автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод численного решения релятивистских интегральных уравнений для системы двух частиц с нелинейной зависимостью от энергии связи

Введение

Глава 1 Постановка задачи и функциональные свойства операторов

§ 1.1. Физическая постановка задачи описания связанной системы двух частиц

§ 1.2. Постановка задачи в операторной форме

§1.3. Исследование свойств операторов

§ 1.4. Асимптотическое поведение собственных функций при больших значениях аргумента

Глава 2 Итерационный алгоритм и численные эксперименты

§ 2.1. Выбор аппроксимационной схемы исходного оператора

§ 2.2. Итерационный метод решения спектральной задачи с оператором, зависящим от собственного числа

§ 2.3. Программа

§ 2.4. Результаты численных экспериментов по исследованию сходимости итерационного метода к искомому решению

§ 2.5. Оценки погрешности вычисления собственных чисел и собственных функций

Глава 3 Результаты численного решения квазипотенциальных уравнений с нелинейной зависимостью от энергии двухчастичной системы

§ 3.1. Численное решение квазипотенциальных уравнений

§ 3.2. Расчет частот переходов между уровнями и ширин распада позитрония и димюония

Большинство явлений окружающего нас мира описывается нелинейными уравнениями. К ним относятся, например, проблемы плазмы и нелинейной теории поля, анализ движения заряженных частиц в электромагнитных полях, обратная задача теории рассеяния. Решение этих проблем характеризуется сложностью математической постановки задачи, необходимостью введения большого числа параметров, высокими требованиями, предъявляемыми к точности. Аналитические методы решения задач часто не справляются с этими трудностями, и возникает необходимость решать их численно.

Освоение и внедрение в практику прикладных разделов современной математики является одним из наиболее важных условий прогресса в области научных исследований. Численное решение практических проблем всегда интересовало математиков. Интенсивное развитие вычислительной техники в последние десятилетия позволило поднять на новый уровень возможности человека в изучении природы. Требование численного решения новых задач привело как к появлению большого количества новых методов, так и к интенсивному теоретическому исследованию уже известных.

В общей теории приближенных методов известно много фундаментальных результатов. К ним относятся, например, общая теория разностных схем, существенно развитая A.A.Самарским [1, 2, 3, 4], разработанные А.Н.Тихоновым методы решения некорректных задач [5, 6, 7,

8], идеи С.Л.Соболева, сыгравшие важную роль в приближенном решении задач математической физики [9, 10], исследования проекционных методов [11], работы Л.В.Канторовича [12, 13], метод конечных элементов [14, 15], и другие методы вычислений [16].

Обзор современных методов вычислительной математики можно найти в монографиях Г.И.Марчука [17], М.К.Гавурина [18], Н.С.Бахвалова [19]. Идеи функционального анализа [20, 21, 22] не только позволили существенно упростить взгляд на многие численные методы, но и привели к разработке принципиально новых вычислительных схем в проблемах линейной алгебры, дифференциальных и интегральных уравнений, нелинейного анализа и других. Различным методам численного решения матричных уравнений посвящены работы [23, 24, 25]. Экономичные численные алгоритмы для решения полной алгебраической проблемы на собственные значения можно найти в работах Б.Парлетта [26], Дж.Уилкинсона [27, 28] и Л.Коллатца [29].

Естественным средством решения многих задач является вычислительный эксперимент, результаты которого часто позволяют находить указания на ранее неизвестные явления. Физика, углубляясь все дальше в область непознанного и выдвигая научные концепции, все более полно и адекватно описывающие природу, ставит перед исследователями новые задачи. Решение этих задач требует появления новых подходящих численных методов и их совершенствования.

Диссертация посвящена разработке эффективных численных методов и алгоритмов для решения квазипотенциальных уравнений, описывающих связанную систему двух частиц, и применению этих алгоритмов в ряде практических задач, вычислению энергетических уровней и волновых функций связанных систем.

Исследование взаимодействия двух фермионов занимает одно из центральных мест в физике элементарных частиц и атомного ядра. Двухфермионные системы являются тем инструментом, с помощью которого формировались и уточнялись наши представления о фундаментальных силах, действующих в природе. Первые результаты квантовой электродинамики проверялись на таких двухфермионных системах, как атом водорода, позитроний, мюоний и другие [30, 31]. Математический аппарат выполненых расчетов основывался на уравнении Дирака [32].

Открытие <//Ф и 7~мезонов, состоящих из сс и 66-кварков, стимулировало дальнейший интерес к теоретическому описанию систем связанных частиц. Несмотря на создание в рамках локальной квантовой теории поля фундаментальной калибровочной модели сильных взаимодействий квантовой хромодинамики, обзор идей которой представлен в [33], проблема описания спектроскопии адронных состояний, как связанных состояний кварковых и глюонных полей, остается нерешенной. Однако, спектроскопия семейств 7/Ф и 7-частиц с хорошей точностью описывается потенциальной моделью с феменологическими потенциалами. При этом интересно отметить тот факт, что спектроскопия кварконие-вых систем во многом похожа на спектроскопию атома водорода и позитрония.

В квантовой теории поля для описания связанных состояний применяются различные волновые уравнения. В работе Н.Н.Боголюбова и его сотрудников [34] рассматривается динамическая модель мезонов, как связанного состояния кварка и антикварка, на основе релятивистски инвариантного уравнения с факторизующимся потенциалом. С помощью уравнения Бете-Солпитера [35] для двухчастичных систем были рассчитаны релятивистские модели адронов [36, 37]. Модель, основанная на уравнении Бете-Солпитера, не лишена трудностей. Во-первых, двухчастичная волновая функция этого уравнения содержит зависимость от относительного времени составляющих частиц, которое не имеет аналога в нерелятивистской квантовой механике и поэтому трудно поставить граничное условие для волновой функции по этой переменной. Во-вторых, в случае времениподобного интервала между частицами вероятностная интерпретация волновой функции затруднена. И, наконец, в этой модели приходится делать различные допущения [36, 38], чтобы избежать трудностей с принципом Паули.

В физике элементарных частиц широкое применение получил метод одновременного описания связанных систем релятивистских частиц, предложенный А.А.Логуновым и А.Н.Тавхелидзе [39]. Целый ряд работ этих авторов [40, 41], а также В.Г.Кадышевского [42, 43, 44] и Р.Н.Фаустова [45, 46] посвящен различным результатам по развитию и применению этого метода. С его помощью описаны спектры уровней энергии, с высокой точностью найден магнитный момент водородоподобного атома. В рамках составной кварковой модели адронов найдены асимптотические выражения для электромагнитных формфакторов адронов и структурные функции глубоконеупругого рассеяния, исследовано поведение сечений инклюзивных процессов множественного рождения при высоких энергиях и больших передачах импульсов. Наличие четкого физического смысла и вероятностной интерпретации позволило одновременному подходу занять важное место в задачах адронной и кварковой физики. Следует отметить преемственность этого метода с трехмерным аппаратом потенциального описания, который применяется в нерелятивистской квантовой механике. Поэтому уравнения, возникшие в результате применения одновременного подхода, получили название квазипотенциальных.

Для построения квазипотенциала может использоваться метод, основанный на применении физической амплитуды рассеяния, которая считается при этом заданной, например, фейнмановскими диаграммами теории поля [46, 47]. Но применение этого метода требует доопределения, поскольку амплитуда рассеяния известна только на энергетической поверхности, а квазипотенциальное уравнение пишется вне ее. В работе

39] применялся метод построения квазипотенциала с помощью двух-временной функции Грина, которая определяется и вне энергетической поверхности. Такой подход является более последовательным. Квазипотенциальные уравнения записывают преимущественно в импульсном представлении. Это связано с тем, что потенциал взаимодействия, который выражается через амплитуду рассеяния, записывается изначально в импульсном пространстве, а также в выражения для формфакторов и структурных функций адронов входят волновые функции в импульсном представлении. В работах Б.А. Арбузова, А.А.Архипова, В.И.Саврина, Н.Б.Скачкова и Р.Н.Фаустова [48, 49, 50, 51, 52, 53, 54] были получены уравнения с квазипотенциалами, зависящими от полной энергии системы. В диссертации рассмотрены подобные уравнения для системы двух частиц равной массы.

Были достигнуты определенные успехи в построении точных решений уравнений с квазипотенциалами, отвечающими различным типам взаимодействий [55, 56, 57, 58, 59, 60, 61]. Однако, в большинстве случаев попытки найти точное решение уравнения с более или менее реалистичным потенциалом наталкиваются на непреодолимые пока трудности. Известные методы приближенного исследования таких уравнений (квазиклассика, теория возмущений по константе связи и другие) не дают полного представления о поведении волновых функций и спектра масс в наиболее интересной области констант связи для частиц, составленных из легких кварков (для которых существенную роль играют релятивистские и непертубативные эффекты). Широкое применение квазипотенциального подхода требует появления новых численных методов решения квазипотенциальных уравнений. В диссертации разработан метод решения квазипотенциального уравнения, принимающего в импульсном пространстве вид интегрального уравнения, содержащего нелинейную зависимость от собственного числа — полной энергии системы.

Неуклонное расширение области приложения интегральных уравнений стимулировало интенсивную разработку их теории [62] и особенно приближенных методов решения. Появилось много работ по исследованию свойств различных типов интегральных уравнений, а также возможностей методов решения. При этом методы аналитического решения, основанные на понятии резольвенты, представляя собой мощный инструмент для исследования ряда практических задач, имеют вполне естественные ограничения в приложениях, поскольку ориентированы на определенный, далеко не полный круг задач и трудно реализуемы на ЭВМ. В то же время, интегральные преобразования [63, 64] представляют собой эффективный аппарат решения многих интегральных уравнений специального вида. Достаточно широкое применение для этой цели нашли, в частности, преобразования Фурье и Меллина.

В связи с этим новый толчок в развитии получили ставшие уже классическими метод конечных сумм, проекционные и итерационные методы. Одним из самых действенных методов является сведение задачи решения интегральных уравнений к решению аппроксимирующих систем алгебраических уравнений, получаемых заменой интегралов конечными суммами. Метод квадратур [65, 66] широко распространен в практике, поскольку достаточно универсален в отношении принципа построения алгоритмов решения как линейных, так и нелинейных уравнений.

Ряд методов решения интегральных уравнений основан на представлении приближенного решения функцией определенного вида, зависящей от свободных (неопределенных до окончания процесса решения) параметров [11]. В зависимости от способов представления приближенного решения и определения свободных параметров различают те или иные методы решения интегральных уравнений. Достоинствами метода наименьших квадратов [11] являются независимость вычислительных процедур от вида решаемого уравнения и широкая область сходимости. Метод

Бубнова-Галеркина [67] является одним из наиболее общих в группе проекционных методов. Различные конкретные задачи можно решать методом Ритца или методом коллокации [68]. В диссертации метод Бубнова-Галеркина используется при дискретизации исходного уравнения.

Итерационные методы позволяют получить наиболее простые вычислительные алгоритмы решения интегральных уравнений. К тому же процесс решения нелинейных интегральных уравнений, несмотря на дискретизацию задачи каким-либо проекционным методом, часто не освобождает от необходимости применять итерационные процедуры при решении аппроксимирующих нелинейных конечных уравнений. В случае метода последовательных приближений сходимость обычно зависит от начального приближения и правой части (если она явно присутствует в уравнении). Таким образом, выбор начального приближения приобретает важное значение. Метод, предлагаемый в диссертации, является модификацией метода последовательных приближений.

Решение нелинейных интегральных уравнений является сложной задачей вычислительной математики, что обусловлено трудностями как принципиального, так и вычислительного характера. В связи с этим разрабатываются методы, специально предназначенные для решения нелинейных уравнений. К таким методам относится метод Ньютона - Канторовича, который во многих случаях позволяет решать вопросы обеспечения и ускорения сходимости итерационных процессов [13, 69, 70]. Отличительные качества метода состоят в том, что он дает требования к начальному приближению, отыскание которого также является важной самостоятельной задачей, для решения которой не существует общего подхода. Выбор начального приближения определяется либо более детальным априорным анализом решаемого уравнения, либо физическими соображениями, вытекающими из существа задачи, описываемой этим уравнением. При правильно выбранном начальном приближении метод обеспечивает высокую скорость сходимости получения приближенного решения.

Анализируя существующие пути решения нелинейных функциональных уравнений нетрудно заметить, что построение многих методов решения этих задач в той или иной мере связано с вопросом о существовании единственного решения рассматриваемой проблемы. Это обстоятельство предопределяет ограничения на классы задач, к которым можно применить полученные результаты. Проблема существования и единственности решения нелинейной задачи носит самостоятельный характер и в большинстве случаев достаточно сложна. Однако, при изучении многих задач современной физики часто выясняется, что имеется априорная информация о существовании и качественном поведении решения рассматриваемой задачи. Эту информацию можно получить из аналитического исследования задачи, различных физических соображений, из рассмотрения упрощенных модельных задач и другими путями. Поэтому, отделив проблему доказательства существования решения нелинейной задачи от проблемы поиска ее приближенного решения, можно существенно расширить класс задач, решаемых с помощью предложенного в диссертации метода.

Класс прикладных задач, сводящихся к нахождению собственных значений интегральных уравнений, весьма широк. Поэтому, несмотря на возможность применения в этих случаях некоторых из изложенных выше методов решения неоднородных уравнений, потребовалась разработка специальных методов решения задач на собственные значения, тем более что эти задачи часто оказываются более сложными [29, 67, 71].

В целом ряде случаев для решения квазипотенциальных уравнений, описывающих связанную систему двух частиц, можно использовать методы сведения интегральных уравнений к алгебраической проблеме собственных значений. Такая редукция исходного интегрального уравнения к задаче линейной алгебры, проведенная и в диссертации, является в настоящее время наиболее универсальным средством решения прикладных проблем. Решению линейной спектральной задачи, отвечающей уравнениям с различными типами квазипотенциалов, посвящено много работ, например [72, 73, 74]. Квазипотенциальное уравнение, описывающее взаимодействие кварка и антикварка, исследовалось в работе [75] Н.Б.Скачкова и А.В.Сидорова.

Естественно, что размерность задачи линейной алгебры зависит от параметра редукции, которым обычно является шаг разностной сетки. Наиболее простые и экономичные схемы дают решение, точность которого пропорциональна первой и второй степени этого параметра. Одним из эффективных подходов для получения приближенных решений высокой точности на основе схем, имеющих невысокий порядок апроксима-ции, является экстраполяция Ричардсона [76] по шагу дискретизации. Такая экстраполяция основана на регулярной зависимости погрешности от данного параметра. Линейная комбинация решений, полученных на сетках с разным числом неизвестных, имеет повышенный порядок точности по сравнению с каждым решением по отдельности. В диссертации экстраполяция Ричардсона применена для уточнения полученных собственных чисел и собственных функций. Оценка погрешности вычисленных приближенных решений является отдельной задачей. Погрешности энергетических уровней связанных систем можно найти в работах И.В.Пузынина [77].

Целью настоящей работы является постановка задачи определения энергетических уровней и волновых функций двухчастичной связанной системы как спектральной задачи с нелинейной зависимостью от собственного числа, разработка эффективного итерационного метода решения таких задач, обоснование этого метода, построение на его основе вычислительного алгоритма, оценка погрешности полученных решений.

С помощью предложенного метода в диссертации решаются уравнения с квазипотенциалами, зависящими от полной энергии двухчастичной системы, вычисляются частоты переходов между уровнями позитрония и димюония, а также вероятности распада этих двух систем.

Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих 11 параграфов, заключения, приложения, списка литературы из 117 наименований.

Заключение

В диссертации рассмотрены и решены вопросы, связанные с численными методами решения нелинейных квазипотенциальных уравнений, описывающих связанную систему двух частиц. Получены следующие результаты.

1. Исследованы функциональные свойства интегральных операторов квазипотенциальных уравнений, содержащих ядро, описывающее взаимодействие: непрерывность и самосопряженность, асимптотика собственных функций при больших значениях аргумента.

2. Разработан итерационный метод решения спектральной задачи, интегральный оператор взаимодействия которой содержит зависимость от собственного числа. Метод основан на идее последовательного решения линейных спектральных задач, то есть на каждом итерационном шаге в оператор подставляется собственное число, полученное на предыдущем итерационном шаге.

3. На основе разработанного метода создано несколько программ для решения нелинейной спектральной задачи с разными ядрами взаимодействий, представляющие интерес для физических задач. Программы протестированы на модельной задаче. Проведены вычислительные эксперименты с целью изучения скорости сходимости алгоритма и машинного времени, требуемого для его реализации.

4. При помощи созданного комплекса программ получены энергетические спектры и волновые функции связанной системы двух частиц в скалярном и спинорном случаях, для релятивистского и нерелятивистского уравнений.

5. Получены значения величин разности энергий основного состояния орто- и пара- позитрония и разности энергий основного и первого возбужденного состояний ортопозитрония, а также значетшеширины распада основного состояния парапозитрония на два фотона, которые хорошо согласуются с экспериментальными данными. Рассчитаны частоты переходов в МГц между энергетическими уровнями (п = 1 — 4) позитрония. Величина ширины распада была вычислена для нерелятивистского, релятивистского скалярного и спинорного уравнений, что позволило оценить вклад соответствующих релятивистских и спиновых эффектов в окончательное значение ширины распада.

6. Рассчитано расщепление основного и ряда последующих возбужденных состояний димюония в МГц и ширина распада синглетного состояния димюония. Сравнение этих величин с результатами, полученными другими методами, показывает хорошее соответствие их друг другу. Ширина распада основного состояния парадимю-ония также была вычислена для нерелятивистского, релятивистского скалярного и спинорного уравнений.

7. Для высоковозбужденных состояний позитрония и димюония итерационным методом выполнены расчеты ширин распада этих составных систем, что представляет интерес для экспериментальной проверки в случае проведения соответствующих опытов.

8. Путем численных расчетов произведена оценка величин погрешностей частот переходов между уровнями энергии и ширинами распада позитрония и димюония, рассчитанными с помощью итерационного метода.

Разработанный в диссертации эффективный алгоритм и реализующие его компьютерные программы (при соответствующей модификации) могут быть применены для численного решения нелинейных задач на собственные значения с другим физическим содержанием.

Автор глубоко признателен своему научному руководителю доктору физико - математических наук Скачкову Н.Б. за содействие, а также автор благодарен кандидату физико - математических наук Соловьеву А.Г. за ценные консультации и помощь в работе, кандидату физико -математических наук Никонову Э.Г. и кандидату физико - математических наук Семенову A.B. за за полезные советы, а также другим сотрудникам ЛЯП и ЛИТ ОИЯИ за поддержку.

1. Самарский A.A., Гулин М.Н. Устойчивость разностных схем. — М.: Наука, 1973. — 415с.

2. Самарский A.A. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. — Вестник АН СССР, 1979, с.38 49.

3. Самарский A.A. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1983. — 616с.

4. Самарский A.A. Введение в численные методы. — М.: Наука, 1987.286с.

5. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. — ДАН СССР, 1963, т.151, с.501 504.

6. Тихонов А.Н. О некорректно поставленных задачах. — Вычисл. методы и программир., 1967, т.8, с.З 33.

7. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.1. М.:Наука, 1979. — 288с.

8. Тихонов А.Н., Леонов A.C., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. — М.:Наука, Физматлит, 1995. — 311с.

9. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — Изд. ЛГУ, 1950. — 314с.

10. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. — М.:Наука, 1974. — 296с.

11. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука, 1970. — 380с.

12. Канторович JI. В. Функциональный анализ и прикладная математика. — УМН, 1948, 3, N6, с.89 185.

13. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1984. — 752с.

14. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. — М.: Мир, 1977. — 349с.

15. Съярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. — М.: Мир, 1980. — 382с.

16. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. — М.: Наука, 1966. — 632с.

17. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1989. — 608с.

18. Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. — М.: Наука, 1971. — 248 с.

19. Бахвалов И. С. Численные методы. — М.: Наука, 1973. — 631с.

20. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. — М. .-Наука, 1965. — 520с.

21. Треногин В.А. Функциональный анализ. — М.:Наука, 1980. — 496с.

22. К amo Т.К. Теория возмущения линейных операторов. — М.:Мир, 1972. — 642с.

23. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — М.:Физматгиз, 1963. — 735с.

24. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1977. — 303с.

25. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984. — 318с.

26. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. — М.: Мир, 1983. — 382с.

27. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений.1. М.: Наука, 1970. — 564с.

28. Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. — М.: Машиностроение, 1976. — 389с.

29. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. — М.: Наука, 1968.503с.

30. Сдвиг уровней атомных электронов. Сб. статей под редакцией Д.Д. Иваненко. — М.: ИЛ, 1950. — 208с.

31. Новейшее развитие квантовой электродинамики. Сб. статей под редакцией Д.Д. Иваненко. — М.: ИЛ, 1954. — 216с.

32. Дирак П. Принципы квантовой механики. — М.: Физматгиз, 1960.434с.

33. Арбузов Б.А. Квантовая хромодинамика на больших расстояниях.

34. ЭЧАЯ, 1988, т.19, вып.1, с. 5 50.

35. Боголюбов H.H., Нгуен Бань Хъеу, Стоянов Д., Струминский Б.В., Тавхелидзе А.Н., Шелест В.П. Релятивистски инвариантные уравнения для составных частиц и формфакторы. — Препринт Д - 2075, ОИЯИ, Дубна, 1965.

36. Bette H.A., Salpeter Е.Е. Relativistic Equation for Bound—State— Problem. — Phys. Rev.,1951, v.84, 6, p.1232 1242.

37. Боголюбов H.H., Нгуен Бань Хъеу, Матвеев B.JI., Стоянов Д., Струминский Б.В., Тавхелидзе А.Н., Шелест В.П. Релятивистски -инвариантные уравнения для составных частиц и формфакторы. — Препринт Р 2141, ОИЯИ, Дубна, 1965.

38. Боголюбов П.Н. Магнитный момент связанного кварка и составная модель мезонов. — ЯФ, 1967, т.5, вып.2, с.458 464.

39. Greenberg О. Spin and unitary-spin independence in a paraquark model of baryons and mesons. — Phys. Rev. Lett., 1964, v.13, p.598 608.

40. Logunov A.A.; Tavkhelidze A.N. Quasi-opticale approach in quantum field theory. — Nuovo Cirri., 1963, v.29, p.380 399.

41. Logunov A.A., Tavkhelidze A.N., Khrustalev O.A. Quasipotential Character of the Mandelstam representation. — Phys. Lett., 1963, v.4, p.325- 326.

42. Логунов А.А., Тавхелидзе A.H., Фаустов P.H. Квазипотенциальный подход в квантовой теории поля. — М.: 1966, т.1, с.222.

43. Kadyshevsky V. G., Mateev M.D. On a relativistic quasi potential equation in the case of particles with spin. — Nuovo Cim., 1968, v55A, p.275- 300.

44. Kadyshevsky V.G., Mir-Kasimov R.M., Skachkov N.B. Quazi Poten-tional Approach and the Expansion in Relativistic Shperikal Function.- Nuovo Cim., 1968, v.55A, 2, p.232 257.

45. Кадышевский В.Г., Мир-Касимов P.M., Скачков H.Б. Трехмерная формулировка релятивистской проблемы двух тел. — ЭЧАЯ, 1972, т.2, вып.З, с.635 690.

46. Фаустов Р.Н. Уровни энергии и электромагнитные свойства водо-родоподобных атомов. — ЭЧАЯ, 1972, т.З, с.238 268.

47. Фаустов P. H. Квазипотенциальный метод в задаче о связанном состоянии двух частиц. — В кн.: Межд. зимняя школа теор. физики при ОИЯИ, т.2. Дубна: ОИЯИ, 1964, с. 108 116.

48. Филиппов А. Т. О построении квазипотенциальных уравнений в теории поля. — Препринт Р-1493, Дубна: ОИЯИ, 1964.

49. Капшай В.Н., Саврин В.И., Скачков Н.Б. О зависимости квазипотенциала от полной энергии двухчастичной системы. — ТМФ, 1986, т.69, с.400 410.

50. Архипов A.A., Саврин В.И. Асимптотическое условие LSZ и динамические уравнения в квантовой теории поля. •— ЭЧАЯ, 1985, т. 16, с.1091 1125.

51. Архипов A.A. Принцип причинности в проблеме одновременной редукции в квантовой теории поля. — ТМФ, 1986, т.66, с. 179 185.

52. Архипов A.A. Приближение одноглюонного обмена для квазипотенциала взаимодействия двух кварков в квантовой хромодинамике. — ТМФ, 1990, т.83, с.358 373.

53. Арбузов Б.А., Боос Э.Э., Саврин В.И., Шичанин С.А. Релятивистский кулоновский квазипотенциал и новые узкие резонансы в системах заряженных частиц. — ТМФ, 1990, т.83, с. 175 185.

54. Фаустов Р.Н. Некоторые свойства решений квазипотенциального уравнения — ТМФ, 1990, т.85, с.155 160.

55. Faustov R.N., G alkin V.O., Tatarintsev A.V., Vshivtsev A.S. Algebraic approach to spectral problem for the Schrodinger equation with the power potentials. — Preprint, hep-ph/9705421, 1997.

56. Fock V.A. Zur Theorie des Wasserstoffatoms. — Zc. Phys.,1935, 98, p.145 159.

57. Durand В., Durand L. Analytic solution of the relativistic coulomb problem for a spinless Salpiter equation. — Phys. Rev., 1983, D28, p.396 -406.

58. Дей E.A., Капшай B.H., Скачков Н.Б. Точное решение квазипотенциальных уравнений общего вида с хромодинамическим взаимодействием. — Сообщение Р2-85-472, Дубна, ОИЯИ, 1985.

59. Капшай В.Н., Скачков Н.Б. Точное решение ковариантного двухчастичного одновременного уравнения с суперпозицией квазипотенциалов однобозонного обмена. — ТМФ, 1982, т.53, 1, с.32 42.

60. Капшай В.Н., Скачков Н.Б. Ковариантные двухчастичные волновые функции для модельных квазипотенциалов допускающих точные решения. 1. Решения в импульсном пространстве. — ТМФ, 1983, т.54, 3, с.406 415.

61. Капшай В.Н., Скачков Н.Б. Ковариантные двухчастичные волновые функции для модельных квазипотенциалов допускающих точные решения. 2.Решения в релятивистском конфигурационном пространстве. — ТМФ, 1983, т.55, 1, с.26 38.

62. Капшай В.Н., Кулешов, Скачков Н.Б. Точные решения квазипотенциальных уравнений для некоторых аналогов потенциалов запирания. — ЯФ, 1983, т.37, с. 1292 1296.

63. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений.-1. М.:Наука, 1965. — 128с.

64. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.:Физматгиз, 1961. — 542с.

65. Краснов M.JI., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1976. — 216с.

66. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. — М.: Физматгиз, 1962. — 708с.

67. Мысов ских И. П. О методе механических квадратур для решения интегральных уравнений. — Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. Математика и астрономия, 1962, т.2, с.17 28.

68. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. и др. Приближенное решение операторных уравнений. — М.: Наука, 1969. — 455с.

69. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. — М.: Мир, 1969. — 447с.

70. Завадский Д.М. Аналог метода Ньютона для нелинейных интегральных уравнений. — ДАН СССР, 1948, 59, с. 1041 1044.

71. Белътюков Б.А. К решению нелинейных интегральных уравнений методом Ньютона. — Диф. уравнения, 1966, 11,6, с. 1072 1084.

72. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. — М.: Наука, 1965. — 250 с.

73. Жидков Е. П., Сидоров A.B., Скачков Н. Б., Хор омский Б. Н.Чтспек-ное исследование интегрального квазипотенциального уравнения для связанных состояний. — Сообщение ОИЯИ Р11-85-465, Дубна, 1985.

74. Жидков Е.П., Хоромский Б.Н. Многосеточный алгоритм решения частичной проблемы на собственные значения для класса матриц типа теплицевых. — Сообщение ОИЯИ Р11-84-470, Дубна, 1984.

75. Жидков Е.П., Никонов Е.Г., Хоромский Б.Н. Решение проблемы собственных значений для одного класса гиперсингулярных квазипотенциальных интегральных уравнений. — Мат. моделирование, 1989, т. 1, 11, с.77 91.

76. Сидоров А.В., Скачков Н.Б. Метод расчета спектров масс кваркония на основе квазипотенциапьного уравнения в импульсном пространстве. — Сообщение ОИЯИ Р2-84-502, Дубна, 1984.

77. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. — М.:Наука, 1979. — 320с.

78. Gocheva D.D,., Puzynin I.V. at al. High accuracy energy-level calculations of the rotational-vibrational weakly bound states of dd/л and dtfi mesic molecules. — Phys.Lett.B, 1985, v.153, p.349 352.

79. Грегуш M.M., Жидков Е.П., Макаренко T.M., Скачков Н.Б., Хо-ромский Б.Н. Решение релятивистской задачи двух тел с нелинейной зависимостью от спектрального параметра. Сообщение ОИЯИ Р11-92-142, Дубна: ОИЯИ, 1992.

80. Жидков Е.П., Макаренко Т.М., Хоромский Б.Н. Решение методом итераций квазипотенциального уравнения для двухчастичной системы с нелинейным вхождением спектрального параметра. Сообщение ОИЯИ Р11-93-210, Дубна: ОИЯИ, 1993.

81. Solov'eva T.M., Zhidkov E.P. Iteration method of solving the integral equation with nonlinear dependence on spectra parameter. — Сотр.Phys.Comm., Elsevier, The Netherlands, 2000, v.126/1, p.168 -177.

82. Solov'eva T.M. Numerical calculation of the energy spectrum of a two fermion system. — Сотр.Phys.Comm., Elsevier, The Netherlands, 2001, v.136/3, p.208 211.

83. Жидков Е.П., Скачков Н.Б., Соловьева T.M. Оценка точности численного решения спектральной задачи с оператором, зависящим от собственного числа. —Препринт ОИЯИ Р11-01-120, Дубна: ОИЯИ, 2001. Направлено в журнал "Математическое моделирование".

84. Скачков Н.Б., Соловьева Т.М. Результаты численного решения интегрального уравнения для системы двух фермионов. —Препринт ОИЯИ Р2-01-121, Дубна: ОИЯИ, 2001. Направлено в журнал "Ядерная физика".

85. Широков Ю.М. Релятивистская теория поляризационных эффектов. — ЖЭТФ, 1962, т.35, с.1005 1012.

86. Wick G.C. Proporties of Bethe Salpeter Wave Functions. — Phys. Rev., 1954, v.96, p.1124- 1134.

87. Cutcosky R.E. Solutions of Bethe Salpeter Equation. — Phys. Rev., 1954, v.96, p.1135- 1141.

88. R.M.Barnett at al. Particle Data Group. — Phys. Rev. D., 1996, v.54, n.l, p.21, 65.

89. Скачков Н.Б., Соловцов И. JI. Релятивистское трехмерное описание взаимодействия двух фермионов. — ЭЧАЯ, 1978, т.9, 1, с.5 47.

90. Двоеглазов В.В., Скачков Н.Б., Тюхтяев Ю.Н., Худяков С.В. Релятивистские парциальные интегральные уравнения для волновой функции системы двух фермионов. — ЯФ, 1991, т.54, 3, с.658 668.

91. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. — М.:Мир, 1977. — 358с.

92. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. —М.:Наука, 1967. — 416с.

93. Бронштейн И.Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.:Наука, 1986. — 544с.

94. Гавурин М.К. Об оценках для собственных чисел и векторов возмущенного оператора. — ДАН СССР, 1954, т.96, 6, с.1093 1095.

95. Бете Г., Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами —М.:Физматгиз, 1960. — 562с.

96. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.:Наука, 1981. — 544с.

97. Cowan Т. et al. Anomalous positron peaks from supercritical collision system. — Phys.Rev.Lett., 1985, v.54, p.1761 1764.

98. Tsertos H. et al. On the scattering-angle dependence of the monochromatic positron emission from U+U and U+Th collisions. — Phys.Lett.B, 1985, v.162, p.273 276.

99. Covan T. et al. Observation of correlated narrow-peak structures in positron and electron spectra from superheavy collision systems. — Phys.Rev.Lett, 1986, v.56, p.444 447.

100. Koenig W. et al. On the momentum correlation of (e+e-) pairs observed in U+U and U+Pb collisions. — Phys.Lett.B, 1989, v.218, p.12 16.

101. Ritter M. W. et al. Precision determination of the hyperfme structure interval in the ground state of posutronium. — Phys.Rev.A, 1984, v.30, p.1331 - 1338.

102. Fee M.S. et al. Measurement of Positronium l3Si 23S'i Interval by Continuous - Wave Two - Photon Excitation. — Phys.Rev.Lett., 1993, v.70, p.1397 - 1400.

103. Karshenboim S.G., K.Pachucki. Complete results for positronuin energy levels at order 0(ma6). — Phys. Re v. Lett., 1998, v.80, p.2101 -2104.

104. Adkins G.S., Sapirstein J. Order contributions to ground-state hyper-fine splitting in positronium— Phys.Rew.A., 1998, v.58, p.3552 3560.

105. Czarnecki A., Melnikov K., Yelkhovsky A. Positronium S-state spectrum: Analytic result at 0(ma6). — Phys.Rew.A., 1999, v.59, p.4316 -4330.

106. Karshenboim S.G., Jentshura U.D., Ivanov V.G. and G.Soff. Boundsystem. — Phys.Rev.A, 1997, v.56, p.4483 4495.

107. Karshenboim S.G., Jentshura U.D, Ivanov V.G. and G.Soff. Next to leading and higher order corrections to the decay rate of dimuonium. — Phys.Lett.В, 1998, v.424, p.397 404.

108. Козлов Г.А., Кулешов С.П., Саврин В.И., Санадзе В.В., Скачков Н.Б. О распаде связанного состояния д+^~-пары в е+е-далитц-пару и 7-квант. — ТМФ, 1984, т.60, с.24 36

109. Шапиро И. С. Разложение волновой функции по неприводимым представлениям группы Лоренца. — ДАН СССР, 1956, т. 106, с.647 649

110. Фаустов P.H., Хелашвили А.А. Условие нормировки для одновременной волновой функции связанного состояния двух частиц. — ЯФ, 1969, т.10, с.1085

111. Al-Ramadhan А.H. and Gidley D.W. New Precision Measurement of the Decay Rate of Singlet Positronium. — Phys.Rev.Lett., 1994, v.72, p.1632 1635

112. Dvoeglazov V.V., Faustov R.N., Tyukhyaev Y.N. Decay rate of a positronium. Review of theory and experiment. — Preprint, hep-ph/9306227, 1993.

113. R.N. Faustov, A.P.Martynenko Self-energy О (a2) correction to the positronium decay rate. — Preprint, hep-ph/0002281, 2000.

114. Czarnecki A., Melnikov K., Yelkhovsky A. o? corrections to para-positronium decay: a detailed description. — Preprint, hep-ph/9910488, 1999. Erratum: Calculation of a2 corrections to para-positronium decay. — Phys.Rew.A, 2000, v.62, p.1044 1052

115. Adkins G.S.j Fell R.N., Sapirstein J. Light-by-light scattering contributions to positronium decay rates. — Phys.Rew.A, 2001, v.63, p.308 -316.

116. Malenfant J. Cancellation of the divergence of the wave function at the origin in leptonic decay rates. — Phys.Rev.D, 1987, v.36, p.863 869.