автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование локальных магнитодинамических процессов на Солнце

На правах рукописи

Откидычев Павел Анатольевич

□□3452511

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ МАГНИТОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА СОЛНЦЕ

05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 3 г.:0- 2053

Ставрополь - 2008

003452511

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Ставропольского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических паук,

профессор

Официальные оппоненты: доктор физико-математических паук

Ромашок Иосиф Иванович

Ведущая организация: Карачаево-Черкесская государственная

технологическая академия г. Черкесск

Защита состоится «27» ноября 2008 г. в 13 часов 00 минут на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 212 256 08 при Ставропольском государственном университете по адресу: 355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина 1, ауд. 214

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ставропольского государственного университета

Каплан Лев Григорьевич

Консультант: кандидат физико-математических наук, доцент

Витковский Владимир Валентинович

доктор технических наук, доцент Смирнов Александр Александрович

Автореферат разослан «25» октября 2008 г.

Учёный секретарь совета по защите докторских и кандидатских диссертаций кандидат физ.-мат. паук, доцент

Л.В. Копыткова

I. Общая характеристика работы

Актуальность работы. Математическое моделирование процессов генерации и поддержания космических магнитных полей, а также их роли в эволюции звёзд и галактик является одним из важнейших направлений исследований и современной астрофизике. Магнетизм играет важную роль во многих проявлениях активности звёзд, таких как вспышки, пятна, звёздный ветер, космические лучи. Магнитные ноля влияют па отток звездного нсчцеетиа и космическое пространство, влияя тем самым на эволюцию звёзд. Это непосредственным образом влияет па условия звездообразования и на эволюцию галактик. Проблемой формирования магнитных полей на Солнце и и звёздах занимались многие отечественные и зарубежные физики и астрономы: В. Бъёркнес, Дж.Э. Хейл, Г.Н Рассел, Х.У. Бэбкок, Е Паркер, Ф. Краузе, К.-Х Рэдлер, Л Местель, Я Б. Зельдович, С.И. Брагинский и др.

Проблема возникновения магнитного поля в звёздах и их дальнейшего существования до сих пор полностью не решена Из-за омических потерь в звездной плазме электрические токи и магнитные поля, связанные с этими токами, должны постепенно затухать Механизмы динамо способны скомпенсировать затухание и привести к усилению магнитного поля. Однако эти механизмы не действуют, если магнитное поле в звезде изначально пе существовало или же сильно ослабло.

Теория реликтового магнитного поля может объяснить лишь общее магнитное поле звезды, по не может дать истолкование появлению крупномасштабных пеоднородностей в распределении магнитных полей на поверхности звезды, таких как солнечные и звёздные пятна. Поэтому построение и исследование математических моделей на основе различных магнитогид-родинамических теорий и сравнение результатов моделирования с наблюдательными данными может принести к существенному прогрессу в понимании механизмов и природы локальных процессов в атмосферах звёзд, включая механизмы солнечной активности. Из вышесказанного следует актуальность темы и содержания диссертационного исследования

Общей задачей исследования является математическое моделирование магнитных нолей звёзд

Объектом исследования являются локальные вихревые процессы в солнечной плазме. Предметом исследования является математическое моделирование магнитных полей солнечных пятен.

Целью работы является построение математической модели формирования локальных магнитных полей на Солнце и в солнечно-подобных звёздах в результате стационарных вихревых процессов в плазме.

Частные задачи исследования. Для достижения поставленной цели автором решены следующие задачи.

1. Математическое моделирование формирования магнитного ноля при стационарном вихревом процессе в солнечной плазме.

2. Теоретическое исследование вязкости плазмы для случая ламинарного и турбулентного точения.

3. Вывод уравнений зависимости магнитной индукции, возникающей при вихревом процессе в плазме, от гидродинамических параметров плазмы, решение этих уравнений для случая обратного влияния магнитного поля на скорость плазмы, анализ полученных решений. Вычисление основных параметров солнечной плазмы на глубине формирования магнитного поля.

4. Инструментальное моделирование в системе МАТЬ А В трёхмерного распределения магнитного поля в солнечном пятне на основе модели вихрестока.

Методы исследования. Решение поставленных задач базируется па математическом аппарате векторного анализа, дифференциального и интегрального исчисления и методов математического моделирования, а также на инструментальных средствах моделирования сложных систем.

Достоверность и обоснованность получепных результатов обусловлена корректностью применения современного математического аппарата и инструментальных средств, в частности, математической системы МАТЬАВ 2007а, и подтверждается "согласованностью теоретических результатов данным наблюдений. Научная новизна.

1. Впервые предложена и разработала математическая модель образования магнитного поля в плазме ири плоском стационарном вихревом процессе. Конкретное рассмотрение сделано для магнитного поля солнечного пятна.

2. Показано,' что кинематические вязкости электронного и протонного газов плазмы соотносятся обратно пропорционально корню из отношения масс протона и электрона, как для ламинарного, так и для турбулентного течения, что является основной причиной формирования магнитного поля при вихревом процессе.

3. Для случая двумерного вихрестока получены отличающиеся от известных аналитические, выражения, связывающие магнитную индукцию и плотность тока с гидродинамическими параметрами солнечной плач мы На основе модели плоского вихрестока вычислена величина плотиости тока, полного тока и магнитной индукции солнечного пятна, а также время формирования магнитного ноля в области вихре, стока.

4. В математической системе МАТЬАВ создЛпа программа компьютерной визуализации математической модели магнитного поля солнечного пятна.

Практическая значимость работы Предложенный в работе механизм формирования магнитного поля при стационарном вихрестоке в плазме может быть применён для объяснения возникновения мощных локальных

магнитных полей на Солнце и солнечно-подобных звёздах, а также затравочных магнитных нолей в механизме динамо.

Положения, пыносимые на защиту.

1 Математическая модель возникновения магнитною поля в солнечной плазме при плоском вихревом процессе.

2. Результаты теоретического исследования ламинарной и турбулентной вязкости плазмы.

3. Аналитические выражения зависимости магнитной индукции солнечного пятна от параметров солнечной плазмы применительно к модели вихре,стока

4. Результаты инструментального трехмерного моделирования магнитного поля солнечного пятна па основе модели плоского вихрестока

Публикация и апробация. По теме диссертации автором сделаны 14 публикаций, из них 2 опубликованы в журнале, входящего в перечень ВАК (Обозрение прикладной и промышленной математики). Общий объём публикаций 3,38 п.л , в том числе автора - 1,82 п.л. Результаты Теоретических исследований докладывались па:

• 49 и 51 научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская паука - региону» Ставропольского государственного университета;

• Международной конференции «Magnetic Stars» Специальной астрофизической обсерватории РАН, Нижний Архыз, 27 - 31 августа 2006,

• Всероссийской конференции «Многоволновые исследования Солнца и современные проблемы солнечной активности» Специальной астрофизической обсерватории РАН, Нижний Архыз, 27 сентября - 1 октября 2006;

• Четвёртой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» Московского государственного технического университета им. Баумана, Москва, 29 - 31 января 2007;

• XIV Международной научной конференции «Ломоносов» Московского государственного университета, Москва, 11 - 14 апреля 2007,

• XI ежегодной научной конференции но физике Солнца «Физическая природа солнечной активности и прогнозирование её геофизических проявлений» Главной астрономической обсерватории РАН, Санкт-Петербург, Пулково, 2-7 июля 2007.

Структура и объём работы. Работа состоит из введения, трёх разделов, заключения, списка литературы и приложения. Общий объём диссертации 134 страницы, в том числе 30 рисунков. Список литературы насчитывает 132 наименования.

II. Содержание работы

Во введении обоснована актуальность и новизна темы исследования, сформулированы основные цели и задачи работы, покачана со значимость, кратко изложена структура работы.

Первый раздел имеет обзорный характер Рассматриваются различные теории возникновения магнитного поля на Солнце и в звёздах: теория динамо и теория реликтового ноля, а также предложенная Л.Г. Каилапом (2004) модель возникновения магнитного поля в плазме при стационарном вихрестоке Приводится полная система уравнений Навье -- Стокса для протонного и электронного газа плазмы и соотношение между магнитной индукцией и завихренностью. Дополнительно описываются основные свойства космической плазмы. Далее приведена общая характеристика Солнца, рассмотрены основные проявления солнечной активности, в первую очередь - солнечные пятна. Дан обзор магнитных нолей в звёздах разных типов и спектральных классов.

Основные результаты, полученные Л.Г. Каплапом, которые служат базой для математического моделирования магнитного поля солнечного пятна, выводятся на основе модифицированной системы уравнений Навье -Стокса для протонного и электронного газов полностью ионизированной водородной плазмы

(¿Уг <ум>

р-~ = -grad(p/2) - псgrad у - ргgrad G + r^Av, - —j + пе [v,B], (1)

(ly fig

= -grad (p/2) + ne gradip - pc grad G + r/eДv, + ~j~ne [vcB]. (2)

На ее основе выведены уравнения для скорости v и завихренности плазмы fi = rotv, магнитной индукции В и плотности тока j, которые возникают при вихревом процессе в плазме-

р—+ rot [¡В], (3)

AB = - Wrot [vBl> (4)

rotj = + 7 rot [vB], (5)

где а — --—- = 2,436 • 10 10 кг/Кл, р, и ре - плотность протонного и

электронного газов, <р и С электрический и гравитационный потенциал, п - концентрация частиц, е - элементарный заряд, р, р,"у нг) - соответственно давление, плотность, проводимость и динамическая вязкость плазмы

Во втором разделе рассматривается образование магнитного поля в звездной плазме па основе математической модели локальных гидродинамических процессов. Предполагается, что в плазме на некоторой глубине

под поверхностью звезды происходит вихресток циркуляция низкой плазмы при одновременном ее спекании в центральную область Плазма считается чисто водородной и полностью ионизированной. Сама область вихрестока считается плоской и искусственно ограничивается внешней границей радиусом 7?! и внутренней границей радиусом 7?о Течение плазмы в области вихрестока считается двумерным. Достигнув внутренней границы, плазма поднимается наверх и па некотором уровне растекается (т.е. имеет место вихреисточпик). Таким образом, область вихрестока, н которой происходит формирование магнитного поля, является нижней частью глобального циклопического процесса.

Данная модель имеет очевидные недостатки: течение плазмы в области вихрестока считается плоским и двумерным и имеет место разрыв течения и прочих параметров па границах области вихрестока. В то же время такие ограничения позволяют существенно упростить математические выкладки и получить адекватный результат для величины магнитного поля Процесс вихрестока является двумерным, однако магнитное поле, возникающее вследствие такого процесса - трёхмерное

Кинематическая вязкость газа при ламинарном течении ь> -= IV, где I — 1/па длина свободного пробега, V тепловая скорость, а сечение рассеяния Т.к. концентрации и сечения рассеяния электронов и протонов равны, а« ос т-1/2, то соотношение кинематических вялкоетей протонного и электронного газов

Согласно теории Буссинеска, при турбулентном движении перенос импульса осуществляется не микрочастицами (молекулами) газа, а вихревыми массами - молями. Для турбулентной кинематической вязкости имеет место формула Прапдтля' 1/( = ьЧ', где у' - пульсациоппая скорость молей Смысл величины I' состоит в следующем. Вихревая масса, выделенная в данном слое как некоторый индивидуальный объем, во все время своего перемещения из начального слоя в конечный сохраняет свой импульс, и только в момент смешения сразу теряет свою индивидуальность. Таким образом, на всём протяжении пути длиной I' импульс моли остаётся постоянным Величина V аналогична длине свободного пробега молекулы газа: моль (молекула) на протяжении пути смешения Прапдтля (длины свободного пробега) сохраняет свой импульс, и лишь при столкновении с другим молем (молекулой) приобретает другие значения импульса и энергии. Поэтому путь смешения Прапдтля также будет зависеть от концентрации турбулентных плазменных молей и от эффективного сечения взаимодействия молей. Однако в плазме не могут существовать по отдельности чисто электронные моли и чисто протонные моли, поскольку электрические силы не дают находиться вместе одноимённо заряженным частицам. Таким образом, турбулентная плазма состоит из одинаковых нейтральных молей с одинаковыми сечениями взаимодействия, характеризующимися одним и

(6)

Рисунок 1 — Схематическое изображение течения протонного газа (сплошная линия) и электронного; газа (пунктир) при стационарном вихрестоке

тем же числом Прандтля I'.

Следовательно, соотношение (6) справедливо как для ламинарного течения плазмы, так и для турбулентного. Согласно (6) протонный газ более инерционный, а следовательно, его тангенциальная скорость при вихре-стоке будет несколько больше, чем у электронного газа, а радиальная, наоборот,'Меньше, то есть электронный газ будет отставать от протонного. Взаимное движение этих газов будет таким, как показано на рисунке 1.

Таким образом, при вихрестоке возникает круговой (тороидальный) ток за счёт протонного газа и круговой ток электронного газа меньшей величины. направленный в противоположную сторону. Сумма этих токов -ненулевая. Суммарный ток направлен в ту же сторону, куда вращаются протоны, т.е. в сторону движения плазмы как целого.

Возникновение магнитного поля вследствие вихревых процессов в протонном и электронном-газах не находится в противоречии с теоремой Кау-линга, которая гласит, что самоподдержание стационарного осееимметрич-пого магнитного поля невозможно. Дело в том, что теорема Каулинга формулируется для случая, когда отсутствуют какие-либо сторонние силы. Однако из-за разных инерционных свойств протонного и электронного газов полностью ионизированной плазмы при вихрестоке вследствие изменения завихренности некоторого материального объёма плазмы появляются сторонняя ЭДС, электрические токи и магнитное поле из начального нулевого состояния. Здесь роль сторонних сил играют силы вихрестока. Вихревые процессы в солнечных пятнах фиксируются как прямыми наблюдениями (эффект Эвершеда), так и методами гелиосейсмологии.

Механизм динамо не рассматривается, поскольку величина магнитного поля на поверхности солнечного пятна, вычисленная на основе модели вихрестока, удовлетворительно согласуется с наблюдательными данными (порядка десятых долей тесла). В любом случае, модель вихрестока обеспечивает механизм динамо затравочным полем, без которого процессы динамо не работают.

Теперь найдем выражения для динамических параметров (завихренность, скорость) и магнитной индукции для плоского осесимметрично-iv стационарного процесса в форме нихрестока До и Ri - внутренний и внешний радиусы нихрестока соответственно Для нихрестока радиальная составляющая скорости v отрицательна: (v, < 0), а мощность втока Q = Ътги, = const < 0 пе зависит от радиуса.

Для плоского осесимметричного процесса уравнение (3) актуально только для г-комиопетиы вектора В, поскольку остальные компоненты вектора В, также как и вектора ii, в плоскости (х,у) тождественно равны нулю Далее, divj = 0, j = (0, jt(r), 0). Следовательно, вектор [jB] направлен вдоль радиуса и осесимметричен, причем для этого векторного поли справедливо равенство rot [jB] = 0. Тогда, согласно вышесказанному, уравнение (3) принимает вид

dfl а ^

Уравнение (7) совпадает с уравнением Навье - Стокса в форме Громе-ка - Лэмба для движения несжимаемой вязкой жидкости и может быть преобразовано к виду

+ (v, V)fl = i/Aii. (8)

Принимая в расчёт осесимметричность процесса, решаем (8) в цилиндрической системе координат. Тогда v = (v, (г), vt(г), 0), П = (0,0,П2(г)),

(vV)H = Учитывая стационарность процесса dQ/dt = 0,

?Ч = ,ДП„ (9)

or

Поскол1>ку Q — 2nrvr, (9) принимает вид (индексы «z» опускаем)

кдг~ дт ' [Щ

ь Q

где параметр втока к = —— характеризует отношение мощности втока к /пи

кинематической вязкости плазмы. Поскольку Q отрицательно, то к также отрицательно.

Решение последнего дифференциального уравнения следующее, где По и Qi - завихренность па внутренней и внешней границе процесса.

дт

получаем уравнение:

Таким образом, завихренность при движении плазмы к центру возрастает Очевидно, что значение завихренности По "Я внешней границе (г = Лх) области процесса то же самое, что и в ближайшем объеме.

Для осесимметричного случая 2-компопента завихренности Г! равна

+ & <12>

где - тангенциальная компонента скорости плазмы Сравнивая (12) и (11), находим выражение для тангенциальной скорости

До ( г \Ш

Из условий физической применимости следует, что к < -2, С\ — 0. Выражение (13) позволяет найти значение завихренности на границах

= (14)

Но Но

Поскольку процесс является плоским и осесимметричпым, возникающие при этом токи являются также оссеимметричпыми и тороидальными. Соответствующее магнитное поле является полоидальпым.

Полный поток магнитной индукции, пересекающий замкнутую поверхность, равен пулю в соответствии с уравнением Максвелла ^ В <£3 = О Рассмотрим этот поток в цилиндрической системе координат (индекс «7,» опускаем):

Вгйг = 0 (15)

Ф = 2 л* <

Согласно закону сохранения момента импульса, магнитное поло, сгенерированное внутри некоторого объёма V, не может закрутить этот объём как целое, действуя исключительно внутри объёма; иными слонами, полный момент магнитных сил равен нулю. Плотность магнитной силы, действующей на заряженный газ, есть {д* = пе(уВ] Отсюда

Ш = [ Ид,] (IV = [ [г^] йБ = пе[ ' [г [уВ]] 2тгг йг = 0, (1С) Js Jnn

где использовано условие, что скорость плазмы вне рассматриваемого процесса равна нулю: V = 0. Из (16) получаем

гл 1

Вгйг = 0. (17)

/л„

Найдём явную зависимость величины магнитной индукции от гидродинамических и магнитных параметров вихрсстока в плазме. Распишем

уравнение (4), учитывая следующие зависимости. гоЬЛуВ] = ——г;,,

от

¿П, д£1г ,

—— = -—V, (процесс считаем плоским и осесимметричпым и рассмат-т дг

риваем в цилиндрической системе координат; индекс «г> далее опускаем)'

¿п.,

дВ

AB = aii{fi—vr + ¡jol-r^v,. (18)

Представив лапласиан ¿-компоненты магнитной индукции в цилиндрической системе координат, получаем ОДУ:

дП дБ

г дг (Ю)

Для упрощения вида формул введём безразмерный параметр/ = VblQ

' 2тг

Тогда получим получим следующее дифференциальное уравнение:

rf = alVL + IB. (20)

Уравнение (20) имеет место непосредственно в области вихрестока, т.е при Rq < г < R\. При г < Ro и при г > 7?! вихресток отсутствует, Q — 0, I - 0, поэтому вне области вихрестока (20) переходит в

(»»

решение которого есть J3(r)=const. При г > Ri имеем В(г) = 0, а при г < Ro В (г) = В0~ B(Rfi).

Его полное решение есть сумма общего решения однородного уравнения

И

и частного решения неоднородного уравнения (20).

B(r) = B0(j^j'-аП(г). (23)

Постоянную Во в (23) ищем из условия (17)

[ ' В0 f-^Л rdr - [ ' aQ(r)rdr = 0. (24)

J Ro \mj J n0

Принимая во внимание (14), получаем:

В0 - afio-yvfovto- (25)

На поверхности солнечного пятна радиальная и тангенциальная составляющие скорости движения плазмы имеют одинаковый порядок, хотя v, несколько превосходит vt- В дальнейшем считаем, что на глубине эти составляющие скорости одинаковы, те = |v,.| = |г>| Радиальная скорость V,- в случае втока отрицательна. Тангенциальную скорость^ также считаем отрицательной. Тогда

Во = а^оГи2- (26)

Зная величину Во, окончательно получаем зависимость

в

В» |

• Ло! Я. г

-яЦ,

Рисунок 2 — Схематическая зависимость В(г)

Первое слагаемое в (27) положител!,ио, а второе положительно, т к .к < -2, < 0. Конкретные численные значения (температура, давление, концентрация и тд ) при нахождении этих параметров берутся применительно к солнечному пятну. Схематическая зависимость В (г) (без учёта масштаба величин) показана на рисунке 2.

Одним из важнейших параметров плазмы является плазменная бета, равная отношению давления р к плотности магнитной анергии В2/2//д: Р — Чем больше 0, тем меньше влияние магнитного ноля па характер движения плазмы. Оцепим величину /3 для рассматриваемого вихре-стокового процесса. Конкретные значения возьмем для Солнца. Глубину вихрсстокового процесса примем равной глубине солнечного пятна, которая равна 20 тыс. км. Давление р на такой глубине равно 3 • 109 Па. Тогда для магнитного ноля 0,5 Тл (максимальное иоле солнечного пятна), плазменная бета Р ~ 104. Таким образом, для случая солнечного пятна плазменная бета имеет очень большую величину. Даже при существенно большем магнитном поле и при существенно меньшем давлении величина Р 3> 1. Отсюда следует, что влияние магнитных параметров и, в частности, самоиндукции на динамику вихроетокового процесса незначительно.

В третьем разделе рассматривается формирование магнитного поля солнечного пятна при стационарном вихрестоке и приводится трёхмерное математическое моделирование солнечного пятна в математической системе МАТЬАВ. Под солнечными пятнами подразумеваются как собственно пятна на СолнЩ:, так и пятна звёзд главной последовательности обладающих параметрами, подобными солнечным Считается, что вихресток является нижней частью глобального циклональиого процесса и происходит В нижней части солнечного пятна на глубине 10—20 тыс. км (глубина солнечного пятна согласно гслиосейсмологическим Наблюдениям БОНО).

На рисунке 3 представлено «поперечное сечение» циклональиого процесса в солнечном пятне Прямоугольниками отмечена область рассматриваемого процесса (область вихрестока); пунктиром показано движение плазмы в пятне, сплошные замкнутые линии схематически изображают силовые линии вектора магнитной индукции В.

Модель магнитного поля солнечного пятна, образующегося в результате

Рисунок 3 — Мпшитпос поле при вихрегюм процессе в гшимр Еертик.циыюе сечение циклопического процесса

вихрестока, применима к отдельному пятну и но включает в себя объяснение преимущественного появления пятен биполярными парами. Также в ней не рассматриваются такие факты, как широтный дрейф пятен, 22-летний цикл солнечных пятен, связь пятен с фотосферными факелами, аитикорреляция цикла пятен с циклом полярных факелов и тд.

Формула (27) предоставляет возможность найти зависимость магнитной индукции от температуры, поскольку как проводимость плазмы, так и характерная скорость плазмы при вихревых процессах являются функциями температуры. Для скорости плазмы на основе уравнения адиабаты и закона Бернулли было получено следующее соотношение:

у2 = 8310Тм2/е2, (28)

где температура Т измеряется в Кельвинах. Рассматривается диапазон температур 100 -200 тыс. К, соответствующий глубине 10-20 тыс. км под поверхностью Солнца - глубине формирования вихрестока. В данном диапазоне температур скорость плазмы меняется в пределах от 28 до 40 км/с

Для удельной проводимости плазмы получено следующее выражение:

7 = 4,37 • 10-3Г3/2 См/м. (29)

Подставляя зависимости от температуры для удельной проводимости и скорости плазмы в формулу (26), получаем:

2?Л,СГ) = 1,1 • 10-14Г5/2Тл = 1,1 • Ю-10Т5/2Гс. (30)

Зависимость величины магнитной индукции от температуры отображена на рисунке 4 в диапазоне температур 100 - 200 тыс. К. В таком диапазоне температур магнитная индукция изменяется в диапазоне 0,035 - 0,2 Тл (350 - 2000 Гс).

Магнитное поле имеет большую величину только внутри области вихрестока, а затем чрезвычайно быстро спадает практически до пуля в пределах

0? В, Тл

0 16

0 12

003

ом Г, тыс К

Рисунок 4 — Зависимость магнитной индукции от температуры

крайне узкой области пространства вблизи внутренней границы вихресто-ка. Толщина области ДЛ, в которой сосредоточено магнитное поле, составляет порядка одного миллиметра Таким образом, при г < До магнитная индукция всюду постоянна, имеет положительное значение и равнаBq. Затем функция В(г) вблизи внутренней границы 7?() при движении от До к Ri очень быстро спадает до значения ail (отрицательная величина) Снаружи области вихревого процесса (при г > R{) магнитная индукция равна нулю Резкое изменение значения магнитной индукции связано с чем, что высоконроводящая плазма является практически идеальным диамагиети-ком, поэтому магнитное поле, индуцированное непосредственно в объёме, в котором циркулируют токи, «выталкивается» из этого объема.

Возможно сделать оценку времени возникновения магнитного ноля солнечного пятна как отношение индуктивности обдасти jSf, в которой сосредоточено магнитное поле, к полному сопротивлению этой области^?

г = § = Vobj^L = taiARh = ^7ДД§. (31)

М 2 2тгД0 4тг ' 4тг 10 v '

Здесь S, „ - площадь слоя толщиной ДД — 1 мм и глубиной h = До/Ю. Для Д0 - 5 ООО км, и Г- 200 ООО К т ~ 20 с

Согласно закону сохранения момента импульса, магнитное поле, сгенерированное внутри некоторого объёма, не может закрутить его как целое, действуя исключительно внутри этого объёма В связи с этим второй член правой части (5) в области циркуляции электрических токов везде равен нулю, а уравнение (5) переходит в уравнение

rot j = -ai-^- I32)

Приведём (32) к виду дифференциального уравнения, используя выведенные ранее соотношения. Как и ранее, рассматриваем только ъ-компоненты векторов и считаем, что vt и v,. Используя соотношения (11),

(14), получаем дифференциальное! уравнение

(k + 2)kvt0Q / г у-2 г\ГдГ)=-а1 2.RI UJ ' (33)

решение которого:

инл (k + 2)aylmQ ( г у-1 _ \к + 2\ау,* ( т \к~1

где использована подстановка ]Q¡ = 2nfíov,o, vt(¡ — гуо = v. Здесь jo ~ ток на поверхности солнечного пятна.

Формула для проводимости известна (29). Температура является функцией глубины. Для верхней части конвективной зоны зависимость температуры от глубины можно считать линейной, а градиент равным 10 К/км

Т = Г0 + 1(Г2/1К, (35)

где То — 3700 К - температура солнечно]« пятна па поверхности фотосферы, h измеряется в метрах. Следовательно, проводимость есть функция глубины:

7 = 4,37 • 1(Г3 ■ (3700 + 10-2/г)3/2, (36)

где проводимость измеряется в Си/и, а глубина в метрах.

Скорость плазмы также является функцией температуры, а значит и глубины. Т.к. v2 = 8310 • Т (28), то

v2 = 8310 • (То + 10 ~2h) = 3 • 107 + 83ft, (37)

где скорость измеряется в м/с.

Диаметр типичного солнечного пятна составляет 22 - 29 тыс км, при атом диаметр тени составляет примерно половину от диаметра всего пятна, поэтому До полагаем 10 тыс. км. Собирая всё вместе и подставляя к — —3, преобразовываем (34):

j(h, г) = -щ ■ 4,37 • Ю-3 • (3700 + 10~2hf2 • (3 • 107 + 83А) • (j^j *,

где плотность тока измеряется в А/м2, при этом 2 4 Ю-10

jo = j(о, Ло) = ' 7 • 4,37 • 10"3 • З7003/2 - 3 • Ю7 = 7,2 ■ 10~7 А/м2. Окончательно получаем

j(h\ г) = Ю-19 ■ (3700 + 10-Hif>2 ■ (3 • 107 + 83h) ■ . (38)

Рисунок 5 — Полоидалыюр тгптпое поле ¡шхреетокопой области солнечною пятни

На глубине /г - 20 ООО км и при г = Яо плотность тока ] - 15,5 мА/м2.

Для того, чтобы узнать полный ток солнечного нятпа необходимо вычислить двойной интеграл

II п,

J = 2тг УIз{Кг) сШ ¿г, (39)

о До

где /г изменяется от нуля до Я = 2 -107 м, а До < г < 7?! = 2Лц

Подставив (38) в подынтегральную функцию (39) и вычислив определённый интеграл, получим 7 = 1,65 ■ 1012 А, что находится в хорошем согласии с величиной тока, приводимой в литературе.

Таким образом, формула (32), выведенная на основе модели стационарного вихресгока, приводит к правильному результату при вычислении полного тока солнечного пятна, что является подтверждением адекватности модели.

В инструментальной трёхмерной модели магнитного поля солнечного пятна, возникающего при стационарном вихрестоке, солнечная плазма считается идеальным проводником. Область формирования магнитного поля солнечного пятна представляется в виде гигантского идеально проводящего полого диска (цилиндра), по которому циркулируют круговые токи (рис. 5). Внешний радиус диска принимается равным - 2-Ю7 м, внутренний радиус До -- 107 м, а глубина солнечного пятна к совпадает с внешним радиусом: Их — Л. Целыо инструментального моделирования является получит), компьютерную визуализацию распределения полоидального магнитного поля солнечного пятна.

Для решения поставленной задачи была выбрана вычислительная среда МАТЬАВ 2007а. Задача моделирования магнитного поля была разбита па несколько последовательных этапов.

1. Дам круговой виток с постоянной плотностью тока ] - (хнЫ. На основе закона Био - Савара - Лапласа найти величину магнитного ноля в любой точке пространства. Дать трёхмерную визуализацию процесса

2. То же для магнитных полей и токов в.случае топкого полого диска, внешний диаметр R\ которого в 2 раза больше внутреннего диаметра Rq. Толщиной диска по сравнению с диаметром пренебречь.

3. То же для диска, но на этот раз толщиной h ~ сравнимую с размерами диаметра солнечного пятна. Ток возрастает сверху вниз по степенному закону 5/2, но не зависит от радиуса. "

4. На конечном этапе задачи строится математическая модель распределения магнитного поля вокруг полого диска толщиной h, в котором ток уже является функцией и от толщины диска (т.е. глубины под поверхностью солнечного пятна), и от диаметра диска (т.е. диаметра солнечного пятна) согласно зависимости (38). Дня этого были использованы результаты предыдущих этапов. Диск представлялся в виде совокупности семи равноудалённых «слоев» («тонких» дисков), а каждый слой, в свою очередь, представлялся в виде совокупности десяти колец. При этом каждому слою присваивалось определённое значение плотности тока в соответствии с формулой (38). При этом радиус наименьших (внутренних) колец равнялся /?о, а радиус наибольших (внешних) колец - R\.

На рисунке С представлена выполненная в системе MATLAB визуализация распределения векторов магнитного поля солнечного пятна. С помощью функции slice визуализируется пространственное распределение величины магнитной индукции с помощью цветовой шкалы. Наиболее светлые участки «срезов» соответствуют.местам, где магнитная индукция максимальна, самые тёмные участки соответствуют местам, где магнитная индукция минимальна. Расстояние измеряется в метрах (х107), магнитная индукция в теслах.

Рисунок б — Визуализация магнитного поля солнечного пятна в системе МАТЬАВ

Получившаяся в результате инструментального моделирования картина распределения магнитного поля в солнечном пятне соответствует наблюдаемым данным. Величина магнитной индукции составляет десятые

доли тесла (тысячи гауссов) и растет с глубиной, при этом магнитная индукция максимальна в центре и уменьшается к периферии солнечного пят-па В центре пятна линии поля практически перпендикулярны поверхности пятна и становятся более наклонными ближе к внешней границе солнечного пятна, что фиксируется непосредственно как на основе эффекта Зсе-мапа, так и на основе фотографий солнечных пятен, находящихся па краю солнечного диска.

В заключении сделаны основные выводы по результатам диссертационной работы

В приложении приведены листинги программ по математическому моделированию солнечного пятна, выполненных в математической системе MATL AB.

III. Основные результаты и выводы

1 Впервые предложена и исследована математическая модель формирования магнитного ноля при стационарном вихрестоке в звёздной плазме. Конкретное рассмотрение сделано для магнитного поля солнечного пятна.

2. Показано, что кинематическая вязкость электронного газа в 42,8 раза превышает вязкость протонного. Различие в вязкостях протонного и электронного газов является основной причиной формирования магнитного поля при вихревом процессе.

3. Получена зависимость магнитной индукции от завихренности. Показано соответствие полученной зависимости основному уравнению магнитогидродинамики - уравнению индукции. Предложена упрощённая двумерная модель вихревого процесса, дан вывод гидродинамических соотношений для завихренности и скорости плазмы при вихревых процессах. Для случая двумерного вихрестока получено аналитическое выражение, связывающее магнитную индукцию с гидродинамическими параметрами солнечной плазмы. Вычислены значения основных параметров плазмы (давление, характерная скорость, проводимость, плотность тока, вязкость) па глубине формирования вихрестока, соответствующей глубине солнечного пятна. Вычислена величина полного тока солнечного пятна и величина магнитной индукции солнечного пятна для упрощённой плоской модели: диапазону температур 100 ООО - 200 ООО К соответствует магнитное ноле 350 - 2000 Гс. Такая магнитная индукция характерна для солнечных пятен.

4. В математической системе MATLAB построена трёхмерная инструментальная модель магнитного поля солнечного пятна, показывающая картину распределения полоидальпого магнитного поля, генерируемого тороидальными токами, циркулирующими в солнечном пятне Модель солнечного пятна в виде проводящего диска, по которому циркулируют токи, не находится в противоречии с данными по наблюдениям магнитных полей солнечных пятен и теоретическими моделями.

IV. Список работ, опубликованных по теме диссертации

Публикации из перечня ведущих рецензируемых научных журналов

1. Каплап, Л.Г. Формирование магнитного поля при вихрсстоковых процессах в звездной плазме / Л.Г. Каилан, П.А. Откидычев // Обозрение прикладной и промышленной математики, 200С. -- Т. 13 - Выпуск 4. - С 649 0,06 Ii л., в том число автора 0,03 п л.

2. Каплап, Л.Г. Циклоническая модель солнечного пятна / Л.Г. Каплап, П.А. Откидычев // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2007. - Т. 14. - Выпуск 2 - С 308. 0,08 и л., в том числе автора 0,04 п.л.

Статьи в материалах Международных и Всероссийских конференций

3. Kaplan, L.G The Mechanism of Magnetic Field Origin at Vortical Processes in Stellar Plasma / L.G Kaplan, PA. Otkulychev // «Physics of magnetic stars», Proceeding of the International Conference, Nizhnij Arkhyz, 27 - 31 August. 2006, Eds: D.O. Kndiyavtsev and 11. Romanyuk - Nizhnij Arkhyz, 2007 - P. 283 - 295. 0,91 п.л., в том числе автора 0,3 п.л.

4. Kaplan, L G. The Magnetic Field Origin Provided by Vortex-inflowing Piocessos / L.G. Kaplan, P.A Otkidychev // «Physics of magnetic st.ais», Proceeding of the International Confcience, Nizhnij Aikhyz, 27 - 31 August, 2006, Eds: D O. Kndiyavtsev and I.I Romanyuk. - Nizhnij Arkhyz, 2007. - P. 276 - 282. 0,46 п.л., в том числе автора 0,23 п.л.

5 ,Каплап, Л.Г. Возникновение магнитного поля при вихресгоке в солнечных пятнах / Л.Г. Каплап, П.А. Откидычев // Труды Всероссийской конференции «Многоволновые исследования Солнца и современные проблемы солнечной активности», CAO, Нижний Архыз, 2006 - СПб, 2007 -С. 409 - 422. 0,60 п.л., в том числе автора 0,30 ri л.

6. Каплап, Л.Г. Взаимосвязь завихренности плазмы и магнитной индукции в солнечных пятнах / Л Г. Каплап, П.А. Откидычев // Материалы Четвёртой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике». - Москва, 2007. - С. 213 - 217. 0,18 и.л., в том числе автора 0,09 п.л

7. Откидычев, П.А Возникновение магнитного поля в циклопической модели солнечного пятна [Электронный ресурс] / П.А. Откидычев // XIV Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2007». - Москва, 2007. Режим доступа: http://lomonosov-m.4u.ru/2007/18/otkidichcv doc.pdf, свободный. 0,12 п.л.

8. Каплап, Л Г Двумерная циклоническая модель солнечных пятен / Л Г. Каплап, П.А Откидычев // Тезисы докладов XI Пулковской международной конференции но физике Солнца «Физическая природа солнечной активности и прогнозирование ее геофизических проявлений», СПб, 2007. - С. 72 - 74. 0,06 п.л., в том числе автора 0,03 п.л.

9. Откидычев, П.А О молекулярной и турбулентной вязкости солнсч-

пой плазмы / ПА. Откидычев, Л.Г. Каилан // Материалы V Всероссийской Научной конференции «Наука. Образование Молодежь». - Майкоп, изд-во Адыгейского государственного университета, 2008. - Т И. • С. 46 -50 0,20 п л , в том числе автора 0,15 п.л.

10. Откидычев, П.А'. К математическому моделированию магнитного ноля солнечных пятен / П.А. Откидычев, Л.Г. Капдан // Материалы V Всероссийской Научной конференции «Наука Образование. Молодежь». -Майкоп, изд-во Адыгейского государственного университета, 2008. - Т II. - С. 46 - 50 0,20 п.л., в том числе автора 0,15 п.л.

Статьи в материалах региональных конференций

11. Откидычев, ПА. Расчёт проводимости солнечной плазмы и величины магнитной индукции активных областей солнца / ПА. Откидычев // Сборник трудов 49 научно-методической конференции преподавателей и студентов, Ставропольский государственный университет, 2004. - С. 68 -70. 0,16 п.л. .

12. Откидычев, П.А. Расчёт проводимости солнечной плазмы па основе математической модели рассеяния элементарных частиц / П.А. Откидычев // Первая международная научно-техническая конференция СКГТУ «Инфотелекоммупикационные технологии в пауке, производстве и образовании». Ставрополь, 2004. - С. 504 - 507. 0,1 п.л.

13. Каилан, Л.Г. О кинематике вязкого газа при стационарном вих-рестоке / Л.Г. Каилан, П.А. Откидычев // Сборник трудов 51 научно-методической конференции преподавателей и студентов, Ставропольский государственный университет, 2006. - С. 246 - 250. 0,15 п.л., в том числе автора 0,07 п.л.

14. Каплап, Л.Г. О формировании магнитного ноля при вихревых процессах в звёздной плазме / Л.Г. Калла», П.А. Откидычев // Сборник трудов 51 научно-методической конференции преподавателей и студентов, Ставропольский государственный университет, 2006. - С. 250 - 253. 0,10 п.л., в том числе автора 0,05 п л.

Подписано в печать 22.10.2008 Формат 60x84 1/16 Усл.печ.л. 1,16 Уч.-изд.л. 0,98

Бумага офсетная Тираж 100 экз. Заказ 191

Отпечатано в Иэдатгльско-полиграфическом комплексе Ставропольского государственного университета. 355009, Ставрополь, ул. Пушкина, 1.

Введение

1. Магнитные поля Солнца и звёзд

1.1. Космическая плазма.

1.2. Общая характеристика Солнца и солнечной атмосферы.

1.3. Солнечные пятна.

1.3.1. Общее описание солнечных пятен

1.3.2. Магнитная структура солнечных пятен.

1.3.3. Трёхмерные модели солнечных пятен.

1.3.4. Эффект Эвершеда и собственное движение пятен

1.3.5. Цикличность солнечной активности.

1.4. Магнитные поля звёзд.

1.4.1. Общее описание звёздного магнетизма.

1.4.2. Звёздные пятна.

1.5. Современные теории возникновения магнитного поля в космической плазме.

1.5.1. Теория реликтового поля.

1.5.2. Динамо-механизм.

1.6. Формирование магнитного поля в звездной плазме вследствие плоского вихревого процесса.

1.7. Выводы.

2. Возникновение магнитного поля при стационарном вихревом процессе в солнечной плазме

2.1. Циклоническая модель образования магнитного поля в плазме

2.2. Соответствие модели возникновения магнитного поля при вихревом процессе основным положениям магнитогидродинамики

2.3. Турбулентная вязкость плазмы и её компонентов

2.4. Плоская модель стационарного вихревого процесса

2.5. Магнитное поле плоского стационарного вихревого процесса

2.5.1. Поток магнитной индукции.

2.5.2. Решение уравнения для магнитной индукции.

2.6. Устойчивость плоского стационарного вихревого процесса

2.7. Выводы.

3. Моделирование магнитного поля солнечного пятна на основе модели стационарного вихрестока

3.1. Предварительные замечания.

3.2. Основные параметры солнечной плазмы при вихревых процессах в солнечном пятне.

3.2.1. Динамические параметры.

3.2.2. Проводимость плазмы.

3.2.3. Ламинарная и турбулентная вязкость плазмы.

3.2.4. Магнитная индукция солнечного пятна.

3.2.5. Время возникновения магнитного поля солнечного пятна

3.2.6. Ток солнечного пятна.

3.3. Инструментальное трёхмерное моделирование магнитного поля солнечного пятна в системе MATLAB.

3.4. Выводы.

Актуальность работы. Магнитные поля широко распространены во Вселенной. Магнетизм играет важную роль во многих проявлениях активности звёзд, таких как вспышки, пятна, звёздный ветер, космические лучи. Магнитные поля влияют на отток звёздного вещества в космическое пространство, влияя тем самым на эволюцию звёзд. Это непосредственным образом влияет на условия звездообразования и на эволюцию галактик. В связи с этим исследование механизмов генерации и поддержания космических магнитных полей, а также их роли в эволюции звёзд и галактик является одним из важнейших направлений исследований в современной астрофизике.

Однако проблема возникновения магнитного поля в звёздах и их дальнейшего существования до сих пор остается открытой. Из-за омических потерь в звёздной плазме электрические токи и магнитные поля, связанные с этими токами, должны постепенно затухать. Механизмы динамо способны скомпенсировать затухание и привести к усилению магнитного поля. Однако эти механизмы не действуют, если магнитное поле в звезде изначально не существовало или же сильно ослабло. Кроме того, сложности теории динамо вызывают сомнение в их реальном повсеместном существовании и высокой эффективности в звёздах.

Теория реликтового магнитного поля может объяснить лишь общее магнитное поле звезды, но не может дать истолкование появлению крупномасштабных неоднородностей в распределении магнитных полей на поверхности звезды, таких как солнечные и звёздные пятна. В любом случае, все эти теории основываются на том, что магнитное поле существовало изначально, и не дают ответа на вопрос, почему это так.

Поэтому математическая модель формирования магнитного поля на Солнце и в звёздах является актуальной.

Исторический обзор. Первые телескопические наблюдения солнечных пятен, выполненные Фабрициусом, Галилеем и Шейнером, были сделаны в 1611 году. И Галилей, и Шейнер отметили различие между тенью и полутенью, а Галилей установил, что солнечные пятна вращаются вместе с поверхностью Солнца. В 1769 году А. Вильсон открыл понижение видимого уровня фотосферы в тени пятен (эффект Вильсона). Исследование солнечных пятен вступило в новую фазу с появлением больших телескопов, построенных Вильямом Гершелем, который описал волокна полутени. Его сын Джон Гершель первым выдвинул предположение, что они являются местами циклональной активности по типу торнадо (связанного с направленным вверх или вниз движением); эта точка зрения была доминирующей в XIX-m - первой половине ХХ-го века. Современная эпоха физики Солнца началась вскоре после того, как в 1896 году Зееман открыл расщепление спектральных линий в магнитном поле. То, что пятна на Солнце представляют собой области с пониженной температурой (факт, который сейчас кажется очевидным), было строго доказано только в 1906 году американским астрономом Дж.Э. Хейлом. В 1908 году он же, измеряя Зеемановское расщепление магниточувствительных абсорбционных линий [31], открыл, что солнечные пятна содержат сильные магнитные поля, (правда, ещё в 1891 году Шустер заметил, что форма солнечной короны позволяет сделать вывод, что на Солнце имеется магнитное поле). Это было первым открытием магнитного поля вне Земли, что привело к появлению нового раздела астрофизики. Хейл решил обнаружить магнитное поле именно в солнечных пятнах, а не в каком-либо другом космическом объекте потому, что он был убеждён, что эти пятна подобны земным торнадо и что электроны, движущиеся в вихре солнечного пятна, будут индуцировать магнитное поле [55]. Кроме Хейла, метеорологической аналогии придерживались многие выдающиеся учёные начала XX века - например, один из создатель диаграммы «цвет - светимость» американский астроном Г.Н. Рассел, а также один из основоположников современной метеорологии норвежский физик В. Бъёркнес. Последний рассматривал азимутальные вихревые трубки, переносимые с помощью меридиональной циркуляции внутри конвективной зоны, которые выходят на поверхность фотосферы, образуя пару солнечных пятен [2]. Охлаждение солнечного пятна Бъёркнес объяснил как результат адиабатического расширения поднимающегося из недр Солнца газа, подкрепив эту идею соответствующими расчётами. Однако ни Бъёркнесу, ни другим учёным не удалось дать объяснение, почему же в пятнах возникает столь сильное магнитное поле, поэтому впоследствии от циклональной модели солнечных пятен отказались.

За открытием Хейлом магнитного поля в солнечных пятнах сразу же последовало открытие Эвершедом в 1909 году постоянного радиального оттока газа из полутени. Открытие сильных магнитных полей в солнечных пятнах побудило Лармора в 1919 году предложить осесимметричную модель, в которой поле локально сгенерировано из малого затравочного поля вследствие индукции, возникающей из-за меридионального течения газа с высокой проводимостью вдоль линий поля. Каулинг в 1934 году показал, что такое локальное динамо невозможно и предположил, что солнечные пятна появляются в результате изначально существующей трубки магнитного потока, которая переносится наверх и прорывается сквозь поверхность. Эти идеи были развиты в 1930-х годах Каулингом и Бирманом. В 1941 году Бирман опубликовал гипотезу, что конвекция подавляется сильным магнитным полем в солнечных пятнах. Последующие дискуссии насчёт охлаждения солнечных пятен между Хойлом и Каулингом показали возможность того, что магнитное поле может только уменьшать, но не полностью подавлять конвективный перенос тепла под солнечным пятном [55].

Что же касается общего магнитного поля Солнца, то его пытался определить Дж.Э. Хейл на основе эффекта Зеемана. Однако ввиду малости эффекта (расщеплению 1 А в оптическом диапазоне соответствует гнгантское поле ~ 10 Тл) Хейл получил ошибочное значение 5 • 10~3 Тл (50 Гс). Этот результат продержался почти полвека, пока в 1952 году американский астроном Х.У. Бэбкок с помощью изобретённого им солнечного магнитографа не нашёл, что общее поле Солнца составляет всего лишь Ю-4 - 2 • Ю-4 Тл (1-2 Гс), что сравнимо с магнитным полем Земли и на три порядка меньше поля солнечных пятен. При таких малых значениях поля расщепления линии не происходит, имеет место лишь круговая поляризация левого и правого края спектральной линии в двух различных направлениях; по анализу этой поляризации и определяется магнитное поле [125].

Бэбкоку принадлежит также честь открытия магнитного поля звёзд. Он разработал и изготовил дифференциальный анализатор круговой поляризации, при помощи которого на фотопластинке регистрировались одновременно два циркулярно-поляризованных ортогональных спектра, что при использовании спектрографа высокого разрешения позволяло получить очень хорошую точность. Измерения поля сводились к определению сдвигов между левыми и правыми сигма-компонентами линий, видимых по отдельности в каждой поляризации. Первая звезда, которую исследовал Бэбкок (78 Vir, химически пекулярная звезда класса А с металлическими линиями), показала поле на полюсе величиной 0,15 Тл (1500 Гс). Дальнейшие исследования показали, что только пекулярные А и В звёзды обладают упорядоченными крупномасштабными магнитными полями большой величины, т.е. Бэбкок исключительно удачно подобрал объект для поисков звёздного магнетизма [125]. Благодаря открытиям Бэбкока и теоретическим работам Альфвена в 1940-х годах зародилась новая наука - магнитогидродинамика.

О существовании пятен на поверхности звёзд, подобных солнечным пятнам, учёные заподозрили очень давно - после открытия переменности у о Ceti (Мира Кита) в 1667 году (И. Буллио) и у Алголя в 1669 году (Дж. Монта-рини). Считалось, что проявление переменности блеска звезды связано с её вращением вокруг своей оси, когда звезда поворачивается то тёмной (покрытой пятнами), то светлой стороной [17]. Такая точка зрения существовала вплоть до конца 19-го века, пока А.А. Белопольский в 1893 году не доказал, что переменность звезды /3 Lirae обусловлена тем, что она представляет собой двойную систему. Дальнейшие наблюдения показали, что переменность блеска известных в то время, переменных звёзд никоим образом не связана со звёздными пятнами, а обусловлена рядом совсем других механизмов. Впрочем, с фотографической техникой, единственной, которая имелась в первой половине 20-го века, найти у звёзд магнитные поля сложной структуры, подобные солнечным, было невозможно. Впервые асимметрию блеска на поверхности диска шести звёзд (RT And, RS CVn и др.) обнаружил Дж. Крон, однако окончательное подтверждение существования пятен у звёзд появилось лишь в 1970-х годах, а сам термин «звёздные пятна» (starspots) вошёл в научную литературу только в 1985.

В настоящее время важную роль играют космические исследования Солнца - например, изучение глубинных структур Солнца методами гелио-сейсмологии с помощью космического комплекса SOHO (Solar and Helio-spheric Observatory).

Общей задачей исследования является математическое моделирование магнитных полей звёзд.

Объектом исследования являются локальные вихревые процессы в солнечной плазме.

Предметом исследования является математическое моделирование магнитных полей солнечных пятен.

Целью работы является построение математической модели формирования локальных магнитных полей на Солнце и в солнечно-подобных звёздах в результате стационарных вихревых процессов в плазме.

Частные задачи исследования. Для достижения поставленной цели автором поставлены и решены следующие задачи.

1. Математическое моделирование формирования магнитного поля при стационарном вихревом процессе в солнечной плазме.

2. Теоретическое исследование вязкости плазмы для случая ламинарного и турбулентного течения.

3. Вывод уравнений зависимости магнитной индукции, возникающей при вихревом процессе в плазме, от гидродинамических параметров плазмы, решение этих уравнений для случая обратного влияния магнитного поля на скорость плазмы, анализ полученных решений. Вычисление основных параметров солнечной плазмы па глубине формирования магнитного поля.

4. Инструментальное моделирование в системе MATLAB трёхмерного распределения магнитного поля в солнечном пятне на основе модели вихре-стока.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем.

1. Впервые предложена и разработана математическая модель образования магнитного поля в плазме при плоском стационарном вихревом процессе. Конкретное рассмотрение сделано для магнитного поля солнечного пятна.

2. Показано, что кинематические вязкости электронного и протонного газов плазмы соотносятся обратно пропорционально корню из отношения масс протона и электрона, как для ламинарного, так и для турбулентного течения, что является основной причиной формирования магнитного поля при вихревом процессе.

3. Для случая двумерного вихрестока получены отличающиеся от известных аналитические выражения, связывающие магнитную индукцию и плотность тока с гидродинамическими параметрами солнечной плазмы. На основе модели плоского вихрестока вычислена величина плотности тока, полного тока и магнитной индукции солнечного пятна, а также время формирования магнитного поля в области вихрестока.

4. В математической системе MATLAB создана программа компьютерной визуализации математической модели магнитного поля солнечного пятна.

Теоретические и методологические основы исследования. Решение поставленных задач базируется на математическом аппарате векторного анализа, дифференциального и интегрального исчисления и методов математического моделирования, а также на инструментальных средствах моделирования сложных систем.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обусловлена корректностью применения современного математического аппарата и инструментальных средств, в частности, математической системы MAT-LAB 2007а, и подтверждается согласованностью теоретических результатов данным наблюдений.

Практическая значимость. Предложенный в работе механизм формирования магнитного поля при стационарном вихрестоке в плазме может быть применён для объяснения возникновения мощных локальных магнитных полей на Солнце и в солнечно-подобных звёздах, а также затравочных магнитных полей в механизме динамо.

Положения, выносимые на защиту.

1. Математическая модель возникновения магнитного поля в солнечной плазме при плоском вихревом процессе.

2. Результаты теоретического исследования ламинарной и турбулентной вязкости плазмы.

3. Аналитические выражения зависимости магнитной индукции солнечного пятна от параметров солнечной плазмы применительно к модели вихре-стока.

4. Результаты инструментального трёхмерного моделирования магнитного поля солнечного пятна на основе модели плоского вихрестока.

Публикация и апробация. По теме работы автором сделаны 14 публикаций, в том числе 2 в журнале, реферируемом ВАК («Обозрение прикладной и промышленной математики»).

Результаты теоретических исследований докладывались на:

• 49 и 51 научно-методической конференции преподавателей и студентов «Университетская наука - региону» Ставропольского государственного университета;

• Международной конференции «Magnetic Stars» Специальной астрофизической обсерватории РАН, Нижний Архыз, 27 - 31 августа 2006;

• Всероссийской конференции «Многоволновые исследования Солнца и современные проблемы солнечной активности» Специальной астрофизической обсерватории РАН, Нижний Архыз, 27 сентября - 2 октября 2006;

• Четвёртой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» Московского государственного технического университета им. Баумана, Москва, 29 - 31 января 2007;

• XIV Международной научной конференции «Ломоносов» Московского государственного университета, Москва, 11-14 апреля 2007;

• XI ежегодной научной конференции по физике Солнца «Физическая природа солнечной активности и прогнозирование её геофизических проявлений» Главной астрономической обсерватории РАН, Санкт-Петербург, Пулково, 2-7 июля 2007.

Структура и объём работы. Во введении обоснована актуальность темы исследования, дан исторический обзор по теме исследования, сформулированы основные цели и задачи работы, показана её научная новизна, приведён список публикаций, кратко изложена структура работы.

Первый раздел имеет обзорный характер. Вначале описываются основные свойства космической плазмы. Далее приведена общая характеристика Солнца, рассмотрены основные проявления солнечной активности, в первую очередь - солнечные пятна. Дан обзор магнитных полей в звёздах разных типов и спектральных классов. Рассматриваются различные теории возникновения магнитного поля на Солнце и в звёздах: теория динамо и теория реликтового поля, а также предложенная Л.Г. Каплапом (2004) теория возникновения магнитного поля в плазме при стационарном вихрестоке. Приводится полная система уравнений Навье - Стокса для протонного и электронного газа плазмы и соотношение между магнитной индукцией и завихрённостью.

Во втором разделе рассмотрена цнклональная модель возникновения магнитного поля в звёздной плазме. Выведено соотношение для турбулентных вязкостей протонного и электронного газов на основе пути смешения Прандтля. Рассмотрена плоская модель стационарного вихревого процесса, выведены уравнения для гидродинамических параметров плазмы (завих-рённость, радиальная и тангенциальная скорости). Решено уравнения для магнитной индукции для плоского стационарного случая. Показано соответствие модели возникновения магнитного поля при вихревом процессе в плазме основным положениям магнитогидродинамики. Рассмотрена устойчивость данного процесса.

В третьем разделе приводится инструментальное трёхмерное моделирование солнечного пятна в математической системе MATLAB. Вычислены значения основных параметров плазмы (давление, скорость, проводимость, плотность тока, вязкость) на глубине формирования вихрестока, соответствующей глубине солнечного пятна. Вычислена величина полного тока солнечного пятна. Вычислена величина магнитной индукции для упрощённой плоской модели: диапазону температур 100 ООО - 200 000 К соответствует магнитное поле 3,5 ■ Ю-2 - 0,2 Тл (350 - 2000 Гс). Получено трехмерное распределение величины магнитной индукции, и также линий и векторов магнитного поля в пространстве. Численное значение магнитной индукции солнечного пятна и пространственная картина линий магнитного поля находится в хорошем согласии с наблюдаемыми данными.

В заключении сделаны основные выводы по результатам диссертационной работы.

В приложении приведены листинги программ по инструментальному трёхмерному моделированию магнитного поля солнечного пятна.

Текст диссертационной работы набран и свёрстан в издательской системе M]gK [75, 104]. Компьютерная визуализация полученных результатов проведена в математической системе MATLAB [75, 77, 92, 98, 100].

3.4. Выводы

• Проведены вычисления различных параметров солнечной плазмы для диапазона глубин 10-20 тыс. км под поверхностью Солнца - предполагаемой глубины формирования вихревого процесса. Для такой глубины температура плазмы составляет 100-200 тыс. К, скорость плазмы 25-40 к м/с, проводимость плазмы 0,5-4-105 См/м.

• Выведено распределение величины плотности тока в солнечном пятне, вычислена величина полного тока солнечного пятна (1,65-1012 А).

• Вычислена величина магнитной индукции для упрощенной плоской модели солнечного пятна: диапазону температур 100 000 - 200 000 К соответствует магнитное поле 0,035 - 0,2 Тл (350 - 2000 Гс). Такая магнитная индукция характерна для солнечных пятен.

• Проведено трёхмерное инструментальное моделирование солнечного пятна в системе MATLAB для модели солнечного пятна в виде проводящего диска, по которому циркулируют токи. Компьютерная визуализация распределения линий и векторов магнитного поля не находится в противоречии с данными по наблюдениям магнитных полей солнечных пятен и существующими теоретическими моделями.

Заключение

В диссертационной работе сделано следующее:

1. Впервые предложена и исследована математическая модель формирования магнитного поля при стационарном впхрестоке в звёздной плазме. Конкретное рассмотрение сделано для магнитного поля солнечного пятна.

2. Показано, что кинематическая вязкость электронного газа в 42,8 раза превышает вязкость протонного. Различие в вязкостях протонного и электронного газов является основной причиной формирования магнитного поля при вихревом процессе.

3. Получена зависимость магнитной индукции от завпхрённости. Показано соответствие полученной зависимости основному уравнению магнитогидродинамики - уравнению индукции. Предложена упрощённая двумерная модель вихревого процесса, дан вывод гидродинамических соотношений для завихренности и скорости плазмы при вихревых процессах. Для случая двумерного вихрестока получено аналитическое выражение, связывающее магнитную индукцию с гидродинамическими параметрами солнечной плазмы. Вычислены значения основных параметров плазмы (давление, характерная скорость, проводимость, плотпость тока, вязкость) на глубине формирования вихрестока, соответствующей глубине солнечного пятна. Вычислена величина полного тока солнечного пятна и величина магнитной индукции солнечного пятна для упрощённой плоской модели: диапазону температур 100 ООО - 200 ООО К соответствует магнитное поле 0,035 - 0,2 Тл. Такая магнитная индукция характерна для солнечных пятен.

4. В математической системе MATLAB построена трёхмерная инструментальная модель магнитного поля солнечного пятна, показывающая картину распределения полоидального магнитного поля, генерируемого тороидальными токами, циркулирующими в солнечном пятне. Модель солнечного пятна в виде проводящего диска, по которому циркулируют токи, не находится в противоречии с данными по наблюдениям магнитных полей солнечных пятен и теоретическими моделями.

Однако некоторые вопросы остаются проблемными:

• в настоящее время недостаточно данных для того, чтобы уверенно говорить о конкретной глубине формирования солнечного пятна;

• в работе определено магнитное поле на уровне формирования, но не исследован механизм его выноса на поверхность;

• предложена математическая модель магнитного поля одиночного пятна, в то время как пятна часто появляются биполярными парами, а также группами.

1. Balasubramaniam, K.S. Statistical Properties of Superpenumbral Whorls around Sunspots / K.S. Balasubramaniam, A. Pevtsov, J. Rogers // The Astro-physical Journal - 2004. - Vol. 608. - P. 1148 - 1155.

2. Bjerknes, V. Solar hydrodynamics / V. Bjerknes // Astrophysical Journal -1926.-Vol. 64.-P. 93-121.

3. Bright rings around sunspots / Rast M.P. et al. // Nature 1999. - Vol. 401.- P. 678 679.

4. Cameron, A.C. New Limits on Starspot Lifetimes for AB Doradus / A.C. Cameron // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 1995. - Vol. 275, issue 2. - P. 534 - 544.

5. Choudhuri, A.R. The Cluster Model of Sunspots / A.R. Choudhuri // Sunspots: Theory and Observations. Proc. of the NATO Advanced Research Workshop on the Theory of Sunspots. Cambridge, UK, 1991. - P. 243 - 257.

6. Chromospheric Evershed flow / A.A. Georgakilas et al. // Astronomy and Astrophysics 2003. - Vol. 403. - P. 1123 - 1133.

7. Discovery of a strong magnetic field on the О star HD 191612: new clucs to the future of 91 Orionis С / J.-F. Donati et al. // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 2006. - Vol. 365, issue 1. - P. 6 - 10.

8. Distribution of Starspots on Cool Stars. Young and Main Sequence Stars of 1 Mq / M. Schiissler et al. // Astronomy and Astrophysics 1996. - Vol. 314.- P. 503 513.

9. Downflows under sunspots detected by helioseismic tomography / T.L. Duvall

10. Jr. et al. 11 Nature 1996. - Vol. 379. - P. 235 - 237.

11. Eker, Z. Multiple Starspots and Solar Analogy: A New Approach and Applications to HD 12545 / Z. Eker // The Astrophysical Journal 1995. - Vol. 445.- P. 526 536.

12. Field-aligned Evershed flows in the photosphere of a sunspot penumbra / L.R. Bellot Rubio et al. // Astronomy and Astrophysics 2003. - Vol. 403. - P. 47 -50.

13. Preytag, B. Hot Spots in Numerical Simulations of Betelgeuse / B. Frcytag // Proceedings of 12th Cambridge Workshop on Cool Stars, Stellar Systems and the Sun. University of Colorado, 2003. - P. 1024 - 1029.

14. Galloway, D,J. General Review of Dynamo Theory. / D.J. Galloway Sydney, 1996. - 9 c.- (Prepr. A/Inst. of Astron., No. R 96-53).

15. Glebocki, R. Catalog of Projected Rotational Velocities / R. Glebocki, A. Stawikowski // Acta Astronomica 2000. - Vol.50. - P. 509 - 515.

16. Gray, D.F. Betelgeuse and Its Variations / D.F. Gray // The Astrophysical Journal 2000. - Vol. 532. - P. 487 - 496.

17. Hall, D.S. The History of the Discovery of Starspots / D.S. Hall // International Amateur-Professional Photoelectric Photometry Communication 1994.- No. 54. P. 1 - 11.

18. Hardi, P. Superpenumbral vortices / P. Hardi // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 1996. - Vol. 278. - P. 821 - 828.

19. HD 12545, a Study in Spottedness / M. Hampton et al. // Publications of the Astronomical Society of the Pacific 1996. - Vol. 108. - P. 68 - 72.

20. Jahn, K. Magnetohydrostatic Equilibrium in Sunspot Model / K. Jahn // Sunspots: Theory and Observations. Proc. of the NATO Advanced Research

21. Workshop on the Theory of Sunspots. Cambridge, UK, 1991. - P. 139 - 159.

22. Johns-Krull, C.M. Detection of Strong Magnetic Fields on M Dwarfs / C.M. Johns-Krull, J.A. Valenti // The Astrophysical Journal 1996. - Vol. 459. - P. 95 - 98.

23. Kaplan, L.G. On formation of a magnetic field by vortical processes in stellar plasma / L.G. Kaplan // Proceedings of the Iternational Conference «Magnetic Stars», 27 31 August 2003. - SAO RAS, Nizhnij Arkhyz, 2004. - P. 182 - 190.

24. Klvana, M. Rotation of the vector velocity field in a symmetric sunspot / M. Klvafia, V. Bumba // Proceedings of the Second Solar Cycle and Space Weather Euroconference. Ed. H. Sawaya-Lacoste. Vico Equense, Italy, 2001. - P. 135 -138.

25. Knobloch, Б. On the Spectrum of the Turbulent Magnetic Field / E. Knobloch, R. Rosner // The Astrophysical Journal 1981. - Vol. 247. - P. 300 - 311.

26. Lanza, A.F. Observations and Modelling of Starspots: a Tool to Understand Stellar Dynamo / A.F. Lanza, M. Rodono // Solar and Stellar Activity: Similarities and Differences. ASP Conference Series 1999. - Vol. 158. - P. 121 -132.

27. Magnetic Field Measurements of a Supergiant v Сер / E. Gerth et al. // Astronomische Nachrichten 1991. - Vol. 312, no. 2. - P. 107 - 111.

28. Magnetic Field Measurements on Moderately Active Cool Dwarfs / I. Riiedi et al. // Astronomy and Astrophysics 1997. - Vol. 318. - P. 429 - 442.

29. Magnetic Fields and Winds in A-type Supergiants / Verdugo E. et al. // International Conference on magnetic fields in О, В and A stars. ASP Conference Series. 2003. - Vol., no.305. - P. 364 - 372.

30. Makarov, V.I. Polar Faculae and Sunspot Cycles / V.I. Makarov, V.V. Makaro-va // Solar Physics 1996. - Vol. 163. - P. 267 - 289.

31. Mestel, L. Magnetic Fields across the H-R Diagram / L. Mestel // Magnetic Fields across the Hertzsprung Russel Diagram. Eds. G. Mathys, S.K. Solanki, D.T. Wickramasinghe. ASP Conf. Series. - Santiago, Chile, 2001. - P. 3 - 19.

32. Okunev, O.V. On the Structure of Polar Faculae on the Sun / O.V. Okunev,

33. F. Kneer // Astronomy and Astrophysics 2004. - Vol. 425. - P. 321 - 331.

34. Parker, E.N. The Sunspot Phenomenon: A Commentary / E.N. Parker // Sunspots: Theory and Observations. Proc. of the NATO Advanced Research Workshop on the Theory of Sunspots. Cambridge, UK, 1991. - P. 413 - 425.

35. Plachinda, S.I. Magnetic field variability in the supergiant 7 Cyg from 1969 to 1986 / S.I. Plachinda // Krymskaia Astrofizicheskaia Observatoriia, Izvestiia- 1990. Vol. 81. - P. 112 - 124.

36. Proper motions of sunspots groups / Wohl H. et al. // Hvar Observatory Bulletin 2003. - Vol. 27, no. 1. - P. 1 - 12.

37. Reisenegger, A. Magnetic Fields of Neutron Stars: an Overview / A. Reisencg-ger // Magnetic Fields across the Hcrtzsprung Russel Diagram. Eds. G. Mathys, S.K. Solanki, D.T. Wickramasinghe. ASP Conf. Series. - Santiago, Chile, 2001. - P. 469 -478.

38. Richardson, R.S. Sunspot Groups of Irregular Magnetic Polarity / R.S. Richardson // Astrophysical Journal 1948. - Vol. 107. - P. 78 - 93.

39. Search for magnetic fields in late-type giants / S. Hubrig et al. // Astronomy and Astrophysics 1994. - Vol. 291. - P. 890 - 894.

40. Settele, A. Temporal and spatial variations of the magnetic field vector in sunspots / A. Settele, M. Sigwarth, K. Muglach // Astronomy and Astrophysics- 2002. Vol. 392. - P. 1095 - 1104.

41. Sobotka, M. A Close Look at Sunspots / M. Sobotka // Solar encounter.

42. Proceedings of the First Solar Orbiter Workshop. Eds.: B. Battrick, H. Sawaya-Lacostc. Tenerife, Spain, 2001. - P. 361 - 365.

43. Socas-Navarro, H. The Fine Structure of Sunspot Umbrae / H. Socas-Navarro // Current Theoretical Models and High Resolution Solar Observations. ASP Conference Series 2003. - Vol. 286. - P. 267 - 280.

44. Solanki, S.K. Spot Sizes on Sun-like Stars / S.K. Solanki, Y.C. Unruh // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 2004. - Vol. 348. - P. 307 -315.

45. Strassmeier, K.G. The super starspots on the K0 giant HD 12545: larger than the entire Sun / K.G. Strassmeier // Astronomy and Astrophysics 1999. - Vol. 347. - P. 225 - 234.

46. Sunspot Bright Rings: Evidence from Case Studies / Rast M.P. et al. // The Astrophysical Journal 2001. - Vol. 557, issue 2. - P. 864 - 879.

47. Thomas, J.H. Theory of Sunspot Structure / J.H. Thomas // Multi-Wavelength Investigations of Solar Activity Proceedings. Eds. A.V. Stepanov, E.E. Benevolenskaya, A.G. Kosovichev. IAU Symposium No. 223 2004. - P. 161 - 170.

48. Thomas, J.H. The Theory of Sunspots / J.H. Thomas, N.O. Weiss // Sunspots: Theory and Observations. Proc. of the NATO Advanced Research Workshop on the Theory of Sunspots. Cambridge, UK, 1991 - P. 3 - 43.

49. Того Iniesta, J.C., del. Sunspot Magnetic Fields / J.C. del Того Iniesta // Magnetic Fields across the Hertzsprung Russel Diagram. Eds. G. Mathys, S.K. Solanki, D.T. Wickramasinghe. ASP Conf. Series. - Santiago, Chile, 2001. - P. 35 - 43.

50. Того Iniesta, J.C., del. Cold, Supersonic Evcrshed Downfiows in a Sunspot

51. J.C. del Того Iniesta, L.R. Bcllot Rubio, M. Collados // The Astrophysical Journal 2001. - Vol. 549. - R 139 - 142.

52. Turbulence and Magnetic Fieds in Astrophysics. Ed. Thierry Passot. ISSN 0075-8450. - 2003. - 463 p.

53. Verdugo, E. Understading A-type supergiants / E. Verdugo, A. Talavera, A.I. Gomez de Castro // Astronomy and Astrophysics 1999. - Vol. 346. - P. 819 -830.

54. Wade, G.A. Magnetic Properties of Intermediate-mass stars / G.A. Wade // Element Stratification in Stars, 40 years of Atomic Diffusion. Eds. G. Alecian, O. Richard and S. Vauclair. EAS Publications Series. 2007. - P. 1 - 11.

55. Zhao, J. Investigation of Mass Flows beneath a Sunspot by Time-Distance Helioseismology / J. Zhao, A.G. Kosovichev // The Astrophysical Journal -2001. Vol. 557. - P. 384- 388.

56. Zhao, J. Helioseismic Observation of the Structure and Dynamics of a Rotating Sunspot Beneath the Solar Surface / J. Zhao, A.G. Kosovichev // The Astrophysical Journal 2003. - Vol. 591. - P. 446 - 453.

57. Zwaan, C. The Evolution of Sunspots / C. Zwaan // Sunspots: Theory and Observations. Proc. of the NATO Advanced Research Workshop on the Theory of Sunspots. Cambridge, UK, 1991. - P. 75 - 101.

58. Альфвен, X. Космическая плазма. / X. Альфвен М.: Мир, 1983. - 216 с.

59. Арцимович, JI.A. Элементарная физика плазмы / JI.A. Арцимович М.: Атомиздат, 1969. - 200 с.

60. Белов, К.П. Магнетизм на Земле и в Космосе / К.П. Белов, Н.Г. Бочкарёв М.: Наука, 1983. - 192 с.

61. Бочкарёв, Н.Г. Магнитные поля в Космосе / Н.Г. Бочкарёв М.: Наука,1985. 150 с.

62. Брей Р. Солнечные пятна / Р. Брей, Р. Лоухед; пер. с англ. М.: Мир, 1967. - 383 с.

63. Вайнштейн, С.И. Магнитная гидродинамика космической плазмы и токовые слои / С.И. Вайнштейн М.: Наука, 1985. - 192 с.

64. Вайнштейн, С.И. Магнитные поля в космосе / С.И. Вайнштейн М.: Наука, 1983. - 220 с.

65. Витинский, Ю.И. Цикличность и прогноз солнечной активности / Ю.И. Витинский Л.: Наука, 1973. - 258 с.

66. Витинский, Ю.И. Статистика пятнообразовательной деятельности Солнца / Ю.И. Витинский, М. Копецкий, Г.В. Куклин М.: Наука, 1986. - 296 с.

67. Волков, Я.Ф. Диагностика турбулентной плазмы / Я.Ф. Волков, В.Г. Дятлов, Н.И. Митина Киев: Наукова думка, 1983. - 144 с.

68. Говорухин, В.Г. Компьютер в математическом исследовании. Maple, MATLAB, В.Г. Говорухин, В.Н. Цибулнн Спб.: «Питер», 2001 -624 с.

69. Гопасюк, С.И. Фотосферные движения газа в одиночном пятне / С.И. Гопасюк // Физика солнечных пятен. М.: Наука, 1976. - 193 с.

70. Дьяконов, В.П. MATLAB 6.5 SP1/7 + Simulink 5/6. Основы применения / В.П. Дьяконов М., «СОЛОН-Пресс», 2005. - 800 с.

71. Засов, А.В. Общая астрофизика / А.В. Засов, К.А. Постнов Фрязино: Век-2, 2006. - 496 с.

72. Иванов, Б.Н. Мир физической гидродинамики: от проблем турбулентности до физики космоса / Б.Н. Иванов М.: Едиториал УРСС, 2002. - 240 с.

73. Кадомцев, Б.Б. Коллективные явления в плазме / Б.Б. Кадомцев М. Наука, 1976. - 240 с.

74. Каплан, Л.Г. Формирование магнитного поля при вихревых процессах в звёздной плазме / Л.Г. Каплан // Вестник Ставропольского государственного университета 2004. - Вып. 38. - С. 94 - 100.

75. Каплан, Л.Г. О кинематике вязкого газа при стационарном вихрестоке / Л.Г. Каплан, П.А. Откидычев // Сборник трудов 51 научно-методической конференции преподавателей и студентов, Ставропольский государственный университет, 2006. С. 246 - 250.

76. Каплан, Л.Г. Формирование магнитного поля при вихрестоковых процессах в звёздной плазме / Л.Г. Каплан, П.А. Откидычев // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2006. Т. 13. - Выпуск 4. - С. 649.

77. Каплан, Л.Г. Циклоническая модель солнечного пятна / Л.Г. Каплан, П.А. Откидычев // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2007. Т. 14. - Выпуск 2. - С. 308.

78. Каплан, Л.Г. Взаимосвязь завихрённости плазмы н магнитной индукции в солнечных пятнах / Л.Г. Каплан, П.А. Откидычев // Материалы Четвертой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике». Москва, 2007. - С. 213 - 217.

79. Каплан, С.А. Физика плазмы солнечной атмосферы / С.А. Каплан, С.Б.

80. Пикельнер, В.Н. Цытович М.: Наука, 1977. - 256 с.

81. Каплан, С.А. Плазменная астрофизика / С.А. Каилан, В.Н. Цытович -М.: Наука, 1972. 440 с.

82. Клсммоу, Ф. Электродинамика частиц и плазмы / Ф. Клеммоу, Дж. Доуэрти; пер. с англ. М.: Мир, 1996. - 528 с.

83. Кондратов, В.Е. MATLAB как система программирования научно-технических расчетов / В.Е. Кондратов, С.Б. Королев М.: Мир, 2002.- 350 с.

84. Кононович, Э.В. Солнце дневная звезда / Э.В. Кононович - М.: Просвещение, 1982. - 112 с.

85. Кононович, Э.В. Общий курс астрономии / Э.В. Кононович, В.И. Мороз- М.: Едиториал УРСС, 2004. 544 с.

86. Краузе, Ф. Магнитная гидродинамика средних полей и теория динамо / Ф. Краузе, К.-Х. Рэдлер; пер. с нем М.: Мир, 1984. - 320 с.

87. Куликовский, А.Г. Магнитная гидродинамика / А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов М.: «Логос», 2005. - 328 с.

88. Куликовский, П.Г. Справочник любителя астрономии / П.Г. Куликовский- М.: Эдиториал УРСС, 2002. 688 с.

89. Курбатова, Е.А. Самоучитель MATLAB 7 / Е.А. Курбатова М.: Изд. дом «Вильяме», 2006. - 256 с.

90. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. В 10 т. Т. II. Теория поля / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц стер. изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 536 с.

91. Леоненков, А.В. Нечёткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH / А.В. Леоненков СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 736 с.

92. Лифшиц, Е.М. Теоретическая физика. В 10 т. Т. X. Физическая кинетика / Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. 2-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 528 с.

93. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский М.: Дрофа, 2003. - 840 с.

94. Лучевые скорости и скорости вращения выборки магнитных СР-звсзд / Кудрявцев Д.О. п др. // Астрофизический бюллетень 2007. - том 2, №2. - С. 162 - 176.

95. Львовский, С.М. Набор и вёрстка в пакете Ш^Х/ С.М. Львовский -М.: Московский центр непрерывного математического образования, 2006. -448 с.

96. Макарова, Е.А. Распределение энергии в солнечном спектре и солнечная постоянная / Е.А. Макарова, А.В. Харитонов М.: Наука, 1972. - 288 с.

97. Макарова, Е.А. Поток солнечного излучения / Е.А. Макарова, А.В. Харитонов, Т.В. Казачевская М.: Наука, 1985. - 254 с.

98. Мак-Интош П., Драйер М. (ред.) Наблюдения и прогноз солнечной активности: Пер с англ. М.: Мир, 1976. - 352 с.

99. Матвеев, А.Н. Электродинамика / А.Н. Матвеев М.: Высшая школа. 1980. - 384 с.

100. Милантьев, В.П. Физика плазмы / В.П. Милантьев, С.В. Темко М.: Просвещение, 1983. - 160 с.

101. Миттон, С. Дневная звезда / С. Миттон; пер с англ. М.: Мир, 1984. -208 с.

102. Молоденский, М.М. Магнитные поля активных областей Солнца / М.М. Молоденский, Б.П. Филиппов М.: Наука, 1992. - 151 с.

103. Мэтьюз, Дж.Г. Численные методы. Использование MATLAB / Дж.Г. Мэтьюз, К.Д. Финк М.: изд. дом «Вильяме», 3-е изд., 2001. - 720 с.

104. Обридко, В.Н. Солнечные пятна и комплексы активности / В.Н. Обрид-ко М.: Наука, 1985. - 255 с.

105. Обридко, В.Н. Физические условия в солнечных пятнах (обзорный доклад) / В.Н. Обридко, Р.Б. Теплицкая // Физика солнечной плазмы. Материалы семинара 1987 г., Киев. Отв. ред. Сомов Б.В., Фомичёв В.В. М.: Наука, 1989. - 167 с.

106. Пикельнср, С.Б. Основы космической электродинамики / С.Б. Пикель-нер М.: Наука, 1966. - 407 с.

107. Половин, Р.В. Основы магнитной гидродинамики / Р.В. Половин, В.П. Демуцкий М.: Энергоатомиздат, 1987. - 205 с.

108. Поршнев, С.В. MATLAB 7. Основы работы и программирования / С.В. Поршнев М.: Бином. Лаборатория знаний, 2006. - 320 с.

109. Прист, Э.Р. Солнечная магнитогидродинамика / Э.Р. Прист; пер. с англ.-М.: Мир, 1985. 582 с.

110. Прист, Э.Р. Магнитное пересоединение / Э.Р. Прист, Т. Форбс; пер. с англ. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 592 с.

111. Романюк, И.И. Магнитные поля химически пекулярных звёзд главной последовательности : дисс. д-ра физ.-мат. наук: 01.03.02 : защищена 14.10.2004 : утв. 13.05.2005 / И.И. Романюк Нижний Архыз, 2004. - 520 с.

112. Самарский, А.А. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры / А.А. Самарский, А.П. Михайлов 2-е изд., М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.- 320 с.

113. Сена, Л.А. Единицы физических величин и их размерности / Л.А. Сена- М.: Наука, 1988. 432 с.

114. Сивухин, Д.В. Общий курс физики. В 5 т. Т. 2. Термодинамика и молекулярная физика / Д.В. Сивухин изд. 4-е, стер. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 576 с.

115. Сивухин, Д.В. Общий курс физики. В 5 т. Т. 3. Электричество / Д.В. Сивухин изд. 4-е, стер. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 656 с.

116. Франк-Каменецкий, Д.А. Плазма четвёртое состояние вещества / Д.А. Фрапк-Каменецкий - М.: Атомиздат, 1975. - 160 с.

117. Цытович, В.Н. Теория турбулентной плазмы / В.Н. Цытович М.: Атомиздат, 1971. - 423 с.

118. Чен, Ф. Введение в физику плазмы / Ф. Чен М.: Мир, 1987. - 400 с.