автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование струйных МГД-течений в задачах астрофизики

на правах рукописи

РГ8 ОД Устюгова Галина Валентиновна

I ' г.:.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУЙНЫХ МГД-ТЕЧЕНИИ В ЗАДАЧАХ АСТРОФИЗИКИ.

Специальность: 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в отрасли физико-математических наук).

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук •

Москва-1996

Работа выполнена в Институте прикладной математики им.М.В.Келдыша Российской Академии Наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Чечеткии В.М.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Бисноватый-Коган Г.С. доктор технических наук, профессор Савичев В.В.

Ведущая организация: Государственный Астрономический институт

им.П.К-Штернберга при МГУ им.М.В.Ломоносова

Защита состоится " "_ 1996 г. в _ часов на

заседании диссертационного совета Д 002.40.03 Института прикладной математики РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ РАН. Автореферат разослан 1996 года.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук

С^**— Галанин М П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Астрономические наблюдения за областями звездообразования показали. что многочисленным молодым звездам сопутствуют биполярные струн газа (джеты). Наблюдения говорят также о том, что биполярные течения возникают в окрестностях звезд, окруженных аккреционным диском. В настоящее время общепризнано, что механизм ускорения вещества в этих струях - магнитный. Аккреционный щек по многим причинам является подходящим источником джета. Холодный диск всегда вращается со скоростью порядка "первой космической" и обеспечивает большую центробежную силу. Так что истечение, из аккреционного диска может происходить со значительной частя его поверхности: от внутреннего радиуса г. вблизи центра звезды до радиусов ~ 103г. . Естественно, что истечение будет биполярным.

Наиболее важный аспект мапгитногидродинамического истечения из диска - эффективный отвод момента вращения и энергия гравитационной связи вещества диска. Эффективный отвод углового момента существенен, так как галактический газ, из которого формируются звезды, имеет удельный угловой момент на пять - шесть порядков больший, чем вещество звезд. Естественно поэтому предположить, что угловой момент отводится от аккреционного диска н основной механизм этой потери связан с МГД-истечением.

Биполярные течения возникают не только в "магнитных" звездах. Считается, что межгалактические радноджеты связаны с аккреционными дисками вокруг массивных черных дыр в активных галактических ядрах. При построении моделей этих объектов возникают те же проблемы отвода углового момента.

Очевидное сходство между течениями в столь различных системах говорит о том, что природа центрального объекта, по-видимому, не важна, а играет роль лишь глубина создаваемой им гравитационной - потенциальной ямы. Ясно также, что энергетическим источником течения является освобождающаяся энергия гравитационной связи.

Аккреционный диск с заданным темпом аккреции освобождает определенное ' количество энергии связи частиц, движущихся по спиралям по направлению к центральному объекту. В теории Н.И.Шакуры и Р.А.Сюняева освобождающаяся, гравитационная энергия

связи идет на нагрев диска, а угловой момент переносится вдоль диска наружу. Однако в этой теории нет механизма возникновения биполярного течения. Присутствие даже умеренного магнитного поля, пронизывающего аккреционный диск, открывает в этом смысле новые возможности. Гравитационная энергия связи, осуждающаяся в процессе аккреции, может быть преобразована в механическую энергию МГД-истечеиия. Кроме того угловой момент может быть эффективно отведен этим течением с поверхности диска.

В связи с этим актуальной научной проблемой является математическое моделирование осесимметрнчных МГД-течений в гравитационном поле н выяснение механизмов ускорения плазмы в таких течениях.

Состояние вопроса.

Начало теоретического исследования стационарных МГД-течений в гравитационном поле можно отнести к работе E.J.Weber & LDevis, • которой рассматривалась задача об интенсивности переноса углового момента в солнечном ветре. Для этого интегрировались уравнения идеальной стационарной магнитной гидродинамики в экваториальной плоскости. Были выписаны интегралы движения и показано, что условия гладкого прохождения течения через звуковые точки выделяют единственное решение и связывают интегралы движения между собой.

Дальнейшее развитие эта теория получила в работе T.Sakurai, в которой была установлена область параметров, при которых существует стационарное решение. Аналогичные работы, но для релятивистских уравнений выполнены В.СБескиным с соавторами СВ.Боговаловым.

Исследование МГД-истечений из дисков было начато в работе R.D.BIandford & D.G.Payne, в которой был предложен центробежный механизм истечения вещества из диска и его ускорения в джете. Суть этого механизма состоит в следующем. Пусть имеется точечный гравитационный притягивающий центр массы М и вращающийся вокруг него кеплеровский диск, то есть диск, частица которого, отстоящая на расстоянии г от гравитационного центра имеет кеплеровскую угловую скорость ы^ = (СМ/г3),/2. Если идеальнопроводящая плазма находится в равновесии в осесимметрнчном магнитном поле и гравитационном поле точечного источника, то частицы, расположенные на силовой линии магнитного поля, имеют одинаковую

угловую скорость. Жидкая частица, "приклеенная" к силовой линии движется как бы в поле, эффективный потенциал которого складывается из гравитационного потенциала н потенциала центробежной силы. На диске частица находится в состоянии равновесия. Если силовая линия наклонена к оси на угол меньше 30° (безразлично в какую сторону), то это положение равновесия устойчиво, если угол больше 30° - неустойчиво. • Поэтому вдоль силовых линий, наклоненных к оси симметрии более чем на 30°, должно возникать течение от диска.

Дальнейшие теоретические исследования в этом направлении связаны с анализом интегралов движения вдоль силовых линий поля и уравнения на функцию тока, которое является обобщением уравнения Греда-Шафранова для неподвижной плазмы в осеснмметричном магнитном поле. Так как проблема в целом пока не поддается решению, приходится делать те или иные предположения, проверить достоверность которых также затруднительно. Уже само предположение о существовании решения является весьма сильным. Упомянем здесь работы R. V.E.Lovelace, J.C.LWang, M.E.Sulkanen, T.Sakurai, G.Peiletier & R.E.Pudritz.

Несколько другое направление представляют работы R. V.E.Lovelace с соавторами. Основная идея состоит в том, что задавшись какой-либо разумной конфигурацией магнитного поля усреднить уравнения, описывающие стационарную динамику джета, по поперечному сечению. В результате такого усреднения возникают ОДУ, где независимой переменной является г - расстояние вдоль оси симметрии. Исследование этих ОДУ дает информацию о характере течения.

Следует сказать, что при таком подходе теряются индивидуальность силовых линий в том смысле, что усреднение производится без учета наклона силовых линий к оси, в то время как характер течения, по-видимому, существенно зависит от этого наклона. Тем не менее, полученные таким способом результаты, показывают возможность разгона вещества до сверхбыстрых магнитозвуковых скоростей, дают возможность вычислить темп потери массы и момента импульса через джет. Аналогичная работа выполнена N.Koupelis & H.MVan Horn.

Задачи подобного типа рассматривались также в связи с разработкой плазменных ускорителей.

В принципе какую-то информацию о решении могло бы дать

математическое моделирование МГД-истечения из диска, но такие попытки практически не предпринимались.

В работе Y.Uchida & K.Shibata численно исследовалось МГД-истечение из диска, причем рассматривалась внутренняя структура диска. Было получено течение типа "твиста", однако, так как начальные данные были существенно неравновесными, а просчитаный отрезок времени невелик, эти результаты нуждаются в уточнении.

В работах В.В.Савельева. В.М.Чечеткина н В.В.Савельева, Ю.М.Торопина, В.М.Чечеткина также рассматривалось биполярное течение, образующееся при сверхзвуковой аккреции вещества на околозвездный диск с упорядоченным магнитным полем. При этом проводимость плазмы считалась конечной.

Ни в одной из указанных работ не было получено стационарное решение или хотя бы просчитан сколь-нибудь большой отрезок времени.

В настоящей работе для численного интегрирования уравнений идеальной МГД в эйлеровых координатах использовалась квазимонотонная разностная схема годуновского типа повышенного порядка аппроксимации. Применительно к уравнениям - газовой динамики таким схемам посвящено множестм работ. Для уравнений МГД по-видимому первая работа принадлежит M.Brio & C.CWu. Здесь для уравнений одномерной МГД предлагается разностная схема, в которой алгоритм вычисления потоков аналогичен предложенному P.LRoe для уравнений газовой динамики. Как оказалось прямая аналогия возможна лишь в случае показателя адиабаты у = 2. Если у * 2, то провести единообразное усреднение всех величин на границах расчетных интервалов не удается. Впрочем расчеты, выполненные как автором, так и другими вычислителями, показали, что способ усреднения не сильно влияет на результаты расчетов. В дальнейшем разностные схемы для одномерных уравнений МГД были предложены A.LZachary & Ph.Colella и W.Dai & P.R.Woodward. В работах D.Ryu & T.W.Jones и D.Ryu, T.W.Jones & A.Frank описан еще один вариант вычисления потоков и проведены многочисленные tecTOBbie расчеты задач распада МГД-разрыва.

Во всех указанных работах по численному интегрированию уравнений МГД рассматривается проблема, на которую указали M.Brio & C.C.Wu, о существовании составных волн. Речь идет о существовании медленной (или быстрой) ударной волны в которой

поперечное (к направлению распространения) магнитное поле меняет знак. К скачку примыкает простая медленная (быстрая) волна, так что за фронтом скорость газа относительно фронта равняется медленной (быстрой) магнитнозвуковой скорости. Волна, в которой поперечное поле меняет знак, не является эволюционной, однако во всех указанных работах такая волна получена в результате численного решения задачи о распаде МГД-разрыва с соответствующими начальными данными. Эта задача имеет и другое решение, в котором изменение знака поперечного поля происходит в альфвеновской волне. Таким образом, указанная задача не имеет единственного решения, во всяком случае по состоянию на сегодняшний день.

Отметим, что имеются и другие методы численного интегрирования уравнений МГД.

Цель работы.

Цель настоящей работы - средствами математического моделирования получить ответы на вопросы: как формируется джет; существуют ли стационарные МГ'Д-истечення из кеплеровского диска и в какой области параметров их следует искать; каков механизм ускорения вещества в джете.

Научная новизна.

Разработаны вычислительные алгоритмы для численного интегрирования двумерных уравнений идеальной магнитной гидродинамики с осевой симметрией для адиабатического и изотермического случаев. Эти алгоритмы основаны на идеях построения ТУЭ-схем для гиперболических систем уравнений. Указанные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ для персональных компьютеров. С помощью этого комплекса программ проводились расчеты осесиммгтричных МГД-течений во внешнем гравитационном поле, в основном с целью получения стационарных режимов . методом установления. Впервые получено стационарное решение с переходом течения через все . звуковые поверхности. Изучена структура этого течения и выяснен механизм ускорения вещества. Установлено, что на плоскости параметров задачи все стационарные решения изображаются точками на некоторой гладкой кривой.

Апробация результатов диссертации. Материалы диссертации докладывались на Международном совещании "Пограничные объекты между астрофизикой и физикой частиц" (Италия, о.Вулкано, 1994г.), на "Международном симпозиуме по общей теории относительности памяти Марселя Гроссмана" (США, Стенфорд, 1994г.), на "17-ы Техасском симпозиуме по реля1 ивистской астрофизике и ' космологии" (Германия, Мюнхен, 1994г.), на "1-й Международной конференции по космомикрофнзике "Космиои-94" (Москва, 1994г.), на "Российских совещаниях по Внегалактической астрономии" (Пущине, 1995г. и 1996г.), на совещании по "Физике космической плазмы" (Пущино, 1995г.), на совещании "Перенос энергии в радиогалактиках и квазарах" (США, Алабама, 1995г.), на семинарах в ИПМ им.М.В.Келдыша РАН.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в шести работах, указанных в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации включает страниц, из которых страниц занимают рисунки.

Список литературы состоит из 49 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность темы диссертации, анализируется современное состояние исследуемого вопроса, формулируется цель работы. Дается' краткое содержание диссертации по главам.

Первая глава посвящена теоретическому исследованию .равновесия идеальнопроводящей плазмы в магнитном и гравитационном полях, стационарных МГД-течений в гратационном поле ' и их приложения к теории биполярных МГД-истечений от кеплеровского диска. В §1.1 рассматриваются осесимметричные равновесные конфигурации идеальнопроводящей плазмы в магнитном и гравитационном полях. Даётся вывод соотношений, связывающих величины на силовой линии полоидального магнитного поля, и уравнения типа Греда-Шафранова для функции тока. В §1.2

полученные уравнения применяются для анализа структуры диска, пронизанного полондальным магнитным полем. Показано, что толщина диска уменьшается по сравнению со случаем без магнитного поля. В §1.3 рассматриваются стационарные осесимметричные течения идеальнопроводящей плазмы в гравитационном поле. Выписаны интегралы движения, сохраняющиеся вдоль силовой линия полоидального магнитного поля или, что то же самое, вдоль линии тока полондальной скорости. Рассмотрены условия гладкого прохождения течения через альфвеновскую точку и дана физическая интерпретация интегралов движения. В §1.4 соотношения, полученные в §1.3, применяются для анализа МГД-истечення из кеплеровского диска в полондальноы поле монопольного типа. Показано, что, во-первых, на силовых линиях, наклоненных к оси симметрии более чем на 30°, истечение из диска происходит со сверхмедленной магнитозвуковой скоростью; во-вторых, альфвеновская поверхность расположена недалеко от диска на расстоянии ~ rD(*) вдоль силовой линии t » const , выходящей на точки г^pi) на диске.

Вторая глава посвящена разработке вычислительных алгоритмов для численного интегрирования уравнений идеальной МГД. В §2.1 рассматриваются вопросы построения "монотонных" разностных схем годуновского типа для гиперболических систем уравнений. За основу принята методика приближенного решения задачи Римана, предложенная P.LRoe для уравнений газовой динамики. Описывается методика преобразования "монотонной" схемы первого порядка аппроксимации в "монотонную" схему повышенного (выше первого) порядка аппроксимации. В §2.2 методика P.LRoe применена к системе одномерных уравнений идеальной МГД в эйлеровых переменных. Дополнительная (по сравнению с уравнениями газовой динамики) проблема, возникающая при этом, состоит в возможном вырождении собственных чисел матрицы системы (скоростей распространения возмущений) и возникающих при этом неопределенностях в формулах для собственных векторов и амплитуд волн. После раскрытия этих неопределенностей получены выражения для указанных величин, пригодные при любых соотношениях между альфвеновской и газодинамической скоростями звука. В §2.3 рассмотрены разностные схемы для двумерных уравнений идеальной МГД. Здесь дополнительной проблемой численного метода является несоленоидальность магнитного поля. Как известно в магнитной' гидродинамике соленондальность магнитного поля ( divH - 0 )

является следствием - самих уравнений, а плотность электрического тока | есть го1Н/4к . Поэтому представление магнитной силы в виде дмергенцин максвелловского тензора напряжений и виде силы Ампера [|,Н]/с являются эквивалентными. В консервативной разностной схеме это, вообще говоря, не так и возникает паразитная сила Н*(1|уН/4ж , которая может существенно исказить картину течения [15]. Чтобы этого избежать следует либо отказаться от консервативности разностной схемы, либо предпринимать специальные усжлня для сохранения соленоидальности поля на разностном уровне. Отметим, что вышесказанное относится также и к уравнению энергии. §2.4 посвящен аппроксимации граничных условий.

Третья глава посвящена численному моделированию двумерных осесимметричных истечений идеальнопроводящей плазмы из кеплеровского диска. В §3.1 рассматривается общая постановка задачи о формировании джета и истечении вещества из диска. Описываются различные типы граничных условий на диске, используемые в дальнейших расчетах. Определяются начальные распределения магнитного и газодинамических полей в короне. В §3.2 рассмотривается задача о формировании джета от кеплеровского диска в монопольном магнитном поле. Считается, что корона, окружающая центральную звезду и аккреционный диск, изоэнтропическая, а течение адиабатическое. Показано, что возникающее тороидальное магниное поле приводит к коллимации полоидальных силовых линий и ускорению вещества вдоль силовых линий магнитного поля. В §3.3 рассмотривается задача об истечении вещества из аккреционного кеплеровского диска в случае, когда магнитная энергия порядка гравитационной энергии, а тепловая энергия меньше магнитной. В этом случае магнитная сила оказывается доминирующей, по сравнению с газодинамическими. При этом магнитное поле задано в виде "обрезанного" монополя (магнитное поле равно полю монополя в окрестности оси вращения и спадает до нуля вдали от оси вращения). В этом случае во внешних областях короны поле отсутствует или ~ очень слабое, поэтому нет и тороидальной компоненты поля, коллимирующей джет. Отсутствие коллимации приводит к тому, что магнитное поле остается наклонным к .диску на протяжении большого отрезка времени и формируется большой градиент магнитного давления, выталкивающего вещество из диска. Путем прямого численного моделирования получены стационарные двумерные ссесимметричные МГД-течения из

кеплеровского диска. Проанализированны темпы потери момента импульса и энергии диском з» счет различных механизмов отвода. Показано, что основной отвод момента импульса обусловен магнитным полем. Рассмотрены проекции на силовые линии полоидального магнитного поля сил,- действующих на вещество джета. Сравнение этих сил позволило сделать выиод о магнитном механизме ускорения вещества.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ.

1. На основе уравнения Греда-Шафранова изучена структура магнитного диска. Рассмотрены стационарные осесимметричные МГД-течения в гравитационном поле и получено обобщенное уравнение Греда-Шафранова. Рассмотрено струйное МГД-течение в полоидальном поле монопольного типа, найдена форма и положение альфвеновской поверхности, а также основные характеристики течения.

2. На основе метода P.LRoe разработаны вычислительные алгоритмы для численного интегрирования эйлеровых уравнений идеальной изотермической и адиабатической МГД в одномерном и двумерном случаях. Предложен алгоритм реализации граничных условий различных типов.

3. Проведено численное моделирование струйных МГД-истечений из кеплеровского диска. Впервые получено стационарное решение с переходом течения через все звуковые поверхности. Изучена структура этого течения и выяснен механизм ускорения вещества. Установлено, что на плоскости параметров задачи все стационарные решения изображаются точками на некоторой гладкой кривой.

Основные результаты диссертации отражены в работах:

1. Колдоба A.B., Кузнецов O.A., Устюгова Г.В. Квазимонотонные разностные схемы повышенного порядка аппроксимации для уравнений МГД. - М.: ИПМ РАН, 1992, - Препринт №69.

2. Колдоба A.B., Устюгова Г.В. Разностные схемы для уравнений МГД в эйлеровых координатах (случай кратных корней). - М.:

ИМП РАН, 1996, - Препринт (в печати).

3. Koldoba А. V., Ustyugova G.V., Romanova М.М., Chechetkin V.M., Lovelace R.V.E., Simulation of Jet Formation from Magnetized Accretion Disk. Astrophysics and Space Science, 232, 241-261, 1995.

4. Romanova M.M., Ustyugova G.V., Koldoba A.V., Chechetkin V.M., Lovelace R.V.E., Simulation of MHD Outflows from Accretion Disk, 1994, Proceedings of the Vulcano Workshop: "Frontier Objects in Astrophysics and Particle Physics", pp 287-294, Bologna, Italy, 1994.

5. Ustyugova G.V., Koldoba A.V., Romanova M.M., Chechetkin V.M., Lovelace R.V.E., Jet formation from a magnetized accretion disk: simulations, 1994, Preprint of Cornell University CRSR 1068.

6. Ustyugova G.V., Koldoba A.V., Romanova M.M., Chechetkin V.M., Lovelace R.V.E., Magnetohydrodynamic simulations of outflows from accretion disk, ApJ (Letters), 1995, 439, L39-L42.

Подписано в печать 5.05.96 г. Заказ № 66. Тираж. 60 экз-

Отпечатано на ротапринтах в Институте прикладной математики АН