автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование эволюции петель коронального магнитного поля

На правах рукописи

ЕЛЕНИНА Татьяна Георгиевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИИ ПЕТЕЛЬ КОРОНАЛЬНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2005

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Галанин Михаил Павлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Фаворский Антон Павлович, кандидат физико-математических наук, ст.н.с. Моисеенко Сергей Григорьевич

Ведущая организация: Институт математического моделирования РАН.

Защита состоится '03 " и&НА. 2005 Р. в час. на заседании диссертационного совета № Д 002.024.02 при Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН но адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН.

Автореферат разослан "¿-Г" ^^Л. 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

А/-

Устюгова Г.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена математическому моделированию эволюции системы "звезда - корона - диск" в МГД приближении на временах, во много раз превышающих период обращения звезды. Для проведения вычислительных экспериментов в работе предложен и обоснован ряд новых явных квазимонотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для уравнения переноса. Одна из схем обобщена на случай уравнений идеальной МГД. В основе процедуры построения предложенных вычислительных методов лежит монотонизация схем второго порядка аппроксимации. Для тестирования методов использованы точные решения ряда упрощенных задач, сохраняющих специфические особенности исходной проблемы. Вычислительные эксперименты по исследованию взаимодействия магнитной звезды, короны и диска выполнены с помощью комплекса программ для численного интегрирования двумерных уравнений МГД, разработанного на основе одной из предложенных разностных схем. Показано, что сценарий нелинейной динамики системы "звезда - корона - диск" состоит из периодического иерезамы-кания силовых линий магнитного поля, формирования и выброса плаз-моидов, колебаний потока момента вращения, уносимого с диска.

Актуальность работы

Изучение взаимодействия между молодыми звездными объектами такими, например, как звезды типа Т-Тельца и их аккреционными дисками весьма актуально в настоящее время. Существуют данные наблюдений, подтверждающие теоретические модели, в рамках которых звезда с диском связана посредством магнитного поля. Звезда и диск вращаются с разными угловыми скоростями и закручивают силовые линии магнитного поля. В результате генерации азимутальной компоненты магнитного поля возрастает магнитное давление, которое приводит к движению силовых линий магнитного поля наружу и дальнейшему их раскрытию.

Исследованию эволюции силовых линий магнитного поля посвящено множество работ в теории аккреционных дисков. Аналитически показано, что в бессиловом приближении открытие силовых линий происходит при конечном угле поворота оснований силовых линий [1]-[3]. Двумерное МГД-моделирование этой проблемы в бессиловом приближении продемонстрировало, что процесс открытия силовых линий является частью общего цикла аккреционного процесса [4, 5].

Вопрос о том, что происходит после раскрытия петель, остается открытым. Согласно работе [6] при дисковой аккреции на звезду линии поля открываются и остаются таковыми длительное время. Согласно работе [2], если пересоединение, последующие сжатие и релаксация происходят достаточно быстро, то результирующие закрытые линии поля имеют малый угол поворота, подобный начальной дипольной структуре. Непрерывное дифференциальное вращение постепенно закручивает линии снова, и картина повторяется с периодом порядка периода вращения. Внешние пересоединенные линии поля вместе с вершиной петли расширяются наружу и образуют плазмоид. Плазмоиды не связаны со звездой и диском и двигаются наружу.

В стационарных моделях первоначальная магнитная связь "звезда -диск" не нарушается. Одна из возможностей, приводящая к остановке закручивания линий магнитного поля, состоит в проскальзывании тороидальной компоненты поля по отношению к плазме, обусловленная конечной проводимостью вещества диска. Существует по крайней мере два случая, когда это не так. Первый описан в работе [7] (модель "X - ветер"). В работе предположено, что основания силовых линий магнитного поля близки к радиусу коротации. Из-за этого дифференциальное вращение очень слабо и малой проводимости диска достаточно, чтобы исключить закручивание и гарантировать стационарное состояние. Вторая модель, предложенная в работе [8], требует большого наклона силовых линий к плоскости диска для соблюдения баланса между закручиванием сило-

вых линий магнитного поля из-за дифференциального вращения и их проскальзыванием относительно диска.

Таким образом, представляется актуальным математическое моделирование протекающих процессов для определения сценария эволюции системы "звезда - корона - диск" и сравнения результатов с новыми наблюдательными данными.

Поскольку математическое моделирование взаимодействия магнитной звезды с диском опирается на численное решение задач для уравнений идеальной МГД, актуальной также является разработка новых вычислительных методов, позволяющих более точно описывать решения на больших временах.

Цель и задачи работы

Целью работы является математическое моделирование эволюции петель коронального магнитного поля в системе "звезда - корона - диск" в рамках МГД приближения на больших по сравнению с периодом обращения звезды временах. Для достижения этой цели поставлены следующие задачи:

1) построение и тестирование новых квазимонотонных разностных схем повышенной точности в широком диапазоне изменения чисел Куранта для уравнения переноса и уравнений идеальной магнитной гидродинамики;

2) изучение взаимодействия магнитной звезды с диском. Выяснение основных составляющих сценария эволюции системы на основе численного решения задач для МГД уравнений и связи интенсивности и периодичности процесса и электропроводности диска.

Научная новизна

Предложена математическая модель эволюции системы "звезда - корона - диск". В рамках этой модели диск рассматривается как недефор-мируемая поверхность, точки которой вращаются вокруг центрального объекта по кемеровскому закону. В отличии от других моделей считается, что диск обладает конечной поверхностной проводимостью.

Чтобы составить представление о ходе эволюции коронального магнитного поля, получены аналитические решения задач о нескольких МГД течениях, содержащих элементы, присущие полной картине МГД-тече-ния, возникающей в результате взаимодействия звезда - диск. Точные решения этих задач позволили провести тестирование отдельных блоков предложенного вычислительного алгоритма.

Вычислительный эксперимент с моделью процесса взаимодействия звезды и диска позволил дать ответы на вопросы о режиме этого взаимодействия (возможен ли стационарный или периодический режим), о количественных характеристиках процесса, в частности, интенсивности отвода момента вращения от диска, о влиянии величины поверхностной магнитной вязкости диска на интенсивность взаимодействия.

Особое внимание в работе уделено исследованию влияния фактора конечной проводимости диска на процесс взаимодействия.

Практическая значимость полученных результатов

Разработанный в диссертации метод монотонизации разностных схем для гиперболических уравнений и систем может быть применен для широкого класса вычислительных алгоритмов, содержащих блок численного интегрирования уравнения переноса.

Предложенный в работе вычислительный алгоритм решения задач уравнений идеальной МГД может быть применен для широкого класса задач магнитной гидродинамики.

Полученные в работе аналитические решения уравнений МГД могут быть использованы в качестве тестов при исследовании алгоритмов численного интегрирования уравнений идеальной МГД.

Полученные в работе результаты могут быть использованы для интерпретации наблюдательных данных. В частности, переменность интенсивности излучения от звезд типа Т-Тельца носит квазипериодический характер и может быть связана с периодическим перезамыканием магнитных силовых линий в короне. Проведенное численное моделирование показало, что интенсивность процесса перезамыкания и его частота тем меньше, чем больше величина коэффициента поверхностной магнитной диффузии диска. Аналогичные процессы, как следует из [9], могут протекать и в окрестности нейтронных звезд.

Публикации и апробация работы

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 11 печатных работах (исключая тезисы докладов). Список публикаций приведен в конце автореферата. Результаты докладывались и обсуждались на следующих международных конференциях:

- 3rd International Conference "Finite Difference Schemes Theory and Applications" FDS2000, Palanga, Lithuania (2000);

- 7th International Conference "Mathematical Modelling and Analysis" MMA2002, Kaariku, Estonia (2002);

- 12th ECMI Conference 2002 European Consortium for Mathematics in Industry, Jurmala, Latvia (2002);

- 2-ой международный конгресс студентов, молодых ученых и специалистов "Молодежь и наука - третье тысячелетие" YSTM'02, Москва, Россия, (2002);

- 1st International Conference "Computational Methods in Applied Mathematics" CMAM-1, Minsk, Belarus, (2003);

- XII международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным програмным системам (ВМСППС'2003), Владимир, Россия, (2003);

- Summer School "Chaotic Dynamics and Transport in Classical and Quantum Systems", Cargese, Corsica, France, (2003)

Доклады, сделанные на данных конференциях, опубликованы в виде тезисов.

Результаты работы также докладывались и обсуждались на семинарах Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН под руководством член-корреспондента РАН Ю.П. Попова.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы.

Общий объем диссертации составляет 129 страниц, включая 65 рисунков и список цитируемой литературы из 105 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность работы, сформулированы задачи и цели работы, кратко изложено содержание диссертационной работы.

Первая глава диссертации посвящена разработке численных методов решения задачи Коши для уравнения переноса.

В последние годы большое внимание уделяется изучению квазимонотонных разностных схем. К настоящему времени предложено значительное число вариантов монотонизации: от первых способов [10, 11] до широко используемого алгоритма [12] и методов последнего времени [13]-[19] и др.

Первый параграф посвящен построению новых монотонизованных схем для линейного одномерного уравнения переноса с постоянной скоростью. Использованный в работе метод позволяет получить новые квазимонотонные разностные схемы повышенного порядка аппроксимации на основе известных схем. С помощью этого метода путем введения ограничителей в известную схему К.И. Бабенко [20] и в явную четырехточечную схему типа "парабола" [21] получены новые разностные схемы. Анализ показал, что новые методы дают более высокую точность решения в широком диапазоне изменения чисел Куранта по сравнению с другими 20 разностными схемами. Они лучшим образом сохраняют форму решения, в том числе для разрывных и немонотонных начальных условий.

Во втором параграфе представлены результаты сравнительного анализа схемы К.И. Бабенко с ограничителями и ряда известных конечно-разностных схем для решения задачи Коши для линейного двумерного уравнения переноса. Для тестирования предложено семейство точных решений. Для численного интегрирования двумерной задачи применен алгоритм расщепления по координатам. Приведена нелинейная монотонизация схемы К.И. Бабенко для одномерного уравнения переноса с переменной скоростью. Предложенная схема показала наилучшие результаты, в особенности в случае негладкого начального профиля.

В третьем параграфе для квазилинейного уравнения переноса на основе схемы "парабола" построена консервативная схема, удовлетворяющая энтропийному условию. Приведены результаты тестирования предложенной разностной схемы. Показано, что модифицированная схема передает качественные особенности точного решения и обеспечивает хорошее совпадение численного решения с точным.

Вторая глава диссертации посвящена построению разностной схемы для численного решения уравнений идеальной магнитной гидродинамики.

При конструировании схемы использованы результаты первой главы.

Первый параграф посвящен разностным схемам для одномерных уравнений МГД. Для построения квазимонотонной схемы повышенного порядка аппроксимации произведена коррекция амплитуд волн, входящих в выражение для потоков консервативных переменных. Точность схемы повышена с помощью процедуры, описанной в первой главе.

Во втором параграфе предложена консервативная разностная схема для двумерных уравнений МГД. Для расчета потоков консервативных переменных использовались одномерные схемы вдоль каждого из пространственных направлений.

В третьем параграфе описана процедура удаления численного магнитного заряда, позволяющая сохранить бездивергентность магнитного поля.

В четвертом параграфе представлены результаты проверки эффективности предложенного численного метода интегрирования уравнений МГД на двух тестовых задачах. В качестве первого теста использовано точное решение задачи о контактном разрыве плотности при постоянных величинах скорости и продольного поля. В качестве второго теста использовано точное решение задачи о распаде разрыва между состояниями с одной компонентой тангенциального магнитного поля и продольной компонентой скорости.

В пятом параграфе представлены результаты численного моделирования магнитогидродинамического течения, возникающего при движении проводящей плоскости в идеальнопроводящей плазме. Плоскость обладает поверхностной проводимостью и соответствующей поверхностной магнитной вязкостью. Решение задачи является автомодельным, так как поверхностная магнитная вязкость имеет размерность скорости, и в задаче нет масштабов длины и времени. Течение является комбинацией ударной волны и простой волны разрежения, за которой следует область постоянного течения или вакуума. Ударная волна может быть либо гидродинамической, либо магнитогидродинамической волной включения в

зависимости от соотношения между альфвеновской скоростью и скоростью звука в невозмущенной плазме. Аналитическое решение задачи использовано для тестирования предложенной во второй главе разностной схемы. Получены условия сопряжения на проводящей плоскости, которая движется поперек силовых линий магнитного поля в идеальнопро-водящей плазме. Условия сопряжения используются в четвертой главе при изучении эволюции системы "звезда - корона - диск".

В шестом параграфе представлены результаты тестирования предложенного численного метода на точном решении задачи о падении вещества на гравитирующий центр [22]. Результаты расчетов показали, что приближенное решение, полученное по предложенной схеме, правильно передает качественные особенности точного решения задачи, в частности положение звуковой точки.

Третья глава диссертации посвящена моделированию раскрытия петель бессилового магнитного поля.

В первом параграфе рассмотрена задача об эволюции бессилового поля в системе звезда - диск. Предполагается, что корона настолько разрежена, что альфвеновская скорость в ней много больше как скорости звука, так и скорости убегания. Магнитное поле эволюционирует через последовательность бессиловых конфигураций, смена которых обусловлена сдвигом оснований силовых линий. Во внешних областях короны в каждый момент времени магнитное поле образует осесимметричную конфигурацию, которая описывается уравнением Трэда - Шафранова. Анализ численного решения нелинейной краевой задачи приводит к следующим выводам. Существует максимально возможный угол поворота силовых линий силовые линии магнитного поля раскрыва-

ются за время - угловая скорость звезды). Показано,

что образование токового слоя происходит не в короне, а на диске. За конечное время магнитное поле "разбухает", его силовые линии все больше деформируются и, в конечном итоге, уходят на бесконечность. При этом

энергия магнитного поля Е{ф) неограниченно возрастает с увеличением угла поворота силовых линий . За счет натяжения силовых линий магнитного поля происходит потеря диском углового момента. Полный момент вращения уносимый магнитным полем с единицы длины диска за время раскрытия петель остается конечным и составляет 0Л(гЦ- магнитный момент звезды, К - радиус диска).

Во втором параграфе построены нестационарные автомодельные решения двумерных уравнений МГД. При этом предположено, что течение осесимметрично, и в полоидальной плоскости вещество имеет только радиальную (в сферической системе координат) компоненту скорости. Двумерная нестационарная задача сведена к задаче определения функции магнитного потока из уравнения Грэда - Шафранова. Автомодельные решения построены для уравнений идеальной МГД с учетом вращения плазмы. Представлены автомодельные решения двух типов в зависимости от величины показателя адиабаты . При из условий авто-модельности следует, что плазма не вращается. При из условий автомодельности следует, что решение возможно в отсутствии гравитации. При этом магнитное поле является бессиловым в каждый момент времени.

В третьем параграфе представлены результаты тестирования предложенной в работе разностной схемы на двумерных автомодельных решениях. Показано, что схема хорошо передает особенности решения.

Четвертая глава диссертации посвящена математическому моделированию эволюции петель коронального магнитного поля, связывающего звезду и диск.

В рассматриваемой модели принято, что конечная проводимость плазмы существенна лишь в тонком кеплеровском диске, который состоит из относительно плотного и холодного вещества

кеплеровская угловая скорость, к - полутолщина диска, с - скорость звука в диске, г - радиус диска). Величина турбулентной проводимости и

связанной с ней турбулентной магнитной вязкости является параметром задачи. В модели предположено, что величина коэффициента турбулентной магнитной вязкости по порядку величины совпадает с коэффициентом турбулентной кинематической вязкости, принимаемым в стандартной а-модели аккреционного диска [23] т^ = ach, где а - безразмерный коэффициент, меняющийся в диапазоне 0.01 -г- 0.1.

В качестве причины эволюции исследуемой системы принято дифференциальное вращение плазмы вдоль силовых линий магнитного поля, которые начинаются на поверхности звезды и заканчиваются на диске. Область пространства, незанятая звездой и диском, заполнена идеально-проводящей плазмой - короной. Так как силовые линии вморожены в эту идеальнопроводящую плазму, то её дифференциальное вращение приводит к генерации азимутальной компоненты магнитного поля, увеличению магнитного давления во внутренних областях короны и выталкиванию плазмы из этой области во внешние слои. Вместе с плазмой выталкиваются и вмороженные в нее магнитные силовые линии. В результате происходит деформация и/или открытие силовых линий полоидального магнитного поля и выстраивается новая его конфигурация. Какой будет эта новая конфигурация, определяется рядом факторов, одним из которых является конечная проводимость относительно холодной плазмы диска.

Помимо исследования динамики магнитного поля как таковой, представляет интерес итог этого процесса, а именно, та конфигурация, которая устанавливается после раскрытия силовых линий. Именно эта конфигурация определяет эволюцию диска на больших временах. Основным фактором, влияющим на эту эволюцию, является интенсивность отвода момента вращения от диска. Ведущую роль в этом процессе играет магнитное поле.

В настоящей работе установлено, что процесс взаимодействия магнитной звезды с диском сопровождается квазипериодическим перезамыка-

нием корональных петель магнитного поля и выбросом плазмоидов (см. Рис.1). Изучено влияние величины коэффициента поверхностной маг-

Рис. 1. Силовые линии магнитного поля на момент времени t = И. Жирной линией выделена силовая линия после перезамыкания, часть ее образовала плазмоид. Характерное время равно периоду обращения внутреннего края диска.

нитной вязкости диска на эволюцию системы звезда - корона - диск. Показано, что в случае идеальнопроводящего диска эволюция коронального магнитного поля приводит к периодическому оттоку момента вращения от диска. При конечной проводимости диска устанавливается такая конфигурация магнитного поля, что поток момента вращения, уносимый с диска магнитным полем, практически компенсируется потоком, передаваемым веществом (см. Рис.2).

Рис. 2. Зависимость потока момента вращения Ь, уносимого с диска, от времени - мо-

мент, уносимый веществом, момент, уносимый полем. Коэффициент поверхностной магнитной вязкости

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Разработаны новые методы численного интегрирования уравнения переноса. Методы получены путем введения ограничителей искусственной вязкости в схему К.И. Бабенко и в явную четырехточечную схему типа "парабола". Анализ показал, что новые методы дают более высокую точность решения в широком диапазоне изменения чисел Куранта по сравнению с другими квазимонотонными разностными схемами.

2. Предложенный алгоритм применен к построению квазимонотонной разностной схемы для численного интегрирования уравнений идеальной магнитной гидродинамики. Тестирование предложенной разностной схемы на ряде точных решений одномерных и двумерных задач показало её высокую эффективность.

3. На основе предложенной модели аналитически и численно проведено математическое моделирование взаимодействия магнитной звезды с диском на временах, существенно превышающих время одного оборота звезды. Показано, что этот процесс сопровождается периодическим перезамыканием силовых линий магнитного поля, выбросом плазмоидов и колебаниями потока момента вращения, уносимого с диска. Установлена связь интенсивности и периодичности процесса и электропроводности диска.

Публикации автора по теме диссертации

1. М.П. Галанин, Т.Г. Еленина, Сравнительный анализ разностных схем для линейного уравнения переноса, Препринт ИПМ. им. М. В. Келдыша РАН, N 52 (1998).

2. М.П. Галанин, Т.Г. Еленина, Тестирование разностных схем для линейного уравнения переноса, Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N 40 (1999).

3. М.П. Галанин, Т.Г. Еленина, Нелинейная монотонизация разностных схем для линейного уравнения переноса. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N 44 (1999).

4. М.П. Галанин, Т.Г. Еленина, Нелинейная монотонизация схемы К.И. Бабенко ("квадрат") для уравнения переноса, Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N 4 (2002).

5. Т.Г. Еленина, Решение нелинейной монотонизированной схемы К.И. Бабенко ("квадрат"), Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N 75 (2002).

6. М.Р. Galanin, T.G. Yelenina, Nonlinear monotonization of K.I. Babenko scheme, Mathematical Modelling and Analysis, 8, p.113 - 120 (2003).

7. Т.Г. Еленина, А.В. Колдоба, Эволюция бессилового магнитного поля в системе "звезда - диск", Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N 71 (2003).

8. ТА Александрикова, М.П. Галанин, Т.Г. Еленина, Нелинейная монотонизация схемы К.И. Бабенко для численного решения уравнения переноса, Математическое моделирование, 16, N б, с. 44 - 47 (2004).

9. Т.Г. Еленина, Г.В. Устюгова, Семейство автомодельных решений нестационарных уравнений идеальной МГД, Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N 55 (2004).

10. Т.Г. Еленина, Г.В. Устюгова, Численное моделирование МГД-тече-ний, возникающих при движении проводящей плоскости в идеаль-нопроводящей плазме, Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N 73 (2004).

11. Т.Г. Еленина, Г.В. Устюгова, Математическое моделирование эволюции петель коронального магнитного поля, Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N 16 (2005).

Цитируемая литература

1. Uzdensky DA, Partial field opening and current sheet formation in the disk magnetosphere. ApJ 572(N 1), 432-444 (2002).

2. van Ballegooijen A.A., Energy release in stellar magnetospheres. SSRv 68, 299-307 (1994).

3. Linden-Bell D., Boily C, Self-similar solutions up to flashpoint in highly wound magnetostatics. MNRAS 267, 146-152 (1994).

4. Hayashi M., Shibata K., Matsumoto R., X-Ray flares and mass outflows driven by magnetic interaction between a protostar and its surrounding disk. ApJ 468(N 1), L37-L40 (1996).

5. Goodson A.R, Bohm K.-H., Winglee R.M., Jets from accreting magnetic young stellar objects. I. Comparison of observations and high-resolution simulation results. ApJ 524(N 1), 142-158 (1999).

6. Lovelace R.V.E., Romanova M.M., Bisnovatyi-Kogan G.S., Spin-up/spin-down of magnetized stars with accretion disks and outflows. MNRAS 275 , 244-254 (1995).

7. Shu F., Najita J., Ostriker E., Wilkin F., Ruden S., Lizano S., Magne-tocentrifUgally driven flows from young stars and disks. I. A generalized model. ApJ 429(N 2), 781-796 (1994).

8. Bardou A., Heyvaerts J., Interaction of a stellar magnetic field with turbulent accretion disk. ApJ 307, 1009-1022 (1996).

9. Ghosh P., Lamb F.K., Disk accretion by magnetic neutron stars. ApJ 223(N 2), L83-L87 (1978).

10. Федоренко Р.П., Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений. ЖВМиМФ 40(N 8), 1206-1220 (1962).

И. Гольдин В.Я., Калиткин Н.Н., Шишова Т.В., Нелинейные разностные схемы для гиперболических уравнений. ЖВМиМФ 5(N 5), 938944 (1965).

12. Boris J.P., Book D.L, Hain К., Flux - corrected transport: generalization of method. JCoPh 18, 248-283 (1975).

13. Вязников К.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Построение монотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для систем уравнений гиперболического типа. Математическое моделирование 1(N 5), 95-120 (1989).

14. Иванов А.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Яцук А.Н., Построение квазимонотонной схемы повышенного порядка аппроксимации для уравнения переноса. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N 69 (1993).

15. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Нелинейные монотонные схемы для уравнения переноса. ДАН 361(N 1), 21-23 (1998).

16. Goloviznin V.M., Karabasov SA, Non - linear correction of "Cabaret" scheme. Proceedings of Second International Conference "Finite - Difference Methods: Theory and Application" 2, 7-18 (1998).

17. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю., Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

18. Hirsch С, Numerical computation of internal and external flows. 1-2, John Wiley, Chichester, 1990.

19. Того E.F., Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics. Springer, Berlin, 1997.

20. Бабенко К.И., Воскресенский Г.П., Численный метод расчета пространственного обтекания тел сверхзвуковым потоком газа. ЖВМиМФ 1(N 6), 1051-1060 (1961).

21. Beam R.M., Warming R.F., Upwind second-order difference schemes and aplications in aerodynamic flows. AIAAJ 14(N 9), 1241-1249 (1976).

22. Bondi H., On spherically symmetrical accretion. MNRAS 115(N 2), 195-204 (1952).

23. Shakura N.I., Sunyaev R.A., Black holes in binary systems. Observational appearance. AkA 24, 337-355 (1973).

И.П.М. 3 а к а а № 46. Тираж 100 ¿КЭ1 ^ '

.. /- :: * !

19 МАЙ 2005

Введение "

I Разностные схемы для уравнения переноса

1.1 Схемы для линейного одномерного уравнения переноса.

1.2 Схемы для линейного двумерного уравнения переноса.

1.3 Схема для квазилинейного уравнения переноса.

II Разностные схемы для уравнений МГД

2.1 Схемы для одномерных уравнений МГД.

2.2 Схемы для двумерных уравнений МГД

2.3 Процедура сохранения соленоидальности магнитного поля.

2.4 Тестовые расчеты.

2.5 Задача о движении проводящей плоскости в плазме.

2.6 Задача о сферически-симметричной аккреции

III Автомодельные решения двумерных уравнений МГД

3.1 Моделирование раскрытия петель бессилового магнитного поля.

3.2 Нестационарные автомодельные решения двумерных уравнений МГД

3.3 Тестирование разностной схемы на двумерных автомодельных решениях

IV Математическое моделирование эволюции петель коронального магнитного поля

4.1 Постановка задачи.

4.2 Численный метод.

4.3 Результаты численного моделирования.

4.4 Выводы.

Настоящая работа посвящена математическому моделированию эволюции системы "звезда - корона - диск" в МГД-приближении на временах, во много раз превышающих период обращения звезды. Для проведения вычислительных экспериментов в работе предложен и обоснован ряд новых явных квазимонотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для уравнения переноса. Одна из схем обобщена на случай уравнений идеальной МГД. В основе процедуры построения предложенных вычислительных методов лежит монотонизация схем второго порядка аппроксимации. Для тестирования предложенных методов использованы точные решения ряда упрощенных задач, сохраняющих специфические особенности исходной проблемы. Вычислительные эксперименты по исследованию взаимодействия магнитной звезды и аккреционного диска выполнены с помощью комплекса программ для численного интегрирования двумерных уравнений МГД, разработанного на основе одной из предложенных разностных схем. Показано, что сценарий нелинейной динамики системы "звезда - корона - диск" состоит из периодического перезамыкания силовых линий магнитного поля, формирования и выброса плазмоидов и колебаний потока момента вращения, уносимого с диска.

Изучение взаимодействия между молодыми звездными объектами такими, например, как звезды типа Т-Тельца и их аккреционными дисками, весьма актуально в настоящее время. Существуют данные наблюдений, подтверждающие теоретические модели, в рамках которых звезда связана с аккреционным диском посредством магнитного поля (работы К. Джонс-Крулла, Дж. Валенти, К. Кореско; Э. Гуентера, X. Лемана, Дж. Эмерсона и др. [1, 2]).

Большое число работ посвящено аналитическому и численному исследованию роли осесимметричного дипольного магнитного поля звезды в такой системе. Эволюцию системы обычно рассматривают на временных масштабах порядка периода вращения звезды или времени жизни аккреционного диска. Одним из основных вопросов является определение физических параметров, характерных для конфигурации, в которой дипольное магнитное поле сохраняется на временах порядка периода вращения. Если существует квазистационарная структура, то она эволюционирует на больших временных масштабах, связанных с аккрецией вещества. В нестационарном случае начальная связь звезды с диском посредством магнитного поля нарушается и реализуется периодическое или квазипериодическое открытие и закрытие силовых линий (петель) магнитного поля в результате их пересоединения. Также возможен переход в постоянный стационарный режим с открытой конфигурацией магнитного поля, которая поддерживается ветром, исходящим из диска.

В работе А. Кёнигла [3] использована модель из работы П. Гоша, Ф. Лэмба [4], в которой рассмотрена аккреция на нейтронную звезду для объяснения наблюдательных особенностей звезд типа Т-Тельца. В этой модели магнитное поле пронизывает область диска, внутри и снаружи радиуса коротации гс, где rc = (GM^/fiJ)1/3, М» - масса звезды, - угловая скорость звезды. Радиус коротации определяется равновесием гравитационной и центробежной сил. Магнитное поле (порядка 103 Гс на поверхности звезды) может разрушить диск на радиусах г < гс и направить аккрецию к полюсам звезды. Типичное время, необходимое для установления равновесия звезды с диском, оказалось намного меньше типичного времени аккреции для дисков вокруг звезд типа Т-Тельца. Отметим, что в данной модели авторы предполагали лишь наличие сильного магнитного поля и не учитывали его динамику.

Основная идея при рассмотрении нестационарных моделей заключается в следующем. Как звезда, так и диск являются хорошими проводниками, так что магнитного поле вморожено в них. Кроме того, они вращаются с разными угловыми скоростями, за исключением точек на радиусе коротации гс. Силовые линии магнитного поля закручиваются дифференциальным вращением диска, вследствие чего появляется азимутальная компонента магнитного поля. В результате генерации азимутальной компоненты магнитного поля возрастает магнитное давление, которое приводит к движению силовых линий магнитного поля наружу и дальнейшему их раскрытию. Вначале структура полоидального поля слабо меняется, но после того, как относительный угол поворота между звездой и диском превысит 1 рад. (около 60° относительно оси вращения), все большее число силовых линий поля начинает с ускорением расширяться. В результате они стремятся раскрыться, разрушая тем самым первоначальную магнитную связь между звездой и диском.

Этот процесс подобен явлениям, которые наблюдаются при исследовании солнечной короны (работы Дж. Али; Б. Jloy; Д.А. Узденского [5, 6, 7]). Раскрытие корональных петель, связанное с перемещением оснований силовых линий магнитного поля на фотосфере, является одним из ведущих механизмов выбросов вещества в короне [6].

В работах Д.А. Узденского; А. ван Баллегуена; Д. Линдэн-Бэлла, Л. Бойли [7, 8, 9] аналитически показано, что в бессиловом приближении открытие силовых линий происходит при конечном угле поворота. Двумерное МГД-моделирование этой проблемы в таком приближении продемонстрировало, что процесс открытия силовых линий является частью общего цикла аккреционного процесса (работы М. Хаяши, К. Шибата, Р. Матсумото; А. Гудсона, К. Бёма, Р. Вигли [10, 11]). Таким образом, если дипольное поле звезды пронизывает проводящий диск, то силовые линии, закручиваясь, открываются, приводя к разрушению первоначальной связи везде, за исключением внутренней области диска, где магнитное поле достаточно сильно, чтобы заставить вещество вращаться с той же угловой скоростью, что и у звезды.

Вопрос о том, что происходит после раскрытия петель, до конца не ясен. Существует несколько точек зрения. Например, в работе Р. Ловлэйса, М.М. Романовой, Г.С. Бисноватого-Когана [12] показано, что при дисковой аккреции на нейтронную звезду линии поля открываются и остаются таковыми длительное время. Полученное стационарное состояние отличается от первоначального. Другая точка зрения изложена в работе ван Баллегуена [8]. Получен квазипериодический цикл: вначале происходит раздувание и открытие силовых линий магнитного поля, благодаря их закручиванию, далее - последующее закрытие вследствии пересоединения силовых линий и возвращение их в начальное состояние. Полученные в работах [10, 11] наблюдательные данные подтверждают эту теорию.

Вопрос пересоединения силовых линий магнитного поля сложен и рассмотрен, в частности, в книге Э.Приста и Т.Форбса [13]. При численном моделировании к пересоединению обычно приводит наличие довольно большой численной магнитной вязкости [10, 11]. В модели из работы ван Баллегуена [8], в случае однородно вращающегося диска, линии поля открываются без образования токового слоя. В работе Д.А. Узденского [7] показано, что в случае неоднородного вращения диска линии поля открываются с образованием токового слоя, который со временем становится тоньше. Тороидальное магнитное поле сосредоточено в вершине раскрывающейся петли, в нижней её части поле полоидально. Во внутренней части области происходит образование новых замкнутых силовых линий магнитного поля, которые соединяют звезду с диском. Если пересоединение, последующие сжатие и релаксация происходят достаточно быстро, то результирующие закрытые линии поля имеют малый угол поворота, подобный начальной дипольной структуре. Непрерывное дифференциальное вращение постепенно закручивает линии снова, и картина повторяется с периодом порядка периода вращения. Внешние пересоединенные линии поля вместе с вершиной петли расширяются наружу и образуют плазмоид. Плазмоиды не связаны со звездой и диском и двигаются наружу.

В стационарных моделях первоначальная магнитная связь "звезда - диск" не нарушается. Одна из возможностей, приводящая к остановке закручивания линий магнитного поля, состоит в проскальзывании тороидальной компоненты поля по отношению к плазме, обусловленная конечной проводимостью вещества диска. Значение коэффициента магнитной вязкости точно не известно (работа Дж. Бувьера, С. Ален-кара, К. Дугадоса [14]). Можно предположить, что процесс турбулентной диффузии подобен процессу турбулентной вязкости, который способствует переносу углового момента вдоль диска, и считать, что величина коэффициента магнитной диффузии rj - порядка величины коэффициента турбулентной вязкости, как в модели Н.И. Ша-куры, Р.А. Сюняева [15], t] ~ rjt = ach (с - скорость звука, h - половина толщины диска, а ~ 0.01 -г- 0.1 [16]. Магнитная диффузия приводит к тороидальному проскальзыванию линий поля по отношению к диску с относительной дрейфовой скоростью Дг\, = (rj/h- By/B^d ~ ac(B,p/Bz)d• Для тонких дисков справедливо неравенство с/14 ~ h/r 1, тем самым, скорость проскальзывания много меньше дифференциальной скорости вращения гАП(г) = г(Г2^(г) — Г2Ф).

Существует два случая, когда это не так. Первый описан в работе Ф. Шу, Дж. Над-жита, Э. Острикера и др. [17] (модель также называется "X - ветер"). В работе предположено, что основания силовых линий магнитного поля близки к радиусу коротации гс (ДП < Qk). Общая конфигурация магнитного поля подобна использованной в модели Р. Ловлэйса, М.М. Романовой, Г.С. Бисноватого-Когана [12]. Отличие состоит в том, что в модели из работы [12] полоидальное магнитное поле распределено гладко по поверхности диска, и радиус коротации не играет роли, в модели [17] поле близко к нулю при г > гс. Из-за этого дифференциальное вращение очень слабое и малой проводимости диска достаточно, чтобы исключить закручивание и гарантировать стационарное состояние.

Вторая модель, предложенная в работе А. Бардоу, Дж. Хейвартса [18], требует очень большого отношения ВВг на диске для соблюдения баланса между закручиванием силовых линий магнитного поля из-за дифференциального вращения и их проскальзыванием относительно диска. В действительности угол между линиями поля и диском определен решением в магнитосфере и не может быть произвольным. Плотность вещества в магнитосфере над диском настолько низка, что там реализуется бессиловая конфигурация магнитного поля. В бессиловом режиме тороидальное поле на поверхности диска в начале увеличивается пропорционально углу поворота оснований силовых линий магнитного поля, затем достигает максимума и начинает уменьшаться в фазе расширения вещества. Максимальное тороидальное поле на диске, достигаемое в бессиловой магнитосфере, сильно зависит от способа распределения полоидального магнитного поля вдоль диска и по порядку величины сравнимо с величиной вертикальной компоненты магнитного поля. Таким образом, дифференциальное вращение не может дать требуемых очень больших значений Bv. Это объясняется тем, что большая часть тороидального магнитного поля, которое непрерывно создается закручиванием, сконцентрировано вблизи вершины силовой линии. При этом энергетически выгодным становится переход к открытой конфигурации магнитного поля. Тороидальное поле диска ограничено процессами открытия силовых линий и их проскальзыванием относительно диска. Тороидальное проскальзывание даже в турбулентном диске не может быть достаточно интенсивным, чтобы значительно воздействовать на процесс закручивания. Время генерации тороидальной компоненты из-за закручивания много меньше времени магнитной диффузии. С другой стороны в некоторых случаях максимум B^jBz (на диске) может быть достаточно большим (работы Д. Линдэн-Бэлла, К. Бойли; А. Бардоу, Дж. Хейвартса; В. Агапито, Дж. Папалозу [9, 18, 19]).

Таким образом, вопрос о том, какой сценарий эволюции системы "звезда-диск" предпочесть, остается открытым. Представляется актуальным и интересным математическое моделирование процессов в системе и сравнение результатов с новыми наблюдательными данными.

В настоящей работе изложены результаты численного моделирования эволюции системы на основе следующей физической модели. В рамках этой модели принято, что диск является бесконечно тонкой плоскостью с конечной проводимостью, дифференциально вращающий вокруг центрального объекта по кеплеровскому закону, звезда -точечный притягивающий центр массы М*, обладающий магнитным моментом /л* и вращающийся с угловой скоростью В работе изучена эволюция коронального магнитного поля, которая обусловлена дифференциальным вращением плазмы вдоль силовых линий. Это дифференциальное вращение поддерживается за счет разницы угловых скоростей оснований силовых линий, начинающихся на звезде и заканчивающихся на диске. Воздействие на диск сводится в основном к отбору у него момента вращения, за счет возникающих на его поверхности тангенциального магнитного напряжения, что определяет темп аккреции.

Вычислительный эксперимент с принятой в работе моделью процесса взаимодействия звезды и аккреционного диска позволяет дать ответы на следующие вопросы. В каком режиме протекает это взаимодействие, возможен ли стационарный или периодический режим. Каковы количественные характеристики процесса, в частности, интенсивность отвода момента вращения от диска. Как величина поверхностной магнитной вязкости диска влияет на интенсивность взаимодействия.

Особое внимание в работе сконцентрировано на исследовании влияния на процесс взаимодействия фактора конечной проводимости диска. Чтобы составить представление о ходе эволюции коронального магнитного поля, проведено аналитическое исследование нескольких МГД-течений, содержащих элементы, присущие полной картине МГД-течения, возникающей в результате взаимодействия звезда - диск. С этой целью рассмотрены задачи об эволюции бессилового магнитного поля, связывающего звезду и диск; о разлете облака с вмороженным магнитным полем; о движении проводящей плоскости через идеальнопроводящую плазму. Точные решения этих задач позволили провести тестирование предложенного вычислительного алгоритма.

Поскольку математическое моделирование взаимодействия звезды, обладающей ди-польным магнитным полем, с аккреционным диском опирается на численное решение задач для уравнений идеальной МГД, разработка новых и модификация уже существующих вычислительных методов для повышения их эффективности (конструирование схем, позволяющих более точно описывать решения на больших временах) являются актуальными задачами математического моделирования. Приведем некоторый исторический экскурс работ по разработке методов численного решения задач для уравнений гиперболического типа.

Известно, что решения задач для гиперболических уравнений могут быть гладкими в одних областях и разрывными в других. Разрывные решения при этом могут возникать из гладких начальных данных. Такие свойства накладывают на численные алгоритмы ряд требований. Метод должен сохранять монотонность в областях, где решения имеют перепады значений, и обладать высоким порядком точности на гладких решениях. Согласно теореме С.К. Годунова [20] линейные разностные схемы не могут одновременно удовлетворять этим требованиям.

При численном решении нелинейных систем уравнений гиперболического типа важно корректно описать распространение и взаимодействие различного типа разрывов. Методы годуновского типа, основанные на точном или приближенном решении задачи Римана о распаде произвольного разрыва, позволяют сохранять монотонность профилей сеточных функций. Методы типа Куранта - Изаксона - Риса (КИР) [21], Роу [22], Ошера [23] основаны на различных приближенных решениях задачи Римана. В методе Ошера решение задачи о распаде произвольного разрыва строится с использованием только волн Римана. Методы КИР и Роу основаны на приближенном решении задачи Римана, которое строится на основе различным образом линеаризованных гиперболических систем уравнений. В этом случае решение состоит из элементарных решений типа бегущих разрывов, которые отделяются друг от друга областями постоянных значений.

В методах сквозного счета производные аппроксимируются и через разрывы. При этом разрыв размазывается на отрезке, определяемом численной диссипацией схемы, и превращается в область с резкими перепадами значений сеточных функций. Для устранения нефизических осцилляций, возникающих в областях больших перепадов сеточных величин, используются искусственные добавки, например, искусственная вязкость. Отметим, что методы сквозного счета постоянно развиваются. Сначала были созданы явные схемы первого порядка точности, предложенные в работах Р. Куранта; П. Лакса; С.К. Годунова [21, 24, 25], затем второго порядка - в работах П. Лакса, Б. Вендрофа; Р. Маккормака [26, 27], наконец, методы третьего порядка - в работах В.В. Русанова [28].

Для того, чтобы вблизи разрывов не возникали нефизические осцилляции, применяют либо монотонные схемы первого порядка, либо искусственную вязкость, что также ведет к схемам первого порядка, а в гладких областях используют схемы повышенного порядка. Такой подход приводит к гибридным разностным схемам. Гибридные разностные схемы нелинейны, зависят от характера решения и локально меняют свои свойства, в частности, порядок аппроксимации. Эти схемы позволяют проводить сквозной счет по схеме повышенного порядка аппроксимации в областях гладкого решения и по монотонной схеме первого порядка точности в областях со значительными перепадами сеточных величин. Другой подход к уточнению численного решения основан на применении дифференциальных анализаторов, алгоритма определения расположения разрывов в ячейках (работа Н.Н. Яненко, Е.В. Ворожцова, В.М. Фомина [29]).

Первая гибридная схема для линейного уравнения переноса предложена в работе Р.П. Федоренко [30]. В работе В.Я. Гольдина, Н.Н. Калиткина, Т.В. Шишовой [31] построено несколько гибридных схем для линейного и квазилинейного уравнения переноса. В этих схемах коэффициент гибридности зависит от градиента решения. Первые гибридные схемы для систем гиперболических уравнений предложены в работе А. Хартена, Г. Цваса [32], где использована комбинация схем Лакса - Фридрихса первого порядка и Лакса - Вендрофа второго порядка. В работе Б. ван Лира [33] предложен алгоритм монотонизации метода Лакса - Вендрофа. Гибридизация метода Годунова была предложена В.П. Колганом [34]. При этом внутри ячеек использовались кусочно-линейные функции и первые версии ограничителя minmod. В работе Р. Бима, Р. Вор-минга [35] гибридизированы симметричные и несимметричные схемы и коэффициент гибридности зависит от числа Маха.

В работе Дж. Бориса, Д. Бука [36] разработан гибридный метод, позволяющий повышать порядок точности путем процедуры коррекции потоков. На первом этапе этого метода используется монотонная схема первого порядка, на втором - полученное численное решение модифицируется до второго порядка. На этом этапе не должны возникать новые локальные экстремумы и возрастать (уменьшаться) значения локальных максимумов (минимумов), которые были к началу этого шага. Отметим, что такие условия эквивалентны условию неувеличения полной вариации решения (TVD-условие). В TVD-схемах А. Хартена, П. Лакса, Б. ван Лира; П. Коллелы, П. Вудварда [37, 38] развита специальная техника кусочно-линейной (кусочно-полиномиальной) реконструкции сеточных функций. Наклоны кусочно-линейных распределителей сеточных функций внутри дискретных ячеек для выполнения TVD-условия ограничиваются специальными лимитерами. Они действуют на конечные разности сеточных функций. Анализ современных лимитеров содержится в работе П. Свеби [39].

В настоящее время гибридные схемы трансформировались в схемы переменного порядка точности. Практически все они основаны на кусочно-полиномиальной реконструкции дискретных сеточных функций, удовлетворяющих TVD - свойству, или близких к нему. Развитие TVD - алгоритмов и создание модификаций этого подхода к построению разностных схем привело к существенному улучшению получаемых численных решений (работы А. Хартена, С. Ошера; К.-В. Шу [40, 41]).

В настоящее время методы годуновского типа широко используются для численного интегрирования уравнений газовой и магнитной гидродинамики ([42]—[44]).

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Кратко остановимся на содержании глав диссертации.

Основные результаты работы заключаются в следующем.

• Разработаны новые методы численного интегрирования уравнения переноса. Методы получены путем введения ограничителей искусственной вязкости в схему К.И. Бабенко и в явную четырехточечную схему типа "парабола". Анализ показал, что новые методы дают более высокую точность решения в широком диапазоне изменения чисел Куранта по сравнению с другими квазимонотонными разностными схемами.

• Предложенный алгоритм применен к построению квазимонотонной разностной схемы для численного интегрирования уравнений идеальной магнитной гидродинамики. Тестирование предложенной разностной схемы на ряде точных решений одномерных и двумерных задач показало её высокую эффективность.

• На основе предложенной модели аналитически и численно проведено математическое моделирование взаимодействия магнитной звезды с аккреционным диском на временах, существенно превышающих время одного оборота звезды. Показано, что этот процесс сопровождается периодическим перезамыканием силовых линий магнитного поля, выбросом плазмоидов и колебаниями потока момента вращения, уносимого с диска. Установлена связь интенсивности и периодичности процесса и электропроводности диска.

Автор выражает глубокую благодарность профессору Михаилу Павловичу Галани-ну, доктору физико-математических наук Александру Васильевичу Колдобе, кандидату физико-математических наук Галине Валентиновне Устюговой, кандидату физико-математических наук Сергею Дмитриевичу Устюгову, доктору физико-математических наук Олегу Андреевичу Кузнецову, профессору Валерию Михайловичу Чечёткину за предложенную тему исследований и конструктивные обсуждения полученных результатов.

Заключение

1. Guenther E.W., Lehmann H., Emerson J.P., Staude J., Measurements of magnetic field strenght on T Tauri stars. A&cA 341, 768-783 (1999).

2. Konigl A., Disk accretion onto magnetic T Tauri stars. ApJ 370(N 1), L39-L43 (1991).

3. Ghosh P., Lamb F.K., Disk accretion by magnetic neutron stars. ApJ 223(N 2), L83-L87 (1978).

4. Aly J.J., Nonequilibrium in sheared axisymmetric force-free magnetic fields. ApJ 439 (N 2), L63-L66 (1995).1.w B.C., Coronal mass ejection, magnetic flux ropes and solar magnetism. JGR 106, 25141-25164 (2001).

5. Hayashi M., Shibata K., Matsumoto R., X-Ray flares and mass outflows driven by magnetic interaction between a protostar and its surrounding disk. ApJ 468(N 1), L37-L40 (1996).

6. Прист Э., Форбс Т., Магнитное пересоединение. М.: Физматлит, 2005.

7. Bouvier J., Alencar S.H.P., Dougados С., Magnetically channeled accretion in T Tauri stars: a dynamical process. Preprint astro-ph/0306553 1, 12 (2003).

8. Shakura N. I., Sunyaev R.A., Black holes in binary systems. Observational appearance. AkA 24, 337-355 (1973).

9. Stone J.M., Hawley J.F., Gammie C.F., Balbus S.A., Three-dimensional magnetohyd-rodynamical simulations of vertically stratified accretion disks. ApJ 463(N 2), 656-673 (1996).

10. Shu F., Najita J., Ostriker E., Wilkin F., Ruden S., Lizano S., Magnetocentrifugally driven flows from young stars and disks. I. A generalized model. ApJ 429(N 2), 781796 (1994).

11. Bardou A., Heyvaerts J., Interaction of a stellar magnetic field with turbulent accretion disk. ApJ 307, 1009-1022 (1996).

12. Agapitou V., Papaloizou J.C., Accretion disc-stellar magnetosphere interaction: field line inflation and effect on the spin-down torque. MNRAS 317, 273-288 (2000).

13. Годунов С.К., Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики. Мат. сборник 47(89)(N 3), 271-306 (1959).

14. Courant R., Isaacson E., Rees M., On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences. СРАМ 5(N 3), 243-255 (1952).

15. Roe P.L., Characteristic-based schemes for the Euler equations. AnRFM 18, 337-365 (1986).

16. Osher S., Rieman solvers, the entropy conditions, and difference approximations. SIAM J. Numer. Anal. 21(N 2), 217-235 (1984).1.x P.D., Weak solutions for a spherical shock wave. СРАМ 7(N1), 159-193 (1954).

17. Годунов C.K., Разностный метод расчета ударных волн. Успехи мат. наук 12 (N 1(73)), 176-177 (1957).1.x P.D., Wendroff В., Systems of conservation laws. СРАМ 13(N 2), 217-237 (1960).

18. MacCormack R.W., Weak solutions for a spherical shock wave. AIAA Paper, 69-354 (1969).

19. Русанов В.В., Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счета разрывных решений. Доклады АН СССР 180(N 6), 1303-1305 (1968).

20. Яненко Н.Н., Ворожцов Е.В., Фомин В.М., Дифференциальные анализаторы ударных волн. Доклады АН СССР 227(N 1), 50-53 (1976).

21. Федоренко Р.П., Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений. ЖВМиМФ 40(N 8), 1206-1220 (1962).

22. Гольдии В.Я., Калиткин Н.Н., Шишова Т.В., Нелинейные разностные схемы для гиперболических уравнений. ЖВМиМФ 5(N 5), 938-944 (1965).

23. Harten A., Zwas G., Self-adjusting hybrid schemes for shock computations. JCoPh 9 (N 3), 568-583 (1972b).van Leer В., Towards the ultimate conservative difference scheme. I. The quest of mo-notonicity. Lect. Not. Phys. 18(N 1), 163-168 (1973).

24. Колган В.П., Применение принципа минимальных значений производных к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики. Ученые зап. ЦАРИ 3(N 6), 68-77 (1972).

25. Beam R.M., Warming E.F., Upwind second-order difference schemes and aplications in aerodynamic flows. AIAAJ 14(N 9), 1241-1249 (1976).

26. Boris J.P., Book D.L., Flux-correct transport. I. SHASTA, a fluid transport algorithm that works. JCoPh 11(N 1), 38-69 (1973).

27. Harten A., Lax P.D., van Leer В., On upstream differencing and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws. SIAM Rv. 25(N 1), 35-61 (1983).

28. Colella P., Woodward P.E., The piecewise parabolic method (PPM) for gas-dynamical simulations. JCoPh 54(N 1), 174-201 (1984).

29. Sweby P.K., High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws. SIAM J. Numer. Anal. 21(N 5), 995-1011 (1984).

30. Harten A., Osher S., Uniformly high-order accurate nonoscilatory schemes. SIAM J. Numer. Anal. 24(N 2), 279-309 (1987).

31. Shu C.-W., TVD uniformly high-order schemes for conservation laws. Math. Comput. 49(N 179), 105-121 (1987).

32. Куликовский А.Г., Погорелов H.B., Семенов А.Ю., Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

33. Hirsch С., Numerical computation of internal and external flows. 1-2, John Wiley, Chichester, 1990.

34. Того E.F., Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics. Springer, Berlin, 1997.

35. Калиткин H.H., Численные методы. M.: Наука, 1978.

36. Boris J.P., Book D.L, Ha in К., Flux corrected transport: generalization of method. JCoPh 18, 248-283 (1975).

37. Борис Дж.П., Бук Д.Л., Решение уравнений непрерывности методом коррекции потоков. Сб. Вычислительные методы в физике. Управляемый термоядерный синтез. М.: Мир, 1980.

38. Вязников К.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Построение монотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для систем уравнений гиперболического типа. Математическое моделирование 1(N 5), 95-120 (1989).

39. Вязников К.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю., Квазимопотонные разностные схемы повышенного порядка точности. Препринт ИПМ АН СССР,1. N 36 (1987).

40. Иванов А.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Яцук А.Н., Построение квазимонотонной схемы повышенного порядка аппроксимации для уравнения переноса. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N 69 (1993).

41. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Нелинейные монотонные схемы для уравнения переноса. ДАН 361(N 1), 21-23 (1998).

42. Goloviznin V.M., Karabasov S.A., Non linear correction of "Cabaret" scheme. Proceedings of Second International Conference "Finite - Difference Methods: Theory and Application" 2, 7-18 (1998).

43. Галанин М.П., Еленина Т.Г., Тестирование разностных схем для линейного уравнения переноса. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N 40 (1999).

44. Бабенко К.И., Воскресенский Г.П., Численный метод расчета пространственного обтекания тел сверхзвуковым потоком газа. ЖВМиМФ 1(N 6), 1051-1060 (1961).

45. Гогосов В.В., Распад произвольного разрыва в магнитной гидродинамике. ПММ 25(N 1), 108-124 (1961).

46. Еленина Т.Г., Устюгова Г.В., Численное моделирование МГД-течений, возникающих при движении проводящей плоскости в идеальнопроводящей плазме. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N 73 (2004).

47. Bondi Н., Hoyle F., On the mechanism of accretion by stars. MNRAS 104(N 5), 273-722 (1954).

48. Bondi H., On spherically symmetrical accretion. MNRAS 115(N 2), 195-204 (1952).

49. Еленина Т.Г., Колдоба А.В., Эволюция бессилового магнитного поля в системе "звезда диск". Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N 71 (2003).

50. Еленина Т.Г., Устюгова Г.В., Семейство автомодельных решений нестационарных уравнений идеальной МГД. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N 55 (2004).

51. Еленина Т.Г., Устюгова Г.В., Математическое моделирование эволюции петель ко-ронального магнитного поля. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N 16 (2005).

52. Галанин М.П., Еленина Т.Г., Сравнительный анализ разностных схем для линейного уравнения переноса. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N 52 (1998).

53. Галанин М.П., Еленина Т.Г., Нелинейная монотонизация схемы К.И. Бабенко ("квадрат") для уравнения переноса. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН,1. N 4 (2002).

54. Еленина Т.Г., Решение нелинейной монотонизированной схемы К.И.Бабенко ("квадрат"). Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N 75 (2002).

55. Galanin М.Р., Yelenina T.G., Nonlinear monotonization of the Babenko scheme. Mathematical Modelling and Analysis 8(N 2), 113 120 (2003).

56. Александрикова T.A., Галанин М.П., Еленина Т.Г., Нелинейная монотонизация схемы К.И. Бабенко для численного решения уравнения переноса. Математическое моделирование 16(N 6), 44-47 (2004).

57. Galanin М.Р., Yelenina T.G., The finite difference schemes for solution of linear ad-vection equation. 3rd International Conference "Finite Difference Schemes Theory and Applications" FDS2000, Palanga, Lithuania, Book of Proceedings, p. 75-82 (2000).

58. Galanin M.P., Yelenina T.G., Nonlinear monotonization of K.I. Babenko scheme (2D tests). 7th International Conference "Mathematical Modelling and Analysis" MMA2002, Kaariku, Estonia, Book of Abstracts, p. 18 (2002).

59. Galanin M.P., Yelenina T.G., The monotonic nonlinear method for hyperbolic equation. 12th ECMI Conference 2002 European Consortium for Mathematics in Industry, Jurmala, Latvia, Book of Abstracts, p. 20 (2002).

60. Еленина Т.Г., Численное решение уравнения переноса, 2-ой международный конгресс студентов, молодых ученых и специалистов "Молодежь и наука третье тысячелетие" YSTM'02, Москва, Россия, Тезисы с. 1 (2002).

61. Yelenina T.G., Semi-analytical model of the force-free magnetic field in the system "star accretion disk", Summer School "Chaotic Dynamics and Transport in Classical and Quantum Systems", Cargese, Corsica, France, Poster (2003).

62. Тихонов A.H., Самарский А.А., Уравнения математической физики. M.: Наука, 1972.

63. Галанин М.П., Еленина Т.Г., Нелинейная монотонизация разностных схем для линейного уравнения переноса. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N 44 (1999).

64. Самарский А.А., Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

65. Бабенко К.И., Воскресенский Г.П., Любимов А.Н., Русанов В.В., Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом. М.: Наука, 1964.

66. Вязников К.В., Жорняк Н.С., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., О методе построения квазимонотонных схем повышенного порядка аппроксимации. Препринт ИПМ АН СССР, N 141 (1989).

67. Harten A., Hyman J.M., Self adjusting grid methods for one-dimensional hyperbolic conservation laws. JCoPh 50 (N 2), 235-269 (1983).

68. Куликовский А.Г., Любимов Г.А., Магнитная гидродинамика. М.: Физматгиз, 1962.

69. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Электродинамика сплошных сред. Том VIII, М.: Наука, 1982.

70. Колдоба А.В., Устюгова Г.В., Разностные схемы для уравнений МГД в эйлеровых перменных (случай кратных корней). Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, N 42 (1996).

71. Bazer J., Resolution of an initial shear-flow discontinuity in one-dimentional hydro-magnetic flow. ApJ 128(N 3), 686-712 (1958).

72. Половин P.B., К теории простых магнитогидродинамических волн. ЖЭТФ 39(2(8)), 463-470 (1960).

73. Uzdensky D.A., Konigl A., Litwin C., Magnetically linked star-disk system I. Force-free magnetospheres and effects of disk resistivity. ApJ 565(N 2), 1191-1204 (2002).

74. Uzdensky D.A., Shear-driven field-line opening and the loss of a force-free magnetostatic equilibrium. ApJ 574(N 2), 1011-1020 (2002).

75. Klimchuk J. A., Sturrock P. A., Force-free magnetic fields Is there a 'loss of equilibrium' ? ApJ 345, 1034-1041 (1989).

76. Finn J.M., Chen J., Equilibrium of solar coronal arcades. ApJ 349, 345-361 (1990).

77. Biskamp D., Welter H., Magnetic arcade evolution and instability. SoPh 120(N 1), 49-77 (1989).

78. Amari Т., Luciani J.F., Aly J.J., Tagger M., Plasmoid formation in a single sheared arcade and application to coronal mass ejections. AkA 306, 913-923 (1996).

79. Aly J.J., On some properties of force-free magnetic fields in infinite regions of space. ApJ 283, 349-362 (1984).

80. Sturrock P.A, Antiochos S.K., Roumeliotis G., Asymptotic analysis of force-free magnetic fields of cylindrical symmetry. ApJ 443(N 2), 804-809 (1995).

81. Barnes C.W., Sturrock P.A., Force-free magnetic field structures and their role in solar activity. ApJ 174, 659-670 (1972).

82. Mikic Z., Linker J.A., Disruption of coronal magnetic field arcades. ApJ 430(N 2), 898-912 (1994).

83. Lovelace R.V.E., Boily C.M., Collimated magnetostatic fields. AkA 309, 997-1001 (1996).

84. Catto P.J., Krasheninnikov S.I., Effects of rotation on a finite plasma pressure equilibrium in a dipolar magnetic field. PhLA 258, 153-157 (1999).

85. Krasheninnikov S.I., Catto P.J., Equilibrium of a gravitating plasma in a dipolar magnetic field. PhLA 260, 502-506 (1999).

86. Low B.C., Self-similar magnetohydrodynamics. I. The 7 = 4/3 polytrope and the coronal transient. ApJ 254(N 2), 796-805 (1982).

87. Low B.C., Self-similar magnetohydrodynamics. II. The expansion of a stellar envelope into a surrounding vacuum. ApJ 261(N 1), 351-369 (1982).

88. Lou Y.Q., Rosner R., Ulmschneider P., A computational code for two-dimentional unsteady magnetohydrodynamics by the method of characteristics. ApJ 315(N 1), 349-370 (1987).

89. Седов JI.И., Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1972.

90. Bisnovatyi-Kogan G.S., Lovelace R.V.E., Advective accretion disks and related problems including magnetic fields. New AR 45, 663-742 (2001).

91. Hawley J.F., Gammie C.F., Balbus S.A., Local three-dimentional magnetohydrodyna-mic simulations of accretion disks. ApJ 440(N 2), 742-763 (1995).

92. Blandford R.D., Payne D.G., Hydromagnetic flows from accretion discs and the production of radio jets. MNRAS 199, 883-903 (1982).

93. T6th G., The V • В constraint of some flux corrected transport and total variation diminishing numerical schemes for hydrodynamic and magnetohydrodynamic problems. JCoPh 161 (N 2), 605-652 (2000).