автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование задач дифракции упругих волн на малой неоднородности в слое

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Свиркина Лариса Анатольевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ УПРУГИХ ВОЛН НА МАЛОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ В СЛОЕ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ 01.02 04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург — 2004

Работа выполнена на кафедре механики управляемого движения факультета прикладной математики - процессов управления в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научные руководители:

д.ф.-м.н., ведущий научный сотрудник Кирпичникова Наталья Яковлевна;

д.ф.-м.н., профессор Кирпичников Сергей Николаевич.

Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., профессор Даль Юрий Михайлович;

к.ф.-м.н., доцент Старков Александр Сергеевич.

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения.

Защита состоится " 24" ноября 2004 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д-212.232.50 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9, Менделеевский центр.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан

октября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н. профессор

Г.И. Курбатова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Диссертационная работа относится к области математического моделирования задач дифракции упругих волн и посвящена решению этих задач асимптотическими методами.

В теории распространения волн, как и в других физических теориях, число нетривиальных задач, допускающих точное решение, весьма ограничено. В тех немногих случаях, когда известно их строгое решение, оно имеет весьма сложный вид (бесконечные ряды, иногда отличающиеся столь медленной сходимостью, что они не могут быть применены к вычислению поля, или многократные интегралы, или же ряды, каждый член которых представляется в виде интеграла).

Вполне понятен поэтому постоянный интерес к приближенным методам волновой теории и, особенно, к асимптотическим методам. Эти методы обеспечивают достаточно хорошую точность и имеют все более широкое применение при исследовании волновых явлений различной физической природы: упругих, акустических, электромагнитных.

Большой вклад в развитие асимптотических методов внесли различные по математическим методам московские школы, с одной стороны, школы академиков В. И. Арнольда, Н. Н. Боголюбова, В. П. Маслова, И. Г. Петровского, а также школы М.В.Федорюка, В.И.Иванова и, с другой стороны, школы академиков Л. А. Вайнштейна и Л. М. Бреховских, школы В. А. Боровикова, Ю. А. Кравцова, Г. Д. Малюжинца, С. М. Рытова.

Современная петербургская школа асимптотических методов математической физики имеет глубокие корни, ведущие свое начало от основополагающих исследований академиков В. В. Новожилова, В. И. Смирнова, С.Л.Соболева и В.А.Фока. Основываясь на их фундаментальных работах, эта школа разветвилась по различным направлениям, приложениям, по математическим подходам и методам. Это школы ведущих ученых: В. М. Бабича, В. С. Булдырева, В. С. Буслаева, А. П. Киселева, П. В. Краук-лиса, В.Ф.Лазуткина, И.А.Молоткова, С.А.Назарова, Г.И.Петрашеня, М. М. Попова, П. Е. Товстика, К. Ф. Черныха, Т. Б. Яновской и др.

Асимптотические методы и методы теории возмущений активно развиваются также школами Марченко,

А.А.Дородницына, зарубежными школами, которыми руководят известные ученые F. W. J. Olver, R. Courant, E. Hopf, J. В. Keller, P. Lax, D. Ludwig, и многие другие.

Найденные в диссертации решения в виде асимптотических разложений могут быть применены для практического расчета волновых полей при подземных взрывах, производимых, например, при геологической разведке или ядерных испытаниях, а также в других случаях при построении теоретических сейсмограмм в неоднородных упругих средах.

В связи с этим тема диссертации является актуальной и представляет значительный интерес как для математической физики, так и для различных ее практических приложений в областях теории упругости, акустики, геофизики, сейсморазведки и т.д.

Цель и задача исследования состоит в применении асимптотических методов к решению достаточно широкого класса задач дифракции в рамках математической теории упругости.

Особое внимание уделено математическому моделированию, решению и исследованию задач распространения волн в слоисто-изотропных упругих средах, ограниченных параллельными или слабо изогнутыми поверхностями раздела, с малой неоднородностью внутри слоя.

Научная новизна. Основные результаты диссертации. Перечисленные ниже результаты диссертации являются новыми и получены впервые автором.

1. Построена математическая модель и решена задача дифракции упругих волн вертикальной поляризации, падающих в безграничном упругом пространстве на цилиндр малого радиуса. При решении использованы асимптотики по аргументу специальных цилиндрических функций, в ре-леевском (малом по сравнению с длиной падающей волны) и оптическом (аргумент много больше длины волны) приближениях. Показано, что поле, рассеянное от цилиндра, значительно меньше падающего и в главном приближении подобно полю некоторого точечного источника.

2. Найдено решение задачи дифракции плоской волны (и продольной, и поперечной) от упругого слоя, лежащего на упругом полупространстве. На границах разделов заданы условия сопряжения типа условий жесткого контакта, а также свободной от напряжения границы.

3. Найдено решение задачи дифракции плоской упругой волны (и продольной, и поперечной), возмущенной неоднородностью (малым включением) в слое. Построены функции и квазифункции Грина по решениям невозмущенной включением задачи, удовлетворяющие условиям сопряжения на границах разделов.

4. Выведены интегральные уравнения для получения дифракционной картины поведения поля, возмущенного неоднородностью, в слое с использованием функции и квазифункции Грина. С помощью итерационного метода найдено поле, рассеянное на неоднородности в слое. Исследование ядра интегрального уравнения и области интегрирования дают все основания считать метод последовательных приближений сходящимся.

5. Решена задача рассеяния плоской волны горизонтальной ^Н) поляризации от неоднородности в слабо искривленном слое.

6. Построены диаграммы направленности рассеянного неоднородностью в безграничном пространстве первичного дифракционного поля при падении волны горизонтальной и вертикальной поляризации, и в слое при падении волны горизонтальной поляризации.

Достоверность полученных результатов вытекает из полноты и математической строгости постановки задач, приводимых рассуждений, а также контролируется сравнениями с частными решениями других авторов, которые имеются в научной литературе.

Методика исследования. В диссертации применяются различные методы математической физики, теории дифференциальных уравнений, теории упругости, римановой геометрии, тензорного анализа, гамильтоновой механики, вариационного исчисления и др.

Основной способ исследования рассматриваемых в диссертации волновых процессов — асимптотический. Здесь наиболее важным и наиболее распространенным является лучевой метод, который дает наглядную качественную картину развития волновых процессов в неоднородных средах и хорошо согласуется с интуитивным представлением о распространяющихся вдоль лучей потоках энергии.

Даже в тех случаях, когда известно точное решение какой-либо задачи, как правило, рассматривают коротковолновую асимптотику точного решения, чтобы представить качественный характер поведения решения.

Итак, основными аналитическими методами исследования в диссертации являются:

1) асимптотический метод: строится высокочастотная асимптотика функций Грина и рассеянного поля по большому, по сравнению с длиной волны, расстоянию; применяется рэлеевская асимптотика рассеянного поля от малой неоднородности, диаметр которой мал по сравнению с длиной волны;

2) лучевой метод (используется регулярное поле лучей - экстремали интеграла Ферма);

3) построение функций Грина и квазифункций Грина по линейно независимым решениям соответствующих задач без неоднородности с условиями на границах раздела;

4) метод интегральных уравнений (методы построения решения, использующие функции Грина, квази-функции Грина и формулу Грина);

5) асимптотический метод стационарной фазы при получении асимптотики функции Грина и метод перевала.

Теоретическая и практическая значимость. Хотя работа имеет теоретический характер, ее результаты имеют как теоретическую, так и большую практическую ценность.

Рассматриваемые проблемы представляют интерес для специалистов в области теории упругости, акустике твердых тел, подводной акустике, в теории распространения электромагнитных волн, а также для сейсмологов - теоретиков и экспериментаторов. Любые продвижения в решении этих модельных задач, как правило, приводят к большому числу новых технических и научных разработок. Развитые в диссертации методы могут успешно применяться и в других областях математической и теоретической физики.

Решаемые в данной диссертации задачи обсуждены и одобрены профессором ПОМИ РАН им. В. А. Стеклова Г. И. Петрашенем.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на международной научной конференции "DAY on DIFFRACTION'2003" (2003, Санкт-Петербург); на XXXIII и XXXIV научных конференциях "Процессы управления и устойчивость" факультета ПМ-ПУ СПбГУ (Санкт-Петербург, 2002, 2003); а также на

научных семинарах кафедры механики управляемого движения факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета .

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 7 научных работах [ 1-7], список которых представлен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, пяти глав, разбитых на параграфы, заключения, списка литературы и приложения. Список литературы включает 97 наименований. Работа изложена на 131 странице основного текста и 12 страницах приложения, содержит 8 рисунков и 7 графиков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении работы подробно изложены мотивировки данного исследования, содержится обзор литературы по рассматриваемым в диссертации вопросам, описано содержание диссертации по главам и приведены основные результаты диссертации.

В первой главе, состоящей из трех параграфов, вводятся основные обозначения и понятия. В первом и втором параграфах рассматриваются ковариантные и контравариантные тензоры как в аффинной системе коор-диант, так и в криволинейной, приводятся примеры тензоров. В третьем параграфе представлены известные классические уравнения динамической теории упругости в декартовой и в произвольной криволинейной системах координат, введено понятие метрического тензора, асимптотического ряда. Рассмотрены фундаментальные решения уравнений динамической теории упругости с различными типами особенностей.

Во второй главе рассматривается дифракция плоской волны от неоднородного включения, имеющего вид "провода" бесконечной длины и малого поперечного сечения. Предполагается, что это неоднородное включение есть круговой цилиндр, радиус которого равен и мал по сравнению с длиной волны а< А, где А —длина падающей волны. Предполагается, что плоскость падения заданной волны перпендикулярна оси цилиндра. В этом случае общая задача переходит в частную плоскую задачу дифракции от малой неоднородности в неограниченном однородном изотроп-

ном упругом пространстве.

Будем исходить из динамических уравнений теории упругости для однородной изотропной среды.

Ради краткости здесь подробно приведем только лишь постановку и решение задачи рассеяния плоской волны горизонтальной поляризации.

Рассмотрим случай гармонической зависимости от времени вектора смещений fl(x,i) = e~,ultu(x). Уравнение для вектора смещений и(х) переходит в такое:

Lu = (А + 2р) grad div u — /л rot rot u = —рш2 u. (1)

Так как круг П2 лежит в плоскости падения, все рассмотрения проведены в цилиндрической системе координат

В данной системе, как и в декартовой, для составляющих скалярного и векторного потенциалов вектора смещений получаем разделение на уравнения Гельмгольца:

(2)

здесь а = , Ь = — продольная и поперечная скорости распро-

странения.

Плоская упругая волна вполне определена вектором смещения частиц, все компоненты которого должны быть непрерывны при переходе границы раздела сред и кроме того, на границе должны быть непрерывны компоненты тензора напряжений:

Данная глава состоит из двух параграфов. В первом параграфе рассмотрено падающее поле, имеющее вид плоской волны горизонтальной поляризации.

Для составляющих Uj = Wj,j = 1,2 система уравнений (1) превращается в уравнения Гельмгольца:

Граничные условия (3) в этом случае превращаются в такие

В безграничной среде составляющие вектора смещений и удовлетворяют условиям излучения Зоммерфельда:

- «М», = 0, 1т к > 0.

г-юо у ОТ }

(6)

Решение задачи (4)-(б) ищется в виде

■Ш2 = ^В^п{к%г)стп{1р-(ро), (г < а),

(7)

(8)

п=0

здесь Н„ обозначает первую функцию Ханкеля Н^К То обстоятельство, что вне цилиндра употребляется только она одна, соответствует тому, что рассеянное поперечное поле распространяется от цилиндрической поверхности г = а. Внутри цилиндра надо брать только решение с ,7П.

Рассеянное неоднородностью горизонтально поляризованное поле находится при 1 с помощью асимптотики функции Ханкеля.

Окончательно получается следующая формула для поперечной (БИ) волны, рассеянной неоднородностью г = а, ка 1:

IV ' ~ -

у/ъЩг [ Р1 М2+Р1 ^

х[1 + 0((к?а)3)],

(9)

где параметры среды обозначены через параметры включения

П2 через \2ф2>Р2', А^/г,-,» = 1» 2, называются параметрами Ламе, а р^ есть плотность г-ой среды; - волновое число, характеризующее поперечный вид падающего поля.

Таким образом, в коротковолновом приближении неоднородность является точечным источником, интенсивность которого пропорциональна скачку плотностей р\,р2, скачку параметров Ляме цх, и площади неоднородности.

Во втором параграфе делается предположение, что падающее поле имеет вид плоской волны вертикальной поляризации. В связи с этим задача переходит в векторную и математические трудности существенно возрастают. Компоненты вектора смещений представляются посредством скалярного и векторного потенциалов.

U = grac№ + rot®.

(10)

Физические компоненты вектора и имеют следующий вид:

(11) дг г д<р' г dtp дг ' Ю '

Скалярный и векторный потенциалы удовлетворяют уравнению Гельм-гольца (2) внутри и вне цилиндра а также условиям непрерывности

вектора смещений и тензора деформации на границах разделов сред.

Отметим тот факт, что в отличие от предыдущего параграфа, здесь необходимо использовать не только один коэффициент в разложении по малому аргументу для функций Бесселя нулевого, первого порядков и их производных по аргументу, но и несколько следующих.

После ряда громоздких преобразований, используя асимптотику функций Ханкеля:

рассеянное неоднородностью вертикально поляризованное поле при падении продольной составляющей скалярного потенциала окончательно получено в виде

(13)

Совершенно аналогичное рассуждение, приведшее к формулам (12)-(13), применяется и для падающей с поперечной скоростью волны вертикальной поляризации.

Поле рассеянное неоднородностью Пг является полем точечного источника излучающего цилиндрические волны с продольной и поперечной скоростями а, и Ь, в различных компонентах вектора смещения.Коэффи-циенты Ао,А1,А2 содержат в качестве множителя величину ^(к^а)2, равную площади круга, умноженного на

Неоднородность излучает как точечный источник, для которого интенсивность пропорциональна скачку параметров Ляме )ч,Ц2,Р2 и площади неоднородности.

В третьей главе сделано существенное усложнение задачи помещением цилиндрической неоднородности в упругий слой.

Рассмотрены плоские волны горизонтальной поляризации дифрагированные от упругого включения, имеющего в поперечном сечении круг малого радиуса. Помимо условий, введенных во второй главе, здесь ставятся условия жесткого контакта на границах раздела сред и слоя со своими параметрами Ляме и плотностью.

Í1

т

i—

--

Г„ П,(Д„л,д)

х

Лэ (Я*,Р»А)

Рис. 1 Дифракция плоской волны от малого включения в слое

В первом и во втором параграфах данной главы сформулирована общая постановка задачи, в частности в первом введены соответствующие обозначения и заданы граничные условия, во втором параграфе задача решается в несколько этапов. А именно, во-первых, по падающей плоской волне находим поле, отраженное от слоя без включения. Во-вторых, строится функция Грина для задачи без неоднородности. В-третьих, выведено интегральное уравнение (оно имеет малое ядро), определяющее решение данной задачи с неоднородностью в слое. Наконец, методом последовательных приближений найдена первая итерация решения. Все это исследуется для точки наблюдения и для малого радиуса включения

В последующих параграфах третьей главы решается поставленная задача, и окончательно приводится рассеяная от неоднородности в слое упругая плоская волна горизонтальной поляризации с соответствующей диаграммой направленности.

из второй в первую, v^i Vio — углы распространения волн в слое (нахо-

Рис.2 Области используемые при выводе интегрального уравнения (слой с параллельными и слабо изогнутыми поверхностями раздела)

дятся из закона Снеллиуса),

Здесь 1р0 — угол скольжения, а <р — угол наблюдения. Для коэффициентов прохождения из первой среды во вторую и из второй в первую получаем представление в виде

(16) (17)

Здесь определители равны

р2»к,(Л!+Л)

ДЫ = [1 + е2

VI

цокабшщ

+

+[1-

ДМ = [1 + е

2|*1(Л1+Л)вт»>1о

] вш^х; щкх

+[1 _ e2»Ai{hi +/>)sinv>ioj 8in Vw> (19)

Дифракционная добавься (15) мала ввиду того, что она содержит два малых множителя (Ага)2 (k¡a < 1) и (v/Sor)-1 (fcor » 1).

Проведено сравнение полученного решения с волной, рассеянной от неоднородности в безграничном упругом пространстве (9), найденной во второй главе.

Четвертая глава посвящена задаче отражения вертикально поляризованной волны от слоя. Толщина слоя Н = к + к, имеет порядок длины волны.

Сложность задачи для вертикально поляризованного поля состоит в том, что задача векторная и компоненты вектора смещений представлены посредством скалярного и векторного потенциалов. Это приводит к двум уравнениям Гельмгольца для потенциалов и к сложным граничным условиям на границах раздела.

Как и в третьей главе задача решается в несколько этапов.

Во-первых, по падающей плоской волне найдено поле, отраженное от слоя без включения. Окончательно формулы для компонент вектора смещений в случае падения плоской продольной волны на слой без неоднородности (Ао = 1, Во = 0) имеют вид:

-Fae^l{tHi)]}, (22)

v^=iei^{a1[Caeia^v-4,)-Daeiaiív-h)]+.Fae^l(,rA)]}. (23)

В случае падения плоской поперечной волны (А0 = О, Во = 1):

uf=++/?1 [Ebei(3> M - Fbe^0í ^J}, (26)

Во-вторых, построены функции Грина, соответствующие задаче отражения от слоя волны, падающей с продольной или с поперечной скоростями. С помощью функций Грина построено интегральное уравнение для компонент скалярного Ф^,» = 0,1,2 и векторного Ф^г = 0,1,2 потенциалов. Интегральные уравнения разрешены методом последовательных приближений, находя первую итерацию к решению задачи дифракции от слоя. Эта добавка подобна цилиндрической волне, рассеивающейся от малого сечения неоднородности в слое. Интенсивность рассеивающейся волны пропорциональна площади сечения. Затем по потенциалам найдены компоненты вектора смещений.

Рассеяние упругой плоской вертикально поляризованной волны от неоднородности в слое дается очень сложной формулой.

Произведено сравнение рассеяния плоской упругой волны вертикальной поляризации от неоднородности в слое с рассеянием волны горизонтальной поляризации от неоднородности в слое и с рассеянием волны вертикальной поляризации в неограниченном пространстве.

Показано, что неоднородность излучает как точечный источник, интенсивность которого пропорциональна площади сечения этой неоднородности и скачкам скоростей, плотностей, параметров Ламе на границах разделов.

В пятой главе рассмотрена задача рассеяния плоской коротковолновой упругой горизонтально поляризованной сдвиговой волны от неоднородного включения, находящегося в слабо искривленном слое. Включение имеет вид бесконечного цилиндра малого поперечного сечения. Поперечное сечение неоднородности является областью, диаметр /Л которой мал по сравнению с длиной волны

Данная глава состоит из трех параграфов. Аналогично методике нахождения рассеяного поля предложенного в предыдущих главах, здесь делается тоже самое, но с существенным усложнением. В итоге доказано, что неоднородность излучет как точечный источник, интенсивность которого пропорциональна площади сечения этой неоднородности и скачкам параметров поперечных скоростей на неоднородности и на границах разделов.

В заключении подведены итоги проделанной работы и сформулированы полученные результаты.

В приложении приведены тексты прикладных программ, написанных в математическом пакете Maple 9, иллюстрирующие диаграммы направленности рассеянного неоднородностью в безграничном пространстве первичного дифракционного поля при падении волны горизонтальной и вертикальной поляризации, и в слое при падении волны горизонтальной поляризации.

ПУБЛИКАЦИИ, ОТРАЖАЮЩИЕ ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кирпичникова Н.Я., Свиркина Л.А., Филиппов В.Б. Рассеяние плоских упругих волн от малой неоднородности, помещенной в упругий слой // Зап. научн. семин. ПОМИ РАН, Т. 275, 2001. С. 72-84.

2. Кирпичникова Н.Я., Свиркина Л.А., Филиппов В.Б. Дифракция •плоских упругих волн вертикальной поляризации от малой неоднородности в слое // Зап. научн. семин. ПОМИ РАН, Т. 285, 2002. С. 88-108.

3. Кирпичникова Н.Я., Свиркина Л.А., Филиппов В.Б. Дифракция от малой неоднородности в слабо искривленном упругом слое // Зап. научн. семин. ПОМИ РАН, Т. 297, 2003. С. 88-108.

4. Кирпичникова Н.Я., Филиппов В.Б., Свиркина Л.А. Рассеяние от малой неоднородности в упругой среде // Зап. научн. семин. ПОМИ РАН, Т. 264, 2000. С. 122-139.

5. Свиркина Л.А. О рассеянии упругих волн на малой неоднородности в слабо искривленном слое // Труды XXXIV научн. конф., СПбГУ ПМ-ПУ, 2003. С. 240-243.

6. Свиркина Л.А., Кирпичникова Н.Я. Дифракция упругих волн на малой неоднородности в слое // Вестник СПбГУ. Серия 1, 2003. Вып. 1. (No.l), С. 114-121.

7. Kirpichnikova N.Ya., Svirkina L.A., Philippov V.B. Scattering of plane elastic waves on a small obstracle // DAY on DIFFRACTION'2003, 2003. P. 79-83.

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 11.10.04 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз., Заказ № 1567с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

120 Hl

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

§ 1. Ковариантные и контравариантные тензоры

§ 2. Тензоры в произвольной криволинейной системе координат

§ 3. Динамические уравнения теории упругости в произвольной криволинейной системе координат

1. Уравнения теории упругости в декартовых координатах

2. Фундаментальные решения уравнений теории упругости

3. Асимптотические ряды

4. Уравнения теории упругости в произвольной криволинейной системе координат

ГЛАВА 2. РАССЕЯНИЕ В УПРУГОЙ СРЕДЕ ОТ

МАЛОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ

§ 1. Волны горизонтальной поляризации

§ 2. Волны вертикальной поляризации

ГЛАВА 3. РАССЕЯНИЕ ПЛОСКИХ УПРУГИХ ВОЛН ОТ МАЛОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ, ПОМЕЩЕННОЙ

В УПРУГИЙ слой

§ 1. Постановка задачи дифракции от малой неоднородности в слое

§ 2. Волна горизонтальной поляризации (SH - волна)

§ 3. Решение задачи отражения сдвиговой волны от слоя (без включения)

§ 4. Решение в слое (первичная дифракция)

§ 5. Диаграмма направленности поля рассеянного малой неоднородностью в слое

§ 6. Функция Грина для слоя без неоднородности

§ 7. Интегральное уравнение для решения задачи и метод последовательного приближения

§ 8. Дифракционная добавка от неоднородности, помещенной в слой

ГЛАВА 4. ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКИХ УПРУГИХ ВОЛН ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ ОТ МАЛОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ В СЛОЕ

§ 1. Постановка задачи дифракции от малой неоднородности в слое

§ 2. Решение задачи отражения вертикально поляризованной волны от слоя (без включения)

§ 3. Построение функции Грина для задачи отражения волны от слоя

§ 4. Интегральное уравнение задачи отражения волн от неоднородности в слое

§ 5. Метод последовательных приближений решения интегральных уравнений и дифракционная добавка от неоднородности

ГЛАВА 5. ДИФРАКЦИЯ ОТ МАЛОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ В СЛАБО ИСКРИВЛЕННОМ УПРУГОМ

§ 1. Постановка задачи дифракции от малой неоднородности в слабо искривленном слое

§ 2. Решение задачи отражения падающей волны от слоя (без включения)

§ 3. Поле рассеяное от неоднородности

Методы решения задач дифракции и распространения волн в различных средах развиваются не один век. Это не удивительно, поскольку почти все новые технические изобретения связаны с аспектом волнового распространения. Огромный спектр задач распространения волн самого разного вида может быть сведен к рассмотрению небольшого числа основных математических моделей. Так в областях оптики, радиоинженерии, теории антенн, электронной и ионной оптики, навигации такие задачи сводятся к рассмотрению уравнений Максвелла с теми или другими дополнительными условиями. В задачах акустики используют волновое уравнение и уравнение Гельмгольца.

Задачи дифракции в динамической теории упругости, которым посвящена данная диссертация, также приобрели за последние годы весьма большое значение. Геофизика, сейсморазведка и области исследования, связанные с физическими явлениями в упругих средах, однородных и неоднородных, изотропных и анизотропных, описываются динамическими уравнениями теории упругости.

Отметим особенности упругих волн. В декартовой, цилиндрической и сферической системах координат уравнения теории упругости для изотропной среды могут быть приведены к системе уравнений Гельмгольца. Представляя вектор смещений упругой среды суммой скалярного и векторного потенциалов, из уравнений упругости получим два уравнения Гельмгольца: одно для скалярного потенциала, соответствующее продольной скорости распространения волны и другое - для векторного потенциала с поперечной скоростью.

Часть перемещения, соответствующая скалярному потенциалу, распространяется с продольной скоростью. Из соответствующего уравнения Гельмгольца следует, что изменение объема (дивергенция скалярного потенциала) удовлетворяет волновому уравнению с той же скоростью. В сейсмологии эта волна называется первичной волной или просто Р-волной. Эта волна уплотнения-разрежения обуславливает изменение объема.

С другой стороны, второе из уравнений Гельмгольца показывает, что часть перемещения, соответствующая векторному потенциалу, переносится с меньшей поперечной скоростью. Ротация векторного потенциала удовлетворяет волновому уравнению с поперечной скоростью. В сейсмологии эта волна называется вторичной волной или волной SH. Это волна сдвига, обуславливающая искажение элемента без изменения его объема. В том случае, когда модуль сдвига равен нулю, поперечная скорость тоже равна нулю. Это показывает, что волны сдвига не могут распространяться в среде с нулевой жесткостью (например, в жидкой среде).

Плоская упругая волна вполне определена вектором смещения частиц и возможна классификация этих волн в зависимости от вида вектора смещения. Известно, что волну с произвольным направлением можно представить как суперпозицию сдвиговой волны горизонтальной поляризации (SH-волна по сейсмической терминологии), у которой составляющие, расположеные в плоскости падения, равны нулю, и волны вертикальной поляризации, у которой равна нулю составляющая вектора смещений ортогональная плоскости падения.

Изучение модельных задач в теории упругости, в теоретической гидромеханике, в теории теплопроводности, в теории электромагнитного поля и в других областях, привело к созданию большого числа методов как аналитических, так и численных, описание которых можно найти как в ранних работах самих создателей этих методов, так и в современных трактатах [3], [14], [17], [21], [22], [30], [42], [47], [48], [50], [72], [75], [83], дающих полную картину развития методов и историю их происхождения.

Однако, в теории распространения волн, как и в других физических теориях, число задач, допускающих точное решение, весьма ограничено. В тех немногих случаях, в которых известно строгое решение задачи [17], [22], [77], [84] и др., это решение имеет весьма сложный вид (бесконечные ряды или интегралы, или же ряды, каждый член которых представляется в виде интеграла). Если аналитическая форма строгого решения отличается сложностью, то его можно рассматривать только как первый шаг в действительном решении задачи, следующий шаг должен состоять в выводе формул, пригодных для численных расчетов.

Этот второй шаг может оказаться столь же трудным, как и первый. Так, некоторые точные решения получены в виде рядов, отличающихся столь медленной сходимостью, что они не могут быть непосредственно применены к вычислению поля, и либо должны быть преобразованы в другие ряды, сходящиеся гораздо быстрее, либо еще в какие-то другие математические объекты, пригодные для вычислительных алгоритмов.

Вполне понятен поэтому постоянный интерес к приближенным методам волновой теории и особенно к асимптотическим методам.

Большой вклад в развитие асимптотических методов вносят московские школы В.И. Арнольда [2], Н.Н. Боголюбова [15], В.П. Маслова [29], И.Г. Петровского [64], М.В. Федорюка [78], [79], JI.A. Вайнштейна [22], JI.M. Бреховских [17].

Современная петербургская школа асимптотических методов математической физики имеет глубокие корни, ведущие свое начало от основополагающих исследований академиков В.И. Смирнова, C.JI. Соболева и В.А. Фока [72], [81], [82]. Основываясь на фундаментальных работах создателей, эта школа разветвилась по различным направлениям, приложениям, по математическим подходам и методам. Свои школы имеют ведущие ученые. Отметим лишь те из них, которые оказали большое влияние на формирование математического мировоззрения диссертанта. Это школы В.М. Бабича [4], [6], [7], [11], [12], B.C. Булдырева [6], [ 18], [ 19], B.C. Буслаева [20], А.П. Киселева [40], [41 ], П.В. Крауклиса [44], [45], В.В. Новожилова [57], Г.И. Петрашеня [59], [60] , [61], [62], [63], М.М. Попова [93], П.Е. Товстика [74], Т.Б. Яновской [13], [68], [86].

Асимптотические методы и методы теории возмущений активно развиваются также зарубежными школами, которыми руководят известные ученые F.W.J.Olver [58], R.Courant [87], F.G.Friedlender [88], J.B.Keller [88] и многие другие.

Интенсивное развитие асимптотических методов решения задач математической физики, относящихся к теории распространения решений гиперболических уравнений, позволило весьма эффективно исследовать волновые процессы в неоднородных средах. В связи с этим возник ряд новых задач, имеющих специфические для неоднородных сред особенности.

Асимптотические методы позволяют исследовать не только задачи, связанные с гладкими объектами, но и позволяют рассматривать эффекты влияния на процессы распространения волн произвольного вида экстремумов скоростей, каустических поверхностей и т.п., а также решать модельные задачи в тех случаях, когда различные среды имеют особенности типа линий разрыва кривизн, градиентов скоростей, угловые области.

Асимптотические методы, однако, не дают решения уравнений в общепринятом смысле, так как решения строятся в виде формальных рядов по обратным степеням большого параметра. Строгое математическое оправдание получаемых формул и нахождение области их применимости особенно для неоднородных сред — сложная и до сих пор нерешенная проблема.

В тех же случаях, когда известно точное решение задачи, всегда оказывалось, что формальные асимптотические ряды являлись ее асимптотическими решениями. В то же время в работах по лучевому методу формальные асимптотические построения находят оправдание в том, что они соответствуют физическим представлениям и при анализе задач, допускающих точное решение, появляются в том же виде, в каком они следуют из точных решений.

Формальные асимптотические разложения решений, полученные во всех приближениях, служат основой строгому математическому оправданию этих решений и дают возможность найти области применимости асимптотических разложений по различным параметрам задачи.

Цель диссертационной работы автора — применение асимптотических методов к решению достаточно широкого класса задач математической теории упругости.

Особое внимание уделено исследованию задач распространения волн в слоисто-изотропных упругих системах, ограниченных параллельными или слабо изогнутыми поверхностями раздела, с малой неоднородностью внутри слоя.

Рассматриваемые проблемы представляют интерес для специалистов в области теории упругости, акустике твердых тел, подводной акустике, в теории распространения электромагнитных волн, а также для сейсмологов - теоретиков и экспериментаторов. Развитые в диссертации методы могут успешно применяться и в других областях математической и теоретической физики.

В сейсмологии, как известно, пользуется широким распространением модель упругих сред. На основании такой модели считают, что каждая порода, входящая в состав земной коры, характеризуется упругими постоянными Ляме Л и /i, и массовой плотностью /9, причем делается предположение о том, что динамические процессы в земной коре протекают по законам математической теории упругости.

Использование упругой модели в сейсмологии аргументировано, во-первых, фактом существования поверхностной волны Релея, свойства которой позволяли удовлетворительным образом описать основные закономерности в распространении главных фаз волн, возбуждающихся при землетрясении. Во-вторых, фактом существования как в теории упругости, так и в сейсмологии двух типов объемных волн, продольных и поперечных, распространяющихся с различными скоростями.

Подобные задачи исследовались многими авторами. Прежде всего, волновым процессам в слоисто-упругих средах посвящены работы JI.M. Бреховских [17], Г.И. Петрашеня [59], [60], [61], [63], В.М. Бабича [13], Т.Б. Яновской [13], Л.А. Молоткова [55], П.В. Крауклиса [44], [45], М.М. Попова [92], А.П. Киселева [40], [41] и др.

Далее, в последнее время появилось много работ, посвященых изучению дифракции упругих волн при наличии разного рода особенностей: кусочно-гладких границ и поверхностей раздела упругих сред, неоднородных включений, разрывов и скачков кривизн на поверхностях сред и т.д.

Находя асимптотики задач рассеяния от неоднородностей, приходится сталкиваться с таким понятием как интегральные характеристики этих неоднородностей. Одной из таких важных характеристик служит объем области. Особую роль характеристики рас-сеивателя играют в случае рэлеевской асимптотики при дифракции волн на различных рассеивателях [10], [25], [65].

С.А. Назаров [56] используя асимптотические методы теории упругости доказал теоремы существования и единственности для решений краевых задач с малым параметром при старших производных в областях с гладкой границей, с кусочно-гладкой границей,

-12в областях с разрезами и малыми отверстиями.

При исследовании задачи дифракции от малой неоднородности в слабо искривленном упругом слое существенную роль сыграла работа В.М. Бабича, Б.А. Чихачева, Т.Б. Яновской о поверхностных волнах в вертикально-неоднородном упругом полупространстве со слабой горизонтальной неоднородностью [13].

В.М. Бабич, В.П. Смышляев [5], [9] изучаЛИ дифракцию на упругом клине (клиновидное упругое тело) при падении на тело плоской волны. Возникает рассеянное волновое поле в состав которого входит, наряду с волнами другой природы, сферическая волна, рассеянная вершиной конуса. Соответствующий дифракционный коэффициентс^ферической волны является своеобразным аналогом матрицы рассеяния. Эти матрицы обладают свойствами взаимности (симметрии).

Группой американских ученых К. Aki, R. Gritto, L.R. Johnson, V.A. Korneev, Fred F. Pollitz, P.G. Richards и др. представлена теория [89], [93], [94], [95], [96] рассеяния сферических упругих волн от сферического включения с предельно малым объемом. Этот предел удовлетворяет условиям рэлеевского рассеяния, в котором величина ко! <С 1, где к является волновым числом, а' есть радиус сферического включения.

В работах [95], [96] были получены коэффициенты для рассеянного поля при падении S-волны и поверхностных волн на сферическое включение малого радиуса.

Позднее указанными авторами [ 93 ] получено точное выражение для рассеянного волнового поля при падении плоской Р-волны на сферическое включение малого размера.

Наконец, используя теорию эквивалентности источников, построено [ 89 ], [ 94 ] рассеянное волновое поле как суперпозиция сферических гармоник с центром во включении.

Имеются лишь отдельные работы, относящиеся к исследованию задач дифракции волн на неоднородностях в слоисто-упругих средах.

Однако для получения волнового рассеянного поля в каждом конкретном случае необходимы сложные громоздкие численные расчеты. Поэтому большое значение имеет исследование данной задачи асимптотическими методами. Именно такая задача и решена в данной диссертации для случая плоско\~0 падающего волнового поля.

В настоящей диссертации рассматривается слоисто-изотропная система с параллельными плоскостями раздела, при переходе через которые остаются непрерывными как вектор смещений, так и вектор напряжений. Внутри слоя находится малая неоднородность. В верхнем полупространстве системы создается воздействие достаточно общего типа и делается предположение о том, что процесс распространения упругих волн в системе строго подчиняется уравнениям Ляме теории упругости.

Фактически мы решаем трехмерную задачу. Между двумя неограниченными плоскими или слабо искривленными плоскостями находится упругий слой с соответствующими параметрами Ламе и плотностью. Слой лежит на плоском или слабо искривленном полупространстве. Поместим в слой тонкий бесконечной длиньГЧтровод цилиндр с малым по сравнению с длиной падающей волны поперечным сечением). На слой из верхнего упругого полупространтва падает плоская упругая волна. В верхнем же полупространстве исследуется задача рассеяния плоской волны от малой неоднородности, помещенной в плоский или слабо искривленный слой.

Решение этой сложной задачи проведено в несколько этапов, которые отличаются методами и математическими приемами, применяемыми к этой проблеме на каждом шаге.

Использованы как точные, так и приближенные методы, применены различные асимптотические методы получения решения задачи на разных этапах.

С помощью аппарата специальных цилиндрических функций (Бесселя и Ханкеля) и их асимптотик в длинноволновом и коротковолновом приближениях, из точного решения задачи дифракции падающей волны от цилиндра малого радиуса, получены необходимые результаты в поэтапном решении основной сформулированной задачи.

В диссертации построены функции Грина и их асимптотики, найдены интегральные уравнения при нахождении первичной дифракционной добавки к решению возмущенной включением задачи.

Перечислим основные этапы в последовательном нахождении решения задачи.

1. Методом разделения переменных построено точное решение задачи дифракции в безграничном упругом пространстве плоской упругой волны горизонтальной и вертикальной поляризаций (по отношению к плоскости падения) от кругового цилиндра.

Используя некоторые замечательные формулы, носящие название "теорем сложения", падающая плоская волна представлена в виде разложения по функциям Бесселя. Решение задачи получено в виде бесконечных рядов по функциям Бесселя и Ханкеля с определенными коэффициентами, содержащими параметры Ламе, плотности и скорости распространения волн в упругих средах (внешней и внутренней к цилиндру).

Отметим, что построение решения для задачи дифракции волны горизонтальной поляризации не является оригинальным. Это известное классическое решение задачи начала прошлого века.

Что касается волн вертикальной поляризации, то здесь потребовалось применить не только виртуозную аналитическую сноровку, но и пройти через поток громоздких вычислений. Это связано и с упругой средой, в которой распространяется две волны (продольная и поперечная), и с векторной постановкой задачи. Так вектор смещений представлен в виде суммы скалярного и векторного потенциалов. Компоненты вектора смещений представлены в виде бесконечной суммы трех слагаемых, каждое из которых отвечает за падающее поле, отраженное от цилиндра и преломленное внутрь цилиндра волновые поля.

2. На этом этапе был применен асимптотический метод длинноволнового (релеевского) приближения к цилиндрическим функциям малого аргумента (г = а, ка <С 1) в задаче дифракции от цилиндра малого по сравнению с длиной падающей волны радиуса.

Из точного решения (см. 1.) выделено несколько коэффициентов одного порядка относительно к а «С 1. Используя релеевскую асимптотику функций Бесселя и Ханкеля, получен следующий результат: два коэффициента в случае дифракции плоской упругой волны горизонтальной поляризации и три коэффициента при дифракции волн вертикальной поляризации являются величинами одного порядка 0{[ка]2). Остальные коэффициенты являются малыми высшего порядка по параметру ка, 0([ка]2п)> п > 1.

Окончательно показано, что в длинноволновом приближении, когда размеры включения малы по сравнению с длиной падающей волны (ka < 1J, главными членами в разложении будут дваХиля волн горизонтальной поляризации и три члена для волн вертикальной поляризации, а все дальнейшие будут величинами более высокого порядка малости.

3. Используя в дальнейшем асимптотику функций Ханкеля по большому аргументу kr 1, найдено поле рассеянное от цилиндра, малого радиуса. Оказывается, что в случае, когда размер неоднородности (цилиндра) мал по сравнению с длиной волны (а именно такой случай мы и рассматриваем), поле, рассеянное на неоднородности будет значительно меньше падающего и в главном приближении будет излучать как точечный источник.

Показано, что в длинноволновом приближении неоднородность является точечным источником, для которого интенсивность пропорциональна скачку параметров р и р, (для волн горизонтальной поляризации), скачку параметров р, X и р (для волн вертикальной поляризации) и площади поперечного сечения неоднородности в плоскости падения.

Три первых этапа составляют содержание второй главы.

4. Найдено решение невозмущенной задачи дифракции плоской волны от слоя, толщина которого имеет порядок длины волны. Решение такой задачи в скалярном случае известно.

Правда, в случае волн вертикальной поляризации преодолены громоздкие аналитические выкладки, связанные с трехслойной упругой средой, с условиями жесткого контакта на границах разделов сред и с представлением вектора смещений суммой потенциалов.

5. Предположим теперь, что в слое неоднородность присутствует. Тогда волны в слое, проходя через неоднородность, будут порождать поле, рассеянное на ней. Это первичное дифракционное поле затем будет переотражаться от границ слоя и снова дифрагировать на неоднородности. Оказывается, что в случае, когда размер неоднородности мал по сравнению с длиной волны (исследуется именно такой случай), дифракционное поле будет значительно меньше падающего и в первом приближении можно ограничится вычислением только первичного дифракционного поля.

Воспользуемся разложением для невозмущенной задачи (без неоднородности). Согласно этапа 4. падающее поле представлено как сумма двух плоских волн в слое, преломленной из основной среды и отраженной от нижнего полупространства. К каждой из них применена теорема сложения, представляющая разложение плоской волны по цилиндрическим функциям (этап 1.). Получено решение невозмущенной задачи в слое и по методике, описанной на этапах 1-3, найдены характеристики поля, рассеянного неоднородностью в слое. Это первичное дифракционное поле в главном приближении будет излучать как точечный источник.

-185. Определены теперь характеристики поля, рассеянного неоднородностью во всем пространстве. Для этого найдено сначала поле возбуждаемое точечным источником, помещенным в слое. Фактически найдена функция Грина невозмущенной задачи в случае, когда источник помещен в слое. По функции Грина построена квазифункция Грина для всего пространства. Затем асимптотическим методом стационарной фазы (аналога метода перевала с использованием интеграла вероятности) найдена асимптотика квазифункции Грина при кг 1.

Методом, который в зарубежной литературе носит название метода эквивалентных источников, получено первичное дифракционное поле рассеянное неоднородностью в верхнее полупространство. Эта дифракционная добавка к невозмущенному решению значительно меньше падающего поля и зависит от скачков параметров Ламе, плотностей и площади поперечного сечения неоднородности тт{ка)2.

6. На предыдущем этапе было представлено первичное дифракционное поле, прошедшее в слой и рассеянное в верхнее полупространство малой неоднородностью. Применен приближенный метод вычисления поля.

Строя функции Грина для верхнего полупространства, квазифункции Грина в слое и используя обобщенную формулу Грина, найдены интегральные уравнения для дифракционной добавки к полному полю, возмущенному малой неоднородностью в слое.

7. Методом стационарной фазы найдены асимптотики при kr^$> 1 функции Грина верхнего полупространства и квазифункции Грина

-19в слое.

8. Применен итерационный метод для нахождения решения полученного интегрального уравнения. Малость области интегрирования, совпадающей с сечением неоднородности в плоскости падения, дает все основания к оправданию сходимости этого приближенного метода.

9. Все последовательные шаги предыдущих этапов построения применены для обобщения задачи на случай слабо искривленных слоев по горизонтальным параметрам.

10. Построены диаграммы направленности полей, рассеянных от неоднородности в безграничном упругом пространстве и в слое для случая волн горизонтальной поляризации.

Основными методами исследования в диссертации являются:

1) асимптотический метод (строится высокочастотная асимптотика функций Грина и рассеянного поля, везде большой параметр (кг >> 1)), применяется рэлеевская асимптотика|построения рассеянного поля от малой неоднородности радиуса а, ка <С 1;

2) лучевой метод (используется регулярное поле лучей - экстремали интеграла Ферма]^'

3) построение функций Грина и квазифункций Грина по линейно независимым решениям соответствующих задач с условиями на г^кицах раздела;

4) метод интегральных уравнений (методы построения решения, использующие функции Грина, квази-функции Грина и формулу Грина); асимптотический метод стационарной фазы (при получении асимптотики функции Грина), использующий интеграл вероятности и метод перевала.

Решаемые в данной диссертации задачи обсуждены и одобрены профессоромПОМИ РАН им. В.А. Стеклова Г.И. Петрашейем.

Перейдем к краткому описанию содержания диссертации.

В первой главе, состоящей из трех параграфов, вводятся основные обозначения и понятия. В первом и втором параграфах рассматриваются ковариантные и контравариантные тензоры как в аффинной системе коордиант, так и в криволинейной, приводятся примеры тензоров. В третьм параграфе представлены известные классические уравнения динамической теории упругости в декартовой и в произвольной криволинейной системах координат, введено понятие метрического тензора, асимптотического ряда. Рассмотрены фундаментальные решения уравнений динамической теории упругости с различными типами особенностей.

Во второй главе рассматривается дифракцця плоской волны от неоднородного включения, имеющего вщ?/" провода" бесконечной длины и малого поперечного сечения. Предполагается, что это неоднородное включение есть круговой цилиндр, радиус которого равен а и мал по сравнению с длиной волны а «С Л, где Л —длина падающей волны. Таким образом, рассматривается случай дифракции от малой неоднородности, помещенной между двумя однородными упругими средами. Предполагается, что плоскость падения заданной волны перпендикулярна оси цилиндра. В этом случае общая задача переходит в частную плоскую задачу дифракции от малой неоднородности в неограниченном однородном изотропном упругом пространстве.

Данная глава состоит из двух параграфов. В первом параграфе рассмотрено падающее поле, имеющее вид плоской волны горизонтальной поляризации. Рассеянное неоднородностью горизонтально поляризованное поле находится при fcr > 1 с помощью асимптотики функции Ханке ля.

Окончательно получается следующая формула для поперечной (SH) волны, рассеянной неоднородностью г = а, Ь < 1: где параметры среды обозначены через Ai, A^i, Pi, параметры включения через А2,/^2)Р2; = 1,2, называются параметрами теризующее поперечный вид падающего поля.

Во втором параграфе делается предположение, что падающее поле имеет вид плоской волны вертикальной поляризации. В связи с этим задача переходит в векторную и компоненты вектора смещений представляются посредством скалярного и векторного потенциалов.

В третьей главе делается существенное усложнение задачи помещением цилиндрической неоднородности в упругий слой. Рассматриваются плоские волны горизонтальной поляризации дифрагированные от упругого включения, имеющего в поперечном сечении круг малого радиуса. Помимо условий, введенных во второй главе, здесь ставятся условия жесткого контакта на границах раздела тг(*}a)V(*ir-3'r/4> [pi - р2 л/2тг k\r L Pi к х[1 + 0((fc*a)2)].

Ламе, а pi есть плотность г-ой среды; к\ - волновое число, хараксред и слоя со своими параметрами Ляме и плотностью.

В первом и во втором параграфах данной главы формулируется общая постановка задачи, в частности в первом вводятся соответствующие обозначения и задаются граничные условия, во втором задача ставится для волн горизонтальной поляризации.

В §3 главы 3 находится решение задачи дифракции плоской волны от слоя без включения.

В последующих параграфах третьей главы ищется дифракционная добавка от неоднородности, помещенной в слой, и окончательно приводится рассеянная от неоднородности в слое упругая плоская волна горизонтальной поляризации с соответствующей диаграммой направленности. Проводится сравнение полученного решения с волной, рассеянной от неоднородности в безграничном упругом пространстве, найденной во второй главе.

Четвертая глава посвящена задаче отражения вертикально поляризованной волны от слоя. Поставленная задача рассеяния плоской волны от малого включения в слое решается в несколько этапов. Во-первых, по падающей плоской волне находится поле, отраженное от слоя без включения . Во-вторых, строится функция Грина для задачи без неоднородности. В-третьих, выводится интегральное уравнение (оно будет с малым ядром), определяющее решение данной задачи с неоднородностью в слое. Наконец, методом последовательных приближений находится первая итерация решения. Поле исследуется для точки наблюдения, расположенной на расстоянии кг >> 1, в случае малого (по сравнению с длиной волны) радиуса а включения 1.

-23В главе 5 рассматривается задача рассеяния плоской коротковолновой упругой горизонтально поляризованной сдвиговой волны от неоднородного включения, находящегося в слабо искривленном слое. Включение имеет вид бесконечного цилиндра малого поперечного сечения. Поперечное сечение неоднородности является областью, диаметр d которой мал по сравнению с длиной волны Л: d Л. Пятая глава состоит из трех параграфов. Аналогично методике нахождения рассеяного поля предложенного в предыдущих главах, здесь делается тоже самое, но с существенным усложнением. В итоге неоднородность будет излучать как точечный источник, интенсивность которого пропорциональна площади сечения этой неоднородности и скачкам параметров /i и р поперечных скоростей на неоднородности и на границах разделов.

Отметим, что асимптотическая дифракционная добавка по своей структуре сложна, так как содержит в себе все характеристики трехслойной упругой среды.

В заключении подведены итоги проделанной работы к сформулированы полученные результаты.

В приложении приведены тексты прикладных программ, написанных в математическом пакете Maple 9, иллюстрирующие диаграммы направленности рассеянного неоднородностью в безграничном пространстве первичного дифракционного поля при падении волны горизонтальной и вертикальной поляризации, и в слое при падении волны горизонтальной поляризации.

Итак, к наиболее существенным результатам диссертационной работы относятся следующие.

-241. Решена задача дифракции упругих волн вертикальной поляризации, падающих в безграничном упругом пространстве на цилиндр малого радиуса. При решении использованы асимптотики по аргументу специальных цилиндрических функций, в релеевском (малом по сравнению с длиной падающей волны) и оптическом (аргумент много больше длины волны) приближениях. Показано, что поле, рассеянное от цилиндра, значительно меньше падающего и в главном приближении подобно полю некоторого точечного источника.

Решение задачи, относящейся к дифракции на цилиндре волн вертикальной поляризации, привело к сложным аналитическим вычислениям, связанным с распространением двух волн (продольной и поперечной) и векторным характером задачи.

Задача рассеяния плоских упругих волн на цилиндре малого радиуса представляет самостоятельный интерес и может быть использована в связи с методом эквивалентных источников в различных средах.

2. Построено решение задачи дифракции продольной и поперечной плоской волны от упругого слоя, лежащего на упругом полупространстве. На границах разделов заданы условия сопряжения типа условий жесткого контакта (либо свободной от напряжения границы).

Для векторного случая (волны вертикальной поляризации) эта задача привела к огромному аналитическому вычислительному процессу, связанному с нахождением решения системы алгебраических уравнений восьмого порядка. Решение этой вспомогательной задачи важно не только с математической точки зрения, но и с прикладной.

3. Для решения возмущенной неоднородностью в слое задачи дифракции плоской упругой волны (и продольной, и поперечной) построены функции и квазифункции Грина из решений невозмущенной неоднородностью задачи, удовлетворяющие условиям сопряжения на границах разделов. Решения невозмущенной задачи получены в пункте 2. Применен асимптотический методом стационарной фазы для получения асимптотики при кг 1 функций Грина и рассеянного неоднородностью поля. Методом эквивалентных источников получена приближенная формула для первичного дифракционного поля возмущенной задачи, использующая решение задач пункта 1.

4. Выведены интегральные уравнения для получения дифракционной картины поведения поля, возмущенного неоднородностью, в слое с использованием функции и квазифункции Грина. С помощью итерационного метода найдено поле рассеянное на неоднородности в слое. Исследование ядра интегрального уравнения и области интегрирования дают все основания считать метод последовательных приближений сходящимся. Область интегрирования является областью малой площади, порядка 0[7т(ка)2}: ка 1. Решения задач п.1 используются в качестве начального приближения

5. Решена задача рассеяния плоской волны горизонтальной (SH) поляризации от неоднородности в слабо искривленном слое.

6. Построены диаграммы направленности рассеянного неоднородностью в безграничном пространстве первичного дифракционного поля при падении волны горизонтальной и вертикальной поляризации, и в слое при падении волны горизонтальной поляризации.

Рассмотренные автором задачи находят применение практически во всех областях. С ними постоянно имеют дело в оптике, радиоинженерии, электронике, теплотехнике, навигации, сейсморазведке, геофизике, акустике и т.д. Любые продвижения в решении этих модельных задач, как правило, приводят к большому числу новых технических и научных разработок.

Автор надеется, что задачи, рассмотренные в диссертации, смогут найти применение в практических вопросах, связанных с распространением плоских волн в упругих средах.

Основные результаты диссертации изложены в следующих работах [35], [36], [37], [39], [69], [70], [91].

Своим научным руководителям, Кирпичниковой Наталье Яковлевне и Кирпичникову Сергею Николаевичу, автор выражает искреннюю благодарность за постановку задач, исключительно внимательное отношение и ценные советы в процессе работы над темой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом решенные в данной диссертации задачи актуальны и преобрели за последние годы весьма большое значение. В теории распространения волн, как и в других физических теориях, число нетривиальных задач, допускающих точное решение, весьма ограничено. В тех немногих случаях, когда известно строгое решение задачи, это решение имеет весьма сложный вид. Вполне понятен поэтому постоянный интерес к приближенным методам волновой теории и особенно к асимптотическим методам. Эти методы имеют все более широкое применение при исследовании волновых явлений различной физической природы: упругих, акустических, электомагнитных. Именно поэтому задача разработки математических моделей и математического аппарата для исследования задач дифракции упругих волн на малой неоднородности в слое, является несомненно актуальной.

Итак, в диссертации найдено дифракционное поле от малой неоднородности при падении плоских упругих волн горизонтальной и вертикальной поляризации на эту неоднородность; получена плоская упругая волна горизонтальной и вертикальной поляризации рассеянная от упругого включения в слое, с соответствующей диаграммой направленности; найдена плоская упругая волна горизонтальной поляризации рассеянная от малой неоднородности, помещенной в слабо искривленный слой.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается использованием прогрессивных математических методов, современным математическим обеспечением ЭВМ, тщательным анализом устойчивости алгоритмов, многократным тестированием программ.

Практическая значимость работы состоит в том, что разработанные математические модели могут найти применение во многих областях, например, в оптике, радиоинженерии, электронике, теплотехнике, навигации, сейсморазведке, геофизике, акустике и т.д. Любые продвижения в решении этих модельных задач, как правило, приводят к большому числу новых технических и научных разработок.

1. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики - М.: Наука, 1964.

2. Арнольд В.И. Моды и квазимоды // Функциональный анализ. 1972. Т. 6, 3. С. 12-21.

3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики М.: Наука, 1989. 472 с.

4. Бабич В.М. Математическая теория дифракции (Обзор некоторых исследований, выполненных в лаборатории Математических проблем геофизики ЛОМИ) // Тр. МИАН СССР. 1986.Т. 175, С. 47-62.

5. Бабич В.М. О принципе взаимности при рассеянии плоских электромагнитных волн на коническом рассеивателе // Зап. научн. семин. ПОМИ,Т. 275, 2001. С. 17-25.

6. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн М.: Наука, 1972. 456 с.

7. Бабич В.М., Булдырев B.C., Молотков И.А. Пять лекций по асимптотическим методам в задачах дифракции и распространения волн // Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1972. 75 с.

8. Бабич В.М.,Булдырев B.C.,Молотков И.А. Некоторые математические методы, применяемые в теории дифракции //В кн.: 1-ая Всесоюзная школа-семинар по дифракции и распространению волн, (г.Паланга), М.-Харьков, 1968. С. 3-93.

9. Бабич В.М., Кирпичникова Н.Я. Метод пограничного слоя в задачах дифракции Л.: Изд-тво Ленингр. ун-та, 1974. 124 с.

10. Бабич В.М., Кирпичникова Н.Я. Об остронаправленном распространении упругих волн // Numerische Methoden in der Geophysik, Geoph. Inst. Czech. Acad. Sci., Prague 1975. S. 217-223.

11. Бабич B.M., Чихачев Б.А., Яновская Т.Б. Поверхностные волны в вертикально-неоднородном полупространстве со слабой горизонтальной неоднородностью // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1976. 4. С. 24-31.

12. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы М. Л.: Гостехиз-дат, 1941. 320 с.

13. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний М.: Наука, 1974. 504 с.

14. Боровиков В.А., Кинбер Б.Е. Геометрическая теория дифракции М.: Наука, 1978. 247 с.

15. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах М.: Наука, 1973. 344 с.

16. Булдырев B.C. Распространение волн вблизи изогнутой поверхности неоднородного тела // В сб.: Проблемы математической физики. Вып. 2. Л.: Изд-во ЛГУ, 1967. С.61-84.

17. Булдырев B.C. Асимптотика решений волнового уравнения, сосредоточенных вблизи оси плоского волновода в неоднородной среде // В сб.: Проблемы математической физики. Вып. 3. Л.:

18. Изд-во ЛГУ, 1968. С. 5-30.

19. Буслаев B.C. Теория потенциала и геометрическая оптика // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1971. Т. 22. Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 5. Л. С.175-180.

20. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости -М.: Мир, 1967. 310 с.

21. Вайнштейн Л.А. Теория дифракции и метод факторизации -М., 1966. 431 с.

22. Годунов С.К. Уравнения математической физики М.: Наука, 1971.

23. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple СПб. Питер, 2004. 539 с.

24. Готлиб В.Ю. О рэлеевской асимптотике дифракционных задач // Зап. научн. семин. ЛОМИ, Т. 62, 1976. 52-59 с.

25. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними М.: Наука, 1959. 470 с.

26. Гельчинский Б.Я. Некоторые задачи распространения волн в однородной и изотропной упругой сфере // Уч.зап. ЛГУ, 1958. 246, вып. 32. С. 322-347.

27. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Ехлаков А.В. Пространственное рассеяние волн на интерфейсных трещинах // ВИНИТИ: РЖ., 16.Механика, Т.4, 2002.

28. Доброхотов С.Ю., Маслов В.П. Конечнозонные почти периодические решения в ВКБ приближении // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Т. 15. М.: ВИНИТИ, 1980.1. С. 3-94.

29. Зоммерфельд А. Механика деформируемых сред М.: ИЛ, 1954. 486 с.

30. Иванов В.И. Равномерная асимптотика волнового поля при отражении плоской волны от выпуклого цилиндра // Журн. вычислит. мат. и мат. физ. 1970. T.ll, 1. С. 169-176.

31. Караев Н.А.,Рабинович Г.Я., Рудная сейсморазведка М.,ЗАО "Геоинформмарк", 2000. 366 с.

32. Кирпичникова Н.Я. Коротковолновая ассимптотика некоторых классов упругих волн // Дисс. на соиск. уч. ст. к.ф.-м.н., Л. 1969. 162 с.

33. Кирпичникова Н.Я., Кирпичников С.Н., Филиппов В.Б. Рассеяние плоских электромагнитных волн от малой неоднородности в слабо искривленном слое // Зап. научн. семин. ПОМИ, Т. 297, 2003. С. 93-106.

34. Кирпичникова Н.Я., Свиркина Л.А., Филиппов В.Б. Рассеяние плоских упругих волн от малой неоднородности, помещенной в упругий слой // Зап. научн. семин. ПОМИ, Т. 275, 2001. С. 72-84.

35. Кирпичникова Н.Я., Свиркина Л.А., Филиппов В.Б. Дифракция плоских упругих волн вертикальной поляризации от малой неоднородности в слое // Зап. научн. семин. ПОМИ, Т. 285, 2002. С. 88-108.

36. Кирпичникова Н.Я., Свиркина Л.А., Филиппов В.Б. Дифракция от малой неоднородности в слабо искривленном упругом слое // Зап. научн. семин. ПОМИ, Т. 297, 2003. С. 88-108.

37. Кирпичникова Н.Я., Филиппов В.Б. Дифракция плоскихэлектромагнитных волн от малой неоднородности, помещенной в слой // Зап. научн. семин. ПОМИ, Т. 275, 2001. С. 85-99.

38. Кирпичникова Н.Я., Филиппов В.Б., Свиркина JI.A. Рассеяние от малой неоднородности в упругой среде // Зап. научн. семин. ПОМИ, Т. 264, 2000. С. 122-139.

39. Киселев А.П. Влияние неоднородности среды на направленность простейших источников упругих волн // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1984. Т. 140. Математические вопросы теории распространения волн. 14. Л. С. 77-87.

40. Киселев А.П., Яровой В.О., Всемирнова Е.А. Аномалии поляризации упругих волн. Каустика и полутень // Зап. научн. семин. ПОМИ, Т. 297, 2003. С. 136-154.

41. Коул Дж. Д. Методы возмущений в прикладной математике М.: Мир, 1972. 274 с.

42. Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции М.: Мир, 1963.

43. Крауклис П.В., Крауклис Л.А. Медленная волна в анизотропном слое жидкости, моделирующем коллектор // Зап. научн. семин. ПОМИ, Т. 275, 2001. С. 132-140.

44. Крауклис П.В., Крауклис Л.А. Медленная волна в двухсой-ном акустическом волноводе, находящемся в упругой среде // Зап. научн. семин. ПОМИ, Т. 285, 2002. С. 109-117.

45. Кубанова А.К. Дифракция упругих волн на круговых не-однородностях в неограниченных пластинах // ВИНИТИ: РЖ., 16.Механика, Т.6, 2002.

46. Курант Р. Уравнения с частными производными М.: Мир,-1271964. 832 с.

47. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики -М. Л.: Изд-во ГИТТЛ, 1951. Т.1, 476 е.; Т.2, 544 с.

48. Краснов М.Л. Интегральные уравнения М., 1975.

49. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики М.: Наука, 1973. 407 с.

50. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред М.: Гостехиздат, 1957. 532с.

51. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости М.: Наука, 1965.

52. Ляв А. Математическая теория упругости М., 1935. 676 с.

53. Ляпин А.А. Динамика слоистых сред с произвольно расположенными неоднородностями // ВИНИТИ: РЖ., 16.Механика, Т.5, 2002.

54. Молотков Л.А. Исследование распространения волн в пористых и трещиноватых средах на основе эффективных моделей Био и слоистых средах СПб. Наука, 2001. 348 с.

55. Назаров С.А. Введение в асимптотические методы теории упругости Л., Изд-во Ленинградского государственного университета, 1983. 117 с.

56. Новожилов В.В. Теория упругости Л., 1958.

57. Петрашень Г.И. Распространение упругих волн в слоисто-изотропных средах, разделенных параллельными плоскостями // Уч. записки ЛГУ, вып. 162, 1952.

58. Петрашень Г.И., Молотков Л.А., Крауклис П.В. Волны в слоисто-однородных изотропных упругих средах Л., 1982. 288 с.

59. Петрашень Г.И., Успенский И.Н. О распространении волн в слоистоизотропных упругих средах // Уч. записки ЛГУ, вып. 208, 1956. 84 с.

60. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными М.: Изд-во Физ.-Матем.лит. 1961. 400 с.Т

61. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в магматической физике М., 1962.

62. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии М.: Гостехиздат, 1956. 420 с.

63. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ -М.: Наука, 1967. 664 с.

64. Рослов Ю.В., Яновская Т.Б. Оценка вклада первого приближения в поле волн, отраженных от свободной поверхности //В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л., 1988. 27. С. 117-133.

65. Селин В.И. Асимптотика электромагнитного поля точечного источника в слоистой среде // Ж. Выч. матем. и матем. физ.,т. 41 , No.6. 2001. 965-990 с.

66. Смирнов В.И. Курс высшей математики М.: Наука, Т. 4, Ч. 2, 1981. 552 с.

67. Снеддон И.Н., Берри Д.С. Классическая теория упругости -М.(ФМ)ГИФМЛ, 1961. 219 с.

68. Товстик П.Е., Бауэр С.М., Смирнов А.Л., Филиппов С.Б. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций -СПб.: Изд-во СПбГУ ун-та, 1995. 182 с.

69. Уиттекер Э.Т. Аналитическая динамика М.,Л.: ОНТИ, 1937. 500 с.

70. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.И. Курс современного анализа -М.: Физматгиз, Ч. 2, 1963. 516 с.

71. Фарафонов В.Г. Рассеяние электромагнитного излучения двухслойными сфероидами // Оптика и спектроскопия. 1994. Т. 76, 1. С. 87-91.

72. Федорюк М.В. Метод перевала М.: Наука, 1977. 368 с.

73. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения М.: Наука, 1980. 352 с.

74. Филиппов В.Б., Кирпичникова Н.Я. Дифракция электромагнитных волн на малых неоднородностях // Зап. научн. семин. ПОМИ, Т. 257, 1999. С. 304-322.-13081. Фок В.А. Дифракция Френеля от выпуклых тел // Успехи физических наук. 1951. Т. 43, 4. С. 587-599.

75. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн М.: Изд-во "Советское радио", 1970. 517 с.

76. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики М.: Гостехиздат, 1937. 998 с.

77. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции М.: Мир, 1964. 428 с.

78. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы М. ГРФМЛ, Изд-во "Наука", 1968. 344 с.

79. Яновская Т.В., Рослов Ю.В. Вклад первого лучевого приближения в поле волн отраженных от свободной границы однородного полупространства // Вестник Ленингр. ун-та. Сер. физ.-хим. 1987. 2. С. 66-72.

80. Courant R., Lax P. The propagation of discontinuities in wave motion // Proc.Nat. Acad.Sci. USA, 1956, Vol.42, No 1, P. 872-876.

81. Friedlander F,G., Keller J.B. Asymptotic expansions of solutions of (V2 + k2)u — 0 // Communs Pure and Appl. Math. 1955. Vol. 8, No. 3. P. 378-394.

82. Fred F. Pollitz. Scattering of spherical elastic waves from a small-volume spherical inclusion // Geophys.J.Int. 134, University of California, Davis, 1998. 390-408 p.

83. Gray A. and G B.Mathews,(second edition prepared by A.Gray and T.M. Macrobert),^ treatise on Bessel functions and their applications to physics. Macmillan and Co., London, 1931. 327 p.

84. Kirpichnikova N.Ya., Svirkina L.A., Philippov V.B. Scattering ofplane elastic waves on a small obstracle // DAY on DIFFRACTION'2003, 2003. P. 79-83.

85. Popov M.M. Ray Theory and Gaussian Beam Method for Geophy-sicists. Salvador-Bahia: EDUFBA, 2002. 172 p.

86. Roland Gritto, Valeri A. Korneev and Lane R. Johnson. Low-frequency elastic-wave scattering by an inclusion: limits of applications // Geophys.J.Int. 120, University of California, Berkeley, 1995., 677692 p.

87. Roland Gritto, Valeri A. Korneev and Lane R. Johnson. Nonlinear Three-dimensional Inversion of Low-frequency Scattered Elastic Waves

88. Pure and Applied Geophysics. 156, Birkhauser Verlag, Basel, 1999. 557-589 p.

89. Valeri A. Korneev and Lane R. Johnson. Scattering of elastic waves by a spherical inclusion-I. Theory and numerical results // Geo-phys. J.Int. 115, University of California, Berkeley, 1993. 230-250p.

90. Valeri A. Korneev and Lane R. Johnson. Scattering of elastic waves by a spherical inclusion-II. Limitations of asymptotic solutions // Geophys.J.Int.115, University of California, Berkeley, 1993. 251-263p.