автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процесса намагничивания жестких сверхпроводников второго рода в форме коротких цилиндров

На правах рукописи

Федченко Александр Андреевич

Математическое моделирование процесса намагничивания жестких сверхпроводников второго рода в форме коротких

цилиндров

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 7 МАЗ 2012

Саранск-2012

005044463

Работа выполнена на кафедре общенаучных дисциплин ФГБОУВПО «Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева».

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук профессор

Кузьмичев Николай Дмитриевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор

Логунов Михаил Владимирович

кандидат физико-математических наук доцент

Славкин Владимир Владимирович

Ведущая организация:

ФГБОУВПО «Пензенский государственный университет»

Защита состоится «24» мая 2012 г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212. 117. 14 при Мордовском государственном университете им. Н. П. Огарева по адресу 430005, г. Саранск, пр. Ленина, д. 15, ауд. 110.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева.

Автореферат разослан «¿(» ^^е 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

Н. Д. Кузьмичев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена математическому моделированию нелинейных магнитных свойств жестких сверхпроводников II рода, в частности, высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП). Для этого, для вышеуказанных сверхпроводников, были выполнены расчеты петель гистерезиса намагниченности и гармоник намагниченности с помощью разработанных в настоящей работе программ на основе модифицированных для данных целей численных методов. Расчеты производились для сверхпроводников цилиндрической формы конечной длины для плотности критического тока, не зависящего от магнитного поля (модель Бина) и для зависимостей в рамках моделей Кима и Кима-Андерсена. Получен ряд физических параметров, характеризующих сверхпроводящее состояние УВа2Си307.х.

Актуальность темы. Магнитные свойства высокотемпературных сверхпроводников важны для применений в электротехнике и радиоизмерительной технике. Разработаны различные устройства на основе высокотемпературных сверхпроводников. Характерной особенностью амплитуд гармоник намагниченности ВТСП, например, на основе УВа2Сиз07.х, является их высокая чувствительность к внешнему воздействию (магнитному полю, току и температуре). В связи с этим, как с фундаментальной, так и с прикладной точки зрения, интересным представляется детальное выяснение причин некоторых нелинейных свойств высокотемпературных сверхпроводников, наблюдаемых в магнитных полях. Поэтому важно знать отклик различной геометрической формы сверхпроводников на переменное и постоянное магнитные поля. Для указанных и других прикладных задач необходимо иметь карту распределения экранирующего сверхпроводящего тока (сверхтока), намагниченность образца и гармоники намагниченности. Точно решены задачи, относящиеся к сверхпроводникам II рода, которые имеют простые формы, например, неограниченные пластины и цилиндры, бесконечно тонкие диски, эллипсоиды и др. Для ограниченных образцов вышеуказанные задачи решены лишь в некоторых случаях. Работы по вышеотмеченной тематике ведутся давно как в отечественной, так и зарубежной литературе [1 - 5].

Во многом ВТСП подобны сверхпроводникам второго рода даже для малых магнитных полей. Поэтому при описании магнитных свойств их сверхпроводящего состояния часто используются модифицированные модели свойств классических сверхпроводников второго рода.

Таким образом, проведенные исследования, как с фундаментальной, так и с практической точки зрения, являются актуальными.

Цель работы - Математическое моделирование процесса проникновения внешнего постоянного и гармонически модулированного магнитного поля в жесткие сверхпроводники II рода, имеющие форму ограниченных цилиндров и находящиеся в критическом состоянии. Для достижения поставленной цели было необходимо решить следующие задачи:

1) Построить математическую модель проникновения магнитного поля в жесткий сверхпроводник II рода в форме короткого цилиндра, находящийся в критическом состоянии, с учетом экранировки поля в центре в случае зависимости плотности критического тока в приближении Кима.

2) Разработать численный метод расчета петель гистерезиса и гармоник намагниченности в соответствии с моделью критического состояния Кима и учетом экранировки поля в центре образца.

3) На основе построенной модели выполнить численный расчет фронта проникающего в цилиндрический образец магнитного поля, гистерезисных петель и гармоник намагниченности в зависимости от значений постоянной и переменной компонент внешнего магнитного поля.

4) Построить математическую модель проникновения магнитного поля в жесткий сверхпроводник II рода в форме короткого цилиндра, находящийся в критическом состоянии, с учетом искривления силовых линий магнитного поля в приближении Бина на основе интегральных уравнений I рода.

5) Разработать численный метод расчета напряженности магнитного поля и петель гистерезиса в соответствии с моделью критического состояния Бина и учетом искривления силовых линий магнитного поля.

6) На основе построенной модели найти карту распределения плотности экранирующего сверхтока, выполнить численный расчет распределения проникающего в цилиндрический образец магнитного поля и гистерезисных петель намагниченности в зависимости от значений постоянной и переменной компонент внешнего магнитного поля.

7) Разработать программный комплекс на базе численных методов, позволяющий рассчитывать распределение плотности экранирующего сверхтока, магнитного поля, а также петель гистерезиса и гармоник намагниченности и исследовать поведение сверхпроводящего образца в форме короткого цилиндра и диска в соответствии с перечисленными моделями критического состояния (Кима, Кима-Андерсена и Бина).

Методы исследования. Работа носит теоретический характер. Для решения поставленных задач использовались уравнения электродинамики, описывающие магнитные свойства жестких сверхпроводников II рода, на основе которых смоделирован процесс проникновения внешнего магнитного поля в вышеуказанные сверхпроводники. Разработанный в рамках данного исследования программный комплекс на основе объектно-ориентированного языка программирования С# использует алгоритмы различных численных методов и процедуры параметрической оптимизации.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) Предложена математическая модель проникновения магнитного поля в жесткий сверхпроводник II рода в форме короткого цилиндра, находящийся в критическом состоянии, с учетом экранировки поля в центре в случае зависимости плотности критического тока в приближении Кима.

2) Предложена математическая модель проникновения магнитного поля в жесткий сверхпроводник II рода в форме короткого цилиндра, находящийся в

критическом состоянии, с учетом искривления силовых линий магнитного поля в приближении Бина на основе интегральных уравнений I рода.

3) Разработан численный метод расчета петель гистерезиса и гармоник намагниченности коротких цилиндров жестких сверхпроводников II рода, отправным пунктом которого является дифференциальное уравнение критического состояния для модели Кима в приближении экранировки магнитного поля в центре цилиндра.

4) Разработан численный метод расчета карт распределения критической плотности сверхтока, магнитного поля и петель гистерезиса намагниченности коротких цилиндров жестких сверхпроводников II рода, отправным пунктом которого является интегральные уравнения I рода, описывающее критическое состояние вышеуказанных цилиндров в приближении Бина.

5) Создан программный комплекс, способный моделировать поведение сверхпроводящего образца в магнитном поле на основе указанных моделей, основой которого стали приведенные выше численные методы.

Научная и практическая ценность работы:

1) Результаты моделирования намагниченности и распределения магнитного поля в жестком сверхпроводнике II рода, выполненные в настоящей работе, могут быть использованы для проверки концепций используемых теоретических моделей при описании особенностей магнитных свойств ВТСП, а также для нахождения их критических параметров и решения вопроса о механизме магнитных свойств высокотемпературных сверхпроводников.

2) Результаты работы могут быть использованы при разработке трансформаторов, электродвигателей, магнитов, а также магнитометра слабых магнитных полей и других электро- и радиоизмерительных устройств на основе высокотемпературных сверхпроводников.

3) Полученное решение интегрального уравнения, описывающего распределение экранирующего сверхтока в модели Бина, может быть использовано при разработке несверхпроводящих соленоидов с высокой однородностью магнитного поля в больших объемах.

Достоверность полученных результатов обеспечивается согласием полученных в результате моделирования петель гистерезиса и гармоник намагниченности коротких цилиндров сверхпроводников II рода с экспериментальными данными других работ, а также с результатами теоретических работ, полученных рядом авторов иными методами.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1. IV международной конференции «Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости» (г. Звенигород, октябрь 2011 г.);

2. V Фестивале Науки (г. Москва, октябрь 2010 г.);

3. I Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Математика и математическое моделирование» (г. Саранск, октябрь 2011 г.);

4. IX Всероссийской научно-практической конференции «Машиностроение: Наука, техника, образование» (г. Рузаевка, ноябрь 2011 г.);

5. На ежегодных научных Огаревских чтениях в Мордовском госуниверситете им. Н. П. Огарева.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) Математическая модель проникновения магнитного поля в жесткий сверхпроводник II рода в форме короткого цилиндра с учетом экранировки поля в центре образца в приближении Кима и Кима-Андерсена на основе дифференциальных уравнений критического состояния.

2) Численный метод расчета петель гистерезиса и гармоник намагниченности коротких цилиндров жестких сверхпроводников II рода для модели Кима в приближении экранировки магнитного поля в центре цилиндра.

3) Математическая модель проникновения магнитного поля в жесткий сверхпроводник II рода в форме короткого цилиндра с учетом искривления силовых линий магнитного поля в приближении Бина на основе интегральных уравнений I рода.

4) Численный метод расчета карт распределения критической плотности сверхтока, магнитного поля и петель гистерезиса намагниченности коротких цилиндров жестких сверхпроводников II рода в приближении Бина с учетом искривления силовых линий магнитного поля.

5) Карты распределения критической плотности экранирующего сверхтока, распределение магнитного поля и гистерезисные петли намагниченности в приближении Бина; гистерезисные петли и гармоники намагниченности в приближении Кима в гармонически модулированном внешнем магнитном поле.

6) Программный комплекс расчета распределения критической плотности экранирующего сверхтока, магнитного поля, а также петель гистерезиса и гармоник намагниченности коротких цилиндров сверхпроводников II рода согласно различным моделям критического состояния, разработанный на языке С#.

Публикации: По материалам диссертации опубликовано 13 печатных работ, в том числе 3 из перечня ВАК. Из них: 5 статей в журналах, 4 статьи в сборниках научных трудов, 4 материалов и тезисов докладов конференций. Также получены 2 свидетельства о государственной регистрации программ.

Личный вклад заключается в участии в разработке методов и подходов исследования, решении поставленных задач и анализе полученных результатов. Программный комплекс моделирования поведения сверхпроводников был разработан автором самостоятельно.

Объем и структура диссертации: Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 169 страницах, включая 74 рисунка, список литературы из 236 пунктов и одного приложения.

Автор выражает свою глубокую благодарность научному руководителю Н.Д. Кузьмичеву за неоценимую помощь при подготовке диссертации.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Изложение диссертационного исследования построено следующим образом:

В первой главе представлен литературный обзор работ, тематика которых близка к диссертационной работе. Особое внимание уделено работам, в которых анализируется магнитные свойства высокотемпературных сверхпроводников и работам, посвященным математическим моделям описывающих критическое состояние жестких сверхпроводников 2-го рода, в частности ВТСП.

Вторая глава посвящена постановке задач математического моделирования на основе известных физических моделей критического состояния для проникновения внешнего магнитного поля в жесткие сверхпроводники II рода, имеющие форму дисков и цилиндров конечной длины, решению которых посвящены последующие главы.

В моделях критического состояния типа Кима и Кима-Андерсона [1,2] критическая плотность тока ]с обратно пропорциональна локальной плотности проникшего в сверхпроводник внешнего магнитного потока в виде нитей Абрикосова. Показано, что уравнение критического состояния для цилиндра радиуса К и длины Ь в аксиальном внешнем поле в приближении экранировки поля в центре цилиндра на его оси в модели Кима имеет вид:

Здесь г - есть текущий радиус цилиндра, Щг) представляет собой осевую составляющую напряженности магнитного поля, а - объемная плотность силы пиннинга (а = const) #*- некоторое характерное поле. Уравнение (1) решается с граничным условием Я(Л) = Нех1. Где На1 - напряженность внешнего магнитного поля. Знак « + » соответствует растущему магнитному полю, а знак « - » убывающему полю. Следовательно, в переменном магнитном поле (#«;(') = Д/ + hcos(cot)) сверхпроводник разбивается на области с противоположно текущими экранирующими сверхтоками. Это приводит к возникновению гистерезисных эффектов в намагничивании сверхпроводника. Расчет распределения магнитного поля и сверхтока внутри сверхпроводника производится отдельно для каждой области с учетом текущих граничных условий. Распределения сверхтока также оказывают влияние на вычисления петли намагниченности сверхпроводника. Интеграл расчета намагниченности разбивается на сумму нескольких интегралов, каждый из которых определяет намагниченность областей, в которых сверхтоки Jc текут в противоположном направлении. Число областей с противоположными сверхтоками в меняющемся магнитном поле может достигать трех.

В п. 2.4 построена математическая модель, описывающая проникновение внешнего магнитного поля в жесткие сверхпроводники II рода в форме цилиндров конечной длины, находящиеся в критическом состоянии в рамках модели Бина [3] с учетом искривления силовых линий поля на основе интегрального уравнения первого рода. Найдено приближенное решение вышеотмеченного интегрального уравнения, описывающего распределение экранирующего критического сверхтока с учетом радиальной и аксиальной

а

(1)

dr

составляющих компонент магнитного поля, созданных этим же током. Также как и в классическом варианте модели Бина, предполагается, что величина jc не зависит от локальной плотности магнитного потока. Аналогичная задача была решена Брандтом [4] численным методом решения интегрального уравнения II рода, описывающего критическое состояние цилиндра в модели Бина. Данное уравнение получено с помощью уравнений электродинамики, описывающих векторный потенциал, и путем задания явного вида вольт-амперных характеристик (ВАХ) сверхпроводника. В одномерном случае для бесконечно тонкого диска данная задача решена в [5]. В настоящей работе использовались интегральные уравнения I рода, которые не требуют задания ВАХ.

Полное магнитное поле (сумма внешнего аксиально-направленного поля Нсх, и поля Нл, созданного азимутально-текущим экранирующим сверхтоком) определяется следующими уравнениями, записанными в цилиндрической системе координат. Аксиальная составляющая напряженности полного магнитного поля Нг имеет вид:

J +6 я

= + — fdz'jc,, (г, Z, z')./(r\ z')d/ (2)

Здесь

G,(r,z,r',z') =

4 rr'

[r'+rf+iz-z'Y

Радиальная составляющая полного поля:

| *к К

нг (г. z) = — I dz'j Gr (г, z, r\ z')j(r\z'W

(3)

(4)

(5)

Где

G,{r,z,r\z') =

\ J +U-z')

(6)

Здесь Нсх, - напряженность внешнего аксиально-направленного магнитного поля, У(г, г) - экранирующий сверхток, в силу симметрии азимутально-направлен и не зависит от угла ср, Я - радиус и ¿ = 2Ь - длина (толщина) цилиндра (диска). Функции К(к) и Е{к) - полные эллиптические интегралы:

<г/2 _

К(к)= \ ¿вЦх-ЦсчтО)1 (7)

*П _

Е(к)= j ^-(k-smefde

В

Для того чтобы найти ./(г, г), необходимо хотя бы иметь приближенные левые части интегральных уравнений (2) и (5). Подынтегральные выражения уравнений (2) и (5) описывают напряженность магнитного поля, создаваемого бесконечно тонким кольцом радиуса г", несущим силу тока, равную Мг'йг', и являются точными решениями уравнений Максвелла (рис. 1) [6]. В силу симметрии осевая Нг (уравнение (2)) и радиальная Нг (уравнение (5)) составляющие напряженности полного магнитного поля не зависят от угла ф. При ;-)<» и (или) г составляющие поля Нг Н0 и Нг 0. В области сверхпроводника, где сверхток отсутствует (экранированная область), точное решение уравнений (2) и (5) есть: /{г, ¿) = 0. В этой области величины Нг = 0 и Нг = 0. Кроме того, имеется точное решение Дг) для одномерного случая, т.е. распределение тока в бесконечно тонком диске [5].

Рисунок 1. Сечение четверти сверхпроводящего цилиндра.

Область В* проникновения вихрей в цилиндр отделяется от области £> , в которой вихри отсутствуют (т. е. область в которой У(г, г) = 0), поверхностью заданной уравнением г(г). Для экранирующего сверхтока Дл г):

= | = СОЛ5/, Ш г,ге О*;

0,'¿бе г, г б £>~

(9)

Для произвольных значений Ь (больших, меньших или сравнимых с величиной К) найдено приближенное уравнение поверхности г(г)\

1--агс1%

к

1-0

р(')

(Ю)

Здесь показатель степени р(а) меняется в пределах: 0 < р(а) < 3 и зависит также от отношения ЫЯ.

В качестве критерия уклонения р(г, г,) приближенного г(г) от точного решения 2,(г) строилась целевая функция которая выбиралась следующим образом. Как было отмечено выше, сверхток и магнитное поле в экранированной области сверхпроводника отсутствуют. То есть в области О' известно точное

решение: У(г, г) = 0. Учитывая, что в области О' выполнятся равенства Нг = 0 и Я, = 0, параметр/? можно определить из условия минимума целевой функции:

г^рО- "о

Здесь N есть число выбранных точек «минимизации» в области £Г, а величина £■ определяет точность найденного решения интегральных уравнений (2) и (5).

Таким образом, суть алгоритма решения уравнений (2) и (5) можно сформулировать следующим образом. На первоначально приближенно заданной области /Г, где известны точные распределения полного магнитного поля и экранирующего сверхтока (//, = О, Я, = 0 и г) = 0) уточняется параметр /? путем минимизации целевой функции (11). Данная процедура приводит соответственно к уточнению уравнения поверхности (10), отделяющей области £Г и £>+ цилиндрического образца. С помощью уточненного уравнения (10) рассчитываются окончательные распределения Щг,г)иЩг,г).

Третья глава посвящена разработанному программно-аналитическому комплексу.

При моделировании процесса намагничивания сверхпроводника необходимо выполнять большое количество расчетов текущих распределений Яг(г, г), ЯД/-, г) и ./(г, г), а также значений параметра р = /?(д, ¿/2Я). Для этих целей и была разработана специальная программа на языке С #. Представлен графический интерфейс, структура и основные этапы работы программы.

Моделирование проникновения магнитного поля включает в себя несколько аспектов, каждый из которых определенным образом характеризует происходящие в сверхпроводнике процессы, которые могут дать свое, отличное друг от друга представление. В данной работе процесс моделирования охватывает собой решение следующих задач:

- Расчет намагниченности сверхпроводника;

- Гармонический анализ при воздействии внешнего модулированного магнитного поля;

- Расчет гистерезисных кривых и петель намагничивания;

- Расчет карт распределения экранирующего сверхтока;

- Расчет карт распределения магнитного поля внутри и вне объема сверхпроводника.

В плане расчета согласно моделям критического состояния программа представляет собой комплекс, состоящий из двух блоков. Первая часть сосредоточена на расчете по существующим моделям, которые рассматривают сверхпроводник без учета искривлений линий магнитного поля (одномерная задача). В нее входят следующие модели и типы геометрии:

1) Расчет для модели Бина в приближении экранировки поля на оси цилиндра:

1.1) короткого диска,

1.2) бесконечно длинного цилиндра.

2) Расчет для модели Кима и Кима-Андерсона в приближении экранировки поля на оси цилиндра:

2.1) короткого диска,

2.2) бесконечно длинного цилиндра.

Вторая часть производит расчет согласно моделям, учитывающим искривление силовых линий магнитного поля, т.е. решает двумерную задачу в приближении Бина. В данном случае экранировка поля происходит внутри сверхпроводника в объеме Т.е. решается точная задача.

Кроме того, программа решает следующие вспомогательные задачи:

- решение задачи параметрической оптимизации;

- вывод и визуализация результатов расчета в виде таблиц, диаграмм и графиков в программно-аналитическом комплексе Ог^тЬаЬ.

Расчет намагниченности производится для каждого момента времени в течение всего периода изменения магнитного поля с учетом предыдущего воздействия на образец. Рассчитывается начальная кривая намагниченности, начиная от нуля и до максимального значения напряженности магнитного поля Нл + На. Просчитываются периодические колебания напряженности с параметрами постоянной части //Л амплитуды переменной IIа и частоты ю.

Вычисление намагниченности основано на расчете трех ключевых радиусов р, X. и Радиус р - это «глубина» проникновения магнитного поля в образец при достижении им своего максимального амплитудного значения или такое значение радиуса, в котором напряженность поля становится равной нулю. Расчет начинается с вычисления величины радиуса р, на глубину которого проникло внешнее магнитное поле, затем - радиусов X и в которых направление течения тока критической плотности меняет свой знак. Проблема нахождения значений этих радиусов может быть сведена к задаче нахождения нуля нелинейной функции. Задача была решена при помощи алгоритма, реализованного на базе модифицированного в настоящей работе метода Брэндта.

Так как в моделях Кима и Кима-Андерсона для одномерных случаев зависимость напряженности магнитного поля внутри сверхпроводника от радиуса задана дифференциальным уравнением первого порядка, то для того, чтобы найти значение напряженности в определенной точке, был применен алгоритм Рунге-Кутга четвертого порядка. Намагниченность всего образца рассчитывается путем интегрирования нескольких частей с учетом направления течения тока критической плотности:

- участка Я-С, (направление течения условно принято за положительное);

- участка £ - X (отрицательное направление);

- участка X — р (положительное направление).

Для нахождения определенного интеграла применяется метод Симпсона, а также алгоритм, основанный на квадратурах Гаусса.

Нахождение действительных и мнимых частей гармоник основано на нахождении коэффициентов Фурье. Расчет происходит следующему принципу: один из параметров магнитного поля (постоянная или переменная его составляющая) принимается неизменной, другой параметр изменяется от некоторого стартового значения до конечного. С некоторым шагом для каждого сочетания На и На рассчитываются составляющие гармоник с помощью

алгоритма быстрого преобразования Фурье. Данный этап является самым объемным по числу расчетов и самым затратным по времени.

Таким образом, разработанный метод расчета гармоник намагниченности включает в себя:

1) Нахождение величины локального магнитного поля путем решения дифференциального уравнения (задача Коши) с определенным граничным условием через численный метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности.

2) Определение границы разбиения области сверхпроводника как поиск нуля нелинейного уравнения, в качестве которого выступает п. 1, с помощью метода Брэндта точностью е.

3) По найденным границам осуществляется численный расчет намагниченности, состоящий из суммы трех интегралов, каждый из которых вычисляется с помощью метода квадратур Гаусса.

4) Для ряда значений диапазона постоянной и амплитуды переменной компонент На магнитного поля рассчитывается зависимость намагниченности ЩНел) и определяются коэффициенты Фурье путем быстрого преобразования Фурье.

Для примера, фрагмент алгоритма расчета для двух ветвей намагниченности (возрастающего до Нтах и убывающего до Нтш поля) представлен на рисунках 2 и 3.

Расчет распределения магнитного поля внутри и вне объема сверхпроводящего образца осуществляется для аксиальной (2) и радиальной (5) компонент напряженности поля. При вычислении использовалась сетка М х N (М шагов вдоль радиуса г и N вдоль оси г). Для каждого узла этой сетки рассчитывается соответствующие ей величины Нг и Нг при заданной величине напряженности //„, внешнего магнитного поля. Основная часть решения - это вычисление значения двойного интеграла уравнений (2) и (5) с изменяющимися пределами интегрирования области £>\ контур которой определяется кривой г{г). В качестве численного метода для решения задачи интегрирования выбран метод прямоугольников в полуцелых узлах, который эффективно справляется с неопределенностями при вычислении компонент напряженности поля и эллиптических интегралов (7) и (8).

Рисунок 4. Блок-схема алгоритма определения значения р(а).

Важной частью решаемой задачи было вычисление оптимальной величины параметра р(а), определяемого выражением (10). Для его нахождения при помощи программы была решена отдельная задача оптимизации. Применен численный метод поиска экстремума функции известный как метод «золотого

сечения», модифицированный под требуемые условия. В качестве целевой функции при решении данной задачи оптимизации была выбрана сумма отклонений S для области (К= 10 х 10 точек), в которой отсутствует магнитное поле (область D~). Границы области £Г определялись линиями 2 = 0, г = 0 и кривой z{r). Критерием поиска являлся минимум суммы отклонений S. В качестве области поиска решения выбран диапазон значений 0<р(а)<3. Расчеты проводились для образцов цилиндрической формы с различным геометрическим соотношением L / 2R = 0,10; 0,25; 0,50; 1,00. Для каждой составляющей Н2 и Я, оптимальное значение параметра р было рассчитано отдельно. Блок-схема алгоритма решения данной задачи представлена на рисунке 4.

При решении задачи моделирования поведения сверхпроводника важная роль отводилась так называемому принципу объектно-ориентированного программирования. Для каждого из интересующих объектов создан соответствующий класс. В него инкапсулирована структура с исходными данными, результатами расчета и многими расчетными функциями, специфичными для данного объекта.

Представленная в этой программе модель состоит из следующих классов:

1. Класс «сверхпроводник». Экземпляр этого класса имеет ряд свойств, характеризующих геометрическую форму образца и его материал.

2. Класс «магнитное поле». Переменные экземпляра этого класса, характеризующие внешнее магнитное поле, имеют два компонента-постоянную составляющую поля Hd и амплитуду переменной На. Также его экземпляры содержат значение частоты колебаний со для расчета намагниченности сверхпроводящего образца. Для расчета гармоник -стартовое и конечное значение модулируемого параметра (постоянной или переменной составляющей изменяющегося магнитного поля).

Отдельно рассмотрено внедрение в приложение технологии многокомпонентных объектов и полученной возможности визуализации результатов моделирования через комплекс OriginLab. Технология многокомпонентных объектов (Component Object Model, СОМ) используется для того чтобы сделать возможной соединение, обмен информацией и динамическое создание объектов процессами с помощью языков программирования. Вывод и визуализация результатов с помощью комплекса OriginLab предусматривает: построение рабочих листов (таблиц и матриц), трехмерных поверхностей и контурных графиков для карт распределения экранирующего сверхтока, напряженности магнитного поля и петель гистерезиса.

Четвертая глава содержит результаты моделирования для образцов в форме диска с различным геометрическим соотношением сторон. Представлены результаты расчета для кривых намагниченности, гармоник намагниченности отклика на переменное магнитное поле и трехмерные поверхности, иллюстрирующие распределение магнитного поля в рамках классических моделей критического состояния. Расчеты были выполнены для коротких цилиндров жестких сверхпроводников II рода в приближении

экранировки поля на оси цилиндра и в точной постановке экранирования поля в объеме внутри образца.

В качестве основы для построения построение такой модели, которая смогла бы с достаточной точностью описать экспериментальные данные, была выбрана модель критического состояния Кима.

Была рассчитана гистерезисная петля намагниченности при амплитуде модуляции переменного магнитного поля На ~ 1.65 Нр, где Нр - поле полного проникновения. На рисунке 5 показаны три варианта петли гистерезиса намагниченности при различных значениях постоянной составляющей поля На = 0, ~ 0.55 Нр и = 1.65 Нр.

Через подбор параметров модели было достигнуто качественное сходство с экспериментальными данными. Основной частью проведенных расчетов было вычисление и исследование гармоник намагниченности отклика на изменяющееся внешнее магнитное поле. Были вычислены оптимальные величины критической плотности токаjc< объемной плотности силы пиннинга а и других параметров, при которых модель, определяемая уравнением (1), наилучшим образом сходилась бы с результатами эксперимента.

Расчет производился для двух используемых в эксперименте поликристаллических образцов ВТСП YBa2Cu307.x с различными геометрическими формами в виде коротких цилиндров (или «таблеток») с соотношением L / D = 0,12 (для образца № 1)и£/£> = 0,18 (для образца № 2), где D = 20 mm - диаметр образца, L - его высота. Получены следующие параметры:

для образца № 1: а = 19 • 10® А2/т3, Я* = 6000 А/т и jc(Q) = 3,167 • 106

А/т2;

для образца № 2: а = 22 • 109 А2/т3, Н' = 8000 А/т и jc{0) = 2,75 • 106 А/т2.

н„/нР

Рисунок 5. Петли намагниченности, рассчитанные программой при различных значениях постоянной составляющей поля в единицах поля полного проникновения Нр и намагниченности в единицах М0 = М(Нр)

На рисунке 6 показаны кривые, построенные по экспериментальным [7] и расчетным данным для амплитуд модуляций 100, 300 и 470 Ое для второй гармоники (образец № 2). Гармоники напряжения пропорциональны соответствующим гармоникам намагниченности или восприимчивости: «■= М.

Изображенная кривая вычисляется следующим образом:

М„=^(М'„)2+(МУ, (12)

е„ = К-М„ , (13)

К = N ■ S ■ со-п. (14)

Здесь цо - магнитная постоянная, N - число витков, S - площадь поперечного сечения сверхпроводящего образца, со - частота колебаний переменной составляющей магнитного поля, п - номер гармоники. Значение Kin для экспериментальной работы [7] есть: Kin ~ 6,42 • 10"4 A/V-m.

Для сравнения, символами выделены кривые, построенные программой при таких же условиях.

Рисунок 6. Сравнение экспериментальных [7] и расчетных данных второй гармоники для больших амплитуд модуляции.

Экспериментальные [7] и расчетные данные для третьей гармоники (образец №1) представлены на рисунке 7.

В п. 4.4 по результатам параметрической оптимизации рассчитаны значения параметра р для различных геометрических соотношений Ь / 2Я. Пределы, в которых может колебаться значение р{а) меняется в зависимости от геометрической формы образца. На рисунке 8 приведены значения параметра р при Ы 2Я = 0,25; 0,50 и 1,00 для осевой компоненты Н2.

1 1 I ' I ' I ' I 1 I

О 100 200 300 400 500

Н<з, Ое

Рисунок 7. Сравнение экспериментальных [7] и расчетных данных для третьей

гармоники.

800 -600 -

>

е доо -со"

200 -0 -

на = 300 Ое * Н = 470 Ое

И2Р. \-12И

= 0,25 = 0,50 = 1,00

Рисунок 8. Зависимость параметра степени от величины проникновения магнитного поля а / Я для образцов с различными Ь1 2Я.

При помощи программного комплекса построена карта распределения экранирующего сверхтока (рисунок 9) в рамках модели Бина для короткого цилиндра (диска) на основе интегральных уравнений (2) и (5). Линии представляют собой контуры поверхности г{г), разделяющей области В* и П~, при различной степени проникновения внешнего поля в сверхпроводник для Уг поперечного сечения сверхпроводника. Приведены контуры поверхности г(г) для образца сЬ = 2,5 тт. и Я = 5 тт.

0,30 0,50 0,70 0,90

Г, мм

Рисунок 9. Контуры поверхности г(г) для различных случаев а / Я образца с геометрическим соотношением Ы 2К = 0,25.

С помощью разработанного программного приложения были рассчитаны распределения компонентов напряженности магнитного поля для сверхпроводников цилиндрической формы. Полученный в результате расчета массив представляет собой распределение напряженности магнитного поля в одной четверти фронтального сечения сверхпроводящего образца. Трехмерная поверхность, демонстрирующая это распределение поля Н2 для цилиндра с Ь / 2Я = 0,25, представлена на рисунке 10. Значения указаны относительно величины напряженности поля полного проникновения Нр = {¡СЬ / 2) Лгз/г(2Я / Ь). При этом принималось, что внешнее поле проникло на глубину 0,5 от радиуса образца Я (радиус проникновения поля при г = 0: а = 0,5К). Аналогичный трехмерный график для другой составляющей - Нг, представлен на рисунке 11.

Рисунок 10. Трехмерный график карты распределения осевой составляющей напряженности полного магнитного поля Яг(г, г) для а = 0,5К.

Рисунок 11. Трехмерный график карты распределения радиальной составляющей напряженности полного магнитного поля Щг, г) для а = 0,5/?.

Для того, чтобы иметь возможность сравнить распределение магнитного поля в зависимости от процента проникновения, построена контурная диаграмма (рисунок 12). Она включает в себя три случая: а / Я = 20, 50 и 80%. Варианты выполнены в едином масштабе относительно Н..

г/Я

Рисунок 12. Цветные контурные диаграммы распределения Н2 для случаев а/ Я = 0,2; а/Я = 0,5 и а/Я - 0,8.

На рисунке 13 приведены кривые намагниченности для разных величин максимальных полей циклов намагничивания. По оси абсцисс отложена напряженность магнитного поля в единицах поля полного проникновения Нр, т.е. напряженности внешнего магнитного поля при котором весь объем сверхпроводника будет занят экранирующим сверхтоком одного направления. По оси ординат отложена намагниченность цилиндра в единицах намагниченности насыщения М0 = / 3.

В заключении подведены итоги проведенной работы и сформулированы основные научные и практические результаты.

В диссертационной работе осуществлено математическое моделирование процесса намагничивания жестких сверхпроводников II рода на основе численных методов. Основные результаты исследования следующие:

1. Построена математическая модель проникновения магнитного поля в сверхпроводник в форме короткого цилиндра в приближениях Кима и Кима-Андерсена с учетом экранировки поля в центре на оси образца.

2. Разработан численный метод расчета петель гистерезиса и гармоник намагниченности в соответствии с моделью критического состояния Кима, Кима-Андерсена и учетом экранировки поля в центре образца.

3. На основе моделей критического состояния Кима и Кима-Андерсена численно смоделирован процесс проникновения магнитного поля в сверхпроводник цилиндрической формы. Найдены распределение магнитного поля, гистерезисные петли и гармоники намагниченности в зависимости от различных значений постоянной и переменной компонент внешнего магнитного поля.

100 -

-125 -100 -75 -50 -25 0 25 50 75 100 125

Н/Нр.%

Рисунок 13. Начальная кривая намагниченности и петли гистерезиса намагниченности для разных значений максимальных полей цикла намагничивания.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

4. Построена математическая модель проникновения магнитного поля в сверхпроводник в форме короткого цилиндра с учетом искривления силовых линий магнитного поля в приближении Бина, описываемая интегральным уравнением I рода.

5. Разработан численный метод расчета распределения экранирующего сверхтока, напряженности магнитного поля и петель гистерезиса в соответствии с моделью критического состояния Бина и учетом искривления силовых линий магнитного поля.

6. В рамках вышеупомянутой модели найдена карта распределения плотности экранирующего сверхтока в образце цилиндрической формы.

7. Для модели критического состояния Бина выполнен численный расчет распределения проникающего в цилиндрический образец магнитного поля и гистерезисных петель намагниченности в зависимости от различных значений постоянной и переменной компонент внешнего магнитного поля.

8. Основываясь на сравнении экспериментальных данных и результатах численного моделирования, получены некоторые параметры, характеризующие сверхпроводящее состояние поликристаплического высокотемпературного сверхпроводника состава УВагСизОу.*.

9. На базе объектно-ориентированного языка программирования С# с использованием алгоритмов численных методов и процедур параметрической оптимизации разработан программный комплекс, способный моделировать поведение сверхпроводящего образца в магнитном поле в соответствии с перечисленными выше моделями критического состояния.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, рекомендуемых ВАК

1. Кузьмичев Н.Д., Федченко A.A. Намагниченность коротких цилиндров жестких сверхпроводников второго рода и карта распределения экранирующего сверхтока в модели Бина. Журнал технической физики 2012, Т. 82, В. 5. С. 52 -56.

2. Кузьмичев Н.Д., Федченко A.A. Математическое моделирование нелинейного отклика короткого цилиндра из жесткого сверхпроводника. Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2011. №3(19). С. 110- 119.

3. Кузьмичев Н.Д., Федченко A.A. Математическое моделирование процесса намагничивания цилиндрического сверхпроводника в модели Бина. Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2012. №1(21). С. 151 - 160.

Публикации в других изданиях

4. Кузьмичев Н.Д., Федченко A.A. Гармоники намагниченности толстого диска сверхпроводника 2-го рода в модели Кима в приближении экранировки поля на оси. (Расширенные тезисы) Фундаментальные проблемы высокотемпературной

сверхпроводимости. ФПС'И. Сборник расширенных тезисов четвертой международной конф. г. Звенигород, 3-7 октября 2011г. С. 303 - 304.

5. Кузьмичев Н.Д., Федченко A.A. Распределение экранирующего сверхтока в дисках и цилиндрах конечной длины для жесткого сверхпроводника второго рода в модели Бина. (Расширенные тезисы) Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости. ФПС'11. Сборник расширенных тезисов четвертой международной конференции г. Звенигород, 3-7 октября 2011г. С. 322-323.

6. Кузьмичев Н.Д., Федченко A.A. Численное моделирование гармоник намагниченности диска из жесткого сверхпроводника второго рода в приближении экранировки поля в центре образца. Труды Средневолжского математического общества (СВМО).2011. Т. 13. № 1. С.55 — 62.

7. Кузьмичев Н.Д., Федченко A.A. Математическое моделирование распределения экранирующего тока и гистерезис намагниченности коротких цилиндров жестких сверхпроводников 2-го рода в приближении Бина. Труды Средневолжского математического общества (СВМО). 2011. Т. 13. № 4. С. 25 -34.

8. Кузьмичев Н.Д., Федченко A.A. Численное моделирование намагниченности сверхпроводника второго рода в критическом состоянии // Материалы XIV научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов Морд. гос. ун-та. Ч. 1. Технические и естественные науки. Саранск: Изд-во Морд, ун-та, 2010. С. 231 - 237.

9. Кузьмичев Н.Д., Федченко A.A. Математическое моделирование намагниченности толстых дисков жестких сверхпроводников второго рода в модели Бина. Математика и математическое моделирование. Материалы Всероссийской научно-практической конференции с международным участием г. Саранск, 13 - 14 октября 2011 / Под общ. ред. Н. Г. Тактарова; Мор-дов. гос. пед. ин-т. Саранск, 2012. С. 183 - 188.

10. Кузьмичев Н.Д., Федченко A.A. ЧисленнЪш расчет намагниченности сверхпроводника по модели Бина. Машиностроение: наука, техника, образование: Сборник научных трудов VIII Всероссийской научно-практической конференции г. Рузаевка, 24 - 25 февраля 2010г. С. 170 - 173.

11. Кузьмичев Н.Д., Федченко A.A. Численный расчет намагниченности сверхпроводника по модели Кима-Андерсона. Машиностроение: наука, техника, образование: Сборник научных трудов VIII Всероссийской научно-практической конференции г. Рузаевка, 24 - 25 февраля 2010г. С. 173 - 176.

12. Кузьмичев Н.Д., Федченко A.A., Осыка В.В. Нелинейный отклик короткого цилиндра сверхпроводника 2-го рода в модели Кима. Машиностроение: наука, техника, образование: Сборник научных трудов IX Всероссийской научно-практической конференции г.Рузаевка, 15-16 ноября 2011г. С. 327-335.

13. Кузьмичев Н.Д., Федченко A.A. Математическое моделирование гистерезиса намагниченности критического состояния дискообразных жестких сверхпроводников в биновской модели. Машиностроение: наука, техника, образование: Сборник научных трудов IX Всероссийской научно-практической конференции г. Рузаевка, 15-16 ноября 2011г. С. 335 - 345. .

Свидетельства о государственной регистрации программ

1. Кузьмичев Н.Д., Федченко А.А. Расчет трехмерной карты распределения экранирующего сверхтока, напряженности магнитного поля, а также петли гистерезиса и гармоник намагниченности жестких сверхпроводников второго рода в форме короткого цилиндра «Superconductor3DBeanMagnetic» Свидетельство № 2012610373 РФ от 10.01.2012.

2. Кузьмичев Н.Д., Федченко А.А. Расчет гармоник намагниченности, напряженности магнитного поля для цилиндров и тонких дисков из высокотемпературного сверхпроводника второго рода «SuperconductorKimFieldScreenMagnetic» Свидетельство № 2011617372 РФ от 21.09.2011.

Цитируемая литература

1. Kim Y.B., Hempstead О.Р., Strnad A.R. Critical persistent currents in hard superconductlors // Phys. Rev. Lett. 1962. V. 9. № 7. P. 306 - 309.

2. Anderson P.W., Kim Y.B. Hard superconductivity: Theory of the motion of Abrikosov flux lines// Rev. Mod. Phys. 1964. V.36. P.39-43.

3. Bean C.P. Magnetization of hard superconductors.// Phys. Rev. Lett. 1962.V.8. P.250-251.

4. Brandt E.H. Superconductor disks and cylinders in an axial magnetic field. I. Flux penetration and magnetization curves // Phys. Rev. B. 1998. V. 58. № 10. P. 6506-6522.

5. Mikheenko P.N., Kuzovlev Yu. E. Inductance measurements of HTSC films with high critical currents // Physica C. 1993. V. 204. P. 229 - 236.

6. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.

7. Кузьмичев Н. Д., Славкин В.В. Генерация гармоник поликристаллическими УВагСизОу.* в сильных переменных магнитных полях // Письма в ЖТФ. 1992. Т. 18. В. 8. С. 11 - 15.

Подписано в печать 19.04.2012. Усл. печ. л. 1,5. Формат 60x84 '/¡6 Заказ 35. Тираж 130.

Отпечатано в ОАО "Типография "Рузаевский печатник" 431440, г. Рузаевка, ул. Трынова, 67а.

61 12-1/1044

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ « МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Н. П. ОГАРЕВА »

На правах рукописи Федченко Александр Андреевич ^

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА НАМАГНИЧИВАНИЯ ЖЕСТКИХ СВЕРХПРОВОДНИКОВ ВТОРОГО РОДА В ФОРМЕ КОРОТКИХ ЦИЛИНДРОВ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Н. Д. Кузьмичев

Саранск - 2012

Оглавление

Введение 4

Обозначения 12

Глава 1. Исследование нелинейности магнитных и электрических

свойств высокотемпературных сверхпроводников 13

1.1 Модели сверхпроводящего состояния и их особенности ....... 13

1.2 Структура высокотемпературных сверхпроводников .......... 20

1.3 Исследование распределения магнитного поля............... 28

1.4 Численные методы, применяемые для исследования нелинейных свойств сверхпроводников второго рода .................... 38

Глава 2. Постановка задач математического моделирования и модификация моделей критического состояния жестких сверхпроводников второго рода 45

2.1 Модель Бина для длинного цилиндра....................................45

2.2 Модель Бина для короткого цилиндра и тонкого диска в приближении экранировки внешнего поля в центре .......... 48

2.3 Модель Кима - Андерсона .............................................53

2.4 Модели критического состояния с учетом искривления линий магнитного поля ..............................................................58

Глава 3. Программный комплекс расчета и анализа поведения

сверхпроводников в магнитных полях 66

3.1 Цели и задачи, решаемые программой .....................66

3.2 Использованные для решения задачи математического

моделирования численные методы .........................69

3.3 Структура программы и ее основные компоненты ............ 77

3.4 Графический пользовательский интерфейс .................. 79

3.5 Объектно-ориентированный подход к реализации задачи моделирования ....................................................92

3.6 Этапы работы программы ...........................................98

3.7 Технология многокомпонентных объектов и применение возможностей программно-аналитического комплекса OriginLab для визуализации результатов ................... 100

Глава 4. Результаты математического моделирования нелинейных

магнитных характеристик сверхпроводников 108

4.1 Расчет петель гистерезиса и составляющих гармоник отклика согласно модели Бина для короткого цилиндра и тонкого диска

в приближении экранировки поля в центре образца ......... 108

4.2 Расчет петель гистерезиса и гармонический анализ согласно модели Кима-Андерсона в одномерной формулировке ....... 111

4.3 Экспериментальные данные и результаты обработки, полученные

для монокристаллов YBa2Cu307.x .......... . ............. 114

4.4 Намагниченность и карта распределения напряженности для модели Бина, учитывающей искривление линий

магнитного поля....................................................125

Заключение 143

Список публикаций автора 145

Список использованных источников 148

Приложение 170

Введение

Диссертация посвящена математическому моделированию нелинейных магнитных свойств жестких сверхпроводников II рода, в частности, высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП). Для этого, для вышеуказанных сверхпроводников, были выполнены расчеты петель гистерезиса намагниченности и гармоник намагниченности с помощью разработанных в настоящей работе программ на основе модифицированных для данных целей численных методов. Расчеты производились для сверхпроводников цилиндрической формы конечной длины для плотности критического тока, не зависящего от магнитного поля (модель Бина) и для зависимостей в рамках моделей Кима и Кима-Андерсона. Получен ряд физических параметров, характеризующих сверхпроводящее состояние УВа2Сиз07-х.

Актуальность темы. Магнитные свойства высокотемпературных сверхпроводников важны для применений в электротехнике и радиоизмерительной технике. Разработаны различные устройства на основе высокотемпературных сверхпроводников. Характерной особенностью амплитуд гармоник намагниченности ВТСП, например, на основе УВа2Си307.х, является их высокая чувствительность к внешнему воздействию (магнитному полю, току и температуре). В связи с этим, как с фундаментальной, так и с прикладной точки зрения, интересным представляется детальное выяснение причин некоторых нелинейных свойств высокотемпературных сверхпроводников, наблюдаемых в магнитных полях. Поэтому важно знать отклик различной геометрической формы сверхпроводников на переменное и постоянное магнитные поля. Для указанных и других прикладных задач необходимо иметь карту распределения экранирующего сверхпроводящего тока (сверхтока), намагниченность образца и гармоники намагниченности. Точно решены задачи, относящиеся к сверхпроводникам II рода, которые имеют простые

формы, например, неограниченные пластины и цилиндры, бесконечно тонкие диски, эллипсоиды и др. Для ограниченных образцов вышеуказанные задачи решены лишь в некоторых случаях. Работы по вышеотмеченной тематике ведутся давно как в отечественной, так и зарубежной литературе [1 - 5].

Во многом ВТСП подобны сверхпроводникам второго рода даже для малых магнитных полей. Поэтому при описании магнитных свойств их сверхпроводящего состояния часто используются модифицированные модели свойств классических сверхпроводников второго рода.

Таким образом, проведенные исследования, как с фундаментальной, так и с практической точки зрения, являются актуальными.

Цель работы - Математическое моделирование процесса проникновения внешнего постоянного и гармонически модулированного магнитного поля в жесткие сверхпроводники II рода, имеющие форму ограниченных цилиндров и находящиеся в критическом состоянии. Для достижения поставленной цели было необходимо решить следующие задачи:

1) Построить математическую модель проникновения магнитного поля в жесткий сверхпроводник II рода в форме короткого цилиндра, находящийся в критическом состоянии, с учетом экранировки поля в центре в случае зависимости плотности критического тока в приближении Кима.

2) Разработать численный метод расчета петель гистерезиса и гармоник намагниченности в соответствии с моделью критического состояния Кима и учетом экранировки поля в центре образца.

3) На основе построенной модели выполнить численный расчет фронта проникающего в цилиндрический образец магнитного поля, гистерезисных петель и гармоник намагниченности в зависимости от значений постоянной и переменной компонент внешнего магнитного поля.

4) Построить математическую модель проникновения магнитного поля в жесткий сверхпроводник II рода в форме короткого цилиндра, находящийся

в критическом состоянии, с учетом искривления силовых линий магнитного поля в приближении Бина на основе интегральных уравнений I рода.

5) Разработать численный метод расчета напряженности магнитного поля и петель гистерезиса в соответствии с моделью критического состояния Бина и учетом искривления силовых линий магнитного поля.

6) На основе построенной модели найти карту распределения плотности экранирующего сверхтока, выполнить численный расчет распределения проникающего в цилиндрический образец магнитного поля и гистерезисных петель намагниченности в зависимости от значений постоянной и переменной компонент внешнего магнитного поля.

7) Разработать программный комплекс на базе численных методов, позволяющий рассчитывать распределение плотности экранирующего сверхтока, магнитного поля, а также петель гистерезиса и гармоник намагниченности и исследовать поведение сверхпроводящего образца в форме короткого цилиндра и диска в соответствии с перечисленными моделями критического состояния (Кима, Кима-Андерсона и Бина).

Методы исследования. Работа носит теоретический характер. Для решения поставленных задач использовались уравнения электродинамики, описывающие магнитные свойства жестких сверхпроводников II рода, на основе которых смоделирован процесс проникновения внешнего магнитного поля в вышеуказанные сверхпроводники. Разработанный в рамках данного исследования программный комплекс на основе объектно-ориентированного языка программирования С# использует алгоритмы различных численных методов и процедуры параметрической оптимизации.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) Предложена математическая модель проникновения магнитного поля в жесткий сверхпроводник II рода в форме короткого цилиндра,

находящийся в критическом состоянии, с учетом экранировки поля в центре в случае зависимости плотности критического тока в приближении Кима.

2) Предложена математическая модель проникновения магнитного поля в жесткий сверхпроводник II рода в форме короткого цилиндра, находящийся в критическом состоянии, с учетом искривления силовых линий магнитного поля в приближении Бина на основе интегральных уравнений I рода.

3) Разработан численный метод расчета петель гистерезиса и гармоник намагниченности коротких цилиндров жестких сверхпроводников II рода, отправным пунктом которого является дифференциальное уравнение критического состояния для модели Кима в приближении экранировки магнитного поля в центре цилиндра.

4) Разработан численный метод расчета карт распределения критической плотности сверхтока, магнитного поля и петель гистерезиса намагниченности коротких цилиндров жестких сверхпроводников II рода, отправным пунктом которого является интегральные уравнения I рода, описывающее критическое состояние вышеуказанных цилиндров в приближении Бина.

5) Создан программный комплекс, способный моделировать поведение сверхпроводящего образца в магнитном поле на основе указанных моделей, основой которого стали приведенные выше численные методы.

Научная и практическая ценность работы:

1) Результаты моделирования намагниченности и распределения магнитного поля в жестком сверхпроводнике II рода, выполненные в настоящей работе, могут быть использованы для проверки концепций используемых теоретических моделей при описании особенностей магнитных свойств ВТСП, а также для нахождения их критических параметров и решения вопроса о механизме магнитных свойств высокотемпературных сверхпроводников.

2) Результаты работы могут быть использованы при разработке трансформаторов, электродвигателей, магнитов, а также магнитометра слабых магнитных полей и других электро- и радиоизмерительных устройств на основе высокотемпературных сверхпроводников.

3) Полученное решение интегрального уравнения, описывающего распределение экранирующего сверхтока в модели Бина, может быть использовано при разработке несверхпроводящих соленоидов с высокой однородностью магнитного поля в больших объемах.

Достоверность полученных результатов обеспечивается согласием полученных в результате моделирования петель гистерезиса и гармоник намагниченности коротких цилиндров сверхпроводников II рода с экспериментальными данными других работ, а также с результатами теоретических работ, полученных рядом авторов иными методами.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

1. IV международной конференции «Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости» (г. Звенигород, октябрь 2011 г.);

2. V Фестивале Науки (г. Москва, октябрь 2010 г.);

3. I Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Математика и математическое моделирование» (г. Саранск, октябрь 2011 г.);

4. IX Всероссийской научно-практической конференции «Машиностроение: Наука, техника, образование» (г. Рузаевка, ноябрь 2011

г.);

5. На ежегодных научных Огаревских чтениях в Мордовском госуниверситете им. Н. П. Огарева.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) Математическая модель проникновения магнитного поля в жесткий сверхпроводник II рода в форме короткого цилиндра с учетом экранировки поля в центре образца в приближении Кима и Кима-Андерсона на основе дифференциальных уравнений критического состояния.

2) Численный метод расчета петель гистерезиса и гармоник намагниченности коротких цилиндров жестких сверхпроводников II рода для модели Кима в приближении экранировки магнитного поля в центре цилиндра.

3) Математическая модель проникновения магнитного поля в жесткий сверхпроводник II рода в форме короткого цилиндра с учетом искривления силовых линий магнитного поля в приближении Бина на основе интегральных уравнений I рода.

4) Численный метод расчета карт распределения критической плотности сверхтока, магнитного поля и петель гистерезиса намагниченности коротких цилиндров жестких сверхпроводников II рода в приближении Бина с учетом искривления силовых линий магнитного поля.

5) Карты распределения критической плотности экранирующего сверхтока, распределение магнитного поля и гистерезисные петли намагниченности в приближении Бина; гистерезисные петли и гармоники намагниченности в приближении Кима в гармонически модулированном внешнем магнитном поле.

6) Программный комплекс расчета распределения критической плотности экранирующего сверхтока, магнитного поля, а также петель гистерезиса и гармоник намагниченности коротких цилиндров сверхпроводников II рода согласно различным моделям критического состояния, разработанный на языке С#.

Публикации: По материалам диссертации опубликовано 13 печатных работ, из них: 5 статей в журналах, 4 статьи в сборниках научных трудов, 4

материалов и тезисов докладов конференций и 2 свидетельства о государственной регистрации программ.

Личный вклад заключается в участии в разработке методов и подходов исследования, решении поставленных задач и анализе полученных результатов. Программный комплекс моделирования поведения сверхпроводников был разработан автором самостоятельно.

Объем и структура диссертации: Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 169 страницах, включая 74 рисунка, список литературы из 236 пунктов и одного приложения.

Изложение диссертационного исследования построено следующим образом:

В первой главе представлен литературный обзор работ, тематика которых близка к диссертационной работе. Особое внимание уделено работам, в которых анализируется гранулярная структура керамических высокотемпературных сверхпроводников и работам, посвященным математическим моделям сверхпроводящего состояния.

Во второй главе рассматриваются модели критического состояния. Подробно описан вывод ключевых уравнений модели критического состояния, учитывающей искривление силовых линий магнитного поля.

Третья глава посвящена разработанному программно-аналитическому комплексу. Представлен графический интерфейс, структура и основные этапы работы программы. Также рассмотрена процедура параметрической оптимизации, ее интеграция в программный комплекс и полученные результаты. Подробно описаны алгоритмы использованных численных методов. Отдельно рассмотрено внедрение в приложение технологии многокомпонентных объектов и полученной возможности визуализации результатов моделирования через комплекс OriginLab.

Четвертая глава содержит результаты моделирования для образцов в форме диска с различным геометрическим соотношением сторон. Представлены результаты расчета для кривых намагниченности, гармоник намагниченности отклика на переменное магнитное поле и трехмерные поверхности, иллюстрирующие распределение магнитного поля в рамках классических и разработанной модели критического состояния.

В заключении сформулированы основные выводы по результатам диссертационной работы.

Автор выражает свою глубокую благодарность научному руководителю Н. Д. Кузьмичеву за неоценимую помощь при подготовке диссертации.

Обозначения

Нсх1 - Напряженность внешнего магнитного поля

Н; - Напряженность поля, созданного экранирующим сверхтоком

Нс1 - Напряженность первого критического поля

Нс2 - Напряженность второго критического поля

Н(1 - Напряженность постоянной компоненты магнитного поля

На - Амплитуда переменной компоненты внешнего магнитного поля

Нр - Напряженность поля полного проникновения

— Критическая плотность тока Бр - Сила пиннинга

Я - Радиус сверхпроводящего цилиндра (диска) Ь - Толщина / высота сверхпроводящего цилиндра (диска) Ь - Полутолщина сверхпроводящего цилиндра (диска) а - Объемная плотность силы пиннинга М0 - Намагниченность насыщения Цо - Магнитная постоянная

К(к) - Полный эллиптический интеграл первого рода Е(к) - Полный эллиптический интеграл второго рода

ГЛАВА 1

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ МАГ�