автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование течения жидкости из системы каналов

З 9 З

, КИЇВСЬКІМ УНІВЕРСИТЕТ ім. ТАРАСА КЕВЧЕИЙА

!1а праЕах рукопису

Матвеев Воподіаир Володнинрович

УДН. 333.348

Математичне іюдешшшя руху рідини із системи каналів

03.13.16 - застосування обчислювальної техніки, иатеиатачного моделювання і иатецатичних катодів у наукових дослідженнях

Автореферат дисертації на здобуття вченого ступеня кандидата технічних наук -

Київ - 1993

Роботу виконано на кафедрі, обчислпвальної математики факультету кібернетики Київського університету ім. Тараса Шевченка.

Наукові керівники - доктор фізико-математичних наук, професор Б.И.Береславський кандидат фізико-математичних наук, доцент 1. М. Великої ванепко.

Офіційні опоненти - доктор фізико-математичних наук, професор В.В.Скопецький кандидат фізико-математичшх наук, доцент В. В. Личнан.

Ведуча організація - Інститут гідробіології АН України

Захист відбудеться " В “¿ґ&'/>/^ 1993 року о /£ годині

на засіданні спеціалізованої ради К 068.18.10 у Київському університеті ім. Тараса Шевченка за адресою, 232127, м.КиІв-127, просл. Академіка Глуїикова.б, факультет кібернетики, ауд. 40.

9 дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Київського університету ім. Тараса Шевченка Свул. Володимирська,58).

Автореферат розіслано “ £ " о " 1993 р. '

Вчений секретар спеціалізованої ради

1.В.Бейко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми.При проектуванні і будівництві меліоративних енстеи та гідротехнічних споруд, захисті територій від підтоплення, охороні навколишнього середовища важливого значення набуває прогнозувати руху грунтових вод. Складання науково обгрунтованих прогнозів має спиратися на кількісну оцінку досліджуваних процесів. Найефективнішими у цьому напрямку є методи математичного моделювання, обгрунтовані рядом фактичних даних про перебіг процесу, знайдених в результаті експериментальних досліджень, і теоретичними узагальненнями руху рідини у пористих середовищах. Математичне моделювання спирається на сучасні досягнення математики та обчислювальної техніки, що дає змогу значно прискорити і здешевити наукові розробки.

Дисертаційна робота присвячена математичному иоделивашт руху рідин з різною густино» до систематичного дренагу, врахуванню величини капілярності грунту і з'ясуванню П впливу на картину течії; проведенню чисельного експерименту та на його базі гідродинамічного аналізу досліджуваних фільтраційних течій.

роботи полягає у розробці обчислювальних алгоритмів і програмного забезпечення для досліджень плоскої усталеної, фільтрації і одерканні на цій базі кількісних характеристик досліджуваних процесів, що становлять Інтерес у поруці нових технічних розв'язків при проектуванні і будівництві гідротехнічних споруд, захисті територій від підтоплення.

Наукова новизна полягає у розробці комп'ютерних моделей руху рідини із системи каналів до систематичного дренажу, які дають змогу робити кількісні оцінки параметрів досліджуваних процесів, розроблено методику визначення невідомих параметрів конформного відображення, на базі проведення обчислювальних експериментів ол«рчано кількісні характеристики досліджуваних процесів, виявлено закономірності виходу на поверхню землі грунтових вод. '

Нрактична і теоретична цінність. використаний у диоер-танііініП роботі підхід дай змогу побудувати ефектніші алгоритми плл розрахунку систематичного дренажу з урахуванням таких факторів як відстаїгь мі* каналами, їх розміри, тип і глибина закладання дренажу, величина інфільтрації, глибина і густина підстильних вод. Розрахункова методика і розроблене програмне забезпечення використані для розв’язання важливих прикладних задач. За результатами гідродинамічного аналізу подано практичні висновки иодо впливу окремих фізичних параметрів на картину фільтраційних течій.

Основні дослідження проводилися в рамках науково-дослідної теми "Підвищення ефективності меліорируваних земель та використання водних ресурсів у меліорації" (Постанова ДКІГГ РМ СРСР, Держплану СРСР, Президії AH СРСР N 527/261 від 2?.. 12.1990 p., номер державної реєстрації 01822019344).

Реалізація результатів роботи. 11а основі розроблених у дисертаційній роботі алгоритмів і програм розрахунку фільтраційних характеристик у зонах каналів створено "Комплекс програм для розв’язання задач фільтрації рідини із системи каналів з малим рівнем наповнення”; який введено в ДФАГІ СРСР Під інвентарним номером М91019 від ЗО січня 1991 року.

Апробація роботи. Основні результати дисертації доповідалися і обговорювалися на науково-технічному семінарі "Машинні методи розв'язання крайових задач" (м.Рига-1985 p.),

респугіліканському семінарі "Крайові задачі фільтрації грунтових вод" (м. Казань-1988 p.), XV конференції наукової Колоді інституту теоретичної та приісладної механіки СВ АН СРСР (м. Но-восибірськ-1989 p.), на ІІІ науковій конференції молодих вчених Київського державного університету (н. КиІв-1987 p.), науково-технічному семінарі "Математичне моделеваші я процесів та апаратів" (м. Іваново-1990 р.З,семінарі "Математичне Моделювання гідрогеологічних процесів" (м. Душанбе-1991 p.), наукових семінарах кафедри обчислсвальної математики Київського університету См.КиІв-1985-1992 p.).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 14 Друно-

ваних праць.

Структура роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, трьох розділів, висновку, списку основної використаної літератури та додатку.

ЗМІСТ РОБОТИ .

У вступі обгрунтовано актуальність обраної теми досліджень, сформульовано цілі і завдання досліджень, подано короткий огляд основних праць, пов’язаних із темос дисертації, а також короткий виклад змісту дисертації.’

У першій главі досліджується модель руху рідина до систематичного щілястого дренажу у формі М. Є. Жуковського.

У першому параграфі глави І викладені основні математичні співвідношення, що описують рух рідини. Відомо, ао кожному фільтраційному потоку однорідної нестисливої рідшш в однорідно-ізотропному грунті можна поставити у відповідність аналітичну функцію (комплексний потенціал фільтрації)

(£>(.%) — Ср(х) + І'і|' (х) дЄ СрС'і) - потенціал швидкості

фільтрації і ^(Я) - функція току, а координата

точки в області руху. Знавчи функцію СО ('%■') , можна визначити всі характеристики розглядуваного фільтраційного процесу.

. Для визначення функції в дисертації застосовується

єдина методика, яка базується на аналітичній теорії лінійних диференціальних рівнянь, запропонованій 11. Я. Полубариновою-Ко-чинос. Суть методу полягає в слідуючоку. Нехай функції та здійснюють конформне відображення області

комплексного потенціалу СО та області руху 05 на верхнп допоміжну плоаину ^ . Тоді функції оіоо/сі^ та набирають вигладу:,

сІЬ)М£ -

сСг/сС$ = бС^)(С3у< +С^а)

сі)

Тут Ос^-)

- функція, цо визначається із граничних умов на прилеглих до відповідних вершин ділянках границі і схеми течії поблизу цих вершин, а - константи, ао визначаються за координатами вершин многокутника у площині годографа

швидкості ( \л/ = СІ (*)/& 2! )• Функції ^ і - це два

лінійно незалежних розв’язки деякого лінійного диференціального рівняння класу Фукса, яке характеризує поведінку функцій СІОо/сС^ і (І-К/сСг1 поблизу точок дійсної осі площини , відповідних згаданим вершинам області \л/ .

Отже, задача визначення шуканих функцій СІйй/сі ^ і зводиться до побудови відповідного рівняння класу Фукса і знаходження його інтегралів ^ і у 2 . Якао останні визначені, то, інтегруючи вирази (1), знайдемо розв'язок розглядуваної фільтраційної задачі у параметричному вигляді. . .

Найпростіше задача розв’язується у випадку, коли рівняння має три Снеусувні) особливі точки, тоді приходимо до відомого гіперболічного рівняння . Завдяки розробленому математичному апарату для розв'язання таких рівнянь [І. Я. ІІолубариновою-Кочиною, Б. К. Ризенкампфом, С. В.Фальковичем,

В. 0. Васильєвим, М. К. Калініним, Г. К.. Михайловим, В. М. Еміхом,

О. І. Капрановим, Е. Н. Еєреславським та іншими авторами розв'язано цілий ряд задач фільтрації, по мають практичне значення.

При більшій же кількості особливих точок застосування методу П.Я.ИолубариновоІ-КочиноІ пов’язане з трудноцами принципового характеру. А саме, у згаданих диференціальних рівняннях з'являються так звані акцесорні параметри, які невідомі.

їх потрібно визначити. Зв'язок цих параметрів із геометричними характеристиками відповідного многокутника площини годографа швидкості також завчасно невідомий. Тому диференціальні рівняння не лише не вдається проінтегрувати в загальному вигляді, а й інтегрування їх для кожного конкретного випадку є дуже складною задачею.

Загальним методам інтегрування диференціальних рівнянь розглядуваного типу присвячені прані Л. І. ЧибриковоІ, А. Р. Циц-кишвілі, Е.Н.Береславського та інших авторів.

Останнім часом Е. Н. Береславським розроблено методи інтегрування подібних рівнянь, по враховують специфіку і характерні особливості для широких класів фільтраційних течій. Завдяки цьому розв'язки задач стають відносно простими і зручними для застосування. Саме цю методику покладено в основу даної роботи. Суть ІІ полягає у використанні геометричних особливостей годографів, характерних для розглядуваних течій (велика кількість прямих кутів, розрізів та ін.), що, кінець кінцем, приводить до знаходження інтегралів диференціальних рівнянь у замкненій формі (через елементарні або відомі спеціальні функції), простій і зручній для дальшого застосування.

Зокрема, значно спродується задача знаходження невідомих параметрів конформного відображення. Для їх визначення будується система нелінійних рівнянь, розв'язок якої знаходять методом продовження за параметром. Після цього визначаються необхідні фільтраційні характеристики досліджуваного фільтраційного процесу.

У другому параграфі глави І досліджується задача фільтрації із системи рівновіддалених (на відстані 2L ) каналів ширини 21 до систематичного щілястого дренажу (із шириною дренажної кілі 2 і (і ), закладеному на глибині S . На глибині Н0 Р03НІЇЄНІ СОЛОНІ ВОДИ ГУСТИНИ fiz > fij , ДЄ -

густина прісних вод. Ураховується також рівномірна і постійна інфільтрація на вільну поверхню інтенсивності 6 . Для цієї

задачі рівняння (1) мають вигляд:

- є -

¿V а-а)р хГ^СсГ

¿ш - сг//г,л,^)-*//ТА/)] <а

------Р==------------------

^ уд,(т) .

де //(2С^л,/) = 0; Сг ± ІсО{^Ст +1р) ,■&(V-)- тета-функції Якобі; $1,2 + Д )('/2' + ’'/б'), а ск і р зв'язані

співвідношенням

«* -р = ^шМ(^їЕ), .

Д =С6 +/?)/('! +р),р=./І +_рі/рг , (3)

' 0^)6 *£<*, = Л/2

С>0 - дійсна константа,

у(г) = {^Ст)[аг+а/>гіЧ2 К'пДУК'Н'І-^ а£г) &п(2Кі/к)]) а - *пСгКгд,&'), и = мг(2Кгъ,{1), а^Н-а*

ТА 1 - координати точок середини каналу та дрени

відповідно. Тут 6п(1,&.) - еліптичний синус Якобі.

Допоміжною областю для даної задачі (і для всіх наступних) є прямокутник площини Т: із сторонами Л/2 і 1/2 ,де Л = К7 К , а К С А,') - повний еліптичний інтеграл першого роду при модулі І С К/= К(А') . Й/в= 4-4* ЗУ (2) і (3) містяться невідомі параметри конформного

відображення C,CL,(L,'^-¡J)ik дпя jx знаход-

ження будується система рівнянь, до якої входять задані величини S . р , id , L . L .Si Но •

Після знаходження параметрів конформного відображення визначенню підлягавть витрати із капала і в дрелу, величина незатопленої частини дрени, глибина продавлюваная солоних под, координати точок кривої депресії і лінії поділу між прісними і солоними водами.

Наводиться аналіз впливу параметрів схеми на картину течі І.

У третьому параграфі досліджується фільтраційна схема, ао відповідає випадку затвердіння солоних вод, тобто коли область фільтрації знизу обмежена водоупором. Розв’язок для цього випадку виходить з С2) , (3) при j0=oa , р у =Ра= ^ •

" 3 урахування« результатів обчислювального експерименту досліджується критичний випадок виходу грунтових вод на поверхню.

У четвертому параграфі першої глави розглядарться задача про розтікання бугра грунтових вод над солоними водами. Розв’язок для цього випадку дістаємо з (2), (3) при і-0 .

Тут Т-*/\ /2, і, отже, Сі = / , J)= А /2 ■ Наводиться гідродинамічний аналіз розглядуваного фільтраційного процесу.

Дослідження схем течії рідини, наведені у першій главі, узагальнюють результати, одержані раніше П. Я.Полубариновою-Ко-чиною, С. М. Нукеровим, В.0. Васильєвим, Ю. І.Капрановим, Е. Н. Бе-реславським і Л.А.Панасенко та ін.

Друга глава присвячена дослідженню течії рідини із системи каналів до трубчастого дренажу.

У першому параграфі глави П досліджується найбільш загальна постановка задачі. Дренаж являє собою нескінченну систему рівнодебітних дреи з діаметром ZR. із заданим значенням напору Рі0 У верхній точці. Всі дрени закладені посередині між каналами і на однаковій глибині 5 . Область фільтрації знизу обмежена солоними водами, трубчаста дрена моделюється краплинним стоком, розміченим у центрі дрени, а

еквіпотеіщіаль, що яьляе собою контур дрени, пов'язується у своїй верхній точці із заданий п’єзометричним напором у цій точці. .

Функції (І-І/СІХ і сі (о /ІІ/Т. мають вигляд:

гіг=чСі ?./<*,'«-гР,

¡¿т ^ йЬдЖ-

■'и

-іяг,

(4)

/ С ц й і тг ^

а!а^с е 4^Л.-А'і) + Є ргї)

** ~ дд;

де С >0 , ДА = а*+а.., лпг(ЯКТ' і),

Х-Ні-ЮтЧгКт Л . а і (і т* ігі.

/ Сг, х 1 , X, з4» = ^ (т +1 % ^ (т +І% г} ^ (х + і ос ,).

Параметри <*, , і \ зв’язані співвідношенням

■ . / .

ос + % -}> = А /2 +аМ (&/ї)/л (5)

і задовольняють умови

0.^^5 У , оС«Д/2 (6)

У (3) і (() невідомими параметрами конформного відосіра-ження є. С , * . 0. . (І . ск і ^ . У" модельованій

фільтраційній схемі відомими величинами, крім інтенсивності інфільтрації б і величини , є також ширина каналу С , міюсанальна відстань , глибина закладання дренажу 5 ,

.глибина солоних вод у спокої Н р , радіус дрени И і напор

Ь0 на контурі дрєни.

Після знаходження параметрів конформного відображення обчислюються фільтраційні характеристики процесу, ао вивчається, витрати з каналу і в дрену, глибина продавлювання солоних вод, величина нависання кривої депресії над площиною дрени, координати точок депресійної кривої і лінії розподілу між прісними і солоними водами.

За результатами обчислювального експерименту проведено гідродинамічний аналіз розглядуваного фільтраційного процесу.

У другому параграфі глави П досліджується випадок затвердіння. солоних вод, по відповідає області фільтрації, обмеженої знизу водоупоро«.

Розв’язок задачі у цьому випадку дістаємо з С4) пря

Р-00 • .

У третьому параграфі глави П вивчається випадок розтікання бугра грунтових вод над водоупором до дрен, закладених на нижній межі.

Результати чисельного експерименту показали,, во у розглядуваному процесі основними визначальними величинами є глибина закладання дренажу і відстань між дренами.

Дослідження картин течії, проведене у другій главі, узагальнює результати, одержані раніше С. В. Фальковичем, С. М.Нуме-ровим і Л. А. Панасенко, В. М. Еміхом, Ю. І. Калрановим, Е. Н. Бе-реславськии і В. М. Еміхом.

Глава ІІ1 присвячена дослідженню моделі руху грунтових вод із системи каналів з урахуванням капілярності грунту. Явинв капілярності відіграє велику роль під час руху грунтових вод із вільною поверхнею. Під дією капілярних сил розширюється площа, змочена водою, і збільшуються витрати води з каналу.

У першому параграфі глави Щ розглядається модель руху рідини із системи рівновіддалених каналів, «о підстилаються наПорним водоносним горизонтом. Передбачається, ао канали розміщені на однаковій відстані 2 (_< один від одного і мають, однакову ширину 2 і . Підстилаючий напорний горизонт розміщений на глибині Т і мас потужність Н , а капілярність грунту

дорівняє Гї £ . З вільної поверхи! відбувається рівномірне і постійне випаровування інтенсивності б .

Мето» розв'язання дано! задачі є визначення величиям капілярного розтікання В(А.^) , витрати з канапу 0. , а такої координат кривої депресії.

Функції СІСо/СІХ і СІї/СІТ мають такий вигляд,

(їй ЕсА(і-уИ]-*і[АзЬdvv)t-BcM-v)x]

'l(dS-a<)(tf\\-ai)(ch\-Qs)'

£7)

dz p 4 A cM+v)t+В cM-y) t -bis [ A^li (1-t vk - &elt(4-y)tl ^ •! (dir - a,)( сАгт -az)( c/іЧ - a 3)

Тут fl-v)t 6= coi^+vH, v = яг'о^сф №.

■ Як видно з (7), функції d&iJd,T і (L'lJcL't містять п’ять невідомих параметрів конформного відображення; С >0 , 0-1 (.1= 1,2,3) і і . Відповідно до загальної методики складається система рівнянь, для розв’язання якої застосовується метод продовження розв'язку за параметром. Після визначення невідомих параметрів конформного відображення визначенню підлягають величини b(fok) і Q , а також координати депресійної кривої.

Аналіз чисельних експериментів дає підстави зробити такі висновки; 1) звертає на себе увагу однаковий характер залєх-ностей фільтраційних характеристик від параметрів схеми І і гЦ , а саме, відповідно до збільшення ширини каналу і висоти капілярного підняття грунтових вод величніш Q, і зростають. 2) зменшення L ■ б . Т 1 абільвення

' І сприявть збільшенні) D V. " k J , витрата з каналу *-*• при цьому зменнусться. Отге, відстань міх джерелами постачання, потужність шэру і випзрсвураиня віпіграгть ту саму роль підпору, до й величина Н .

У другому параграфі глави ІІІ дослія*уьтіься випадок единичного каналу, до часто буває на практиці. Ягао канапи ро?м1цені на великій відстані один від одного, то можна розглядати рух ' рідини як у вішалку одиничного каналу. У цій подалі но враховується таксі випаровування з вільної поверхні. Відсутність двох визначальних факторій сприяє більш детальному аналізу величин ■Н і hk-

Витрати з каналу залежать від величніш підпору такий чином,

Ж-і<! а " к

Функції <£сю/сіт і dz/dт містять чотири невідо-шіх параметри. Для їх визначення задаються величини І , і ,

н і ft*.

Наводиться гідродинамічний аналіз дослідяуьаиоі картини течі І.

У третьому 1 четвертому параграфах глави Ш досліджуються випадки відсутності Підпору грунтовими водами і коли потужність шару необмежено велика. Тут Хе наводяться результати

розрахунків та їх аналіз.

На закінчення наведено висновки за дисертаційною роботов, а в додатку подані копії документів, які підтверджурть використання розробленного катеыатячного забезпечення.

. ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ

1. Досліджено процеси руху грунтових вод в зоні каналів з

урахуванням факторів, які більш адекватно описують досліджувані процеси, ніж розроблені раніше іншими авторами.

2. ГЫудсвано алгоритма розрахунку фільтраційних характеристик при русі рідин з різиями щільностяшї з системи каналів до дренааей різних типів з урахуванням . (або deз урахування) капілярності грунту. '

' 3. Розроблено програмний комплекс, який дозволяє

автоматизувати розрахунки фільтраційних характеристик при дослідженні руху рідини з системи каналів.

4. Проведено аналіз процесів руху рідини в досліджуваних в даній роботі схемах, які часто зустрічаються на практиці.

5. Розв'язано вахляві прикладні задачі.

Основні положення дисертаційної роботи опугілікоцані у слідуючих podorax.

1. ііоройлавский ЗЛІ . Матвеев В. В. Математическое моделирование некоторых краеаих задач фильтрации из каналов у/ Б кв., Машинные методи решения крзьвих задач. Тез.докл., Москьа-Рига. 1983,- С,15.

2. Вереславский Э. ІІ. , Матвеев В. В. Влияние капиллярности

груша на фильтрации из канала с испарением // Вичисп. в прикл. катеиат. - Киев, - 1986. - Díjíi.üQ - С. 40 - 43,

3. Ь'ереслдвский Э. Н. , Матвеев В. В. 0 режиме грунтовых ьод в

почвенной слое при фильтрации из канала с учетом капиллярности грунта // Вычисл. и прмкл. математ. - Киев, - 1987. - Вып.61 -С. 43'- 17.

4. Берославский 1). II. , Матвеев В. В. Исследование режима

фильтрации из каналов и оросителей // В ки., Краевые задачи фильтрации грунтовых вод. Тез. докл. Казань . 1988.- С. 4-S.

5. Вереславский Э. 11., Матвеев D.B. 0 расчете систематического дренажа орошаемых земель, подстилаемых водоупором // Б кн., Численные методы в математическом моделировании гидродинамических и технологических процессов, Иезгвр.темат. cd, Л. ,Ш'И. -1939. -С.6-9. ч

6. Береславсиий Э.-il. , Матвеев В.В. Фильтрация из каналов и оросителей // 1Ьв. AH COCÍ*. Механ. хидк. и газа. - 1989. - Н 1 -

С. 96 - 102. ’

7. Бєреславський E.H., Матвеев В. В. Гідродинамічний аналіз

відкритого дренажу в каймі прісних грунтових вод над солоними. //Доп. АН УРСР. - Сер. А. - 1990 -ИЮ- С. 31 - 33.

8. Береславский Э.Н., Матвеев В. В. Математическое моделирование систематического дренажа орошаемых земель, подстилаемых водоупором // Вычисл.и пршсл. нате мат. - 1990,- Вып. 72. - С. 72-75.

9. Береславский 0.Н., Матвеев В. В. Математическое моделирование

фильтрационных течений в мелиорируемых почвогрунтах // В кн., Математическое моделирование процессов и аппаратов. Тез. докл. Иваново. - 1990. - С. 29. . .

10. Береславский Э.Н,, Матвеев В. В. Гидродинамическое исследование движения жидкости при фильтрации к открытому

систематическому дренажу // В кн. , Краевые задачи теории

фильтрации и их приложения. Тез. докл. Казань, - 1991.- С. 60-81.

11.'Береславский Э. Н., Матвеев В. В. Комплекс программ для

решения задач фильтрации жидкости из системы каналов с малым уровнем наполнения // ГФАП СССР. Инв. N М91019 от 30 января

1991 г.

12. Береславский Э.Н. Матвеев В. В. Фильтрация в почвогрунтах,

подстилаемых сильно проницаемым напорным горизонтом // Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа. - 1991. - N2 - С. 98 - 104.

13. Береславский Э.Н., Матвеев В.В. Гидродинамическое исследо-

вание каймы пресных вод при фильтрации к открытому дренажу // Изв. Российской АН. Водные ресурсы - 1992. - Н2 - С. 81 - 85.

14. Береславский Э.Н., Матвеев В. В. Анализ систематического

дренажа орочаемых земель при наличии соленых вод // В кн., Моделирование и исследование процессов. Тез. докл. Киев. -1992.-

Ч. 1 - С. 17 - 18. . '

ГІІдп. до друку. у^ Формат Иапір^у/t

Друк. офс. Умови, друк. арк. о,64 Обл.-нид. арк. с.уу wp./e f ,

Зам. і -

Київська ктшкова друкарня паукоиої мтін. Київ, Рєпіиа, 4‘.