автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование квазистационарных электромагнитных полей тонких проводящих оболочек на основе интегро-дифференциального уравнения

Кочубей Татьяна Владимировна

Математическое моделирование квазистационарных электромагнитных полей тонких проводящих оболочек на основе интегро-дифференциального уравнения

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 2 МОЛ ?910

Новочеркасск - 2010

004607250

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Южно-Российского

государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института) и в лаборатории энергетики и электротехники Южного научного центра РАН.

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор,

Астахов Владимир Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор,

Сухинов Александр Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент,

Кирпиченкова Наталья Валерьевна

Ведущая организация:

Волгоградский государственный университет (ВолГУ)

Защита состоится 26 августа 2010 г. в 14-20 на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 при Южном федеральном университете, расположенном по адресу: 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский 44, корп. Д, ауд. Д-406.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: 344006 г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан * » /¿¿¿2/^-Ё- 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор технических наук, профессор

Целых А. Н.

Общая характеристика работы

Актуальность работы

С каждым годом появляется все больше электротехнических устройств, в которых в качестве элементов конструкции используются тонкие проводящие пластины или оболочки. К таким устройствам относятся разнообразные печатные платы и роторы электрических машин, системы электродинамических подвесов, индуктивные датчики, электромагнитные экраны для защиты персонала и высокочувствительного оборудования и т.п. Находясь в переменном магнитном поле, они потребляют энергию, обусловленную возбужденными в них вихревыми токами, оказывают силовое воздействие на другие токонесущие тела или обеспечивают необходимый экранирующий эффект. Для того, чтобы правильно управлять таким устройством, необходимо на стадии проектировании с высокой точностью рассчитать его параметры и характеристики, что невозможно без расчета электромагнитного поля.

Наличие тонких проводящих элементов в конструкции делает задачу расчета трехмерного электромагнитного поля одним из наиболее трудоемких этапов проектирования подобных устройств. Использование метода конечных элементов, широко распространенного при решении электромагнитных задач, приводит в таких случаях к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с численной неустойчивостью. Более результативным и экономным вариантом при расчете тонких оболочек представляется использование метода вторичных источников (метод интегральных уравнений). Математические модели электромагнитных шлей тонких оболочек на основе интегральных или интегро-дифференциальных уравнений предлагаются во многих работах российских и зарубежных авторов. Из них можно выделить работы Цейтлина Л. А., Краснова И. П., Маергойза И. Д., Чечурина В. Л., Астахова В. И. Однако известные модели либо не универсальны, то есть, работают лишь с частными случаями оболочек (пластины, некоторые виды оболочек вращения), либо слишком сложны для численной реализации. К тому же лишь некоторые из них теоретически обоснованы. Это говорит о необходимости разработки математической модели для расчета квазистационарных электромагнитных полей оболочек сложной конфигурации с учетом неоднородности и анизотропии проводящих свойств. С другой стороны, появившиеся в последнее время мощные пакеты прикладных программ для решения электромагнитных задач не предусматривают эффективный расчет устройств с тонкими оболочками, что делает актуальным и создание специализированного программного обеспечения для подобных расчетов.

Цель диссертационной работы

Целью работы является разработка универсальной математической теории электромагнитных процессов в тонких оболочках с краем и неоднородной

анизотропной проводимостью, а также создание на ее основе новых вычислительных алгоритмов, позволяющих расширить класс практических задач доступных для эффективного численного решения и реализованных в пакете программ, предназначенном для расчета оболочек сложной конфигурации.

Научная новизна

В представленной диссертационной работе впервые получены следующие научные результаты:

1. Впервые выполнено обоснование корректности в естественных для электротехнических задач функциональных пространствах интегро-дифференци-ального уравнения, к которому сведена краевая задача расчета вихревых токов в оболочках с краем и неоднородной анизотропной проводимостью для установившегося и переходного режимов. Предложен численный метод решения уравнения в указанных режимах.

2. Впервые предложены обобщенная постановка и решение задачи о вихревых токов проводящих оболочек в момент коммутации, само решение сведено к корректному интегро-дифференциальному уравнению первого рода.

3. Разработан оригинальный метод преобразования задачи о магнитной реакции бесконечной пластины с отверстиями и идеальными магнитными свойствами к задаче о магнитной реакции конечных идеально-проводящих пластин, существенно облегчающий применение численных методов при поиске решения.

4. Получены новые, удобные для компьютерной реализации формулы для вычисления элементов СЛАУ, к решению которой сведена численная реализация используемых моделей. Предложена простая асимптотическая формула для элементов основной матрицы, позволяющая значительно ускорить процесс формирования СЛАУ.

5. Построены оригинальные математические модели на основе скалярного интегро-дифференциального уравнения для системы электродинамического подвеса и для шаровой электрической машины. Получены аналитические представления решений используемых уравнений, которые в отличие от существующих моделей приводят к удобным для практического применения формулам расчета интегральных характеристик.

Практическая значимость

На основе математических результатов диссертации создан оригинальный пакет программ, предназначенный для расчета вихревых токов проводящих оболочек с краем и неоднородной анизотропной проводимостью, находящихся в квазистационарном электромагнитном поле. Пакет позволяет получить распределение вихревых токов вдоль срединной поверхности оболочек, вычислить значения индукции (напряженности) магнитного поля в заданных точках окружающего пространства и рассчитать интегральные характеристики

(энергия, запасенная в магнитном поле, мощность джоулевых тепловыделений, электромагнитная сила, испытываемая оболочкой). Подобные расчеты требуются при решении многих инженерных задач, возникающих при проектировании и исследовании электротехнических устройств.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Обоснована корректность математической модели на основе интегро-дифференциального уравнения для вихревых токов проводящих оболочек с краем в установившемся и переходном режимах в естественных для электротехнических задач функциональных пространствах.

2. Поставлена и решена задача расчета начального распределения вихревых токов в условиях коммутации.

3. Выполнена оптимизация расчетных формул для элементов основной матрицы СЛАУ, к которой сведена численная реализация используемых моделей.

4. Создан новый программный пакет для расчета вихревых токов тонких проводящих оболочек с краем, реализующий разработанные вычислительные алгоритмы.

Апробация работы

Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на: конференции студентов и аспирантов ЮРГТУ (НПИ) (Новочеркасск, 2006, 2007); Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь XXI века - будущее Российской науки» (Ростов-на-Дону, 2006, 2007); V и VI Школах-семинарах «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (Ростов-на-Дону, 2006, 2007); Международной конференции «Lyapunov memoria! eonference» (Харьков, Украина, 2007); III Всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (п. Дивноморское, 2007); научных конференциях студентов и аспирантов базовых кафедр Южного научного центра РАН (Ростов-на-Дону, 2007, 2008, 2009); Международных конференциях 52, 53 и 54 «Internationales Wissenschaftliches Kolloguium» (Иль-менау, Германия, 2007,2008,2009); Международной конференции «Теория операторов. Комплексный анализ. Математическое моделирование» (Волгодонск, 2007); 2nd International Conference on Matrix Methods and Operator Equations (Москва, 2007); Международных конференциях «Days on Difiraction» (Санкт-Петербург, 2008,2009); Воронежской зимней математической школе С.Г. Крей-на (Воронеж, 2008); «XII International Scientific Kravchuk Conference» (Киев, Украина, 2008); Международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, 2008); Международном научно-практическом коллоквиуме «Мехатроника - 2009» (Новочеркасск, 2009).

Разработанный программный пакет представлялся на Всероссийской выставке-ярмарке научно-исследовательских работ и инновационной деятельности «ИННОВ-2007» (Новочеркасск, 2007) и выставке «Информационные технологии в технике и образовании» (Новочеркасск, 2007).

Результаты обсуждались на научном семинаре Института электрических машин, приводов и железных дорог ТУ г. Брауншвейг , а также на семинаре Комплексного отдела механики, химии, физики и нанотехнологии Южного научного центра РАН.

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 26 печатных работах, из них 3 статьи в ведущих рецензируемых журналах [1-3], 18 статей в сборниках, основные из которых — [4-10], и 5 тезисов докладов.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из Введения, 4-х глав, Заключения и списка цитируемой литературы, содержащей 87 наименований. Объем работы составляет 146 страниц, включает 48 иллюстраций и 3 таблицы.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, определены цели и сформулированы основные задачи исследования. Аргументирована научная новизна исследований. Для этого выполнен обзор работ, посвященных математическому моделированию квазистационарных электромагнитных полей тонких проводящих оболочек. Также приведен обзор существующих пакетов прикладных программ расчета электромагнитных полей. Вкратце описано содержание и структура диссертации.

В первой главе рассмотрена обобщенная постановка и выполнено исследование математической модели распределения вихревых токов проводящих оболочек с краем в режиме установившихся гармонических колебаний.

Рассматривается конечное число х многосвязных немагнитных оболочек с неоднородной анизотропной проводимостью 7 и толщиной к, помещенных в квазистационарное магнитное поле заданных внешних источников с индукцией В0 (М,<) = В0 (М) бш (ш£ + (М)) , ш — круговая частота, р(М) — начальная фаза колебаний в текущей точке М трехмерного физического пространства. Окружающая среда немагнитна {ц = цо = 47т • Ю-7 Гн/м). Каждая из оболочек полагается геометрически тонкой (толщина Л много меньше других размеров). В этих условиях является допустимой приближенная замена оболочки ее срединной поверхностью. Толщина при этом учитывается введением удельной проводимости определяемой как 7,, = /17, а в случае оболочки с изотропной проводимостью для учета поверхностного эффекта мо-

жет использоваться формула 7а = — th (p^r), р = л/jurffi. Относительно

Р \ 2)

срединной поверхности для каждой оболочки принято, что она представляет собой поверхность топологического рода нуль, удовлетворяющую условиям Липшица и Римана, с кусочно-гладким краем и конечным числом отверстий.

mi

В диссертационной работе использованы следующие обозначения: Г" = IJ Г^

__*г=0

дополнение Г^ до замкнутой поверхности Г,-; m¿, i = 1,х — число отверстий

m¡

г—ой поверхности; через дГ{ = (J дГц, обозначен смежный край для r¿ и Г-';

к=О

XXX

Г' = (J r¡; Г = У T¡; Г" = (J Г'/. Срединная поверхность каждой оболочки t=l i=l t=l ориентирована внешней единичной нормалью п.

В работе рассматривается случай, когда удельная проводимость материала оболочки вдоль срединной поверхности, во введенной на ней системе координат с единичными ортами е^, е„, п, имеет вид ограниченного положительно-

7uu О

определенного симметричного тензора второго ранга вида 7 = " , эле-

[_ " 7toJ

менты которого — кусочно-непрерывные функции координат u, v. При переходе к срединной поверхности оболочки также вводится линейная плотность

Л/2

<т поверхностных вихревых токов, согласно равенству <т = { Sdn на Г7, где

-л/ 2

<5 (М, í) — комплексная амплитуда плотности объемного вихревого тока.

Благодаря соленоидальности, поле плотности поверхностных токов пред-ставимо через скалярную функцию потока г, вводимую равенством

& = [n, gradaf]. (1)

и калибровкой <j>fdT = 0, i = 1,х, в которой учтено, что (1) определяет т с Г<

точностью до константы.

Представление (1) позволяет свести исходную векторную краевую задачу для электромагнитного поля к скалярной задачи относительно т

divs (7;Vad,r) + ^rot„ J b^AMdrQ = на r {2)

= -JW

f + == т~, v (73 Vad/)+ = V (js Vadjf) на lp, f = Cik на U (Чк = const, к = 0, mu i = I7x,

I (3)

\r;i яы QM j

где индекс <s> в операциях означает, что дифференцирование выполняется вдоль Г, 7, — тензор, получаемый из 73 перестановкой элементов главной диагонали, а функция потока продолжается константами на Г" (своя на каждой

о

Для исследования задачи вводится гильбертово пространство (Г) комплекснозначных функций, определенных наГ, имеющих постоянные значения на Т"к, к = 0,771;, t = 1,х и нулевые средние значения на Г;, г = 1, х, со скалярным произведением ¿¡2)wi — -yj^ad^! grad.,^^ и нормой HCIfiv1 =

2,7 J 2,7

Г

1/2 0 1 = (£, • Обобщенная постановка задачи для f в Wj^ (Г) имеет вид

Ik-W(М)-^|

rl % Г<?М (4)

-ju [n, А0 (М)] 1 grad^ (М) dTM = о для VC G (Г),

знак <" > сверху означает комплексное сопряжение, здесь и далее дифференциальные операции понимаются как обобщенные в смысле Соболева, а интегральные — в смысле Лебега.

о

В результате исследования задачи (4) в (Г) доказана следующая

Теорема 1. Последовательность приближенных решений задачи (4) в обобщенной постановке для т, построенных методом Бубнова-Галеркина в

о о

И^2,7 (Г), сходится в W\tl (Г) к точному решению при VB° е Ь2 (Г).

Справедливость теоремы следует из свойств специальным образом введенного оператора, собственные числа и функции которого совпадают с обобщенными собственными числами и функциями интегро-дифференциального оператора

исходного уравнения. Показано, что введенный таким образом оператор су-

о

ществует, а результатом его действия на т 6 (Г) является единственная

о

функция из И<'2Л (Г). В работе установлены линейность, самосопряженность,

о

положительность и полная непрерывность оператора в (Г).

Приближенное решение задачи (4) строится в виде линейной комбинации

п

г1"' = (М) с коэффициентами {ср}^=1, определяемыми из системы

р=1

^ Ср {оцр + Э^Ргр) = зи{р, г = 1,п, Р= 1

/„= I |п, А°| Ьу ¿Г, ац

Ь^ Ьр с1Г,

(5)

(6)

^о г г К, МО)] (м)] ^ ь = ^= Х) п (7)

47Г J j Г<зм

г г

Используемые координатные функции тр, р ~ 1 , п могут принадлежать

о

плотному множеству в И-(Г), например, классу непрерывных и кусочно-непрерывно дифференцируемых на Г функций. В работе в качестве таких функций используется система полиномиальных финитных функций, традиционно применяемых в методе конечных элементов для аппроксимации слабых решений краевых задач. При таком выборе значительная часть вычислений, требуемых для определения элементов основной матрицы СЛАУ (5), выполняется аналитически.

Рис. 1. Распределение вихревых токов на срединной поверхности проводящей оболочки а) первичное поле направлено вдоль оси у, б) первичное поле направлено вдоль оси г

На рисунках 1 а) и б) представлены распределения вихревых токов на срединной поверхности оболочки в режиме установившихся гармонических колебаний. На практике оболочки подобной конфигурации используются в качестве защитных электромагнитных экранов.

С помощью описанной математической модели показано, что влияние анизотропии и неоднородности проводящих свойств материала на распределение вихревых токов в пластине с увеличением параметра ¡м^1ша (а — сторона пластины) нивелируется более резким проявлением краевого эффекта. На рис. 2 представлено

распределение вихревых токов на срединной по- п „ „ г г г с " гис. 2. Распределение вихревых

верхности пластины с анизотропной проводимо- т(жов на срединной поверхности стью, находящейся в поперечном однородном пластины с анизотропной магнитном поле. Проведенный анализ, также проводимостью

показал, что поверхностный эффект не оказывает значимого влияния на интегральные характеристики проводящей пластины, чего нельзя сказать о пластине выполненной из магнитного материала.

Во второй главе рассмотрены более сложные с практической точки зрения математические модели вихревых токов в переходном режиме и в условиях коммутации.

Рассматривается обобщенная постановка задачи для мгновенных значе-

о

ний функции т (М, £) в ^2,7 (Г) в переходном режиме

• [пм, [пр, gгadsт (<?,£)]]

Г(ЗМ

-- [и, А0 (М, 4)] } дпй^ (М) сСГм = 0, « > О,

(8)

ъ1^ (т (м, г) - то (М)) ^ас15| (М) ЙГ = О,«= 0+У£ е (Г),

Решение задачи (8) представляется в виде г (М, £) = Сц (¿) ^ (М),

¿=1

е ^2.7 (Г), где с^ (4) — искомые коэффициенты, а \_tpj (М)}"=1 — обобщенные собственные функции интегро-дифференциального оператора, по опреде-

лению удовлетворяющие задаче в обобщенной постановке

г

= г ГК к, е ^

4тг J J Г(}М

г г

Согласно исследованиям, выполненным в первой главе, система вещественных ортонормированных обобщенных собственных функций этого оператора полна

о

в 2п (Г), а все собственные числа являются положительными.

Использование этих функций в качестве координатных, позволяет найти коэффициенты разложения из системы независимых дифференциальных X ск (£

уравнений ц (¿) = ———(I) + — (£), з = 1 ,п с начальным условием

Лj СИ и>и

с, (0+) = = Существенно, что полученная в итоге задача Коши имеет решение и притом единственное, представимое в виде интеграла Дюамеля, после подстановки которого в представление для т (М, £) решение задачи (8) получается в аналитической форме

г (М,«) = £ (г (0), ъ)., ъ (М) + 1=1

(9)

+

£ А, } [*> А° (Я- О] (3) ад (м) •

3=1 о г

Первая сумма в правой части (9) имеет смысл свободной составляющей — затухающего во времени начального распределения тока, а вторая — принужденная составляющая, обусловленная действием сторонних источников. Аналитический вид решения имеет огромные преимущества, позволяя получать разнообразные оценки и исследовать поведение вихревых токов в переходном режиме. Однако при использовании этого представления необходимо знать начальное распределение вихревых токов в момент коммутации. Для его расчета рассмотрена скалярная задача на основе интегро-дифференциального уравнения первого рода относительно функции потока т

й> д Г д 1

= М~+Г' (10)

4тг дпм ] дпд Г/ум г

нагруженного соотношениями

т (M) = dk, Me rj'fc и drfjfc, Cik - const, к = 0 ,тщ, i = lTx,

Л-iJiWr. (И)

М-.Г:;

к = г = 1,х,

где в «±> верхний знак соответствует случаю включения внешних источников магнитного поля, а нижний знак — их выключению. Необходимо отметить тот факт, что к подобному интегро-дифференциальному уравнению первого рода могут быть сведены задачи о распределении вихревых токов на идеально-проводящих многосвязных поверхностях. _

Исследование уравнения проводится вариационным методом в (П — гильбертовом пространстве вещественных квадратично-суммируемых функций, принимающих постоянные значения на Г^, к = 0,т*, г = 1.x и имеющих нулевые средние значения на Г,-, г = 1,х, со скалярным произведением

и нормой (<ц, аъ)ц = | а^сЯ", ЦаЦ^о = (а,о)~{2. Задача (10)—(11) сводится к

г

одному операторному уравнению

Кт = /г, (12)

где

КПМ) = | РКтаг{М), ктМм) = -¿¿{\гт м - г,

г

t на Г;

—i—J-£dr на Г^, к = О^тщ, г = Ï7x> mes (i ik) jv,

TBÎ(M), М6Г';

1 'т AferSt, * = i =

fr(M)={

, mes та

С учетом установленных свойств оператора К ъ L\ (Г) (линейность, самосопряженность, положительность) справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Уравнение (12) и вариационная задача

F{T) = (Kt,T)%- 2(/r,T)z„-+mm (13)

эквивалентны в энергетическом пространстве оператора К в Щ (Г).

Энергетическим пространством оператора К в Ь\ (Г) является пространство плотностей потенциалов двойного слоя Н® (Г), имеющих нулевые средние значения на Гг, г = 1, х и принимающих постоянные значения на к = 0, тг, г = 1,х, со скалярным произведением (т= (Кт1,т2)ц и

нормой ||т||^„ = (т,т)1^о- Для Функционала (?(£) = показана ограни-

ченность в Щ (Г) . Из чего на основе теоремы Рисса сделан вывод о существовании и единственности в (Г) решения вариационной задачи (13), а с ней и уравнения (12), причем погрешность в энергии поля магнитной реакции проводящих поверхностей не превысит суммарной погрешности в энергии исходных полей, возникающей при их неточном задании или аппроксимации, и в этом смысле решение уравнения (12) устойчиво.

При помощи минимизирующей последовательности Ритца т^, т®, ...,

т«, ... уравнение (12) сводится к вещественной СЛАУ с симметричной мат™ „

____п . *

рицей Ср = Л., г = 1, п. Здесь т(М) = 4" тр (Ю ~ приближенное

р= 1 г>=1

решение, получаемое при пользовании базисом из подходящим обра-

зом подобранных координатных функций тр € Щ (Г). Примером последних является использовавшаяся ранее система кусочно-полиномиальных финитных функций. Такой выбор позволяет вычислять элементы полученной СЛАУ по формулам из (6) и (7), при соответствующей замене комплексных амплитуд на мгновенные значения входящих в формулу для /р величин.

С помощью полученных формул был выполнен расчет свободной составляющей вихревых токов, возникающих в проводящей пластине с отверстиями в момент коммутации, вызванной включением внешних источников магнитного поля. На рис. 3 представлено распределения вихревых токов вдоль срединной поверхности пластины в моменты времени £ = 0.014 с, £ = 0.029 с и t = 0.043 с (а), б) и в) соответственно). Масштаб силовых линий на рисунках

одинаковый. Из рисунков видно как с течением времени происходит затухание

}

а) б) в)

Рис. 3. Распределение вихревых токов на срединной поверхности оболочки с конечной проводимостью а) I = 0.014 с ; б) « = 0.029 с; в) г = 0.043 с

вихревых токов, вызванных скачком первичного магнитного поля.

Далее рассмотрена задача о магнитной реакции бесконечной пластины с отверстиями и идеальными магнитными свойствами. Решение этой задачи вызывает численные трудности, связанные с высокой размерностью компьютерной модели. В диссертационной работе предложен оригинальный метод сведения этой задачи к задаче о магнитной реакции совокупности конечных идеально-проводящих пластин. Геометрически малая толщина пластины позволяет отождествить ее с бесконечной частью 5+ плоскости £2, при этом через 6*" обозначено объединение отверстий пластины. Преобразование задач выполняется в несколько этапов. Сначала получено интегральное уравнение первого рода на бесконечной части относительно плотности микротоков. С помощью операторного тождества, предложенного Астаховым В.И., последнее оказалось возможным преобразовать к рассмотренному ранее интегро-дифферен-циальному уравнению первого рода относительно функции потока плотности вихревых токов идеально-проводящих поверхностей, по форме совпадающих с формой отверстий исходной бесконечной пластины.

В третьей главе приведено описание созданного на основе разработанной математической теории нового пакета программ «СотрЕС ЗБ», предназначенного для моделирования вихревых токов в замкнутых и разомкнутых многосвязных оболочках с неоднородной и анизотропной проводимостью.

Здесь рассмотрена структура пакета и основные этапы его работы, также приведены описания входящих в него модулей и формата исходных данных, необходимых для выполнения расчета. Далее рассмотрены особенности численной реализации, основным моментом в которой является формирование матрицы и столбца свободных членов СЛАУ. Наиболее трудоемкая часть связана с вычислением элементов Др. В диссертационной работе предлагается новый способ преодоления этой трудности, основанный на том факте, что

-= Д»Г(2м для элементов дискретизации, лежащих в одной плоскости, и

Г()М *

векторного анализа, с учетом выбранной системы координатных функций, позволило снизить кратность вычисляемых интегралов с 4-х до 2-х, а формулу (7) преобразовать к виду

где Ь{, Ьр — контуры элементов дискретизации Г;, Гр, лежащих в одной плоскости, а и им — нормальные векторы к 1ц и Ьр в точках <5, М соответственно, лежащие в той же плоскости, что и сами элементы разбиения, с;, Ср — число элементов дискретизации, являющихся носителями г—ой и р—ой

а

Ар = — , [щ, Ьа] [щ, V-] <Ь (Ь гдд^дммЛ^/м

координатных функций соответственно. Интегралы по прямолинейным участкам этих контуров являются табличными. Аналогичная формула получается и для случая, когда элементы Г,-, Гр лежат в разных плоскостях. Она является слишком громоздкой для приведения в тексте, однако при этом остается удобной в компьютерной реализации.

Для координатных функций, носители которых расположены на достаточно большом удалении друг от друга, получена приближенная асимптотическая формула для вычисления элементов основной матрицы СЛАУ:

,, JL JL izi ят+п+г+р 1 г г

где МдЬ = | (n, bj] PabdT, Раь — некоторый полином порядка а + 6. При полу-

г

чении асимптотической формулы использовалось разложение функции-в

tqu

ряд Тейлора в окрестностях точек Qq М0 — геометрических центров носителей рассматриваемых координатных функций. Все интегралы вычисляются независимо друг от друга с помощью кубатуры Радона, причем расчет достаточно выполнить один раз. Это позволило значительно ускорить процесс формирования основной матрицы СЛАУ. В частности, при расчете квадратной поверхности, дискретизация которой состояла из 1630 элементов, использование этой формулы привело к сокращению затрачиваемого на формирование матрицы времени на 66%. Далее в диссертационной работе описаны модельные задачи, предназначенные для отладки и контроля пакета программ.

В качестве таких задач рассматривается расчет вихревых токов на сферических поверхностях с идеальной и конечной проводимостями. При подходящем выборе системы координатных функций получено аналитическое представление функции потока плотности поверхностных вихревых токов. На рис. 4 представлен график зависимостей от координаты в комплексной амплитуды функции потока т, рассчитанной аналитически (кривая 1) и численно с помощью «СошрЕС 3D» (кривая 2) в режиме установившихся гармонических колебаний. Визуальные различия между кривыми для аналитического и численного расчетов не наблюдаются, а сами значения функции потока отличаются лишь в четвертом знаке после запятой.

Рис. 4. Графики функции |т|, вычисленной аналитически (1) и рассчитанной в «СошрЕС 3d» (2)

Еще одним способом оценки достоверности результатов работы пакета является сравнение с результатами, полученными при использовании других моделей. В частности, был выполнен расчет вихревых токов однородной изотропной пластины в режиме установившихся гармонических колебаний. Результаты расчета сравнивались с результатами, полученными И.Д. Маергойзом при использовании математической модели в виде системы интегральных уравнений. Значения функции потока, полученные при использовании этих моделей, практически совпадают, что с учетом небольшого количества элементов дискретизации и наличия вычислительной погрешности также подтверждает достоверность работы пакета «СотрЕС ЗБ».

В четвертой главе рассмотрены некоторые прикладные задачи, при решении которых требуется расчет вихревых токов.

Примером практического применения построенной теории является моделирования системы электродинамического подвеса на основе постоянных магнитов, движущихся над тонкостенным цилиндрическим направляющим проводником с круговым сечением. Эта задача сводится к расчету вихревых токов, появляющихся в проводнике при движении над ним токонесущего тела. Собственное магнитное поле вихревых токов, взаимодействуя с первичным источником создает подъемную и тормозную силы, расчет которых исключительно важен при проектировании системы подвеса, позволяя оптимизировать саму конструкцию и функциональные свойства системы.

На рис. 5 представлено поперечное сечение проводника (1) и несущего магнита (2). Магнит движется вдоль проводника с постоянной скоростью V. Предполагается, что длина проводника много больше его диаметра, что позволяет пренебречь концевым эффектом и рассматривать проводник как бесконечно длинную цилиндрическую оболочку с однородной проводимостью. Для расчета упомянутых вихревых токов предлагается модель в виде интегро-дифференциального уравнения второго рода относительно функции потока т. При использовании метода интегрального преобразования Фурье получено аналитическое решение этого уравнения. Рассмотрены несколько вариантов конструкции электродинамического подвеса (различия связаны с количеством и расположением магнитов относительно направляющего проводника). Для вычисления сил левитации и торможения, действующих на несущий магнит, получены формулы, позволяющие рассчитывать зависимости силовых характеристик от геометрических параметров конструкции (радиус и толщина проводника, высота подвеса и т.п.) и параметров магнитов (количество, масса, полярность).

Рис. 5. Поперечное сечение направляющего проводника (1) и несущего магнита (2)

Еще одной прикладной задачей, требующей расчета вихревых токов проводящих оболочек, является моделирование шаровой электрической машины. Подобные многокоординатные системы находят широкое применение при производстве полупроводников, в системах лазерной обработки и системах логистики, в специализированных транспортных системах и т.п.

Математическая модель на основе уравнений для векторного потенциала магнитного поля для машины с ротором в форме шара или шарового слоя для частного случая азимутального первичного поля предложена Davey К., Vachtsevanos G. и Powers R. Но, несмотря на аналитический характер решений, использование их результатов в практических расчетах крайне затруднительно из-за присутствия некоторых трудновычислимых специальных функций. Однако, если принять во вни-Рис. 6. Конструкция шаровой мание, что практическое значение имеет случай, электрической машины когда проводящий слой ротора геометрически тонок, то в такой постановке допустимо скалярное описание электромагнитного поля. В диссертационной работе предлагается математическая модель шаровой электрической машины (рис. 6) на основе интегро-дифференциального уравнения относительно скалярной функции потока т. В качестве координатных функций использована система сферических функций, что позволило получить аналитическое решение интегро-дифференциального уравнения, а на его основе удобные в использовании формулы для интегральных характеристик.

Основные выводы и результаты работы

1. Получена обобщенная постановка и обоснована корректность математической модели на основе интегро-дифференциального уравнения для расчета вихревых токов тонких оболочек с краем и неоднородной анизотропной проводимостью в установившемся и переходном режимах. Исследование выполнено в естественных для электротехнических задач функциональных пространствах. Предложен эффективный способ численного решения уравнения в указанных режимах, на основе которого созданы новые вычислительные алгоритмы.

2. Разработана математическая модель на основе интегро-дифференциального уравнения первого рода для расчета вихревых токов оболочек в условиях коммутации. Путем выбора подходящей пары функциональных пространств теоретически показаны существование, единственность и устойчивость решения интегро-дифференциального уравнения. Для последнего обоснован эффективный метод сведения к СЛАУ. Показано, что к такому уравнению сводится задача о магнитной реакции бесконечной пластины с отверсти-

ями и идеальными магнитными свойствами.

3. Выполнена оптимизация формул для элементов СЛАУ. В частности, удалось избавиться от особенностей в вычисляемых интегралах, причем применение аналитического интегрирования позволило снизить их кратность с 4-х до 2-х, а в ряде случаев свести к табличным интегралам. Для координатных функций, носители которых расположены на достаточно большом удалении друг от друга, получена приближенная асимптотическая формула для вычисления элементов основной матрицы СЛАУ, позволяющая значительно упростить и ускорить процесс формирования последней.

4. Разработан новый программный пакет «СотрЕС ЗБ» для расчета вихревых токов, возбуждаемых под действием квазистационарного электромагнитного поля в проводящих оболочках с краем и неоднородной анизотропной проводимостью. Расчет может быть выполнен для оболочек различной конфигурации с конечной проводимостью в переходном и установившемся режимах, а также для оболочек с идеальной проводимостью. Правильность работы пакета проконтролирована на нескольких различных тестовых задачах.

5. Предложены корректные и эффективные при численной реализации математические модели на основе скалярных интегро-дифференциальных уравнений для системы электродинамического подвеса и шаровой электрической машины. При подходящем выборе координатных функций решения уравнений получены в аналитическом виде. Также получены удобные аналитические формулы для расчета интегральных характеристик рассматриваемых устройств.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность проф. Й. Центнеру и Я. А. На-уменко за ценные замечания, плодотворное обсуждение задач и результатов, неоценимое внимание и постоянную поддержку.

Основные публикации автора по теме диссертации

Статьи в ведущих журналах, рекомендованных ВАК

1. Астахов В. И., Кочубей Т. В., Шапошников К. С. О дуальности некоторых задач для электромагнитного поля в присутствии пластин с отверстиями и идеальными свойствами // Изв. вузов. Электромеханика. 2007. № 4. С. 38-44.

2. Кочубей Т. В., Астахов В. И. Моделирование системы электродинамического подвеса и анализ ее силовых характеристик // Изв. вузов. Электромеханика. 2010. № 2. С. 3-9.

3. Кочубей Т. В., Центнер Й., Шапошников К. С., Астахов В. И. Математическое моделирование сферических асинхронных машин с тонким прово-

дящим слоем на роторе // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. Специальный выпуск. 2009. С. 113-117.

Другие публикации

4. Кочубей Т. В., Астахов В. И. Расчет магнитной реакции бесконечной пластины из идеального магнетика с отверстием // Математическое моделирование и информационные технологии: сб. научн. ст. Новочеркасск: Ред. журн. «Изв. вузов. Электромеханика», 2007. Т. 2. С. 25-34.

5. Кочубей Т. В., Шапошников К. С. Расчет трехмерного магнитного поля в присутствии искривленных поверхностей с идеальными магнитными или электрическими свойствами // Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию. Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН, 2008. С. 124-133.

6. Кочубей Т. В. Задача расчета магнитного поля в присутствии идеально-проводящих многосвязных поверхностей на основе интеро-дифференци-ального уравнения первого рода // Труды Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна - 2008. Воронеж: ВорГУ, 2008. С. 189-193.

7. Kochubey Т., Astakhov V. The method of magnetic field computation in presence of an ideal conductive multiconnected surface by using the integro-differ-ential equation of the first kind // Matrix methods: theory, algoritms, applications. World Scientific Publishing, 2008. Pp. 523-533.

8. Kochubey T. About distributions of eddy currents on a plate with heterogeneous anisotropic conductivity // Information technology and electrical engeneering: 54. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium Technische Universität Ilmenau, September 7 - 10, 2009. / Conference proceedings. Ilmenau, 2009.

9. Kochubey Т., Astakhov V. The computation of magnetic field in the presence of ideal conductors using the integral-differential equation of the first kind // Computer science meets automation: 52. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium Technische Universität Ilmenau, September 10 - 13, 2007. / Conference proceedings. Ilmenau, 2007.

10. Kochubey Т., Astakhov V. The computation of magnetic field in the presence of conductive surfaces // Prospects in mechanical engineering: 53. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium Technische Universität Ilmenau, September 8 - 12, 2008. / Conference proceedings. Ilmenau, 2008.

Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве

состоит в сведении уравнения для бесконечной пластины с идеальными магнитными свойствами к уравнению для конечных идеально-проводящих пластин, программная реализация численных методов для решения последнего [1, 4]; разработке математической модели и получение формул для интегральных характеристик [2, 3]; получении и исследовании интегро-дифференциаль-ного уравнения, разработке и программной реализации вычислительных алгоритмов [5, 7, 9,10].

Кочубей Татьяна Владимировна

Математическое моделирование квазистационарных электромагнитных полей тонких проводящих оболочек на основе интегро-дифференциального

уравнения

Автореферат

Подписано в печать 07.06.2010. Формат 60 х 84 У^. Бумага офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1.0. Уч.-изд. л. 1,6. Тираж 130 экз. Заказ № 48-355.

Отпечатано в ИД «Политехник» 346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132 тел., факс (863-5)25-53-03

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Математическая модель распределения вихревых токов в многосвязных немагнитных оболочках в установившемся режиме

1.1 Физическая постановка задачи. Идеализации и допущения.

1.2 Обобщенная постановка задачи.

1.3 Свойства оператора Т.

1.4 Метод Бубнова-Галеркина для численного решения задачи.

1.5 Учет поверхностного эффекта.

1.6 Интегральные характеристики.

1.7 Анализ влияния свойств материала на распределение вихревых токов

Выводы по главе 1.

ГЛАВА 2. Математическая модель распределения вихревых токов в переходном режиме

2.1 Обобщенная постановка задачи.

2.2 Выбор метода решения. Решение в собственном базисе.

2.3 Расчет собственных функций оператора Т.

2.4 Начальное распределение поверхностных вихревых токов.

2.4.1 Постановка задачи. Интегро-дифференциальное уравнение первого рода на поверхности.

2.4.2 Операторное уравнение. Обобщенная постановка

2.4.3 Исследование уравнения вариационным методом

2.4.4 Численное решение задачи.

2.5 Расчет магнитной реакции бесконечной пластины с отверстиями и идеальными магнитными свойствами.

2.5.1 Постановка задачи. Интегральное уравнение на пластине.

2.5.2 Преобразование задачи. Интегро-дифференциальное уравнение на отверстиях.

Выводы по главе 2.

ГЛАВА 3. Пакет прикладных программ для расчета электромагнитных полей проводящих оболочек

3.1 Назначение и возможности.

3.2 Объектная структура пакета программ.

3.3 Особенности численной реализации.

3.4 Контроль разработанного программного пакета.

Выводы по главе 3.

ГЛАВА 4. Проводящие оболочки в прикладных задачах

4.1 Моделирование электродинамического подвеса.

4.1.1 Исходная постановка задачи.

4.1.2 Решение уравнения.

4.1.3 Поле несущего магнита.

4.1.4 Расчет силовых характеристик электродинамического подвеса.

4.2 Математическое моделирование сферической асинхронной машины с тонким проводящим слоем на роторе

4.2.1 Исходная постановка задачи.

4.2.2 Уравнения для вторичных источников.

4.2.3 Вывод интегральных тождеств для сфер, имеющих общий центр.

4.2.4 Интегральные характеристики.

Выводы по главе 4.

С каждым годом появляется все больше электротехнических устройств, в которых в качестве элементов конструкции используются тонкие проводящие пластины или оболочки. К таким устройствам относятся разнообразные печатные платы и роторы электрических машин, системы электродинамических подвесов, индуктивные датчики, электромагнитные экраны для защиты персонала и высокочувствительного оборудования и т.п. Находясь в переменном магнитном поле, они потребляют энергию, обусловленную возбужденными в них вихревыми токами, оказывают силовое воздействие на другие токонесущие тела или обеспечивают необходимый экранирующий эффект. Наличие тонких проводящих элементов в конструкции делает моделирование трехмерного электромагнитного поля одним из наиболее трудоемких этапов проектирования подобных устройств.

Широко используемый при расчете массивных проводников метод конечных элементов (МКЭ) в случае тонких проводящих оболочек приводит к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с численной неустойчивостью. Кроме того, с МКЭ реальная система не будет смоделирована полностью, так как требуется введение искусственной границы, определяющей сетку конечных элементов. Метод граничных элементов (МГЭ) в этом плане дает большую точность и не требует искусственной границы, но при этом может возникнуть необходимость в разбиении задачи на несколько областей, для каждой из которых потребуется своя функция Грина. Также сложности возникают в случае нелинейности материала (может потребоваться дополнительная сетка для расчетов). Существует ряд задач, в которых эти методы достаточно успешно применяются. Например, в работах [1] и [2] предложена модель расчета квазистационарного электромагнитного поля с учетом вихревых токов на основе МГЭ. Модель разработана для однородных, изотропных проводников. Однако случай тонких оболочек, несомненно являющийся особым, не рассмотрен. Такой случай был рассмотрен в [3]. В этой работе предложены граничные условия и поверхностные уравнения для вихревых токов, возбуждаемых в ферромагнитной оболочке с неоднородной изотропной проводимостью. К сожалению, в [3] не приведено никаких сведений о численной реализации этих задач. Эта статья носит скорее обзорное описание подхода к решению методом граничных элементов задач для вихревых токов в тонких оболочках. Позже, используя полученные в [3] условия, в [4] была рассмотрена задача расчета электромагнитного поля тонких оболочек в биоэлектромагнитные исследованиях. Но предлагаемая модель не универсальна, подходит лишь для гладких замкнутых однородных оболочек, и не экономна в плане количества решаемых подзадач.

В последнее время наибольшую популярность при расчете трехмерных электромагнитных полей получил комбинированный метод конечных и граничных элементов, согласно которому при решении конкретной задачи выбираются преимущества каждого из методов с одним решающим устройством. Применению этого метода посвящены работы [5,6]. Получаемые в результате численные алгоритмы используют десятки тысяч неизвестных, для обработки которых требуются мощные компьютеры с большим объемом оперативной памяти, а в виду численной неустойчивости этих моделей при малой толщине проводника, их применение для расчета пластин и оболочек нецелесообразно.

Более результативным и экономичным вариантом в таких случаях представляется использовании метода вторичных источников (метод интегральных уравнений) [7]. В его основе лежит идея о том, что электромагнитное поле можно представить в виде суммы полей, созданных заданными первичными источниками и вторичными источниками (токами или зарядами, наведенными на границе раздела сред). На основе этого метода в [8] представлена модель расчета вихревых токов для частного случая (диск с однородной проводимостью) в виде векторного интегрального уравнения относительно плотности вихревых токов в объеме диска, для численного решения предложен итерационный алгоритм.

В условиях геометрической тонкости оболочки возможен переход к ее срединной поверхности. При использовании скалярной функции вихревых токов расчет электромагнитного поля можно свести к решению одного или нескольких интегральных уравнений на срединной поверхности оболочки.

Одним из первых исследованием вихревых токов при расчете электромагнитных полей тонких проводящих пластин и оболочек начал заниматься А.Т. Price [9-11]. В области его интересов был ряд геофизических проблем, в которых моря и океаны рассматриваются как тонкие проводящие слои, реагирующие на изменения магнитного поля Земли и магнитные бури. Уже позже учёными А.Н. Тихоновым [12] и L. Cagniard [13] для решения подобных проблем были сформулированы магнитотеллурические методы. А.Т. Price же внес большой вклад в систематизацию и развитие общей теории вихревых токов. Рассматривая в своих работах идеализированные (бесконечно-тонкие) оболочки, он установил, что при переходе через них скалярный магнитный потенциал терпит скачок, равный функции вихревого тока, а также исследовал распределение вихревых токов в неограниченных пластинах и сфере при однородной, неоднородной и анизотропной проводимостях в случаях, допускающих решение методом Фурье.

Поскольку расчет вихревых токов в тонких оболочках является весьма сложной задачей, то при ее постановке зачастую используют различные допущения. К примеру, в [14] предложена модель для расчета вихревых токов в тонких однородных пластинах и оболочках, при условии, что магнитная реакция последних (собственное магнитное поле вихревых токов пластины или оболочки) мало по сравнению с внешним магнитным полем. Расчет сведен к решению уравнения Пуассона для функции тока, а для пластин конечных размеров и цилиндрических оболочек в однородном поле представлены аналитические решения уравнения и получены оценки потерь мощности, обусловленные вихревыми токами [15]. Однако, следует отметить, что решение уравнения Пуассона для искривленных оболочек вызывает значительные трудности, связанные с усложнением геометрии, а магнитная реакция, учет которой усложняет задачу в несколько раз, на практике нередко многократно превышает результирующее магнитное поле.

Еще одним способом упрощения задачи служит переход к идеально-проводящим бесконечно-тонким оболочкам. Подобная идеализация возможна при решении задач в области высоких частот. В [16] предложена векторная модель для расчета многосвязных идеально-проводящих поверхностей на основе интегрального уравнения первого рода относительно плотности вихревых токов. В [17] для расчета таких поверхностей предложена модель на основе интегро-дифференциального уравнения первого рода относительно скалярной функции тока. Частные случаи конфигурации проводящих оболочек, такие как цилиндрическая оболочка или пластины, допускающие плоскопараллельное приближение, рассмотрены в [18-20].

Математические модели для расчета вихревых токов с учетом магнитной реакции пластин с конечной проводимостью рассмотрены в [21]. В работе [22] представлена система интегральных уравнений относительно комплекса функции тока для пластин с краем, приведены численные расчеты для однородных пластин, имеющих сложную границу. Ограничением модели является возможность расчета только однородных изотропных пластин без учета поверхностного эффекта.

Более экономная в численной реализации модель получается при использовании интегро-дифференциального уравнения второго рода относительно функции тока. В [23] получено, исследовано и решено уравнение для системы компланарных пластин в установившемся и переходном режимах. Подобные модели и численные алгоритмы для расчета вихревых токов в пластинах простейших форм с однородной проводимостью также предложены в [24-26]. В работах [27,28] рассмотрены конфигурации оболочек, при которых срединные поверхности последних совпадают с координатными поверхностями подходящей системы координат. В этих случаях задача допускает аналитическое решение методом Фурье.

В [29] проводящая оболочка рассматривается как массивное тело при условии равенства нулю нормальной к срединной поверхности оболочки составляющей плотности вихревого тока. Рассматривая режим установившихся гармонических колебаний и используя скалярный магнитный потенциал согласно [30], автор сформулировал задачу расчета магнитного поля и вихревых токов относительно одной скалярной функции. При уменьшении толщины оболочки полученная задача теряет корректность в объеме последней. В этом случае предложена модель на основе интегро-дифференциального уравнения с учетом толщины оболочки. Однако, вопрос корректности полученного уравнения не рассмотрен, а его численная реализация слишком сложна для расчета оболочек произвольной формы. Позже этот подход был развит в [31]. В работе рассмотрены уравнения для пластины, оболочки цилиндрической формы и конструкции прямоугольного сечения (бесконечно-длинных и конечных размеров) с учетом неоднородной и анизотропной проводимости. Модель предусматривает неравномерность распределения вихревых токов по толщине проводника путем введения комплексной проводимости, согласно приему, предложенному в [32].

В [33] предложена численная модель на основе интегро-дифференциального уравнения для расчета вихревых токов однородных односвязных оболочек в установившемся режиме. При этом исследование корректности уравнения не выполнялось, также не приведен способ его численной аппроксимации, используемый автором. Исследование подобного интегро-дифференциального уравнения для замкнутых ляпуновских поверхностей выполнено в работе [34]. И тем не менее для численного решения задачи в работе выполнен переход к интегральному уравнению, которое представляется как своего рода регуляризация исходного интегро-дифференциального уравнения, хотя при этом имеет чрезвычайно сложное по конструкции слабоособое ядро.

Математическая модель на основе одного скалярного интегрального уравнения на срединной поверхности неоднородных, анизотропных, замкнутых и разомкнутых оболочек сложной формы получена и исследована в [35], при этом рассмотрены установившийся и переходный режимы. Универсальность и правомерность использования этого уравнения обоснованы, однако его численное решение затруднительно из-за отсутствия явного представления входящих в него операторов. Причем даже в случае однородной изотропной пластины, как в [23] получение такого представления означает решение дополнительного интегрального уравнения на ее границе. Моделирование вихревых токов в проводящих оболочках также можно свести к решению одного векторного интегрального уравнения относительно плотности токов на срединной поверхности многосвязной оболочки [36], при этом теряются преимущества скалярной модели в плане размерности, кроме того рассмотрен лишь случай однородной изотропной проводимости без учета поверхностного эффекта.

Таким образом, можно сказать, что рассмотренные выше модели либо не универсальны, то есть, работают лишь с частными случаями оболочек (пластины, некоторые виды оболочек вращения), либо слишком сложны для численной реализации. К тому же лишь некоторые из них теоретически обоснованы. Список описанных моделей и методов, конечно, не исчерпывает всего, что было опубликовано в мировой печати в этой области, однако говорит об актуальности математического и компьютерного моделирования трехмерных квазистационарных электромагнитных полей тонких оболочек сложной конфигурации с учетом неоднородности и анизотропии проводящих свойств.

В настоящее время подавляющее большинство существующих программ для расчета электромагнитных полей реализует МКЭ или МГЭ, что объясняется популярностью этих методов для решения как электромагнитных задач, так и задач из теории упругости, термодинамики и др. Примерами таких программ являются ANSYS, Maxwell, Flux 2D и 3D, FEMM 3D. Более мощным в плане функциональности является пакет COMSOL Multiphysics, созданный компанией The COMSOL Group и предназначенный для конечно-элементного анализа в различных областях физики и инженерного дела, включая рассмотрение связанных (мультифизичных) задач. В частности, AC/DC Module разработан для расчёта электромагнитных эффектов, включая электростатику, магнитостатику, электромагнитную квазистатику. Другая известная в этой области компания Integrate Engineering Software продвигает концепцию расчета магнитных полей посредством МГЭ и гибридных методов. К примеру, созданная этой компанией программа FARADAY 3D представляет собой решающее устройство для полей вихревых токов. Это лишь некоторые из наиболее известных программ в этой области. Все они являются результатом многолетнего труда больших коллективов людей, и как и любой другой коммерческий продукт имеют свою стоимость, которую зачастую оплатить могут лишь крупные предприятия. Но, даже заплатив за право пользования такой программой, потребитель сталкивается с другой проблемой: чтобы получить хороший результат, необходимо правильно выбрать границы расчетной области, задать граничные условия, свойства материалов, оптимально наложить сетку на область расчета. Квалифицированно со всем этим сможет справиться только специалист, ну или же остается изучать огромные инструкции по использованию приобретенной программы.

С другой стороны, существуют и бесплатные аналоги описанных выше пакетов. К ним относятся FreeFEM3D , ЕМАР , GetDP , Z88. Но ни один из перечисленных пакетов не имеет возможности рассчитывать вихревые токи.

Очень важным моментом при расчете электромагнитного поля является быстродействие используемой программы. Как правило, для экономии времени счета при анализе электротехнических устройств ограничиваются двумерной моделью. На расчете только двумерных задач специализируются такие программы как FEMM, ELCUT, Flux 2D. ELCUT позволяет рассчитывать лишь плоскопараллельные поля, при этом бесплатной является лишь учебная версия с ограничением на количество элементов разбиения (не более 500), бесплатный пакет FEMM и платный Flux 2D не имеют возможности рассчитывать вихревые токи.

Часто оказывается трудно или даже невозможно свести объемную полевую задачу к плоской без серьезных допущений. Переход к трехмерной модели, безусловно позволит избежать подобных приближений, но размерность задачи (а следовательно и время счета) возрастет в десятки раз. В особых ситуациях, в частности при наличии тонких оболочек, при расчете электромагнитного поля МКЭ или МГЭ требуется создание очень мелкой сетки разбиения, что приводит к СЛАУ колоссальной размерности. Для ее решения может понадобиться специализированный компьютер (процессор повышенной мощности, большой объем оперативной памяти), а принимая во внимание численную неустойчивость таких задач, использование конечно-элементных программ для их решения просто нецелесообразно. Подобные задачи требуют особого подхода и специализированного программного обеспечения. В таких ситуациях, использование метода интегральных уравнений имеет ряд преимуществ по сравнению с конечно-элементными методами: снимается проблема граничных условий в случае «открытых» систем, исчезают трудности с нанесением сетки на геометрические детали и зазоры с малыми размерами, исключается из рассмотрения свободное пространство, что приводит к существенному сокращению объема расчетной сетки и др. В трехмерных задачах эти преимущества становятся принципиальными. На основе метода интегральных уравнений разработан программный комплекс MULTIC, предназначенный для расчета линейных и нелинейных магнитных полей в присутствии конструкций из магнитных материалов. Пакет EDEM предназначен для расчета электромагнитных полей и исследования электродинамических свойств структур из проводящих элементов. Однако в его основе лежит переход к идеально-проводящим поверхностям.

Таким образом, существующие программные комплексы не имеют возможностей для эффективного моделирование вихревых токов проводящих оболочек. Все это приводит к необходимости создания нового специализированного программного обеспечения для подобных расчетов.

Целью данной диссертационной работы являются создание универсальной математической теории электромагнитных процессов в тонких оболочках с краем и неоднородной анизотропной проводимостью, позволяющей расширить класс практических задач доступных для эффективного численного решения, а также ее реализация в эффективном пакете программ, предназначенном для расчета оболочек сложной конфигурации.

Для достижения поставленных целей в первой главе рассматривается задача расчета электромагнитных полей тонких проводящих оболочек с краем в режиме установившихся гармонических колебаний. Векторная задача для электромагнитного поля сводится к скалярной задаче на основе интегро-дифференциального уравнения относительно функции потока плотности поверхностных вихревых токов. Для скалярной задачи рассматривается обобщенная постановка и исследование в подходящем функциональном пространстве. Численное решение задачи получается при использовании метода Бубнова-Галеркина, для которого обосновывается сходимость в выбранном пространстве и предлагается система координатных функций, при пользовании которой получаются удобные и эффективные расчетные формулы.

Во второй главе рассматривается обобщенная постановка задачи на основе интегро-дифференциального уравнения, к которому сводится расчет вихревых токов проводящих оболочек с краем и неоднородной анизотропной проводимостью в переходном режиме. Решение уравнения представляется в аналитической форме в виде ряда по обобщенным собственным функциям интегро-дифференциального оператора указанного уравнения. При этом расчет вихревых токов в момент коммутации сводится к решению скалярной задачи в виде интегро-дифференциального уравнения первого рода с дополнительными условиями. Корректность уравнения в подходящей паре функциональных пространств, естественной для инженерной постановки задачи, устанавливается с помощью вариационного метода. Также обосновывается эффективный метод сведения уравнения к СЛАУ.

Третья глава посвящена описанию программного пакета, созданного на основе построенной математической теории. Здесь рассматриваются назначение и возможности пакета, его структура и особенности численной реализации, приводятся контрольные примеры для оценки численных результатов работы программы.

В четвертой главе рассматриваются некоторые прикладные задачи, при решении которых требуется расчет электромагнитного поля проводящих оболочек. К таким задачам относится моделирование электродинамического подвеса, а также моделирование сферической асинхронной машины с тонким проводящим слоем на роторе. В этой главе предлагаются корректные и эффективные при численной реализации математические модели на основе скалярных интегро-дифференциальных уравнений.

Материалы диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. Конференция студентов и аспирантов ЮРГТУ (НПИ) 2006 и 2007 годов.

2. Всероссийская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь XXI века — будущее Российской науки» 2006 и 2007 годов, г. Ростов-на-Дону.

3. Школа-семинар «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» 2006 и 2007 годов, г. Ростов-на-Дону.

4. «Lyapunov memorial conference» 2008 г., г.Харьков, Украина.

5. III Всероссийская школа-семинар «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете», 2007 г., п. Дивноморское.

6. Internationales Wissenschaftliches Kolloguium 2007, 2008 и 2009 годов, г. Ильменау, Германия.

7. Ежегодная научная конференция студентов и аспирантов базовых кафедр Южного научного центра РАН 2008 и 2009 годов, г. Ростов-на-Дону.

8. «Days on Diffraction» 2008 и 2009 годов, г. Санкт-Петербург.

9. «Дванадцата м1жнародна наукова конференщя 1меш академжа М. Кравчука», 2008 г., г. Киев, Украина.

10. Международная конференция «Теория операторов. Комплексный анализ. Математическое моделирование», 2008 г., г. Волгодонск.

11. 2nd International Conference on Matrix Methods and Operator Equations, 2008 г., г. Москва.

12. Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна, 2008 г., г. Воронеж.

13. Международная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования», 2009 г., г. Владикавказ.

14. Международный научно-практический коллоквиум «Мехатроника -2009», г. Новочеркасск.

Разработанный программный пакет представлялся на Всероссийской выставке-ярмарке научно-исследовательских работ и инновационной деятельности «ИННОВ-2007» и выставке «Информационные технологии в технике и образовании», 2010 г. Результаты исследований обсуждались на научном семинаре Института электрических машин, приводов и железных дорог ТУ г. Брауншвейг, а также на семинаре Комплексного отдела механики, химии, физики и нанотехнологии Южного научного центра РАН.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в [17,3746].

Диссертация состоит из Введения, 4-х глав, Заключения и списка цитируемой литературы, содержащего 87 наименований. Объем работы составляет 146 страниц, включает 48 иллюстраций и 3 таблицы.

Выводы по главе 4

1. Построена математическая модель вихревых токов, возбуждаемых в направляющем проводнике электродинамического подвеса, на основе интегро-дифференциального уравнения относительно скалярной функции потока т. С помощью интегрального преобразования Фурье решение уравнения получено в аналитической форме. Рассмотрены несколько вариантов конструкции электродинамического подвеса (различия связаны с количеством и расположением магнитов относительно проводящей направляющей кругового профиля). Предложены формулы, позволяющие рассчитывать зависимости силовых характеристик подвеса от геометрических параметров конструкции (радиус и толщина проводника, высота подвеса и т.п.) и параметров магнитов (количество, масса, полярность). Для иллюстрации возможностей полученной модели выполнен ряд расчетов и приведены графики зависимостей силовых характеристик от различных параметров

2. Разработана математическая модель вихревых токов на основе скалярного интегро-дифференциального уравнения для шаровой электрической машины с геометрически тонким проводящим слоем на роторе. Опираясь на свойства операторов исходного уравнения, в качестве координатных были выбраны сферические функции, что позволило получить решение задачи в аналитической форме. Также получены удобные аналитические формулы для расчета интегральных характеристик машины в различных режимах ее работы. Последний факт особенно важен для практического применения предложенной модели. Приведены графики зависимостей тормозного момента и мощности джоулевых тепловыделений от времени и относительного скольжения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена созданию и обоснованию корректности эффективной численной модели на основе скалярного интегро-дифференциального уравнения для расчета квазистационарных электромагнитных полей тонких проводящих оболочек. Основные результаты работы формулируются в следующем виде.

1. Рассмотрено интегро-дифференциальное уравнение относительно скалярной функции потока т плотности вихревых токов на срединной поверхности проводящих оболочек с краем и неоднородной анизотропной проводимостью. К этому уравнению сведена задача расчета электромагнитного поля таких оболочек в режиме установившихся гармонических колебаний. Получена обобщенная постановка задачи для т (М) в пространо стве W2)Т (Г), численное решение которой при помощи метода Бубнова

Галеркина сведено к решению СЛАУ с симметричной матрицей. Обоснована о сходимость процесса Бубнова-Галеркина в (Г) при рассмотрении любых поверхностей, удовлетворяющих условиям Липшица и Римана и имеющих кусочно-гладкие границы При использовании системы непрерывных и кусочно-полиномиальных координатных функций получены удобные и легко реализуемые формулы для вычисления элементов СЛАУ.

2. Для расчета вихревых токов в переходном режиме рассмотрена модель на основе интегро-дифференциального уравнения относительно функо ции г (М, t). Получена обобщенная постановка задачи в W^y (Г), решение которой представлено в аналитической форме в виде ряда по обобщенным собственным функциям интегро-дифференциального оператора, образующим о полную систему в W(Г).

3. Поставлена и решена задача расчета вихревых токов, возбуждаемых в оболочках в условиях коммутации. Для решения использована математическая модель на основе интегро-дифференциального уравнения первого рода относительно функции потока плотности вихревых токов. Исследование корректности уравнения в естественной для электротехнических задач паре функциональных пространств проведено вариационным методом, при этом установлено, что погрешность в решении не превышает погрешности в энергии первичного поля, связанной с неточным заданием или аппроксимацией последнего. При помощи минимизирующей последовательности Ритца, построенной на использовавшейся ранее системе координатных функций, уравнение сведено к вещественной СЛАУ с симметричной матрицей. При этом поставленная задача также может рассматриваться и как расчет вихревых токов на поверхностях с идеальной проводимостью. Показано, что к такому уравнению может быть сведена задача расчета магнитной реакции бесконечной пластины с отверстиями и идеальными магнитными свойствами.

4. Численная реализация рассмотренных математических моделей сведена к решению систем линейных алгебраических уравнений, имеющих общие части, что позволило создать единый программный пакет «СотрЕС 3D» для решения комплексной задачи. Созданный пакет является эффективным численным инструментом для расчета вихревых токов в проводящих оболочках сложной конфигурации, находящихся под воздействием квазистационарного электромагнитного поля. При помощи удобного интерфейса легко задаются геометрические и физические характеристики рассматриваемых объектов. Программа позволяет получить распределение вихревых токов вдоль срединной поверхности оболочек, вычислить значения индукции (напряженности) магнитного поля в заданных точках окружающего пространства, энергии, запасенной в магнитном поле, мощности джоулевых тепловыделений, электромагнитной силы, испытываемой оболочкой.

С помощью выбранной системы координатных функций удалось избавиться от сингулярных интегралов при вычислении элементов основной матрицы СЛАУ, при этом снизив кратность вычисляемых интегралов с 4-х до 2-х.

Для координатных функций, носители которых расположены на достаточно большом удалении друг от друга, получена приближенная асимптотическая формула для вычисления элементов основной матрицы СЛАУ, позволяющая значительно упростить и ускорить процесс формирования последней. Проведенные численные эксперименты показали, что использование этой формулы приводит к сокращению затрачиваемого на расчет времени в среденм на 50 %.

Для подтверждения достоверности результатов работы пакета «СошрЕС 3D» решены контрольные задачи.

5. Рассмотрены некоторые прикладные задачи, при решении которых требуется расчет вихревых токов.

5.1. Моделирование электродинамического подвеса сведено к расчету вихревых токов, возбуждаемых в направляющем проводнике системы. Построена математическая модель вихревых токов на основе скалярного интегро-дифференциального уравнения относительно функции т(М). С помощью метода интегрального преобразования Фурье решение этого уравнения получено в аналитической форме. Рассмотрены несколько вариантов конструкции электродинамического подвеса (различия связаны с количеством и расположением магнитов относительно проводящей направляющей кругового профиля). Предложенная модель позволила получить удобные для компьютерной реализации формулы силовых характеристик системы.

5.2. Разработана математическая модель шаровой электрической машины с геометрически тонким проводящим слоем на роторе. Модель основана на интегро-дифференциальном уравнении относительно функции потока плотности вповерхностных вихревых токов. В качестве координатных функций использована система сферических функций, что позволило получить аналитическое решение уравнения. Также получены простые и удобные формулы для расчета интегральных характеристик машины в различных режимах ее работы.

Разработанная в диссертационной работе математическая теория позволила создать новый эффективный программный пакет для численного расчета квазистационарных электромагнитных полей тонких проводящих оболочек с краем. Программа может применяться при моделировании широкого класса устройств, содержащих в себе геометрически тонкие проводящие элементы (измерительные приборы, индуктивные датчики, элетромагнитные экраны и т.п.).

1. Zheng D. Three-dimensional eddy current analysis by the Boundary Element Method // IEEE Transactions on Magnetics. 1997. Vol. 33, no. 2. Pp. 13541357.

2. Rucker M., Richter K. R. A BEM code for 3-D eddy current calculations // IEEE Transactions on Magnetics. 1990. Vol. 26, no. 2. Pp. 462-465.

3. Krahenbahl L., Muller D. Thin laers in electrical engineering. Example of shell models in analysis eddy-currents by boundary and finite element methods // IEEE Transactions on Magnetics. 1993. Vol. 29, no. 2. Pp. 14501455.

4. Poignard C., Dular P., Perrussel R. et al. Approximate conditions replacing thin layers // IEEE Transactions on Magnetics. 2008. Vol. 44, no. 6. Pp. 1154-1157.

5. Liu Zhizhen, Wang Yanzhang, Jia Zhiping, Sun Yingming. A novel hybrid FEM-BEM method for 3D eddy current field calculation using current density kj // Science in China. Series E: Technological Sciences. 2003. Vol. 46, no. 1. Pp. 41-48.

6. Meddahi S., Selgas V. A mixed-FEM and BEM coupling for a three-dimensional eddy current problem // Mathematical Modelling and Numerical Analysis. 2003. Vol. 37, no. 2. Pp. 291-318.

7. Тозони О. В. Метод вторичных источников в электротехнике. М.: Энергия, 1975. 296 с.

8. Данилушкин А. И., Данилушкин И. А. Метод вторичных источников для моделирования электромагнитнчх процессов при индукционном нагреве // Вестник СамГТУ. Серия: Физико-математические науки. 1998. № 6. С. 141-142.

9. Ashour A. A., Price A. T. The induction of electric currents in a nonuniform ionosphere // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1948. Vol. 195, no. 1041. Pp. 198-224.

10. Price A.T. The induction of electric currents in non-uniform thin sheets and shells // Q J Mechanics Appl Math. 1949. Vol. 2, no. 3. Pp. 283-310.

11. Price A.T., Ferris C.A.J. A resonance property of the ionosphere due to its anisotropic conductivity // Nature. 1962. no. 196. Pp. 258 260.

12. Тихонов A. H. Об определении электрических характеристик глубоких слоев земной коры // Докл. АН СССР. 1950. Т. 73, № 2. С. 295-297.

13. Cagniard L. Basic theory of the magneto-telluric method of geophysical prospecting // Geophysics. 1953. no. 18. Pp. 605-635.

14. Цейтлин JI. А. Вихревые токи в тонких пластинах и оболочках // ЖТФ. 1969. Т. 39, № 10. С. 1733-1741.

15. Цейтлин Л. А. Потери на вихревые токи в тонких пластинах // Электричество. 1969. № 3. С. 73-77.

16. Науменко Я. А. Математическое моделирование магнитного поля в присутствии идеально-проводящих поверхностей с краем методом интегральных уравнений первого рода: Дис. канд. техн. наук: 05.13.18. 2005. 77 с.

17. Ковбасенко Ю. П. Расчет вихревых токов в тонкостенных оболочках // Электричество. 1992. № 14. С. 45-47.

18. Некрасов Н. Н., Смирнов С. А. К расчету вихревых токов в тонкой пластине // Электричество. 1998. № 10. С. 61-65.

19. Михайлов В. М. Функции Грина и интергальные уравнения плоскомеридиональных полей устройств с длинными цилиндрами // Электричество. 1991. № 10. С. 38-42.

20. Майергойз И. Д., Тозони О. В. Интегральные уравнения для расчета трехмерного квазистационарного электромагнитного поля // Изв. вузов. Электромеханика. 1972. № 4. С. 343-349.

21. Майергойз И. Д., Романович С. С., Федчун JI. В., Артышевский П. П. К расчету вихревых токов в проводящих пластинах // Электричество. 1975. № 6. С. 73-76.

22. Астахов В. И., Колесников Э. В., Пашковский В. И. Вихревые токи в проводящих пластинах // Изв. вузов. Электромеханика. 1972. № 8. С. 822-830.

23. Hurley D.G., Siew P.F. The EM response due to a plane sheet of arbitrary shape and conductivity profile // The Journal of the Australian Mathematical Society. Series B. Applied Mathematics. 1995. Vol. 37. Pp. 267-278.

24. Lamontague Y., West G. F. EM response of a rectangular thin plate // Geophysics. 1971. Vol. 36. Pp. 1204-1222.

25. Siew P.F. Second-order effects in the induction of thin discs // IMA Journal of Applied Mathematics. 1992. Vol. 48, no. 1. Pp. 97-106.

26. Аполлонский С. M. Расчет электромагнитных экранирующих оболочек. Д.: Энергоиздат, 1982. 144 с.

27. Васильев В. В., Коленский Л.А., Медведев Ю. А., Степанов Б. М. Проводящие оболочки в импульсном электромагнитном поле. М.: Энерго-атомиздат, 1982. 200 с.

28. Чечурин В. Л. К расчету магнитного поля и вихревых токов пластин и оболочек // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1983. № 3. С. 151154.

29. Демирчян К. С., Чечурин В. JI. Машинные расчеты электромагнитных полей. М.: Высш. ж., 1986. 240 с.

30. Спивакова Г. В. Развитие метода скалярного магнитного потенциала для расчета вихревых токов на основе интегро-дифференциальных уравнений: Автореф. дис. к-та техн. наук: 05.09.05 / ЛПИ им. М. И. Калинина. 1987. 16 с.

31. Астахов В. И., Бахвалов Ю. А., Вялцева Т. М., Кирсанова Г. А. Методы ускорения вычислительного процесса задачи о движении проводящей полосы в магнитном поле // Изв. вузов. Электромеханика. 1979. № 3. С. 187-196.

32. Гримальский О. В. Метод расчета трехмерного электромагнитного поля тонких пластин и оболочек // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1990. № 6. С. 61-68.

33. Краснов И. П. Об одной граничной задаче для уравнения Лапласа, встречающейся в теории вихревых токов // Сиб. мат. журнал. 1978. № 4. С. 778-787.

34. Астахов В. И. Задача расчета квазистационарного электромагнитного поля в проводящих оболочках // Изв. вузов. Электромеханика. 1985. № 1. С. 15-30.

35. Науменко Я. А. Расчет синусоидальных по времени магнитных полей в присутствии проводящих поверхностей методом интегральных уравнений // Труды Южного научного центра Российской академии наук. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮНЦ РАН, 2007. Т. 2. С. 80-93.

36. Астахов В. И., Кочубей Т. В., Шапошников К. С. О дуальности некоторых задач для электромагнитного поля в присутствии пластин с отверстиями и идеальными свойствами // Изв. вузов. Электромеханика. 2007. № 4. С. 38-44.

37. Астахов В. И., Кочубей Т. В., Шапошников К. С. О дуальности некоторых задач теории потенциала для магнитного поля // Исследования по современному анализу и математическому моделированию. Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН, 2008. С. 325-331.

38. Кочубей Т. В., Центнер Й., Шапошников К. С., Астахов В. И. Математическое моделирование сферических асинхронных машин с тонким проводящим слоем на роторе // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. Специальный выпуск. 2009. С. 113-117.

39. Кочубей Т. В., Астахов В. И. Моделирование системы электродинамического подвеса и анализ ее силовых характеристик // Изв. вузов. Электромеханика. 2010. № 2. С. 3-9.

40. Ламмеранер И., Штафль М. Вихревые токи: пер. с чешского. М.: Изд-во «Энергия», 1967. 208 с.

41. Александров П. С., Ефремович В. А. Очерк основных понятий топологии. Ленинград: ОНТИ им. Бухарина, 1936. 94 с.

42. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 590 с.

43. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1974. 832 с.

44. Шимони К. Теоретическая электротехника: Пер. с нем. М.: Мир, 1964. 773 с.

45. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. 9-е изд. М.: Наука, 1965. 424 с.

46. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.

47. Necas J. Les methodes directes en theorie des equations elliptiques. Paris: Academia, Praha, and Masson et Cie, Editeurs, 1967. 351 pp.

48. Соболев С. JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 336 с.

49. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т.5. М.: ГИФМЛ, 1969. Т. 5. 655 с.

50. Weyl Н. The method of orthogonal projection in potential theory // Duke Math Journal. 1940. no. 7. Pp. 411-444.

51. Friedrichs К. O. Differential forms on Riemannian manifolds.

52. Виленкин H. Я., Горин С. В., и др. Функциональный анализ / под ред. С.Г. Крейна. М.: Наука, 1964. 424 с.

53. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 572 с.

54. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: «Высш. школа», 1977. 431 с.

55. Туровский Я. Электромагнитные расчеты элементов электрических машин: Пер. с польск. М.: Энергоатомиздат, 1986. 200 с.

56. Жуков С. В. О граничных условиях для определения переменных магнитных полей тонких металлических оболочек // ЖТФ. 1969. № 7. С. 1149-1154.

57. Тамм И. Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989. 504 с.

58. Нейман Л. Р, Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники. Ленинград: «Энергия», 1967. Т. 1. 524 с.

59. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970. 332 с.

60. Астахов В. И. Уравнения первого рода в задачах расчета статических и стационарных полей. Часть 2 // Изв. вузов. Электромеханика. 2005. № 4. С. 3-16.

61. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач: пер. с англ. М.: «Мир», 1980. 612 с.

62. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 288 с.

63. Астахов В. И., Кочубей Т. В., Шапошников К. С. Метод ортогональных проекций в задачах расчета стационарных магнитных полей // Труды Южного научного центра Российской академии наук. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮНЦ РАН, 2007. Т. 2. С. 51-72.

64. Астахов В. И. Уравнения первого рода в задачах расчета статических и стационарных полей. Часть 1 // Изв. вузов. Электромеханика. 2005. № 3. С. 3-14.

65. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1956. Т. 3. 656 с.

66. Скворцов А. В. Триангуляция Делоне и ее применение. Томск: Изд-во Томского ун-та, 2002. 128 с.

67. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. М.: Мир, 1983. 384 с.

68. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. 624 с.

69. Naumenko J. Operator equations for eddy currents on singular carrier // Matrix methods: theory, algorithms, applications. World Scientific Publ, 2008. Pp. 546-556.

70. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. X. Математический анализ. М.: Наука, 1979. 720 с.

71. Radon J. Zur mechanieschen kubatur // Monatsh. fur Math. 1948. Vol. 52, no. 4. Pp. 286-300.

72. Титчмарш E. Введение в теорию интегралов Фурье: пер. с англ. М.: ОГИЗ, 1948. 479 с.

73. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. 5-е изд. М.: Наука, 1977. 742 с.

74. Астахов В. И. Интегральные уравнения минимальной размерности для вихревых токов в проводящих оболочках и их применение к системам электродинамического подвеса: Дис. док. техн. наук: 05.13.18. 1986. 476 с.

75. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1973. 228 с.

76. Korenev В. G. Bessel Functions and their Applications. London: Taylor&Francis, 2002. 276 pp.

77. Астахов В. И. Математическое моделирование инженерных задач в электротехнике / Учебное пособие. Новочеркасск: НГТУ, 1994. 192 с.

78. Майборода А. О. Способ доставки грузов в космос с помощью двигателей малой тяги на основе орбитальных тросовых систем // 1-ая конференция МАА-РАКЦ «Космос для человечества», 21-23 мая, 2008. Королев, Московская область: 2008. С. 64-65.

79. Davey К., Vachtsevanos G., Powers R. The analysis of fields and torques in spherical induction motors // IEEE Transactions on Magnetics. 1987. Vol. 23, no. 1. Pp. 273-281.