автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование воздействия лазерного излучения умеренной интенсивности на вещество

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи УДК 519.6: [535:621.373.8]: 539

МАЖУКИН ВЛАДИМИР ИВАНОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ УМЕРЕННОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ НА ВЕЩЕСТВО

05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ.

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА - 1995

Работа выполнена в Институте Математического Моделирования Российской Академии Наук

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор Ю. В. Афанасьев

доктор физико-математических наук Н. В.Арделян

доктор физико-математических наук А. П. Михайлов

Ведущая организация:

Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН

Защита состоится "_" __ 1995 г. в _ часов на

заседании Специализированного Совета Д 003.91.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте математического моделирования РАН по адрессу: 125047, Москва, А-47, Миусская пл. 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН.

Автореферат разослан " £ " иМ. рТ(Ь 1993 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета

доктор физико-математических наук Н. В. Змитренко

АКТУАЛЬНОСТЬ ИССЛЕДОВАНИИ. .Бястрое развитие лазерной и шктроняо-яучевой техники привело к ?«г<работке и внедрении >югщагаальяо новкх технологических крск«ссоз, призванных решать ззрежннке научно-технические проблеш, которые во многом связаны с '•цествэнко возроссими требованиям? к физико-химическим й ясадичэекум с$ойствам используемая материалов, к чистоте и качеству { обработки, а такх-з к эноргсзксиокачности и безопасности зхвояапггесхЕх операций. Концевтрярованнкэ потоки энергии являются зазерсаяьзам инструментом обработки кэталлов, диэлектриков а 5лупроБои?:а:оз во киогок удовлетворяете предъявляемым требованиям. гл сй&опечзъъвт одновременно высокие скорости выполнения операций с «окцкг процизконксстьп и локализацией процессов, что обусловило их зрокоэ распространение з металлургии, машинретроении, :жроэ.-зхтрондке и других отраслях современной промышленности.

Крвк#рси успешного применения концентрированных потоков энергия эгут слуаятьяазерщае технологии, являющиеся уникальными средствами йрас'отки материалов. Уникальность их во многом определяется ообоняоетяки лазерного луча как теплового источника,из которых з брвуз очередь следует выделить высокую степень химической чистоты, .к. лгзорноо воздействие представляет собой бесконтактный способ эрадачи внаргпи, что исключает загрязнение обрабатываемой оверхиостн за счет источника. Лазеры с разными длинами волн элуче-аия можно использовать в различных по целевому назначению роцессах. Сфокусированное в пятно малого диаметра лазерное злучэвиэ предоставляет возможность локального разрушения рактачески любых материалов, что позволяет использовать его для бработки сверхпрочных и тугоплавких веществ. Параллельно внедрении гэерноЯ техники ведется интенсивное исследование физико-химических роцоссоз в зоне облучения. С одной стороны, накопление знаний в той динамической области необходимо для построения фундаментальных еоретических представлений о явлениях, протекающих,как правило,в словиях сильной неравновесности , с другой стороны, исследование жзкческих явлений, сопровождающих воздействие лазерного излучения (а материалы, используется для определения оптимальных режимов ■ехнологических процессов, а также для их усовершенствования и издания новых методов обработки.

Математическое моделирование составляет основу теоретических юследований и обладает рядом несомненных преимуществ, т.к. не

используя сильных упрощений, позволяет получать качественную количественную информацию о любой стороне моделируемого явления пр различных условиях проведения эксперимента. Незаменимым инструменте исследования математическое моделирование становится в задача лазерного воздействия на материалы, подавляющее большинстн приложений которого связано с началом фазовых превращений первог рода. Среди операций лазерной обработки отметим наиболе распространенные: резку, сверление, скрайбирование, размеры) обработку, микропереплав, лазерное напыление, микросварку, а така сварку крупногабаритных деталей. Все указанные технологически операции связаны либо с процессами плавления-кристаллизации, либо испарением или сублимацией, либо с совокупностью этих прсцессог Отметим, что фазовые переходы первого рода играют исключитель* важную роль в технологическом диапазоне интенсивностей СЮ4 - 1С Вт/смг) лазерного излучения. Однако состояние общей теории фазовь превращений пока еще не позволяет дать ответ на кекоторь существенные вопросы даже в случае таких, казалось бы, широ! известных процессов как плавление и испарение. Активное исследован! фазовых переходов при импульсном воздействии фактически толы начинается, и здесь еще имеется немало неясных вопросов противоречивых результатов. Результативные исследован! неравновесных фазовых превращений при лазерном воздействии практич« ки невозможны без применения математического коделированиз позволяющего при помощи современных компьютеров проигрывав нелинейные ситуации до начала экспериментальных исследований.

Математическое моделирование и вычислительный эксперимент применяются в настоящей работе для исследования наиболее важных и интересных проблем лазерного воздействия на конденсированные среды в которых математическое моделирование играет доминирующую роль.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Научная новизна работы определяется рассмотрением совокупности физических процессов, составляющих основу взаимодействия лазерного излучения с веществом, а также разработкой соответствующих математических моделей и методов их решения. Экстремально высокие скорости ввода энергии, особенно в импульсных режимах, предопределяют неравновесный и нелинейный характер развития большинства процессов. Всесторонний анализ подобных явлений предполагает обязательное применение математического моделирования.

В диссертации разработаны математические модели, описывающие! двумерный разлет лазерной плазмы в равновесном приближении;, быстрые фазовые переходы 1-го рода с учетом метастабильных состояний в твердой и жидкой фазах; процесс поверхностного испарения в трансзвуковых режимах. Для численной реализации этих моделей разработаны ычислителыаде алгоритмы решения:

двумерных нестационарных уравнений радиационной газовой динамики; сопряженной задачи Стефана и радиационной газовой динамики; гидродинамического варианта задачи Стефана; задач лазерного плавления и испарения металлов в среду с противо-авлениек с явным выделением межфазных границ и ударных волн.

Большинство рассматриваемых алгоритмов основаны на доработанном в диссертации новом методе численного решения [естационарных краевых задач математической физики - методе [инамической адаптации. Обоснование и область применимости метода щределяются посредством решения ряда известных модельных задач, :реди которых нелинейные задачи теплопроводности, горения,Стефана, ¡'пргерса и газовой динамики. На примере численного решения двух :раевых задач метод обобщается на многомерные постановки.

На основе результатов математического моделирования впервые шализируется ряд физических явлений, связанных с радиационными и •азодинамическими эффектами в плазме, влиянием газодинамического фактора на степень неравновесности поверхностного испарения и фоявлением метастабильных состояний, сопровождающих фазовые !ереходы в конденсированных средах.

Благодаря общности математических моделей и универсальности вычислительных алгоритмов результаты работы могут широко «¡пользоваться для целей контроля и управления процессами при воздействии концентрированных потоков энергии на вещество.

Методические аспекты диссертационной работы опубликованы в виде учебного пособия и внедрены в учебный процесс на факультете ЗМ и К МГУ и кафедре "Математического моделирования" МЭИ.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является разработка математических моделей, вычислительных алгоритмов и программных комплексов, а также постановка и проведение вычислительных экспериментов по исследование динамики и кинетики быстрых фазовых переходов и процессов плазмообразования под воздействием лазерного излучения.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В методическом плане основу диссертации составляет аппарат математической физики и вычислительной математики. Формулировка математических моделей основывается на физических явлениях, теоретические и экспериментальные положения которых достаточно обоснованы в отечественной и зарубежной научной литературе. Обоснованность и достоверность математических моделей и результатов моделирования, содержащихся в диссертации; подтверждаются их сопоставлением с аналитическими решениями, экспериментальными данными и теоретическими результатами, полученными другими авторами как с помощью математического моделирования, так и иными методами. Проверка большинства вычислительных разработок осуществлялась сравнением полученных результатов с тестовыми расчетами.

ЛИЧНЫМ ВКЛАДОМ АВТОРА является обоснование и постановка большинства рассматриваемых в диссертации проблем, в том числе математические формулировки задач двумерного разлета лазерной плазмы в газовой среде, поверхностного лазерного испарения с образованием плазмы в потоке испаренного вещества, перегрева твердой фазы, гидродинамического варианта задача Стефана, лазерного испарения металлов в среду ■с противодавлением. Формулировка задачи об аппроксимации кнудсеновского слоя и исследование особенностей математической модели поверхностного испарения выполнены совместно с А. А. Самохиным.

При определяющем участии автора разработан метод динамической адаптации расчетных сеток для нестационарных краевых задач. Совместно с Н. А.Дарьиным выполнено обобщение этого метода на двумерные постановки.

Под руководством автора разработаны программные комплексы и выполнено математическое моделирование всех излагаемых проблем.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты докладывались и обсуждались на!

I) ВСЕСОЮЗНЫХ КОНФЕРЕНЦИЯХ И СЕМИНАРАХ !

1).П, У Всесоюзные конференции "Динамика излучающего газа" СМосква, 1980, 1983) ; 2). У Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механикеСАлма-Ата, 19813; ЗЭ. 1У Всесоюзное совещание "Плазменные процессы в металлургии"(Москва, 1983); 4). УП Всесоюзная конференция по тепломассообмену (Минск, 1984); 5).У1 Всесоюзная конференция по нерезонансному взаимодействию оптического излучения с

веществом СПаланга, 1934); 6), Всесоюзная школа-семинар "Математическое моделирование в науке и технике" СПермь, 1986); 7). Научно-тэхнический семинар "Лазеры в технологии машиностроения" СМосква,1983,1987,1990); 8).Всесоюзный научно-технический семинар "Лазерная технология в приборостроении" (Рига,1985); 9). Всесоюзный семинар "Лазерная техника и технология" СВильнюс, 1988, 1989); 10).Всесоюзный семинар "Жизнь и компьютер" СХарьков, 1990).

II) МЕЖДУНАРОДНЫХ КОНФЕРЕНЦИЯХ 1).5-й,11-й Международный симпозиум по плазмохимии СШотландия, Единбург,1931, Англия,Лоубсроу,1S93); 2). Международная конференция по явлениям в ионизованных газах СМинск, 1981); 3). Международный математический коллоквиум им.Яноша Болаи (Венгрия, Мишкольц,. 1986);

4). Минский международный форум "Тепломассообмен-ММФ" (Минск, 1989);

5).Международная кснфэренция Европейского сообщества по исследованию материалов CE-MRS, Франция, Страсбург, 1993, 1994); В). Международная конференция ICALE0-93, 94 (США, Флорида, 1993); 7). Международная конференция "Численные методы в ламинарных и турбулентных течениях" (Уэльс, Мамблес, 1993); 8).10-я Международная конференция по теплсперснссу САнглия,Брайтон,1994).

ПУБЛИКАЦИИ. По материалам диссертации опубликовано 50 печатных работ! в научных, журналах - 35, в научных сборниках - 3, в трудах конференций - 8, в препринтах - 11; по учебному процессу опубликовано 3 методических работы.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, семи глав .заключения, списка цитируемой литературы и работ автора общим количеством ЗДО. Объем диссертационной работы составляет 3(2'^страниц текста, в том числе ' рисунков?^, таблицZ .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении излагаются направление и цель исследований и дана краткая аннотация диссертационной работы по главам.

1. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ В МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ ЛАЗЕРНОГО

ВОЗДЕЙСТВИЯ

Многомерные постановки задач отличаются повышенной математической сложностью и применяются в основном для хорошо исследованных явлений с целью количественного анализа конкретных технологических режимов. Примером такой проблемы может служить задача определения

температурных полей в металлическом образце, создаваемых подвижных лазерным источником. Подобные постановки являются типичными в проблемах лазерного поверхностного термоупрочнения.

Сравнительно реже многомерные постановки используются для качественного анализа поведения физических явлений. В качестве подобного примера можно указать задачу двумерной эволюции лазерной плазмы в газовой среде.

1. Рассмотрим задачу о нагреве твердого тела лазерным лучом, направленным перпендикулярно к поверхности и перемещающимся вдоль оси у со скоростью V. Предполагается, что лазерное излучение поглощается в объеме материала (вдоль оси г) по закону, близкому к

экспоненциальному в(х, у - V I, г) = С(Сх, у - V I) (ехр-/ ж й г],

где Сг(х, у - и I)- интенсивность излучения в фокальной плоскости, х - коэффициент объемного поглощения. Для описания процесса нагрева воспользуемся краевой задачей для уравнений теплопроводности и переноса лазерного излучения

р С СТ) = сИу Х(Т) дгас! Т - ,

р д Ь а г

+ = 0 < х < 1 , 0 < у < 1 , 0<2<1

а г 1 8 3

Пластина полагалась теплоизолированной. Считалось также, что в

плоскости пятна фокусировки, перемещающегося со скоростью о вдоль оси у, пространственные характеристики лазерного излучения, с учетом поглоиательной способности облучаемой поверхности, описываются законом нормального распределения

6(х, у-« I, 0) = А(Т) 6оехр С- (х2 + (у - о 1 ) )'/ 2 Н ]' Нелинейная задача теплопроводности решалась численно при помощи конечно-разностных методов . Интенсивность излучения Со и скорость перемещения V варьировались в диапазоне значений: 104<бо< 10" Вт/см2 при X = 10,6 мкм и 2,5 < V < 25 м/с.

На рис. 1 приведены типичные пространственные профили температурных полей на различных глубинах в стальном образце. Режим воздействия подбирался таким образом, чтобы максимальное значение температуры Тиах на поверхности удовлетворяло условию То< Тиах<Тт. Общий вид кривых свидетельствует, что подвижный источник генерирует в материале температурные поля ассиметричной формы. Увеличение интенсивности и скорости перемещения приводит с одной стороны к возрастанию необходимых для упрочения скоростей нагрева и

max: ~Tn

m

min: T0 wax: o,6Tw

min: T0 таг,о,НТт

min: T0

Рис. l

охлаждения, а с другой - вызывает все большее укручение фронтов, характеризуювдхся большими градиентами. Наибольшие градиенты возникают в тонком приповерхностном слое и на границах зоны термического воздействия. Знание закономерностей изменения температурных полей можно использовать для оптимизации режимов термоупрочнения.

2. Рассмотрим двумерную нестационарную задачу о взаимодействии лазерного излучения с плазмой воздушной среды. Полагается, что падающий вдоль оси г лазерный поток с длиной волны X = 1. Об мкм осесимметричен и интенсивность в нем распределена по закону Гаусса Б = Бо -ехрС-Сгг. Особенности взаимодействия, а также поведение лазерной плазмы в плотной воздушной атмосфере,давление которой изменяется в широких пределах, рассматриваются начиная с момента образования вблизи мишени тонкого го=10-50 мкм плазменного слоя.

Для моделирования использовалась система осесимметричных уравнений радиационной газовой динамики

в р 1 д д

-+--(г р и) + -Ср и 3 = О

а I г д г а г

а р и 1 а а <эср + из

-+----Сг р и2Э + -Ср и о 3 ---

а I г д г . а т. . а г

а р о 1 а а аср + из

-+--Сг р и и ) + -Ср Vгз ---

а I г а г а г а г

двумерных

а р е 1 а а

- ---Сг р и £ 3 + -Ср и е 3

а I г а г а г

1 г

1 а г и а »

а г Тг

1

■I гаг

а г

1 а сг ^з а

а г

а ъ

+ с *,,

с * и

V и>«я

а с ~дг

1 с_ аи* _

" " г

а 6 з7

+ х в = О

1 с

з а"7" ~ 2 '

V = / ыи с! V

р = рСТ,рЗ,

Сг, г) е П, П = [0,1г] х 10,1х] с = «СТ,рЭ, * = *СТ,р,уЗ

где г,2 - пространственные координаты, I - вр?мя, р,р,е - плотность, аавление и внутренняя энергия, и,о - компоненты вектора скорости, к - коэффициент поглощения фотонов , частоты V, $ - радиационный яоток, и - плотность излучения , со - искусственная вязкость,

Процесс переноса излучения описывался в многогрупповом (Н =7) диффузионном приближении. Стадия пробоя моделировалась заданием горячей области толщиной 15-20 мкм с температурой Т = 1,5-1,8 эв.

Численное решение системы уравнений РГД на каждом временном ваге I = осуществляется в три этапа. На первом - по известным из предыдущего слоя газодинамическим величнлам и температуре на разностном уровне производится осреднение уравнений многогрупповой диффузии по энергиям фотонов.

На втором этапе осуществляется совместное решение эллиптического уравнения диффузии и уравнения энергии.

На третьем этапе решаются уравнения газовой динамики.

В качестве вычислительных особенностей рассматриваемого алгоритма отметим, что примерно 90« компьютерного времени затрачивается на осреднение и решение многогрупповых уравнений диффузии и энергии.

Параметры лазерной системы выбирались типичными для импульсной лазерно-плазменной обработки' металлов: т = 10~вс прямоугольным временным профилем, гг= 300 мкм, Со= 107- 10е Вт/см2. На рис.2,3 показаны изолинии температуры Т в двумерном плазменном облаке, рй'Актакныэ для начального давления газовой среды ро = 1 бар, рис.2, и ро=Ю0 бар, рис.3. Заштрихованные области на этих рисунках отмечает зоны охваченные ударной волной.

Вычислительные эксперименты позволили установить, что с изменением давления происходит смена механизмов распространения плазменных образований светодетонационного при ро^ 10 бар на режим медленного радиационного горения при р > ' 50 бар. Математическое моделирования позволило также определить оптимальные значения интенсивности 6 и давления ро для лазерно-плазменной обработки.

Отметим, что в рассматриваемых постановках в качестве граничных условий используются соотношения неявным образом, учитывающие наличие мишени, при котором определяются только радиационные потоки и потоки заряженных частиц, идущие из плазмы на поверхность мишени. Процессы в самой мишени при этом не рассматриваются. В итоге из рассмотрения исключаются процессы, характеризующие обратное, влияние мишени на плазму. Учет процессов взаимодействия конденсированной и

Рис. 2

газовой сред приводит к рассмотрении чрезвычайно сложных явлений, для описания которых недостаточно имеюаихся математических моделей . В связи с чем актуальной становится разработка новых математических моделей и методов их решения.

2. МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОЙ АДАПТАЦИИ В ОДНОМЕРНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Проблеме построения расчетных сеток при решении задач математической физики в последние годы уделяется большое внимание. Существует мнение, что окончательное разрешение многих проблем численного решения задач математической физики следует ожидать не только от улучшения способов разностной аппроксимации уравнений в частных производных и усовершенствования алгоритмов решения сеточных уравнений, но еще в большей мере от правильного выбора расчетной сетка. Точность решения уравнений в частных производных зависит от того, насколько хорошо согласуется распределение узлов сетки с особенностями искомого решения. Принцип оптимального распределения узлов положен в основу методов построения адаптирующихся к решению сеток.

Отметим, что в настоящее время область вычислительной математики, связанная с конструированием сеток, развивается высокими темпами и происходит ее выделение в самостоятельный раздел науки со своими терминологией, методологией, понятиями, определениями и классификацией.

Условно по признаку имеющихся особенностей решения наиболее важные задачи, требующие применения адаптивных сеток, можно разбить на следующие классы:

13 задачи с наличием больших градиентов внутри области решения. Это одна из наиболее часто встречающихся особенностей решения, и с ней, как правило, связаны важные физические явления;

2) задачи с наличием больших градиентов вблизи границы области: • задачи типа пограничного слоя, задачи горения;

33 задачи с наличием подвижных границ. К ним относятся задачи со свободной поверхностью,задачи плавления, испарения и т.п.

4) задачи с наличием линий и поверхностей разрывов,контактных границ внутри области: распространение ударных волн и движение областей вещества с сильно различающимися свойствами.

Рассмотрим применение метода динамической адаптации к решению ряда модельных задач, относящихся к различным классам, но имеющих

принципиальное значение для вычислительных методов.

1. ИДЕЯ МЕТОДА. В основу метода положена идея перехода к произвольной нестационарной системе координат,в которой неизвестными являются не только сеточные функции, но и координаты узлов сетки. Преобразование координат осуществляется автоматически с помощью искомого решения. Обратное преобразование задается в виде дифференциального уравнения в частных производных, из решения которого определяются координаты узлов. Уравнение составляется таким образом, что скорость движения узлов зависит от эволюции решения уравнений, описывающих физические процессы.

Переход к произвольной нестационарной системе координат позволяет адаптировать сетки к разнообразным особенностям решения, в том числе к большим градиентам, подвижным границам и . разрывным решениям. Осуществляется указанный переход с помощью замены переменных общего вида х=Г(ч,т), 1=т, имеющей обратное невырожденное преобразование ч=$эСх, 1), Частные производные зависимых переменных выражаются при этом следующим образом д д дц д 5 Зх 1 д _ д 13

д1 дт лэч дт дт V дq дт ф дц

а а<} а 1 а а* 1 а 1 а

ах ахЗчФдч ах3 ф ач ф aq

Эх Эх

где Ф ---метрический коэффициент,--скорость движения

дq дт

системы координат, подлежащая в дальнейшем определению. Связав

движение системы координат с особенностями решения,задаваемых в виде некоторой функции 0, получим уравнение обратного преобразования Э х

— = - О

а т

Функция 0 фактически является параметром управления движения узлов. Отметим, что в ряде случаев более удобной формой уравнения обратного преобразования является запись

а ф а о а т а ч

которую можно получить дифференцированием уравнения по д/дч .

3, ВЫБОР ФУНЩИ 0. Ключевой проблемой любого метода с динами -ческой адаптацией сетки, является выбор численной характеристики искомого решения используемой для управления движением узлов. Обычно в качестве такой характеристики используют погрешность аппроксимации,

само искомое решение или его производные. Решение этой проблемы в излагаемом методе осуществляется квугсл способами.

Первый способ базируется на следующих соображениях. В эволюционных задачах с подвижными и неподвижными границами любое движение узлов с целью измельчения ячеек сетки в зонах сильного изменения решения приводит к уменьшению общей погрешности решения. Поэтому функция 0 должна обеспечивать контролируемое распределение узлов , плотность которых была бы пропорциональна скорости изменения решения. Достигается это представлением функции преобразования 0 в виде различного порядка производных искомого решения или их линейной комбинации. При этом связь между элементами физического пространства Дх и расчетного Дч выражается соотношением ^

Д4 |и1л>|Дх. п= 0,1,2... , и(п> = -

д хп

Поскольку величина Дч постоянна, то между значениями Дх и производными и(существует обратно пропорциональная зависимость, при которой в физическом пространстве сильным изменениям решения соответствуют большие изменения Дх.

В наиболее общем виде функция 0 может быть представлена !

где А,В,С,0,...- свободные параметры.

Второй способ определения функции преобразования основывается на предположении стационарности процессов в новой системе координат. Функция 0 определяется при этом из исходного дифференциального уравнения или системы уравнений, записанных в новых переменных в стационарном виде. Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных, записанное в общем виде:

где Р(и)-дифференцируемая функция, ГСи)-может быть либо непрерывной 'функцией, либо дифференциальным оператором в общем случае произволь -ного порядка, воздействующим на функцию и. Задавая конкретный вид функций РСц) и ГСи) ограничим рассмотрение линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями параболического или гиперболического типа. Запишем рассматриваемое уравнение в переменных Сд,т)

, а V

о = - и-

I б ч

а и

+ А и + В -+ С

а ч

а и а РСи)

+

= ГС и)

д Ь д х

au q а u l a pcu)

- +--+--= fcu)

a x v a q у a q

а у _ aQ ах

а х а q v а q

и потребовав стационарности процессов в новых переменных, т.е. выполнения равенства да/31 = 0, определим функцию преобразования Q:

r а РС u) 1 га и V«

н-гг-'ньт] ■

В полученном выражении функция преобразования 0 уже не содержит подгоночных коэффициентов и в этом смысле является оптимальной среди других возможных функций преобразования получаемых, например., первым способом. Очевидно, что в общем случае следует требовать лишь малости временных производных, а не их точного равенства нулю При численном интегрировании это требование трансформируется в условие малости изменения решения на одном шаге. Дополнительные ограничения в данном способе определения функции преобразования возникают в ситуациях когда производная ди/дд обращается в нуль и когда возникает необходимость введения ограничений на минимальное расстояние между узлами. Обе эти проблемы не представляют принципиальных затруднений и решаются в конкретных задачах.

ЗАДАЧА СТЕФАНА. Математическая формулировка классического варианта задачи Стефана сводится к нелинейному уравнению теплопроводности в двух подобластях ГМТ) и Ц (Т) области Пх, разделенных заранее неизвестной межфазной границей Г$1(и:

г а т а { а т .

рС-= — |х—I , к = э, 1,

1- рз1 ах1 зх-'Лк

где ркСрК - объемная теплоемкость, Хк - теплопроводность .На межфазной границе Г$1 выполняется так называемое условие Стефана

а Т ЭТ.

X- - X ,--= р Ь V . , и равенство температур

1 Э х 1 д х в ■ 81

Тв1 = Тв = ^ = Тп , где Тв- равновесная температура перехода.

функция преобразования координат 0 для задачи Стефана задавалась в виде: Q = -DCЭФ/Эq). При достаточной величине

коэффициента С предложенная функция обеспечивает равномерное распределение узлов сетки в областях с подвижными границами. В качестве теста для рассматриваемой проблемы использовалась известная

модельная задача о промерзании , имеющая автомодельное решение

Гт + $Сх/Х , )Ж0) 0 2.x < X , Т — 4 81

«" о X ,< х < 1

§Сх) = 2л-,/а/е-у ¿у , Хв1= 20Саи,/а, а = Х/Ссрр), «в1 = бХ^/сйЛ 0Са ЛУ/Я , ¡3 = 0.602

Теплофизические характеристики полагались постоянными и равными ср= X = р = 1. Краевые условия задавались в виде: Т =-1, ТС0Д)=-1 , ТС 1.0=0. Начальная толщина твердой фазы полагалась равной 2*10~3. Расчетные сетки в обеих подобластях задавались равномерными и содержали по 10 узлов. Максимальная относительная' ошибка в определении температуры не превышала 0.55«, а в скорости - 0.05% .

ЗАДАЧА О ТЕМПЕРАТУРНОЙ ВОЛНЕ. Задача о распространении температурной волны вызывает повышенный интерес наличием особе^Ьстей в решении. При определенном выборе теплофизических параметров в решении появляется слабый разрыв, т.е. в решении появляется точка С точка примыкания меняющегося профиля с постоянным), в которой производная разрывна, а тепловой поток постоянен и равен' нулю. Это приводит к возникновению температурной волны, распространяющейся с конечной скоростью. Задача описывается квазилинейным уравнением

д сСТ) а Г а Т 1

ХСТЗ --х < х < х,

ест) а г 1! д~х I

г

д Ь 3x1 ах

где еСТ) = Т, Х(Т) = Т®, а > 0. При а > 1 образуется температурная волна. Уравнение теплопроводности в этом случае не имеет классического решения, но допускает автомодельное

"с<ДГа СИ.-*)"® х <

Т = ■

.0 х > И.

При определении функции преобразования первым способов О

имеет вид 0 = - С — и* - , где С - свободный параметр.

ач I а ч } Из второго способа следует 0 = -д V / д Т .

Область слабого разрыва выделялась явным образом . Для этого

задача представлялась в виде задачи со свободной границы, скорость

движения которой определялась из дифференциального соотношения:

а V а сот) +

3 ч а q

О.Ч 0.6

КООРДИНАТА X

Рис. 4

На рис.4 представлены результаты расчетов с а = 10 на 20 узлах. Численное решение представлено сплошными линиями, автомодельное -пунктирными. Положение используемых узлов отмечено маркерами. Узлы сетки распределяется пропорционально градиентам решения и наивысшая их концентрация достигается в области слабого разрыва, что приводит к значительному повышению точности численного решения.

УРАВНЕНИЕ БЮРГЕРСА. Полное нелинейное уравнение Бвргерса является уравнением в частных производных параболического типа. В вычислительной практике широко используется в качестве модельного для уравнений пограничного слоя, параболизованных и полных уравнений Навье-Стокса. Проблема формулируется следующим образом 3 и ' 3 Г иа 1 3"и

* - ТГ "

< X.

1 > 0

3 1 3 х I 2 J 3 ха хо < х

где ^ - малый параметр и имеет смысл вязкости. Функция преобразования 0 определялась из условия стационарности процессов в новой системе координат:

3 q

Для физической вязкости

М = 10 выберем начальное распределение

функции на отрезке [ 0, 1 1 в виде ассиметричной синусоиды ц°СхЗ = и Ся, 0) = 5т(2гоО+0.5*51пС;тх); цСОД) = иС1Д) = О

Вначале уравнение Бвргерса решалось на сэтке с фиксированными узлами. Расчеты показали, что на сетках с числом узлов менее 100 численное решение фактически неустойчиво. Движущиеся навстречу друг другу две полуволны синусоиды быстро формируют крутой фронт на котором возникают паразитные осцилляции. При числе узлов менее 500 подобные осцилляции наблюдаются и на отрицательной стороне фронта. Увеличение числа узлов до 104 позволяет уменьшить амплитуду колебаний, но не избавиться от них полностью, что свидетельствует о чрезвычайно сильной дисперсии используемых разностных схем.

,.5Г

и=0.0 и=о.г и=ол и=о.& и=0.й

Рис. 5

Применение динамической адаптации позволило получать решения свободные от осцилляций при числе узлов N¿20. На рис.5 представлено решение, полученное на адаптивной сетке. Полное отсутствие колебаний достигается за счет согласованного с решением движения узлов, которое, как показывает анализ дифференциального приближения может приводить к полному исчезновению внутренней дисперсии разностных схем. Благодаря этому свойству сетки с динамической адаптацией позволяют использовать в расчетах необычно малое число узлов.

УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ. В переменных (.q,r'i уравнения газовой динамики имеют вид

д Г V 1 д Г О

д Ь д

дТ

д

Су/ и) + -— С Р + 0 и ) = О д ч

X "piston

PHC. 6

X Xpigton

0 1 S 3 4 5 6 7

/

/

Ptic. 7

д д и-(у Е) + -С Ри +0Е) = 0 , Е = с + - ,

а I а ч 2

а а и а

и — с^ я) + р - - + — с о с ) = о 3 1 а ч а ч

а у а о

а I а ч

функция преобразования , определяемая из условия стационарности процессов в новой системе координат и с учетом ограничения на максимальное сближение соседних узлов, имеет вид:

О = - р СуШ1/а - д(.дщ /ач)

Полученная система"уравнений использовалась для расчета ударных волн без применения искусственной вязкости. На примере решения классической модельной задачи об ускорявшемся поршне рассматриваются два способа адаптации разрывных решений. В одном из них область разрыва представляется в виде решения с большими градиентами в которой происходит сгущение узлов сетки. Во втором - разрыв с помощью соотношений Гюгонио выделяется явным образом. Исходная задача разбивается при этом на две краевые задачи с общей подвижной границей. В каждой из подобластей решение является гладким и, вообще говоря, не требует сгущения узлов. Поэтому в каждой из них можно использовать квазиравномерную С в переменных Сх.О ) сетку, которую легко получить с помощью функции преобразования 0 = - Жду / ач).

На рис.6 представлены траектории узлов СИ = 20) для первого способа адаптации со сгущением их в области разрыва. На рис. 7 приведены аналогичные траетории для второго способа адаптации с явным выделением разрыва и квазиравномерным распределением узлов. Погрешность численных решений оценивалась посредством сравнения их с автомодельным. Моделирование показало, что численные решения, получаемые на сетке с N = 20 узлами асимптотически приближается к автомодельному с относительной погрешностью не превышающей 1*/. .

3. МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОЙ АДАПТАЦИИ В ДВУМЕРНЫХ ПОСТАНОВКАХ.

В качестве исходной системы координат используется декартова система координат Сх, у, и, в которой производится математическая формулировка задачи. Затем с помощью преобразования общего вида { = ?Сх,у,1), г/ = 7)Сх,у,и, т = I физическая плоскость отображается на прямоугольник в плоскости криволинейных координат С?,г?). В новых пе-

ременных математическая постановка задачи приобретает более сложный вид. Однако переход к более универсальным нестационарным криволинейным координатам позволяет строить и использовать для сложных областей физического пространства ортогональные сотки равномерные или неравномерные по одному или обоим направлениям.

Обратное преобразование координат осуществляется с помощью двух уравнений эволюционного типа, являющихся уравнениями траекторий движения узлов и образующих механизм их динамического распределения. Для двумерных нестационарных задач этот механизм представляет собой систему из двух уравнений в частных производных, правые части которых представляются в виде некоторык функций 0 и Р, зависящих от решения. В общем случае конструкция этих функций произвольна. Конкретный вид их определяется особенностями решения, которые, как уже отмечалось, обуславливают тот или иной вид адаптации.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. В произвольной области ПСх,у> рассмотрим двумерное нестационарное уравнение параболического типа

д и _ 3 дУу а и а и

а I а х а у х" ах' у~ Ту

Используя преобразование общего вида ? = ?Сх,уЛЗ, 7) = 7)Сх,уЛЗ, т = и запишем его в произвольной нестационарной системе координат С?, т), тЗ в строго консервативной форме

а а г г а у г а я а х]

-Су из ---и ---V - и - —

а т а?Цл этЗэт) И а т.1 а

э а гг а 113 у г а я а х]

- Су из ---и ---V - и - -

т а ? ц * а т) а ч I ч а т} а п\

э г г ах1 ау г Зу-|ЗХ1

"гг IV" гя г«Г "

э [ г,, з х-) з у (>г а у|

Т

Дополним полученное уравнение уравнениями, характеризующими текущие значения координат х, у.

а% а у зхзуахзу

а~т~ ' зт~ ' ^'Тъа-пдъдъ' где р. 3х/3?. Зу/З?, дх/дт), Зу/Зт} - якобиан и метрические коэффициенты; О, Р - некоторые функции, зависящие от решения. Конкретный вид функций 0 и Р определяется из соображений эффективного построения расчетной сетки.

ЗАДАЧА СТЕФАНА. Основное требование, предъявляемое к расчетным сеткам"при решении подобных задач, состоит в необходимости создания механизма автоматической перестройки сетки с фиксированным общим

шелом ячеек, размеры которых могли бы изменяться в зависимости от потока вевества через мекфазную границу. Как а в одномерном случае для определения потока вещества используется граничные условия ва

СЕТКЧ

Рис. 8а

Рис. 86

межфазной границе Г^(х,у,и

И" - V? = р I «п, , = УТ , Т . = Т

8 1 г5 П 51 ' 6 1 51 Ш

В криволинейных координатах физическая плоскость сложной конфигурации отображается в прямоугольную область. Фазовая граница Гв1Сх,у,0 совмещается с одной из координатных линий Гв1(?,7?), положение которой фиксировано, что позволяет строить ортогональные сетки равномерные по одному или нескольким направлениям с неизменяющимися во времени сетками. Наиболее естественным в рассматриваемой проблеме представляется построение квазиравномерной по каждому направлению

сетки. Для этих целей функции 0 и Р могут быть выбраны в виде га*х ^хл г^у а* у1

Метод тестировался на задаче о промерзании грунта,допускающей автомодельное решение в случае одной переменной.Задача формулируется в прямоугольной области ГМ05х<1, 0<у<0-5>. Оси координат выбираются так, чтобы граница раздела фаз Г£1СО, перемещаясь параллельно самой себе, не была параллельна ни одной из осей. При повороте системы координат на угол <р задача сводится к одномерной, с пространственной координатой 2 = х Согр + у Б1п?>. Сравнение с автомодельным решением показало, что при использовании СЮ х 6) узлов относительная погрешность численного решения не превышает 1Я.

Во втором примере рассматривалась задача в более сложной геометрической постановке, в которой новая фаза задавалась в виде тонкого прямоугольного слоя с одинаковой толщиной по " обоим направлениям, рис.8а. С течением времени новая фаза почти полностью поглощает исходную. Рисунки 8а, 86 дают наглядное представление о динамике расчетной сетки.

МОДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА О ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ. Принципиальные возможности двумерной адаптации рассмотрим на задаче другого класса,в которой ос новной особенностью является наличие в решении больших градиентов. С этой целью в исходном уравнении полагалось,что д =-и, а X =10"3. Для осуществления концентрации узлов в областях сильного изменения решения и квазиравномерного распределения в остальных,0 и Р задавались в

~ а-« ктибг-нп ■

'■-•е-а-'иданп-

где 0 , С - произвольные константы.

Рассматриваемая область задавалась в виде квадрата. Граничное условие и=1 помещалось на одной из главных диагоналей, в перпендикулярном направлении к которой существует аналитическое решение

иС 1) =[ ехрС -1/Х4 ) - ехрС С 2-1) /X1 /а) ] /С 1 -ехрС -2/Х1 /а )

В расчетах использовалась ортогональная сетка с равномерно распределенными узлами СЮ х 10). Размеры одной ячейки сетки более чем в четыре раза превосходили характерную толщину пограничного слоя

I 3.3 *Ю~г. Расчеты велись до полного установления, а затем полученные значения сравнивались с точным. Конфигурация сетки на

что

а!

Рис. 9

момент установления показана на рис.9. Погрешность численного решенилв зоне пограничного слоя не превышала 2%.

Таким образом, выполненные расчеты свидетельствует о том, предлагаемый метод динамической адаптации является эффективным методом решения неодномерных задач математической физики.

4. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПЛАВЛЕНИЯ СИЛЬНОПОГЛОЩАЩИХ КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕД Фазовые переходы первого рода играют важную роль во всем технологическом диапазоне интенсивностей лазерного излучения, однако состояние общей теории фазовых превращений пока еще не позволяет дать ответы на некоторые существенные вопросы даже в случае таких, казалось бы. широко известных переходов, как плавление и испарение.

ЗАДАЧА О ЛАЗЕРНОМ ПЛАВЛЕНИИ И ИСПАРЕНИИ. Лазерное излучение распространяется вдоль оси х справа налево, попадая на поверхность тела частично отражается и частично поглощается, вызывая в зависимости от интенсивности и длительности воздействия

нагрев, пяавязнке ¿iff« иопараннв. В точках х = Гв1. к х « находятся грашш раздела сред: твердое тол© - жэдкссть "к

конденсированная ср-эда - газ,рис. 10.

•у

х-х.

"si

wKv

J

'SI

лазгр

Рис. 10

Пг-й лазерной создейстсии в зависимости от соотноаэнзя теакофя-зичвсках и огтичгокнх характеристик ваавстза рззлгчавт два кгхгхкэка поглощения кзкученкя: яоаэрхностшй к обьешшЗ. Обьеизое поглощеняз лазерного излучения описывается схзтькзй,ссстоядей иэ уравнений окг-рпш и переноса излучения. Описание процессов испарения к плаьгскзгй осуществляется в рамках совмавенЕого варианта задачи Степана

Краевые

0:

х = Г,

[СРСТ) Г 3 G [ах

УСЛОВИЯ: ТСх,0) =

а т

р

+ к G

а - е-;

l-

хстэ

а_т а к

si-

kV

X.

Ч

а т.

а х

а х 1 а т

ах * v !

= р,

k=s,l

х = х.

■Vsl

-1

X-lfc

а т а х

X < о

х < Г

si

/ < Г,

к У

т = £

kv

G«r = ACTSr>

р*

к kv

?v4v

" U),

Pk +

Pv <

U)?

Goexp(-( J )■)

pv= «т,г.м>.

T = fCT ,ю

Тс 3 Ру+ "УЧу -V ---«г

Рассмотрим воздействие лазерного импульса прямоугольной формы с

с полушириной 10~а

мишень толщиной 1

на алюминиевую

характеризуется

Б

с и интенсивностью 6=2-10® Вт/см2 см. Доля поглощенного излучения температурной зависимостью ACT).которая совместно с С СТ) и ХСТ), точке фазового перехода претерпевает скачкообразные изменения, т. е. претерпевают разрыв. Отметим,что одним из преимуществ метода динамической адаптации: является возможность работы с разрывными теплофи-зическими и оптическими характеристиками. Это обстоятельство позволяет резко повысить точность решения задачи в целом. На рис. 11

и

«г

На рис. 12, приведены временные зависимости t>slCt), oKvCt) и С О, характеризующие динамику

представлены временные зависимости температуры поверхности Т CU поверхностного поглощения G,rCt)

Т

О

X

Т

1

о

х

Т(К) G (Вт/смя)

Ряс. И

Ф V V (м/с) 300-i si &>

200

!

¡V i si I

o;i5

Рис. 12

\

100

V

-0.25

процессов плавления, испарения и кристаллизации.

С объемным выделением энергии связано качественное изменение решения. Рассмотрим типичный режим, характерный для импульсного лазерного распыления керамик типа УВагСиз07_х, обладающих невысокими по сравнение с металлами значениями коэффициентов температуропроводности Ю-«- №~ла?/с и поглощения * - 104-10всы-1 .что предопределяет объемный характер диссипации лазерного излучения. Отметим некоторые наиболее общие закономерности плавления и испарения керамики толщиной 100 мкм лазерным импульсом с т = 50 не и 6о= 107 Вт/см2. При достижении на облучаемой поверхности температуры плавления Ти от поверхности вглубь материала начинает распространяться фронт плавления. Ш-за. невысоких пространственных градиентов температуры начальная скорость плавления оказывается на несколько порядков меньше начальной скорости плавления при поверхностном источнике. Затем под совместным воздействием процессов объемного нагрева и плавления в приповерхностных слоях твердой фазы начинает формироваться температурный максимум, рис.13. Его пространственно-временное положение и величина определяются режимом воздействия и па -раметрами материала * и а. Наличие приповерхностного максимума температуры означает,что некоторый объем твердой фазы оказывается перегретым относительно равновесной температуры плавления Тщ.Под воздействием интенсивного поверхностного испарения, и объемного выделения энергии в жидкой фазе начинает, формироваться второй температурный максимум,рис.14. В отличии от перегрева твердой фазы, метастабильное состояние в жидкости сохраняется вплоть до окончания импульса. Полученные результаты свидетельствуют о возможности при лазерном воздействии глубокого захода в метастабильную область. Дальнейшее изучение подобных явлений требует дополнительных экспериментальных исследований и разреботки новых математических моделей.

ДИНАМИКА ПЛАВЛЕНИЯ СИЛЬНО ПЕРЕГРЕТОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА. В случаях, когда физические условия допускают возникновение сильно перегретых состояний, применение классического варианта задачи Стефана для описания динамики фазовых превращений становится проблематичным по причине того, что автомодельное решение в начальный момент времени обращается в бесконечность. Устранение сингулярности в решении на малых временах требует внесения изменений в исходную математическую модель, описывающую фазовый переход.

Рассмотрим твердотельный стержень конечной длины I с начальной

T (K)

G (MW/cm8)

T (K)

G (MW/cm8)

температурой То,существенно преььшаедей равновесную температуру плавления Тк. Корректнее ¡¿атематнческсе описание процесса плавлений требует учета зависимости температуры фазового перехода от давления ТЕСР) и привлечения.полной системы гидродинамических уравнений с уравнением энергии,описывающих перекос энергии и изменение плотности:

г а р а

+ —- С р-и 3

д х

а I

а а

—- С р-и 3* —

а I ах

о

р-и )= - -

а Р

а х

а

а I

р-

а х

с р-и ) +

а х!. а т

а х

Х.СТЗ-

а х

к = Б,!

х < X < Г .

о е1

Г , < X < X.,

е1 Ь

х = Г.

«1'

р -о ,

5 51

Ъ 'Ч ' и1 + «.Р

+ Р5 = ^

(и

"и1 +

+ р,

а т

\ - ~ " К * а х 1

Численное

а Т.

а х

= I -р

«н ^г

Т.1 =

"51

решение задачи осуществлялось с помощью мэтода динамической адаптации. Основное преимущество данного подхода заключается в том, что переход к произвольной нестационарной системе координат позволяет избавиться от трудностей,связанных с подвижными границами,и производить расчеты по формула« сквозного счета.

Величина начального перегрева варьировалась в температурном диапазоне 70*300 °К. Моделирование показало, что в начальный момент времени скорость фазового фронта из-за огромных температурных градиентов на границе раздела фаз резко возрастает, что генерирует на поверхности раздела фаз давление Р8 порядка нескольких десятков килобар. Поскольку температура на межфазной границе является функцией давления Т81=ТтСР83, то с ростом давления растет температура Т^ и температурные градиенты на границе раздела выравниваются, что приводит к ограничению скорости ,рис.15.

Сравнение получаемых зависимостей *>в1С1) с автомодельным решени-

а

-ем С пунктирная линия), неограниченно возраставшим при I -» О, свидетельствует о том, что учет гидродинамических эффектов позволяет получать конечные значения скорости фазового фронта и тем самым устранять область нефазкчности решения.

Таким образом, исследование динамики плавления в веществе, находящемся в исходном метастабильном состоянии, .при помощи задачи Стефана в гидродинамическом приближении дает разумные физические результаты и позволяет установить один из возможных механизмов ограничения скорости фазовых превращений.

5.ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕТИКИ ПОВЕРХНОСТНОГО ЛАЗЕРНОГО ИСПАРЕНИЯ

КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕД В ВАКУУМЕ Интенсивное поверхностное испарение является существенно неравновесным процессом. Кроме термодинамической керавновесности, в этом процессе имеется также гозскинетичесхая неравновесность в тонком Скнудсеновском) слое пара, непосредственно примыкающем к поверхности раздела фаз. Поэтому в отличие от плавления, которое в ряде случаев удовлетворительно описывается в рамках классической задачи Стефана, при анализе поверхностного испарения в общем случае необходимо рассматривать кинетику фазового перехода совместно с газовой динамикой в испаренном веществе.

Наиболее просто задача решается в двух предельных случаях,когда М=0 и М=1,т. к. в этих случаях поведение конденсированной среды пере -стает зависать от внешней газодинамической задачи, что существенно упрощает как формулировку задачи,так и ее последующее решение. Однако область реализации режима испарения с М=1 остается неопределенной .Эта проблема связана непосредственно с тем обстоятельством, что из-за нелинейности уравнений газовой динамики линия перехода решения с М <1 и М М , т.е. область трансзвукового режима испарения, не может быть определена заранее и зависит от искомого решения.

В режимах с М <1,которые реализуются, например, при испарении в газовую среду, давление которой сравнимо с давлением насыщенного пара, процессы в конденсированной и газовой средах оказываются взаимосвязанными, а величина М в граничных условиях заранее неизвестна и подлежит определению. Отметим, что уменьшение М не обязательно связано с наличием внешней газовой атмосферы. Так при испарении в вакуум изменение М на границе раздела фаз может быть связано с подогревом потока испаренного вещества (образование плазмы) или с быстрыми вариациями температуры поверхности, обусловленные,например,

Рис. 15

at (»i»}

Рис. 16 32

изменением интенсивности источника в при котором процесс испарения может тормозиться за счет реакции со стороны потока ранее испаренного вещества. Испарение в этих режимах носит нестационарный характер, основной особенностью которого является нелинейная зависимость кинетики фазового перехода от целого ряда параметров воздействующего импульса: интенсивности, скорости ее изменения длительности и т.п. Расчеты показали, что для описания поведения параметра М, характеризующего степень неравновесности испарительного процесса, не удается получить простых аналитических оценок, а требуется постановка вычислительных экспериментов. Математическое моделирование поверхностного испарения алюминия з вакууме при различных нестационарных режимах нагрева показало, что кинетика испарительного процесса в этих случаях оказалась более сложной, чем это предполагалось ранее.

На рис.16 представлены графики изменения величины М при модуляции интенсивности <30С1-а з1п(2лД1/т) ], которая включалась спустя 2 мкс после начала действия интенсивности 6о= 5-10® Вт/см2. Период модуляции т = 20 не. Расчеты показали, что поведение М существенно зависит от глубины модуляции а, причем решение задачи попадает в область М < 1 после значительного спада интенсивности и остается там почти на всем участке роста в.

6. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ . ПОВЕРХНОСТНОГО ИСПАРЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ОБРАЗОВАНИЯ ЛАЗЕРНОЙ ПЛАЗМЫ В ПАРАХ ВЕЩЕСТВА

При значениях интенсивности 6,.достаточных для ионизации испарившихся частиц, режим испарения качественно изменяется. Кинетика испарения как и в доплазменных режимах определяется двумя факторами: температурным и газодинамическим. Температурный фактор обусловлен вариациями температуры поверхности мишени,вызываемых изменением интенсивности лазерного импульса б8г. Газодинамический фактор обусловлен вариациями давления газовой среды, вызываемых сложным характером разлета вещества при образовании плазмы.

Математическая модель поверхностного испарения представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, состоящую из уравнения теплопроводности для конденсированной среды и уравнений радиационной газовой динамики для испаренного вещества. В эйлеровой системе координат , связанной с со скоростью движения фронта испарения, она имеет вид!

рСТ) ССТ) ГЦ _ п _£_! ) = - (ХСТ) Ц 1 . - Н < х < гку аь кУзх а х з х

а т

х = ' ХСТ) з х = ".г" К рк

" Ро^о* *ку5' Р,г + "к «кУ = V. Р«Сио +

а " ^г33 с+ ■ ^ = кст$г)

Р = 2 Рн{[~Т8Г],'3[СУ ^ ехрСЬгМг) вгГсСЬМ)" — м ]+

+Т8Г/ Т [1-2-Г-М-ехрСЬ^З-егГсСЬЮ ] ]

а р а

— + — С р Си * *ку3> = О

а ь а к к

а Ср и) а , Си + ^ а р -+ — р- ---

31 <эх1 2 * а х

а [р Се + и*/2)3 а г , Си + ^ку3*., 3 СР и)

+ _ [ р (£ + _— ] ] =

31 Зх 1 1 с * -1 Зх

3 V зв

3 х 3 х

- х < I.

й I

к — + хи К = «V ^Р- « = .

О -1

с! а- с! с+

— + *,. 6" = 0,--*„ = о, в = <г + в*.

с1 X у б X У 3

Здесь V - радиационный поток, поглощаемый поверхность!) мишени. Математическое моделирование поверхностного испарения алюминия в вакууме лазерным излучением с Х=1,06мкм и 6=5-10"ехр [-2СС1-т)/т)г1 Вт/см® выполненное по приведенной модели показало, что образование плазмы вызывает не только уменьшение потока испаренного вещества, но и приводит к полному прекращению испарения, несмотря на высокую температуру поверхности, рис.17. Параметр М принимает при этом отрицательные значения М <0. В результате испарение происходит в двух коротких промежутках времени, где М>0. Первый период испарения обусловлен лазерным излучением. Второй период испарения обусловлен

Рис. 17

потоком собственного излучения плазмы максимальная величина

которого достигает 10 % от в. Испарение при этом происходит со скорость», значительно меньшей максимальной, М = 0,1. Появление новой доли испаренного вещества увеличивает оптическую толщину плазмы, что ослабляет поток У£г и приводит к соотношениям рн < рр, М < 0.

Таким образом,рассмотрение основных аспектов проблемы поверхностного испарения металлов лазерным излучением свидетельствует о большой роли газодинамических явлений даже при испарении в вакуум. Их роль значительно возрастает при лазерном воздействии на вещество в средах Сгаз,жидкость) с контролируемым давлением.

7.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛАЗЕРНОГО ИСПАРЕНИЯ В СРЕДУ С

ПРОТИВОДАВЛЕНИЕМ Воздействие достаточно интенсивных лазерных импульсов на поглощающие конденсированные среды сопровождается их нагревом и изменением агрегатного состояния. В металлах развитое испарение происходит из жидкой фазы и, таким образом, описание лазерного испарения должно содержать два фазовых перехода: твердое тело -жидкость и жидкость -пар.При конвективном режиме испарения (диффузионный механизм не рассматривается) испаренное вещество оттесняет холодный газ и между ними существует четкая граница в виде контактного разрыва. В газовой среде под выталкивающим действием паров возникает волна сжатия, переходящая при достаточной интенсивности испарения в ударную волну.

Схематически общая картина физических явлений , сопровождающих лазерное испарение, представлена на рис. 18: Из этого представления следует, что основной особенностью математического описания является

наличие четырех подвижных границ: двух фазовых - и Г^, контакт-

и- и

твердое тело Г жидкость

х=0

1 I М К I

*Т жидкость парч"*

к |

в о з=д у х ■ лазер

г г г г

^ку уд

х=хь

плавление испарение | ударная волна

контактная граница Ри0,

ного разрыва Гуд и ударной волны Гу.

Для получения информации о процессах в зоне облучения математическое описание лазерного испарения металлов производится с учетом распространения в конденсированной среде акустических возмущений.

обусловленных быстрым изменением плотности рСх) и фазовыми превращениями вещества.

Математическая формулировка задачи сводится к нелинейной системе уравнений в частных производных, записанных для четырех подобластей (М £}, ПуС£), ПдС £) и разделенных двумя

межфазными Г81С£), ГкуС£) и одной контактной 1) границами: 3 р д

[

а х

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ, х = Г

(р.и)=0 ]п> I1 Эх1 }

ги^Т )ь^м8*т)]-

а , ч а этт

- Г Р и I + -ХСТЗ--. I

а х к 1 а х ах

р V , = р, Ги - и, + о , 1,

г5 81 Г1 I в 1 )

а £ а

а

а

а

,у,в

1 + = "Г К" и1+ + Р! '

а т а т, х —5 - х —1 = 8 а х

I дх '№Тт

X = Г,

кУ

X = Г

уд

а т

к— к а х = 'б + Цг'р,

Рк^кУ = Ру'К"

рк -к\ + Рк = ¿V

т = т , И = V ,

V 0 V д'

ру=гст8г,ю, ту=гст5г,ю

к = 5.1

Р = р

V д

сложных явлений, из которых наиболее важными является: 1) поверхностное испарение в среду с противодавлением; 2) генерация и распространение ударных волн в газовой среде;3) формирование и распространение в конденсированной среде оптоакустических сигналов.

Первые две проблемы тесно взаимосвязаны. Испарение в среду с давлением порядка атмосферного начинается в дозвуковом режиме М <1 , когда возмущения, возникающие в газовой среде, распространяются против потока и могут достигать поверхности раздела. Поэтому возникнове-

v

нпе ударных волн может оказывать непосредственное влияние на процесс испарения. В этой связи актуальным становится вопрос о расчете ударных волн, представляющих собой сильный газодинамический разрыв.

Решение сформулированной математической модели осуществлялось с помощью метода динамической адаптации. Алгоритм вычислений на j+l-м временном слое ) представлен на схеме,рис. 19. Выделение границ разрыва а раздала сред с различными физическими свойствами при использовании однородных разностных схем достигается за счет определения ск&зго рэшения на каждом временно« шаге с помощь» вложению: итерационных процедур. Во внешнем цикле определяются величины на фазовах и раэркЕнкх границах, а во внутренних - пространственные профили газодинамических и энергетических величин.

Рассмотрим процесс лазерного испарения алюминиевой мишени,по«е-

с ,]-го слоя

Рис. 19.

"функций на j+l-oм слое" щенной в воздух с давлением 1 бар, лазерным импульсом длительностью т = 3-10"'с и интенсивностью в = 6-ехрС-Се/т)г), Б = 4-Ю7 вт/см*.

О 1 О

В описании процесса лазерного воздействия удобно выделить 4 стадии: нагрев, плавление, испарение и последействие,связанное с эффектами распространения возмущений в газе и конденсированной среде.

Стадия нагрева характеризуется быстрым ростом температуры приповерхностных слоев мишени и прилегающего холодного слоя газа Доминирующим процессом на этой стадии является теплоперенос.

Стадия плавления носит пороговый характер и начинается в момент и*-30нс) достижения поверхностью равновесной температуры плавления Тт=933.6 К и характеризуется высокой скоростью движения межфазной границы 40м/с, что приводит к многократному увеличению новой

области. Газовая среда не претерпевает принципиальных изменений

Стадия испарения М > 0 начинается в момент не, когда дав-

Т (К)

5000 1

Рис. 20

\

1600 1290

eoo

400

U (m/s)

solid

o

13000

8000

4000

200 220 T (K)

solid

200

220

240

240

p (g/cm3 )

X (am)

260

X (fim)

"чс. 22

ленив настенного пара Рн начинает превышать давление воздуха Рд вблизи мишени. Поведение процесса определяется влиянием двух факторов: температурного я газодинамического. На рис.20,21 приведены временные зависимости двух важнейших характеристик процесса: скорости испарения , измеряемой в числах Маха МС1),и температуры поверхности Твг Из зависимости МС I) следует, что начало С^ - 14 не) и конец СI % 39 не) процесса испарения при наличии внешнего давления носит пороговый характер. Максимальное значение М % 0. % достигается после прохождения максимума интенсивности,однако, происходит это значительно' раньше СI % 3 не), чем достигается максимальное значение температуры поверхности конденсированной среды. В дальнейшем, несмотря на рост температуры Т5Г , значение М уменьшается и обращается в нуль при Т8Г % 3500 К,т.е.прекращение испарения определяется газодинамическим ¿{актором, т. к. температура поверхности в этот момент все еще на много превышает температуру кипения Ть при нормальных условиях. Отметим, что при выбранных параметрах значение числа Маха нигде не выходит на единицу, то есть торможение потока пара столь велико, что истечение паров на всем протяжении импульса происходит в дозвуковом режиме. Появление новой фазы С пара ) качественно изменяет и поведение воздушной среды. Быстро расширяющиеся пары приводят к сжатию воздуха и последующему образованию ударной волны, рис.22. За короткое время ударная волна выходит на свободную правую границу и в дальнейшем определяет скорость ее движения. Так как ударная волна представляет собой сильный разрыв, то все величины на ударной волне изменяются скачкообразно, а плотность ри быстро дос- тигает своего предельного ССга+1)/Ска-1)Э - шестикратного сжатия.

Последняя стадия процесса наступает после окончания лазерного импульса. Для нее характерны процессы кристаллизации,разлета паров, постепенное затухание ударной волны в газовой среде и распространение акустических сигналов в конденсированной среде.

Оптоакустический сигнал РЛ и определялся на левой закрепленной границе хо.Моделирование показало, что давление Р^СО.являясь наиболее чувствительной величиной, изменяется наиболее сильно при изменении внешних условий. Сравнение кривых РЛС1),свидетельствует о значительном отличии оптоакустических сигналов в зависимости от условий испарения. Эти особенности дают возможность использовать акустические возмущения в качестве основной характеристики для количественного сравнения с экспериментом в наносекундном диапазоне воздействия.

Отметим основные вычислительные особенности задачи. Пороговый характер возникновения и исчезновения новых областей с »¡акроскспи-ческккк размерамг на начальных стадиях и выходом их не. какро урэ-ьз;-!ь к концу рассмотрения с вычислительной точки зрения представляет собой непростую проблему. За исключением твердой фазы размера вое:-: остальных подобластей увеличиваются на несколько порядков,что пред-ъязлзат высока© требования к механизму перестройка сетки, число узлов которой остается неизменным t течек:-:-: расчетов. Большие скорости прохэканкя процессов, высокие текяературк к скачкообразное изменение газодинамических величин, характеризующееся огромными пространствекно-аременшаа градиентами, делают неьозиойшм проведение математического коделяроьаииа традиционным!: методами.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Предложен новый метод численного решения нестационарных уравнений в частных производных - метод динамической адаптации. В основу метода положена идея перехода к произвольной нестационарной системе координат, в которой наряду с сеточншд функциями неизвестными являются и координаты узлов расчетной еэтаи. Управляемое распределение узлов осуществляется с помощь» искового решения и ' позволяет концентрировать узлы в областях быстрого изменения решения, а также решать задачи с подвижными границами и явным образом выделять поверхности разрывов в решений. Указанные особенности предлагаемого способа адаптации позволяет при одновременном повышении точности решения уменьшать число узnos сетки на 1 - 2 порядка. Метод апробирован ка рйде известных модельных примеров и задач, имеющих практическое значение, описываемых нестационарными уравнениями параболического, гиперболического и смешанного типов.

2. На примере численного решения нестационарных двумерных задач Стефана и пограничного слоя показана принципиальная возможность применения метода динамической адаптации к многомерным уравнениям.

3. С помощью математического моделирования, выполненного на основе метода динамической адаптации, исследована динамика перегретых метастабильных состояний, сопровождающих, в частности, импульсное лазерное плавление и испарение. Предложены математическая модель для описания предельно быстрого перегрева конденсированных сред и алгоритм ее численного решения. Полученные на их основе

результата по днкакик© плавления сильно перегретого метэяяа имеет, в отличие от автомодельного решения, фязнческай смысл во всем временном интервале.

4 Исследована математическая структура- мололи поверхностного испарения в трансзвуковом СИ < 1) pemte. С помощью математического -моделирования установлены роль и влияние температурного и газодинами ческих факторов на степень неравновесностк процесса испарения.

. 5. Исследовано влияние лазерной плазмы на процесс поверхностного испарения. Впервые показано, что газодинамический бактср - давление в плазме - может сказывать решающее влияние на процесс цспаренкя, вкзазая не только уменьшение его скорости, но может приводить и к изменению направления фазового перехода, т.е. на поверхности раздела $аз вместо испарения может происходить конденсация ранее испаренного вещества.

6. На основе метода динамической адаптации впервые выполнено математическое моделирования поверхностного лазерного испарения металла в среду с противодавлением,с явным выделением двух фазовых гра ниц, контактного разрыва к ударной волны. Моделирование, выполненное для указанной постановки; позволяет не только учитывать влияние внеш ней срэды_ на степень неравнсвесностя процесса испарения, но и определять акустичесхио Еозмущения, возбуждаемые лазерным излучением в конденсированной среде, которые можно использовать в качестве надежного средства диагностики в наносекундном диапазоне воздействия.

7. С помощью математического моделирования , выполненного на основе численного решения двумерных уравнений радиационной газовой динамки исследованы механизмы распространения плазменных образований в воздушной среде с контролируемым давлением 1-г-ЮО бар. Установлено, что при сколопорогозых значениях интенсивности лазерного излучения в области относительно низких давлений 1 бар реализуетсся светодетонационный режим разлета плазмы. С ростом давления свыше 10 бар светодетонационный механизм трансформируется в режим медленного радиационного горения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ :

1. Мажукин В. И..Углов А. А. ,Четверушкин Б. Н. Численное исследование динамики лазерной плазмы вблизи твердой поверхности при высоком давлении окружающей среды. ДАН СССР, 1981,т. 257,N 3,с.1100-1104.

2. Мажукин В. И., Углов А. А., Четверушкин Б. Н. 0 развитии

низкотемпературной лазерной плазмы в азотной среДе повышенного давления. Докл. АН СССР, 1981, т. 257, N 3. с. 584-589.

3. Волчинская М.И. .Мажукин В.И. .Репина Г.Е. ,Четверушкин Б.Н. Численное моделирование двумерной задачи о распространении плазменных разрядов. ЖВ и МФ, 1982, т.22, N 1, с.171-177.

4. Волчинская И.И., Мажукин В.И., Чурбанова Н.Г., Четверушкин Б.Н. Решение двумерных нестационарных задач динамики излучающего газа. IB и МФ, 1983, т.23, N S, с.1177-1185.

5. Мажукин В. И., Углов А.А., Четверушкин Б. Н. Низкотемпературная лазерная плазма вблизи металлических поверхностей в газах высокого давления. Обзор. Квантовая электроника. 1983,т. 10, N7, с. 679-701.

5. Мажукин В. И., Рыкалин Н. Н., Углов А. А., Четверушкин Б. Н. Способ газового азотирования металлических деталей. Авторское свидетельство N 1034428. Приоритет-6.07.1981. Регистрация-8. 04. 1983.

6. Мажукин В.И., Пестрякова Г.А. Математическое моделирование процессов поверхностного испарения лазерным излучением. Докл. АН СССР, 1984, т. 278, N 4. с. 843-847.

7. Мажукин В. И., Самохин А.А. Кинетика фазового перехода при лазерном испарении вещества. КЭ. 1984. т. 11, N 12, с. 2432-2437.

8. Мажукин В.И., Самохин A.A. Влияние нестационарного нагрева на кинетику развитого испарения. Труды III Всесоюзной конференции по тепломассообмену. Минск, 1984, с.13 - 17.

9. Mazhukin V.l., Samokhin A.A. Radiation-induced vaporatiom kinetics from a surface into vacuum. Preprint No 170, USSR Acad, of Seien. Lebedev Physical Ins., 1984, pp. 19.

10. Мажукин В. И., Самохин А.А. Влияние нестационарного нагрева на кинетику развитого испарения. Кр. сообщ. по физ. ,1984, N.3,c.9-13.

11. Мажукин В.И., Пестрякова Г.А. Численный анализ влияния эрозионной лазерной плазмы на процесс поверхностного испарения. Изв. АН СССР, Серия физическая, 1985, т. 49, N 4, с. 783-790.

12. Мажукин В. И., Пестрякова Г.А. Алгоритм численного решения задачи поверхностного испарения вещества лазерным излучением. ЖВ и МФ, 1985; т.253, N 11, с.1697-1709.

13. Мажукин В. И. Кинетика поверхностного испарения металла лазерным излучением. В кн. Воздействие концентрированных потоков энергии на материалы. М.: Наука, 1985, с. 182-199.

14. Мажукин В. И., Углов А.А. Лазерная плазма вблизи поверхности металлов в газах высокого давления. Физика и химия плазменных

металлургических процессов. М.: Наука, 1985, с. 123-159.

15. Мажукин В. И., Сааохии А. А. О некоторых особенностях математической модели интенсивного поверхностного испарения вещества. Докл. АН СССР, 1985,т. 985, Н 4, с. 830-833.

16. Мажукин В. И. , Самохин А.А. Математическое моделирование фазовых переходов и образования , плазмы при действии лазерного излучения на поглоаавщие конденсированные среды. Обзор.В кн. Математическое моделирование. Нелинейные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Наука, 1987, с.191-244. .

17. Ларьки Н. А., Мажукин В. И. Математическое моделирование задачи Стефана на адаптивных сетках. Диф. уравн. ,1987,т. 23,N7,с. 1154-1160.

18. Н. А. Дарьин, В. И. Мазукик, А. А. Самарский. Конечно -разностный метод решения уравнений газовой динамики с использованием адаптивных сеток. Препринт Инст.прикл. математ. им. М. В. Келдыша АН СССР N 115, 1937 , 38 с.

19. Дарьин Н. А., Мажукин В. И. , Самарский А. А. Конечно-разностный катод решения нестационарных двумерных краевых задач на адаптивной сетке, динамически связанной с решением. Препринт Икст. прикл. математ. им. М. В. Келдыша АН СССР No 117,1987 , 27 с.

20. Дарьин Н.А., Мажукин В.И. Об одном подходе к построению адаптивных разностных соток. ДАН СССР,1988, т. 299, Ы 1, с.64-68.

21. Дарьин Н.А., Мажукин В. И., Самарский А. А. Конечно - разностный кетод реаения одномерных уравнений газовой динамики на адаптивных сетках . ДАН СССР, 1988, Т. 302, N 5, с.1078-1081.

22. Дарьин Н. А.'.Мажукин В. И. Об одном подходе к построению адаптивных сеток для нестационарных задач. ЖВ и МФ, 1988, т. 28, N<¡3, с. 454-460.

23.Дарьин Н.А. .Мажукин В.И. .Самарский А.А.Конечно - разностный метод решения уравнений газовой динамики с использованием адаптивных сеток .динамически связанных с решением. ЖВиМФ,1988,т.28,No 8,с. 1210-1225.

24. Мажукин В. И. Математическое моделирование проблемы Стефана на адаптивной сетке. Тепломассообмен-ММФ,/HEAT/MASS TRANSFER-MIF/, Проблемные доклады. Международный форум, Минск, 1988, с. 125-139.

25. Бреславский П. В., Мажукин В.И. Математическое моделирование процессов импульсного плавления и испарения металла с явным выделением фазовых границ. ИФЖ, 1989, т. 57, N1, с. 107-114.

28. Василевский В. Ф., Мажукин В. И. Численные расчеты температурных волн си слабыми разрывами на сетках с динамической адаптацией. Дифференциальные уравнения. 1989, т. 25, N 7, с. 1188 - 1193.

27. Дарит Н. Л., Мгжуккя В. И. Мтгематкческоз ыоделаро&уша нестационарных двушрных краэгых задач на саксах с дйнаккчэспой адаятаакей. Натекат. иоделарованиэ, 1S89, t. 1, !! 3, с. ¿9-43.

28. Василевский В. Ф., Мажукик В. К. Расчет ударник волн на сотках с динамач&кой адаптацией.Ifcenp. ЙГШ им.М. В. Кеядкза АН СССР Н 37, 19-30, £9. Гуооз К. Б,, Мажукш В. И. Катбматкческоа медэпйрозакиз ккитахк оптического прсйоя г парах аяшшшя. Препринт Кист, прикя. ü&tcu. ка. Н.Э. Кеядыаг АЯ СССР, 1SS0, II 22, 34 с.

30. ВЛ1. Дакоува Д. Ю. Принцип;! всотро-гная дикаиачзски адгптк-

руотпгся к psseßßsi ссто?.. Ма?. модеюр. 1Q20, т.Е, Н 3, с. 101-118. .31. Бргом&еЕвЗ II. 3., ¡&гукна В. И. , Такоеаа Л. й. Матекатаческоа моделирован;:® лазерного плавления и испаронкя однородных материалов. Пакет IASTSC - 1. Прапркат Всесоюзного Цэнхра Математического кодеяировакзя АН СССР, К 22, 1S31 г., 40 с.

32. Бреславский П.В.,Мажукия В.И. ,Самохин A.A. 0 га£равянаг.ачгс&сн варианте задачи Стефана для вещества в гктастйЗильиом состоянии. Докл. АН СССР, 1991. т. 320. N 5, с. 1088-1092.

33. Горелик А. Г. .Дубинин Н. В. ,Масукип В. И. ,Куза$грэз X. А. 0 &5ха-низме разрушения подашарсв лазерным излучением, Прэпринт Бсбсозз-ного Центра Математ. моделирования АН СССР, Ii 7, 1Ö31, 14 с.

34. Бреславский П.В., Мажукин В.И. Алгоритм численного рееения гидродинамического варианта задача Стефана при поуощи адаптируших ся сеток. Матем. моделирование. 1931, т. 3, К 10, с.104-1115.

35. Mashukin, V.I., Seranler. U., Breslavskij, P.V., Takoava, L. Yu. Mathematische Modellierung des Laserschisalzens und -verdampfens homogener Materialien. Technische Universität, Chemnitz. Preprint Nr. 208/5. Jg./1991.

36. Mashukin, V. I. .Seaal er, U. , Breslavskij, P.V., Takoeva.L. Yu. Das Programmpaket LASTEC-1 гиг numerischen Simulation von Laseraateri-albearbeitungsprozessen. Cherrinitz. Preprint Nr. 209/5. Jg./1991.

37. Бреславский П. В., Мажукик В. И. Математическое моделирование процесса поверхностного испарения лазерным излучением ь среду о противодавлением. Препринт Инст. матем. моделир. РАН No2,1892 , 47 с.

38. Mazhukin V. I. .SnurovJ. ,Flaoant,G. Numerical Simulation of Dynamics of Laser Plasma. 11th Int.Sympos. on Plasma Chemistry, v.4, pp. 1298-1603. Ed. J.Harry. Symp. Proceedings, England, 1993.

39. Mazhukin,V.I..Smurov,I.,Flamant,G. Simulation of laser plasma dynamics. Influence of ambient pressure and intencity of laser

adiation. J. Comput.Physics. 1994, vol.Ill, Ho 3, pp.

0. Mazhukin,V.I.,Smurov,I. ,Flamant,G. Dynamics of Melting and vaporation in PLD:Numerical Simulation.Proceed. Symp. ICALEO'93,USA.

1. Mazhukin,V. I.,Smurov,I.,Flamant,G. Kinetics of Laser Plasma ormation in Metals Vapor. Proceed. Symp. ICALE0'93, USA, pp.

2. Мажукин В. И., Самарский А. А., Шапраноз А. В. Метод динамической даптации в проблеме Бюргерса. Докл. РАН,1993,т. 333,No2,с. 165- 169.

3. Мажукин В. И. .Самарский А. А. ,Кастельянос 0. Шапранов А. В. Метод лиамической адаптации для нестационарных задач с . большими ■радиентами. Математич. моделирование, 1993, т. 5, No4, с,32-56.

4.Мажукин В.И. .Гусев И.В., Шапранов А.В. Влияние метастабильных юстояний на процесс импульсной лазерной обработки сверхпроводящей :ерамики. Матем. моделирование, 1993, т.З, No 5, с.30 - 60.

,3. Мажукин В. И., Носов В. В. Влияние температурных зависимостей •еплофизических, оптических характеристик и уравнения состояния геталла на форму оптоакустического сигнала при лазерном юздействии. Матем. моделирование, 1993, т.5, No 5, с.3-29. ,6. Мажукин В. И., Лрудкозский П. А. .Самохин А. А. О газодинамических гра-[ичных условиях на фронте испарения. Пат. Модел. 1993,т.5,No6,с.3-10. П. Гусев И.В..Мажукин В. И. Анализ неравновесных явлений при >заимодействии лазерного ■ излучения с парам! металлов. Матем. !оделирование, 1993, т.5, No И, с.З- 32.

18. Мажукин В. И., Прудковский П. А.,Самохин А. А. Изменение энтропии ia фронте испарения. Математ.Моделирование, 1994,т.6,Noll,с.3-11.

19. Mazhukin,V. I. .Samarskii,A. A. Mathematical modeling in the -ochnology of laser treatment of materials. Review. Surveys on tathematics for Industry, 1994, V. 4, N 4, pp. 85-149.

Ю. Mazhukin,V. I.,Smurov,I. ,Flamant,G. ,Dupuy,C. Peculiarities of -aser Molting and Evaporation of Superconducting Ceramics. Thin Jolid Films. 1994, vol. 241, pp. 109-113

В.И. Мажукин 'Математическое моделирование воздействия лазерного излучения умеренной интенсивности на вещество.* 05.13.18. - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ.

Отпечатано на ротапринтах в Институте прикладной математики АН Заказ № 9. Тираж 75 эк о.