автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование взаимодействия электромагнитного излучения с дисперсными частицами

Иванников Александр Фёдорович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ С ДИСПЕРСНЫМИ ЧАСТИЦАМИ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Иванников Александр Фёдорович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ С ДИСПЕРСНЫМИ ЧАСТИЦАМИ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в ГОУ ВПО Тверском государственном техническом университете

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент

Кривенко Ирина Валерьевна

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Щукин Евгений Романович

кандидат физико-математических наук, доцент

Надыкто Алексей Борисович

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Московский физико-

технический институт (государственный университет)»

Защита состоится « » (АМЗ КлА- 2009 года в часов на

заседании диссертационного совета Д 212.142.03 при ГОУ ВПО Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН» по адресу: 127994, г. Москва, Вадковский пер., д. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО МГТУ «СТАНКИН».

Автореферат разослан «. {в » /ьаО!^— 2009 г. Ученый секретарь

диссертационного совета .. ^ // ^

Д 212.142.03, к.т.н., доц. ' Семячкова Е.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Для решения современных проблем физики является актуальным разработка математических моделей для изучения свойств физических систем, исследования процессов, происходящих в них, а также проведение числительных экспериментов с использованием современных вычислительных методов.

Одной из таких проблем физики дисперсных систем и электродинамики является проблема взаимодействия электромагнитного излучения с дисперсными системами (атмосферными аэрозолями, различными коллоидными растворами, биосистемами и т.п.). На практике такие задачи важны, например, при создании каналов просветления в атмосфере посредством воздействия интенсивного лазерного излучения на системы атмосферных дисперсных частиц. При этом происходит разогрев частиц или, в зависимости от различных условий, испарение аэрозольных частиц или тепловой взрыв. Такая задача представляется особенно актуальной в связи с загрязнением атмосферы различными видами аэрозолей, например, частицами сажи и т.д. Поскольку в дисперсных системах, встречающихся на практике, имеет место взаимодействие частиц, то возникает необходимость создания математической модели, описывающей поглощение ими электромагнитного (в частности, лазерного) излучения с учетом взаимодействия частиц. От распределения поглощенной энергии внутри частиц зависит их температура. Представляется актуальным вычисление распределения температур в системе взаимодействующих частиц, нагреваемых внутренними источниками тепла, инициированными как воздействием внешнего электромагнитного поля, так и поля, рассеянного на соседних частицах.

Цель работы. Целью настоящей работы является разработка математических моделей воздействия электромагнитного излучения на дисперсные системы с учетом взаимодействия частиц, входящих в эти системы,

и математическое моделирование инициированного им процесса теплопереноса в этих системах.

Для достижения поставленной цели были решены следующие научные задачи:

• разработка комплекса программ для проведения вычислительных экспериментов и расчетов с применением современных технологий математического моделирования;

• проведение вычислительного эксперимента на основе разработанного программного комплекса для изучения воздействия электромагнитного излучения на дисперсную систему;

• исследование процессов теплопереноса в системах парных дисперсных частиц в поле электромагнитного излучения;

• численный анализ влияния соседних частиц на распределение поглощенной энергии внутри частиц при различных условиях и параметрах системы частиц;

• исследование температурного поля внутри цилиндрических частиц, нагреваемых внутренними источниками тепла, возникающими при воздействии на систему электромагнитного излучения;

• исследование условий, при которых поглощение внутри двух сферических частиц при воздействии на них электромагнитного излучения максимально.

Методы исследования. В работе применяются методы теории представления групп, метод разделения переменных, методы решения уравнения теплопроводности, теория Ми для построения математической модели взаимодействия электромагнитного поля с системой дисперсных частиц, обладающими различными свойствами. Также были применены методы прикладного программного обеспечения (Microsoft Access, Microsoft Excel, MatLab).

Научная новизна. Получены следующие новые результаты:

• математическая модель теплопереноса в системе двух однородных цилиндрических частиц с источниками, инициированными внешним электромагнитным полем, и модель распределения энергии электромагнитного излучения в неоднородных (двухслойных) цилиндрических частицах (расчет тепловых источников);

• алгоритм и программный комплекс на основе предложенных моделей;

• качественные и количественные закономерности процессов теплопереноса и поглощения энергии электромагнитного излучения в системе двух взаимодействующих цилиндров, с учетом найденных из решения электродинамической задачи тепловых источников в. длинноволновом приближении;

• вычислительный эксперимент по расчету распределения поглощенной энергии электромагнитного излучения неоднородными (двухслойными) цилиндрическими частицами, с учетом их взаимного влияния и влияния внешнего слоя;

• программный комплекс для расчета параметров системы двух сферических частиц различных радиусов в поле плоской монохроматической электромагнитной волны, при которых поглощение максимально.

Практическая значимость. Распределение температуры внутри взаимодействующих дисперсных частиц сферической и цилиндрической формы, возникающее в результате воздействия на систему электромагнитного излучения, определяет дальнейшую эволюцию дисперсной системы, и поэтому расчет температуры необходим для специалистов, занимающихся практическими вопросами воздействия электромагнитного излучения на дисперсные системы. Полученные в работе результаты позволяют оценить влияние различных параметров (размеров частиц, вещества частиц и среды, расстояния между частицами, характеристик падающего излучения) на

распределение поглощенной энергии внутри частиц. Путем варьирования этих параметров представляется возможным изменить распределение плотности источников тепла (а, следовательно, и температуры) внутри частиц. Это создает дополнительные возможности для управления различными физико-химическими процессами, происходящими в дисперсной системе (фазовыми переходами, химическими превращениями, изменениями агрегатных состояний и др.), для описания форетического движения частиц, а также для исследования ориентированных частиц в области нанотехнологий.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

• Конференции «Математика, Компьютер, Образование» (г. Дубна, Пущино, 2006-2007 гг.)

• 17 National Congress of The Australian Institute ofPhysics (декабрь 2006 г.)

• 50-ая научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (г. Долгопрудный, ноябрь 2007 г.)

• Девятый Всероссийский Симпозиум по прикладной и промышленной математике (г. Кисловодск, май 2008 г.)

• Научно-практическая конференция студентов и аспирантов «Современные проблемы рационального использования природных ресурсов и охраны окружающей среды» (май 2008 г.)

• GAeF-Meeting Conference 2008 (Karlsruhe, июль 2008 г.)

• AIS-2008 (Kaliningrad, июль 2008 г.)

• Международная научная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем» МГГУ СТАНКИН (октябрь 2008 г.)

• Доклады на научных конференциях и семинарах в Тверском государственном техническом университете (2002 - 2009 гг.)

Внедрение результатов диссертационного исследования. Материалы диссертационной работы используются в учебном процессе кафедры теплофизики Тверского государственного технического университета в рамках преподавания дисциплины «Физика».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ. Список работ представлен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы из 87 наименований. Полный объем работы представлен на 102 страницах машинописного текста, включает 30 рисунков и 1 приложение.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы основные цели и задачи диссертационного исследования, научная новизна, практическая ценность и перспектива применения результатов исследований. Приведена структура диссертационной работы и краткое описание по главам.

В первой главе «Анализ современного состояния проблемы» приведен обзор научной литературы, где изложены вопросы, посвященные изучению воздействия электромагнитных полей на коллективы взаимодействующих частиц и теплоперенос в таких системах, что является одной из актуальных проблем современной физики дисперсных систем. При взаимодействии электромагнитного поля с веществом в ограниченном объеме частицы возникает распределение поглощенной энергии, которое обуславливает температурное поле как вне, так и внутри частицы. Расчет температурного поля внутри и вне дисперсной частицы позволяет теоретически изучать различные явления, происходящие в дисперсной системе, находящейся в электромагнитном поле: разогрев частиц, тепловой взрыв, явление термофореза. Поэтому интерес представляет изучение распределения энергии электромагнитного поля внутри частицы. В данной главе представлен также обзор по основным методам, применяемым в работе.

Во второй главе проводится исследование поглощения электромагнитного излучения системой двух однородных цилиндрических частиц и расчет распределения изменения температуры, происходящего в дисперсных частицах в результате такого воздействия.

Предполагается, что цилиндры поглощают электромагнитное излучение. Вектор напряженности электрического поля перпендикулярен осям цилиндров. Радиусы цилиндров много меньше, чем длина волны падающего излучения (Я/, Я2 « Л), что соответствует случаю длинноволнового приближения. В этом случае для потенциалов электрического поля вне и внутри цилиндров можно записать уравнение Лапласа.

Решая уравнение Лапласа в бицилиндрической системе координат, можно найти величину напряженности электрического поля в любой точке внутри цилиндра. Плотность тепловых источников внутри частиц, инициированных электромагнитным излучением, прямо пропорциональна квадрату амплитуды электрического вектора и интенсивности излучения. Таким образом

ДФ = 0 (1)

В бицилиндрической системе координат уравнение Лапласа имеет вид

1 , Дф = — (cht - cos сг) а1

\

дгФ ГФ

-Г +-5

да дт2

д2Ф

8z

2 '

(2)

где а - полярное расстояние, а, г, г - бицилиндрические координаты. На рис.1 показано расположение системы цилиндров относительно координатных осей и вектора напряженности электрического поля Е0

Л

У

---

с < 0 ^—0

i G > 0

о-

-Х|=const

Рис. 1 Расположение системы цилиндров относительно вектора напряженности электрического поля

Так как потенциал электрического поля не зависит от координаты г (вследствие симметрии), то, следовательно:

I

= 0

а2Ф

dz2

и выражения (1-2) преобразуется к виду

\ (ehr -cos of

= 0.

a

д2Ф д2Ф +■

ydo¿ дт2 ,

(4)

Решая уравнение (4) методом разделения переменных, получаем выражения для потенциалов вне и внутри цилиндра = const):

Ф, = аьшсг + ¿ Bnch(m) sin(wö-), (5ч

cht-cos er " v '

oo

(6)

n=l

Независимые коэффициенты А„ и Пп определяются из граничных условий непрерывности нормальной составляющей электрической индукции на границе раздела сред:

2 Ейаех {chin г,) + sh(n г,))

А„ =■

е2сй(п г, ) + г,) ' ^

2Е0а(сЬ(п г,) + г 1)"" - ^ )

е2ск(птх) + £хзк(птх) ' ^

Квадрат напряженности электрического поля внутри цилиндра определяется как

Е2 = Е2т+Е2а, (9)

где

£ = 1 Эф2> ^ _ 1 5Ф2 дт' ст 00- '

где - параметры Ламе в бицилиндрической системе координат.

В результате подстановок получим

- а~ (П)

п=1 ы

Значение плотности тепловых источников q в любой точке внутри частицы пропорционально Е2:

_ 4лгп2т2Е21

д ^ДТ"' (12)

где П2 — показатель преломления вещества цилиндрической частицы, т^ -коэффициент поглощения вещества частицы, и/ - показатель преломления окружающей среды, X - длина волны падающего излучения, I — интенсивность падающего излучения.

На рис. 2 построена диаграмма распределения квадрата амплитуды напряженности электрического поля Е2 по сечению цилиндра № 1 в зависимости от угла (р (в градусах).

5,9 ч 5,85 5,8

:2

"5,75 5,7 5,65 5,6

90

180 Ф

270

360

Рис. 2. Диаграмма распределения квадрата амплитуды напряженности электрического поля (при Ко= 1 мкм)

ю

Рис. 3. График распределения квадрата амплитуды напряженности электрического поля при расстоянии между цилиндрами, равном 0,1 мкм

Показано, что с увеличением расстояния между цилиндрами д стремится к постоянному значению, соответствующему изолированному цилиндру.

В задачу диссертации входило моделирование теплопереноса в системе двух цилиндрических частиц, поэтому было найдено распределение температуры по сечению цилиндра, вблизи которого находится другой цилиндр, с учетом тепловых источников, полученных из решения электродинамической задачи и с учетом взаимодействия частиц.

Распределение температур вне и внутри цилиндров описывается уравнением Лапласа в окружающей среде:

(13)

(14)

Здесь Яь 42 - средние по объему плотности источников тепла внутри 1-ой и 2-ой частицы, Х\1%г - коэффициенты теплопроводности окружающей среды и вещества цилиндров соответственно.

Граничные условия на поверхностях цилиндров задаются в виде

'г2-кО

= Т

1 4=«.

йг, Эг,

аг,

Э7; ,

Эг2

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

Здесь Те - температура в окружающей среде, Т,, Т2 - температуры внутри первого и второго цилиндров, Тесо - температура на бесконечности, Я;, Я; -радиусы цилиндров, о, о - радиальные координаты в полярных системах координат, связанных с первым и вторым цилиндрами.

Задача была также решена в бицилиндрической системе координат. В результате выражение для температуры внутри первого цилиндра примет вид

т^оЕ

П=1

Вп ехр(-иг)

2п

где

А. =■

ехр(-иг,)

1

1 —

рзИпт,

Л ехр(-иг)^

2{рхкптх + сктх)

+ Т

(21)

(— ск(п г,) + г,))'

-хе2пт'п2, п = 1б7Гтгпг1а1

Проведены расчеты распределения ЛТ~ Т] - Те, характеризующего разницу температур внутри цилиндра в выбранной точке сечения и внешней среды для различных расстояний между цилиндрами.

Рис. 4. Диаграмма распределения ЛТ по сечению цилиндра при различных сечениях (Ко = 10 мкм)

4 5 4

5.6

;2.5 2

1.5 1

■0.5 -0.6 -0,4 -0.2 0 0.2 04 0.6 0.8

Рис. 5. Поле распределения ЛТ по сечению цилиндра (11у= 10 мкм)

В третьей главе рассмотрены двухслойные вытянутые аэрозольные частицы (цилиндрической формы), находящиеся в электромагнитном поле. Рассмотрены аэрозольные частицы следующего состава: на ледяной «игле» образовался слой сажи (мокрого угля, смога и т.п.).

с концентрическими слоями

Такой случай может реализоваться в реальности в слоях атмосферы, находящихся в районах мегаполисов и промышленных зон с повышенной

концентрацией углесодержащих соединений. Проведены численные вычислительные эксперименты для различных конфигураций слоев цилиндра:

• концентрические слои;

• неконцентрические слои (внутренний слой представляет собой круглый цилиндр);

• неконцетрические слои (внутренний слой представляет собой структуру со случайно распределенным радиусом в зависимости от угла по сечению цилиндра).

Такая дисперсная система моделируется парой бесконечных двухслойных параллельных цилиндрических частиц. Толщина внешнего слоя намного меньше радиуса ядра.

Используя граничные условия, решая уравнение методом разделения переменных для каждого потенциала, получаем выражения для потенциалов внутри цилиндра, и внутри слоя (т) ~ const, т/1 ~ const).

Найдены выражения для расчета квадрата амплитуды электрического вектора для внешнего и внутреннего слоев цилиндра:

В среде МаЛаЬ найдены распределения квадрата амплитуды электрического вектора во внешнем и внутреннем слоях по выбранным сечениям частицы (рис. 7).

(24)

(25)

Рис. 7. Распределение квадрата напряженности в двухслойном цилиндре (Ко = 1 мкм, Ьслоя = ОД мкм) внешний слой сильнопоглощающий В четвертой главе «Математическая модель взаимодействия электромагнитного излучения с двумя сферическими поглощающими дисперсными частицами» решается задача в системе двух сферических частиц в поле плоской монохроматической электромагнитной волны.

Целью расчетов являлся поиск условий (расстояние между центрами частиц, параметров частиц), при которых поглощенная энергия внутри частиц максимальна. Известно, что тепловой источник ц пропорционален квадрату ' амплитуды электрического вектора поглощенного поля внутри частицы. Полагая, что поле, падающее на данную частицу, представляет собой сумму полей инициирующего излучения и поля, рассеянного на соседней частице, на основе решения уравнения Гельмгольца, с использованием теории Ми, методов теории представления групп мы получили выражения, позволяющие рассчитывать значения Е2 в любой точке внутри частицы.

Рис. 8. Система двух сферических частиц

Выражения, определяющие Е2 представляют собой сумму бесконечных рядов с коэффициентами Б:

1т 1т Jl >

(26)

/=0,1—

Ф, (27)

при I = 0,т = 0

Вт = $?(1) ^00 60

8Л

2п + 1 п(п +1)

1 1\" т" „/*(о,Яссв0 .

(-1) 1,0е +

я=о е V"1 о) -¿п+1

1з1У>

I /с(0)Д£Г Ф +1)

к=О

„ш<°>д

л=0

*=0

Исследованы на экстремум функции Б при различных расстояниях между частицами. Максимум функции, а, следовательно, и коэффициента поглощения достигается в точках, в которых знаменатель результирующей функции стремиться к нулю (минимальному значению).

Рис. 9. Зависимость коэффициента поглощения от расстояния между частицами (к = 10,6 мкм)

Анализ результатов проведенного вычислительного эксперимента показал, что пики (максимумы) поглощения на графике, зависящем от расстояния между центрами частиц, расположены на расстояниях, кратным половине длины волны падающего излучения.

В заключении диссертационной работы проведен результатов и основные выводы о проделанной работе.

анализ полученных

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. В диссертационной работе решены поставленные задачи по разработке математических моделей взаимодействия электромагнитного излучения с дисперсными частицами, что делает возможным исследование воздействия электромагнитного излучения на частицы с учетом их взаимного влияния.

2. Установлены связи между параметрами системы частиц и распределением поглощенной энергии электромагнитного излучения внутри частиц на основании фундаментальных законов.

3. На основании найденных связей в диссертационной работе построены следующие математические модели:

• взаимодействия электромагнитного излучения с парой однородных параллельных цилиндрических частиц в длинноволновом приближении и инициированного им процесса теплопереноса;

• взаимодействия электромагнитного излучения с парой параллельных неоднородных (двухслойных) цилиндрических частиц в длинноволновом приближении и распределения поглощения энергии по сечению частиц;

• взаимодействия плоской монохроматической электромагнитной волны с парой сферических частиц разных радиусов;

4. Разработаны алгоритмы и программный комплекс, которые позволяют при варьировании различных параметров системы (размеры частиц, расстояния между ними, оптические свойства частиц и др.) получить распределения тепловых источников, инициированных электромагнитным излучением.

5. Решена тепловая задача в системе двух однородных цилиндров с источниками, полученными из решения электродинамической задачи.

Вычислительные эксперименты показали, что плотность тепловых источников в сечении цилиндрической частицы больше в области, более близкой к соседней частице, и при увеличении расстояния между цилиндрами распределение выравнивается и стремится к распределению, соответствующему одиночному цилиндру;

6. Из модельных расчетов для двухслойных цилиндров следует, что геометрическое место тепловых источников представляет собой цилиндр малого сечения, ось которого смещена относительно оси цилиндров частицы, параллельна ей, и расположена на близком расстоянии к границе слоев, в области взаимодействия цилиндров.

7. Исследовано влияние слоя сильно поглощающего материала (например, сажи), покрывающего цилиндры изо льда. Модельные расчеты показали, что количество поглощенной энергии в такой частице больше в 1,5 раза, чем в однородном ледяном цилиндре. Следовательно, при исследовании дисперсной системы необходимо учитывать загрязнение поверхности аэрозольной частицы.

8. Разработанное математическое обеспечение позволяет рассчитывать распределение тепловых источников внутри сферических частиц н на близких расстояниях между частицами, что отличает настоящую работу от предыдущих.

9. В системе двух сферических дисперсных частиц при заданных условиях максимум поглощения (максимальное воздействие частиц друг на друга) наблюдается при расстояниях между частицами кратных половине длины волны падающего излучения.

10. Полученные результаты диссертационной работы используются в учебном процессе на кафедре теплофизики в Тверском государственном техническом университете в курсе «Физика».

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ

ДИССЕРТАЦИИ

1. Krivenko I.V., Ivannikov A.F. Modeling of Interaction of an Electromagnetic Field with Disperse System Containing Cylindrical Particles (Long Wave Approach) / 5th International congress no mathematical modeling. Book of abstracts. - M.: "Janus-K", 2002. P. 96.

2. Кривенко И.В., Комаров (Иванников) А.Ф. Моделирование распределения температуры внутри дисперсных частиц цилиндрической формы под действием электромагнитного излучения / Тезисы докладов 11 Международной конференции «Математика, компьютер, образование» (г. Дубна, 26-31 января 2004 г.) - Москва-Ижевск: R&C Dynamics, 2004. Вып. 11. С. 113

3. Кривенко И.В., Комаров А.Ф. Моделирование взаимодействия электромагнитного поля с дисперсной системой, содержащей цилиндрические частицы (длинноволновое приближенис)//В сб.: Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сб. науч. тр. / МГТУ «СТАНКИН». - Изд-во «Янус-К», 2003. С. 117-123.

4. Кривенко И.В., Комаров (Иванников) А.Ф. Тепловые поля внутри системы взаимодействующих дисперсных частиц цилиндрической формы // В сб.: Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сб. науч. Тр. / МГТУ «СТАНКИН» - М.: Изд-во «Янус-К», 2004. - Вып. 7. - С. 90-96

5. Иванников А.Ф. Моделирование взаимодействия электромагнитного поля с дисперсной системой, содержащей цилиндрические частицы (длинноволновое приближение)// IX-ая научная конференция МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН»: Программа. Сборник докладов/Под ред. O.A. Казакова.- М.: «ЯНУС-К», ИЦ ГОУ МГТУ «Станкин». 2006. - С. 19-22

6. Иванников А.Ф., Кривенко И.В. Двухслойные цилиндрические частицы в поле электромагнитного излучения (длинноволновое приближение)//

Тезисы докладов 13-ой Международной научной конференции «Математика, компьютер, образование»/ Под ред. Г.Ю. Ризниченко, вып. 13 - М.:2006. - С. 142

7. Uvarova L.A., Krivenko I.V., Ivannikov A.F., Peculiarities of stochastic resonance in disperse systems //17 National Congress, Final Program & Abstract Book. Thesis №871 - The Australian Institute of Physics, 2006.

8. Иванников А.Ф., Кривенко И.В., Моделирование взаимодействия электромагнитного поля с дисперсной системой, содержащей цилиндрические частицы (длинноволновое приближение) // Компьютерные технологии в управлении, медицине, образовании [Текст]: сборник научных трудов. - Тверь. ТГТУ,2006. С. 153-158

9. Иванников А.Ф., Кривенко И.В., Тепловые поля внутри системы взаимодействующих дисперсных частиц цилиндрической формы // Компьютерные технологии в управлении, медицине, образовании [Текст]: сборник научных трудов. - Тверь. ТГТУ, 2006. С. 158-163

10. А.Ф. Иванников, Условие возникновения резонансного поглощения в системе двух сферических дисперсных частиц //Труды 50-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VIII. Проблемы современной физики. - М.: МФТИ, 2007.-200 с.

11. Иванников А.Ф. Исследование распределения тепловых источников, инициированных электромагнитным излучением в системах двухслойных аэрозольных частиц вытянутой формы // Тезисы докладов 14-ой Международной научной конференции «Математика, компьютер, образование»/ Под ред. Г.Ю. Ризниченко, вып. 14 - М.:2007.

12. А.Ф. Иванников, JI.A. Уварова, И.В. Кривенко // ОПиПМ, Т. 15, Вып. 3. - М.: Редакция журнала ОПиПМ, 2008.

13. L.A. Uvarova, I.V. Krivenko, М.А. Smirnova, A.F. Ivannikov, E.JU. Romanov, M.V. Krasikov. Electromagnetic Waves Propagation for the Different

Configurations and Induced Heat Transport for Disperse Systems // GAeF-Meeting Conference 2008. - Karlsruhe, 2008.

14. L.A. Uvarova, I.V. Krivenko, A.F. Ivannikov, T.V. Kazarova. The Interaction of the Electromagnetic Radiation with Two Non-homogenous Cylindrical Particles and Theirs Dynamical // Book of Abstracts of AIS-2008. - Kaliningrad, 2008.

15. И.В. Кривенко, А.Ф. Иванников. Взаимодействие однородных и неоднородных вытянутых аэрозольных частиц в поле лазерного излучения И Международная научная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем». Сборник тезисов. - М.: МГУП, 2008. - С. 70.

Подписано в печать 15.05.09 Физ.печ.л. 1,5 Тираж 120 экз. Заказ №53

Типография Тверского государственного технического университета 170026, г. Тверь, наб. Аф. Никитина, 22

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1.

АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРОБЛЕМЫ.

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОГЛОЩЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ СИСТЕМОЙ ДВУХ ОДНОРОДНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ. РЕШЕНИЕ ТЕПЛОВОЙ ЗАДАЧИ С ИСТОЧНИКАМИ, ИНИЦИИРОВАННЫМИ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ. РАСЧЕТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ПО СЕЧЕНИЯМ ЦИЛИНДРОВ.

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОГЛОЩЕНИЯ ЭМИ СИСТЕМОЙ ДВУХ ДВУХСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ. ВЛИЯНИЕ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СЛОЕВ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОВЫХ ИСТОЧНИКОВ ВНУТРИ ЧАСТИЦ.

ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ С ДВУМЯ СФЕРИЧЕСКИМИ ПОГЛОЩАЮЩИМИ ДИСПЕРСНЫМИ ЧАСТИЦАМИ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

Актуальность работы

Для решения современных проблем физики является актуальным разработка математических моделей для изучения свойств физических систем, исследования процессов, происходящих в них, а так же проведение числительных экспериментов с использованием современных вычислительных методов.

Так, одной из таких проблем физики дисперсных систем и электродинамики является проблема взаимодействия электромагнитного излучения с дисперсными системами (атмосферными аэрозолями, различными коллоидными растворами, биосистемами и т.п.). На практике такие задачи важны, например, при создании каналов просветления в атмосфере посредством воздействия интенсивного лазерного излучения на системы атмосферных дисперсных частиц. При этом происходит разогрев частиц или, в зависимости от различных условий, испарение аэрозольных частиц или тепловой взрыв. Такая задача представляется особенно актуальной в связи с загрязнением атмосферы различными видами аэрозолей, например, частицами сажи и т.д. Поскольку в дисперсных системах, встречающихся на практике, имеет место взаимодействие частиц, то возникает необходимость создания математической модели, описывающей поглощение ими электромагнитного (в частности, лазерного) излучения с учетом взаимодействия частиц. От распределения поглощенной энергии внутри частиц зависит их температура. Представляется актуальным вычисление распределения температур в системе взаимодействующих частиц, нагреваемых внутренними источниками тепла, инициированными как воздействием внешнего электромагнитного поля, так и поля, рассеянного на соседних частицах.

Цель работы

Целью настоящей работы является разработка математических моделей воздействия электромагнитного излучения на дисперсные системы, с учетом взаимодействия частиц, входящих в эти системы, и математическое моделирование инициированного им процесса теплопереноса в этих системах.

Для достижения поставленной цели были решены следующие научные задачи:

• разработка комплекса программ для проведения вычислительных экспериментов и расчетов с применением современных технологий математического моделирования;

• проведение вычислительного эксперимента на основе разработанного программного комплекса для изучения воздействия электромагнитного излучения на дисперсную систему;

• исследование процессов теплопереноса в системах парных дисперсных частиц в поле электромагнитного излучения;

• численный анализ влияния соседних частиц- на распределение поглощенной энергии внутри частиц при различных условиях и параметрах системы частиц;

• исследование температурного поля внутри цилиндрических частиц, нагреваемых внутренними источниками тепла, возникающими при воздействии на систему электромагнитного излучения;

• исследование условий, при которых поглощение внутри двух сферических частиц при воздействии на них электромагнитного излучения максимально.

Методы исследования.,В<работе применяются методы теории представления групп, метод разделения, переменных, методы решения* уравнения теплопроводности, теория Ми для построения математической модели взаимодействия электромагнитного поля, с системой дисперсных частиц, обладающими различными свойствами. Также были применены методы: прикладного программного обеспечения (Microsoft Access, Microsoft Excel, MatLab).

Научная новизна. Получены следующие новые результаты:

• математическая модель теплопереноса в системе двух однородных цилиндрических частиц с источниками, инициированными внешним электромагнитным полем, и модель распределения энергии электромагнитного излучения в неоднородных (двухслойных) цилиндрических частицах (расчет тепловых источников);

• алгоритм и программный комплекс на основе предложенных моделей;

• качественные и количественные закономерности процессов теплопереноса и поглощения энергии электромагнитного излучения в системе двух взаимодействующих цилиндров, с учетом найденных из решения электродинамической задачи тепловых источников в длинноволновом приближении;

• • вычислительный эксперимент по расчету распределения поглощенной энергии электромагнитного излучения неоднородными (двухслойными) цилиндрическими частицами, с учетом их взаимного, влияния и влияния внешнего слоя;

• программный комплекс для расчета параметров системы двух сферических частиц различных радиусов в поле плоской монохроматической электромагнитной волны, при которых поглощение максимально.

Практическая значимость.

Распределение температуры внутри взаимодействующих дисперсных частиц сферической и вытянутой (цилиндрической) формы, возникающее в результате воздействия на систему электромагнитного излучения, определяет дальнейшую эволюцию дисперсной системы, и поэтому расчет температуры необходим для специалистов, занимающихся практическими вопросами воздействия электромагнитного излучения на дисперсные системы. Полученные в работе результаты позволяют оценить влияние различных параметров (размеров частиц, вещества частиц и среды, расстояния между частицами, характеристик падающего излучения) на распределение поглощенной энергии внутри частиц. Путем варьирования этих параметров представляется возможным изменить распределение плотности источников тепла (а, следовательно, и температуры) внутри частиц. Это создает дополнительные возможности для управления различными физико-химическими процессами, происходящими в дисперсной системе (фазовыми переходами, химическими превращениями, изменениями агрегатных состояний и др.), для описания форетического движения частиц, а также для исследования ориентированных частиц в области нанотехноло-гий.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Krivenko I.V., Ivannikov A.F. Modeling of Interaction of an Electromagnetic Field with Disperse System Containing Cylindrical Particles (Long Wave Approach) / 5th International congress no mathematical modeling. Book of abstracts. -M.: "Janus-K", 2002. P. 96.

2. Кривенко И.В., Комаров (Иванников) А.Ф. Моделирование распределения температуры внутри дисперсных частиц цилиндрической формы под действием электромагнитного излучения / Тезисы докладов 11 Международной конференции «Математика, компьютер, образование» (г. Дубна, 26-31 января 2004 г.) - Москва-Ижевск: R&C Dynamics, 2004. Вып. 11. С. 113

3. Кривенко И.В., Комаров А.Ф. Моделирование взаимодействия электромагнитного поля с дисперсной' системой, содержащей цилиндрические частицы (длинноволновое приближение)//В сб.: Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сб. науч. тр. /МГТУ «СТАНКИН». - Изд-во «Янус-К», 2003. С. 117123.

4. Кривенко И.В., Комаров (Иванников) А.Ф. Тепловые поля внутри системы взаимодействующих дисперсных частиц цилиндрической формы // В сб.: Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сб. науч. Тр. / МГТУ «СТАНКИН» - М.: Изд-во «Янус-К», 2004. - Вып. 7. - С. 90-96

5. Иванников А.Ф. Моделирование взаимодействия электромагнитного поля с дисперсной системой, содержащей цилиндрические частицы (длинноволновое приближение)// IX-ая научная конференция МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН»: Программа. Сборник докладов/Под ред. О.А. Казакова.- М.: «ЯНУС-К», ИЦ ГОУ МГТУ «Станкин». 2006. - С. 19-22 7

6.' Иванников А.Ф.1,Кривенко И.В. Двухслойные цилиндрические частицы в поле электромагнитного излучения (длинноволновое приближение)// Тезисы докладов 13-ой Международной научной конференции «Математика, компьютер, образование»/ Под ред. Г.Ю. Ризниченко, вып. 13 - М.:2006. -С. 142

7. Uvarova L.A., Krivenko I.V., Ivannikov A.F., Peculiarities of stochastic resonance in, disperse systems //17 National Congress, Final Program & Abstract Book. Thesis №871 - The Australian Institute of Physics, 2006.

8. Иванников А.Ф., Кривенко И.В., Моделирование взаимодействия электромагнитного поля с дисперной системой, содержащей цилиндрические частицы (длинноволновое приближение) // Компьютерные технологии в управлении, медицине, образовании [Текст]: сборник научных трудов. — Тверь. ТГТУ, 2006. С. 153-158

9. Иванников А.Ф., Кривенко И.В., Тепловые поля внутри системы-взаи модействующих дисперсных частиц цилиндрической формы. // Компьютерные технологии в управлении, медицине, образовании [Текст]: сборник научных трудов. - Тверь. ТГТУ, 2006. С. 158-163

10. А.Ф. Иванников, Условие возникновения) резонансного поглощения в-системе двух сферических дисперсных частиц //Труды 50-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть УШ. Проблемы современной физики. - М.: МФТИ, 2007.

- 200 с.

11. Иванников А.Ф. Исследование распределения тепловых источников, инициированных электромагнитным излучением в системах двухслойных аэрозольных частиц вытянутой формы // Тезисы докладов 14-ой Международной научной конференции «Математика, компьютер, образование»/ Под ред. Г.Ю. Ризниченко, вып. 14 - М.:2007.

12. А.Ф. Иванников, JI.A. Уварова, И.В. Кривенко // ОПиПМ, Т. 15, Вып. 3. - М.: Редакция журнала ОПиПМ, 2008.

13. L.A. Uvarova, I.V. Krivenko, М.А. Smirnova, A.F. Ivannikov, E.JU. Romanov, M.V. Krasikov. Electromagnetic Waves Propagation for the Different Configurations and Induced Heat Transport for Disperse Systems // GAeF-Meeting Conference 2008. - Karlsruhe, 2008.

14. L.A. Uvarova, I.V. Krivenko, A.F. Ivannikov, T.V. Kazarova. The Interaction of the Electromagnetic Radiation with Two Non-homogenous Cylindrical Particles and Theirs Dynamical // Book of Abstracts of AIS-2008. - Kaliningrad, 2008.

15. И.В. Кривенко, А.Ф. Иванников. Взаимодействие однородных и неоднородных вытянутых аэрозольных частиц в поле лазерного излучения // Международная научная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем». Сборник тезисов. - М.: МГУП, 2008. - С. 70.

Апробация, работы. Результаты; работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

• Конференции «Математика, Компьютер, Образование» (г. Дубна, Пущино, 2006-2007 гг.)

• 17 National Congress of The Australian Institute of Physics (декабрь 2006 г.)'

• 50-ая научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (г. Долгопрудный, ноябрь 2007 г.)

• Девятый Всероссийский Симпозиум- по прикладной и промышленной математике (г. Кисловодск, май 2008 г.)

• Научно-практическая конференция студентов и аспирантов «Современные проблемы рационального, использования природных ресурсов и охраны окружающей среды» (май 2008 г.)

• GAeF-Meeting Conference 2008 (Karlsruhe, июль 2008 г.)

• AIS-2008 (Kaliningrad, июль 2008 г.)

• Международная научная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем» МГТУ СТАНКИН (октябрь 2008 г.)

• Доклады на научных конференциях и семинарах в Тверском государственном техническом университете (2002 - 2009 гг.)

Внедрение результатов диссертационного исследования. Материалы диссертационной работы используются в учебном процессе кафедры теплофизики Тверского государственного технического университета в рамках преподавания дисциплины «Физика».

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. В диссертационной работе решены поставленные задачи по разработке математических моделей взаимодействия электромагнитного излучения с дисперсными частицами, что делает возможным исследование воздействия электромагнитного излучения на частицы с учетом их взаимного влияния.

2. Установлены связи между параметрами системы частиц и распределением поглощенной энергии электромагнитного излучения внутри частиц на основании фундаментальных законов.

3. На основании найденных связей в диссертационной работе построены следующие математические модели:

• взаимодействия электромагнитного излучения с парой однородных параллельных цилиндрических частиц в длинноволновом приближении и инициированного им процесса теплопереноса;

• взаимодействия электромагнитного излучения с парой параллельных неоднородных (двухслойных) цилиндрических частиц в длинноволновом приближении и распределения поглощения энергии по сечению частиц;

• взаимодействия плоской монохроматической электромагнитной волны с парой сферических частиц разных радиусов;

4. Разработаны алгоритмы и программный комплекс, которые позволяют при варьировании различных параметров системы (размеры частиц, расстояния между ними, оптические свойства частиц и др.) получить распределения тепловых источников, инициированных электромагнитным излучением.

5. Решена тепловая задача в системе двух однородных цилиндров с источниками, полученными из решения электродинамической задачи. Вычислительные эксперименты показали, что плотность тепловых источников в сечении цилиндрической частицы больше в области, более близкой к

82 соседней частице, и при увеличении расстояния между цилиндрами распределение выравнивается и стремится к распределению, соответствующему одиночному цилиндру;

6. Из модельных расчетов для двухслойных цилиндров следует, что геометрическое место тепловых источников представляет собой цилиндр малого сечения, ось которого смещена относительно оси цилиндров частицы, параллельна ей, и расположена на близком расстоянии к границе слоев, в области взаимодействия цилиндров.

7. Исследовано влияние слоя сильно поглощающего материала (например, сажи), покрывающего цилиндры изо льда. Модельные расчеты показали, что количество поглощенной энергии в такой частице больше в 1,5 раза, чем в однородном цилиндре. Следовательно, при исследовании дисперсной системы необходимо учитывать загрязнение поверхности аэрозольной частицы.

8. Разработанное математическое обеспечение позволяет рассчитывать распределение тепловых источников внутри сферических частиц и на близких расстояниях между частицами, что отличает настоящую работу от предыдущих.

9. В системе двух сферических дисперсных частиц при заданных условиях максимум поглощения (максимальное воздействие частиц друг на друга) наблюдается при расстояниях между частицами кратных половине длины волны падающего излучения.

Ю.Полученные результаты диссертационной работы используются в учебном процессе на кафедре теплофизики в Тверском государственном техническом университете в курсе «Физика».

1. Ван де Хюлст. Рассеяние света малыми частицами. М., Иностр. Литер., 1961,536 с.

2. Зуев В.Е., Кабанов М.В. Оптика атмосферного аэрозоля. Л., Гидроме-теоиздат, 1987, 254 с.

3. Шифрин К.С. Рассеяние света в мутной среде. Д., Гостехиздат, 1957, 288 с.

4. Борн М.-, Волф Э. Основы оптики. М. : Наука, 1970. - 850 с.

5. Пришивалко А.П. Оптические и тепловые поля внутри ссветорассеи-вающих частиц. Мн.: Наука и техника, 1983. - 190 с.

6. Пришивалко А.П., Астафьева Л.Г. О распределении энергии в однородных поглощающих частицах, освещаемых параллельным пучком света.// ЖПС, 1972. Т. 16, N 2, с. 344-350.

7. Пришивалко А.П., Астафьева Л.Г. Распределение энергии внутри свето-рассеивающих частиц. Минск, 1974. - 62 с. (Препринт/ Ин-т физики АН БССР)

8. Науменко Е.К., Пришивалко А.П., Карцева И.Р. Оптимизация вычислительного алгоритма задачи о рассеянии излучения полидисперсными средами.// Изв. АН БССР, Сер. физ.-мат. наук, 1975, N 1, с. 71-79.

9. Wyatt P.A. Scattering of electromagnetic plane waves from inhomogeneous spherically symmetric objects.// Phys. Rew., 1962. V.127, N 5, p. 1837-1843.

10. Пришивалко А.П. Рассеяние и ослабление излучения магнитными частицами.// Оптика и спектроскопия, 1988.Т.65, вып.5, с. 1159-1162.

11. Brett A. Hunter, Michael A. Box and Bernard Maier. Resonance structure in weakly absorbing spheres. // J. Opt. Soc. America, vol. 5, no. 8, 1988.

12. Zardecki A., Pendleton J.D. Hydrodinamics of water droplets irradiated by a pulsed CO laser.//Appl. Opt., 1989. V.28, N 3, p.638-640.

13. Bott A., Zdunkowski W. Electromagnetic energy within dielectric spheres.// J. Opt. Soc. Am. A, 1987. V.4, N 8, p. 1361-1365.

14. Белов H.H. Структура оптического поля внутри сфер и тепловой взрыв частиц.// Физика горения и взрыва, 1987. N4, с. 44-48.

15. Белов Н.Н. Распределение оптического поля внутри сферической частицы.// ДАН СССР, 1987. Т. 292, N 6, с. 1360-1363.

16. Белов Н.Н. Подобие оптических полей в слабопоглощающих частицах.// Оптика и спектроскопия, 1988. Т. 64, N 6, с. 1370-1371.

17. Белов Н.Н. Оптические поля внутри корундовых частиц в спектральном диапазоне излучения СО лазера.// Журн. прикл. спектр., 1986. Т.44, N 6, С. 948-955.

18. Белов Н.Н. Распределение электромагнитного излучения в металлических частицах.// Изв. АН СССР, сер. Металлы, 1988. N4, с. 217-219.

19. Белов Н.Н. Влияние размера частицы золота на характер распределения оптического поля с =10.6 мкм.// Укр. физ. журн., 1986. Т.ЗЗ, N 6, с. 831833.

20. Белов Н.Н. Неоднородность электромагнитного поля 10.6 мкм внутри частиц атмосферного аэрозоля.// Оптика и спектроскопия, 1986. Т. 61, N 6, с. 1331-1336.

21. Белов Н.Н. Расчет функций Риккати-Бесселя восходящей рекурсией.// Оптика атмосферы и океана, 1992. Т.5, N 2, с 165-168.

22. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.:Мир, 1976. 630 с.

23. Stimson М., Jeffry G.B. The motion of two spheres in a viscous fluid.// Proc. Roy. Soc. London, 1926. V. A 111, N 110, p. 110-116.

24. Read L.D., Morrison Jr. Hydrodynamic interactions in electrophoresis.// Journal of Colloid and Interface Science, 1976. V.54, N 1, p. 117-133.

25. Sozou С Electrohydrodynamics of pair of liquid drops.// J. Fluid Mech., 1975. V.67, part 2, p. 339-348.

26. Cichocki В., Felderhof B.U., Schmitz R. Hydrodynamic interactions beet-ween two spherical particles.// PhysicoChemical Hydrodynamics, 1988. V.lOs N 3, p.383-403.

27. Siczi Kuwabara. The forces experienced by randomly distributed parallel circular cylinders or spheres in a viscous flow at smal Reynolds numbers.// Journal of the

28. Physical Society of Japan, 1959. V 14, N 4, p. 527-532.

29. Haber S., Hetsroni Q., Solan A. On the low Reynolds number motion of two droplets.// Int. J. Multiphase Flow, 1973. V.I, p.57-71.

30. Hetsroni G., Haber S. Low Reynolds number motion of two drops submerged in an unbounded arbitrary velocity field.// Int. J. Multiphase Flow, 1988. V.4, p. 1-17.

31. Brozier-Smith P.R. Stability and shape of isolated and pairs of water drops in an electric field.// The Physics of Fluids, 1971. V. 14, N 1, p. 1-6.

32. Мелехов А.П., Гайдуков M.H., Яламов Ю.И. Движение двух капель в неоднородно нагретой среде.// ИФЖ, 1983. Т.35, N 2, с. 326-327.

33. Мелехов А.П. Термофорез гидродинамически взаимодействующих аэрозольных частиц.// Докл. АН СССР, 1986. Т.287, N 2, с. 337-341.

34. Яламов Ю.И. Сансарян А.С. О движении крупных капель твердых частиц и газовых пузырьков в неоднородных по температуре газах и жидкостях в режиме со скольжением.// ЖТФ, 1975, Т.45, N 10, с. 2152-2158,

35. Яламов Ю.И., Сансарян А.С. К вопросу о суперпозиции гравитационного и термофоретического переноса капель в газах и жидкостях.// ЖТФ, 1979. Т. 49, N 11, с. 2376-2378.

36. Яламов КЗ.И., Галоян B.C., Ханухова Л.Б. К вопросу о сепарации аэрозольных частиц по размерам под действием тепловых полей.// ЖТФ, 1979. Т. 49, N И, с. 2487-2488.

37. Дзюба А.С, Солунский И.В. Парное взаимодействие газовых пузырьков в замкнутом объеме жидкости в поле температурного градиента.// Укр. физ. журн., 1988. Т.ЗЗ, N 10, С. 1500-1504.

38. Яламов Ю.И., Щукин Е.Р., Гращенков СИ. Термофорез и диффузиофо-рез двух аэрозольных частиц с учетом внутренних источников теп-ла./Деп. в ВИНИТИ N 7212 В 89 .

39. Грин X., Лейн В. Аэрозоли пыли, дымы и туманы. - Л.: Химия, 1972. 428 с.

40. Яламов Ю.И. Об особенностях движения двух твердых взаимодействующих частиц, нагреваемых внутренними источниками тепла./ Деп. в ВИНИТИ N8113 Б 88.

41. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики.-М;Изд-во иностр. литературы, 1958. С. 415.

42. Бухгольц И. Расчет электрических и магнитных полей.-М.: Изд-во иномтр. литературы, 1961.

43. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инжене-ров.-М.:Наука, 1984. С. 831.

44. Панченков М.Г., Цабек Л.К. Поведение эмульсий во внешнем электрическом поле.- М.:Химия, 1969. 190 с.

45. Жевелюк М.Ю. Силы, действующие на проводящий шар в плоском конденсаторе вблизи одной из пластин.//ЭОМ, 1972. N 2(44), с. 58-63.

46. Reed L.D., Morrison F.A. Hydrodynamics interactions in electrophoresis .//Journal of Colloid and Interface Science, 1976. V.54, N 1, o. 117-133.87

47. Aravind P.K., Nitzan A. Interaction between electromagnetic resonances.// Surf. Sci.,1981. V.110, N 189, p.189-204.

48. Ruppin R. Optical Absorption of two spheres.// J. Of Phys. Soc. of Japan, 1989. V.58,N4,p. 1446-1451.

49. Гельфанд И.М., Шапиро З.Я. Представления группы вращений трехмерного пространства.// Успехи мат. наук, 1952. Т.7, вып. 1(47), с. 3-117.

50. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп.-М.:Наука, 1956. 588с.

51. Любарский Г.Я. Теория групп и физика.- М.:Наука,1986. 224 с.

52. Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца, их применение. -М: Наука, 1958. 368 с.

53. Гельфанд И.М., Граев М.И., Пятецкий-Шапиро И.И. Теория представлений и автоморфные функции. М.:Наука, 1966. 512 с.

54. Розенберг В.И. Рассеяние и ослабление электромагнитного излучения атмосферными частицами.-Л.:Гидрометиздат, 1972. 420 с.

55. Еремин Ю.А., Орлов Н.В., Розенберг В.И. Анализ процессов рассеяния волн на совокупности частиц // Оптика и спектроскопия, 1993. Т. 75, Вып. 1.С. 115-122

56. Kie В. Nahm and William L. Wolfe. Light-scattering models for spheres on a conducting plane: comparison with experiment // Appl. Opt., 1987. V.26, N 15, p.2995-2999.

57. Гамаюнов Н.И., Кривенко И.В., Уварова Л.А. Взаимодействие плоской монохроматической электромагнитной волны с двумя сферическими поглощающими частицами // Деп. В ВИНИТИ №488О-В91

58. Кривенко И.В. Взаимодействие электромагнитного излучения с дисперсной системой: дис. . канд. физ.-мат. наук / Кривенко Ирина Валерьевна; науч. рук. Гамаюнов Н.И.; Тверской государственный технический университет. — Тверь., 1997. — 120 с.

59. Bott A., Zdunkowski W. Electromagnetic energy within dielectric spheres // J. Opt. Soc. Am., 1987. V. 4, N. 8, p. 1361-1365

60. Tak-Goa Tsuei, Peter W. Barber. Multiple scattering by two parallel dielectric cylinders // Applied Optics, Vol. 27, No. 16. p.3375-3381, 1988.

61. Burghard Schlicht, Kelvin F. Wall, Richard K. Chang. Light Scattering by two parallel glass fibers. // J. Opt. Soc. America, vol. 4, no. 5, 1987.

62. Л.Г. Астафьева, А.П, Пришивалко. Поглощение ИК-излучения и оптические поля внутри металлических частиц с окисной пленкой // Оптика атмосферы, 2, №19. М. 1989.

63. Плешко В.Ю. Дифракция плоской электромагнитной волны на теле конечных размеров в однородном пространстве // Молдавский НИИ НТИ. 1987.

64. Дмитриев В.И., Плешко В.Ю. К расчету электромагнитного поля в слоистой среде с локальной неоднородностью // Вычисл. Методы и программирование. М.: Изд-во Моск. ун-та. - 1982. - Вып. 36. - С. 27-35.

65. Мазин И.П., Шметер С.М. Облака, строение и физика образования. -Л.:Гидрометеоиздат, 1983 г.

66. Hobbs P.V. Ice physics. Clarendon Press, Oxford, 1974. 837 p.

67. Щукин E.P. О движении аэрозольных частиц с неоднородным распределением тепловых источников в поле внешних градиентов температуры и концентрации.//ЖТФ.-1980.-Т.50, № 6.-С.1332-1335.

68. Мейсон Б. Дж. Физика облаков. Л., Гидрометеоиздат, 1961, 541 с.

69. Физические основы теории климата и его моделирования. Л., Гидрометеоиздат, 1977, 271 с.

70. Качурин Л.Г., Морачевский В.Г. Кинетика фазовых переходов воды в атмосфере. Л, Изд. ЛГУ, 1965, 143 с.

71. Довгалюк Ю.А., Ивлев Л.С. Физика водных и других атмосферных аэрозолей. Изд. 2-е. СПб, Изд. СПбГУ, 1998, 321 с.

72. Френкель Я.И. Теория явлений атмосферного электричества. М., Госте-хизд., 1949, 155 с.

73. Юнге X. Химический состав и радиоактивность атмосферы. М., Мир, 1965, 423 с.

74. Стыро Б.И. Самоочищение атмосферы от радиоактивных загрязнений. Л., Гидрометеоиздат, 1968, 293 с.

75. Ивлев Л.С. Гетерогенная химия нижней атмосферы. Проблемы физики атмосферы, вып. 20. Физика и химия атмосферных аэрозолей. СПб, Изд. СПбГУ, 1997, с. 54-80.

76. Мак-Картни Э. Оптика атмосферы. М., Мир, 1979, 420 с.

77. Ивлев Л.С. Аэрозольная модель атмосферы. В сб. Проблемы физики атмосферы, 1969, вып. 8, с. 125-160.

78. Almeida G.A., Koepke P., Shettle E. Atmospheric Aerolols: Global Climatol-ogyy and Radiactive Characteristics. Ed. A.Deepak Publ.; Hampton, USA, 1991,549 р.

79. Розенберг Г.В., Горчаков Г.И., Георгиевский Ю.С., Любовцева Ю.С. Оптические параметры атмосферного аэрозоля. В сб. Физика атмосферы и проблемы климата. М., 1980, с. 216-257.

80. Зуев В.Е., Креков Г.М. Оптические модели атмосферы. Л., Гидрометеоиздат, 1986, 256 с.

81. Васильев А.В., Ивлев JI.C. Эмпирические модели и оптические характеристики аэрозольных ансамблей двухслойных частиц. Опт. атм. и океана, 1997, 10, №8, с.856-865.

82. Качурин Л.Г. Физические основы воздействия на атмосферные процессы. Л., Гидрометеоиздат, 1978, 365 с.

83. Ивлев Л.С., Довгалюк Ю.А. Физика атмосферных аэрозольных систем. — СпбГУ- Спб: 1999 г.

84. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инжене-ров.-М.:Наука, 1984. С. 831.