автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы расчета рассеяния света несферическими частицами с использованием разложения полей по волновым функциям

На правах рукописи

Фарафонов Евгений Вячеславович

Методы расчета рассеяния света несферическими частицами с использованием разложения полей по волновым функциям

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2008

2 2 ДЕМ 2008

003458242

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения"

Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Фарафонов Виктор Георгиевич

Официальные оппоненты: д.т.н., проф. Красюк Владимир Николаевич

к.ф.-м.н., с.н.с. Кучинский Сергей Анатольеви'

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

университет низкотемпературных технологий

Защита диссертации состоится ■Я тОо ОиЛЪ 2009 года в ФО мин. на заседании диссертационного совета Д 212.233.02 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения" по адресу: 190000, Санкт-Петербург, ул. Большая Морская, д.67.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения"

Автореферат разослан " 5 " года.

Ученый секретарь [[С]ю "I

диссертационного совета ^ // ^ЛЛл^-^-^ Осипов Л.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Дистанционное исследование мелко дисперсных сред играет важную роль в физике атмосферы, экологии, биофизике, астрофизике и других дисциплинах. При этом все актуальнее становятся оптические методы, в которых данные различных измерений анализируются путем их сопоставления с результатами расчетов для различных ансамблей несферических частиц. Достоинствами таких методов являются их универсальность, относительно низкая стоимость, высокая эффективность, слабое воздействие иа объекты и т.д. Серьезное препятствие в применении оптических методов для изучения дисперсных сред создается в основном недостаточным развитием теории рассеяния света несферическими частицами. Несмотря на гигантский скачок в производительности вычислительных систем, до сих пор нет эффективных алгоритмов для расчета оптических свойств сильно вытянутых/сплюснутых частиц, нет быстрых способов определения этих свойств для несферических рассеивателей произвольной формы.

Наиболее перспективным подходом решения этих проблем является развитие методов теории рассеяния света, в которых используется разложение полей по волновым функциям. В этом случае удается наилучшим образом учесть геометрию рассеяния и, как следствие, получаются наиболее точные и быстрые алгоритмы решения задачи рассеяния света. Подобными методами являются метод разделения переменных (Séparation of Variables Method, SVM), метод расширенных граничных условий (Extended Boundary Condition Method, ЕВСМ) и метод поточечной сшивки (Point-Matching Method, PMM). Хотя методы основываются на одинаковом разложении полей по волновым функциям, они используют принципиально разные формулировки задачи рассеяния света несферичсскими частицами и, как следствие, развивались и рассматривались всегда независимо. Между тем эти методы должны существенно дополнять друг друга. Другим неисследованным в достаточной степени вопросом является эффективность применения разных базисов в рамках данных методов. До сих пор методы в основном использовали сферический базис, причем метод SVM применялся почти исключительно к рассеивателям в виде шара, а метод РММ - после нескольких первых работ был на долгое время незаслуженно забыт. Сфероидальный базис использовался исключительно в рамках метода SVM для рассмотрения рассеяния сфероидами, которые являются достаточно

упрощенной моделью реальных несфсрнчсскнх частиц.

Таким образом, дальнейшее развитие и исследование наиболее эффективных (быстрых и точных) методов теории рассеяния света - методов БУМ, ЕВСМ и РММ являются актуальными задачами, решение которых необходимо для расширения возможностей оптического зондирования различных сред в научных исследованиях и промышленных приложениях. Важное значение имеет, в частности, определение областей применимости данных методов, особенно при использовании разных базисов, и разработка единого теоретического подхода к методам, поскольку это необходимо для их комбинирования, что представляется сегодня крайне перспективным.

Целью работы является развитие в рамках единого подхода трех наиболее известных методов (БУМ, ЕВСМ и РММ) решения задачи рассеяния света несферическими частицами, а также численно-аналитическое исследование областей их эффективного применения.

Задачи работы. 1. Решение задачи рассеяния света несферическими (осесимметричными) частицами методами БУМ, ЕВСМ и РММ с использованием волновых сферических функций и рамках единого подхода.

2. Обобщение единого подхода к решению задачи рассеяния света несферическими частицами на случай применения сфероидального базиса, когда поля (потенциалы) представляются в виде разложений по волновым сфероидальным функциям.

3. Численное и аналитическое исследование построенных решений, включающее анализ областей применимости данных методов в зависимости от выбранного базиса.

Положения, выносимые на защиту. 1. Подход, объединяющий принципиально разные методы БУМ, ЕВСМ и РММ, широко применяемые для решения задачи рассеяния света несферическими частицами, с использованием разложения полей по сферическим волновым функциям.

2. Обобщение разработанного подхода для сферического базиса на случай сфероидального базиса, когда поля (потенциалы) представляются в виде рядов по сфероидальным волновым функциям.

3. Анализ областей применимости методов БУМ, ЕВСМ и РММ со сферическим и сфероидальным базисами, который показал, что они существенно дополняют друг друга.

Методы исследования. При разработке теоретических методов и вычислительных алгоритмов используются методы математической

физики, теории функции комплексного переменного, линейной алгебры и вычислительной математики. При численном исследовании созданных алгоритмов применяется язык программирования Fortran.

Научная новизна. Предлагается новый подход к решению задачи рассеяния электромагнитных волн осесимметричными телами, объединяющий методы ЕВСМ, SVM и РММ, которые до сих пор рассматривались раздельно. Основные идеи подхода сохраняются при переходе от одного базиса к другому, в частности, когда базисными вместо сферических выбираются сфероидальные функции.

Проводится уникальное одновременное рассмотрение трех методов с исследованием их областей применимости. Впервые версия ЕВСМ со сфероидальным базисом доведена до численной реализации и применена для чебышевских сфероидальных частиц, которые ранее не рассматривались по причине невозможности получения достоверных численйых результатов.

Научная и практическая значимость работы. Особую практическую и научную ценность имеет численно-аналитическое исследование с единых позиций областей применимости основных методов, использующих разложения полей по волновым функциям. Эти результаты дают возможность обоснованно применять данные методы именно в тех случаях, когда они наиболее эффективны.

Практический интерес представляет комплекс программ, которые реализуют построенные алгоритмы расчета характеристик рассеянного излучеиия (сечения ослабления и рассеяния, радарные сечения рассеяния, а также диаграммы направленности) для осесимметричных тел различной формы (см. WWW-базу данных http://www.astro.spbu.ru/DOP).

Реализация результатов. Результаты исследований по теме диссертации были использованы при работе над проектом "Разработка новой модели космической пыли", поддержанном грантом РФФИ 07-0200831, а также в госбюджетной НИР кафедры прикладной математики ГУАП. Часть исследований, представленных в диссертации, выполнена при поддержке гранта РНП 2.1.1.2852. Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс по кафедре прикладной математики ГУАП.

Апробация диссертации. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на двух международных конференциях "Естественные и антропогенные аэрозоли" (Санкт-Петербург, 2006 и 2008 г.), международном семинаре "Days on Diffraction" (Санкт-Петербург, 2008 г.), 11-й международной конференции Electromagnetic and Light Scatter-

mg (Лондон, 2008 г.), а также обсуждались на научных семинарах'Санкт-Петербургского отделения Математического института РАН им. A.B. Стеклова и кафедры прикладной математики ГУАП.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, 'заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации 122 страницы, включая 24 рисунка. Библиография включает 103 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении описывается актуальность темы диссертации, цели работы, научная новизна, научная и практическая ценность, результаты, выносимые на защиту, и их апробация, а также кратко изложено содержание работы.

В первой главе приводятся уравнения Максвелла и материальные уравнения, которые описывают поведение электромагнитного поля в любой среде, и дается определение гармонических полей, которые в дальнейшем и рассматриваются. Далее вводится понятие скалярных потенциалов, формулируются векторное уравнение Гсльмгольца для полей и соответствующее скалярное уравнение Гельмгольца для их потенциалов.

Проблема рассеяния света формулируется в дифференциальной (используемой в методах SVM и РММ) и интегральной (применяемой в методе ЕВСМ) формах. Описывается идея решения проблемы указанными методами и делается ряд важных замечаний о неверно сложившейся терминологии, связанной с данными методами. Дается обзор работ, посвященных методам SVM, ЕВСМ и РММ, при этом отмечены пионерские работы, а также ключевые работы и недавние обзоры. Даны ссылки на недавние работы, сделанные после появления обзоров, а также на интернет-страницы, где можно найти компьютерные программы расчета рассеяния света, основанные на данных теоретических методах.

Наконец, излагаются основные детали оригинального подхода к решению задачи рассеяния света нссферическими (осесимметричными) частицами, который наиболее полно использует геометрию рассеяния в данном случае, и кратко обсуждаются достоинства и недостатки подхода.

Укажем основные особенности предлагаемого подхода. Обозначим известное поле излучения, падающего на частицу, как Ет, Нт, неизвестные поля рассеянного излучения как ESCi, Hsca и излучения внутри частицы как J5mt, HüA. Тогда задача рассеяния света может быть записана

следующим образом:

ABsca + = 0, r<=R3\D, (1)

&Ёы + к2Ёы = 0, r<ED, (2)

V • Ê** = 0, V • Êint = 0, (3)

(Êm + £sca) xn = Êi,lt x n, fe S, (4)

(j?in + #sca) x 71 = Ны x n, fe (5)

где n - внешняя нормаль к поверхности S частицы, занимающей объем D, D = D\S, г - радиус-вектор, г = |г|. Здесь и далее полагается, что частицы находятся в вакууме, для которого е ~ ц — 1. Магнитные поля #sca, Hmt определяются по известным электрическим полям £sca, Emt из уравнений Максвелла

Я = tVV x Ê. (7)

гр/со

В отличие от SVM и РММ, в методе ЕВСМ используется интегральная формулировка задачи рассеяния

V х [пх Еы(7) G Or, f ) ds' - -i-'V x V 7s

= (8)

Здесь первым шагом является решение интегрального уравнения для внутреннего излучения ЕпЛ в области D, затем рассеянное излучение Esc& легко находится из уравнения для области R3 \ D.

Для осесимметричной частицы вводиться декартова система координат (x, у, z) таким образом, чтобы ось z совпала с осью симметрии частицы. Тогда уравнение поверхности частицы запишется в сферической системе координат, связанной как обычно с декартовой, как

г = г(0). ■ (9)

Первая из основных особенностей данного подхода состоит в том, что поля падающего, рассеянного и внутреннего излучения представляются в виде сумм

£ = + Я = ЯА + Як, (Ю)

где "осеснмметричные" части Ёд, #а не зависят от азимутального угла tp, а усреднение "неосссимметричных" частей Ец, Нц по этому углу дает нуль.

Осесимметричная и нсосесимметричная части задачи рассеяния света (т.е. определение полей Е%л, Яда и Щса, соответственно) могут быть решены независимо. Это следует из коммутативности оператора Т, соответствующего задачи рассеяния, и оператора Ьг = щ.

Вторая особенность данного подхода заключается в использовании скалярных потенциалов, соответствующим образом выбранных для осесимметричной и неосссимметричной частей полей.

Осесимметричность нолей позволяет свести решение векторной задачи к решению скалярной. Следующие специфические скалярные потенциалы удобны для решения этой части задачи:

р = Ea,vcos<p, q = Hx,vcos(p, (11)

где E\iV, - ^-компоненты E\, Яд. Отметим, что потенциалы р и как и вводимые ниже потенциалы U и V для решения неосеспмметричной задачи, удовлетворяют скалярному уравнению Гельмгольца.

Другие компоненты полей Еа,На выражаются через азимутальные составляющие EaiV, Ha,v из уравнений Максвелла.

Для определения неосесимметричных частей полей вводится потенциал, равный 2-компоненту вектора Герца U = Пг, и потенциал Дебая V = Пг/г:

a) для ТЕ-моды

BN = Vx ((Jl + Vrj;

b) для ТМ-моды

EN = Vx(lJiz + Vr),

Заметим, что потенциалы U и V используются для решения задачи рассеяния света бесконечным цилиндром и шаром (теория Ми) соответственно.

Далее находятся решения скалярных уравнений Гельмгольца, соответствующих уравнениям (1)—(2), которые удовлетворяют граничным условиям (4)-(6), или решения интегрального уравнения (8) в зависимости от выбранного метода решения.

Во второй главе развиваются методы SVM, ЕВСМ и РММ при использовании сферического базиса. Приводятся сведения о сферических координатах и записи дифференциальных операторов в них. Детально рассматривается волновое уравнение, записанное в этих координатах, и его общее решение, включающее сферические функции Бесселя и присоединенные функции Лежандра. Обсуждаются некоторые важные свойства этих функций.

Дается разложение по сферическим функциям скалярных потенциалов падающего, рассеянного и внутреннего полей, используемых в данном подходе вместо самих полей. Приводятся выражения для различных оптических характеристик рассеивателей с использованием коэффициентов разложения потенциала рассеянного поля.

Эти коэффициенты определяются из подстановки разложений в граничные условия, записанные в сферических координатах. При этом различаются осесимметричная и неосесимметричная задачи -определения потенциалов соответствующих частей полей (разделение полей в используемом подходе описано в главе 1).

Представлены системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения потенциалов, возникающие в каждом из трех рассматриваемых методов. Приведены выражения для элементов этих систем - поверхностных интегралов.

Показано, что в частном случае сферически симметричных рассеивателей для всех трех методов получается аналитическое решение, близкое к классическому решению Густава Ми. Обсуждаются результаты теоретических исследований, а также приводятся и анализируются результаты численных расчетов. Проводится сравнение областей применимости методов SVM, ЕВСМ и РММ, использующих сферический базис.

Заметим, что для осесимметричной задачи потенциалы ряд могут быть представлены разложениями по сферическим функциям с индексом т — 1, поскольку зависимость этих потенциалов от азимутального угла <р задается в явном виде cos <р

/к-«-«

где кг), Н^\ког) - сферические функции Бесселя и функции Ганкеля первого рода, соответственно, Р["(созО) - присоединенные функции Лежандра 1-го рода, Р/"(соз в) = у ^ Р/'^соэ 0) - соответствующие нормированные функции.

Поскольку усреднение неосесимметричных частей полей по <р должно давать нуль, потенциалы V, V раскладываются следующим образом:

Для падающего излучения разложения потенциалов имеют аналогичный вид.

В методе БУМ из граничных условий (4)—(5) для потенциала 5 граничные условия могут быть записаны следующим образом:

д1п ^са _ 1

~ (1 - ^ (1 -М)лв' (18>

где г'в = п - нормаль к поверхности частицы.

Интегральная форма граничных условий, применяемая в случае БВСМ, для ц может быть получена, если записать уравнение (8) в терминах скалярных потенциалов и в сферических координатах, при этом следует использовать граничные условия (18)

»¿у),_л_л 1 (19)

/{

ятЧП

дп

п'

е дп ™уУиМ«Й

Граничные условия для потенциала р аналогичны - следует лишь заменить д и е на р и /х соответственно.

В рамках метода РММ следует рассматривать невязку при выполнении граничных условий, например,

5 = \ды + д*™-ды\2+

дп V г 6 14

2

Обычно выполнение граничных условий и, соответственно, невязку (20) рассматривают как сумму невязок 6 в М точках на поверхности рассеивателя. Однако, лучше рассматривать интегральную невязку и определять неизвестные коэффициенты разложений из требования ее минимума

A(fciasca, ffnt) = f 5 sin 6d9 —> min. (21)

Jo

При численном интегрировании может быть использован метод Гаусса. Такой подход эквивалентен стандартному методу РММ, когда точки выбираются на образующих (ip = const) в определенном смысле оптимальным образом, по крайней мере в тех случаях, когда нет обоснованной стратегии наилучшего выбора точек сшивки на поверхности частицы.

Вводятся функции

<&(М) - М*г)РГ(сOS0),

г4,(М) = krjl(kr)Pr(cos0) + ^sineji(kr) Jf"(cos6), (22)

4а(Ь V = % «) + (; -1) (i - aUk, ey,

матричные элементы (остальные определяются аналогично)

7Г

<,„(*) = J а>ы{к, в)Р?( cosd) si n0dB, (23)

о

три вектора Ьт = Ь5Са = {fig*}^, = и матрицы

= Bin{k) = {<,„(*)}£=»., <&(*) =

а также (*) = «,n(*)}8U»> S* (*) = «Jn(fc)}£=m, СтФ) ~ {C,n ¡п(^)}ь=т- Верхние индексы указывают на то, какая радиальная функция используется в соответствующих соотношениях.

В результате получим для определения неизвестных коэффициентов бесконечную систему линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ), которая в матричной форме имеет вид

( ап 0112 )(^t) = ( 001 ) Ъ™ (24)

V a2l Q22 J \ bmt J V "02 у

где матричные блоки в свою очередь представляются через ранее введенные матрицы. При использовании БУМ имеем

(25)

а21 = '{В\{кi)f, «22 = - (Cj[(t4)У, «ох - - (¿?№))Т,

где символ Т означает транспонирование матриц. Для ЕВСМ получим следующую систему уравнений:

Bsbml = -Ьш, BRbmt = bsca, (26)

где

Bs = г S?(*i) (AM)" ~ A\(h) , (27)

вп = -» Bicfcx) (а» (fc2))T - ^i(fci) (ci(fc2))Tj.

Система (26) может быть записана аналогично системе (24)

где I — - единичная матрица.

Отметим, что системы (24) и (26) или (28) эквивалентны, т.е. могут быть получены одна из другой.

Стандартная процедура метода наименьших квадратов приводит к системе (24), при этом матричные блоки представляются следующим образом:

an = {A\(h)y {A\(ki)f + {В\(кг)У {B^hf, (29)

где звездочка означает комплексное сопряжение, а остальные пять матриц имеют аналогичный вид.

Замечательный результат, полученный в этой главе, заключается в том, что матрицы БСЛАУ для всех трех методов (SVM, ЕВСМ, РММ) зависят от одних и тех же матриц y^(fci), A{(fci), Л\(&2), B\(ki), B{(ki), C{(k2).

В третей главе развиваются методы SVM, ЕВСМ и РММ при использовании сфероидального базиса. Приводятся необходимые данные о сфероидальных координатах и о записи дифференциальных операторов

в них. Детально рассматриваются волновое уравнение, записанное в этих координатах, и его общее решение, включающее радиальные и угловые сфероидальные функции. Обсуждаются некоторые важные свойства этих функций.

Описываются скалярные потенциалы падающего, рассеянного и внутреннего полей, используемые в данном подходе, и дается их разложение по сфероидальным функциям. Приводятся выражения для различных оптических характеристик рассеивателей с использованием коэффициентов разложения потенциала рассеянного поля.

Коэффициенты определяются из подстановки разложений в граничные условия, записанные в сфероидальных координатах. Осесимметричная и неосесимметричная задачи рассматриваются независимо.

Получены системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения потенциалов, возникающие в каждом-из трех рассматриваемых методов. Приведены выражения для элементов этих систем - поверхностных интегралов.

Показано, что в частном случае сфероидальных рассеивателей для БУМ и ЕВСМ получаются хорошо изученные решения, построенные ранее В.Г.Фарафоновым, а для сферических рассеивателей - решение, приведенное в главе 2.

Далее приводятся и обсуждаются результаты численных расчетов, проведенных для сравнения областей применимости и вычислительной эффективности разных методов (ЭУМ, ЕВСМ, РММ), использующих один (сфероидальный) базис, и методов, применяющих разные базисы (см., например, рис. 1). Отдельно рассматривается случай сильно вытянутых рассеивателей, который эффективно решается с помощью созданной программы, основанной на методе ЕВСМ со сфероидальным базисом (см. рис. 2).

В этой главе вводится сфероидальная система координат (С, т], ф) таким образом, чтобы ее связь с декартовой системой (х,у,г), ось г которой совпадает с осью симметрии частицы, можно было задать соотношениями

* = ^2-Я(1-Л]1/2соз^ у = ¿[(^-ла-т?2)]1'2^, (зо)

где с1 - фокусное расстояние сфероидальных координатных поверхностей.

30

N

Рис. 1: Время решения проблемы I в зависимость от числа членов, удерживаемых в разложениях полей, N. Использован метод БУМ со сферическим (¿а) и сфероидальным (*арь) базисом (различная нормировка 4). Случай сплюснутого сфероида с отношением полуосей а/Ь = 2, дифракционный параметр ху — 1, показатель преломления т — 1.5, угол между волновым вектором падающего излучения и осью симметрии частицы а = 10°.

Рис. 2: Величина 8 = |Сех1 -Сзса|/(С(!Х1+Сес1), характеризующая точность вычислений, для непоглощающих сплюснутых сфероидов с отношением полуосей а/Ь = 2, 4, 8,..., 128 в зависимости от числа N слагаемых, удерживаемых в разложениях потепциалов. Остальные параметры т = 1.5, ху = 1, а = 45°. Полужирпые линии - метод ЕВСМ при использовании сфероидальных функций (эЕВСМ), нормальные линии - тоже, но для сферических функций (ЕВСМ).

Параметр / = 1 для вытянутых сфероидальных координат, при этом £ G [1, оо), г] £ [—1,1] и <р G [0, 27г), и / = — 1 для сплюснутых сфероидальных координат, при этом £ G [0, оо). Координатными поверхностями в сфероидальной системе координат являются вытянутые или сплюснутые софокусные сфероиды и двуполостные или однополостные гиперболоиды соответственно.

Уравнение поверхности S осесимметричной частицы в выбранных сфероидальных координатах запишется как

е=«»?). (31)

при этом частицы должны быть звездными, т.е. радиус-вектор, проведенный в любую точку поверхности не пересекает се дважды.

Для вытянутой сфероидальной системы координат используются разложения

jv-iSCcl ^ sca

Jca = £ R^iObOSldCbV) COSр, (32)

4 1=1 1 „int °° „int , .

р - V^ ai DWf„_ c\ (33)

qÜA

= £ Jat 1 l(C2>0Sll(Cbrl) C03(P< 1=1 1

где а = т]) = Ыт1(сг) Бт1(с1,г]) - нормированные вытянутые

угловые сфероидальные функции £^¡(^,77) , - вытянутые

радиальные сфероидальные функции первого и третьего рода. При выборе рода радиальных сфероидальных функций учитывается конечность внутреннего излучения в области Б и условие излучения на бесконечности для рассеянного излучения.

Используя граничные условия в дифференциальной форме (4)-(5), записываются соответствующие граничные условия на поверхности частицы для потенциала д следующим образом:

„int

gin + gsca _ q

d{qin + gsca) 1 dqint f 1 Л (Ji + vQj

+ --1 VV ,s"/2 ды, (34)

дп £ дп Vе ) к^Щ + ^Щ .

где г е 5, ? - производная функции (31) по г).

Интегральная форма граничных условий для q получается, если записать уравнение (8) в терминах скалярных потенциалов в

сфероидальных координатах и использовать соотношения (34)

1 2ir

G

у у I в» ^ ön u )

+ = (35)

Граничные условия для потенциала р аналогичны - следует лишь заменить q и е на р и ß соответственно.

В рамках метода РММ, как и выше, рассматривается интегральная невязка при выполнении граничных условий в дифференциальной форме. Введем функции

amiM) = SmlM),

b>Jc,v) = с ((е2 - /)й^'(с, 0 ^(с, „) -$(1- V2) о ^(с,г/)) ,

<L(c, ч) = -£ ч) + 0 - l) (£ + V О <&,(с, ч); (36)

матричные элементы (остальные определяются аналогично)

1

Am,ln(cbcl) = J aJml(cbV)Smn(ci,v) dv, -1

и матрицы л^(с2.с1) = {^m,,„(c2,ci)}^=m, Л*(с2,с1) = {^iIn(c2,ci)}~=m, при этом остальные матрицы вводятся аналогично матрицам А.

Для определения неизвестных коэффициентов разложений (32)-(33) после подстановки их в граничные условия получаются БСЛАУ. В данном случае эти системы имеют тот же вид, что и БСЛАУ, приведенные выше для сферического базиса с точностью до замены матриц Л^^),^^^) и.т.д., зависящих от волновых сферических функций, на матрицы А\{с2-с\), Ат{°2)с0 и т-Д-> зависящие от волновых сфероидальных функций.

Численные расчеты в этой главе проводятся как для сфероидов, так и для обобщенных "сфероидальных" чебышевских частиц, которые имеют уравнение поверхности

£ (rj) — £о [1 + е cos (n arccos rj)]. (37)

и представляют собой возмущенный сфероид с £ =

Если решения, основанные на сферическом и сфероидальном базисах, используют одно и то же число членов разложений /V, первое решение безусловно намного быстрее второго (¡¡¡(И) 4рь(Лг))- Однако для рассеивателей (в частности, сфероидов) с высокой степенью асферичности обычно требуется учитывать очень много членов разложений полей по сферическим функциям (если подобное решение вообще дает требуемую или даже какую-либо разумную точность в этих случаях) и только небольшое число членов разложений по сфероидальным функциям. В этом случае может вполне быть ¿5рЬ ~ 4В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы, которые можно резюмировать следующим образом:

1. Разработан подход, объединяющий принципиально разные методы БУМ, ЕВСМ и РММ, широко применяемые для решения задачи рассеяния света несферическими частицами, с использованием разложения полей по сферическим волновым функциям. Найдено, что системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффиициентов разложения рассеянного поля, возникающие в каждом из упомянутых методов, включают одни и те же 14 поверхностных интегралов. Подобная тесная связь методов показана впервые, ранее они рассматривались всегда независимо.

2. Подход обобщен на случай использования сфероидального базиса при разложении полей. Применение такого базиса совместно с разделением полей на две части со специфическими свойствами и выбором соответствующих скалярных потенциалов для каждой из частей позволило получить высоко эффективные решения задачи рассеяния света несферическими частицами с большим отношением наименьшего размера к наибольшему.

3. Проведенное сравнение областей применимости методов БУМ, ЕВСМ и РММ показало, что они существенно дополняют друг друга. Поэтому предложенный подход к данным методам позволяет создать эффективный алгоритм, совмещающий преимущества каждого из методов. Отмечены также достоинства и недостатки применения методов при использовании разных базисов.

4. Показано, что разработанный метод ЕВСМ со сфероидальным базисом позволяет решать проблему рассеяния света для очень сильно вытянутых/сплюснутых частиц с неровной поверхностью. Для таких частиц, как известно, другие методы не позволяют получать сколько-

нибудь надежные результаты.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано восемь печатных работ, в том числе три статьи:

1. Фарафонов В.Г., Ильин В.Б., Винокуров А.А., Фарафонов Е.В. Единый подход к решению проблемы рассеяния света несферическими частицами с использованием волновых сферических функций // Успехи соврем, радиоэл. 2008. N G. С. 11-28.

2. Ильин В.В., Фарафонов В.Г., Фарафонов Е.В. Метод расширенных граничных условий с разложением полей по сфероидальным функциям // Опт. спектр. 2007. Т. 102, N 2. С. 316-328.

3. Farafonov V.G., Farafonov E.V., Il'in V.B., Vinokurov A.A. Unified approach to the methods using single field expansions // Peer-Reviewed Abstracts of the 11th Conference on Electromagnetic and Light Scattering (ELS-XI). -London, UK: 2008. P. 13-17.

и тезисы докладов:

1. Фарафонов В.Г., Винокуров А.А., Фарафонов Е.В. Рассеяние света несферическими частицами: методы, использующие разложения полей по волновым функциям // Тезисы докладов Пятой международной конференции "Естественные и антропогенные аэрозоли". С-Петербург, 2226 мая 2006 г.. Изд-во СПбГУ, С.76. 2006.

2. Фарафонов В.Г., Фарафонов Е.В. Метод расширенных граничных условий со сфероидальным базисом // Тезисы докладов Пятой международной конференции "Естественные и антропогенные аэрозоли". С-Петсрбург, 22-26 мая 2006 г.. Изд-во СПбГУ, С.77 . 2006.

3. Farafonov E.V. A New Approach Using Field Expansions in Terms of Spheroidal Wave Functions to Solve Light Scattering Problems // Abstracts of the Days on Diffraction Conference (DD'2008). - St.Petersburg, Russia: Universitas Petropolitana, p.100-101, 2008.

4. Vinokurov A.A., Farafonov E.V. Solution of light scattering problem for layered nonspherical particles // Abstracts of the Days on Diffraction Conference (DD'2008). - St.Petersburg, Russia: Universitas Petropolitana, p.46, 2008.

5. Фарафонов В.Г., Фарафонов Е.В. Унифицированный поход к решению проблемы рассеяния света несферическими частицами с использованием сфероидальных функций // Тезисы докладов Шестой международной конференции "Естественные и антропогенные аэрозоли". С-Петербург, 7-10 октября 2008 г.. Изд-во СПбГУ, С.69-70. 2008.

Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Тираж 100 экз. Заказ № 591.

Рсдакционно-издательский центр ГУАП 190000, г. Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67.

Введение

I Проблема рассеяния света несферическими частицами и ее решение

1 Уравнения Максвелла.

2 Векторы Герца и скалярные потенциалы.

3 Рассеяние света изолированной частицей.

4 Методы решения проблемы с использованием разложения полей по волновым функциям.

Начнем с краткого обоснования актуальности работы, формулировки ее целей, научной новизны и практической ценности, а также описания основных полученных результатов и их апробации. Затем кратко изложим содержание работы.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Дистанционное исследование мелко дисперсных сред играет важную роль в физике атмосферы, экологии, биофизике, астрофизике и других дисциплинах. При этом все актуальнее становятся оптические методы, в которых данные различных измерений анализируются путем их сопоставления с результатами расчетов для различных ансамблей несферических частиц. Достоинствами таких методов являются их универсальность, относительно низкая стоимость, высокая эффективность, слабое воздействие на объекты и т.д. Серьезное препятствие в применении оптических методов для изучения дисперсных сред создается в основном недостаточным развитием теории рассеяния света несферическими частицами. Несмотря на гигантский скачок в производительности вычислительных систем, до сих пор нет эффективных алгоритмов для расчета оптических свойств сильно вытянутых/сплюснутых частиц, нет достаточно быстрых способов определения этих свойств для несферических рассеивателей произвольной формы.

Наиболее перспективным подходом решения этих проблем является развитие методов теории рассеяния света, в которых используется разложение полей по волновым функциям. В этом случае удается наилучшим образом учесть геометрию рассеяния и, как следствие, получаются наиболее точные и быстрые алгоритмы решения задачи рассеяния света. Подобными методами являются метод разделения переменных (Séparation of Variables Method, SVM), метод расширенных граничных условий (Extended Boundary Condition Method, EBCM) и метод поточечной сшивки (Point-Matching Method, PMM). Хотя методы основываются на одинаковом разложении полей по волновым функциям, они используют принципиально разные формулировки задачи рассеяния света несферическими частицами и, как следствие, развивались и рассматривались всегда независимо. Между тем эти методы должны существенно дополнять друг друга. Другим неисследованным в достаточной степени вопросом является эффективность применения разных базисов в рамках данных методов. До сих пор методы в основном использовали сферический базис, причем метод SVM применялся почти исключительно к рассеивателям в виде шара, а метод РММ - после нескольких первых работ был на долгое время незаслуженно забыт. Сфероидальный базис использовался исключительно в рамках метода SVM для рассмотрения рассеяния сфероидами, которые являются достаточно упрощенной моделью реальных несферических частиц.

Таким образом, дальнейшее развитие и исследование наиболее эффективных (быстрых и точных) методов теории рассеяния света - методов SVM, ЕВСМ и РММ являются актуальными задачами, решение которых необходимо для расширения возможностей оптического зондирования различных сред в научных исследованиях и промышленных приложениях. Важное значение имеет, в частности, определение областей применимости данных методов, особенно при использовании разных базисов, и разработка единого теоретического подхода к методам, поскольку это необходимо для их комбинирования, что представляется сегодня крайне перспективным.

Целью работы является развитие в рамках единого подхода трех наиболее известных методов (SVM, ЕВСМ и РММ) решения задачи рассеяния света несферическими частицами, а также численно-аналитическое исследование областей их эффективного применения.

Задачи работы. 1. Решение задачи рассеяния света несферическими (осесимметричными) частицами методами SVM, ЕВСМ и РММ с использованием волновых сферических функций в рамках единого подхода.

2. Обобщение единого подхода к решению задачи рассеяния света несферическими частицами на случай применения сфероидального базиса, когда поля (потенциалы) представляются в виде разложений по волновым сфероидальным функциям.

3. Численное и аналитическое исследование построенных решений, включающее анализ областей применимости данных методов в зависимости от выбранного базиса.

Положения, выносимые на защиту. 1. Подход, объединяющий принципиально разные методы БУМ, ЕВСМ и РММ, широко применяемые для решения задачи рассеяния света несферическими частицами, с использованием разложения полей по сферическим волновым функциям.

2. Обобщение разработанного подхода для сферического базиса на случай сфероидального базиса, когда поля (потенциалы) представляются в виде рядов по сфероидальным волновым функциям.

3. Анализ областей применимости методов БУМ, ЕВСМ и РММ со сферическим и сфероидальным базисами, который показал, что они существенно дополняют друг друга.

Научная новизна. Предлагается новый подход к решению задачи рассеяния электромагнитных волн осесимметричными телами, объединяющий методы ЕВСМ, БУМ и РММ, которые до сих пор рассматривались раздельно. Основные идеи подхода сохраняются при переходе от одного базиса к другому, в частности, когда базисными вместо сферических выбираются сфероидальные функции.

Проводится уникальное одновременное рассмотрение трех методов с исследованием их областей применимости. Впервые версия ЕВСМ со сфероидальным базисом доведена до численной реализации и применена для чебышевских сфероидальных частиц, которые ранее не рассматривались по причине невозможности получения достоверных численных результатов.

Научная и практическая значимость работы. Особую практическую и научную ценность имеет численно-аналитическое исследование с единых позиций областей применимости основных методов, использующих разложения полей по волновым функциям. Эти результаты дают возможность обоснованно применять данные методы именно в тех случаях, когда они наиболее эффективны.

Практический интерес представляет комплекс программ, которые реализуют построенные алгоритмы расчета характеристик рассеянного излучения (сечения ослабления и рассеяния, радарные сечения рассеяния, а также диаграммы направленности) для осесимметричных тел различной формы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении описывается актуальность темы диссертации, цели работы, научная новизна, научная и практическая ценность, результаты, выносимые на защиту, и их апробация, а также кратко изложено содержание работы.

В первой главе приводятся уравнения Максвелла и материальные уравнения, которые описывают поведение электромагнитного поля в любой среде. Далее вводится понятие скалярных потенциалов, формулируются векторное уравнение Гельмгольца для полей и соответствующее скалярное уравнение Гельмгольца для их потенциалов.

Проблема рассеяния света формулируется в дифференциальной (используемой в методах БУМ и РММ) и интегральной (применяемой в методе ЕВСМ) формах. Описывается идея решения проблемы указанными методами и делается ряд важных замечаний о неверно сложившейся терминологии, связанной с данными методами. Дается обзор работ, посвященных методам БУМ, ЕВСМ и РММ, при этом отмечены пионерские работы, а также ключевые работы и недавние обзоры. Даны ссылки на недавние работы, сделанные после появления обзоров, а также на интернет-страницы, где можно найти компьютерные программы расчета рассеяния света, основанные на данных теоретических методах.

Наконец, излагаются основные детали оригинального подхода к решению задачи рассеяния света несферическими (осесимметричными) частицами, который наиболее полно использует геометрию рассеяния в данном случае. Кратко обсуждаются достоинства и недостатки подхода.

Во второй главе развиваются методы ЭУМ, ЕВСМ и РММ при использовании сферического базиса. Приводятся сведения о сферических координатах и записи дифференциальных операторов в них. Детально рассматривается волновое уравнение, записанное в этих координатах, и его общее решение, включающее сферические функции Бесселя и присоединенные функции Лежандра. Обсуждаются некоторые важные свойства этих функций.

Дается разложение по сферическим функциям скалярных потенциалов падающего, рассеянного и внутреннего полей, используемых в данном подходе вместо самих полей. Приводятся выражения для различных оптических характеристик рассеивателей с использованием коэффициентов разложения потенциала рассеянного поля.

Коэффициенты этого разложения определяются из подстановки в граничные условия, записанные в сферических координатах. При этом различаются осесимметричная и неосесимметричная задачи - определения потенциалов соответствующих частей полей (разделение полей в используемом подходе описано в главе I).

Представлены системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения потенциалов, возникающие в каждом из трех рассматриваемых методов. Приведены выражения для элементов этих систем - поверхностных интегралов.

Показано, что в частном случае сферически симметричных рассеивателей для всех трех методов получается аналитическое решение, близкое к решению Густава Ми (1908). Резюмируются результаты теоретических исследований, приводятся и обсуждаются результаты численных расчетов. Проводится сравнение областей применимости методов БУМ, ЕВСМ и РММ, использующих сферический базис.

В третей главе развиваются методы БУМ, ЕВСМ и РММ при использовании сфероидального базиса. Приводятся необходимые данные о сфероидальных координатах и о записи дифференциальных операторов в них. Детально рассматриваются волновое уравнение, записанное в этих координатах, и его общее решение, включающее радиальные и угловые сфероидальные функции. Обсуждаются некоторые важные свойства этих функций.

Описываются скалярные потенциалы падающего, рассеянного и внутреннего полей, используемые в этом подходе, и дается их разложение по сфероидальным функциям. Приводятся выражения для различных оптических характеристик рассеивателей с использованием коэффициентов разложения потенциалов рассеянного поля.

Коэффициенты определяются из подстановки разложений в граничные условия, записанные в сфероидальных координатах. При этом мы рассматриваем осесимметричную и неосесимметричную задачи - определения потенциалов соответствующих частей полей (см. о разделении полей в главе I).

Написаны системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения потенциалов, возникающие в каждом из трех рассматриваемых методов. Приведены выражения для элементов этих систем - поверхностных интегралов.

Показано, что в частном случае сфероидальных рассеивателей для SVM и ЕВСМ получается хорошо изученное решение (см. подробнее Фарафонов (1983) и Фарафонов (2001)), а для сферических рассеивателей - решение Ми (1908).

Далее приводятся и обсуждаются результаты численных расчетов, проведенных для сравнения областей применимости и вычислительной эффективности методов SVM, ЕВСМ и РММ, использующих сфероидальный базис. Отдельно рассматривается случай (очень) сильно вытянутых рассеивателей, который эффективно решается с помощью созданной программы, основанной на методе ЕВСМ со сфероидальным базисом.

В Заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

Реализация результатов. Результаты исследований по теме диссертации были использованы при работе над проектом "Разработка новой модели космической пыли", поддержанном грантом РФФИ 07-02-00831, а также госбюджетной НИР кафедры прикладной математики ГУАП. Часть исследований, представленных в диссертации, выполнена при поддержке гранта РНП 2.1.1.2852. Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс по кафедре прикладной математики ГУАП.

Апробация диссертации. Основные результаты, полученпые в диссертации, докладывались на двух международных конференциях "Естественные и антропогенные аэрозоли" (Санкт-Петербург, 2006 и 2008 г.), международном семинаре "Days on Diffraction" (Санкт-Петербург, 2008 г.), 11-й международной конференции Electromagnetic and Light Scattering (Лондон, 2008 г.), а также обсуждались на научных семинарах Санкт-Петербургского отделения

Математического института РАН им. А.В. Стеклова и кафедры прикладной математики ГУАП.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано восемь печатных работ, в том числе три статьи:

1. Ильин В.В., Фарафонов В.Г., Винокуров А.А., Фарафонов Е.В. Единый подход к решению проблемы рассеяния света несферическими частицами с использованием волновых сферических функций // Успехи соврем, радиоэл. 2008. N 6. С. 11-28.

2. Фарафонов В.Г., Ильин В.В., Фарафонов Е.В. Метод расширенных граничных условий с разложением полей по сфероидальным функциям // Опт. спектр. 2007. Т. 102, N 2. С. 316-328.

3. Farafonov V.G., Farafonov E.V., И'in V.B., Vinokurov А.А. Unified approach to the methods using single field expansions // Peer-Reviewed Abstracts of the 11th Conference on Electromagnetic and Light Scattering (ELS-XI). - London, UK: 2008. P. 13-17. и тезисы докладов:

1. Фарафонов В.Г., Винокуров А.А., Фарафонов Е.В. Рассеяние света несферическими частицами: методы, использующие разложения полей по волновым функциям // Тезисы докладов Пятой международной конференции "Естественные и антропогенные аэрозоли". С-Петербург, 22-26 мая 2006 г. Изд-во СПбГУ, С. 76. 2006.

2. Фарафонов В.Г., Фарафонов Е.В. Метод расширенных граничных условий со сфероидальным базисом // Тезисы докладов Пятой международной конференции "Естественные и антропогенные аэрозоли". С-Петербург, 22-26 мая 2006 г. Изд-во СПбГУ, С. 77. 2006.

3. Farafonov E.V. A New Approach Using Field Expansions in Terms of Spheroidal Wave Functions to Solve Light Scattering Problems // Abstracts of the Days on Diffraction Conference (DD'2008). - St.Petersburg, Russia: Universitas Petropolitana, p.100-101, 2008.

4. Vinokurov A.A., Farafonov E.V. Solution of light scattering problem for layered nonspherical particles // Abstracts of the Days on Diffraction Conference (DD'2008). - St.Petersburg, Russia: Universitas Petropolitana, p.16, 2008.

5. Фарафонов В.Г., Фарафонов Е.В. Унифицированный поход к решению проблемы рассеяния света несферическими частицами с использованием сфероидальных функций // Тезисы докладов Шестой международной конференции "Естественные и антропогенные аэрозоли". С-Петербург, 7-10 октября 2008 г. Изд-во СПбГУ, С.69-70, 2008.

Заключение

Результаты диссертационной работы можно резюмировать следующим образом:

1. Разработан подход, объединяющий принципиально разные методы БУМ, ЕВСМ и РММ, широко применяемые для решения задачи рассеяния света несферическими частицами, с использованием разложения полей по сферическим волновым функциям. Найдено, что системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффиициентов разложения рассеянного поля, возникающие в каждом из упомянутых методов, включают одни и те же 14 поверхностных интегралов. Подобная тесная связь методов показана впервые, ранее они рассматривались всегда независимо.

2. Подход обобщен на случай использования сфероидального базиса при разложении полей. Применение такого базиса совместно с разделением полей на две части со специфическими свойствами и выбором соответствующих скалярных потенциалов для каждой из частей позволило получить высоко эффективные решения задачи рассеяния света несферическими частицами с большим отношением наименьшего размера к наибольшему.

3. Проведенное сравнение областей применимости методов БУМ, ЕВСМ и РММ показало, что они существенно дополняют друг друга. Поэтому предложенный подход к данным методам позволяет создать эффективный алгоритм, совмещающий преимущества каждого из методов. Отмечены также достоинства и недостатки применения методов при использовании разных базисов.

4. Показано, что разработанный подход со сфероидальным базисом позволяет решать задачи рассеяния света для очень сильно вытянутых/сплюснутых частиц с неровной поверхностью. Для таких частиц, как известно, другие методы не позволяют получать сколько-нибудь надежные результаты.

1. Ал-Риззо, Транквилла (Н.М. Al-Rizzo, J.M. Tranquilla), Electromagnetic scattering from dielectrically coated axisymmetric objects using the generalized point-matching technique II. Numerical results and comparison, J. Сотр. Phys. 119, 356 (1995).

2. Апельцин В.Ф., Кюркчан А.Г., Аналитические свойства волновых полей (М.: МГУ, 1990).

3. Асано, Ямамото (S. Asano, G. Yamamoto), Light scattering by spheroidal particle, Appl. Opt. 14, 29 (1975).

4. Бабенко (V.A. Babenko), <Bibliography on Light Scattering, (Minsk: Stepanov Inst. Phys., 2004) http://www.astro.spbu.ru/DOP/4-BIBL.

5. Бабенко и др. (V.A. Babenko, L.G. Astafyeva, V.N. Kuz'min), Electromagnetic Scattering in Disperse Media: Inhomogeneous and Anisotropic Particles (London: Springer-Praxis, 2003).

6. Барбер, Йе (P.W. Barber, C. Yeh), Scattering of electromagnetic waves by arbitrarily shaped dielectric bodies, Appl. Opt. 14, 2864 (1975).

7. Барбер, Хилл (P.W. Barber, S.C. Hill), Light Scattering by Particles: Computational Methods (Singapore: World Scientific, 1990).

8. Бартон (J.P. Barton), Internal and near-surface electromagnetic fields for an infinite cylinder illuminated by an arbitrary focused beam, J. Opt. Soc. Am. A 16, 160 (1999).

9. Бартон (J.P. Barton), Electromagnetic fields for a spheroidal particle with an arbitrary embedded sources, J. Opt. Soc. Am. A 17, 458 (2000).

10. Бартон (J.P. Barton), Internal, near-surface and scattered electromagnetic fields for a layered spheroid with arbitrary illumination, Appl. Opt. 40, 3598 (2001).

11. Бартон (J.P. Barton), Electromagnetic field calculations for an irregularly shaped, near-spheroidal particle with arbitrary illumination, J. Opt. Soc. Am. A 19, 2429 (2002).

12. Бойд (J.P. Boyd), Large mode number eigenvalues of the prolate spheroidal differential equation, Appl. Math. Сотр. 145, 881 (2003).

13. Боргезе и др. (F. Borghese, P. Denti, R. Saija), Scattering from Model Nonspherical Particles (Berlin: Springer, 2003).

14. Борен, Хаффмен (С. Bohren, D. Huffman), Поглощение и рассеяние света малыми частицами (М.: Мир, 1986).

15. Браун, Стрингфилд (D.J. Brown, R.M. Stringfield), Iterative methods applied to matrix equations found in calculating spheroidal functions, J. Сотр. Phys. 159, 329 (2000).

16. Бэйтс и др. (R.H.T. Bates, et al.), An overview of point matching, Radio Electr. Eng. 43, 193 (1973).

17. Бэрроуз и др. (B.E. Barrowes, К. O'Neill, T.M. Grzegorczyk, J.A. Kong), On the asymptotic expansion of the spheroidal wave functions and its eigenvalues for complex size parameter, Studies Appl. Math. 113, 271 (2004).

18. Вайт (J.R. Wait), Electromagnetic scattering from a radially inhomogeneous sphere, Can. J. Phys. 33, 189 (1955).

19. Варадан, Варадан (V.K. Varadan, V.V. Varadan), Acoustic, Electromagnetic and Elastic Wave Scattering Focus on the T-Matrix Approach (New York: Perg-amon Press, 1980).

20. Вощинников, Фарафонов (N.V. Voshchinnikov, V.G. Farafonov), Optical properties of spheroidal particles, Astrophys. Sp. Sci. 204, 19 (1993).

21. Вощинников H.B., Фарафонов В.Г., Вычисление вытянутых радиальных сфероидальных функций с использованием разложений Яффе, Ж. Выч. Мат. Мат. Физ. 43, 1299 (2003).

22. Вриедт (Th. Wriedt), Review of elastic scattering theories, Part. Part. Syst. Charact. 15, 67 (1998).

23. Вриедт (Th. Wriedt), Сайт http://www.T-matrix.de (2007).

24. Scattering Analysis (San Diego: Academic Press, 2000). Дойку, Вриедт (A. Doicu, Th. Wriedt), T-matrix method for electromagnetic scattering from scatterers with complex structure, J. Quant. Spectr. Rad. Transf. 70,663 (2001).

25. Дэвис (J.В. Davies), A least-squares boundary residual method for the numerical solution of scattering problems, IEEE Trans. Microw. Theory Techn. MTT-21, 99 (1973).

26. Еремина, Вриедт (E. Eremina, Th. Wriedt), Review of light scattering by fiber particles with high aspect ratio, Rec. Res. Dev. Opt. 3, 297 (2003).

27. Еремина и др. (E. Eremina, Yu. Eremin, Th. Wriedt), Analysis of light scattering by erythrocyte based on discrete source method, Opt. Comm. 24, 15 (2005).

28. Икуно, Ясуура (H. Ikuno, К. Yasuura), Improved point-matching method with application to scattering from a periodic surface, IEEE Trans. Anten. Propag. AP-21, 657 (1973).

29. Ильин В.В., Лоскутов А.А., Фарафонов В.Г. Модификация и исследование метода Т-матриц при рассеянии плоской волны абсолютно проводящим осесимметричным телом. Ж. Выч. Матем. Матем. Физ. 44, 350 (2004).

30. Ильин В.В., Фарафонов В.Г., Фарафонов Е.В. Метод расширенных граничных условий с разложением полей по сфероидальным функциям. Опт. Спектр. 102, 316 (2007).

31. Канерт (F.M. Kahnert), Surface-integral formulation for electromagnetic scattering in spheroidal coordinates, J. Quant. Spectr. Rad. Transf. 77, 61 (2003a).

32. Канерт (F.M. Kahnert), Numerical methods in electromagnetic scattering theory, J. Quant. Spectr. Rad. Transf. 79-80, 775 (2003b).

33. Канерт и др. (F.M. Kahnert, J.J. Stamnes, K. Stamnes), Application of the extended boundary conditions method to homogeneous particles with point group symmetries, Appl. Opt. 40, 3110 (2001b).

34. Керкер (M. Kerker), The Scattering of Light and Other Electromagnetic Radiation (New York: Academic Press, 1969).

35. Коккоракис, Роумелиотис (G.C. Kokkorakis, J.A. Roumeliotis), Power series expansions for spheroidal wave functions with small arguments, J. Сотр. Appl. Math. 139, 95 (2002).

36. Колтон Д., Кресс Р., Методы интегральных уравнений в теории рассеяния (М.: Мир, 1987).

37. Комаров В.И., Пономарев Л.И., Славянов С.Ю., Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции (М.: Наука, 1976).

38. Куинган и др. (W. Qingan, С. Kang, O.Y.Z. Xiang), Discussion of key algorithms for computing scattering cross sections using separate of variables method for spheroids, J. Quant. Spectr. Rad. Transf. 63, 251 (1999).

39. Ли и др. (L.-W. Li, et al.), Computations of spheroidal harmonics with complex arguments: a review with an algorithm, Phys. Rev. E 58, 6792 (1998).

40. Ли и др. (L.-W. Li, X.-K. Kang, M.S. Leong), Spheroidal wave functions in electromagnetic theory (New York: Wiley, 2002).

41. Лоренц (L. Lorenz), Uber die Refractionconstante, Ann. Phys. Chem. 11, 70 (1890).

42. Маковски (D.W. Mackowski), Discrete dipole moment method for calculation of the T matrix for nonspherical particles, J. Opt. Soc. Am. A 19, 881 (2002).

43. Маллин и др. (C.R. Mullin, R. Sandburg, С.О. Velline), A numerical technique for the determination of scattering cross sections of infinite cylinders of arbitrary geometrical cross section, IEEE Trans. Anten. Propag. Ap-13, 141 (1965).

44. Ми (G. Mie), Beiträge zur Optik Trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen, Ann. Phys. 25, 377 (1908).

45. Миллар (R.F. Millar), The Rayleigh hypothesis and a related least-squares solution to scattering problem for periodic surfaces and other scatterers, Radio Sei. 8, 785 (1973).

46. Мищенко и др. (M.I. Mishchenko, et al.), Light Scattering by Nonspherical Particles, San Diego: Academic Press, 2000).

47. Мищенко и др. (M.I. Mishchenko, L.D. Travis, A. Lacis), Scattering, Absorption and Emission of Light by Small Particles (Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2002).

48. Мищенко и др. (M.I. Mishchenko, G. Videen, V.A. Babenko et al.), T-matrix theory of electromagnetic scattering by particles and its applications: a comprehensivereference database, J. Quant. Spectr. Rad. Transf. 88, 357 (2004).

49. Мищенко (M.I. Mishchenko), Far-field approximation in electromagnetic scattering, J. Quant. Spectr. Rad. Transf. 100, 268 (2006).

50. Мищенко и др. (M.I. Mishchenko, G. Videen, V.A. Babenko et al.), T-matrix theory of electromagnetic scattering by particles and its applications: a comprehensive reference database, 2? J. Quant. Spectr. Rad. Transf. 106, 304 (2007).

51. Морено и др. (E. Moreno, et al.), Multiple multipole method with automatic multipole setting applied to the simulation of surface plasmons in metallic nanostructures, J. Opt. Soc. Am. A 19, 101 (2002).

52. Морс, Фешбах (P.M. Morse, H. Feshbach), Методы теоретической физики (M.: ИЛ, 1958).

53. Мороз (A. Moroz), Improvement of Mishchenko's T-matrix code for absorbing particles, Appl. Opt. 44, 3604 (2005).

54. Моррисон и др. (J.A. Morrison, M.-J. Cross, T.S. Chu), Rain-induced differential attenuation and differential phase shift at microwave frequencies, Bell Syst. Tech. J. 52, 599 (1973).

55. Ниеминен и др. (T.A. Nieminen, H. Rubinsztein-Dunlop, N.R. Heckenberg), Calculation of the T-matrix: general consideration and application of the point-matching method, J. Quant. Spectr. Rad. TVansf. 79-80, 1019 (2003).

56. Огучи (Т. Oguchi), Attenuation and phase rotation of radio waves due to rain: calculation at 19.3 and 34.8 GHz, Radio Sei. 8, 31 (1973).

57. Петров, Бабенко (Р.К. Petrov, V.A. Babenko), The variational boundary condition method for solving problems of light scattering by nonspherical particles, J. Quant. Spectr. Rad. Transf. 63, 237 (1999).

58. Пиллер, Мартин (N.B. Piller, O.J.F. Martin), Extension of the generalized multipole technique to three-dimensional anisotropic scatterers, Opt. Lett. 23, 579 (1998).

59. Пресс и др. (W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery), Numerical Recipes in Fortran 77, vol. 1 (Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1992).

60. Релей (D.W. Rayleigh), On the electromagnetic theory of light, Phil. Mag. 12, 81 (1881).

61. Ротер (Т. Rother), Generalization of the separation of variables method for non-spherical scattering of dielectric objects, J. Quant. Spectr. Rad. Transf. 60, 335 (1998).

62. Ротер и др. (Т. Rother, К. Schmidt, S. Havemann), Light scattering on hexagonal ice columns, J. Opt. Soc. Am. A 18, 2512 (2001).

63. Синха, МакФай (B.P. Sinha, R.H. McPhie), Electromagnetic scattering by prolate spheroids for a plane waves with arbitrary polarization and angle of incidence, Radio Sci. 12, 171 (1977).

64. Стрэттон Дж., Теория электромагнетизма (М.: ГИТТЛ, 1948).

65. Уотерман (Р.С. Waterman), Matrix formulation of electromagnetic scattering, Proc. IEEE 53, 805 (1965).

66. Уотерман (Р.С. Waterman), Scattering by dielectric obstacles, Alta. Freq. 38, 348 (1969).

67. Фарафонов В.Г., Диффракция плоской электромагнитной волны диэлектрическим сфероидом, Дифф. Уравн. 19, 1765 (1983).

68. Фарафонов В.Г., Новое рекурсивное решение задачи рассеяния электромагнитного излучения многослойными сфероидальными частицами, Опт. Спектр. 90, 826 (2001).

69. Фарафонов В.Г., О применимости метода Т-матрицы и его модификаций, Опт. Спектр. 92, 748 (2002).

70. Фарафонов В.Г., Ильин В.Б., Рассеяние света диэлектрическими осесимметричными частицами. II, Опт. Спектр. 91, 1021 (2001).

71. Фарафонов В.Г., Ильин В.Б., Рассеяние света осесимметричными частицами: модификация метода поточечной сшивки, Опт. Спектр. 100, 484 (2006а),

72. Фарафонов, Ильин (V.G. Farafonov, V.B. Il'in), Light Scsattering Reviews (Ed. A.A. Kokhanovski, Springer-Praxis, 2006b), p. 125.

73. Фарафонов В.Г., Славянов С.Ю., Диффракция плоской волны абсолютно проводящим сфероидом, Радиотехн. Электрон. 25, 2056 (1980).

74. Фарафонов и др. (V.G. Farafonov, V.B. Il'm, M.S. Prokopjeva), Light scattering by multilayered nonspherical particles: a set of methods, J. Quant. Spectr. Rad. Transf. 79-80, 599 (2003).

75. Фарафонов и др. (V.G. Farafonov, V.B. Il'in, A.A. Vinokurov), On use of the field expansions in terms of spheroidal functions. J. Quant. Spectr. Rad. Trasf. 106, 33 (2007).

76. Фарафонов В.Г., Ильин В.Б., Винокуров А.А., Фарафонов Е.В. Единый подход к решению проблемы рассеяния света несферическими частицами с использованием волновых сферических функций // Успехи соврем, радиоэл. N 6, 11 (2008).

77. Фламмер (С. Flammer), Sheroidal Wave Functions (Stanford: Stanford Univ. Press, 1957).

78. Хан, By (Y. Han, Z. Wu), Scattering of a spheroidal particle illuminated by a Gaussian beam, Appl. Opt. 40, 2501 (2001).

79. Хан и др. (Y. Han, G. Grahan, G. Gousbet), Generalized Lorenz-Mie theory for spheroidal particle with off-axis Gaussian-beam illumination, Appl. Opt. 42, 6621 (2003).

80. Хафнер, Вомхолт (Ch. Hafner, K. Bomholt), The 3D Electrodynamic Wave Simulator, (Chichester: Wiley, 1993).

81. Хлебцов Н.Г., Рассеяние света несферическими частицами и его приложения, Диссерт. . к.ф.-м.н. (Саратов: Саратовский ун-т, 1980).

82. Хлебцов Н.Г., Поглощение и рассеяние света в дисперсных системах: теория и эксперименты Диссерт. . д.ф.-м.н. (Саратов: Саратовский ун-т, 1996).ван де Хюлст Х.К., Рассеяние света малыми частицами (М.: ИЛ, 1961).

83. Цирич, Курей (I.R. Ciric, F.R. Соогау), Separation of variables for electromagnetic scattering by spheroidal particles, Light Scattering by Nonspherical Particles (Ed. M.I. Mishchenko, J.W. Hovenier, L.D. Travis, San Diego: Academic Press, 2000), p. 89.

84. Шмидт и др. (К. Schmidt, Т. Rother, J. Wauer), The equivalence of applying the extended boundary condition the continuity conditions for solving electromagnetic scattering problems, Opt. Commun. 150, 1 (1998).

85. Шмидт и др. (К. Schmidt, J. Wauer, Т. Rother), Application of the separation of variables method to a plane wave scattering on nonaxisymmetric particles, Proc. SPIE 5059, 76 (2003).

86. Шулц и др. (F.M. Schulz, К. Stamnes, J.J. Stamnes), Scattering of electromagnetic waves by spheroidal particles: a novel approach exploiting the T-matrix computed in spheroidal coordinates, Appl. Opt. 37, 7875 (1998).