автореферат диссертации по энергетике, 05.14.04, диссертация на тему:Гидродинамика ламинарного течения вязкой жидкости в теплообменных устройствах с вращающейся рабочей поверхностью типа "конфузор-диффузор"

На правах рукописи

ГОРСКАЯ ТАТЬЯНА ЮРЬЕВНА

ГИДРОДИНАМИКА ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТЕПЛООБМЕННЫХ УСТРОЙСТВАХ С ВРАЩАЮЩЕЙСЯ РАБОЧЕЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ТИПА «КОНФУЗОР - ДИФФУЗОР»

Специальность 05.14.04 - Промышленная теплоэнергетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Казань - 2004 г.

Работа выполнена на кафедре «Инженерная графика» Казанского государственного энергетического университета

Научный руководитель - доктор технических наук,

профессор Золотоносов Яков Давидович

Официальные оппоненты: - доктор технических наук,

профессор Николаев Алексей Николаевич; - кандидат технических наук, Конахин Александр Михайлович.

Ведущая организация - Татарский научно-исследовательский институт

Защита состоится «30» ноября 2004 г. в 14 час 00 мин в аудитории В-210 на заседании диссертационного совета Д 212.082.02 при Казанском государственном энергетическом университете.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью, просим направлять по адресу: 420066, Казань, ул. Красносельская, д. 51, Ученый совет

нефтяного машиностроения, г. Казань

КГЭУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КГЭУ

Автореферат разослан 30 октября 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета д.т.н., профессор

Гильфанов К.Х.

2(2>3г80

ЛУ/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность проблемы.

На предприятие энергетики и в смежных с ней отраслях чрезвьнайно велика роль теплообменньк аппаратов (ТА), составляющих в отдельных случаях до 70% всего парка технологического оборудования. В связи с этим весьма остро стоят вопросы интенсификации процессов теплообмена и создания высокоэффективных малогабаритных аппаратов большой единичной мощности. На сегодняшний день натоплен обширный экспериментальный и теоретический материал, касающийся гидродинамики и теплообмена в теплообменных аппаратах с неподвижными теплообменными элементами. Однако и по настоящее время отсутствуют теоретические и экспериментальные исследования гидродинамических закономерностей течения вязкой жидкости в ламинарном режиме в теплообменных устройствах с вращающейся рабочей поверхностью, выполненной, например, в виде каналов, образованных юзнфуэорно-диффузорными элементами. Известно, что при течении вязюй жид госта в неподвижных каналах типа «юнфузор-диффузор» критерий Нуссельта увеличивается в 15 раза, а во вращающихся цилиндрических каналах число Нуссельта может возрасти в 3.5 раз. Кроме того, в центробежных аппаратах с волнистой рабочей поверхностью в процессе их работы может быть обеспечен непрерывньш сброс пленки конденсата с поверхности вращающейся трубы, что способствует образованию капельной конденсации и увеличению коэффициента теплоотдани на внешней стенке. В связи с этим, в целях интенсификации процессов теплообмена в компактных ротационных аппаратах, представляет научный и практический интерес исследование течения сред в ионфузорно-диффузорньк трубах под действием массовых сил. Работа по священ а теоретическому исследованию гидродинамики течения вязкой жидюсти в аппаратах типа «труба в трубе> с внутренним вращающимся каналом, образованным конфузорно-диффузорными элементами.

Г--3-

РОС. НАЦИОНАЛЬНА* БИБЛИОТЕКА С. Петербург МОбРК

Целью работы является: разработка и численная реализация математической модели ламинарного течения вязюй жидкости в теплообменных устройствах с вращающейся рабочей поверхностью типа «юнфузор-диффузор»; проверка адекватности математической модели реальным процессам.

Научная новизна заключается в том, что на базе полной системы уравнений Навье - Сгокса построена математическая модель течения вязкой жидкости во вращающемся канале типа «юнфузор-диффузор»; на основе итерационно-сеточного и вариационно-разностного методов предложены алгоритмы численной реализации краевой задачи течения вязкой жидкости во вращающемся канале типа «юнфузор-диффузор»; получено приближенное ранение задачи и определены компоненты вектора скорости и давления при различных числах закрутки и числах Рейнолвдса;

Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается тем, что математическая модель с заданными граничными условиями разработана

на базе фундаментальных уравнений Навье-Стокса; численное интегрирование

»

проведено с использованием известных классических методов, а результаты численного решения подтверждены широко известными теоретическими и экспериментальными результатами частных математических моделей.

Практическая ценность работы заключается в том, что предложены: ре^перативный теплообменник с вращающимся рабочим каналом типа «юнфузор-диффузор» и пароструйный подогреватель с питающим каналом типа «юнфузор-диффузор». Проведена апробация рекуперативного теплообменника с вращающимся рабочим каналом в системе подогрева горячей воды, подаваемой в рубаопу реактора, в производстве клея ПВА (условный экономический эффект от применения данного аппарата в этом производстве составит 1019285 руб.). Проведена апробация центробежного пароструйного подогревателя в технологиях подготовки технологического воздуха, а также нагрева и транспорта технологического раствора для обезжиривания штампованных деталей. Показано,что условная экономическая эффективность

от внедрения этого аппарата в технологиях обезжиривания поверхности деталей составит 851249 руб., подготовки технологического воздуха - 911760 руб.

Автор защищает результаты теоретических исследований процесса течения вязкой жидкости в теплообменных аппаратах с внутренней вращающейся рабочей поверхностью типа«юнфуэор-диффуэор».

Личное участие. Все основные результаты работы получены лично автором под руюводсгвом д .т.н., профессораЗолотоносова Я.Д.

Апробация работы. Основные положения работы были доложены на аспиранстю - магистерском семинаре КГЭУ, Казань - 2002г., в шюле -семинаре молодых ученых под руюводсгвом академика РАН В.Е. Алемасова "Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении", Казань - 2002г., на 2-м международном симпозиуме "Проблемы реализации региональных целевых программ энергоснабжения", Казань - 2002г., на конференции "Энергосбережение в городском хозяйстве, энергетике, промышленности", Ульяновск - 2003г., в школе-семинаре «Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках», Рыбинск -2003г.

Публикации. По теме диссертации опублиювано 9 работ.

Объем работы. Диссертация изложена на 110 страницах и состоит из введения, пяти глав, заключения и приложений. Работа содержит 23 рисунка. Списокисполкзо ванной литературы содержит 120 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе проведен обзор нгучных работ, посвященных интенсификации конвективного теплообмена при ламинарном течении вяз из й жидкости в каналах и трубах теплообменных аппаратов. Предложена конструкция рекуперативного ТА с вращающейся рабочей поверхностью, схема которого представлена на рисунке. Поверхность теплообмена такого аппарата выполнена в виде канала 1, состоящего из элементовтипа«нонфузор-диффуэор», ко аксиально установленного относительно неподшжного канала 2

в подшипниках 3 и вращающегося от электродвигателя 4. Внутрь канала 1 подается вода, в межтрубное пространство через патрубок 5 противоток -насыщенный пгр, который конденсируется на поверхности вращающегося канала, разбрызгивается ими выводится через патрубокб.

Рис. 1. Осема теплообменник) в с вращающимся каналом типа« нонфузор-

диффуэор».

Во второй главе проведен обзор ночных работ, посвященных гидродинамике в каналах различных конфигураций. Показана эффективность использования вращающихся каналов. Из неподвижных каналов в качестве предмета исследования выделен канал, состоящий из цепочки конфузорно-диффузорных элементов, применение которого позволяет дополнительно воздействовать на поток за счет знакопеременного градиента давления. В результате проведенного анализа сделан вывод: для достижения наибольшего гидродинамического и тепло юга эффектов целесообразно использование вращающегося канала, состоящего из последовательно установленных конфузорно-диффузорных элементов.

Третья глава посвящена теоретическому исследованию гидродинамики течения вязкой жидюст в теплообменнике с вращающейся рабочей поверхностью типа «труба в трубе». Внутренним элементом тага го теплообменника является канал типа «конфузор-диффузор» с углом расширения 9...11°, вращающийся вокруг своей оси и смонтированный ко аксиально относительно неподвижной трубы. При постановке задачи рассматривалось ламинарное осесимметричное течение вязкой несжимаемой жидиэсти, в начальном сечении трубы профиль осевой скорости прямолинейный, за начальным сечением в осевом направлении происходит

6

трансформация профиля из прямолинейного в параболический, причем, в диффузорах профиль осевой скорости представляется в виде усеченной параболы, а в нэнфузоре - в виде параболы; на оси радиальная и офужная скорости равны нулю, а производная осевой скорости и давления по радиусу равна нулю; на стыках диффузора с конфузором имеют место области цир^ляции и "скачок давления"; давление в канальном сечении трубы считается заданным. Учитывая геометрию объекта, течение вязюй жидкости во вращающемся канале рассматриваем в цилиндрических координатах (г,<р,г), где нулевое знэтение радиальной координаты г совпадает с осью трубы, осевой координаты 2-е входным сечением, а угловой координаты <р - с вертикальным сечением трубы. Тоща набазе полной системы уравнений Навье - Сгокса и неразрывно ста, с учетом замены переменные для юмпонент скорости и давления на безразмерные, а также уравнений баланса сил трения и

Я(1)

т 1

давления, и у сто ей я постоянства расхода в сечении канала = -, запишем

математическую модельвобласти п = {(г,г) 0<г<Я(г),0<2<т}: ^ дг г ) дг Зг г т

«з,

дг г дг

Здесь уг=«0/(г,г), У9 = &г(р(1,т), Уг = и0Н(х,г), р-р0 = ри1р{г,т)1ъ&, где число Рейноладса; = 4со5г(г0!-/^3)/(3(Л-Лго)) - эквивалентный

диаметр трубьц r=r/r0,z = z/L - безразмерные переменные; Rq ~ rü(L, Я<)=г0Д/3- безразмерные константы, N = mr/uo - число зафутки, Л(;) = 1 + (-1)"г^/л0,гдеп=0 в случае диффузорам п=1 в случае юнфуэора.

Данная математическая модель отличается простотой уравнений, что само по себе является преимуществом. Кроме того, заданием функции R(z) можно расширить область П, следовательно, данная модель может описать процесс гидродинамики при движении вязюй жид wo ста в канапе, образованном вращением кривой R(z) вдоль оси z. Перейдем от области с криволинейными границами к прямолинейной области. Для этой цепи вводим замену

переменных в уравнениях:?г = —. Тогда имеем краевую зад гну для

L R(z)

уравнений движения и неразрывности, баланса сил трения и давления и

1 |

ушошя постоянства расхода в сечении канала ^Hftff = — для определения

безразмерных составляющих скорости в области С2= {(г,-> : 0 <r <1,0< z <m}:

о

ÄRef [f + MY тЖ + = fi+r ~

(6)

R Ri

(7)

^л-К-

сГ

2=0, / = 0, (9 = 0, # = 1, ^ = 0,

I

Я—= Н) -,г=0, / = 0, <р=0, _ = 0,—= 0;

г =1, / = 0, <9 = 1, Я = 0.

Краевая задача (6)-(1 ')> с учетом уравнения постоянства расхода, явп яеггся полной, что обеспечивает ее однознанную разрешимость.

Особенностью данной модели является то, что она описывает каналы, состоящие из нэнфуэорно - диффузорных элементов при различны* ушах раскрытия диффузора у; при указании уша раскрытия диффузора у=0 данная модель сводится к модели, описывающей течение в круглой вращающейся трубе, при задании <в=0 - течение в неподвижной волнистой трубе.

В четвертой главе реализован алгоритм численного решения краевой задан и (6)-(Н)- Для приближенного решения краевой задми (6)-(11) используется итерационно - сеточный метод с использованием метода прогонки, обеспечивающий более простую численную реализацию и определяющий сходимость приближенных ранений к точному решению. В прямоугольной области Ц = {(?,?); 0<г < 1, ()<,?< 1} строится равномерная сетка

Рассматривая краевую задгну (6}-(11) на выбранной сетке узлов сот/, и заменяя

частные производные разностными отношениями, получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения значения полей сюрости и давления. При этом для устойчивости разностных схем при аппроксимации частных производных по радиальной переменной применяются центральные разности, по осевой переменной - разности вперед. Таким образом, порядок

узлов

аппроксимации будет первым относительно шага по осевой переменной и вторым относительно шага по радиальной переменной. Дня численной реализации математичесюй модели в криволинейной области предложены два алгоритма приближенного решения вариационно-разностым методом на основе метода Галеркина с алгебраическими и тригонометрическими базисными функциями. Данный метод обеспечивает большую точность приближения, чем итерационно-сегочньй метод. Решения данной задачи ищутся в криволинейной области П = {(г, 2) :0<г < #(г),0 < г < /м}. Со гласно первому алгоритму, неизвестные функции /ищутся в виде:

Яг,2) = Ца^гк, <р{г,1) =

4*0 ]-Ч к-01-0

гце неизвестные коэффициенты ог^,/?^,^,^ находятся из системы линейных

алгебраических уравнений, полученных из условия равенства нулю момента невязки по системе степеней. Согласно второму алгоритму приближенное решение ищется в виде:

Аг~1 лкг лкг /{г,г) = ав(г) + {г)ът-, <р(г,1) = /Зв{7) + ^Рк{г)5 т-,

*»1 т ».1 т

"-1 7&7 як?

м т м т

Неизвестные функции ак(г),Р1(г),ук(г),вк(г) определяются из систем обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных из условия равенства нулю момента невязки по одной переменной, которые, в свою очередь, решаются сеточным методом. Полученная математическая модель и методы ее численной реализации позволяют определить безразмерные компоненты вектора скорости (p = vlp|a)r, / = уг/и0, # = у2/«о и безразмерное

давление Р = АрКе/ри1- На рис. 2.-4. представлены кривые распределения составляющих вектора сюросга в радиальных сечениях а) = 0.45т и б)

= 0.95т, где т - число элементов длиной в диффузор, при различных числах закрутки, 11е=2320.

а)

1)- круглый канал, N=2,2у канал типа «конфузор-диффузор», N-2,

О 0,2 0,4 0,в 0,в 1 гт

б)

1)- круглый канал, N=2; 2)- канал типа «конфузор-диффузор», N=2

Рис.2.Развитиепрофилябезразмернойофужной компоненты вектора скорости <р по длипетрубыпри различных знэтениях параметра закрутки: а) г/1 = 0.45от,б) г/1 = 0.95т.

а)

1) - канал типа «конфузор-диффузор», N=0, 2)- круглый канал, N=0, ЗУ канал типа «конфузор-диффузор», N=2,4)- круглый канал, N=2

б)

1) — канал типа «конфузор-диффузор», N=0, 2У круглый канал, N=0, 3)- канал типа «конфузор-диффузор», N=2,4)- круглый канал, N=2

Рис. 3. Развитие профиля безразмерной радиальной юмпоненты вектора скорости ? по длинетрубыпри различных знэтениях параметра закрутки: а) г/Ь = 0.45т ,6) г/Ь = 0.95т.

-0,5

0,2

а)

б)

1) - канал типа «конфузор-диффузор», N=2, 2)-круглый канал, N=2, 3)- канал типа «конфузор-диффузор», N=0,4)- круглый канал, N=0.

1) — канал типа «конфузор-диффузор» , N=2, 2)-круглый канал, N=2, 3)-канал типа «конфузор-диффузор», N=0, 4)- круглый канал, N=0.

Рис.4. Развитиепрофилябезразмфной осевой компоненты вектора скорости Н по длинетрубыпри различных значениях параметра закрутки: а) г/£ = 0.45/я,б) г/1 = 0.95да.

а) б)

Рис. 5.Хфактер изменениябезразмерного давления? в проточной части вращающегося канал а типа «юнфуэор-диффузор» при различных угловых скоростях вращения канала: а)ш = 50 с"';б)со= 100 с'. Цифры -номфасечений в радиальном направлении. При численной реализации конечно-разностного метода рассматривались случаи решения данной задачи с различными шагами Ь (Ь=1 /N1) разбиения сетки узлов й7гЛп. Полученные результаты свидетельствовали о практической

сходимости решений (рис. 6).

0,8 о.в

Н 0,4 0,2 О

0,4 О,в Г«

Рис. 6. Графики безразмерных осевой Н и офужной ф компонент вектора скорости при разных шагах Ь=1ЛЧ разбиения сетки узлов йГг/,и :Ы=300^=600.

Для подтверждения адекватности математической модели использованы частные случаи. В результате сравнения течения жидкости в неподвижном канале типа«юнфузор-диффузор» (со =0) с имеющимися экспериментальными данными доказано их удовлетворительное совпадение. Небольшие расхождения, составляющие около 25%, объясняются тем, что экспериментальные данные получены для &е=3.5-104, тогда как наша модель рассматривает ламинарное течение. Как видно из рисунка 7, математическая модель адекватно описывает закономерности течения вязкой яидюсга в проточной части волнистой трубы.

> ! Л

02 о> им о* 1

02 о» 04 о*

а) б)

Рис 7 Скорость осредленного течения в сечении трубы на расстоянии а) г/Л -- 0.45т, б) z/Ь = 0.95т экспериментальные данные Мигая (точки), расчетные

(линии) - данные актора.

Задавая угол раскрытая диффузора у = 0, моделируем кругльй вращающейся канал, что позволяет подтвердить расчетные данные значения поля скоростей и давления разработанной модели с имеющимися теоретическими и экспериментальными данными по вращающимся цилиндрическим каналам других авторов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Основные результаты и выводы настоящей диссертационной работы можно сформулировать следующим образом:

1. На основе полной системы уравнений движения и неразрывности, с учетом уравнений баланса сил давления и трения, а также условия постоянства расхода в сечении канала, построена математическая модель течения вязкой жидкэсти для вращающихся каналов типа «конфузор-диффузор» с углами конусности диффузораи гонфуэоране превышающими 9-11°.

2. На основе методов итерационно - сеточного и вариационно-разностного, на базе метода Галер кина, предложены алгоритмы численной реализации задачи течения вязкой жидюсти в канале типа «конфузор-диффузор». Получены обобщенные решения в виде осевой, радиалшой, офужной составляющих вектора скорости и давления для вращающихся и неподвижных каналов. Проведено сравнение теоретически рассчитанных значений ооевой составляющей вектора сюрости в неподвижном канале типа «иэнфуэор-диффузор» с известными из ночных исгочниюв экспериментальными данными. Показано,что расхождение между их значениями не превышает25%.

3. На базе теоретических исследований процессов гидродинамики во вращающемся канале типа «юнфуэор-диффузор» установлено, что на кромке стыка диффузора с конфузором имеет место область активной цирьуляции, интенсивность которой по длине канала непрерывно возрастает, вызывая в этих зонах "скачок давления"; расчетые значения поля скоростей в элементах трубы описываются кривыми распределения скорости, усеченной параболой в диффузоре и параболическим профилем - в кон<}узоре. Показано, что перепад давления по длине вращающегося канала определяется гидросопротивлением последовательно расположенных в нем элементов, особенностями гидродинамики вних,росгомдавлениявдиффузорей падением- в конфузоре.

4. Подтверждена адекватность математической модели для вращающегося и неподшжного канала типа «нэнфузор-диффузор» реальным процессам путем

сравнения рассчитанных значений поля скоростей с известными теоретическими и экспериментальными результатами других авторов.

5. На базе проведенных исследований предложено использовать разработанный ротационный теплообменник в качестве эффективного узла предварительного подогрева рабочей жидкости в центробежном пароструйном подогревателе, используемом в технологии обезжиривания поверхности деталей и в узле подготовки технологического воздуха. Условная экономическая эффективность от внедрения данного аппарата в технологии обезжиривания поверхности деталей составляет 851249 руб., в узле подготовки технологического воздуха - 911760 руб.; ротационного теплообменника в производстве клея ПВА - 1019285 руб.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах: 1 .Горская Т.Ю., Золотоносов Я.Д. Численная реализация задачи гидродинамики при течении вязкой жидкости во вращающейся трубе, образованной конфузорно - диффузорными элементами// Тезисы 6-го аспиранского научного семинара. КГЭУ - Казань, 2002. - С. 82.

2. Горская Т.Ю., Золотоносов Я.Д., Маминов О.В. Математическая модель течения вязкой жидкости во вращающейся трубе, образованной конфузорно -диффузорными элементами// Известия вузов. Проблемы энергетики, Казань: КГЭУ, 2002, - №11-12, - С.33-39.

3. Горская Т.Ю., Золотоносов Я.Д. Разработка математической модели течения вязкой жидкости во вращающейся трубе, образованной конфузорно -диффузорными элементами// Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении: Труды Школа - семинар молодых ученых под руководством академика РАН В.Е. Алемасова. КГЭУ - Казань, 2002. - С. 36 -38.

4. Горская Т.Ю., Золотоносов Я.Д., Пантелеева Л.Р. К теории расчета теплообменника с вращающейся рабочей поверхностью// Проблемы реализации региональных целевых программ энергоснабжения: Труды 2-го Международного симпозиума. КГЭУ - Казань, 2002. - С.271-275.

РНБ Русский фонд

2006-4 5118

5. Горская Т.Ю., Золотоносов Я.Д., теплообменник с вращающейся р Международного симпозиума "Пробл! программ энергоснабжения", Казань, 2(

6. Гидродинамика течения вязкой жидкости во вращающейся трубе, образованной конфузорно - диффузорными элементами/ Т.Ю. Горская, Я.Д. Золотоносов// Энергосбережение в городском хозяйстве, энергетике, промышленности: Тезисы докладов 4-й РНТК. УГТУ - Ульяновск. 2003. Том 1. -С. 357-359.

7. Горская Т.Ю., Золотоносов Я.Д. Исследование гидродинамических закономерностей течения вязкой жидкости в теплообменнике с вращающейся рабочей поверхностью// Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках: Тезисы докладов 16-ой школы-семинара молодых специалистов под руков. акад. РАН А.И. Леонтьева. РГТУ - Рыбинск, 2003. -Том 1.-С. 221 -224.

В. Горская Т.Ю., Золотоносов Я.Д. Исследование гидродинамики течения вязкой жидкости в проточной части конфузорно - диффузорных элементов вращающейся волнистой трубы// Известия вузов. Проблемы энергетики. -Казань: КГЭУ, 2003, - №5-6, - С.33-39.

9. Горская Т.Ю., Золотоносов Я.Д. Численное решение методом Галеркина уравнения Навье - Стокса в условиях ламинарного течения вязкой жидкости в канале, образованном конфузорно - диффузорными элементами/ВИНИТИ. -М., 2003.- 18 с,-Деп. в ВИНИТИ 6.10.03; №1769-В2003.

Изд. лиц. № 00743 от 28.08.2000 г.

Подписано к печати / У -01.2004 г. Формат 60x84/16

Гарнитура "Times" Вид печати РОМ Бумага офсетная

Физ.печ.л. 1.0 Усл.печ.л. 0.94 Уч.-изд.л 1.0

Тираж 100 Заказ №

Типография КГЭУ 420066, Казань, Красносельская, _

\ \

я, 5 / Í

16

0 9 НОЯ 2Л04

Введение

1. Проблемы интенсификации теплообмена и совершенствования теплообменных аппаратов (подготовка сырьевых потоков и утилизация тепла)

1.1. Обзор и анализ конструкций теплообменной аппаратуры

1.2. Пути совершенствования теплообменной аппаратуры

1.3. Постановка задачи исследования

2. Закономерности движения вязкой жидкости в каналах различной формы

2.1. Теоретические и экспериментальные исследования гидродинамики течения вязкой жидкости в неподвижных каналах", образованных конфузорно - диффузорными 34 элементами

2.2. Теоретические и экспериментальные исследования гидродинамики во вращающихся цилиндрических каналах

3 Физическая и математическая модели течения вязкой жидкости во вращающемся волнистом канале, образованном конфузорно - диффузорными элементами

3.1. Оценка существующих подходов к моделированию гидродинамики при течении вязкой жидкости

3.2. Физическая модель течения вязкой жидкости во вращающемся канале, образованном конфузорно — диффузорными элементами

3.3. Математическая модель течения вязкой жидкости во вращающемся канале, образованном конфузорно -диффузорными элементами

4. Приближенные методы решения краевой задачи движения вязкой жидкости во вращающемся канале, образованном конфузорно - диффузорными элементами

4.1. Оценка существующих методов численного решения

4.2. Итерационно-сеточный метод с использованием метода прогонки

4.3. Вариационно-разностные методы

4.3.1 Метод Галеркина на базе системы алгебраических финитных 71 функций

4.3.2 Метод Галеркина на базе системы тригонометрических финитных функций

4.4. Анализ результатов численного решения 78 5. Практическая реализация результатов научноисследовательской работы в условиях производства

Актуальность проблемы.

На предприятиях энергетики и в смежных с ней отраслях чрезвычайно велика роль теплообменных аппаратов (ТА), составляющих в отдельных случаях до 70% всего парка технологического оборудования. В связи с этим весьма остро стоят вопросы интенсификации процессов теплообмена и создания высокоэффективных малогабаритных аппаратов большой единичной мощности. На сегодняшний день накоплен обширный экспериментальный и теоретический материал, касающийся гидродинамики и теплообмена в теплообменных аппаратах с неподвижными теплообменными элементами. Однако и по настоящее время отсутствуют теоретические и экспериментальные исследования гидродинамических закономерностей течения вязкой жидкости в ламинарном режиме в теплообменных устройствах с вращающейся рабочей поверхностью, выполненной, например, в виде каналов, образованных конфузорно-диффузорными элементами. Известно, что при течении вязкой жидкости в неподвижных каналах типа «конфузор-диффузор» критерий Нуссельта увеличивается в 1.5 раза, а во вращающихся цилиндрических каналах число Нуссельта может возрасти в 3.5 раз. Кроме того, в центробежных аппаратах с волнистой рабочей поверхностью в процессе их работы может быть обеспечен непрерывный сброс пленки конденсата с поверхности вращающейся трубы, что способствует образованию «капельной» конденсации и увеличению коэффициента теплоотдачи на внешней стенке. В связи с этим, в целях интенсификации процессов теплообмена в компактных ротационных аппаратах, представляет научный и практический интерес исследование течения сред в конфузорно-диффузорных каналах под действием массовых сил. Работа посвящена теоретическому исследованию гидродинамики течения вязкой жидкости в аппаратах типа «труба в трубе» с внутренним вращающимся каналом, образованным конфузорно-диффузорными элементами.

Целью работы является: разработка и численная реализация математической модели ламинарного течения вязкой жидкости в теплообменных устройствах с вращающейся рабочей поверхностью типа «конфузор-диффузор»; проверка адекватности математической модели реальным процессам.

Научная новизна заключается в том, что на базе полной системы уравнений Навье - Стокса построена математическая модель течения вязкой жидкости во вращающемся канале типа «конфузор-диффузор»; для криволинейной области итерационно-сеточным и вариационно-разностным методом с использованием метода Галеркина, предложены вычислительные схемы для численной реализации краевой задачи; получено численное решение задачи и определены параметры скоростей и давления при различных числах закрутки и критериях Рейнольдса;

Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается тем, что математическая модель с заданными краевыми условиями разработана на базе фундаментальных уравнений Навье-Стокса; численное интегрирование проведено с использованием известных классических методов, а результаты численного решения подтверждены широко известными теоретическими и экспериментальными результатами частных математических моделей.

Практическая ценность работы заключается в том, что предложены новые конструкции аппаратов: 1) эффективный, компактный рекуперативный теплообменник с вращающейся рабочей поверхностью в виде канала, образованного конфузорно-диффузорными элементами и 2) пароструйный подогреватель, в качестве питающей трубы, которого предложен канал типа «конфузор-диффузор». Проведена апробация рекуперативного теплообменника с вращающейся рабочей поверхностью в системе подогрева горячей воды, подаваемой в рубашку реактора, в производстве клея ПВА (условный экономический эффект от применения данного аппарата в этом производстве составит 1019285 руб.). Проведена апробация центробежного пароструйного подогревателя в технологиях подготовки технологического воздуха, а также нагрева и транспортировки технологического раствора для обезжиривания штампованных деталей. Показано, что условная экономическая эффективность от внедрения этого аппарата в технологиях обезжиривания поверхности деталей составит 851249 руб., подготовки технологического воздуха — 911760 руб.

Автор защищает результаты теоретических исследований процесса течения вязкой жидкости в теплообменных аппаратах с внутренней вращающейся рабочей поверхностью типа «конфузор-диффузор».

Личное участие. Все основные результаты работы получены лично автором под руководством д.т.н., профессора Золотоносова Я.Д.

Апробация работы. Основные положения работы были доложены на аспиранстко - магистерском семинаре КГЭУ, Казань - 2002г., в школе -семинаре молодых ученых под руководством академика РАН В.Е. Алемасова "Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении", Казань - 2002г., на 2-м международном симпозиуме "Проблемы реализации региональных целевых программ энергоснабжения", Казань - 2002г., на конференции "Энергосбережение в городском хозяйстве, энергетике, промышленности", Ульяновск - 2003г., в школе-семинаре «Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках», Рыбинск -2003г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ.

Объем работы. Диссертация изложена на 110 страницах и состоит из введения, пяти глав, заключения и приложений. Работа содержит 23 рисунка. Список использованной литературы содержит 120 наименований.

Основные результаты и выводы, вытекающие из данной диссертационной работы можно сформулировать следующим образом:

1. На основе полной системы уравнений движения и неразрывности, с учетом уравнений баланса сил давления и трения, а также условия постоянства расхода в сечении канала построена математическая модель течения вязкой жидкости для вращающихся каналов типа «конфузор-диффузор» с углами конусности диффузора и конфузора не превышающими 9-11°.

2. На основе методов итерационно — сеточного и вариационно-разностного, на базе метода Галеркина, предложены алгоритмы численной реализации задачи течения вязкой жидкости в канале типа «конфузор-диффузор». Получены обобщенные решения в виде осевой, радиальной, окружной составляющих вектора скорости и давления для вращающихся и неподвижных каналов. Проведено сравнение теоретически рассчитанных значений осевой составляющей вектора скорости в неподвижном канале типа «конфузор-диффузор» с известными из научных источников экспериментальными данными. Показано, что расхождение между их значениями не превышает 25%.

3. На базе теоретических исследований процессов гидродинамики во вращающемся канале типа «конфузор-диффузор» установлено, что на кромке стыка диффузора с конфузором имеет место область активной циркуляции, интенсивность которой по длине канала непрерывно возрастает, вызывая в этих зонах "скачок давления"; расчетные значения поля скоростей в элементах трубы описываются кривыми распределения скорости, усеченной параболой в диффузоре и параболическим профилем - в конфузоре. Показано, что перепад давления по длине вращающегося канала определяется гидросопротивлением последовательно расположенных в нем элементов, особенностями гидродинамики в них, ростом давления в диффузоре и падением - в конфузоре.

4. Подтверждена адекватность математической модели для вращающегося и неподвижного канала типа «конфузор-диффузор» реальным процессам путем сравнения рассчитанных значений поля скоростей с известными теоретическими и экспериментальными результатами других авторов.

5. На базе проведенных исследований предложено использовать разработанный ротационный теплообменник в качестве эффективного узла предварительного подогрева рабочей жидкости в центробежном пароструйном подогревателе, используемом в технологии обезжиривания поверхности деталей и в узле подготовки технологического воздуха. Условная экономическая эффективность от внедрения данного аппарата в технологии обезжиривания поверхности деталей составляет 851249 руб., в узле подготовки технологического воздуха — 911760 руб.; ротационного теплообменника в производстве клея ПВА — 1019285 руб.

1. Назмеев Ю.Г. Теплообмен при ламинарном течении жидкости в дискретно — шероховатых каналах. М.: Энергоатомиздат, 1996. - 306 с.

2. Мигай В.К. Повышение эффективности современных теплообменников. Л.: Энергия, 1980. — 146 с.

3. Гухман А. А., Кирпиков В. А. Интенсификация теплообмена посредством создания в потоке неоднородностей давления//В кн.: Тепло- и массоперенос. Т. 1 ". Минск, 1972. — 320 с.

4. Гухман А. А. Интенсификация конвективного теплообмена и проблема сравнительной оценки теплообменных поверхностей// Теплоэнергетика. 1977. - №7. - С. 5 — 8.

5. Кирпиков В.А. Интенсификация теплообмена при вынужденной конвекции// ТОХТ. 1993. - Т. 27. - №3. - С. 315-319.

6. Калинин Э.К., Дрейцер Г.А., Ярхо С.А. Интенсификация теплообмена в-каналах. М.: Машиностроение, 1990. — 208 с.

7. Гортышов Ю.Ф., Олимпиев В.В. Теплообменные аппараты с интенсифицированным теплообменом. Казань. КГТУ, 1999. - 175 с.

8. Гортышов Ю.Ф., Олимпиев В.В., Попов И.А. Эффективность промышленно перспективных интенсификаторов теплоотдачи// Известия АН. Энергетика, 2002. №3.

9. Кутателадзе С.С.Теплопередача и гидродинамическое сопротивление. М.: Энергоатомиздат, 1990. — 367 с.

10. Мигай В.К., Быстров П.Г. Интенсификация теплообмена в волнистых трубах. Известия АН СССР. Теплоэнергетика. 1976.- №11. - С. 74-76.

11. И. Авраменко А.А., Шевчук И.В., Халатов А.А. Теплообмен и гидродинамика в полях центробежных массовых сил. — Киев: Наук. Думка, 1996.-Том 2.-228 с.

12. Справочник по теплообменным аппаратам/ П.И. Бажан, Г.Е. Каневец, В.М. Селиверстов. М.: Машиностроение, 1989. - 368 с.

13. Михеев М.А. Основы теплопередачи. M-JL: ГЭИ. 1956.- 392 с.16.1Цукин В.К. Теплообмен и гидродинамика внутренних потоков вполях массовых сил. М.: Машиностроение, 1970. - 240 с.

14. П.Смирнов Е.М., Юркин С.В. О течении жидкости по вращающемуся каналу квадратного поперечного сечения// Известия АН СССР. МЖГ. 1983. - №6, - С. 24-30.

15. Кузьминский А.В., Смирнов Е.М., Юркин С.В. Продольно ориентированные ячеистые структуры типа вихрей Тейлора Гертлера на стороне повышенного давления вращающихся каналов// ПМТФ. — 1983. -№6.-С. 129-134.

16. Кузьминский А.В., Смирнов Е.М., Юркин С.В. Экспериментальное исследование развивающегося течения в каналах квадратного сечения, вращающимся вокруг поперечной оси// ИФЖ. 1983. - Т.45. - №4. - С. 662 -663.

17. Халатов А.А., Авраменко А.А., Шевчук И.В. Теплообмен и гидродинамика в полях массовых сил. — Киев; Инст. техн. теплоф., 1996.-280с.

18. Вудс, Моррис Исследование теплообмена во вращающейся цилиндрической трубе//Теплопередача. 1980. Том 102; №3.- С. 28 —33.

19. Кочубей А.А., Ракита Е.М., Рядно А.А. Расчет гидродинамики и теплообмена во вращающихся каналах на основе метода конечных элементов//Сибирский физико-технический журнал-1991. Вып. 1. С. 129- 132.

20. Давлетшин Ф.М., Овчинников А.А., Николаев Н.А. Интенсификация теплообмена при диссперсно кольцевом течении газожидкостного потока в каналах.- Казань: КГУ, 2001. - 87 с.

21. Смирнов Е.М., Юркин С.В. О течении жидкости по вращающемуся каналу квадратного поперечного сечения// Известия АН СССР. МЖГ. 1983.- №6. С. 24-30.

22. Рис В.В., Сафонов В.В. Теплоотдача во вращающейся трубе при центробежном и центростремительном течениях воды// Известия высших учебных заведений. Энергетика. 1985. - №8. - С. 81-85.

23. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача. М.: Энергия, 1975. 488 с.

24. Эллиот. Исследование применения насосов с несущим газом в ракетных двигателях//Вопросы ракетной техники. Вып. 4. Изв. иностранной литературы. М.:И-Л, 1964. С. 88-112.

25. А.с. 176562 СССР, МКИ И01Д. Аппарат для проведения процессов тепломассообммена/ Н.И. Таганов, Ю.Н. Денисов 818640/23-26 заявл. 07.11.63. опубл. 17.11.65. Бюл. 23.

26. А.С. 1038785 СССР, МКИ Теплообменник/ В.М. Жуков, П.А. Горшенин, С.Е. Морозов 3410768/24-06 заявл. 17.03.82. опубл. 30.08.83. Бюл. 32.

27. Савостин А.Ф., Тихонов A.M. Исследование характеристик теплопередающих элементов с короткими пластинчатыми ребрами// ИФЖ. — 1971. Т. 21.-№4.-С. 81-90.

28. Zappa R. F., Gelder G. E. Effect and pressure drop in laminar flow.-ASME, 1971,RHT-36.

29. Исикава Э. Современные тенденции развития теплообменников// Сикию Гаккай дза, т. 16, 1973, №2.

30. Волков П.М., Иванова А.В. Интенсификация теплообмена в круглой трубе, охлаждаемой воздухом// В кн.: Труды Второго совещания по тепло и массообмену. Минск, 1964.

31. Ковальногов А.Ф., Щукин В.К. Теплообмен и гидравлическое сопротивление в трубах с лопаточными завихрителями// ЖТФ. 1968. - Т. 14.-№2.-С 56-67.

32. Ковальногов А.Ф., Щукин В.К. Теплообмен и гидравлическое сопротивление при местной закрутке потока с помощью шнековых завихрителей// Труды КАИ Казань. - 1968. Вып. 101.

33. Ковальногов А.Ф., Щукин В.К. Теплообмен и гидравлическое сопротивление при местной закрутке потока шнековыми завихрителями// Теплоэнергетика. 1968. - №6. - С.78 - 89.

34. Бузник В.М. Интенсификация теплообмена в судовых установках. Л.: Судостроение, 1969. 363 с.

35. Nunner W. Warmenhergeng und Druckabfall in rauchen Rohren. — VDI -Forschungscheft, 1956, N455.

36. Koch R. Druckverlust und Warmenhergeng bei verbirbelter Stromung, -VDI Forschungscheft, 1958, N 469.

37. Антуфьев B.M. Эффективность различных форм конвективных поверхностей нагрева. JL: Энергия, 1966. 183 с.

38. Webb R. L., Eckert Е. R. G., Goldstein. Heat Transfer and friction in tubes with Repeated Rib Roughness. - Int. J. Heat Mass. Transfer, 1971, vol. 14.

39. Gee D.L., Webb R.L. Forced Convection Heat Transfer in Helically Rib Roughened Tubes// Int. J/ Heat Mass Transfer/ 1980. V.23. P. 1127-1136.

40. Sethumadhavan R., Raja Rao M. Turbelent Flow Heat Transfer and Fluid Friction in Helical Wire — Coil — Inserted Tubes// Int. J/ Heat Mass Transfer/ 1983. V.26. P.l833-1844.

41. Боголюбов Ю.Н., Лифшиц M.H., Григорьев Г.В. Результаты исследования и промышленного внедрения винтообразно профилированных труб//Теплоэнергетика. 1981. №7. - С. 48-50.

42. Чижевская И.М., Мень П.Г., Бродов Ю.М. Экспериментальное исследование полей скоростей при течении воды в профильно витых трубах// Известия АН. Энергетика. 1984. - №11. - С. 97 - 100.

43. Мигай В.К. Моделирование теплообменного энергетического оборудования.- JI: Энергоатомиздат, 1987 262 с.

44. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. М.: Атомиздат, 1979. -206 с.

45. Кирпиков В. А. О классификации современных методов интенсификации конвективного теплообмена при вынужденном движении (без фазовых переходов) // ТОХТ, 1991, т. 25, №1. С. 139.

46. Интенсификация конвективного теплообмена/ А.А. Коноплев, Ал.Ал. Берлин, Г.Г. Алексанян, Б.Л. Рытов// ТОХТ. 2002. - Т. 36. - №2. - С. 220-222.

47. Щукин В.К., Халатов А.А. Теплообмен, массообмен и гидродинамика закрученных потоков в осесимметричных каналах. М.: Машиностроение, 1982. 200 с.

48. Никольская С.Б. Ламинарное движение жидкости во вращающихся каналах//Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1977.- №6. -С. 175- 179.

49. Мальцев В.В. Исследование движения газа и теплоотдачи во вращающихся роторах//Вестник электропромышленности. 1960. - №8. - С. 15-22.

50. Горская Т.Ю., Золотоносов Я.Д., Маминов О.В. Математическая модель течения вязкой жидкости во вращающейся трубе, образованной конфузорно — диффузорными элементами// Известия вузов. Проблемы энергетики. Казань: КГЭУ, 2002 - №11-12. - С.33-39.

51. Колин С.А. Теплообмен при ламинарном течении вязкой жидкости в профильно — винтовых каналах. Дисс. . канд. техн. наук. Казань, 2003. — 112 с.

52. Rush Т.А., Newell Т.А., Jacobi A.M. An experimental study of flow and heat transfer in sinusoidal wavy passages. .//Int. J. Heat Mass Transfer. 1999. -Vol. 42; №9.-P. 1541 1553.

53. Шевчук И.В., Халатов А.А. Теплообмен и гидродинамика в каналах, вращающихся относительно своей оси// ИФЖ. 1997. Том 70; №3.-С. 514-528.

54. Пантелеева JI.P., Золотоносов Я.Д. Математическая модель и алгоритм численной реализации конвективного теплообмена в аппарате с вращающейся рабочей поверхностью// Известия вузов. Проблемы энергетики. Казань: КГЭУ, 2003. - №1-2. - С.25-32.

55. Шафигуллин Т.Р., Золотоносов Я.Д., Рябчук Г.В. Исследование гидродинамики течения инжектирующей жидкости во вращающейся трубе центробежного струйного подогревателя// Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики. 1999. - №5-6. - С. 104-107.

56. Касьянов В.М. Ламинарное течение жидкости через вращающуюся прямую трубу круглого поперечного сечения// Геология и промысловое дело. -1960.-№10.-С. 145-170.

57. Гольдштик М.А. Приближенное решение задачи о ламинарном закрученном потоке в круглой двери//ИФЖ. 1959. Том.11; №5, с. 100 — 105.

58. Обобщение экспериментальных данных по теплоотдаче во вращающихся каналах в поле нескольких массовых сил/ А.А. Зайцев, И.М. Скачко, Б.В. Васильев, Н.Г. Стюшин// Известия вузов. Химия и химическая технология, 1989, Т. 32. №1. - С. 97 - 103.

59. IMAO S., ZHANG Q., YMADA Y. The Laminar Flow in the Developing Region of a Rotating Pipe // Никон кикай таккай poH6ycio,Ser. B.-1988. №498.-p.243-248.

60. Бакалеев В.П. Ламинарное течение жидкости во вращающемся канале// Труды ЦИАМ, 1973. №573.

61. Уогнер Р.Е., Велкофф Г.Р. Измерения параметров вторичных течений во вращающемся канале/ЛГруды Американского общества инженеров-механиков. Сер. «А». — 1971. №4. - С. 46-56.

62. Г.Ито, К.Намбу Течение во вращающихся прямых трубах круглого поперечного сечения// Труды Американского общества инженеров-механиков. Сер. «А». 1972. - №4. - с. 31-41.

63. Н.В. Никитин О характере вторичных течений во вращающейся трубе // Известия РАН. Механика жидкости и газа. — 1992, №6. - С. 29-35.

64. Р.Г.Перельман, В.И.Поликовский Гидравлическое сопротивление прямолинейных каналов в поле центробежных сил// Известия АН СССР. Отдел технических наук. — 1958. №10. - с. 150-153.

65. Маджумдар А.К., Пратап B.C., Сполдинг Р.Б. Численный расчет течения во вращающихся каналах// Труды Американского общества инженеров-механиков. — 1977. №1. - С. 249-255.

66. H.Jacovides, D.C. Jacson, G. Kelemenis, B.E. Launder, Y.M. Yuan Experriments on locol heat transfer in a rotating soquare — ended U — lend. Jnter. Jour. Of Heat and Fluid Flow 20 (1999) 302-310.

67. Кэнон Ж., Кейс В. Теплообмен к жидкости в трубе, вращающейся вдоль продольной оси//Теплопередача. 1969, - №2. - С.127 - 132.

68. Fluid flow and haot transfer in an axially rotating pipe 11. Effect of rotation on laminar pipe flow/ G.Reich, B.Weigand, H. Beer //Int.J. Heat Mass Transfer. - 1989. - Vol 32, N 3. - P. 563 - 574.

69. Шиляев М.И., Дорохов А.Р. О влиянии начальной закрутки на гидродинамику потока вязкой жидкости во вращающемся кольцевом канале//Известия сиб. отд. АН СССР. Сер. «Техн. н.» 1988. - №4. Вып. 1. -С.37-41.

70. Развитие ламинарного движения жидкости во вращающемся цилиндре в поле сил тяжести/ И.Н. Сидоров, Я.Д. Золотоносов, Г.Н. Марченко, О.В. Маминов. ИФЖ, 1988, - Т. 54. - №2. - С. 198 - 240.

71. Золотоносов Я.Д. Математическое описание процессов течения псевдопластичной среды в проточной части центробежных аппаратов// Известия высших учебных заведений. Химия и химическая технология. -2002.-Т.45. Вып. 5. С. 3-15.

72. Кирпиков В.А. Исследование каналов пластинчатого теплообменника с поверхностями типа «конфузор -диффузор»//Теплоэнергетика. -1982. №5. - С. 56 — 59.

73. Исследование теплообмена и гидродинамического сопротивления при турбулентном течении газа в поле продольного знакопеременноградиента давления/ А.А. Гухман, В.А. Кирпиков, В.В. Гутарев, Н.М. Цирельман// ИФЖ. 1969. Т. 16. - №4. - С. 581 - 591.

74. Математическое моделирование конвективного теплообмена на основе уравнений Навье — Стокса/Под ред. акад. B.C. Авдуевского. М.: Наука, 1987. 272 с.

75. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред.- М.: Наука, 1964. 519 с.

76. Мишта П.В. Математическое моделирование процесса растворения в центробежном поле: Дис. . канд. тех. наук,- ВГТУ, Волгоград, 1999. — 119 с.

77. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой жидкости. -М.: Наука, 1970. 288 с.

78. Р. Темам. Уравнения Навье Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.-408 с.

79. Heywood I.G. On uniqueness in the theory of viscous flow. Asta math. (Uppsala). 1976. v. 136, N 1,2 p. 61 - 102.

80. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. М.: Мир, 1988.544 с.

81. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.:Наука, 1984. -288 с.

82. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

83. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно — сеточные методы. М.: Наука, 1981. -416 с.

84. ЮО.Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Часть И. М.: Наука, 1977. 400 с.

85. Ю1.Абрашин В.Н., Жадаева Н.Г. Аддитивные итерационные методы решения стационарных задач для уравнений Навье- Стокса. //Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. №11. - С. 1543 - 1552.

86. Никитенко Н.И., Кольчик Ю.Н., Сороковая Н.Н. Метод конечных элементов для моделирования течения и теплообмена несжимаемой жидкости в областях произвольной формы.// Пром. Теплотехника. 2002. 24. -№1,-С. 16-23.

87. Ding Rui, Ding Fang Yun, Zrang Hai. The Galerkin approximations for boundary value problem//Proc. 3rd Int. Conf. Nonlinear Mech., Shanghai, Aug. 17 -20,1998, ICNM-3.-Shanghai,1998. p. 784-788.

88. Ranger K.B. Explicit solutions of the steady two — dimensional Navier Stokes equations//Stud. Appl. Math. 1995. - 94-N2- p.l 69 - 181.

89. Бужсова H.H., Железовский C.E. О скорости сходимости метода Галеркина одного класса квазилинейных операторных уравнений// Ж. Выч. Мат. и мат. физ. 1999 - 39. №9 - С. 1519 - 1531.

90. Абрашин В.Н., Жадаева Н.Г. Аддитивные итерационные методы решения стационарных задач для уравнений Навье-Стокса//Дифф. уравнения. Т.35. 1999.-№11.-С. 1543-1552.

91. Fujita Н. On the existence and regularity of the steady state solutions of the Navier-Stokes equations. J. Fac.Sci. Univ. Tokyo, vol.9, part 1. 1961. p. 59 -102.

92. ПО.Чуданов В.В. Интегральный подход к решению задач вычислительной теплогидродинамики в сложных областях//Известия АН. Энергетика. 1999. - №6. - С. 39-48.

93. Ш.Никифоров А.Н., Паутова Н.А. Численное моделирование сопряженного конвективного теплообмена в канала// Известия высших учебных заведений. Электромеханика. -1998.-№1.-С. 21-25.

94. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1973. Т.2.584 с.

95. Белоносов С.М., Черноус К.А. Краевые задачи для уравнений Навье Стокса. -М.: Наука, 1985. - 312 с.

96. Численные методы/Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков// М.: Наука, 1987.-600 с.

97. Горская Т.Ю., Золотоносов Я.Д. Численная реализация задачи гидродинамики при течении вязкой жидкости во вращающейся трубе, образованной конфузорно-диффузорными элементами/ЛГезисы 6-го аспиранского научного семинара. КГЭУ Казань, - 2002. - С. 82.

98. Горская Т.Ю., Золотоносов Я.Д. Исследование гидродинамики течения вязкой жидкости в поточной части конфузорно-диффузорных элементов вращающейся волнистой трубы//Известия вузов. Проблемы энергетики. Казань:КГЭУ, - 2003. - С. 33-39.