автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование неравновесных явлений при импульсном лазерном воздействии

4845150

Мажукин Александр Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕРАВНОВЕСНЫХ ЯВЛЕНИЙ ПРИ ИМПУЛЬСНОМ ЛАЗЕРНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Специальность 05.13.18. - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 МАЙ 2011

Москва-2011

4845150

Работа выполнена в Институте Прикладной Математики им. М.В.Келдыша РАН

Научный руководитель:

профессор, доктор физико-математических наук Гасилов Владимир.Анатольевич.

Официальные оппоненты:

профессор, доктор физико-математических наук Савельев-Трофимов Андрей Борисович

Ведущая организация:

Вычислительный центр им. А.А.Дордницына РАН

Диссертационного совета Д 002.024.03 при Институте Прикладной Математики им. М.В.Келдыша РАН по адресу: 125 047, Москва, Миусская пл. д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ им. М.В.Келдыша РАН.

профессор, доктор физико-математических наук Мажорова Ольга Семеновна

Защита состоится «_»

2011 г. в _час._мин. на заседании

Автореферат разослан «_»

2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.024.03 доктор физико-математических наук

Н.В.Змитренко

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена математическому моделированию коротко и ультракороткого лазерного воздействия на металлы и анализу результатов моделирования. Успешное решение данной проблемы потребовало развития метода динамической адаптации применительно к уравнениям параболического типа, модификации задачи Стефана для двухтемпературной модели и определения термодинамических и теплофизических свойств для фононного и вырожденного электронного газа.

Актуальность темы

Быстрое развитие импульсной лазерной техники и лазерных технологий стимулировало появление новых физико-математических постановок и способствовало дальнейшему усилению роли математического моделирования. Наметившаяся в последние годы тенденция использования сверхмощных ультракоротких импульсов привела к реализации совершенно уникальных физических условий, при которых продолжительность воздействия оказывается сравнимой или меньшей характерных времён термализации, релаксации и фазовых трансформаций в веществе. Это приводит к необходимости рассмотрения сложнейших фундаментальных проблем, связанных с принципиальной возможностью описания и исследования сильно неравновесных явлений и метастабиль-ных состояний в газовых и конденсированных средах. Одной из закономерностей импульсного воздействия является то, что чем короче длительность и выше интенсивность излучения, тем больше наблюдается аномалий и отклонений в поведении процессов, тем ограниченнее возможности экспериментальных подходов и выше их стоимость. В этих ситуациях особую значимость приобретают теоретические представления на основе анализа и прогноза, осуществляемых методами математического моделирования.

Феноменологическая двухтемпературная модель параболического типа, предложенная в 50-е годы Каганом, Лифшицем и Танатаровым по-прежнему остается основным средством 1Я математического описания неравновесного нагрева металлов короткоимпульсным лазерным излучением. В теоретических исследованиях, связанных с построением различных вариантов двухтемпературной модели, наиболее важным аспектом является определение в широком температурном диапазоне термодинамических и теплофизических характеристик, а также количественная ха-актеристика электрон-фононного взаимодействия, контролирующая обмен энергии между элек-юнами и решеткой.

С математической точки зрения классический вариант двухтемпературной модели пред-тавляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений параболического типа, точ-ость решения которых в сильной степени зависит от того, насколько хорошо распределение узлов етки согласуется с особенностями искомого решения. Поэтому построение расчётных сеток яв-яются важнейшим элементом численного решения дифференциальных уравнений в частных про-зводных. В настоящее время широкое распространение получили расчетные сетки, адаптирую-иеся к искомому решению.

В методах динамической адаптации для управляемого распределения узлов используется нформация о динамике искомого решения в областях с постоянными и подвижными границами, о позволяет концентрировать большое количество узлов в зонах резкого изменения решения и вным образом выделять подвижные границы.

з всего вышесказанного следует актуальность темы, обусловленная необходимостью развития сновных аспектов математического моделирования, как одного из основных способов теоретиче-кого исследования коротко и ультракороткого лазерного воздействия на металлы, ель исследования

Основной целью диссертационной работы является проведение и анализ математического оделирования коротко- и ультракороткого лазерного воздействия на металлы. Первым этапом яв-ялась разработка вычислительного алгоритма, позволяющего с помощью искомого решения про-зводить управляемое перераспределение узлов сетки в областях с подвижными межфазными гра-

ницами. Следующей задачей было построение аналитических выражений для термодинамических и теплофизических характеристик для фононного и вырожденного электронного газа в произвольном температурном диапазоне. Заключительный этап - построение математической модели, на основе модифицированной задачи Стефана дня двухтемпературного приближения, описывающей неравновесный лазерный нагрев и быстрые фазовые переходы и анализ результатов моделирования.

В работе решены следующие задачи

Выполнено дальнейшее развитие метода динамической адаптации и его применение к решению задач нелинейной теплопроводности и конвекции - диффузии. Определены оптимальные функции преобразования координат в классе задач, описываемых уравнениями параболического типа. Для оценки эффективности и точности вычислительных алгоритмов используются тестовые задачи и аналитические решения.

Предложен подход к определению термодинамических и теплофизических характеристик металлов в неравновесных состояниях. С использованием техники интегралов Ферми построены простые аналитические выражения для уравнений состояния, теплоёмкости, теплопроводности и коэффициента обмена энергией вырожденного электронного Ферми-газа, а также для теплоёмкости и теплопроводности фононного газа в произвольном диапазоне температур.

Классическая двухтемпературная модель обобщена на случай неравновесного лазерного нагрева с фазовыми превращениями: плавлением и испарением. С использованием динамической адаптации проведено математическое моделирование импульсного лазерного нагрева алюминия и меди.

Научная новизна

Предложены и исследованы оптимальные функции преобразования для метода динамической адаптации в параболических уравнениях.

Предложен подход к определению термодинамических и теплофизических характеристик металлов в неравновесных состояниях.

Построена математическая модель неравновесного лазерного нагрева с учетом фазовых превращений вещества с явным выделением фазовых фронтов. Практическая ценность

Разработанные модели и вычислительные алгоритмы предназначены для использования исследованиях различных неравновесных процессов и состояний, сопровождающих импульсно лазерное воздействие на конденсированные среды.

Личный вклад автора

Все изложенные в диссертационной работе оригинальные результаты получены авторо лично, либо при его непосредственном участии.

Апробация работы и публикации

Основные результаты диссертации изложены в 20 научных публикациях (из них 1 статья Энциклопедии низкотемпературной плазмы, Серия Б, Том YII - 1, Математическое моделировали в низкотемпературной плазме, 4 статей в научных рецензируемых журналах из списка ВАК, 4 ста тьи в реферируемых зарубежных научных журналах и трудах Международных конференций, 1 тезисов конференций.

Результаты диссертационной работы обсуждались и докладывались на следующих 15-т конференциях: 3 - European Summer School, (Saint - Etienne, France, 2006), IV - VII - Международ ный научный семинар "Математические модели и моделирование в лазерно-плазменных процес сах" (Москва, 2007, 2008 Будва, Петровац, Черногория, 2009), Third International Conference Com putational methods in applied mathematics (Minsk, 2007), III International Conference on Adaptive Mod eling and Simulation ADMOS 2007, (Göteborg, Sweden, 2007), E-MRS 2008 Spring Meeting, (E-MR 2008), (Strasbourg, France), 6th International Conference on Photo-Excited Processes and Applications

ICPEPA 2008, (Sapporo, Hokkaido, Japan, 2008). International Conference "Advanced Laser Technologies" (ALT'08) (Siofok, Hungary. 2008), International Conference on Adaptive. Modeling and Simulation. ADMOS 2009, (Brussels, Belgium, 2009). Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников. Общий объем диссертации - 126 страниц.

Содержание диссертации

Во введении освещается современное состояние рассматриваемой темы, обосновывается тема диссертации, ее актуальность, формулируются цели и задачи исследования, излагаются полученные результаты и их практическая ценность.

Первая глава посвящена определению общих закономерностей построения динамически адаптирующихся к решению сеток, характерных для параболических уравнений типа конвекции -диффузии (уравнения Бакли - Леверетга и Бюргерса) и нелинейной теплопроводности (квазилинейное уравнение теплопроводности). В рассматриваемых задачах оптимальное распределение узлов сетки связано как с перемещением границ, так и с особенностями решения внутри области определения.

С сильно нелинейной теплопроводностью связано появление крутых неподвижных и распространяющихся температурных фронтов.

К задачам конвекции - диффузии сводится ряд математических моделей, составляющих основу задач механики жидкости и газа. Эти модели описывают два основных механизма переноса энергии и вещества: диффузионный и конвективный. В зависимости от внешних условий каждый из механизмов может иметь доминирующее влияние. В случае сильного доминирования конвективного механизма переноса получают класс сингулярно возмущённых нелинейных математических моделей с малым параметром при старшей производной. Нестационарные сингулярно возмущённые модели допускают возникновение областей сильного изменения решения, распространяющихся в виде различных фронтов и переходных слоев.

С вычислительной точки зрения сингулярно возмущенные задачи относятся к трудно решаемым проблемам. В частности, разностные схемы, использующиеся для аппроксимации уравне-ий конвекции - диффузии, как правило, обладают сильной дисперсией, для подавления которой рименяются специальные меры.

Постановка задачи. Основным объектом исследований служит класс нестационарных раевых задач математической физики, имеющих вид: дъ 9P(u) ч

— + —^ = F(>), *„<*<*,, />0, (1.1)

о t ох

1 = 0: и(х,0) = и°(4 (1.2)

* = *,: у0. * = *,: ^ф^^О, (1.3)

де P(u)ä0 - сложная линейная или нелинейная функция. F<n)(u)>0 - линейный или нелиней-ый оператор порядка не выше второго, п= 0,1,2. Предполагается, что решение u(x,t), как и ункция и0 (х),, обладают необходимой гладкостью.

В зависимости от конкретного вида операторов Р(и) и F^"'(u) уравнение (1.1) может писывать те или иные физические процессы и соответственно являться линейным или нелиней-ым уравнением параболического типа:

нелинейной теплопроводности Р(и)= 0, Fm(u) =—k(u)—; (1.4)

дх дх

нелинейных уравнений Бюргерса Р(и) = и2 / 2,

..2

и Бакли - Леверетта Р(и) = -

Р(2)(и)=//

Эх2'

(1.5)

(1.6)

и2+а-(1-и)2

Произвольная нестационарная система координат. В основу метода динамической адаптации положена процедура перехода к произвольной нестационарной системе координат. Использование произвольной нестационарной системы координат позволяет проблему построения и адаптации расчетных сеток формулировать на дифференциальном уровне, т.е. в получаемой математической модели часть дифференциальных уравнений описывает физические процессы, а другая - поведение узлов сетки. Неизвестными в получаемой системе уравнений являются не только сеточные функции и^, но и координаты узлов сетки х{. Взаимно-однозначное отображение физического и расчетного пространств осуществляется посредством автоматического преобразования координат с помощью искомого решения. Переход из физического пространства Ц,, с эйлеровыми переменными (хД) в некоторое расчетное пространство с произвольной нестационарной системой координат Оц г и переменными (ц,т) осуществляется с помощью замены переменных общего вида, согласно которой дифференциальная модель (1.1) - (1.3) в переменных (я,т) представляется в виде: Эи+£Эи + 1ЭР(и) = 11;(л)(и)> (17)

дт ц/ 5q у/ ц/

дч> дО дх

~ = = Яо < Ч <Чг> г>0 (1.8)

дт д<\ дд

где (1.7) параболическое уравнение общего вида, (1.8) - уравнение обратного преобразования с функцией преобразования Q, Функция 0 характеризует скорость движения нестационарной системы координат, заранее неизвестна и подлежит определению. После её определения уравнение (1.8) используется для построения адаптирующейся к решению сетки.

Принцип квазистационарности. Функция преобразования 0 определяется из принципа квазистационарности, согласно которого необходимо выбрать такую нестационарную систему координат, в которой временные производные решения обращаются в нуль или будут достаточно малы. Малость временных производных равносильна требованию режима квазистационарности для процессов в новой системе.

Принцип квазистационарности использовался для определения функции 0 в ряде модельных задач. В задачах нелинейной теплопроводности (1.4) с к(и) = и" и а > 1 функция 0 имеет вид:

дч) ; у

Г д2\х

ди

-+«

Н1)

вЧКУ) V {5Я

ди

ач

+Яе =

у/ дд

В нелинейных задачах конвекции - диффузии (1.5), (1.6) функция С! равняется

(1.10)

е_ М») а(У[ м а2"

ди ддУщ) ц/ дд2/

—+ Яе

РЧ .

(5Р{и) д(ц ди

Эи дд

,(1.11)

ЭР(ц)

5и

для уравнений Бакли - Леверетта и Бюргерса соответственно имеют вид:

= и.

дР{и)= 2аи(1-и) д Р(и)

3« ' Зи

где Яе« 1 - регуляризующая константа, ограничивающая снизу значение производной ои / дц в случае её обращения в нуль.

В полученных выражениях (1.10), (1.11) 1-е и 3-е слагаемые оказывают на узлы сетки сжимающие воздействие, а 2-е - расталкивающее и эффективно предотвращает возникновение сингулярных ситуаций, проявляющихся в пересечении траекторий движения узлов. Отметим, что третье слагаемое является медленно меняющейся функцией, принципиальной роли не играет, и в ряде случаев им можно пренебречь.

Эффективность метода динамической адаптации, с учётом полученных выражений для функции преобразования Q, исследовались аналитически и численно. С их помощью было показано, что предлагаемые выражения функции () являются оптимальными в смысле качества решения при минимальном числе узлов сетки. Дифференциальное приближение разностных схем

Аналитические исследования базировались на исследовании дифференциальных приближений разностных схем. Их исследование позволяет установить преобладающий вклад в погрешность аппроксимации старших производных и, связанных с ними таких свойств разностных схем, как диссипация и дисперсия. Известно, что разностные схемы, используемые для решения уравнений конвекции - диффузии, при конвективном преобладании обладают сильной дисперсией, приводящей к паразитным осцилляциям при скачкообразном изменении решения. В нестационарных системах координат правые части дифференциальных приближений зависят от скорости движения системы координат, что позволяет соответствующим выбором функции преобразования влиять на качество разностных схем.

Введя в дискретном пространстве { расчётную сетку и записав с её помощью

семейство из трёх конечно-разностных схем, аппроксимирующих уравнения (1.7), (1.8) центральными разностями, конечными разностями вперед и назад, получим для них дифференциальные приближения

с?дЦ|ар(и) дГ/ди дд дц\1у дд

х Эй

д2и

¿к,

а д3и д4и 2 +А. ТТ+^п—,

п = 1,2,3.

Индекс п = 1 соответствует схеме с це1ггральными разностями, п = 2 для схем с разностями вперед и п = 3 - назад.

«2,3 =«0

¿2,3 = ¿1+3). А,3=Д. /2.3=7,.

ЗР.

кдгРди 0 2 ди> дд'

а, =-—

А=-

дгРди д1 (ц

Эи дд дд2 {у/

£—4

24

аи'){дЧ) дд'У)

8и 8д )

_Ь2 м

Наиболее существенную роль из рассматриваемых коэффициентов играет коэффициент Р стоящий перед третьей производной и, определяющий величину дисперсии соответствующей разностной схемы. Для всего семейства разностных схем коэффициент р имеет один и тот же вид. Его можно легко обратить в нуль, задав функцию С? в одном из соответствующих видов. Для нелинейных уравнений:

теплопроводности <3 = —

Бюргерса б = -

\(и)Уаи"-' Эи | 6 к у/ ) у/ Зд

и 1

Бакли-Леверрета 0(и) = —I >—2ди(1 и)

|[иг + а-(1-и)!] ¥дд

Стремление коэффициента к нулю позволяет полностью избавиться от внутренней дисперсии разностных схем и тем самым существенно повысить качество разностных схем в областях сильного изменения решения. Отметим, что полученные выражения для содержит на

одно слагаемое меньше, чем выражения , полученные из принципа квазистационарности.

Численный анализ. На примере численного решения ряда модельных задач, описывающих процессы нелинейной теплопроводности и конвекции - диффузии, показано, что в параболических задачах принцип квазистационарности позволят определять функции преобразования (2, обеспечивающих полную согласованность механизма адаптации сетки с искомым решением.

Отметим, что трансформация исходного уравнения (1.1) в расширенную дифференциальную систему (1.7) - (1.8) требует соответствующих дополнений в граничных и начальных условиях.

Задача нелинейной теплопроводности. Рассмотрим формирование двух неподвижных температурных фронтов на примере модельной задачи теплопроводности с краевыми условиями I-го рода. В переменных (*,/) задача имеет вид:

—-=-—, Ж = -*(м)—, к(и)=иа , а > 1.

дт дх дх

Г>0, 0<х<1

< = 0: и°(д:,0)= * = 0,1: и(0,/)= и(1,/) = 0,

В переменных (я, г) задача нелинейной теплопроводности приобретает вид:

аг дд ~ дд' ¥Тд' V

ду 80 дх

¿Г*- *>0. №

т=0: «°(9,0) = 5ш(л-9), г(?,0) = 1, (1.14)

4 = 0: и(0, г) = 0, С2(0 ,т)"0 4 = 1: и(1,г) = 0, д(1,г) = 0: °15)

В расчетном пространстве О^ т вводилась расчетная сетка (»{¡г, и выписывалась семейство консервативных разностных схем, аппроксимирующее дифференциальную систему с порядком 0(+ к*). Система нелинейный разностных уравнений решалась итерационным методом Ньютона.

1,20,90.6: 0,30,0-

0.01

Э

0.0001

-1—I—1—I—1—I—I—'—I—I—I—

О 2 4 6 8 10

Рис. 1.1.а,с. пространственно-временное распределение безразмерных температуры и пространственного шага сетки

Решение дифференциальной задачи (1.12) - (1.15) на сетке с N = 20 и ¿¡г = 5, представлены на рис. 1.1а,Ь в виде кривых и(1,х), х), характеризующих пространственно-временное распределение безразмерных температуры и пространственного шага сетки. Количество и положение узлов на всех рисунках отмечены маркерами - тёмными начальные распределения и((0,х), (//(10,х) при 1 = 10, светлыми кружками все остальные кривые, рассчитанные на различные моменты времени

Кривые на рис. 1.1а,Ь, характеризуют динамику формирования неподвижных температурных фронтов вблизи левой и правой границ и, связанное с ними, перераспределение узлов сетки. Сетка реагирует на появление градиентов сгущением узлов в области их наибольших значений и увеличением безразмерного шага у/(1,х) в центре области, где градиенты решения невелики, на рис.1.1Ь.

Были также рассмотрены и проанализированы численные решения нелинейных задач о распространение температурных волн, Бакли - Леверетта и Бюргерса. Анализ результатов решения нелинейных уравнений теплопроводности и конвекции - диффузии показал, что идея использования искомого решения для построения адаптирующихся сеток делает метод динамической адаптации универсальным, эффективным и алгоритмически простым.

Вторая глава посвящена определению основных теплофизических и термодинамических характеристик металлов в неравновесных состояниях в произвольном температурном диапазоне. Металлы в неравновесных состояниях обычно представляются в виде двух взаимодействующих подсистем - фононной и вырожденной электронной, характеризующихся соответственно фононной Трк и электронной т, температурами. Под произвольным температурным диапазоном для электронного Ферми-газа подразумевается температура Г, удовлетворяющая соотношению: ПУК <Т, < 10еР. Для фононного газа определение теплофизических и термодинамических ха-

рактеристик ограничивалось интервалом температур 273' К <, Tpi <Т„, где ef и Т„ - энергия Ферми и критическая температура соответственно.

Вырожденный электронный Ферми-газ. К важнейшим теплофизическим и термодинамическим характеристикам электронного Ферми-газа в рамках теплопроводного механизма переноса энергии относятся: теплоемкость Сие, температуропроводность %е и теплопроводность Хе. В условиях нарушения термодинамического равновесия эти характеристики определяются через фундаментальные физические величины, к которым относятся длины свободных пробегов электронов /„, ltp и времена (частоты) релаксации г„ и х характерные для двух механизмов рассеяния электрон-электронного и электрон-фононного.

Для определения характеристик вырожденного электронного газа использовалась техника интегралов Ферми FktVI.

FM,M=\ i v (2.1)

где г = eJT,, r](Tt) = fi(Tt)/Tt - безразмерные энергия и химический потенциал электронов. Аппроксимация интегралов Ферми (2.1), позволяющая выражать функции Ful/2(£) через трансценТ

дентные Гамма-функции r(fc + 1/2) и безразмерную температуру £ = — с погрешностью, не пре-

ff

вышающей 8%, позволила все характеристики электронного газа представить в виде простых аналитических выражений при произвольных температурах. Так средняя энергия электронов и давление могут быть представлены в виде:

3 (^+0.16)"г ,

Л/2 2

Р<>= ^ = +0.16Г 3 3 FU2

Выражение для теплоемкости электронного газа при постоянном объеме Суе

г = 3 N,k\T. , (2.2)

где Nt, - плотность электронов, кв - постоянная Больцмана. Зависимости С^(Тг) для меди и алюминия представлены на рис. 2.1.

Теплопроводность электронного газа Я, (Т,, Tph) согласно элементарной кинетической теории газа определяется как

(U=ik./,<Ü,>1 =(С„;r.)4, k=s,l

~—vt-e "! ' I \wveЛe/fc ' п (2.3)

-5 Л

Т.е. коэффициент теплопроводности "ке можно определить через теплоемкость и осредненную температуропроводность Х,{т„Трк) электронного газа.

Температуропроводность электронного газа х, определяется парными электрон-электронными столкновениями, преобладающими в области высоких температур, сравнимых с энергией Ферми ~ 1 и элекгрон-фононным взаимодействием, доминирующим в области низких температур,

т./е,« 1.

Рис.2.1 Температурная зависимость электронной теплоемкости С„(Г,).

Длина свободного пробега электрона при парных электрон-электронных столкновениях

/ .определяется по известной газодинамической формуле =

1

Л?.ст

-, где сечение рассеяния

с передачей энергии Д£для электронов с энергиями , определяемое в борцовском приближении. В окончательном виде длина свободного пробега электрона для парных электрон-электронных столкновенияй записывается как

т'

N.

' 9 1,9*

4/3 4 ^

.-4/3 Г

4г

1п(4«+1)-7-т

_ / (* + 0. &2+Ш2+0.1б)

(2.4)

где -

(^+0.16). ^ 4

гв = —- - боровский радиус, те

ч1/3

- среднее расстояние между атомами, е - заряд электрона, й - дебаевский радиус.

Длина свободного пробега, определяемая электрон-фононным взаимодействием £€рк описывается в предположении упругого рассеяния электронов проводимости металла на колебаниях

решетки и имеет вид:

Е-г

где Е-- модуль Юнга. (Пе-

редняя длины свободного пробега получим выражение для результирующей температу-

ропроводности хХ1',>ТрЬ) при произвольной температуре

(г(г т)) 4х-1 <о >1 „

Температурные зависимости коэффициента электронной теплопроводности &,(Т„Трк) для А1 и Си для равновесного случая Тш = Трк, приведены на рис.2.2.

10'

цк)

Рис.2.2. Температурная зависимость коэффициента электронной теплопроводности Яе (Тг, ТрН)

Фононный газ. Теплоемкость фононов Сирк{Грк). С учетом процесса плавления теплоемкость фононного газа запишется в виде:

3квМ„,, к Т>Т0

т<тп

где Т0 - температура Дебая. Температуропроводность фононного газа Хрь^рк)-

Фононы рассматриваются как газ частиц, для которого температуропроводность определяется соотношением хрн = и, >гДе ^ р» - Длина свободного пробега фонона, и1 - скорость звука.

Длина свободного пробега ( р1< определяется через параметры фононного газа

где М - масса атома, у - постоянная Грюнейзена. С учетом процесса плавления температуропроводность фононного газа

_ Ми) г

рк~ кТ г2' Кв'р1, 7

2.831x10""

г м2-

л"У г

* л

к = *,/

Теплопроводность фононного газа Трк) выражается через его теплоемкость Сирк и температуропроводность хрь

)„ _ СиркХри ~

3 л2 Й5 2 N1'

тр„>та.

ЦЗт)3'2 М"2 у2 ТрН[К])

Температурные зависимости полной теплоемкости и теплопроводности металла представленные в виде соответствующих сумм, состоящих из двух компонент - электронной и фононной, представлены на рис.2.3,2.4:

С„(Г)= С„.(г)+Си„(г), А(Г)= ЛДГ)+ А„(Г),

т,[к]

Рис.2.3. Температурные зависимости полной теплопроводности А (г).

Т[К]

Рис.2.4. Температурные зависимости полной теплоемкости Си (т) .(маркерами отмечены справочные данные).

Электрон-фононное взаимодействие. Средняя частота электрон-фононных столкновений ) с передачей энергии электронов кристаллической решетке представляется в виде

< V. > = 2 И,<и,> а^ = 2хЫс < V, > о,ръ где а1рН - сечение электрон-фоноппого рассеяния, определяемое как:

4/3

ткаТ.

рИ

Выражение для средней частоты передачи энергии окончательно записывается в виде:

1п(/,+1)-

при £<1

при 4 ^ 1

гДе ф- безразмерная функция, характеризующая зависимость частоты передачи энергии от температуры Те. В области Т~£г функция имеет экстремум (максимум).

При функция пропорциональна а частота передачи энергии пропорциональна

температуре Те, поскольку вследствие принципа Паули с фононами взаимодействует лишь доля электронов Ые ~ Те. Линейную зависимость от функция Ф сохраняет почти до 4 »1, (Т, ~еР). После снятия вырождения функция Ф1рЛ(4) убывает с ростом £ и при

£->00 имеет асимптотику Ф^)--1п£/еш, а частота передачи энергии <се(Л>~ \nTJT?'2 .совпадает с температурной зависимостью частоты передачи энергии от электронов ионам в максвел-ловской плазме.

Линейная зависимость (у^ > от температуры Трь подчеркивает факт рассеяния электронов на тепловых колебаниях.

Передача энергии. Средняя энергия, передаваемая фононам электронами в единице объема в единицу времени, равна произведению средней энергии, передаваемой одним электроном < &£ > на концентрацию электронов, могущих участвовать в передаче энергии фононам

¿1

<Д<?>

Мг.-ъ)

N.

1< ле > 2(те)ы,

Т.<е,

ТЛе,

Средняя энергия <А£>, передаваемая фонону одним электроном в единицу времени равняется

тогда

<и

где g(¿;) - коэффициент обмена энергией, равный:

/л ч*Л Гз^'У 8 V'3 8 МВ12 „

^"(тбг)

Температурная зависимость коэффициента обмена энергией g(Tt) представлена на рис. 2.5.

Тв [К]

Рис.2.5. Температурная зависимость коэффициента обмена энергией g(Tt)

Третья глава посвящена разработке математической модели, описывающей неравновесный нагрев и динамику фазовых переходов. Построенная модель используется для исследования импульсного лазерного воздействия на металлы.

В общем случае лазерное воздействие на металлы сопровождается нагревом, плавлением и испарением. Относительная роль каждого из этих механизмов зависит от интенсивности излучения G(l) и длительности импульса zL. В данной работе длительность воздействующего импульса выбиралась из диапазона 10"1г S г, 5 10"' с, а интенсивность из диапазона 10* <. G < 1014Вт/см2.

При нагреве решетки до температуры выше равновесных температур плавления Тт и испарения Ть простейшее описание фазовых трансформаций (без учёта гидродинамических эффектов) в веществе под воздействием лазерного излучения осуществляется в рамках совмещенного варианта задачи Стефана, включающего в себя классический и однофазный варианты, записанных в двухтемпературном приближении.

Твердая Жидкая

фаза фаза

Tsi(t) T|v(t)

Лазерное излучение _

Кнудсеновский слой

Рис.3.1.Схема лазерного воздействия и положения фазовых фронтов.

Неравновесный лазерный нагрев описывается системой уравнений: (де, _ 31Г. дО\

а—"

дх

— + a{hco,T)G = 0 дх

к = s,¡

(3.1)

0<*<r,,Ur„ <*<Г„,

di;

W„„

дТ,

.р* дх '

= Cv/,(Tplt)Tplt, g = g(Tt), а = a(ha,T,)

где Д,=Я(Г„ГМ),

Начальные и граничные условия для системы уравнений (3.1) формулируются следующим

(3.2)

(3.3)

образом:

* = /„: Тг(10,х) = Т1Л{!а,х) = Т0

' дх ph дх

Процесс поверхностного плавления описывается в рамках классического варианта задачи Стефана, записанного для условий неравновесного нагрева

дТЛ (_ дТ,

т =т

(3.4)

ctc

V1 = . Тл = Трк1 = TphJ = Г„

(3-5)

Процесс поверхностного испарения описывается в приближении кнудсеновского слоя:

дх

ехр

(3.6)

Т0=ат(М)ТрШ^ = ар(М)Рн, ат(М =1) = 0,633 , ар{М = 1)=0,328 , (3.7)

\

1

ДГ„

* рН* )

где - скорость фронта испарения (сублимации), и- газодинамическая скорость потока массы на внешней стороне кнудсеновского слоя, Рк - давление в конденсированной среде, 1и, Ти, ри, ри - удельная энергия испарения, температура, плотность и давление пара, ат(М), ар(м) -коэффициенты Крута, М - число Маха, ри, Рн - плотность и давление насыщенного пара, Рь, Ть, - равновесные давление и температура кипения, Л - газовая постоянная, ст - постоянная Стефана-Больцмана.

Для решения системы нелинейных уравнений (3.1) с условиями (3.4) - (3.8) использовался метод динамической адаптации детально изложенный в Главе I. В основу метода динамической адаптации положена процедура перехода к произвольной нестационарной системе координат, в которой легко решаются проблемы с подвижными границами Г,, (г), Г,и(() и динамическим перераспределением узлов сетки.

5(44) _ д(ве.)

8д

8т

Эг 8д 8д 8К'

-+ Тав = 0

8Сх

Зд

дх _ду/ дт 8д' 8 д р т>т0, 0<^<Г„11Г„ <?<ГЬ,

Функция преобразования Q определяется из принципа квазистационарности и имеет вид

к = 5,1

(3.8)

0 "¡аугв-

81У. ) / дг.. _ де,

дд 8д

КнР ЗТР>

дд од

- + ге

(3.9)

ш Х'Р8т. где - РГ, = ———-,

Ч'дд р" Ч> 8д

Дифференциальная задача (3.8), (3.9), аппроксимировались семейством консервативных разностных схем записанных в расчётном пространстве с помощью расчётных сеток ) и (о)' );1 введенных в каждой из подобластей 0 < д < Тг1 |_|Г,; < д < Гд, и численно решалась итерационным методом Ньютона.

Математическое моделирование использовалось для исследования двух режимов импульсного лазерного воздействия: короткое с г1=1(Т9 с и ультракороткое с г1=1(Г'2 с на две мишени с сильно различающимися теплофизическими свойствами из алюминия и меди. Результаты моделирования должны были определить начало заметного вклада неравновесности в лазерный нагрев мишеней {или установить примерный порог применимости однотемпературного приближения), и оценить роль и влияние теплофизических и кинетических характеристик

металлов в условиях неравновесного нагрева. В расчётах учитывались температурные зависимости оптических характеристик обеих мишеней.

В наносекундном диапазоне использовался лазерный импульс с длительностью Т1=1Ч9, плотностью энергии 3-2 Дж/см2 и длиной волны Х-0.8 цм. Обычно считается, что лазерное воздействие на металлы в наносекундном диапазоне происходит без отрыва температур, но проведенные расчёты не подтвердили данное предположение.

На Рис. 3.2, 3.3 приведены временные зависимости электронной и фононной температур поверхности алюминиевой и медной мишеней. Из-за больших значений коэффициента энергообмена 2(Те) у алюминия заметный отрыв температур Тс>Трк, АТтах-Тет„-ТР1,я>700''К, наблюдается лишь в области за пиковым значением интенсивности импульса, рис.3.2. Полное выравнивание температур достигается к концу импульса. В меди отрыв температур Те>Тр1, реализуется на переднем фронте импульса, Рис. 3.3, и достигает величины АТтах>а1500сК. К концу импульса, из-за большой электронной теплопроводности и замедленного энергообмена реализуется обратное неравенство температур, Те < Трь. Таким образом, у меди эффект неравновесности проявляется значительно сильнее, чем у алюминия.

Рис. 3.2. Временные зависимости температуры поверхности алюминия. Сплошная линия соответствует электронной компоненте, пунктирная - фононной.

На Рис. 3.4, 3.5 приведены временные зависимости скоростей плавления и испарения алюминия и меди. Момент плавления у обоих металлов находится на переднем фронте импульса. Максимальные скорости плавления достигают ~ 425 м/с в алюминии, и ~ 550 м/с в меди. Максимальная скорость испарения у алюминия на 2 порядка, а у меди на 3 меньше максимальной скорости плавления. В обоих металлах максимальные значения скоростей плавления v,/.ma, и испарения существенно разнесены во времени.

Характерной особенностью фазовых переходов (плавление, испарение) в условиях неравновесного нагрева является возникновение перегретых метастабильных состояний в приповерхностных слоях твердой и жидкой фаз, рис.3.6, 3.7. Их формирование определяется объемным нагревом решетки посредством электрон-фононного обмена и выносом энергии через межфазные границы потоками вещества psvsi и ррь. Глубина залегания АТмси составляет примерно 6-16 нм. В жидкой фазе приповерхностные максимумы залегают на глубине AI ~ 9-20 нм и

Рис. 3.3. Временные зависимости температуры поверхности меди. Сплошная линия соответствует электронной компоненте, пунктирная - фононной.

ц.и)

Рис. 3.4 Временные зависимости скоростей плавления и испарения в алюминии.

Рис. 3.5. Временная зависимость скорости плавления и скорости испарения у меди.

solid : - ---- ,, . -- 1 ■ liquid /■

....... Tph

е

t=+0ns

216nm

95,0 96.7 99.8 90.9 100.0

х[ткт]

Рис. 3.6 Пространственное распределение электронной и фононной температур в алюминии, в момент времени Г=+0 не.

составляют величину АТ\=Тгь,тах-Т!т АТ^л:» 20 ЛТ1Сиа0,9°К.

Более высокие значения перегрева твердой фазы определяются более высокими скоростями распространения фронта плавления.

Термодинамическая неравновесность сказывается на величине коэффициента теплопроводности. Чем больше разрыв между температурами, тем выше коэффициент А,(Тг,Тр11) и тем больше вынос энергии из зоны облучения. Линейная оценка глубины зоны

4х105

1x10'-

solid | liquid

.........

900K J, .......v

e ;

! 164nm t=+0.2na

99.904

xlnnkm]

Рис. 3.7. Пространственное распределение электронной и фононной температуры в Си.

теплового воздействия, определяемая по линейной оценке ¿>,(1) = (а()0! для однотемпературной модели составляет 3,(1) = 1.2/т для алюминия и <5(0 ~ 2рт для меди. Двухтемпературная модель дает более высокие значения: £,(?) = 1.55/яи для алюминия и <5(0 ~ 4.5/то для меди.

Пикосекуидное воздействие. Уменьшение длительности лазерного импульса до ть=}(г'2с и Дж/см , способствует усилению неравновесных эффектов. На рис. 3.8, 3.9 приведены временные зависимости электронной и фононной температур поверхности алюминиевой и медной мишеней.

Максимальный отрыв температур соответственно достигает ~ 6.2 104К и ~ 4.3 104 К. Полное выравнивание температур Те Трк у алюминия происходит за ~ 15 пс, у меди - за -60 пс. Быстрый нагрев мишеней пикосекундными импульсами предопределяет появление быстрых фазовых переходов. У алюминия максимальные скорости плавления ь^й) достигают нескольких километров в секунду, а испарения -около сотни метров в секунду .Столь высокие скорости выноса вещества в совокупности с объёмным нагревом конденсированной фазы приводит к чрезвычайно сильному перегреву твёрдой и жидкой фаз. У алюминия, рис.3.10, решетка и жидкая фаза нагреваются до температур (Т^-К/К, ^-2-104К) превышающих критическую (Тсг-$10?К). У меди величина перегрева твёрдой фазы достигает Ьб-^К. В жидкой фазе из-за малой скорости перегрев практически отсутствует, рис.3.11.

Возникновение сильнонеравновесных состояний при пикосекундном воздействии вызывает резкое увеличение коэффициентов электронной теплопроводности в обоих материалах в 10 и более раз, превышающих равновесные значения. Высокие значения коэффициентов электронной теплопроводности формируют области термического воздействия с аномально большими размерами, рис. 3.12.

Рис 3.8. Временные зависимости электронной и фононной температуры поверхности алюминия.

Рис 3.9 Временные зависимости электронной и фононной температуры поверхности меди.

solid linuid

•

2700К —Т*

26nm t=+7pe

Рис. 3.10. Пространственное распределение электронной и фононной температуры алюминия.

x[mkm]

Рис. 3.11. Пространственное распределение электронной и фононной температуры меди.

-Al

.....Cu

s

✓ / /

/

-1-(-.-1-.-1---

О 20 40 60 во

ЧГ»]

Рис. 3.12. Зона теплового воздействия для пикосекундното излучения. -20-

В Заключении формулируются основные результаты работы.

1. Обобщен и применен к решению задач нелинейной теплопроводности и конвекции - диффузии с неподвижными и подвижными границами метод динамической адаптации. Определены оптимальные функции преобразования координат в классе задач, описываемых уравнениями параболического типа.

2. На основе модификации задачи Стефана для двухтемпературного приближения, построена математическая модель, описывающая неравновесный лазерный нагрев и быстрые фазовые переходы в металлах.

3. С помощью интегралов Ферми получены простые аналитические зависимости для термодинамических и теплофизических характеристик фононного и электронного Ферми-газа при произвольной температуре.

4. Математическое моделирование позволило установить, что примерный порог однотемпера-турного описания лазерного нагрева большинства металлов составляет ~ 10"8 с. В пикосе-кундном диапазоне быстрые фазовые переходы сопровождаются возникновением сильно перегретых (до нескольких тысяч градусов) метастабильных состояний в твердой и жидкой фазах.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. A.V. Mazhukin. Electronic and emission properties of metals and semiconductor. 3 - European Summer School 11-15 September 2006, pp. 75-76, Saint - Etienne, France.

2. А.В.Мажукин. Оптические свойства металлов. Тезисы докладов IV Международного научного семинара "Математические модели и моделирование в лазерно-плазменных процессах", 30 января - 2 февраля 2007, Москва, Знание. Понимание. Умение. (Научный журнал Московского гуманитарного университета), С.254 -255.

3. А.В.Мажукин. Эмиссионные свойства металлов. Тезисы докладов IV Международного научного семинара "Математические модели и моделирование в лазерно-плазменных процессах", 30 января - 2 февраля 2007, Москва, Знание. Понимание. Умение. (Научный журнал Московского гуманитарного университета), С.255.

4. A.V. Mazhukin. Dynamic adaptation in convection-diffusion equations. Third International Conference Computational methods in applied mathematics. CMAM-3, Abstracts, Minsk, June 25 30,2007, p.53.

5. A.Mazhukin. Dynamic adaptation in parabolic differential equations in partial derivatives. Proceedings of the III International Conference on Adaptive Modeling and Simulation ADMOS 2007, pp. 161 - 165, Edited by: K.Runesson, P.Diez (Eds), 22 - 24 October 2007, held in Göteborg, Sweden.ISBN: 978-84-96736-31-3.

6. А.В.Мажукин, В.И.Мажукин. Динамическая адаптация в параболических уравнениях. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2007, т. 47, №11, pp. 1911 - 1934.

A.V.Mazhukin, V.I.Mazhukin. Dynamic Adaptation for Parabolic Equations. Computational Mathematics and Mathematical Physics 2007, vol.47, № 4, pp.

7. A.V. Mazhukin, B.N.Chichkov. Kinetics of electron-phonon relaxation in metals irradiated by ultrashort laser pulses. Book of abstracts European Material Research Society 2008 Spring Meeting (E-MRS 2008), May 26-30,- B-P2 45, pp.b-17.

8. A.V. Mazhukin. Dynamic adaptation in convection-diffusion equations. Computational methods in applied mathematics. 2008, Vol. 8, №2, pp. 171-186.

9. A.V. Mazhukin, M.G.Lobok. Mathematical modeling of nano- and femtosecond laser ablation of aluminium. Book of abstracts 6th International Conference on photo-excited processes and applications. ICPEPA 2008. September 9-12,2008, Sapporo, Hokkaido, Japan.- P-55.

10. V.I.Mazhukin A.V. Mazhukin, M.G.Lobok. Comparison of Nano- and Femtosecond Laser Ablation of Aluminum. Book of abstracts of International Conference "Advanced Laser Technologies" (ALr08), September 13-18, 2008 Siofok, Hungary,- p. 202.

11. V.I. Mazhukin, A.V. Mazhukin, O.N. Koroleva. Optical properties of electron Fermi-gas of metals at arbitrary temperature and frequency. Book of abstracts of International Conference "Advanced Laser Technologies" (ALT'08), September 13-18,2008 Siofok, Hungary,- p. 252.

12. А.В.Мажукии, O.H. Королева. Определение температурной и частотной зависимостей оптических характеристик металлов. Тезисы докладов V Международного научного семинара "Математические модели и моделирование в лазерно-плазменных процессах". 29 января - 2 февраля 2008 года.- Из-во Московского гуманитарного университета, - Москва. - С.ЗЗ.

13. O.N. Koroleva, A.V. Mazhukin, A.V. Shapranov. Optical properties of metals in a wide frequency and temperature range. Sixth International seminar. Mathematical models & modeling in laser-plasma processes. Abstracts. May 30-June 6 2009, Budva, Montenegro, стр. 31-32.

14. В.И. Мажукин, A.B. Мажукин, А.В.Шапранов. Динамическая адаптация в дифференциальных уравнениях в частных производных параболического типа. Энциклопедия низкотемпературной плазмы, Серия Б, Том YII - 1, Математическое моделирование в низкотемпературной плазме, Часть 1, рр.190 - 216,2008, Москва, Янус-К.

15. V.I.Mazhukin, А. V. Mazhukin, М. G. Lobok. Comparison of Nano- and Femtosecond Laser Ablation of Aluminium. Laser Physics, 2009, vol. 19, №5, pp. 1169-1178.

16. V.I. Mazhukin, A.V. Mazhukin, O.N. Koroleva. Optical properties of electron Fermi-gas of metals at arbitrary temperature and frequency.. Laser Physics, 2009, vol. 19, № 5, pp. 1179-1186.

17. В.И.Мажукин, А.В.Мажукнн, М.Г.Лобок. Математическое моделирование динамики фазовых переходов и перегретых метастабильных со стояний при нано - фемтосекундном лазерном воздействии на металлические мишени. Математическое моделирование, 2009, т. 21, № 11, стр. 99-112.

18. V.I.Mazhukin, O.N.Koroleva, A.V.Mazhukin. Application of Dynamical Adaptation to the Solution of Multifront Stefan Problem in Multilayered Materials. Proceedings of the IY International Conference on Adaptive Modeling and Simulation. Bruxelles, Belgium, 25-27 May 2009, pp. 137-140.

19. V.I.Mazhukin, P.V.Breslavsky, A.V.Mazhukin. Dynamical adaptation for gas dynamics problems. Proceedings of the IY International Conference on Adaptive Modeling and Simulation. Bruxelles, Belgium, 25-27 May 2009, pp. 141-144.

20. O.N. Koroleva, A.V.Mazhukin, A.V. Shapranov. Optical properties of metals in wild temperature and frequency range. Book of abstracts of International Seminar on Mathematical Models and Modeling in Laser-Plasma Processes (LpPM3 2009).

Подписано в печать^ О*?. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № с1бб

Московский Гуманитарный Университет Москва

Введение.

Глава 1. Динамическая адаптация в параболических уравнения.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Произвольная нестационарная система координат.

1.3. Нелинейная теплопроводность.

1.4. Нелинейные уравнения конвекции-диффузии (Бакли-Леверетта, Бюргерса).

1.5. Выводы.

Глава 2. Теплофизические и термодинамические свойства фононного и электронного Ферми-газа.

2.1. Вырожденные электронный Ферми-газ.

2.2. Фононный газ.^.

2.3. Электрон-фононное взаимодействие.

Глава 3. Математические модели и моделирование импульсного лазерного воздействия на металлы.

3.1. Математическая модель неравновесного лазерного нагрева, плавления и испарения металлов.

3.2. Алгоритм решения и разностные схемы.

3.3. Результаты моделирования.

3.3.1. Наносекундное воздействие.

3.3.2. Пикосекундное воздействие.

1.1 Общая характеристика работы

Воздействие концентрированных потоков энергии, среди которых электронные и ионные пучки, сфокусированное солнечное и лазерное излучение, на конденсированные среды способствовало интенсивной разработке и внедрению принципиально новых технологий обработки материалов. Контролируемое изменение свойств приповерхностных слоев, достигаемое за счёт изменения элементного состава (ионное и лазерное легирование), так и вследствие изменения структурно-фазовых состояний (электронное и лазерное воздействие) привели к тому, что лазерные и ионные технологии стали одними из наиболее перспективных направлений современного материаловедения.

Из всех используемых видов концентрированной энергии лазерное излучение оказалось наиболее широко представленным в технологических приложениях. Лазерные технологии применяются для поверхностного упрочнения [1] - [3], микроструктурирования [4] — [7], маркировки [8], сварки, резки и сверления, материалов [9] - [14], поверхностной модификации и легирования металлов [15] - [16], отжига и легирования полупроводников [17] - [19], в ряде химических [20] - [21] и медицинских приложений [22] и т.д. Широкое применение нашло формирование металлических и керамических плёнок различной толщины с помощью РЫ} - технологий [16], [23] - [25].

Вместе с тем, следует отметить, что, несмотря на достигнутые успехи, в целом лазерное направление дало меньший эффект, чем ожидалось. Лазерное воздействие оказалось наиболее сложным по количеству сопровождающих его разнообразных физических процессов и степени воспроизводимости результатов. В результате многочисленных экспериментальных и теоретических исследований в настоящее время установлены многие закономерности этих процессов. Однако ряд принципиальных моментов остается не до конца выясненным, и понимание их носит пока качественный характер. Современный характер развития технологий, использующих концентрированные потоки энергии, в том числе лазерные, характеризуется осознанием того, что их дальнейшее развитие и успешное применение связано с необходимостью более глубокого понимания фундаментальных аспектов и детального количественного описания физических процессов.

Математическое моделирование, являясь, по сути, новой -универсальной технологией проведения научных исследований, позволяет осуществлять постановку вычислительных экспериментов [26]. В отличие от натурных - вычислительные эксперименты, опираясь на экспериментальные результаты, позволяют проводить более полные и комплексные исследования с любой степенью детализации при значительно меньших материальных затратах. Математическое моделирование в современном понимании состоит из построения физико-математической модели или класса моделей, разработки соответствующих вычислительных экспериментов и создания мощных программных комплексов, позволяющих в рамках одного вычислительного эксперимента проводить серии расчётов, а также автоматизировать накопление, обработку и представление результатов. В конечном итоге численное решение нелинейных математических моделей позволяет получать качественную и количественную информацию о любой стороне исследуемого процесса при различных условиях проведения вычислительного эксперимента. Её анализ позволяет определить основные тенденции развития процессов в широком диапазоне изменения параметров. Последующее сравнение с результатами натурных экспериментов может определить относительно узкий диапазон параметров, где они близки или совпадают.

Важнейшим элементом математического моделирования является построение математической модели, адекватно описывающей рассматриваемые процессы. Для описания процессов в зоне облучения в настоящее время используется два подхода: континуальный и дискретный. В основу континуального подхода положены уравнения механики сплошной среды, представляющие собой, как правило, дифференциальные уравнения в частных производных. Континуальные модели характеризуют процессы макроуровня, такие как пространственно-временные распределения тепловых, гидро-газодинамических, электромагнитных и др. полей. В дискретном подходе учитываются процессы микроуровня. Так в моделях молекулярной динамики рассматривается поведения ансамбля элементарных частиц: атомов, ионов или молекул. Описание их поведения производится из, так называемых "первопринципов". Состояние каждой из частиц характеризуется явно задаваемым потенциалом межчастичного взаимодействия. Из решения уравнений движения определяются пространственное положение, и импульс каждой частицы на каждый момент времени. Последующее осреднение полученных величин позволяет проводить исследование динамики различных процессов в целом.

Основным недостатком дискретного подхода является огромная размерность моделей, количество уравнений в которых определяется количеством рассматриваемых частиц. Так в конденсированных средах с плотностью атомов порядка Л^ 1022см~3 для области с характерным размером 1см количество уравнений в моделях молекулярной динамики может достигать 1022 -И023, что требует для их решения больших вычислительных мощностей. Столь большое число уравнений с одной стороны служит основным ограничением применения моделей молекулярной динамики (современный уровень исследований оперирует с числом уравнений порядка 106 -ИО9), с другой - свидетельствует об избыточном объёме информации, получаемой в результате решения.

Модели механики сплошной среды, напротив, используют минимум информации и оперируют со средними значениями физических характеристик, вычисленными по бесконечно малому объёму. В условиях локально термодинамического равновесия определение физических характеристик среды, в том числе уравнений состояния, осуществляется либо экспериментально, либо расчётным путём с помощью функций распределения — функция Максвелла - Больцмана для идеального газа и идеальной плазмы, Ферми для вырожденного электронного газа и Бозе для фононного газа. При нарушении условий локально термодинамического равновесия функции распределения определяются из решения классического кинетического уравнения Больцмана или квантово-кинетических уравнений. Наличие функции распределения как раз является тем необходимым минимумом информации, с помощью которого можно описать неравновесные процессы с приемлемой точностью. Вместе с тем, существует ряд проблем, такие как быстрые фазовые переходы и, связанные с ними, перегретые и переохлаждённые метастабильные состояния, в которых описание зарождения новой фазы и определение уравнений состояния остаются открытыми. В подобных областях, несомненно, полезными окажутся возможности молекулярной динамики.

Воздействие сверхмощного ультракороткого лазерного излучения на сильно поглощающие среды (металлы, полупроводники) приводит к нарушению в них общего локально-термодинамического равновесия. Облучаемые мишени в этих условиях представляются в виде двух подсистем - электронной и фононной, каждая из которых находится в состоянии локально термодинамического равновесия, и характеризуются своими температурами и уравнениями состояния. Как следствие, все процессы описываются в двухтемпературном приближении [27],[28]. При этом, одной из наиболее важных проблем для каждой из подсистем является необходимость определения теплофизических, оптических и термодинамических характеристик, изменяющихся в широком (десятки и сотни электронвольт) температурном и частотном диапазоне.

Вторым важным аспектом математического моделирования является разработка вычислительных алгоритмов необходимых для численной реализации математической модели. Основные требования, предъявляемые к вычислительным алгоритмам, состоят в том, что они должны быть экономичными и адаптирующимися к особенностям решаемых задач [29].

1.2 Состояние проблемы ч

Математическое моделирование лазерного излучения умеренной интенсивности на материалы нашло широкое применение практически одновременно с отождествлением лазера с источником концентрированных потоков энергии (КПЭ). Режимы воздействия КПЭ обладают большим разнообразием и, в зависимости от поставленной цели, могут использоваться для решения различных проблем. Их проявление можно классифицировать по ряду признаков. Выделение энергии может быть поверхностным или объёмным, а источник КПЭ неподвижным или движущимся, непрерывным или импульсным. Столь многообразными оказались и физико-математические постановки задач.

В ранних работах Н.Н.Рыкалина [30], Н.Н.Рыкалина, А.А.Углова [31], ХУ.М^ееп [32], Д.Магишёег [33] много внимания уделялось моделированию тепловых полей и гидродинамики, возникающих под воздействием непрерывного излучения или импульсов большой длительности т~10"2- 10"5 с, работы Г.Г.Гладуша [34], В.С.Голубева [35], \У.Е.Кгеи1г [36], .Шагитскг [37], У.И.УоИег [38], В.М.Головизнина [39] и др.,. В последующих работах И.В.Немчинова [40], Г.С.Романова [41], Попова [42], В.И.Мажукина, Б.Н.Четверушкина [43], Б.Н.Четверушкина [44]], В.И.Мажукина, А.А.Самарского[45] Д.Шмыглевского [46], Я.Р1гп [47], C.Grigoropuolos [48] с помощью математического моделирования исследовались пороговые явления оптического пробоя, абляции и динамика

Г о лазерной плазмы при импульсном воздействии т»10" -5-10" с. В этом же диапазоне длительности в работах А.А.Самохина, В.И.Мажукина [49], [50], А.А.Карабутова[51] и др. моделировались кинетика фазовых переходов 1-го рода и генерируемые ими оптоа'кустические сигналы.

Быстрое развитие импульсной лазерной техники и лазерных технологий стимулировало появление новых физико-математических постановок и способствовало дальнейшему усилению роли математического моделирования [52] - [58]. Наметившаяся в последние годы [59] - [70] тенденция использования сверхмощных ультракоротких импульсов привела к реализации совершенно уникальных физических условий, при которых продолжительность воздействия оказывается сравнимой или меньшей характерных времён термализации, релаксации и фазовых трансформаций в веществе. Это приводит к необходимости рассмотрения сложнейших фундаментальных проблем, связанных с принципиальной возможностью описания и исследования сильно неравновесных явлений [71] - [73] и метастабильных состояний в газовых и конденсированных средах. Одной из закономерностей импульсного воздействия является то, что чем короче длительность и выше интенсивность излучения, тем больше наблюдается аномалий и отклонений в поведении процессов, тем ограниченнее возможности экспериментальных подходов и выше их стоимость. В этих ситуациях особую значимость приобретают теоретические представления на основе анализа и прогноза, осуществляемых методами математического моделирования.

Воздействие длинных и коротких импульсов качественно различаются механизмами превращения энергии лазерного излучения и выноса вещества из зоны облучения. В миллисекундпом диапазоне длительности основные механизмы выноса вещества связаны с гидродинамическими явлениями: вытеснением расплава, термокапиллярностыо, давлением отдачи и др. [74] - [77]. Отличительной чертой гидродинамических механизмов является неустойчивость ряда процессов [49], [78].

В микросекундном и субмиллисекундном диапазонах наряду с гидродинамическими явлениями отмечается важная роль фазовых переходов: плавления и испарения. Как показало моделирование [79, 80] преобладание того или иного процесса во многом зависит от временной формы импульса.

В наносекундном диапазоне усиливается роль испарения и лазерной плазмы [81], [82]. В ряде режимов конкурирующим с поверхностным испарением становится механизм объёмного вскипания [83].

Импульсная лазерная абляция это процесс удаления вещества после облучения мишени интенсивными лазерными импульсами. В настоящее время считается, что импульсы с очень короткой длительностью, такие как пикосекундные или фемтосекундные, являются предпочтительными во многих приложениях. Короткая продолжительность импульса ограничивает тепловую диффузию, что приводит к высококачественной обработке. С помощью фемтосекундного лазера были получены точные, чистые и высоко воспроизводимые результаты обработки [84].

Фемтосекундная лазерная абляция стала одной из наиболее интенсивно развивающихся областей исследования взаимодействия лазерного излучения с веществом. Однако, основные механизмы, приводящие к абляции, все еще не убедительны. Фемтосекундная абляция происходит в очень коротких временных и пространственных масштабах и характеризуется тесно связанные между собой переносом энергии и сложными оптическими, термодинамическими и механическими процессами. В то же время, мишень может нагреваться до очень высоких температур и давления, где тепловые и механические свойства вещества вообще не известны. Лазерная абляция в пико и фемтосекундном диапазонах является наименее изученной. В то же время количество публикаций в этой области неуклонно растёт, что свидетельствует о повышенном интересе к воздействию ультракоротких лазерных импульсов большой интенсивности на конденсированные среды. В последнее время интенсивно исследуются возможности ультракоротких сверхмощных с интенсивностью 101О-Ю16 Вт/см2 лазерных импульсов в высокоточной обработке материалов [85] - [87] и генерации наночастиц и наноструктур [84], [88].

Основные особенности ультракороткого воздействия на металлы связаны с высокой скоростью и объёмным характером выделения энергии лазерного импульса. Высокая скорость нагрева конденсированной среды сопряжена с быстрыми фазовыми трансформациями вещества, характеризующимися переносом мощных потоков массы и энергии через фазовые границы. Вынос энергии с потоком вещества, в совокупности с объёмным механизмом выделения лазерной энергии, способствуют нагреву поверхностей раздела фаз до температур, значительно превышающих равновесные значения температуры плавления Тт0 и испарения Ть. В силу тех же причин вблизи поверхностей раздела фаз формируются области температурных максимумов [89]. В то же время знания о фундаментальных явлениях взаимодействия лазерного излучения с веществом в указанных диапазонах .времени и интенсивности недостаточно полны и нуждаются в дальнейшем пополнении.

Как уже отмечалось, для описания ультракороткого сверхмощного лазерного воздействия на металлы используются два подхода: континуальный, основывающийся на моделях математической физики [90] - [107] и дискретный, использующий модели молекулярной динамики [108] - [110].

В классическом локально-равновесном подходе предполагается, что энергия излучения мгновенно передается и перераспределяется между всеми степенями свободы. Результирующее поле температур в зоне облучения определяется с помощью уравнения теплопроводности, которое основывается на законе Фурье для теплового потока. у

Общеизвестны недостатки модели Фурье, ограничивающие область ее применимости. Закон Фурье для теплового потока предполагает бесконечную скорость распространения тепловой энергии. Для устранения этого недостатка была предложена модель гиперболического уравнения теплопроводности [102], [103]. Непоследовательность учета более высоких временных и пространственных производных, а также неадекватность описания баллистического переноса энергии на временах меньших времени релаксации в гиперболической модели были выявлены в работе [104]. Сравнительный анализ численного решения двухтемпературных моделей параболического и гиперболического типа, выполненных авторами [95], [96], показал, что неравновесный обмен между электронной и фононной подсистемами играет значительно более существенную роль, чем гиперболический перенос. Таким образом, феноменологическая двухтемпературная модель параболического типа, предложенная в 50-е годы авторами [27], [28], по-прежнему остается основным средством для математического описания сверхбыстрого нагрева металлов короткоимпульсным лазерным излучением.

В большинстве экспериментальных работ, связанных с изучением процессов неравновесного нагрева конденсированных сред, исследуются времена электрон-электронной, электрон-фононной релаксации и коэффициенты переноса энергии электронной теплопроводностью [91], [92], [105]. В теоретических исследованиях, связанных с построением различных вариантов двухтемпературной модели, наиболее важным аспектом является определение в широком частотном и температурном диапазоне теплофизических, оптических и термо-фотоэмиссионные характеристик, а также количественная характеристика электрон-фононного взаимодействия, контролирующая обмен энергии между электронами и решеткой. В большинстве работ, посвященных расчетам неравновесного нагрева металлов лазерным излучением [90], [94] - [97], [106] теплофизические характеристики полагались независящими от температур, Те и Тр.

Признать подобный подход в какой-то степени приемлемым возможно в случае относительно низких интенсивностей лазерного излучения, которым соответствуют пиковые значения температуры электронного газа Те порядка ~ 1эВ. В случае более высоких значений пиковых температур Te>eF [107], где ер- энергия Ферми, представление > \ теплофизических характеристик в виде констант представляется не вполне корректным.

Проблемы определения механизмов переноса энергии и теплофизических свойств металлов в условиях сильной термодинамической неравновесности свойственны и моделям молекулярной динамики [111]. В последнее время в молекулярной динамике для описания коротко , импульсного лазерного нагрева наибольшее распространение получили, так называемые, гибридные модели [112] - [114], в которых поведение решетки описывается в рамках классической молекулярной динамики [115], [116], а поглощение лазерного излучения и нагрев электронного газа описывается в рамках континуального приближения. Молекулярно-динамический подход оказался наиболее успешным при исследовании начальных стадий фазовых превращений: плавления, испарения и расслоения материалов [117] - [121].

С математической точки зрения классический вариант двухтемпературной модели [27], [28], представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений параболического типа. Из-за сильной нелинейности исходной системы дифференциальных уравнений в частных производных решение осуществляется численно, с помощью конечно-разностного метода, широко использующегося для решения нестационарных задач.

Точность решения уравнений в частных производных в сильной степени зависит от того, насколько хорошо распределение узлов сетки согласуется с особенностями искомого решения, поэтому построение расчётных сеток являются важнейшим элементом численного решения дифференциальных уравнений в частных производных. Из двух решений одной и той же задачи, полученных на двух различных сетках с одинаковым числом фиксированных узлов, меньшая погрешность будет достигаться на сетке с их оптимальным распределением по отношению к искомому решению. Оптимальными расчетными сетками являются сетки, позволяющие получать численное решение с одинаковой погрешностью во всех узлах. Поэтому идеальную сетку можно построить только в случае заранее известного решения. Обычно в распоряжении имеется лишь некоторая ограниченная априорная информация о поведении искомого решения. В этой ситуации вполне естественной представляется попытка увязать эволюцию решения с динамикой узлов сетки. Построение расчетных сеток с оптимальным распределением узлов сеток осуществляется с помощью различных методов адаптации [122] - [132].

Проблема оптимального распределения узлов особенно остро стоит в нелинейных нестационарных задачах математической физики, решение которых содержит сильную пространственно-временную разномасштабность. Задачи ультракороткого сверхмощного лазерного воздействия на конденсированные среды являются типичным примером задач, решение которых содержит пространственно-временную разномасштабность. Такие особенности решения как большие градиенты, переходные слои или фронты разрывов могут возникать вблизи одной из границ или внутри области и с течением времени распространяться по всей расчетной области. В подобных ситуациях заранее построить сетку с оптимальным распределением узлов не представляется возможным, в связи, с чем для их решения широкое распространение получили расчетные сетки, адаптирующиеся к искомому решению.

В методах динамической адаптации, для управляемого распределение узлов используется информация о динамике искомого решения, что позволяет концентрировать большое количество узлов в зонах резкого изменения решения. Тесная взаимосвязь между динамикой решения и положением узлов сетки приводит к необходимости переопределения координат узлов на каждом временном слое. Это обстоятельство вынуждает предъявлять более жёсткие требования к согласованию динамики численного решения с движением узлов и к степени автоматизации построения сетки, из-за чего преимуществом обладают алгоритмы, в которых отсутствуют разного рода подгоночные параметры.

Из всего вышесказанного следует актуальность, обусловленная необходимостью развития основных аспектов математического моделирования, как одного из основных способов теоретического исследования коротко и ультракороткого лазерного воздействия на металлы.

1.3 Целью работы являются

1. Разработка метода динамической адаптации применительно к решению задач конвекции - диффузии.

2. Разработка физико-математических моделей описывающих теплофизические и термодинамические характеристики вырожденного электронного и фононного газа металлов в произвольном температурном диапазоне.

3. Модификация классической неравновесной двухтемпературной тепловой модели и математическое моделирование импульсного лазерного нагрева и фазовых превращений в металлах.

1.4 В работе решены следующие задачи

Выполнено дальнейшее развитие метода динамической адаптации и его применение к решению задач конвекции - диффузии. Определены оптимальные функции преобразования координат в классе задач, описываемых уравнениями параболического типа. Для оценки эффективности и точности вычислительных алгоритмов используются тестовые задачи и аналитические решения.

Предложен подход к определению термодинамических и теплофизических характеристик металлов в неравновесных состояниях. С использованием техники интегралов Ферми построены простые аналитические выражения для уравнений состояния, теплоёмкости, теплопроводности и коэффициента обмена вырожденного электронного Ферми-газа, а также для теплоёмкости и теплопроводности фононного газа в произвольном диапазоне температур.

Классическая двухтемпературная модель обобщена на случай неравновесного лазерного нагрева с фазовыми превращениями: плавлением и испарением. С использованием динамической адаптации проведено математическое моделирование импульсного лазерного нагрева алюминия и меди.

1.5 Научная новизна.

Предложены и исследованы оптимальные функции преобразования для метода динамической адаптации в параболических уравнениях.

Предложен новый подход к определению термодинамических и теплофизических характеристик металлов в неравновесных состояниях.

Построена математическая модель неравновесного лазерного нагрева с учетом фазовых превращений вещества с явным выделением фазовых фронтов.

1.6 Практическая ценность

Разработанные модели и вычислительные алгоритмы предназначены и могут использоваться для исследования различных неравновесных процессов и состояний в конденсированных средах.

1.7 На защиту выносятся следующие положения

• Обобщен и применен к решению задач нелинейной теплопроводности и конвекции -диффузии с неподвижными и подвижными границами метод динамической адаптации. Определены оптимальные функции преобразования координат в классе задач, описываемых уравнениями параболического типа.

• На основе модификации задачи Стефана для двухтемпературного приближения, построена математическая модель, описывающая неравновесный лазерный нагрев и быстрые фазовые переходы в металлах.

• С помощью интегралов Ферми получены простые аналитические зависимости для термодинамических и теплофизических характеристик фононного и электронного Ферми-газа при произвольной температуре.

• Математическое моделирование позволило установить, что примерный порог однотемперагурного описания лазерного нагрева большинства металлов составляет ~ о

10" с. В пикосекундном диапазоне быстрые фазовые переходы сопровождаются возникновением сильно перегретых (до нескольких тысяч градусов) метастабильных состояний в твердой и жидкой фазах.

1.8 Личный вклад автора

Все изложенные в диссертационной работе оригинальные результаты получены автором лично, либо при его непосредственном участии.

1.9 Апробация работы

Результаты диссертационной работы обсуждались и докладывались на следующих 10-ти конференциях: 3 - European Summer School, (Saint - Etienne, France, 2006), V - VII -Международный научный семинар "Математические модели и моделирование в лазерно-плазменных процессах" (Москва, 2007 - 2008 Будва, Петровац, Черногория, 2009), Third International Conference Computational methods in applied mathematics (Minsk, 2007), III International Conference on Adaptive Modeling and Simulation ADMOS 2007, (Goteborg, Sweden, 2007), E-MRS 2008 Spring Meeting, (E-MRS 2008), (Strasbourg, France), 6th International Conference on Photo-Excited Processes and Applications, ICPEPA 2008, (Sapporo, Hokkaido, Japan, 2008). International Conference "Advanced Laser Technologies" (ALT'08) (Siofok, Hungary. 2008), International Conference on Adaptive Modeling and Simulation. ADMOS 2009, (Brussels, Belgium, 2009).

1.10 Публикации

Основные результаты диссертации изложены в 20 научных публикациях, из них 1 сгатья в Энциклопедии низкотемпературной плазмы, Серия Б, Том YII - 1, Математическое моделирование в низкотемпературной плазме; 4 статей в научных рецензируемых журналах из списка ВАК; 4 статьи в реферируемых зарубежных научных журналах и трудах Международных конференций; 10 тезисов конференций.

Список публикаций по теме диссертации

1. A.V.Mazhukin. Electronic and emission properties of metals and semiconductor. 3 - European Summer School 11-15 September 2006, pp. 75-76, Saint - Etienne, France.

2. А.В.Мажукин. Оптические свойства металлов. Тезисы докладов IV Международного научного семинара "Математические модели и моделирование в лазерно-плазменных процессах", 30 января - 2 февраля 2007, Москва, Знание. Понимание. Умение. (Научный журнал Московского гуманитарного университета), С.254 -255. V

3. А.В.Мажукин. Эмиссионные свойства металлов. Тезисы докладов IV Международного научного семинара "Математические модели и моделирование в лазерно-плазменных процессах", 30 января - 2 февраля 2007, Москва, Знание. Понимание. Умение. (Научный журнал Московского гуманитарного университета), С.255.

4. A.V. Mazhukin. Dynamic adaptation in convection-diffusion equations. Third International Conference Computational methods in applied mathematics. CMAM-3, Abstracts, Minsk, June 25 30, 2007, p.53.

5. A.V.Mazhukin. Dynamic adaptation in parabolic differential equations in partial derivatives. Proceedings of the III International Conference on Adaptive Modeling and Simulation ADMOS 2007, pp. 161 - 165, Edited by: K.Runesson, P.Diez (Eds), 22 - 24 October 2007, held in Göteborg, Sweden.ISBN: 978-84-96736-31-3.

6. А.В.Мажукин, В.И.Мажукин. Динамическая адаптация в параболических уравнениях. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2007, т. 47, №11, pp. 1913 - 1936.

7. A.V. Mazhukin, B.N.Chichkov. Kinetics of electron-phonon relaxation in metals irradiated by ultrashort laser pulses. Book of abstracts European Material Research Society 2008 Spring Meeting (E-MRS 2008), May 26-30,- B-P2 45, pp.b-17.

8. A.V. Mazhukin. Dynamic adaptation in convection-diffusion equations. Computational methods in applied mathematics. 2008, Vol. 8, №2, pp. 171-186.

9. A.V. Mazhukin, M.G.Lobok. Mathematical modeling of nano- and femtosecond laser ablation of aluminium. Book of abstracts 6th International Conference on photo-excited processes and applications. ICPEPA 2008. September 9-12, 2008, Sapporo, Hokkaido, Japan.- P-55.

10. V.I.Mazhukin A.V. Mazhukin, M.G.Lobok. Comparison of Nano- and Femtosecond Laser Ablation of Aluminum. Book of abstracts of International Conference "Advanced Laser Technologies" (ALT'08), September 13-18, 2008 Siofok, Hungary,- p. 202.

11. V.l. Mazhukin, A.V. Mazhukin, O.N. Koroleva. Optical properties of electron Fermi-gas of metals at arbitrary temperature and frequency. Book of abstracts of International Conference "Advanced Laser Technologies" (ALT'08), September 13-18, 2008 Siofok, Hungary,- p. 252.

12. А.В.Мажукин, O.H. Королева. Определение температурной и частотной зависимостей оптических характеристик металлов. Тезисы докладов V Международного научного семинара "Математические модели и моделирование в лазерно-плазменных процессах". 29 января - 2 февраля 2008 года.- Из-во Московского гуманитарного университета, -Москва. - С.ЗЗ.

13. O.N. Koroleva, A.V. Mazhukin, A.V. Shapranov. Optical properties of metals in a wide frequency and temperature range. Sixth International seminar. Mathematical models & modeling in laser-plasma processes. Abstracts. May 30-June 6 2009, Budva, Montenegro, стр. 31-32.

14. В.И. Мажукин, A.B. Мажукин, А.В.Шапранов. Динамическая адаптация в дифференциальных уравнениях в частных производных параболического типа.

Энциклопедия низкотемпературной плазмы, Серия Б, Том YII — 1, Математическое моделирование в низкотемпературной плазме, Часть1, pp. 190 - 216, 2008, Москва, Янус-К.

15. V. I. Mazhukin, A.V. Mazhukin, М. G. Lobok. Comparison of Nano- and Femtosecond Laser Ablation of Aluminium. Laser Physics, 2009, vol. 19, № 5, pp. 1169 - 1178.

16. V.I. Mazhukin, A.V. Mazhukin, O.N. Koroleva. Optical properties of electron Fermi-gas of metals at arbitrary temperature and frequency. . Laser Physics, 2009, vol. 19, № 5, pp. 1179 — 1186.

17. В.И.Мажукин, А.В.Мажукин, М.Г.Лобок. Математическое моделирование динамики фазовых переходов и перегретых метастабильных со стояний при нано — фемтосекундном лазерном воздействии на металлические мишени. Математическое моделирование, 2009, т. 21, № 11, стр. 99-112.

18. V.I.Mazhukin, O.N.Koroleva, A.V.Mazhukin. Application of Dynamical Adaptation to the Solution of Multifront Stefan Problem in Multilayered Materials. Proceedings of the IY International Conference on Adaptive Modeling and Simulation. Bruxelles, Belgium, 25-27 May 2009, pp. 137-140.

19. V.I.Mazhukin, P.V.Breslavsky, A.V.Mazhukin. Dynamical adaptation for gas dynamics problems. Proceedings of the IY International Conference on Adaptive Modeling and Simulation. Bruxelles, Belgium, 25-27 May 2009, pp. 141-144.

20. O.N. Koroleva, A.V.Mazhukin, A.V. Shapranov. Optical properties of metals in wild temperature and frequency range. Book of abstracts of International Seminar on Mathematical Models and Modeling in Laser-Plasma Processes (LpPM3 2009).

Заключение

В диссертационной работе рассмотрены четыре основные составляющие математического моделирования, связанные с физико-математической постановкой задачи, разработкой вычислительного алгоритма, определением свойств среды, проведением расчетов и анализом результатов моделирования. Основные результаты состоят в следующем:

1. Разработана математическая модель, описывающая в двухтемпературном приближении неравновесный лазерный нагрев металлов и динамику фазовых переходов с явным выделением фронтов.

2. С помощью интегралов Ферми получены простые аналитические зависимости для термодинамических и теплофизических характеристик фононного и электронного Ферми-газа при произвольной температуре.

3. Обобщен и применен к решению задач нелинейной теплопроводности и конвекции -диффузии с неподвижными и подвижными границами метод динамической адаптации. Определены оптимальные функции преобразования координат в классе задач, описываемых уравнениями параболического типа. Оценки эффективности и точности вычислительных алгоритмов выполнены с помощью тестовых задач и аналитических решений.

4. Математическое моделирование показало:

• однотемпературное описание лазерного нагрева металлов пригодно для импульсов относительно большой длительности. Его примерный порог составляет ~ 10"8 с. Более короткие импульсы (субнано-, пико- и фемтосекундной длительности) требуют учета неравновесных эффектов, который в простейшем случае можно выполнить в рамках двухтемпературной модели;

• быстрые фазовые переходы, характерные для пикосекундного воздействия, сопровождаются возникновением сильно перегретых метастабильных состояний в твёрдой и жидкой фазах, величины которых достигают нескольких тысяч градусов;

• сильно неравновесные состояния при пикосекундном воздействии, формируют аномально большие области выноса энергии теплопроводностью.

1. Лазерная технология и автоматизация исследований. Физические основы моделирования и оптимизации процесса лазерной поверхностной закалки сталей. Труды физического института им. П.Н. Лебедева. Под ред. академика Н.Г. Басова, 1989, т. 198, с. 5 -23.

2. В. В. Новиков, В. Н.Латышев Модификация и упрочнение трущихся поверхностей лазерной обработкой. Иваново, 2000 г. 119 с.

3. А. Г.Григорьянц, И. Н.Шиганов, А. И.Мисюров. Технологические процессы лазерной обработки. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2006 г. 660 с.

4. В.П. Вейко, Лазерная обработка пленочных элементов. Л.: Машиностроение, 1986.

5. В.П. Вейко, М.Н.Либенсон, Г.Г.Червяков, Е.Б.Яковлев. Взаимодействие лазерного излучения с веществом. М.: Физматлит, 2008.

6. V.A.Lopota, G.Herziger, R.Poprawe, H.Weber. Laser physics and application. Advanced Materials and Technologies Subvolume B, Londolt-Boernstein: Numerical Data and Functional Relationships in Science and Technology . New Series 2006, 240 p.

7. J.C.Miller (Ed.). Laser Ablation. Principles and Applications. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, Hong Kong, Barcelona. 1994, pp. 185.

8. W.W.DuleyrLaser processing and analysis of materials. Plenum Press, New York and London (1983)

9. Proceedings of the Fourth International Coference on Laser Ablation (COLA97). (Eds. R.E.Russo, D.B.Geohegan, R.F.Haglung, K.Murakami). Asilomar Conference Center, Monterey Bay, CA,USA, 1997. Elsevier, Amsterdam Lausanne - New-York, 1998, 1035 p.

10. В.П.Вейко, C.M. Метев. Лазерные технологии в микроэлектронике. — София: Изд. Болгарской АН, 1991.

11. Ж. И.Алферов, Ю. В.Ковальчук , О.В.Смольский, И. А Соколов. Аморфизация поликристаллического арсенида галлия под действием пикосекун дных световых импульсов. Письма в ЖТФ, 1983, т.9, No 15, с.897-900.

12. J.A.Van Vechten, , R Tsu., R. W Saris. Nonthermal pulsed laser annea ling of Si; plasma annealing. Phys. Lett. A, 1979, v.74, №6, pp.422-426.

13. D.Bauerle. Laser Processing and Chemistry. 2nd Edition, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1996, pp.641.

14. W.W.Duley. UV Lasers: Effects and Applications in Materials Science. Cambridge University Press, 1996, pp.398.

15. Лазерный спектральный анализ молекул-биомаркеров для медицинской диагностики. Отв. Ред. Е.В.Степанов. Труды ИОФАН. Том 61, М.: Наука, 2005. 279 с.

16. S.M.Metev, V.P.Veiko. Laser-Assisted Microtechnology. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1994,215 р.

17. Laser Applications for Mechanical Industry, (eds S.Martelluchi, A.N.Chester, A.M.Scheggi). NATO ASI Series. Series E: Applied Sciences, vol. 238. Kluver Academic Publishers. Dordrecht Boston - London, 1992.

18. Proceedings of the Third International Coference on Laser Ablation (COLA 95). Strasbourg, France, 1995. Laser Ablation (eds. E.Fogarassy, D.Geohegan, v.Stuke), 1996, vol. 55, 435 p. Elsevier Science B.V., Amsterdam, Netherlands,

19. А.А.Самарский. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Вестник АН СССР, 1984, No3, с. 77-88.

20. И.М.Лифшиц, М.И.Каганов, Л.В.Танатаров. Релаксация между электронами и кристаллической решеткой. ЖЭТФ, 1956, т.31, вып. 2(8), с. 232-237.

21. И.М.Лифшиц, М.И.Каганов, Л.В.Танатаров. К теории радиационных изменений в металлах. Атомная энергия. 1959, №6, с.391 -402.

22. Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Гл. ред. В.Е.Фортов. Серия Б. Справочные приложения, базы и банки данных. Том YII -1. Математическое моделирование в низкотемпературной плазме. Часть 1. Под ред. Ю.П.Попова, М.: Янус, 550 с.

23. Н.Н.Рыкалин. Расчеты тепловых процессов при сварке. М.гМашгиз, 1951, 295 с.

24. Н.Н.Рыкалин, А.А.Углов, И.В.Зуев, А.Н.Кокора. Лазерная и электронно-лучевая обработка материалов. Справочник. М.: Машиностроение, 1985, 495 с.

25. W.M.Steen. Laser Materials Processing. Third Edition. 2003, 480 p.t

26. J.Mazumder, W.M.Steen. Heat Transfer model for CW Laser Materials Processing. J. Appl. Phys., 1980, vol.51, pp. 941-947. ~

27. Ф.Ф.Веденов, Г.Г.Гладуш. Физические процессы при лазерной обработке материалов. М.: Энергоатомиздат 1985, 206 с

28. B.C.Голубев. Анализ моделей динамики глубокого проплавления материалов лазерным излучением. Препринт № 83, Институт проблем лазерных и информационных технологий. 1999, с. 161.

29. N.Pirch, W.E.Kreutz, B.Ollier, Х.Не. The Modelling of Heat, Mass and Solute Transport int

30. Surface Processing with Laser Radiation. Kluwer Academic Publishers, 1996.

31. J.Mazumder. Overview of Melt Dynamics in Laser Processing. 1991, Optical Engineering, 1991, vol. 30, №8, pp. 1208- 1219.

32. V.R.Voller, A.D.Brent, C.Prarkash. The Modelling of Heat, Mass and Solute Transport in Solidification systems. Int. J. Heat Mass Transfer. 1989, vol.32, № 9, pp.1719 1731.

33. Арутюнян P.B., Баранов В.Ю., Большое Л.А., и др. Воздействие лазерного излучения на материалы. М.: Наука, 1989 г.

34. В. И. Бергельсон, И.В.Немчинов. Параметры плазмы, образующейся под действием микросекундных импульсов излучения лазера на алюминиевую мишень в вакууме. Квантовая электроника, 1978, т.5, No 10, с. 2123-2131.

35. Романов Г.С., Станкевич Ю.А. Расчет нестационарных оссесимметричных плазменных факелов в режиме световой детонации. Докл. АН СССР, 1977, т.21, No6, с.503-506.

36. А.С. Ковалев, A.M. Попов. О пробое газов излучением СОг лазера вблизи металлической поверхности в отсутствии режима развитого испарения. ЖТФ. 1981, Т.51, №1, С. 73-77.

37. В.И.Мажукин, А.А.Углов, Б.Н.Четверушкин. Низкотемпературная лазерная плазма вблизи металлической поверхности при высоком давлении газов. Обзор. Квант, электроника, 1983, т.Ю, №4, с.679-701.

38. Б.Н. Четверушкин. Математическое моделирование задач излучающего газа. М.:Наука, 1985, С.304.

39. V.I. Mazhukin, А.А. Samarskii: Mathematical modeling in the technology of laser treatments of materials. Surv. Math. Ind., 1994, v.4, p.85-149.

40. В. И. Зубов, В. М.Кривцов, И.Н.Наумова, Ю. Д.Шмыглевский. Расчет взаимодействия лазерного вещества с алюминиевым сосудом и его парами. ЖВМ и МФ, 1980, т.20, No6, с. 1513-1524.

41. G.Weyl, A.Pirri, R.Root. Laser ignition of plasma of aluminium surfaces. AIAA J., 1981, v. 19, No 4, pp. 460-469.

42. J.R.Ho, C.P.Grigoropoulos, J.A.C.Humphrey. Gas Dynamics and Radiation Heat Transfer in the Vapor Plume Produced by Pulsed Laser Irradiation of Aluminum. J. Appl. Phys., 1996, vol. 79 (9), pp.7205 7215

43. А.А.Самохин. Фазовые переходы первого рода при действии лазерного излучения на поглощающие конденсированные среды. Труды ИОФАН № 13. М.: Наука, 1988, 120 с.

44. С.Н.Андреев, В.И.Мажукин, Н.М.Белякова, А.А.Самохин. О возможных проявлениях просветления при испарении металлов под действием лазерного излучения. Квантовая электроника .2003, vol.33, №9 , pp.771 776

45. В.Э.Гусев, А.А.Карабутов. Лазерная оптоакустика. М: Наука, 1991, 304 с.

46. A.A.Rusanov, A.B.Cavel'ev. Numerical Simulation of the Evolution of High-Temperature Dense Plasma Generated by a by Femtosecond Laser Pulse. Laser Physics, 2004, vol. 14, № 12, pp.1466 1474.

47. V.I.Mazhukin, V.V.Nossov, I.Smurov, M.G.Nikiforov. Optical breakdown in aluminum vapor induced by ultraviolet laser radiation. J. Applied Physics, 2003, vol. 93, №1, pp. 56-66.

48. В.И.Мажукин, М.В.Мажукин, P.Berger. Кинетика оптического пробоя пара алюминия в широком частотном диапазоне. Современное состояние проблемы. Обзор. Математическое моделирование, 2005, т. 17, №12, с.27 79.

49. С.Н.Андреев, В.И.Мажукин, А.А.Самохин, М.М.Демин. О моделировании спинодального распада перегретой жидкости. Краткие сообщения по физике.2006, No. 7, pp. 50-54.

50. В.И.Мажукин, М.Г. Никифоров, К.Фьеве. Математическое моделирование спектра неравновесной лазерной плазмы. Квантовая электроника, 2006, т. 36, №2,с. 125-133

51. V.I.Mazhukin, M.G.Lobok, I.Smurov. Transient effects in pulsed laser irradiation. Applied Surface Science, 2007, vol. 253, pp. 7744 7748.

52. Lisovski, P.A.Loukakos, U.Bovensiepen, J.Stahler, C.Gahl, M.Wolf. Ultra-fast Dynamics of Electron Termalization, Cooling and Transport Effects in Ru (001). Appl. Phys.A, 2004, vol. 78, pp.165-176.

53. C.M. Климентов, C.B. Гарнов, В.И. Конов, T.B. Кононенко, П.А. Пивоваров, О.Г. Царькова, Д. Брайтлинг, Ф. Даусингер. Роль низкопорогового пробоя воздуха в абляции материалов короткими лазерными импульсами. Труды ИОФАН. Том 60, Москва: Наука, 2005. с.

54. А. М. Желтиков. Сверхкороткие импульсы и методы нелинейной оптики. Физматлит, 2006 г., 296 с.

55. А М. Желтиков. Да будет белый свет: генерация суперконтинуума сверхкороткими лазерными импульсами. 2005, УФН, т. 176, №6, с.623 649.

56. П. Г. Крюков. Фемтосекундные импульсы. Физматлит, 2008 г., 208 с.

57. Гордиенко В М, Савельев-Трофимов А Б "Фемтосекундная плазма в плотных наноструктурированных мишенях: новые подходы и перспективы" УФН, 1999, т. 169, №1, с. 78-80

58. И Н Косарев. Кинетическая теория плазмы и газа. Взаимодействие мощных лазерных импульсов с плазмой УФН, 2006, т.176, №12, 1267 1281.

59. В.В.Букин, Н.С.Воробьев, С.В.Гарнов, В.И.Конов, В.И.Лозовой, А.А.Малютин, М.Я.Щелев, И.С.Яцковский. Динамика формирования и развития фемтосекундной лазерной микроплазмы в газах. Квантовая Электроника, 2006 т. 36, №7, с. 638 642.

60. S.I.Dolgaev, N.A.Kirichenko, A.V.Simakin, , G.A.Shafeev. Laser-assisted growth of microstructures on spatially confined substrates. Applied Surface Science, 2007, 253 (19), 7987-7991.

61. E.B. Бармина, М.Барбероглу, В.Зорба, А.В.Симакин, Э.Стратакис, К.Фотакис, Г.А.Ша-феев. Образование наноструктур на поверхности тантала при его лазерной абляции в воде. Квантовая Электроника, 2009, т. 39, №1, с. 89 93.

62. D. von der Linde. A picosecond view of melting. Science, 2003, v.302, p. 1345-1346.

63. D.Boschetto, E.G.Gamaly, A.V.Rode, B.Luther-Davies, D.Glijer, T.Garl, O.Albert, A. Rousse, J.Etchepare. Small Atomic Displacements Recorder in Bismuth by the Optical

64. Reflectivity of Femtosecond Laser-Pulse Excitations. Phys. Rev. Lett. 2008, v. 100, 027404-1 027404-4.

65. С.Л.Соболев. Процессы переноса и бегущие волны в локально-неравновесных системах. УФН, 1996,т.161, №3, с.5 -29.

66. Г.К.Мартынов. Неравновесная статистическая механика, уравнения переноса и второе начало термодинамики. УФН, 1996,т.166, №10, с.1105 1133.

67. А.И.Осипов, А.В.Уваров. Неравновесный газ: проблемы устойчивости. УФН, 1996,т. 166, №6, с.639 650.

68. Р.В.Арутюнян, В.Ю.Баранов, Л.А.Большов, А.Н.Горленков, В.А.Долгов, В.С.Ме-жевов. Вынос материала твердой мишени при комбинированном воздействии двух лазерных импульсов разной длительности. Квантовая электроника, 1984, т.11, № 6, с.1220 1224.

69. Р.В.Арутюнян, Л.А.Большов, Н.А.Дунаевский, В.П.Решетин. Вытеснение расплав при светоиндуцированном росте периодических структур на поверхности металлов. Докл. АН СССР, 1991, т. 316, № 2, с. 347 350.

70. Р.В.Арутюнян, Л.А.Большов, В.М.Головизнин, Н.А.Коптелова, А.Г.Попков, В.В.Чуданов. Движение расплава при оплавлении металлов лазерными импульсами. Поверхность. 1989, № 2, с 72 76.

71. R D Seidgazov. Thermocapillary mechanism of melt displacement during keyhole formation by the laser beam. J. Phys. D: Appl. Phys., 2009, vol. 42 pp. 1-7.

72. Н.А.Дунаевский, В.П.Решетин. Тепло-массоперенос в поверхностном слое металлов при лазерной обработке. Поверхность. 1990, № 11, с. 88-95.

73. P. S. Mohanty, A. Kar, J. Mazumder, "A modeling study on the insluence of pulse shaping on keyhole laser welding", J. Laser Applications, 1996, №8, 291-297.

74. М.Г.Лобок, В.И.Мажукин. Влияние временного профиля импульсов на процессы лазерного воздействия. Математическое моделирование. 2007, т. 19, №9, с. 54 78.

75. V.I.Mazhukin, V.V.Nossov, I.Smurov. Modeling of plasma-controlled surface evaporation and condensation of A1 target under pulsed laser irradiation in the nanosecond regime. Applied Surface Science, 2007, vol. 253, pp. 7686 7691.

76. В.И.Мажукин, В.В.Носов. Поверхностное испарение алюминиевой мишени в вакууме при воздействии ультрафиолетового лазерного излучения в условиях образования плазмы. Квантовая электроника. 2005. т.35, N5, рр.454 -466.

77. R.Kelly, A.Miotello. Contribution of vaporization and boiling to thermal-spike sputtering by ions or laser pulses. Phys. Rev. E, 1999, Vol. 60, Iss. 3, pp. 2616 2625.

78. F. Körte, J. Koch, J. Serbin, A. Ovsianikov, and B.N. Chichkov, Three-dimensional nanostructuring with femtosecond laser pulses. IEEE Transactions on nanotechnology, 3, 468 (2004)

79. M.D.Shirk, P.A.Molian, A review of ultrashort pulsed laser ablation of materials. J. Laser Application, J. Laser Application, 1998, 10, №1, 18-28.

80. Т.В.Коненко, В.И.Конов, С.В.Гарнов, Р.Даниелиус, А.Пискарскас, Г.Тамошаускас, Ф.Даузингер. Сравнительное исследования абляции материалов фемто- пико/нано-секундными импульсами.Квантовая электроника, 1999,т. 28, №2, с. 167 172.

81. T.V.Kononenko, S.M. Klimentov, S.V. Garnov, V.l. Konov, D. Breitling, Ch.Föhl, A.Ruf, J.Radtke, F. Dausinger, Proceeding of the SPIE, 2002, vol. 4426, pp.108 -112.

82. A.T. Изгалиев , A.B. Симакин , Г.А. Шафеев. Образование сплава наночастиц Au и Ag при лазерном облучении смеси их коллоидных растворов. Квантовая Электроника, 2004, Том 34, № 1, с. 47-50.

83. V.I.Mazhukin, A.V.Mazhukin, M.G.Lobok. Comparison of Nano- and Femtosecond Laser Ablation of Aluminum. Laser Physics, 2009, vol. 19, № 5,, pp. 1169 1178.

84. С.И.Анисимов, Б.Л.Капелиович, Е.Л.Перельман. Электронная эмиссия с поверхности металлов под действием ультракоротких лазерных импульсов. ЖЭТФ, 1974, т.66, вып.2, с.776-781.

85. S.D.Brorson, J.P.Fujimoto, E.P.Ipen. Femtosecond Electronic Heat-Transport Dynamics in Thin Gold Films. Phys. Rev.Lett. 1987, vol. 59, № 17, pp.1962-1965.

86. H.E.Elsayed, T.B.Norris, M.A.Pessot, G.A. Mourou. Time-Resolved Observation of Electron-Phonon Relaxation in Copper. Phys. Rev.Lett. 1987, vol. 58, № 12, pp.1212-1215

87. European Scientific Laser Workshop on Mathematical Simulation. Organized by Prof. Dr. Ind-Hans W. Bergmann. Lisabon, 1989, p.256.

88. T.Q.Qiu, C.L.Tien. Short-Pulse Laser Heating on Metals. Int. J. Heat Mass Transfer. 1992, vol. 35, №3, pp. 719-726.95. .Q.Qiu, C.L.Tien. Heat Transfer Mechanisms During Short-Pulse Laser Heating of Metals. J. Heat Transfer. 1993, vol.115, pp. 835-841.

89. T.Q.Qiu, C.L.Tien. Femtosecond Laser Heating of Multi-Layer Metals. I. Analysis. Int. J. Heat Mass Transfer. 1994, vol. 37, №17, pp.2789-2797.

90. O.B.Wright. Ultrafast nonequilibrium stress generation in gold and silver. Phys. Rev. B, 1994, vol.49, № 14, pp. 9985-9989.

91. C.Dufour, A.Audouard, F.Beuneu, J.Dural, J.P.Hairie, M.Levalois, E.Paumier, M.Toulemonde. A high-resistivity phase induccd by swift heavy-ion irradiation of Bi: a probe for thermal spike damage. J. Phys.: Condens. Matter. 1993, vol.5, №26, p.4573-4584.

92. Z.G.Wang, Ch.Dufour, E.Paumier, M.Toulemonde. The Se sensitivity of metals under irradiation swift-heavy-ion irradiation: a transient thermal process. J. Phys.: Condens. Matter. 1994, vol.6, №34, p.6733-6750.

93. ЛЛО.Дидык. Радиационное воздействие тяжелых ионов на хромоникелевую сталь при высоких температурах. Известия РАН. Металлы. 1995, №3, с.128-135.

94. A.Yu.Didyk, V.S.Varichenko. Track structure in dielectric and semiconductor single crystals irradiated by heavy ions with high level of inelastic energy loss. Radiat. Meas. 1995, vol.25, №1-4, pp. 119-124.

95. M.J.Maurer. Relaxation Model for Heat Conduction in Metals. J. Appl. Phys. 1969, vol.40, pp. 5123-5130.

96. M.N.Ozi§ik, D.Y.Tzou. On the Wave Theory in Heat Conduction. Invited Reviver Paper. J. Heat Transfer, 1994, vol. 116, pp. 526-535.

97. C.Korner, H.W.Bergmann. Thermal and Mechanical Aspects in Short Pulse Laser Interaction with Metals. ECLAT'96 Proceedings. 1996, pp. 585-594.

98. M. Lisowski, P.A. Loukakos, U. Bovensiepen, J. Stahler, C. Gahl, M. Wolf. Ultra-fast Dynamics of Electron Termalization, Cooling and Transport Effects in Ru (001). Appl. Phys. A, 2004, vol.78, 165- 176

99. С.И.Кудряшов, В.И.Емельянов. Уплотнение электронного газа и кулоновский взрыв в поверхностном слое проводника, нагреваемого фемтосекундным лазерным импульсом. Письма в ЖЭТФ, 2001, т.73, № 12, с. 751-755.

100. H.OJeschke, M.E.Garcia, K.H.Bennemann. Theory for laser-induced ultrafast phase transitions in carbon. Appl. Phys. A, 1999, vol.69, pp.S49-S53.

101. S.Kotake, M.Kuroki. Molecular dynamics study of solid melting and vaporization by laser irradiation. Int. J. Heat Mass Transfer. 1993, vol. 36, pp.2061-2067.

102. R.F.W. Herrmann, J. Gerlach, E.E.B. Campbell. Ultrashort pulse laser ablation of silicon: An MD simulation study. Appl. Phys. A, 1998, vol. 66, pp. 35-42.

103. Z.Lin, L.V.Zhigilei, V.Celli. Electron-phonon coupling and electron heat capacity of metals under conditions of strong electron-phonon nonequilibrium. Phys. Rev. B, 2008, vol.77, №7, pp. 075133-1 -075133-17.

104. D. Perez, L.J.Lewis. Molecular-dynamics study of ablation of solids under femtosecond laser pulses. Phys. Rev. B, 2003, Vol. 67, Issue 18, pp.184102 -184117.

105. Xinwei Wang, Xianfan Xu. Molecular dynamics simulation of thermal and thermomechanical phenomena in picosecond laser material interaction. Int. J. Heat and Mass Transfer, 2003, vol. 46, pp. 45-53.

106. K.M.Smith,M.Y.Hussaini L.D.Gelb, S.D.Allen. Modeling laser-assisted particle removal using molecular dynamics. Appl. Phys. A, 2003, vol.77, pp.877-882.

107. В.В.Жаховский, С.И.Анисимов. Численное моделирование испарения жидкости методом молекулярной динамики. ЖЭТФ, 1997, т. 111, вып. 4, с. 1328 — 1346.

108. D. S. Ivanov, В. Rethfeld, G. М. O'Connor, Th. J. Glynn, A. N. Volkov, L. V. Zhigilei. The mechanism of nanobump formation in femtosecond pulse laser nanostructuring of thin metal films, Appl. Phys. A, 2008, vol. 92, pp.791-796.

109. С.А.Иваненко. Вариационные методы построения сеток. Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 2003, т.43, №6, С.830 844.

110. W.H.Hui, P.Y.Li, Z.W.Li. A unified coordinate system for solving the two-dimensional Euler equations. J. Comput. Phys. 1999. V. 153. P. 596-637.

111. W.H.Hui, Kudriakov S. A unified coordinate system for solving the three-dimensional Euler equations. J. Comput. Phys. 2001. V.172. P 235-260.

112. V.D.Liseikin. A computational differential geometry approach to grid generation. Berlin: Springer, 2007.

113. Advances in Grid Generation. Ed. O.V.Ushakova. Nova Science Publishers, New York, 2007.

114. В.И. Мажукин, П.В. Бреславский, А.В.Шапранов. Динамическая адаптация в дифференциальных уравнениях в частных производных гиперболического типа. Энциклопедия низкотемпературной плазмы, Там же. С. 217 247, 2008, Москва, Янус-К.

115. В.Д.Лисейкин, Ю.Н.Мороков, И.А.Васева, Ю.В.Лиханова. Универсальные автоматизированные метода и алгоритмы построения пространственных адаптивных разностных сеток. Там же. С. 248-264.

116. Б.Н.Азарёнок. Вариационный метод построения пространственных сеток. С.265 284.

117. В.А.Гасилов, Е.Л.Карташёва, И.В.Фрязинов. Дискретизация неоднородных геометрических объектов. Там же. С. 298 318.

118. А.Н.Гильманов. Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики. Физматлит, 2008, 247 с.

119. Н.А.Дарьин, В.И.Мажукин. Об одном подходе к построению адаптивных разностных сеток. Докл. АН СССР. 1988. Т. 298, № 1. С. 64-68.

120. Н.А.Дарьин, В.И.Мажукин, А.А.Самарский. Конечно-разностный метод решения одномерных уравнений газовой динамики на адаптивных сетках. Докл. АН СССР. 1988. Т. 302. № 5. С.1078-1081.

121. В.И.Мажукин, Л.Ю.Такоева. Принципы построения динамически адаптирующихся к решению сеток в одномерных краевых задачах. Математическое моделирование. 1990. Т. 2. № 3. С. 101-118.

122. В.И.Мажукин, А.А.Самарский, Орландо Кастельянос, А.В.Шапранов. Метод динамической адаптации для нестационарных задач с большими градиентами. Математическое моделирование. 1993, т. 5, N 4, с. 32-56.

123. П.В.Бреславский., В.И.Мажукин. Метод динамической адаптации в задачах газовой динамики. Математическое моделирование. 1995. Т. 7. № 12. С. 48-78.

124. П.В.Бреславский., В.И.Мажукин Динамически адаптирующиеся сетки для взаимодействующих разрывных решений. Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 2007. Т. 45, № 4. С.2260 2282.

125. М.М.Дёмин, В.И.Мажукин., А.В.Шапранов. Метод динамической адаптации в проблеме ламинарного горения. Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 2001. Т. 41, № 4. С.648 — 661.

126. M.M.Demin, A.V.Shapranov, I.Smurov The method of construction dynamically adapting grids for problems of unstable laminar combustion. Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals. 2003. V.44, № 4. P. 387-415.

127. A.B. Лыков. Теория теплопроводности. M.; Высшая школа, 1967. 600 с.

128. Я.Б.Зельдович, А.С.Компанеец. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры. К семидесятилетию академика А.Ф.Иоффе: Сб., М.: Изд во АН СССР, 1950, С.61 - 71.

129. А.А.Самарский, И.М.Соболь. Примеры численного расчёта температурных волн. Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1963. Т. 3. № 4. С. 703 -719.

130. П.П.Волосевич, Е.И.Леванов. Автомодельные решения задач газовой динамики и теплопереноса. М.: Изд-во МФТИ, 1997.

131. Г. И.Баренблатт, И.М.Вишик. О конечной скорости распространения в задачах нестационарной фильтрации жидкости и газа. Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20. №3. С. 411-417.

132. R.E.Warming, B.J.Hyett, The Modified Equation Approach to the Stability and Accuracy Analysis of finite-difference Methods. J. Comput. Phys. 1974. V. 14, pp. 159-179.

133. Ю.И.Шокин. Первое дифференциальное приближение. Новосибирск: Наука. 1979. 224с.

134. А.А.Самарский. Теория разностных схем. М.: Наука. 1989. 616 с.

135. В.Ф.Василевский, В.И.Мажукин. Численные расчеты температурных волн со слабыми разрывами на сетках с динамической адаптацией. Дифференциальные уравнения. 1989. Т.25.Ж7.С.1188- 1193.

136. D.A.Anderson, J.C.Tannehill, R.H.Pleteher. Computational Fluid ' Mechanics and Heat Transfer. New York. Hemisphere Publishing Corporation. 1984.

137. Bell J.B., Shubin G.R. An adaptive grid finite difference method for conservation law. J. Comput. Phys. 1983. V. 52, pp. 569-591.

138. E.R.Benton, G.W.Platzman. A table of the one-dimensional Burgers equation. Quarterly of Applied Mathematics. 1972. V. 30, pp. 195-212.

139. C. Kittel. Introduction to Solid State Physics (6h Edn). Wiley, New York, 1986.

140. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Т.Ш. Москва: Физматгиз, 1963.

141. Ю.В.Мартыненко, Ю.Н.Явлинский. Охлаждение электронного газа металла при высокой температуре. ДАН СССР, 1983, т. 270, № 1, с. 88-91.

142. Я.И.Френкель. Введение в теорию металлов. Гос. Изд. Физ.-мат. литер. М. 1958, З68.с.

143. Y.S.Touloukian. Thermal conductivity metallic elements and alloys, vol. 1, Plenum New York, Washington. '

144. J.M Ziman. Principles of the theory of solid. Gambridge University Press, 1964.

145. B.Cheynet, J.-D.Dubois, M.Milesi. Données thermodynamiques des éléments chimiques. Techniques de l'Ingénieur, traité Matériaux métalliques. Form. M 64, pp. 1-22.

146. Aluminum: Properties and physical metallurgy. Edited by John E. Hatch. American society for metals, 1984, Metals Park, Ohio, pp.421.

147. Физические величины. Справочник. Под ред. И.С.Григорьева, Е.З.Мейлихова. М.: Энергоатомиздат.

148. Takamichi Iida, R.I.L.Guthrie. Clarendon Press, Oxford, 1988, 288 p.

149. Д.Пайнс Элементарные возбуждения в твердых телах. Москва: Мир, 1965.

150. В.Л.Гинзбург, В.Л.Шабанский. Кинетическая температура электронов в металлах и аномальная электронная эмиссия. Докл. АН СССР, 1955, т. 100, № 3, с. 445 448.

151. Ю.В.Мартыненко, Ю.Н.Явлинский. Возбуждение электронов металла осколком деления. Атомная энергия, 1987, т. 62, вып. 2, с. 80-83.

152. A.C.Beer, M.N.Chase, P.F.Choquard. Extension of McDougall-Stoner tables of the Fermi-Dirac functions. Helvetica Physica Acta, 1955, vol. XXVII, №5, pp. 529-542.

153. R.W.Wright. Proc. Phys. Soc. Lond. A. 1951b, vol. 64, pp. 984.

154. O.Madelung. Zeitsr. Naturforschung, 1954a, vol 9, pp. 667.

155. V.I.Mazhukin, A.A.Samarskii. Mathematical modeling in the technology of laser treatments of materials. Serv. Math. Ind., 1994, vol.4, pp.85-149.

156. В.И.Мажукин, П.А.Прудковский, А.А.Самохин. О газодинамических граничных условиях на фронте испарения. Математическое моделирование, 1993, т. 5, № 6, с.З-10.

157. D. Grout An Application of Kinetic Theory to the Problems of Evaporation and Sublimation of Manatomic Cases. J. Math. Phys. 1936, v.15, pp.1-54.

158. А.А.Самарский, Б.Д. Моисеенко. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана. ЖВМ и МФ. 1965. Т.5. № 5. С. 816-827.

159. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. 1982, 608 с.

160. V.I.Mazhukin, 1. Smurov, G. Flamant. Overheated Metastable States in Pulsed Laser Action on Ceramics. J. Applied Physics, 1995, v. 78. No. 2, pp. 1259-1270.

161. A.Gadgil and D.Gobin, Analysis of Two-Dimensional Melting in Rectangular Enclosures in Presence of Convection, J. Heat Transfer, Vol. 106, pp. 12-19, 1984.

162. S.D.Gilmore and S.I.Guceri, Three-Dimensional Solidification: A Numerical Approach, Numer. Heat Transfer, Vol. 14, pp. 165-186, 1988.

163. M.Lacroix, Computation of Heat Transfer During Melting of a Pure Substance from an Isothermal Wall, Numer. Heat Transfer, part B, vol. 15, no. 2, pp, 191-210,1989

164. П.В.Бреславский, В.И.Мажукин. Математическое моделирование процессов импульсного плавления и испарения металла с явным выделением фазовых границ. Инженерно-физический журнал, 1989, т.57, №1, 107-114.

165. V.I.Mazhukin, I. Smurov, С. Dupuy, D. Jeandel. Simulation of Laser Induced Melting and Evaporation Processes in Superconducting. J. Numerical Heat Transfer Part A, 1994, v. 26, pp. 587-600.

166. В.И.Мажукин, А.А.Самарский, М.М.Чуйко. Метод динамической адаптации для численного решения нестационарных многомерных задач Стефана. Доклады РАН, 1999, т.368, №3, с.307 310.

167. А.В.Мажукин, О.Н.Королёва. Расчёт оптических характеристик алюминия. Математическое моделирование, 2010, т. 12, № 5, с.

168. С. Cheng, X.Xu. Mechanisms of decomposition of metal during femtosecond laser ablation. Phys. Rev. B, 2005, vol.72, 165415-1 165415-15.