автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование канализированных радиационно ускоренных выбросов в астрофизических системах



На правах рукописи

005002098

ЛУКИН ВЛАДИМИР ВЛАДИМИРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАНАЛИЗИРОВАННЫХ РАДИАЦИОННО УСКОРЕННЫХ ВЫБРОСОВ В АСТРОФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1-7 НОЯ 2011

Москва 2011

005002098

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской академии наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Галанин Михаил Павлович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Фаворский Антон Павлович,

доктор физико-математических наук, профессор Чернин Артур Давидович.

Ведущая организация: Институт астрономии РАН.

Защита состоится 2011 года в часов на заседании

диссертационного совета Д 002.024.02 при ^Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН по адресу: 125047/"Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН.

Автореферат разослан " 2<? " р/с^Я^Я 2011 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук О.В. Щерица

>бщая характеристика работы Актуальность темы

Одним из наиболее интересных астрофизических процессов является обра: звание струйных выбросов, джетов (от англ. jet — струя), формирующихся в j драх активных галактик (например, эллиптической галактике М87), микро-зазарах (например, двойной звездной системе SS433), протозвездных объек-"IX и ряде других систем. Тонкие (поперечный размер обычно не превышает : зскольких парсек) биполярные струи вещества около таких объектов тянутся

_а тысячи световых лет, заканчиваясь гигантскими облаками газа.

Известно достаточно большое количество джетов, большинство из них наблюдается только в радиодиапазоне. Некоторые достигают миллионов свето-: >ix лет в длину. Например, размер джета, истекающего из ядра галактики !в£87, достигает 5000 световых лет. Струя состоит из быстро движущихся за-лженных частиц, сконцентрированных в узлы размером до 10 световых лет (зм. рис. I1), и имеет вид конуса с углом раствора около 6°. Почти всегда ядро лстемы испускает два джета в противоположных направлениях. Скорость те-iii и я вещества в джете галактики М87 достигает 0.8с, где с - скорость света, чорость вещества в джете SS433 равна ориентировочно 0.26с.

Область формирования струи столь компактна, что ее прямое наблюдение, правило, недоступно существующим телескопам. Согласно теоретическим эделям, струи формируются во внутренних частях аккреционных дисков во-

1 Mioduszewski A.J., ftuperi MP., Walker R.C. et al. A Summer of SS433: forty Days of VLBA Imaging // illetin of the American Astronomical Society. 2004. Vol. 36. P. 9G7.

Рис. 1. Результаты наблюдений объекта SS433 на телескопе VLB А

круг сверхмассивных черных дыр или нейтронных звезд. Главную роль в коллимации и сдерживании струи играет, вероятно, магнитное ноле.

Теоретические исследования струйных выбросов из окрестностей компактных гравитирующих объектов проводятся уже много лет. Существует достаточно много подходов к построению модели струйных выбросов, но на данный момент ни один из них не позволяет объяснить в рамках одной модели наблюдаемые уникальные свойства джетов, такие как высокая скорость течения вещества выброса, высокая степень коллимации потока, узловая структура джета. На формирование джета, очевидно, влияют процессы, разворачивающиеся в аккреционном диске, связанные с генерацией магнитиого поля и неустойчивостью аккрецирующей плазмы, процессы, связанные с переносом и переотражением излучения центрального объекта, а также характер падения межзвездной) вещества на центральный объект и трансформации энергии гравитационного ноля в кинетическую энергию плазмы. Полная самосогласованная модель этого явления, учитывающая все приведенные факторы, на данный момент не создана.

Предлагается использовать разные эффекты для объяснения различных наблюдаемых свойств джетов. Так, для объяснения высокой степени коллимации джета принято использовать магнитогидродинамические (МГД) модели, в которых коллимация потока происходит под действием осевой и частично азимутальной компонент магнитного поля. Существуют также чисто гидродинамические модели, объясняющие коллимацию потока давлением аккрецирующего па компактный объект вещества, однако подобные подходы не объясняют сохранения структуры джета на больших расстояниях.

Вопрос о происхождении высокой энергетики джета не имеет столь однозначного решения. Рассматриваются как магнитогидродинамические, так и радиационные модели. В последнем случае предполагается, что ускорение вещества производится давлением излучения центрального объекта и прилегающих к нему областей.

Разнообразие моделей приводит к тому, что различные стадии эволюции струйного выброса и различные его свойства рассматриваются в рамках разных моделей и разных постановок, которые зачастую не могут быть согласованы между собой. В диссертации для моделирования как процесса образования коллимирующего канала, так и ускорения плазмы в канале используется единая постановка в рамках радиационной магнитной гидродинамики.

Возможности аналитических оценок параметров струйных выбросов в общем неодномерном случае весьма ограничены, поэтому основным методом вы-

снения результата таких воздействий на структуру диска является вычисли-йльный эксперимент. Для моделирования струйного выброса в рамках ради-циошюй МГД необходимо использовать численный алгоритм, наиболее иол-о учитывающий особенности существенно различных но природе физических роцесеов, стоящих за решаемыми уравнениями. Так, численный метод должен авать решение, удовлетворяющее условию равенства нулю дивергенции маг-итного поля, а также должен позволять получать достаточно гладкие распре-еления ноля излучения во избежание паразитных осцилляций интенсивности мучения (а значит, и сил радиационного давления). Использование в модели укоряющего канала ведет к необходимости интегрирования полного уравпе-ия переноса излучения, включая интеграл рассеяния. В работе разработан

программно реализован численный алгоритм, позволяющий удовлетворить сем перечисленным требованиям.

Учет магнитных и радиационных эффектов приводит к высокой ресурсо-мкости расчетов, причем задача уже не может быть решена на персональном омньютере. Для физически адекватного моделирования излучения с учетом ассеяиия необходимо использовать сунеркомпыотерпую технику. В дисеерта-ии разработан программный комплекс для высокопроизводительных систем с бщей памятью, включающих графические ускорители, позволяющий решать одобные задачи за приемлемое время. Для создания параллельного кода ис-ользованы технологии ОрепМР и nVidia CUDA.

1^ель и задачи исследования

Работа посвящена математическому моделированию астрофизических груйных выбросов.

Целыо работы является:

а) построение и исследование методами вычислительного эксперимента ма-вматической модели образования, коллимации и ускорения плазменного груйного выброса из окрестностей компактного объекта, окруженного аккре-ирующим веществом, с учетом газодинамических, магнитных, гравитацион-ых и радиационных эффектов;

б) разработка численных методов и их реализация в виде программного омплекса для моделирования ускорения джетов в магнитогидродинамической

и радиационной магнитогидродинамической постановках.

Для достижения поставленной цели решены следующие основные задачи:

1. исследование в рамках идеальной магнитной гидродинамики процесса образования над гравитирукмцим объектом с тонким диском замагниченного

ускоряющего канала;

2. исследование в рамках радиационной магнитной гидродинамики процесса ускорения плазмы в полученном замагниченном канале;

3. изучение параметров канала и возникающего течения, нахождение условий, при которых в непрерывном потоке возможно образование сгустков вещества, наблюдаемых в реальных джетах;

4. разработка численных методов и их реализация в виде программного комплекса для моделирования ускорения джетов в магнитогидродинамиче-ской и радиационной магнитогидродинами ческой постановках.

5. создание эффективного параллельного алгоритма решения рассматриваемой задачи.

Методы исследования

Основным методом исследования задач, поставленных в диссертационной работе, является вычислительный эксперимент.

Достоверность и обоснованность

Достоверность и обоснованность полученных результатов гарантируется стр< гостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением результатов численного моделирования с известными наблюдательными данными, а также данными вычислительных экспериментов, выполненных известными численными методами.

Научная новизна и практическая ценность

Научная новизна и практическая ценность работы определяются:

• впервые выполненным исследованием влияния механизма подачи вещества в струйный выброс, аналогичного механизму Блендфорда-Пейна, на геометрические характеристики ускоряющего канала, и параметры замаг-ниченного струйного выброса;

• использованием для исследования формирования коллимирующего канала и ускорения в нем плач мы единых модельных предположений;

• разработанным вычислительным алгоритмом, позволяющим решать задачи радиационной магнитной гидродинамики в двумерной цилиндрически

симметричной постановке на треугольных неструктурированных сетках с использованием уравнения переноса излучения и учетом рассеяния излучения;

• предложенным механизмом радиационного ускорения плазмы в замагни-ченном канале, позволяющим объяснить образование высокоскоростного течения в джете, и в совокупности с рассмотренной моделью источника вещества в струйном выбросе, впервые; в подобной постановке приводящим к образованию в джете сгустков плазмы;

• эффективностью использования высокопроизводительных вычислительных систем с общей памятью, в том число использующих графические процессоры, для моделирования процесса формирования струйного выброса.

[оложения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие положения.

• Разработанные автором пространственно двумерные цилиндрически симметричные математические и численные модели — модель образования ускоряющего канала в рамках системы уравнений идеальной магнитной гидродинамики и модель радиационного ускорения плазмы в канале в рамках системы уравнений радиационной МГД.

• Параллельный программный комплекс, реализующий метод дробных шагов применительно к системе уравнений радиационной МГД и использующий технологии для систем с общей памятью ОрепМР и nVidia CUDA.

• Результаты численного моделирования образования, магнитной коллимации и радиационного ускорения канализированного струйного выброса в окрестностях компактного объекта.

шробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях.

1. The 8th International Workshop on Magneto-Plasma Aerodynamics, Russia, Moscow, 2009.

2. Sixth International Seminar oil Mathematical Models and Modeling in LaserPlasma Processes, Montenegro, Budva, 2009.

3. 4th Gamow International Conference on Astrophysics and Cosmology After Gainow and the 9th Gamow Summer School .Astronomy and Beyond: Astrophysics, Cosmology, Radio Astronomy, High Energy Physics and Astrobiol-ogy", Ukraine, Odessa, 2009.

4. Семинар „Вычислительные методы и математическое моделирование" ИПМ им. М.В. Келдыша РАН под руководством член-корр. РАН Ю.П. Попова, проф. М.П. Галанина (2009 и 2011 гг.).

5. 2nd International Conference ,Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences", Bulgaria, Sozopol, 2010.

6. Russian-French Workshop „Differential and integral equations: theory and applications", Russia, Moscow, 2010.

7. Научно-методический семинар кафедры „Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана под руководством проф. С.А. Агафонова, проф. В.И. Ванько, проф. В.В. Феоктистова (2010 г.).

8. Семинар „Методы вычислительной физики" ИПМ им. М.В. Келдыша РАН под руководством д. ф.-м. н. В.Г. Новикова (2010 г.).

9. 7th Potsdam Thinkshop „Magnetic fields in stars and exoplanets", Germany, Potsdam, 2011.

Публикации

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 12 печатных работах: 3 статьи [1 3] в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК, 4 препринта [4-7], 5 тезисов и докладов конференций [8-12].

Личный вклад соискателя

Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включён лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объём работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 125 страницах, содержит 50 иллюстраций и 5 таблиц. Список литературы включает 115 наименований.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проекты Ю9-01-00151-а, №09-02-00502-а) и научной школы НШ-64468.2010.2.

Сраткое содержание работы

Во введении описан круг рассматриваемых задач, обоснована актуальность емы, сформулированы цель и задачи исследования, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы.

В первой главе приведен обзор литературы, посвященной математическому моделированию струйных выбросов, дана постановка общей модели обра-ования выброса, используемая в диссертационной работе. Приведена система равнений радиационной магнитной гидродинамики и сформулированы базовые предположения модели о характере учитываемых физических взаимодействий.

В первом разделе рассмотрены два наиболее важных для диссертационного исследования класса моделей, а имешго магнитогидродиыамические (МГД) и радиационные модели.

Моделирование струйных выбросов чаще всего производится с использованием системы уравнений магнитной гидродинамики в двумерном осесиммет-ричном или трехмерном описании. В качестве ускоряющего механизма в этом случае рассматривается процесс генерации тороидальной компоненты магнитного поля над тонким аккреционным диском и соответствующей ускоряющей силы Лоренца. Наиболее эффективным магнитное поле оказывается в роли механизма коллимации потока (за счет сжатия потока тороидальной компонентой магнитного поля), а также при объяснении механизма срыва вещества с поверхности аккреционного диска (механизм Блендфорда-Пейна). В таком случае магнитное поле способно создавать в аккреционном диске канал, внутри которого формируется коллимированпое течение плазмы2.

Скорость вещества в МГД моделях выброса, как правило, не достигает релятивистских значений. Для объяснения ускорения вещества в джетах до субсветовых скоростей часто привлекается механизм разгона плазмы под действием давления излучения центрального объекта и (или) горячего диска. Подобный механизм оказался достаточно эффективным, в ряде работ показа не?, что излу-

2Savel'ev V.V., Toropin Yu.M., Checlietkin V.M. A Possible Mechanism for the Formation of Molecular Flows // Astronomy Reports. 1996. Vol. 40. Pp. 494 - 508.

*!Галашш МП., Торошш Ю.М., Чечеткин В.М. Радиационное ускорение порций вещества в аккреционных воронках около астрофизических объектов // Астрономический журнал. 1999. Т. 76, № 2. С. 143-160.

чение, сфокусированное внутри воронки в аккреционном диске, способно разгонять вещество до скоростей порядка 0.8с, где с скорость света. В то же время в такого рода моделях обычно не рассматриваются механизмы коллимации плазмы.

Во втором разделе приведена формулировка математической модели струйного выброса, включающей систему уравнений радиационной магнитной гидродинамики в двумерном цилиндрически симметричном приближении.

Предполагается, что система, порождающая джет, состоит из трех основных элементов: {1} горячий центральный гравитирующий объект вместе с {2} тонким идеально проводящим диском, генерирующим нолоидальное магнитное иоле, погружен в {3} „облако" межзвездной плазмы, падающей на центральный объект со сверхзвуковыми скоростями. На рис. 2 изображены схема модели (слева) и расчетная область (справа). В процессе расчета над тонким диском формируется замагниченный разреженный канал.

При записи модели использованы следующие предположения. Предполагается, что среда является невязким совершенным сжимаемым газом. Газ обладает идеальной электропроводностью, магнитное поле вморожено в топкий диск и вращается вместе с ним. Предполагается, что изначально только часть расчетной области заполнена магнитным полем (что соответствует внутренним горячим областям толстого аккреционного диска, где плазма считается полностью ионизованной). В центре системы находится компактный гравитирующий объект, самогравитация газа не учитывается. Рассмотрение излучения ведется в приближении серого вещества. Учитывается только однократное томнео-новское рассеяние фотонов, предполагается, что вещество является достаточно разреженным. Источником излучения в модели служит тонкий диск, излучение сфокусировано в замагниченный канал, самоизлучение газа не учитывается.

Исходя из анализа имеющихся моделей струйных выбросов сформулировано

ве модельные задачи.

1. МГД-задача образования ускоряющего канала и рамках системы уравнений идеальной МГД рассматривается взаимодействие замагниченной и незамагничепной подобластей модели, исследуются характеристики получаемого квазистационарпого канала и свойства потока вещества в нем.

2. РМГД-задача ускорения вещества в канале — в рамках системы уравнений радиационной МГД рассматривается процесс ускорения вещества в полученном на предыдущем шаге канале за счет давления излучения тонкого диска, исследуются параметры и внутренняя структура получаемого выброса.

"•писанные модели сформулированы в безразмерной форме.

Во второй главе построена разностная схема для решения уравнений иде-лышй МГД в полной двумерной постановке на треугольных неструктуриро-анных сетках, указаны способы ее распространения на цилиндрически сим-етричиый случай и приведены результаты расчетов для МГД модели форми-ования ускоряющего канала над вращающимся тонким идеально проводящим иском с вмороженным магнитным полем.

В первом разделе перечислены особенности численной реализации МГД мо-елей, в частности проблема обеспечения выполнения условия V ■ В = 0, где ( вектор магнитной индукции, на протяжении всего расчета.

Во втором разделе построена разностная схема для системы уравнений иде-льной МГД. Система уравнений рассмотрена в виде (далее везде выполнено равило суммирования по повторяющимся индексам, индексы« , ] изменяются т 1 до 3):

ри ри1 + р

Р(и) = ри'о , в (и) =

{е+р)и

рип>

ро ргш ри'2 +р

рут (е + р)и

правая часть газодинамической системы (функции типа источников-стоков)

Ф(и, В) = ± [о, в, + А + Д Ц, § № - В,,)}т,

р плотность, р.......давление газа, е = р!{')' — 1) +ру2/2 полная газовая энергия единицы объема (использовано уравнение состояния совершенного газа в форме р = {7 — 1)р£. где е удельная внутренняя энергия), некто]) скорости V = [и, V, гу]т, вектор индукции магнитного ноля В = \ВТ, Ву, 5.]т, 7 показатель адиабаты. Все функции зависят от времени Ь и декартовых координат х и у, производные но г равны нулю.

Для численного решения поставленной задачи использован метод дробных шагов Яненко с разделением но физическим процессам. Пересчет неизвестных величин в разностных ячейках на каждом временном шаге состоит из трех этапов.

1. Решеиие газодинамической системы уравнений (1) методом типа Годунова (использован метод НЬЬС для системы уравнений газовой динамики).

2. Аппроксимация уравнения Фарадея (2) на разностной ячейке путем интегрирования его но боковым граням ячейки и использовании формулы Стокса.

3. Восполнение газовых переменных, учет действия магнитных сил.

Подобный алгоритм приводит к использованию смещенных сеток, когда па гранях расчетной ячейки задаются нормальные компоненты магнитного ноля, и позволяет автоматически удовлетворять условие V ■ В = 0. Для обеспечения свойства монотонности схемы применена реконструкция магнитного ноля в узлах сетки сносом по потоку.

В третьем разделе приведены результаты тестовых испытаний построенного на основе описанного алгоритма программного комплекса. Рассмотрен ряд стандартных тестов для численных МГД-кодов:

• задача о распаде альфвеновской волны (тест численной диссипации разностной схемы);

• задача о распространении циркулярно поляризованной альфвеновской волны (тест точности схемы на гладком решении);

• задача Впо-\Уи о распаде разрыва (тест аппроксимации решения задачи Римана);

• задача о вращении цилиндра в покоящейся среде (тест устойчивости раз-постной схемы);

• задача о вихре Орзага-Тапга (тест возникновения ударных волн и сверхзвуковой турбулентности).

Все перечисленные задачи успешно решены, метод показал высокую устойчивость, умеренный уровень численной диссипации, сверхлинейный порядок сходимости решения. Все важные разрывы в решениях задач передаются физически корректно.

В четвертом разделе приведена постановка численной двумерной цилиндрически симметричной МГД задачи, сформулированы начальные и граничные условия для модели образования ускоряющего замагниченного канала.

На границах рассматриваемой расчетной области (рис. 2) поставлены следующие условия.

• На внешней цилиндрической границе задано условие сверхзвукового сферического втекания иезамагиичениой незакручеиной межзвездной плазмы.

• Верхняя граница расчетной области моделирует переход потока к режиму течения на бесконечности с помощью неотражающих граничных условий „в дальнем потоке"4.

• На оси вращения системы поставлено условие ограниченности решения.

• Нижняя граница разбита на две части. На части границы z = 0, r,¡ < г < гд/, где r¿ радиус тонкого диска, поставлены условия, соответствующие экваториальной симметрии, а на части 0 < г < r¿ задан тонкий диск.

Тонкий диск, окружающий гравитирующий объект, вращается со скоростью ьз(г) = из • (1 — (r/r¿)2) (скорость из порядка кеплеровекой скорости вращения диска). В вещество диска вморожено магнитное поле, имеющее только осевую компоненту Bzo(r). Диск считается идеально проводящим. Он является источником вещества джета вещество поступает в расчетную область со скоростями, определяемыми параметрами течения над диском, в соответствии с аналогом механизма Блендфорда-Пейна для рассматриваемого распределения угловой скорости диска. Показано, что, как и в механизме Блендфорда-Пейна, при увеличении угла наклона магнитных силовых линий к поверхности диска

4Pogorelov N.V., Senienov A.Yu. Solar wind interaction with the magnetized interstellar medium // Astron. Astrophya. 1997. Vol. 321. Pp. 330 337.

V

.38

10

1.51

г

:0.1

0.01 0.04

Г

Рис. 3. Ускоряющий канал в МГД модели: распределения плотности и скорости в момент времени 4 = 15 (установившийся режим выброса)

Рис. 4. Мгновенные траектории частиц плазмы. Трехмерное изображение построено по двумерному цилиндрически симметричному полю скорости

возникает плазменный ветер. Предполагается, что возникновение ветра происходит постепенно и гладко при прохождении углом наклона значения около 30°.

В пятом разделе приведены результаты численного моделирования образования канала над тонким идеально проводящим диском.

К моменту безразмерного времени £ = 5 режим течения в расчетной области в целом устанавливается, головная ударная волна и сопутствующий ей „шлейф" уходят из расчетной области. Система не приходит в стационарный режим, но совершает колебания относительно некоторого положения равновесия.

Установившийся режим движения системы определяется балансом полного давления в замагниченной и незамагниченной частях расчетной области. Одной из особенностей установившегося режима является образование ускоряющего канала в замагниченной подобласти Ов (см. рис. 3). Течение имеет следующие характерные черты:

1. Вокруг „гороловины" подобласти Од ускоряющего канала образуется торовидный фокусирующий вихрь плазмы, скорость движения которой является наименьшей в расчетной области (см. рис. 4). Форма канала схо-

3.5 3 3

45 V

2.5-5

с

2 I.

5

1.5с,

1 I

3.5 О

Рис. 5. Колебания параметров джета: максимум (фокусирующий тор) плотности, максимальная скорость потока в расчетной области и поток массы с диска

жа с формой аэродинамического сопла Лавапя.

2. Поток внутри канала эффективно ускоряется до сверзвуковых скоростей, причем плотность вещества здесь существенно (на несколько порядков) ниже плотности вещества в Не- Джет, ускоренный в подобном канале, является хорошо коллимированным: канал имеет вид конуса с нелинейной направляющей, угол раствора джета составляет (но максимумам азимутальной скорости) 8.6°. Магнитное поле внутри канала имеет сложную структуру, обеспечивающую отсутствие разрывов плотности в потоке выброса.

3. Стенки канала образованы из сравнительно медленно движущейся, ненамагниченной плазмы с высокими значениями плотности и давления (оптически толстые стенки).

Отмечено наличие ряда колебаний интегральных параметров джета (рис. 5), имеющих скорее всего гравитационное происхождение.

Плотность вещества внутри канала на несколько порядков меньше плотности вещества стенок. В случае томпсоновского рассеяния излучения на электронах оптическая толщина слоя вещества внутри канала составляет

г = атпЬ0 и 6.7 • Ю-4, (3)

так что для расчета, распространения излучения внутри капала применима модель переноса излучения с однократным рассеянием.

Третья глава посвящена исследованию двумерной цилиндрически симметричной радиационной МГД модели ускорения плазмы внутри замагниченного

канала, полученного во второй главе. Схема модели оставлена неизменной, в рассмотрение включается давление излучения тонкого диска.

В нервом разделе приведена формулировка РМГД математической модели движения плазмы под действием давления излучения центральной „машины".

Полная система радиационной магнитной гидродинамки в квазистационарном моноэнергетическом приближении имеет вид

ft+Vpv = Q, (4)

A(pv + G) + V- (П + Т) =i(VxB)xB + F„, (5)

4(e + t/)+V-(v(e+p) + W) = ^-((VxB) xB)-v + Ffl-v, (G) ut 47Г

w • V/(i, x, u) + k(t, x)/(f, x, u) = p(t, x) J T(t, x, u>. a>')I{t, x, uf) du', (7)

n

®=Vx(vxB), (8)

где I интесивность излучения, T(f, x, w') индикатриса рассеяния, k{t, x) коэффициент ослабления, к = a + ¡3, a(t, x) — коэффициент поглощения, /?(i,x) коэффициент рассеяния излучения в веществе, G = W/с2 — плотность имульса излучения, W = f ш1 йш — поток энергии излучения, U =

п

- J Idu> — плотность энергии излучения, Тц. = i /иод/<&«> — тензор плотно-

с п п

сти потока импульса излучения.

В качестве индикатрисы рассеяния используется рэлеевская индикатриса

а сечение рассеяния равно ат = 6.652 х 10~29см2 (коэффициент рассеяния, соответственно, равен /3 = пат> где п --- концентрация вещества).

Модельные условия для газовой и магнитной части системы (4) (8) в целом повторяют условия для МГД модели. Предполагается, что механизм образования ветра над тонким диском функционирует постоянно, вне зависимости от угла наклона магнитных силовых линий. Кроме того, предполагается, что окрестности центрального гравитирующего объекта (часть тонкого диска) излучают с интенсивностью излучения абсолютно черного тела, имеющего характерную температуру 7 • 104К. При этом излучение сфокусировано внутрь ускоряющего канала: излучающей является граница z = 0, 0 < г < 0.2, излучение распространяется вдоль направлений, для которых cos в > 0.9, где в полярный угол луча.

Во втором разделе рассмотрены численные методы, применяемые для решения уравнения переноса излучения (7), дана их общая характеристика с точки зрения применимости для решения комплексной задачи ускорения астрофизических струйных выбросов в рамках системы радиационной МГД.

Для решения системы (4) (8) применен рассмотренный во второй главе метод дробных шагов, дополненный этапом решения уравнения переноса излучения (УПИ). С вычислительной точки зрения наиболее требовательной к ресурсам является процедура решения уравнения переноса излучения (7). Для интегрирования УПИ выбран метод дискретных направлений.

Для решения уравнения (7) в соответствии с методом дискретных направлений (МДН) необходимо провести иптегироваиие УПИ вдоль каждого из выбранных дискретных направлений, сведя тем самым многомерное интегродиф-ференциальное уравнение (7) к множеству одномерных обыкновенных дифференциальных уравнений (в случае, если интеграл рассеяния учитывается итерационно):

где т) параметр, изменяющийся вдоль луча, проходящего через данный узел пространственной разностной сетки, и имеющий смысл расстояния, 5(т/, о;) источник рассеянного излучения.

Для каждой точки пространственной сетки х,- необходимо провести трассировку лучей, приходящих в нее вдоль векторов выбранной с учетом удаленности точки х, от границы сферы направлений. Аккуратный учет граничных условий для поля излучения приводит к выбору своего набора (и своего количества) дискретных направлений для каждой пространственной точки, что серьезно увеличивает требования к вычислительным ресурсам, прежде всего к памяти. При этом наличие цилиндрической симметрии приводит к необходимости трассировать направления распространения излучения в трехмерной области. Эту задачу легко свести к трассировке кривой второго порядка (гиперболы) в плоской области И.

В диссертации рассмотрен ряд других методов решения УПИ, таких как метод конечных разностей и разрывный метод Галеркина. Для метода дискретных направлений введена дискретизация сферы направлений „от границы".

В третьем разделе проведено сравнительное тестирование эффективности рассмотренных методов решения УПИ. Возможности указанных методов рассмотрены на ряде простых тестовых задач: задаче о распространении луча, задаче о точечном источнике и задаче о распределенном источнике излуче-

ния. Основной целью данного тестирования является выявление характерных свойств численных методов, существенных для решения астрофизических задач с распределенными параметрами, в частности, исследование влияния вычислительных артефактов на гладкость получаемого решения.

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы.

1. Метод конечных разностей приводит к высокой степени рассеивания численного решения задачи о переносе излучения.

2. Разрывный метод Галеркина обладает ярко выраженным „эффектом луча", что крайне негативно сказывается в задачах с распределенным источником излучения.

3. Метод дискретных направлений предоставляет широкие возможности по выбору способа дискретизации сферы направлений. Различным способом выбранная дискретизация может приводить в том числе и к эталонной точности численного решения в случае дискретизации „от границы".

На основании проведенного анализа, для моделирования распространения излучения в задаче об ускорении выброса выбран МДН.

В четвертом разделе рассмотрены особенности программной реализации метода дробных шагов с МДН для системы уравнений радиационной МГД. Описан параллельный программный комплекс для систем с общей памятью, использующих графические ускорители, реализующий указанный метод.

Реализация МДН и процедуры трассировки лучей и интегрирования вдоль них УПИ предъявляет высокие требования к ресурсам памяти вычислительного модуля. В данном случае наиболее целесообразным оказывается именно использование SMP-модулей с максимальным доступным на данном узле кластера числом процессорных ядер и максимальной доступной памятью.

Описанный в данной работе численный метод реализован в виде программного комплекса, написанного на языках программирования Фортран-90 и С++. Комплекс использует технологии программирования для SMP-машин:

• технология ОрепМР применена для параллельного выполнения интегрирования УПИ вдоль протрассированных и сохраненных в оперативной памяти лучей, соответствующих данному узлу пространственной сетки, осуществляемого независимо для каждого узла;

• технология nVidia CUDA применена для параллельного вычисления интеграла рассеяния (учет интеграла в уравнении (7) производится итерацион-

но) в разных пространственных узлах расчетной области, причем вычисление всей совокупности интегралов рассеяния в данном пространственном узле производится в рамках блока тредов одного графического мультипроцессора, а каждый отдельный интеграл вычисляется в рамках одного треда в указанном блоке.

Использование указанных подходов позволило существенно ускорить работу программного комплекса. В частности, процедура трассировки и интегрирования УПИ вдоль луча с использованием технологии ОрепМР на 12-ядерном узле кластера К-100 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН (включает 90Гб оперативной памяти) выполняется в 10.8 раз быстрее, чем на одном процессорном ядре, а процедура вычисления источников рассеяного излучения во всех пространственных узлах выполняется на графическом процессоре nVidia Tesla в 82.3 быстрее, чем на одном процессорном ядре (все измерения производились на одном узле кластера К-100, процессор Intel Xeon Х5670 2.93ГГц).

В пятом разделе приведены результаты численного моделирования ускорения плазмы в замагниченном канале над тонким идеально проводящим диском. Вычисления произведены на кластере К-100 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН.

Давление излучения центральной „машины" эффективно ускоряет вещество внутри замагниченного канала (см. рис. 6, 7). Для устойчивого функционирования механизма ускорения выброса необходимо выполнение условия ограниченности плотности ветра с тонкого диска снизу. В противном случае давление излучения „выдувает" плазму из канала, плотность вещества падает настолько, что действие излучения на вещество оказывается малым и мало сказывается на скорости потока. В некоторых случаях возможно запирание вещества над тонким диском газовым давлением плазмы в „горловине" джета.

Особый интерес вызывает установившийся при введении ограничения плотности ветра снизу периодический режим выброса вещества. В подобном режиме сохраняется средняя высокая скорость истечения вещества, при этом наблюдаются периодические всплески модуля скорости потока (см. рис. 8). Период всплесков Ть — 0.01 совпадает' со временем, необходимым плазме, чтобы уйти от центрального объекта и преодолеть сужение ускоряющего канала, выйдя на стабильный уровень скорости.

Проведенные расчеты моделируют истечение плазмы от компактного объекта с массой M = ЗМ©, окруженного околозвездным диском радиусом гЛ = 0.6Lo ~ 40 а.е. Диск пронизан полоидальиым магнитным полем, напряженность которого составляет ~ 0.06 Э. На систему аккрецирует сверхзвуковой ноток вещества с темпом аккреции ~ 5 х 10~5 А/0/год. Над звездой с дис-

Рис. 7. Распределения давления р, объемной силы радиационного давления и модуля скоро сти |V[ вдоль оси г = 0 в момент времени ( = 18.075

density 0.5

Рис. 8. волны

Обострение волны скорости в ходе ускорения всплеска и образование фронта ударной

ком сформирован замагниченный канал, содержащий разреженное вещество, источником которого является диск. Перпендикулярно экваториальной плоскости диска формируется коллимированное истечение вещества (джет), ускоряемое давлением излучения. Скорость потока колеблется во времени и в среднем составляет 2 х 104 км/с, угол раствора джета ~ 10°.

Поток состоит из отдельных сгустков вещества, движущихся со скоростью большей, чем скорость фонового течения. Максимальная скорость сгустков достигает 5 х 104 км/с. Период выброса сгустков составляет 13 дней.

Основные результаты работы

1. Построены МГД и радиационная МГД математические модели образования, коллимации и ускорения (вплоть до скорости 5 х 104 км/с) плазменного выброса из окрестностей компактного объекта.

2. Разработаны численные методы решения системы уравнений магнитной гидродинамики и уравнения переноса излучения в двумерной осесиммет-ричной постановке на треугольной неструктурированной сетке.

3. Численные методы реализованы в виде программного комплекса, предназначенного для высокопроизводительных систем с общей памятью, в том числе использующих графические ускорители.

4. В вычислительных экспериментах получен устойчивый во времени хорошо коллимированиый выброс плазмы. Зафиксированы всплески скорости выброса, приводящие к образованию сгустков вещества в потоке выброса. Коллимация обеспечивается осевым и тороидальным магнитным нолем. Ускорение вещества достигается за счет давления излучения аккреционного диска.

Публикации по теме диссертации

1. Галанин М.П., Лукин В.В., Чечеткин В.М. Математическое моделирование струйных выбросов в окрестности компактных объектов // Астрономический журнал. 2009. Т. 86, № 4. С. 331-344.

2. Лукин В.В., Марчевский И.К. Учебно-экспериментальный вычислительный кластер. Часть 1. Инструментарий и возможности // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. „Естественные науки". 2011. № 4. С. 28-44.

3. Галанин М.П., Лукин В.В., Чечеткин В.М. Ускорение джетов при различных вариантах моделирования источника вещества // Матем. моделирование. 2011. Т. 23, № 10. С. 65-81.

4. Галанин М.П., Лукин В.В. Разностная схема для решения двумерных задач идеальной МГД на неструктурированных сетках. 2007. 29 с. Препр. Инст. прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН №50.

5. Галанин М.П., Лукин В.В., Чечеткин В.М. Математическое моделирование струйных выбросов вещества в окрестности аккреционного диска. 2008. 36 с. Препр. Инст. прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН №54.

G. Галанин М.П., Лукин В.В., Чечеткин В.М. К постановке задачи моделирования астрофизических струйных выбросов. 2009. 30 с. Препр. Инст. прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН №36.

7. Галанин М.П., Лукин В.В., Чечеткин В.М. Методы решения уравнения переноса излучения для астрофизических моделей. 2010. 30 с. Препр. Инст. прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН №59.

8. Lukin V.V. Mathematical Modeling of Jet Outflows Formation around Compact Objects with Accretion Disks // The 8th International Workshop on MagnetoPlasma Aerodynamics (Abstracts). 2009. Pp. 85 88.

9. Galanin M.P., Lukin V.V., Chechetkin V.M. Mathematical modeling of jet outflows formation in the vicinity of compact objects // Sixth International Seminar on Mathematical Models and Modeling in Laser-Plasma Processes, Programme and Abstracts. 2009. P. 33.

10. Galanin M.P., Lukin V.V., Chechetkin V.M. Mathematical modeling of magnetic jets // Proceedings of the 4th Gamow International Conference on Astrophysics and Cosmology After Gamow and the 9th Gamow Summer School "Astronomy and Beyond: Astrophysics, Cosmology, Radio Astronomy, High Energy Physics and Astrobiology". AIP Conference Proceedings. Vol. 1206. 2010. Pp. 293-311.

11. Galanin M.P., Lukin V.V., Chechetkin V.M. Mathematical Modeling of Magnetic Jets Acceleration // Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences: Proceedings of the 2nd International Conference. AIP Conference Proceedings. Vol. 1301. 2010. Pp. 468-475.

12. Galanin M.P., Lukin V.V., Chechetkin V.M. Modelling of Magnetic Jets Acceleration // 7th Potsdam Thinkshop „Magnetic fields in stars and exoplanets". Abstracts and general information. 2011. P. 02.

Введение '

1 Задача математического моделирования струйных выбросов

1.1 Основные модели формирования струйных выбросов.

1.1.1 МГД-модели. Формирование канализированного выброса.

1.1.2 Радиационное ускорение плазмы.

1.2 Модель радиационного ускорения канализированного струйного выброса

1.2.1 Физическая модель.

1.2.2 Описание процесса переноса излучения в астрофизических моделях

1.2.3 Математическая модель.

1.2.4 Безразмерная форма уравнений модели.

2 Магнитогидродинамическая модель образования ускоряющего канала

2.1 Особенности численных МГД моделей.

2.2 Разностная схема для решения двумерных задач магнитной гидродинамики

2.2.1 Система уравнений идеальной магнитной гидродинамики.

2.2.2 Метод дробных шагов.

2.2.3 Уравнения газовой динамики в форме Эйлера.

2.2.4 Уравнение Фарадея.

2.2.5 Монотонизация схемы и ЬБ-интерполяция .'.

2.2.6 Восполнение газовых переменных.

2.2.7 Аппроксимация граничных условий в общем случае.

2.3 Программная реализация схемы и тестовые расчеты.

2.3.1 Численная диссипация.

2.3.2 Распространение циркулярно поляризованной альфвеновской волны

2.3.3 Задача Вио-\¥и

2.3.4 Вращение цилиндра в покоящейся среде.

2.3.5 Вихрь Орзага-Танга.

2.4 Постановка численной МГД задачи об образовании ускоряющего канала

2.4.1 Начальные и краевые условия.

2.4.2 Ветер с поверхности диска как источник вещества выброса

2.4.3 Неотражающие граничные условия.

2.5 Результаты расчетов МГД задачи.

2.5.1 Образование и развитие выброса.

2.5.2 Установившийся режим.

2.5.3 Обсуждение результатов.

3 Модель ускорения плазмы в канале над горячим аккреционным диском

3.1 Математическая модель ускорения плазмы излучением.

3.1.1 Система уравнений.

3.1.2 Предположения модели, граничные и начальные условия задачи

3.2 Численные методы решения уравнения переноса излучения.

3.2.1 Метод конечных разностей (МКР)

3.2.2 Разрывный метод Галеркина (РМГ).

3.2.3 Метод дискретных направлений (МДН)

3.2.4 Дискретизация угловой переменной.

3.3 Сравнительное тестирование эффективности методов.

3.3.1 Задача о распространении луча.

3.3.2 Задача о точечном источнике излучения.

3.3.3 Задача о распределенном источнике излучения.

3.3.4 Результаты тестирования.

3.4 Особенности программной реализации метода решения системы уравнений РМГД

3.4.1 Трассировка лучей в цилиндрической геометрии.

3.4.2 Выбор сферы направлений, вычисление плотностей потоков импульса и энергии излучения.

3.4.3 Учет интеграла рассеяния.

3.4.4 Параллельные вычислительные технологии

3.5 Результаты расчетов радиационной МГД задачи об ускорении плазмы в канале.

3.5.1 Ускорение выброса в канале.

3.5.2 Периодический режим выброса.

3.5.3 Обсуждение результатов.

Одним из наиболее интересных классов астрофизических процессов является образование струйных выбросов, джетов (от англ. jet — струя), формирующихся в ядрах активных галактик (например, эллиптической галактике М87 [83,87]), микроквазарах (например, двойной звездной системе SS433 [46,47,88]), протозвездных объектах и ряде других систем. Тонкие (поперечный размер обычно не превышает нескольких парсек [80,84]) биполярные струи вещества около таких объектов тянутся на сотни и тысячи световых лет, заканчиваясь гигантскими облаками газа (см. рис. 1).

На настоящий момент известно достаточно большое количество джетов, большинство из них наблюдается только в радиодиапазоне. Некоторые достигают миллионов световых лет в длину. Например, размер джета, истекающего из ядра галактики М87, достигает 5000 световых лет. Струя состоит из быстро движущихся заряженных частиц, сконцентрированных в узлы размером до 10 световых лет (см. рис. 2), и имеет вид конуса с углом раствора около 6°. Почти всегда ядро системы испускает два джета в противоположных направлениях. Однако тот, который направлен к нам, всегда кажется ярче из-за того, что скорость джетов близка к скорости света — излучение усиливается в направлении движения источника по законам релятивистской кинематики. Скорость течения вещества в джете галактики М87 достигает 0.8с [52], где с — скорость света, скорость вещества в джете SS433 равна ориентировочно 0.26с [64].

Согласно теоретическим моделям [10,11,53], струи формируются во внутренних частях аккреционных дисков вокруг сверхмассивных черных дыр или нейтронных звезд. Согласно современным представлениям главную роль в коллимации и сдерживании струи играет, вероятно, магнитное поле. Область формирования струи столь компактна, что ее прямое наблюдение, как правило, недоступно существующим телескопам.

ЯШ

40 г

Рис. 1. Изображение джета галактики М87, полученное телескопом Хаббл [83]

4 July 2003 t 1

Core

Brightening Region

Brightening Region

7 July 2003 r

Рис. 2. Результаты наблюдений объекта SS433 на телескопе VLBA [89]

Впервые эту область размером в несколько десятков световых лет у галактики М87 удалось разрешить путем совместных наблюдений на системах радиотелескопов VLBA (Very Long Baseline Array, Тихий океан), VLA (Very Large Array, штат Нью-Мексико, США) и других радиотелескопах. Предположительно центральная „машина", создающая джет, представляет собой компактный объект (черную дыру или нейтронную звезду), окруженную аккреционным диском. В частности, вращательная энергия черной дыры была предложена в качестве источника энергии джета [85].

Данная диссертация посвящена построению и исследованию методами вычислительного эксперимента математической модели образования, коллимации и ускорения плазменного струйного выброса из окрестностей компактного объекта, окруженного аккрецирующим веществом. В модели учтены газодинамические, магнитные, гравитационные и радиационные эффекты в рамках системы уравнений радиационной магнитной гидродинамики. Разработаны численные методы и их программная реализация в виде расчетного комплекса для моделирования ускорения джетов в магнитогидродинамиче-ской и радиационной магнитогидродинамической постановках.

Актуальность темы

Теоретические исследования струйных выбросов из окрестностей компактных гра-витирующих объектов проводятся уже много лет. Существует достаточно много подходов к построению модели струйных выбросов, но на данный момент ни один из них не позволяет объяснить в рамках одной модели наблюдаемые уникальные свойства джетов, такие как высокая скорость течения вещества выброса, высокая степень коллимации потока, узловая структура джета. На формирование джета, очевидно, влияют процессы, разворачивающиеся в аккреционном диске, связанные с генерацией магнитного поля [10] и неустойчивостью аккрецирующей плазмы [54,81], процессы, связанные с переносом и переотражением излучения центрального объекта [25-27], а также характер падения межзвездного вещества на центральный объект и трансформации энергии гравитационного поля в кинетическую энергию плазмы [38,101,102,114]. Полная самосогласованная модель этого явления, учитывающая все приведенные факторы, на данный момент не создана.

Предлагается использовать разные эффекты для объяснения различных наблюдаемых свойств джетов. Так, для объяснения высокой степени коллимации джета принято использовать магнитогидродинамические (МГД) модели, в которых коллимация потока происходит под действием осевой и частично азимутальной компонент магнитного поля [81,101,102]. Существуют также чисто гидродинамические модели [57,67], объясняющие коллимацию потока давлением аккрецирующего на компактный объект вещества, но подобные подходы не объясняют сохранения структуры джета на больших расстояниях и потому не являются общепринятыми.

Вопрос о происхождении высокой энергетики джета не имеет столь однозначного решения. Рассматриваются как, магнитогидродинамические [77], так и радиационные модели. В последнем случае предполагается, что ускорение вещества производится давлением излучения центрального объекта и прилегающих к нему областей [27,75].

Разнообразие моделей приводит к тому, что различные стадии эволюции струйного выброса и различные его свойства рассматриваются в рамках разных моделей и разных постановок, которые зачастую не могут быть согласованы между собой. В нашей работе для моделирования как процесса образования коллимирующего канала, так и ускорения плазмы в канале используется единая постановка в рамках радиационной магнитной гидродинамики.

Возможности аналитических оценок параметров струйных выбросов в общем неодномерном случае весьма ограничены, поэтому основным методом выяснения результата таких воздействий на структуру диска является вычислительный эксперимент. Для моделирования струйного выброса в рамках радиационной МГД необходимо использовать численный алгоритм, наиболее полно учитывающий особенности существенно различных по природе физических процессов, стоящих за решаемыми уравнениями. Так, численный метод должен давать решение, удовлетворяющее условию равенства нулю дивергенции магнитного поля, а также должен позволять получать достаточно гладкие распределения поля излучения во избежание паразитных осцилляций интенсивности излучения (а значит, и сил радиационного давления). Использование в модели ускоряющего канала ведет к необходимости интегрирования полного уравнения переноса излучения, включая интеграл рассеяния. В работе разработан и программно реализован численный алгоритм, позволяющий удовлетворить всем перечисленным требованиям.

Учет магнитных и радиационных эффектов приводит к высокой ресурсоемкое™ расчетов, причем задача уже не может быть решена на персональном компьютере. Для физически адекватного моделирования излучения с учетом рассеяния необходимо использовать суперкомпьютерную технику. В диссертации разработан программный комплекс для высокопроизводительных систем с общей памятью, включающих графические ускорители, позволяющий решать подобные задачи за приемлемое время. Для создания параллельного кода использованы технологии ОрепМР и nVidia CUDA.

Цель и задачи: исследования

Работа посвящена математическому моделированию астрофизических струйных вьь бросов. Целью работы является построение и исследование методами вычислительного эксперимента математическойiмодели образования, коллимации и ускорения г плазменного струйного выброса из окрестностей компактного объекта; окруженного аккрецирующим веществом, с учетом газодинамических, магнитных, гравитационных и радиационных эффектов, а также разработка численных методов и? их реализация в виде программного комплекса для моделирования ускорения; джетов • в магнитогидродина-мической и радиационной магнитогидродинамической постановках.

Для достижения поставленной цели решены следующие: основные задачи:.

1. исследование в рамках идеальной магнитной гидродинамики процесса образования над гравитирующим. объектом с тонким диском замагниченного ускоряющего канала;

2. исследование в рамках радиационной магнитной гидродинамики процесса ускорения плазмы в полученном замагниченном канале;

3. изучение параметров канала и возникающего течения, нахождение условий; при которых в непрерывном потоке возможно образование сгустков вещества, наблюдаемых в реальных джетах;

4. разработка численных методов и их реализация в виде программного комплекса для моделирования ускорения джетов в магнитогидродинамической и: радиационной магнитогидродинамической постановках.

5. создание эффективного параллельного алгоритма решения рассматриваемой задачи. .

Методы исследования

Основным методом исследования задач, поставленных в диссертационной работе, является вычислительный эксперимент.

Достоверность и обоснованность

Достоверность и обоснованность полученных результатов гарантируется строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением результатов численного моделирования с известными наблюдательными данными, а также данными вычислительных экспериментов, выполненных известными численными методами.

Научная новизна и практическая ценность

Научная новизна и практическая ценность работы определяются:

• впервые выполненным исследованием влияния механизма подачи вещества в струйный выброс, аналогичного механизму Блендфорда-Пейна, на геометрические характеристики ускоряющего канала и параметры замагниченного струйного выброса;

• использованием для исследования стадии формирования коллимирующего канала и ускорения в нем плазмы единых модельных предположений;

• разработанным вычислительным алгоритмом, позволяющим решать задачи радиационной магнитной гидродинамики в двумерной цилиндрически симметричной постановке на треугольных неструктурированных сетках с использованием уравнения переноса излучения и учетом рассеяния излучения;

• предложенным механизмом радиационного ускорения плазмы в замагниченном канале, позволяющим объяснить образование высокоскоростного течения в дже-те, а также в совокупности с предложенным механизмом подачи вещества в струйный выброс, впервые в подобной постановке приводящим к образованию в джете сгустков плазмы;

• эффективностью использования высокопроизводительных вычислительных систем с общей памятью, в том числе использующих графические процессоры, при моделировании процесса формирования струйного выброса.

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие положения:

• Разработанные автором пространственно двумерные цилиндрически симметричные математические и численные модели — модель образования ускоряющего канала в рамках системы уравнений идеальной магнитной гидродинамики и модель радиационного ускорения плазмы в канале в рамках системы уравнений радиационной МГД.

• Параллельный программный комплекс, реализующий метод дробных шагов применительно к системе уравнений радиационной МГД и использующий технологии для систем с общей памятью ОрепМР и nVidia CUDA.

• Результаты численного моделирования образования, магнитной коллимации и радиационного ускорения канализированного струйного выброса в окрестностях компактного объекта.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях.

1. The 8th International Workshop on Magneto-Plasma Aerodynamics, Russia, Moscow, 2009.

2. Sixth International Seminar on Mathematical Models and Modeling in Laser-Plasma Processes, Montenegro, Budva, 2009.

3. 4th Gamow International Conference on Astrophysics and Cosmology After Gamow and the 9th Gamow Summer School „Astronomy and Beyond: Astrophysics, Cosmology, Radio Astronomy, High Energy Physics and Astrobiology", Ukraine, Odessa, 2009.

4. Семинар „Вычислительные методы и математическое моделирование" ИПМ им. М.В. Келдыша РАН под руководством член-корр. РАН Ю.П. Попова, проф. М.П. Галанина (2009 и 2011 гг.).

5. 2nd International Conference Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences", Bulgaria, Sozopol, 2010.

6. Russian-French Workshop „Differential and integral equations: theory and applications", Russia, Moscow, 2010.

7. Научно-методический семинар кафедры „Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана под руководством проф. С.А. Агафонова, проф. В.И. Ванько, проф. В.В. Феоктистова (2010 г.).

8. Семинар „Методы вычислительной физики" ИПМ им. М.В. Келдыша РАН под руководством д. ф.-м. н. В.Г. Новикова (2010 г.).

9. 7th Potsdam Thinkshop „Magnetic fields in stars and exoplanets", Germany, Potsdam, 2011.

Публикации

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 12 печатных работах: 3 статьи [20,22,35] в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК, 4 препринта [17-19,21], 5 тезисов и докладов конференций [69-72,86].

Личный вклад соискателя

Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включён лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объём работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 125 страницах, содержит 50 иллюстраций и 5 таблиц. Список литературы включает 115 наименований.

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Построены МГД и радиационная МГД математические модели образования, коллимации и ускорения (вплоть до скорости 5 х 104 км/с) плазменного выброса из окрестностей компактного объекта.

2. Разработаны численные методы решения системы уравнений магнитной гидродинамики и уравнения переноса излучения в двумерной осесимметричной постановке на треугольной неструктурированной сетке.

3. Численные методы реализованы в виде программного комплекса, предназначенного для высокопроизводительных систем с общей памятью, в том числе использующих графические ускорители.

4. В вычислительных экспериментах получен устойчивый во времени хорошо кол-лимированный выброс плазмы. Зафиксированы всплески скорости выброса, приводящие к образованию сгустков вещества в потоке выброса. Коллимация обеспечивается осевым и тороидальным магнитным полем. Ускорение вещества достигается за счет давления излучения аккреционного диска.

1. Абакумов М.В., Мухин С.И., Попов Ю.П., Рогожкин Д.В. Об ударных волнах разрежения в вычислительной газовой динамике. 2006. 30 с. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 2006. № 3.

2. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. Часть 1. М.: Наука, 1991. 600 с.

3. Амбарцумян В.А., Мустель Э.Р., Северный A.B., Соболев В.В. Теоретическая астрофизика. М.: ГИТТЛ, 1952. 637 с.

4. Антонов A.C. Параллельное программирование с использованием технологии MPI. M.: МГУ, 2004. 71 с.

5. Баландин М.Ю., Шурина Э.П. Векторный метод конечных элементов. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2001. 69 с.

6. Басс Л.П., Быков A.B., Дергачев A.A. и др. Моделирование распространения оптического излучения в фантоме биологической ткани на суперЭВМ МВСЮОО/М // Матем. моделирование. 2006. Т. 18, № 1. С. 29-42.

7. Басс Л.П., Николаева О.В. Улучшенная схема расчета переноса излучения в сильно гетерогенных средах и пустотах // Матем. моделирование. 1997. Т. 9, № 10. С. 6372.

8. Берилло A. NVIDIA CUDA — неграфические вычисления на графических процессорах // IXBT.com. 2008. URL: http://www.ixbt.com/video3/cuda-l.shtml (дата обращения: 09.10.2011).

9. Берилло А. NVIDIA CUDA — неграфические вычисления на графических процессорах. Часть 2 — Примеры внедрения NVIDIA CUDA // IXBT.com. 2008. URL: http://www.ixbt.com/video3/cuda-2.shtml (дата обращения: 09.10.2011).

10. Бескин B.C. Осесимметричные стационарные течения в астрофизике. М.: Едито-риал УРСС, 2006. 384 с.

11. Бескин B.C. Магнитогидродинамические модели астрофизических струйных выбросов // УФН. 2010. Т. 180, № 12. С. 1241-1278.

12. Блох А.Г., Журавлев Ю.А., Рыжков JI.H. Теплообмен излучением. Справочник. М.: Энергоатомиздат, 1991. 432 с.

13. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц // Тр. Матем. ин-та им. Стеклова АН СССР. 1961. Т. 61. С. 3-158.

14. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 608 с.

15. Вязников К.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Построение монотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для систем уравнений гиперболического типа // Матем. моделирование. 1989. Т. 1, № 5. С. 95-120.

16. Галанин М.П., Грищенко Е.В., Савенков Е.Б., Токарева С.А. Применение RKDG метода для численного решения задач газовой динамики. 2006. 31 с. Препр. Инст. прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН №52.

17. Галанин М.П., Лукин В.В. Разностная схема для решения двумерных задач идеальной МГД на неструктурированных сетках. 2007. 29 с. Препр. Инст. прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН №50.

18. Галанин М.П., Лукин В.В., Чечеткин В.М. Математическое моделирование струйных выбросов вещества в окрестности аккреционного диска. 2008. 36 с. Препр. Инст. прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН №54.

19. Галанин М.П., Лукин В.В., Чечеткин В.М. К постановке задачи моделирования астрофизических струйных выбросов. 2009. 30 с. Препр. Инст. прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН №36.

20. Галанин М.П., Лукин В.В., Чечеткин В.М'. Математическое моделирование струйных выбросов в окрестности компактных объектов // Астрономический журнал. 2009. Т. 86, № 4. С. 331-344.

21. Галанин М.П., Лукин В.В., Чечеткин В.М. Методы решения уравнения переноса излучения для астрофизических моделей. 2010. 30 с. Препр. Инст. прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН №59.

22. Галанин М.П., Лукин В.В., Чечеткин В.М. Ускорение джетов при различных вариантах моделирования источника вещества // Матем. моделирование. 2011. Т. 23, № 10. С. 65-81.

23. Галанин М.П., Савенков Е.Б. Методы численного анализа математических моделей. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. 591 с.

24. Галанин М.П., Савенков Е.Б., Токарева С.А. Решение задач газовой динамики с ударными волнами RKDG-методом // Матем. моделирование. 2008. Т. 20, № 11. С. 55-66.

25. Галанин М.П., Торопин Ю.М., Чечеткин В.М. Радиационный механизм ускорения джета SS433. 1996. 21 с. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН №72.

26. Галанин М.П., Торопин Ю.М., Чечеткин В.М. Радиационное ускорение и выброс порций вещества в аккреционных воронках около астрофизических объектов. 1997. 32 рр. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН №40.

27. Галанин М.П., Торопин Ю.М., Чечеткин В.М. Радиационное ускорение порций вещества в аккреционных воронках около астрофизических объектов // Астрономический журнал. 1999. Т. 76, № 2. С. 143-160.

28. Гергель В.П. Теория и практика параллельных вычислений. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. 423 с.

29. Десять простых шагов к стройной прикладной программе для гибридного вычислительного комплекса „К-100" // KIAM.ru. 2011. URL: http://www.kiam.ru/MVS/documents/klOO/steps.html (дата обращения: 09.10.2011).

30. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука, 1966. 688 с.

31. Колдоба A.B., Устюгова Г.В. Разностные схемы для-уравнений МГД в эйлеровых переменных (случай кратных корней). 1996. 28 с. Препр. Инст. прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН №42.

32. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. М.: Логос, 2005. 328 с.

33. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001. 608 с.

34. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том VIII. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматлит, 2001. 656 с.

35. Лукин В.В., Марчевский И.К. Учебно-экспериментальный вычислительный кластер. Часть 1. Инструментарий и возможности // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. „Естественные науки". 2011. № 4. С. 28-44.

36. Нагирнер Д.И. Лекции по теории переноса излучения. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. 284 с.11. )

37. Пригарин С.М. Основы статистического моделирования переноса оптического излучения. Учебное пособие. Новосибирск: Изд. Новосиб. ун-та, 2001. 82 с.

38. Савельев В.В., Чечеткин В.М. Биполярные течения в окрестности вращающегося диска с магнитным полем // Астрономический журнал. 1995. Т. 72, № 1. С. 139— 145.

39. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задач математической физики. М.: Наука, 2001. 319 с.

40. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Едиториал УРСС, 2004. 424 с.

41. Суржиков С.Т. Оптические свойства газов и плазмы. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 576 с.

42. Суржиков С.Т. Тепловое излучение газов и плазмы. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 544 с.

43. Сушкевич Т.А. Математические модели переноса излучения. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. 661 с.

44. Сычугова Е.П. Численные методы решения уравнения переноса в многогрупповом приближении в трехмерной геометрии в пакете «РЕАКТОР». 2007. 22 с. Препр. Инст. прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН №78.

45. Устюгов С.Д., Попов М.В. Кусочно-параболический метод на локальном шаблоне. IV. Многомерная идеальная МГД. 2007. 30 с. Препр. Инст. прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН №11.

46. Черепащук A.M. SS 433: Новые результаты, новые проблемы // Земля и Вселенная. 1986. Vol. 1. Pp. 21-29.

47. Черепащук A.M. Данные фотометрических наблюдений SS433 и их интерпретация // Итоги науки и техники. Сер. Астрономия. 1988. Т. 38. С. 60-120.

48. Четверушкин Б.Н. Математическое моделирование задач динамики излучающего газа. М.: Наука, 1985. 304 с.

49. Щеглов И.А. Программа для триангуляции сложных двумерных областей Gridder2D. 2008. 32 с. Препр. Инст. прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН № 60.

50. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. 196 с.

51. Balsara D.S. Second-Order-accurate Schemes for Magnetohydrodynamics with Divergence-free Reconstruction 11 ApJS. 2004. Vol. 151. Pp. 149-184.

52. Biretta J.A., Owen F.N. Velocity Structure of the M87 Jet: Preliminary Results // Parsec-scale radio jets / Ed. by J. A. Zensus, T. J. Pearson. Cambridge University Press, 1990. Pp. 125-128.

53. Bisnovatyi-Kogan G.S. Mechanisms of jet formation // Stellar jets and bipolar outflows / Ed. by L. Errico, A. Vittone. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1993. P. 369.

54. Blandford R.D., Payne D.G. Hydromagnetic flows from accretion discs and the production of radio jets // MNRAS. 1982. Vol. 199, no. 199. Pp. 883-903.

55. Bossavit A. Computational Electromagnetism. Variational Formulations, Complementarity, Edge Elements. Maryland: Academic Press, 1998. 352 pp.

56. Brackbill J.U., Barnes D.C. The effect of nonzero V • В in the numerical solution of the magnetohydrodynamic equations //J. Сотр. Phys. 1980. Vol. 35. Pp. 426-430.

57. Brinkmann W., Kawai N. The jets of SS 433: second order effects // Astron. Astrophys. 2000. Vol. 363. Pp. 640-646.

58. Brio M., Wu C.C. An upwind differencing scheme for the equations of ideal magneto-hydrodynamics // J. Сотр. Phys. 1988. Vol. 2. Pp. 400-422.

59. C. Fendt Ch. M. Cemeljic. Formation of protostellar jets — effects of magnetic diffusion // Astron. Astrophys. 2002. Vol. 395. Pp. 1045-1060.

60. Cerqueira A.H.; de Gouveia Dal Pino E.M. Magnetic Field Effects on the Structure and Evolution of Overdense Radiatively Cooling Jets // The Astrophysical Journal. 1999. Vol. 510. Pp. 828-845.

61. Chandra R., Dagum L., Kohr D. et al. Parallel Programming in OpenMP. San Francisco: Morgan Kaufmann Publishers, 2001. 248 pp.

62. Chattopadhyay I., Das S., Chakrabarti S.K. Radiatively driven electron-positron jets from two-component accretion flows // MNRAS. 2004. Vol. 348. Pp. 846-856.

63. Cheng A.Y.S., O'Dell S.L. Compton Losses, Compton Rockets // The Astrophysical Journal. 1981. Vol. 251. Pp. L49-L54.

64. Cherepashchuk A.M. Observational Manifestations of Precession of Accretion Disk in the SS 433 Binary System // Space Science Reviews. 2002. Vol. 102, no. 1. Pp. 23-35.

65. Cockburn В., Shu Chi-Wang. Runge-Kutta discontinuous Galerkin methods for convection-dominated problems 11 Journal of scientific computing. 2001. Vol. 16, no. 3. Pp. 173-261.

66. Evans C.R., Hawley J.F. Simulation of magnetohydrodynamic flows — A constrained transport method // The Astrophysical Journal. 1988. Vol. 332. Pp. 659-677.

67. Fabian A.C., Rees M.J. The accretion luminosity of a massive black hole in an elliptical galaxy // MNRAS. 1995. Vol. 277. Pp. L55-L58.

68. Fendt C. Formation of Protostellar Jets as Two-Component Outflows from Star-Disk Magnetospheres // The Astrophysical Journal. 2009. Vol. 692. Pp. 346-363.

69. Galanin M.P., Lukin V.V., Chechetkin V.M. Modelling of Magnetic Jets Acceleration // 7th Potsdam Thinkshop „Magnetic fields in stars and exoplanets", Abstracts and general information. 2011. P. 62.

70. Hirai Y., Fukue J. Eclipsing and Precessional Light Curves of SS 433 with Superdisks // PASJ. 2001. Vol. 53. Pp. 679-685.

71. Kim Man Young, Baek Seung Wook, Park Jae Hyun. The Unstructured Finite Volume Method for Radiative Heat Transfer in Complex Two-Dimensional Geometries with Obstacles // Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals. 2001. Vol. 39, no. 6. Pp. 617-635.

72. Komissarov S.S. Magnetic acceleration of relativistic jets // Mem. S.A.It. 2011. Vol. 82. Pp. 95-103.

73. Komissarov S.S., Barkov M.V., Vlahakis N., Konigl A. Magnetic acceleration of relativistic active galactic nucleus jets // MNRAS. 2007. Vol. 380, no. 1. Pp. 51-70.

74. Komissarov S.S., Vlahakis N., Konigl A., Barkov M.V. Magnetic acceleration of ultra-relativistic jets in gamma-ray burst sources // MNRAS. 2008. Vol. 394. Pp. 1182-1212.

75. Kovalev Y.Y., Lister M.L., Homan D.C., Kellermann K.I. The Inner Jet of the Radio Galaxy M87 // Astrophys. J. Lett. 2007. Vol. 668. Pp. L27-L30.

76. Krasnopolsky R., Li Zhi-Yun, Blandford R. Magnetocentrifugal Launching Of Jets From Accretion Disks. I. Cold Axisymmetric Flows // The Astrophysical Journal. 1999. Vol. 526. Pp. 631-542.

77. Krivosheyev Yu.M., Bisnovatyi-Kogan G.S., Cherepashchuk A.M., Postnovc K.A. Monte Carlo simulations of the broad-band X-ray continuum of SS433 // MNRAS. 2009. Vol. 394. Pp. 1674-1684.

78. Lauer T.R. Compact Core of Galaxy M87. HST News Release STSCI-PRC92-01. 1991.

79. Lobanov A., Hardee P., Eilek J. Internal Stucture and Dynamics of the. Kiloparsec-Scale Jet in M87 // New Astronomy Reviews. 2003. Vol. 47. Pp. 629-632.

80. Lovelace R.V.E. Dynamo model of double radio sources // Nature. 1976. Vol. 262. Pp. 649-652.

81. Lukin V.V. Mathematical Modeling of Jet Outflows Formation around Compact Objects with Accretion Disks // The 8th International Workshop on Magneto-Plasma Aerodynamics (Abstracts). 2009. Pp. 85-88.

82. Macchetto F.D. NASA's Hubble Space Telescope Yields Clear View of Optical Jet in Galaxy M87. HST News Release STSCI-PRC92-07. 1992.

83. Margon B. Observations of SS433 // ARA&A. 1984. Vol. 22. Pp. 507-536.

84. Mioduszewski A.J., Rupen M.P., Walker R.C. et al. A Summer of SS433: Forty Days of VLBA Imaging // Bulletin of the American Astronomical Society. 2004. Vol. 36. P. 967.

85. Nedelec J.С. Mixed finite elements in R3 // Numerische Mathematik. 1980. Vol. 35, no. 3. Pp. 315-341.

86. Nikolaeva O.V., Bass L.P., Germogenova T.A. et al. Light Scattering Reviews 2. Springer Berlin Heidelberg, 2007. Pp. 295-347.

87. NVIDIA CUDA С Programming guide ver. 3.2 // NVIDIA.com. 2010. URL: http: / / developer.download.nvidia.com/compute/cuda/32 / toolkit / docs/ CUDAC ProgrammingGuide.pdf (дата обращения: 09.10.2011).

88. Ohsuga К. Two-dimensional Radiation-hydrodynamic Model for Supercritical Disk Accretion Flows onto Neutron Stars // Publ. Astron. Soc. Japan. 2007. Vol. 59, no. 5. Pp. 1033-1042.

89. Okuda T. Super-Eddington Black-Hole Models for SS 433 // PASJ. 2002. Vol. 54, no. 2. Pp. 253-266.

90. Orszag A., Tang C.M. Small-scale structure of two-dimensional magnetohydrodynamic turbulence // J. Fluid Mech. 1979. Vol. 90. Pp. 129-143.

91. Ouyed R., Pudritz R.E. Numerical Simulations Of Astrophysical Jets From Keplerian Disks. II. Episodic Outlows // The Astrophysical Journal. 1997. Vol. 484. Pp. 794-809.

92. Pogorelov N.V., Semenov A.Yu. Solar wind interaction with the magnetized interstellar medium // Astron. Astrophys. 1997. Vol. 321. Pp. 330-337.

93. Proga D., Stone J.M., Kallman T.R. Dynamics of Line-driven Disk Winds in Active Galactic Nuclei // The Astrophysical Journal. 2000. Vol. 543. Pp. 686-696.

94. Richling S., Meinkohn E., Kryzhevoi N., Kanschat G. Radiative transfer with finite elements. I. Basic method and tests // Astron. Astrophys. 2001. Vol. 380. Pp. 776788.

95. Roe P.L. Characteristic-based schemes for the Euler equations // Ann. Rev. Fluid Mech. 1986. Vol. 18. Pp. 337-365.

96. Romanova M. M., Ustyugova G. V., Koldoba A. V., Lovelace R. V. E. Launching of Conical Winds and Axial Jets from the Disk-Magnetosphere Boundary: Axisymmetric and 3D Simulations // MNRAS. 2009. Vol. 399, no. 4. Pp. 1802-1828.

97. Savel'ev V.V., Toropin Yu.M., Chechetkin V.M. A Possible Mechanism for the Formation of Molecular Flows // Astronomy Reports. 1996. Vol. 40. Pp. 494-508.

98. Shapiro P.R., Milgrom M., Rees M.J. The Radiative Acceleration Of Astrophysical Jets: Line Locking In SS 433 // Astrophys. J. Suppl. 1986. Vol. 60. Pp. 393-431.

99. Spruit H.C. Theory of Magnetically Powered Jets // The jet paradigm: from microquasars to quasars. 2010. Vol. 794. Pp. 233-263.

100. Sterck H. De. Multi-Dimensional Upwind Constrained Transport on Unstructured Grids for "Shallow Water" Magnetohydrodynamics // AIAA Computational Fluid Dynamics Paper. 2001. Vol. 2623. P. 13.

101. Tajima Y., Fukue J. Radiative Disk Winds under Radiation Drag II // Publ. Astron. Soc. Japan. 1998. Vol. 50. Pp. 483-493.

102. Takeuchi S., Ohsuga K., Mineshige S. A Novel Jet Model: Magnetically Collimated, Radiation-Pressure Driven Jet // Publications of the Astronomical Society of Japan. 2010. Vol. 62, no. 5. Pp. L43-47.

103. Tchekhovskoy A., McKinney J.C., Narayan R. Simulations of Ultrarelativistic Magneto-dynamic Jets from Gamma-ray Burst Engines // MNRAS. 2008. Vol. 388. Pp. 551-572.

104. Tomimatsu A., Takahashi M. Relativistic Acceleration of Magnetically Driven Jets // The Astrophysical Journal. 2003. Vol. 592. Pp. 321-331.

105. Того E.F. Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics. A practical introduction. Berlin: Springer, 2009. 724 pp.

106. Toth G. The V • В = 0 constraint in shock-capturing magnetohydrodynamics codes // J. Сотр. Phys. 2000. Vol. 161. Pp. 605-652.

107. Ustyugova G.V., Koldoba A.V., Romanova M.M. et al. Magnetohydrodynamic Simulations Of Outflows From Accretion Disks // The Astrophysical Journal. 1995. Vol. 439. Pp. L39-L42.

108. Ustyugova G.V., Koldoba A.V., Romanova M.M. et al. Magnetocentrifugally Driven Winds: Comparison Of MHD Simulations With Theory // The Astrophysical Journal. 1999. Vol. 516. Pp. 221-235.

109. Zhao J.M., Liu L.H. Discontinuous spectral element method for solving radiative heat transfer in multidimensional semitransparent media // Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. 2007. Vol. 107. Pp. 1-16.