автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов взаимодействия релятивистских частиц с плоскими волнами

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ С ПЛОСКИМИ ВОЛНАМИ

05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

ХАПАЕВ Андрей Михайлович

Москва —

1994

Работа . выполнена на физическом факультете Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор ИЛЬИНСКИЙ А. С. доктор физ.-мат. наук ОРЛОВ Н. Ю.

доктор физ.-мат. наук, профессор ХОЛОМАЙ Б. В.

Ведущая организация: Институт сильноточной электроники, г. Томск.

, ¿Ьс/екаТрЭ Защита состоится Г-1- на заседании

специализированного совета Д.053.05.37 при факультете

ВМК МГУ им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва,

Ленинские горы, 2 учебный корпус факультет ВМК МГУ,

аудитория 6-85.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ.

Автореферат разослан « ^ » __ тА г

Ученый секретарь специализированного совета

СЕЕВ Е. И.

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность теш. Диссертация посвящена, развитию ютодов математического моделирования процессов движе-шя и излучения релятивистских частиц в плосковолновых электромагнитных полях. Рассматриваются задачи, являющиеся математическими моделями экспериментов, связан-шх с созданием источников высокочастотного когерентно-'о излучения, решение которых основано на применении шалитических и численных методов. Некоторый разрыв, существующий меяду теоретическими: предсказаниями и результатами эксперимента, потребовал многостороннего под-года к изучению физических процессов, сопровождавших движение и излучение релятивистских частиц в плоских по-

1ЯХ.

Работы в области квантовой механики доказали прик-щпиальнуп возможность существования генераторов индуцированного излучения. С точки зрения квантовой механики газерами (лазерами) на свободных электронах называются гисто условно классические системы, в которых процессы гсшгения и генерации электромагнитного излучения осуществляется на основе квантовых переходов медду состояниями гепрерывного спектра. Они реализуются с -помощью пучков, щижущихся в макроскопическом поле. Интерпретация динаг-гаки и излучения частиц в рассмотренных полях - может быть гроведена на основе аналогии с синхротронннм излучением.

- 4 -

Постановке задачи об индуцированном излучении в квантовой механике в классической теории соответствует рассмотрение в начальный момент ансамбля моноэнергетических электронов со случайными фазами в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Индуцированное излучение в мазерах объясняется пространственной и фазовой группировкой слаборелятивистских частиц, ве- ■ дущей к образованию электронных сгустков и их когерентному излучению. Интенсивно разрабатывается теория лазеров на свободных электронах, генерация в которых основана. на излучении релятивистских зарядов под влиянием внешних сил, действующи: на заряд со стороны пространо-твенно-периодических магнитного или электрического полей, либо поля интенсивной электромагнитной волны, па- ' дающей на пучок. Для подобных типов источников излучения общим является наличие релятивистских частиц, взаимодействующих с плосковолновыми электромагнитными полями различной конфигурации.

Во многих теоретических исследованиях делаются приближения, сводящие область применимости полученных результатов к отдельным режимам работ. Поэтому использование численных методов для анализа взаимодействия релятивистских частиц с плоскими волнами является одним из распространенных методов исследования. Численные методы позволяют проводить оптимизацию эффективности

взаимодействия потока заряженных частиц на выходе из области существования высокочастотного электромагнитного поля.

Источники индуцированного излучения, принцип действия которых основан на взаимодействии релятивистских зарядов с плоскими волнами представляют собой макроскопические излучающие системы, но с их помощью можно генерировать колебания с длиной волны значительно меньшей характерных размеров этих систем, поэтому актуальность этой тематики постоянно повышается. За двадцать лет, прошедших со времени начала работ над данной темой, сведения, полученные о механизме индуцированного излучения и об особенностях движения релятивистских зарядов в плоских волнах, являются неполныни и неоднозначными. Следовательно, дальнейшее развитие данных исследований, проводимое в настоящей диссертации, должно оказаться полезным.

Цель "работы - установление закономерностей, описывающих динамику, излучение релятивистских частиц и ансамблей зарядов при взаимодействии с плосковолновыми высокочастотными электромагнитными полями. Построение на основе полученных интегралов движения нового метода исследования данной задачи, названного методом интегральных функционалов, и его применение для оценки- эффективности взаимодействия ансамбля зарядов с внешним полем.

- о —

Научная новизна. Весь крут проблем, затронутых в диссертации, обсуждается по состоянии на конец 199& года. В диссертации изложены основные результаты работ автора [1-45] , в которых

1. Установлена аналогия меяду квантовыми процессами спонтанного излучения, происходящими при движении электрона в поле циркулярно-поляризован-ной электромагнитной: волны и в магнитном поле.

2. Доказано существование тесной связи между описаниями квантовых явлений, в дискретном спектре и непрерывном, установлено влияние ориентации спина на интенсивность и поляризацию излучения заряда в поле плоской волны.

3. Предложен новый метод решения релятивистского волнового уравнения Клейна-Гордона в произвольном шюсковолновом поле.

4. В резонансном: случае (поле конфигурации Редмон-да) получено точное выражение для энергии ансамбля нелинейных осцилляторов как функции длины области взаимодействия с учетом граничных условий.

5. В поле волны с произвольной фазовой скоростью построены решения нелинейных дифференциальных уравнений, описывающие изменение энергии релятивистского заряда как функцию длины пролета об-

ласти взаимодействия о внешним полем.

6. Построены интегралы движения для релятивистских частиц в полях с переменными параметрами.

7. Предложен новый метод анализа задачи об излучении ансамбля нелинейных осцилляторов в переменных полях, основанный на построении интегрального функционала.

8. Поставлена и решена задача о взаимодействии заряда с полем волны, заданным в приближении эйконала - модель системы с распределенными параметрами.

9. Проведена оптимизация параметров ансамбля нелинейных осцилляторов и волны в синхротронном генераторе на основе метода Флечера-Ривса.

Научная и практическая ценность работы. Работа имеет теоретический и прикладной характер. Методы, развитые в диссертации, применялись при создании модели генератора индуцированного излучения с резонатором Фабри-Перо. Полученные в диссертации результаты существенно расширяют и дополняют представление о механизме образования индуцированного излучения при взаимодействии ансамбля релятивистских зарядов с полями различной- конфигурации и могут применяться также для решения следующих задач:

I. Влияние спина на интенсивность и поляризацию излучения.

- а -

2. Развитие квантовой теории движения частиц в постоянных полях.

3. Решение задачи Кош для нелинейного параболического уравнения.

4. Построение модели, описывающей эффективность взаимодействия ансамбля зарядов с полем волны с фазовой скоростью, равной единице.

5. Построение решений нелинейных дифференциальных уравнений. Фазовый анализ.

6. Определение динамических интегралов в полях с переменными параметрами.

7. Описание эффективности взаимодействия как решение уравнения Луффинга.

8. Моделирование резонансного процесса взаимодействия заряда с волной с распределенными параметрами.

9. Построение асимптотического разложения решения системы нелинейных дифференциальных уравнений. Условия применимости.

10. Анализ функционалов.

. II. Численная оптимизация эффективности взаимодействия.

Апробация работа и публикации. Основные результаты диссертации докладывались на У Всесоюзном семинаре по численным методам решения краевых задач электродинамики

Минск, 1975 г.), на 1У Всесоюзном семинаре по реляти-истской высокочастотной электронике (Москва, 1984 г.), а XII Всесоюзной конференции по когерентной и нелиней-:ой оптике (Москва, 1985 г.), на научной конференции Ломоносовские чтения" (Москва, 1978, 1985 и т.д.), а акже на- заседаниях кафедр математики, теоретической изики, радиофизики, оптики физического факультета МГУ. еме диссертации посвящено [4-^публикаций, ее содеряа-ие изложено в работах, приведенных в конце авторефера-а; там же приведены две диссертации на соискание степе-и кандидата физико-математических наук, выполненные под |уководством автора.

Структура я объем работы. Диссертация состоит из -(ведения, пяти глаз, заключения и списка цитируемой ли-'ературы из 235 наименований. Главы разделены на 16 па-)аграфов. Общий объем 290 отраниц, включая 41 рисунок.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении обосновывается актуальность темы, фор-1улируются основные задачи, цель работы, научная нониз-са, определяется ее научная и практическая ценность, фиводится структура диссертации.

В первой главе исследуется классическая и квантовая .•еория движения и излучения релятивистских зарядов во >нетаих электромагнитных полях, строятся новые решения

- 10 -

волновых -уравнений. В первом параграфе проведено полное исследование особенностей динамики и излучения электрона в поле плоской циркулярно-поляризованной электромагнитной волны с фазовой скоростью, равной единице, описываемой векторным потенциалом

Во втором анализируется подобная задача в смещенных полях. В третьем строятся, точные решения релятивистского волнового уравнения в плоской волне о произвольной фазовой скоростью и постоянном магнитном поле, параллельном направлению распространения волны

X. - + >

_ | ^

Ап = = ( к = с?Ф'

Ъ.-Нз^ъ+а**-)^.

Принципиально новыми в первой главе являются следующие положения.

Установлена аналогия между квантовыми, процессами спонтанного излучения, происходящими при движении электрона в циркулярно-поляризованной волне и в магнитном поле, т.е. основные характеристики квантовых процессов в волне следуют из общих свойств синхротронного излучения.

Найдены спиновые интегралы и построены волновые

- II -

функции электрона, являющиеся решениями уравнения Дирака в поле волны, разделенные по состояниям электронного спина. Установлено влияние ориентации спина заряда на интенсивность и поляризацию излучения.

Изучены квантовые поправки к интенсивности излучения бозойа и фермиона в поле волны, рассмотрен вклад квантовых поправок в энергию излученного фотона, определена область энергии, в которой вклад квантовых членов становится существенным, исследовано влияние квантовых флуктуацией на траекторию движения заряда в результате излучения.

Предлагается новый метод решения релятивистского волнового уравнения Клейна-Гордона в произвольном плосковолновом поле. Задача построения волновой функция сводится к анализу уравнения параболического типа с заданным начальным условием:

Для применения метода разделения переменных используется унитарное преобразование исходного уравнения теплопроводности. С помощью обратного унитарного преобразования восстанавливается" форма волновой функции. Для оценки эффективности предложенного метода проводится сравнение с

- 12 -

известными решениями, выяснен вопрос о влиянии стационарного магнитного поля и граничных условий на выбор решения и энергетический спектр.

Во второй главе на основе развитого классического метода анализа задачи электрон-волнового взаимодействия построено аналитическое выражение для эффективности взаимодействия зарядов с полем незамедленной плоской волны и с полем конфигурации Редмонда, как функции длины пролета при выполнении условия фазового синхронизма и при произвольных входных условиях. Исследован вопрос об эффективности взаимодействия ансамбля электронов ¿М в нерезонансном случав в рамках модели электронного "кольца"

Л/= * = &

В резонансном пределе подобный анализ проведен отдельно. Проведена оценка точности полученных асимптотических выражений; сравнение их с результатами численного счета показало совпадение в пределах оценок.

Сравнение эффективности энергообмена в плоской незамедленной волне (§4,6) в присутствии постоянного магнитного поля и без него показало, что общая картина

взаимодействия не меняется, но изменение параметров за счет появления расстройки $ = I - ^[сд , - (¿а/ делает колебания энергии ансамбля более плавными и с большей амплитудой.

Анализ сходимости ряда (§6), описывающего эффективность взаимодействия,

п-1

показал, что в пределах изменения параметров задачи, соответствующих оптимальному варианту, т.е. максимуму когерентного излучения (максиму?.! отдачи энергии ансамблем), с трудом удается построить корректное математическое описание электрон-волнового взаимодействия, так как параметр разложения ё & содержит безразмерные амплитуды полей 60 , расстройки $ . Их величины при максимуме электрон-волнового взаимодействия имеют один

порядок малости. Поэтому эффективность энергообмена ан-

'-г

самбля зарядов с волной, пропорциональная £ , является функцией, сходимость которой необходимо исследовать в каждом диапазоне параметров.

В резонансном пределе (§5, поле конфигурации Ред-монда) получены точные решения системы уравнений Максвелла-Лоренца и баланса энергии на основе анализа граничной задачи Коши. Результирующая эффективность взаимодействия ансамбля определяется как функция длины пролет-

ного пространства

¿'/«с

Л

Существование мазерного эффекта (индущрованное излуче-

ние электронов.

Третья глава посвящена анализу эффективности взаимодействия релятивистских зарядов с плоской волной с произвольной фазовой скоростью.

В поле волны (§7) получена система: нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее изменение энергии заряда У, и уравнение дога продольной координаты как функции обобщенного угла, включающие входные условия,

Построено семейство параметрических решений данной системы, выраженное через эллиптические функции. Диаграммы на фазовой плоскости дают возможность получить наглядную интерпретацию динамики электрона, установить условия отражения и захвата заряда волной, определяемые граничными данными. На основе построенных решений получены аналитические выражения для периода и амплитуды функции, описы-

ние)/1определяется тем же условием, что и отраже-

- 15 -

вающей изменение энергии релятивистского заряда в поле волны с произвольной фазовой скоростью. Анализ модуля эллиптических функций устанавливает границы области фазового синхронизма.

Включение стационарного магнитного поля (§8), параллельного вектору распространения волны приводит к тем же следствиям, что и при анализе взаимодействия с полем незамедленной: волны (глава П). Принципиально новым является необходимость определения условий, при которых множество корней потенциальной функции, устанавливающих тип решений, становится упорядоченным. На основе доказанной теоремы об изоморфности упорядоченного множества корней \lrfi} У^алосъ провести классификацию построенных решений и указать область применимости каждого из них

где й, £ , С определяются начальными условиями и краевыми.

В рамках развития метода аналитического решения системы нелинейных дифференциальных уравнений Максвелла-Лоренца и уравнения баланса энергии исследован частный' случай анализа поставленной задачи, соответствующий выполнению условия фазового синхронизма и фиксированному

значении угла влета электрона в область взаимодействия с полем электродинамической системы (§9)

где^р ., (о - функции Вейерпгграсса.

В четвертой главе развиваемый метод аналитического решения задачи определения эффективности электрон-волнового взаимодействия применяется для исследования процессов излучения в электромагнитных полях, представляющих собой довольно сложные конфигурации, интересные с практической точки зрения.

К ним относится прежде всего поле, являющееся суперпозицией стационарного магнитного спирального ондулятора и поля замедленной электромагнитной волны (§10).

Следуя методу, разработанному в главах П и Ш, формулируются интегралы движения, соответствующие симметрии задачи; на их основе выводится система двух параметрических уравнений, описывающих изменение энергии у и £ -компоненты импульса частицы в поле с постоянными параметрами с учетом входных условий

I

$ = /

Фазовый анализ нелинейного дифференциального уравнения, описывающего изменение энергии % релятивистского заряда, позволил определить период и амплитуду колебаний энергии при всех рассмотренных режимах электрон-волнового взаимодействия. Численное, моделирование задачи Кош при тех же условиях позволило установить границы применимости построенных; решений. Установлена аналогия развитого метода анализа динамики релятивистских частиц с исследованием уравнения Дуффинга $ + (¿/¿^с^м^'У^^

+ (УА) а ¿А*? в теоР™ нелинейных ко-

лебаний.

В § II исследуются уравнения движения заряда в поле бегущей волны, амплитуда и фазовая скорость (показатель преломления) которой зависят от длины пробега

- Л,, (л, -

Выясняются условия существования дополнительного интеграла движения, независимого от двух поперечных интегралов и дисперсионного соотношения. Зависимость амплитуды волнового вектора плоской волны от длины области взаимодействия не меняет тип уравнения, но приводит к

- 18 -

задаче с переменными коэффициентами.

В стоячей электромагнитной волне и стационарном магнитном поле (§12) построен интеграл движения , независимый от двух поперечных интегралов и дисперсионного, связывающий энергию и радиус вращения частицы

* -Г - -Ь)

обусловленный инвариантностью вектор-потенциала плоской электромагнитной волны относительно суперпозиции поворота, в плоскости, перпендикулярной движению, и сдвига по времени. Получена в канонической форме система нелинейных дифференциальных уравнений, разрешаемая при определенных ограничениях на входные условия. Доказана идентичность описания динамики электрона в поле стоячей электромагнитной волны и в волне с произвольной фазовой скоростью.

В рамках развитого метода последовательное приближение рассматриваемой задачи к реальной конфигурации полей привело к постановке и решению задачи о взаимодействии заряда с полем волны, заданным в приближении эй- " конапа (§ 13)

- модель системы с распределенными параметрами. Дополнительное условие (физическое ограничение на процесс

взаимодействия),

- условие фазового синхронизма обеспечивает режим максимального ускорения (замедления) заряда. Определение энергии заряда при выполнении условия фазового синхронизма в конфигурации полей с распределенными параметрами сводится к решению нелинейного уравнения, определяющего

А, В, В^, С, Д определяются параметрами задачи. Реализация данной схемы электрон-волнового взаимодействия проведена аналитически для модельной конфигурации электромагнитной системы.

Предложен и обоснован новый метод решения задачи об излучении ансамбля зарядов в переменных электромагнитных полях (§ 14), основой которого является асимптотическое разложение энергии заряда ^ по амплитуде волны б до второго порядка включительно

? У'(?) - переменные амплитуды волны и стационарного магнитного поля. Построен функционал, описывающий изменение энергии ансамбля зарядов

- 20 -

Проведенный расчет применим к трем типам конфигураций электромагнитного поля: стоячая волна, волна с произвольной фазовой скоростью, незамедленная. Исследование функционала позволило выявить основные факторы, влияющие на эффективность взаимодействия: выполнение условия фазового синхронизма, величина коэффициента закрутки. Сформулированы условия, позволяющие оценить остаточный член и установить пределы применимости асимптотического разложения, лежащего в основе построения функционала.

При математическом моделировании процессов взаимодействия релятивистских частиц с полями более сложной конфигурации (глава У) основным методом исследования становится численный эксперимент. На основе данного метода развита схема численного исследования энергетического состояния ансамбля нелинейных осцилляторов, использующая решение усредненных уравнений движения (§15). Для детального описания электрон-волнового взаимодействия кроме эффективности энергообмена введен второй интегральный показатель - фазовая группировка ансамбля, определена его зависимость от параметров поля, входных условий, длины области взаимодействия. Из анализа диаграмм, характеризующих поведение данных интегральных показателей, следует, что минимальная величина группировки соответствует максимальной эффективности взаимодействия, что совпадает с результатами аналитического ис-

- 21 -

следования данной задачи в главе П. На основе метода Флечера-Ривса проведена оптимизация параметров ансамбля нелинейных осцилляторов и доля электродинамической системы в резонатора типа. Фабри-Перо, обеспечивающая максимальную эффективность взаимодействия, определено оптимальное распределение амплитуды высокочастотного поля.

При моделировании процессов взаимодействия ансамбля зарядов с синхронной волной (§16) в нерелятивистском приближении формулируется трехмерная система уравнений, соответствующая описанию"самосогласованной задачи. В построенной модели удалось учесть нелинейные эффекты, связанные с влиянием и перераспределение пространственного заряда.

- 22 -

Основные результаты диссертации опубликованы'' в

сдедуищих работах.

1. Тернов И.М., Хапаев A.M., Клименко Ю.й.

К вопросу о движении электрона в пола плоской элек-. томагнитной волны. Вестник МИГ. Физика, 1967, Ш, 0.35-42.

2. Тернов Й.М., Багров В.Г., Хапаев A.M., Клоповский К. Излучение релятивистского заряда в электромагнитном

. л

поле плоской волны.

Известия вузов. Физика, 1967, Jfâ, с.77 - 84. á. Ternov IM.j Bag tor V-G. KliQpciev Л.Н.

Radiate of Ue zeCabinçUc cboije t(e.citomû<jneiic /¿еЫ. Я«na Pe.n Jet Ph(fs¿is}

4. Володин Б.А.,.Хапаев A.M.

Фазовая группировка и индуцированное излучение в

ансамбле нелинейных осцилляторов.

Деп. ВИНИТИ: от 3.01.1974, № 32 - 75, о.26.

5. Володин Б.А., Свешников А.Г., Хапаев A.M. Нелинейное взаимодействие спиральных электронных потоков с электромагнитной волной. Вычислительные методы и программирование. МГУ, 1975, № 24, с.298 - 311.

6. Королев А.Ф., Володин Б.А., Исламов P.M., Чапаев A.M. К вопросу о расчете синхротронного генератора с

- 23 -

резонатором Фабри-Перо.

У Всесоюзный семинар. Численные методы решения внутренних краевых задач электродинамики, '.Ьшск, 1975, с.97.

7. Володин Б.А., Ханаев A.M.

Оптимизация процессов фазовой группировки и индуцированного излучения в приборах типа МЦР. Обработка и интерпретация физических экспериментов, МГУ, 1976, с.172 - 182.

8. Ванке В.А., Хапаев A.M.

Математическое моделирование физических процессов в приборах с синхронной волной. Обработка и интерпретация физических экспериментов, МГУ, 1976, с.148 - 171^

9. Ванке В.А., Хапаев A.M. и др.

К •напинбйному анализу ЛЕВ с поперечным взаимодействием с синхронной волной.

Радиотехника и электроника, 1976, № I, с.149 - 157.

10. Володин Б.А., Хапаев A.M.

. К нелинейному- анализу взаимодействия поливинтовых электронных потоков с электромагнитной волной. Известия вузов. Физика, 1978, J6 10, fc.87 - 91,

11. Тернов И.М., Хапаев A.M., Володин Б.А. Динамика, релятивистских заряженных частиц в поле плоской электромагнитной волны и в голе Редмонда.

- 24 -

Вестник МГУ, Физика, 1980, J& 4, с.70 - 73.

12. Володин Б.А,, Хапаев A.M.

О решении одной граничной задачи движения и взаимодействия заряженных частиц с полем бегущей электромагнитной волна.

Дифференциальные уравнения, 1980, J6 4, с.589 - 597.

13. Тернов И.М., Хапаев A.M., Володин Б.А. Резонансные эффекты при движении электрона в поле Редмонда.

Известия вузов. Физика, 1980, № 6, с.42 - 47.

14. Володин Б.А., Халилов В.Р., Хапаев A.M. Изменение энергии заряженной частицы при движении в поле замедленной волны.

Известия вузов. Физика, 1981, Ä 2, с.97 - 102.

15. Володин Б.А., Хапаев A.M.

К вопросу о взаимодействии заряженных частиц о полем

электромагнитной волны.

Веотник МГУ, Физика, 1982, 15, с.3-8.

16. Хапаев А.М.. .

К вопросу о радиальном движении электрона в поле плоской волны.

Известия вузов. Физика, 1982, № 3, с.101 - 102.

17. Володин Б.А., Пономарев И.В., Хапаев A.M.

К вопросу о движении электрона в поле Редмонда. Известия вузов. Физика, 1984, J6 3, с.ПЗ - 115.

- 25 -

18. Тернов И.М.Далилов В.Р., Пономарев И.В.Дапаев A.M. К вопросу о решении граничной задачи взаимодействия электронов с полем Редмонда.

Дифференциальные уравнения» 1985, № II, с.1926-1933.

19. Тернов И.М., Володин Б.А..Пономарев И.В.,Хапаев A.M. О решении задачи взаимодействия электронов с полем Редмоцда.

17 Всесоюзный семинар по релятивистской высокочастотной электронике, Москва, 1984, с.26.

20. Володин Б.А., Халилов В.Р., Хапаев A.M. Математическое моделирование взаимодействия электронов с электромагнитными полями.

Там' же, с.95.

21. Терновский В.В., Хапаев A.M.

К вопросу о движении частиц в системах типа лазера на свободных электронах. Там же, с.25.

22. Хапавв A.M.

Динамика электронов в плоских волнах. Там же, с.96.

23. Володин Б.А., Хапаев A.M.

О решении некоторой задача Кош, связанной с движением электрона в плоской волне. Дифференциальные уравнения, 1985, JJ 12, с.2036-2046.

24. Володин Б.А., Горъков З.П., Хапаев A.M.

О решении граничной задачи взаимодействия заряженных частиц с дол ем плоской электромагнитной волны. Вычислительные методы и программирование, МГУ, 1984, с.102 - 108.

25. Тернов И.М., Хадаев A.M.

Решение уравнений Клейна-Гордона и ¿¡драка в электродинамической системе типа ЖСЭ, Всесоюзная конференция по когерентной и нелинейной оптике, Москва, 1985.

26. Пономарев И.В., Хапаев A.M.

К теории лазера на свободных электронах. Известия вузов. Физика, 1985, № II, с.1926 - 1933.

27. Пономарев И.В., Хапаев A.M.

К вопросу о динамике заряженной частицы в суперпозиции винтового магнитного поля бегущей волны. Деп. ВИНИТИ от 12.04.86, JS 27I2-B86, с.36.

28. Володин Б.А., Хапаев A.M.

Решение одной задачи, связанной с динамикой электрона.

IBM, 1987, ti 2, с.245-251.

29. Пономарев И.В., Хапаев A.M.

Об одном методе математического моделирования процессов индуцированного излучения. МГУ", физ.фак., препринт, М 10/1987.

- 27 -

30. Пономарев Й.В., Хапаев A.M.

О взаимодействии ансамбля частиц с полем плоской волны с переменными параметрами. Вестник. МЕТ, Физика, 1988, № 3, с.83-85.

31. Пономарев И.В., Хапаев A.M.

Метод интегральных функционалов решения задачи электрон-волнового взаимодействия в приближении заданного поля.

Деп. ВИНИЖот 15.01.87, £ 354 - В87, с.32.

32. Тever L М. J Bagtoi/ khapoe* J7.M.

On some. ¿0?uhon of xefatinsHc ъгоъе. еуиайо"*, ЯппаРе* dex Physics, ¿Wj J*,/>■

33. Студеникин А.И., Хапаев A.M.

Комптон-эффект как метод определения радиационной поляризации зарядов.

Деп. ВИНИТИ от 21.03.88, № 214 - В88, с.8.

34. Володиж Б.А., Хапаев A.M.

Об одном методе решения задачи электрон-волнового взаимодействия.

Известия вузов, Физика, 1989, Л 9, с.76 - 83.

35. Студеникин А.И., Тернов И.М., Хапаев A.M.

К вопросу об определении радиационной поляризации зарядов.

Известия вузов. Физика, 1990, Я I, с.50 53.

- 28 -

25. Студенигста А.И., Хапаев A.M.

О влиянии квантовых флуктуаций на движение электрона в ноле плоской электромагнитной волны. Известия вузов. Физика, 1991, & 2, с.95 - 98.

37. Володин Б.А., Хапаев A.M.

Математическое моделирование процессов индуцированного излучения в переменных электромагнитных полях. Математическое моделирование, 1989, № 4, с.100-109.

38. Володин Б.А., Хапаев A.M.

Унитарное преобразование как метод анализа релятивистского волнового уравнения. Деп. ВИНИТИ от 15.01.90, № 258-В90, с.25.

39. Володин Б.А., Ерошкин А.В., Хапаев A.M.

Об одном методе анализа области взаимодействия

циклотронного преобразователя.

Деп. ВИНИТИ от 25.03.90, » 1661 - В90, о.28.

40. Володин Б.А., Хапаев A.M.

Об одном методе построения решения релятивистского волнового уравнения.

Дифференциальные уравнения, 1991, $ 5, с.898-901.

41. Хапаев A.M., Володин Б.А.

Математическое моделирование резонансного процесса электрон-волнового взаимодействия. Математическое моделирование, 1993, № 12, с.3-12.

- 29 -

42. Володин Б.А., Ханаев A.M.'

Точное решение релятивистского волнового уравнения

Клейна-Гордона.

ЖВМ,'1991, № 6, с.877-886.

43. Ханаев A.M., Володин Б.А.

О моделировании динамики зарядов в системе типа вигглера с ведущим магнитным полем. Математическое моделирование, 1994, № 7, с.ЮЗ-115.

44. Володин Б.А.

К вопросу об индуцированном излучении ансамбля нелинейных осцилляторов. Кандидатская диссертация, МГУ, 1981.

45. Исламов Р.М.

Исследование процессов индуцированного синхротрон-ного излучения в интерферометрах Фабри-Перо. Кандидатская диссертация, МГУ", 1983.