автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод динамической адаптации в проблемах горения и взаимодействия лазерного излучения с веществом

На правах рукописи УДК: 519.63:536.24

Демин Михаил Михайлович

МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОЙ АДАПТАЦИИ В ПРОБЛЕМАХ ГОРЕНИЯ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ

Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2004

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В.И. Мажукин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ЮА.Повещенко

доктор физико-математических наук, профессор Г.Г.Гладуш

Ведущая организация:

Факультет ВМиК МГУ им.М.В. Ломоносова

Защита состоится "_"_

_2004 г. на заседании специализированного совета

К 002.058.01 при Институте Математического Моделирования РАН по адресу: 125047, г. Москва, Миусская пл. д 4-А.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке ИММ РАН.

Автореферат разослан

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических

В. И. Похилко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы

Задачи, связанные с математическим моделированием процессов тепломассообмена, являются основой многих современных фундаментальных и прикладных исследований, направленных на разработку перспективных технологических приложений. В подобных задачах поведение решения может протекать весьма сложным образом, в частности, включая быстро перемещающиеся области сильного изменения решения. Кроме того, в проблемах тепло-массообмена часто встречаются ситуации, когда требуется одновременное рассмотрение процессов в нескольких областях, соответствующим различным агрегатным состояниям вещества, разделенными подвижными межфазными границами. Появление и исчезновение исходных агрегатных состояний сопряжено с пространственной разномасштабностью задач, возникающей из-за того, что пространственные размеры рассматриваемых областей могут отличаться и изменяться на несколько порядков. При рассмотрении подобных задач возникает проблема поиска эффективных методов их решения. Часто выбор определенного метода решения может быть связан не только и не столько с повышением эффективности, сколько с возможностью в принципе получить решение, например, учесть наличие подвижных межфазных границ. Применение метода динамической адаптации дает возможность проведения расчета с явным выделением межфазных границ и сильных разрывов типа ударных волн, в то время как расчет без их явного выделения может полностью исказить решение. Также метод адаптации позволяет существенно повысить эффективность вычислительных алгоритмов за счет значительного (от нескольких раз до нескольких порядков) сокращения числа использованных узлов сетки, а обычно еще и с одновременным увеличением шага интегрирования по времени.

К типичным примерам, в которых методы динамической адаптации становятся незаменимыми, относятся проблемы быстрых фазовых переходов и сильных ударных волн, возникающих, в частности, при импульсном лазерном воздействии на металлы. Лазерная обработка металлов находит все более широкое промышленное применение, и в режимах воздействия в последнее время происходит движение в сторону уменьшения длительности с одновременным увеличением интенсивности воздействующего лазерного импульса. При переходе от наносекундных к пико- и фемтосекундным режимам воздействия изучение происходящих процессов путем экспериментального наблюдения становится все более затруднительным. Поэтому все большую важность приобретает математическое моделирование процессов, возникающих при короткоимпульсной лазерной обработке материалов.

Цель работы

Основная цель работы состояла:

• В развитии метода динамической адаптации для задач со сложным колебательно- пульсирующим характером решения.

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ I БИБЛИОТЕКА {

• В развитии метода динамической адаптации для задач с большим количеством подвижных границ и разрывных решений.

• В построении сопряженной дифференциальной модели, состоящей из уравнений газо-гидродинамики, уравнений переноса излучения и баланса энергии, описывающей процессы в конденсированной и газовой средах и кинетику фазовых переходов.

• В моделировании процессов двухстадийного горения и лазерного нагрева, плавления и испарения металлической мишени в условиях возникновения плазмы в газообразной среде.

Научная новизна

• Впервые метод динамической адаптации был применен к задачам, решение которых носит колебательный характер, а размер расчетной области в ходе решения изменяется на несколько порядков. Была определена необходимая функция преобразования и сформулированы граничные условия на свободной границе. Разработанный подход позволил провести исследования устойчивых (стационарных) и неустойчивых (колебательных) режимов одностадийного и двухстадийного ламинарного горения. Во всех вариантах применение динамически адаптирующихся алгоритмов существенно повысило эффективность вычислений по сравнению с расчетами на сетках с фиксированными узлами. При одной и той же точности количество узлов для адаптивной сетки было меньше на 1 - 2.5 порядка, а быстродействие выше в 2-50раз.

• Разработана математическая модель лазерного воздействия на металлы в среде с противодавлением, последовательно учитывающая нагрев, плавление-кристаллизацию, испарение-конденсацию и гидродинамические эффекты в конденсированной фазе; нагрев, образование плазмы, перенос излучения и газодинамический разлет вещества в газовой среде. С помощью согласованных граничных условий на облучаемой поверхности учитываются процессы взаимодействия плазмы с конденсированной средой Построены разностные схемы на сетках с динамической адаптацией и разработан вычислительный алгоритм для решения сопряженных задач гидродинамики и радиационной газодинамики с явным выделением межфазных границ и сильных разрывов, общее количество которых достигало семи.

• Исследована структура плазменного факела, возникающего при импульсном лазерном воздействии на алюминиевую мишень в воздухе. Определены особенности процесса испарения, образования и распространения плазмы в паре и воздухе для разных значений интенсивности и длительности воздействующего импульса. Моделирование позволило обнаружить новое явление — образование в паре контактного разрыва, возникающего при переходе от процесса испарения к конденсации, вызванного взаимодействием плазмы с поверхностью мишени, и последующим возобновлением испарения.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы

Научная и практическая ценность

Метод динамической адаптации был распространен на задачи горения, решение которых носит колебательный характер. Было проведено моделирование различных режимов горения и исследована эффективность метода адаптации. Построена модель и разработан алгоритм решения задачи лазерного испарения в среду с противодавлением с применением метода динамической адаптации. Проведено моделирование различных режимов лазерного воздействия, в том числе режимов с последовательно сменяющимися процессами поверхностного испарения и конденсации. В результате был обнаружен новый эффект-образование контактного разрыва в паре в результате взаимодействия плазмы с поверхностью мишени. Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на:

1. Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам Ломоносов 2001, 2002, 2003. Москва, МГУ, Физический факультет.

2. Conference on Lasers, Applications and Technologies LAT 2002. Moscow, Russia

3. International Workshop on Fundamentals ofAblation with Short Pulsed Solid State Lasers. 2002, 2003. Hirschegg, Germany.

4. Общеинститутском семинаре ИОФАН им. А.М.Прохорова. Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор литературы по теме исследования, формулируются цели работы и приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе рассматривается применение метода динамической к задачам одностадийного и двухстадийного горения. Приводится полная постановка задачи в физическом и расчетном пространстве, определяется необходимая функция преобразования и строятся разностные схемы на динамически адаптирующихся сетках. Следует заметить, что кроме развития методов адаптации, применению которых при решении задач газодинамики посвящены вторая и третья глава, данная задача представляет и самостоятельный интерес с точки зрения исследования процесса горения. Было проведено моделирование различных стационарных и колебательных режимов горения для одно- и двухстадийного случая, определено влияние параметров и количества реакций на характер распространения пламени, а также сделана оценка эффективности метода адаптации.

В диссертации рассматривалось две задачи горения: одностадийного, в которой исходное вещество сгорает сразу, и двухстадийного, в которой вещество 1 при горении сначала превращается в вещество 2, которое уже сгорает окончательно. В простейшей постановке задача двухстадийного горения описывается системой из трех дифференциальных уравнений параболического типа: одного уравнения теплопроводности и двух уравнений диффузии с постоянными коэффициентами температуропроводности а и диффузии D. Предполагается, что волна химической реакции распространяется с дозвуковой скоростью по гомогенной в тепловом и концентрационном отношении

неподвижной газовой среде, процесс горения является изобарическим, а перенос тепла и вещества имеет диффузионную природу.

В физическом пространстве у 7" с переменными /и хв размерной форме математическая модель имеет вид:

ГДеД и р2- плотности первого и второго веществ соответственно; Д, О,, Я, Ср и ро -коэффициенты диффузии и теплопроводности, удельная теплоёмкость и начальная плотность вещества; Е1,Е1 и А,, й2энергии активации реакций и массовые теплоты сгорания; Ь- длина рассматриваемой области. В случае задачи одностадийного горения отсутствуют уравнение для плотности второго вещества (2) и соответствующий член с Ф2 в уравнении (3).

Предполагается, что источником, инициирующим реакцию, является горячая стенка, помещенная в начало координат х= 0. Ее температура меняется по линейному закону от некоторой начальной температуры до, так

называемой, адиабатической температуры горения

Далее все исходные дифференциальные модели были переписаны в безразмерной форме, в которой удобнее их решать и анализировать.

Системы уравнений решаются с помощью метода динамической адаптации, в котором построение расчетной сетки осуществляется на основе перехода к произвольной нестационарной системе координат с переменными принадлежащей некоторому расчетному пространству Переход

осуществляется с помощью замены общего вида имеющей

обратное преобразование ^ = ,г = /. Якобианом такого преобразования

является функция \|/ = —. Уравнение обратного преобразования, являющееся

дифференциальным уравнением в частных производных, составляется таким образом, что скорость движения узлов зависит от динамики решения уравнений, описывающих физические процессы.

В результате преобразования к нестационарной системе координат исходные системы дифференциальных уравнений в новых переменных

дополняются уравнениями обратного преобразования

Функция Q осуществляет контролируемое движение узлов сетки, согласованное с динамикой искомого решения. Согласование достигается функциональной зависимостью функций Q от искомого решения, т.е. от функций р,,р,,Г. Правильный выбор функции преобразования обеспечивающий

согласованное с решением движение узлов является важнейшим моментом в методе динамической адаптации.

Для определения функций преобразования используется принцип квазистационарности, позволяющий получить функции преобразования, свободные от подгоночных параметров, и при этом обеспечивающий согласование движения сетки и изменения решения. При недостаточном их согласовании сетка может не успевать за перемещением особенностей решения, что приводит к снижению эффективности адаптации, а также к осцилляциям решения, либо к связанным колебания сетки и решения. В основе принципа квазистационарности лежит предположение о том, что существует такая нестационарная система координат, в которой все процессы протекают стационарно, т.е. производные решения по времени в расчетном пространстве равны нулю или достаточно малы. Применение принципа квазистационарности для рассматриваемой системы двухстадийного горения сводится к условию дТ _ др\ _ др2 дх дт 9т

функций преобразования для одно- и двухстадийного случая:

- = 0. В результате были получены следующие формулы для

где reg « 1- постоянная, предотвращающая обращение в нуль знаменателя в точках, где пространственные производные обращаются в нуль.

При формулировке граничных условий в нестационарной системе координат учитывалось, что процесс горения инициируется на левой границе а затем волна горения распространяется по холодному фону в направлении правой границы (¡ = 4^. Поэтому представляется целесообразным исключить из рассмотрения область, не охваченную возмущением. Тогда задача переформулируется в виде задачи с подвижной границей, что существенно повышает эффективность метода адаптации. До тех пор пока, возмущение не достигнет точки граница остается неподвижной, а затем на ней

используется следующее условие для функции преобразования:

Для численного решения система уравнений предварительно была записана в строго дивергентном виде и с помощью консервативных конечно-разностных схем была проведена аппроксимация полученных систем уравнений в физическом и расчетном пространстве. Разностные схемы в физическом пространстве использовались для сравнения результатов расчетов на фиксированных и адаптивных сетках и для оценки эффективности метода адаптации. При решении полученных нелинейных систем сеточных уравнений использовался метод Ньютона с автоматическим выбором шага интегрирования по времени и метод раздельных прогонок, в котором каждое из уравнений линеаризуется и решается отдельно в одном общем итерационном цикле.

При исследовании различных стационарных и колебательных режимов горения в диссертации отдельно рассматривались режимы одностадийного и двухстадийного горения, а для каждого из этих двух случаев еще также отдельно стационарные и колебательные режимы. Приводятся и анализируются графики пространственного распределения температуры Т(х, /), п л о т н о р(х,й)щ а г а сетки на разные моменты времени и зависимости от времени толщины

зон прогрева 5/-(?) и диффузии 5р1 (/), скорости распространения фронта пламени и(/), траектории движения узлов сетки.

Режим распространения фронта пламени определяется числом Льюиса, которое является отношением коэффициентов теплопроводности и

температуропроводности, Стационарные режимы, то есть такие, в

которых скорость распространения фронта после поджигания устанавливается постоянной, реализуются, когда число Льюиса Ьв находится вблизи единицы. Характерные особенности стационарного горения (Ьв = 1) состоят в наличии постоянной скорости распространения фронта, подобия пространственных профилей температуры и концентрации и примерного равенства зон прогрева и диффузионного влияния. В вычислительном отношении основной особенностью является наличие практически не изменяющейся во времени пространственной зоны с крутыми градиентами и распространяющейся с постоянной

скоростью. Появление зоны сильного изменения решения влечет за собой автоматическое перераспределение узлов сетки с концентрацией их в зоне

горения. Расчеты показали, что в зоне горения пространственный шаг сетки уменьшается примерно в 10 раз, а в остальной области увеличивается в 2+5 раз.

Монотонная неустойчивость возникает при Ьв » 1. В этом случае реализуется неустойчивый режим горения перегретой реагирующей смеси с избытком энтальпии за фронтом и минимумом во фронте Температура горения за фронтом оказывается выше адиабатической, Т т а х > Тй. Максимальный перегрев достигается в начальные моменты времени, а затем процесс протекает с плавно уменьшающейся скоростью. Неустойчивость приобретает монотонный характер, что хорошо согласуется с линейной теорией. Приводятся результаты расчетов для случая Ьв = 10. В этом случае крутизна профилей температуры в зоне горения существенно выше, чем для плотности, и сгущение узлов сетки происходит в области фронта с большей крутизной.

При обратном соотношении коэффициентов переноса, Б«а, которому соответствуют значения 0<Ze<l, характер неустойчивости качественно отличается от предыдущего случая. При значениях меньше примерно Ьв <0.3 возникают периодические колебания скорости горения. Первоначально неустойчивость горения проявляется в виде затухающих колебаний. По мере удаления от порога устойчивости амплитуда, частота и структура колебаний изменяются. Сначала в системе реализуется автоколебательный режим горения, потом амплитуда пульсаций и их частота возрастают, а сами колебания приобретают все, более релаксационный характер, при котором длительность стадии депрессии еще больше увеличивается, а длительность вспышки сокращается. Кроме того, структура колебаний усложняется, и в течение одного периода наблюдаются несколько всплесков скорости. Сложный характер решения предопределяет сложный механизм перестройки сетки, при котором минимальный пространственный шаг уменьшается примерно на три порядка. Наибольшее различие между зонами теплового и диффузионного влияния наблюдалось при горении конденсированных сред, для которых Ьв = 0. Диффузия компонентов горючей смеси является дополнительным стабилизирующим фактором, и её отсутствие в зоне горения конденсированных сред обуславливает минимальный запас устойчивости их горения. Послойные пульсирующие режимы распространения фронта реакции экспериментально наблюдались в основном в конденсированных средах.

При моделировании процессов двухстадийного горения в первую очередь внимание уделялось анализу влияния присутствия второй реакции. Как и в одностадийном варианте, устойчивые режимы реализуются при Ьв~\. Взаимодействие зон теплового и диффузионного влияния носит сложный характер, однако, с течением времени устанавливается устойчивое соотношение 8р( <5рг <5р2 (/), которому соответствует постоянное значение скорости

В основном, влияние второй реакции в стационарном случае Ьв = / проявляется в замедлении процесса горения и уменьшении скорости распространения фронта пламени. Зона устойчивого горения по числу Льюиса становится значительно шире, чем для одностадийного варианта. Порог начала колебаний для двух химических реакций сдвигается в сторону меньших значений Ьв. Расчеты показали, что при фиксированных значениях параметров для первой реакции в

двухстадийном случае колебания могут и не возникать, хотя они и присутствовали в одностадийном.

При рассмотрении неустойчивых режимов горения структура пульсаций в двухстадийном случае приобретает еще более сложный характер по сравнению с одностадийным. Если при тех же параметрах в одностадийном пульсирующем режиме горения всё ограничивалось двойными вспышками, то в двухстадийном варианте в течение одного периода колебаний происходит четыре всплеска скорости. Такую же сложную эволюцию претерпевает и зона горения, в которой в режимах колебательной неустойчивости обязательно выполнение соотношения При этом пространственное распределение температуры

может содержать два локальных максимума: по переднему и заднему фронту Амплитуда, частота и структура пульсаций сильно зависят от величины кинетических коэффициентов второй реакции А2 и 82. Так в одном из рассматриваемых режимов увеличение параметра 82 с 23 до 25 вызывает сильное увеличение количества вспышек за период с 4 до 8-9. На рис. 1,2 показаны соответствующие зависимости скорости горения от времени. Видно существенное изменение характера вспышек при относительно небольшом изменении одного из параметров реакции.

В вычислительном атношении в режимах неустойчивого горения введение второй химической реакции не вызывает особых осложнений, хотя и потребовало некоторого увеличения числа узлов сетки N-80 в сильно неустойчивых режимах. Узлы сетки концентрируются в зоне горения, в которой имеется две области сильного изменения решения. Первая определяется положением фронтов Т , р¡и передним фронтом Р2, которые примерно совпадают. Вторая определяется задним фронтом плотности р?. На рис.3 этим двум областям изменения соответствуют области сильного сгущения траекторий движения. Также на рис.3 можно видеть существенное изменение размера области в ходе расчетов с 5 до 140, что достигается наличием свободной

При исследовании эффективности метода динамической адаптации на примере моделирования различных режимов одностадийного горения были получены зависимости затрат машинного времени и числа использованных узлов от величины отношения толщины фронта пламени 8 к размеру области расчета Ьу 51Ь. В количественном отношении, эффективность метода характеризовалась двумя показателями: быстродействия 1е и количества используемых узлов л^.'Как показали расчеты, минимальное число узлов, необходимое для решения типовых задач горения с помощью адаптирующихся сеток составляет ~2О-КЗО. При расчете стационарных режимов горения показатель эффективности алгоритмов с динамической адаптацией

по количеству используемых узлов находится в диапазоне 10-150. Максимальная эффективность по быстродействию для алгоритмов с динамической адаптацией достигает значения Однако, если

размеры зоны горения сопоставимы с размерами рассматриваемой области, то

эффективность адаптирующихся сеток по быстродействию заметно снижается. А при 5/£ « 0.2 некоторое преимущество «20% получают алгоритмы на сетках с фиксированными узлами. В колебательных режимах эффективность динамической адаптации по быстродействию заметно снижается из-за относительно частой и сильной перестройки сетки в моменты вспышек и депрессии, но при этом все равно в целом оставаясь существенно выше эффективности сеток с фиксированными узлами - выигрыш по числу узлов достигает значений « 500. При увеличении размеров области эффективность адаптирующейся сетки по быстродействию еще больше увеличивается пропорционально примерно

Вторая глава посвящена постановке задачи лазерного испарения и разработке вычислительного алгоритма ее решения с применением метода динамической адаптации.

Математическая формулировка задачи представляет собой систему уравнений гидродинамики и радиационной газодинамики:

Система состоит из трех уравнений, выражающих законы сохранения массы, импульса и энергии, уравнений переноса лазерного излучения и излучения плазмы и уравнений состояния. Все уравнения рассматриваются для четырех фаз, три из которых соответствуют трем агрегатным состояния вещества мишени (твердое, жидкое, парообразное) и окружающей атмосфере. Здесь р, к,Е, Т, Р-плотность, газодинамическая скорость, внутренняя энергия, температура и давление вещества соответственно, -коэффициент

поглощения и спектральная плотность излучения плазмы, -плотность

потока равновесного излучения, и О -коэффициент поглощения и плотность потока лазерного излучения, причем это плотность потока падающего

и отраженного от поверхности излучения соответственно,

-плотность потока тепла и излучения плазмы, -коэффициент теплопроводности. Индексы О, £ обозначают принадлежность величин соответственно к твердой, жидкой, парообразной и воздушной средам. В конденсированной фазе Б имеет смысл энтальпии.

На межфазных границах плавления, испарения, контактной границе пар-воздух, ударной волне в воздухе и твердой фазе записываются граничные условия, которые получаются путем записи соответствующих законов сохранения на границе. В качестве граничных условий на фазовой границе твердое тело-жидкость записываются соотношения, типичные для

классической задачи Стефана, описывающей процессы плавления-кристаллизации:

Законы сохранения формулируются в системе координат движущейся со скоростью движения твердой фазы -скорость распространения

фронта плавления-кристаллизации в неподвижной (лабораторной) системе координат:

Закон сохранения массы:

ЛИ

Закон сохранения импульса:

Л/ = Р5+1>*1 = Р1+ Л7 («/ - ~ оа)

/а = р, = А

Закон сохранения энергии:

л>-Лг+Л7

Н. + -— 1 2

- - ;т 4. ;т

Н | ' 2

где С = -

Р*~Р1 2

плавления, Н,,///- энтальпия твердой и жидкой фаз соответственно, ]т,]',]е-поток массы, импульса и энергии, -теплоемкость при постоянном давлении.

неравновссная теплота

Закон сохранения энергии

дифференциальное условие Стефана условием равенства температур

Та =7; = 7И (Я,),где Гт (Р3) = (Гя>0 + *•/>,).

представляющий собой дополняется феноменологическим

В рассматриваемой задаче использовался неравновесный вариант условия Стефана с температурой плавления, линейно зависящей от давления. Эта зависимость начинает играть заметную роль, когда давление возрастает до

что происходит при переходе ударной волны из плазмы в конденсированную фазу, а также при моделировании воздействия ультракоротких импульсов из-за очень быстрого плавления.

На испаряющейся поверхности формулируются законы, похожие на условия на границе плавления.

где

Ц,-Ц,(т1Ьсрв{п-т1и)+Р1 + п>

Р1-Р0 2

неравновесная теплота

испарения.

Кроме того, на поверхности конденсированной фазы записываются граничные условия для потока излучения

где - поглощательная способность поверхности для лазерного излучения

и излучения плазмы.

На контактной границе пар-воздух формулируются условия неггоепывности плотности, давления и температуры.

На ударной волне формулируются законы сохранения в системе координат движущейся со скоростью движения ударной волны

х = Г,

Л™.? = РЛа,К = Ро{" 1 - "О -

Ли,в = Р] + ЛА,^.* = Ро + Л А, я ("| - "о - Чй.я )

Л* ="^,1 + Д,

(и, -ио-^А.г)2

Величины с индексом 0 относятся к значениям со стороны невозмущенного газа, а 1- ударной волны.

Особое внимание уделяется условиям испарения-конденсации на облучаемой поверхности. Процесс поверхностного испарения в приближении кнудсеновского слоя описывается тремя законами сохранения и тремя дополнительными параметрами на внешней стороне кнудсеновского слоя (температурой 7],, плотностью ри и скоростью и). Два из этих параметров (обычно в общем случае определяются из решения уравнения

Больцмана, а третий (обычно число Маха М = и/ис) - из решения уравнений газовой динамики. Для определения Тии ри кинетическое уравнение Больцмана напрямую не использовалось, а решение его находилось с помощью некоторых аппроксимационных соотношений.

Процесс конденсации не является симметричным относительно испарения, что проявляется, в частности, в том, что из трех дополнительных параметров на кнудсеновском слое два (обычно ТСУ1 М) определяются из решения внешней газодинамической задачи. Остальные величины р/рЛО/ и

связаны с ними функциональными соотношениями и=^(777;,Л/).

Из-за отсутствия достаточно надежных аппроксимационных соотношений функции определялись из численного решения нелинейного

кинетического уравнения Больцмана и представляются в виде двумерных таблиц**.

Далее рассматриваемая задача формулируется в произвольной нестационарной системе координат: выписывается система уравнений, граничные условия в преобразованной системе координат, а также функция преобразования и граничные условия для нее. Общее количество подвижных границ в ходе расчетов доходило до семи: граница плавления, испарения, контактная граница пар-воздух и пар-пар, ударные волны в воздухе и твердой фазе, свободная граница в воздухе.

Разностные схемы на динамически адаптирующихся сетках для системы уравнений гиродинамики и радиационной газодинамики были получены интегро-интерполяционным методом. Далее система нелинейных разностных уравнений решалась с помощью итерационного алгоритма с автоматическим выбором шага интегрирования по времени. Схема алгоритма изображена на рис.4 и состоит из внешнего и двух внутренних итерационных циклов. В каждом из внутренних циклов для решения уравнений газодинамики используется метод Ньютона, а также итерационно решаются системы уравнений, полученных из записи законов сохранения на границах. Кроме того, в первом внутреннем цикле решается уравнение переноса излучения для получения радиационного потока

W1

Crout D. An application of kinetic theory to the problems of evaporation and sublimation of monatomic gases, J. Math. Phys., v. 15, pp. 1-54, 1936.

" Aoke K., Sone Y. Gas flows around the condensed phase with strong evaporation and condensation: riuid dynamic equation and its boundary condition on the interface and their application in Advances in Kinetic Theory and Continuum Mechanics, edt. by R. Gatignol and Soubbaramayer (SpringerVerlag, Berlin, 1991), p.43-54.

Уравнение переноса излучения решается с применением многогрупиового приближения с семью спектральными группами и с помощью метода квазидиффузии для уменьшения затрат машинного времени на решение. Экономия времени в расчетах достигается за счет того, что поток определяется из решения многогруппового уравнения переноса не на каждом шаге по времени, а через 5Л-20 шагов. На остальных шагах его величина определяется из уравнений квазидиффузии с замороженными коэффициентами. В рассмотренных далее вариантах расчетов использование квазидиффузии в среднем по затратам машинного времени давало выигрыш в 2 раза.

Для нахождения концентраций ионов и электронов, а также определения коэффициента поглощения лазерного излучения используется система уравнений Саха-Больцмана. Система решается итерационным способом, а при расчете коэффициента поглощения, учитывается обратный тормозной эффект, фотопоглощение и фоторекомбинация.

Рис.4 Схема вычислительного алгоритма.

Для получения сеточных значений функций на границах плавления, испарения и ударных волнах необходимо рассматривать в каждом случае свою систему уравнений, представляющих собой аппроксимацию законов сохранения на соответствующих границах. В частности, для плавления рассматривается два итерационных алгоритма решения данной системы. Первый алгоритм может применяться в случае постоянной температуры плавления, и когда значения скорости плавления невелики, Второй алгоритм использует явное

выражение зависимости темперагуры плавления от давления и позволяет проводить расчет при высоких скоростях плавления, близких к скорости звука, ~ и40юк/> 1км/с.

Для системы уравнений на границе испарения итерационный алгоритм состоит из двух дополнительных циклов. В первом цикле методом простой итерации определяется скорость звука, число Маха и темперагура в паре. Во втором итерационном цикле методом Ньютона решается уравнение, соответствующее аппроксимации закона сохранения импульса, и определяется плотность и давление в конденсированной фазе.

Для условий на ударной волне было разработано два алгоритма, один из которых применяется в газе для случая с малой теплопроводностью, и температура считается разрывной. Второй алгоритм применяется для случая большой теплопроводности в твердой фазе, и температура на фронте непрерывна.

Третья глава посвящена моделированию лазерного воздействия на алюминиевую мишень в воздухе. Рассматриваются два режима воздействия для Гауссова импульса двух длительностей - 10нс и 200 нс. Основное внимание уделялось исследованию особенностей образования плазмы в испаренном веществе и воздухе, а также исследованию структуры плазменного факела и процесса взаимодействия плазмы с поверхностью мишени.

В результате торможения потока пара плотным внешним газом и нагрева за счет теплопроводности со стороны поверхности мишени вблизи испаряющейся поверхности формируется область непрозрачности. Образование и распространение плазмы различается в зависимости от длительности импульса. В частности, для более короткого 10нс импульса образование плазмы происходит в паре непосредственно вблизи поверхности мишени, а для более длинного - в районе контактной границы пар-воздух или в воздухе. При этом появляются две ударных волны, идущие в сторону мишени и контактной границы соответственно. В отличие от 200нс импульса, для 10нс импульса только на волне, идущей к мишени наблюдается существенное сжатие по плотности. Ударная волна, идущая навстречу лазеру, догоняет волну в воздухе, частично поглощая и усиливая ее, а частично отражаясь, и отраженная волна по интенсивности сравнима с исходной. На рис. 6 для данного режима приведены зависимости от времени температуры, давления и числа Маха на поверхности.

Форма импульса задавалась выражением б = Со ехр(-(//т)^), максимуму интенсивности соответствует момент времени / = 0, а расчет начинается при I = -4т На всех графиках видно два пика в районе +2нс и + 10нс. Первый из них соответствует подходу к поверхности первой ударной волны, а второй - волне, отразившейся от ударной волны в воздухе.

В процессе взаимодействия плазмы с поверхностью мишени при достаточном давлении плазмы, превосходящем давление насыщенного пара, испарение прекращается, и начинается конденсация. Это происходит при

достаточно высокой температуре поверхности, составляющей ~44-7-10 К. В дальнейшем, когда давление в паре спадает, а давление насыщенного пара возрастает вместе с температурой поверхности из-за ее нагрева собственным излучением плазмы, испарение возобновляется. В этот момент возникает контактная граница внутри пара. С одной стороны этой границы температура определяется относительно невысокой температурой испаренного вещества, а с другой равна температуре горячей плазмы. Этот процесс показан на рис.5 а-(± Сначала образуется плазма, рис 5а, которая, распространяясь в сторону мишени, вызывает прекращение испарения, рис. 5Ь. Затем испарение возобновляется с образованием контактного разрыва, рис 5с, распространяющегося вправо от поверхности, рис 5(± Следует заметить, что в двух описанных режимах значения температуры не достигали значений в критической точке, а в случае, если

давление на поверхности превышало давление в критическом точке, то предполагалось, что поверхность раздела фаз сохраняется.

В ряде экспериментальных исследований при анализе результатов наблюдений возникает проблема идентификации разрывов, наблюдаемых между контактной границей пар-воздух и поверхностью мишени. Результаты проведенного моделирования свидетельствуют о том, что, по крайней мере, некоторые из не идентифицированных разрывов могут являться контактными границами внутри области пара, образовавшимися в результате описанного процесса перехода от конденсации к испарению, а также ударными волнами и контактными разрывами, образовавшимися в результате сложного взаимодействия ударных волн, связанных с образованием плазмы.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

• Разработан метод динамической адаптации для задач, решение которых носит колебательный характер, а размер расчетной области в ходе решения изменяется на несколько порядков. Получены необходимые функции преобразования, определявшиеся из принципа квазистационарности, и граничные условия на свободной границе. Разработанный метод позволил рассчитывать нестационарные температурные и концентрационные поля в

задачах с источниками массы/энергии в областях с подвижными границами. Исследованы стационарные и неустойчивые (колебательные) режимы одностадийного и двухстадийного ламинарного горения. Во всех вариантах применение динамически адаптирующихся алгоритмов позволило существенно повысить эффективность вычислений по сравнению с расчетами на сетках с фиксированными узлами. Применение динамической адаптации позволило при одной и той же точности уменьшить количество узлов на 1 -2.5 порядка, а быстродействие повысить в 2 — 50 раз.

• Разработана математическая модель процесса лазерного испарения вещества в среду с противодавлением. С помощью интегро-интерполяционного метода построены разностные схемы на динамически адаптирующихся сетках и разработан вычислительный алгоритм для расчета процессов нагрева, плавления, испарения, конденсации, образования ударных волн и плазмы. Разработанный алгоритм позволил проводить расчеты на сетках, адаптирующихся к решению, и с явным выделением подвижных межфазных границ и сильных разрывов, общее количество которых достигало семи.

• С помощью разработанного алгоритма выполнено моделирование различных процессов, происходящих при лазерном воздействии на алюминиевою мишень в воздухе. Определены особенности процесса испарения, образования и распространения плазмы в паре и воздухе для разных значений интенсивности и длительности воздействующего импульса. Применение метода динамической адаптации позволило выполнить моделирование процесса взаимодействия плазмы с поверхностью мишени, сопровождающеюся переходом ударной волны из пара в конденсированную фазу. В результате было обнаружено новое явление - образование в паре контактного разрыва, возникающего при переходе от процесса испарения к конденсации, вызванного взаимодействием плазмы с поверхностью мишени, и последующим возобновлением испарения.

Публикации по теме диссертации

1. Демин М.М., Мажукин В.И., Шапранов Л.В. Метод динамической адаптации в проблеме ламинарного горения.Ж.вычисл.матем. и матем. физ. 2001, т.41 , №4, с. 609-621

2. Демин М.М. Метод динамической адаптации в проблеме ламинарного горения. Тезисы между нар. конф. Ломоносов 2001 Стр. 72. Москва, МГУ, физ. факультет.

3. Демин М.М. Математическое моделирование пикосскундной лазерной абляции алюминия. Тезисы междунар. конф. Ломоносов 2002 стр.56. Москва, МГУ, физ. факультет.

4. Mazhukin V.I. Smurov I. Shapranov A.V. Demin M.M. The method of constructing of dynamically adapting grids for problems of unstable laminar combustion. Numerical Heat Transfer, Part B, 2003, vol. 44, pp.387-415.

5. Демин М.М. Математическое моделирование образования плазмы при нано-и пикосекундной лазерной абляции алюминия. Тезисы междунар. конф. Ломоносов 2003. Стр. 67-68. Москва, МГУ, физ. факультет.

ООП Физ.ф-та МГУ. Заказ 40-70-04

б 94 4

Введение.

Глава 1. Применение метода динамической адаптации для решения нестационарных задач ламинарного горения.

§1 Математическая формулировка задачи.

§2. Применение метода динамической адаптации в задаче горения.

§3. Разностные схемы для задачи горения и их численная реализация.

§4. Моделирование процессов одностадийного горения.

§5. Моделирование процессов двухстадийного горения.

§6. Эффективность метода динамической адаптации.

Глава 2. Постановка и метод решения задачи лазерного испарения с применением метода динамической адаптации.

§1.Математическая формулировка задачи лазерного испарения.

§2. Формулировка задачи в произвольной нестационарной системе координат и построение динамически адаптирующейся сетки.

§3. Разностные схемы и их численная реализация.

Глава 3. Результаты моделирования процесса лазерного испарения, сопровождающегося образованием плазмы в испаренном веществе.

§1 Теплофизические параметры задачи и принятые допущения.

§2 Результаты моделирования коротко- импульсного лазерного воздействия с длительностью \(= 10нс.

§3 Результаты моделирования воздействия лазерного импульса длительностью 200нс.

Задачи, связанные с математическим моделированием процессов тепло-массообмена, являются основой многих современных фундаментальных и прикладных исследований, направленных на разработку перспективных технологических приложений. В подобных задачах поведение решения может протекать весьма сложным образом, в частности, включая быстро перемещающиеся области сильного изменения решения. Кроме того, в проблемах тепло-массообмена часто встречаются ситуации, когда требуется одновременное рассмотрение процессов в нескольких областях, соответствующим различным агрегатным состояниям вещества, разделенными подвижными межфазными границами. Появление и исчезновение исходных агрегатных состояний сопряжено с пространственной разномасштабностью задач, возникающей из-за того, что пространственные размеры рассматриваемых областей могут отличаться и изменяться на несколько порядков. При рассмотрении подобных задач возникает проблема поиска эффективных методов их решения. Часто выбор определенного метода решения может быть связан не только и не столько с повышением эффективности, сколько с возможностью в принципе получить решение, например, учесть наличие подвижных межфазных границ. Применение метода динамической адаптации дает возможность проведения расчета с явным выделением межфазных границ и сильных разрывов типа ударных волн, в то время как расчет без их явного выделения может полностью исказить решение. Также метод адаптации позволяет существенно повысить эффективность вычислительных алгоритмов за счет значительного (от нескольких раз до нескольких порядков) сокращения числа использованных узлов сетки, а обычно еще и с одновременным увеличением шага интегрирования по времени.

К типичным примерам, в которых методы динамической адаптации становятся незаменимыми, относятся проблемы быстрых фазовых переходов и сильных ударных волн, возникающих, в частности, при импульсном лазерном воздействии на металлы. Лазерная обработка металлов находит все более широкое промышленное применение, и в режимах воздействия в последнее время происходит движение в сторону уменьшения длительности с одновременным увеличением интенсивности воздействующего лазерного импульса. При переходе от наносекундных к пико- и фемтосекундным режимам воздействия изучение происходящих процессов путем экспериментального наблюдения становится все более затруднительным. Поэтому все большую важность приобретает математическое моделирование процессов, возникающих при короткоимпульсной лазерной обработке материалов.

Основная цель диссертации состоит

• В развитии метода динамической адаптации для задач со сложным колебательно- пульсирующим характером решения.

• В развитии метода динамической адаптации для задач с большим количеством подвижных границ и разрывных решений.

• В построении сопряженной дифференциальной модели, состоящей из уравнений газо- и гидродинамики, уравнений переноса излучения и баланса энергии, и описывающей процессы в конденсированной и газовой средах и кинетику фазовых переходов.

• В моделировании процессов двухстадийного горения и лазерного нагрева, плавления и испарения металлической мишени в условиях возникновения плазмы в газообразной среде.

Одним из основных составляющих научной новизны работы является то, что впервые метод динамической адаптации был применен к задачам, решение которых носит колебательный характер, а размер расчетной области в ходе решения изменяется на несколько порядков. Для такого случая была определена необходимая функция преобразования и сформулированы граничные условия на свободной границе. Разработанный подход позволил провести исследования устойчивых (стационарных) и неустойчивых (колебательных) режимов одностадийного и двухстадийного ламинарного горения. Во всех вариантах применение динамически адаптирующихся алгоритмов существенно повысило эффективность вычислений по сравнению с расчетами на сетках с фиксированными узлами. При одной и той же точности количество узлов для адаптивной сетки было меньше на 1 2.5 порядка, а быстродействие выше в 2^-50 раз.

Другим важным моментом научной новизны является разработка математической модели лазерного воздействия на металлы в среде с противодавлением, последовательно учитывающей нагрев, плавление-кристаллизацию, испарение-конденсацию и гидродинамические эффекты в конденсированной фазе; нагрев, образование плазмы, перенос излучения и газодинамический разлет вещества в газовой среде. С помощью согласованных граничных условий на облучаемой поверхности учитываются процессы взаимодействия плазмы с конденсированной средой. Построены разностные схемы на сетках с динамической адаптацией и разработан вычислительный алгоритм для решения сопряженных задач гидродинамики и радиационной газовой динамики с явным выделением межфазных границ и сильных разрывов, общее количество которых достигало семи.

Была исследована структура плазменного факела, возникающего при импульсном лазерном воздействии на алюминиевую мишень в воздухе.

Определены особенности процесса испарения, образования и распространения плазмы в паре и воздухе для разных значений интенсивности и длительности воздействующего импульса. Моделирование позволило обнаружить новое явление — образование в паре контактного разрыва, возникающего при переходе от процесса испарения к конденсации, вызванного взаимодействием плазмы с поверхностью мишени, и последующим возобновлением испарения.

Научная и практическая ценность диссертации состоит в распространении метода динамической адаптации на задачи горения, решение которых носит колебательный характер, для которых было проведено моделирование различных режимов горения и исследована эффективность метода адаптации. Далее метод адаптации был применен к задаче лазерного испарения в среду с противодавлением, для которой была построена модель и разработан алгоритм решения. Было проведено моделирование различных режимов лазерного воздействия, в том числе режимов с последовательно сменяющимися процессами поверхностного испарения и конденсации. В результате был обнаружен новый эффект- образование контактного разрыва в паре в результате взаимодействия плазмы с поверхностью мишени. Материалы диссертации докладывались на:

• Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам Ломоносов 2001, 2002, 2003. Москва, МГУ, Физический факультет.

• Conference on Lasers, Applications and Technologies LAT 2002. Moscow, Russia

• International Workshop on Fundamentals of Ablation with Short Pulsed Solid State Lasers. 2003,2004. Hirschegg, Germany.

• Общеинститутском семинаре Института Общей Физики РАН им. А.М.Прохорова.

Основные результаты опубликованы в работах [129]-[133].

Личный вклад автора состоит в математической формулировке всех задач, рассматриваемых диссертации, построении разностных схем, разработке алгоритма решения полученных сеточных уравнений, построении программного комплекса, выполнении моделирования и анализе результатов. Первоначальная постановка задач горения и лазерного испарения была проведена совместно с научным руководителем профессором В.И. Мажукиным. Алгоритм численного решения систем сеточных уравнений для задачи одностадийного горения и задачи лазерного испарения был разработан совместно с к.ф.-м.н А.В. Шапрановым.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации.

• Разработан метод динамической адаптации для задач, решение которых носит колебательный характер, а размер расчетной области в ходе решения изменяется на несколько порядков. Получены необходимые функции преобразования, определявшиеся из принципа квазистационарности, и граничные условия на свободной границе. Разработанный метод позволил рассчитывать нестационарные температурные и концентрационные поля в задачах с источниками массы/энергии в областях с подвижными границами.

• Исследованы стационарные и неустойчивые (колебательные) режимы одностадийного и двухстадийного ламинарного горения. Во всех вариантах применение динамически адаптирующихся алгоритмов позволило существенно повысить эффективность вычислений по сравнению с расчетами на сетках с фиксированными узлами. Применение динамической адаптации позволило при одной и той же точности уменьшить количество узлов на 1 2.5 порядка, а быстродействие повысить в 2 50 раз.

• Разработана математическая модель процесса лазерного испарения вещества в среду с противодавлением в условиях развития плазмы в газовой среде. С помощью интегро-интерполяционного метода построены разностные схемы на динамически адаптирующихся сетках и разработан вычислительный алгоритм для расчета процессов нагрева, плавления, испарения, конденсации, образования ударных волн и плазмы. Разработанный алгоритм позволил проводить расчеты на сетках, адаптирующихся к решению, и с явным выделением подвижных межфазных границ и сильных разрывов, общее количество которых достигало семи.

• С помощью разработанного алгоритма выполнено моделирование различных процессов, происходящих при лазерном воздействии на алюминиевою мишень в воздухе. Определены особенности процесса испарения, образования и распространения плазмы в паре и воздухе для разных значений интенсивности и длительности воздействующего импульса. Применение метода динамической адаптации позволило выполнить моделирование процесса взаимодействия плазмы с поверхностью мишени, сопровождающегося переходом ударной волны из пара в конденсированную фазу. В результате было обнаружено новое явление - образование в паре контактного разрыва, возникающего при переходе от процесса испарения к конденсации, вызванного взаимодействием плазмы с поверхностью мишени, и последующим возобновлением испарения.

1. J.F. Thompson Grid Generation Techniques in computational fluid dynamics. A1.A J., 1984, Vol.22, N 11, pp. 1505-1523.

2. H.A. Дарьин, В.И. Мажукин. Метод построения адаптивных сеток для одномерных краевых задач. Препр. ИПМ им. М.В. Келдыша, 1987, N33, 26с.

3. Numerical Grid Generation. Edited by J.F. Thompson. North Holland, Amsterdam, 1982, 909p.

4. В.Д. Лисейкин. Технология конструирования трехмерных сеток для задач аэрогазодинамики. Обзор. ВАНТ, серия Математическое моделирование физических процессов. 1991, вып. 2, с. 31-45.

5. R.Biswas, J.E.Flaherty, D.C.Arney, An Adaptive Mesh-Moving and Refinement Procedure for One-dimensional Conservation Laws, Appl. Numer. Mathemat., vol.11, pp. 259-282,1993.

6. C.A. Иваненко, Г.П. Прокопов Методы построения адаптивно-гармонических сеток. Журн. Вычисл. Мат.и Матем. Физ, 1997,т. 37, N,6. стр. 643-662.

7. Modeling, Mesh Generation, and Adaptive Numerical Methods for Partial Differential Equations. Eds. I.Babuska, W.D.Henshaw, J.E. Oliger, J.E.Flaherty, J.E.Hopcroft, T. Tezduyar. Springer-Verlag, New York, 1995, pp.346.

8. B.M. Пасконов. Разностные схемы на самоорганизующемся множестве расчетных сеток в двумерных односвязных областях призвольной формы. Журн. Вычисл. Мат.и Матем. Физ., 1971, T.l 1, N3, с. 776-782.

9. L.-E. Eriksson. Practical Three-Dimensional Mesh Generation Using Transfinite interpolation. J. Fluid Mech., 1984, Vol. 148, pp. 45-71.

10. R.E. Smith. Three-Dimensional Algebraic Grid Generation. AIAA Pap., 1983, N1904.

11. R.E. Smith, L.-E. Eriksson. Algebraic grid generation. Сотр. Meth. Appl. Mech. Eng., 1987, V. 64, pp 285-300.

12. R.E. Smith, R.A. Kudlinski, E.L. Everton. A Grid Spacing Control Technique for Algebraic Grid Generation Methods. AIAA Paper 82-0226, Orlando, Fla., Jan. 1982.

13. J.F. Thompson, F.S. Thames, C.W. Mastin. Automatic Numerical Generation of Body-Fitted Curvilinear Coordinate System for Field Containing Any Number of Arbitrary Two-Dimensional Bodies. J. of Comput. Physics, 1974, V. 15, pp. 229-319.

14. J.L. Steger. Implicit Finite-Difference Simulation of Flow About Arbitrary Two-Dimensional Geometries. AIAA J., 1978, V. 16, N. 7, pp. 679-686.

15. C.K. Годунов, Г.П. Прокопов. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах. Журн. Вычисл. Мат. и. Матем. Физ., 1972, т. 12, N2, с. 429-440.

16. J. F. Thompson, Z. U. A. Warzi, C.W. Mastin. Boundary Fitted Coordinate Systems for Numerical Solution of Partial Differential Equations. Review. J. of Сотр. Physics, 1982, v. 47, pp. 1-108.

17. X. Aubert, M. Deville. Steady Viscous Flows by Compact Differences in Boundary- Fitted Coordinates. J. of Comput. Physics, 1983, v. 49, p 490.

18. Г. П. Прокопов. Некоторые общие вопросы конструирования алгоритмов построения разностных сеток. Препринт Инст. Прикл. Матем. Им. М.В. Келдыша АН СССР, 1987, N 98,28 с.

19. D.A. Anderson. Equidistributed Schemes, Poisson Generators and Adaptive Grids. Appl. Mathematics and Computation, 1987, V. 24, 211-227.

20. K. Matsuno, H.A. Dwyer. Adaptive Mehtods for Elliptic Grid Generation. J.of Comput. Physics, 1988, V. 77, pp. 40-52.

21. JI.M. Дегтярев, B.B. Дроздов, Т.С. Иванова. Метод адаптивных к решению сеток в одномерных краевых задачах с пограничным слоем. Препринт Инст. прикл. матем. Им. М.В. Келдыша АН СССР, 1986, N 164, 26с.

22. Т.С. Иванова. Об использовании адаптивных к решению сеток в одномерных краевых задачах. Препринт Инст. прикл. матем. им. М.В. Келдыша АН СССР, 1987, N. 196,27 с.

23. В.М. Ковеня, Н.Н. Яненко. Разностная схема на подвижных сетках для решения уравнений вязкого газа. Ж. Вычисл. матем. и матем. физ., 1979, Т. 19, N1, с. 174-188.

24. А.Ф. Сидоров. Об одном алгоритме расчета криволинейных сеток, близких к равномерным. Сб. "Численные методы механики сплошной среды." 1977, Т. 8, N 4, с. 149-156.

25. JI. М. Дегтярев, В.В. Дроздов. Адаптирующиеся к решению сетки в эллиптических задачах на плоскости. Дифференциальные уравнения, 1984, Т. 20, N7, 1194-1203.

26. А. В. Jr. White. On the numerical Solution of Initial/Boundary Value Problems in One Space Dimension. SIAM J. on Numerical Analysis, 1981, V, 18, pp. 1019-1032.

27. J.U. Brackbill, J. Saltzman. Adaptive Zoning for Singular Problems in Two Dimensions. J. of Comput. Physics, 1982, V.46, pp. 342-368.

28. R.I. Kreis, F.C. Thames, H.A. Hassan. Application of a Variation Method for Generation of Adaptive Grids. AIAA J., 1986, N 3, pp. 404-410.

29. R.G. Hindman, P.Kutler, D. Anderson. Two-Dimensional Unsteady Euler Equation Solver for Arbitrary Shaped Flow Region. AIAA J., 1981, V. 19, N4, pp. 424-431.

30. C.K. Годунов, A.B. Забродин, М.Я. Иванов и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М. Наука, 1976.

31. О.М. Белоцерковский, В.Г. Грудницкий, В.Н. Рыгалин. Выделение разрывов при расчете одномерных нестационарных течений газа. Докл. АН СССР, 1983, Т. 272, N 1, с. 49-52.

32. М.М. Rai, D.A. Anderson. Application of Adaptive Grids to Fluid-Flow Problems with Asimptotic Solutions. AIAA J., 1982, V. 20, N 4, pp. 486502.

33. JI.M. Дегтярев, T.C. Иванова. Метод адаптивных сеток в одномерных нестационарных задачах конвекции-диффузии. Препринт Инст. прикл. матем. им. М.В. Келдыша АН СССР, 1993, N 12,33с.

34. JI.M. Дегтярев, Т.С. Иванова. Метод адаптивных сеток в одномерных нестационарных задачах конвекции-диффузии. Дифференциальные уравнения, 1993, Т. 29, N 7, с. 1179-1192.

35. J.G. Verver, J.G. Blom, J.M. Sanz-Serna. Ail adaptive Moving Grid Method for One-Dimesional Systems of Partial Differential Equations. J. of Сотр. Physics, 1989, V. 82, pp. 454-486.

36. J.G. Blom, J.M. Sanz-Serna, J.G. Verver. Report NM-R8713, Centre for Mathematical and Computer Science. Amsterdam, 1987. 12th IMACS World Congress '88 on scientific Computation. Paris, 1988 (North-Holland, Amsterdam)

37. C.de Boor. In Conference on the Numerical Solution of Differential Equations, Dundee, Scotland, 1973, edited by G.A.Watson (Springer-Verlag, Berlin, 1974), p.12.

38. Т.Г. Дармаев, В.Д. Лисейкин. Метод построения многомерных адаптивных разностных сеток. Моделирование в механике, 1987, Т. 18, N1, с. 49-57.

39. К. Nakahashi, G.S. Deiwert. Three-Dimensional Adaptive Grid Method. AIAA J., 1986, V. 24, N 6, pp. 948-954.

40. А.И. Толстых. О сгущении узлов разностных сеток в процессе решения и о применении схем повышенной точности при численном исследовании течений вязкого газа. Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физ., 1978, Т. 18, N2, с. 139-153.

41. С.Г. Черный. О выборе системы координат для численного решения упрощенных уравнений Навье-Стокса маршевым методом. Сб. "Численные методы механики сплошной среды". 1982, Т. 136 N 1, с. 132-146.

42. В.Д. Лисейкин, В.Е. Петренко. Адаптивно-инвариантный метод численного решения задач с пограничными и внутренними слоями. Новосибирск: ВС СО АН СССР, 1989.

43. J.U. Brackbill. Coordinate System Control: Adaptive Meshes. Numerical Grid Geenration. Edited by J.F. Thompson. North-Holland, Amsterdam, 1982, pp. 277-316.

44. В.Д. Лисейкин, H.H. Яненко. О выборе оптимальных разностных сеток. Сб. " Численные методы механики сплошной среды ", 1977, Т. 8, N7, с. 100-104.

45. Н.Н. Яненко, Н.Г. Данаев, В.Д. Лисейкин. О вариационном методе построения сеток. Сб. " Численные методы механики сплошной среды ", 1977, Т. 8, N4, с. 154-163.

46. Р.А. Gnoffo. A Vectorized Finite-Volume, Adaptive Grid Algorithm for Navier-Stokes Calculations. Numerical Grid Generation Edited by J.F. Thompson. North-Holland, 1982.

47. P.A. Gnoffo. A Vectorized Finite-Volume, Adaptive Grid Algorithm Apllied to Planetary Entry Problems. AIAA J., 1983, V. 21, p. 1249-1257.

48. K. Miller, R.N. Miller. Moving Finite Elements, I. SIAM J. on Numerical Analysis, 1981, V. 18, pp.1019-1032.

49. A.A. Самарский, Ю.П. Попов. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1992,422с.

50. R.J. Gelinas, S.K. Doss, К. Miller. The Moving Finite Element Method: Application to General Partial Differential Equations with Multiple large Gradients. J. Сотр. Phys., 1981, V. 40, pp. 202-249.

51. H.A. Дарьин, В.И. Мажукин. Математическое моделирование задачи Стефана на адаптивных сетках. Дифференциальные уравнения, 1987, Т. 23, N7, с. 1154-1160.

52. Н.А. Дарьин, В.И. Мажукин. Об одном подходе к построению адаптивных разностных сеток. ДАН СССР, 1988, Т. 298, N 1, с. 64-68.

53. Н.А. Дарьин, В.И. Мажукин, А.А. Самарский. Конечно-разностный метод решения одномерных уравнений газовой динамики на адаптивных сетках. ДАН СССР, 1988, Т. 302, N 5, с. 1078-1081.

54. В.И. Мажукин, Л.Ю. Такоева. Принципы построения динамически адаптирующихся к решению сеток в одномерных краевых задачах. Мат. Моделирование, 1990, Т. 2, N 3, с. 101-118.

55. В.Ф. Василевский, В.И.Мажукин. Численные расчеты температурных волн со слабыми разрывами на сетках с динамической адаптацией. Дифференциальные уравнения, 1989, Т. 25, N 7, с 11881193.

56. П.В. Бреславский, В.И.Мажукин. Математическое моделирование процессов импульсного плавления и испарения металла с явным выделением фазовых границ. ИФЖ, 1989, Т. 57, N 1, с. 107-114

57. В.Ф. Василевский, В.И. Мажукин. Расчет ударных волн на сетках с динамической адаптацией. Препринт Инст. прикл. матем. им. М.В. Келдыша АН СССР, 1990, N 37,11с.

58. Н.А. Dwyer, R.J. Ree, B.R. Sanders. Adaptive Grid Method for Problems in Fluid Mechanics and Heat Transfer. AIAA J., 1980, V. 18, N 10, pp 1205-1212

59. П.И. Кириченко, B.B. Соколов, Ю.И. Тарасов, В.Ф. Тишкин и др. Численное моделирование распространения пересжатой детонационной волны в сходящемся коническом канале. Препринт Инст. прикл. матем. им. М.В. Келдыша АН СССР, 1984, N 82,18с.

60. S.F. Davis, J.E. Flaherty. An Adaptive Finite Element Method for Initial-Boundary Value Problems for Partial Differential Equations. SIAM J. on Scientific and Statistical Computing, 1982, V.3, pp. 6-27.

61. Б.П. Бреславский, В.И. Мажукин Метод динамической адаптации в задачах газовой динамики. Мат. моделирование, 1995, Т.7, N 12, стр. 48-78

62. А.В. Забродин, И.Д. Софронов, Н.Н. Ченцов. Адаптивные методы математического моделирования нестационарных газодинамических течений. (Обзор). ВАНТ, серия Методы и программы, 1989, Вып.1, стр. 3-22.

63. V.I. Mazhukin, I. Smurov, G. Flamant. Overheated metastable states in pulsed laser action on ceramics. J.Appl. Phys., 1995, V. 78, N 2, pp. 12591270.

64. J.G. Blom, J.M. Sanz-Serna, J. G. Verver. J. of Comput Phys., 1988, V.74, p 191.

65. V. I. Mazhukin, A.A. Samarskii. Mathematical Modelling of laser treatements of materials. Surv. Math, Ind., 1994, N4, pp. 85-149

66. П.В. Бреславский, В.И. Мажукин, Л.Ю. Такоева. Математическое моделирование лазерного плавления и испарения однородныхматериалов. Пакет LASTEC-1. Препринт Всесоюзного центра математического моделирования АН СССР, 1991, N22,46 с.

67. Ф.П. Васильев. О методе конечных разностей для решения однородной задачи Стефана. Журн. Высисл. Матем. и Матем. Физ., 1963, Т. 3, N 5, с. 861-873.

68. Р.Д. Бачелис, В. Г. Меламед, Д.М. Шляйфер. Решение Задачи Стефана с помощью метода прямых. Журн. Вычисл. матем. и Матем. физ., 1969, N5, с. 585-594.

69. М. Davis, P. Kapadia, J. Dowden. Solution of a Stefan problem in the Theory of Laser Welding by the Method of lines. J. Comput. Phys., 1985, V. 60, pp. 534. 548.

70. А.Б. Успенский. О методе выпрямления фронтов для многофронтовых одномерных задач типа Стефана. ДАН СССР, 1967, Т. 172, N2, с. 61-64.

71. М.А. Hastaoglu. A Numerical Solution to Moving Boundary Problem. Application to Melting and Solidification. Int. J. Heat Mass Transfer, 1986, V. 29, N 3, pp. 495-499.

72. J.Crank, Gupta. Isoterm Migration Method in Two Dimensions. Brunei Univ. Tech. Rep., 1974,42p.

73. Basu Biswajit, A.W. Date. Numerical Modelling and Solidification Problems. A review. Sadhana, 1988, V.13, part 3, pp. 169-213. Printed in India.

74. A.A. Самарский, Б.Д. Моисеенко. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана. Ж. Вычисл. матем. и матем. физ., 1965, Т. 5, N 5, с. 816-827.

75. G.H. Meyer. The Numerical Solution of Stefan Problems with Front-Tracking and Smoothing Methods. Appl. Mathematics and Computation, 1978, N4, pp. 283-306.

76. B.R.E. White. A Modified Finite Difference Scheme for the Stefan Problem. Mathem. Of Comput., 1983, V.41, N 164, pp, 337-347.

77. M.A. Williams, D.G. Wilson. Iterative Solution of a Nonlinear System Arising in Phase-Change Problems. SIAM J. on Scientific and Statistical Computing, 1990, V. 11, N6, pp. 1087-1101.

78. В.И. Мажукин, Ю.А. Повещенко, С.Б. Попов, Ю.А. Попов. Об однородных алгоритмах численного решения задачи Стефана. Препринт Инст. прикл. матем. им. М.В. Келдыша АН СССР, 1985, N 122,23с.

79. Н.А. Дарьин, В.И. Мажукин. Математическое моделирование нестационарных двумерных краевых задач на сетках с динамической адаптацией. Мат. моделирование, 1989, T.l, N 3, с 29-43.

80. В.И. Мажукин. Математическое моделирование проблемы Стефана на адаптивной сетке. Кн. Heat/ Mass Transfer. MIF. Проблемные доклады. Минск, 1988, с. 125-139.

81. К. Nakahashi, G.S. Delwert. Automatic Method for Adaptive Grids Generation and Application to Problems of Profile Streaming. AIAA J., 1987, V. 25, N 4, pp. 513-520.

82. M. Lacroix, A.Garon. Numerical Solution of Phase Change Problems: An Eulerian-Lagrangian Approach. Numeric. Heat. Transfer, Part B, 1992, V. 19, pp.57-78.

83. M.B. Aston, J.W. Thomas. An Implicit Scheme for Water Wave Problems. Numeral Grid Generation. Edited by J.F. Thompson. North-Holland, 1982.

84. R.W. Yeung. Numerical Methods in Free Surface Flows. Annual Review on Fluid Mechanics, 1982, V. 21, pp. 395-442.

85. Я.Б.Зельдович, Г.И.Баренблатт, В.Б.Либрович, Г.М.Махвиладзе. Математическая теория горения и взрыва. М.:, Наука, 1980,478 с.

86. К.Г.Шкадинский, Б.И.Хайкин, А.Г.Мержанов. Распространение пульсирующего фронта экзотермической реакции в конденсированной фазе. ФГВ, 1971, т.7, N 1, с.19-28.

87. Г.М.Махвиладзе, Б.В.Новожилов. Двумерная устойчивость горения конденсированных систем. ПМТФ, 1971, N 5, с.51-59.

88. А.М.Гришин, В.Н.Берцун, В.М.Агранат. Исследование диффузионно-тепловой неустойчивости ламинарных пламен. ДАН СССР, 1977, т.235, N 3, с.550-553.

89. А.Г. Мержанов, А.К. Филоненко, И.П. Боровинская. Новые явления при горении конденсированных систем. ДАН СССР, 1973, Т.208, № 4, с.892-894.

90. G.R.Otey, H.A.Dwyer, Numerical Study of the Interaction of Fast Chemistry and Diffusion, AIAA J., 1979, v. 17, N 6, pp.606-613.

91. V.I.Mazhukin, I.Smurov , C.Dupuy, DJeandel, Simulation of Lase r Induced Melting and Evaporation Processes in Superconducting Ceramics. J. Numerical Heat Transfer Part A, 1994, v. 26, pp. 587-600.

92. V. Mazhukin, I. Smurov, G. Flamant, C. Dupuy. Peculiarities of laser melting and evaporation of superconducting ceramics. Thin Solid Films, 1994, V. 241, pp. 109-113.

93. A.B. Шапранов Метод динамической адаптации в нестационарных краевых задачах. Дисс. канд. ф-м.н. Москва, 1993.

94. В.И. Мажукин, А.А. Самарский, А.В. Шапранов Метод динамической адаптации в проблеме Бюргерса Докл. Акад. Наук РАН. т. 333, N2, стр 165-169.

95. В.И. Мажукин, А.А. Самарский, Орландо Кастельянос, А.В. Шапранов. Метод динамической адаптации для нестационарных задач с большими градиентами. Матем. мод., 1993, Т.5, N4, стр. 32-56.

96. А.А. Самарский. Теория разностных схем. М.:Наука, 1989,616с.

97. В.И. Мажукин, Г.А. Пестрякова. Численный анализ влияния эрозионной лазерной плазмы на процесс поверхностного испарения. Изв. АН СССР, 1985, Т. 49, N 4.

98. D. Crout An application of kinetic theory to the problems of evaporation and sublimation of monatomic gases, J. Math. Phys., 1936, v. 15, pp. 1-54.

99. Y. Sone, S. Takata, F. Golse Notes on the boundary conditions for fluid-dynamic equations on the interface of gas and its condensed phase. Phys. of Fluids, 2001, V. 13, N 1, pp. 324-224.

100. Методы исследования плазмы. Под ред. В. Лохте-Хольтгревена. М., Мир, 1971,551с.

101. K.S. Holian A new equation of state for Aluminum. J. Appl. Phys., 1986, V. 59, N1, pp. 149-157.

102. J. Lees, B.H.J. Williamson Combined very high pressure / high temperature calibration of the tetrahedral anvil apparatus, fusion curves of Zinc, Aluminum, Germanium and Silicon to 60. Nature, Physics, 1965, V. 208, N5007, P. Т. 84-T.85.

103. A.B. Бушман, B.E. Фортов Модели уравнения состояния вещества. УФН, 1983, Т. 140, стр. 177-232.

104. В.Е. Фортов, А.Н. Дремин, А.А. Леонтьев. Оценка параметров критической точки. ТВТ, 1975, Т. 13, N 5, стр. 1072-1080.

105. К.Л. Степанов, Ф.Н. Боровик и др. Непрерывные спектры поглощения алюминиевой плазмы. Опт. и спектр., 1982, Т. 52, N 4, стр. 614-621.

106. Г.С. Романов, K.JI. Степанов, М.И. Сыркин. Оптические свойства высокотемпературной плазмы алюминия. Опт. и спектр., 1982, Т. 53, N 4, стр. 642-648.

107. В.И. Мажукин, Г.А. Пестрякова. Численное моделирование процессов поверхностного испарения металла лазерным излучением Препр. ИПМ им. М.В. Келдыша, 1984, N. 48, 31 с.

108. В.Я. Гольдин. Квазидиффузионный метод решения кинетического уравнения. Журн. Вычисл. Матем. и Матем. Физ., 1964, N 6, стр. 10781084.

109. Д.С. Филлипычев, Б.Н. Четверушкин. Об одном способе осреднения уравнений диффузионного типа по энергиям фотонов. Журн. Вычисл. Матем. и Матем. Физ.,1976, N 6, стр. 1601-1603.

110. Физические величины. Справочник. Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мелихова. М.: Энергоатомиздат, 1991, 1232с.

111. П.Д. Ширков Приближенные и численные методы расчета состава равновесной плазмы. ЖВМиМФ, 1984, т. 24, N9, стр. 1372-1380.

112. В.И. Держиев, А.Г. Жидков, С.И. Яковленко. Излучение ионов в неравновесной плотной плазме. М., Энергоатомиздат, 1986.

113. В.И. Мажукин, А.А. Самохин. О некоторых особенностях математической модели интенсивного поверхностного испарения вещества. Докл. АН СССР, 1985, Т. 281, N 4, с. 830-833.

114. В.И. Мажукин, А.А. Самохин. Кинетика фазового перехода при лазерном испарении металла. Квантовая электроника, 1984, Т. 11, N 12, с. 2432-2437.

115. В.И. Мажукин, П. А. Прудковский, А. А. Самохин. О газодинамических граничных условиях на фронте испарения. Матем. моделирование, 1993, Т. 5, N 6, стр. 3-10.

116. И.В. Немчинов, С.П. Попов. Экранировка поверхности, испаряющейся под действием излучения оптического квантовогогенератора, при температурной и ионизационной неравновесности. ПМТФ, 1971, N 5, стр. 3-45.

117. В. И. Бергельсон, А.П. Голубь, И.В. Немчинов, С.П. Попов. Образование плазмы с слое паров, возникших под действием излучения ОКГ на твердое тело. Квантовая электроника, 1973, Т. 16, N 4, стр. 2027.

118. В. И. Бергельсон, И.В. Немчинов. Параметры плазмы, образующейся под действием микросекундных импульсов излучения лазеров на алюминиевую преграду в вакууме. Квант, электроника, 1978, Т. 5, N10, стр. 2123-2131.

119. В.И. Бергельсон, И.В. Немчинов. Численное исследование взаимодействие излучения лазера с преградой в вакууме с учетом спектрального состава излучения, испускаемого образующейся плазмой. Квантовая электроника, 1980, Т.7, N11, стр. 2356-2361.

120. Г.С. Романов, А. С. Сметанников. Моделирование плоского сильноточного разряда. Влияние процесса теплопроводности на характеристики разряда. ТВТ, 1990, Т. 28, N 3, стр. 421-426

121. А.А. Веденов, Г.Г. Гладуш, А.Н. Явохин. Теория и расчет стационарного оптического пробоя атомарных газов вблизи поверхности тугоплавких металлов. Физика плазмы, 1983, Т. 9, Вып. 2, стр. 434-440.

122. Г.Г. Гладуш, А.Н. Явохин. К теории непрерывного оптического разряда вблизи мишени. Квантовая электроника, 1983, Т. 10, N7, стр. 1399-1405.

123. Г.Г. Гладуш, А.Н. Явохин. Неравновесный механизм оптического пробоя инертных газов вблизи тугоплавкой мишени. Квантовая электроника, 1985, Т. 12, N 10, стр. 2130-2132.

124. А.А. Веденов, Г.Г. Гладуш, Физические процессы при лазерной обработке материалов. М., Энергоатомиздат, 1985,208 с.

125. H. Schittenhelm, G. Caillies, P. Berger, H. Hugel Time resolved interferometric investigations of the KrF- laser-induced interaction zone. Applied Surface Science, 1997, Vol. 109/110, pp 493-497.

126. X. Шиттенхельм, Г.Каллис, П. Бергер, X. Хюгель Экспериментальное исследование механизмов взаимодействия в факеле, образованном излучением эксимерного лазера. Теплофизика и аэромеханика, 1998, т.5, N2, стр. 279-290.

127. Демин М.М., Мажукин В.И., Шапранов А.В. Метод динамической адаптации в проблеме ламинарного горения.Ж.вычисл.матем. и матем. физ. 2001, т.41 , № 4, с. 609-621.

128. Демин М.М. Метод динамической адаптации в проблеме ламинарного горения. Тезисы междунар. конф. Ломоносов 2001 Стр. 72. Москва, МГУ, физ. факультет.

129. Демин М.М. Математическое моделирование пикосекундной лазерной абляции алюминия. Тезисы междунар. конф. Ломоносов 2002 стр.56. Москва, МГУ, физ. факультет.

130. Mazhukin V.I. Smurov I. Shapranov A.V. Demin M.M. The method of constructing of dynamically adapting grids for problems of unstable laminar combustion. Numerical Heat Transfer, Part B, 2003, vol. 44, pp.387-415.

131. Демин М.М. Математическое моделирование образования плазмы при нано- и пикосекундной лазерной абляции алюминия. Тезисы междунар. конф. Ломоносов 2003. Стр. 67-68. Москва, МГУ, физ. факультет.