автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Влияние ускорения на электродинамику тонкостенных проводящих тел

МИНИСТЕРСТВО

^ ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КИРПИЧЕ!ЖОВА НАТАЛЬЯ ВАЛЕРЬЕВНА

ВЛИЯНИЕ УСКОРЕНИЯ НА ЭЛЕКТРОДИНАМИКУ ТОНКОСТЕННЫХ ПРОВОДЯЩИХ ТЕЛ

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

на правах рукописи

УДК 519.711.3: 621.313

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Волгоград -1998

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Новочеркасского Государственного Технического Университета министерства общего и профессионального образования Российской Федерации.

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор

В.И. Астахов

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор

Б.Н. Сипливый

кандидат технических наук

В.К. Мелик-Бархударян

Ведущая организация:

ОАО Всероссийский научно-исследовательский и проекгно-конструкторский институт электровозостроения (ВЭлНИИ)

Защита состоится 2 на заседании диссертационного

совета К 064.59.05 при Волгоградском государственном университете по адресу:

400062, Волгоград, 2-ая Продольная, 30.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета ВолГУ.

Автореферат разослан Ученый секретарь

диссертационного совета, к.т.н. ВД. Захарченко

л

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Объектом исследования в данной работе является электромагнитное взаимодействие ускоренно движущихся тонких проводящих оболочек с внешним источником магнитного поля [1]. Примерами устройств, элементами которых являются такие оболочки, могут служить электромагнитные ускорители (пушки), устройства для создания сильных импульсных магнитных полей, системы электродинамического подвеса и тяги транспортпых средств, вихретоковые тормоза, устройства разгона и торможения на полигонах по испытанию новой авиационной и космической техники и т.д. [2-5]. В данной работе эти устройства условно разделены на два класса. К первому относятся, так называемые, системы подвеса (левитации), ко второму - системы тяги (торможения). Системы подвеса характеризуются тем, что используют стационарное магнитное поле и предназначены для создания силы левитации. Системы тяги используют бегущее магнитное поле для создания тяговой или тормозной силы.

В практике инженерных расчетов электромагнитной силы (ЭС) В' взаимодействия проводника и внешнего источника магнитного поля предполагается, что величина ЭС в момент времени среди прочего, определяется величиной их мгновенной относительной скорости в

тот же момент времени / при любом характере движения (так называемая гипотеза стационарности [1]). Однако, очевидно, что, если характерное время г затухания электромагнитных возмущений в проводнике не равно нулю, то ЭС обладает "памятью" - значение Р в момент времени г определяется, в основном, характером зависимости мтт (?) на интервале времени - г, предшествующем '¡моменту 1 (за пределами этого интервала "намят!," экспоненциально слаба). При этом, если ( » г, то электромагнитные возмущения, вызванные начальными условиями (при 1-0), к моменту времени г

успевают экспоненциально затухнуть и практически не влияют на величину F . Таким образом, F является не функцией, а некоторым функционалом от vomj)(i): /' [vom„], основной вклад в который дает интервал времени - т,с]. При vom„ = cor,st величина этого функционала в любой момент времеаи t определяется этой постоянной скоростью, а, если, например, движение равнопеременное (с постоянным ускорением а), то величина функционала определяется уже двумя параметрами: мгновенной скоростью vom„ (?) и ускорением а .

Несмотря на то, что режимы разгона и торможения кратковременны, с точки зрения надежности работы и безопасности движения они являются наиболее важными. С другой стороны, точный количественный анализ электромагнитных процессов, происходящих в устройствах, предопределяется высоким уровнем требований к качеству проектирования новых устройств и их систем управления, характеризуемых большой стоимостью в изготовлении, предельными режимами работы, значительным энергопотреблением и воздействием на окружающую среду. До настоящего времени в практике проектирования этих устройств остается неясным - надо ли учитывать эффекты ускорения, а если надо, то как? Отсюда возникает задача оценки и учета влияния упомянутых эффектов на электродинамические процессы в движущихся в стационарном или переменном магнитном поле проводниках. Уже известные немногочисленные результаты [6,7] приближенного учета ускорения лишь подтверждают актуальность разработки математической модели, описывающей эти процессы.

Поскольку целью работы является изучение эффектов, связанных с ускорением, то при разработке математической модели целесообразно отвлечься от несущественных для данной проблемы второстепенных факторов. Исходя из этого, для упрощения модели используются такие допуще-

ния, как геометрическая и электрическая тонкости проводника, а также не-магнитиость материала.

Целью работы является:

1) разработка математической модели для расчета вихревых токов и составляющих ЭС, учитывающей влияние переносного ускорения относительного движения тонкой проводящей оболочки и источника магнитного поля;

2) получение простых аналитических критериев малости относительного отклонения ЭС, вычисленной в режиме ускоренного движения от силы, вычисленной в рамках гипотезы стационарности, применительно к системам магнитного подвеса и электрической тяги;

3) вывод инженерных формул, приближенно учитывающих влияние ускорения на ЭС;

4) численное исследование влияния ускорения на силовые характеристики с целью проверки эффективности полученных аналитических критериев и приближенных формул для ЭС в режиме ускоренного движения;

5) оценка вклада в методическую погрешность, обусловленного использованием стационарного приближения для ЭС па шаге временной дискретизации, при численном интегрировании уравнений механики оболочек, движущихся в магнитном поле;

6) исследование влияния эффектов переносного ускорения на динамические параметры (основные частоты, скорости затухания) свободных колебаний транспортного средства с магнитным подвесом или электрической тягой.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Эффективная математическая модель для расчета вихревых токов в движущихся тонких проводящих оболочках при произвольной зависимости скорости от времени.

2. Экономные формулы для составляющих ЭС в условиях движения с постоянным ускорением.

3. Аналитические критерии, позволяющие оценить влияние ускорения на составляющие ЭС.

4. Приближенные инженерные формулы для составляющих ЭС, учитывающие влияние ускорения.

5. Оценка дополнительной методической погрешности, возникающей при численном интегрировании уравнений механики проводящих оболочек, обусловленной использованием стационарного приближения для ЭС на шаге дискретизации временной оси, и вытекающие отсюда рекомендации по выбору шага, для которого использование стационарного приближения ЭС в рамках заданной точности допустимо.

6. Формулы для динамических параметров (собственных частот и скоростей затухания) малых вертикальных колебаний, полученные как в рамках гипотезы стационарности, так и с учетом переносного ускорения, а также результаты их сравнения и выводы о влиянии ускорения на динамические параметры вертикальных колебаний.

Вышеперечисленные результаты получены впервые, что составляет научную новизну работы.

Научная и практическая значимость работы. Основные результаты, полученные в диссертации, расширяют теоретические представления об электродинамике тонкостенных ироиодгацих оболочек, движущихся в магнитном поле, а также могут служить инструментом для улучшения качества проектирования устройств, конструктивными элементам!! которых являются такие оболочки.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на XXII Всероссийской молодеяшой научно-технической конференции "Гагаринские чтения" (Москва, 1996), II Международной научно-технической конферен-

дни "Состояние и перспективы развития электроподвижиого состава" (Новочеркасск, 1997), II Всероссийском симпозиуме "Математическое моделирование и компьютерные технологии" (Кисловодск, 1998), а также на научных семинарах кафедры прикладной математики Новочеркасского Государственного Технического Университета (Новочеркасск, 1997-1998) и кафедры теоретической физики и волновых процессов Волгоградского государственного университета (Волгоград, 1998).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 5 публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 127 страниц, включая 29 рисунков, 2 таблицы и список литературы из 75 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Во введении обоснованы актуальность темы, научная новизна и практическая ценность выполненных исследований, определена общая цель и задачи работы, кратко описана структура диссертации.

Глава 1. Математическая модель электродинамики ускоренно движущегося проводящего тела

В первой главе сформулирована математическая модель для расчета вихревых токов, возбуждаемых в ускоренно движущихся тонких проводящих цилиндрических оболочках, базирующаяся на уравнениях Максвелла в квазистационарном приближении с соответствующими граничными условиями. При этом использовались следующие допущения;

1) скорость движения значительно меньше скорости света в вакууме:

М«с;

2) материал проводника немагнитный [и = /л0), а проводимость у и тол-

щина оболочки И постоянны;

3) величина И много меньше прочих геометрических размеров;

4) величина ускорения а такова, что справедливо пренебрежение эффектом Стюарта-Толмена [8].

В случае тонкого проводника плотность 8 объемных вихревых токов в оболочке может быть эффективно заменена двумерными полями а и 7, которые определены на срединной поверхности 5 (рис.1) проводника с помощью следующих равенств

где а имеет смысл линейной плотности поверхностного тока, а г - плотности его дипольного момента, учитывающей явление, называемое эффектом близости. Рассматриваемые оболочки полагаются электрически тонкими в том смысле, что эффектом близости допустимо пренебречь. В свою, очередь поле а, будучи соленоидальным, выражается через скалярную функцию потока у/, имеющую смысл тока через поперечное сечение оболочки, получаемое мысленно ее разрезанием от края до текущей точки на срединной поверхности.

Для получения эффективной математической модели задача сводится к интегро-дифференциалыюму уравнению относительно фурье-образа скалярной функции потока ц/ (т, и, t)

где а = на 5, т - параметр преобразования Фурье, К - интеграль-

ный оператор, определяемый равенством

л 2

h 2

h 2

h 2

(.9 ) ¿(5) Л*(Г)

Рис.1. Элемент проводника

I

ядро которого представимо в виде

Щт,0, и у ) як т{1 - и0) + 91(/л, I, иы ) лЛ )

, г.'д,) = У\{т, ив

<,¡1 («/)

"И

ид ,и„) = НыИдК0(\m\pKQ) - т(ид - мА1) п^ ■

о

(Н^м/) + (И/>лм)

где угол «у п0 отсчитывается против часовой стрелки от первого вектора ко второму; ЯЦ - радиус кривизны профиля в точке М; К0, К, - модифици-

рованные функции Бесселя; рт = - + - 2М)2 - расстояние

между точками N и М на плоскости сот, - единичный вектор, направленный из точки N в точку М.

Для частного случая проводника с профилем в виде дуги окружности, радиуса Я, стягивающей центральный угол /7, ядро интегрального оператора имеет вид

--—-

ЦтрЩ

где а - внутренняя координата в теле проводника, Цт,ав,ам) = со- аы ~

- ^с}г[тИ(а0 - аЛ,)|з1м(аЛ/ - ал,)'

о

К0 N^/211-

Для проводника с профилем в виде полосы шириной I формула для ядра интегрального оператора получается заменой и0 на у0, ии на у Л,, а также

Я(т,мб,1(А/) на Ка^т\(Уд -уы)).

Основываясь на свойствах интегрального оператора К в пространстве

о

всевозможных комплекснозначных функций, определенных на [0,/], суммируемых с квадратом вместе с первыми соболевскими производными и обращающихся в нуль на концах этого отрезка (/ - ширина профиля проводника), у(т,м,?) находится в виде ряда по собственным ортонормированнъм функциям ]\ (т, и) интегрального оператора. А именно,

к=I

где коэффициенты разложения выражаются в виде интеграла Дюамеля [9]

I

о

I

причем §,(/)= =

^ ИоУ11

о

I

СДг) = )^ = уМ М -1

о

зО

Вп - нормальная составляющая фурье-образа индукции магнитного поля внешних источников; Лк - характеристические числа интегрального оператора, соответствующие собственным функциям /к.

Математическая модель, полученная для случая протяженных цилиндрических оболочек, обобщена на случай оболочек вращения, движущихся вокруг своей оси в магнитном поле произвольно расположенных внешних источников.

Разработана программа для расчета на ПЭВМ модифицированным методом Келлога [10] собствегашх функций и характеристических чисел интегрального оператора для оболочек, имеющих профиль в виде дуги окружности. Программа использует методы ускорения вычислительного процесса -расщепление спектра оператора и выбор наилучшего начального приближения [11].

Поскольку в дальнейшем предполагается использование первого характеристического числа интегрального оператора для получения приближенных формул и критериев, в данной главе аналитически находятся значе-

ния характеристических чисел оператора на профиле в виде окружности, и доказывается теорема сравнения, позволяющая оценить первое характеристическое число оператора на дуге окружности через уже полученное п-е характеристическое число оператора на окружности.

Глава 2. Влияние ускорения на электромагнитную силу

Поскольку круг электротехнических устройств, конструктивным элементом которых являются токонесущие оболочки, чрезвычайно широк, а всякое конкретное устройство имеет свои индивидуальные особенности, обуславливающие различные требования к информации, добываемой электромагнитным расчетом, оценка влияния ускорения на ЭС для систем подвеса и тяги выполняется отдельно. Для системы подвеса в качестве источника внешнего магнитною поля рассматривается катушка конечных размеров со стационарным током в ней. Применительно к системам тяги предполагается, что бегущее магнитное поле создается бесконечной системой катушек, смещенных друг относительно друга и питаемых трехфазным током. Вместе с тем математическое описание электродинамических процессов в этих системах проведено единообразно.

Вихревые токи, которые возбуждаются в проводнике при его движении в магнитном поле, оказывают силовое воздействие на внешние источники, которое, как отмечено ранее, зависит в том числе и от ускорения. В связи с этим были получены формулы для составляющих ЭС в условиях ускоренного движения. Вместе с тем, в инженерной практике эта электромагнитная сила, как правило, вычисляется в рамках гипотезы стационарности без определения величины возникающей при этом погрешности. Поэтому в работе проведено сравнение составляющих ЭС, вычисленных в условиях нестационарного движения с постоянным ускорением и в рамках гипотезы стационарности, которое показало, что относительное отклонение для сил, вычисленных в этих режимах, может быть весьма значительным и даже дос-

тигать единицы в области малых скоростей, что проиллюстрировано на рис.2 применительно к силе левитации в системе подвеса.

рнест_р<т

V (м/с)

Рис.2. Относительное отклонение для силы левитации: 1 - а =\0 м / с2 ;2 - а = -10.м / с2.

Аналогичный характер зависимости этого относительного отклонения от скорости движения имеют также силы торможения и тяги.

Поскольку учет ускорения представляет довольно трудоемкую задачу, предлагаются аналитические (инженерные) критерии, выражающиеся через исходные данные, позволяющие оценить вклад ускорения в составляющие ЭС. Из этих критериев следует, что влияние ускорения на величину ЭС определяется величиной безразмерного параметра |ат/у[, где т = )/(1, - характерное время затухания элехстромзпштпых возмущений в проводнике. 11ри |аг/у|«1 влияние ускорения на величину ЭС мало, и она может вычисляться в приближении гипотезы стационарности, наоборот, при |ат/'у|>1 влия-

ние ускорения велико, и гипотеза стационарности при вычислении ЭС не применима. Так, например, для сил торможения и левитации в системе подвеса эти критерии имеют соответственно вид

И %1

vdl

1-

1-

За

vd■[ V dx

где £ « 1 - допустимая погрешность.

Для силы тяги в системе тяги такой критерий представляется в виде

vjrfj

■11

1 а

где п -

(M+W)1

i = Inj! - волновое число, X - длина бегущей волны магнитного поля.

Также для составляющих ЭС в режиме равноускоренного движения получены простые приближенные формулы, выражающиеся через силы в стационарном приближении, умноженные на поправочный коэффициент, в котором сосредоточен основной вклад ускорения. Для сил торможения и левитации эти формулы имеют вид

где ш* » я/2хл , 2хл - длина катушки вдоль оси Ох, т\, „ ,. „ „ d,

4 =Re/7, -f-i-Imö,; mv

аы л- + (n л j

1-е

^ / N 1 Пг" с/, /™r-fv(!)u-

+ (l + A-J——Le M

у

' 0 V та m

[ erf(x l(m,() +jy^rn, t)) - erf (x} (m,0) + jy\ (m,0))],

, . 1 [»М')} о/л / \уно^

* ' 21 Й ЦЬ'КО \ ^ У 2я

Для силы тяги приближенная формула имеет аналогичный вид при т* - I.

Проведен численный эксперимент на ЭВМ по расчету составляющих ЭС в условиях ускоренного движения и в рамках гипотезы стационарности. На основе этого эксперимента выполнен анализ, который показал эффективность применения полученных критериев и приближенных формул для расчета ЭС в системах подвеса и тяги . Относительное отличие значений составляющих ЭС, вычисленных по строгим формулам и по полученным приближенным формулам не превышает 3 % (см., например, рис.3).

Рис.3. Приближенный учет ускорения для силы левитации.

а — Юл« / с2: 1 - точное значение, 2 - приближенное значение: а = — 10л/ / с2:3 - точное значение, 4 - приближенное значение.

Глава 3. О методической погрешности при вычислении электромагнитной силы в рамках гипотезы стационарности

При исследовании динамики проводящих тел, разгоняемых магнитным полем, уравнение движения тел, в правую часть которого входит ЭС F, как правило, решается на ПЭВМ численно. При этом на отдельном шаге дискретизации временной оси используются упрощенные приемы вычисления ЭС Р взаимодействия проводника и внешнего источника магнитного поля - гипотеза стационарности. В рамках этой гипотезы предполагается, что величина ЭС - ст в момент времени г определяется величиной мгновенной относительной скорости проводника и источника магнитного поля. Такой подход, однако, при численном интегрировании уравнения динамики приводит на каждом шаге интегрирования Л1 к "потере" импульса силы 8Р Л г (где

5Г< = Р - Р'"" - часть ЭС, обусловленная ускорением), что в свою очередь приводит к ошибке в определении скорости тела Лг / М - на каждом

Л г, где М - масса тела. Суммируясь, такая методическая погрешность может приводить к существенному отклонению вычисленной фазовой траектории тела от реальной. В рамках используемой кусочно-постоянной аппроксимации зависимости скорости от времени "потерянный" импульс силы можно учесть, считая на каждом шаге интегрирования ускорение импульсным (¿>-функцнонным): |а] -»со, А1КК -> 0, а АI кк = Ж'.

На основе методики, развитой в предыдущих главах, проведено исследование влияния предельно больших ускорений, действующих в течение предельно малых интервалов времени (в рамках допущений, принятых при формулировании математической модели) на ЭС взаимодействия проводшпеа и внешнего источника мэгшпного поля. Такая постановка задачи актуальна также для анализа динамики быстропротекающих процессов, когда полное

время ускоренного движения / < г (где г - характерное время затухания электромагнитных возмущений в проводнике), а безразмерный параметр

Получены формулы для составляющих ЭС в системе магнитного подвеса и электрической тяги при скачке скорости относительного движения проводника и внешнего источника магнитного поля, типа

Кроме того, проведена оценка дополнительной методической погрешности, вызванной использованием стационарного приближения для ЭС при численном интегрировании уравнений движения проводящих тел. Показано, что уменьшение этой погрешности требует увеличения шага разбиения Лг (см. например рис.4), что противоположно требованию уменьшения Л ( при необходимости повысить точность вычисления квадратуры.

Для численного интегрирования уравнения движения предложены рекомендации по выбору такого шага разбиения Лt, при котором возможно использование ЭС в рамках гипотезы стационарности. Например, для силы тяги

\ат/\\ не является малым.

где = V, -у0,

у(/) = V, + Л V •!(?),

ГО, /<0,

[1, I > 0.

где Ш «1 - допустимая относительная

_ > - средняя на интервале шгга-рировайия производная стационарной силы по скорости.

ад

Рис.4. График для силы торможения в относительных единицах: у0 =100 .м/с, У;=50 м/с.

Глава 4. Влияние переносного ускорения на динамические параметры вертикальных колебаний транспортного средства с магнитным подвесом или электрической тягой

Рассмотрены вертикальные колебания транспортного средства (ТС) с магнитным подвесом или электрической тягой как при постоянной, так и при переменной (с постоянным ускорением) переносной скорости движения.

В [12] проведено численное исследование вертикальных колебаний ТС с магнитным подвесом в условиях, когда его переносное движение равномерно V = ёх V - согш . Однако внешние и внутренние (параметрические) воздействия, приводящие к колебаниям ТС, имеют место и в режимах разгона и

торможения, т.е. когда переносная (невозмущенная колебаниями) относительная скорость внешнего источника магнитного поля и проводящего рельса переменна v(i) = v(0) + at, a- const.

В этой главе рассмотрены колебания ТС под действием сил тяжести M g и левитации Fz, которые описываются уравнением

MzA = Fz-A/g,

где •? ,(/) координата центра тяжести ТС. При произвольной амплитуде колебаний это уравнение в силу сложной зависимости Fz от z А разрешимо только численно. При дополнительном предположении о малости амплитуды вертикальных колебаний это уравнение путем линеаризации силы левитации Fz по

малым возмущениям &А(У) (и его производным Sz4, ô'zч ) вертикальной координаты от ее невозмущенного значения приведено к каноническому виду дифференциального уравнения затухающих колебаний

SzA + 2/]Sz'A>(a,0fâzA=0.

Получены аналитические формулы для динамических параметров колебательного процесса р и со0 (скорости затухания и основной частоты), как в рамках гипотезы стационарности, так и в режиме равноускоренного движения. На плоскости переменных (v, а) скорость-ускорение найдены области, где влияние ускорения на динамические параметры [3, а>0 мало, и они могут вычисляться в рамках стационарного приближения. Применительно к системе подвсс« такие области приведены на рис.5.

а)

ИМ

350 300 250 200 150 100 50

• 1 ;

1 I

■■'}■'■ \ - 'Л- \

' ! \!

^х г \'Ч. ' |\:

°20 40 60 80 100 120у(м/с) 100 20 " 40 60 80 100 120У(м/с)

Рис.5. Заштрихованы области выполнения неравенств:

а)

(О п

<£, б)

0нест _£}ст

^«есгр

<е, при е = 0,05.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы, полученные в диссертационной работе.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Астахов В.И. Математическое моделирование инженерных задач в электротехнике. - Новочеркасск: НГТУ, 1994. - 192 с.

2. Высокоскоростной наземный транспорт с линейным приводом и магнитным подвесом / Бочаров В.Й., Винокуров В.А., Нагорский В.Д. и др. - М,: Транспорт, 1985. - 279 с.

3. Кочетков В.М. О левитационном качестве систем электродинамического подвешивания со сплошной путевой структурой // Изв. вузов. Электромеханика. - 1983. - № 2. - С. 5-10.

4. Дмитриев B.C. Транспортные средства на электродинамическом подвесе. -М,: Информэлектро, 1980. - 51 с.

5. Сипливый Б.Н. Применение полярных интегральных уравнений для расчета электромагнитного поля в движущихся проводниках. - В кн. "Техника, теория, математическое моделирование и САПР систем сверхбыстрой обработки информации на ОИС СВЧ и КВЧ" Москва. - 1992,- Т.2. - С. 336.

6. Трещев И.И. Электромеханические процессы в машинах переменного тока -Л.: Энергия, 1980.-344 с.

7. Мелик-Бархударян В.К. Электродинамическое торможение высокоскоростных объектов в наземных условиях: Дис... кандидата тех. наук: - Ереван.-1990. 153 с.

8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.

9. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения,- М.: Наука, 1974,- 332 с.

Ю.Колесников Э.В. Квазистационарные электромагнитные поля в системах с однонаправленным полем тока // Изв. вузов. Электромеханика. - 1970. - №> 12.-С. 1294-1308.

П.Астахов В.И., Бахвалов Ю.А., Вяльцева Т.М., Кирсанова Г.А. Методы ускорения вычислительного процесса задачи о движении проводящей полосы в магнитном поле /У Изв. вузов. Электромеханика. - 1979 - № 3 - С.187-196.

12.Родионов A.C., Астахов В.И. Расчет вертикальных колебаний экипажа ВСНТ с ЭДП над полотном конечной ширины // Изв. вузов. Электромеханика. - 1986. - № 1. - С. 5-13.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Астахов В.И., Кирпиченкова Н.В. Влияние ускорения на электромагнитную силу в системах электрической тяги и магнитного подвеса // Изв. вузов. Электромеханика.- 1998,- № 2-3,- С. 3-12.

2. Кирпиченкова Н.В. О методической погрешности при вычислении электромагнитной силы в рамках гипотезы стационарности // Изв. вузов. Электромеханика. - 1998,- № 4. С. 13-15.

3. Кирпиченкова Н.В. Влияние больших ускорений на динамические характеристики системы электромагнитного подвеса // XXII Гагаринские чтения: Тез. докл. науч. конф. - М.: МГАТУ, 1996. - 4.5. - С. 125-126.

4. Астахов В.И., Сешок С.С., Кирпиченкова Н.В. Электродинамическое взаимодействие источника магнитного поля с ускоренно движущимся рабочим телом // "Состояние и перспективы развития электроподвижного состава": Тез. докл. на П Международной конференции.-Новочеркасск,- 1997. - С. 201-203.

5. Кирпиченкова Н.В. Математическое моделирование силового взаимодействия ускоренно движущегося проводника с магнитным полем внешних источников // "Математическое моделирование и компьютерные технологии": Тез. докл. на II Всероссийском симпозиуме,- Кисловодск,- 1998,- С. 39-40.

Подписано в печать 13. -10. 92?. Печать оперативная. Тираж 400.

Объем % $ п. л.

Заказ Í2 32,

Новочеркасский государственный технический университет Типография НГТУ Адрес ун-та и типографии: 346409, Новочеркасск, ул. Просвещения, 132

Министерство общего и среднего профессионального

образования

Новочеркасский государственный технический университет

На правах рукописи УДК 519.711.3:621.313

Кирпиченкова Наталья Валерьевна

ВЛИЯНИЕ УСКОРЕНИЯ НА ЭЛЕКТРОДИНАМИКУ ТОНКОСТЕННЫХ ПРОВОДЯЩИХ ТЕЛ

Специальность 05.13.16 - Применение вычислительной техники,

математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор технических наук профессор В.И .Астахов

Новочеркасск - 1998

СОДЕРЖАНИЕ Стр.

ВВЕДЕНИЕ........................................... 4

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ УСКОРЕННО ДВИЖУЩЕГОСЯ ПРОВОДЯЩЕГО ТЕЛА . . 9

1.1. Постановка задачи. Исходная математическая модель..............9

1.2. Интегро-дифференциальное уравнение вихревых токов............12

1.3. Свойства интегрального оператора..............................................19

1.4. Представление решения через собственные функции оператора 20

1.5. Гипотеза стационарности..............................................22

1.6. Оболочки вращения, движущиеся вокруг своей оси....................24

1.7. Теорема сравнения............................................................................27

1.8. Примеры вычисления собственных функций и характеристических чисел........................................................................................31

1.9. Выводы................................................................................................39

2. ВЛИЯНИЕ УСКОРЕНИЯ НА ЭЛЕКТРОМАГНИТНУЮ

СИЛУ................................................. 41

2.1. Система подвеса......................................... 42

2.1.1. Электромагнитная сила в режиме ускоренного движения и в рамках гипотезы стационарности....................................................42

2.1.2. Фурье-образ индукции стороннего магнитного поля..................49

2.1.3. Критерии применимости гипотезы стационарности....................51

2.1.4. Приближенные формулы для составляющих ЭС, учитывающие влияние ускорения.......................................58

2.2. Система электрической тяги...............................60

2.2.1. Магнитное П9ле бегущей волны............................60

2.2.2. Формулы для линейной плотности силы тяги в режиме равноускоренного движения....................................61

2.2.3. Критерий применимости гипотезы стационарности......................63

2.3. Численный эксперимент...................................64

2.4. Выводы................................................. 72

3. О МЕТОДИЧЕСКОЙ ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СИЛЫ В РАМКАХ ГИПОТЕЗЫ СТАЦИОНАРНОСТИ.................................... 73

3.1. Формулировка проблемы................................. 73

3.2. Вычисление электромагнитной силы при скачке скорости...... 74

3.3. Методическая погрешность стационарного приближения при численном интегрировании уравнений динамики проводящих

тел в магнитном поле (на примере силы тяги)................. 86

3.4. Выводы................................................. 92

4. ВЛИЯНИЕ ПЕРЕНОСНОГО УСКОРЕНИЯ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ВЕРТИКАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ТРАНСПОРТНОГО СРЕДСТВА С МАГНИТНЫМ ПОДВЕСОМ ИЛИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ТЯГОЙ................... 93

4.1. Постановка задачи...................................... 93

4.2. Вертикальные колебания в системе подвеса................. 95

4.2Л. Вертикальные колебания в режиме стационарного переносного

движения............................................... 95

4.2.1.1. Линеаризация уравнения вертикальных колебаний......... 95

4.2.1.2. Динамические параметры колебательного процесса......... 99

4.2.2. Вертикальные колебания при наличии постоянного переносного

ускорения............................................. 100

4.3. Вертикальные колебания в системе электрической тяги...... 103

4.4. Обсуждение........................................... 106

4.5. Выводы.............................................. 115

ЗАКЛЮЧЕНИЕ....................................... 116

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............................... 119

ВВЕДЕНИЕ

Объектом исследования в данной работе является электромагнитное взаимодействие ускоренно движущихся тонких проводящих оболочек с внешним источником изменяющегося во времени магнитного поля [1]. Примерами таких оболочек могут служить электромагнитные ускорители (пушки), устройства для создания сильных импульсных магнитных полей, системы электродинамического подвеса и тяги транспортных средств, их асинхронные линейные двигатели, вихретоковые тормоза, устройства разгона и торможения на полигонах по испытанию новой авиационной и космической техники и т.д. [2-24]. В данной работе эти устройства условно разделены на два класса. К первому относятся, так называемые, системы подвеса (левитации), ко второму - системы тяги (торможения). Системы подвеса характеризуются тем, что используют стационарное магнитное поле и предназначены для создания силы левитации. Системы тяги используют бегущее магнитное поле для создания тяговой или тормозной силы. Находясь в переменном магнитном поле, проводники потребляют энергию, связанную с возбужденными в них вихревыми токами, а также оказывают электромагнитное и силовое воздействия на соседние проводящие тела и внешние источники магнитного поля. На практике учет этих эффектов нередко оказывается необходим для обеспечения оптимальных параметров элементов конструкций перечисленных выше устройств.

В практике инженерных расчетов электромагнитной силы (ЭС) Т7 взаимодействия проводника и внешнего источника магнитного поля предполагается, что величина ЭС в момент времени I среди прочего, определяется величиной их мгновенной относительной скорости \отн (V) в тот же момент времени t при любом характере движения (так называемая гипотеза стационарности [1]). Однако, очевидно, что, если характерное время т затухания электромагнитных возмущений в проводнике не равно нулю, то ЭС обладает «памятью» - значение Т7 в момент времени t определяется, в частности, характером зависимости

vomH{t) на интервале времени предшествующем моменту t*. При этом, если t» т, то электромагнитные возмущения, вызванные начальными условиями (при t=0), к моменту времени t успевают затухнуть и не влияют на величину F . Таким образом, F является не функцией, а некоторым функционалом от Уотн(*): ^[^о/ян]' основной вклад в который дает интервал времени \t-z,t\. При vomH = const величина этого функционала в любой момент времени t определяется этой постоянной скоростью, а, если, например, движение равнопеременное (с постоянным ускорением а), то величина функционала определяется уже двумя параметрами: мгновенной скоростью vomH(t) и ускорением а [1].

Несмотря на то, что режимы разгона и торможения кратковременны, с точки зрения надежности работы и безопасности движения они являются наиболее важными. С другой стороны, точный количественный анализ электромагнитных процессов, происходящих в этих устройствах, предопределяется высоким уровнем требований к качеству проектирования новых устройств и их систем управления, характеризуемых большой стоимостью в изготовлении, предельными режимами работы, значительным энергопотреблением и воздействием на окружающую среду. До настоящего времени в практике проектирования этих устройств остается неясным - надо ли учитывать эффекты ускорения, а если надо, то как? Отсюда возникает задача оценки и учета влияния упомянутых эффектов на электродинамические процессы в движущихся в стационарном или переменном магнитном поле проводниках, что и является целью данной работы. Известные результаты [25] приближенного учета эффектов ускорения методами теории цепей при расчете круговых электрических машин и физических экспериментов, а также результаты [26] подтверждают актуальность этой задачи.

* За пределами этого интервала "память" экспоненциально слаба.

Поставленная цель предполагает решение следующих задач:

1. Разработка математической модели для расчета вихревых токов и составляющих ЭС, учитывающей влияние переносного ускорения относительного движения тонкой проводящей оболочки и источника внешнего магнитного поля.

2. Получение простых аналитических критериев малости относительного отклонения ЭС, вычисленной в режиме ускоренного движения от силы, вычисленной в рамках гипотезы стационарности, применительно к системам магнитного подвеса и электрической тяги.

3. Вывод инженерных формул, приближенно учитывающих влияние ускорения на ЭС.

4. Численное исследование влияния ускорения на силовые характеристики с целью проверки эффективности полученных аналитических критериев и приближенных формул для ЭС в режиме ускоренного движения.

5. Оценка вклада в методическую погрешность, обусловленного использованием стационарного приближения для ЭС на шаге временной дискретизации, при численном интегрировании уравнений механики проводящих оболочек, движущихся в магнитном поле.

6. Исследование влияния эффектов постоянного переносного ускорения на динамические параметры (основные частоты, скорости затухания) свободных колебаний транспортного средства с магнитным подвесом или электрической тягой.

При разработке математических моделей и алгоритмов в теоретической части исследований использованы методы теории электромагнитного поля, аппарат математического и функционального анализа, методы теории уравнений математической физики, включая преобразование Фурье, теории интегральных и дифференциальных уравнений, а также методы численного анализа.

Программное обеспечение разработано в системе Turbo Pascal 7.0 для IBM PC.

Материал работы распределен следующим образом.

В первой главе формулируются математические модели для расчета вихревых токов в движущихся тонких проводящих оболочках, применительно к протяженным цилиндрическим оболочкам и оболочкам вращения. Скорость движения при этом имеет произвольную зависимость от времени. Далее задача сведена к решению интегро-дифференциального уравнения с интегральным оператором, для которого получены явные представления. В силу свойств этого оператора решение уравнения представляется в виде ряда по его собственным функциям. Приводятся результаты теоретических и численных расчетов собственных функций и характеристических чисел интегральных операторов для ряда оболочек.

Во второй главе полученные теоретические результаты применяются к конкретным техническим проблемам. Основное внимание уделяется системам электродинамического подвеса и электрической тяги. Получены достаточно простые аналитические критерии, выражающиеся через исходные данные, позволяющие оценить вклад влияния ускорения на ЭС, а также приближенные формулы вычисления ЭС в режиме нестационарного движения. Проведенный численный эксперимент показал эффективность полученных результатов.

В третьей главе на основе развитой в предыдущих главах методики проведено упрощенное вычисление ЭС, учитывающее импульсное (¿>-функционное) ускорение. На основе проведенного численного исследования сформулированы рекомендации о выборе шаге квадратуры при использовании конечно-разностных методов решения уравнений динамики проводящих оболочек в магнитном поле.

В четвертой главе рассмотрены вертикальные колебания транспортного средства (ТС) в системах магнитного подвеса и электрической тяги в режиме стационарного движения и при наличии постоянного переносного ускорения. При помощи линеаризации уравнения вертикальных колебаний получены аналитические формулы для динамических параметров (основные частоты и ско-

рости затухания) свободных колебаний, учитывающие влияние ускорения. Получен критерий применимости гипотезы стационарности.

Содержание работы отражено в публикациях [27-31]. Результаты работ докладывались на конференциях: молодежной научной конференции "XXII Гагаринские чтения" - Москва 1996 г.; II Международной конференции "Состояние и перспективы развития электроподвижного состава" - Новочеркасск 1997 г.; II Всероссийском симпозиуме "Математическое моделирование и компьютерные технологии" - Кисловодск 1998 г.

Объем диссертационной работы составляет 127 стр. Список цитируемой литературы содержит 75 наименований.

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ УСКОРЕННО ДВИЖУЩЕГОСЯ ПРОВОДЯЩЕГО ТЕЛА

При вычислении электромагнитной силы (ЭС) F взаимодействия движущегося проводника и внешнего источника магнитного поля одной из основных проблем является расчет вихревых токов в проводнике. Интегральное уравнение вихревых токов в однородном изотропном немагнитном проводнике было получено в [32-34] и развито в работах [35-40]. Применительно к тонким проводящим оболочкам эта проблема целенаправленно исследовалась в цикле работ [41-58], а также в [59], где приведена обширная библиография публикаций по этой проблеме.

В этой главе задача расчета вихревых токов в движущихся в магнитном поле проводящих оболочках обобщена на случай произвольной зависимости скорости движения от времени.

Рассматриваются частные классы проводников: оболочки вращения и протяженные цилиндрические оболочки, движущиеся в присутствии магнитного поля внешних источников. Для них с помощью аппарата преобразований Фурье задача расчета вихревых токов сводится к интегро-дифференциальному уравнению, решение которого выражается через собственные функции и характеристические числа интегрального оператора уравнения. В их нахождении состоит численная часть работы.

1.1. Постановка задачи. Исходная математическая модель

При движении проводника в переменном магнитном поле будем считать, что имеет место квазистационарный режим, понимаемый в том смысле, что токи смещения отсутствуют в проводнике и не стекают с его поверхности в окружающий диэлектрик. Составляющей плотности вихревого тока в направлении толщины проводника пренебрежем. В рамках данной работы рассмотрим

немагнитные весьма тонкие проводники, что позволит не интересоваться распределением тока по толщине проводника [1].

Перечисленные допущения по отношению к реальным проводникам являются естественными во многих практически важных случаях. В частности, условие малости токов смещения по сравнению с токами проводимости у » cos (у - удельная объемная проводимость, е - диэлектрическая проницаемость, со - круговая частота) выполняется для хороших проводников (медь, алюминий) до частот, составляющих десятки кГц, а условие пренебрежимо малой неравномерности распределения тока по толщине ^coyju/2 h« \ [60] (ju-магнитная проницаемость материала, h - толщина проводника) при промышленной частоте 50 Гц, например, для медной пластины можно считать выполненным при h ~ 1мм, если интересоваться пространственными гармониками распределения вихревого тока, период которых вдоль срединной поверхности, значительно больше И. Последнее обстоятельство существенно, так как именно оно позволяет отождествить проводник с его срединной поверхностью .

Пренебрежение нормальной к S составляющей тока основано на предположении, что электронная "жидкость", "взбалтываемая" в теле тонкого проводника магнитным полем, перемещается преимущественно вдоль S. Действительно, как следует из [61,62], вихревые токи, возбуждаемые в однородной неограниченной пластине любой толщины или сферическом проводящем слое с любыми радиусами кривизны ограничивающих поверхностей, текут строго вдоль срединной поверхности при любом расположении в пространстве источников стороннего (первичного) магнитного поля. Таким образом, ни геометрия стороннего поля, ни кривизна срединной поверхности проводника не являются причиной возникновения нормальной составляющей плотности вихревого тока в проводнике.

Пусть Vk - тело внешних источников, Vp - тело проводника, Sp - его боковая поверхность, ориентированная внешней нормалью п .

В условиях принятых допущений удобно перейти к идеализированному (геометрически тонкому) проводнику с однородной изотропной проводимостью у.

Будем полагать, что проводник движется в заданном магнитном поле сторонних источников индукции со скоростью у(7). Запишем урав-

нения Максвелла в квазистационарном приближении

дВ

го1Е -

д1

сИУ8 = 0, материальные уравнения поля

8 = у\Е +

граничные условия

8 п = О на 51 ,

дополнительные условия

у = 0 вне УриУк,

гоШ = 8,

сНУВ = О,

В=МоН,

\в(м)\

М—>Со

->0,

6=0

вне УриУк[

у-^сопя! в У , в Ук задано.

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

Первое граничное условие означает, что проводник не имеет электрического контакта с другими проводниками, поэтому вихревые токи из него не вытекают и на боковой поверхности могут иметь только касательную составляющую. Второе условие - условие в бесконечности - есть, в конечном счете, следствие ограниченности энергии, запасенной в электромагнитном поле.

Задача (1.1)-(1.5) получена в условии пренебрежения эффектом Стюарта-Толмена [63].

1.2. Интегро-дифференциальное уравнение вихревых токов

Рассмотрим бесконечно-длинный вдоль оси Ох декартовых координат х, у, г проводник (протяженную цилиндрическую оболочку) (рис. 1.1), движущийся в направлении своей длины с линейной скоростью у(^) = ёх у(^).

Рис. 1.1. Элемент проводника с разомкнутым связным профилем

нулевого рода

Профилем назовем след срединной поверхности проводника, получаемый в пересечении с плоскостью х=сот1. Сосредоточим внимание на проводниках с кусочно-гладким связным профилем Ь нулевого ро