автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование взаимодействия электромагнитных волн с оптически неоднородными несферическими частицами

005044584

На правах рукописи

Будный Кирилл Александрович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН С ОПТИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНЫМИ НЕСФЕРИЧЕСКИМИ ЧАСТИЦАМИ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 4 МАЙ 2012

Москва- 2012г.

005044584

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН».

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Уварова Людмила Александровна

Официальные оппоненты:

Кривенко Ирина Валерьевна кандидат физико-математических наук, ФГБОУ ВПО Тверской государственный технический университет, доцент кафедры «Теплофизика»

Бычков Владимир Львович,

доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник,

ФГОУ ВПО «Московский государственный

университет им. М. В. Ломоносова»,

ведущий научный сотрудник

Ведущая организация:

ФГАОУ ВПО Северный (Арктический) федеральный университет имени М. В. Ломоносова

Защита состоится «28» мая 2012 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета Д 212.142.03 при ФГБОУ ВПО Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН» по адресу: 127055, Москва, Вадковский переулок, д. За.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО Московского государственного технологического университета «СТАНКИН».

Автореферат разослан «28» апреля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.т.н., доц.

Семячкова Е.Г.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время во многих физических областях и приложениях представляется актуальным изучение взаимодействия электромагнитного излучения с дисперсными частицами, т. е. частицами, размеры которых меньше или сопоставимы с длиной волны света. В частности, особый интерес представляет исследования процесса поглощения электромагнитного излучения такими частицами, результаты которых находят применение в ряде прикладных задач, возникающих в таких направлениях, как физика атмосферы, атмосферная оптика, электродинамика, физика космоса, биофизика клетки, оптика аэрозолей.

Присутствующие в атмосфере малые частицы, аэрозоли, играют важную роль в системе климата Земли благодаря взаимодействию с солнечной и земной радиацией через процессы рассеивания и поглощения, которые приводят к изменению запаса радиации Земли. В связи с этим прикладными задачами в оптике аэрозолей и физике атмосферы являются обнаружение частиц, измерение их размеров и получение распределения их внутренней энергии, а, следовательно, и температуры. Это позволяет изучать их оптические, микрофизические свойства и проводить оценку химического состава (показателя преломления) и, таким образом, изучать их свойства рассеяния и поглощения для возможности воздействия на них. Результаты таких исследований находят свое применение, например, при создании и оптимизации каналов просветления в атмосфере посредством интенсивного лазерного излучения на атмосферные аэрозоли. При данном воздействии возникает разогрев частиц, их испарение и тепловой взрыв. Подобные практические применения результатов исследований актуальны при решении, например, проблемы загрязнения окружающей среды промышленными аэрозолями или последствиями вулканической активности на сейсмически активных территориях планеты.

Результаты изучения процесса поглощения электромагнитного излучения дисперсными частицами актуальны также в биофизике клетки и медицине. В медицине, например, практическое применение результатов используется в технологии, получившей название «лазерного пинцета». Это возможность перемещать клетку только при помощи узкого пучка света.

Ранее были получены строгие решения задач о нахождения внутреннего поля частиц однородного состава, но реальные частицы являются оптически неоднородными, то есть их диэлектрическая проницаемость е и проводимость а

внутри них являются переменными.

В связи с этим становится актуальным развитие полученных ранее решений для случая такой неоднородности.

Кроме того, представляет интерес случай, когда вещество частицы, на которую воздействуют электромагнитным излучением, имеет неположительные диэлектрическую проницаемость е и проводимость г/1', которые в общем случае также могут быть непостоянными для всей частицы. В случае, когда о < О, частицы становятся визуально невидимыми, и результаты исследования в данном направлении могут быть актуальны в военно-промышленной сфере.

Целью диссертационной работы является построение математических моделей для расчета внутреннего поля оптически неоднородных несферических частиц и их коллективов, комплексная диэлектрическая проницаемость которых зависит от координаты, и проведение вычислительных экспериментов на основе построенных моделей. Научная новизна работы заключается в:

1. установлении функциональных связей между параметрами неоднородных несферических частиц и характеристиками электромагнитного излучения;

2. построении моделей взаимодействия электромагнитного излучения с неоднородными несферическими частицами на основе принципа Гюйгенса-Пуанкаре;

3. решении задачи математического моделирования взаимодействия электромагнитного излучения с оптически неоднородными несферическими частицами асимптотическими и численными методами с использованием потенциалов Дебая;

4. разработанных алгоритмах расчета внутреннего поля неоднородной несферической частицы;

5. создании комплекса программ для проведения вычислительного эксперимента по расчету внутреннего поля неоднородной несферической частицы.

Обоснованность и достоверность полученных результатов

подтверждаются фундаментальными теоретическими положениями, такими как электромагнитная теория Максвелла, теория Ми, теория специальных функций, а также переходом полученных решений в предельном случае сферической однородной частицы в известное ранее решение.

Теоретическая ценность работы заключается в том, что предложенный математический метод может быть обобщен на случай рассмотрения примитивов в виде цилиндров или других частиц простых конфигураций, а также рассмотрения агломератов с нелинейными оптическими свойствами.

Практическая ценность работы заключается в том, что результаты могут использоваться для проведения расчетов внутренних полей и

поглощенной энергии в неоднородных несферических частицах, для решения различных задач физики дисперсных систем, электродинамики, теплофизики, акустики, а также внедрены в учебный процесс для подготовки бакалавров по направлению 231300 «Прикладная математика». Апробация работы.

Результаты работы обсуждались и докладывались на следующих научных конференциях:

- Международная научная конференция «GAeF Meeting 2008 on "Light Scattering: Mie and More - Commemorating 100 years Mie's 1908 publications», г. Карлсруэ, Германия, 2008г.;

- 1-я международная научная конференция «The Modeling of Nonlinear Processes and Systems», в ФГБОУ ВПО МГТУ «Станкин», г.Москва, 2008 г.;

- 16-я международная научная конференция «Математика. Компьютер. Образование», в Институте Биофизики РАН, г. Пущино, 2009 г.;

- 17-я международная научная конференция «Математика. Компьютер. Образование» в ОИЯИ, г. Дубна, 2010 г.;

- 2-я международная научная конференция «The Modeling of Nonlinear Processes and Systems», в ФГБОУ ВПО МГТУ «Станкин», г. Москва, 2011г.

Положения, выносимые на защиту:

- метод определения внутреннего электромагнитного поля для оптически неоднородных несферических дисперсных частиц, основанный на принципе Гюйгенса-Пуанкаре;

- построенные математические модели взаимодействия электромагнитных волн с неоднородными несферическими частицами;

- разработанные алгоритмы и решения поставленной задачи аналитическим и численным методами.

Публикации.

По теме исследования опубликовано 9 научных работ и 2 из них в периодических научных изданиях, рекомендованных в ВАК РФ.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, выводов, списка литературы и двух приложений. Работа содержит 100 страниц машинописного текста.

Краткое содержание работы.

Во введении раскрывается актуальность научных исследований по взаимодействию электромагнитного излучения с малыми неоднородными несферическими частицами.

В первой главе дан обзор по современным методам решения задач дифракции, представляющих собой внешнюю или внутреннюю граничную задачу для уравнения Гельмгольца, и, в частности, о методах расчета внутреннего поля дисперсных частиц.

Раскрываются преимущества и недостатки методов в их применении для конкретных видов частиц, на основе чего можно сделать выводы об

эффективности тех или иных методов. На сегодняшний день существующие методы достаточно разнообразны в силу разнообразия встречающихся на практике задач, и они часто призваны взаимно дополнять друг друга на различных этапах решения конкретной задачи.

В частности, в данной работе при решении задачи математического моделирования использовались методы интегрального уравнения и Т-матриц.

Во второй главе строится математическая модель взаимодействия электромагнитных волн с оптически неоднородными несферическими частицами.

В более ранних исследованиях рассматривались только однородные несферические частицы. В качестве примера можно привести работы Петерсона, Строма[2'3], Мищенко1-41. Метод для оптически неоднородных частиц ранее описан не был.

В данной работе рассмотрено решение задачи о взаимодействии электромагнитного излучения с неоднородной несферической частицей, с двухслойной и многослойной частицей, с системами из двух частиц и из N частиц с применением принципа Гюйгенса-Пуанкаре[51.

При рассмотрении одиночной частицы ограничения, накладываемые на ее поверхность, заключаются в следующем:

1. Внутри поверхности 8 должна существовать такая точка, что если в качестве нее выбрать начало сферической системы координат, то радиус-вектор г, выходящий из данной точки и с концом на Б, должен представлять непрерывную функцию г(0, <р) от сферических углов в и (р.

2. Начало системы координат должно совпадать с центром двух концентрических сфер, одна из которых вписана в частицу, а другая описана около нее.

3. Поверхность Б должна являться кусочно-гладкой, чтобы удовлетворять условиям теоремы Гаусса.

При рассмотрении N - слойных частиц вводятся дополнительные ограничения на ее геометрию, заключающиеся в том, чтобы все сферы, вписанные и описанные около поверхностей /-х слоев I = 1, N были концентрическими. При построении математической модели центр данных сфер выбирается за начало системы координат.

Принцип Гюйгенса-Пуанкаре для области среды, содержащей источник, порождающий излучение Е1ПСи содержащийся в объеме V, записывается в виде:

Ё(г)| = + V X | к'[п X Я+(г')]С(/с'|г - +

4Л7х(ух [ щ^е-^пхНЛг'ШкЧг-г'тБ'^для [?внУтРи1;

\ ,/5 /кг снаружи V

Рис. 1. Геометрическая модель для одиночной частицы и ее электромагнитные характеристики. Е,Н - вектора электрического и магнитного полей, £,11 -диэлектрическая и магнитная проницаемости, постоянные для внешней среды и переменные для частицы, к — волновое число в вакууме, и к = —, где Я - длина

А

волны падающего излучения. Аналогичные величины, относящиеся к частице, имеют индекс «1». Волновое число внутри частицы представляет собой функцию от радиуса, п — вектор нормали на поверхности 5

где Е1ПС(г) - падающее поле, е, ц - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды (для вакуума полагаем £0 ~ ц0 = 1), 5 -поверхность, ограничивающая объем V, п — вектор нормали к данной поверхности, направленный внутрь объема, п X Е+ (?') и п X Я+(г') - тангенциальные поля на поверхности 8, б(/с'|г — г'|) - функция Грина для уравнения Гельмгольца для среды, характеризующейся волновым числом к', г'- радиус - вектор с концом на поверхности 5.

Поле Е(г) вне частицы является суперпозицией падающего и рассеянного полей Е1ПС(г) и Я5С(г), т. е.: Ё(г) = Е'пс(г) + Ё5С(г),

которые раскладываются в бесконечные ряды:

Е1пс(г) = ^ апИедфп(кг), г < гт1п (2,а)

п

ЁБС(г) = £ ГпШкг), г > гтах (2, б)

п

где \рп(кг)и Яед1/;п(/сг)образуют полное множество решений уравнения Гельмгольца

V х (V х гр) - к2Ц> = О (3)

и

= (£п(п + 1ХП + т)1)1/2 К'1* Х И^05 в) С°5 т(р

(4)

где /£> - сферическая функция Ханкеля, Р™(соз в)- присоединенные функции

Лежандра. Функции Яедгрп(кг) получаются из грп(кг) заменой на

сферические функции Бесселя /п.

Рассмотрена математическая модель для многослойной частицы, состоящей из N последовательно включенных друг в друга поверхностей 5г, I = 1,2,..., /V, и каждая среда, заключенная между поверхностями ^и характеризуется переменными значениями волнового числа к^г), диэлектрической и магнитной проницаемостями и электрическими и магнитными полями Е(н Н¡.

Разложение в ряд векторов электрического и магнитного поля между поверхностями 5; и 5г+1, / = 1, N — 1имеют вид:

Е1 = ^ а^едЧ^кП + РкШкП, (5, а)

п

Н1 = Цкцд'1 х Яе5Ч*(/сг') + х Ч*(£г'), * =

(5,6)

где г' - г с концом на поверхности 5г+1, V'- V на поверхности 5г+1. Внутри поверхности 5дг разложения данных векторов имеют вид:

= (6, а)

п

Я" = (¿/смл,)"1 ^ «ЯУ х ЛеЛ(йг') (6, б)

п

где Ч»£(Лг') и ИедЧ'^кг') образуют полное множество решений уравнений Гельмгольца

7х(7х?)-|1?(г)?г = 0 (7)

Падающее поле предполагается известным, и коэффициенты разложения в ряд внутренних полей выражаются через коэффициенты ряда падающего поля линейным образом. Для коэффициентов поля а1 и /?' между поверхностями и имеем:

Рис. 2. Геометрическая модель для двухслойной частицы

I

= (-¿У1 х Y\[Qi+1~k(Out,Reg) + Qi+1~k(0ut,0ut)T(i + 2 -k.....ЛОГ1 а

k=1

¡3' = (-iY[Qi+1(Reg,Reg) + Qi+1(Reg,Out)T(i + 2, ...,N)] x x Y\i=i[Qi+1~k(Out,Reg) + Qi+1~k(Out,Out)T(i + 2- к,...,Ы)]-г a

П1,2.....N)

—Ql(Reg,

Ql (Out, Reg) Ql(Out,Out) \ "(Reg, Reg) -Q^Reg.Out))

Reg) Ql(Out, Out) Л Reg) -Ql(Reg, Out);

Q№(Reg,Reg) = kt j ni+1{[V x Reg^ln(k?')} x Reg^(kr') Si

+ц1ц1+1-1Яе3%(кПх [V x Reg^1 (№)])№'

+

(8)

(9)

(10)

(11)

где другие комбинации Re или Out в качестве первого аргумента @птсоответствуют в формуле для Qnm(Reg,Reg) функциям Reg\f>n(kr') или

xpnQcr') соответственно, а комбинации Reg или Out в качестве второго аргумента Qnm соответствуют функциям Reg^V^kr') или Ц'^кг').

Индексы «21» и «11» в выражении (10) означают, что из матрицы выбираются элементы с соответствующими номерами строк и столбцов.

Таким образом, математическая модель для случая одной и двух частиц является частным случаем общей модели при ЛГ= 1 и ЛГ= 2, соответственно.

Ранее были получены точные решения задач о взаимодействии поля с со сложными моделями сферических частиц. В качестве примера можно привести работы Розенберга'6', в которойрассматривается точное решение задачи для многослойной сферической частицы, состоящей из последовательно включенных друг в друга неконцентрических шаров, а также работы Колобовой и Кривенко[7].

Для модели из N частиц, произвольно расположенных друг относительно друга, центр системы координат выбирается в центре сферы наименьшего радиуса, содержащей внутри себя все частицы, и коэффициенты разложения в ряд внутренних полей определяются из системы уравнений:

n

RT(äi)a = iQl(Out, Яе)йг + ^ + a;)Q'(Re, Re)ä>, i = 1JV (12)

i=i j*i

-l

ak = Qk(ßut,Re)~11 1 + ^Aki o(-äi + ak)Q\Re,Re)Qk(.Out,ReY

i

x

x 1

(13)

Aki = -( + ätWiRe,Readout,Re)-1

n

+ ^o(-al+ak}Q\Re,Re)Bu(k')Qi{Out,Re)-1 j x ш

n

х I 1 +2_1Сг(-а1 + а1)()1(/?е,/?е)Ви(к)<?1(0М,1?е)-1 I .¿Фк, (14)

1ш

и для нечетных N СЫВцСЦ 1

= -а(кЛ№1(Яе,Ке^\ОиЬ,Ке)-1о(<1А)(21(Ке,11е)(21(<Ои1111е)-1> (15)

а для четных, соответственно:

Аы = -СцСц-1 = а (к, Ие^СОШ, Яе)'1 (16)

Рис. 3. Геометрическая модель для двух частиц

Таким образом, используя данные математические модели для многослойной частицы и для системы из N частиц, можно строить модели для сложных частиц с различными случаями включения неоднородностей.

В третьей главе рассматривается аналитическое и численное решения задачи о нахождении векторов электрического и магнитного полей внутри одиночной частицы, когда ее диэлектрическая проницаемость является функцией расстояния от ее центра.

Использование зависимости от радиуса интересно с точки зрения реальных систем, а также позволяет использовать потенциалы Дебая[8]. В случае рассмотрения неоднородных частиц метод потенциалов Дебая применим, когда выполнено одно из следующих условий: дк дк

дв = °' = еЕ<ртЕ(р+ еЕдтЕв = 0, (17)

где в, <р - сферические координаты, ( еЕ(р, тЕ(р), ( еЕв, тЕвУн\ - линейно независимые <р- ив -компоненты векторов электрического поля, т. е.

р = ер , тр Ев = еЕд + тЕд

Для получения аналитического решения использовался метод возмущений. В этом случае квадрат волнового числа представляется в виде:

к2 = (fe0)2 + 5(fei(г))2> гДе <5 ~ безразмерный параметр, и к0 = , го-

диэлектрическая проницаемость в центре частицы.

Зависимость от г является симметричной сферической зависимостью, то есть при фиксированном г значение к1 является постоянным на сегменте сферы радиуса г, ограниченном поверхностью частицы. Метод возмущений ограничен тем, что 5fei(r) « 1.

Поле внутри частицы представляется в виде:

Eint{r) = £ anRe4¡n(k0r), г < rmin (18)

где

Н = (ife/^V х Е, (19)

fíe^n(fe0r) = -т^-(г (fe0)_1V X

x [fe0rPnm(cos 0) eosm<p Rn(k0r)] (20)

Неизвестная функция fín(fe0r) находится из решения уравнения Гельмгольца для электрического еП и магнитного тП потенциалов Дебая, через которые могут быть выражены компоненты электрического и магнитного векторов

V2n + fc2n = 0, (21)

Решение уравнения ищется в виде: П = П0 + 5П1; где П0 удовлетворяет уравнению Гельмгольца

V2n0 + (fe0)2n0 = 0, (22)

с постоянными £ и ц.

Так как к зависит только от г, то после разделения переменных в уравнении Гельмгольца получим уравнение относительно функции от радиуса:

^ + (((feo)2 + 5(ki(r))2)2 - rfí = 0, (23)

решение которого ищется в виде rR = rR0 + SrR1. Здесь rR0 удовлетворяет уравнению

d2(rR0) ( 1(1 + 1)\

—&Г- + ((feo)2--rR0 = 0, (24)

получающегося из уравнения (22) при разделении в нем переменных. Решение для л-го члена ряда Rln имеет вид:

Яш = J(fei(*))2*bonCK)Nn+i_(x)dx -

~Nn+fx) j(к^Ухко^хУ^Шх (25) 12

Коэффициенты внутреннего поля ап выражаются через коэффициенты внешнего поля:

где

где R0n0*0 = k0yJn/2x -]n+iM, х = k0r.

утреннего поля с

«п = i ^ Qnn «n' (26)

п'

Qпп. = к [ Я ■ ([V' х ЫкП] X Re%>(kf') + Js

+ц1-1хрп(.кг')х [V X Re^n,(.kr')])dS' (27)

и

Й = -¿[Q]-1« (28)

В данной работе исследована зависимость квадрата волнового числа от г вида к2 = /сдГ. Примеры расчетов полей приведены на рис. 4.

Кроме метода возмущения, применялся также метод Вентцеля -Крамерса - Бриллюэна, который позволяет находить решение уравнения для случая квадрата волнового числа вида к2 = 5/(г)без ограничения на 8. Ищется решение уравнения

+ СМЭД-^-Н гД = 0, (29)

dr2

где г(г) = £t(r) + is2(r), и на (fe0)2£(r) не накладывается никаких ограничений.

Асимптотическое решение имеет вид:

rR = С1е;ф1 + С2е(Фг, (30)

где

Ф1|2 * ± J exp (i/m(£)/2/) dz + iln (/2 + (/m(£))2) - arct^ с

(31)

/(x) = £(x) - x = fc0r (32)

Анализ полученного решения показал, что в зависимости от функции е(г) имеет место суперпозиция периодического и монотонного решений в слое г* < г < rmin при 1 <п0 <п <п* (если 8f (г) > 0) или 1 < n* < п < п0 (если 8f(r) < 0). Величины г*, п0, п'зависят от вида функциональной зависимости £(х). В однородной частице такое качественное изменение решения Ф возникает только в одной гармонике при фиксированных г*,п0.

а)

Рис. 4. Распределение модулей векторов а) электрического поля, б) магнитного поля внутри частицы с радиусом вписанной в нее сферы г = Ю-6 м для длины волны падающего излучения Л = 3 • Ю-6 м

Для получения численного решения радиальной составляющей функций, используемых в развитом выше подходе решения задачи взаимодействия с неоднородными частицами, использовался метод конечных разностей. Ищется решение уравнения для области внутри частицы:

г2 Я" + 2гй' + (/(г)г2 - Щ + 1))К = 0, ( 33)

Далее приведены расчетные формулы на примере /(г) = Аг + В (/(?")-является квадратом волнового числа внутри частицы). Обозначим г = х, Д(г) = у(х~). Тогда:

х2у" + 2ху' + (/О)*2 -К1 + 1 ))У = 0 (34)

Функция у для области вне частицы удовлетворяет уравнению:

х2у" + 2ху' + (к2х2 - 1(г + 1))у = 0 (35)

Частица рассматривается относительно координатной оси с началом в ближайшей к частице точке, в правой части окрестности которой рассеянное поле является бесконечно малой функцией. Отрезок [0, а], где а - координата центра частицы, делится на N равных частей длины К = — , концы которых

являются узлами схемы, и каждый из них имеет координату х; = ¿/г, I = 0, /V, где / - его номер.

Функции, удовлетворяющие уравнению для области внутри частицы обозначены через у, и решение уравнений ищется методом «прогонки» по формулам «сквозного» счета:

У1 = <*1+1У1+1 + £¡+1. I = 0,1,2,... ^ ( 36, а) У1 = «(+1Й+1 + Й+1. + + 2.....N ( 36, б)

где - наименьший номер из ближайших к частице узлов, и «прогоночные» параметры выражаются по формулам:

_ _I2 + 21_

~ 2*2 + 21 - (к2(шу - га + 1)) - ¿2<*;

_ _¿2(12 + 2р_

~ 2г2 + 2| - 02(г/г)2 - га + 1)) - ¿2аг

¿ = 1,2,...дг1 (37, а)

г2 + 2 г

«¡+1 =

2г'2 + 2г - (/(г/г)(гЛ)2 - /(г + 1)) - г2«;

А+1 =

12(г2 + 20

212 + 2г - (/(1"Л)0'Л)2 - + 1)) -¿ = ^ + 2,^ + 3,...,^

(37,6)

Функции уд, и связаны соотношением:

У«! = + Дл^+1

Из граничных условий следует, что

(38)

аг = 0, А = 0,

С 39, а) (39,6)

(39, в)

и - падающее поле.

Сначала вычисляются коэффициенты а0 /?[, Д, £ = 1,2,... /V, а затем

Улг. Ун-1 и у.. Уь I = N - 2, N-3, ...Д.

На основании приведенных расчетов показано, что зависимость /(г) заметно влияет на зависимость Е(г) и Н(г) внутри агломерата и, соответственно, на поглощенную электромагнитную энергию.

Анализ полученных решений также показал, что зависимость г (г) может также проводить к более однородному распределению поля в частице или в ее части. К такому «выравниванию» приводит также случай, когда £2(г) < 0 в какой-либо части агломерата. Изменение фундаментальных функций, по которым идет разложение полей по сравнению с однородной частицей приводит также к изменению положений резонансов.

Развитый подход в некоторых случаях может быть распространен на агломераты с диэлектрической проницаемостью, зависящей от поля (нелинейные системы). Это может быть сделано асимптотическими методами в случае слабой нелинейности, а также в тех случаях, когда удается получить точные решения для соответгсвующей сферической частицы. Такие решения могут быть, например, получены, когда внутри частицы £ = 0. Такое условие позволяет получить решение нелинейного уравнения Гельмгольца, а также является дополнительным условием на компоненты электрического вектора.

В приложении приведены подробные выводы формул для получения математических моделей, а также структура программы, проводящей вычисления по алгоритму для одиночной частицы.

Структура программного комплекса:

Алгоритм для проведения расчетов состоит из следующих шагов:

1. Задание функциональной зависимости диэлектрической проницаемости.

2. а) Описание функций - решений уравнения Гельмгольца для области внутри частицы, полученные асимптотическим методом.

б) Описание функций — решений уравнения Гельмгольца для области внутри частицы, полученные численным методом.

3. Задание геометрической модели частицы (частиц).

4. Использование функций-решений уравнения Гельмгольца для вычисления элементов матрицы, связывающей коэффициенты разложения в ряд падающего поля с коэффициентами внутреннего поля.

5. Вычисление обратной матрицы, связывающей коэффициенты внутреннего поля с коэффициентами падающего поля.

6. Вычисление коэффициентов внутреннего поля.

7. Расчет внутреннего поля.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Решена актуальная научная задача математического моделирования процесса взаимодействия электромагнитного излучения с оптически неоднородными несферическими частицами, имеющая важное значение для решения широкого круга задач физики дисперсных систем.

2. Установлены функциональные связи между параметрами неоднородных несферических частиц и характеристиками электромагнитного излучения.

3. Построены модели взаимодействия электромагнитного излучения с оптически неоднородными несферическими частицами и их системами, в основе которых лежат принцип Гюйгенса-Пуанкаре и решение уравнения Гельмгольца с переменной диэлектрической проницаемостью для потенциалов Дебая. Модели позволяют рассматривать взаимодействие электромагнитного излучения с неоднородными несферическими частицами при различных характеристиках и условиях.

4. Для анализа моделей и получения решений разработан метод определения внутреннего электромагнитного поля для оптически неоднородных несферических дисперсных частиц, особенностью которого является применение принципа Гюйгенса-Пуанкаре.

17

5. Разработаны алгоритмы расчета внутреннего поля неоднородной несферической частицы с использованием методов возмущений, Вентцеля - Крамерса - Бриллюэна, а также численными методами для получения фундаментальных функций.

6. На основе алгоритма разработан программный комплекс для расчёта внутреннего поля неоднородной частицы. Проведены вычислительные эксперименты для частиц различных размеров и с различными оптическими характеристиками. Проведённые эксперименты показали, что при определённых условиях зависимость диэлектрической проницаемости от координаты приводит к более однородному распределению поля в частице по сравнению со случаем постоянного коэффициента преломления.

7. Результаты диссертационной работы могут быть использованы в таких отраслях промышленности как нанотехнология, химические технологии, при решении научных и практических задач физики аэрозолей, атмосферной оптики, экологии и др. Результаты диссертации рекомендуются для использования в учебном процессе для подготовки студентов по направлению 231300 «Прикладная математика».

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. R. W. Ziolkowski, Е. Heyman. Wave propagation in media having negative permittivity and permeability. Phys. Rev. E 64, 056625 (2001).

2. Peterson and Ström, Phys. Rev. £>8, 3661 (1973).

3. Peterson and Ström, Phys. Rev. D10, 2670 (1974).

4. M. I. Mishchenco, L. D. Travis, D. W. Mackowski. T-matrix computation of light scattering by nonspherical particles: a review. J. Quantitative Spectrosc. Radiat. Transfer, No 5,1996.

5. P. C. Waterman, Phys. Rev. D3, 825 (1971)

6. Розенберг В. И. Рассеяние и ослабление электромагнитного излучения атмосферными частицами. Л.: Гидрометиздат, 1972. 420 с.

7. Кривенко И. В. Взаимодействие электромагнитного излучения с дисперсной системой, автореферат диссертации. Тверь, 1997.

8. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 850 с.

9. Ф. М. Морс, Г. Фешбах. Методы теоретической физики. Изд. Иностранной литературы. Москва, 1960.

10. H. Honl, A. W. Майе, К. Westpfahl, Handbuch der Physik, Vol. 25/1, Springer, Berlin, (1961).

11. Абрамович M., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979, 832 с.

12. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. - М.: Мир, 1986.

13. Uvarova L.A. Mathematical model for the heat mass transfer in the systems with the non nonlinear properties induced by the electromagnetic radiation// В кн.: "Mathematical Models of Non-Linear Excitations, Transfer, dynamics, and Control in Condensed Systems and Other Media. N. Y.:Kluwer Academic/ Plenum Publishers, 1999.

14. Уварова JI. А. Тепло - и массоперенос в оптически нелинейных дисперсных средах, автореферат диссертации. Санкт-Петербургский Государственный Университет, 1992 г.

Основные публикации по теме диссертации.

В рецензируемых периодических изданиях, рекомендованных в ВАК РФ:

1. Уварова JI.A., Будный К.А., Красикова Е.М. Математическое моделирование процессов переноса электромагнитных волн в нелинейных средах // Вестник МГТУ "Станкин", № 4(12), 2010.

2. Будный К. А. «Расчет электромагнитного поля внутри системы из двух несферических частиц» // Вестник МГТУ «Станкин», № 4(17), 2011 г.

Другие публикации:

3. Budniy К. A. Comparison of the Electromagnetic Field in the Spherical Homogeneous and Inhomogeneous particles // Международная научная конференция «GAeF Meeting 2008 on "Light Scattering: Mie and More -Commemorating 100 years Mie's 1908 publications».

4. Budniy K. A. Comparison of the Electromagnetic Field in the Spherical Homogeneous and Inhomogeneous particles // The Modeling of Nonlinear Processes and Systems - 2008. Сборник тезисов Международной научной конференции. - М.: МГУП, 2008. 59-60.

5. Будный К. А. Теория Ми и ее применение. Методы расчета характеристик рассеянного электромагнитного излучения на дисперсных частицах. Распределение электромагнитного поля внутри неоднородной сферической частицы // в кн. Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. /Материалы Международной научной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем». Том 1. -М.: Янус-К, 2009, стр. 72-79.

6. Будный К. А. Теория Ми и ее применение. Методы расчета характеристик рассеянного электромагнитного излучения на дисперсных частицах. Распределение электромагнитного поля внутри неоднородной сферической частицы // 17-я международная научная конференция «Математика. Компьютер. Образование».

7. Будный К. А. Математическое моделирование взаимодействия электромагнитного излучения с гетерогенными частицами // Материалы XIII научной конференции МГТУ «Станкин» и Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» — ИММ РАН по математическому моделированию и информатике: Сборник докладов. -М.: ИЦ ГОУ ВПО МГТУ «Станкин», 2010, стр. 22-24.

8. Будный К. А. Расчет электромагнитного поля внутри дисперсных систем // The Modeling of Nonlinear Processes and Systems - 2011. Сборник тезисов второй международной научной конференции. - М.: Янус-К, 2011.54-55.

9. Будный К. А. Расчет электромагнитного поля внутри несферических частиц с непостоянным показателем преломления // в кн. Фундаментальные физико-математическое проблемы и моделирование технико-технологических систем. Материалы второй международной научной конференции «Моделирование нелинейных процессов и систем» - М.: Янус - К, 2011, стр. 91-98.

Заказ № 171-а/04/2012 Подписано в печать 27.04.12 Тираж 100 экз. Усл. п.л. 1

ООО "Цифровичок", тел. (495) 649-83-30 www.cfr.ru; е-тай:zak@cfr.ru

61 12-1/1131

ФГБОУ ВПО Московский государственный технологический университет

«СТАНКИН»

На правах рукописи

Будный Кирилл Александрович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН С ОПТИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНЫМИ НЕСФЕРИЧЕСКИМИ

ЧАСТИЦАМИ

Специальность 05.13.18- «Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ»

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

д.ф.-м.н., профессор

Уварова Людмила Александровна

Москва - 2012 г.

Содержание

Введение...............................................................................................................3

Глава 1. Современные методы решения задач дифракции дисперсных частиц

сложной геометрии..............................................................................................5

Глава 2. Математические модели для оптически неоднородных несферических частиц........................................................................................23

2.1 Расчет внутреннего поля для одиночной частицы..................................23

2.2 Расчет внутреннего поля для двухслойной частицы...............................32

2.3 Модель для многослойных частиц...........................................................50

2.4 Модель для двух частиц............................................................................55

2.5 Модель для произвольного числа частиц................................................63

Глава 3. Асимптотические и численный методы решения задачи нахождения

внутреннего электромагнитного поля (на примере одиночной частицы)......73

Приложение 1...................................................................................................101

Приложение 2...................................................................................................131

Введение

В настоящее время во многих физических областях и приложениях представляется актуальным изучение взаимодействия электромагнитного излучения с дисперсными частицами, т. е. частицами, размеры которых меньше или сопоставимы с длиной волны света. В частности, особый интерес представляет исследования процесса поглощения электромагнитного излучения такими частицами, результаты которых находят применение в ряде прикладных задач, возникающих в таких направлениях, как физика атмосферы, атмосферная оптика, электродинамика, физика космоса, биофизика клетки, оптика аэрозолей.

Присутствующие в атмосфере малые частицы, аэрозоли, играют важную роль в системе климата Земли благодаря взаимодействию с солнечной и земной радиацией через процессы рассеивания и поглощения, которые приводят к изменению запаса радиации Земли. В связи с этим прикладными задачами в оптике аэрозолей и физике атмосферы являются обнаружение частиц, измерение их размеров и получение распределения их внутренней энергии, а, следовательно, и температуры. Это позволяет изучать их оптические, микрофизические свойства и проводить оценку химического состава (показателя преломления) и, таким образом, изучать их свойства рассеяния и поглощения для возможности воздействия на них. Результаты таких исследований находят свое применение, например, при создании и оптимизации каналов просветления в атмосфере посредством интенсивного лазерного излучения на атмосферные аэрозоли. При данном воздействии возникает разогрев частиц, их испарение и тепловой взрыв. Подобные практические применения результатов исследований актуальны при решении, например, проблемы загрязнения окружающей среды промышленными аэрозолями или последствиями вулканической активности на сейсмически активных территориях планеты.

Результаты изучения процесса поглощения электромагнитного излучения дисперсными частицами актуальны также в биофизике клетки и медицине. В медицине, например, практическое применение результатов используется в технологии, получившей название «лазерного пинцета». Это возможность перемещать клетку только при помощи узкого пучка света.

Ранее были получены строгие решения . задач о нахождения внутреннего поля частиц однородного состава, но реальные частицы являются оптически неоднородными, то есть их диэлектрическая проницаемость £ и проводимость а внутри них являются переменными.

В связи с этим становится актуальным развитие полученных ранее решений для случая такой неоднородности.

Кроме того, представляет интерес случай, когда вещество частицы, на которую воздействуют электромагнитным излучением, имеет неположительные диэлектрическую проницаемость г и проводимость которые в общем случае также могут быть непостоянными для всей частицы. В случае, когда а < 0, частицы становятся визуально невидимыми, и результаты исследования в данном направлении могут быть актуальны в военно-промышленной сфере.

Глава 1. Современные методы решения задач дифракции дисперсных частиц сложной геометрии

На ранних этапах развития волновой теории под дифракцией понималось явление огибания электромагнитным полем, возбуждаемого сторонним источником, встречающегося на пути его распространения в пространстве препятствия. В настоящее время под дифракцией в широком смысле понимается поведение волн в некоторой области, имеющей границу с теми или иными свойствами. Полем дифракции или дифракционным полем называется полное электромагнитное поле, которое характеризуется амплитудами напряженностей электрического поля Е и магнитного поля Н. К дифракционным задачам относятся задачи об огибании волнами различных препятствий, распространении волн в различных неоднородных средах, проникновение волн через различные отверстия в экранах и решетки (дифракционные), а также явления отражения и поглощения волн различными средами, возбуждение поверхностных волн, распространение поля в атмосфере Земли и т. д.

Задача дифракции представляет собой внешнюю или внутреннюю граничную задачу для уравнения Гельмгольца.

Задачи дифракции сводятся к нахождению амплитуды, фазы и поляризации поглощенного или рассеянного поля по известному падающему полю как функций от формы препятствия и его параметров: диэлектрической и магнитной проницаемости его вещества. И форма, и параметры могут быть весьма разнообразными, и получение информации об их рассеивающих свойствах возможно следующими путями:

1) точными решениями в замкнутой форме или численными решениями для условий, достаточно строго соответствующих физической модели;

2) аналитическими или численными решениями для условий, приближенных к реальной физической модели;

3) экспериментальными исследованиями.

Результаты измерений и приближенных решений должны сопоставляться с результатами точных решений. Поэтому точные решения в замкнутой форме могут играть роль эталонных решений, с которыми сравниваются результаты приближенных решений и, таким образом, оценивается точность последних.

Обозначим максимальный линейный размер препятствия (рассеивателя) через а, а длину волны внешнего поля через А . Тогда поиск решения задачи будет зависеть от оценки отношения а/ А . В зависимости от этого отношения различают три характерные области:

1) квазистатическую (релеевскую) область, когда а/ А «1

2) квазиоптическую область, когда а/ А » 1,

3) резонансную область, когда а/ А ~ 1.

Если а! А «1 (а мало, А велико), то уравнение Гельмгольца перейдет приближенно в уравнение Пуассона. Поскольку значение А хотя и велико, но конечно, приближенное решение электродинамической задачи называют квазистатическим или решением в длинноволновом приближении. Хотя решение уравнений Пуассона и Лапласа проще решения уравнения Гельмгольца, тем не менее, граничную задачу для данных уравнений не всегда удается решить аналитически.

Если а! А »1 {а велико, А мало), то из уравнения Гельмгольца получим уравнение геометрической оптики. Поскольку значение А хотя и мало, но отличается от нуля, приближенные решения задачи называют квазиоптическими или решениями в коротковолновом приближении.

Квазиоптические методы решения граничных задач электродинамики подразделяются на две группы: на асимптотические методы исследования точных решений и эвристические методы, основанные на привлечении различных физических идей. К эвристическим методам относятся лучевые и волновые. Лучевым называют метод геометрической оптики и такие его уточнения, как геометрическая теория дифракции, распространяющиеся

6

геометрические методы на задачи дифракции, комплексная геометрическая оптика, метод параболического уравнения. Волновые методы включают в себя метод физической оптики и уточняющие его методы, такие как метод краевых волн, позволяющий найти поправку к полю рассеяния, связанную с возможностью наличия на граничной поверхности изломов (ребер).

Квазиоптические методы позволяют решать значительно более широкий класс граничных задач, чем точные методы.

В резонансной области приближенные методы решения задач электродинамики применять трудно. В этой области требуются строгие решения граничных задач, для построения которых применяются метод интегральных преобразований, метод собственных функций, а также метод Т-матриц, о котором речь пойдет ниже. Идея методов состоит в том, что при решении граничной задачи подбирается такая система координат, чтобы граничная поверхность совпала с одной из координатных поверхностей, после чего находятся решения однородного уравнения Гельмгольца при однородном граничном условии. Эти решения при определенных условиях образуют полную ортогональную систему функций. Решение неоднородного уравнения Гельмгольца при однородных граничных условиях или решение однородного уравнения Гельмгольца при неоднородных граничных условиях ищется в виде разложения в ряды (метод собственных функций) или интегралы (метод интегральных преобразований) по этой системе функций. Данные методы оказываются применимыми, как уже говорилось, для случая простых граничных условий и простой форме граничной поверхности.

Как в резонансной, так и в коротковолновой и длинноволновой областях найти аналитическое решение граничной задачи строго или приближенно часто не удаётся. В этом случае для получения численных результатов могут быть применены методы интегральных уравнений и вариационные методы.

Вариационные методы являются численными, и существует ряд модификаций этих методов.

Среди различных методов решения задач дифракции наиболее популярными являются точные, численные и интегральные методы.

Точное решение задачи электромагнитного возбуждения тел аналитическими методами можно получить только в весьма ограниченном числе случаев. При этом жесткие ограничения, накладываемые на конфигурацию тел и свойства их поверхности, не позволяют решить аналитически большинство задач, встречающихся на практике.

Аналитическое решение уравнения Гельмгольца можно получить при помощи метода разделения переменных или других эквивалентных ему методов. Однако разделение переменных возможно лишь в тех случаях, когда граничная поверхность совпадает с одной из координатных поверхностей некоторой ортогональной системы координат, из-за чего становится невозможным решить аналитически большинство встречающихся на практике задач.

А в том случае, когда граница возбуждаемого тела не совпадает с координатной поверхностью одной из ортогональных систем координат или когда граничные условия являются сложными (например, поверхностное сопротивление есть функция координат), получить строгое решение граничной задачи электродинамики оказывается невозможным. Иногда также возникают ситуации, что и полученное строгое решение непригодно для проведения вычислений из-за плохой сходимости рядов.

Примерами задач дифракции, для которых можно получить аналитические решения, достаточно строго соответствующие физической модели, служат задачи на плоской поверхности раздела сред, на идеально проводящих бесконечных круговом и эллиптическом цилиндрах, клине, сфере, эллипсоидах (причем в случае эллипсоидов только для граничных условий первого или второго рода) и т. д.

Требования минимизации временных и экономических затрат при

решении возникающих на практике электродинамических задач исключают

поиск решения экспериментальными методами (путем моделирования и

8

измерений) и аналитическими, если последние нельзя использовать для анализа и вычислений, и тогда решение граничной задачи ищется приближенными или численными методами.

Для решения широкого класса задач и проведения инженерных расчетов численными методами с получением высокоточных результатов требуется разработка достаточно общих вычислительных алгоритмов.

Высокая точность расчета электромагнитных полей в различных точках пространства требуется, например, при проектировании излучающих устройств.

Численные методы решения задач дифракции можно условно поделить на две группы: к первой относятся методы, с помощью которых решается непосредственно краевая задача для уравнения Гельмгольца; ко второй — методы, в которых исходная краевая задача сводится к решению соответствующего интегрального уравнения или системы интегральных уравнений. По близости к точному решению приближенные методы можно разделить на два класса: асимптотические методы и строгие методы.

В асимптотических методах неизвестная функция изначально заменяется некоторым ее (например, геометрооптическим) приближением. К этому классу относятся, в частности, метод геометрической оптики, геометрическая теория дифракции, метод физической оптики, метод краевых волн. Асимптотические методы позволяют решить задачу лишь с ограниченной точностью, кроме того, они имеют сильные геометрические ограничения по применению и достаточно сложны при реализации. Однако, в тех случаях, когда эти методы применимы, они позволяют достаточно наглядно и быстро найти решение (особенно эффективен метод физической оптики). В строгих методах существует возможность получить решение, сколь угодно близкое к точному. К ним относятся все описываемые ниже методы.

Наиболее известным численным методом решения граничных задач

для дифференциальных уравнений, в том числе для уравнения Гельмгольца,

9

является метод конечных элементов или метод сеток. Он состоит в дискретизации дифференциального уравнения в рассматриваемой конечной области и отыскании решения граничной задачи, например, в узлах сетки. Этот метод не очень удобен при решении внешних краевых задач, т.к. позволяет искать решение лишь в конечной области, вследствие чего необходимо предпринимать дополнительные меры, чтобы выполнялось условие излучения на бесконечности. Основное преимущество этого метода состоит в том, что получаемая здесь система имеет ленточную диагональную матрицу, что ускоряет ее численное решение. Кроме того, этот метод применим к задачам дифракции на рассеивателях произвольной геометрии. Однако даже при современном уровне развития вычислительной техники найти решение трехмерной задачи возбуждения тела произвольной конфигурации численными методами оказывается весьма затруднительным. Только в частном случае, когда рассматривается тело вращения, задача упрощается и становится вполне разрешимой.

Значительно проще получить численное решение при произвольной конфигурации тела для двумерной задачи дифракции, которая на идеально проводящих телах может быть сведена к одномерным интегральным уравнениям второго рода, содержащим интеграл по контуру поперечного сечения тела.

Существует ряд методов решения уравнения Гельмгольца, основанных на аналитическом представлении поля в виде бесконечного набора расходящихся цилиндрических или сферических волн, называемом рядом Рэлея. Все точки, в которых ряд Рэлея может расходиться, лежат в трехмерном случае внутри сферы, описанной вокруг поверхности рассеивателя. Поэтому такое представление является точным только в тех случаях, когда поверхность рассеивателя имеет сферическую форму. Вопрос о возможности приближенного представления рассеянного произвольной поверхностью поля рядом Рэлея составляет содержание гипотезы Рэлея. Эта

гипотеза справедлива только в том случае, если сфера, вне которой поле

ю

регулярно, целиком лежит внутри поверхности рассеивателя. Таким образом использовать представление Рэлея можно только для аналитических краевых поверхностей с ограниченным диапазоном изменения их параметров.

С точки зрения универсальности наиболее подходящим математическим аппаратом для исследования возбуждения тел, форма поверхности и свойства которых достаточно разнообразны, является метод интегральных уравнений, позволяющий получать необходимую точность решения.

Метод интегральных уравнений широко применяется и при анализе периодических структур.

Он позволяют более компактно, чем дифференциальные уравнения, формулировать краевые задачи, учитывая при этом все дополнительные условия (в т.ч. условие излучения), и приводит к устойчивым вычислитель