магнитостатики, Ет - в задачах электростатики. Однако в общем случае условие непрерывности тангенциальных компонент при переходе через слой может не выполняться, что требует выявления обобщенных граничных условий и построения на их основе обобщенных численных моделей.

Существующие методы расчета вихревых токов в оболочках позволяют решать большой, но далеко не полный класс электродинамических задач, содержащих тела с вырожденной геометрией- Предлагаемые подходы не учитывают эффективную продольную намагничен-

зость и поперечный скиц-эффект. Эти ограничения весьма существенны, т.к. не позволяют развить эта методы в сочетании с методом преобразования Фурье для расчета нестационарных я импульсных магнитных полей. ГЬзтому особую актуальность приобретают подходы, опирающиеся на эквивалентные граничные условия Жукова.

Ссобутэ трудность представляет расчет экранирующего действия и интегральных характеристик замкнутых оболочек, работаыцих в режиме сильного экранирования, когда результирующее ноле 3 =Й3+Й0 внутри экрана крайне мало по сравнении с внешним полем Йо, т.е.

-но , где Э. - поле, яндуцяруемое экраном. Решение таких задач требует разработки специальных численных моделей, характери-зукщих непосредственно результирующее поле внутри экрана.

Известная модель (уравнение Поклингтона) для расчета э.м. поля протяженных тонких тел (два вырожденных размера) также решает весьма узкий класс задач. Данная модель предусматривает анализ поля в высокочастотной области (расчет линейных вибраторов) для неразветвленных, идеально проводящих по отношению к внешней среде тел. Однако потребность в решении аналогичных задач без указанных ограничений высока я обусловлена широкими техническими приложениями. Поэтому развитие этой модели для расчета разветвленных конструкций с конечной проводимостью в широкой области частот также является актуальной задачей.

Цель и задачи работы.

Цель настоящей работы - развить возможности метода граничных элементов (ШГЭ) для расчета статических я квазистгцзонарных з.м. полей, характерных для тел (элементов конструкций) с вырожденной геометрией, позволяющие эффективно использовать концепцию тонкостенного приближения при проектировании широкого класса электрофизических устройств.

В рамках данной цели сформулированы следующие задачи:

- разработать численную модель статического магнитного и электрического полей в кусочно-однородных средах с учетом тонкостенных тел;

- разработать метод расчета интегральных параметров (матрицы ямпедансов а Э-Д. С-) квазястащгонаряого двумерного э.м. поля массивных и тонкостенных тел;

- разработать численную модель трехмерного э.м. поля оболочек;

- разработать метод расчета квазистгцзонарного э-м. поля

замкнутых оболочек (экранов), работавших, в режиме сильного экранирования;

- разработать метод расчета трехмерного э-м. поля и интегральных характеристик (входных импвдансов) для тонких протяженных тел.

Научная новизна работы-- сформулирована и исследована численная обобщенная модель в рамках метода граничных элементов (МГЭ) статических электрических и магнитных полей тонких слоев и оболочек;

- разработана и исследована численная модель (МГЭ) интегральных параметров (матрицы импедансов и Э.Д-С.) и квазистационарного э-м- поля для двумерных массивных я тонкостенных тел ;

- исследована численная модель (МГЭ) трехмерного в.м. поля оболочек в векторной и скалярной формулировках;

- разработана и исследована специальная формулировка (МГЭ) для расчета квазистационарного э-м. поля оболочек (экранов), работавших в режиме сильного экранирования;

- разработан метод расчета (МГЭ) трехмерного э-м. поля и входных импедансов для разветвленных протяженных тел с учетом диэлектрических либо слабопроводящих покрытий.

Практическая ценность полученных результатов. Полученные в диссертации формулировки граничных интегральных уравнений и разработанные на их основе численные модели э.м. поля используются в научно-исследовательских и проектных организациях при разработке широкого класса электрофизических и электротехнических устройств, конструкции которых содержат элементы с вырожденной геометрией.

Адпробация работы.

Результаты работы представлялись я обсуждались на:

- б-th ishv (Международный симпозиум по технике высоких

напряжений, Новый Орлеан, usa, 1989);

- 7-th ishv (Дрезден, Германия, 1991);

- конференции по теоретической электротехнике (Винница,1991 );

- 8-th ishv (Иокогама, Япония, 1993);

Q—t-h ISHV ÎTV.OTT »ппчтча 1 QQtH

нубликации.

Результаты работы отражены в 18 печатных работах.

Об'ем работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы. Основное содержание (без списка литературы) изложено на 170 страницах текста, а иллюстрируется 54 рисунками.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

В первой главе рассматриваются эквивалентные граничные условия и интегральные уравнения для расчета двумерных потенциальных электрических полей тонких слоев и оболочек.

Решение электростатических задач с учетом тонкостенных тел в виде слоев и оболочек сводится к вычислению поля ея, индуцируемого такими телами (рис.1а). Причем вид эквивалентных граничных условий на срединном контуре Ь, либо на срединной поверхности 5, «оделирупцих оболочку в двумерном и трехмерном случаях, определяется соотношением комшгексых проводимостей оболочки 3 окружающей среды ■

/

Рис.1

При условии |7sI << |7j

нормальная компонента пиля непрерывна на L

(1 -1 )

(1 .2)

ITSI >> 17„1

(1 -3)

тангенциальная компонента Ï непрерывна на

Ет (01 =« Е (Ч) , о 6 I, . . (1 .4.)

Таким образом неравенства (1.1,3) определяют вид эквивалентных граничных условий (1.2), либо (1.4) на Ь. Граничные условия (1.2,4) вообще говоря, являются приближенными, однако чем сильнее выполняются неравенства (1.1,3), тем точнее выполняются (1 .2,4).

Выбор соответствующего граничного условия на Ь в свою очередь определяет тип источников индуцируемого поля и соответственно интегральные уравнения, которым они удовлетворяют. В результате задача расчета поля оболочки редуцируется на два случая.

Случай 1. |7в| << |7о| Е+ = Е~ (гр. усл.) , 1 = Г1,

Е31= -ггаа ; ф1 = |и1(Р)К(Р,0)с11р,

I

» (в) = а [ | а (Р)^ К(Р,в) <11 -Е0(Ч)1 (1.5)

1 Л р п )

ь

Случай 2. |ТЯ | >> |Т0| Е* = е; (гр. усл.) . 1 =

ГГ1 т { а /Ь 1

-----гч-2

1п л I г , ч / ах

р

I.

и _ с я) = а. I 1и

И СР)^К(?,<3> <11 - Е° (0) 1 (1.6)

г ст р т )

Ь

где а /7 , а=И7/7 , кср,0)=<п ,г )/(2Юг2 ) ,

1 'о'Б 2 ^ 'о ' Р ра Ра '

л - внешнее электрическое поле , Е , Е - поле, возбуждаемое оболочкой, и И - плотность двойного слоя .

Интегральные уравнения (1.5,6) являются гиперсингулярными, т.к. интегралы имеют предельное значение только в смысле Адамара (<3-»ь) и расходятся в смысле Коши (<3«&) .

Если оболочка расположена непосредственно на границе раздела сред с комплексными проводимостями 7 , 7ог, то индуцируемое поле возбуждается источниками простого а и двойного слоя и . Задача расчета поля редуцируется на два случая |7 | << шп!|7о1|, ¡7021! и 1Т31 >;> 1Т011> IТ02 I! и сводится к решению систем интег-

-з-

ралышх уравнений относительно о ,'«< для первого и относительно 0"2 ,у 2 для второго случаев.

Существенно, что уравнения (1.5,6) относительно wt .реализующие различные граничные условия на L, содержат одинаковые интегральные операторы и отличаются только свободными членами и коэффициентами при операторах . Таким же свойством обладают системы относительно а, я .

Плотность двойного слоя и 2 характеризует компоненты Е^, Е^ результирующего поля внутри слоя оболочки. Так, например, в первом случае u fQ)=Ev(Q)h дает скачок потенциала при переходе

1 п

через слой; во втором случае характеризует полный ток 1 iQ>=7ssNQ)h , текущий в слое, т.к. '«¡2(Q)=7sE^(g)h/7о. Численная реализация уравнений (1.5,6) при кусочно-постоянной аппроксимация и (метод Крылова-Боголюбова) дает решение с нулевыми краевыми условиями , т.е.( 0 на краях L) я соответственно ток, либо скачок потенциала равны нули на краях контура. Гиперсингулярные уравнения (1.5,6), как правило, можно прообразовать к сингулярным интегродифференциальным уравнениям, однако численная реализация последних требует использования аппроксимации старших порядков (кусочно-линейная и т.д.)

3 практических задачах скачок потенциала, либо ток могут быть не равны нулю на краях, что обусловлено контактом края слоя со средой, проводимость которой, например, равна проводимости оболочки. Для моделирования особых условий, обеспечивающих свободное втекание тока в торец слоя, либо скачок потенциала на краю L, интегральные уравнения (1.5,6) модифицируются таким образом, чтобы исключить сингулярные источники индуцируемого поля. Моделирование таких условий также редуцируется на два случая: в первом случае при условии |Т01 Klts l<<: lt0 I обеспечивается

скачок потенциала; во втором - при условии |f0 I>ITs!> >IТ01

обеспечивается свободное втекание тока на краю, где Tol~ проводимость среды, с которой сопрягается край оболочки (рис.1 б). Уравнения, моделирующие поле оболочки с учетом ненулевых краевых условий ( м12?! 0 на краю L ) имеют вид :

Случай 1

i

с.

Itoj « ltsl « Itol . -grad (J)^ Ui(Pi)rotQ [ezG(?i ,Q1 j ,

(1-8)

(1 .7)

W (Q J = а Г 1 im fw (P) К (?, O! di - U ÍP ¡-^-GíP ,Q) - E*1 ; (1 .9)

i i I i<Jn pii<?t t "J

L

Случай 2 |toJ > |ts| » |tQl • (• -10)

ES2= rotle^^l - ,*'2'.Pi)gradQ^G(Pi,Q) j , (1.11)

И ( Q ¡ = a í 1 ii |W ( P ) г— К í ?, Q) di -W (P )-¿-GCP ,3) -E*l, (1 .12)

2 2 1 I 2 p 2 1 3% i T J '

L

где a=h<7-7 )/t ; a =h 17 -7 )/7 ; g cp, o = in с i/r );

^ !0 (s ls z ls 'O 'O 21 PQ

? i- тока контакта края оболочки 7s со средой 7oi;

- стороннее по отношению к слою электрическое поле . Последние слагаемые в выражениях (1.8,11) в общем случае позволяют моделировать решение w , содержащее разрыв 1-го рода непосредственно на контуре 1. Например ток I, текущий в слое, может меняться скачком, если через точку м проходит электрод (рис.1в) , что соответствует условию (1.10) (свободное втекание тока) и уравнение (1.12) принимает вид

w2(Q)= a2[ и* Jvp>¿! KÍP.Q) dlp GCP^Q) -»*).

Если задать величину 4*t м}—И сМ), то уравнение будет моделировать заданный (не свободный) сторонний ток 1=(м tк)-Я2tMí)70, подводимый к точке И.

Сравнение результатов численного счета с аналитическими показало высокую эффективность кусочно-постоянной аппроксимации я (метод Крылова-Боголюбова). Однако уравнения (1.5,6) на замкнутом контуре L теряют устойчивость при a -* 00 ■ При ct = (1 .5,6) вырождаются в уравнения 1-го рода и на замкнутом контуре дают решение с точностью до постоянной с. Неустойчивость устраняется, если использовать подстановку '«'=аои и ввести условие калибровки (интегральное условие) | v dúo .

На рис.2 представлена частотная зависимость эквивалентной емкости и проводимости плоского конденсатора, обкладки которого имеют контакт со слабопроводящими слоями.

60 = jüJto

Y+joiC = I/F

Ряс.2

Задача расчета электростатического доля эквивалентна магнито-статической, поэтому рассмотренные выше уравнения можно использовать в задачах магнитостатики с учетом оболочек,

В целом, рассмотренные выше гиперсингулярные уравнения и их численная реализация на основе кусочно-постоянной аппроксимации и, развивают метод дискретных особенностей Белоцерковского, сформулированного для решения сингулярных уравнений в задачах аэродинамики, однако область использования (1.5,6) и (1.9,12) в задачах электростатики и магнитостатики ограничена условиями ('.7,10).

В общем случае (7S~70) мог'У'г одновременно изменяться

при переходе через слой. Модель электрического поля t"ободочки в общем случае, т.е.при любых значениях 73>70 использует источники двух типов. Для 3-D случая такая модель имеет вид

причем

- _ (•< 1 т; \

допускают различные интегральные представления (а,б):

г

PQ

V-2

dS

(1 .Ua)

:-gradU lilsf

J 4Ttr* „ i-o

iS

(1 .15a)

-graa

-div ?

(1 .146)

^гог^га^ф хпр)4—(1 .156)

3 . 3

где л; , операторы поверхностной дивиргенцяи и градиента,

в обобщенном смысле (с учетом разрывов 7 ,ф за 3). Разрывы 7„,ф на 3 моделируют подводимый ток и скачок потенциала. Источники У,ф шля а3 также характеризуют ток 3 в слое оболочки;

S

- ь

т - 7 + б

'3 'о _Т_. 1

7 7 2 ' и " 1

(1 .16) ф = Н

Т - 7

1 э 'о "

— , (1.17)

у у 2 . V. . «/ -г

'о 'з 'о

где 5; , Зт,б г> плотность тока на лицевых поверхностях оболочки 3 соответственно.

Условия непрерывности ¿тна э приводят к системе

уравнений относительно т, ф

7-7 - + Г**

'г 'о, { r.J т г

——~т + -2-

То

Ф =

(1 .18)

(1 .19)

где , предельные значения (1.14-15) на 3*и 3 .

В выражениях (1 .18-19) можно использовать ,в форме а), либо в форме б) : форма а) приводит к системе гиперсингулярных

уравнений; форма б) - к системе сингулярных интегродифференциа-

льных уравнений.

Во второй главе рассматриваются граничные интегральные уравнения (ГИУ) для расчета двумерных квазистационарных полей в массивных проводниках с учетом тонких слоев и оболочек (рис.3)

а)

Рис.3

Модель э.м. поля и матрицы ишедансов двумерных систем (рис.За) в рамках ГИУ использует различные фундаментальные решения для

ггредстэвления ноля в свободном (непроводящем) пространстве л в проводящих областях (в проводниках) соответственно. Электрическое поле в свободном пространстве э характеризуется интегральным представлением-* - -¿(|КАо + А31г2 - ггас! ? , о е Зо ; (2.1 )

а„(0) = и. Га (р) сср,9Ы1 , а е э , (2.2)

3 "о I о р * о

где ?- электрический потенциал; А ,а - векторные потенциалы дву° 5 - 1 ' мерного стороннего в и индуцируемого поля с;(Р, з 1 = 1п (-— ) .

' ' ра

Из условия непрерывности тангенциальных компонент поля на границах раздела следует представление для трехмерного скалярного потенциала ? :

?(х,у,г! = гф (х,у) + ф <х,у) ; (2.3)

д Ф = д ф = о; ф (а) = с'" , Ф (а; = с'2' со^ь )

ху'1 хут2 Г1 и т2 1. I-

и непосредственно на границах раздела (¡ЗвЬ ; 1 = 1,2,..,!!>, потенциал ? имеет вид

Р = гс'11 + с121 , (2.4)

V X.

„(1> _<2>

где ^ , - неизвестные константы.

Электрическое поле в проводящих областях 3 имеет одну компоненту ?=Е ё^, удовлетворяшщг» уравнения) Гэльмгольца, я соответственно характеризуется интегральным представлением:

к с<з> = Ф а.с?)в (г М1 , о е з , (2.5)

где э ;г > = -4- н!2'иг ) ■, к = < > («ил /2И''2 ;

" I ра 4 о \. ра I. • 1. К

н;2> - вторая функция Ганжеля нулевого порядка.

Условия непрерывности тангенциальных компонент электрического л магнитного полей на I. приводят к системе интегральных уравнений Фредгольма:

г 1 Р- г А

а + а<рпл — 41 + —- ф ст ( р ) о < г > а 1 = - ; (2.6)

ро "р (1о

Е ь,

а ¡о: г я , а <е> г . - , ,

-2— - а (р) ¿1 + + .-кир),—о.сг ><п = ,

2 ] о г <Л1 гРа р X 1 ра Р Но °

3 е I. , 1=1,2.....N , (2.7)

где а = с^/;:сцло).

Э.м. поле может возбуждаться независимо как сторонним полем Во, так и полными токами I шин ( проводников), обусловлеными краевыми условиями в начале и конце. Требуемые токи обеспечиваются при помощи интегральных условий для С7о

Г а ср)а 1 = I , 1 = 1,2.....л (2.8)

О р I

Совместное решение интегральных уравнений (2.6,7) с интегральными условиями (2.8) дает значение неизвестных констант с^ и неизвестных функций С"о ,ст . Причем <Х определяет электромагнитное поле внутри проводников Б , тогда как СТо определяет магнитное поле и вихревую составляющую электрического поля в свободном пространстве Бо, т.е. электрическое поле в Зо определяется с точностью до потенциального слагаемого.

Из (2.6-8) в силу линейности следует матричное равенство

И N -^„М > <2-9>

N NN ^ЬГ ^ N

где -л04Х Са°1 - матрица собственных (не внутренних) импедансов.

Элементы столбцов са 3 равны а., которые находятся в результате решения (2.6-8) при £ = О для N линейно независимых единичных векторов СП. В свою очередь элементы столбца Са'З равны а, получаемых из решения (2.6-8) при заданном внешнем поле Во и нулевых токах 14=..=1 =о. Если теперь ввести условие 21^=0 и рассматривать один из проводников (например Ы-ый) как базисный, то можно понизить размерность матричного равенства (2.9) на единицу и получить погонные матрицы импедансов с21 и наведенных ЭДС сз], характеризующих электрическую схему замещения:

32

'И =Ы Н .[.] , (2.10)

где V = к -к ; з = ',а' - а' > ; (2.; 1)

" V I N I ^О I. N '

Z. = -j'all ia

4 j

a - а !

Mj NN

(2.12)

Если 3o=0. т.е. С»3=0, то матрица импедансов С ZI, имеющая физический смысл только для уравновешенных систем (21^=0), позволяет определить погонную мощность потерь системы проводников

=1/2 SefCZKl ] lI] ) , минуя процедуру численного интегрирования вектора Яойнтинга. Для неуравновешенных систем (SI /0) при условии Зо=0 погонная мощность потерь вычисляется при помощи матрицы ССС°] :

р =

In

Y. К:

(2.13)

При наличии стороннего поля выражение (2.10), и

соответствующая ему схема замещения, лишь приближенно характеризуют мощность потерь системы. 3 этом случае точное значение погонных потерь как для уравновешенных , так и для неуравновешенных систем вычисляется интегрированием вектора Пойнтинга.

Для тонких оболочек (рис.Зб) характерные изменения тангенциальных компонент 2г,Нт па границах раздела возможны на расстояниях, значительно превышающих поперечную толщину оболочки К . Это позволяет характеризовать поперечное изменение тангенциальных компонент ниГ в оболочтсе при помощи одномерных уравнений Гельмгольца =

а „

(2.14а)

àr,

2 H

H

(2. U6)

что соответствует приближению Жукова.

Приближния (2.14а, б) дают соотношения, которым должны удовлетворять т- компоненты поля на эквивалентном срединном контуре I. :

к

(Q)

(Q)

2 ( Q ) =

H ÎQ)

С H (Q)

к <g ! )

QeL

(2.15)

T ( H (Q)

H_(Q) )

где

.{ я

к = ( l-*-j ) (ШЦД/2)

В общем случае и Н_ терпят разрыв па Ь , поэтому векторный потенциал поля , возбуждаемого тонкой оболочкой, представляется в виде суперпозиции потенциалов простого и двойного слоя :

А = А + А

Й О- V

О е Э

А^Ч)

А (СЗ)

V

2

Е ь.

(р)кс?,<3)а1

(2.16)

(2.17)

(2.18)

Подстановка в (2.15) интегральных представлений ? согласно (2.1,3,4.) и ¡Т согласно (2.16-18) приводит к уравнениям относительно а, и,а =

ас а > = р ( а (о +а со) +а саз +ц а

1. СУ V О 'О и

(2.19)

Ы С ч) = С. г— ! А С<3) + А (0) +А С«) ) , ((3«1. ; 1 = 1,2, (2.20)

I. ат\ а V о I. '

где а =

р =

э = —¿—а

А^ СО), ¿^(СИ - нормальные значения (СеГ^) потенциала двойного слоя и производной простого слоя , тогда как — а ^ с а) понимается как предел при (предельное значение в смысле Адамара)

Система интегральных уравнений (2.19,20) аналогично предыдущему случав решается совместно с системой интегральных условий:

СТ(Р)<П = 1 ¡1 = 1,2.....N ) . (2.21)

р

Сформулированные выше положения относительно матрицы импе-дансов и полной мощности потерь также справедливы для системы двумерных оболочек.

Рассмотрена численная реализация гиперсингулярных интегральных уравнений на основе кусочно-постоянной аппроксимации и для плоского и осесимметричного случаев, показана эффективность предлагаемой численной схемы для решения системы (2.19-21).

Для расчета нестационарного (импульсного) поля оболочек и слоев реализована численная процедура прямого-обратного преобра-

зованзя Фурье. 3 результате прямого преобразования определяется спектральный образ 5о(ц]) и диапазон характерных частот о< щ < , адекватно характеризующий форму импульса внешнего поля 3 (в, г > Передаточная функция ¡Т;з необходимая для построения спек-

трального образа 3(0 ,ш)=Й(3 (щ) и восстановления Ясз

Я О т

где Н результируззцее поле в точке Зт, строится в результате решения системы (2.19-21) для набора частот ( о^.^,.

Погрешность, обусловленная процедурой численного преобразования Фурье и кусочно-постоянной аппроксимацией а, и, анализировалась при помощи аналитических решений. Как показал анализ, численное преобразование Фурье дает удовлетворительные результаты при использовании не менее 10 опорных частот ш , принадлежащих характерному интервалу со.щ ].

г \

ад 1

<и3=10г/и1>,Ъ'Ю-1м

вФ

2-н0=е,в(Ь) г < ю-} ■

Рис.5

При помощи численного преобразования Фурье исследовалась реакция ферромагнитной ленты я цилиндрической оболочки на импульс стороннего поля Й^. На рис.4 представлена частотная зависимость погонного импеданса Z для петли шина-полупространство с пазом.

Рис.5 иллюстрирует нестационарное магнитное поле Н(г) внутри цилиндрической оболочки с перегородкой при воздействии прямоугольного импульса внешнего однородного поля.

В третьей главе метод граничных элементов развивается для расчета трехмерного (3-Э) квазистационарного поля оболочек. Предложены две численные модели (скалярная и векторная), учитывающие

намагниченность оболочки и поперечный скин-эффект.

Следуя результатам, изложенным во второй главе (2-0 случай), возбуждаемое оболочкой магнитное поле Й для 3-D случая представляется в виде суперпозиции полей ÍÍ1, , обусловленными векторными поверхностными источниками 7, £ :

= Í?1 + Я* ; (3.1 )

ff1 = rotf Г(Р) JL dSp t (3.2)

J PQ

s

H? = retí £<P)>c —" dS^ , (3.3)

J 4 ir2 Р

s

где i , t ~ аффективный вихревой ток и аффективная намагниченность оболочки; S -срединная поверхность оболочки. Направления 7, X предполагаются тангенциальными к S, причем поверхностный вихревой ток Í должен удовлетворять условиям;

div 7 = О, Q е S ; (3.4)

In= О, Q <= L , (3.5)

где ¿-vs - оператор поверхностной дивергенции на s ; L-контур односвязной незамкнутой оболочки S.

Поле Í1, обусловленное вихревым током, допускает интегральное представление в терминах скалярной функции потока:

I=rot(Un)=-nxgrad'«í ; s a q s

гГ

i?1^ ¡Tw= -grad Г W (?) dSp ; (3.6)

J 41Er2 P

o

U(?>=0 ( PeL ) , (3.7)

где grads, rots - поверхностные операторы градиента и ротора. В случае замкнутой односвязной поверхности 5 граничное условие (3.7) вырождается в условие u ( Q^) = О , где Q¡ - произвольная точка на S.

Приближение Жукова, характеризующее изменение поля поперек слоя оболочки, условия непрерывности В ^, н^ на лицевых поверхностях s+,s оболочки, а также представление индуцируемого поля в виде (3.1,3,6) приводят к уравнениям относительно а,* (векторно-скалярная модель) на срединной поверхности S ;

Д а - —— Н + Н , Q е S

г°К+ н:)

? = «1г[ Г + Г] , q е з , (3.9)

где Д^-поверхностный оператор Лапласа ; T=th(kh/2);

l-i-j) (игуц/2!1^2-, хо =( ) Сагур.о/2*1Х2; - толщина, про-

водимость и магнитная проницаемость оболочки.

Совместное решение интегро-дифференциального уравнения (3.8) при граничном условии (3.7) с интегральным уравнением (3.9) дает неизвестные функции и, с для определения if односвязной оболочки s.

Векторное уравнение (3.9) преобразуется к скалярному:

сг = - — div (Й+ + Я") ; (3.10)

■у S т -Г- v '

Я= Я * Я , Я = Г + Г ;

О 5 * Э

= Я? = -ггаа Гаср)^ ¿зр -8га<1 | Р<Р>4-4Г а1Р : (3.11)

J ' Ра J Рй

а = , (ОеБ); (3.12) Р = С^СП , С<3е1.> ,

где величина ^ характеризует продольную намагниченность оболочки непосредственно на I., и в рассматриваемом приближении равна нули , т.е. (3.11) упрощается.

Система (3.8,10) представляет собой скалярную модель для расчета индуцируемого поля Я^ односвязной оболочки. Скалярная модель также применима для расчета поля оболочки с многосвязной поверхностью з без ветвлений. В подобных случаях неодносвязная поверхность 3 приводится к односвязной при помощи условных перегородок Э* и соответственно (3.7,8) для 3* имеют вид :

S(Q)=C , Q е L

I

4 1=0, 0 е 3.

3 V

где с^-неизвестные константы, для определения которых система (3.8,10) дополняется интегральными условиями:

Л- w (3) d 1 =

ОТ 1 Q

H < Q)dS ; i= 1,2,..M . (3.13)

Разработана схема численной реализации скалярной модели (3.8,10) с использованием треугольных сеток для произвольной однолистной (без ветвлений) поверхности Б. Уравнение (3.10) моделировалось методом баланса Вишневского-Лаповка (аппроксимация а дельта-функциями в узлах треугольной сетки), тогда как уравнение (3.8) моделировалось методом взвешенных невязок. При моделировании (3.8) использовалась кусочно-линейная аппроксимация и на треугольниках для дифференциального оператора Л^ и кусочно-постоянная аппроксимация на контрольных площадках лэ^ для интегрального оператора . Техника построения контрольных площадок аз^ на триангулированной поверхности э при решении (3.8) соответствовала технике метода баланса. В результате система (3.8,10) с граничным условием (3.7) и интегральным условием(3.13) приводилась к СЛАУ относительно неизвестных функций <т,и и неизвестных констант С .

I

Погрешность численного решения (3.8,10) исследовалась при помощи аналитических моделей. Как показал сравнительный анализ, погрешность индуцируемого поля не превышает 2% на расстоянии I от поверхности Э при условии ¡гю д , где д - площадь контрольной площадки

и

О 01 0.2 05 ОМ 0-5

Рис. б

Рис.7

На рис.6,7 приведены характеристики магнитного поля квадратной пластины (7=5.6*10я, Н=1(ГЭ, ц=10эЦо) для различных эе положений (продольное, поперечное) относительно внешнего поля !?о.

Как показывает анализ полученных уравнений и расчеты конкретных моделей, поле ьГ7, обусловленное намагниченностью пластины (С = дает весомый вклад в результирующее поле

когда характерный коэффициент кТ/к* в уравнениях (3.9,10) удовлетворяет условию | к Т/к2 | >> К, т.е. при [1 >> (Д. я малом поперечном скин-эффекте. При |кТ/к*| - ь полем можно пренебречь, что позволяет ограничиться уравнением (3.8) при анализе магнитного поля тонких пластин.

Скалярная модель в переменных , а позволяет решать обширный класс задач, требуодий учета тонких слоев и оболочек, однако ее использование для расчета э.м. поля оболочек,содержащих ветвления встречает принципиальные трудности. В частности, показано,что описание э.м. поля оболочек в рамках скалярной модели правомерно при условии гог £ =0, что имеет место для однолистной (без ветвлений) поверхности я. в случае произвольной поверхности 5 (мно-госвязность, ветвления) необходимо использовать векторную модель.

Трехмерная векторная модель использует аналогично 2-э случаю интегральное представление для индуцированного электрического поля £ в свободном пространстве:

= -иШАо -§гааф , (3.14)

где <р - потенциальная функция; а -векторный потенциал стороннего поля в . Причем А1, а^ согласно (3.1-3) имеют вид;

"О

А' = Г?1Р) -Лг- • = К<?>*-— ^ •

1 Р Г "

3 3

Интегральное уравнение для 7 на срединной поверхности 3 , аналогично предыдущим случаям, следует из приближения Жукова и условий непрерывности Ет на г"*", 5~, т.е. 7 = 7Т/к или с учетом (3.14) :

Т = [а' + г + ^8га<1аф'] , а « з, (3.15)

-,?+. , 1 где А =! А + А ) /2 ; Ф < о) = -- 'П(З) .

Т г т Г _1(4Хо

Соответственно (3.4,5) принимают вид =

" К т"(Г?от ~ 2гаазф')] = 0 . О еЗ ; (3.16)

д1 + д?* + 4-Ф' = 0 • (3.17)

п п Ц о п а п т 1 о

определяют поверхностные источники с, тогда как ф'определяется с точностью до произвольной постоянной. Неоднозначность ф'устраняется при помощи условия ф'(3 )=0, где 3 - произвольная точка на 3. Отметим, что ф формально выполняет роль калибровочной функции в уравнении (3.4), т.е. индуцируемое поле ? определяется с точностью до потенциального слагаемого аналогично 2-ь случаю.

Принципиально, что векторная модель (3.9,15,16) в переменных ?,ф- реаает поставленную задачу для произвольной (многосвяз-ность, ветвления) поверхности 3.

В четвертой главе рассмотрена задача расчета а.м. поля двумерных тонкостенных конструкций в режиме сильного экранирования. Рассмотренные выше граничные уравнения аффективно моделируют возбуждаемое оболочкой поле ? и расчет результирующего поля

внутри замкнутой области при ее сильном экранировании требует чрезвычайно точного вычисления , т.к. ->

Поэтому прямой расчет результирующего поля ¡1=!Т +Й неприемлем и становится необходимой специальная формулировка интегральных уравнений относительно источников, характеризующих непосредственно результирующее поле в сильно экранируемой области.

Систему уравнений (2.19-21), можно представить в следующей эквивалентной форме:

а = -2^ тД 2 + до ч- а ) ; (¿.1 )

Ч = "2С + "от ) ! <А"2>

|<7 41 = ^ . 1 = 1.2,. . ,М , (4.3) т,

где гТ=Я" + Я = га*, е (А +А : ; А =(А +А ) ;

" О Г» -» с- 1-1 О ,—' 4-7

Уравнения (3.9,15,16) с граничным условием (3.17) однозначно

А (3) = ДГсКр) 1 п — ¿1 ; А (3) = ^Га(р) Р 1! ;

V 2% г г р о- ¿1С * 2 р

ра J г

Е Ч Е Ч -

к Ц С ' ' ' к Ь л

Источника а, и определяют индуцированное поле Нз, поэтому система (4.1-3) преобразуется так, чтобы избежать процедуру вычисления , а также ?о при расчете результирующего поля внутри оболочки. .Для этого используется вспомогательная система уравнений с неизвестными О ,а ,<1 ;

1 ' 1 и.

.. н" + н" ..

ч = -2Г1 т'1' Г 1Т? 1Т + и 1 -, (4.5)

1 ъ (_ 2 от )

= , !=1,2, . . , N . (4.5)

г.

Причем коэффициенты Т'1' удовлетворяют условиям:

= Т , 1 — 1,2____."{; 1А (4.7а)

Т,111 = 1 (4.76)

л

Доказано, что решение <7 > а системы(4.4-6) обладает рядом важных свойств. В частности, если I. - замкнутая оболочка, внутри которой нет источников стороннего поля Й , то 01, а 4 удовлетворяют условиям'-

+ ?о = О внутри ; (4.12)

СМСЗ) = -^(<3) , 5 в Ц , (4.13)

где ^ - поле источников О ,У .

Свойства (4.12,13) являются ключевыми для вывода специальной

формулировки интегральных уравнений, т.к. представление решения

а,и,а исходной системы (4.1-3) в виде

а = а * а

1 2

а = а + а (4.14)

1 2 '

а. = а ->- а

с учетом (¿.4-13) дает новую систему уравнений, относительно источников 0"2, , которые характеризуют результирующее ноле $ внутри замкнутой оболочки. !-. "•

а =

а -

г А

-С т (.

+ а

О

+ з ст

о dl = о

2 Т 1

~ J

i = 1, 2, . . , N

(4.15)

(¿.16) (4.17)

где

i А i-k

i-.18)

поле источников CT,,'*'

Система (4.15-17) по структуре аналогична системе (4.4-6) и отличается свободным членом и коэффициентами при интегральных операторах. При больших значениях k h /2 (режим сильного экранирования) параметр т - 1, а величина - 2ex?t-k и ) , Очевидно, что такой лее порядок малости имеют решения и результирующее

магнитное поле i=i?2 внутри Lk.

В результате расчет результирующего поля внутри замкнутой оболочки сводится к последовательному решению однотипных систем (4.4-6) я (4.15-17).

Предложенная выше методика расчета малых результирующих полей особенно эффективна для анализа неполного экранирования, обусловленного малыми отверстиями (в рамках 2-D случая отверстием является щель вдоль оси Z) в экране L. В подобных случаях контур Ц, характеризующий незамкнутую оболочку ,7к, h , дополняется малым фиктивным контуром Lk , который характеризуется параметрами ,а=0 и образует замкнутый контур l =l tL .

Для расчета поля внутри замкнутого контура правомерно последовательное решение систем (4.4-6),(4.15-17), причем параметр 5 , характеризующий свободный член в (4.15-17), в этом случае принимает вид :

5=0, i/к ;

1.

2, = Т -1 , Q е L,' ;

К < <

R. = - i . Q « L.

2

Необходимо заметить , что различной геометрии вспомогательного контура Ц соответствуют различные решения 02.однако поле Я, обусловленное источниками ,«2, будет неизменным внутри контура .

Разумеется данная расчетная процедура правомерна при условии малости толщины н ^ по сравнении с шириной отверстия . В противном случае на величину поля в зазоре могут существенно влиять торцы (края ), в окрестности которых исходные граничные условия (2.15) нарушаются.

Разработанная вычислительная процедура такте эффективна при анализе э.м. полей в задачах электромагнитной совместимости, т.к. позволяет непосредственно получить матрицу наведенных Э.Д.С. для электрических цепей, расположенных внутри экрана.

1

£

:о

Кпродоа.) 0(экр*н)

\ 2 (лро&д) /1

6 =з-?о7, Ь-г-ю'3м йг^-ю'2, а2 = г ю'

Рис.8

На рис.8 представлена зависимость погонных э.д.с. з (провод-экран ) от частоты Г , индуцируемые полем сторонних токов Iь,I с: = 1^= -зхр^ол). Экраном является тонкая бесконечная

плита со щелью шириной 4 .

3 пятой главе рассмотрена обобщенная численная модель трехмерного э.м.поля, возбуждаемого тоакями протяжке иными теллыи с произвольным поперечным сечением. Численная модель не использует условие квазлстзциояарности л применима в широком диапазоне частот.

Если два характерных геометрических размера тела намного меньше третьего,то его продольную геометрию можно охарактеризо-

вать контуром I.. Собственное (индуцируемое) поле ьР тонкого протяженного тела обусловлено эквивалентными токами, текущими в контуре Ь; продольным электрическим током 7^0 при | ^ | > 170 I и продольным магнитным током 7/0 при , где направления

соответствуют направлению I., и определению подлежат амплитуды I, ^ .

Техника решения (метод Галеркина) аналогичных задач в виде уравнения Поклингтона относительно I для неразветвленвого контура ь при условии "( М^М^ известна и эффективна в задачах излучения. Поэтому в настоящей главе рассматривается альтернативный подход (метод невязок) к решению модифицированного уравнения Поклингтона с учетом конечной проводимости 7 для разветвленного контура I- в широком диапазоне частот, что охватывает большой класс задач, включая статику. Важным достоинством предлагаемого подхода также является учет диэлектрических покрытий на поверхности протяженных тел, сосредоточенных нагрузок и сосредоточенных источников напряжения,либо тока.

Исследованы модифицированные уравнения Поклингтона для эквивалентных токов , возбуждаемых сторонним полем.

Модифицированное уравнение Поклингтона для электрического тока I (р. ., -1-0) с учетом конечной проводимости ямеет вид

К° + Е®<1> = г I , (5.1 )

ЛДе 2°, Е^! I) - компоненты стороннего и индуцируемого полей на цилиндрической поверхности тела; 2=73/(73~7012ВН> 2ВН~ аогонный

внутренний электрический импеданс тела, где у , 7о- комплексная проводимость тела и среда соответственно. В случае тела с произвольным (не круглым) поперечным сечением Е®(1)= Е^(П+Е®С1) проектируется на эквивалентную цилиндрическую поверхность, которая в общем случае характеризуется двумя радиусами^, 5 - эквивалентный электрический радиус для Е^ ; й - эквивалентный магнитный радиус для Ев. Выражение для возбуждаемого электрическим током I, среде 7о,Во, следует непосредственно из уравнений Максвелла:

= + 2П = -§га<1ф , (5.2)

С(?.<5М1 ;

р

где А!=)=Цо

Й(Р,3)=

2Ы .

4ТСг

к = -а - лЗ ;

ра

1^2 .,</2 »/2 .,1/2 7 .2.1,-2

Рззработзна схема численного решения (5.1) на основе метода взвешенных невязок при кусочно-линейной аппроксимации тока на контуре 1=21 , где 1 - элементы (прямые отрезки).аппроксимирующие ь. Каждому элементу соответствует: узловые значения тока I *,I_ , характеризующие ток в начале и конце элемента. Соответственно рассеянное поле обусловленное 1 -элементом, выражается через I .

Согласно методу невязок уравнение (5.1 ) интегрируется по смежным элементам для каждого внутреннего узла:

| (Е° - Е* - 5п ¿1 = о . (5.3)

1 <- 1т

2 2

При условии малости элементов 1 по сравнению с длиной волны, как показал численный эксперимент, интегрирование как стороннего поля

ао

=. , так и ви: приближенно;

яо _ ^В ^

=. , так и вихревой компоненты л рассеянного золя г. можно понимать

--1-','2 "т"1,':

: I 1т

где Э .Зт - точки коллокзции на серединах элементов 1..1 . Результат интегрирования дельта-функций, характеризующее сосредоточенное стороннее поле (сосредоточенные источники напряжения ). а также сосредоточенное рассеянное поле = =^^11 = г^г (падение напряжения на сосредоточенных нагрузках 2*, 2,^) учитывается дополнительно в расчетной схеме. 3 результате выражение (5.3) принимает вид

I ^ * ^ ^ * ) - | - - -

1. 1т

ь ь Г+Г

- - 1~г~ - —• Е° Е° + * =0 (5.4-),

где

Е^ = (? ¡^ф ф, = <р/3..>: = р^ф

э'2' о12'

аВ;д)=е !-

^ Ь, I V. о

вгр.о) ¿1 ; г>е:г> с о) = [1 й с р, а) ¿1

р I ] !■ Р

1 1 V V

ф - вихревое поле и потенциал, обусловленные к-элементом; ,е - длина элемента я его тангенциальный вектор; Iк - узловые значения тока в начале и конце элемента.

При 1¿з точка 0 расположена в середине элемента 1ь, при 1=] на расстоянии 3 от центра 1^, где Б - радиус поперечного сечения. Если поперечное сечение протяженного тела не является крутом, то при вычислении ф ь я используются соответственно эквивалентный электрический к и магнитный н радиусы. Эквивалентные радау-а м

сы к ,в , равно как и внутренний погонный импеданс г определя-

вн

ются, исходя из решения плоской задачи для бесконечно длинного тела с исходным поперечным сечением.

Выражения (5.4-), . записанные для всех внутренних узлов, вместе с граничными условиями =0, либо =I") для крайних узлов дают СЛАУ относительно узловых токов.

Сформулированная численная схема модифицируется для расчета индуцируемого поля протяженных тел с покрытием (покрытием является цилиндрический слой, характеризуемый толщиной И, и 8 ^•71) • Практический интерес представляет случай, когда комплексная проводимость покрытия существенно отличается от комплексной проводимости проводника, т.е. удовлетворяет условию

|71 + 4Ш61| << Из+ляу • (5.5)

При условии (5.5) эквивалентные токи в покрытия являются поперечными (радиальными) и их вкладом в вихревое поле ¿в можно пренебречь по сравнению с вкладом продольного эквивалентного тока I. Однако поперечное электрическое поле в покрытии может привести к сильному изменению потенциала на поверхности тела, что необходимо учитывать при решении (5.1 ). Смещение потенциала находится .из решения плоской электростатической задачи и учитывается при вычислении выражений ф_1-

11 ° ° ,„<2> 'о О <1> ,Г С. \

Ф1ь =-^ТТщё- + ' ' 6)

' 1 " 1 11 I

где ф'2- вычисляется на расстоянии 5*11 от контура 1 (внешняя

поверхность слоя); ф^*- на расстоянии 3 (поверхность проводника), причем при условии Ь<<3 выражение (5.6) упрощается;

1 (1+ - Г), ,

/х'11 . 1 V. п 1 /с с*-

^ 2% (Т ^ше ) з Г ' !5-6 >

' 1 1 V

Метод невязок особенно продуктивен, при построении матрицы входных импедансов и матрицу наведенных Э.Д.С. при анализе разветвленных конструкций, содержащих несколько сосредоточенных источников возбуждения (генераторы напряжения, тока). Согласно рассмотренной выше расчетной схеме электрический потенциал непрерывен на элементах и может претерпевать скачок в узлах, т.е. в местах соединения смежных элементов, вследствие нулевых граничных условий, либо присутствия сосредоточенных элементов (источники, нагрузки) в узле. Таким образом начало и конец каздого к-элемента характеризуется узловыми потенциалами ? Г , ?. , которые

Т+ т- *

определяются после вычисления узловых токов I ,I =

^ = I (-г ^ - + 2- - | « *1 = (5.7)

= I ^ * - г з:+ р1 •

1=1 1/2

к

что в результате дает столбец матрицы входных импедансов по отношению к узлам, содержащих сосредоточенные источники.

Погрешность численного решения (5.1) анализировалась при по->жзщи аналитических решений для длинных линий в широком диапазоне частот, а также сопоставлением с асимптотическими решениями (ш-О) для разветвленных металлических проводников.

Если протяженное тело электрически однородно ; Т.;=Т0 1 • ао магнитно неоднородно (рц.>(1о: по отношению к внешней среде, то источником рассеянного поля а3,[Г1 является эквивалентный магнитный ток J (1=0), который удовлетворяет модифицированному уравнению Поклингтона в терминах магнитного поля Й '■

н° + н*и> = % л , (5.9)

где , н: (и*; - компоненты стороннего и индуцированного полей на эквивалентной (5 .3, ,) поверхности тела, 3=а /(ц -а )2™ , г™ -

Э М 1 Э я о ни ВН

погонный внутренний магнитный импеданс» причем электрический я

магнитный импедансы связаны ссютношением 2 / < ^ )

ЪН 3 ^ вн

Выражение для Я3(3> в терминах электрического векторного ? и магнитного скалярного ф потенциалов аналогично выражении для 1р;1) в терминах А,ф :

¡Рт = ч- Йп = -щИ -ггайф , (5.10)

где

Т +j ше г

——-? Jíplí GCP,Q)dl ; ф( Q ) -

J СО J Р р т

ÍQ) =

J^oJ

JfP) 0 ( Р, Q ) di . 01 р

Если электрические и магнитные характеристики тела отличаются от характеристик окружапцей среды с ¡ ¡ > | J.> j , то уравнения (5.1,9) образуют систему относительно эквивалентных источников I ,J рассеянного поля 2s=ísí I )+!?sc J) , I )+í?s( J) ;

E + E <I) + E (J> = Z I

T T r

H° + HSÍI) + HSCJ) = S J

T T T

(5.11 ) (5.12)

где

E~<J>

tí?BC J)=|-rotQ JCP) G(P,Q)j

di

Га:

3tQpiI(P! GÍP,Q)Jdlf

Следует отметить, что система (5.11,12), записанная для прямого контура I., либо для системы прямых параллельных контуров, расщепляется относительно т.к. в этом случае Е~(Л = Н^С1)=0.

Уравнения (5.1,9), как и (5.11,12) содержат одинаковые интегральные операторы, поэтому схема численного решения (5.9), либо системы (5.11, 12) аналогична численной схеме, сформулированной выше для (5.1 ).

Рис.9

L

яВ, - , roth 1;1=

Рис.10

На рис.9 представлена частотная зависимость входного импеданса 2 для широкополосной антенны в области рабочих частот. Рис.10 иллюстрирует зависимость входного импеданса 2 от частоты Ш (низкочастотная область) для медной рамки 73 с диэлектрическим покрытием И, расположенной в слабопроводящей среде 7 .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Метод граничных элементов разработан для расчета электрических и магнитных полей, индуцируемых телами с вырожденными геометрическими размерами.

1. Моделирование статических электрических полей оболочек яри условиях |731>>170! либо |731<<|701 позволяет яспользовать различные (альтернативные) эквивавалентяые граничные условия

либо для срединной поверхности з, что приводит к числен-

ным моделям в виде граничных глперсингулярных интегральных уравнений либо лнтегродяфференциальных сингулярных уравнений. В общем случае (7„"70) поле оболочки описывается системой уравнений относительно компонент эквивалентного тока оболочки.

Численная реализация гиперсингулярных уравнений при кусочно-постоянной аппроксимации (метод Крылова-Боголюбова) дает устойчивое решение и применима для оболочек с ветвлениями.

2. Моделирование квазистационарного э.м. поля оболочек на

основе эквивалентных граничных условий Жукова приводит к численным моделям в виде интегральных и интегродифференциальных уравнений, содержащих гиперсингулярные интегральные операторы.

Численная модель двумерного поля в виде системы интегральных уравной» (Фредгольмового и гяперсингулярного) непосредственно дает погонную матрицу входных импедансов и наведенных Э.Д.С. для системы двумерных оболочек и слоев,содержащих ветвления и предусматривает решение задачи при различном возбуждении вихревых

токов (возбуждение внешним полем, возбуждение при помощи Э.Д.С. на концах). Двумерная модель в сочетании с численным преобразованием Фурье развита для расчета нестационарного (импульсного) магнитного поля.

Для расчета трехмерного поля исследованы возможности двух моделей: скалярная, векторная. Скалярная модель в виде системы граничных уравнений (интегрального и интегродифференциального) относительно двух скалярных функций и, и моделирует э.м. поле многосвязной оболочки без ветвлений, т.е. накладывает определенные ограничения на геометрию расчетной модели. Моделирование поля многосвязной оболочки с ветвлениями возможно в рамках векторной модели. Векторная модель использует систему; интегральные векторные уравнения для поверхностных источников 7поля оболочки, и скалярное интегродифференциальное уравнения для потеци-ала ф. Такая модель не накладывает каких-либо ограничений на геометрию тонкостенных конструкций.

3. Проблема расчета квазистационарного э.м. поля внутри замкнутых или почти замкнутых оболочек при их сильном экранирующем действии сведена к вычислению вторичных источников, характеризующих результирующее поле внутри экрана (специальная формулировка граничных уравнений). Такой подход особенно эффективен при анализе двумерных э.м. полей в задачах электромагнитной совместимости, т.к. позволяет непосредственно получить наведенные Э.Д.С. в экранируемых цепях.

4-. Численная модель трехмерного э.м. поля и входных импедансов, протяженных тонких тел (два вырожденных размера) в общем случае характеризуется системой модифицированных уравнений Поклингтона относительно эквивалентных электрического I л магнитного J токов, характеризующих индуцируемое поле. На основе метода взвешенных невязок и кусочно-линейной аппроксимации разработана численная

схема реиения модифицированных уравнэний Поклингтона для тел с произвольноа разветвленной геометрией в широком диапазоне частот, охватывающем как статическое, квазистационарное, так и запаздывающее а.м. поле. Предложенная модель позволяет учитывать сосредоточенные нагрузки , сосредоточенные источники возбуждения, а также поверхностное диэлектрическое покрытие тел. Модель особенно эффективна при расчете матрицы входных импедэнсов для разветвленных протяженных проводников в слабопроводящих средах.

Основные результаты диссертационной работы отражены в следующих работах.

1- Гримальский О.В., Иванов З.Л. Интегральные уравнения для расчета электрического поля в кусочно-однородных средах С учетом ТОНКИХ слоев 2 оболочек // 5-th Inter.Symp.on High Voltage Eng. Mew Orleans. USA. 1989. paper N42.12.

2. Грямзльский 0.3. Численное моделирование потенциального электрического поля с учетом тонких слоев и оболочек

// Изв.вузов. Электромеханика. 1390. м.з. с.12-24.

3. Гримальский О.В. Расчет матрицы импедансов и плоского электромагнитного поля методом граничных интегральных уравнений // Изв. вузов. Электромеханика. 1990. м.9. с.13-20.

4. Гримальский 0-3. Интегральные уравнения дая расчета плоского электромагнитного поля и матрицы импедансов тонких слоев и оболочек // Изв.вузов- Электромеханика. 1990 . м.ю. с.21-зо.

5. Гримальский О-В. Метод расчета трехмерного электромагнитного поля тонких слоев и оболочек // Изв.АН СССР: Энергетика и транспорт. 1990. N.S. с.61-58.

5. Гримальский О.В. Метод расчета электрического поля тонкого слоя с учетом втекающего тока, либо скачка потенциала на его концах //7-th Inter.Symp. on High Voltage 3ng. Dresden. Germany. 1991. paper N11.06.

v. Гримальский 0-3. Интегральные уравнения для расчета маг-нитостатического поля в кусочно-однородных средах с учетом тонких слоев а оболочек // Изв.АН Молдовы. Физика и техника. 1991. N.2. с.36-51.

з. Гримальский О-В- Использование граничных интегральных уравнений для расчета погонных матриц импедансов и Э-Д.с. для системы протяженных проводников (шин) произвольногосечения // техническая электродинамика. 1991. N.2. с.15-22.

■з. Гримальский 0-S. Интегральные уравнения для расчета потенциального электрического поля тонкого слоя с учетом втекавшего тока, либо скачка потенциала на его концах // Изв.вузов. Электромеханика- 1992. N.5. с.3-10.

Ю. Гримальский 0.3. Расчет двумерного нестационарного магнитного ПОЛЯ ТОНКИХ слоев И оболочек // 8-th Inter.Зушр. on High Volcage Eng. Yokohama. Japan. 1993. paper N12.20

11. Гримальский 0-3- Метод расчета нестационарного магнитного поля тонких слоев и оболочек // Изв.АН Молдовы- Физика я техника. 1993. N.2. с.67-77.

12. Гримальский 0.3. Модификация граничных интегральных уравнений для расчета квазистационарного электромагнитного поля оболочек // 9-th Inter.Symp. on High voltage Eng. Graz. Austria.

1995. paper N.8364

13. Гримальский О-В- Метод расчета электромагнитного поля оболочек в режиме сильного экранирования // Известия РАН. Энергетика. 1395. N.5. с.99-106

14. Гримальский 0-3. Возможности метода невязок для расчета проволочных антенн // Изв.вузов. Радиоэлектроника- 1995. N.9. с-20-25.

15. Гримальский О.В. Модификация метода граничных элементов и его приложение к расчету электомагнитного поля сильно экранирующих оболочек // IEEE Transactions on Magnetics. 1996 N.5 p.426-430

is. Гримальский O.B. Метод невязок а его приложение к расчету

антенн // ISS Proceedins: А. 1996 N.6 р. 309-312