автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы расчета рассеяния света осесимметричными частицами в сферическом базисе

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ВИНОКУРОВ Александр Александрович

МЕТОДЫ РАСЧЕТА РАССЕЯНИЯ СВЕТА ОСЕСИММЕТРИЧНЫМИ ЧАСТИЦАМИ В СФЕРИЧЕСКОМ БАЗИСЕ

05 13 18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

¡11111111111111111111111

003161710

Санкт-Петербург 2007

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Фарафонов Виктор Георгиевич

Официальные оппоненты, доктор физико-математических наук,

профессор Славянов Сергей Юрьевич

Защита состоится " 8 " ноября 2007 года в 16 ч. 00 мин. на задеда/-нии диссертационного совета К 212.232 01 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу В 0.10-я линия д.49, филологический факультет — кафедра информационных систем в искусстве и гуманитарных науках

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им М. Горького СПбГУ.

кандидат технических наук Кучинский Сергей Анатольевич

Ведущая организация Санкт-Петербургский государственный

университет низкотемпературных технологий

Автореферат разослан н&е

Я

¿¡ГГ^фя 2007 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Немнюгик С.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Оптические методы диагностики дисперсных сред имеют сегодня широчайшее применение В одних случаях (межзвездная или межгалактическая среда и т п ) такие методы являются единственно возможными, в других - они предпочтительны из-за простоты и низкой стоимости (атмосфера Земли) или из-за того, что объекты исследования остааются неповрежденными (биологические среды) По мере развития теории рассеяния света, методики и оборудования, используемого в экспериментах, роль оптических методов все больше возрастает

В основе методов оптического анализа большинства сред лежит решение задачи рассеяния света изолированной частицей Поскольку экспериментальные способы решения этой задачи крайне дорогостоящи, она практически всегда сегодня решается путем численного моделирования

Естественные рассеиватели обычно являются несферическими и часто неоднородными Универсальные методы расчета оптических характеристик таких рассеивателей очень медленны даже для современных компьютеров Во многих приложениях рассеивающие частицы имеют сравнительно широкое распределение по размерам, формам и ориентациям, и при моделировании оптики дисперсных сред могут быть использованы лишь очень быстрые методы теории рассеяния света К ним относятся различные приближенные методы и методы, использующие разложения полей по волновым функциям Область применения приближений обычно недостаточно широка Недостатком методов второй группы является то, что они применимы к частицам упрощенной формы (гладкая, не очень сильно отличающаяся от координатных поверхностей) и структуры (слои) Однако в тех многочисленных случаях, когда наши знания об исследуемых рассеивателях не детальны, этот недостаток не столь важен

Необходимо отметить, что в теории рассеяния света исторически сложи-

лись некорректные названия методов, использующих разложения полей по волновым функциям Метод, в котором коэффициенты разложения определяются после подстановки последних в граничные условия, получил название метода разделения переменных (Séparation of Variables Method, SVM) В остальных методах этой группы разложения подставляются или в расширенные граничные условия, выраженные поверхностными интегралами (.Extended Boundary Condition Method, EBGM), или в минимизируемую невязку граничных условий, рассматриваемых в ограниченном числе точек на поверхности рассеивателя (Pomt-Matchmg Method, РММ) Поскольку резучьта-ты нашей работы (методы, программы, результаты расчетов, выводы) предназначены в первую очередь для специалисюв в области теории рассеяния света, то вполне сознавая некорректность терминологии, мы все же будем использовать традиционные названия методов

Метод SVM был использован в знаменитом решении проблемы рассеяния света шаром, предложенном Густавом Ми в 1908 г Это решение до сих пор весьма часто используется как первое приближение при рассмотрении з.адач рассеяния света из-за его простоты, скорости и точности Однако несмотря на неоднократные попытки, теория Ми до сих пор не была должным образом распространена на однородные и неоднородные несферические частицы

Подобное расширение теории Ми должно сопровождаться двумя необходимым действиями определением области применимости нового метода и детальным сравнением сходными меюдами При выполнении этих условий новый метод, использующий сферический базис, несомненно будет широко востребован в таких областях, как астрономия, оптика атмосферы и океана, экология, оптика биологических объектов, оптика коллоидных растворов и тп

Целью работы являлась разработка нового вычислительно эффективного метода решения задачи рассеяния электромагнитного излучения одно-

родными и многослойными несферическими частицами и сравнение областей применимости этого метода и других подходов, также использующих разложения полей или их потенциалов по сферическому базису

На защиту выносятся- Метод решения задачи рассеяния света несферическими осесимметрич-ными частицами с использованием разложений скалярных потенциалов по сферическому базису (БУМ)

- Результаты совместного численного исследования областей применимости ЭУМ и близких ему методов ЕВСМ и РММ для нескольких типов несферических рассеивателей, сопоставление с результатами аналитических исследований областей применимости этих методов

- Обобщение метода БУМ на случай многослойных осесимметричиых частиц с использованием итеративной схемы, позволяющей сохранять размерность редуцированных систем для определения коэффициентов разложений потенциалов при увеличении числа слоев

- Результаты численного моделирования рассеяния свста многослойными несферическими частицами методами БУМ и ЕВСМ, вывод о преимуществах использования БУМ при рассмотрении рассеивателей подобной структуры

Научная новизна работы. Разработан новый эффективный теоретический метод решения часто встречающейся задачи рассеяния света несферическими частицами, размеры которых сравнимы с длиной волны падающего излучения, с использованием сферического базиса При этом применен оригинальный подход с разделением полей на две части с особыми свойствами и выбором специфических скалярных потенциалов для каждой из частей

Составленная компьютерная программа вместе с имеющимися программами для методов ЕВСМ и РММ, также основанными на данном подходе,

создала уникальный базис для детального сравнения этих практически важных методов Впервые проведено сопоставление областей применимости таких методов как SVM, ЕВСМ, РММ при вычислении оптических свойств рассеивателей разных типов в дальней зоне

Предложенный метод распространен па решение задачи рассеяния света многослойной несферической частицей Проведенные численные расчеты показали, что впервые разработан быстрый метод, дающий достаточно точное и устойчивое решение задачи в широкой области значений параметров

Научная и практическая значимость работы Теория рассеяния света дополнена в диссертации еще одним эффективным методом, применимым к несферическим рассеивателям, размер которых сравним или превосходит длину волны падающего излучения Проведено сравнение теоретических и реальных областей применимости трех широко используемых теоретических методов Разработан эффективный подход к решению задачи рассеяния света многослойными несферическими частицами, позволяющий не уьели-чивать размер решаемой системы уравнений относительно коэффициентов разложения потенциалов по сферическим функциям при росте числа слоев

Учитывая несомненную эффективность предлагаемого метода, следует ожидать широкого применения написанных программ для расчета оптических характеристик излучения, рассеянного однородными или многосло Яны-ми несферическими частицами Программы будут особенно воетребова-ш в тех областях науки и производства, где отические методы используются для диагностики дисперсных сред, а именно в астрофизике, физике атмосферы, экологии, биофизике, медицине и т д

Апробация диссертации Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на трех международных конференциях - "Electromagnetic & Light Scattering", Бодрум, Турция, 2007,

- "Days on Diffraction", G -Петербург, Россия, 2006, 2007, на совещании

- "Экология и космос", С -Петербург, Россия, 2007,

а также на семинарах кафедры прикладной математики ГУАП, кафедры вычислительной физики СПбГУ, и в Астрономическом институте СПбГУ

Публикации По теме диссертации опубликовано две статьи в международных рецензируемых журналах Оптика и спектроскопия [1] и Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer [2], а хакже три работы в сборниках тезисов докладов к вышеуказанным конференциям [3, 4, 5]

Структура и объем диссертации Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы (115 наименований) Общий объем диссертации 108 страниц (основной текст — 93 страницы, список литературы — 15 страниц), включая 4 рисунка

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава содержит описание основных принципов электромагнитной теории рассеяния Рассматривается формулировка задачи рассеяния света с граничными условиями в форме дифференциальных уравнений, объемных и поверхностных интегральных уравнений Приводится обзор методов, широко применяемых для решения задачи рассеяния света несферическими частицами, размер которых соизмерим с длиной волны метод разделения переменных (SVM), метод расширенных граничных условий (ЕВСМ), метод поточечной сшивки (РММ) и мегод дискретных диполей (DDA)

Вторая глава посвящена описанию метода SVM, использующего сферический базис При этом применяется подход, предложенный В Г Фара-фоновым, который заключается в разделении задачи на осесимметричную и

неосесимметричную части и применении специальным образом выбранных скалярных потенциалов в каждой из частей

Задача рассеяния электромагнитного излучения (Е, Н) представляется в дифференциальной форме

Здесь i?nc, £fca, £?nt — напряженности электрических полей падающего и рассеянного излучения и поля внутри частицы соответственно, к{г) — волновое число в точке г, ко — волновое число в вакууме Граничные условия (2) определяют непрерывность тангенциальных компонент поля на границе рас-сеивателя S с вектором внешней нормали п{г), выражение (3) — условие излучения на бесконечности Зоммерфельда Выражения для Н аналогичны Рассматривавши рассеяние света однородными частицами с аксиальной симметрией Вводится сферическая система координат (г, 0, </?), таким образом, чтобы ось z соответствующей декартовой системы координат совпадала с осью симметрии частицы Тогда уравнение поверхности частицы имеет вид г = г{в)

Все поля представляются в виде сумм Е = Ед + Н — _Нд + -Hn, где сла1аемые, отмеченные индексом А (осесимметричная часть), не зависят от азимутального угла <р, а усреднение слагаемых с индексом N (неосесим-метричная часть) по этому углу дает нуль Нетрудно показать, что решение задачи рассеяния света частицей с осевой симметрией может быть получено независимо для каждой из частей

Для решения осесимметричной части вводятся скалярные потенциалы р = cos ip, q = HK:P cos |p Остальные компоненты EA, Яд легко выражаются через эти потенциалы

Из уравнений Максвелла следует, что потенциалы р, q удовлетворяют ска-

/

V х V х E{r) + к2(г)Е(г) = О,

(1) (2) (3)

лярному уравнению Гельмгольца Граничные условия для выбранных потенциалов имеют вид

Г + <?sca = qmt,

д(д™ + gsca) г/ Q(qщс + дьса)

~0Г 7 00

£1

£2

<9g

,mt

<9r

+

£i £2

1

1 - ~ctg$ J С

(4)

r=r(0)

Здесь дтс, дзса и д1114 — потенциалы падающего, рассеянного и внутреннего полей соответственно Выражения для потенциалов р анали ичны

Скалярные потенциалы можно предстаешь в виде разложений по сферическим функциям

р"

= 1 ji pi (cos cos

i=i «г

(5)

где Ji(^) — сферические функции Бесселя, Pj™ (cos в) — присоединенные функции Лежандра (т = 1), к\ — волновое число вне частицы Разложения потенциалов рассеянного и внутреннего полей получаются заменой Ji(k\r) на

Ъ^\кгг) или Э^куг) соответственно, где к\ч(г) — сферические функции Ган-келя 1-го рода, ~~ волновое число в частице Подстановка разложений потенциалов в граничные условия (4) позволяет получить бесконечные системы линейных алгебраических уравнений (БСЛ АУ) относительно неизвестных коэффициентов разложения потенциалов и р5са, qsca■, например для д

Юг

имеем

rAhfa) -А/Аа) vBh(fcO С ,(**) где введены векторы Ьшс = bs'

(6)

(А3(кг)

матрицы А, (к) = = {Я*т(кг)}%[=1, г = 1,2, и

С»(/с2) = {С*пг(^2)}~г=1> элементами которых являются интегралы произведений радиальных сферических функций, присоединенных функций

Лежандра и их производных, символ * обозначает 3 или Ь Например,

7Г

А}П1(кг)= ! л{кгг{в))Р!{совв)Р1{совв)^Мв (7)

о

Размерность системы (6) может быть умеынена вдвое за счет исключения Ь1пЬ, если не требуется определения внутреннего поля

Решение неосесимметричной части задачи в целом аналично решению осесимметричной В качестве скалярных потенциалов используются г-компонента магнитного или электрического вектора Герца 17 = П2 и соответствующий по1енциал Дебая V — ^ Выбранные потенциалы удовлетворяют скалярному уравнению Гельмгольца в сферической системе координат и следовательно могут быть представлены в виде разложений по сферическим функциям Аналогично, подставляя разложения потенциалов в граничные условия, можно получить БСЛАУ относительно неизвестных коэффициентов разложения потенциалов рассеянного поля и поля внутри частицы Получаемая система схожа с (6), однако имеет вдвое большую размерность

В третьей главе проводится сравнение метода разделения переменных (БУМ) с близкими методами ЕВСМ и РММ, так же использующими представление потенциалов в виде тех же разложений по волновым сферическим функциям и отличающимися лишь формой граничных условий, и как следствие, получающимися БСЛАУ

С теоретической точки зрения область применимости методов такого типа зависит от сходимости разложений и от разрешимости БСЛАУ Сходимость разложений рассеянного поля и поля внутри частицы не зависит от выбора метода и выполняется на расстоянии <1 от начала координат тогда и только аогда, когда

тах{йжа} < (I, тт{Г'} > й, (8)

где сР3 и — расстояния до особых точек аналитических продолжений рассеянного и внутреннего полей соответственно Условие разрешимости

БСЛАУ, получаемых для методов ЕВСМ и БУМ, как предполагается, имеет вид

тах{сГа} <тт{сГ'} (9)

БСЛАУ, возникающие в методе РММ всегда разрешимы Выполнение условия сходимости (8) необходимо только при вычислении характеристик рассеяния в ближней зоне, в то время как вычисление таких характеристик рассеянного излучения в дальней зоне как сечения рассеяния С5Са и поглощения СеХ(;! индикатриса рассеяния и т п математически корректно при выполнении условия (9)

Для численного сравнения областей применимости рассматриваемых методов была написана программа, основанная на предлагаемом методе и использованы созданные ранее программы для методов ЕВСМ и РММ, также базирующихся на подходе, изложенном в главе 2

Поскольку для непоглощающих частиц в силу закона сохранения энергии всегда должно выполняться соотношение Сехь = С5Са, величина относительной разности этих сечений <5 = |Сей — С8са| / + С8са| была использована как характеристика точности решений, полученных разными методами

В качестве рассеивающих частиц использовались вытянутые сфероиды (рис 1а) и чебышевские частицы (рис 1Ь)

Для сфероидов рассматриваемые методы математически корректны при вычислении поля в дальней зоне, поскольку условие (9) выполняется всегда Расчеты сечений для сфероидов показали (см рис 2а, За, Зс, Зе ), что при небольших N сходимость ЕВСМ и ЭУМ действительно наблюдается для сфероидов с отношением а/Ь <5—10, однако при а/Ь > 3 сходимость РММ фактически отсутствует В случае сильно вытянутых или сплюснутых сфероидов для получения достоверных результатов нужно использовать другие подходы, неапример, применение сфероидального базиса [2]

Результаты для чебышевских частиц показали (см рис 2Ь, ЗЬ, 3<1, ЗГ ),

Рис. 1: Рассматриваемые частицы, белыми точками обозначены особенности аналитического продолжения внутреннего поля, черными — рассеянного, пунктирная линия — окружность радиуса тах {(¿5са}.

(а) Вытянутый сфероид, а/6 = 2.0 (Ь) Чебышёвская частица, п = 5, е = 0.14

Рис. 2: Зависимость точности 5 от числа слагаемых Ы, учитываемых в разложениях. Угол между осью симметрии частицы и волновым вектором падгло-щего излучения а = 10°, показатель преломления т = 1.5, дифракционный параметр ху> = 2пгу/\ = 1, где — радиус шара, объем которого ранен объему несферической частицы.

2 3 4

а/Ь

(а) Вытянутый сфероид, ЭУМ

10

Хм

- 1 ''1 к - 'Л > ^ \ 1 1 ' . С"' 1

1 'к ^ —чЛ!"0 Ху

ч г 1 ' с.

- 1 , . 1 . ,

(Ь) Чебышевская частица, ЭУМ 10

1 2 3 4 5 а/Ь

(с) Вытянутый сфероид, ЕВСМ 10

(с!) Чебышевская частица, ЕВСМ 10

XV

1 2 (е) Вытянутый сфероид, РММ

(О Чебышевская частица, РММ

Рис 3 Области значений параметров, где заданная точность результатов может быть достигнута указанным методом Сплошная линия — уровень значений 5 = 10~3, штриховая — 5 = 1СГ5, пунктир — 8 = Ю-10 Заливкой отмечена область 6 > 10_3

что ЕВСМ-решение ведет себя полностью в соответствии с теоретическими предсказаниями сходится (при небольших N) для г < eCnt и расходится для £ > £cnt (при п — 5 условие (9) выполняется, если е < ecnt r* 0 14) Методы SVM и РММ позволяют получить достаточно точные решения даже при е >

£crit

Проведенные численные расчеты позволили сделать вывод, что ЕВСМ предпочтителен для сфероидов, SVM — для чебышевских частиц, а наименее эффективный по затратам компьютерного времени РММ дает удовлетворительные результаты во многих случаях, когда не работают два других метода Поскольку методы хорошо дополняют друг друга, а программы для них различаются всего лишь несколькими десятками операторов, предлагается комбинировать эти методы в рамках одной универсальной nporpaw мы

В четвертой главе предлагаемый метод решения задачи дифракции обобщается на случай многослойных осесимметричных частиц При этом для получения итерационной схемы решения БСЛАУ она решается "с конца", т е начиная с условий на границе ядра Такой подход позволяет сохранить размерности усеченных систем для определения коэффициентов разложений при увеличении количества слоев частицы

Результаты численного моделирования для многослойных частиц показали, что метод SVM предпочтительнее метода ЕВСМ Во-первых, с увеличением числа слоев ЕВСМ быстро становится непригодным, в то время как SVM сохраняет определеннцю устойчивость (см рис 4а и 4Ь) С увеличением степени асферичности (рис 4c-4f) предлагаемый метод также работает лучше, чем ЕВСМ В целом, область практической применимости метода разложений но сферическим функциям значительно больше, чем область применимости ЕВСМ

В заключении перечислены основные результаты и сформулированы выводы работы

(¿к) Вытянутый сфероид, ах/Ьх = 15

(Ь) Чебышевская частица, £1 = 0 14

2 3 4 5 а/Ъ

(с) Вытянутый сфероид, ЭУМ

((1) Чебышевская частица, ЭУМ

ю

Жу

1 2 3 4 5 6 а/Ъ

(е) Вытянутый сфероид, ЕВСМ

(О Чебышевская частица, ЕВСМ

Рис 4 Результаты численных расчетов для многослойных частиц Для сфероидов отношения полуосей границ слоев ах/Ьг = а^/Ъч = а3/Ь3, для чебы-шевских частиц количество максимумов щ = щ = щ = 5 и параметры деформации = = ез

Материалы диссертации опубликованы в следующих работах:

1 Фарафонов В Г., Винокуров А. А , Ильин В Б Сравнение методов теории рассеяния света, использующих сферический базис // Опт спектр - 2007 - Т 102, № 6 - С 1006-1016

2 Farafonov V G ,11'mV В , Vmokurov A A On use of the field expansions m terms of spheroidal functions // J Quant Spectr Rad Transf — 2007 — Vol 106 - P 33-43

3 Vmokurov A A , Farafonov V G , Il'm V В Comparison of LS methods using single expansions of fields // Peer-Reviewed Abstracts of the 10th Conference on Electromagnetic & Light Scattering (ELS-X) — Bodrum, Turkey 2007 - P 229-233

4 Vmokurov A. A Analysis of applicability ranges of exact light scattering methods using spherical basis // Abstracts of the Days on Diffraction Conference (DD'2007) - St Petersburg, Russia 2007 - P 93

5 Винокуров А А Сравнение областей применимости методов ЕВСМ, РММ и SVM при использовании сферического базиса // Тезисы докладов конференции Экология и космос — С -Петербург, Россия 2007 — С 14

В работе [1] диссертантом были разработаны новый метод (SVM), основанный на подходе В Г Фарафонова, программная реализация, проведены численные расчеты, а так же обсуждение результатов совместно с соавторами В работе [3] диссертанту принадлежат постановка задачи, выбор методов и сравнительный анализ, включающий численное моделирование В работе [2] — расчеты с применением методов, использующих сферический базис

Часть исследований, представленных в диссертации, выполнена при поддержке грантов РНП 2 1 1 2852 и РФФИ 07-02-00831

Подписано в печать 03.10 2007 Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная. Печать офсетная Тираж 100 экз Усл. п л 1,0 Заказ № 642

Отпечатано в ООО «Издательство "ЛЕМА"»

199004, Россия, Санкт-Петербург, В О., Средний пр, д.24, тел /факс: 323-67-74 e-mail, izd_lema@mail.ru

Введение

ГЛАВА 1. Обзор методов

1.1. Постановка задачи Рассеяния.

1.1.1. Уравнения Максвелла.

1.1.2. Дифференциальная постановка задачи.

1.1.3. Интегральная постановка задачи.

1.1.4. Падающее поле.

1.2. SVM.

1.2.1. Основные принципы метода

1.3. ЕВСМ.

1.3.1. Основные принципы метода.

1.3.2. Т-матрица.

1.4. РММ.

1.5. DDA.

1.5.1. Дискретизация.

1.5.2. Поляризуемость.

ГЛАВА 2. Метод разделения переменных (SVM)

2.1. Постановка задачи.

2.2. Разделение задачи на осесимметричную и неосесимметричную части

2.3. Решение осесимметричной части задачи рассеяния

2.3.1. Введение скалярных потенциалов.

2.3.2. Разложение по скалярным сферическим функциям.

2.3.3. Нахождение неизвестных коэффициентов.

2.4. Решение неосесимметричной части задачи рассеяния.

2.4.1. Введение скалярных потенциалов.

2.4.2. Разложение по скалярным сферическим функциям.

2.4.3. Нахождение неизвестных коэффициентов.

2.5. Вычисление характеристик рассеяния.

ГЛАВА 3. Сравнение областей применимости методов: SVM, ЕВСМ,

3.1. Введение

3.2. Данные теоретических исследований

3.3. Результаты численных расчетов.

ГЛАВА 4. SVM: слоистые частицы

4.1. Введение

4.2. Двухслойные частицы.

4.2.1. Решение осесимметричной задачи.

4.2.2. Решение неосесимметричной задачи.

4.3. Многослойные частицы.

4.3.1. Решение осесимметричной задачи.

4.3.2. Решение неосесимметричной задачи.

4.4. Многослойные сферические частицы

4.5. Численный анализ областей применимости SVM

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Оптические методы диагностики дисперсных сред имеют сегодня широчайшее применение. В одних случаях (межзвездная или межгалактическая среда и т.п.) такие методы являются единственно возможными; в других - они предпочтительны из-за простоты и низкой стоимости (атмосфера Земли) или из-за того, что объекты исследования оказываются неповрежденными (биологические среды). По мере развития теории рассеяния света, методики и техники экспериментов роль оптических методов все больше возрастает.

В основе методов оптического анализа большинства сред лежит решение задачи рассеяния света изолированной частицей. Поскольку экспериментальные способы решения этой задачи крайне дорогостоящи, она практически всегда сегодня решается путем численного моделирования.

Естественные рассеиватели обычно являются несферическими и часто неоднородными. Универсальные методы расчета оптических характеристик таких рассеивателей очень медленны даже для современных компьютеров. Поскольку во многих приложениях рассеивающие частицы имеют сравнительно широкое распределение по размерам, формам и ориентациям, то при моделировании оптики дисперсных сред могут быть использованы лишь очень быстрые методы теории рассеяния света. К ним относятся различные приближенные методы и методы, использующие разложения полей по волновым функциям. Область применения приближений обычно недостаточно широка. Недостатком же методов второй группы является то, что они применимы к частицам упрощенной формы (гладкая, несильно отличающаяся от координатных поверхностей) и структуры (слои). Однако в тех многочисленных случаях, когда наши знания об исследуемых рассеивателях не детальны, этот недостаток не столь важен.

Необходимо отметить, что в теории рассеяния света исторически сложились некорректные названия методов, использующих разложения полей по волновым функциям. Метод, в котором коэффициенты разложения определяются после их подстановки в граничные условия, получил название метода разделения переменных (Separation of Variables Method, SVM). В двух других методах этой группы разложения подставляются в расширенные граничные условия, выраженные поверхностным интегралом, (Extended Boundary Condition Method, ЕВСМ) или в минимизируемую невязку граничных условий в ограниченном числе точек на поверхности рассеивателя (Point-Matching Method, РММ). Поскольку результаты нашей работы (методы, программы, результаты расчетов, выводы) предназначены в первую очередь для специалистов в области теории рассеяния света, вполне сознавая некорректность терминологии, мы все же будем использовать традиционные названия методов.

Метод SVM был использован в знаменитом решении проблемы рассеяния света шаром, предложенном Густавом Ми в 1908 г. Это решение до сих пор используется как первое приближение при рассмотрении большинства задач рассеяния света из-за его простоты, скорости и точности. Однако несмотря на неоднократные попытки, теория Ми до сих пор не была должным образом распространена на однородные и неоднородные частицы.

Подобное расширение теории Ми должно сопровождаться двумя необходимым действиями: сравнением нового метода со сходными ему и определением области применимости нового метода. Лишь при выполнении этих условий новый метод, использующий сферический базис, может и несомненно будет широко востребован в таких областях, как астрономия, оптика атмосферы и океана, экология, оптика биологических объектов, оптика коллоидных растворов и т.п.

Целью работы являлась разработка нового вычислительно эффективного метода решения задачи рассеяния электромагнитного излучения однородными и многослойными несферическими частицами и сравнение областей применимости этого метода и других подходов, также использующих разложения полей или их потенциалов по сферическому базису.

На защиту выносятся:

- Метод решения задачи рассеяния света несферическими осесимметричными частицами с использованием разложений скалярных потенциалов по сферическому базису (SVM).

- Результаты совместного численного исследования областей применимости SVM и близких ему методов ЕВСМ и РММ для нескольких типов несферических рассеивателей; сопоставление с результатами аналитических исследований областей применимости этих методов.

- Обобщение метода SVM на случай многослойных осесимметричных частиц с использованием итеративной схемы, позволяющей сохранять размерность редуцированных систем для определения коэффициентов разложений потенциалов при увеличении числа слоев.

- Результаты численного моделирования рассеяния света многослойными несферическими частицами методами SVM и ЕВСМ; вывод о преимуществах использования SVM при рассмотрении рассеивателей подобной структуры.

Научная новизна работы. Разработан новый метод решения часто встречающейся задачи рассеяния света несферической частицей, размер которой сравним с длиной волны падающего излучения. При этом использован оригинальный подход с выбором специфических скалярных потенциалов.

Созданная компьютерная программа вместе с имеющимися программами для методов ЕВСМ и РММ, также основанными на данном подходе, создала уникальный базис для детального сравнения упомянутых методов. Впервые проведено сопоставление областей применимости этих популярных методов при вычислении оптических свойств рассеивателей разных типов в дальней зоне.

Предложенный метод распространен на решение задачи рассеяния света многослойной несферической частицей. Проведенные численные расчеты показали, что впервые разработан быстрый метод, дающий достаточно точное и устойчивое решение задачи в широкой области значений параметров.

Научная и практическая значимость работы. Теория рассеяния света дополнена еще одним эффективным методом, применимым к несферическим рассеивателям, размер которых сравним или превосходит длину волны падающего излучения. Проведено сравнение теоретических и реальных областей применимости трех широко используемых теоретических методов. Разработан эффективный подход к решению задачи рассеяния света многослойными несферическими частицами, позволяющий не увеличивать размер решаемой системы уравнений относительно коэффициентов разложения потенциалов по сферическим функциям при росте числа слоев.

Учитывая несомненную эффективность предлагаемого метода, несомненно следует ожидать широкого применения написанных программ для расчета оптических характеристик излучения, рассеянного однородными или многослойными несферическими частицами. Программы будут особенно востребованы в тех областях науки и производства, где оптические методы используются для диагностики дисперсных сред, а именно в астрофизике, физике атмосферы, экологии, биофизике, медицине и т.д.

Апробация диссертации. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на трех международных конференциях:

- "Electromagnetic Light Scattering", Бодрум, Турция, 2007,

- "Days on Diffraction", С.-Петербург, Россия, 2006, 2007, на совещании

- "Экология и космос", С.-Петербург, Россия, 2007, а также на семинарах кафедры прикладной математики ГУАП, кафедры вычислительной физики СПбГУ, и в Астрономическом институте СПбГУ .

Публикации. По теме диссертации опубликовано две статьи в международных рецензируемых журналах: Journal of Quantum Spectroscopy and Radiative Transfer [47] и Оптика и спектроскопия [15], а также в сборниках тезисов докладов к вышеуказанным конференциям [108, 107, 4].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы (115 наименований). Общий объем диссертации 108 страниц (основной текст — 93 страницы, список литературы — 15 страниц), включая 5 рисунков.

В диссертации предложен новый метод решения задачи рассеяния света несферическими осесимметричными частицами, используюш;ий сферический базис (ЗУМ). При этом применяется оригинальный подход, заключающийся в разделении задачи на осесимметричную и неосесимметричную части и при менении специальным образом выбранных скалярных потенциалов в каждой из частей.Для численного сравнения областей применимости была написана про грамма, основанная на предлагаемом методе и использованы созданные ранее программы для близких ему методов ЕВСМ и РММ. Проведенные расчеты позволили сделать вывод, что ЕВСМ предпочтителен для сфероидов, 8УМ — для чебышёвских частиц, а наименее эффективный по затратам компьютер ного времени РММ дает удовлетворительные результаты во многих случаях, когда не работают два других метода.Предлагаемый метод решения задачи дифракции обобщен на случай мно гослойных осесимметричных частиц. При этом для получения итерационной схемы решения БСЛАУ она решается "с конца", т.е. начиная с условий на границе ядра. Такой подход позволяет сохранить размерности усеченных си стем для определения коэффициентов разложений при увеличении количе ства слоев частицы. Результаты численного моделирования для многослой ных частиц показали, что метод ЗУМ предпочтительнее метода ЕВСМ.

1. Апельцин В. Ф.^ Кюркчан А. Г. Аналитические свойства волновых пол е й . - М.: Изд. МГУ, 1990.

2. Борен К., Хафмен Д. Поглош,ение и рассеяние света малыми частицам и . - М.: Мир, 1986.

3. Ван де Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами.— М.: Изд.иностр. лит., 1961.

4. Винокуров А. А. Сравнение областей применимости методов ЕВСМ,РММ и 8УМ при использовании сферического базиса / / Тезисы докладов конференции Экология и космос — -Петербург, Россия: 2007.— 14.

5. Волковицкий О. А., Павлова Л. Н., Петрушин А. Г. Оптические свойства кристаллических облаков. — Л.: Гидрометеоиздат, 1984.

6. Лопатин В. Н., Сидько Ф. Я. Введение в оптику взвесей клеток. —Новосибирск: Наука, 1988.

7. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. — М.: иностр.лит , 1960.- Т. 2.

8. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. — М.: Мир, 1969.

9. Фарафонов В. Р. Рассеяние света диэлектрическими частицами с аксиальной симметрией / / Опт. и спектр. — 2000. — Т. 88. — 79.

10. Фарафонов В. Г. Рассеяние света многослойными частицами с аксиальной симметрией / / Опт. спектр. - 2001. - Т. 91, № 1. - 102-112.

11. Фарафонов В. Г. О применимости метода Г-матриц и его модификаций / / Опт. спектр. - 2002. - Т. 92, № 5. - 813-825.

12. Фарафонов В. Г., Винокуров А. А., Ильин В. Б. Сравнение методовтеории рассеяния света, используюгцих сферический базис / / Опт. спектр. - 2007. - Т. 102, 6. - 1006-1016.

13. Фарафонов В. Г., Ильин В. Б. Рассеяние света диэлектрическими частицами с аксиальной симметрией: II / / Опт. спектр. — 2001. — Т. 91, № 6. - 1021-1029.

14. Фарафонов В. Г., Ильин В. Б. Рассеяние света осесимметричными частицами: модификация метода поточечной сшивки / / Опт. спектр. — 2006. - Т. 100, № 3. - 484-494.

15. Хлебцов Н. Г. Ослабление и рассеяние света в дисперсных системах снеупорядоченными, ориентированными и фрактальными частицами : Теория и эксперимент: Дис . . . д-ра физ.-мат. наук: 01.04.05. — Саратов, 1996.

16. Al-Rizzo Н. М., Tranquilla J. М. Electromagnetic scattering from dielectrically coated axisymmetric objects using the generalized point-matching technique i i . numerical results and comparison / / J . Сотр. Phys. — 1995. — Vol. 119. - Pp. 356-373.

17. Asano S., Yamamoto G. Light scattering by spheroidal particle / / Appl.Opt. - 1975. - Vol. 14. - Pp. 29-49.

18. Babenko V. A., Astafyeva L. C, Kuzmin V. N. Electromagnetic Scatteringby Disperse Media. — London: Springer-Praxis, 2003.

19. Barber P. W., Hill S. C. Light Scattering by Particles: ComputationalMethods. — Singapore: World Scientific, 1990.

20. Barber P. W., Yeh C. Scattering of electromagnetic waves by arbitrarilyshaped dielectric bodies / / Appl. Opt. - 1975. - Vol. 14. — Pp. 2864-2872.

21. Barton J. P. Internal and near-surface electromagnetic fields for an infinitecylinder illuminated by an arbitrary focused beam / / J . Opt. Soc. Am. A. — 1999. - Vol. 16. - Pp. 160-166.

22. Barton J. P. Electromagnetic fields for a spheroidal particle with an arbitrary embedded sources / / / . Opt. Soc. Am. A. — 2000.— Vol. 17.— Pp. 458-464.

23. Barton J. P. Internal, near-surface and scattered electromagnetic fields fora layered spheroid with arbitrary illumination / / Appl. Opt.— 2001.— Vol. 40. - Pp. 3598-3607.

24. Barton J. P. Electromagnetic field calculations for an irregularly shaped,near-spheroidal particle with arbitrary illumination / / / . Opt. Soc. Am. A. - 2002. - Vol. 19. - Pp. 2429-2435.

25. Borghese P., Denti P., Saija R. Scattering from Model Nonspherical Particles. — Berhn: Springer, 2003.

26. Boyd J. P. Large mode number eigenvalues of the prolate spheroidal differential equation / / Appl. Math. Сотр. - 2003. - Vol. 145. - Pp. 881-886.

27. Brown D. J., Stringfield R. M. Iterative methods applied to matrix equations found in calculating spheroidal functions //J. Сотр. Phys. — 2000. — Vol. 159. - Pp. 329-343.

28. Ciric I. R., Cooray F. R. Light Scattering by Nonspherical Particles / Ed.by M . 1. Mishchenko, J. W. Hovenier, L. D. Travis. — San Diego: Academic Press, 2000. - Pp. 90-130.

30. Dallas A. G. On the convergence and numerical stability of the secondwaterman scheme for approximation of the acoustic field scattered by a hard object / University of Delware. Technical report No 2000-7. — USA, 2000. - 35 pp.

31. Debye P. Der licht druck auf kugeln von beliebigem material / / Ann.Phys. - 1909. - Vol. 30. - Pp. 57-136.

32. Doicu A., Wriedt T. Calculation of the T-matrix in the null-field methodwith discrete sources / / J. Opt. Soc. Am. A. - 1999. - Vol. 16. - Pp. 25392544.

33. Doicu A., Wriedt T. T-matrix method for electromagnetic scattering fromscatterers with complex structure / / J. Quant. Spectr. Rad. Transf.— 2001. - Vol. 70. - Pp. 663-673.

34. Doicu A., Wriedt T., Eremin Y. A. Light Scattering by Systems of Particles. — Berlin: Springer, 2006.

35. Draine B. T. The discrete-dipole approximation and its appHcation to interstellar graphite grains / / Astrophysical Journal. — 1988. — Vol. 333. — Pp. 848-872.

36. Eremina E., Eremin Y., Wriedt T. Analysis of light scattering by erythrocyte based on discrete source method / / Opt. Comm. 2005. — Vol. 24. — Pp. 15-23.

37. Eremina E., Wriedt T. Review of light scattering by fiber particles withhigh aspect ratio / / Rec. Res. Dev. Opt. - 2003. - Vol. 3. - Pp. 297-318.

38. Farafonov V. C, Win V. B. On checking the calculations of optical properties of non-spherical particles / / Meas. Sci. Technol. — 2002. — Vol. 13. — Pp. 331-335.

39. Farafonov V. C, Win V. B. Light scattering reviews / Ed. byA. Kokhanovsky. — London: Springer-Praxis, 2006. — P. 125.

40. Farafonov V. G., Il'in V. В., Prokopjeva M. S. Light scattering by multilayered nonspherical particles: a set of methods / / J . Quant. Spectr. Rad. Transf - 2003. - Vol. 79-80. - Pp. 599-626.

41. Farafonov V. G., IVin V. В., Vinokurov A. A. On use of the field expansionsin terms of spheroidal functions //J. Quant. Spectr. Rad. Transf — 2007. — Vol. 106. - Pp. 33-43.

42. Fikioris J. G. Electromagnetic field inside a current-earring region //J.Math. Phys. - 1965. - Vol. 6. - Pp. 1617-1620.

43. Goedecke G. H., O'Brien S. G. Scattering by irregular inhomogeneous particles via the digitized green's function algorithm / / Appl. Opt. — 1988. — Vol. 27, no. 12. - Pp. 2431-2438.

44. Gurwich I., Shiloah N., Kleiman M. The recursive algorithm for electromagnetic scattering by titled infinite circular multi-layered cylinder / / J . Quant. Spectr. Rad. Transf - 1999. - Vol. 63. - Pp. 217-229.

45. Gurwich I., Shiloah N., Kleiman M. Calculations of the mie scattering coefficients for multilayered particles with large size parameters // J. Quant. Spectr. Rad. Transf - 2001. - Vol. 70. - Pp. 433-440.

46. Hafner €., Bomholt K. The 3D Electrodynamic Wave Simulator. — Chichester: Wiley, 1993.

47. Hage J. I., Greenberg J. M. A model for the optical properties of porousgrains / / Astrophysical Journal - 1990.- Vol. 361. — Pp. 251-259.

48. Han Y., Grahan G., Gousbet G. Generalized lorenz-mie theory forspheroidal particle with off-axis gaussian-beam illumination / / Appl. Opt. - 2003. - Vol. 42. - Pp. 6621-6629.

49. Han Y., Wu Z. Scattering of a spheroidal particle illuminated by a gaussianbeam / / Appl. Opt. - 2001. - Vol. 40. - Pp. 2501-2509.

50. Ikuno H., Yasuura K. Improved point-matching method with application toscattering from a periodic surface / / IEEE Trans. Anten. Propag. 1973. — Vol. AP-21. - Pp. 657-662.

51. Jackson J. D. Classical Electrodynamics. — New York: Wiley, 1975.

52. Jones A. R. Light scattering for particle characterisation / / Prog. EnergyCombust. Sci. - 1999. - Vol. 25. - Pp. 1-53.

53. Kahnert F. M. Numerical methods in electromagnetic scattering theory / /J. Quant. Spectr. Rad. Transf. - 2003. - Vol. 79-80. - Pp. 775-824.

54. Kahnert F. M. Surface-integral formulation for electromagnetic scattering in spheroidal coordinates / / / Quant. Spectr. Rad. Transf. — 2003. — Vol. 77. Pp. 61-78.

55. Kahnert F. M., Stamnes J. J., Stamnes K. AppHcation of the extendedboundary conditions method to homogeneous particles with point group symmetries / / Appl. Opt. - 2001. - Vol. 40. - Pp. 3110-3123.

56. Kerker M. The Scattering of Light and Other Electromagnetic Radiation. —San Diego: Academic Press, 1969.

57. Khlebtsov N. G. Light Scattering By Nonspherical Particles and Its Applications: Ph.D. thesis / Saratov State University. — Saratov, 1980.

58. Kleinman R. E., Roach G. F., Ström S. E. G. The null field method andmodified green functions / / Royal Society of London Proceedings Series A. - 1984. - Vol. 394. - Pp. 121-136.

59. Kokkorakis G. C., Roumeliotis J. A. Power series expansions for spheroidalwave functions with small arguments //J. Сотр. Appl. Math. — 2002. — Vol. 139. - Pp. 95-127.

60. Lakhtakia A. Strong and weak forms of the method of moments and the coupled dipole method for scattering of time-harmonic electromagnetic fields / / 1.t. J. Mod. Phys. C. - 1992. - Vol. 3. - Pp. 583-603.

61. Lakhtakia A., Mulholland G. W. On two numerical techniques for hght scattering by dielectric agglomerated structures // J. Res. Inst. Stand. Technol. - 1993. - Vol. 98. - Pp. 699-716.

62. Li L. W., Kang X. K., Leong M. S. Spheroidal wave functions in electromagnetic theory. — New York: Wiley, 2002.

64. Mackowski D. W. Discrete dipole moment method for calculation of theT-matrix for nonspherical particles //J. Opt. Soc. Am. A.— 2002.— Vol. 1 9 . - P p . 881-893.

65. Mie G. Beiträge zur optik trüber medien, speziell kolloidaler metallösungen / / Ann. Phys. - 1908. - Vol. 25. - Pp. 377-445.

66. Millar R. F. The rayleigh hypothesis and a related least-squares solutionto scattering problem for periodic surfaces and other scatterers / / Radio Sei. - 1973. - Vol. 8. - Pp. 785-796.

67. Mishchenko M. I. Far-field approximation in electromagnetic scattering / /J. Quant. Spectr. Rad. Transf. - 2006. - Vol. 100. - Pp. 268-276.

68. Mishchenko M. I., Hovenier J. W., Travis L. D. Light Scattering by Nonspherical Particles. — San Diego: Academic Press, 2000.

69. Mishchenko M. L, Travis L. D., Lacis A. Scattering, Absorption, and Emission of Light by Small Particles. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2002.

70. Mishchenko M. I., Travis L. D., Lacis A. A. Scattering, absorption andemission of fight by small particles. — NY: NASA, 2004.

71. Möglich F. Beugungserscheinungen an korpen von ellipsoidischer gestalt / /Ann. Phys. - 1927. - Vol. 83. - Pp. 609-735.

72. Moroz A. Improvement of mishchenko's T-matrix code for absorbing particles / / Appl. Opt. 2005. - Vol. 44. - Pp. 3604-3609.

73. Morrison J. A., M. Cross J., Chu T. S. Rain-induced differential attenuation and difi'erential phase shift at microwave frequencies / / Bell Syst. Tech. J. - 1973. - Vol. 52. - Pp. 599-604.

74. MulUn C. R., Sandburg R., Velline C. 0. A numerical technique for thedetermination of scattering cross sections of infinite cylinders of arbitrary geometrical cross section / / IEEE Trans. Anten. Propag.— 1965.— Vol. Ap-13. - Pp. 141-149.

77. Nieminen T. A., Rubinsztein-Dunlop H., Heckenberg N. R. Calculation ofthe T-matrix: general consideration and application of the point-matching method / / J. Quant. Spectr. Rad. Transf. - 2003. - Vol. 79-80. - Pp. 10191030.

78. Oguchi T. Attenuation and phase rotation of radio waves due to rain: calculation at 19.3 and 34.8 ghz / / Radio Sci. - 1973. - Vol. 8. - Pp. 31-38.

82. Petrov P. K., Babenko V. A. The variational boundary condition method forsolving problems of light scattering by nonspherical particles //J. Quant. Spectr. Rad. Transf. - 1999. - Vol. 63. - Pp. 237-250.

84. Purcell E. M., Pennypacker C. R. Scattering and absorption of light by nonspherical dielectric grains / / Astrophysical Journal. — 1973. — Vol. 186. — Pp. 705-714.

85. Qingan W., Kang C, Xiang 0. Y. Z. Discussion of key algorithms forcomputing scattering cross sections using separate of variables method for spheroids //J. Quant Spectr. Rad. Transf. - 1999. - Vol. 63. - Pp. 251261.

86. Ramm A. G. Scattering by Obstacles. — Dordrecht, Boston, Lancaster,Tokyo: D. Reidel Publishing Company, 1984.

88. Rother T. Generalization of the separation of variables method for nonspherical scattering of dielectric objects / / J. Quant. Spectr. Rad. Transf.— 1998. - Vol. 60. - Pp. 335-353.

89. Rother T., Schmidt K., Havemann S. Light scattering on hexagonal icecolumns / / J . Opt. Soc. Am. A. - 2001. - Vol. 18. - Pp. 2512-2517.

92. Schmidt K., Wauer J., Rother T. Application of the separation of variablesmethod to a plane wave scattering on nonaxisymmetric particles / / Proc. SPIE. 2003. - Vol. 5059. - Pp. 76-86.

93. Schulz F. M., Stamnes K., Stamnes J. J. Scattering of electromagnetic waves by spheroidal particles: novel approach exploiting the T-matrix computed in spheroidal coordinates / / Appl. Opt. — 1998. — Vol. 37. — Pp. 7875-7896.

94. Sinha B. P., McPhie R. H. Electromagnetic scattering by prolate spheroidsfor a plane waves with arbitrary polarization and angle of incidence / / Radio Sei. - 1977. - Vol. 12. Pp. 171-184.

95. Surface green's function of the helmholtz equation in spherical coordinates /T. Rother, M . Kahnert, A. Doicu, J. Wauer / / Progress In Electromagnetics Research (PIER). - 2002. - Vol. 38. - Pp. 47-95.

96. Tsang L., Kong J. A., Ding K.-H. Scattering of Elctromagnetic Waves. —Wiley, 2000. — Vol. 1. Theories and AppHcations.

97. Tsang L., Kong J. A., Ding K.-H. Scattering of Elctromagnetic Waves. —Wiley, 2001 . - Vol. 2. Numerical Simulations.

98. Tsang L., Kong J. A., Ding K.-H. Scattering of Elctromagnetic Waves. —Wiley, 2001. - Vol. 3. Advanced Topics. 105. van de Hülst H. C. Light Scattering by Small Particles. — New York: Dover Publ, 1957.

99. Varadan V. K., Varadan V. K Acoustic, Electromagnetic and Elastic WaveScattering - Focus on the T-Matrix Approach. — New York: Pergamon Press, 1980.

100. Vinokurov A. A. Analysis of applicability ranges of exact light scatteringmethods using spherical basis / / Abstracts of the Days on Diffraction Con ference (DD'2007).- St.Petersburg, Russia: 2007. - P. 93.

101. Vinokurov A. A., Farafonov V. G., Il'in V. B. Comparison of LS methodsusing single expansions of fields / / Peer-Reviewed Abstracts of the 10th Conference on Electromagnetic & Light Scattering (ELS-X).— Bodrum, Turkey: 2007. - Pp. 229-233.

102. Voshchinnikov N. V., Farafonov V. G. Calculation of prolate radialspheroidal functions using jaffé expansion / / Сотр. Math. Math. Phys. — 2003. - Vol. 43. - Pp. 1299-1309.

103. Wait J. R. Electromagnetic scattering from a radially inhomogeneoussphere / / Can. J. Phys. - 1955. - Vol. 33. - Pp. 189-195.

104. Waterman P. C. Matrix formulation of electromagnetic scattering / / Proc.

105. EE. - 1965. - Vol. 53. - Pp. 805-812.

106. Waterman P. C. Scattering by dielectric obstacles / / Alta. Freq. — 1969. —Vol. 38. - Pp. 348-352.

107. Wriedt T. Electromagnetic scattering programs database. — websitehttp://www.T-matrix.de.

108. Wriedt T. Review of elastic scattering theories / / Part. Part. Syst. Charact. - 1998. - Vol. 15. - Pp. 67-74.

109. Yang W. Improved recursive algorithm for light scattering by a multilayeredsphere / / Appl. Opt. - 2003. - Vol. 42. - Pp. 1710-1720.