автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование течений вещества в аккреционных звездных дисках

б

ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ им. М.В. КЕЛДЫША РАН

На правах рукописи

003466435

ЛУГОВСКИЙ Алексей Юрьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИИ ВЕЩЕСТВА В АККРЕЦИОННЫХ ЗВЕЗДНЫХ ДИСКАХ

05.13.18—Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

О д ДПР 2009

Москва-2009

003466435

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор

Чечеткин Валерий Михайлович

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук

Бисикало Дмитрий Валерьевич

доктор физико-математических наук, профессор

Гасилов Владимир Анатольевич

Ведущая организация — Государственный астрономический институт

им П.К. Штернберга МГУ

в часов на

Защита состоится 2009 г.

заседании Диссертационного совета Д 002.024.02 при Институте прикладной математики им М.В. Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., Д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института прикладной математики им М,В. Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., д. 4.

Автореферат разослан " ЦЦ-^ОГ^ 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-

математических наук Щерица О-В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена математическому моделированию структуры течений в аккреционных звездных дисках. В работе предложен новый механизм перераспределения углового момента без существенного нагрева вещества, осуществляемый крупными вихревыми структурами, которые образуются в сдвиговых течениях аккреционных звездных дисков. Исследованы процессы образования и развития крупномасштабных вихревых течений, возникающих в результате внесения малых возмущений в начальное состояние диска. Проведены исследования возникающих крупновихревых течений и получены результаты, имеющие научную и практическую ценность и согласующиеся с наблюдениями. Обосновано применение для решения поставленной задачи явной схемы Роу-Эйнфельдта-Ошера третьего порядка аппроксимации. Разработан метод распараллеливания исследуемой задачи. Построенный численный алгоритм применен и протестирован на различных многопроцессорных вычислительных комплексах, продемонстрирована эффективность его распараллеливания.

Актуальность работы

Теоретические исследования аккреционных дисков вблизи гравитирующих тел проводятся уже много лет. В последние годы большой интерес проявляется к проблеме передачи углового момента в аккреционных дисках, что обусловлено наличием в наблюдениях связи между температурой аккреционного диска и интенсивностью излучения от компактного объекта при аккреции на него вещества. Для того, чтобы вещество интенсивно аккрецировало, в диске должны протекать процессы, отводящие угловой момент к внешним его частям. В качестве возможного механизма рядом авторов предлагается, например, турбулентная вязкость. Указано, что

скорость аккреции определяет нагрев вещества аккреционного диска за счет такой вязкости.

В ряде работ проводились исследования, где предлагалось использовать для этой цели магнитную вязкость. В них показано, что гидродинамически устойчивый аккреционный диск при наличии даже слабого магнитного поля становится неустойчивым, и в диске возникают турбулентные течения, что приводит к перераспределению углового момента и его отводу к внешним частям диска.

Согласно сложившимся представлениям турбулентная вязкость сдвигового течения носит локальный динамический характер и ведет к локальному излучению тепловой энергии. В связи с этим важной проблемой последнего времени является несоответствие низкой температуры диска, фиксируемой в наблюдениях, по сравнению с температурой, получаемой расчетно в ряде существующих моделей при известной наблюдаемой интенсивности излучения и известном темпе аккреции. Существует большое количество работ, в которых сделаны попытки объяснить данное несоответствие и рассмотрен переход кинетической энергии турбулентного движения не только в тепло, но и в другие виды энергии.

Предлагаемая работа рассматривает проблему возникновения и развития крупномасштабного вихревого движения из начальных малых возмущений. Эта проблема представляет большой интерес для различных дисковых течений в астрофизических условиях. Появление крупномасштабных вихревых течений дает возможность переноса углового момента крупными вихревыми структурами, образующимися в сдвиговом течении в аккреционном диске. В работе показано, что при перераспределении углового момента крупными структурами не происходит заметного нагрева вещества. При применении такой модели оказывается возможным получить требуемую скорость аккреции при достаточно низкой температуре вещества аккреционного диска. Таким образом, в работе

предложен новый механизм перераспределения углового момента, ведущий к аккреции с меньшим локальным выделением тепловой энергии.

Возможности аналитических оценок эволюции вихревых возмущений в общем неодномерном случае весьма ограничены, поэтому основным методом выяснения результата таких воздействий на структуру диска является вычислительный эксперимент. Численные алгоритмы, пригодные для передачи структуры начальных мелкомасштабных вихревых образований, должны иметь незначительную схемную диссипацию. В противном случае схемная диссипация может привести (и, как правило, приводит, особенно на фоне резкоменяющихся решений) к сглаживанию и сильному затуханию мелкомасштабных возмущений. Для численного исследования вихревых течений в аккреционных дисках целесообразно использовать схему высокого порядка аппроксимации, пригодную для распараллеливания в связи с высокой трудоемкостью вычислений. В работе обосновано применение для решения поставленной задачи схемы Роу-Эйнфельдта-Ошера третьего порядка аппроксимации, которая в связи с ее явностью хорошо поддается распараллеливанию. Для того, чтобы решить задачу за разумное время, необходимо применение многопроцессорных вычислительных комплексов, что позволяет проводить серии численных экспериментов для подробного исследования различных вариантов образования и развития крупновихревых течений в аккреционных дисках. Показано, что предложенный метод распараллеливания эффективен для решения различных астрофизических задач.

Цель и задачи работы

Работа посвящена математическому моделированию течений вещества в аккреционных звездных дисках. Целью работы является исследование механизма перераспределения углового момента крупными вихревыми

структурами, возникающими в аккреционном диске, при котором не происходит существенного нагрева вещества диска.

Задачи работы:

• исследование возникновения и развития крупномасштабного вихревого движения из начальных малых возмущений в аккреционных звездных дисках методами математического моделирования;

• исследование процесса перераспределения углового момента вещества в аккреционных звездных дисках;

• изучение газодинамических параметров аккреционного диска;

• нахождение нового механизма перераспределения углового момента, позволяющего построить модель холодного аккреционного диска с достаточно мощным излучением от центрального гравитирующего тела за счет аккреции вещества;

• создание эффективного параллельного алгоритма решения рассматриваемой задачи.

Научная новизна и практическая значимость работы

Научная новизна и практическая значимость работы определяются:

• впервые поставленной проблемой появления крупных структур течения в аккреционном звездном диске;

• впервые проведенными исследованиями образования и развития крупных структур в сдвиговом течении;

• предложенным новым механизмом перераспределения углового момента крупными структурами, ведущим к аккреции с меньшим локальным выделением тепловой энергии, что согласуется с имеющимися наблюдениями;

• эффективностью использования многопроцессорных

вычислительных комплексов при моделировании структуры течения в аккреционных звездных дисках.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались и были представлены на следующих конференциях:

— Конференция «Актуальные проблемы нелинейной механики и рациональное численное моделирование» (к 80-летию академика О.М. Белоцерковского), 8 сентября 2005 г., Москва, Россия;

— Всероссийская астрономическая конференция "Прогресс в современной астрономии" (175 лет ГАИШ МГУ), 11-12 декабря 2006 г., Москва, Россия;

— 6-ая Международная летняя Гамовская астрономическая школа: «Астрономия на стыке наук: астрофизика, космология, радиоастрономия и астробиология», 1-5 августа 2006 г., Одесса, Украина;

— Japan-Russia Workshop on «Study of Hydrodynamical Instability, Turbulence and Complex Flows by Using Advanced Technologies of Modeling on Supercomputers», November 18 to 20, 2008, Kobe, Japan.

Список публикаций приведен в конце автореферата, состоит из 6 пунктов и включает в себя 2 препринта, 2 статьи в журнале из списка ВАК, 1 статью в иностранном журнале, 1 статью в сборнике публикаций материалов международной конференции.

Результаты работы также докладывались и обсуждались на семинаре Института астрономии РАН под руководством д.ф.-м.н. Д.В. Бисикало и на семинарах Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН под руководством чл.-корр. РАН Ю.П. Попова и проф. М.П. Галанина.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа Луговского А.Ю. состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет"/^/страниц, включая рисунков и список литературы из наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится краткое описание предметной области диссертационной работы, обзор литературы, посвященной проблемам аккреционных звездных дисков и численным методам, используемым при математическом моделировании в современной астрофизике; обоснована актуальность работы, сформулированы цели и задачи работы, кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе описана физико-математическая постановка задачи об аккреционном звездном диске. В работе в рамках гидродинамического приближения рассмотрен аккреционный диск, находящийся в поле центрального гравитирующего тела. Предположено, что диск является оптически тонким, т.е. толщина диска много меньше его радиуса, поэтому задача рассмотрена в плоском двумерном случае. Самогравитация вещества диска не учтена. Газ является сжимаемым, идеальным и его поведение описано системой двумерных уравнений газовой динамики в переменных Эйлера в полярных координатах с уравнением состояния идеального газа.

Расчетная область представляет собой кольцо, внутри которого задано начальное распределение параметров аккреционного диска. Центральное гравитирующее тело в расчетную область не входит. На границе области поставлены "свободные" граничные условия или условия непротекания. В качестве начального состояния взято аналитическое решение, являющееся равновесным состоянием в двумерном случае. В качестве равновесного

состояния взято распределения параметров с околокеплеровским или кеплеровским распределением скорости. Отмечено, что без внесения малых возмущений диск сохраняет свое состояние достаточно продолжительное время.

Для инициализации неустойчивости в равновесное состояние аккреционного диска внесены малые возмущения. Рассмотрено несколько вариантов задания таких возмущений в дисках с околокеплеровским и кеплеровским распределением скорости: синусоидальное возмущение азимутальной составляющей скорости в зоне максимальных значений плотности диска в различных интервалах по углу; возмущение углового момента в локальной области во внешней части аккреционного диска, которое может быть вызвано попаданием вещества с другим угловым моментом в аккреционный диск.

Вторая глава посвящена численной реализации поставленной задачи. Рассмотрены схемы первого порядка Роу и Роу-Эйнфельдта, а также схема третьего порядка Роу-Эйнфельдта-Ошера. На примерах тестовых задач о распаде произвольного разрыва, обтекания ступеньки, течения жидкости в каверне, обтекания цилиндрического тела показано, что использование схем первого порядка приводит к сглаживанию и сильному затуханию мелкомасштабных возмущений. Таким образом, при одинаковом числе точек сетки схемы Роу и Роу-Эйнфельдта первого порядка по сравнению со схемой третьего порядка аппроксимации Роу-Эйнфельдта-Ошера не позволяют достаточно точно передать структуру возникающего вихревого течения, "размазывая" решение.

Показано, что для численного исследования мелкомасштабных турбулентных течений целесообразно использовать схему третьего порядка аппроксимации Роу-Эйнфельдта-Ошера с незначительной схемной диссипацией.

Ввиду большого объема вычислительной работы алгоритм распараллелен, и расчеты проведены на многопроцессорных

вычислительных системах. Используемая схема Роу-Эйнфельдта-Ошера в связи с ее явностью удобна при реализации на многопроцессорных вычислительных комплексах.

В главе приведен алгоритм распараллеливания, основанный на декомпозиции области по углу. При реализации параллельного алгоритма использован интерфейс MPI (The Message Passing Interface), который является библиотекой функций, обеспечивающей взаимодействие параллельных процессов с помощью механизма передачи сообщений. Алгоритм протестирован на многопроцессорных вычислительных комплексах МВС-15000ВМ и MBC-6000IM, установленных в МСЦ РАН, а также на IBM eServer pSeries 690 (Regatta), установленном в МГУ им. М.В. Ломоносова.

Анализ времени расчетов на всех суперкомпьютерах показывает высокую эффективность распараллеливания, т.е. ускорения расчетов. Более того, ускорение расчетов наблюдается при увеличении числа процессоров вплоть до размерности сетки по углу, что является хорошим показателем, т.к. означает, что не происходит насыщения. Кроме этого, полученные зависимости ускорения расчетов от числа процессоров одинаковы для систем с различной архитектурой памяти (общей или распределенной), т.е. эффективность предложенного алгоритма подтверждается независимостью от архитектуры суперкомпьютеров. Использование многопроцессорных вычислительных комплексов позволило решить поставленные задачи за разумное время.

Третья глава посвящена описанию результатов численного решения задачи об аккреционном диске. Образование и эволюция разномасштабных возмущений в аккреционных дисках в двойных звездных системах является важной задачей гравитационной астрофизики. Основной интерес представляет изучение развития мелкомасштабных возмущений под воздействием различных факторов. Образование в аккреционных дисках крупных спиральных структур различной морфологии вызывает

перераспределение энергии и углового момента в газе. Турбулентная вязкость и взаимодействие между крупномасштабными и мелкомасштабными возмущениями и вихрями может вносить в этот процесс значительный вклад. Особенностью задачи является наличие гравитационной силы, которая может изменять условия возникновения крупномасштабных структур. Кроме того, крупномасштабные вихревые структуры в аккреционных дисках могут зарождаться за счет сдвигового течения.

В главе рассмотрено возникновение в аккреционных звездных дисках с двумя различными начальными состояниями вихревых течений, образующихся вследствие внесения в начальное состояние малых возмущений различного типа.

Рассмотрен аккреционный диск с околокеплеровским распределением скорости. Расчетная область выбрана так, что по радиусу ее размер приблизительно в два раза превышает характерный размер диска, т.е. область сосредоточения основной массы диска. Плотность у границ на несколько порядков меньше ее значений в центральной зоне, что минимизирует влияние граничных условий.

С целью исследования устойчивости диска по отношению к малым возмущениям в равновесное состояние диска внесены синусоидальные возмущения азимутальной составляющей скорости в зоне максимальных значений плотности диска. Проведены серии расчетов с амплитудой возмущений от 1% до 20% от равновесной азимутальной скорости, с заданием возмущений в полосе шириной в одну или в две ячейки, с различной частотой возмущений и на различных сетках. Результаты расчетов показывают, что малые возмущения приводят к образованию крупных вихревых структур, при этом перестройке подвергается течение практически во всей области, хотя начальное возмущение задано лишь в малой ее части.

Большой интерес также представляет случай, когда возмущение в сдвиговом течении появляется в локальной области, близкой к внешней границе аккреционного диска. Приведено численное решение задачи,

моделирующей развитие возмущения, задаваемого локально во внешней части равновесного аккреционного диска. Показано, что в результате образуются крупные структуры, распространяющиеся на весь диск.

Изучение завихренности показывает образование и существование на протяжении всего расчета крупных структур течения. Исследовано поведение крупных структур со временем. Показано образование такого физического эффекта, как дорожка Кармана, возникающая за крупными структурами при обтекании их вращающимся веществом диска.

Рассмотрен аккреционный диск с кеплеровским распределением скорости. Внешняя граница расчетной области проходит через центральную часть диска. Результаты расчетов с заданием синусоидального возмущения скорости и с заданием локального возмущения показывают качественное сходство с результатами предыдущих расчетов.

Четвертая глава посвящена исследованию возникающих в диске крупновихревых течений и физическому эффекту перераспределения углового момента в аккреционном звездном диске.

На примере расчета с внесением малых возмущений в области максимальных значений плотности для диска с околокеплеровским распределением скорости подробно рассмотрены свойства возникающих течений.

Показано, что со временем поведение системы выходит на квазистационарный режим, при котором кинетическая энергия вихревого движения слабо изменяется со временем, колеблясь вблизи почти постоянного значения, причем это значение постоянно для различных значений амплитуды начальных возмущений. Из результатов расчетов следует, что кинетическая энергия вихревого движения в квазистационарном режиме определяется начальной кинетической энергией и практически не зависит от энергии первичного возмущения. Это подтверждает предположение о развитии крупномасштабного вихревого движения в сдвиговом течении аккреционных дисков и подтверждает то, что после

прохождения лика развития возмущений, вихревые структуры не исчезают, течение остается вихревым, и крупные структуры переносят угловой момент к внешним частям диска.

Исследовано изменение и перераспределение углового момента в возникающем течении. Показано, что в системе происходит значительное перераспределение момента вдоль радиуса, причем общий угловой момент в системе остается практически неизменным. Отмечено, что масса газа в системе также остается практически постоянной, т.е. перераспределение углового момента происходит не за счет потока вещества через границы.

Рассмотрено поведение энтропии, в частности, ее изменение со временем в системе. Показано, что энтропия в системе практически постоянна. С учетом отсутствия в рассматриваемой модели вязкости и теплопроводности, а также с учетом малой схемной вязкости используемого численного метода постоянство энтропии означает, что течение является практически адиабатическим, выделения большого количества тепла не происходит, следовательно, турбулентная вязкость мала и не может являться механизмом, с помощью которого происходит перераспределение момента. Таким образом, наблюдаемое в расчетах перераспределение момента связано с образованием крупных структур, и именно за их счет осуществляется перенос момента.

Исследован случай задания локального возмущения во внешней части диска с околокеплеровским распределением скорости. Показано, что движение крупных структур в аккреционном диске приводит к перераспределению углового момента. В области, содержащей крупные вихревые структуры вблизи внешней границы, идет интенсивная отдача углового момента, что приводит к сжатию внешней части диска. Во внутренней области значительно увеличивается угловой момент, что подтверждает увеличение внутренней аккреции.

При исследовании аналогичных вариантов задания возмущения для диска с кеплеровским распределением скорости также показано, что за счет

крупных структур происходит значительное перераспределение суммарного

углового момента в аккреционных дисках.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной

работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построена физико-математическая модель течения вещества в аккреционном звездном диске. На основе аналитического решения выбрано специальное стационарное начальное состояние аккреционного звездного диска с околокеплеровским распределением скорости в двумерном случае, исключающее влияние граничных условий.

2. Изучен процесс образования крупных вихревых структур в сдвиговом течении аккреционных звездных дисков. Показано, что малые возмущения, внесенные в начальное равновесное состояние аккреционного диска в сравнительно небольшой области, развиваются в крупные структуры, захватывая значительную часть расчетной области. Возникающее в результате течение является вихревым.

3. Показано, что возникновение крупных структур приводит к значительному перераспределению суммарного углового момента в аккреционных дисках без заметного нагрева вещества, что, в отличие от других моделей, в большей степени соответствует наблюдениям.

4. Создан программный комплекс, позволяющий эффективно решать задачи многомерной газовой динамики на многопроцессорных вычислительных системах с различной архитектурой. Созданный комплекс используется в качестве теста для определения и улучшения характеристик суперкомпьютеров в МСЦ РАН.

Публикации автора по теме диссертации

1. Луговский А. Ю., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Численные методы для моделирования развития турбулентности в аккреционных дисках. (М.: МАКС Пресс, 2003).

2. Луговский А. Ю., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Эволюция мелкомасштабных возмущений в аккреционных дисках. (М.: МАКС Пресс, 2005).

3. Belotserkovskii О.М., Chechetkin V.M., Fortova S.V., Oparin A.M., Popov Yu.P., Lugovsky A.Yu., Mukhin S.I. The turbulence in free shear flows and in accretion discs. Astronomical & Astrophysical Transactions: The Journal of the Eurasian Astronomical Society, v. 25, issue 5 & 6, pp. 419 - 434, 2006.

4. Велихов Е.П., Луговский А.Ю., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Роль крупномасштабной турбулентности в перераспределении углового момента в аккреционных звездных дисках. Астрономический журнал, т. 84, №2, стр. 177-184,2007.

5. Belotserkovskii О.М., Chechetkin V.M., Fortova S.V., Oparin A.M., Popov Yu.P., Lugovsky A.Yu., Mukhin S.I. The turbulence in free shear flows and in accretion discs. "Investigations of Hydrodynamical Instability and Turbulence in Fundamental and Technological Problems by Means of Mathematical Modeling with Supercomputers", Final Report of RFBR/JSPS Collaborative Research Program, ed. by O. Belotserkovskii, Y. Kaneda and I. Menshov, Nagoya University, Nagoya, Japan, p.229-241, 2007.

6. Луговский А. Ю., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин B.M. Развитие крупномасштабной неустойчивости в аккреционных звездных дисках и ее влияние на перераспределение углового момента. Астрономический журнал, т. 85, №10, стр. 901-905,2008.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 24.03.2009 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 145. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Введение.

Глава 1. Построение физико-математической модели течения вещества в аккреционном звездном диске в двумерном случае.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Система уравнений.

1.3 Начальные и граничные условия для диска с околокеплеровским распределением скорости.

1.3.1 Начальные условия.

1.3.2 Граничные условия.

1.3.3 Начальная модель задания возмущений.

1.4 Начальные и граничные условия для диска с кеплеровским распределением скорости.

1.4.1 Начальные условия.

1.4.2 Граничные условия.

1.4.3 Начальная модель задания возмущений.

Глава 2. Создание программного комплекса на основе схемы Роу-Эйнфельдта-Ошера для моделирования газодинамических течений в аккреционном диске. Создание алгоритма распараллеливания расчетов.

2.1 Схемы годуновского типа Роу и Роу-Эйнфельдта-Ошера.

2.1.1 Схема Роу.

2.1.2 Схема Роу-Эйнфельдта.

2.1.3 Схема Роу-Эйнфельдта-Ошера.

2.2 Сравнение результатов тестовых расчетов с использованием схем Роу и Роу-Эйнфельдта-Ошера.

2.2.1 Тест 1. Задача о распаде произвольного разрыва.

2.2.2 Тест 2. Задача о течении в каверне.

2.2.3 Тест 3. Задача об обтекании ступеньки.

2.2.4 Тест 4. Задача об обтекании бесконечного цилиндра.

2.3 Создание параллельного алгоритма исследуемой задачи.

2.3.1 Алгоритм распараллеливания.

2.3.2 Результаты распараллеливания.

Глава 3. Результаты математического моделирования образования и эволюции вихревых течений в аккреционном диске.

3.1 Диск с околокеплеровским распределением скорости. Синусоидальные возмущения.

3.1.1 Непрерывное возмущение при 0<ф<27г.

3.1.2 Два локальных симметричных возмущения при 7с/5<ф<2ти/5, б7г/5<ф<771/5.

3.1.3 Одно локальное возмущение при 7г/5<ф<27г/5.

3.2 Диск с околокеплеровским распределением скорости. Локальное возмущение во внешней области диска.

3.3 Диск с кеплеровским распределением скорости. Синусоидальные возмущения.

3.4 Диск с кеплеровским распределением скорости. Локальное возмущение во внешней области диска.

Глава 4. Перенос углового момента в аккреционном диске.

4.1 Диск с околокеплеровским распределением скорости. Непрерывное синусоидальное возмущение при 0<ф<271.

4.1.1 Кинетическая энергия вихревого течения.

4.1.2 Угловой момент в диске.

4.1.3 Энтропия в диске.:.

4.2 Перераспределение углового момента в диске с околокеплеровским распределением скорости при локальном возмущении во внешней области диска.

4.3 Перераспределение углового момента в диске с кеплеровским распределением скорости при непрерывном синусоидальном возмущении азимутальной скорости.

4.4 Перераспределение углового момента в диске с кеплеровским распределением скорости при локальном возмущении во внешней области диска.

Термин аккреционный диск обычно употребляется для обозначения газового диска вокруг массивного (по сравнению с диском) компактного объекта. В двойных звездных системах аккреционные диски - это диски, образуемые газом, перетекающим на компактные звёзды (белые карлики, нейтронные звёзды, чёрные дыры) от звёзд-компаньонов. Если система не является двойной, то аккреционные диски образуются в результате дисковой аккреции межзвёздного газа на одиночные компактные звёзды. Аккреционные диски проявляют себя рентгеновским излучением. Они ответственны за многие наблюдательные проявления двойных рентгеновских источников, вспышечных (взрывных) переменных звёзд, звёзд типа U Близнецов и т.д. Определяющей чертой аккреционного диска является переход гравитационной энергии аккрецирующего (падающего) на компактный объект вещества в тепловую энергию с последующим излучением. Весьма часто понятием "аккреционный диск" пользуются в более широком смысле, подразумевая газовый диск, для которого существенен процесс падения вещества на аккумулирующий центр. Примером могут служить протозвездные, протопланетные галактические диски. Дисковая аккреция вещества (аккреция вещества с большим моментом количества движения, приводящая к образованию аккреционного диска) на сверхмассивные чёрные дыры является одним из наиболее распространённых объяснений активности ядер галактик и квазаров. Таким образом, с точки зрения физических процессов любые результаты, относящиеся к газовым дискам, в полной мере относятся к аккреционным дискам. Для дисков, вращающихся вокруг компактных объектов, самогравитация газа несущественна.

Теоретические исследования аккреционных звездных дисков вблизи гравитирующих тел проводятся уже много лет. Наблюдения аккреционных дисков свидетельствуют о значительном потоке вещества на аккретор. Это возможно лишь при условии передачи наружным частям диска большей доли момента вращения аккрецирующего газа. Таким образом, одной из ключевых проблем физики аккреционных дисков является вопрос о механизмах отвода углового момента, обеспечивающих падение вещества на гравитирующий центр.

В качестве механизма отвода углового момента предлагались различные физические процессы, например, турбулентная вязкость [1]. В своей классической работе [2] Шакура и Сюняев отметили, что турбулентность в диске может обеспечить эффективную вязкость, которая будет гораздо больше молекулярной вязкости. Именно такая мощная турбулентность способна переработать кинетическую энергию падающего на аккреционный диск вещества в энергию излучения. Эта теория получила название «теория а-диска». Под а понимается безразмерный параметр, который показывает, насколько эффективно турбулентность приводит к переносу углового момента.

Известны также попытки использовать для объяснения падения углового момента магнитную вязкость. В [3] показано, что гидродинамически устойчивый аккреционный диск при наличии даже слабого магнитного поля становится неустойчивым, и в диске возникают турбулентные течения. Впервые это явление было рассмотрено в [4], где было показано, что при определенных распределениях магнитного поля и угловой скорости возникает неустойчивость, которая была названа магниторотационной. Появление такой неустойчивости приводит к перераспределению углового момента и его отводу к внешним частям диска. Однако для реализации такого механизма необходимо наличие магнитного поля. Из наблюдений известно, что существует довольно много систем, в которых магнитное поле настолько мало, что никак себя не проявляет.

Известны также другие, не столь распространенные, механизмы перераспределения углового момента. Перечислим главные из них: приливное взаимодействие [5-7], спиральные ударные волны [8-11], конвекция [12-15], ветер от аккреционного диска и джеты (струйные выбросы) [16-19], перенос углового момента распространяющимися волнами [20-22], а также параметрическая [23, 24] и бароклинная [25-27] неустойчивости. Анализ различных способов передачи момента показывает, что все рассматриваемые механизмы встречаются с определенными трудностями при объяснении свойств аккреционных дисков.

Согласно сложившимся представлениям турбулентная вязкость сдвигового течения носит локальный динамический характер и ведет к локальному излучению тепловой энергии [28]. В связи с этим важной проблемой последнего времени является низкая температура диска, фиксируемая в наблюдениях, по сравнению с температурой, получаемой в ряде существующих моделей при известной наблюдаемой интенсивности излучения и известном темпе аккреции. Существует большое количество работ, пытающихся объяснить данное несоответствие и рассматривающих переход кинетической энергии турбулентного движения не только в тепло, но и в другие виды энергии. В связи с этим появилась теория адвекции в аккреционных дисках [28], где предложена модель оптически тонких дисков с двухтемпературным состоянием плазмы для ионов и электронов, в которой локально излучается лишь некоторая часть тепловой энергии за счет процессов, ведущих к излучению энергии электронами. Другая же часть энергии переносится с потоком вещества к центру диска и, в случае черной дыры, поглощается ею, а для нейтронных звезд переизлучается с поверхности звезды.

Данная работа является развитием цикла работ Олега Михайловича Белоцерковского [29], посвященных исследованию возникновения в свободном сдвиговом течении крупных упорядоченных вихревых структур в результате развития малых возмущений. Предлагаемая работа рассматривает проблему возникновения и развития крупномасштабного вихревого движения из начальных малых возмущений. Эта проблема представляет большой интерес для различных дисковых течений в астрофизических условиях [30-33]. Появление крупномасштабного вихревого движения приводит к переносу углового момента крупными вихревыми структурами, образующимися в сдвиговом течении в аккреционном диске. При перераспределении углового момента крупными структурами не происходит заметного нагрева вещества. В таком процессе оказывается возможным получить требуемую скорость аккреции при достаточно низкой температуре вещества аккреционного диска.

Таким образом, основной задачей работы является нахождение нового механизма перераспределения углового момента, ведущего к аккреции с меньшим локальным выделением тепловой энергии.

Большой интерес также представляет частный случай, представляющий собой процесс эволюции малого возмущения, внесенного локально вблизи внешней границы аккреционного диска, где плотность вещества мала (на несколько порядков меньше средней плотности вещества диска). Возмущение скорости и плотности на краю диска может быть связано с различными физическими процессами. Например, аккреция вещества с другим угловым моментом на внешний край аккреционного диска приводит к такому возмущению. В [34] рассмотрен процесс течения вещества в окрестности аккреционного диска с противоположным угловым моментом. В результате такого взаимодействия газ из внешней области диска с малым угловым моментом начинает активно аккрецировать внутрь диска, возмущая вещество внутри него и приводя к перераспределению момента. Процессы, приводящие к данному возмущению, также могут возникать в двойных системах при изменении режима истекания вещества с одной из компонент. Похожее возмущение возникает в случае пролета тяжелого тела через аккреционный диск. В [35] рассмотрено возмущение диска, вызванное тяжелым телом, прошедшим сквозь аккреционный диск. Приливное возмущение от такого тела приводит к возмущению угловой скорости в области пролета, даже если плотность в этой области не очень большая. В

35] исследовано течение, возникающее на верхней и нижней границах аккреционного диска, и показана возможность появления крупных вихревых структур. В данной работе более детально исследуется появление новых структур течения при возникновении возмущения такого типа.

За последние полвека разработано большое количество разностных схем для численного решения задач газовой динамики. В гравитационной газовой динамике и в прикладных задачах астрофизики в общей структуре течения, как правило, присутствуют сильные ударные волны и контактные разрывы. Впервые конечно-разностная схема для расчета течений с разрывами была предложена в 1950г. фон Нейманом и Рихтмайером [36]. По мере развития методов вычислительной математики для исследования разрывных течений разрабатывались более точные и удобные методы.

Уравнения Эйлера представляют собой систему нелинейных гиперболических уравнений. С математической точки зрения наиболее интересной особенностью гиперболических систем является возможность появления разрывных решений даже из гладких начальных данных. Эти разрывы являются математической идеализацией резких градиентов, возникающих в гладких решениях уравнений Навье-Стокса в областях быстрого изменения параметров на расстояниях, много меньших, чем характерные размеры задачи. Именно использование математических особенностей гиперболических уравнений позволяет строить эффективные численные методы, несмотря на то, что получающиеся численные решения должны быть почти разрывными. Кроме того, для решения гиперболических систем можно, как правило, использовать явные методы, что позволяет надеяться на получение высокой вычислительной эффективности и существенное сокращение времени счета при распараллеливании методом декомпозиции области с использованием коммуникационной библиотеки MPI [37].

Исторически первые схемы для решения уравнений газовой динамики либо давали очень размазанные разрывы, как, например, схема Лакса

Фридрихса [38, 39], либо приводили к возникновению сильных осцилляций за ударной волной, как, например, схема Лакса-Вендроффа [40]. Очевидно, что общее направление развития численных методов для решения уравнений газовой динамики лежит на пути уменьшения численной вязкости при сохранении монотонности схемы. Для уменьшения численной вязкости схемы можно использовать характеристические свойства гиперболической системы. Впервые это использовалось в схеме Куранта-Изаксона-Риса [41], обладающей минимальной вязкостью из всех линейных монотонных схем первого порядка аппроксимации для линейной системы гиперболических уравнений. Построение монотонных схем более высокого порядка аппроксимации входит в противоречие с теоремой Годунова [42], утверждающей, что из трех свойств разностной схемы для линейной системы гиперболического типа — линейности, монотонности, аппроксимации с порядком выше первого — одновременно могут иметь место только два. Для преодоления этого запрета предложены схемы линейной гибридизации, представляющие из себя суперпозицию схемы повышенного порядка аппроксимации, которая дает более высокую точность в областях гладкости, и схемы первого порядка с достаточной вязкостью, обеспечивающей монотонность около скачков [43-47]. Дальнейшее развитие этого подхода привело к схемам с ограничителями анти диффузионных потоков, являющимися нелинейными функциями анализаторов гладкости [48-55].

Еще одним важным свойством разностной схемы является требование консервативности, то есть выполнения законов сохранения в разностном виде. Известно (см., например, [56-59]), что схемы, не обладающие этим свойством, могут давать решения, весьма далекие от истинного, в частности, ударные волны, движущиеся с неправильными скоростями. Для обеспечения консервативности схемы естественно использовать запись схемы в потоковом виде, то есть когда искомые решения - функции получаются в результате разностного дифференцирования функции соответствующего потока. Для вычисления потоков на границах разностных ячеек в 1959

Годуновым [42, 60] предложен метод, основанный на решении задачи о распаде произвольного разрыва (или задачи Римана). Таким образом, сделан важнейший шаг от схем, базирующихся на разложении в ряд Тейлора и предполагающих, что решение гладкое, к схемам, основанным на взаимодействии газодинамических разрывов. Дальнейшее развитие этого подхода привело к схемам годуновского типа с приближенным решением задачи о распаде разрыва [61-63]. Схема Роу является монотонной и имеет меньшую численную вязкость, чем, например, схема Лакса-Фридрихса. Однако низкая численная вязкость схемы Роу приводит к образованию нефизических ударных волн разрежения в приближенных решениях. Модификация схемы Роу с помощью метода Эйнфельдта [64] позволяет этого избежать. Для построения схемы повышенного порядка аппроксимации к схеме Роу-Эйнфельдта первого порядка аппроксимации добавляются антидиффузионные потоки в форме Ошера [53], сохраняющие свойство монотонности. Сравнение четырех различных разностных схем рассмотренных типов: Лакса-Фридрихса, Роу, Роу-Эйнфельдта, Роу-Эйнфельдта-Ошера повышенного порядка аппроксимации проведено в работе О.А. Кузнецова [65]. В ней показано, что монотонная схема Лакса-Фридрихса имеет большую аппроксимационную вязкость, что приводит к сильному размазыванию решений в области резких изменений свойств среды. Схема Роу-Эйнфельдта, лишенная недостатков схемы Лакса-Фридрихса и схемы Роу, дает хорошие, но все же сглаженные решения, что обусловлено ее первым порядком аппроксимации. Среди всех рассматриваемых схем наиболее верно и точно передает решение газодинамических задач схема Роу-Эйнфельдта-Ошера третьего порядка аппроксимации. В диссертации проведено дополнительное сравнение схем Роу-Эйнфельдта и Роу-Эйнфельдта-Ошера и показано, что для моделирования вихревых течений в аккреционных дисках целесообразно использовать схему Роу-Эйнфельдта-Ошера.

Данная диссертационная работа посвящена математическому моделированию течений в аккреционных звездных дисках. Целью работы является исследование механизма перераспределения углового момента крупными вихревыми структурами, возникающими в аккреционном диске, при котором не происходит существенного нагрева вещества диска. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

Заключение

В диссертационной работе рассмотрена физико-математическая модель течения вещества в аккреционном звездном диске с околокеплеровским и кеплеровским распределением скорости. На основе аналитического решения выбрано специальное стационарное начальное состояние аккреционного звездного диска с околокеплеровским распределением скорости в двумерном случае, исключающее влияние граничных условий. Обоснован выбор для решения поставленных задач явного метода Роу-Эйнфельдта-Ошера третьего порядка аппроксимации. Предложен алгоритм распараллеливания и создан программный комплекс, позволившие эффективно решить поставленные задачи на многопроцессорных вычислительных системах. Разработанный комплекс используется в качестве теста для определения и улучшения характеристик суперкомпьютеров в МСЦ РАН.

Изучен процесс образования крупных вихревых структур в сдвиговом течении аккреционных звездных дисков. Показано, что малые возмущения, внесенные в начальное равновесное состояние аккреционного диска в сравнительно небольшой области, развиваются в крупные структуры, захватывая значительную часть расчетной области, и возникающее в результате течение является вихревым. Показано, что возникновение крупных структур приводит к значительному перераспределению суммарного углового момента в аккреционных дисках, причем такое перераспределение может происходить без существенного нагрева вещества диска, что согласуется с наблюдениям.

1. Шакура Н.И. Дисковая модель аккреции газа релятивистской звездой в тесной двойной системе. Астрономический Журнал, 49, 921-929, 1972.

2. Shakura N.I., Syunyaev R.A. Black holes in binary systems. Observational appearance. Astronomy and Astrophysics, 24, 337-355, 1973.

3. Balbus S., HawleyJ. A powerful local shear instability in weakly magnetized disks. I. Linear analysis. II. Nonlinear evolution. Astrophysical Journal, 376, 214-233, 1991.

4. Велихов Е.П. Устойчивость течения идеально проводящей жидкости между вращающимися цилиндрами в магнитном поле. Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики, 36, 1399-1404, 1959.

5. Papaloizou J., Pringle J.E. Tidal torques on accretion discs in close binary systems. Royal Astronomical Society, Monthly Notices, 181, 441-454, 1997.

6. Lin D.N.C., Papaloizou J.C.B., Savonije G.J. Propagation of tidal disturbance in gaseous accretion disks. Astrophysical Journal, 365, 748-756, 1990.

7. Dgani R., Livio M., Regev O. On the effects of tidal interaction on thin accretion disks: an analytic study. Astrophysical Journal, 436, 270-272, 1994.

8. Michel F.C. Hydraulic jumps in 'viscous' accretion disks. Astrophysical Journal, 279, 807-813, 1984.

9. Sawada K., Matsuda Т., Hachisu I. Spiral shocks on a Roche lobe overflow in a semi-detached binary system. Royal Astronomical Society, Monthly Notices, 219, 75-88, 1986.

10. Spruit H.C. Stationary shocks in accretion disks. Astronomy and Astrophysics, 184, 173-184, 1987.

11. Syer D., Narayan R. Steady flow on to a conveyor belt: causal viscosity and shear shocks. Royal Astronomical Society, Monthly Notices, Soc. 262, 749763, 1993.

12. Bisnovatyi-Kogan G.S., Blinnikov S.I. A hot corona around a black-hole accretion disk as a model for Cygnus X-l. Soviet Astronomy Letters, 2, 191193, 1976.

13. Paczynski B. Close binaries. Comments on Astrophysics, 6, 95-98, 1976.

14. Shakura N.I., Sunyaev R.A., Zilitinkevich S.S. On the turbulent energy transport in accretion discs. Astronomy and Astrophysics, 62, 179-187, 1978.

15. Lin D.N.C., Papaloizou J. On the structure and evolution of the primordial solar nebula. Royal Astronomical Society, Monthly Notices, 191, 37-48, 1980.

16. Blandford R.D., Payne D.G. Hydromagnetic flows from accretion discs and the production of radio jets. Royal Astronomical Society, Monthly Notices, 199, 883-903, 1982.

17. Lubow S.H., Papaloizou J.C.B., Pringle J.E. On the stability of magnetic wind-driven accretion discs. Royal Astronomical Society, Monthly Notices, 268, 1010-1014, 1994.

18. Cao X., Spruit H.C. Instability of an accretion disk with a magnetically driven wind. Astronomy and Astrophysics, 385, 289-300, 2002.

19. Lynden-Bell D. On why discs generate magnetic towers and collimate jets. Royal Astronomical Society, Monthly Notices, 341, 1360-1372, 2003.

20. Lin D.N.C., Papaloizou J. Tidal torques on accretion discs in binary systems with extreme mass ratios. Royal Astronomical Society, Monthly Notices, 186, 799-812, 1979.

21. Lubow S.H. Vertically driven resonances in accretion disks. Astrophysical Journal, 245, 274-285, 1981.

22. Vishniac E.T., Diamond P. A self-consistent model of mass and angular momentum transport in accretion disks. Astrophysical Journal, 347, 435447, 1989.

23. Goodman J. A local instability of tidally distorted accretion disks. Astrophysical Journal, 406, 596-613, 1993.

24. Lubow S.H., Pringle J.E., Kerswell R.R. Tidal instability of accretion disks. Astrophysical Journal, 419, 758-767, 1993.

25. Cabot W. The nonaxisymmetric baroclinic instability in thin accretion disks. Astrophysical Journal, 277, 806-812, 1984.

26. Li H., Finn J.M., Lovelace R.V.E., Colgate S.A. Rossby wave instability of thin accretion disks. II. Detailed linear theory. Astrophysical Journal, 533, 1023-1034, 2000.

27. Klahr H.H., Bodenheimer P. Turbulence in accretion disks: vorticity generation and angular momentum transport via the global baroclinic instability. Astrophysical Journal, 582, 869-892, 2003.

28. Narayan R., Yi I. Advection-dominated accretion: underfed black holes and neutron stars. Astrophysical Journal, 452, 710-735, 1995.

29. Белоцерковский O.M., Опарин A.M., Чечеткин B.M. Турбулентность: новые подходы. Москва: Наука, 2006.

30. Lominadze J.G., Chagelishvili G.D., Chanishvili R.G. The evolution of nonaxisymmetric shear perturbations in accretion disks. Soviet Astronomy Letters, 14,364-367, 1988.

31. Chagelishvili G.D., Zahn J.-P., Tevzadze A.G., Lominadze J.G. On hydrodynamic shear turbulence in Keplerian disks: Via transient growth to bypass transition. Astronomy and Astrophysics, 402, 401-407, 2003.

32. Bodo G., Chagelishvili G.D., Murante G., Tevzadze A.G., Rossi P., Ferrari A. Spiral density wave generation by vortices in Keplerian flows. Astronomy and Astrophysics, 437, 9-22, 2005.

33. Kuznetsov O.A., Lovelace R.V.E., Romanova M.M., Chechetkin V.M. Hydrodynamic simulations of counterrotating accretion disks. Astrophysical Journal, 514, 691-703, 1999.

34. Воеводин B.B., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления, Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2002.

35. Lax P.D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computations. Communications on pure and applied mathematics, 7, 159-197, 1954.

36. Friedrichs K.O. Symmetric hyperbolic linear differential equations. Communications on pure and applied mathematics, 7, 345-392, 1954.

37. Lax P.D., Wendroff B. Difference schemes for hyperbolic equations with high order of accuracy. Communications on pure and applied mathematics, 17,381-398, 1964.

38. Courant R., Issacson E., Rees M. On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences. Communications on pure and applied mathematics, 5, 243-254, 1952.

39. Годунов C.K. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики. Математический сборник, 47(89), 271-306, 1959.

40. Федоренко Р.П. Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2, 1122-1128, 1962.

41. Гольдин В.Я., Калиткин Н.Н., Шишова Т.В. Нелинейные разностные схемы для гиперболических уравнений. Журнал вычислительной математики и математической физики, 5, 938-944, 1965.

42. Harten A., Zwas G. Self-adjusting hybrid schemes for shock computations. Journal of Computational Physics, 9, 568-583, 1972.

43. Boris J.P., Book D.L. Flux corrected transport. I. SHASTA, a fluid transport algorithm that works. Journal of Computational Physics, 11, 38-69, 1973.

44. Zalesak S.T. Fully multidimensional flux-corrected transport algorithms for fluids. Journal of Computational Physics, 31, 335-362, 1979.

45. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws. Journal of Computational Physics, 49, 357-393, 1983.

46. Sweby P.K. High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws. SI AM Journal on numerical analysis, 21, 995-1011, 1984.

47. Chakravarthy S.R., Osher S. A new class of high accuracy TVD schemes for hyperbolic conservation laws. AIAA Paper, 85-0363, 1-11, 1985.

48. Вязников K.B., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Квазимонотонные разностные схемы для уравнений газодинамики. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, Москва, 1987, №175.

49. Вязников К.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Построение монотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для систем уравнений гиперболического типа. Математическое моделирование, 1989, 1, 95-120, 1989.

50. Тихонов А.Н., Самарский А.А. О сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициентов. Доклады АН СССР, 124, 1529-1532, 1959.

51. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. Москва: Наука, 1992.

52. Le Veque R.J. Numerical methods for conservation laws, Basel: Birkhauser, 1990.

53. Kimoto P.A., Chernoff D.F. Convergence properties of finite-difference hydrodynamics schemes in the presence of shocks. The astrophysical journal supplement series, 96, 627-641, 1995.

54. Годунов C.K., Забродин A.B., Прокопов Г.П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1, 1020-1050, 1961.

55. Osher S., Solomon F. Upwind difference schemes for hyperbolic systems of conservations laws. Mathematics of computation, 38, 339-374, 1982.

56. Harten A., Lax P.D., van Leer B. On upstream differencing and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws. SIAM Review, 25, 35-61, 1983.

57. Roe P.L. Characteristic-based schemes for the Euler equations. Annual review of fluid mechanics, 18, 337-365, 1986.

58. Einfeldt B. On Godunov-type methods for gas dynamics. SIAM Journal on numerical analysis, 25, 294-318, 1988.

59. Кузнецов О.А. Численное исследование схемы Роу с модификацией Эйнфельдта для уравнений газовой динамики. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, Москва, 1998, №43.

60. Абакумов М.В., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Стационарные дисковые структуры около гравитирующих компактных объектов. Астрономический э/сурнал, 73, 407-418, 1996.

61. Абакумов М.В., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Исследование равновесных конфигураций газового облака вблизи гравитирующего центра. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, Москва, 1995, №33.

62. Абакумов М.В., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Сравнение результатов математического моделирования структуры аккреционного диска двойной звездной системы в двумерном и трехмерном приближении. Астрономический э/сурнал, 80, 14-22, 2003.

63. Абакумов М.В., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Газодинамические процессы в аккреционном диске двойной звездной системы. Математическое моделирование, 10, 35-46, 1998.

64. Абакумов М.В., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Математическое моделирование структуры аккреционных дисков в двойных звездных системах. Астрономический журнал, 78, 505-513, 2001.

65. Луговский А. Ю., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Численные методы для моделирования развития турбулентности в аккреционных дисках. Препринт МАКС Пресс, Москва, 2003.

66. Roe P.L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes. Journal of Computational Physics, 43, 357-372, 1981.

67. Woodward P., Colella P. The numerical simulations of two-dimensional fluid flow with strong shocks. Journal of Computational Physics, 54, 115173, 1984.

68. Абакумов M.B., Мухин С.И., Попов Ю.П., Попов С.Б. Особенности схемы Roe при расчете задач обтекания. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, Москва, 1996, №46.

69. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Серия Теоретическая физика. Том 4. Москва: Наука, 1986.

70. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Том 1. Москва: Наука, 1970.101/ Л J#n

71. Кокошинская Н.С., Павлов Б.М., Пасконов В.М. Численное исследование сверхзвукового обтекания тел вязким газом. Москва: МГУ, 1980.

72. Луговский А. Ю., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Эволюция мелкомасштабных возмущений в аккреционных дисках. Препринт МАКС Пресс, Москва, 2005.

73. Велихов Е.П., Луговский А.Ю., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Роль крупномасштабной турбулентности в перераспределении углового момента в аккреционных звездных дисках. Астрономический журнал, 84, 177-184, 2007.

74. Луговский A. IO., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Развитие крупномасштабной неустойчивости в аккреционных звездных дисках и ее влияние на перераспределение углового момента. Астрономический журнал, 85, 901-905, 2008.

75. Белоцерковский О.М., Опарин A.M. Численный эксперимент в турбулентности: от порядка к хаосу. Москва: Наука, 2001.

76. Фридман A.M., Бисикало Д.В. Природа аккреционных дисков тесных двойных звезд: неустойчивость сверхотражения и развитая турбулентность. Успехи физических наук, 176, 577-604, 2008.