автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование влияния многомерности на эволюцию магнитных полей и структуру аномального прогрева солнечной атмосферы

На правах рукописи

романов

Дмитрий Валерьевич J

математическое моделирование влияния многомерности на эволюцию магнитных полей и структуру аномального прогрева солнечной

атмосферы

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Красноярск — 2003

Работа выполнена в Красноярском государственном торгово-экономическом институте Министерства экономического развития и торговли Российской Федерации на кафедре информационных технологий и математического моделирования

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Дудникова Галина Ильинична

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Ковалёв Олег Борисович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Еселевич Виктор Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор Добронец Борис Станиславович

Ведущая организация: институт Теплофизики СО РАН

(г. Новосибирск)

Защита состоится 31 октября 2003 г. в 1400 часов на заседании диссертационного совета Д.212.098.04 при Красноярском государственном техническом университете по адресу: ул. академика Киренского, 26, г.Красноярск, 660074, ауд. Д 501.

Факс: (391-2) 43-06-92 E-mail: kgtu_sovet@front.ru Телефон: (391-2) 49-77-28

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан 26 сентября 2003 года.

Учёный секретарь

диссертационного совета, у--

доктор технических наук С.А. Бронов

2.003T-J

Общая характеристика работы

Актуальность работы.

Изучение физических процессов, протекающих в недрах и атмосфере активного Солнца, принципиально необходимо как для фундаментальной науки (солнечная плазма находится в диапазоне параметров, недостижимых в земных лабораториях), так и для широкого круга прикладных исследований по физике околоземного космического пространства благодаря тесным солнечно-земным связям. Природа солнечной активности тесно связана с эволюцией магнитных полей з глубинах и атмосфере Солнца. К изучение требует описания процессов, протекающих в высокотемпературной нестационарной замагниченной плазме с большим перепадом значений параметров по области и чрезвычайно сложно для теоретического анализа. Единственным адекватным подходом к исследованию таких систем являются методы математического моделирования.

В настоящей диссертационной работе исследуются особенности прогрева солнечной атмосферы с учётом многомерности задачи. Как составная часть исследования изучаются волновые процессы в магнитной трубке и развитие неустойчивостей различных типов в зависимости от конфигурации равновесного магнитного поля в конвективной зоне Солнца. Численно моделируется развитие и насыщение неустойчивостей изгибной и медленной мод колебаний. приводящее к образованию активных областей (далее АО) в солнечной атмосфере. В завершение в работе изучается влияние неоднородности источника генерируемых акустических волн на формирование квазистационарного поля температур в солнечной атмосфере (ранее в одномерном анализе было показано, что всплывающие магнитные поля генерируют акустические волны, которые при опрокидывании в стратифицированной атмосфере образуют цуг ударных волн, формирущий аномальный профиль температуры). Цель работы.

Целью работы является исследование влияния многомерности задачи на аномальный прогрев солнечной атмосферы, реализуемый по механизму Швар-цшильда-Бирмана с всплывающими от дна конвективной зоны (далее КЗ) Солнца магнитными трубками в качестве источника акустических волн. Решение поставленной задачи реализуется в следующей последовательности:

1. Линейный анализ устойчивости тонкой магнитной трубки в пределах КЗ с учётом сферической геометрии задачи в двумерной постановке и использованием уточнённой модели внутреннего строения Солнца.

2. Исследование методами численного моделирования нелинейной стадии подъёма трубки от дна КЗ. Изучение процесса насыщения неустойчивостей изгибной и медленной волн в различных режимах.

3. Обоснование существования медленных волн, распространяющихся вдоль

рос НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

спмедйгрг гж У

о» wer «vo Г

магнитной трубки в условиях, близких к реальным. Проводится исследование дисперсионного уравнения, описывающего медленные волны для однородной трубки конечного радиуса. Нчйденчое решение обобщается на случай произвольной радиальной неоднородности параметров плазмы трубки. 4. Моделирование прогрева хромосферы Солнца в двумерной постановке задачи для неоднородного источника акустических волн и определение структуры и степени неоднородности поля температур солнечной атмосферы.

Методологическая структура работы

Ранее прогрев атмосферы Солнца акустическими волнами, генерируемыми всплывающими магнитными трубками, был исследован только в рамках одномерных моделей. Основной идеей работы является исследование качественно новых физических явлений, природа которых определяется неодномерностью реальной физической системы. Объектами исследования являются магнитная трубка в КЗ и хромосфера Солнца. Предметами исследования являются устойчивость магнитной трубки; динамика её подъёма от положения равновесия к поверхности Солнца: поле температур хромосферы, прогреваемой модельным неодномерным источником акустических волн, расположенным на поверхности Солнца. Методы исследования: для магнитной трубки обосновано приближение тонкой магнитной трубки; устойчивость исследована линеаризацией исходной системы уравнений, для исследования нелинейной стадии подъёма трубки полная нелинейная система уравнений решается численно с помощью разработанных численной схемы и алгоритма интерполяции данных модели КЗ. Для исследования распространения и опрокидывания акустических волн в атмосфере Солнца система уравнений двумерной газовой динамики в дивергентном виде с объёмными лучистыми потерями и теплопроводностью решается численно с помощью адаптированной схемы Лакса-Фридрихса.

Научная новизна:

1. Линейный анализ устойчивости тонкой магнитной трубки проведён в двумерной постановке с учётом сферической геометрии задачи для полного диапазона глубин КЗ. Получены аналитически решение уравнения малых колебаний в виде бегущих волн, дисперсионное уравнение, условия устойчивости и инкременты развития неустойчивостей изгибной и медленной волн.

2. Обосновано существование медленных волн в трубке конечного радиуса с сильной радиальной неоднородностью распределения параметров плазмы. Описан спектр решений точного уравнения малых колебаний для цилиндрической однородной магнитной трубки в незамагниченной плазме, процедура построения дисперсионного уравнения и два численных алгоритма поиска его нетривиальных решений для случая произвольной радиальной неоднородности параметров трубки.

3. Разработан алгоритм численного решения системы уравнений, описывающий динамику тонкой магнитной трубки в незамагниченной плазме в поле тяжести. Исследована в двумерном приближении нелинейная стадия подъёма трубки из равновесного положения у дна КЗ вследствие потери устойчивости. Показаны основные особенности нелинейной стадии развития неустойчи-востей. Образование арочной структуры магнитного поля в солнечной атмосфере является следствием развития неустойчивости медленной волны, приводящей к фиксации части магнитной конфигурации под дном КЗ Солнца.

4. Разработан алгоритм с улучшенными вычислительными характеристиками описания стационарных решений в атмосфере Солнца. Произведён (с учётом всех значимых диссипативных процессов) расчёт прогрева атмосферы неоднородным источником акустических волн, расположенным на фото-сферном уровне Солнца. Подтверждён эффект аномального роста температуры по высоте, исследована структура неоднородного температурного поля в нижних слоях солнечной атмосферы.

Достоверность результатов.

Разработанные схемы и используемые в работе пакеты программ прошли полное тестирование на модельных задачах, близких по физической природе к изучаемым явлениям и допускающим аналитическое решение. Вычислительная часть диссертационной работы отдельно опубликована в центральном реферируемом журнале из списка ВАК и доложена на ряде конференций. Используемые в работе схемы аппроксимируют системы уравнений, записанные в консервативном виде, что обеспечивает разностное выполнение соответствующих законов сохранения. В диссертационной работе представлены результаты проведённых тестов.

Полученные результаты исследования непротиворечивы, дополняют друг друга и соответствуют имеющимся наблюдательным данным по изучаемым явлениям. Результаты проведённого исследования докладывались на различных (в том числе и на международных) конференциях, конгрессах и семинарах отдельно по организации и проведению расчётов (обоснование расчётной части работы) и отдельно по анализу полученных астрофизических результатов. Результаты работы достаточно полно опубликованы в рецензируемых центральных научных журналах по списку ВАК соответствующего профиля.

Научная и практическая ценность.

Результаты полного многомерного линейного анализа устойчивости магнитной трубки в пределах всего диапазона глубин конвективной зоны имеют ценность для теории солнечного Динамо, в которой действием магнитного поля на плазму Солнца пренебрегается и рассматривается только уравнение индукции в заданном поле скоростей. Развитая модель тонкой магнитной трубки получена из полной системы уравнений идеальной одножидкостной

магнитогазодинамики и не содержит подобных ограничений, позволяя изучить вопрос устойчивости магнитных конфигураций и определения их времени удержания в КЗ. Анализ устойчивости изгибной и медленной мод колебаний с учётом старших азимутальных гармоник актуален для анализа процесса формирования фотосферной сетки магнитных полей и ряда процессов, формирующих феномен активного Солнца.

Основные особенности нелинейной стадии развития неустойчивости медленной волны объясняют особенности формирования биполярной АО на поверхности Солнца: образование крупномасштабной арочной структуры — сечение арки поверхностью Солнца выглядит как два солнечных пятна; отекание газа вдоль силовых магнитных линий — эвершедовские потоки; фиксация в области устойчивости под дном КЗ части трубки — дрейф АО относительно поверхности из-за дифференциального вращения.

Обоснование существования медленных волн в магнитной трубке с радиальной неоднородностью параметров делает актуальным учёт медленных волн при анализе переноса энергии в замагниченной плазме и принципиально необходимо для обоснования существования предмета исследования.

Разработанный для исследования атмосферы Солнца пакет программ может быть применён для изучения отклика атмосферы на импульсные возмущения (солнечные вспышки), исследования эффекта аномального прогрева с различными типами источников волн (задача построения квазистационарного профиля температуры в хромосфере), построения модели хромосферы без использования данных наблюдений в качестве входных. Построенное с его помощью поле температур хромосферы Солнца для модельного случая двумерного синусоидального распределения скорости на границе-источнике согласуется с данными двухтемпературных полуэмпирических моделей, обосновывая их применимость.

По постановке задачи диссертационная работа полностью соответствует тематике международной комплексной программы исследований «Космическая погода» по разделу: глобальная картина развития солнечно-земных связей (космической погоды).

Автор защищает:

1. Расчёт распределения критических значений напряжённости магнитного поля и термодинамических параметров плазмы, разделяющих устойчивые равновесные положения магнитной трубки от неустойчивых для изгибной и медленной мод колебаний (включая старшие азимутальные гармоники) для полного диапазона глубин конвективной зоны и зоны проникающей конвекции. Аналитическое решение уравнения малых колебаний в виде бегущей волны, расчёт инкрементов развития неустойчивостей изгибной и медленной мод колебаний в различных режимах.

2. Обоснование существования решений дисперсионного уравнения для медленных волн в магнитной трубке конечного радиуса с радиальной неоднородностью распределения параметров плазмы; разработку двух численных алгоритмов поиска нетривиальных решений дисперсионного уравнения для случая произвольного неоднородного распределения физических параметров плазмы по радиусу трубки.

3. Физический механизм зарождения и стабилизации локальных активных областей солнечной атмосферы, основанный на развитии и насыщении неустойчивости старших гармоник медленной моды колебаний магнитной трубки в различных режимах.

4. Расчёт распределения термодинамических параметров аномально прогретой солнечной атмосферы в диапазоне высот от фотосферного уровня до нижних слоёв короны Солнца для неоднородного источника акустических волн на фотосферном уровне. Результаты расчёта подтверждают наличие эффекта аномального прогрева и обосновывают корректность двухтемпера-турного описания пространственной неоднородности параметров солнечной атмосферы.

Все выносимые на защиту результаты принадлежат лично автору. Представление изложенных в диссертации и выносимых на защиту результатов, полученных в совместных исследованиях, согласовано с соавторами.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на научных семинарах в институте Теплофизики СО РАН (далее ИТ СО РАН), институте Вычислительных Технологий СО РАН (далее ИВТ СО РАН), институте Теоретической и Прикладной Механики СО РАН (далее ИТПМ СО РАН), на межвузовской научной конференции аспирантов «Актуальные проблемы современной науки и пути их решения» (ноябрь, 2001 г., Красноярский государственный торгово-экономический институт), на сибирской школс-ссмипарс, посвященной 40-летию института Гидродинамики (декабрь, 1997 г., институт Гидродинамики СО РАН), на всероссийской конференции по физике солнечно-земных связей (сентябрь, 2001 г., институт Солнечно-Земной Физики СО РАН, г. Иркутск (далее ИСЗФ СО РАН)), на Ш-ем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98) (июнь, 1998 г., г. Новосибирск), на ГУ-ом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000) (июнь, 2000 г., г. Новосибирск), на международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред", (май-июнь 1996 г., ИВТ СО РАН), на международной конференции "Солнечная активность и её земные проявления", посвящённой памяти Г.В. Куклина (сентябрь, 2000 г., ИСЗФ СО РАН), на международной конференции «Устойчивость гомогенных и гетерогенных жидкостей» (апрель, 2001 г.,

ИТПМ СО РАН), на международной конференции «International Conference on the Methods of Aerophysical Research» (ICMAR-2002, июль, 2002 г., ИТПМ CO РАН), на всероссийской конференции, посвященной 90-летию со дня рождения чл.-корр. АН СССР В.Е. Степанова "Магнитные поля и трёхмерная структура солнечной атмосферы"(24-30 августа 2003 г., ИСЗФ СО РАН).

По теме диссертации опубликовано 10 работ, из них 8 работ опубликовано в центральных периодических рецензируемых журналах из списка ВАК, 1 в сборнике трудов международной конференции, 1 в сборнике трудов всероссийской конференции.

Объём и структура работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка из 137 наименований. Полный объём работы — 128 страниц, включая 33 рисунка и 16 таблиц. >

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность диссертационной работы, проводится обзор опубликованных работ, представляется состояние исследуемой тематики к настоящему времени. Сформулированы цели и задачи проводимого исследования, результаты, выносимые на защиту, отмечена научная новизна работы.

В первой главе обосновывается применимость приближения идеальной одножидкостной магнитогазодинамики (далее иМГД) для описания магнитного поля в пределах КЗ Солнца. Описано приближение и система уравнений тонкой магнитной трубки. Проводится линейный анализ устойчивости тонкой магнитной трубки в пределах КЗ и зоны проникающей конвекции Солнца. Основным объектом исследования главы является тонкая магнитная трубка, расположенная в незамагниченной плазме.

В §1.1 оцениваются характерные параметры тонкой магнитной трубки в зависимости от глубины погружения в солнечную КЗ с использованием известного распределения параметров КЗ по глубине (рис. 1) и параметров трубки на поверхности Солнца. Оцененные поперечные размеры трубки сравнивается с длинами пробега частиц и излучения для классической идеальной v плазмы. Показано, что все пространственные и временные масштабы задачи о дозвуковом движении трубки много больше кинетических. Масштабы дисси-пативных процессов (время диффузии магнитного поля, число Рейнольдса, время прогрева за счёт теплопереноса поперёк магнитного поля) оценени-ваются по коэффициентам вязкости, электрической проводимости, теплопроводности и лучистой теплопроводности для идеальной плазмы. После учитывается. что плазма КЗ находится в состоянии развитой гидродинамической турбулентности. В предположении, что спектр турбулентности Колмогоров-ский и основной вклад в потерю импульса дают турбулентные вихри размера

порядка радиуса сечения трубки число Рейнольдса оценено заново.

На основании всей совокупности оценок сделан вывод о применимости приближения идеальной одножидкостной магнитогазодинамики для описания магнитной трубки в КЗ Солнца.

В §1.2 выполнен переход от полной трёхмерной системы уравнений к системе уравнений на величины, взятые на оси трубки. Основанием для этого перехода является выполнение в КЗ Солнца следующих условий:

а) радиус сечения трубки много меньше характерного масштаба изменения параметров КЗ по радиусу, радиуса кривизны оси трубки и характерной длины волны возмущений; б) скорость движения трубки мала по сравнению со скоростью звука во внешней среде; в) время движения много больше времени установления равновесия давления в сечении трубки.

При выполнении этих условий влиянием трубки на КЗ Солнца можно пренебречь. Задача расщепляется на задачу построения модели КЗ и задачу о движении тонкой магнитной трубки в среде с известным нолем параметров. Распределением параметров в поперечном сечении трубки можно пренебречь, оставив только зависимость от координаты вдоль оси (в работе это лагран-жева массовая переменная я, равная массе плазмы между двумя сечениями).

Введём следующие обозначения: I — единичный вектор касательной к оси трубки; Н — напряжённость магнитного поля; р — газодинамическое давление; р — плотность плазмы; д — ускорение свободного падения; а — площадь поперечного сечения трубки, / — объёмная плотность силы. Индексом I обозначим величины внутри трубки, а индексом е - снаружи. Система уравнений иМГД сводится к одномерной системе уравнений тонкой магнитной трубки:

дг д

di = V dt

El

iph

о

dt p, p, + pe 87Г (!)

/ = ~ ■ ~{Ht) + (Pi - Pelf)) ■ m Па = const

Система состоит из трёх уравнений движения (возмущение давления внешней среды найдено из решения модельной задачи обтекания бесконечного цилиндра, соответствующая сила реакции записывается как присоединённая масса), условия сохранения потока магнитного поля, условия адиабатично-сти, баланса давления на поверхности трубки и уравнения непрерывности. Необходимые для замыкания системы зависимости pe(f), g{r), ре(г) определяются по данным модели внутреннего строении Солнца и для используемой модели обладают сферической симметрией (зависят только от г).

Для проведения линейного анализа устойчивости равновесного положения тонкой трубки система (1) линеаризуется в §1.3.1. Начальные данные: трубка неподвижна, замкнута в кольцо с центром в центре Солнца. Трубка лежит в экваториальной плоскости, сила Архимеда уравновешивает силу натяжения магнитного поля. Линеаризованная система сведена к двум волновым уравнениям на компоненты вектора смещения 5г = 6г ■ ег + 5ф ■ го • ёф в цилиндрических координатах (и2 = Я2/4тгр, — квадрат скорости Альфвена, V2 = Сд -V2/(<?8+У2) ~ касповой (трубочной) скорости и (?а = 7Рг/Рг — скорости звука):

Ьф'и - ^оРо^Ф'ва +

Го

9о

_2

Го с2 + VI

Ро<то6г'в

г " 2 5ти = Уа

Ро

+ ■

Ро

-V.

Р0 + РеО 2 А)

^ руйк+

Ра + РеО

уУЫ Го до

-90

аР0 + РеО

й'еЫ

Ро

„2 4

„2 ~

9о--

2У2

9о

го

Го<ТоРо5Ф'а

с1 + У1

8т-

(2)

(3)

[2 / 2vl\ 1

— +\ 90--] 2 , 2

/0 \ П) / + С^

В §1.3.2 система (2, 3) переписана в кратком виде и подставлено решение

в виде бегущей волны:

Г Ни = 01' Н'ве + «з • 5г'3/г0 ( 6г = сж(ш1 - кз)

\ = ¿1 • 8г"в + Ь2-6г + Ь3 • г05ф'3, \ г0-5ф = т1- вт(ш£ - кв), ах совпадает с квадратом фазовой массовой скорости медленной волны; Ь\ — с квадратом фазовой массовой скорости изгибной волны с учетом присоединённой массы; — с квадратом частоты Брента-Вяйсяля с учётом присоединённой массы и магнитного поля, возникающим при одномерном анализе конвективной неустойчивости трубки. Исключение безразмерного параметра г] (описывающего угол наклона вектора смещения к оси трубки) позволяет получить дисперсионное биквадратное уравнение: (ш2 - к2ах){и}2 - к2Ьг +62) + к2а3Ь3 = О Это уравнение имеет два решения

= \ [^(«1 + Ьг) - Ьа ± л/(&2 - к2(ах + Ъ,))2 - 4к\афг - аг62 + Ра^)] Они отвечают изгибным и медленным волнам, модифицированным присутствием гравитации, т.к. к возвращающей силе натяжения магнитного поля добавлена сила Архимеда. Присутствие магнитного поля изменяет адиабатические свойства трубки при расширении/сжатии, добавляет возвращающую силу натяжения магнитного поля и изменяет начальные условия равновесия. Схема течения вещества для изгибной и медленной волн в случае д — О и прямой трубки приведена на рис. 2. В изгибной волне плотность плазмы постоянна, роль возвращающей силы играет сила натяжения поля. В мед-

10

10"г

' г, 10 кт

Рис. 1: Распределение параметров плазмы Солнца по данным используемой модели

5.0Е+04 6.0Е+04 7.0Е+04

GONG

Рис. 2: Схема направления течения плазмы трубки для изгибной (вверху) и медленной (внизу) мод колебаний трубки.

ленной волне вещество смещается вдоль трубки, возвращающие силы — это силы давления магнитного поля и плазмы (меняющиеся в противофазе).

Отрицательное значение квадрата частоты колебаний отвечает неустойчивости этой волны. В КЗ Солнца дискриминант в выражении для всегда положителен, откуда следует вещественность и тот факт, что любая из волн или устойчива и колеблется без затухания (си2 ^ 0), или чисто неустойчива (ш2 < 0). По известным ре(г), ре(г) и д(г) найдены зависимости ¡¿± как функции го и /3 = Но/(&тсрео) при фиксированном к (рис. 3, 4).

Решение соответствует изгибной волне, модифицированной действием гравитации (77 <С 1). Так как ^ неустойчивость этой моды автоматически означает неустойчивость медленной волны для того же волнового вектора. Только эта волна имеет осесимметричную (нулевую) моду колебаний к = 0. На рис. 3 приведены зависимости о>+(/3, г) для мод 0 и 1 этой волны. Магнитное поле стабилизирует изгибные волны с т > 0 за счёт силы натяжения поля — с ростом к стабилизирующая роль силы натяжения магнитного поля растёт. Нулевая мода изгибной волны описывает изменение радиуса кольца и наиболее близка к задаче о конвективной неустойчивости малого элемента плазмы (рис. За подтверждает результаты одномерных моделей). Из рис. За следует, что наличие магнитного поля увеличивает инкремент конвективной неустойчивости в нижней части КЗ (зона Динамо) и стабилизирует конвективную неустойчивость в верхней части КЗ (зона Релаксации).

Второе решение ш?. отвечает медленной волне, в которой вещество смещается в основном вдоль трубки (г) 1). На рис. 4 приведены зависимости ь>-(0,г) для мод 1 и 5. Медленная волна неустойчива во всей КЗ, ограничивал время удержания в зоне Релаксации. С уменьшением длины волны возникает область устойчивости у дна КЗ, но инкремент неустойчивости в

5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 6.2 6.« 6.6 6.8

Г, Ю10 СМ

Рис. 3: Зависимость ш+(г0,/3) для моды т — 0 (а) и моды т — 1 (б), зоне Релаксации даже увеличивается. В главе 3 нелинейная стадия развития этой неустойчивости и её особенности изучены численными методами.

Глава 2 посвящена обоснованию существования медленных волн, распространяющихся вдоль трубки с радиальной неоднородностью параметров, превышающей малую в длинноволновом пределе величину к2II2 (II — радиус трубки). Внешняя среда однородна и незамагничена. гравитация отсутствует. Для описания трубки используется приближение иМГД. В §2.1 система уравнений линеаризуется в цилиндрических координатах с осью, лежащей на оси трубки. При выводе уравнения малых колебаний использованы условия: а) в начальный момент плазма трубки и внешней среды покоится; б) рассматриваются осесимметричные колебания; в) Уф = 0 (это исключает крутильные колебания из рассмотрения); г) решение ищется в виде бегущей волны, все возмущённые величины зависят от координат как /(г, г, ¿) = f(r) • ехр(((кг — «¿)). Линеаризованная система сводится к волновому уравнению на радиальную компоненту скорости (обозначенную как г;г):

д_ дг

Р ■ (<£ + У2а)

ш2 - 1 д(гут)

о

(4)

и2 — к2с* г дг В §2.2 исследован спектр решений этого уравнения для случая однородной трубки. Найдены точные решения уравнения (4) внутри трубки:

ьг(г)=31(дгг), дг

(и2-к2<*{)(ш2-к2у2)

(5)

5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 6.2 6.4 6.6 6.

г, Ю10 см

Рис. 4: Зависимость ш1(го,у8) для мод щ—1 (а) и ш—5 (б).

и вне трубки:

уг(г) = Я^(дег), де = у/(и? - к*<*е)/<*е (6)

.^(ж) обозначает функцию Бесселя первого рода, Н'^(ж) — функцию Ган-келя первого рода. Решения ограничены, на бесконечности отсутствует приходящая к трубке волна. Для незатухающих колебаний 1ш(о;) = 0 (это условие сводится к условию ш < ксзе). Условие сшивки решений на поверхности трубки получено интегрированием уравнения (4) по бесконечно малой окрестности поверхности трубки и заключается в условии непрерывности г>г и возмущения полного давления 5р + До • ЯН2/Атг. Подстановка решений (6) и (5) в условие сшивки даёт дисперсионное уравнение:

ли

1 + дЛ

= /еН

1 + ЯеЯ

^'{ЯеЩ

/(г,ш,к)=р(г)-(с2(г) + у2а(г))

и? - кУт(г) к2с*(г)

ш

Я -

(7)

(8)

Обозначим левую часть дисперсионного уравнения (7) как Ци;), правую как К(ш) и используем графический метод поиска решений. Графики функций (¿(ш). д2(ш) показаны на рис. 5. Поведение выражений дй • ^д] и

дИ • целиком определяется знаком д2: для д2 < 0 это экспоненциально

растущие/убывающие монотонные функции, отвечающие нераспространяю-щейся волне, для д2 > 0 это осциллирующие функции, отвечающие звуковой

<Г(ю)

í,»

ü)

со

Рис. 5: Графики функций, входящих в состав дисперсионного уравнения (7). волне с источником на оси цилиндрической системы координат.

В рассматриваемом интервале и> < kcse, величина < 0 и при росте ш от О до kcse — е функция R(w) растёт, положительна и ограничена; ]R(0) = 0.

L(w) имеет 4 выделенных интервала знакопостоянсгва <?,2. В крайнем левом интервале при росте и> от нуля до kvT функция L(w) убывает от положительного значения до нуля. В этом интервале частот есть одно решение — медленная поверхностная волна, экспоненциально затухающая от поверхности трубки. В области ш 6 min{A;cs¡, kva}} ql(kvT — 0) —oo и монотонно убывает до нуля (рис. 5). Функция Цш) имеет бесконечно много вертикальных асимптот, отвечающих нулям функции Бесселя Все асимптоты расположены в малом интервале [kvT, kvT + 0(k?R2)]. В каждом интервале между асимптотами L(w) изменяется монотонно от +оо до —оо и там существует одно решение (объёмная медленная волна). Поле скоростей внутри трубки содержит узлы vr, переход к соседнему интервалу между асимптотами отвечает изменению количества узлов на один; возмущения вне трубки экспоненциально затухают.

Остальные два интервала, ш 6 (min{£;va, fccsl}, max{A:va, kcei}) и

могут содержать быструю поверхностную и объёмную моды колебаний (вопрос существования этих решений также рассмотрен, хотя в данной главе изучение чтих мод не является цепыл исследования). В конце пункта проводится анализ вопроса об ограничениях на скорости звука внутри и вне трубки; показывается, что условие cse > vT выполняется и проведённый анализ применим к реальным трубкам на Солнце.

В §2.3 развитый метод построения и анализа дисперсионного уравнения обобщён для произвольной радиальной неоднородности параметров плазмы

внутри трубки. На оси трубки ставится задача Коши

решаемая методом Рунге-Кутта второго порядка с адаптивным шагом. Разрывы распределения параметров обходятся условиями сшивки. В результате получены уг и дг1>т на поверхности трубки. Эти данные можно использовать двумя путями. Первый заключается в построении графика (и анализе подобно проведённому) левой части дисперсионного уравнения:

Г, + Д ЭУгМ I 1 _ , Л Л Г, , - в Н^'М

/.(Д,«)

1 + ЯеЯ ■

(9)

Второй метод заключается в интегрировании решения до какой-то точки г > Я во внешней среде, разложения решения по функциям Ганкеля

уг(г) = аП{\](дег) + ^(Яег), и поиске нулей построенной таким образом функции /3(ш) любым из существующих численных методов. Оба метода проиллюстрированы для случая модельной трубки с переходным слоем толщиной 0.4Д и вариацией различных величин в слое от 20% до 100% (к2Я2 = Ю-2). Оба метода дают одинаковые решения дисперионного уравнения.

Проведение этого исследования в выбранной постановке мотивировано работой М.П. Рютовой [1], в которой было показано отсутствие приближённого решения уравнения малых колебаний (4) для трубок с неоднородностью параметров, превышающей малую величину к2Я7. Этот результат исключает медленные волны из дальнейшего анализа как несуществующие в реальных условиях. В работе [1] пренебрегалось вторым слагаемым уравнения (4). что полностью опускало осциллятлрную структуру решения по радиусу. Это приближение неприменимо в окрестности точки ш = кут, где второе слагаемое уравнения много больше первого. Исследование, проведённое в настоящей главе и существование неустойчивости Паркера для распределённого неоднородного магнитного поля в поле тяжести обосновывают необходимость учёта неустойчивости медленной волны при исследовании динамики трубки.

В главе 3 методами численного моделирования исследована нелинейная стадия неустойчивостей медленной и изгибной волн. В §3.1 проведено обез-размеривание системы уравнений (1) тонкой магнитной трубки по параметрам плазмы на поверхности Солнца. В §3.2 выписана разностная схема, используемая при решении. Использование массовой переменной и законов сохранения, записанных в интегральном виде, позволяет получить хорошие консервативные свойства схемы. Шаблон показан на рис. 6.

Система уравнений расщепляется на уравнения движения, решаемые схемой с перешагиванием (§3.2.1, центральные разности, второй порядок аппроксимации по пространству и времени) и систему неявных уравнений на

е,а, V я р н

/>

] + 1

3 + :

16Е 1

и 126 1 -

* + ± к +1

- Линейная интерполяция Показательная интерполяция

Рис. 6: Шаблон разностной схемы, исполь- Рис. 7: Зависимость радиальной компо-зуемой при решении системы (1) ненты силы от радиуса для различных ме-

тодов интерполяции

параметры плазмы внутри трубки заданной формы на новом временном слое, решаемые методом Ньютона (§3.2.2). При итерировании методом Ньютона система уравнений на приращения сводится к трёхточечной системе, решаемой циклической прогонкой. Для достижения относительной точности порядка 10~9 достаточно 3-5 итераций.

В §3.3 рассмотрен вопрос выбора интерполяции при нахождении ре(г), ре(г) и д(г). В КЗ Солнца параметры плазмы меняются с высотой по экспоненциальному закону ре{г) ос ехр(— ^£~1(г)с1г). Использование линейной интерполяции для нахождения ре(г), Рс(т) приводит к появлению потенциальных ям между узлами сетки (рис.7), нефизической стабилизации малых колебаний трубки и добавлению осциллирующей компоненты к скорости.

В работе использована интерполяция (гк ^ г < Гк+г)

М = Ягк).(^)\ Д = (10)

V Кгк) } Гк+1 - Гк

которая сохраняет монотонность радиальной компоненты силы как функции радиуса (рис.7) и в случае изотермической гидростатики даст точное аналитическое решение. В §3.4 выполнено тестирование схемы. Использовались задача о вращающемся кольце в среде без гравитации (§3.4.2, получены инварианты задачи, проверено качество их сохранения) и задача о малых колебаниях относительно положения равновесия (§3.4.1, внешняя среда изотермическая, колебания трубки устойчивы; проверены аппроксимация и сходимость численного значения частоты колебаний к аналитическому).

В §3.5 описаны результаты численного исследования нелинейной стадии подъёма трубки от дна КЗ к поверхости Солнца. В §3.5.1 рассмотрена неустойчивость медленной волны. Для этого равновесной трубке придавалось небольшое возмущение скорости, точный вид которого найден в главе 1 и соответ-

Рис. 8: Зависимость r[s,t) при развитии Рис. 9: Зависимость r(s,t) при всплывании

неустойчивости медленной волны (m—1). магнитной трубки под действием конвек-

Массовая координата в % от М. Начальные тивной неустойчивости нулевой моды из-

условия: г0 = 5.2 • Ю10 см, Во — 1.585 • 106 гибных колебаний и последующем развитии

Гс (¿3 = 0.0027), = 1.656 • 102 • cos(2jrs/M) неустойчивости медленной волны. Началь-

см/с, v± = -1.984-102-sin(2Trs/M) см/с, M — ные условия: го = 5.05 ■ Ю10 см, Во = 1.585 ■

полная масса трубки. 107 Гс, = 0, v± = 6.62 • 102 см/с.

ствует медленной волне. Описан физический механизм неустойчивости медленной волны — при смещении вещества вдоль трубки возникают области повышенной и пониженной плотности, поэтому сила Архимеда приводит к появлению вертикальной компоненты вектора смещения. Если возникшая сила натяжения поля достаточно велика, то колебания являются устойчивыми, иначе амплитуда возмущения экспоненциально растёт. На нелинейной стадии развития неустойчивости формируется арочная структура магнитного поля. Вещество стекает из всплывающей части магнитного потока в опускающуюся, которая проходит сквозь дно КЗ в область устойчивости. Поток вещества к основанию и соответствующий поток импульса приводят к фиксации основания под дном КЗ и возбуждает колебания с малой амплитудой (рис. 8).

В §3.5.2 рассмотрена неустойчивость изгибной волны. У этой волны неустойчива только нулевая мода для трубки, расположенной в нижней половине КЗ. Нелинейная стадия развития этой неустойчивости уже исследована ранее в рамках одномерной модели: радиус трубки осциллирует в пределах КЗ. Развитие неустойчивости медленной волны существенно изменяет форму трубки от кольца к группе арок (рис. 9). Этот результат существенно неодномерен и дополняет ранее полученные ограничения на время удержания поля в зоне Релаксации временем развития неустойчивости медленной волны.

В §3.6 рассмотрены ограничения, налагаемые используемой математической моделью. Перечислены основные неустойчивости, описание которых в приближении тонкой трубки опущено, и условия их возникновения. Основным фактором, ограничивающим модель, является увеличение радиуса трубки до величины, сравнимой со шкалой высот, у поверхности Солнца и неприменимость приближения иМГД в солнечной атмосфере. В связи с этим точное

количественное описание процесса перехода магнитного поля в хромосферу и корону Солнца может быть проделано после улучшения модели.

В главе 4 исследуется влияние неоднородности источника акустических волн в фотосфере на структуру поля температур в атмосфере Солнца. В §4.1 обоснована применимость приближения одножидкостной ГД для описания плазмы солнечной хромосферы. Из диссипативных процессов влиянием вязкости можно пренебречь полностью, роль теплопроводности с ростом высоты растёт и только в короне становится существенной. Плазма атмосферы Солнца оптически тонка (этот вопрос подробно рассмотрен в §4.5).

В §4.2 выписана в консервативном виде и обезразмерена двумерная система уравнений одножидкостной газовой динамики с учётом вязкости, те-пропроводности, объёмных лучистых потерь и гравитации: ,,

~ + Fid + Fvisc + Fheat) + ^-(6td + Gvisc + Gheai) = L + W (11)

Здесь U обозначает вектор газодинамических параметров среды, F - вектор потока вдоль оси х, G - вектор потока вдоль оси у, W - вектор, описывающий объёмные лучистые потери и L - вектор, описывающий действие . гравитации. Индекс id отвечает недиссипативной компоненте потоков, vise -вязким компонентам потоков, heat - слагаемым, соответствующим теплопроводности. Вид векторов Ftd. Fmsc, U стандартный,

( дТ\

Fheat = (0; 0; 0; -х^ 1 , L= (0; pg\ 0; pug),

Cheat = (о; 0; 0; , W = (0; 0; 0; -Wrad(TlP)).

Здесь p, p, e, T обозначают плотность, давление, удельную (на единицу массы) внутреннюю энергию и температуру плазмы; v — (и, v) - скорость среды; X - коэффициент теплопроводности; g = g-ex~ вектор ускорения свободного падения; Wrad - мощность объёмных лучистых потерь (см. §4.5).

В §4.3 выписана разностная схема решения системы уравнений. В связи с тем, что атмосфера Солнца стратифицирована, даже слабые возмущения при распространении вверх имеют экспоненциально растущую амплитуду и переходят в ударные волны. Показано, что композитные схемы (хорошо описывающие ударные волны без введения искуственной вязкости или TVD-ограничителей) неприменимы для решения данной системы уравнений, т.к. кривизна стационарного решения приводит к сильному счётному росту массы при использовании схем типа Лакса-Фридрихса. Для сквозного описания ударных волн в диссертационной работе введена искуственная вязкость и вязкие компоненты потоков были оставлены в исходной системе уравнений.

Идеальная часть уравнений ГД решается в три шага использованием схемы типа Лакса-Вендроффа со вторым порядком аппроксимации. Шаг 1 за-

ключается в нахождении и f/^^V

ед, = + ¿ - я^,.,)] + ^ j

На втором шаге определяются значения Ü^+ij*j+i/r

+ Í ио^ " ^в./»)] + thy ~ "о]

На шаге 3 величины используются для последовательного опре-

деления потоков и искомых приращений параметров среды до следующего временного слоя (с учётом диссипативных слагаемых, см. §4.4, §4.5):

+- - ^ж-ф)]+

Формально это уравнение является неявным из-за члена L ^i"*1] i но его значение можно найти прямыми вычислениями, так как первая компонента вектора L равна нулю, а остальные зависят только от ранее найденных компонент вектора U.

В §4.4 описан метод учёта вязких компонент потоков. Слагаемые, входящие в Fmsc и разделяются на две группы. Для постоянных коэффициентов вязкости слагаемые первой группы дают вторые производные по одной из координат, слагаемые второй дают только смешанные производные. Вторые производные аппроксимируются по tfíij, U"j±i, смешанные производные находятся через j±i/2> а сами вклады потоков учитываютя на третьем шаге, добавляя вклад в (/"+1. Порядок аппроксимации по пространству вязких потоков остаётся вторым, а уменьшение порядка аппроксимации по времени до первого не принципиально, т.к. искуственная вязкость мала и нужна только для сглаживания осцилляций за фронтами ударных волн.

В §4.5 обосновано используемое приближение объёмных лучистых потерь. Описан алгоритм учёта теплопроводности и объёмных лучистых потерь. Для описания теплопроводности используется явная схема второго порядка, так как роль теплопроводности в солнечной хромосфере незначительна и начинает проявляться только в короне Солнца, вследствие чего ограничение на шаг по времени не сильно строгое. Приведены степень ионизации, коэффициент теплопроводности и мощность объёмных лучистых потерь для плазмы нужного химического состава, находящейся в корональном равновесии, т.е.

00 04 08 12 16 20

Рис. 10: Разностное стационарное решение, обычная интерполяция плотно« и в векторе £.

Т1-0.4

П-16

0 0 0.4 0 8 16 2 0

Рис. 11: Стационарное разностное решение при использовании интерполяции (12). Остальные параметры как на рисунке 10

найденные решением микроскопических уравнений баланса для всех значимых кинетических процессов (плазма не находится в JITP).

§4.6 посвящен интерполяции плотности при определении вектора L в полуцелом узле. Использование полусумм не учитывает наличие выделенного направления — направления силы тяжести. Это приводит к тому, что полученное методом установления решение имеет малую ненулевую скорость и ~ 0(т) (рис. 10). С целью исправить этот недостаток был найден вес для линейной интерполяции плотности, использование которого даёт значительно меньшую невязку скорости при поиске стационарных решений методом установления (рис. 11). Выражение для этого веса следующее:

pghx12

и

Р

я = ■

pghx

+ \ 1 +

(12)

х-1 рдкх' р у [ р

При использовании этого веса в случае изотермического гидростатического равновесия р, = ро ■ х7, рг — ро • я' (г - пространственный индекс сетки вдоль направления гравитации). Первые три члена разложения решения в ряд по малому параметру кх совпадают с точным аналитическим решением. При кх/А —> 0 ст —> 1/2. Невязка скорости уже пропорциональна не шкале высот, а её производной и намного меньше по амплитуде.

Разработанный пакет программ предназначен для исследования распространения слабых акустических волн в стратифицированной среде с нелинейным ростом амплитуды скорости, формированием цуга ударных волн и установлением квазистационарного равновесия. Это определило набор задач для проведения тестов, описанный в §4.7:

а) Задача о распаде разрыва, предназначенная для проверки качества описания ударных волн (§4.7.1). б) Задача гидростатики, решаемая методом установления — для проверки аппроксимации объёмных сил (§4.7.2). с) За-

Рис. 12: Максимальная в течение прохо- Рис. 13: Поле скоростей солнечной атмо-ждения цуга ударных волн температура сферы, прогреваемой неоднородным ис-плазмы хромосферы с неоднородным ис- точником. [г] = 100 км, [и] = \/10 км/сек. точником волн, [г] = 100 км, [Т] = 10" К.

дача о стоячей звуковой волне в прямоугольном ящике и задача о малых колебаниях среды, находящейся в равновесии в гравитационном поле (перепад плотности — 2 порядка) при наличии теплопроводностного или объёмного диссипативного механизма и при его отсутствии — для определения качества описания акустических волн в стратифицированных идеальных и слабо-диссипативных средах (§4.7.3, §4.7.4). Для всех тестов получены аналитические решения. Показаны сходимость и порядок аппроксимации.

§4.8 содержит исследование прогрева солнечной атмосферы неоднородным источником волн, который моделируется заданием скорости на нижней границе в виде и(у) = щ ■ зт(2жу/Ьу) • вт(ш£), ир — 100 м/с, ш — 27г/100 сек-1, Ьу — 5 • 108 см. Генерируемые источником акустические волны (число Маха ~ 0.01) при распространении вверх опрокидываются, образуется цуг ударных волн, прогревающий атмосферу. Для прихода системы в квазистационарное состояние требуется около 8 прохождений ударных волн по области. Фронты ударных волн имеют дугообразную форму (рис. 13). Структура поля температур полностью соответствует результатам, полученным в двухтемпературных моделях анализа наблюдательных данных (рис. 12).

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Основные результаты работы

1. Выполнен линейный анализ устойчивости тонкой магнитной трубки по всему диапазону глубин КЗ Солнца. Получено и решено дисперсионное уравнение, показано существование двух типов решений — изгибной и медленной волн, найдены условия устойчивости и инкременты развития неустойчиво-

стей этих колебаний с учётом двумерности и сферической геометрии задачи.

2. Разработан пакет прикладных программ для численного моделирования нелинейных колебаний и развития неустойчивостей изгибной и медленной мод колебаний магнитной трубки в различных режимах.

3. Методами численного моделирования исследована нелинейная стадия развития неустойчивостей трубки. Показано, что определяющую роль в формировании активных областей (АО) и структуры поля на уровне фотосферы играет неустойчивость медленной волны, отвечающая за формирование арочной структуры всплывающего магнитного потока (биполярные АО), течение плазмы вдоль поля (эвершедовские течения), движение АО относительно поверхности (обусловленное дифференциальным вращением и заякориванием части трубки под дном КЗ).

4. Обосновано существование незатухающих медленных волн, распространяющихся вдоль трубки конечного радиуса с сильной радиальной неоднородностью. Разработаны два численных алгоритма построения и поиска нетривиальных решений дисперсионного уравнения в случае произвольного распределения физических параметров плазмы по радиусу магнитной трубки. Точно решено дисперсионное уравнение для однородной трубки, включая вопросы существования и количества решений.

5. Разработан пакет прикладных программ расчёта двумерных течений плазмы солнечной атмосферы. Исследован прогрев хромосферы Солнца в двумерной постановке с неоднородным по горизонтали источником акустических волн. Структура поля температур соответствует полученной в рамках полуэмпирических двухтемпературных моделей, обосновывая эти модели.

Список публикаций по теме диссертации

1. Романов Д.В., Романов К.В. Численное моделирование динамических процессов в солнечной атмосфере // Выч. технологии. 2003. Т. 8. № 2. С. 74-95.

2. Романов Д.В., Романов К.В. Численное моделирование развития неустойчивости медленной волны тонкой магнитной трубки в конвективной зоне Солнца // Выч. технологии. 2001. Т. 6. № 6. С. 81-92.

3. Дудникова Г.И., Романов Д.В. Незатухающие медленные колебания неоднородной магнитной трубки//Деп. в ВИНИТИ 10.01.2002. № 29-В2002. 19 с.

4. Alekseenko S.V., Dudnikova G.I., Romanov V.A., Romanov D.V., Romanov K.V. Magnetic field instabilities in the solar convective zone // Rus. J. Eng. Thermophys.. 2000. V. 10. PP. 243-262.

5. Alekseenko S.V., Dudnikova G.I, Romanov V.A., Romanov D.V., Romanov K.V. Computational simulation of the low chromosphere heating by the shock waves' series // Intern, conf. on the methods of aerophysical research. 2002. V. II. PP. 3-7.

6. Alekseenko S.V., Dudnikova G.I., Romanov V.A., Romanov D.V., Romanov K.V. Acoustic wave heating of the Solar atmosphere // Rus. J. Eng. Thermophys..

1998. V. 8. PP. 95-108.

7. Romanov D.V., Romanov V.A. The magnetic flux lifting from relaxation zone at the photospheric level // Astronomicheskii zhurnal. 1993. V. 70. PP. 134-140.

8. Романов В.А.. Романов Д.В., Романов К.В.. Цап Т.Т. Расчёт силовых магнитных конфигураций активных областей на Солнца по измерениям магнитографа полного вектора магнитного поля в различных спектральных линиях // Астрон. журн.. 1997. Т. 74. С. 278-286.

9. Alekseenko S.V.; Mezentsev A.V.. Romanov V.A., Romanov D.V., Romanov K.V. Stabilization of emerging magnetic field in the upper layers of the Solar convective zone // Rus. J. Eng. Thermophys.. 1998. V. 8. PP. 109-119.

10. Романов Д.В.. Романов К.В. Численное моделирование развития неустойчивости медленной волны тонкой магнитной трубки в конвективной зоне Солнца//Труды конференции молодых учёных, посвящённой 10-летию ИВТ СО РАН. Т. II: математическое моделирование. Новосибирск. 2001. С. 132-135.

Цитируемая литература

3

1. Рютова М.П. О медленных колебаниях магнитных нитей // ЖЭТФ. 1981. Т. 80. вып.З. С. 1038-1051.

Романов Дмитрий Валерьевич Математическое моделирование влияния многомерности на эволюцию магнитных полей и структуру аномального прогрева солнечной атмосферы:

Автореф. дисс. на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук.

Подписано в печать 20.09.2003 Формат 60x90/16. Усл. печ. л. 1.

Отпечатано ООО «Новые компьютерные технологии», г. Красноярск, ул. К. Маркса, 62-120, тел. 26-34-92, Лицензия ПЛД №48-49 от 16.04.97 г.

14 6 53

Введение

Глава 1 Линейный анализ стабильности поля

§1.1 Обоснование приближения одножидкостной МГД.

§1.2 Приближение тонкой магнитной трубки.

W §1.3 Дисперсионное уравнение, линейные колебания.

§1.3.1 Линеаризация системы и получение волновых уравнений

§1.3.2 Анализ волновых уравнений и основные моды колебаний

Глава 2 Трубка конечного радиуса

§2.1 Уравнение малых колебаний.

§2.2 Медленные волны, распространяющиеся вдоль однородной трубки.■.

§2.2.1 Интервал I

§2.2.2 Интервал II.

§2.2.3 Интервал III.

§2.2.4 Интервал IV.

Y §2.3 Распространение волн вдоль неоднородной трубки.

Глава 3 Численное моделирование эволюции трубки

§3.1 Параметры обезразмеривания системы уравнений.

§3.2 Разностная система уравнений.

§3.2.1 Уравнения движения.

§3.2.2 Уравнения состояния.

§3.3 Определение зависимости ре(г), ре(г), д(г).

§3.4 Тестирование схемы.

§3.4.1 Определение частот малых колебаний тонкой трубки

§3.4.2 Вращающееся кольцо в однородной внешней среде frt>

§3-5 Численное моделирование подъёма трубки.

§3.5.1 Медленные волны.

§3.5.2 Изгибные волны.

§3.6 О применимости модели.

Глава 4 Двумерное моделирование солнечной атмосферы

§4.1 Используемое приближние

§4.2 Описание системы уравнений.

§4.3 Разностная схема.

§4.4 Аппроксимация вязких потоков.

§4.5 Лучистый теплообмен и теплопроводность.

§4.6 Интерполяция объёмных сил.

§4.7 Тестирование схемы.

§4.7.1 Распад разрыва.

§4.7.2 Гидростатика.

§4.7.3 Стоячая звуковая волна.

§4.7.4 Стоячая гравитационно-акустическая волна.

§4.8 Прогрев хромосферы опрокидывающимися акустическими волнами.•.

Результаты работы и выводы

Задачи физики активного Солнца принципиально важны как для фундаментальной науки, поскольку плазма Солнца находится в диапазоне параметров, недостижимых в земных лабораторных условиях, так и для широкого круга прикладных исследований физики околоземного космического пространства, из которых наиболее актуальной является задача прогнозирования вспышечных событий и проявлений солнечной активности, непосредственно влияющих на состояние околоземной среды и магнитосферы. Это влияние может проявляться в изменении проходимости радиоволн, повышенном облучении с сопутствующим радиационным повреждением околоземных космических аппаратов, магнитных бурях, изменённом фоне в приполярных областях — практическое значение правильного прогноза солнечной активности несомненно [110, 120, 122].

По гипотезе Гарольда Зирина [112] все явления солнечной активности непосредственно связаны с наличием магнитного поля в глубинах и атмосфере Солнца. В специальной литературе начиная с I960 года физические свойства замагниченной плазмы исследовались теоретически в различных модельных постановках, близких к ряду задач физики активного Солнца. Использование упрощаюших предположений позволило аналитически исследовать такие вопросы, как дисперсионные свойства и устойчивость распределённого магнитного поля, характерные параметры волн, распространяющихся вдоль магнитных конфигураций, физика бессиловых магнитных конфигураций, прогрев нижней хромосферы и многие другие [121, 16]. Конфигурация солнечного магнитного поля и другие параметры задачи, как правило, аппроксимировались кусочно-постоянными или модельными аналитическими функциями. С учётом сложного нелинейного характера физических процессов, протекающих в разреженной высокотемпературной солнечной плазме в присутствии сильных магнитных полей единственным современным методом, соответствующим уровню сложности исследуемых задач, является метод численного моделирования исследуемых явлений [107, 134, 132, 133].

Настоящая диссертационная работа посвящена изучению физических процессов, формирующих структуру солнечной атмосферы. Это одна из наиболее важных задач физики активного Солнца, полностью сохранившая свою актуальность [135, 119]. Изучение данной проблемы методами численного моделирования вплоть до настоящего времени проводилось в рамках одномерных нестационарных постановок исследуемых задач [129, 96, 97, 3, 5]. Тем не менее в рамках столь жёсткого ограничения различными авторами были получены важные и принципиальные результаты по исследуемой проблеме. Предварительно исследовано влияние стохастических пульсаций конвективных течений на формирование волнового потока акустических волн на фотосферном уровне и нижних слоях солнечной атмосферы [21, 26, 31], изучен переход звуковых волн в слабые ударные волны при распространении в стратифицированных слоях солнечной атмосферы [91, 98, 94, 92, 93, 95]. Обоснован альтернативный источник потока акустических волн, прогревающих солнечную атмосферу — всплывающие магнитные поля [129] (для этого проведено предварительное исследование устойчивости изолированной магнитной трубки в конвективной зоне Солнца и определён физический механизм потери устойчивости магнитных полей [124, 125, 126, 5]). В одномерной постановке задачи получено много других результатов исследования нестационарных физических процессов, протекающих в недрах и атмосфере активного Солнца [120, 121].

Последовательное совершенствование математических моделей изучаемых явлений требует учёта влияния многомерности исследуемых задач. В ряде случаев многомерность является принципиально важной для выделения физических процессов и явлений, которые просто не могут протекать в рамках одномерной модели [60, 4, 6, 44]. Настоящая диссертационная работа продолжает цикл исследований, начатых в работе [129, и ссылки в работе] и посвящена исследованию влияния многомерности задачи на устойчивость магнитного поля в конвективной зоне Солнца и прогрев хромосферы Солнца. Это две центральные задачи физики формирования аномального поля температур солнечной атмосферы, по отношению к которым многие другие могут быть рассмотрены как вспомогательные: проблема зарождения и устойчивости активных областей солнечной атмосферы, проблема зарождения и формирования структуры солнечного ветра на различных стадиях цикла солнечной активности и многие другие [120, 121]. Данное обстоятельство определяет актуальность проводимого исследования.

С 1970 года разрешающая способность наблюдательных инструментов позволила установить, что структура магнитного поля Солнца не описывается распределённым вмороженным в плазму векторным полем с непрерывно и плавно меняющимися параметрами. Магнитные образования в атмосфере Солнца представляют собой множество сгруппированных магнитных трубок большой интенсивности (напряжённость поля трубки составляет величину порядка 1-3 кГс), расположенных в практически незамагниченной (Н ^ 4 Гс) плазме [50, 89]. Диаметр таких трубок составляет величину порядка 150 - 300 км (для сравнения скажем, что размер конвективной гранулы, самого мелкомасштабного элемента спокойной солнечной атмосферы, варьируется в пределах от 700 до 1500 км). Ряд наблюдательных данных, таких как динамика формирования активной области или дрейф магнитных структур относительно окружающей атмосферы позволяют сделать вывод о том, что наблюдаемые магнитные конфигурации являются лишь надфотосферной частью большей структуры, основная часть которой находится в конвективной зоне и, возможно, в зоне лучистого переноса.

Задача адекватного исследования эволюции магнитного поля в конвективной зоне и атмосфере Солнца затруднена наличием больших перепадов газодинамических параметров в зависимости от высоты (плотность, давление и температура в пределах конвективной зоны изменяются на несколько порядков [20]), качественным изменением физического характера теплопереноса между конвективной зоной и атмосферой, сильной нелинейностью задачи и отсутствием достаточно проработанной модели конвективной зоны с хорошим количественным описанием дифференциального вращения и конвективного теплопереноса, учитывающего сжимаемость среды. В связи с этим для описания структуры магнитных полей в конвективной зоне Солнца было разработано множество моделей [121], наиболее интенсивно используемой из которых является сформулированное в 1970-х годах приближение тонкой магнитной трубки в незамагниченной плазме [27, 130, 104, 72] для описания магнитного поля (и теория длин перемешивания для описания конвекции [121, 20]). В этом приближении поперечный размер трубки предполагается много меньшим характерного пространственного масштаба изменения параметров окружающей плазмы, что позволяет эффективно свести задачу к одномерной, заменив параметры плазмы на их средние значения в поперечном сечении трубки. Малость радиуса трубки и незначительность её влияния на окружающую среду позволяет перейти от самосогласованного описания подъёма магнитного поля к модели, в которой параметры внешней среды определяются независимо и не зависят от магнитной трубки. При этом поле скоростей и вызванное движением трубки возмущение давления во внешней среде могут быть учтены решением модельной задачи обтекания бесконечного цилиндра: интеграл возмущённого давления внешней среды по поверхности трубки сводится к хорошо известному слагаемому в уравнении движения — присоединённой массе [117].

Большинство опубликованных работ по данному направлению можно отнести к нескольким большим разделам: физика тонкой магнитной трубки как составного элемента более крупномасштабной магнитной структуры, теория солнечного Динамо и собственно обоснование и развитие модельного приближения тонкой магнитной трубки для изучения магнитного поля в плазме.

Физика отдельной изолированной магнитной трубки посвящена изучению базовых свойств трубки как составного элемента более сложных магнитных структур. Она включает в себя исследование дисперсионных свойств магнитной трубки [109]; перенос энергии в присутствии магнитного поля [130, 63]; исследование стационарной вертикальной магнитной трубки, её равновесния и устойчивости в атмосфере и короне Солнца [45, 121]; генерация волн в трубке окружающей средой [63, ссылки в работе], восстановление параметров магнитного поля в атмосфере Солнца по частотным характеристикам наблюдаемых волн и другие подобные задачи.

Работы, посвящённые обоснованию и развитию приближения тонкой магнитной трубки включают в себя вопросы генерации магнитного поля в форме трубок [12], формулировку систем дифференциальных уравнений различной степени точности (учёт дополнительных эффектов, таких как перекрученность поля [71], неидеальность плазмы [77]; разложение в ряд параметров плазмы на оси трубки и получение систем более высокого порядка малости [52]), анализ наблюдательных данных и восстановление структуры солнечного магнитного поля решением обратных задач [50].

Теория солнечного Динамо посвящена вопросам генерации магнитного поля и природе циклической солнечной активности. К этому разделу можно отнести исследование влияния конвекции на свободную магнитную трубку (усиление слабого магнитного поля конвективными течениями и зависимость предельно достижимой напряжённости поля от параметров течения [41]; положения равновесия магнитной трубки в конвективном поле скоростей и эволюция трубки в грануляционной и супергрануляционной ячейке [77, 90]); хранение и усиление магнитного поля до потери устойчивости; перенос магнитного поля от зоны Динамо в атмосферу Солнца; устойчивость магнитного поля в зоне действия Динамо (эти работы рассмотрены более подробно ниже, где и приведены библиографические ссылки).

Проведённое разделение несколько условно и отражает, скорее, круг вопросов, решение которых необходимо для воссоздания полной картины солнечного цикла активности, переноса энергии от места генерации в атмосферу, эволюции магнитных структур в атмосфере Солнца и передачи энергии в околосолнечное пространство. В отдельных случаях были сделаны попытки перейти от описания изолированной трубки к более сложным системам — ансамблю трубок в условиях, близких к атмосферным [75], влиянию кильватерного следа всплывающей трубки на конвективную зону и всплывание последующих трубок [68] и т.д.

Первая и третья главы настоящей диссертационной работы посвящены изучению устойчивости равновесных положений магнитного поля в конвективной зоне Солнца. Поворотной точкой в этой области физики Солнца являются оценки времени удержания магнитного поля в конвективной зоне, сделанные Паркером в 1975 году [69]. Оцененное время удержания составило величину от 0.02 года до 2-х лет, заметно меньшую периода солнечной активности1. Полученный результат проверялся в схожих постановках рядом авторов [120, 121, 59], и основным выводом была невозможность удержания магнитного поля в стационарном состоянии в конвективной зоне Солнца в течение характерного времени солнечного цикла (следует отметить, что все перечисленные авторы использовали довольно сильные ограничения при получении своих оценок; оценивалось фактически не время удержания магнитного поля в конвективной зоне, а характерная скорость его подъёма). Малость времени удержания магнитного поля в конвективной зоне Солнца поставила под вопрос адекватность модели конвективного Динамо Бэбкока-Лейтона (ссылки на работы по теории распределённого Динамо можно найти в работах [69, 48]) и начинает исследоваться альтернативная модель локализованного Динамо, расположенного под конвективной зоной в узком слое проникающей конвекции [19, 42, 44].

Линейная и нелинейная устойчивость магнитного поля в зоне проникающей конвекции и конвективной зоне исследованы как с использованием приближения тонкой магнитной трубки [100, 62, 5, 4, 127, 124, 125, 126], так и численным решением системы уравнений магнитогазо-динамики [47]. Исследование устойчивости распределённого магнитного поля является более сложным, поскольку начальное распределение поля должно обосновываться отдельно. Как правило, инкремент неустойчивости и частоты колебаний в этом случае зависят и от параметров среды,

1 Период солнечной активности составляет 11 лет без учёта смены полярности; полный цикл солнечной активности равен 22 годам [135]. и от их градиентов [86, ссылки в работе].

Использование приближения тонкой магнитной трубки позволяет решить эту задачу более простыми методами. В качестве начального положения трубки обычно выбирают тор, с осью, лежащей на оси звезды [4, 86, 62, 79, 40, 101, 39] и радиусом, отвечающим дну конвективной зоны или зоне проникающей конвекции. Без учёта вращения звезды дисперсионное уравнение, описывающее распространяющиеся вдоль такой трубки волны малой амплитуды, расщепляется на биквадратное уравнение, решения которого отвечают изгибной и медленной волнам [4], и на уравнение первого порядка, описывающего неустойчивость соскальзывания трубки к полюсу [86]. В отсутствие гравитации изгибная волна переходит в альфвеновскую, а медленная в варикозную моду колебаний трубки [4, 130].

Во всех работах, указанных выше, зависимость параметров внешней среды от радиуса выражена безразмерным градиентом энтропии по высоте 8 [86]2:

5 = d\nTe 7-1 din Ре 7 где Теяре — температура и давление внешней среды, зависящие от радиуса (обычно это монотонно убывающие функции радиуса). Инкременты выражены функциями 5 и (3 — отношения давления магнитного поля к плазменному внутри трубки:

0=^

87тр

Следует заметить, что пространство параметров трубки на самом деле является трёхмерным, где третьим параметром является начальный радиус тора. Влияние начальной геометрии трубки проявляется в изменении условия начального условия равновесия (роль начальной кривизны отмечена в [86] и исследована в [4]) и, при учёте вращения, через действие силы Кориолиса. Если пренебречь начальной кривизной трубки и перейти к плоской конвективной зоне [60], то наличие магнитного поля стабилизирует конвективную неустойчивость подъёма трубки как целого, но для волн с конечной длиной волны медленная волна всегда является неустойчивой (область неустойчивости определяется как Л ^ Асг(р, Ре, В,ре), для более коротковолновых возмущений сила

2В англоязычных работах данное выражение носит название коэффициента суперадиабатично-сти (superadiabaticity). натяжения достаточно велика и стабилизирует конвективную неустойчивость). Инкремент неустойчивости медленной волны превышает инкремент неустойчивости изгибной волны для любого волнового вектора [4, 86]. В зоне проникающей конвекции, где неустойчивость вертикального подъёма трубки может быть стабилизирована за счёт конвективно-стабильного распределения параметров по высоте, неустойчивость медленной волны является определяющей. Именно она отвечает за образование арочной структуры всплывающего магнитного потока [4, 60]. Для распределённого магнитного поля в гравитационном поле эта неустойчивость соответствует неустойчивости Паркера [67].

Учёт вращения приводит к усложнению дисперсионного уравнения, которое становится общим алгебраическим уравнением четвёртой степени [62, 79, 40, 101]. Градиент скорости вращения играет не менее важную роль, чем градиент давления. Условия, когда он может стабилизировать трубку, описаны в [101]. В работе [79] исследована нелинейная устойчивость трубки и показано, что находящаяся в зоне проникающей конвекции трубка в состоянии теплового равновесия смещается по широте и может прийти в новое устойчивое состояние механического равновесия, где силы натяжения поля, Архимеда и Кориолиса уравновешивают друг друга, при этом трубка в новом положении вращается быстрее окружающей среды.

Во всех этих работах авторы ограничивались определением инкремента неустойчивости как функции 7(5, /3) [101, 86], или рассматривали трубку в небольшой области около дна конвективной зоны, используя различные модели данного диапазона глубин [62, 79, 40, 39,13]. При этом результаты в значительной мере определяются используемой моделью конвективной зоны и должны пересматриваться с совершенствованием моделей внутреннего строения Солнца. Подробнее вопросы о различных моделях зоны проникающей конвекции, хранении магнитного поля в ней и инжекции магнитного потока в конвективную зону рассмотрены в работах [100, 62] и в библиографии обзора [44]. В настоящее время в связи с достигнутым прогрессом в изучении области тахоклина и восстановления профилей дифференциального вращения с ббльшей точностью процесс инжекции магнитного поля из зоны проникающей конвекции в конвективную зоны и механизм генерации магнитного поля в этой области пересматриваются заново (см. обзор [44]).

Процесс подъёма магнитного поля от дна конвективной зоны в солнечную атмосферу исследован наиболее подробно. (Полная библиография включает в себя больше 100 статей, отражая доработку используемых численных методов, поэтому полученные результаты проще представить, следуя обзорам [44, 78, 87] и работам, ставшими классическими [14, 44, 60, 13, 30, 35, 61, 36, 55, и другие]).

Первым направлением исследований является формирование трубкой, всплывающей от дна конвективной зоны, арочной структуры. Во всех работах магнитная трубка первоначально предполагается расположенной горизонтально у дна конвективной зоны или в зоне проникающей конвекции. Начальными условиями служат или условия механического равновесия, или теплового равновесия с окружающей средой (выбор одного из этих начальных условий слабо изменяет результат, что отдельно показано, например, в работе [14]). Для исследования отдельно выбранной моды добавляется малое возмущение [4, 127]. Так как в линейном анализе устойчивости трубки показано, что медленная мода является наиболее неустойчивой, возмущение обычно представляет собой малую синусоидальную добавку к одному из параметров трубки (чаще всего это возмущение энтропии). На нелинейной стадии развития неустойчивости медленной волны форма трубки отличается от синусоидальной и представляет собой широкую арку с основаниями, опускающимися ко дну конвективной зоны [4, 127, 60]. Под действием силы гравитации создаётся поток вещества к основанию трубки, что приводит к дополнительному погружению базы арки в область проникающей конвекции и закреплению там трубки даже в случае первоначального расположения целиком в пределах конвективной зоны [4, 44, 60, 13]. При подъёме трубки напряжённость магнитного поля убывает с высотой. Считается, что для воспроизводимости регулярых свойств активных областей на уровне фотосферы необходимо, чтобы в течение подъёма напряжённость магнитного поля превышала величину Beq ~ \/Pextv1anv Это приводит к ограничению снизу на начальное магнитное поле ~ 105 Гс, что на порядок больше равновесного значения напряженности Beq = 104 Гс у дна конвективной зоны [13, ссылки в ней].

Второй большой изученной областью исследований является определение влияния силы Кориолиса на структуру поднимающегося магнитного потока. Это направление привлекло наибольшее количество внимания, так как исследуемые закономерности в расположении места всплытия трубки на поверхности позволяют непосредственное сравнение с данными наблюдений и тем самым дают возможность определения параметров магнитного поля под поверхностью Солнца (вплоть до основания конвективной зоны или зоны проникающей конвекции).

Дифференциальное вращение Солнца и сила Кориолиса оказывают непосредственное влияние на характерные параметры солнечных пятен, такие как широта, напряжённость магнитного поля, угол наклона биполярной активной области к экватору и другие. Учёт действия силы Ко-риолиса приводит к правильному описанию зависимости угла наклона пары пятен от широты [30]; разницы между напряжённостями полей [35] и их направлением в ведущем и ведомом пятне [61]; даёт ограничение на диапазон широт, в котором расположены пятна [36] и обеспечивает стабилизацию неустойчивости соскальзывания [14]. Также с использованием модели тонкой магнитной трубки получены скейлинги разброса угла наклона пары пятен к экватору в зависимости от магнитного потока (т.е. поперечного размера трубки) [55]. Прямое численное решение трёхмерных уравнений магнитогазодинамики для описания эволюции магнитной трубки (без использования приближения тонкой магнитной трубки) показывает, что учёт силы Кориолиса приводит к дополнительной стабилизации верхней части арки всплывающего магнитного потока [1] относительно разрушающего действия внешних конвективных течений. Тем не менее модель внутреннего строения Солнца, приводящая совместные профили дифференциального вращения и распределения праметров внутри Солнца, ещё не создана [44, 20], поэтому все работы, рассматривающие влияние силы Кориолиса на подъём трубки, используют очень сильные допущения при описании дифференциального вращения Солнца.

Третьей областью исследования естественно считать работы по созданию и физическому обоснованию более детальной модели магнитной трубки. Пределы применимости модели тонкой магнитной трубки при исследовании переноса магнитного поля в основном связаны с малой устойчивостью трубки с магнитным полем, направленным только вдоль оси трубки, к внешним течениям плазмы (перестановочная, или желоб-ковая неустойчивость) и увеличением размера трубки в верхней части конвективной зоны до масштабов, сравнимых со шкалой высот (в зоне температурного минимума).

Воздействие внешних течений на трубку заметно ослабляется с ростом азимутальной компоненты магнитного поля. Подобные трубки с закрученным магнитным полем исследованы решением уравнений МГД в двух [37, 32] и трёх [1, 38, 29] измерениях. Двумерное моделирование показало, что трубки, имеющие только осевую компоненту магнитного поля, распадаются в процессе всплытия на два вихря, вращающихся в противоположные стороны [32] и была оценена степень закрученности, необходимой для сохранения структуры трубки при подъёме. Наблюдаемая степень закрученности оказалась заметно меньше рассчитанного в данной работе порога (этот результат получил название парадокса Лонг-копа (Longcope)).

Увеличение вычислительной мощности современных компьютеров позволило исследовать влияние внешней среды на подъём магнитного поля решением полной системы уравнений МГД в Зх измерениях с использованием неупругого (unelastic) приближения [1, 38]. В этих работах подтверждён основной результат двумерных исследований: с ростом закрученности трубка становится более устойчивой по отношению к воздействию внешней среды. Показано, что в ранних двумерных исследованиях минимальная требуемая степень закрученности сильно переоценена. Полученные пороговые значения подтверждаются наблюдательными данными и являются заметно меньшими, чем полученные моделированием в двумерной постановке (см. библиографию в работе [2]). Точное решение трёхмерных уравнений МГД, описывающих магнитную трубку конечного радиуса, показывает достаточность наличия непродольной компоненты магнитного поля, меньшей на порядок напряжённости поля вдоль оси, для сохранения структуры магнитного поля во всплывающем магнитном потоке [29]. Следует отметить, что если закрученность поля превышает определённый предел, трубка становится неустойчивой относительно скручивания вокруг оси (kink instability). Эта неустойчивость приводит к образованию пары пятен, близко расположенных друг к другу и с углом наклона к экватору, выпадающим из закона Джоу (Joy) — так называемые <5-пятна [1, 38].

Описанная совокупность работ имеет отдельные недостатки, мотивирующие дополнительное исследование, представленное в настоящей диссертационной работе.

• Линейный анализ устойчивости магнитного поля проведён либо для плоской конвективной зоны без учёта сферической геометрии задачи [60], либо используется одномерная постановка задачи, исключающая из рассмотрения неустойчивости медленной волны [124, 125, 126, 59]. Часто исследуются только окрестности зоны проникающей конвекции [39].

• В ряде работ использована полученная в работе [85] система дифференциальных уравнений для тонкой магнитной трубки, некорректно описывающая действие силы Архимеда (опущена составляющая силы Архимеда вдоль трубки, что слабо влияет на инкременты неустойчивости горизонтальной трубки, но искажает описание арок, формируемых магнитной трубкой на нелинейной стадии развития неустойчивостей) [35, 17].

• Как правило в расчётах используются устаревшие модели солнечной конвективной зоны 1977х годов [84]. Запуск космических наблюдательных аппаратов SOHO-MDI, Yohkoh, SkyLab и создание проекта GONG3 дали толчок к пересмотру моделей внутреннего строения Солнца, включая уточнение границ конвективной зоны, профилей дифференциального вращения Солнца и дальнейшему усовершенствованию моделей внутреннего строения Солнца [44, 20].

• Ряд работ, выполненных в одномерном приближении и охватывающих всю конвективную зону, показал наличие областей, где магнитное поле по разному действует на конвективную неустойчивость плазмы и может приводить к стабилизации всплывающего магнитного потока в новом положении устойчивого равновесия (зона Динамо и релаксациионная зона [124, 125, 126, 5]). Необходим анализ устойчивости в этих зонах с учётом высших мод колебаний, не обладающих аксиальной симметрией и неодномерных по постановке задачи [4, 127].

• Несмотря на принимаемые с конца 1990х годов попытки перейти к прямому описанию магнитного потока без использования приближения тонкой магнитной трубки, ограничения при непосредственном решении системы уравнений МГД слишком велики и полное решение самосогласованной задачи описания эволюции магниного поля в конвективной зоне в полном диапазоне глубин является делом ближайшего десятиления [29]. Большую сложность представляет правильное описание конвективной зоны с числами Рейнольдса порядка 1011, поскольку вязкая диссипация реализуется на расстояниях порядка 1 см, что на 10 порядков меньше размера конвективной зоны. Это вынуждает аналитически достраивать спектры турбулентности до масштабов, меньших шага сетки, и уже по ним определять мощность вязкой диссипации энергии по потокам в различных спектральных интервалах [15, 22]. Наличие магнитного поля ещё больше усложняет картину явления. Тем не менее ряд результатов, полученных с использованием данных моделей, является принципиальным

3Global Oscillation Network Group — объединение ряда крупных обсерваторий и наблюдательных центров для совместного изучения Солнца. Основными направлениями исследования являются анализ данных, полученных с помощью космических аппаратов в высоком разрешении, гелиосейсмология, улучшение модели внутреннего строения Солнца и др. Работа группы координируется через сеть InterNet, полученные результаты публикуются в электронном виде и доступны для использования. в уточнении границ применимости приближения тонкой магнитной трубки и снял ряд противоречий между наблюдательными данными и результатами двумерного МГД моделирования [29, и ссылки в работе].

• В работе [130] было показано, что приближённое решение дисперсионного уравнения, отвечающее медленной волне в трубке, отсутствует в случае неоднородности параметров, превышающей (kR)2. В длинноволновом пределе это малая величина. Так как неустойчивость медленной волны является определяющей в формировании петель магнитного потока [4], обоснование существования медленных волн в неоднородной трубке должно быть проведено с учётом данного замечания [109].

Всплывание магнитных полей из нижних слоев конвективной зоны и зоны проникающей конвекции обуславливает явления аномального прогрева солнечной атмосферы и формирования крупномасштабной структуры солнечного ветра [129].

Обзор текущего состояния исследований задачи аномального прогрева солнечной атмосферы следует начать со следующего замечания. Практически все наблюдательные данные, получаемые наземными службами и с борта космических аппаратов, заключаются в регистрации изображения Солнца в различных спектральных диапазонах. Различные линии излучения соответствуют разным температурам и плотностям плазмы, в которой возбуждаются соответствующие уровни различных химических элементов. Регистрируемые данные являются интегральными по высоте, поэтому все детальные расчётные распределения газодинамических параметров восстанавливаются с использованием дополнительных предположений, таких как гидростатическое равновесие, стационарность, химический состав атмосферы Солнца и других. С использованием этих предположений определяются профили температуры, давления, плотности, коэффициента ионизации и т.д. по высоте [102, 7]. Такие модели получили название полуэмпирических, поскольку существенно опираются на экспериментальные данные и только констатируют как опытный факт наличие минимума температуры на высоте 550 км от уровня фотосферы без физического обоснования конкретного механизма аномального прогрева солнечной атмосферы [121]. Подобные модели испытывают ряд сложностей при совмещении картин в разных спектральных линиях [102], которые разрешают введением дополнительных элементов, таких как стационарное магнитное поле [82].

Из спектральных измерений известно, что температура вещества солнечной короны составляет величину порядка 2 • 106К, что значительно выше температуры видимой поверхности Солнца. Это указывает на наличие источников тепла в хромосфере и короне, поскольку атмосфера Солнца является оптически тонкой средой и при отсутствии дополнительных источников тепла температура должна убывать с ростом высоты. Указание физического механизма нагрева составляет проблему температурного минимума солнечной атмосферы [121].

В настоящее время общепринятой является гипотеза, предложенная Бирманом и Шварцшильдом [80, 9] — прогрев осуществляется потоком акустических волн, которые при распространении в сильно стратифицированной атмосфере опрокидываются и образуют цуг ударных волн, нагревающих плазму хромосферы. Этот механизм хорошо подтверждается рядом наблюдательных данных [21, 28]:

• профили спектральных линий показывают наличие нетепловых скоростей, растущих с высотой от нескольких км/с в нижней хромосфере до 25-30 км/с в переходной области;

• волновые колебания наблюдаются в фотосфере и на всех уровнях хромосферы;

• наблюдения Дойбнера [28] показали, что вблизи области температурного минимума имеется поток энергии до 105 - 106 Вт/м2, переносимый волнами с периодами 10-300 секунд. Даже небольшой доли этой энергии 4 • 103 Вт/м2) достаточно для компенсации излучения хромосферы [105].

Проверка гипотезы прогрева акустическими волнами затруднена как из-за математических трудностей, так и из-за сложности восстановления параметров атмосферы по наблюдательным данным. Математическое моделирование процесса прогрева должно учитывать нелинейность системы гидродинамических уравнений, описывающих опрокидывающиеся акустические волны, правильно отображать процессы лучистого переноса, играющие большую роль при формировании профиля температуры. Адекватное описание процессов лучистого переноса особенно затруднено в области температурного минимума, где неприменимо ни диффузионное приближение (лучистая теплопроводность), ни приближение оптически тонкого слоя (объёмные потери) [102, 111].

Для описания прогрева ударными волнами различными авторами были использованы следующие приближения:

• В некоторых работах неоднородная атмосфера заменяется серией однородных слоев. При описании распространения ударной волны отражённые от границ раздела слоёв ударные волны считаются пренебрежимо малыми. Так же не учитывается влияние диссипации на величину скачка уплотнения [103].

• При распространении ударной волны её энергия считается постоянной и с помощью соотношений Гюгонио, предположений о профиле волны, известной зависимости плотности фона от высоты находится зависимость амплитуды ударной волны от высоты. В случае малых градиентов вводится добавка, описывающая диссипацию ударной волны. Данное приближение получило название геометрической акустики [46]. Как показали результаты поздних работ, предположение о постоянстве энергии ударной волны выполняется только в пределах высот, малых по сравнению со шкалой высот [3, 128, 96], поэтому метод не получил дальнейшего развития.

• Описание прогрева атмосферы слабыми ударными волнами. Теория создана Бринкли и Кирквудом, развита Шацманом [76], Остерброком [65] и Ульмшнайдером [92, 93]. В данной работе зависимость параметров ударных волн от высоты сводится к функции от скачка величин на фронте

F(z) = -'(р2- Pl) • v2 • т/т0, то где параметры с индексом 1 отвечают газу перед фронтом ударной волны, параметры с индексом 2 — газу за фронтом; то — период следования волн, г — длительность импульса, р — давление газа, v - скорость газа, z — высота над уровнем фотосферы. Функция F(z) не зависит от времени, поэтому теория описывает "статический"прогрев. Функция F(z) переписывается через скачок уплотнения в приближении слабых ударных волн [92, 93], в каком либо приближении находится скорость диссипации ударных волн и подставляется в уравнение баланса между потерями энергии ударными волнами и излучением. Решение уравнения баланса совместно с остальными уравнениями позволяет определить стационарные профили давления и температуры.

Выделим основные недостатки предложенных методов. Они не учитывают теплопроводность плазмы и дополнительное турбулентное давление волн /то2, нагрев исследуется как статический процесс. Это занижает размеры переходной области вблизи температурного минимума [121, 3].

В последующих работах система уравнений газовой динамики решается с помощью прямого численного моделирования, описывая процесс нагрева как динамический, но без учёта процессов теплопроводности [96, 51]. В этих работах определены высоты опрокидывания акустических волн и из этих результатов впервые теоретически определены границы области температурного минимума. В расчётах источник звуковых волн располагался в верхних слоях конвективной зоны, которая по некоторым моделям [49] генерирует волны с периодами от 10 до 200 секунд с максимумом интенсивности на 30-секундных волнах.

Позднее задача прогрева солнечной хромосферы была решена с использованием консервативной одномерной схемы в лагранжевых переменных и учётом теплопроводности [3]. В отличие от работ [96, и другие статьи серии] для адекватного описания ударных волн была использована искуственная вязкость вместо отдельного выделения разрывов и использования метода характеристик для решения системы уравнений. В этой работе были получены высоты опрокидывания и скорость роста температуры по высоте, удовлетворительно согласующиеся с наблюдательными данными. Показано, что при распространении в нижних слоях хромосферы амплитуда акустических волн практически постоянна, поэтому источник акустических волн может находиться не только на фо-тосферном уровне. Сделан вывод о принципиальной нестационарности прогреваемой атмосферы, требующий учёта при дальнейшем совершенствовании полуэмпирических моделей солнечной атмосферы.

Все перечисленные модели имеют один существенный недостаток — одномерная постановка задачи. По наблюдательным данным, солнечная атмосфера является в значительной степени нестационарным и неоднородным объектом. Основными источниками возмущений являются конвективные течения (наблюдаемые как грануляция), вспышечные процессы и магнитные поля (солнечные пятна, вспышки, корональные петли), а также выбросы вещества в атмосферу (протуберанцы, корональные транзиенты, спикулы) [121]. Следовательно, плазма солнечной фотосферы имеет множество характерных горизонтальных пространственных масштабов, начиная от размера гранулы 700 км) до супергрануляционной конвективной ячейки 32000 км) [121]. Протекающие явления в значительной степени неоднородны и для их адекватного описания необходимо решать задачу как минимум в двумерной постановке, что является обоснованием исследования, представленного в главе 4 диссертационной работы [128, 6].

Исследования прогрева атмосферы в неодномерной постановке начаты в конце 2000 года. В работе [10] рассмотрен отклик изотермической стратифицированной среды на точечное возмущение в акустическом приближении и показано, что энергия возмущения распространяется в основном в узком конусе с осью, коллинеарной вектору ускорения свободного падения. В работе [58] приведена структура стационарной атмосферы для неоднородной по горизонтали функции прогрева (сам вид функции нагрева физически не обосновывается, это просто заданная стационарная функция двух координат). Детальные расчёты неодномерного аномального прогрева солнечной атмосферы вплоть до настоящего времени фактически не проводились.

Совокупность сформулированных выше замечаний позволяет сформулировать

Цель работы.

1. Линейный анализ устойчивости тонкой магнитной трубки в пределах конвективной зоны с учётом сферической геометрии задачи в двумерной постановке и с использованием уточнённой модели внутреннего строения Солнца.

2. Исследование методами численного моделирования нелинейной стадии подъёма трубки от дна конвективной зоны. Изучение процесса насыщения неустойчивостей изгибной и медленной волн в различных режимах.

3. Исследование дисперсионного уравнения, описывающего медленные волны для трубки конечного радиуса. Обобщение решения на случай радиальной неоднородности параметров плазмы трубки. Обоснование возможности распространения медленных волн вдоль трубки с радиальной неоднородностью параметров, превышающей k2R2.

4. Моделирование прогрева хромосферы Солнца в двумерной постановке задачи для неоднородного источника акустических волн и определение степени неоднородности поля температур солнечной атмосферы в зависимости от высоты.

Структура и объём диссертации.

Во введении проведён обзор опубликованных работ и представлено состояние изучаемой проблемы к настоящему времени. Обоснована актуальность проводимого исследования. Сформулированы цели и задачи диссертационной работы, результаты, выносимые на защиту. Описана структура диссертации.

В главе 1 обосновывается приближение идеальной магнитогазодина-мики для описания эволюции магнитного поля в пределах конвективной зоны Солнца. Получена система уравнений магнитогазодинамики в приближении тонкой магнитной трубки и выполнен линейный анализ устойчивости тонкой магнитной трубки в пределах конвективной зоны Солнца.

В §1.1 приведено распределение параметров плазмы солнечной конвективной зоны по радиусу по данным модели внутреннего строения Солнца из работы [20]. Расчитаны характерные пространственные и временные масштабы кинетических, диссипативных и гидродинамических процессов. На основе результатов расчёта обосновано приближение идеальной магнитогазодинамики и выписана система используемых дифференциальных уравнений.

В §1.2 полная система уравнений идеальной магнитогазодинамики сводится к системе уравнений, описывающих тонкую магнитную трубку в конвективной зоне Солнца, используя в качестве малого параметра поперечный размер трубки по сравнению с характерными масштабами конвективной зоны Солнца.

В §1.3 проведён линейный анализ устойчивости тонкой магнитной трубки на различных глубинах конвективной зоны Солнца; получено дисперсионное уравнение для волн малой амплитуды. Найдены решения дисперсионного уравнения в виде бегущих волн, определены условия устойчивости и инкременты развития неустойчивостей изгибной и медленной мод колебаний магнитной трубки.

В главе 2 обосновано существование медленных волн в магнитной трубке конечного радиуса с сильной радиальной неоднородностью параметров плазмы. Получено и исследовано дисперсионное уравнение, изучена структура решения. Исследовано влияние конечности радиуса на спектр волн в случае однородной трубки. Результаты обобщены на случай произвольной радиальной неоднородности параметров плазмы.

В §2.1 получена система уравнений малых колебаний для трубки конечного радиуса, (вывод аналогичен приведённому в работе [130]).

В §2.2 получено дисперсионное уравнение для волн, бегущих вдоль трубки конечного радиуса с однородным распределением параметров плазмы внутри трубки. Графическим методом проведён анализ спектра решений, изучен вопрос существования и количества решений дисперсионного уравнения.

В §2.3 результаты, полученные в разделе §2.2, обобщены на случай произвольной радиальной неоднородности параметров плазмы в магнитной трубке. Описаны два алгоритма поиска нетривиальных решений уравнений для малых колебаний. В качестве иллюстрации исследован случай модельной неоднорости для трубки с переходной областью шириной O.4.R.

В главе 3 описан алгоритм численного решения нелинейной системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику тонкой магнитной трубки в массовых лагранжевых переменных. Представлены результаты тестов для разработанного пакета программ. Численно исследованы нелинейные стадии развития и насыщения неустойчивости колебаний магнитной трубки в различных режимах.

В §3.1 проведено обезразмеривание системы уравнений тонкой магнитной трубки, выписанной в §1.2.

В §3.2 безразмерная система уравнений выписана в виде конечных разностей и описано расщепление данной системы уравнений на группу уравнений движения (решаемую по схеме с перешагиванием, см. §3.2.1) и группу уравнений состояния (образующих неявную систему разностных уравнений, решаемую методом Ньютона, см. §3.2.2).

В §3.3 обосновывается метод интерполяции параметров модели [20], свободный от нефизической стабилизации малых возмущений параметров трубки и сохраняющий монотонность изменения параметров трубки с высотой.

В §3.3 описаны результаты тестирования полученной схемы на примере двух модельных задач — задачи о малых колебаниях трубки, расположенной в стратифицированной изотермической среде (§3.4.1) и задачи о вращающемся в невесомости кольце (§3.4.2).

В §3.5 приведены результаты исследования нелинейной стадии развития неустойчивостей трубки и особенности их насыщения в различных режимах. Расчёты проводились в двух постановках. В первой трубка задавалась покоящейся и все неустойчивые моды имели одинаковую амплитуду, определяемую численным шумом с амплитудой порядка ошибок округления. Этот вариант позволяет изучить одновременное развитие двух неустойчивостей и их роль в эволюции трубки. Во второй постановке задавалось малое возмущение, являющееся точным решением дисперсионного уравнения, отвечающим медленной волне. Данная постановка позволяет проследить, как происходит заякоривание нижней части трубки и формирование арочной структуры магнитного поля в солнечной атмосфере.

В §3.6 скорости течения вещества вдоль трубки сравниваются с пороговыми скоростями развития неустойчивостей, описанных в работе [131]. Исследуются другие возможности выхода за пределы используемых приближений математической модели.

В главе 4 исследуется прогрев плазмы солнечной атмосферы акустическими волнами в двумерной постановке задачи. Обосновывается математическая постановка задачи в приближении одножидкостной газовой динамики. Описан метод численного решения, приведены результаты тестов и численного моделирования процесса аномального прогрева.

В §4.1 приведены значения физических параметров стационарной солнечной атмосферы, описаны физические свойства фотосферы, хромосферы и короны, обоснован выбор используемой математической модели.

В §4.2 выписана двумерная система уравнений газовой динамики в консервативном виде с учётом вязкости, теплопроводности, гравитации и объёмных лучистых потерь. Выписаны характерные параметры задачи и проведено обезразмеривание системы.

В §4.3, §4.4 и §4.5 выписана разностная схема решения системы уравнений, описаны аппроксимация вязких и теплопроводностных потоков, особенности, вызванные наличием объёмных сил, имеющих постоянную составляющую.

В §4.6 исследуется вопрос о невязке стационарных решений, полученных методом установления. Получена и протестирована адаптированная процедура интерполяции параметров в полуцелые узлы сетки.

В §4.7 приведены результаты тестовых расчётов. Тесты позволяют проверить качество расчёта распространения ударных волн (задача об ударной трубе, см. §4.7.1), качество интерполяции объёмных сил (задача гидростатического равновесия, см. §4.7.2), качество описания слабых акустических волн, распространяющихся по однородному и стратифицированному фону при включённой и отключенной слабой диссипации (§4.7.3, §4.7.4).

В §4.8 приведены результаты численного моделирования прогрева солнечной хромосферы и нижней короны одномерным и двумерным источниками акустических волн, расположенном на фотосферном уровне Солнца. Исследовано влияние неоднородности источника акустических волн на установившееся поле температур солнечной атмосферы.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы, выделены недостатки проведённых расчётов. Определены направления дальнейших исследований.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. В работе впервые проведён в двумерной постановке линейный анализ устойчивости тонкой магнитной трубки, учитывающий старшие гармоники для изгибной и медленной мод колебаний, в пределах полного диапазона глубин конвективной зоны Солнца. Получено аналитическое решение уравнения малых колебаний в виде бегущих волн, определены условия устойчивости и инкременты развития неустойчивостей изгибной и медленной мод колебаний в различных режимах.

2. Обосновано существование медленных волн в трубке конечного радиуса с сильной радиальной неоднородностью распределения параметров плазмы. Получено дисперсионное уравнение, изучена структура его решения, исследовано влияние конечности радиуса на спектр гармоник для однородной магнитной трубки. Графическим методом исследован спектр решений, изучен вопрос существования и количества решений дисперсионного уравнения для однородной трубки конечного радиуса. Метод поиска решений обобщен на случай произвольной радиальной неоднородности параметров плазмы. Описаны два численных алгоритма поиска нетривиальных решений для данного случая.

3. Разработан алгоритм численного решения системы уравнений, описывающей тонкую магнитную трубку в конвективной зоне Солнца. Разработанный пакет программ позволяет изучать как устойчивые линейные колебания, так и нелинейные стадии развития и насыщения неустойчивостей изгибной и медленной мод колебаний в широком диапазоне глубин конвективной зоны Солнца. Произведён расчёт конкретных режимов развития неустойчивости медленной моды с образованием арочной структуры магнитного поля в солнечной атмосфере и затоплением нижней части магнитной конфигурации в области устойчивости медленной волны под нижней границей конвективной зоны.

4. Разработан алгоритм с улучшенными вычислительными характеристиками описания основных диссипативных физических процессов, формирующих явление аномального прогрева солнечной атмосферы. Произведён расчёт конкретных режимов прогрева атмосферы неоднородным источником акустических волн, расположенным на фотосферном уровне Солнца. Подтвержден эффект аномального роста температуры по высоте, исследована структура неоднородного температурного поля в нижних слоях солнечной атмосферы.

Достоверность результатов.

Разработанные схемы и используемые в работе пакеты программ прошли полное тестирование на модельных задачах, близких по физической природе к изучаемым явлениям и допускающих аналитическое решение. Вычислительная часть диссертационной работы отдельно опубликована в центральном реферируемом журнале и доложена на ряде конференций. Используемые в работе схемы аппроксимируют системы уравнений, записанные в консервативном виде, что обеспечивает разностное выполнение соответствующих законов сохранения. В диссертационной работе представлены результаты проведённых тестов.

Полученные результаты исследования непротиворечивы, дополняют друг друга и соответствуют имеющимся наблюдательным данным по изучаемым явлениям.

Результаты проведённого исследования докладывались на различных (в том числе и на международных) конференциях и конгрессах отдельно по организации и проведению расчётов (обоснование расчётной части работы) и отдельно по анализу полученных астрофизических результатов. Результаты работы достаточно полно опубликованы в рецензируемых центральных научных журналах соответствующего профиля.

Научная и практическая ценность.

В работе впервые представлены результаты полного линейного анализа устойчивости магнитной трубки в пределах всего диапазона глубин конвективной зоны для изгибной и медленной мод колебаний, учитывающий кроме нулевой старшие гармоники. Определены области устойчивости равновесных положений и, независимо, режимы развития неустой-чивостей для обоих типов колебаний магнитной трубки в широком диапазоне частот. Эти результаты являются определяющими для теоретического анализа нестационарных магнитогазодинамических процессов, формирующих феномен активного Солнца, определения физических условий и механизма функционирования солнечного Динамо, многих других задач.

В работе установлен тип неустойчивости колебаний магнитной трубки, фактически определяющий процесс зарождения и развития активных областей в солнечной атмосфере: неустойчивость медленной волны для старших гармоник колебаний магнитной трубки. Определены физические условия развития неустойчивости данного типа на различных глубинах внутренних слоев Солнца. Для конкретных режимов расчётным путем исследованы основные этапы формирования активных областей солнечной атмосферы: образование крупномасштабной арочной структуры в пределах солнечной атмосферы; растекание газа вдоль силовых магнитных линий (формирование эвершедовских течений), затопление части трубки в области устойчивости под нижнией границей конвективной зоны потоком вещества, стекающим вдоль трубки, что обеспечивает фиксацию сформированной магнитной структуры в течение длительного времени. Эти результаты являются основой дальнейшего изучения процессов зарождения и эволюции локальных активных областей в солнечной атмосфере.

В работе обосновано существование медленных волн в магнитной трубке конечного радиуса с неоднородным радиальным распределением параметров. Графическим методом изучен спектр реализуемых колебаний и показано, что количество решений (разрешённых мод) дисперсионного уравнения фактически бесконечно. Представлены два простых численных алгоритма поиска нетривиальных решений дисперсионного уравнения для произвольного распределения параметров плазмы по радиусу магнитной трубки. Разработанные методы анализа дисперсионного уравнения могут быть использованы для теоретического анализа наблюдательных данных по акустическим колебаниям, генерируемых в активных областях солнечной атмосферы.

В работе представлен алгоритм решения системы уравнений, описывающих аномальный нагрев солнечной атмосферы акустическими волнами в двумерной нестационарной постановке задачи. Алгоритм позволяет учесть основные диссипативные физические процессы, формирующие явление аномального прогрева, и обладает улучшенными вычислительными свойствами, понижающими величину невязки для случая стационарных решений. Это особенно важно для численных расчётов, проводимых методом установления. Отметим, что исследования по реализации эффекта аномального прогрева солнечной атмосферы для случая неоднородного источника акстических волн являются принципиальными для физического обоснования данного явления, поскольку на Солнце реализуется только этот случай генерации акустических колебаний. Результаты численного расчёта для простейшего случая двумерного синусоидального источника волн, представленные в работе, подтвеждают наличие эффекта аномального прогрева и служат начальной позицией для дальнейшего изучения влияния пространственной неоднородности источника акустических волн на результирующее распределение газодинамических параметров солнечной атмосферы.

Автор защищяет следующие результаты:

1. Расчёт распределения критических значений напряжённости магнитного поля, разделяющих устойчивые равновесные положения магнитной трубки от неустойчивых для изгибной и медленной мод колебаний с учётом старших гармоник для полного диапазона глубин конвективной зоны и зоны проникающей конвекции, описанных моделью [20]. Аналитическое решение дисперсионного уравнение для бегущей волны, расчёт инкрементов развития неустойчивостей изгибной и медленной мод колебаний в различных режимах.

2. Обоснование существования бесконечного числа решений дисперсионного уравнения для медленных волн в магнитной трубке конечного радиуса с радиальной неоднородностью распределения параметров плазмы при с8е ^ csi\ разработка двух численных алгоритмов поиска нетривиальных решений дисперсионного уравнения для случая произвольного неоднородного распределения физических параметров плазмы по радиусу трубки.

3. Физический механизм зарождения и стабилизации локальных активных областей солнечной атмосферы, основанный на развитии и насыщении неустойчивости старших гармоник медленной моды колебаний магнитной трубки в различных режимах.

4. Расчёт распределения термодинамических параметров аномально прогретой солнечной атмосферы в диапазоне высот от фотосферного уровня до нижних слоев короны Солнца для неоднородного источника акустических волн на фотосферном уровне. Результаты расчёта подтверждают наличие эффекта аномального прогрева и обосновывают корректность двухтемпературного описания пространственной неоднородности параметров солнечной атмосферы [43, 56, 54].

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на научных семинарах в институте Теплофизики СО РАН, на межвузовской научной конференции аспирантов «Актуальные проблемы современной науки и пути их решения» (ноябрь, 2001 г., Красноярский государственный торгово-экономический институт), на сибирской школе-семинаре, посвящённой 40-летию института Гидродинамики (декабрь, 1997 г., институт Гидродинамики СО РАН), на всероссийской конференции по физике солнечно-земных связей (сентябрь, 2001 г., институт Солнечно-Земной Физики СО РАН, г. Иркутск), на Ш-ем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98) (июнь, 1998 г., г. Новосибирск), на IV-ом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000) (июнь, 2000 г., г. Новосибирск), на международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред", (май-июнь 1996 г., институт Вычислительных Технологий СО РАН), на международной конференции "Солнечная активность и её земные проявления", посвящённой памяти Г.В. Ку-клина (сентябрь, 2000 г., институт Солнечно-Земной Физики СО РАН, г. Иркутск), на международной конференции «Устойчивость гомогенных и гетерогенных жидкостей» (апрель, 2001 г., институт Теоретической и Прикладной Механики СО РАН), на международной конференции «International Conference on the Methods of Aerophysical Research»

ICMAR-2002, июль, 2002 г., институт Теоретической и Прикладной Механики СО РАН), на всероссийской конференции, посвящённой 90-летию со дня рождения чл.-корр. АН СССР В.Е. Степанова "Магнитные поля и трёхмерная структура солнечной атмосферы"(24-30 августа 2003 г., институт Солнечно-Земной Физики СО РАН, г.Иркутстк).

По теме диссертации опубликовано 11 работ в центральной печати.

Результаты работы и выводы

Проведём физический анализ результатов приведённого исследования. Главными в диссертационной работе являются результаты линейного анализа устойчивости равновесных положений магнитной трубки для внутренних слоёв Солнца, захватывающих, в частности, конвективную зону и зону проникающей конвекции. Исследованы изгибная и медленная моды колебаний с учётом старших гармоник в широком спектральном интервале. Для обоих типов колебаний получены аналитические решения в виде бегущей волны, определены инкременты развития неустойчивостей в различных режимах.

Эти результаты обобщают как частный случай аналогичные исследования, представленные в работе [129] для нулевой моды изгибных колебаний магнитной трубки. Включение в анализ старших гармоник изгибной и медленной мод колебаний существенно расширяет возможности исследования развития неустойчивостей колебаний магнитной трубки в различных режимах. Исследование развития неустойчивости медленной моды колебаний позволило выявить важную физическую закономерность (рис. 1.5; рис. 1.6): для медленной моды колебаний область устойчивых равновесных положений с уменьшением длины волны (ростом волнового числа т) расширяется из нижних слоёв конвективной зоны к фотосфер-ному уровню. Как следствие, неустойчивости высших гармоник медленной моды колебаний магнитной трубки развиваются в непосредственной близости от фотосферного уровня. Этот результат позволяет понять физический механизм формирования структуры корональных стримеров вблизи экваториальной плоскости Солнца [33, 34] и позволяет провести в дальнейшем теоретическое изучение данного феномена.

Одним из наиболее важных результатов линейного анализа является факт вещественности квадрата частоты изгибной и медленной мод колебаний, рассчитываемого по формуле (1.31) для всего диапазона глубин и для всех типов гармоник частотного спектра. Как следствие, на Солнце реализуются либо чисто колебательные режимы без затухания, либо экспоненциально развивающиеся неустойчивости различных типов без осциллирующей составляющей. Все процессы активного Солнца реализуются в быстропротекающем динамическом режиме, как правило, взрывного характера [135].

В работе определён и физически обоснован тип неустойчивости тонкой магнитной трубки, определяющий процесс зарождения и развития локальных активных областей в солнечной атмосфере: неустойчивость медленной волны для старших гармоник колебаний магнитной трубки. Сразу отметим следующую закономерность: с ростом длины волны (и соответствующим с уменьшением волнового числа ш) инкременты развития развития неустойчивости возрастают. Этот результат является принципиальным для исследования механизма и временной эволюции крупномасштабной структуры корональных дыр солнечной атмосферы за время развития цикла солнечной активности [83].

Но главным является, естественно, физический анализ зарождения и развития феномена локальных активных областей в солнечной атмосфере. Разработка пакета прикладных программ для численного моделирования нелинейных колебаний и развития неустойчивостей различных типов волн существенно расширяет практические возможности исследований по зарождению и временной эволюции локальных активных областей в солнечной атмосфере. В работе рассчитан конкретный режим развития и насыщения неустойчивости медленной волны, выделены все основные этапы данного процесса: формирование крупномасштабной арочной структуры силовых магнитных линий, стекание вмороженной плазмы вдоль магнитного поля с образованием затопленной устойчивой области повышенной плотности плазмы в нижних слоях конвективной зоны и, частично, в зоне проникающей конвекции. Образование области стекания обеспечивает устойчивость, стабильность сформированной магнитной структуры в течение длительного времени. Этот механизм обуславливает дрейф активных областей в атмосфере Солнца [4]. Детальный расчёт прогрева области повышенной плотности и распад структуры магнитного поля в приближении идеальной МГД невозможен и требует учёта процессов теплопереноса в замагниченной плазме. Это направление дальнейших исследований по диссертационной работе.

Программа позволяет определить характерные величины скоростей стекания газа на фотосферном уровне (формирование эвершедовских течений [121, 35]), рассчитать значения температуры, плотности газа, напряжённости магнитного поля в солнечных пятнах. Исследования по этому направлению служат стартовой позицией по изучению физических процессов, протекающих в активных областях на Солнце. Накоплен значительный объём данных наблюдений по этому направлению [105, 121,

135].

В работе впервые рассчитаны конкретные режимы развития неустойчивости типа неустойчивости медленной волны для старших гармоник на фоне устойчивого режима колебаний нулевой гармоники изгибной моды [127, 4]. Это пример нелинейного взаимодействия этих мод колебаний с разными частотами. Данный результат уточняет вывод работы [129] о независимости явлений волнового прогрева солнечной атмосферы и образования активных областей на Солнце. Исследования по данному направлению также определяют перспективу дальнейшего развития диссертационной работы.

Математическое обоснование существования медленных волн в магнитной трубке конечного радиуса с сильной радиальной неоднородностью распределения физических параметров является принципиальным для проводимого исследования. Полученное в работе [130] сильное ограничение на существование приближённых решений дисперсионного уравнения в случае неоднородности параметров, превышающей 0{k2R2) 1, фактически налагало запрет на все исследования по медленной моде колебаний для тонкой магнитной трубки, представленные в настоящей работе. Во второй главе данное ограничение полностью снимается и, более того, исследован спектр точных решений дисперсионного уравнения для однородной и неоднородной трубок [109]. В работе представлены два простых численных алгоритма поиска нетривиальных решений дисперсионного уравнения для случая произвольного распределения параметров замагниченной плазмы по радиусу трубки. Таким образом корект-ность исследований, проведённых в диссертационной работе, полностью обоснована.

Наблюдательные данные по изучению волновых процессов в изолированных тонких магнитных трубках и солнечных пятнах исключительно обширны [121, 78]. Частотный спектр регистрируемых колебаний весьма широк, но, самое главное, он имеет весьма чётко выраженные тенденции перестройки с течением времени [129]. Изучение этих закономерностей принципиально необходимо для теоретического анализа физики активных областей. Математическое моделирование временной эволюции частотного спектра фактически позволяет решить обратную задачу по распределению магнитогазодинамических параметров в солнечных пятнах на различных этапах эволюции активных областей не только на фото-сферном уровне, но и во внутренних слоях конвективной зоны, недоступных прямому изучению наблюдательными средствами. Исследования по данному направлению очень перспективны как дополняющие набор методов исследования в солнечной гелио-сейсмологии и результаты диссертационной работы также могут быть использованы в этой области.

Разработка пакета прикладных программ и проведение расчётов прогрева солнечной атмосферы акустическими волнами в двумерной постановке задачи принципиально необходимы для изучения данного феномена. Прогрев атмосферы цугом слабых ударных волн, генерируемых колебаниями отдельных магнитных трубок, является нестационарным трёхмерным процессом. Строго говоря, двухмерного моделирования также недостаточно для полного исследования данного явления. Тем не менее, двухмерные расчёты позволяют выделить качественно новые эффекты пространственных неоднородностей в расчётных распределениях газодинамических параметров и проведение таких расчётов оправдано.

В диссертационной работе в приближении одножидкостной газовой динамики просчитаны конкретные режимы прогрева солнечной хромосферы и нижней короны одномерным и двумерным источником акустических волн, расположенным на фотосферном уровне. Для расчёта использована консервативная разностная схема с улучшенными вычислительными свойствами и с учётом основных диисипативных процессов: вязкости, теплопроводности. Расчёт лучистых потерь произведён в приближении объёмных потерь, так как при распространении волн сквозь зону температурного минимума их амплитуда практически не меняется [3, 96] и без рассмотрения конкретного механизма генерации волн включение этой узкой (толщиной < 200 км) области не целесообразно [129]. Степень ионизации плазмы, мощность объёмных потерь и коэффициент теплопроводности рассчитаны с учётом отсутствия локального термодинамического равновесия в приближении коронального равновесия [128, 23, 25, 114].

Поскольку расчёт распределения термодинамических параметров аномально прогретой солнечной атмосферы производился методом установления, к разностной схеме предъявляются повышенные требования к точности описания стационарных решений. В диссертационной работе специально разработана и используется адаптированная процедура интерполяции параметров в полу целые узлы сетки, позволяющая значительно понизить невязку численного решения задачи при использовании метода установления.

В расчётах источник акустических волн располагался на фотосферном уровне, распределение мощности по солнечной поверхности подчиняется синусоидальному закону. Пространственный период колебаний на два порядка превысил местную шкалу высот, т.е. фактически расчитывался случай слабой пространственной неоднородности источника акустических колебаний. Но даже в этом случае влияние данной неоднородности на результаты расчётов оказалось весьма существенным. Фронты сгенерированных ударных волн приобрели ярковыраженную дугообразную форму, подтверждая результаты линейного анализа задачи о рас-пространеии акустических волн в стратифицированной акустической атмосфере [10]. Сами волны уширились, что привело к падению амплитуд и, как следствие, уменьшению мощности прогрева атмосферы.

В распределении рассчитанного поля температур хорошо видны эффекты суперпозиции и дифракции ударных волн. Результирующее распределение термодинамических параметров имеет ярко выраженную неоднородную структуру по пространству. Перепады значений температуры на одном уровне по высоте параллельно солнечной поверхности порядка самих значений температур. Этот результат уверенно подтверждается наблюдательными данными по изучению тонкой пространственной структуры температурного поля солнечной атмосферы. В пределах солнечной хромосферы вплоть до переходной зоны короны Солнца регистрируемый перепад температур столь существенней, что в специальной литературе используется термин «двухтемпературное» распределение параметров солнечной атмосферы [43, 56, 54].

В двумерных расчётах эффект аномального прогрева реализуется. В диапазоне высот от фотосферного уровня до 5000 км есть горячие области, прогретые до 105К. Это важный результат диссертационной работы. В данном диапазоне высот реализуется сложная двумерная картина течений плазмы солнечной атмосферы. Максимальные скорости подъема достигают 30 км/с, скорости опускания газа в волнах разрежения могут принимать отрицательные значения и также велики. Этот результат согласуется с наблюдательными данными [43]. Несомненно, что расчётные и регистрируемые в наблюдательных данных неоднородности поля температур и поля скоростей течений на различных уровнях хромосферы играют важную роль в формировании неоднородной структуры солнечного ветра. Расчёты, аналогичные представленным в диссертационной работе, являются составным элементом сложной математической модели формирования солнечного ветра на фоне аномально прогретой солнечной атмосферы.

С ростом высоты фронты ударных волн принимают дугобразную форму. Оценка угла конуса распространения и учёт характерного горизонтального масштаба задачи [121] позволяет сделать вывод, что на высотах порядка 15000 км цуги ударных волн теряет регулярную структуру, что подтверждается наблюдательными данными [28, 121]. В настоящее время также активно исследуются источники разогрева короны Солнца, не связанные с диссипацией энергии ударных волн, а имеющие магнито-газодинамическую природу [121]. Разогрев реализуется за счёт энергии магнитозвуковых волн, джоулевой диссипации и других источников тепла меньшей мощности, которых достаточно для нагрева высоко разреженной плазмы солнечной короны. Все данные механизмы опираются на физические свойства высокотемпературной разреженной идеально проводящей плазмы и в области температурного минимума при значениях температуры порядка 4000 К просто не эффективны. Разогрев плазмы до проводящего состояния в пределах хромосферы и переходной зоны короны Солнца осуществляется именно за счёт диссипации слабых ударных волн. Этот вывод обосновывает актуальность исследований, проведённых в работах [128, б, 4, 129]. Разогрев солнечной плазмы до высоких температур в области верхней хромосферы и экспоненциальное падение плотности с высотой обеспечивает условия для функционирования МГД источников нагрева, вносящих свой вклад в формирование окончательной структуры солнечного ветра [121].

Исследования по данному направлению также определяют дальнейшую перспективу диссертационной работы. Но уже на данном этапе необходимо переосмыслить роли гипотезы Зирина и гипотезы Шварцшильда-Бирмана по механизму аномального прогрева солнечной атмосферы. По сравнению с результатами работы [129] значимость гипотезы Шварцшиль-да и Бирмана существенно возрастает: безусловно, в целом явление аномального прогрева солнечной атмосферы и формирования солнечного ветра являются магнитогазодинамическими процессами в полном согласии с гипотезой Гарольда Зирина. Но в реализации этих явлений есть чисто газодинамическая стадия разогрева атмосферы слабыми ударными волнами (в полном согласии с гипотезой Шварцшильда и Бирмана), без которой реализация окончательного формирования аномально прогретой солнечной атмосферы и разгона солнечного ветра становится принципиально невозможной для тех высот, где это происходит в настоящее время. Необходимо признать, что гипотеза Зирина и гипотеза Шварцшильда и Бирмана дополняют друг и друга, и ни одна не может быть исключена из рассмотрения.

В заключение сформулируем основные результаты диссертационной работы:

1. В работе рассчитаны критические значения напряжённости магнитного поля и термодинамических параметров плазмы, разделяющие устойчивые равновесные положения магнитной трубки от неустойчивых для изгибной и медленной мод колебаний с учётом неосесимметричных гармоник в широком диапазоне глубин внутренних слоёв Солнца. Для уравнения малых колебаний получено аналитическое решение в виде бегущей волны, получено и решено дисперсионное уравнение. Определены инкременты развития неустойчивостей изгибной и медленной мод колебаний в различных режимах. Обосновано отсутствие релаксационного затухания в колебательном процессе и при развитии неустойчивостей обеих мод колебаний в пределах конвективной зоны Солнца.

2. Для магнитной трубки конечного радиуса найдено бесконечное число решений дисперсионного уравнения для медленной моды колебаний, показано существование решений при сильной радиальной неоднородности распределения параметров плазмы. Разработаны два численных алгоритма поиска нетривиальных решений дисперсионного уравнения в случае произвольного неоднородного распределения физических параметров плазмы по радиусу магнитной трубки.

3. Разработан пакет прикладных программ численного моделирования нелинейных колебаний и развития неустойчивостей изгибной и медленной мод колебаний магнитной трубки в различных режимах. В работе расчитаны конкретные режимы нелинейного взаимодействия различных мод колебаний с разными волновыми числами.

4. Определён тип неустойчивости колебаний магнитной трубки, определяющий процесс зарождения и развития локальных активных областей в солнечной атмосфере: неустойчивость медленной волны для старших гармоник колебаний магнитной трубки. Детально исследован физический механизм зарождения и стабилизации локальных активных областей солнечной атмосферы, основанный на развитии и насыщении неустойчивости медленной моды колебаний для старших гармоник в различных режимах.

5. Разработан пакет прикладных программ расчёта прогрева солнечной атмосферы акустическими волнами в двумерной постановке задачи.

6. В работе методом установления рассчитано распределение термодинамических параметров аномально прогретой солнечной атмосферы в диапазоне высот от фотосферного уровня до нижних слоёв короны Солнца для пространственно неоднородного источника акустических волн на фотосферном уровне в режиме слабой неоднородности. Подтверждён эффект аномального прогрева в заданном режиме и обоснована корректность двухтемпературного описания пространственной неоднородности распределения термодинамических параметров в солнечной атмосфере.

Расчётным путем зарегистрирована потеря регулярности в структуре ударных волн на высотах более 15000 км из-за эффектов уширения фронтов и взаимодействия ударных волн.

Автор благодарит Алексеенко С.В., Романова В.А., Романова К.В., Семенова И.В. за участие в совместно проводимых исследованиях.

1. Abbett W.P., Fisher G.H., Fan Y. The effects of rotation on the evolution of rising omega loops in a stratified model convection zone // Astrophys. J. 2001 January 10. V.546. P.1194-1203.

2. Abbett W.P., Fisher G.H., Fan Y. The three-dimensional evolution of rising, twisted magnetic flux tubes in a gravitationally stratified model convection zone // Astrophys. J. 2000 September 1. V.540. P.548-562.

3. Alekseenko S.V., Dudnikova G.I., Romanov V.A., Romanov D.V., Romanov K.V. Acoustic wave heating of the Solar atmosphere // Rus. J. Eng. Thermophys. 1998. V.8. P.95.

4. Alekseenko S.V., Dudnikova G.I., Romanov V.A., Romanov D.V., Romanov K.V. Magnetic field instabilities in the solar convective zone // Rus. J. Eng. Thermophys. 2000. V.10. P.243-262.

5. Alekseenko S.V., Mezentsev A.V., Romanov V.A., Romanov D.V., Romanov K.V. Stabilization of emerging magnetic field in the upper layers of the Solar convective zone // Rus. J. Eng. Thermophys. 1998. V.8. P.109.

6. Alekseenko S.V., Dudnikova G.I, Romanov V.A., Romanov D.V., Romanov K.V. Computational simulation of the low chromosphere heating by the shock waves' series // Intern, conf. on the methods of aerophysical research. 2002. V.II. P.3-7.

7. Avrett E.H., Vemazza J.E., Linsry J. Exitation and Ionization of the helium in the Solar atmosphere // Astrophys. J. 1976. V.207. P. 199.

8. Bekefi G. Radiation processes in plasmas // New York: Wiley. 1966.

9. Biermann L. Inhomogeneous stellar atmosphere models // Naturwissenschaften. 1946. V.33. P. 118.

10. Bodo G., Kalkofen W., Massaglia S., Rossi P. Acoustic waves in a stratified atmosphere. II. Three-dimensional hydrodynamics. // Astron. Astrophys. 2000. V.354. P.296-304.

11. Boukadida Т., LeRoux A.-Y. A new version of the two-dimensional Lax-Friedrichs scheme // Math. Сотр. 1994. V.63. P.541-553.

12. Bunte M. On the interchange instability of solar magnetic flux tubes. III. The influence of the magnetic field geometry // Astron. Astrophys. 1993. V.276. P.236-240.

13. Caligari P., Moreno-Insertis F., Schiissler M. Emerging flux tubes in the solar convection zone. I. Asymmetry, tilt, and emergence latitude // Astrophys. J. 1995. V.441. P.886-902.

14. Caligari P., Schiissler M., Moreno-Insertis F. Emerging flux tubes in the solar convection zone. II. The influence of initial conditions // Astrophys. J. 1998. V.502. P.481-492.

15. Canuto V.M. Turbulent convection: is 2D a good proxy of 3D? // Astron. Astrophys. 2000. V.357. P.177-179.

16. Chandrasekhar S. Hydrodynarnic and hydromagnetic stability // Oxford: Claredon Press. 1961. 622p.

17. Chou D.Y. The evolution of loop structures in flux rings within the solar convection zone // Solar Phys. 1989. V.123. P.217-239.

18. Chou D.Y., Fisher G.H. Dymanics of anchored flux tubes in the convection zone. I. Details of the model // Astrophys. J. 1989. V.341. P.533-548.

19. Chou D.Y., Serebryanskiy A. Searching for the signature of the magnetic fields at the base of the solar convection zone with solar cycle variations of p-mode travel time // Astrophys. J. 2002. V.578. P.L157-L160.

20. Christensen-Dalsgaard J., Dappen W., Ajukov S.V., Anderson E.R., etc. . The current state of Solar modeling // Science. 1996. V.272. P.1286.

21. Данные любезно предоставлены Александром Косовичевым, университет Стэнфорда, США, вариант L5BI.D.15.PRES.950912.AARHUS1.vel 5 physics, present Sun. (OPAL, LivermoreEOS). He, Z diffusion.1. Comparison model 5.b.

22. Chuideri С., Giovanardi С. Acoustic waves in the lower solar atmosphere // Solar Phys. 1975. V.41. P.35-42.

23. Clement M.J. Hydrodynamical simulations of rotating stars. I. A model for subgrid-scale flow // Astrophys. J. 1993. V.406. P.651-660.

24. Cox D.P., Daltabuit E. Radiative cooling of low-density plasma // Astrophys. J. 1971. V.167. P.113-117.

25. Cox A.N., Stewart J.N. Rosseland opacity tables for population I compositions // Astrophysical Journal Supplements Series No. 174. 1970. V.19. P.243-259.

26. Cox D.P., Tucker W.H. Ionization equilibrium and radiative cooling of a low-density plasma // Astrophys. J. 1969. V.1157-1167. P.157.

27. Cram L.E., Wilson P.R. Hydromagnetic waves in structured magnetic fields // Solar Phys. 1975. V.41. P.313-328.

28. Defouw R. Wave propagation along a magnetic tube // Astrophys. J. 1976. V.206. P.266.

29. Deubner F.L. Astron. Observations of low wavenuinber nonradial eigenmodes of the Sun // Astrophys. J. 1976. V.51. P.189.

30. Dorch S.B.F., Nordlung A. Numerical 3D simulations of buoyant magnetic flux tubes // Astron. Astrophys. 1998. V.338. P.329-339.

31. D'Silva S., Choudhuri A.R. A theoretical model for tilts of bipolar magnetic regions // Astron. Astrophys. 1993. V.272. P.621-633.

32. El Mekki O., Eltayeb I.A., McKenzie J.F. Hydromagnetic-gravity wave critical levels in the solar atmosphere // Solar Phys. 1978. V.57. P.261-266.

33. Emonet Т., Moreno-Insertis F. The physics of twisted magnetic tubes rising in a stratified medium: two-dimensional results // Astrophys. J.1998. V.492. P.804-821.

34. Eselevich V.G., Eselevich M.V. An investigation of the fine ray structure of the coronal strimer belt using LASCO data // Solar Phys.1999. V.188. P.299-314.

35. Eselevich V.G., Eselevich M.V. Common characteristics of CMEs and BLOBs: a new view of their possible origin // Solar Phys. 2001. V.203. P.165-178.

36. Fan Y., Fisher G.H., DeLuca E.E. The origin of morphological asymmetries in bipolar active regions // Astrophys. J. 1993. V.405. P.390-401.

37. Fan Y., Fisher G.H., McClymont A.N. Dynamics of emerging active region flux loops // Astrophys. J. 1994. V.436. P.907-928.

38. Fan Y., Zweibel E.G., Lantz S.R. Two-dimensional simulations of buoyantly rising, interacting magnetic flux tubes // Astrophys. J. 1998. V.493. P.480-493.

39. Fan Y., Zweibel E.G., Linton M.G., Fisher G.H. The rise of kink-unstable magnetic flux tubes and the origin of 5—configuration sunspots // Astrophys. J. 1999. V.521. P.460-477.

40. Ferriz-Mas A. On the storage of magnetic flux tubes at the base of the solar convection zone // Astrophys. J. 1996. V.458. P.802-816.

41. Ferriz-Mas A., Schiissler M. Waves and instabilities of a toroidal magnetic flux tube in a rotating star // Astrophys. J. 1994. V.433. P.852-866.

42. Fisher G.H., DeLuca E.E., Patten B.M. Magnetic flux tubes an a 3D chaotic flow field // Seventh Cambridge Workshop on Cool Stars, Stellar Systems, and the Sun, APS Conference Series. 1992. V.26. P.240-242.

43. Fisher G.H., McClymont A.N., Chou D.Y. The stretching of magnetic flux tubes in the convective overshoot region // Astrophys. J. 1991. V.374. P.766-772.

44. Foukal P., Lean J. Magnetic modulation of solar luminosity by photospheric activity // Astrophys. J. 1988. V.328. P.347-357.

45. Gilman P.A. Fluid dynamics and MHD of the solar convection zone and tachocline: current understanding and unsolved problems (invited review) // Solar Phys. 2000. V.192. P.27-48.

46. Henoux J.C., Somov B.V. Role of electric currents in magnetic flux tube physics // Solar active region evolution: comparing models with observations, ASP Conference Series, K.S. Balasubramaniam and George W. Simon (eds.). 1994. V.68. P.158-170.

47. Jeffrey A., Taniuti Т. Nonlinear wave propagation // New York: Academic Press. 1964.

48. Jennings R.L., Brandenburg A., Nordlung A., Stein R.F. Evolution of a magnetic flux tube in two-dimensional penetrative convection // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1992. V.259. P.465-473.

49. Kitchatinov L.L., Mazur M.V., Jardine M. Magnetic field escape from a stellar convection zone and the dynamo-cycle period // Astron. Astrophys. 2000. V.359. P.531-538.

50. Klein R.I., Stein R.F., Kalkofen W. Solar pulsations and angular coherence of atmospheric temperature fluctuations // Astrophys. J. 1975. V.205. P.499.

51. Knolker M., Schiissler M. Model calculations of magnetic flux tubes. IV. Convective energy transport and the nature of intermediate size flux concentrations // Astron. Astrophys. 1988. V.202. P.275-283.

52. Kuperus M. The coronal and transition region temperature structure of a Solar active region // Rech. Astron. Observ. Utrecht. 1965. V.17. P.l.

53. Lakshmi P., Gokhale M.H. Equilibrium of a thin, isolated, axisymmetric force-free magnetic flux tube in a stratified atmosphere // Solar Phys. 1987. V.114. P.75-80.

54. Liska R., Wendroff В. Composite schemes for conservation laws // Technical report LA-UR 96-3589, LANL. Los-Alamos. 1996.

55. Lites B.W., Hansen E.R., Shine R.A. Line formation in the solar chromosphere. II an optically thick region of the chromosphere-corona transition region observed with OSO 8 // Astrophys. J. 1980. V.236. P.280-284.

56. Longcope D.W., Fisher G.H. The effect of convection zone turbulence on the tilt angles of magnetic bipoles // Astrophys. J. 1996. V.458. P.380-390.

57. McClymont A.N., Craig I.J.D. Fast downflows in the solar transition region explained // Astrophys. J. 1987. V.312. P.402-411.

58. McWhirter R.W.P., Thonemann P.C., Wilson R. The heating of the Solar Corona: a model based on energy balance // Astron. Astrophys. 1975. V.40. P.63-73.

59. Мок Y., Van Hoven G. The thermal structure of the magnetized solar transition region // Solar Phys. 1993. V.146. P.5-17.

60. Morerio-Insertis F. Rise time of horizontal magnetic flux tubes in the convection zone of the Sun // Astron. Astrophys. 1983. V.122. P.241-250.

61. Moreno-Insertis F. Nonlinear time-evolution of kink-unstable magnetic flux tubes in the convective zone of the Sun // Astron. Astrophys. 1986. V.166. P.291.

62. Moreno-Insertis F., Caligari P., Schiissler M. Active region asymmetry as a result of the rise of magnetic flux tubes // Solar Phys. 1994. V.153. P.449-452.

63. Moreno-Insertis F., Schussler M., Ferriz-Mas A. Storage of magnetic flux tubes in a convective overshoot region // Astron. Astrophys. 1992. V.264. P.686-700.

64. Musielak Z.E., Ulmschneider P. Exitation of transverse magnetic tube waves in stellar convection zones. II. Wave energy spectra and fluxes // Astron. Astrophys. 2002. V.386. P.606-614.

65. Nakagawa Y., Steinolfson R.S. Dynamical response of the solar corona. I. Basic formulations // Astrophys. J. 1976. V.207. P.296-299.

66. Osterbrock D.E. Solar irradiance variations. 1. Analysis of modelling techniques and inter comparison of ground-based data // Astrophys. J. 1961. V.134. P.347.

67. Parker E.N. Stellar fibril magnetic system. I. Reduced energy state // Astrophys. J. 1984. V.283. P.343-348.

68. Parker E.N. The instability of a horizontal magnetic field in an atmosphere stable against convection // Astrophysics and Space Science. 1979. V.62. P.135-142.

69. Parker E.N. Theoretical properties of ГЫоор in the convective zone of the sun. V. Coriolis force and the centrifugal potential barrier // Astrophys. J. 1995. V.454. P.927-933.

70. Parker E.N. The generation of magnetic fields in astrophysical bodies. X. Magnetic buoyancy and the solar dynamo // Astrophys. J. 1975. V.198. P.205-209.

71. Peres G., Rosher R., Serio S., Vaiana G.S. Thermal evoluton of the Solar atmosphere // Astrophys. J. 1982. V.252. P.791.

72. Piddington J.H. Solar Magnetic fields and convection. VI. Basic properties of magnetic flux tubes // Astrophysics and Space Science. 1976. V.45. P.47-62.

73. Roberts В., Webb A.R. Vertical motions in an intense magnetic flux tube. III. On the slender flux tube approximation // Solar Phys. 1979. V.64. P.77-92.

74. Romanov D.V., Romanov V.A. The magnetic flux lifting from relaxation zone at the photospheric level // Astronomicheskii zhurnal. 1993. V.70. P.134.

75. Rosner R., Tucker W.H., Vaiana G.S. On the nonradial oscillations of the nonstandard solar atmocphere model // Astrophys. J. 1978. V.220. P.643.

76. Ryutova M., Kaisig M., Tajima Т. Propagation of magnetoacoustic waves in the solar atmosphere with random inhomogeneities of density and magnetic fields // Astrophys. J. 1991. V.380. P.268-281.

77. Schatzman E. Solar neutrinos and turbulent diffusion // Ann. Astrophys. 1949. V.12. P.203.

78. Schmidt H.U., Simon G.W., Weiss N.O. Buoyant magnetic flue tubes. II. Three-dimensional behaviour in granules and supergranules // Astron. Astrophys. 1985. V.148. P.191-206.

79. Schiissler M. Solar magnetic field // Rev. of Modern Astron. 1995. V.8. P. 11-26.

80. Schiissler M., Caligari P., Ferriz-Mas A., Moreno-Insertis F. Instability and eruption of magnetic flux tubes in the solar convection zone // Astron. Astrophys. 1994. V.281. P.L69-L72.

81. Schwarzschild M. Stability of the Sun against spherical thermal perturbations // Astrophys. J. 1948. V.107. P.l.

82. Shibata K., Nozawa S., Matsumoto R., Sterling A.C., Tajima Т. Emergence of solar magnetic flux from the convection zone into the photosphere and chromosphere // Astrophys. J. 1990. V.351. P.L25-L28.

83. Solanki S.K., Steiner O., Uitenbroeck H. Two-dimensional models of the solar chromosphere. I. The СацК as diagnostic: 1.5-D radiative transfer // Astron. Astrophys. 1991. V.250. P.220-234.

84. Solodyna C.V., Krieger A.S. Observations of the birth of a small coronal hole // Solar Phys. 1977. V.54. P.123-134.

85. Spruit, H.C. A model of the Solar convection zone // Solar Phys. 1977. V.34. P.277-290.

86. Spruit H.C. Motion of magnetic flux tubes in the solar convection zone and chromosphere // Astron. Astrophys. 1981. V.98. P.155-160.

87. Spruit H.C., van Ballegooijen A.A. Stability of toroidal flux tubes in stars. // Astron. Astrophys. 1982. V.106. P.58-66.

88. Steiner O., Grossmann-Doerth, Knolker M., Schiissler M. Simulation of the interaction of convective flow with magnetic elements in the solar atmosphere // Rev. of Modern Astron. 1995. V.8. P.81-101.

89. Steinolfson R.S., Nakagawa Y. Dynamical response of the solar corona. II. Numerical simulations near the sun // Astrophys. J. 1976. V.207. P.300-307.

90. Stenflo J.O. Magnetic-field structure of the photospheric network // Solar Phys. 1973. V.32. P.41-63.

91. Tsinganos K.C. Sunspots and the physics of magnetic flux tubes. IV. Aerodynamic lift on a thin cylinder in convective flows // Astrophys. J. 1979. V.231. P.260-269.

92. Ulmschneider P. On frequency and strength of shock waves in the solar atmosphere // Solar Phys. 1970. V.12. P.403-415.

93. Ulmschneider P. On the computation of shock heated models for the solar chromosphere and corona // Astron. Astrophys. 1971. V.12. P.297.

94. Ulmschneider P. On the propagation of a spectrum of acoustic waves in the solar atmosphere // Astron. Astrophys. 1971. V.14. P.275.

95. Ulmschneider P. Radiation loss and mechanical heating in the solar chromosphere // Solar Phys. 1974. V.39. P.327-336.

96. Ulmschneider P., Kalkofen W., ect. Acoustic waves in the solar atmosphere. I. The hydrodymanic code // Astron. Astrophys. 1977. V.54. P.61.

97. Ulmschneider P., Kalkofen W. Acoustic waves in the solar atmosphere. III. A theoretical tempurature minimum // Astron. Astrophys. 1977. V.57. P.199.

98. Ulmschneider P., Schmitz F., Kalkofen W., Bohn H.U. Acoustic waves in the solar atmosphere. V. On the chromosphere temperature rise // Astron. Astrophys. 1978. V.70. P.487-500.

99. Ulmschneider P., Kalkofen W. The effect of mechanical waves on empirical solar models // Solar Phys. 1973. V.28. P.3-8.

100. Vernazza, J.E., Avrett, E.H., Loeser, R. Structure of the Solar chromosphere. 1. Basic computation and summary of the results // Astrophys. J. 1973. V.184. P.605-631.

101. Whitham G.B. Linear and Nonlinear Waves // New York: Wiley Interscience. 1974.

102. Wilson P.R. Hydromagnetic wave modes in magnetic flux tubes // Astron. Astrophys. 1979. V.71. P.9-13.

103. Withbroe G.L., Noyes R.W. Analysis of the 5 min oscillatory photospheric motion. 1. A problem in waveform classification // Ann. Rev. Astron. Astrophys. 1977. V.15. P.363.

104. Брагинский С.И. Вопросы теории плазмы, вып.1 // М.: Атомиздат, 1963, 183с.

105. Дегтярёв JI.M., Фаворский А.П. Потоковый вариант метода прогонки для разностных схем с сильно меняющимися коэффициентами // ЖВМиМФ. 1969. Т.9. т. С.211-218.

106. Дудникова Г.И., Романов Д.В. Незатухающие медленные колебания неоднородной магнитной трубки // Деп. в ВИНИТИ 10.01.2002. №29 В 2002. 19с.

107. Еркаев Н.В. Обтекание солнечным ветром магнитосферы Земли // М.: Результаты исследований по международным геофизическим процессам. 1989. 130с.

108. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений // М.: Наука. 1966. 670с.

109. Зирин Г. Солнечная атмосфера // М.: Мир. 1969. 504с.

110. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных сотрудников и инженеров // М.: Наука. 1968. 720с.

111. Котельников И.А., Ступаков Г.В. Лекции по физике плазмы // Новосибирск: Новосибирский гос. университет. 1996. 128с.

112. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика // М.: Физматгиз. 1962. 248с.

113. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Том 2. Теория поля // М.: Наука. 1973. 502с.

114. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Том 6. Гидродинамика // М.: Наука. 1986. 736с.

115. Ленг К. Астрофизические формулы: руководство для физиков и астрофизиков, часть 1 // М.: Мир. 1978. 448с.

116. Обридко А.Б. Солнечные пятна и комплексы активности // М.: Наука. 1985. 255с.

117. Паркер Е.М. Космические магнитные поля. Их образование и проявления // М.: Мир. 1982. 608с.

118. Прист Э.Р. Солнечная магнитогидродинамика // М.: Мир. 1985. 592с.

119. Пудовкин М.И., Чертков А.Д. Магнитное поле в солнечном ветре // В кн.: Геофизические исследования в зоне полярных сияний. Кольский фил. АН СССР. 1972. С.121-127.

120. Романов В.А. Динамические параметры пульсаций магнитного поля в солнечной атмосфере, генерируемых на малых глубинах конвективной зоны // Иссл. по геомагн., аэрономии и физике Солнца.1992. Т.99. С.69.

121. Романов В.А., Романов Д.В., Романов К.В. Сброс магнитных полей из зоны Динамо в релаксационную зону Солнца // Астрон. журн.1993. Т.70. С.1247-1256.

122. Романов В.А., Романов Д.В., Романов К.В. Сброс магнитных полей из зоны Динамо в атмосферу Солнца // Астрой, журн. 1993. Т.70. С.1237-1246.

123. Романов Д.В., Романов В.А. Всплывание магнитного потока из релаксационной зоны на фотосферный уровень // Астрон. журн. 1993. Т.70. С.134-140.

124. Романов Д.В., Романов К.В. Численное моделирование развития неустойчивости медленной волны тонкой магнитной трубки в конвективной зоне Солнца // Выч. технологии. 2001. Т.6. №6. С.81-92.

125. Романов Д.В., Романов К.В. Численное моделирование динамических процессов в солнечной атмосфере // Выч. технологии. 2003. Т.8. Ш. С.74-95.

126. Романов К.В. Математическое моделирование физических процессов аномального прогрева солнечной атмосферы // Новосибирск: канд. диссертация. 2003. 145с.

127. Рютова М.П. О медленных колебаниях магнитных нитей // ЖЭТФ. 1981. Т.80. вып.З. С.1038.

128. Рютова М.П. Волновые процессы в солнечных магнитных трубках. В кн. Физика космической и лабораторной плазмы, сборник научных трудов под редакцией Пономаренко А.Г. // Новосибирск: Наука. 1989. 240с.

129. Самарский А.А. Введение в численные методы // М.: Наука. 1987. 286с.

130. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы // М.: Наука. 1989. 432с.

131. Самарский А.А, Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики // М.: Наука. 1975. 351с.

132. Северный А.Б. Некоторые проблемы физики Солнца // М.: Наука. 1988. 220с.

133. Спитцер Л. Физика полностью ионизованного газа // М.: Мир. 1965. 212с.

134. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики // М.: Наука. 1972. 735с.