автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование математической модели оптических антенн методом дискретных источников

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В.ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

4844520

Барышев Александр Вячеславович

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОПТИЧЕСКИХ АНТЕНН МЕТОДОМ ДИСКРЕТНЫХ ИСТОЧНИКОВ

Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Москва — 2011

4844526

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета, МГУ и М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Еремин Юрий Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Козарь Анатолий Викторович

доктор физико-математических наук, профессор Пермяков Валерий Александрович

Ведущая организация: Институт прикладной математики

им. М.В.Келдыша РАН

Защита диссертации состоится лля^^о- 2011 г. в -/Г на зас

дании Диссертационного Совета Д 501.001.43 при Московском государственно университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские гор д.1, МГУ, 2-ой учебный корпус, факультет ВМиК, ауд. №

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ и М.В. Ломоносова.

2/ „

Автореферат разослан «____» ¿МУжуь**— 2011 г.

Ученый секретарь /

Диссертационного совета Д 501.001.43, ¿г^^л/7 Е.В.Захаров

доктор физико-математических наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность. В последнее время ученые все больше проявляют интерес к задачам рассеяния света локальными неоднородностями. В частности большое внимание уделяется вопросу изучения рассеивающих свойств оптических антенн 1'2, зачастую представляющих собой кластер паноразмерных неметаллических частиц, расположенных в тонкой пленке из благородного металла, нанесенной на поверхность прозрачной подложки. Также оптическая антенна может быть образована системой наноразмерных металлических частиц, расположенных в слоистой среде без поглощения. Подобно антеннам радио- и микроволнового диапазона, предназначением оптических антенны является преобразование энергии свободно распространяющегося излучения в энергию локализованной волны, и наоборот. Оптические антенны используют уникальное свойство металлических наноструктур, не являющихся идеальными проводниками при оптических частотах, а обладающих свойствами неидеальной плазмы, описываемой как газ из свободных электронов. Это свойство приводит к существованию эффектов поверхностного и локального поверхностного плазмонного резонанса, усиливающих взаимодействие света с веществом, что дает возможность использовать оптические антенны для увеличения эфффективности работы таких устройств, как локальные биосенсоры, солнечные батареи, переключатели излучения, све-тоизлучающих органические диоды и других.

Математически задача дифракции на наноразмерных частицах в слоистой среде описывается системой уравнений Максвелла с определенными условиями сопряжения на поверхности частиц и границах раздела сред, и дополнительными условиями излучения (затухания) на бесконечности. Строгое аналитическое решение подобной дифракционной задачи для частиц произвольной формы получить не удается, поэтому на практике приходится либо использовать различные идеализации при постановке соответствующей задачи, либо применять приближенные методы расчета. Поэтому совершенно очевидна та исключительная важность, придаваемая численным методам решения граничных задач дифракции.

В силу того, что на практике задача дифракции ставится на бесконечных границах раздела, использование таких численных методов решения, как конечно-разностный метод во временной области и метод конечных элементов, затруднительно, поскольку эти методы не позволяют в полной мере учесть взаимодейт-

^haradwaj Р., Deutsch В., Novotny L. Optical antennas // Advances in Optics and Photonics. 2009. v.l. pp.438-483.

3Панченко Б.А., Гизатуллин M.P. Нано-а.нтенны. М.: Радиотехника, 2010. 96 с.

свие между частицами и бесконечными границами раздела. Этого недостатка лишен метод дискретных источников, основоположниками которого являются советсткий математик В.Д. Купрадзе 3 и японский математик Ясуура 4, работы которых в идейном отношении близки к работам итальянских математиков Фикера, Америо, Пиконе 5. Этот метод обладает также некоторыми другими преимуществами, заключающимися в том, что он позволяет решать задачу дифракции одновременно для произвольного набора углов падения волны и обеих поляризаций ТМ и ТЕ электромагнитной волны.

Одной из важнейших проблем, стоящих перед исследователями, является возможность управления шириной и направлением рассеянного оптической антенной излучения. В последнее время большое внимание было уделено рассеивающих свойствам антенны типа Уда - Яги 6. Было показано, что при в определенных ситуациях при возбуждении подобной антенны квантовой точкой или плоской электромагнитной волной излучение рассеивается в определенном направлении.

В свете открытия эффекта аномального просачивания энергии одиночным на-норазмерным отверстием или наноразмерной неоднородностью в тонкой пленке из благородного металла 7 встает вопрос о характеристиках рассеяния оптической антенны, представляющей собой кластер наноразмерных частиц, в области неизлучающих волн. Особый интерес могут представлять характеристики рассеяния антенны типа Уда - Яги в случае аномального просачивания энергии.

Цели настоящей работы:

1. Разработать математическую модель оптической антенны, представляющей собой кластер наноразмерных частиц, расположенных в тонкой металлической пленке, нанесенной на поверхность стеклянной подложки.

3Купрадзе В.Д. О приближенном решении задач математической физики // УМН. 1967. Т.22, вып.2. С.58-109.

4Yasuura К., Itakura Т. Approximation for wave functions // Kyushu Univ. Rep. 1965. v.38, №1. pp.72-77.

sFichera G. On a unified theory of boundary value problems for elliptic parabolic equations of second order // Boundary Probl. in Differ. Equations, Proc. Sympos., Madison, April 20-22. 1959. pp.97-120.

6Hofmann H.F., Kosako Т., Kadoya Y. Directional control of light by a nano-optical Yagi-Uda antenna // Nature Photonics. 2010. v.4. pp.312-316

'Гришина H.B., Ерёмин Ю.А., Свешников А.Г. Эффект экстремального просачивания энергии через проводящую пленку с наноразмерной неоднородностью в области неизлучающих волн /,/ ДАН. 2009. Т.424, №1. С.1-4.

2. Провести полное математическое обоснование развитой математической модели. Доказать сходимость приближенного решения, построенного на основе метода дискретных источников, к точному решению задачи рассеяния.

3. Разработать и реализовать в виде комплекса ЭВМ - программ численный алгоритм решения решения задачи дифракции, в том числе в области неиз-лучающих волн.

4. С помощью разработанного комплекса ЭВМ - программ провести исследование рассеивающих свойств различнычных типов оптических антенн.

5. Разработать математическую модель скалярной задачи дифракции плоской волны на рассеивателе, частично погруженном в подложку. Проведести математическое обоснование данной математической модели. Доказать сходимость приближенного решения к точному решению. Разработать и реализовать в виде комплекса ЭВМ - программ численный алгоритм решения поставленной задачи дифракции.

Научная новизна. Предложена и реализована модель оптической антенны, представляющей собой кластер наноразмерных частиц, расположенных в тонкой металлической пленке, нанесенной на поверхность стеклянной подложки.

Практическая ценность. Построены и апробированы эффективные алгоритмы, позволяющие решать электромагнитные задачи дифракции плоских волн на кластере наноразмерных частиц, в том числе обладающем клеточно - циркулярной симметрией. Данные алгоритмы могут быть полезны для моделирования и создания работающих экземпляров наноразмерных оптических антенн.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. математическая модель оптической антенны, представляющей собой кластер наноразмерных частиц, расположенных в тонкой металлической пленке, нанесенной на поверхность стеклянной подложки;

2. полное математическое обоснование развитой математической модели, в том числе доказательство сходимости приближенного решения, построенного на основе метода дискретных источников, к точному решению задачи рассеяния;

3. численный алгоритм решения задачи дифракции в области неизлучающих волн и комплекс ЭВМ - программ, позволяющий проводить анализ рассеивающих свойств оптических антенн в широком диапазоне параметров;

4. математическая модель скалярной задачи дифракции плоской волны на рас-сеивателе, частично погруженном в подложку;

5. полное математическое обоснование данной математической модели, включающее доказательство сходимости приближенного решения к точному решению.

6. численный алгоритм решения поставленной задачи дифракции и его реализация в виде комплекса ЭВМ - программ.

Апробация работы.Результаты диссертации докладывались на:

- 16 - ой Всероссийской межвузовской научно-техническая конференции студентов и аспирантов «Микроэлетроника и информатика - 2009» (Москва, Московский институт электронной техники, 22 - 24 апреля 2009 года).

- 26 - ой международной конференции «Progress In Electromagnetics Research Symposium» (Москва, МИРЭА, 18 - 21 августа 2009 года).

- Научной конференции «Тихоновские чтения (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 25 - 29 октября 2010 года).

- Научном семинаре по вычислительным методам электродинамики под руководством профессоров Ильинского А.С. и Свешникова А.Г. на кафедре математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

- Научном семинаре по интегральным уравнениям под руководством профессора Захарова Е.В. на кафедре математической физики факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова.

- Научном семинаре по математическому моделированию под руководством профессора А.В. Боголюбова на кафедре математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Публикации.Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах [1]"й-

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Полный объем диссертации составляет 112 страниц текста, включая 27 иллюстраций. Список цитируемой литературы содержит 126 библиографических ссылок.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

в ПЕРВОЙ ГЛАВЕ рассматриваются различные методы решения задач дифракции локальными неодиорностями, в том числе и оптическими антеннами. Проводится обзор различных современных работ в области вычислительной электродинамики.

ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена концепции метода дискретных источников, истории его развития, а также обзору различных современных исследований, использующих метод.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА диссертации посвящена решению скалярной задачи дифракции плоской волны на рассеивателе, частично погруженном в подложку. Первый параграф начинается с введения, описывающего область приложения данной скалярной задачи. Во втором параграфе формулируется математическая постановка скалярной задачи дифракции в пространстве Д3, разделенном плоскостью Е(л = 0) на два полупространства Д (г > 0) и £>2(2 < 0). Выбрана декартова система координат с началом на границе раздела сред и осью OZ, направленной перпендикулярно границе раздела сред. Полагаем, что частица произвольной формы с гладкой границей располагается в пространстве таким образом, что Д ПН ф 0, где Д — внутренняя область частицы. Через 9Д обозначим поверхность частицы. В качестве внешнего возбуждения рассматривается плоская волна но, распространяющаяся под углом (тг — к оси ОЪ. Для постановки задачи нам сначала необходимо решить задачу дифракции плоской волны на полупространстве и построить поле внешнего возбуждения = 1,2), которое представляет собой совокупность падающей и отраженной плоских волн в Д и преломленной плоской волны в Д • Пусть ие — рассеянное поле в соответствующей области Д и Д; Щ — полное поле внутри частицы; и\ — суммарное поле падающей и отраженной волн в £>1; и\ — поле прошедшей в Д волны. Задача дифракции в этом случае принимает форму уравнения Гельмгольца:

Аие + к2е(М)ие = 0, М € Д.. Ащ + к]щ = 0, М £ Д ,

ди

п дщ дие

дп

= 0,РеЕ (1)

ди

-тг^+гкхщ - о (г-1) , г оо , г > 0; и2 = о (ехр {¡/772^2! г}) ,г -оо, в Д дп 4 '

n n ПмП .2/,,4 iklMeD, 0 [и ÎMedDj Здесь я = Д U Д; A. (Ai) = j ^ £ ^ ; u» = | ^^ g ^

dDi = dD} U dDf, [•] — скачок величин при переходе через поверхность. Будем полагать также, что lm(kl) < 0, Im(fci) = 0.

Во третьем параграфе на основе базовой концепции МДИ строится приближенное решение поставленной выше скалярной задачи дифракции (1) для рассеянного поля ие в областях (£ = 1,2) и полного поля щ внутри частицы Д. Суть МДИ заключается в представлении рассеянного поля в виде конечной линейной комбинации полей источников, которые удовлетворяют уравнению Гельмгольца в областях Д (£ = 1.2), условиям на бесконечности для рассеянного поля в Dç (Ç = 1,2), а также условиям сопряжения полей на плоской границе раздела Н. Тогда решение граничной задачи (1) сводится к решению задачи аппроксимации поля внешнего возбуждения на поверхности частицы полями заданных источников. Таким образом, неизвестные амплитуды дискретных источников (ДИ) находятся из условий сопряжения на поверхности частицы с> Д

0 дщ дие du°ç D „п

Выберем некоторые вспомогательные поверхности вращения Sej строго внут-

-г—ОС

ри Д. Пусть множества точек таковы, что {Мп '}n=1 = Se^. Тогда приближенное решение ищем в виде конечных линейных комбинаций

Ni К

<(М) = ЕМ(М), м eDi, и?(M) = J>£G„(M), M 6 Д. (3)

n=l n—1

Где Nej — количество, а р— амплитуды источников, расположенных на вспомогательных поверхностях Sej и представляющих поле в соответствующих областях йс и Д. Представление для рассеянного поля в Д строится на основе функции Грина полупространства Ge{M,M%), которая может быть записана в интегральном представлении Зоммерфельда

G,

00

,{М) - Ge{M, M') = J МХг)и(Х, г, zen)XdX (4)

где г2 = (х — х®)2 + (у — Уп)2> ¿о(Хг) — цилиндрическая функция Бесселя, (хеп,уеп,г^) — декартовы координаты точки М®. Конкретный вид спектральной функции 1/(Х, г, г®) определяется путем удовлетворения условиям сопряжения

[дие] = 0, [ие] = 0 на плоской границе раздела Е, выполнение которых она обеспечивает.

Представление для полного поля внутри частицы строится на основе сферической функции Бесселя нулевого порядка Фп{М) =

В четвертом параграфе рассматривается численный алгоритм решения задачи. Как было упомянуто выше, приближенное решение, основанное на МДИ, удовлетворяет граничным условиям задачи дифракции (1). Тогда мы можем определить неизвестные амплитуды дискретных источников г и {р*,}^ путем удовлетворения граничным условиям (2) в норме Следуя обоб-

щенному методу поточечной сшивки на поверхности частицы выберем точки коллокации Подставляя представления для приближенного решения (3) в уравнение (2) и удовлетворяя это уравнение в точках {Р/}^, получим переопределенную систему линейных алгебраических уравнений размерности 2Ь х (А^ + N1). Неизвестные амплитуды находятся путем псевдообращения полученной системы.

После нахождения амплитуд дискретных источников можно вычислить диаграмму рассеяния Р(в, ф), которая является одной из важнейших характеристик рассеяния. Диаграмма рассеяния, которую будем вычислять в обоих полупространствах, определяется из следующего выражения:

и? = р) + о^-1) , г = |М| 00 ; 0, € = 1.2

г 4

В пятом параграфе приводятся численные результаты математического моделирования для частицы сферической формы. Завершает главу шестой параграф, в котором приведены выводы, сделанные из проведенного исследования.

ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА посвящена математической модели оптической антенны, представляющей собой кластер наноразмерных частицы, расположенных в тонкой металлической пленке, нанесенной на поверхность стеклянной подложки. Глава начинается с первого параграфа, кратко описывающего текущее состояние проблемы математического моделирования рассеивающих свойств оптических антенн. В втором параграфе проводится математическая постановка задачи. Полагаем, что все пространство разделено параллельными плоскостями = 0) и ^(2 = 6) па три части: воздух — область £>0(2 > й), проводящая пленка — Б/(с1 > г > 0) и стеклянная призма — Б\(г < 0). В качестве внешнего

возбуждения будем рассматривать поле линейно поляризованной плоской волны {Е°,Н0}, падающей из призмы Д под углом 9\ относительно нормали на плоскую границу Ех раздела призма-пленка. Пленка занимает пространство между плоскостями Ео и Ех, при этом плоскость Ео отделяет пленку от воздуха. N частиц с гладкой границей произвольной формы, внутреннюю область которых обозначим Дп (гп = ц .. лдг), расположены целиком внутри пленки. Полагаем, что области Дп являются односвязными. Введем прямоугольную систему координат с началом на плоскости Ех и осью Ог, перпендикулярной плоскости Ех и направленной в сторону области Д. Обозначим границы частиц через 5Дп (гп = г'х. ■ • г'лт)- Тогда математическая постановка задачи будет иметь вид

гтЛН^ = ¿ке^Е^, = в Д. £ = 0, /, 1, ц,..., г^

П|п X (Еф) - Е ,(р)) - 0, х (Н;п(р) - Н/Ср» = о .ре эд,„ е, х (Е0(р) - Е/(р)) = 0, е,х(Н0(р)-Н/(р)) = 0, р 6 Е0 (5) ег х (Е/(р) ~ Ех(р)) = 0. е,х(Н/(р)-Н1(р))=0, р € Ех

. Нт (^Е* х ^Н^) =0, г = \М\ оо,£ = 0,1,

(|Е/|, |Н/|) = о (ехр {- |1ш к;\р}) , р= оо.

Здесь — полные, а {Е^,Н|} — рассеянные поля в соответствующих

областях ег — орт г декартовой системы координат, — нормали к поверхностям 9Дп е С(гп = ¿х,... лдг)- Мы также полагаем, что параметры сред удовлетворяют условиям < 0,1те/, Цf < 0 (временная зависимость

выбрана в виде В этом случае граничная задача (5) имеет единственное решение. Отметим, что в областях Д./ полное поле включает в себя падающую и отраженную плоские волны, а в области Д — преломленную волну.

Прежде чем строить приближенное решение для рассеянных полей, решим задачу дифракции поля плоской волны {Е°, Н0} на слоистой структуре воздух-пленка-подложка. Это решение можно записать в явном виде. Полученное поле обозначим через {Е°,Н°}, £ = 1,/,0. Теперь будем строить приближенное решение задачи (5) для рассеянного поля {Е|,Н|} в £ = 1,/, 0, и полного поля в Д на основе метода дискретных источников (МДИ).

Во третьем параграфе на основе МДИ строится приближенное решение поставленной выше задачи дифракции для уравнений Максвелла. Суть МДИ заключается в представлении поля в виде конечной линейной комбинации полей дискретных источников, которая удовлетворяет системе уравнений Максвелла в

областях 1> 1,до,,,, условиям на бесконечности для рассеянного в С^о поля, а также условиям сопряжения для тангенциальных компонент полей наЕод. В результате чего решение граничной задачи рассеяния (5) сводится к аппроксимации поля внешнего возбуждения на поверхностях частиц <ЭДп (гп = г\.....гм) полями дискретных источников. Неизвестные амплитуды ДИ определяются только из условий сопряжения на поверхностях частиц ЗД-„, которые принимают вид:

X (Е;„ - Щ) = X п^ х (Н1п - Н}) = п?н х Н° (6)

где г„ = г1,...,гЛт, = 6> • ■ •

Приближенное решение будем строить для рассеивателей произвольной формы. В основу для представления рассеянного поля положим систему электрических диполей, удовлетворяющих условиям сопряжения для тангенциальных компонент полей на плоскостях Вод, что позволяет учесть аналитически всевозможные переотражения полей между частицами и плоскостями раздела сред. Для д-й частицы (д = 1,...,АГ) диполи локализованы в точках и располагаются всюду плотно на некоторой вспомогательной поверхности € С2,а, {М"п'е},!= 1 = Поверхность располагается строго внутри Д9. В данном случае структура полей будет определяться тензором Грина слоистой среды, компоненты которого <7ц(М, М%'е), Сзз(М. д(М,МЦ'е) могут быть записаны в виде интегральных представлений Зоммерфельда (4). Вид спектральных функций иц{г, гЛ), 1^33(2, А), ^(г, определяется из условий сопряжения на границах Еод слоистой среды, выполнение которых они обеспечивают.

Для д-ой частицы (д = 1,...,//) полагаем, что в каждой точке располагаются три линейно независимых диполя, ориентированных в соответствии с цилиндрической системой координат. Представление для векторных потенциалов д-ой частицы, соответствующих каждому такому источнику, имеет вид: = &(М, М^е){е{] - для рассеянного в Ре поля, = .7о(М, М^){е,}

— для полного поля внутри частицы.

Тогда для приближенного решения граничной задачи (5) справедливо следующее представление:

N К 3

л=1 ¿=1

№/(М) = -^-ШЕ^(М), МеБе, (7)

дг. з

= м е д,,

п=1 г=1

н£(М) = мед,.

Где А^е.г — количество, а — амплитуды источников, расположенных на вспомогательных поверхностях и представляющих поле в соответствующих областях А и Д. Е^,ЛГ, Не,ЛГ представляют рассеянное системой частиц поле во внешней области Д , а Е^, Н^ представляют полное поле внутри д-ой частицы. Заметим, что с помощью единого набора амплитуд мы строим представление для рассеянного поля сразу во всех областях Д,/,о.

Следует отметить, что МДЙ предоставляет реальную возможность апостериорной оценки погрешности полученного приближенного решения посредством вычисления невязки граничных условий на поверхностях частиц в среднеквадратичной норме.

В четвертом параграфе рассматривается численный алгоритм решения задачи. Приближенное решение удовлетворяет всем условиям граничной задачи (5), за исключением условий сопряжения на поверхностях частиц. Определение амплитуд дискретных источников производится путем удовлетворения граничного условия (6) в норме £г(сШ), где дБ = Р|ЗД?. Для этого сначала мы строим поле внешнего возбуждения внутри пленки Н®} для Р/5-поляризованного возбуждения плоской волны. Неизвестные амплитуды дискретных источников определяются как нормальное псевдорешение переопределенной системы линейных алгебраических уравнений, которая получается путем подставления выражений для приближенного решения (7) в уравнение (6), которое удовлетворяется в точках коллокации {Р/}^ £ 9Д и проецируется на два линейно независимых касательных вектора в точке р. Размерность системы 4ЬИ х +

В пятом параграфе приводятся некоторые численные результаты моделирования. Нас интересует интенсивность рассеянного поля в обрасти £>0, которая имеет вид:

1(0, (р) = <р)\2 + %(в, <р)\2

В качестве внешнего возбуждения во всех численных экспериментах будем рассматривать Р-ноляризованную плоскую волну единичной амплитуды, волновой вектор которой лежит в плоскости <р = 0, распространяющуюся из призмы, сделанной из стекла с высоким индексом рефракции щ > щ. Р-поляризация плоской волны была выбрана, поскольку в этом случае наблюдается эффект

Рис. 1: Интенсивность рассеяния 1{в) в зависимости от количества сфер: 1: одна сфера, = 0°; 2: две сферы, 6 = 20 нм, вх = 0°; 3: четыре сферы, <5 = 20 нм, б1! =0°; 4: четыре сферы. 6 = 20 нм, #1 = 30°.

Рис. 2: Интенсивность рассеяния на четырех сферах 1(в) в зависимости от расстояния между сферами: 1: <5 = 20 им, & = 0°; 2: д = 40 нм, в = 0°; 3: Й = 80 нм, в = 0°; 4: й = 80 нм, в = 30°.

экстремального просачивания энергии. Пусть во — преломленный угол, под которым волна проходит в Dq. В этом случае соотношение Снеллиуса имеет вид sin 0о — (ni/no) sin 01. Поскольку показатель преломления стекла больше показателя преломления воздуха, то при изменении угла падения б] в диапазоне от 0 до (7г/2) наступает момент, начиная с которого ¡sin0o| > 1. Тогда 7+ = exp{-jkoxsin0о] exp j-k(¡z\/sin20o - 1 j и cos$o = —J\/sin20o - 1- Таким образом, в верхнем полупространстве возникает неизлучающая волна, которая распространяется вдоль границы раздела (оси ОХ ) и экспоненциально затухает по нормали к границе (вдоль сои OZ).

Рассмотрение начнем с анализа характеристик рассеяния плоской электромагнитной волны, имеющей длину А = 532 нм, линейным кластером кремниевых частиц Si сферической формы диметром D — 40 нм, показатель преломления которых щ — (4.15; —0.047), и которые целиком расположены внутри серебряной пленки Ад толщины d = 45 нм, имеющей показатель преломления п,; = (0.14;— 3.19). Толщина пленки выбрана из условия возникновения эффекта экстремального просачивания энергии. Индекс рефракции стекла ni = 1.904. Для данных параметров критический угол вс = arcsin(n0/ni), за которым располагается область неизлучающих волн 0С и 31.68°. Рассеяную интенсивность мы будем анализировать в плоскости падения плоской волны ip = 0: 1{9) = 1(9, >р = 0).

Стоит отметить, что для данной длины волны показатели преломления всех веществ считаются известными и берутся из справочной литературы8.

На рис.1 приведена интенсивность рассеяния для одной, двух и четырех сфер

8Palik, Edward D. Handbook of Optical Constants of Solids. San Diego: Eisevier, 1998.

Рис. 3: Сравнение интенсивности рассеяния на четырех сферах 1{в), полученной с учетом всех взаимодействий (кривые: 1: <5 = 40 нм; 3: <5 = 80 нм), и полученной умножением интенсивности рассеяния на двух сферах на множитель решетки (кривые:2: 6 = 40 нм; 4: 5 = 80 нм).

Рис. 4: Интенсивность рассеяния на линейном кластере из двадцати сфер 1(6) в зависимости от угла падения волны &1 при расстоянии между сферами, равном 80 нм: 1: в = о0; 2: 0 = 10°; 3: в = 20°; 4: в = 33.7° (экстремальное просачивание энергии).

при нормальном падении волны, а также интенсивность для четырех сфер в случае, когда волна падает под углом = 30° градусов. Расстояние между соседними сферами равно 20 нм (расстояние между их центрами /с = 60 нм). Видно, что с увеличением числа сфер интенсивность существенно возрастает.

На рис.2 приведено сравнение интенсивностей для четырех сфер в случае нормального падения в зависимости от расстояния между частицами (6 = 20,40,80 нм). Также приведена интенсивность для четырех сфер в случае наклонного падения под углом 9 = 30° градусов при расстоянии между частицами, равном 80 нм. Можно заметить, что максимальная амплитуда при нормальном падении наблюдается при наименьшем расстоянии между частицами в 20 нм. В то же время интенсивность имеет более узкую направленность в случае когда расстояние между частицами равно 80 нм. В случае наклонного падения при расстоянии между частицами в 80 нм интенсивность имеет меньшую амплитуду, чем в случае нормального падения, при этом возникает также небольшой побочный максимум.

Как известно, для того, чтобы получить диаграмму направленности линейной решетки, необязательно считать взаимодействие между всеми элементами этой решетки. Можно посчитать диаграмму направленности одного или нескольких элементов решетки, а затем полученную диаграмму домножить на соответствующий множитель решетки. На рис.3 приведено сравнение интенсивностей для четырех сфер в случае нормального падения в зависимости от расстояния между сферами (5 = 40,80 нм). При этом две интенсивности получаются путем

учета всевозможных взаимодействий между четырьмя сферами, а две другие получаются путем рассчета диаграммы направленности для двух сфер с последующим умножением на множитель решетки из четырех элементов. Как мы можем видеть, при расстоянии между частицами в 80 нм наблюдается хорошее соответствие между интенсивностью с учетом всех взаимодействий и интенсивностью, рассчитанной с применением множителя решетки. Воспользуемся полученным результатом и рассчитаем диаграмму направленности для оптической антенны, представляющей собой линейных кластер из двадцати сфер, где расстояние между соседними сферами равно 80 нм. При этом в качестве базы мы будем использовать диаграмму направленности для четырех сфер с учетом всех взаимодейтсвий, после чего умножим полученную диаграмму на множитель решетки из двадцати элементов.

На рис.4 приведено сравнение интенсивностей для линейного кластера из двадцати сфер в зависимости от угла падения волны ((?! = 0°. 10°. 20°, 33.7°). Следует отметить, что по сравнению со случаем четырех сфер, интенсивность для двадцати сфер становится более узко направленной. При угле падения = 33.7° наблюдается экстремальное просачивание энергии.

Как явствует из проведенного анализа, возможно управлять как шириной так направлением главного лепестка рассеянного излучения путем варьирования числа сфер и угола падающей плоской волны 9\.

Перейдем к анализу характеристик рассеяния плоской электромагнитной волны длины А = 633 нм кремниевыми частицами 5? сфероидальной формы, большая ось которых параллельна плоскости ХУ. Диаметр меньшей оси всех сфероидов одинаков и равен В = 40 нм, показатель преломления щ — (3.88; —0.02). Частицы целиком расположены внутри золотой пленки Аи толщины й = 48 нм. имеющей показатель преломления nf = (0.2;-3.26), таким образом, что они удалены от плоскостей Нод на одинаковое расстояние. Толщина пленки выбрана исходя из условия возникновения эффекта экстремального просачивания энергии. Индекс рефракции стеклянной призмы щ = 1.52. Для данных параметров критический угол, за которым располагается область неизлучающих волн, в с « 41.14° ,а экстремальное просачивание энергии наблюдается при угле падения волны 91 = 43.95°.

Конечной целью исследования является анализ характеристик рассеяния оптической антенны, состоящей из одного «активного вибратора», «рефлектора», и трех «директоров». Центры всех частиц лежат на одной прямой = с2/2, называемой осью оптической антенны. Прямоугольная система координат вы-

Рис. 6: Интенсивность рассеяния на «активном вибраторе» в зависимости от угла 01 падения плоской волны и угла кр; между большей осью «вибратора.» и осью OY. 1: <pf = 0, в; = 0° ; 2: V/ = 0, 0i = 43.95° ; 3: ipf = тг/2, = 0" ; 4: v?/ = тг/2, 0а = 43.95° .

-вид на плоскость сверху

Активный вибратор

Ни дЦр ' (ось антенны)

Рис. 5: Оптическая антенна.

Рис. 7: Интенсивность рассеяния на системе «активный вибратор» - «рефлектор» в зависимости от угла ¡р/ между большей осью «вибратора» и осью ОУ. Расстояние между центрами частиц 1Г = 80 нм. 1 :</>/ = 0; 2: <р/ — 7г/8; 3:^ = тг/4; 2:р/ = »г/2.

Рис. 8: Интенсивность рассеяния на системе «активный вибратор»- «рефлектор» в зависимости от расстояния между центрами частиц 1Г. = 7г/2, = 43.95°. 1:1Г = 80 нм, 2:1Г = 120 нм, 3: 1Г = 200 нм, 4: 1Г = 300 нм, 5: 1Г = 360 нм.

Рис. 9: Интенсивность рассеяния на системе «активный вибратор» - «директор» в зависимости от угла между большей осью «вибратора» и осью ОУ. Расстояние между центрами частиц 1Т = 80 нм. 1: р/ = 0; 2:^=71-/8; 3:^/ = тг/4; 2:^ = тг/2.

Рис. 10: Интенсивность рассеяния на системе «активный вибратор»- «директор х в зависимости от расстояния между центрами частиц 1Л. <р{ = тг/2, 01 = 43.95°. 1: 1Г = 80 нм, 2:1Г = 120 нм, 3:1Т = 160 нм, 4: 1Г = 200 нм, 5: 1Г = 300 нм.

Рис. 11: Интенсивность рассеяния на системе «активный вибратор» - «рефлектор»-три «директора». 1Г = 340 нм, и — 80 нм,1(а = 60 нм.

Рис. 12: Интенсивность рассеяния на системе «активный вибратор» - «рефлектор»-три «директора». 1Т = 80 нм, = 160 нм,1ц — 60 нм.

брана таким образом, что ось OZ проходит через центр активного вибратора, а ось оптической антенны параллельна оси ОХ. Причем во всех численных экспериментах, приведенных ниже, положение центра «вибратора» постоянно, а изменяется лишь угол (pf между его большей осью, длина которой 85 нм, и осью OY. «Рефлектор» и «директоры» располагается по разные стороны от «активного вибратора» так, как показано на рис. 5. Причем во всех численных экспериментах большие оси «рефлектора» и «директоров», длины которых равны 100 и 60 нм соответственно, перпендикулярны оси антенны. Рассмотрение начинаем с анализа характеристик рассеяния «активного вибратора». На рис. 6 приведено сравнение интенсивности рассеяния в логарифмическом масштабе в плоскости падения волны в зависимости от положения «активного вибратора» и угла падения плоской волны. Кривая 1 соответствует нормальному падению волны, кривая 2-наклонному падению под углом 9i ==■ 43.95° в случае, когда большая ось «активного вибратора» параллельна оси OY (ip = 0). Случаю, когда большая ось параллельна оси оптической антенны ОХ (<р — тг/2), соответствуют кривые 3 (нормальное падение) и 4 (падение под углом 9\ = 43.95°). Черная стрелка на рисунке показывает направление падения волны, в случае если она распространяется под углом к оси OY. Как можно видеть, падение волны под углом 0\ = 43.95°, приводящее к возникновению экстремального просачивания энергии, выражается в увеличении интенсивности рассеяния почти на порядок. При этом также оказывается, что расположение сфероида вдоль оси ОХ (<р = 7г/2), дает увеличение интенсивности еще почти на один порядок. Поэтому во всех дальнейших численных экспериментах в качестве внешнего возбуждения мы будем рассматривать волну, распространяющуюся под углом в\ = 43.95°.

На рис.7 приводится сравнение интенсивности рассеяния двумя частицами — «активным вибратором» и «рефлектором» — в зависимости от угла ipj между большей осью «вибратора» и осью OY. Расстояние между центрами частиц 1Т = 80 нм. Угол tpj последовательно принимает следующие значения: ipj — 0 (кривая 1), iff = it/8 (кривая 2), tpf = х/4 (кривая 3), ipf = ж/2 (кривая 4). Из рисунка видно, что поворот «активного вибратора» приводит не только к увеличению интенсивности рассеяния, но также и к смене направления рассеяния излучения.

Преследуя цель получить максимально возможную интенсивность, исходя из рис.7, «активный вибратор» далее был расположен вдоль оси антенны (<pf = тг/2), а «рефлектор» последовательно смещался в сторону от «вибратора» вдоль оси антенны. Результаты моделирования зависимости рассеянной интенсивности от расстояния между центрами частиц 1Т приведены на рис.8 в виде кривых: 1

{1Г = 80 нм), 2 (1Т = 120 нм), 3 {¡г = 200 нм), 4 (/г = 300 нм), 5 (1Г = 360 нм). Из рисунка видно, что увеличение расстояния между частицами приводит к изменению направления рассеяния излучения. При этом излучение происходит в направлении падающей волны при больших расстояниях между частицами, и «в противоположном"при небольших расстояниях. Стоит также отметить, что при расстояниях между центрами частиц, превышающими 360 нм, начинают появляться заметные побочные лепестки излучения, поэтому расстояния, большие указанной величины не рассматривались.

На рис.9 приводится сравнение интенсивности рассеяния двумя частицами — «активным вибратором» и «директором» — в зависимости от угла <р/ между большей осью «вибратора» и осью ОУ. Расстояние между центрами частиц

— 80 нм. Угол последовательно принимает следующие значения: р} = О (кривая 1), у] = 7г/8 (кривая 2), ^ = 7г/4 (кривая 3), = 7г/2 (кривая 4). Как и в случае рассеяния на системе «вибратор-рефлектор» видно, что поворот «активного вибратора» приводит к смене направления рассеяния излучения, но не приводит к увеличению интенсивности рассеяния.

Зависимость рассеянной на системе «вибратор-директор» интенсивности от расстояния между частицами приводится на рис.10. «Вибратор» располагается вдоль оси антенны (<р/ = тг/2). Расстояние между центрами частиц ^ последовательно принимает следующие значения: ^ = 80 нм (кривая 1), ^ = 120 нм (кривая 2), ^ = 160 нм (кривая 3), ^ = 200 нм (кривая 4), ^ = 300 нм (кривая 5). Из рисунка видно, что увеличение расстояния между частицами приводит к изменению направления рассеяния излучения и увеличению интенсивности рассеяния. Причем, в отличие от рассеяния на системе «вибратор-рефлектор», излучение в направлении падающей волны происходит при небольших расстояниях, и «в противоположном» — при больших.

Анализируя рассеяние на системах «вибратор-рефлектор» и «вибратор - директор», можно прийти к следующему заключению. Если располагать «вибратор» вдоль оси антенны (<,?/■ = тг/2), «рефлектор» вдали от «вибратора», а «ди-ректоры» — наоборот — поближе, рассеяние оптической антенной будет происходить в направлении падающей волны. Предположение было подтверждено в ходе численного эксперимента, результаты которого представлены на рис.11. На рисунке приведена интенсивность рассеяния оптической антенной, состоящей из «активного вибратора», «рефлектора» и трех «директоров». Расстояния между центрами «вибратора» и «рефлектора», «вибратора» и ближайшего «директора», и между центрами соседних «директоров» равнялись соответственно 1Г — 340

нм, !,[{ = 80 нм, = 60 нм. Из рисунка видно, что излучение происходит в направлении падающей волны.

Если же располагать «рефлектор» вблизи от «вибратора», а «директоры» — наоборот — подальше, рассеяние оптической антенной будет происходить в направлении, «противоположном» направлению падающей волны. Это предположение также было подтверждено при моделировании рассеяния на той же системе из пяти частиц. Расстояния между центрами частиц имели значения 1Г = 80 нм, и — 160 нм, 1м ~ 60 нм. Рассеянная в этом случае интенсивность изображена на рис.12. Излучение происходит в направлении, «противоположном» направлению падающей волны.

В работе были исследованы характеристики рассеяния оптической антенной, состоящей из пяти частиц: «активного вибратора», «рефлектора» и трех «директоров». Частицы состояли из кремния, располагались в тонкой пленке из золота, которая была нанесена на поверхность стеклянной призмы. Антенна возбуждалась плоской электромагнитной волной, распространяющейся под углом в1 = 43.95° к оси что приводило к эффекту «экстремального просачивания энергии» через металлическую пленку, и давало увеличение интенсивности рассеяния почти на порядок. В ходе численных экспериментов было установлено, что существует возможность управления направлением интенсивности рассеянного такой оптической антенной излучения в широком диапазоне. Рассеяние может происходить как в направлении падающей волны, так и в противоположном. Направление рассеяния излучения определяется положением «рефлектора» и «директоров» относительно «активного вибратора».

Завершает главу шестой параграф, содержащий выводы, сделанные из проведенного исследования.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Предложена новая математическая модель оптической антенны, представляющей собой кластер наноразмерных. частиц, расположенных в тонкой металлической пленке, нанесенной на поверхность стеклянной подложки. Данная модель позволяет удовлетворять аналитически условия сопряжения на бесконечных границах раздела сред.

2. Проведено полное математическое обоснование развитой математической модели. Доказана сходимость приближенного решения, построенного на основе метода дискретных источников, к точному решению задачи рассеяния.

3. Разработан и реализован численный алгоритм решения задачи дифракции в области неизлучающих волн. Создан комплекс ЭВМ-программ, позволяющий проводить анализ рассеивающих свойств оптических антенн в широком диапазоне параметров.

4. На основе численного эксперимента установлена возможность управления, как направленностью излучения антенны, так и его амплитудой за счет вариации параметров антенны и внешнего возбуждения.

5. Разработана математическая модель скалярной задачи дифракции плоской волны на рассеивателе, частично погруженном в подложку. Проведено математическое обоснование данной математической модели. Доказана сходимость приближенного решения к точному решению. Разработан и реализован в виде комплекса программ для ЭВМ численный алгоритм решения поставленной задачи дифракции.

Список публикаций по теме диссертации

[1] Барышев A.B., Еремин Ю.А. Обоснование интегро-функционального метода решения задач дифракции в присутствии полупространства // Дифференциальные уравнения. 2008. т.44, №9. С.1233-1239.

[2] Барышев A.B., Еремин Ю.А. Новая математическая модель анализа малозаметных дефектов подложки // Математическое моделирование. 2010. т.22, №5. С.122-130.

[3] Барышев A.B. Анализ рассеяния электромагнитных волн системой на-норазмерных частиц в тонкой металлической пленке методом дискретных источников // Журнал радиоэлектроники (электронный журнал). http://jre.cplire.ru. 2010. №10.

[4] Барышев A.B. Анализ рассеивающих свойств оптических антенн в области плазмонного резонанса методом дискретных источников // Научная конференция «Тихоновские чтения» . Сборник тезисов. М.: 2010. С.74.

[5] Барышев A.B. Новая математическая модель анализа малозаметных дефектов подложки // 16-я Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Микроэлетроника и информатика -2009 Сборник тезисов. М.: МИЭТ, 2009. С.122.

[6] Baryshev A.V., Eremin Yu.A. Novel Mathematical Model for the Analysis of Flat Substrate Imperfections // PIERS Proceedings. August 18-21. Moscow. RUSSIA 2009. pp.1699-1702.

Подписано в печать: 17.01.2011

Заказ № 4843 Тираж ■ 100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Список условных сокращений.

Введение.

Глава 1. Текущее состояние проблемы.

1.1. Уравнения Максвелла.

1.2. Методы решения.

1.3. Аналитические методы.

1.3.1. Расширение теории Ми.

1.3.2. Расширение для сфероидов.

1.4. Поверхностные методы.

1.4.1. Метод поточечной сшивки.

1.4.2. Метод Т - матриц.

1.4.3. Обобщенный метод мультиполей.

1.4.4. Метод моментов.

1.5. Объемные методы.

1.5.1. Метод конечных разностей во временной области.

1.5.2. Метод матриц линий передач.

1.5.3. Метод объемного интегрального уравнения.

1.5.4. Метод конечных элементов.

1.6. Методы, используемые в современных исследованиях.

1.7. Методы, применяющиеся при расчете оптических антенн.

1.8. Выводы.

Глава 2. Концепция метода дискретных источников.

Глава 3. Математическая модель частицы, погруженной в подложку.

3.1. Введение.

3.2. Постановка задачи.

3.3. Метод дискретных источников.

3.4. Численный алгоритм.

3.5. Результаты моделирования.

3.6. Выводы.

Глава 4. Математическая модель оптической антенны.

4.1. Введение.

4.2. Математическая постановка задачи рассеяния.

4.3. Метод дискретных источников.

4.4. Численный алгоритм.

4.5. Обсуждение результатов.

4.6. Выводы.

Актуальность. В последнее время ученые все больше проявляют интерес к задачам рассеяния света локальными неоднородностями. В частности большое внимание уделяется вопросу изучения рассеивающих свойств оптических антенн [1, 2], зачастую представляющих собой кластер наноразмерных неметаллических частиц, расположенных в тонкой пленке из благородного металла, нанесенной на поверхность прозрачной подложки. Также оптическая антенна может быть образована системой наноразмерных металлических частиц, расположенных в слоистой среде без поглощения. Подобно антеннам радио- и микроволнового диапазона, предназначением оптических антенны является преобразование энергии свободно распространяющегося излучения в энергию локализованной волны, и наоборот. Оптические антенны используют уникальное свойство металлических наноструктур, не являющихся идеальными проводниками при оптических частотах, а обладающих свойствами неидеальной плазмы, описываемой как газ из свободных электронов. Это свойство приводит к существованию эффектов поверхностного и локального поверхностного плазмонного резонанса, усиливающих взаимодействие света с веществом, что дает возможность использовать оптические антенны для увеличения эффективности работы таких устройств, как локальные биосенсоры, солнечные батареи, переключатели излучения, светоизлучающие органические диоды и других.

Математически задача дифракции на наноразмерных частицах в слоистой среде описывается системой уравнений Максвелла с определенными условиями' сопряжения на поверхностях частиц и границах раздела сред, и дополнительными условиями излучения (затухания) на бесконечности. Строгое аналитическое решение подобной дифракционной задачи для частиц произвольной формы получить не удается, поэтому на практике приходится либо использовать различные идеализации при постановке соответствующей задачи, либо применять приближенные методы расчета. Поэтому совершенно очевидна та исключительная важность, придаваемая численным методам решения граничных задач дифракции.

В силу того, что на практике задача дифракции ставится на бесконечных границах раздела, использование таких численных методов решения, как конечно-разностный метод во временной области и метод конечных элементов, затруднительно, поскольку эти методы не позволяют в полной мере учесть взаимодействие между частицами и бесконечными границами раздела. Этого недостатка лишен метод дискретных источников, основоположниками которого являются советский математик В.Д. Купрадзе [3] и японский математик Ясуура [4], работы которых в идейном отношении близки к работам итальянских математиков Фикера, Америо, Пиконе [5]. Этот метод обладает также некоторыми другими преимуществами, заключающимися в том, что он позволяет решать задачу дифракции одновременно для произвольного набора углов падения волны и обеих поляризаций ТМ и ТЕ электромагнитной волны.

Одной из важнейших проблем, стоящих перед исследователями, является возможность управления шириной и направлением рассеянного оптической антенной излучения. В последнее время большое внимание было уделено рассеивающим свойствам антенны типа Уда - Яги [6]. Было показано, что в определенных ситуациях при возбуждении подобной антенны квантовой точкой или плоской электромагнитной волной излучение рассеивается в определенном направлении.

В свете открытия эффекта аномального просачивания энергии одиночным наноразмерным отверстием или наноразмерной неоднородностью в тонкой пленке из благородного металла [7] встает вопрос о характеристиках рассеяния оптической антенны, представляющей собой кластер наноразмерных частиц, в области неизлучающих волн. Особый интерес могут представлять характеристики рассеяния антенны типа Уда - Яги в случае аномального просачивания энергии.

Цели настоящей работы:

1. Разработать математическую модель оптической антенны, представляющей собой кластер наноразмерных частиц, расположенных в тонкой металлической пленке, нанесенной на поверхность стеклянной подложки.

2. Провести полное математическое обоснование развитой математической модели. Доказать сходимость приближенного решения, построенного на основе метода дискретных источников, к точному решению задачи рассеяния.

3. Разработать и реализовать в виде комплекса ЭВМ - программ численный алгоритм решения задачи дифракции, в том числе в области неиз-лучающих волн.

4. С помощью разработанного комплекса ЭВМ - программ провести исследование рассеивающих свойств различных типов оптических антенн.

5. Разработать математическую модель скалярной задачи дифракции плоской волны на рассеивателе, частично погруженном в подложку. Провести математическое обоснование данной математической модели. Доказать сходимость приближенного решения к точному решению. Разработать и реализовать в виде комплекса ЭВМ - программ численный алгоритм решения поставленной задачи дифракции.

Научная новизна. Предложена и реализована модель оптической антенны, представляющей собой кластер наноразмерных частиц, расположенных в тонкой металлической пленке, нанесенной на поверхность стеклянной подложки.

Практическая ценность. Построены и апробированы эффективные алгоритмы, позволяющие решать электромагнитные задачи дифракции плоских волн на кластере наноразмерных частиц, в том числе обладающем клеточно-циркулянтной симметрией. Данные алгоритмы могут быть полезны для моделирования и создания работающих экземпляров наноразмерных оптических антенн.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. математическая модель оптической антенны, представляющей собой кластер наноразмерных частиц, расположенных в тонкой металлической пленке, нанесенной на поверхность стеклянной подложки;

2. полное математическое обоснование развитой математической модели, в том числе доказательство сходимости приближенного решения, построенного на основе метода дискретных источников, к точному решению задачи рассеяния;

3. численный алгоритм решения задачи дифракции в области неизлучаю-щих волн и комплекс ЭВМ - программ, позволяющий проводить анализ рассеивающих свойств оптических антенн в широком диапазоне параметров;

4. математическая модель скалярной задачи дифракции плоской волны на рассеивателе, частично погруженном в подложку;

5. полное математическое обоснование данной математической модели, включающее доказательство сходимости приближенного решения к точному решению.

6. численный алгоритм решения поставленной задачи дифракции и его реализация в виде комплекса ЭВМ - программ.

Апробация работы.Результаты диссертации докладывались на:

- 16 - ой Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов «Микроэлектроника и информатика -2009» (Москва, Московский институт электронной техники, 22 - 24 апреля 2009 года).

- 26 - ой международной конференции «Progress In Electromagnetics Research

Symposium» (Москва, МИРЭА, 18 - 21 августа 2009 года).

- Научной конференции «Тихоновские чтения», (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 25 - 29 октября 2010 года).

- Научном семинаре по вычислительным методам электродинамики под руководством профессоров Ильинского А.С. и Свешникова А.Г. на кафедре математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

- Научном семинаре по интегральным уравнениям под руководством профессора Захарова Е.В. на кафедре математической физики факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова.

- Научном семинаре по математическому моделированию под руководством профессора А.В. Боголюбова на кафедре математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Публикации.Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах [8]-[13].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Полный объем диссертации составляет 112 страниц текста, включая 27 иллюстраций. Список цитируемой литературы содержит 126 библиографических ссылок.

4.6. Выводы.

• Предложена математическая модель оптической антенны, представляющей собой совокупность частиц произвольного размера и формы с гладкой границей, целиком расположенных в тонкой металлической пленке, нанесенной на поверхность подложки.

• На основе метода дискретных источников построено приближенное решение поставленной векторной задачи дифракции, учитывающее взаимодействие частиц с бесконечными границами раздела.

• Проведено полное математическое обоснование поставленной задачи. Показана полнота и замкнутость системы функций, положенных в основу для представления приближенного решения. Показана сходимость приближенного решения к точному.

• Разработан численный алгоритм решения программы, вылившийся в написание соответствующего комплекса ЭВМ-программ.

• Проведено математическое моделирование и анализ характеристик рассеяния плоской электромагнитной волны ТМ-поляризации на различных оптических антеннах.

В ходе численных экспериментов было установлено, что для оптической антенны типа Уда-Яги существует возможность управления направлением прошедшего излучения при угле падения внешней электромагнитной волны, при котором происходит эффект экстремального просачивания энергии. Управление направлением прошедшего излучения достигается путем изменения расстояния между частицами, образующими антенну типа Уда-Яги. Для линейного кластера сферических частиц было установлено, что существует возможность управления шириной и направлением прошедшего излучения путем добавления или ислючения частиц из антенны.

Заключение.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Предложена новая математическая модель оптической антенны, представляющей собой кластер наноразмерных частиц, расположенных в тонкой металлической пленке, нанесенной на поверхность стеклянной подложки. Данная модель позволяет удовлетворять аналитически условия сопряжения на бесконечных границах раздела сред.

2. Проведено полное математическое обоснование развитой математической модели. Доказана сходимость приближенного решения, построенного на основе метода дискретных источников, к точному решению задачи рассеяния.

3. Разработан и реализован численный алгоритм решения задачи дифракции в области неизлучающих волн. Создан комплекс ЭВМ-программ, позволяющий проводить анализ рассеивающих свойств оптических антенн в широком диапазоне параметров.

4. На основе численного эксперимента установлена возможность управления, как направленностью излучения антенны, так и его амплитудой за счет вариации параметров антенны и внешнего возбуждения.

5. Разработана математическая модель скалярной задачи дифракции плоской волны на рассеивателе, частично погруженном в подложку. Проведено математическое обоснование данной математической модели. Доказана сходимость приближенного решения к точному решению. Разработан и реализован в виде комплекса программ для ЭВМ численный алгоритм решения поставленной задачи дифракции.

Текст FORTRAN-программ можно посмотреть в сети интернет1. Подробные вопросы относительно работы программы можно направить автору на электронную почту alexandr.baryshev@gmail.com. lURL: http://www.yagi-uda.narod.ru

1. Bharadwaj P., Deutsch В., Novotny L. Optical antennas // Advances in Optics and Photonics. 2009. vol. 1. pp. 438-483.

2. Панченко Б.А., Гизатуллин М.Г. Нано-антенны. М.: Радиотехника, 2010. 96 с.

3. Купрадзе В.Д. О приближенном решении задач математической физики // УМН. 1967. Т. 22. Вып. 2. С. 58-109.

4. Yasuura К., Itakura Т. Approximation for wave functions // Kyushu Univ. Rep. 1965. vol.38. N. 1. pp. 72-77.

5. Fichera G. On a unified theory of boundary value problems for elliptic parabolic equations of second order // Boundary Probl. in Differ. Equations, Proc. Sympos., Madison, April 20-22. 1959, pp. 97-120.

6. Hofmann H.F., Kosako Т., Kadoya Y. Directional control of light by a nano-optical Yagi-Uda antenna // Nature Photonics. 2010. vol. 4. pp. 312-315.

7. Гришина H.B., Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Эффект экстремального просачивания энергии через проводящую пленку с наноразмерной неоднородностью в области неизлучающих волн // ДАН. 2009. Т. 424. № 1. С. 1-4.

8. Барышев А.В., Еремин Ю.А. Обоснование интегро-функционального метода решения задач дифракции в присутствии полупространства // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44. № 9. С. 1233-1239.

9. Барышев А.В., Еремин Ю.А. Новая математическая модель анализа малозаметных дефектов подложки // Математическое моделирование. 2010. Т. 22. № 5. С. 122-130.

10. Барышев А.В. Анализ рассеяния электромагнитных волн системой на-норазмерных частиц в тонкой металлической пленке методом дискретных источников // Журнал радиоэлектроники (электронный журнал). URL: http://jre.cplire.ru. 2010. № 10.

11. Барышев А.В. Анализ рассеивающих свойств оптических антенн в области плазмонного резонанса методом дискретных источников // Научная конференция «Тихоновские чтения». Сборник тезисов. М.: 2010. С. 74.

12. Барышев А.В. Новая математическая модель анализа малозаметных дефектов подложки // 16-я Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Микроэлетроника и информатика 2009». Сборник тезисов. М.: МИЭТ, 2009. С. 122.

13. Baryshev A.V., Eremin Yu.A. Novel Mathematical Model for the Analysis of Flat Substrate Imperfections // PIERS Proceedings. August 18-21. Moscow. RUSSIA. 2009. pp. 1699-1702.

14. Jackson J.D. Classical Electrodynamics. New York: John Wiley & Sons, 1998.

15. Stratton J.A. Electromagnetic Theory. New York: McGraw Hill, 1941.

16. Kerker M., Wang D.S., Giles C.L. Electromagnetic scattering by magnetic spheres //J. Opt. Soc. Am. 1983. vol. 73. pp. 765—767.

17. Aden A.L., Kerker M. Scattering of Electromagnetic Waves from Two Concentric Spheres // J. Appl. Phys. 1951. vol. 22. P. 1242.

18. Kaiser Т., Schweiger G. Stable algorithm for the computation of Mie coefficients for scattered and transmitted fields of a coated sphere // Comput. Phys. 1993. vol. 7. pp. 682—686.

19. Bhanti D., Manickavasagam S., Mcnguc M.P. Identification of non-homogeneous spherical particles from their scattering matrix elements // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1996. vol. 56. pp. 561—608.

20. Kai Li, Massoli P. Scattering of electromagnetic plane waves by radially inhomogeneous spheres: a finely-stratified sphere model // Appl. Oct. 1994. vol. 33. pp. 501-511.

21. Bohren C.F. Light scattering by an optically active sphere // Chem. Phys. Lett. 1974. vol. 29. pp. 458-462.

22. Martin R.J. Mie scattering formulae for non-spherical particles // J. Modern Opt. 1993. vol. 40. pp. 2467—2494.

23. Gouesbet G. Generalized Lorenz-Mie Theory and Application // Part. Part. Syst. Charact. 1994. vol. 11. pp. 22—34.

24. Doicu A., Wriedt T. Plane wave spectrum method of electromagnetic beams // Opt. Commun. 1997. vol. 137. pp. 114—124.

25. Asano S., Yamamoto G. Light scattering by a spheroidal particle // Appl. Opt. 1975. vol. 14. pp. 29-49.

26. Voshchinnikov N.V., Farafonov V.G. Optical properties of spheroidal particles // Astrophys. Space Sci. 1993. vol. 204. pp. 19—86.

27. Barton J.P. Internal and near surface electromagnetic fields for a spheroidal particle with arbitrary illumination // Appl. Opt. 1995. vol. 34. pp. 5542—5551.

28. Oguchi T. Attenuation of electromagnetic wave due to rain with distorted raindrops // J. Radio Res. Lans. (Tokyo). 1960. vol. 7. pp. 467—485.

29. Waterman P.C. Matrix formulation of electromagnetic scattering // Proc. IEEE. 1965. vol. 53. pp. 803-812.

30. Ludwig A.C. The generalized multipole technique // Comput. Phys. Commun. 1991. vol. 68. pp. 306—314.

31. Hafner Ch., Bomholt K. The 3D Electro dynamic Wave Simulator. Chichester: Wiley, 1993.

32. Eremin Yu.A., Sveshnikov A.G. The discrete sources method for investigating three-dimensional electromagnetic scattering problems // Electromagnetics. 1993. vol. 13. pp. 1—22.

33. Leviatan Y., Baharav Z. Analysis of Electromagnetic Scattering Using Arrays of Fictitious Sources // IEEE Trans. Antennas Propog. 1995. vol. AP-43. pp. 1091—1098.

34. Kawano M., Ikuno H., Nishimoto M. Numerical analysis of 3-D scattering problems using the Yasuura method // IEICE Trans, on Electronics. 1996. vol. E79-C. pp. 1358-1363.

35. Harrington R.F. Field Computation by Moment Methods. New York: Macmillan, 1968.

36. Yee K.S. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in sostropic media // IEEE Trans. Antennas Propag. 1966. vol. AP-14. pp. 302—307.

37. Hoefer W.J.R., So P.P.M. The electromagnetic wave simulator: adynamic visual electromagnetics laboratory based on the two-dimensional TLM method. Chichester: Wiley, 1991.

38. Purcell E.M., Pennypacker C.R. Scattering and absorption of light by nonspherical dielectric grains // Astrophys. J. 1993. vol. 186. pp. 705-714.

39. Самохии А.Б. Метод сингулярных объемных интегральных уравнений для задач электромагнитного рассеяния на сложных трехмерных диэлектрических структурах // Электромагнитные волны и электронные системы. 2007. Т. 12. Ж 8. С. 7-14.

40. Долинский B.C., Земляков В.В., Jlepep A.M. Дифракция электромагнитных импульсов на конечной решетке двумерных металлических цилиндров // Успехи современной радиоэлектроники. 2007. № 8. С. 72-75.

41. Дзвонковская А.Л., Калинин Ю.К. Дифракция электромагнитных волн на диэлектрическом параболоиде вращения // Электромагнитные волны и электронные системы. 2009. Т.14. № 3. С. 62-67.

42. Казьмин И.А., Лерер A.M., Пархоменко Н.Г. и др. Дифракция электромагнитной волны на двумерно-периодической решетке из круглых икольцевых отражателей // Электромагнитные волны и электронные системы. 2009. Т. 14. № 5. С. 4-11.

43. Федотов И.Е. Построение специализированного предобуславливателя для численного решения объемных интегральных уравнений электродинамики // Электромагнитные волны и электронные системы. 2010. Т.15. № 4. С. 20-26.

44. Лабунько О.С. Интегральные уравнения в задачах дифракции на цилиндрах с многослойным покрытием // Электромагнитные волны и электронные системы. 2010. Т.15. № 5. С. 4-7.

45. Габриэльян Д.Д., Звездина М.Ю., Лабунько О.С. и др. Особенности дифракции Е- и Н-поляризованных волн на цилиндре со звездным контуром // Электромагнитные волны и электронные системы. 2010. Т.15. № 5. С. 19-21.

46. Куликов С.П. Итерационный метод с комплексным набором чебышев-ских параметров для численного решения интегрального уравнения электромагнитного рассеяния // Электромагнитные волны и электронные системы. 2010. Т.15. № 6. С. 4-13.

47. Анютин А.П. Дифракция цилиндрических Н-поляризованных волн на конечной 2Б-периодической структуре // Электромагнитные волны и электронные системы. 2010. Т.15. № 8. С. 21-26.

48. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Методы Т-матриц и диаграммных уравнений решения задач дифракции // Электромагнитные волны и электронные системы. 2010. Т.15. № 8. С. 27-32.

49. Кюркчан А.Г., Скородумова Е.А. Решение трехмерной задачи дифракции волн на группе объектов // Акустический журнал. 2007. Т.53. № 1. С. 5-14.

50. Румелиотис Дж.А., Котсис А.Д. Рассеяние звуковых волн на двух сферических телах, одно из которых имеет малый радиус // Акустический журнал. 2007. Т.53. № 1. С. 38-49.

51. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.

52. Кюркчан А.Г., Смирнова H.H. Решение задач дифракции методами продолженных граничных условий и дискретных источников // Радиотехника и электроника. 2005. Т.50. № 10. С. 1231-1238.

53. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Решение задач дифракции волн методом продолженных граничных условий // Акустический журнал. 2007. Т.53. № 4. С. 490-499.

54. Румелиотис Дж.А., Котсис А.Д., Колезас Дж. Рассеяние звука не непроницаемом сфероиде // Акустический журнал. 2007. Т.53. № 4. С. 500-513.

55. Румелиотис Дж.А., Котсис А.Д. Рассеяние звука пе проницаемом сфероиде // Акустический журнал. 2008. Т.54. № 2. С. 189-204.

56. Waterman P.C. // J. Acoust. Soc. Am. 1969. vol. 45. P. 1417.

57. Шарфарец Б.П. О возможности эффективного вычисления амплитуды рассеяния на включении в сложном поле // Акустический журнал. 2010. Т.56. № 2. С. 166-171.

58. Авдеев И.С. Применение метода граничных элементов в решении задач о рассеянии звука упругим некруговым цилиндром // Акустический журнал. 2010. Т.56. № 4. С. 435-440.

59. Фарафонов В.Г., Ильин В.Б. Рассеяние света осесимметричными частицами: модификация метода поточечной сшивки // Оптика и спектроскопия. 2006. Т.100. № 3. С. 484-494.

60. Фарафонов В.Г., Ильин В.В., Фарафонов Е.В. Метод расширенных граничных условий с разложением полей по сфероидальным функциям // Оптика и спектроскопия. 2007. Т. 102 № 2. С. 316-328.

61. Фарафонов В.Г., Ильин В.В., Винокуров А.А. и др. Сравнение методов теории рассеяния света, использующих сферический базис // Оптика и спектроскопия. 2007. Т.102. № 6. С. 1006-1016.

62. Фарафонов В.Г., Ильин В.В., Винокуров А.А. и др. Единый подход к решению проблемы рассеяния света несферическими частицами с использованием волновых сферических функций // Успехи современной радиоэлектроники. 2008. № 6. С. 11-28.

63. Фарафонов В.Г., Ильин В.В., Винокуров А.А. и др. Рассеяния света несферическими частицами в ближней и дальней зонах: применимость методов со сферическим базисом // Оптика и спектроскопия. 2010. Т. 109. № 3. С. 476-487.

64. Babenko V.A., Astafyeva L.G., Kuzmin V.N. Electromagnetic Scattering by Disperse Media. London: Springer-Praxis, 2003.

65. Фарафонов В.Г., Винокуров А.А. Рассеяние света многослойными осе-симметричными частицами: решение проблемы методом разделения переменных // Оптика и спектроскопия. 2008. Т.105. № 2. С. 318-331.

66. Фарафонов В.Г., Ильин В.В., Винокуров А.А. и др. Об оптических свойствах несферических неоднородных частиц // Оптика и спектроскопия. 2010. Т.109. № 3. С. 488-497.

67. Белокопытов Г.В., Журавлев А.В. Влияние тонкого поверхностного слоя на рассеяние света сферическими частицами // Оптика и спектроскопия. 2006. Т.100. № 4. С. 672-677.

68. Нефедов И.С., Соловьев А.С. Дифракция на решетке диэлектрических цилиндров с сечением правильного многоугольника, расположенной на подложке // Оптика и спектроскопия. 2008. Т.104. № 3. С. 486-493.

69. Ахмеджанов И.М., Тищенко А.В., Щербаков А.А. Моделирование рассеяния света на наночастицах сложной формы методом обобщенных источников // Оптика и спектроскопия. 2008. Т.105. № 6. С. 1033-1038.

70. Liaw J.W. The quantum yield of a metallic nanoantenna // Appl. Phys. 2007. vol. 89. pp. 357—362.

71. Kino G. S. Optical field enhancement with plasmon resonant bowtie nanoantennas // SURFACE PLASMON NANOPHOTONICS. Springer Series in Optical Sciences. 2007. vol. 131. pp. 125-137.

72. Jiao X., Goeckeritz J., Blair S., Oldham M. Localization of Near-Field Resonances in Bowtie Antennae: Influence of Adhesion Layers // Plasmonics. 2009. vol. 4. pp. 37-50.

73. Mohammadi A., Jalali Т., Agio M. Dispersive contour-path algorithm for the two-dimensional finite-difference time-domain method // OPTICS EXPRESS. 2008. Vol. 16, No. 10. pp. 7397-7406.

74. Moerner W.E. Nanophotonics and Single Molecules // Single Molecules and Nanotechnology. Springer Series in Biophysics, vol. 12. pp. 1-23.

75. Deinega A., Belousov S., Valuev I. Hybrid transfer-matrix FDTD method for layered periodic structures // OPTICS LETTERS. 2009. vol. 34. No. 6. pp. 860-862.

76. Lourtioz J.M. Microwave and Terahertz Antennas and Circuits // Photonics Crystals: Towards Nanoscale Photonic Devices / Berlin: Springer, 2005. pp. 413-442.

77. Wang Y., Zhang Y., He M., Guo L. Calculation of electromagnetic scattering from a two-dimensional target in the vicinity of a plane surface by a hybrid method // J. Opt. Soc. Am. 2008. A/vol. 25, No. 6.

78. Bae E., Zhang H., Hirleman E.D. Application of the discrete dipole approximation for dipoles embedded in film //J. Opt. Soc. Am. 2008. A/vol. 25, No. 7. pp. 1728-1736.

79. Yang L., Du С., Luo X. Numerical study of optical properties of single silver nanobowtie with anisotropic topology // Appl. Phys. B. 2008. vol. 92. pp. 53—59.

80. Du S.Y., Li Z.Y. Enhanced light absorption of Ti02 in the near-ultraviolet band by Au nanoparticles // OPTICS LETTERS. 2010. vol. 35. No. 20.

81. Sendur K.; Baran E. Near-field optical power transmission of dipole nano-antennas // Appl Phys B. 2009. vol. 96. pp. 325—335.

82. Gilev K.V., Eremina E.Yu., Yurkin M.A., Maltsev V.P. Comparison of the discrete dipole approximation and the discrete source method for simulation of light scattering by red blood cells // OPTICS EXPRESS. 2010. vol. 18. No. 6. P. 5681.

83. Купрадзе В.Д., Алексидзе М.А. Метод функциональных уравнений для приближенного решения некоторых граничных задач // ЖВМиМФ. 1964. Т.4. т. С. 683-715.

84. Yasuura К., Itakura Т. Approximation for wave functions // Kyushu Univ. Rep. 1965. vol.38. No. 1 . pp. 72-77.

85. Свешников А.Г., Еремин Ю.А. Численное исследование задач дифракции на телах вращения методом неортогональных рядов // Известия вузов. Сер. Радиофизика. 1980. Т. 23. №8. С. 1006-1008.

86. Свешников А.Г., Еремин Ю.А. Развитие метода неортогональных рядов и исследование задачи дифракции на диэлектрических телах // Известия вузов. Сер. Радиофизика. 1982. Т. 25. №5. С. 580-583.

87. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Обоснование метода неортогональных рядов и исследование некоторых обратных задач дифракции // Вычисл. матем. и матем. физ. 1983. Т. 23. №3. С. 738-742.

88. Еремин Ю.А. Представление полей в методе неортогональных рядов через источники в комплексной плоскости // ДАН СССР. 1983. Т. 270. №4. С. 864-866.

89. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Исследование задачи дифракции на диэлектрических телах методом мультипольпых источников // Известия вузов. 1985. Т. 28. № 5. С. 647-653.

90. Еремин Ю.А. Полные системы функций в граничных задачах математической физики // ДАН СССР. 1987. Т. 290. № 8. С. 635-637.

91. Еремин Ю.А., Орлов Н.В. Обоснование метода исследования векторных задач дифракции на рассеивателе в полупространстве // Вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27. № 9. С. 1395-1401.

92. Еремин Ю.А., Орлов Н.В, Свешников А.Г. Модифицированный метод мультипольных источников в задачах дифракции электромагнитных волн // Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37. № 9. С. 1572-1581.

93. Eremin Yu.A., Orlov N.V., Sveshnikov A.G. Modified method of multipole sources in the problems of diffraction of electromagnetic waves // J. Commun. Technol. Electron. 1993. vol.38. No. 4.

94. Eremin Yu.A., Orlov N.V., Rozenberg V.I. Scattering by non-spherical particles // Comput. Phys. Commun. 1994. vol. 79. No. 2. pp. 201-214.

95. Eremin Yu.A., Orlov N.V. Analysis of wave scattering processes at the several magneto-dielectric bodies //J. Commun. Technol. Electron. 1994. vol. 39. No. 9. pp. 80-88.

96. Eremin Yu.A., Orlov N.V., V.I. Rozenberg. Multiple electromagnetic scattering by a Hnear array of electrified raindrops // J. Atmosph. Terr Phys. 1995. vol. 57. No. 3. pp. 311-319.

97. Eremin Yu.A., Orlov N.V Modeling of light scattering by non-spherical particles based on discrete sources method // Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1998. vol. 60. No. 3. pp. 451-462.

98. Eremin Yu.A., Orlov N.V. Simulation of light scattering from particle upon wafer surface// Appl Opt. 1996. vol. 35. No. 33. pp. 6599-6605.

99. Eremin Yu.A., Orlov N.V. Study of scattering properties of defects of silicon wafers// Opt. Spectrosc. 1998. vol. 84. No. 4. pp. 5570-562.

100. Eremin Yu.A., Grishina N.V. Analysis of light scattering by hole defects in a film at substrate// Opt. Spectrosc. 1999. vol. 86. No. 3.

101. Захаров E.B. // Вычислительные методы и программирование. 1975. Вып. 24. С. 37-42.

102. Doicu A., Eremin Yu.A., Wriedt Т. Acoustic and Electromagnetic Scattering Analysis Using Discrete Sources. New York: Academic Press, 2000.

103. Еремин Ю.А., Ивахненко В.И. // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. № 10. С. 1386-1394.

104. Еремин Ю.А., Ивахненко В.И. // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38. т. С. 1247-1256.

105. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Метод дискретных источников в задачах электромагнитной дифракции. М., 1992.

106. Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. М., 1982.

107. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., 1980.

108. Функциональный анализ / Под ред. Крейна С.Г. М., 1972.

109. Пресдорф 3. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. 1988. Т. 27. С. 64-71.

110. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н., Кулбановская В.Н. О решении линейных алгебраических систем с прямоугольными матрицами // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1968. Т. 96.

111. Еремин Ю.А. Обобщение оптической теоремы на основе интегро- функциональных соотношений // Дифференц. Уравнения. 2007. Т. 43. № 9. С. 1168-1172.

112. Вейко В.П., Вознесенский Н.Б., Воронин Ю.М. и др. Лазерная технология формирования оптических антенн для ближнепольных микроскопов и исследование их характеристик // Изв. РАН. Сер. Физическая. Т. 63. № 11. С. 1954-1963.

113. Capoglu I.R., Smith G.S. A direct time-domain FDTD near-field-to-far-field transform in the presence of an infinite grounded dielectic slab // IEEE Trans. Antennas Propag. 2006. vol. 52. No 12. pp. 3805-3814.

114. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Математические модели задач нанооп-тики и биофотоники на основе метода дискретных источников // ЖВ-МиМФ. 2007. Т. 47. № 2. С. 266-284.

115. Захаров Е.В. О единственности и существовании решений интегральных уравнений электродинамики неоднородных сред // Вычислительные методы и программирование. Сер. 24. М.: Изд-во МГУ, 1975. С. 37-42.

116. Chew W.C. Waves and Fields in Inhomogeneoues Media. New York: IEEE Press, 1995.

117. Дмитриев В.И. Поля в слоистых средах. М.: Изд-во МГУ, 1963.

118. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Метод дискретных источников в задачах электромагнитной дифракции. М.: Изд-во МГУ, 1992.

119. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. T.l. М.: Мир, 1978.

120. Гришина Н.В., Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Математическая модель слоистой структуры с наноразмерным отверстием // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2008. № 4. С. 11-16.

121. Фельд Я.Н., Бененсон Л.С. Основы теории антенн. М.: Дрофа, 2007.

122. Palik, Edward D. Handbook of Optical Constants of Solids. San Diego: Academic Press, 1998.

123. База данных индексов рефракции. // URL: http://www.refractiveindex.info